THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
151
MURAKKAB KONFIGURATSIYALI PRIZMATIK
JISMLARNING CHIZIQLI VA GEOMETRIK NOCHIZIQLI
JARAYONLARINING SONLI YECHIMLARI
1Sh.A. Ana o a, 2S.B. Qa shiye a
1 . .d. p o ., 2 ayanch dok o an
Toshken axbo o exnologiyala i uni e si e i
h ps://doi.o g/10.5281/zenodo.17740064
Anno a siya. Mu akkab kon igu a siyali p izma ik jismla ning soha geome iyasi
englamala ini qu ish masalala i ko‘ ib chiqilgan. Bunday jismla uchun soha chega ala ini aniq
i odalash a ula ning geome iyasini anali ik a zda a si lash muammoli hisoblanadi. Shu
sababli maqolada R- unksiyala naza iyasiga asoslangan algo i mik yondashu akli e iladi.
Ushbu yondashu yo damida mu akkab kon igu a siyali ko‘ndalang kesimla ga ega p izma ik
jismla ning chega ala i uchun soha englamala i qu ildi. Na ijada, o‘g‘ i o‘ bu chak ko akka
ega jismla ning geome iyasini qulay shaklda i odalash imkoniya i ya a ildi.
Kali so‘zla : mu akkab kon igu a siya, p izma ik jism, kuchlanganlik-
de o ma siyalanganlik, elas iklik naza iyasi, R- unksiya, konyunksiya, dizyunksiya.
Ki ish
So‘nggi yilla da ma ema ik modellash i ish, kons uk i a hisoblash mexanikasi
sohala ida mu akkab kon igu a siyali p izma ik jismla ning kuchlanganlik-de o ma siyalanganlik
hola la ini modellash i ish dolza b masalala dan bi i hisoblanadi. Ayniqsa, ha xil ichki
ko akla ga ega p izma ik jismla u li sohala da keng qo‘llanilib, ae okosmik, mashinasozlik,
qu ilish a a xi ek u a elemen la ida mus ahkamlik a yengillik nisba ini oshi ishda muhim
ahamiya ga ega [1-2].
Mu akkab kon igu a siyali p izma ik jismla ning asosiy o‘ziga xosligi ula ning kesim
geome iyasi sodda geome ik shaklla dan a q qilishidi . Na ijada, bunday jismla da kuchlanish,
de o ma siya a ine siya aqsimo i oddiy geome ik jismla nikidan ubdan a q qiladi. Shuning
uchun, mu akkab kon igu a siyali p izma ik jismla ning soha geome iyasini aniq ma ema ik
shaklda i odalash s uk u a iy ahlilning eng muhim bosqichi hisoblanadi [3-4].
Klassik yondashu la da, p izma ik jismla kesimi oda da soddalash i ilgan shakl si a ida –
o‘g‘ i o‘ bu chak, aylana yoki I-ko‘ inishda qa algan [5]. Bi oq eal amaliyo da bu kesimla ko‘p
holla da ichki ko akli, qalinligi o‘zga u chi yoki segmen la a o mu akkab u ashu ga ega bo‘ladi.
Shuning uchun bunday kesimla ni anali ik usulda a si lash uchun an’ana iy usulla dan
oydalanish (masalan, Na ye yoki Lame yechimla iga asoslangan modella ) ye a li bo‘lmaydi [6-
7]. Shu bois, ula ning soha geome iyasini a si lo chi umumiy englamala izimini uzish
za u a i ug‘iladi [8].
Asosiy qism
Hozi gi kunda ma ema ik modellash i ish sohasida, ayniqsa, R- unksiyala usuli (RFM)
bilan chekli elemen la usuliga (FEM) ayangan anali ik algo i mla ni bi galikda qo‘llash
mu akkab kon igu a siyali jismla ni adqiq e ishda keng imkoniya la ya a moqda. Ushbu
yondashu la yo damida kuchlanganlik-de o ma siyalanganlik hola la ini, shuningdek,
chega a iy sha la ning o‘zga ishini yuqo i aniqlikda ahlil e ish mumkin. Na ijada, bunday
THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
152
izimla ning ma ema ik modellash i ilishi na aqa naza iy jiha dan, balki amaliy muhandislik
hisob-ki obla ida ham sama ali na ijala be adi [9-10]. Chega a iy sha la ni qanoa lan i u chi,
in a ian xossala ga ega anali ik i odani ya a ish a uni aqamli modellash i ish izimla iga
in eg a siyalash dolza b muammodi [11-12]. Shuning uchun, mazku maqolada R- unksiyala
usuliga asoslanib, yaxli a o‘g‘ i o‘ bu chak ko akka ega mu akkab kon igu a siyali p izma ik
jismla ning soha geome iyasi englamala ini shakllan i ish masalasi yo i ilgan.
0xyz deka koo dina ala sis emasida kesimi ix iyo iy mu akkab kon igu a siyali p izma ik
jismni ko‘ ib chiqamiz (1- asm), uning bi uchi (x=0) mahkam qo i ilgan, ikkinchi uchida
()x=
esa bu alish momen ining qiyma i be ilgan a u quyidagi ko‘ inishda:
2
11
,
H zx yx
y z y z
I P ydzdy P ydzdy
GG
= − +
(1)
bunda quyidagi geome ik a mexanik ka alikla olingan:
1 , 1 , 0,5 , 0,2 ;a m b m m m==
2/10 ;a a m=
2/10 ;b b m=
1 , 2 ,4 ,10 ;m m m m=
5
2 10 ;Eа=
3.0=
.
Yon si la i esa yukla dan holi.
1- asm. Kesimi ix iyo iy mu akkab kon igu a siyali p izma ik jism
Mu akkab kon igu a siyali p izma ik jismning siqilgan bu alish masalala i uchun
quyidagi bu alish bu chagining englamasidan oydalanamiz:
),()( 4321 xchc xshcxcc +++=
(2)
bu ye da
22
p d k
I I I
I
++
=
(3)
bunda
( )
( )
( )
( )
22
( , ) ( , ) ; , ;
;
p d y x
k xx yy x y
yx
y
x
G
I x y x y d I x y d I x y d
G
I d dy dx
+
= = + = −
= − + + +
Ix iyo iy
1 2 3 4
, , ,c c c c
doimiyla
0x=
a
xl=
sha la idan aniqlanadi.
Bu holda (2) dagi ix iyo iy o‘zga mas miqdo la (x=0) a
()x=
dagi sha la dan
aniqlanadi:
THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
153
0 : 0,x
==
0,
x
=
:x=
2
20,
x
=
3
2
1
3,
H
xx
− = −
doimiyla esa quyidagi qiyma la ga ega bo‘ladi [7]:
2
1
1
,
H
I
с h
I
=−
2
2
1
,
H
I
cI
=
2
3
1
,
H
I
c I
=−
2
4
1
,
H
I
c h
I
=
(4)
bu ye da
( )
12.
p d k
I I I I= + +
1 2 3 4
, , ,с c c c
qiyma la ini (2) ga qo‘yib, quyidagi i odaga ega bo‘lamiz [13-14]:
( )
1
.
кр
M x h sh x h ch x
I
= − − +
(5)
2- asm. Ko‘ndalang kesimi ix iyo iy p izma ik jismning soha geome iyasi
ko‘ inishi
№ 1 masala. Yuqo idagi ma’lumo la ga asosan kesimi ix iyo iy p izma ik
jismla ning soha geome iyasi englamala hamda bu alish unksiyasi - φ ni qu ish uchun
aq ibiy-anali ik R- unksiyala a ke ma-ke yaqinlashish usulla idan oydalanilad. Bunda φ
uchun yechimning uzilmasi quyidagi ko‘ inishda bo‘ladi:
10
;φ Φ -ωDΦ+φ ω
(6)
bu ye da D1 - di e ensial ope a o :
;
1
ФωФω
D = +
z z y y
ω - soha geome iyasi englamala ining umumiy ko‘ inishi; Ф - esa yechimla s uk u asining
aniqlanmagan komponеn asi bo‘lib, u oda da quyidagi ko‘ inishda i odalanadi:
,
ni
ij i j
i=0 j=0
Φ= C Z (z)Y (y)
(7)
bu ye da
ij
C
- aniqlash ke ak bo‘lgan noma’lum koe i sien la ;
ij
Z (z)Y (y)
- o‘liq bazis
ko‘phadla izimi (da ajali, igonome ik, Chebishe a boshqala ).
Endi esa 2- asmdagi soha geome iyasi i odasini quyidagicha aniqlaymiz:
THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
154
1 2 3 4 5 6
( ) ( ),
=
bu ye da
22
10,
2
az
a
−
=
22
20,
2
by
b
−
=
2 2 2
3
( ) ( ) 0,
2
z c R y d R R
R
− − + − − − =
2 2 2
4
( ) ( ) 0,
2
z c R y d R R
R
+ + + − − − =
2 2 2
5
( ) ( ) 0,
2
z c R y d R R
R
− − + + + − =
2 2 2
6
( ) ( ) 0,
2
z c R y d R R
R
+ + + + + − =
- R-konyunksiya.
( )
20.005
H
I=
si yuklanishi be ilgan
2/
H
I
jismning
za=
a
yb=
si la iga qo‘llanilganda
masala yechiladi. Ga chi yechim shakli bi oz a q qilsa ham, na ijala o‘liq mos keladi [13]:
(
2
2
1
1.
H
Ich x x
x h sh x h ch x
I ch ch
= − − + − + −
(8)
(2) ko‘ inishida olingan yechim mu ozana sha ini qanoa lan i maydi:
( )
,
x x bu
yz
zY yZ dzdy M−=
(9)
chunki
x=
kesimida chega a sha la ida quyidagi ko‘ inishdagi qo‘shimcha had paydo bo‘ladi:
( )
3
3
( ) ( ) .
dk
xx
I I I
xx
+−
(10)
bu ye da
( )
.
bu yz xz
M P x P y d
= −
Ushbu i odaning jism bo‘ylab o‘zga ish xususiya i si a jiha dan kuchlanish
komponen asi
11 /
4
10 G
ning o‘zga ishi bilan mos keladi.
x0=
da i oda qiyma i
2H
I
ga
eng bo‘ladi, (9) a (10) esa bi galikda ko‘ sa ilgan jismning mu ozana sha la ini
qanoa lan i adi.
3- asm. To‘ bu chak shakldagi ko akka ega kesimi ix iyo iy p izma ik jismning
soha geome iyasi
№ 2 masala. Oldingi masalani o‘ bu chak shaklidagi ko akka ega hola da ko‘ ib
chiqamiz. Bu ko akning o‘lchamla i
1
/a a 10 ;=
1
/b b 10 =
si a ida be ilgan bo‘lib, uning
si la i yukla dan holi. Bunda yechimning uzilmasi si a ida (2) qabul qilinadi hamda
be ilgan soha geome iyasi i odasi quyidagicha aniqlanadi (3- asm):
THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
155
1
1,
=
bu ye da
1 1 2 3 4 5 6
( ) ( ),
=
178
,
=
22
10,
2
az
a
−
=
22
20,
2
by
b
−
=
2 2 2
3
( ) ( ) 0,
2
z c R y d R R
R
− − + − − − =
2 2 2
4
( ) ( ) 0,
2
z c R y d R R
R
+ + + − − − =
2 2 2
5
( ) ( ) 0,
2
z c R y d R R
R
− − + + + − =
2 2 2
6
( ) ( ) 0,
2
z c R y d R R
R
+ + + + + − =
22
1
7
1
0,
2
az
a
−=
22
1
8
1
0,
2
by
b
−=
- R-konyunksiya.
Ushbu masalada bu alish unksiyasi uchun si sohasida quyidagi chega a iy sha la
qo‘shiladi:
1:za=
( ) 0,
zy
−=
1:yb=
( )
.0=+ z
y
(11)
Soha geome iyasi englamala i uzilganidan so‘ng, ula ning aniqligi a
sama ado ligini baholash maqsadida hisoblash na ijala i ahlil qilindi (1-3-jad al).
THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
156
No mal kuchlanish
11 /
4
10 G
1-jad al
Kesimi ix iyo iy mu akkab kon igu a siyali
p izma ik jismla
Jism o‘lchamla i (sm)
(x,y,z) bo‘yicha
koo dina ala
1;1;1
0,5;1;0
a2=0.1; b2=0.1
a1=0.1; b1=0.1
-8.071652
-8.025665
1;0.5;1
0.5;0.5;0
a2=0.1; b2=0.05
a1=0.1; b1=0.05
-16.904824
-16.857553
1;0.2;1
0.5;0.2;0
a2=0.1; b2=0.02
a1=0.1; b1=0.02
-70.017351
-69.950417
1;1;4
0.5;1;0
a2=0.1; b2=0.1
a1=0.1; b1=0.1
-8.071672
-8.025696
1;0.5;4
0.5;0.5;0
a2=0.1; b2=0.05
a1=0.1; b1=0.05
-16.993551
-16.935135
1;0.2;4
0.5;0.2;0
a2=0.1; b2=0.02
a1=0.1; b1=0.02
-72.947062
-72.769494
1;1;10
0.5;1;0
a2=0.1; b2=0.1
a1=0.1; b1=0.1
-8.071672
-7.995696
1;0.5;10
0.5;0.5;0
a2=0.1; b2=0.05
a1=0.1; b1=0.05
-16.993551
-16.935135
1;0.2;10
0.5;0.2;0
a2=0.1; b2=0.02
a1=0.1; b1=0.02
-72.947062
-72.769494
THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
157
U inma kuchlanish
12 /
4
10 G
2-jad al
Kesimi ix iyo iy mu akkab kon igu a siyali
p izma ik jismla
Jism o‘lchamla i (sm)
(x,y,z) bo‘yicha
koo dina ala
1;1;1
0,5;0.5;1
a2=0.1; b2=0.1
a1=0.1; b1=0.1
0.717971
0.708899
1;0.5;1
0.5;0.25;1
a2=0.1; b2=0.05
a1=0.1; b1=0.05
0.774021
0.924789
1;0.2;1
0.5;0.1;1
a2=0.1; b2=0.02
a1=0.1; b1=0.02
2.262498
2.017939
1;1;4
0.5;0.5;4
a2=0.1; b2=0.1
a1=0.1; b1=0.1
0.719817
0.710741
1;0.5;4
0.5;0.25;4
a2=0.1; b2=0.05
a1=0.1; b1=0.05
1.067916
0.954585
1;0.2;4
0.5;0.1;4
a2=0.1; b2=0.02
a1=0.1; b1=0.02
1.997491
1.936234
1;1;10
0.5;0.5;10
a2=0.1; b2=0.1
a1=0.1; b1=0.1
0.719817
0.710741
1;0.5;10
0.5;0.25;10
a2=0.1; b2=0.05
a1=0.1; b1=0.05
1.068061
0.954383
1;0.2;10
0.5;0.1;10
a2=0.1; b2=0.02
a1=0.1; b1=0.02
1.997771
1.936034
THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
158
U inma kuchlanish
13 /
4
10 G
3-jad al
Kesimi ix iyo iy mu akkab kon igu a siyali
p izma ik jismla
Jism o‘lchamla i (sm)
(x,y,z) bo‘yicha
koo dina ala
1;1;1
0,5;0.5;1
a2=0.1; b2=0.1
a1=0.1; b1=0.1
-0.732656
-0.718447
1;0.5;1
0.5;0.25;1
a2=0.1; b2=0.05
a1=0.1; b1=0.05
-3.365771
-3.361441
1;0.2;1
0.5;0.1;1
a2=0.1; b2=0.02
a1=0.1; b1=0.02
-15.544841
-15.492439
1;1;4
0.5;0.5;4
a2=0.1; b2=0.1
a1=0.1; b1=0.1
-0.734528
-0.720307
1;0.5;4
0.5;0.25;4
a2=0.1; b2=0.05
a1=0.1; b1=0.05
-4.077675
-4.063732
1;0.2;4
0.5;0.1;4
a2=0.1; b2=0.02
a1=0.1; b1=0.02
-23.077681
-23.049898
1;1;10
0.5;0.5;10
a2=0.1; b2=0.1
a1=0.1; b1=0.1
-0.734528
-0.720307
1;0.5;10
0.5;0.25;10
a2=0.1; b2=0.05
a1=0.1; b1=0.05
-4.128028
-4.064232
1;0.2;10
0.5;0.1;10
a2=0.1; b2=0.02
a1=0.1; b1=0.02
-23.077684
-23.049899
THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF
INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”,
NOVEMBER 20, 2025
159
Shu asosda, no mal a u inma kuchlanishla ning olingan qiyma la i o‘za o solish i ildi
hamda ula 1-3-jad alla da kel i ildi. 1-jad alda no mal kuchlanish
11 /
4
10 G
a 2-3-jad alla da
12 13
/ , /
44
10 G 10 G
u inma kuchlanishla ning qiyma la i kesim o‘lchamla i a p izma ik jism
uzunligiga bog‘liq a ishda o‘zga ishi ko‘ sa ilgan. 1-jad alda kel i ilgan na ijala dan ko‘ inib
u ibdiki,
11 /
4
10 G
eng ka a qiyma iga p izma ik jismning yaxli kesimida ega bo‘ladi a
jismning o‘lchamla i kich ayishiga bog‘liq emas.
11 /
4
10 G
ning eng kichik qiyma i o‘g‘ i
o‘ bu chak ko akli (a1=a/10; b1=b/10) kesimda kuza iladi.
Xulosa
Yuqo ida kel i ilgan adqiqo na ijala i shuni ko‘ sa adiki, R- unksiyala naza iyasiga
asoslangan yondashu mu akkab kon igu a siyali p izma ik jismla ning soha geome iyasi
englamala ini qu ishda yuqo i aniqlik a uni e sallikni a’minlaydi. Ushbu usul o qali chega a iy
sha la ni qanoa lan i u chi anali ik i odala ni olish, ula ni in a ian xossala ga ega shaklda
aqdim e ish hamda aqamli modellash i ish izimla iga sama ali in eg a siyalash imkoniya i
ya a ildi. Na ijada, kons uksiyala ning kuchlanganlik-de o ma siyalanganlik hola ini yanada aniq
modellash i ish a ahlil qilish uchun ishonchli ma ema ik asos shakllan i ildi.
Olingan na ijala asosida ay ish mumkinki, R- unksiyala naza iyasi na aqa naza iy
jiha dan, balki amaliy muhandislik ahlilla ida ham yuqo i sama ado lik ko‘ sa moqda. Kelgusida
ushbu yondashu ni u li mu akkab jismla , ayniqsa, noan’ana iy chega a iy sha la ga ega
kons uksiyala uchun qo‘llash, algo i mla ni yanada akomillash i ish a ula ni
a oma lash i ilgan modellash i ish izimla iga jo iy e ish is iqbolli yo‘nalishla dan bi i
hisoblanadi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1. R. Feil, T. P lumm, P. Bo olo i, M. Mo andini. A c oss-sec ional ae oelas ic analysis and
s uc u al op imiza ion ool o slende composi e s uc u es // Composi e S uc u es. Vol. 253,
2020. ISSN 0263-8223. h ps://doi.o g/10.1016/j.comps uc .2020.112755.
2. U.K. Chak a a y. On he modeling o composi e beam c oss-sec ions // Composi es Pa B:
Enginee ing. Vol. 42, Issue 4, 2011. P. 982-991. ISSN 1359-8368.
h ps://doi.o g/10.1016/j.composi esb.2010.10.012.
3. В.Ф. Кравченко, О.В. Кравченко. Конструктивные методы алгебры логики, атомарных
функций, вейвлетов, фракталов в задачах физики и техники // Москва: Техносфера,
2018, - 696 с.
4. L.C. Kou is, H. Kesa i, D.R. Ca e , G.S. Beaup e. T ans e se and o sional shea s esses in
p isma ic bodies ha ing inhomogeneous ma e ial p ope ies using a new 2D s ess unc ion //
Jou nal o Mechanics and S uc u es, Vol. 4, №4, 2009. P. 659-674.
5. В.К. Кабулов, Ш.А. Анарова. Кесими тўғри тўртбурчак, коваклари ихтиёрий бўлган
эластик призматик жисмларнинг кучланганлик-деформацияланганлик ҳолатини
сиқилган буралиш масалаларида ўрганиш // Ўзбекистон Республикаси Фанлар
Академиясининг маърузалари журнали. – 2002. – 6-сон. -25-27 б.
6. R.I. Mas, P.To es, J.Ca los, A. Reales, J. Ramon. P isma ic S uc u al Membe s: C oss-
Sec ion No mal o Axis // Enginee ing S uc u es, Vol. 16, №3, 2017. P. 507-517.
