MURAKKAB KONFIGURATSIYALI PRIZMATIK JISMLARNING CHIZIQLI VA GEOMETRIK NOCHIZIQLI JARAYONLARINING SONLI YECHIMLARI

THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 151 MURAKKAB KONFIGURATSIYALI PRIZMATIK JISMLARNING CHIZIQLI VA GEOMETRIK NOCHIZIQLI JARAYONLARINING SONLI YECHIMLARI 1Sh.A. Anarova, 2S.B. Qarshiyeva 1t.f.d. prof., 2tayanch doktorant Toshkent axborot texnologiyalari universiteti https://doi.org/10.5281/zenodo.17740064 Annotatsiya. Murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismlarning soha geometriyasi tenglamalarini qurish masalalari ko‘rib chiqilgan. Bunday jismlar uchun soha chegaralarini aniq ifodalash va ularning geometriyasini analitik tarzda tavsiflash muammoli hisoblanadi. Shu sababli maqolada R-funksiyalar nazariyasiga asoslangan algoritmik yondashuv taklif etiladi. Ushbu yondashuv yordamida murakkab konfiguratsiyali ko‘ndalang kesimlarga ega prizmatik jismlarning chegaralari uchun soha tenglamalari qurildi. Natijada, to‘g‘ri to‘rtburchak kovakka ega jismlarning geometriyasini qulay shaklda ifodalash imkoniyati yaratildi. Kalit so‘zlar: murakkab konfiguratsiya, prizmatik jism, kuchlanganlikdeformatsiyalanganlik, elastiklik nazariyasi, R-funksiya, konyunksiya, dizyunksiya. Kirish So‘nggi yillarda matematik modellashtirish, konstruktiv va hisoblash mexanikasi sohalarida murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismlarning kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatlarini modellashtirish dolzarb masalalardan biri hisoblanadi. Ayniqsa, har xil ichki kovaklarga ega prizmatik jismlar turli sohalarda keng qo‘llanilib, aerokosmik, mashinasozlik, qurilish va arxitektura elementlarida mustahkamlik va yengillik nisbatini oshirishda muhim ahamiyatga ega [1-2]. Murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismlarning asosiy o‘ziga xosligi ularning kesim geometriyasi sodda geometrik shakllardan farq qilishidir. Natijada, bunday jismlarda kuchlanish, deformatsiya va inersiya taqsimoti oddiy geometrik jismlarnikidan tubdan farq qiladi. Shuning uchun, murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismlarning soha geometriyasini aniq matematik shaklda ifodalash strukturaviy tahlilning eng muhim bosqichi hisoblanadi [3-4]. Klassik yondashuvlarda, prizmatik jismlar kesimi odatda soddalashtirilgan shakl sifatida – to‘g‘ri to‘rtburchak, aylana yoki I-ko‘rinishda qaralgan [5]. Biroq real amaliyotda bu kesimlar ko‘p hollarda ichki kovakli, qalinligi o‘zgaruvchi yoki segmentlararo murakkab tutashuvga ega bo‘ladi. Shuning uchun bunday kesimlarni analitik usulda tavsiflash uchun an’anaviy usullardan foydalanish (masalan, Navye yoki Lame yechimlariga asoslangan modellar) yetarli bo‘lmaydi [67]. Shu bois, ularning soha geometriyasini tavsiflovchi umumiy tenglamalar tizimini tuzish zarurati tug‘iladi [8]. Asosiy qism Hozirgi kunda matematik modellashtirish sohasida, ayniqsa, R-funksiyalar usuli (RFM) bilan chekli elementlar usuliga (FEM) tayangan analitik algoritmlarni birgalikda qo‘llash murakkab konfiguratsiyali jismlarni tadqiq etishda keng imkoniyatlar yaratmoqda. Ushbu yondashuvlar yordamida kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatlarini, shuningdek, chegaraviy shartlarning o‘zgarishini yuqori aniqlikda tahlil etish mumkin. Natijada, bunday THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 152 tizimlarning matematik modellashtirilishi nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy muhandislik hisob-kitoblarida ham samarali natijalar beradi [9-10]. Chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi, invariant xossalarga ega analitik ifodani yaratish va uni raqamli modellashtirish tizimlariga integratsiyalash dolzarb muammodir [11-12]. Shuning uchun, mazkur maqolada R-funksiyalar usuliga asoslanib, yaxlit va to‘g‘ri to‘rtburchak kovakka ega murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismlarning soha geometriyasi tenglamalarini shakllantirish masalasi yoritilgan. 0xyz dekart koordinatalar sistemasida kesimi ixtiyoriy murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismni ko‘rib chiqamiz (1-rasm), uning bir uchi (x=0) mahkam qotirilgan, ikkinchi uchida ()x= esa buralish momentining qiymati berilgan va u quyidagi ko‘rinishda: 2 11 , H zx yx y z y z I P ydzdy P ydzdy GG = − +     (1) bunda quyidagi geometrik va mexanik kattaliklar olingan: 1 , 1 , 0,5 , 0,2 ;a m b m m m== 2/10 ;a a m= 2/10 ;b b m= 1 , 2 ,4 ,10 ;m m m m= 5 2 10 ;Eа=   3.0=  . Yon sirtlari esa yuklardan holi. 1-rasm. Kesimi ixtiyoriy murakkab konfiguratsiyali prizmatik jism Murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismning siqilgan buralish masalalari uchun quyidagi buralish burchagining tenglamasidan foydalanamiz: ),()( 4321 rxchcrxshcxcc +++=  (2) bu yerda 22 p d k I I I rI  ++ = (3) bunda ( ) ( ) ( ) ( ) 22 ( , ) ( , ) ; , ; ; p d y x k xx yy x y yx y x G I x y x y d I x y d I x y d G I d dy dx                   + =   = +  = −  = − +  + +       Ixtiyoriy 1 2 3 4 , , ,c c c c doimiylar 0x= va xl= shartlaridan aniqlanadi. Bu holda (2) dagi ixtiyoriy o‘zgarmas miqdorlar (x=0) va ()x= dagi shartlardan aniqlanadi: THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 153 0 : 0,x  == 0, x  =  :x= 2 20, x  =  3 2 1 3, H r xx    − = −  doimiylar esa quyidagi qiymatlarga ega bo‘ladi [7]: 2 1 1 , H I с thr rI =− 2 2 1 , H I cI = 2 3 1 , H I crI =− 2 4 1 , H I c thr rI = (4) bu yerda ( ) 12. p d k I I I I= + + 1 2 3 4 , , ,с c c c qiymatlarini (2) ga qo‘yib, quyidagi ifodaga ega bo‘lamiz [13-14]: ( ) 1 . кр Mrx thr shrx thr chrx rI  = − − + (5) 2-rasm. Ko‘ndalang kesimi ixtiyoriy prizmatik jismning soha geometriyasi ko‘rinishi № 1 masala. Yuqoridagi ma’lumotlarga asosan kesimi ixtiyoriy prizmatik jismlarning soha geometriyasi tenglamalar hamda buralish funksiyasi - φ ni qurish uchun taqribiy-analitik R-funksiyalar va ketma-ket yaqinlashish usullaridan foydalanilad. Bunda φ uchun yechimning tuzilmasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: 10 ;φ Φ -ωDΦ+φ ω (6) bu yerda D1 - differensial operator: ; 1 ФωФω D = + z z y y         ω - soha geometriyasi tenglamalarining umumiy ko‘rinishi; Ф - esa yechimlar strukturasining aniqlanmagan komponеntasi bo‘lib, u odatda quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi: , ni ij i j i=0 j=0 Φ= C Z (z)Y (y)  (7) bu yerda ij C - aniqlash kerak bo‘lgan noma’lum koeffitsientlar; ij Z (z)Y (y) - to‘liq bazis ko‘phadlar tizimi (darajali, trigonometrik, Chebishev va boshqalar). Endi esa 2-rasmdagi soha geometriyasi ifodasini quyidagicha aniqlaymiz: THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 154 1 2 3 4 5 6 ( ) ( ),f f f f f f  =      bu yerda 22 10, 2 az fa − = 22 20, 2 by b f− = 2 2 2 3 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f− − + − − − = 2 2 2 4 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f+ + + − − − = 2 2 2 5 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f− − + + + − = 2 2 2 6 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f+ + + + + − =  - R-konyunksiya. ( ) 20.005 H I= sirt yuklanishi berilgan 2/ H I jismning za= va yb= sirtlariga qo‘llanilganda masala yechiladi. Garchi yechim shakli biroz farq qilsa ham, natijalar to‘liq mos keladi [13]: ( 2 2 1 1. H Ichrx rx rx thr shrx thr chrx rI r chr r chr r   = − − + − + −   (8) (2) ko‘rinishida olingan yechim muvozanat shartini qanoatlantirmaydi: ( ) , x x bur yz zY yZ dzdy M−=  (9) chunki x= kesimida chegara shartlarida quyidagi ko‘rinishdagi qo‘shimcha had paydo bo‘ladi: ( ) 3 3 ( ) ( ) . dk xx I I I xx    +−  (10) bu yerda ( ) . bur yz xz M P x P y d  =  −    Ushbu ifodaning jism bo‘ylab o‘zgarish xususiyati sifat jihatdan kuchlanish komponentasi 11 / 4 10 G   ning o‘zgarishi bilan mos keladi. x0= da ifoda qiymati 2H I ga teng bo‘ladi, (9) va (10) esa birgalikda ko‘rsatilgan jismning muvozanat shartlarini qanoatlantiradi. 3-rasm. To‘rtburchak shakldagi kovakka ega kesimi ixtiyoriy prizmatik jismning soha geometriyasi № 2 masala. Oldingi masalani to‘rtburchak shaklidagi kovakka ega holatda ko‘rib chiqamiz. Bu kovakning o‘lchamlari 1 /a a 10 ;= 1 /b b 10 = sifatida berilgan bo‘lib, uning sirtlari yuklardan holi. Bunda yechimning tuzilmasi sifatida (2) qabul qilinadi hamda berilgan soha geometriyasi ifodasi quyidagicha aniqlanadi (3-rasm): THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 155 1 1,    = bu yerda 1 1 2 3 4 5 6 ( ) ( ),f f f f f f  =     178 ,ff  = 22 10, 2 az fa − = 22 20, 2 by b f− = 2 2 2 3 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f− − + − − − = 2 2 2 4 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f+ + + − − − = 2 2 2 5 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f− − + + + − = 2 2 2 6 ( ) ( ) 0, 2 z c R y d R R R f+ + + + + − = 22 1 7 1 0, 2 az a f−= 22 1 8 1 0, 2 by b f−=  - R-konyunksiya. Ushbu masalada buralish funksiyasi uchun sirt sohasida quyidagi chegaraviy shartlar qo‘shiladi: 1:za= ( ) 0, zy  −= 1:yb= ( ) .0=+ z y  (11) Soha geometriyasi tenglamalari tuzilganidan so‘ng, ularning aniqligi va samaradorligini baholash maqsadida hisoblash natijalari tahlil qilindi (1-3-jadval). THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 156 Normal kuchlanish 11 / 4 10 G   1-jadval Kesimi ixtiyoriy murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismlar Jism o‘lchamlari (sm) (x,y,z) bo‘yicha koordinatalar 1;1;1 0,5;1;0 a2=0.1; b2=0.1 a1=0.1; b1=0.1 -8.071652 -8.025665 1;0.5;1 0.5;0.5;0 a2=0.1; b2=0.05 a1=0.1; b1=0.05 -16.904824 -16.857553 1;0.2;1 0.5;0.2;0 a2=0.1; b2=0.02 a1=0.1; b1=0.02 -70.017351 -69.950417 1;1;4 0.5;1;0 a2=0.1; b2=0.1 a1=0.1; b1=0.1 -8.071672 -8.025696 1;0.5;4 0.5;0.5;0 a2=0.1; b2=0.05 a1=0.1; b1=0.05 -16.993551 -16.935135 1;0.2;4 0.5;0.2;0 a2=0.1; b2=0.02 a1=0.1; b1=0.02 -72.947062 -72.769494 1;1;10 0.5;1;0 a2=0.1; b2=0.1 a1=0.1; b1=0.1 -8.071672 -7.995696 1;0.5;10 0.5;0.5;0 a2=0.1; b2=0.05 a1=0.1; b1=0.05 -16.993551 -16.935135 1;0.2;10 0.5;0.2;0 a2=0.1; b2=0.02 a1=0.1; b1=0.02 -72.947062 -72.769494 THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 157 Urinma kuchlanish 12 / 4 10 G   2-jadval Kesimi ixtiyoriy murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismlar Jism o‘lchamlari (sm) (x,y,z) bo‘yicha koordinatalar 1;1;1 0,5;0.5;1 a2=0.1; b2=0.1 a1=0.1; b1=0.1 0.717971 0.708899 1;0.5;1 0.5;0.25;1 a2=0.1; b2=0.05 a1=0.1; b1=0.05 0.774021 0.924789 1;0.2;1 0.5;0.1;1 a2=0.1; b2=0.02 a1=0.1; b1=0.02 2.262498 2.017939 1;1;4 0.5;0.5;4 a2=0.1; b2=0.1 a1=0.1; b1=0.1 0.719817 0.710741 1;0.5;4 0.5;0.25;4 a2=0.1; b2=0.05 a1=0.1; b1=0.05 1.067916 0.954585 1;0.2;4 0.5;0.1;4 a2=0.1; b2=0.02 a1=0.1; b1=0.02 1.997491 1.936234 1;1;10 0.5;0.5;10 a2=0.1; b2=0.1 a1=0.1; b1=0.1 0.719817 0.710741 1;0.5;10 0.5;0.25;10 a2=0.1; b2=0.05 a1=0.1; b1=0.05 1.068061 0.954383 1;0.2;10 0.5;0.1;10 a2=0.1; b2=0.02 a1=0.1; b1=0.02 1.997771 1.936034 THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 158 Urinma kuchlanish 13 / 4 10 G   3-jadval Kesimi ixtiyoriy murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismlar Jism o‘lchamlari (sm) (x,y,z) bo‘yicha koordinatalar 1;1;1 0,5;0.5;1 a2=0.1; b2=0.1 a1=0.1; b1=0.1 -0.732656 -0.718447 1;0.5;1 0.5;0.25;1 a2=0.1; b2=0.05 a1=0.1; b1=0.05 -3.365771 -3.361441 1;0.2;1 0.5;0.1;1 a2=0.1; b2=0.02 a1=0.1; b1=0.02 -15.544841 -15.492439 1;1;4 0.5;0.5;4 a2=0.1; b2=0.1 a1=0.1; b1=0.1 -0.734528 -0.720307 1;0.5;4 0.5;0.25;4 a2=0.1; b2=0.05 a1=0.1; b1=0.05 -4.077675 -4.063732 1;0.2;4 0.5;0.1;4 a2=0.1; b2=0.02 a1=0.1; b1=0.02 -23.077681 -23.049898 1;1;10 0.5;0.5;10 a2=0.1; b2=0.1 a1=0.1; b1=0.1 -0.734528 -0.720307 1;0.5;10 0.5;0.25;10 a2=0.1; b2=0.05 a1=0.1; b1=0.05 -4.128028 -4.064232 1;0.2;10 0.5;0.1;10 a2=0.1; b2=0.02 a1=0.1; b1=0.02 -23.077684 -23.049899 THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 159 Shu asosda, normal va urinma kuchlanishlarning olingan qiymatlari o‘zaro solishtirildi hamda ular 1-3-jadvallarda keltirildi. 1-jadvalda normal kuchlanish 11 / 4 10 G   va 2-3-jadvallarda 12 13 / , / 44 10 G 10 G   urinma kuchlanishlarning qiymatlari kesim o‘lchamlari va prizmatik jism uzunligiga bog‘liq ravishda o‘zgarishi ko‘rsatilgan. 1-jadvalda keltirilgan natijalardan ko‘rinib turibdiki, 11 / 4 10 G   eng katta qiymatiga prizmatik jismning yaxlit kesimida ega bo‘ladi va jismning o‘lchamlari kichrayishiga bog‘liq emas. 11 / 4 10 G   ning eng kichik qiymati to‘g‘ri to‘rtburchak kovakli (a1=a/10; b1=b/10) kesimda kuzatiladi. Xulosa Yuqorida keltirilgan tadqiqot natijalari shuni ko‘rsatadiki, R-funksiyalar nazariyasiga asoslangan yondashuv murakkab konfiguratsiyali prizmatik jismlarning soha geometriyasi tenglamalarini qurishda yuqori aniqlik va universallikni ta’minlaydi. Ushbu usul orqali chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi analitik ifodalarni olish, ularni invariant xossalarga ega shaklda taqdim etish hamda raqamli modellashtirish tizimlariga samarali integratsiyalash imkoniyati yaratildi. Natijada, konstruksiyalarning kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatini yanada aniq modellashtirish va tahlil qilish uchun ishonchli matematik asos shakllantirildi. Olingan natijalar asosida aytish mumkinki, R-funksiyalar nazariyasi nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy muhandislik tahlillarida ham yuqori samaradorlik ko‘rsatmoqda. Kelgusida ushbu yondashuvni turli murakkab jismlar, ayniqsa, noan’anaviy chegaraviy shartlarga ega konstruksiyalar uchun qo‘llash, algoritmlarni yanada takomillashtirish va ularni avtomatlashtirilgan modellashtirish tizimlariga joriy etish istiqbolli yo‘nalishlardan biri hisoblanadi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI 1. R. Feil, T. Pflumm, P. Bortolotti, M. Morandini. A cross-sectional aeroelastic analysis and structural optimization tool for slender composite structures // Composite Structures. Vol. 253, 2020. ISSN 0263-8223. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2020.112755. 2. U.K. Chakravarty. On the modeling of composite beam cross-sections // Composites Part B: Engineering. Vol. 42, Issue 4, 2011. P. 982-991. ISSN 1359-8368. https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2010.10.012. 3. В.Ф. Кравченко, О.В. Кравченко. Конструктивные методы алгебры логики, атомарных функций, вейвлетов, фракталов в задачах физики и техники // Москва: Техносфера, 2018, - 696 с. 4. L.C. Kourtis, H. Kesari, D.R. Carter, G.S. Beaupre. Transverse and torsional shear stresses in prismatic bodies having inhomogeneous material properties using a new 2D stress function // Journal of Mechanics and Structures, Vol. 4, №4, 2009. P. 659-674. 5. В.К. Кабулов, Ш.А. Анарова. Кесими тўғри тўртбурчак, коваклари ихтиёрий бўлган эластик призматик жисмларнинг кучланганлик-деформацияланганлик ҳолатини сиқилган буралиш масалаларида ўрганиш // Ўзбекистон Республикаси Фанлар Академиясининг маърузалари журнали. – 2002. – 6-сон. -25-27 б. 6. R.I. Mas, P.Torres, J.Carlos, A. Reales, J. Ramon. Prismatic Structural Members: CrossSection Normal to Axis // Engineering Structures, Vol. 16, №3, 2017. P. 507-517.