Charakterisierung der Produktionsmöglichkeitengrenze im Mehrsektorenmodell

Dyckhoff, Harald Article Charakterisierung der Produktionsmöglichkeitengrenze im Mehrsektorenmodell Zeitschrift für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften (ZWS) - Vierteljahresschrift der Gesellschaft für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, Verein für Socialpolitik Provided in Cooperation with: Duncker & Humblot, Berlin Suggested Citation: Dyckhoff, Harald (1982) : Charakterisierung der Produktionsmöglichkeitengrenze im Mehrsektorenmodell, Zeitschrift für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften (ZWS) - Vierteljahresschrift der Gesellschaft für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften, Verein für Socialpolitik, ISSN 0342-1783, Duncker & Humblot, Berlin, Vol. 102, Iss. 2, pp. 155-172, https://doi.org/10.3790/schm.102.2.155 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/291517 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. 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If the documents have been made available under an Open Content Licence (especially Creative Commons Licences), you may exercise further usage rights as specified in the indicated licence. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ Charakterisierung der Produktionsmöglichkeitengrenze im Mehrsektorenmodell Von Harald Dyckhoff* Produktionsmöglichkeitengrenze und Transformationskurve werden hier als zwei, im allgemeinen verschiedene Produktmengen begriffen, welche sich mittels Optimierungsprobleme beschreiben lassen. Untersucht wird, wie sich diese beiden Mengen im Mehrsektorenmodell ohne Zwischen- oder Kuppelprodukte grundsätzlich charakterisieren lassen. Dabei wird die Fragestellung auf sektorale Produktionsfunktionen ausgedehnt, die nicht konkav sind und variable Skalenerträge aufweisen. Üblicherweise werden die Begriffe „Produktionsmöglichkeitengrenze" und „Transformationskurve" synonym benutzt, wobei — zumindest in der neoklassischen Theorie — achsenparallele Randstücke der Produktionsmenge kaum betrachtet werden. Ohne weitere Annahmen können solche Randstücke jedoch auch im Mehrsektorenmodell einer Wirtschaft nicht von vornherein ausgeschlossen werden. Um sie miterfassen zu können, wird hier der Begriff „Produktionsmöglichkeitengrenze" allgemeiner definiert. Ziel der vorliegenden Arbeit ist eine grundsätzliche Charakterisierung der so determinierten Teile der Produktionsmenge für das Mehrsektorenmodell ohne Zwischen- oder Kuppelprodukte. Dabei werden gewisse Annahmen über die Eigenschaften der sektoralen Produktionsfunktionen gemacht. Es wird sich zeigen, daß diese Annahmen auch nichtkonvexe Produktionsmengen zulassen. Selbst bei konvexer Produktionsmenge brauchen die Produktionsfunktionen nicht konkav zu sein und können steigende Skalenerträge aufweisen (vgl. Herberg (1973) bezüglich hinreichender Kriterien für die Konvexität der Produktionsmenge). 1. Produktionsgrenze und Transformationskurve Eine Produktionskorrespondenz (bezüglich einer Inputmenge) ist eine Abbildung die einer gegebenen Faktorkombination V die Produkiions(möglichkeiten)menge 0 (V), d. h. die Menge der mit V produzierbaren Produktkombination X zuordnet1. Bei n Produkten der Endnach- * Der Autor schuldet den Herren L. Alteriburg, Prof. Dr. G. Gabisch, Dr. J. Martiensen und E. Wallenwein Dank für fruchtbare Anregungen in kritischer Diskussion. i Shepard (1970), 179. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.102.2.155 | Generated on 2023-04-04 12:01:34 156 Harald Dyckhoff frage und m primären Faktoren sind die Güterbündel des Output X = (xi, ..xn) und des Input V = (ui, ..., vm) als Element des jeweiligen nichtnegativen Orthanten R^ (Produktraum) bzw. Rj (Faktorraum) des entsprechend dimensionalen, reellen Zahlenraumes Rn bzw. Km zu verstehen2. Wir unterstellen hier, daß die Produktionsmenge kompakt und nicht leer, sowie zusammenhängend und dicht ist3; die beiden letzten Eigenschaften sind bei konvexer Produktionsmenge oder im später behandelten Mehrsektorenmodell stets gegeben. Unter der Produktionsmöglichkeitengrenze oder kurz Produktionsgrenze r (V) verstehen wir den Teil des Randes der Produktionsmenge 0 (V), der nicht auf den Koordinatenachsen (oder exakter Koordinatenhyperebenen) als trivialer Grenze liegt; das sind die Randpunkte in R^und außerdem noch deren Berührungspunkte mit einer Koordinatenachse. Produktbündel auf der Produktionsgrenze kann man demnach als solche bezeichnen, die „äußerstenfalls möglich"4 sind, hier in dem Sinn, daß von einigen Produkten (lokal) nicht mehr oder weniger produziert werden kann, ohne den Ausstoß anderer Güter zu beeinträchtigen. Die Transformationskurve (oder der effiziente Rand) 6 (V) ist die Menge aller effizienten, herstellbaren Produktkombinationen. Eine Produktkombination heißt effizient, wenn keine andere hergestellt werden kann, für die der Ausstoß keines Produktes geringer und mindestens eines größer wäre, wenn also für jedes Produkt eine Vermehrung höchstens auf Kosten einer Verringerung anderer Produkte möglich ist, d. h. wenn Mengeneinheiten anderer Produkte in das gewünschte „transformiert" werden müßten. Bei nur zwei Produkten lassen sich die so definierten Mengen wie in Abbildung 1 veranschaulichen. Die Transformationskurve ist die Menge aller jener Produktbündel, von denen aus „nordöstlich" kein weiteres herstellbares Bündel existiert; in Abbildung 1 und den folgenden Schaubildern sind diese Punkte fett eingezeichnet. Die Transformationskurve ist also im allgemeinen eine echte Teilmenge der Produktionsgrenze. Es ist aber offensichtlich, daß die beiden Mengen übereinstimmen, wenn man sich die in der neoklassischen Literatur gängigen 2 Skalare und skalarwertige Abbildungen werden durch kleine, Vektoren und vektorwertige Abbildungen durch große Buchstaben symbolisiert. Vektoren sind hier als Zeilenvektoren zu verstehen. Mit „'" bezeichnen wir die Transponierung eines Vektors zum Spaltenvektor und mit „•" das innere Vektorprodukt. Es sei O* der Nullpunkt (Ursprung) und R> der positive Orthant von R^. Weiter gelte: X ^ O o X G Rg ; X > 0"<=> X G R| , X + O« ; X > O» <> X G R£ . 3 Vgl. Herrn und Opitz (1972), 2 ff. 4 Woll (1976), 33. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.102.2.155 | Generated on 2023-04-04 12:01:34 Produktionsmöglichkeitengrenze im Mehrsektorenmodell 157 Schaubilder vor Augen hält (vgl. auch Abbildungen 2 d und 3 a). Der hier benutzte Begriff der Produktions(möglichkeiten)grenze (für fest gegebenen Input) stellt demnach eine Verallgemeinerung des üblichen Begriffes dar. Das in Abbildung 1 durch die fetten und gestrichelten Linien sowie durch die Koordinatenachsen begrenzte Gebiet wird als Auffüllung5 der Produktionsmenge bezeichnet: Das sind alle die Punkte X ^ On, für die ein effizienter Punkt existiert mit X Y. Punkte auf der Produktionsgrenze, wie z. B. (yu 7/2), die gleichzeitig auf dem Rand der Auffüllung liegen (mit Ausnahme einiger weniger Schnittpunkte gestrichelter Linien) besitzen eine schwache Effizienzeigenschaft: Bei mindestens einem Produkt ist eine Vermehrung nicht mehr möglich, zumindest nicht ohne den Ausstoß anderer Produkte zu senken. Manche Autoren6 fordern, daß die Produktionsmenge identisch mit ihrer Auffüllung ist, d. h. Güterv er schwendung ist erlaubt In diesem Fall stimmt die Produktionsgrenze mit der Transformationskurve bis auf solche Randstücke überein, die parallel zu einer Koordinatenachse sind, und nahezu jedes Produktbündel auf der Produktionsgrenze ist schwach effizient, wenn nicht sogar effizient (Abbildungen 2 und 3). 5 Fandel (1972), 52. e Z. B. Henn und Opitz (1972), 2. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.102.2.155 | Generated on 2023-04-04 12:01:34 158 Harald Dyckhoff 2. Charakterisierung durch Optimierungsprobleme Die Transformationskurve 0 (V) entspricht der „vollständigen Lösung"7 des folgenden Vektormaximumproblems (VMP). (VMP) „Maximiere" X bezüglich X e # (V) . Eine Produktkombination Y e 0 (V) ist definitionsgemäß genau dann effizient, wenn sie für jedes Produkt (mit dem Index) i, i = 1, ..n, folgendes gewöhnliche Maximierungsproblem (YMPi) löst: (YMPi) Maximiere x{ bezüglich X e # (V) und X ^ Y . 7 Die vollständige Lösung eines Vektormaximumproblems ist die Menge aller Lösungen, d. h. aller „funktional-effizienten" (hier: effizienten) Punkte (vgl. Fandel, (1972), 15). OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.102.2.155 | Generated on 2023-04-04 12:01:34 Produktionsmöglichkeitengrenze im Mehrsektorenmodell 159 Es reicht nicht aus, daß Y nur für ein oder mehrere Produkte i eine Lösung von (YMPi) ist. Zum Beispiel löst das Güterbündel (2/1, 2/2) in Abbildung 1 das zugehörige Problem (YMP 2), ist jedoch nicht effizient; dafür ist (y±f 2/2) ein schwach effizienter Punkt der Produktionsgrenze r (V). Definitionsgemäß gilt: Y ist schwach effizient, wenn ein Produkt i existiert, für das Y eine Lösung von {YMPi) ist, d. h. aber auch genau dann, wenn ein Vektor P = (pi, ..., pn) > On nichtnegativer Zahlen existiert, von denen mindestens eine positiv ist, so daß Y eine Lösung des folgenden Problems (YMP) ist: (YMP) Maximiere P • X' bezüglich X E # (V) und X ^ Y . Die Zahlen pi stellen Gewichtungen der Produkte dar und lassen sich als (fest vorgegebene) Preise interpretieren; der Zielfunktionswert kann somit als Produktionswert (Sozialprodukt, Umsatz, usw.) aufgefaßt werden. Falls Y eine Lösung von (YMP) mit P > On ist, so ist Y sogar effizient. Die Probleme (YMPi) und (YMP) sind nicht konstruktiv, da sie das gesuchte Güterbündel Y explizit verwenden. Dies gilt nicht für (ZMP): (ZMP) Maximiere P • X' bezüglich X e £ (V) und X ¡> Z . Dabei sei Z Y; in Extremfällen Z = On oder Z = Y. Ist Y eine Lösung von (ZMP), so auch des entsprechenden Problems (YMP), und Y ist ein schwach effizienter Punkt der Produktionsgrenze, falls P > On, und liegt auf der Transformationskurve, falls P > On. Letztes bedeutet: Produktionswertmaximierung bei (beliebig, aber fest gegebenen) positiven Güterpreisen führt zu effizienter Produktion. Die durch Kreise in Abbildung 1 angedeuteten Punkte (z/i, 1/2) und Wu 2/2) zeigen, daß die Umkehrung dieser Aussagen nicht ohne weiteres zutrifft8. Falls jedoch der durch X e 0 (V), X j> Z definierte Teil 0 (V, Z) der Produktionsmenge konvex ist, so existiert zu jedem Produktvektor Y auf der Produktionsgrenze mit Y ^ Z ein Vektor P e R7*, P =)= On, reeller Gewichte, die auch negativ sein können, so daß Y eine Lösung von (ZMP) ist; ist Y schwach effizient oder effizient, so existiert (auch) ein nichtnegativer Gewichtsvektor P > On ö. Bei konvexer Pro- 8 Scarf (1981) behandelt den Fall nicht konvexer Produktionsmengen aufgrund nicht beliebig teilbarer Gütermengen. 9 Diese Charakterisierungen insbesondere effizienter Produktvektoren sind aus der Aktivitätsanalyse bekannt (Hildenbrand (1966); vgl. Kr eile (1969), 167, oder Takayama (1974), 52), welche auf Koopmans (1951) zurückgeht. Dieselben Aussagen lassen sich auch unmittelbar aus einem Hauptsatz der Vektormaximumtheorie gewinnen. Der Beweis dieses Satzes kann nahezu unverändert übernommen werden, um auch die Aussagen hinsichtlich der nicht effizienten Punkte auf der Produktionsgrenze zu zeigen; vgl. z. B. den Beweis bei Fandel (1972), 51 ff. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.102.2.155 | Generated on 2023-04-04 12:01:34 160 Harald Dyckhoff duktionsmenge 0 (V) kann man sich demnach zur Charakterisierung der Produktionsgrenze auf das Problem (ZMP) mit Z = On beschränken10. 3. Mehrsektorenmodell Im Mehrsektorenmodell mit Alternativproduktion ohne Zwischenprodukte wird jedes Produkt in nur einem „Sektor" i hergestellt, und zwar in der Höhe X(. Der gesamte Ausstoß ist X = (xi, ..xn). Die verfügbare Faktorausstattung V = (ui, ..., vm) > Om ist vollkommen unelastisch. Davon zu unterscheiden ist der tatsächliche Einsatz Vi = (v\t ..., v*n) des Sektors z. In Abhängigkeit von diesem Faktoreinsatz gibt die sektorale Produktionsfunktion fi den maximal produzierbaren Ausstoß des Produktes i an. Die Produktionsmenge ist damit bestimmt durch £ (V) = {X ^ On | Xi < fi (Vi), Vi ^ Om (i = 1, ..., n); J%ml V* ^ V} . Wir nennen eine Faktor auf teilung V1, ..Vn auf die Sektoren zulässig, wenn sie nichtnegativ ist und die verfügbare Faktorausstattung nicht überbelastet (V* ;> Om, 2f=i V* ^ V); wir nennen sie zu X e 0 (V) gehörig, wenn sie zulässig ist und gilt: Xi fi (V*) für alle i. Im folgenden sei stets vorausgesetzt, daß die Funktionen fi nichtnegativ und nach oben halbstetig auf dem Faktorraum R> sind. Dann ist die Produktionsmenge abgeschlossen und beschränkt, d. h. kompakt11. Sie ist außerdem nicht leer, da On e $ (V). Güterverschwendung ist erlaubt, so daß die Produktionsmenge identisch mit ihrer Auffüllung und damit auch zusammenhängend und dicht ist. Die Produktionsgrenze stimmt mit der Transformationskurve überein, bis auf Teile des Produktionsrandes, die parallel zu einer Koordinatenachse verlaufen (Abbildungen 2 und 3). Offensichtlich impliziert effiziente Produktion für jeden Sektor technische Effektivität, d. h. es gilt Xi = fi (V*) für alle i; bei Produktion auf der Produktionsgrenze braucht dies im allgemeinen nur für einen 10 Geoffrion (1968) hat den Begriff der „eigentlichen Effizienz" eingeführt. Ohne hier näher darauf einzugehen, sei festgehalten, daß ein Produktbündel bei konvexer Menge # (V, Z) genau dann eigentlich effizient ist, wenn es das Problem (ZMP) für einen positiven Preisvektor P > On löst. „Uneigentlich effiziente" Produktbündel weisen also für mindestens 2 Produkte eine Transformationsrate von Null oder Unendlich auf; sie können als Grenzwert einer Folge eigentlich effizienter Produktbündel charakterisiert werden, für die ein oder mehrere Preise gegen Null konvergieren, so. daß man sich im wesentlichen mit der Charakterisierung eigentlich effizienter Produktbündel begnügen kann. (Den Hinweis auf den Artikel von Geoffrion (1968) verdanke ich Herrn Prof. Dr. G. Fandet) « Vgl. Shepard (1970), 295 ff. oder Herberg (1973). OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.102.2.155 | Generated on 2023-04-04 12:01:34 Produktionsmöglichkeitengrenze im Mehrsektorenmodell 161 Sektor zu gelten. Sind die sektoralen Produktionsfunktionen streng monoton wachsend, gilt also /< (V*) > /¿ (W¿) für V¿ > W\ so sind bei effizienter Produktion außerdem die Faktoren ausgelastet, d.h. 2f=i V* = V. (Dies braucht für klassische Produktionsfunktionen mit negativen Grenzerträgen nicht zuzutreffen; vgl. Abb. 3 d.) Die genannten Bedingungen sind (unter diesen Umständen) zwar notwendig, aber nicht hinreichend, um effiziente Produktion zu charakterisieren, wie das folgende einfache Beispiel mit 2 Produkten, 2 Faktoren, den linearen Funktionen /i = 2 + vz, k = vi + 2 und der Faktorausstattung V = (1,1) zeigt: Die Faktoraufteilung V1 = (0,1), V2 = (1,0) mit dem zugehörigen maximalen Produktvektor X = (1,1) ist technisch effektiv und lastet die Faktoren aus; sie wird aber absolut von der Aufteilung W1 = (1,0), W2 = (0,1) mit dem Ausstoß Y = (2,2) dominiert. Auch bei Auslastung der Faktoren muß technisch effektive Produktion somit — aufgrund falscher Allokation der Ressourcen — nicht zu effizienter Produktion führen und kann sogar, wie das Beispiel zeigt, im Innern der Produktionsmenge liegen. Im Mehrsektorenmodell handelt es sich bei (ZMP) um ein Problem der mathematischen Programmierung. Das spezielle Problem (YMP), d. h. Z = Y, zu betrachten, ist wenig sinnvoll, da der Lösungsbereich dieses Problems entartet ist und für P>On aus nur einem Punkt besteht, so daß man keine Information hinsichtlich des Verhältnisses zu benachbarten Produktkombinationen gewinnen kann. Für konkave sektorale Produktionsfunktionen ist die Produktionsmenge konvex, und die Produktionsgrenze ist konkav zum Ursprung12. (ZMP) ist dann ein konvexes Programmierungsproblem, dessen Lösungen sich durch ein entsprechendes Sattelpunktproblem und bei Differenzierbarkeit auch durch ein lokales Kuhn-Tucker-Problem hinreichend und bei Vorliegen der Regularitätsvoraussetzungen auch notwendig charakterisieren lassen13. Eine explizite Berechnung der Produktionsgrenze ist nur in einfachen Fällen und dann im allgemeinen auch nur approximativ möglich. Speziell für lineare sektorale Produktionsfunktionen existieren Algorithmen der parametrischen linearen Programmierung, allerdings (noch) ziemlich aufwendige, mit denen die Transformationskurve in der Gestalt von Facetten des nun konvexen Polyeders 0 (V) bestimmt werden kann14. Damit die Produktionsmenge 0 (V) oder ihre Teilmenge 0 (V, Z): = = {X | X e 0 (V), X Z} konvex ist, brauchen die sektoralen Produktionsfunktionen nicht konkav zu sein. Hinreichend ist es, wenn die 12 Vgl. Herberg (1973) und Abb. 2 b. 13 Vgl. Herberg (1973) und Abb. 2 b. 14 Gal (1977). 11 Zeitschrift für Wirtschafts- und Sozialwissenschaften 1982/2 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.102.2.155 | Generated on 2023-04-04 12:01:34 162 Harald Dyckhoff Restriktionsfunktionen des nichtlinearen Programmierungsproblems (ZMP) quasikonkav sind, und das auch nur im Bereich der zu herstellbaren Produktbündeln gehörigen Faktoraufteilungen. Denn Quasikonkavität einer Funktion g (17) ist äquivalent zur Konvexität der Niveaumengen {LT | g (U) a}, «GR15. Es stellt sich also die Frage, unter welchen Bedingungen die Restriktionen gi (X, V1, ..., Vn): = fi (V*) — Xi quasikonkav in gewissen Bereichen von R^+nm sind. Da die Summe zweier quasikonkaver Funktionen im allgemeinen selbst nicht quasikonkav ist16, ist es weder hinreichend noch notwendig zu fordern, daß die betreffende sektorale Produktionsfunktion quasikonkav ist. Mit ein paar Umformungsschritten läßt sich folgendes Kriterium beweisen: Lemma 1. Notwendig und hinreichend dafür, daß die Teilmenge $ (V, Z) = = {X e 0 (V) | X Z} der Produktionsmenge im Mehrsektorenmodell konvex ist, ist folgende Bedingung: Für alle X, [x 0 mit X + fx = 1 und alle Produktbündel XJG0 (V, Z) mit den zu X bzw. Y gehörigen Faktoraufteilungen V1, ..., Vn bzw. W1, ..., Wn existiert eine zu X X + p Y gehörige Faktoraufteilung U1, ..., Un, so daß für alle Sektoren i gilt: ifim + pfi (wo fi (i/o. Im Falle konkaver Funktionen ist diese Bedingung stets dadurch zu erfüllen, daß man U*: = X V* + ¡i Wl setzt. Dabei brauchen /i, ... fn nur für diejenigen Faktoreinsätze V1, ..., Vn konkav zu sein, die zu den Produktbündeln X e 0 (V, Z) gehören. Dies zeigt das Beispiel eines Zweisektorenmodells mit nur einem Faktor und identischen sektoralen Produktionsfunktionen f (v) = (2 17/(1 + v2))* vom „verallgemeinerten Sato- Typ"17 mit oc = 5. Für a> 1 ist diese Produktionsfunktion klassisch mit einem Maximum bei v = 1 und Wendepunkten für <x = 5 bei 17 = ]/l/3 « 0,58 und v = ]/2 . Je nach der verfügbaren Faktorausstattung berechnet man für die Produktionsgrenze eine unterschiedliche Gestalt: Eine zum Ursprung konvexe Kurve erhält man für V 1 (Abb. 3 a), eine zum Ursprung konkave für V ^ 1,2 (Abb. 3 c); für V 2 (Abb. 3 d) entspricht die Produktionsgrenze dem nordöstlichen Rand eines Quadrates mit dem einzigen effizienten Produktbündel (yi, = = (1,1); im Bereich von V«l,15 (Abb. 3 b) enthält die Produktionsgrenze sowohl zum Ursprung konkave wie auch konvexe Teile. Setzt man Z = (zi, 22) mit z\ = 0,49, so muß in beiden Sektoren mehr als v* = 0,58 vom Faktor eingesetzt werden, so daß wegen der Konkavität 15 Mangasarian (1969), 133. Eine Funktion g = g (U) ist quasikonkav in V bezüglich einer Menge wenn für jedes ü" e äft und alle 0 mit X + n = 1 gilt: g(XU + uV)^ min {g (U), g (V)}. 16 Mangasarian (1969), 147. 17 Herberg (1967). OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.102.2.155 | Generated on 2023-04-04 12:01:34 Produktionsmöglichkeitengrenze im Mehrsektorenmodell 169 sätzlich zu den Voraussetzungen von Korollar 1 gelte, daß die Funktionen fi jeweils in Wi differenzierbar mit vfo (W*) > Om sind. Dann sind alle Güterpreise positiv, die Faktoren sind ausgelastet, die Produktion aller Sektoren ist technisch effektiv, und die Grenzproduktivitätsbedingungen (2) gelten mit Gleichheit. Korollar 2 folgt aus Theorem 3 und folgenden Überlegungen: Wegen yji>Om folgt die Gleichheit in (2); also Tl>Ont da mindestens ein Faktorpreis positiv ist; dann gilt aber auch Q = Q > O* aufgrund der positiven Grenzerträge. Die Voraussetzung W* > Om ist stets erfüllt, falls jeder Faktor j wesentlich (unverzichtbar) in der Produktion ist {fi (W*) = 0 für w) = 0) oder falls die Grenzerträge bei verschwindendem Einsatz der Faktoren unendlich groß werden (3 fi (W¿)/3 w*. oo für w\ -» 0). Mindestens eine dieser Eigenschaften ist bei den CES-Funktionen immer gegeben. Unter den Annahmen von Korollar 2 wird der Zusammenhang zwischen einem Produktbündel Y auf der Transformationskurve und einer effizienten Faktorausstattung W implizit durch ein System aus n + m + + 77271 Gleichungen und 2n + 2m + mn positiven Variablen Y, W, W1, ..., Wn, II, Q beschrieben. Da die Preise hinsichtlich der Multiplikation mit einer positiven Zahl unbestimmt sind, kann man durch Normierung der Preise einen Freiheitsgrad eliminieren, so daß n + m — 1 Freiheitsgrade verbleiben. Die so definierte Produktionskorrespondenz ordnet einer Faktorausstattung W die (n — l)-dimensionale Transformationskurve & (W) bzw. einem Produktbündel Y die (m — l)-dimensionale Menge effizienter Faktorausstattungen W aus ¥ (Y) zu, von Entartungsfällen einmal abgesehen. Im ersten Fall handelt es sich um ein „Output-", im zweiten um eine „Inputkorrespondenz", die das effiziente Angebot an Produkten bzw. die effiziente Nachfrage nach Faktoren charakterisieren. Bei gegebener Faktorausstattung W und gegebenem Produktpreissystem 77 werden durch das Gleichungssystem die zu diesen Preisen effizienten Produktbündel bestimmt. Diese brauchen nicht eindeutig zu sein; nicht zu jedem Preissystem existieren effiziente Produktkombinationen, bei streng konkav zum Ursprung verlaufender Transformationskurve höchstens eine. Sind die sektoralen Produktionsfunktionen fi zweimal stetig differenzierbar in einer Umgebung des jeweiligen Einsatzes W\ so hat die Transformationskurve in einer Umgebung von Y eine glatte Gestalt (6 (W) ist „richtungsdicht" in Y). Eckige Kurvenverläufe (vgl. Abb. 2 b) können demnach bei sektoralen Produktionsfunktionen vom CES-Typ nicht vorkommen, im Unterschied etwa zu dem Grenzfall linearer Funktionen. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.102.2.155 | Generated on 2023-04-04 12:01:34 170 Harald Dyckhoff Korollar 3. Die Produktionsfunktion des Sektors k sei positiv auf R™ und homogen vom Grad e < 1. Es existiere ein Produktbündel Z ^ On mit z/c — 0, so daß die Funktionen /¿ für die zu # (V, Z) gehörenden Faktoraufteilungen konkav sind, insbesondere also # (V, Z) konvex und die Produktionsgrenze in der Nähe der durch Ek = {X e Rn | Xk = 0} definierten Koordinatenachse konkav zum Ursprung ist. Dann schneidet die Produktionsgrenze die Koordinatenachse Ek orthogonal35. Korollar 3 folgt mit Theorem 2 in Verbindung mit dem Sattelpunktproblem (ZSP) und dem Gewinnmaximierungsproblem (1) aus der bekannten Tatsache, daß für eine homogene Produktionsfunktion mit abnehmenden Skalenerträgen bei einem positiven Produktpreis stets ein maximaler Gewinn gu (WÄ) > nk fk (Om) zu erzielen ist, d. h. daß Sektor k produziert: yk > fk (Om). Für 0 yk ^ fk (Pm) muß somit der Preis des Produkts k den Wert Null haben, weshalb der Preisvektor ZZ parallel zu Ek ist. Hesse und Linde36 haben dieses Resultat für den speziellen Fall zweier Sektoren (und zweier Faktoren) mit homogenen Produktionsfunktionen und übereinstimmenden Faktorintensitäten bewiesen. Sie haben außerdem gezeigt, daß für s > 1 die Transformationskurve parallel zu Ek ist. (Abbildung 2 d veranschaulicht einen Fall, wo Sektor 1 steigende und Sektor 2 fallende Skalenerträge aufweist.) Ohne Beweis sei hier bemerkt, daß diese Aussage für e > 1 mit Theorem 3 in ähnlicher Weise wie bei Korollar 3 für s < 1 verallgemeinert werden kann, wobei jedoch die Annahmen von Korollar 2 gemacht werden und zusätzlich verlangt wird, daß die Produktionsfunktionen stetig differenzierbar sind, sowie bei einem verschwindenden Ausstoß in Sektor k (Vk = fk (W*) 0) die Faktorintensitäten nahezu konstant sind (d. h. Wk!X -> Wk mit X9 Vk = y k\ Wk, yk konstant). Zusammen f assung Im Mehrsektorenmodell einer Wirtschaft (ohne Zwischen- und Kuppelprodukte) lassen sich die schwach effizienten und die effizienten Produktbündel auf der „Produktionsgrenze" bzw. Transformationskurve mit Hilfe der Theorie der nichtlinearen Programmierung durch Sattelpunktprobleme und lokale Kuhn/Tucker Probleme charakterisieren, vorausgesetzt gewisse Konvexitätsbedingungen sind erfüllt: (a) die Produktionsgrenze verläuft 35 Eine Konsequenz von Korollar 3 ist, daß eine Außenhandel treibende Wirtschaft, deren Sektoren homogene Produktionsfunktionen mit abnehmenden Skalenerträgen aufweisen, sich stets „vollständig diversifiziert" (Chipman (1966)). Vgl. hierzu auch Panagariya (1981). «6 Hesse und Linde (1976), 69 ff. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.102.2.155 | Generated on 2023-04-04 12:01:34 Produktionsmöglichkeitengrenze im Mehrsektorenmodell 171 lokal konkav zum Ursprung (Theoreme 1 und 2), oder (b) die sektoralen Produktionsfunktionen sind quasikonkav und die Faktoren verbunden (Theorem 3). In beiden Fällen, jedoch bei (a) nur begrenzt, sind steigende Skalenerträge zugelassen. Summary For the case of several final (no joint)-products which can be produced with a given bundle of primary factors (without intermediate goods) nonlinear programming theory is used to characterize the weakly efficient and the efficient bundles of products on the "production frontier" and on the transformation curve, respectively. Either one of the following convexity assumptions is supposed: (a) the characterized bundles of products lie on those parts of the production frontier which are locally concave to the origin, or (b) the production functions are quasiconcave and the factors are connected. In both cases, increasing returns to scale are permitted, in (a), however, under particular, additional conditions, only. Literatur Blum, E. und W. Oettli (1975), Mathematische Optimierung. Heidelberg et al. Chipman, J. S. (1966), A Survey of the Theory of International Trade: Part 3, The Modern Theory. Econometrica 34, 18 - 76. Fandel, G. (1972), Optimale Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung. Heidelberg et al. Gal, T. (1977), A General Method for Determining the Set of All Efficient Solutions to a Linear Vectormaximum Problem. European Journal of Operational Research 1, 307-322. Geoffrion, A. M. (1968), Proper Efficiency and the Theory of Vector Maximization. Journal of Mathematical Analysis and Applications 22, 618 - 630. Herrn, R. und O. Opitz (1972), Konsum- und Produktionstheorie II. Heidelberg et al. Herberg, H. (1967), Der Variationsbereich der Substitutionselastizität einer verallgemeinerten Sato-Funktion. Konjunkturpolitik 13, 382 - 390. — (1969), On the Shape of the Transformation Curve in the Case of Homogeneous Production Functions. Zeitschrift für die gesamte Staatswissenschaft 125, 202-210. — (1973), On the Convexity of the Production Possibility Set under General Production Conditions. Zeitschrift für die gesamte Staatswissenschaft 129, 205 - 214. — und M. C. Kemp (1969), Some Implications of Variable Returns to Scale. Canadian Journal of Economics 2, 403 - 415. Hesse, H. und R. Linde (1976), Gesamtwirtschaftliche Produktionstheorie, Teil II. Würzburg. Hildenbrand, W. (1966), Mathematische Grundlagen zur nichtlinearen Aktivitätsanalyse. Unternehmensforschung 10, 65 - 80. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.102.2.155 | Generated on 2023-04-04 12:01:34 172 Harald Dyckhoff Koopmans, T. (1951), Analysis of Production as an Efficient Combination of Activities, in: T. Koopmans (Hrsg.), Activity Analysis of Production and Allocation, Co wies Comission Monograph 13, New York. Krelle, W. (1969), Produktionstheorie. Tübingen. Künzi, H. P., W. Krelle und R. von Randow (1979), Nichtlineare Programmierung. Heidelberg et al. Mangasarian, O. L. (1969), Nonlinear Programming. New York et al. Martos, B. (1975), Nonlinear Programming: Theory and Methods. Amsterdam et al. Panagariya, A. (1980), Variable Returns to Scale in General Equilibrium Theory Once Again. Journal of International Economy 10, 499 - 526. — (1981), Variable Returns to Scale in Production and Patterns of Spezialization. American Economic Review 71, 221 - 230. Rader, T. (1970), Resource Allocation with Increasing Returns to Scale. American Economic Review 60, 814 - 825. Scarf, H. E. (1981), Production Sets with Indivisibilities, Part I: Generalities. Econometrica 49, 1 -32. Shepard, R. W. (1970), Theory of Cost and Production Functions. Princeton. Tokay ama, A. (1974), Mathematical Economics. Hinsdale. Wall A. C1976Ì. Alleemeine Volkswirtschaftslehre. München. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/schm.102.2.155 | Generated on 2023-04-04 12:01:34