Dyckho , Ha ald
A icle
Cha ak e isie ung de P oduk ionsmöglichkei eng enze
im Meh sek o enmodell
Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) - Vie eljah essch i de
Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü Socialpoli ik
P o ided in Coope a ion wi h:
Duncke & Humblo , Be lin
Sugges ed Ci a ion: Dyckho , Ha ald (1982) : Cha ak e isie ung de P oduk ionsmöglichkei eng enze
im Meh sek o enmodell, Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) -
Vie eljah essch i de Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü
Socialpoli ik, ISSN 0342-1783, Duncke & Humblo , Be lin, Vol. 102, Iss. 2, pp. 155-172,
h ps://doi.o g/10.3790/schm.102.2.155
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Cha ak e isie ung de P oduk ionsmöglichkei eng enze
im Meh sek o enmodell
Von Ha ald Dyckho *
P oduk ionsmöglichkei eng enze und T ans o ma ionsku e we den hie
als zwei, im allgemeinen e schiedene P oduk mengen beg i en, welche
sich mi els Op imie ungsp obleme besch eiben lassen. Un e such wi d, wie
sich diese beiden Mengen im Meh sek o enmodell ohne Zwischen- ode
Kuppelp oduk e g undsä zlich cha ak e isie en lassen. Dabei wi d die F age-
s ellung au sek o ale P oduk ions unk ionen ausgedehn , die nich konka
sind und a iable Skalene äge au weisen.
Übliche weise we den die Beg i e „P oduk ionsmöglichkei eng enze"
und „T ans o ma ionsku e" synonym benu z , wobei — zumindes in
de neoklassischen Theo ie — achsenpa allele Rands ücke de P oduk-
ionsmenge kaum be ach e we den. Ohne wei e e Annahmen können
solche Rands ücke jedoch auch im Meh sek o enmodell eine Wi scha
nich on o nhe ein ausgeschlossen we den. Um sie mi e assen zu
können, wi d hie de Beg i „P oduk ionsmöglichkei eng enze" all-
gemeine de inie .
Ziel de o liegenden A bei is eine g undsä zliche Cha ak e isie-
ung de so de e minie en Teile de P oduk ionsmenge ü das Meh -
sek o enmodell ohne Zwischen- ode Kuppelp oduk e. Dabei we den
gewisse Annahmen übe die Eigenscha en de sek o alen P oduk ions-
unk ionen gemach . Es wi d sich zeigen, daß diese Annahmen auch
nich kon exe P oduk ionsmengen zulassen. Selbs bei kon exe P o-
duk ionsmenge b auchen die P oduk ions unk ionen nich konka zu
sein und können s eigende Skalene äge au weisen ( gl. He be g (1973)
bezüglich hin eichende K i e ien ü die Kon exi ä de P oduk ions-
menge).
1. P oduk ionsg enze und T ans o ma ionsku e
Eine P oduk ionsko espondenz (bezüglich eine Inpu menge) is eine
Abbildung die eine gegebenen Fak o kombina ion V die P oduk-
iions(möglichkei en)menge 0 (V), d. h. die Menge de mi V p oduzie -
ba en P oduk kombina ion X zuo dne 1. Bei n P oduk en de Endnach-
* De Au o schulde den He en L. Al e ibu g, P o . D . G. Gabisch, D .
J. Ma iensen und E. Wallenwein Dank ü uch ba e An egungen in k i i-
sche Diskussion.
i Shepa d (1970), 179.
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age und m p imä en Fak o en sind die Gü e bündel des Ou pu
X = (xi, ..xn) und des Inpu V = (ui, ..., m) als Elemen des jewei-
ligen nich nega i en O han en R^ (P oduk aum) bzw. Rj (Fak o -
aum) des en sp echend dimensionalen, eellen Zahlen aumes Rn bzw.
Km zu e s ehen2. Wi un e s ellen hie , daß die P oduk ionsmenge
kompak und nich lee , sowie zusammenhängend und dich is 3; die
beiden le z en Eigenscha en sind bei kon exe P oduk ionsmenge ode
im spä e behandel en Meh sek o enmodell s e s gegeben.
Un e de P oduk ionsmöglichkei eng enze ode ku z P oduk ions-
g enze (V) e s ehen wi den Teil des Randes de P oduk ions-
menge 0 (V), de nich au den Koo dina enachsen (ode exak e Koo -
dina enhype ebenen) als i iale G enze lieg ; das sind die Rand-
punk e in R^und auße dem noch de en Be üh ungspunk e mi eine
Koo dina enachse. P oduk bündel au de P oduk ionsg enze kann man
demnach als solche bezeichnen, die „äuße s en alls möglich"4 sind, hie
in dem Sinn, daß on einigen P oduk en (lokal) nich meh ode wenige
p oduzie we den kann, ohne den Auss oß ande e Gü e zu beein-
äch igen.
Die T ans o ma ionsku e (ode de e izien e Rand) 6 (V) is die
Menge alle e izien en, he s ellba en P oduk kombina ionen. Eine
P oduk kombina ion heiß e izien , wenn keine ande e he ges ell
we den kann, ü die de Auss oß keines P oduk es ge inge und min-
des ens eines g öße wä e, wenn also ü jedes P oduk eine Ve meh-
ung höchs ens au Kos en eine Ve inge ung ande e P oduk e mög-
lich is , d. h. wenn Mengeneinhei en ande e P oduk e in das ge-
wünsch e „ ans o mie " we den müß en.
Bei nu zwei P oduk en lassen sich die so de inie en Mengen wie in
Abbildung 1 e anschaulichen. Die T ans o ma ionsku e is die Menge
alle jene P oduk bündel, on denen aus „no dös lich" kein wei e es
he s ellba es Bündel exis ie ; in Abbildung 1 und den olgenden
Schaubilde n sind diese Punk e e eingezeichne . Die T ans o ma-
ionsku e is also im allgemeinen eine ech e Teilmenge de P oduk-
ionsg enze. Es is abe o ensich lich, daß die beiden Mengen übe ein-
s immen, wenn man sich die in de neoklassischen Li e a u gängigen
2 Skala e und skala we ige Abbildungen we den du ch kleine, Vek o en
und ek o we ige Abbildungen du ch g oße Buchs aben symbolisie . Vek-
o en sind hie als Zeilen ek o en zu e s ehen. Mi „'" bezeichnen wi die
T ansponie ung eines Vek o s zum Spal en ek o und mi „•" das inne e
Vek o p oduk . Es sei O* de Nullpunk (U sp ung) und R> de posi i e
O han on R^. Wei e gel e:
X ^ O o X G Rg ; X > 0"<=> X G R| , X + O« ; X > O» <> X G R£ .
3 Vgl. He n und Opi z (1972),
2
.
4 Woll (1976), 33.
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P oduk ionsmöglichkei eng enze im Meh sek o enmodell 157
Schaubilde o Augen häl ( gl. auch Abbildungen 2 d und 3 a). De
hie benu z e Beg i de P oduk ions(möglichkei en)g enze ( ü es
gegebenen Inpu ) s ell demnach eine Ve allgemeine ung des üblichen
Beg i es da .
Das in Abbildung 1 du ch die e en und ges ichel en Linien sowie
du ch die Koo dina enachsen beg enz e Gebie wi d als Au üllung5 de
P oduk ionsmenge bezeichne : Das sind alle die Punk e X ^ On, ü die
ein e izien e Punk exis ie mi X Y.
Punk e au de P oduk ionsg enze, wie z. B. (yu 7/2), die gleichzei ig
au dem Rand de Au üllung liegen (mi Ausnahme einige wenige
Schni punk e ges ichel e Linien) besi zen eine schwache E izienz-
eigenscha : Bei mindes ens einem P oduk is eine Ve meh ung nich
meh möglich, zumindes nich ohne den Auss oß ande e P oduk e zu
senken. Manche Au o en6 o de n, daß die P oduk ionsmenge iden isch
mi ih e Au üllung is , d. h. Gü e e schwendung is e laub In die-
sem Fall s imm die P oduk ionsg enze mi de T ans o ma ionsku e
bis au solche Rands ücke übe ein, die pa allel zu eine Koo dina en-
achse sind, und nahezu jedes P oduk bündel au de P oduk ionsg enze
is schwach e izien , wenn nich soga e izien (Abbildungen 2 und 3).
5 Fandel (1972), 52.
e Z. B. Henn und Opi z (1972), 2.
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158 Ha ald Dyckho
2. Cha ak e isie ung du ch Op imie ungsp obleme
Die T ans o ma ionsku e 0 (V) en sp ich de „ olls ändigen Lö-
sung"7 des olgenden Vek o maximump oblems (VMP).
(VMP) „Maximie e" X bezüglich X e # (V) .
Eine P oduk kombina ion Y e 0 (V) is de ini ionsgemäß genau dann
e izien , wenn sie ü jedes P oduk (mi dem Index) i, i = 1, ..n,
olgendes gewöhnliche Maximie ungsp oblem (YMPi) lös :
(YMPi) Maximie e x{ bezüglich X e # (V) und X ^ Y .
7 Die olls ändige Lösung eines Vek o maximump oblems is die Menge
alle Lösungen, d. h. alle „ unk ional-e izien en" (hie : e izien en) Punk e
( gl. Fandel, (1972), 15).
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P oduk ionsmöglichkei eng enze im Meh sek o enmodell 159
Es eich nich aus, daß Y nu ü ein ode meh e e P oduk e i eine
Lösung on (YMPi) is . Zum Beispiel lös das Gü e bündel (2/1, 2/2) in
Abbildung 1 das zugehö ige P oblem (YMP 2), is jedoch nich e izien ;
da ü is (y± 2/2) ein schwach e izien e Punk de P oduk ionsg enze
(V). De ini ionsgemäß gil : Y is schwach e izien , wenn ein P oduk i
exis ie , ü das Y eine Lösung on {YMPi) is , d. h. abe auch genau
dann, wenn ein Vek o P = (pi, ..., pn) > On nich nega i e Zahlen
exis ie , on denen mindes ens eine posi i is , so daß Y eine Lösung
des olgenden P oblems (YMP) is :
(YMP) Maximie e P
•
X' bezüglich X E # (V) und X ^ Y .
Die Zahlen pi s ellen Gewich ungen de P oduk e da und lassen sich
als ( es o gegebene) P eise in e p e ie en; de Ziel unk ionswe kann
somi als P oduk ionswe (Sozialp oduk , Umsa z, usw.) au ge aß
we den. Falls Y eine Lösung on (YMP) mi P > On is , so is Y soga
e izien .
Die P obleme (YMPi) und (YMP) sind nich kons uk i , da sie das
gesuch e Gü e bündel Y explizi e wenden. Dies gil nich ü (ZMP):
(ZMP) Maximie e P • X' bezüglich X e £ (V) und X ¡> Z .
Dabei sei Z Y; in Ex em ällen Z = On ode Z = Y. Is Y eine Lö-
sung on (ZMP), so auch des en sp echenden P oblems (YMP), und Y
is ein schwach e izien e Punk de P oduk ionsg enze, alls P > On,
und lieg au de T ans o ma ionsku e, alls P > On. Le z es bedeu e :
P oduk ionswe maximie ung bei (beliebig, abe es gegebenen) po-
si i en Gü e p eisen üh zu e izien e P oduk ion.
Die du ch K eise in Abbildung 1 angedeu e en Punk e (z/i, 1/2) und
Wu 2/2) zeigen, daß die Umkeh ung diese Aussagen nich ohne wei e es
zu i 8. Falls jedoch de du ch X e 0 (V), X j> Z de inie e Teil
0 (V, Z) de P oduk ionsmenge kon ex is , so exis ie zu jedem P o-
duk ek o Y au de P oduk ionsg enze mi Y ^ Z ein Vek o P e R7*,
P
=)=
On, eelle Gewich e, die auch nega i sein können, so daß Y eine
Lösung on (ZMP) is ; is Y schwach e izien ode e izien , so exis ie
(auch) ein nich nega i e Gewich s ek o P > On ö. Bei kon exe P o-
8 Sca (1981) behandel den Fall nich kon exe P oduk ionsmengen
au g und nich beliebig eilba e Gü e mengen.
9 Diese Cha ak e isie ungen insbesonde e e izien e P oduk ek o en
sind aus de Ak i i ä sanalyse bekann (Hildenb and (1966); gl. K eile
(1969), 167, ode Takayama (1974), 52), welche au Koopmans (1951) zu ück-
geh . Dieselben Aussagen lassen sich auch unmi elba aus einem Haup sa z
de Vek o maximum heo ie gewinnen. De Beweis dieses Sa zes kann
nahezu un e ände übe nommen we den, um auch die Aussagen hinsich -
lich de nich e izien en Punk e au de P oduk ionsg enze zu zeigen;
gl. z. B. den Beweis bei Fandel (1972), 51 .
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duk ionsmenge 0 (V) kann man sich demnach zu Cha ak e isie ung
de P oduk ionsg enze au das P oblem (ZMP) mi Z = On besch än-
ken10.
3. Meh sek o enmodell
Im Meh sek o enmodell mi Al e na i p oduk ion ohne Zwischen-
p oduk e wi d jedes P oduk in nu einem „Sek o " i he ges ell , und
zwa in de Höhe X(. De gesam e Auss oß is X = (xi, ..xn). Die e -
ügba e Fak o auss a ung V = (ui, ..., m) > Om is ollkommen un-
elas isch. Da on zu un e scheiden is de a sächliche Einsa z Vi = (
..., *n) des Sek o s z. In Abhängigkei on diesem Fak o einsa z gib
die sek o ale P oduk ions unk ion i den maximal p oduzie ba en Aus-
s oß des P oduk es i an. Die P oduk ionsmenge is dami bes imm
du ch
£ (V) = {X ^ On
|
Xi < i (Vi), Vi ^ Om (i = 1, ..., n);
J%ml
V* ^ V} .
Wi nennen eine Fak o au eilung V1, ..Vn au die Sek o en zu-
lässig, wenn sie nich nega i is und die e ügba e Fak o auss a ung
nich übe belas e (V* ;> Om, 2 =i V* ^ V); wi nennen sie zu X e 0 (V)
gehö ig, wenn sie zulässig is und gil : Xi i (V*) ü alle i. Im olgen-
den sei s e s o ausgese z , daß die Funk ionen i nich nega i und nach
oben halbs e ig au dem Fak o aum R> sind. Dann is die P oduk-
ionsmenge abgeschlossen und besch änk , d. h. kompak 11. Sie is
auße dem nich lee , da On e $ (V). Gü e e schwendung is e laub ,
so daß die P oduk ionsmenge iden isch mi ih e Au üllung und dami
auch zusammenhängend und dich is . Die P oduk ionsg enze s imm
mi de T ans o ma ionsku e übe ein, bis au Teile des P oduk ions-
andes, die pa allel zu eine Koo dina enachse e lau en (Abbildungen
2 und 3).
O ensich lich implizie e izien e P oduk ion ü jeden Sek o
echnische E ek i i ä , d. h. es gil Xi = i (V*) ü alle i; bei P oduk ion
au de P oduk ionsg enze b auch dies im allgemeinen nu ü einen
10 Geo ion (1968) ha den Beg i de „eigen lichen E izienz" einge-
üh . Ohne hie nähe da au einzugehen, sei es gehal en, daß ein P o-
duk bündel bei kon exe Menge # (V, Z) genau dann eigen lich e izien is ,
wenn es das P oblem (ZMP) ü einen posi i en P eis ek o P > On lös .
„Uneigen lich e izien e" P oduk bündel weisen also ü mindes ens 2 P o-
duk e eine T ans o ma ions a e on Null ode Unendlich au ; sie können
als G enzwe eine Folge eigen lich e izien e P oduk bündel cha ak e i-
sie we den, ü die ein ode meh e e P eise gegen Null kon e gie en,
so. daß man sich im wesen lichen mi de Cha ak e isie ung eigen lich
e izien e P oduk bündel begnügen kann. (Den Hinweis au den A ikel
on Geo ion (1968) e danke ich He n P o . D . G. Fande )
« Vgl. Shepa d (1970), 295 . ode He be g (1973).
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P oduk ionsmöglichkei eng enze im Meh sek o enmodell 161
Sek o zu gel en. Sind die sek o alen P oduk ions unk ionen s eng mo-
no on wachsend, gil also /< (V*) > /¿ (W¿) ü V¿ > W so sind bei e i-
zien e P oduk ion auße dem die Fak o en ausgelas e , d.h. 2 =i V* = V.
(Dies b auch ü klassische P oduk ions unk ionen mi nega i en
G enze ägen nich zuzu e en; gl. Abb. 3 d.)
Die genann en Bedingungen sind (un e diesen Ums änden) zwa
no wendig, abe nich hin eichend, um e izien e P oduk ion zu cha-
ak e isie en, wie das olgende ein ache Beispiel mi 2 P oduk en,
2 Fak o en, den linea en Funk ionen /i = 2 + z, k = i + 2 und
de Fak o auss a ung V = (1,1) zeig : Die Fak o au eilung V1 = (0,1),
V2 = (1,0) mi dem zugehö igen maximalen P oduk ek o X = (1,1)
is echnisch e ek i und las e die Fak o en aus; sie wi d abe ab-
solu on de Au eilung W1 = (1,0), W2 = (0,1) mi dem Auss oß
Y = (2,2) dominie . Auch bei Auslas ung de Fak o en muß echnisch
e ek i e P oduk ion somi — au g und alsche Alloka ion de Res-
sou cen — nich zu e izien e P oduk ion üh en und kann soga ,
wie das Beispiel zeig , im Inne n de P oduk ionsmenge liegen.
Im Meh sek o enmodell handel es sich bei (ZMP) um ein P oblem
de ma hema ischen P og ammie ung. Das spezielle P oblem (YMP),
d. h. Z = Y, zu be ach en, is wenig sinn oll, da de Lösungsbe eich
dieses P oblems en a e is und ü P>On aus nu einem Punk be-
s eh , so daß man keine In o ma ion hinsich lich des Ve häl nisses zu
benachba en P oduk kombina ionen gewinnen kann.
Fü konka e sek o ale P oduk ions unk ionen is die P oduk ions-
menge kon ex, und die P oduk ionsg enze is konka zum U sp ung12.
(ZMP) is dann ein kon exes P og ammie ungsp oblem, dessen Lösun-
gen sich du ch ein en sp echendes Sa elpunk p oblem und bei Di e-
enzie ba kei auch du ch ein lokales Kuhn-Tucke -P oblem hin ei-
chend und bei Vo liegen de Regula i ä s o ausse zungen auch no wen-
dig cha ak e isie en lassen13. Eine explizi e Be echnung de P oduk-
ionsg enze is nu in ein achen Fällen und dann im allgemeinen auch
nu app oxima i möglich. Speziell ü linea e sek o ale P oduk ions-
unk ionen exis ie en Algo i hmen de pa ame ischen linea en P o-
g ammie ung, alle dings (noch) ziemlich au wendige, mi denen die
T ans o ma ionsku e in de Ges al on Face en des nun kon exen
Polyede s 0 (V) bes imm we den kann14.
Dami die P oduk ionsmenge 0 (V) ode ih e Teilmenge 0 (V, Z): =
= {X | X e 0 (V), X Z} kon ex is , b auchen die sek o alen P oduk-
ions unk ionen nich konka zu sein. Hin eichend is es, wenn die
12 Vgl. He be g (1973) und Abb. 2 b.
13 Vgl. He be g (1973) und Abb. 2 b.
14 Gal (1977).
11 Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en 1982/2
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162 Ha ald Dyckho
Res ik ions unk ionen des nich linea en P og ammie ungsp oblems
(ZMP) quasikonka sind, und das auch nu im Be eich de zu he s ell-
ba en P oduk bündeln gehö igen Fak o au eilungen. Denn Quasikon-
ka i ä eine Funk ion g (17) is äqui alen zu Kon exi ä de Ni eau-
mengen
{LT
| g (U) a}, «GR15. Es s ell sich also die F age, un e
welchen Bedingungen die Res ik ionen gi (X, V1, ..., Vn): = i (V*)
—
Xi
quasikonka in gewissen Be eichen on R^+nm sind. Da die Summe
zweie quasikonka e Funk ionen im allgemeinen selbs nich quasi-
konka is 16, is es wede hin eichend noch no wendig zu o de n, daß
die be e ende sek o ale P oduk ions unk ion quasikonka is . Mi
ein paa Um o mungssch i en läß sich olgendes K i e ium beweisen:
Lemma 1.
No wendig und hin eichend da ü , daß die Teilmenge $ (V, Z) =
= {X e 0 (V) | X Z} de P oduk ionsmenge im Meh sek o enmodell
kon ex is , is olgende Bedingung: Fü alle
X, [x
0 mi
X
+
x
= 1 und
alle P oduk bündel XJG0 (V, Z) mi den zu X bzw. Y gehö igen Fak-
o au eilungen V1, ..., Vn bzw. W1, ..., Wn exis ie eine zu
X
X + p Y
gehö ige Fak o au eilung U1, ..., Un, so daß ü alle Sek o en i gil :
i im + p i (wo i (i/o.
Im Falle konka e Funk ionen is diese Bedingung s e s dadu ch zu
e üllen, daß man U*: =
X V*
+ ¡i Wl se z . Dabei b auchen /i, ... n nu
ü diejenigen Fak o einsä ze V1, ..., Vn konka zu sein, die zu den P o-
duk bündeln X e 0 (V, Z) gehö en. Dies zeig das Beispiel eines Zwei-
sek o enmodells mi nu einem Fak o und iden ischen sek o alen P o-
duk ions unk ionen ( ) = (2 17/(1 + 2))* om „ e allgemeine en Sa o-
Typ"17 mi
oc
= 5. Fü a> 1 is diese P oduk ions unk ion klassisch
mi einem Maximum bei = 1 und Wendepunk en ü
<x
= 5 bei
17
= ]/l/3 « 0,58 und = ]/2 . Je nach de e ügba en Fak o auss a -
ung be echne man ü die P oduk ionsg enze eine un e schiedliche
Ges al : Eine zum U sp ung kon exe Ku e e häl man ü V 1
(Abb. 3 a), eine zum U sp ung konka e ü V ^ 1,2 (Abb. 3 c); ü V 2
(Abb. 3 d) en sp ich die P oduk ionsg enze dem no dös lichen Rand
eines Quad a es mi dem einzigen e izien en P oduk bündel (yi, =
= (1,1); im Be eich on V«l,15 (Abb. 3 b) en häl die P oduk ions-
g enze sowohl zum U sp ung konka e wie auch kon exe Teile. Se z
man Z = (zi, 22) mi z = 0,49, so muß in beiden Sek o en meh als
* = 0,58 om Fak o eingese z we den, so daß wegen de Konka i ä
15 Mangasa ian (1969), 133. Eine Funk ion g = g
(U)
is quasikonka in V
bezüglich eine Menge wenn ü jedes ü" e ä und alle 0 mi
X
+ n = 1 gil : g(XU + uV)^ min {g (U), g (V)}.
16 Mangasa ian (1969), 147.
17 He be g (1967).
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P oduk ionsmöglichkei eng enze im Meh sek o enmodell 169
sä zlich zu den Vo ausse zungen on Ko olla 1 gel e, daß die Funk-
ionen i jeweils in Wi di e enzie ba mi o (W*) > Om sind. Dann sind
alle Gü e p eise posi i , die Fak o en sind ausgelas e , die P oduk ion
alle Sek o en is echnisch e ek i , und die G enzp oduk i i ä sbedin-
gungen (2) gel en mi Gleichhei .
Ko olla 2 olg aus Theo em 3 und olgenden Übe legungen: Wegen
yji>Om olg die Gleichhei in (2); also Tl>On da mindes ens ein
Fak o p eis posi i is ; dann gil abe auch Q = Q > O* au g und de
posi i en G enze äge.
Die Vo ausse zung
W*
> Om is s e s e üll , alls jede Fak o j
wesen lich (un e zich ba ) in de P oduk ion is { i (W*) = 0 ü w) = 0)
ode alls die G enze äge bei e schwindendem Einsa z de Fak o en
unendlich g oß we den (3 i (W¿)/3 w*. oo ü w -» 0). Mindes ens eine
diese Eigenscha en is bei den CES-Funk ionen imme gegeben.
Un e den Annahmen on Ko olla 2 wi d de Zusammenhang zwi-
schen einem P oduk bündel Y au de T ans o ma ionsku e und eine
e izien en Fak o auss a ung W implizi du ch ein Sys em aus n + m +
+ 77271 Gleichungen und 2n + 2m + mn posi i en Va iablen Y, W, W1,
..., Wn, II, Q besch ieben. Da die P eise hinsich lich de Mul iplika ion
mi eine posi i en Zahl unbes imm sind, kann man du ch No mie ung
de P eise einen F eihei sg ad eliminie en, so daß n + m
—
1 F eihei s-
g ade e bleiben. Die so de inie e P oduk ionsko espondenz o dne
eine Fak o auss a ung W die (n
—
l)-dimensionale T ans o ma ions-
ku e
&
(W) bzw. einem P oduk bündel Y die (m
—
l)-dimensionale
Menge e izien e Fak o auss a ungen W aus ¥ (Y) zu, on En a ungs-
ällen einmal abgesehen. Im e s en Fall handel es sich um ein „Ou -
pu -", im zwei en um eine „Inpu ko espondenz", die das e izien e
Angebo an P oduk en bzw. die e izien e Nach age nach Fak o en
cha ak e isie en. Bei gegebene Fak o auss a ung W und gegebenem
P oduk p eissys em 77 we den du ch das Gleichungssys em die zu die-
sen P eisen e izien en P oduk bündel bes imm . Diese b auchen nich
eindeu ig zu sein; nich zu jedem P eissys em exis ie en e izien e
P oduk kombina ionen, bei s eng konka zum U sp ung e lau ende
T ans o ma ionsku e höchs ens eine. Sind die sek o alen P oduk ions-
unk ionen i zweimal s e ig di e enzie ba in eine Umgebung des
jeweiligen Einsa zes W so ha die T ans o ma ionsku e in eine Um-
gebung on Y eine gla e Ges al (6 (W) is „ ich ungsdich " in Y).
Eckige Ku en e läu e ( gl. Abb. 2 b) können demnach bei sek o alen
P oduk ions unk ionen om CES-Typ nich o kommen, im Un e -
schied e wa zu dem G enz all linea e Funk ionen.
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170 Ha ald Dyckho
Ko olla 3.
Die P oduk ions unk ion des Sek o s k sei posi i au R™ und homo-
gen om G ad e < 1. Es exis ie e ein P oduk bündel Z ^ On mi z/c — 0,
so daß die Funk ionen /¿ ü die zu # (V, Z) gehö enden Fak o au ei-
lungen konka sind, insbesonde e also # (V, Z) kon ex und die P o-
duk ionsg enze in de Nähe de du ch Ek = {X e Rn
|
Xk = 0} de inie -
en Koo dina enachse konka zum U sp ung is . Dann schneide die
P oduk ionsg enze die Koo dina enachse Ek o hogonal35.
Ko olla 3 olg mi Theo em 2 in Ve bindung mi dem Sa elpunk -
p oblem (ZSP) und dem Gewinnmaximie ungsp oblem (1) aus de be-
kann en Ta sache, daß ü eine homogene P oduk ions unk ion mi ab-
nehmenden Skalene ägen bei einem posi i en P oduk p eis s e s ein
maximale Gewinn gu (WÄ) > nk k (Om) zu e zielen is , d. h. daß Sek-
o k p oduzie : yk > k (Om). Fü 0 yk ^ k (Pm) muß somi de P eis
des P oduk s k den We Null haben, weshalb de P eis ek o ZZ pa -
allel zu Ek is .
Hesse und Linde36 haben dieses Resul a ü den speziellen Fall
zweie Sek o en (und zweie Fak o en) mi homogenen P oduk ions-
unk ionen und übe eins immenden Fak o in ensi ä en bewiesen. Sie
haben auße dem gezeig , daß ü s > 1 die T ans o ma ionsku e pa -
allel zu Ek is . (Abbildung 2 d e anschaulich einen Fall, wo Sek o 1
s eigende und Sek o 2 allende Skalene äge au weis .) Ohne Beweis
sei hie beme k , daß diese Aussage ü e > 1 mi Theo em 3 in ähn-
liche Weise wie bei Ko olla 3 ü s < 1 e allgemeine we den kann,
wobei jedoch die Annahmen on Ko olla 2 gemach we den und zu-
sä zlich e lang wi d, daß die P oduk ions unk ionen s e ig di e en-
zie ba sind, sowie bei einem e schwindenden Auss oß in Sek o k
(Vk = k (W*) 0) die Fak o in ensi ä en nahezu kons an sind (d. h.
Wk!X -> Wk mi
X9 Vk
= y
k
Wk, yk kons an ).
Zusammen assung
Im Meh sek o enmodell eine Wi scha (ohne Zwischen- und Kuppel-
p oduk e) lassen sich die schwach e izien en und die e izien en P oduk -
bündel au de „P oduk ionsg enze" bzw. T ans o ma ionsku e mi Hil e
de Theo ie de nich linea en P og ammie ung du ch Sa elpunk p obleme
und lokale Kuhn/Tucke P obleme cha ak e isie en, o ausgese z gewisse
Kon exi ä sbedingungen sind e üll : (a) die P oduk ionsg enze e läu
35 Eine Konsequenz on Ko olla 3 is , daß eine Außenhandel eibende
Wi scha , de en Sek o en homogene P oduk ions unk ionen mi abneh-
menden Skalene ägen au weisen, sich s e s „ olls ändig di e si izie "
(Chipman (1966)). Vgl. hie zu auch Panaga iya (1981).
«6 Hesse und Linde (1976), 69 .
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P oduk ionsmöglichkei eng enze im Meh sek o enmodell 171
lokal konka zum U sp ung (Theo eme
1
und 2), ode (b) die sek o alen
P oduk ions unk ionen sind quasikonka und die Fak o en e bunden
(Theo em 3). In beiden Fällen, jedoch bei (a) nu beg enz , sind s eigende
Skalene äge zugelassen.
Summa y
Fo he case o se e al inal (no join )-p oduc s which can be p oduced
wi h a gi en bundle o p ima y ac o s (wi hou in e media e goods) non-
linea p og amming heo y is used o cha ac e ize he weakly e icien and
he e icien bundles o p oduc s on he "p oduc ion on ie " and on he
ans o ma ion cu e, espec i ely. Ei he one o he ollowing con exi y
assump ions is supposed: (a) he cha ac e ized bundles o p oduc s lie on
hose pa s o he p oduc ion on ie which a e locally conca e o he
o igin, o (b) he p oduc ion unc ions a e quasiconca e and he ac o s
a e connec ed. In bo h cases, inc easing e u ns o scale a e pe mi ed, in (a),
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