Charakterisierung der Produktionsmöglichkeitengrenze im Mehrsektorenmodell

Dyckho , Ha ald A icle Cha ak e isie ung de P oduk ionsmöglichkei eng enze im Meh sek o enmodell Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) - Vie eljah essch i de Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü Socialpoli ik P o ided in Coope a ion wi h: Duncke & Humblo , Be lin Sugges ed Ci a ion: Dyckho , Ha ald (1982) : Cha ak e isie ung de P oduk ionsmöglichkei eng enze im Meh sek o enmodell, Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) - Vie eljah essch i de Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü Socialpoli ik, ISSN 0342-1783, Duncke & Humblo , Be lin, Vol. 102, Iss. 2, pp. 155-172, h ps://doi.o g/10.3790/schm.102.2.155 This Ve sion is a ailable a : h ps://hdl.handle.ne /10419/291517 S anda d-Nu zungsbedingungen: Die Dokumen e au EconS o dü en zu eigenen wissenscha lichen Zwecken und zum P i a geb auch gespeiche und kopie we den. 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I he documen s ha e been made a ailable unde an Open Con en Licence (especially C ea i e Commons Licences), you may exe cise u he usage igh s as speci ied in he indica ed licence. h ps://c ea i ecommons.o g/licenses/by/4.0/ Cha ak e isie ung de P oduk ionsmöglichkei eng enze im Meh sek o enmodell Von Ha ald Dyckho * P oduk ionsmöglichkei eng enze und T ans o ma ionsku e we den hie als zwei, im allgemeinen e schiedene P oduk mengen beg i en, welche sich mi els Op imie ungsp obleme besch eiben lassen. Un e such wi d, wie sich diese beiden Mengen im Meh sek o enmodell ohne Zwischen- ode Kuppelp oduk e g undsä zlich cha ak e isie en lassen. Dabei wi d die F age- s ellung au sek o ale P oduk ions unk ionen ausgedehn , die nich konka sind und a iable Skalene äge au weisen. Übliche weise we den die Beg i e „P oduk ionsmöglichkei eng enze" und „T ans o ma ionsku e" synonym benu z , wobei — zumindes in de neoklassischen Theo ie — achsenpa allele Rands ücke de P oduk- ionsmenge kaum be ach e we den. Ohne wei e e Annahmen können solche Rands ücke jedoch auch im Meh sek o enmodell eine Wi scha nich on o nhe ein ausgeschlossen we den. Um sie mi e assen zu können, wi d hie de Beg i „P oduk ionsmöglichkei eng enze" all- gemeine de inie . Ziel de o liegenden A bei is eine g undsä zliche Cha ak e isie- ung de so de e minie en Teile de P oduk ionsmenge ü das Meh - sek o enmodell ohne Zwischen- ode Kuppelp oduk e. Dabei we den gewisse Annahmen übe die Eigenscha en de sek o alen P oduk ions- unk ionen gemach . Es wi d sich zeigen, daß diese Annahmen auch nich kon exe P oduk ionsmengen zulassen. Selbs bei kon exe P o- duk ionsmenge b auchen die P oduk ions unk ionen nich konka zu sein und können s eigende Skalene äge au weisen ( gl. He be g (1973) bezüglich hin eichende K i e ien ü die Kon exi ä de P oduk ions- menge). 1. P oduk ionsg enze und T ans o ma ionsku e Eine P oduk ionsko espondenz (bezüglich eine Inpu menge) is eine Abbildung die eine gegebenen Fak o kombina ion V die P oduk- iions(möglichkei en)menge 0 (V), d. h. die Menge de mi V p oduzie - ba en P oduk kombina ion X zuo dne 1. Bei n P oduk en de Endnach- * De Au o schulde den He en L. Al e ibu g, P o . D . G. Gabisch, D . J. Ma iensen und E. Wallenwein Dank ü uch ba e An egungen in k i i- sche Diskussion. i Shepa d (1970), 179. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.102.2.155 | Gene a ed on 2023-04-04 12:01:34 156 Ha ald Dyckho age und m p imä en Fak o en sind die Gü e bündel des Ou pu X = (xi, ..xn) und des Inpu V = (ui, ..., m) als Elemen des jewei- ligen nich nega i en O han en R^ (P oduk aum) bzw. Rj (Fak o - aum) des en sp echend dimensionalen, eellen Zahlen aumes Rn bzw. Km zu e s ehen2. Wi un e s ellen hie , daß die P oduk ionsmenge kompak und nich lee , sowie zusammenhängend und dich is 3; die beiden le z en Eigenscha en sind bei kon exe P oduk ionsmenge ode im spä e behandel en Meh sek o enmodell s e s gegeben. Un e de P oduk ionsmöglichkei eng enze ode ku z P oduk ions- g enze (V) e s ehen wi den Teil des Randes de P oduk ions- menge 0 (V), de nich au den Koo dina enachsen (ode exak e Koo - dina enhype ebenen) als i iale G enze lieg ; das sind die Rand- punk e in R^und auße dem noch de en Be üh ungspunk e mi eine Koo dina enachse. P oduk bündel au de P oduk ionsg enze kann man demnach als solche bezeichnen, die „äuße s en alls möglich"4 sind, hie in dem Sinn, daß on einigen P oduk en (lokal) nich meh ode wenige p oduzie we den kann, ohne den Auss oß ande e Gü e zu beein- äch igen. Die T ans o ma ionsku e (ode de e izien e Rand) 6 (V) is die Menge alle e izien en, he s ellba en P oduk kombina ionen. Eine P oduk kombina ion heiß e izien , wenn keine ande e he ges ell we den kann, ü die de Auss oß keines P oduk es ge inge und min- des ens eines g öße wä e, wenn also ü jedes P oduk eine Ve meh- ung höchs ens au Kos en eine Ve inge ung ande e P oduk e mög- lich is , d. h. wenn Mengeneinhei en ande e P oduk e in das ge- wünsch e „ ans o mie " we den müß en. Bei nu zwei P oduk en lassen sich die so de inie en Mengen wie in Abbildung 1 e anschaulichen. Die T ans o ma ionsku e is die Menge alle jene P oduk bündel, on denen aus „no dös lich" kein wei e es he s ellba es Bündel exis ie ; in Abbildung 1 und den olgenden Schaubilde n sind diese Punk e e eingezeichne . Die T ans o ma- ionsku e is also im allgemeinen eine ech e Teilmenge de P oduk- ionsg enze. Es is abe o ensich lich, daß die beiden Mengen übe ein- s immen, wenn man sich die in de neoklassischen Li e a u gängigen 2 Skala e und skala we ige Abbildungen we den du ch kleine, Vek o en und ek o we ige Abbildungen du ch g oße Buchs aben symbolisie . Vek- o en sind hie als Zeilen ek o en zu e s ehen. Mi „'" bezeichnen wi die T ansponie ung eines Vek o s zum Spal en ek o und mi „•" das inne e Vek o p oduk . Es sei O* de Nullpunk (U sp ung) und R> de posi i e O han on R^. Wei e gel e: X ^ O o X G Rg ; X > 0"<=> X G R| , X + O« ; X > O» <> X G R£ . 3 Vgl. He n und Opi z (1972), 2 . 4 Woll (1976), 33. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.102.2.155 | Gene a ed on 2023-04-04 12:01:34 P oduk ionsmöglichkei eng enze im Meh sek o enmodell 157 Schaubilde o Augen häl ( gl. auch Abbildungen 2 d und 3 a). De hie benu z e Beg i de P oduk ions(möglichkei en)g enze ( ü es gegebenen Inpu ) s ell demnach eine Ve allgemeine ung des üblichen Beg i es da . Das in Abbildung 1 du ch die e en und ges ichel en Linien sowie du ch die Koo dina enachsen beg enz e Gebie wi d als Au üllung5 de P oduk ionsmenge bezeichne : Das sind alle die Punk e X ^ On, ü die ein e izien e Punk exis ie mi X Y. Punk e au de P oduk ionsg enze, wie z. B. (yu 7/2), die gleichzei ig au dem Rand de Au üllung liegen (mi Ausnahme einige wenige Schni punk e ges ichel e Linien) besi zen eine schwache E izienz- eigenscha : Bei mindes ens einem P oduk is eine Ve meh ung nich meh möglich, zumindes nich ohne den Auss oß ande e P oduk e zu senken. Manche Au o en6 o de n, daß die P oduk ionsmenge iden isch mi ih e Au üllung is , d. h. Gü e e schwendung is e laub In die- sem Fall s imm die P oduk ionsg enze mi de T ans o ma ionsku e bis au solche Rands ücke übe ein, die pa allel zu eine Koo dina en- achse sind, und nahezu jedes P oduk bündel au de P oduk ionsg enze is schwach e izien , wenn nich soga e izien (Abbildungen 2 und 3). 5 Fandel (1972), 52. e Z. B. Henn und Opi z (1972), 2. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.102.2.155 | Gene a ed on 2023-04-04 12:01:34 158 Ha ald Dyckho 2. Cha ak e isie ung du ch Op imie ungsp obleme Die T ans o ma ionsku e 0 (V) en sp ich de „ olls ändigen Lö- sung"7 des olgenden Vek o maximump oblems (VMP). (VMP) „Maximie e" X bezüglich X e # (V) . Eine P oduk kombina ion Y e 0 (V) is de ini ionsgemäß genau dann e izien , wenn sie ü jedes P oduk (mi dem Index) i, i = 1, ..n, olgendes gewöhnliche Maximie ungsp oblem (YMPi) lös : (YMPi) Maximie e x{ bezüglich X e # (V) und X ^ Y . 7 Die olls ändige Lösung eines Vek o maximump oblems is die Menge alle Lösungen, d. h. alle „ unk ional-e izien en" (hie : e izien en) Punk e ( gl. Fandel, (1972), 15). OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.102.2.155 | Gene a ed on 2023-04-04 12:01:34 P oduk ionsmöglichkei eng enze im Meh sek o enmodell 159 Es eich nich aus, daß Y nu ü ein ode meh e e P oduk e i eine Lösung on (YMPi) is . Zum Beispiel lös das Gü e bündel (2/1, 2/2) in Abbildung 1 das zugehö ige P oblem (YMP 2), is jedoch nich e izien ; da ü is (y± 2/2) ein schwach e izien e Punk de P oduk ionsg enze (V). De ini ionsgemäß gil : Y is schwach e izien , wenn ein P oduk i exis ie , ü das Y eine Lösung on {YMPi) is , d. h. abe auch genau dann, wenn ein Vek o P = (pi, ..., pn) > On nich nega i e Zahlen exis ie , on denen mindes ens eine posi i is , so daß Y eine Lösung des olgenden P oblems (YMP) is : (YMP) Maximie e P • X' bezüglich X E # (V) und X ^ Y . Die Zahlen pi s ellen Gewich ungen de P oduk e da und lassen sich als ( es o gegebene) P eise in e p e ie en; de Ziel unk ionswe kann somi als P oduk ionswe (Sozialp oduk , Umsa z, usw.) au ge aß we den. Falls Y eine Lösung on (YMP) mi P > On is , so is Y soga e izien . Die P obleme (YMPi) und (YMP) sind nich kons uk i , da sie das gesuch e Gü e bündel Y explizi e wenden. Dies gil nich ü (ZMP): (ZMP) Maximie e P • X' bezüglich X e £ (V) und X ¡> Z . Dabei sei Z Y; in Ex em ällen Z = On ode Z = Y. Is Y eine Lö- sung on (ZMP), so auch des en sp echenden P oblems (YMP), und Y is ein schwach e izien e Punk de P oduk ionsg enze, alls P > On, und lieg au de T ans o ma ionsku e, alls P > On. Le z es bedeu e : P oduk ionswe maximie ung bei (beliebig, abe es gegebenen) po- si i en Gü e p eisen üh zu e izien e P oduk ion. Die du ch K eise in Abbildung 1 angedeu e en Punk e (z/i, 1/2) und Wu 2/2) zeigen, daß die Umkeh ung diese Aussagen nich ohne wei e es zu i 8. Falls jedoch de du ch X e 0 (V), X j> Z de inie e Teil 0 (V, Z) de P oduk ionsmenge kon ex is , so exis ie zu jedem P o- duk ek o Y au de P oduk ionsg enze mi Y ^ Z ein Vek o P e R7*, P =)= On, eelle Gewich e, die auch nega i sein können, so daß Y eine Lösung on (ZMP) is ; is Y schwach e izien ode e izien , so exis ie (auch) ein nich nega i e Gewich s ek o P > On ö. Bei kon exe P o- 8 Sca (1981) behandel den Fall nich kon exe P oduk ionsmengen au g und nich beliebig eilba e Gü e mengen. 9 Diese Cha ak e isie ungen insbesonde e e izien e P oduk ek o en sind aus de Ak i i ä sanalyse bekann (Hildenb and (1966); gl. K eile (1969), 167, ode Takayama (1974), 52), welche au Koopmans (1951) zu ück- geh . Dieselben Aussagen lassen sich auch unmi elba aus einem Haup sa z de Vek o maximum heo ie gewinnen. De Beweis dieses Sa zes kann nahezu un e ände übe nommen we den, um auch die Aussagen hinsich - lich de nich e izien en Punk e au de P oduk ionsg enze zu zeigen; gl. z. B. den Beweis bei Fandel (1972), 51 . OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.102.2.155 | Gene a ed on 2023-04-04 12:01:34 160 Ha ald Dyckho duk ionsmenge 0 (V) kann man sich demnach zu Cha ak e isie ung de P oduk ionsg enze au das P oblem (ZMP) mi Z = On besch än- ken10. 3. Meh sek o enmodell Im Meh sek o enmodell mi Al e na i p oduk ion ohne Zwischen- p oduk e wi d jedes P oduk in nu einem „Sek o " i he ges ell , und zwa in de Höhe X(. De gesam e Auss oß is X = (xi, ..xn). Die e - ügba e Fak o auss a ung V = (ui, ..., m) > Om is ollkommen un- elas isch. Da on zu un e scheiden is de a sächliche Einsa z Vi = ( ..., *n) des Sek o s z. In Abhängigkei on diesem Fak o einsa z gib die sek o ale P oduk ions unk ion i den maximal p oduzie ba en Aus- s oß des P oduk es i an. Die P oduk ionsmenge is dami bes imm du ch £ (V) = {X ^ On | Xi < i (Vi), Vi ^ Om (i = 1, ..., n); J%ml V* ^ V} . Wi nennen eine Fak o au eilung V1, ..Vn au die Sek o en zu- lässig, wenn sie nich nega i is und die e ügba e Fak o auss a ung nich übe belas e (V* ;> Om, 2 =i V* ^ V); wi nennen sie zu X e 0 (V) gehö ig, wenn sie zulässig is und gil : Xi i (V*) ü alle i. Im olgen- den sei s e s o ausgese z , daß die Funk ionen i nich nega i und nach oben halbs e ig au dem Fak o aum R> sind. Dann is die P oduk- ionsmenge abgeschlossen und besch änk , d. h. kompak 11. Sie is auße dem nich lee , da On e $ (V). Gü e e schwendung is e laub , so daß die P oduk ionsmenge iden isch mi ih e Au üllung und dami auch zusammenhängend und dich is . Die P oduk ionsg enze s imm mi de T ans o ma ionsku e übe ein, bis au Teile des P oduk ions- andes, die pa allel zu eine Koo dina enachse e lau en (Abbildungen 2 und 3). O ensich lich implizie e izien e P oduk ion ü jeden Sek o echnische E ek i i ä , d. h. es gil Xi = i (V*) ü alle i; bei P oduk ion au de P oduk ionsg enze b auch dies im allgemeinen nu ü einen 10 Geo ion (1968) ha den Beg i de „eigen lichen E izienz" einge- üh . Ohne hie nähe da au einzugehen, sei es gehal en, daß ein P o- duk bündel bei kon exe Menge # (V, Z) genau dann eigen lich e izien is , wenn es das P oblem (ZMP) ü einen posi i en P eis ek o P > On lös . „Uneigen lich e izien e" P oduk bündel weisen also ü mindes ens 2 P o- duk e eine T ans o ma ions a e on Null ode Unendlich au ; sie können als G enzwe eine Folge eigen lich e izien e P oduk bündel cha ak e i- sie we den, ü die ein ode meh e e P eise gegen Null kon e gie en, so. daß man sich im wesen lichen mi de Cha ak e isie ung eigen lich e izien e P oduk bündel begnügen kann. (Den Hinweis au den A ikel on Geo ion (1968) e danke ich He n P o . D . G. Fande ) « Vgl. Shepa d (1970), 295 . ode He be g (1973). OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.102.2.155 | Gene a ed on 2023-04-04 12:01:34 P oduk ionsmöglichkei eng enze im Meh sek o enmodell 161 Sek o zu gel en. Sind die sek o alen P oduk ions unk ionen s eng mo- no on wachsend, gil also /< (V*) > /¿ (W¿) ü V¿ > W so sind bei e i- zien e P oduk ion auße dem die Fak o en ausgelas e , d.h. 2 =i V* = V. (Dies b auch ü klassische P oduk ions unk ionen mi nega i en G enze ägen nich zuzu e en; gl. Abb. 3 d.) Die genann en Bedingungen sind (un e diesen Ums änden) zwa no wendig, abe nich hin eichend, um e izien e P oduk ion zu cha- ak e isie en, wie das olgende ein ache Beispiel mi 2 P oduk en, 2 Fak o en, den linea en Funk ionen /i = 2 + z, k = i + 2 und de Fak o auss a ung V = (1,1) zeig : Die Fak o au eilung V1 = (0,1), V2 = (1,0) mi dem zugehö igen maximalen P oduk ek o X = (1,1) is echnisch e ek i und las e die Fak o en aus; sie wi d abe ab- solu on de Au eilung W1 = (1,0), W2 = (0,1) mi dem Auss oß Y = (2,2) dominie . Auch bei Auslas ung de Fak o en muß echnisch e ek i e P oduk ion somi — au g und alsche Alloka ion de Res- sou cen — nich zu e izien e P oduk ion üh en und kann soga , wie das Beispiel zeig , im Inne n de P oduk ionsmenge liegen. Im Meh sek o enmodell handel es sich bei (ZMP) um ein P oblem de ma hema ischen P og ammie ung. Das spezielle P oblem (YMP), d. h. Z = Y, zu be ach en, is wenig sinn oll, da de Lösungsbe eich dieses P oblems en a e is und ü P>On aus nu einem Punk be- s eh , so daß man keine In o ma ion hinsich lich des Ve häl nisses zu benachba en P oduk kombina ionen gewinnen kann. Fü konka e sek o ale P oduk ions unk ionen is die P oduk ions- menge kon ex, und die P oduk ionsg enze is konka zum U sp ung12. (ZMP) is dann ein kon exes P og ammie ungsp oblem, dessen Lösun- gen sich du ch ein en sp echendes Sa elpunk p oblem und bei Di e- enzie ba kei auch du ch ein lokales Kuhn-Tucke -P oblem hin ei- chend und bei Vo liegen de Regula i ä s o ausse zungen auch no wen- dig cha ak e isie en lassen13. Eine explizi e Be echnung de P oduk- ionsg enze is nu in ein achen Fällen und dann im allgemeinen auch nu app oxima i möglich. Speziell ü linea e sek o ale P oduk ions- unk ionen exis ie en Algo i hmen de pa ame ischen linea en P o- g ammie ung, alle dings (noch) ziemlich au wendige, mi denen die T ans o ma ionsku e in de Ges al on Face en des nun kon exen Polyede s 0 (V) bes imm we den kann14. Dami die P oduk ionsmenge 0 (V) ode ih e Teilmenge 0 (V, Z): = = {X | X e 0 (V), X Z} kon ex is , b auchen die sek o alen P oduk- ions unk ionen nich konka zu sein. Hin eichend is es, wenn die 12 Vgl. He be g (1973) und Abb. 2 b. 13 Vgl. He be g (1973) und Abb. 2 b. 14 Gal (1977). 11 Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en 1982/2 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.102.2.155 | Gene a ed on 2023-04-04 12:01:34 162 Ha ald Dyckho Res ik ions unk ionen des nich linea en P og ammie ungsp oblems (ZMP) quasikonka sind, und das auch nu im Be eich de zu he s ell- ba en P oduk bündeln gehö igen Fak o au eilungen. Denn Quasikon- ka i ä eine Funk ion g (17) is äqui alen zu Kon exi ä de Ni eau- mengen {LT | g (U) a}, «GR15. Es s ell sich also die F age, un e welchen Bedingungen die Res ik ionen gi (X, V1, ..., Vn): = i (V*) — Xi quasikonka in gewissen Be eichen on R^+nm sind. Da die Summe zweie quasikonka e Funk ionen im allgemeinen selbs nich quasi- konka is 16, is es wede hin eichend noch no wendig zu o de n, daß die be e ende sek o ale P oduk ions unk ion quasikonka is . Mi ein paa Um o mungssch i en läß sich olgendes K i e ium beweisen: Lemma 1. No wendig und hin eichend da ü , daß die Teilmenge $ (V, Z) = = {X e 0 (V) | X Z} de P oduk ionsmenge im Meh sek o enmodell kon ex is , is olgende Bedingung: Fü alle X, [x 0 mi X + x = 1 und alle P oduk bündel XJG0 (V, Z) mi den zu X bzw. Y gehö igen Fak- o au eilungen V1, ..., Vn bzw. W1, ..., Wn exis ie eine zu X X + p Y gehö ige Fak o au eilung U1, ..., Un, so daß ü alle Sek o en i gil : i im + p i (wo i (i/o. Im Falle konka e Funk ionen is diese Bedingung s e s dadu ch zu e üllen, daß man U*: = X V* + ¡i Wl se z . Dabei b auchen /i, ... n nu ü diejenigen Fak o einsä ze V1, ..., Vn konka zu sein, die zu den P o- duk bündeln X e 0 (V, Z) gehö en. Dies zeig das Beispiel eines Zwei- sek o enmodells mi nu einem Fak o und iden ischen sek o alen P o- duk ions unk ionen ( ) = (2 17/(1 + 2))* om „ e allgemeine en Sa o- Typ"17 mi oc = 5. Fü a> 1 is diese P oduk ions unk ion klassisch mi einem Maximum bei = 1 und Wendepunk en ü <x = 5 bei 17 = ]/l/3 « 0,58 und = ]/2 . Je nach de e ügba en Fak o auss a - ung be echne man ü die P oduk ionsg enze eine un e schiedliche Ges al : Eine zum U sp ung kon exe Ku e e häl man ü V 1 (Abb. 3 a), eine zum U sp ung konka e ü V ^ 1,2 (Abb. 3 c); ü V 2 (Abb. 3 d) en sp ich die P oduk ionsg enze dem no dös lichen Rand eines Quad a es mi dem einzigen e izien en P oduk bündel (yi, = = (1,1); im Be eich on V«l,15 (Abb. 3 b) en häl die P oduk ions- g enze sowohl zum U sp ung konka e wie auch kon exe Teile. Se z man Z = (zi, 22) mi z = 0,49, so muß in beiden Sek o en meh als * = 0,58 om Fak o eingese z we den, so daß wegen de Konka i ä 15 Mangasa ian (1969), 133. Eine Funk ion g = g (U) is quasikonka in V bezüglich eine Menge wenn ü jedes ü" e ä und alle 0 mi X + n = 1 gil : g(XU + uV)^ min {g (U), g (V)}. 16 Mangasa ian (1969), 147. 17 He be g (1967). OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.102.2.155 | Gene a ed on 2023-04-04 12:01:34 P oduk ionsmöglichkei eng enze im Meh sek o enmodell 169 sä zlich zu den Vo ausse zungen on Ko olla 1 gel e, daß die Funk- ionen i jeweils in Wi di e enzie ba mi o (W*) > Om sind. Dann sind alle Gü e p eise posi i , die Fak o en sind ausgelas e , die P oduk ion alle Sek o en is echnisch e ek i , und die G enzp oduk i i ä sbedin- gungen (2) gel en mi Gleichhei . Ko olla 2 olg aus Theo em 3 und olgenden Übe legungen: Wegen yji>Om olg die Gleichhei in (2); also Tl>On da mindes ens ein Fak o p eis posi i is ; dann gil abe auch Q = Q > O* au g und de posi i en G enze äge. Die Vo ausse zung W* > Om is s e s e üll , alls jede Fak o j wesen lich (un e zich ba ) in de P oduk ion is { i (W*) = 0 ü w) = 0) ode alls die G enze äge bei e schwindendem Einsa z de Fak o en unendlich g oß we den (3 i (W¿)/3 w*. oo ü w -» 0). Mindes ens eine diese Eigenscha en is bei den CES-Funk ionen imme gegeben. Un e den Annahmen on Ko olla 2 wi d de Zusammenhang zwi- schen einem P oduk bündel Y au de T ans o ma ionsku e und eine e izien en Fak o auss a ung W implizi du ch ein Sys em aus n + m + + 77271 Gleichungen und 2n + 2m + mn posi i en Va iablen Y, W, W1, ..., Wn, II, Q besch ieben. Da die P eise hinsich lich de Mul iplika ion mi eine posi i en Zahl unbes imm sind, kann man du ch No mie ung de P eise einen F eihei sg ad eliminie en, so daß n + m — 1 F eihei s- g ade e bleiben. Die so de inie e P oduk ionsko espondenz o dne eine Fak o auss a ung W die (n — l)-dimensionale T ans o ma ions- ku e & (W) bzw. einem P oduk bündel Y die (m — l)-dimensionale Menge e izien e Fak o auss a ungen W aus ¥ (Y) zu, on En a ungs- ällen einmal abgesehen. Im e s en Fall handel es sich um ein „Ou - pu -", im zwei en um eine „Inpu ko espondenz", die das e izien e Angebo an P oduk en bzw. die e izien e Nach age nach Fak o en cha ak e isie en. Bei gegebene Fak o auss a ung W und gegebenem P oduk p eissys em 77 we den du ch das Gleichungssys em die zu die- sen P eisen e izien en P oduk bündel bes imm . Diese b auchen nich eindeu ig zu sein; nich zu jedem P eissys em exis ie en e izien e P oduk kombina ionen, bei s eng konka zum U sp ung e lau ende T ans o ma ionsku e höchs ens eine. Sind die sek o alen P oduk ions- unk ionen i zweimal s e ig di e enzie ba in eine Umgebung des jeweiligen Einsa zes W so ha die T ans o ma ionsku e in eine Um- gebung on Y eine gla e Ges al (6 (W) is „ ich ungsdich " in Y). Eckige Ku en e läu e ( gl. Abb. 2 b) können demnach bei sek o alen P oduk ions unk ionen om CES-Typ nich o kommen, im Un e - schied e wa zu dem G enz all linea e Funk ionen. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.102.2.155 | Gene a ed on 2023-04-04 12:01:34 170 Ha ald Dyckho Ko olla 3. Die P oduk ions unk ion des Sek o s k sei posi i au R™ und homo- gen om G ad e < 1. Es exis ie e ein P oduk bündel Z ^ On mi z/c — 0, so daß die Funk ionen /¿ ü die zu # (V, Z) gehö enden Fak o au ei- lungen konka sind, insbesonde e also # (V, Z) kon ex und die P o- duk ionsg enze in de Nähe de du ch Ek = {X e Rn | Xk = 0} de inie - en Koo dina enachse konka zum U sp ung is . Dann schneide die P oduk ionsg enze die Koo dina enachse Ek o hogonal35. Ko olla 3 olg mi Theo em 2 in Ve bindung mi dem Sa elpunk - p oblem (ZSP) und dem Gewinnmaximie ungsp oblem (1) aus de be- kann en Ta sache, daß ü eine homogene P oduk ions unk ion mi ab- nehmenden Skalene ägen bei einem posi i en P oduk p eis s e s ein maximale Gewinn gu (WÄ) > nk k (Om) zu e zielen is , d. h. daß Sek- o k p oduzie : yk > k (Om). Fü 0 yk ^ k (Pm) muß somi de P eis des P oduk s k den We Null haben, weshalb de P eis ek o ZZ pa - allel zu Ek is . Hesse und Linde36 haben dieses Resul a ü den speziellen Fall zweie Sek o en (und zweie Fak o en) mi homogenen P oduk ions- unk ionen und übe eins immenden Fak o in ensi ä en bewiesen. Sie haben auße dem gezeig , daß ü s > 1 die T ans o ma ionsku e pa - allel zu Ek is . (Abbildung 2 d e anschaulich einen Fall, wo Sek o 1 s eigende und Sek o 2 allende Skalene äge au weis .) Ohne Beweis sei hie beme k , daß diese Aussage ü e > 1 mi Theo em 3 in ähn- liche Weise wie bei Ko olla 3 ü s < 1 e allgemeine we den kann, wobei jedoch die Annahmen on Ko olla 2 gemach we den und zu- sä zlich e lang wi d, daß die P oduk ions unk ionen s e ig di e en- zie ba sind, sowie bei einem e schwindenden Auss oß in Sek o k (Vk = k (W*) 0) die Fak o in ensi ä en nahezu kons an sind (d. h. Wk!X -> Wk mi X9 Vk = y k Wk, yk kons an ). Zusammen assung Im Meh sek o enmodell eine Wi scha (ohne Zwischen- und Kuppel- p oduk e) lassen sich die schwach e izien en und die e izien en P oduk - bündel au de „P oduk ionsg enze" bzw. T ans o ma ionsku e mi Hil e de Theo ie de nich linea en P og ammie ung du ch Sa elpunk p obleme und lokale Kuhn/Tucke P obleme cha ak e isie en, o ausgese z gewisse Kon exi ä sbedingungen sind e üll : (a) die P oduk ionsg enze e läu 35 Eine Konsequenz on Ko olla 3 is , daß eine Außenhandel eibende Wi scha , de en Sek o en homogene P oduk ions unk ionen mi abneh- menden Skalene ägen au weisen, sich s e s „ olls ändig di e si izie " (Chipman (1966)). Vgl. hie zu auch Panaga iya (1981). «6 Hesse und Linde (1976), 69 . OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.102.2.155 | Gene a ed on 2023-04-04 12:01:34 P oduk ionsmöglichkei eng enze im Meh sek o enmodell 171 lokal konka zum U sp ung (Theo eme 1 und 2), ode (b) die sek o alen P oduk ions unk ionen sind quasikonka und die Fak o en e bunden (Theo em 3). In beiden Fällen, jedoch bei (a) nu beg enz , sind s eigende Skalene äge zugelassen. Summa y Fo he case o se e al inal (no join )-p oduc s which can be p oduced wi h a gi en bundle o p ima y ac o s (wi hou in e media e goods) non- linea p og amming heo y is used o cha ac e ize he weakly e icien and he e icien bundles o p oduc s on he "p oduc ion on ie " and on he ans o ma ion cu e, espec i ely. Ei he one o he ollowing con exi y assump ions is supposed: (a) he cha ac e ized bundles o p oduc s lie on hose pa s o he p oduc ion on ie which a e locally conca e o he o igin, o (b) he p oduc ion unc ions a e quasiconca e and he ac o s a e connec ed. In bo h cases, inc easing e u ns o scale a e pe mi ed, in (a), howe e , unde pa icula , addi ional condi ions, only. Li e a u Blum, E. und W. Oe li (1975), Ma hema ische Op imie ung. Heidelbe g e al. Chipman, J. S. (1966), A Su ey o he Theo y o In e na ional T ade: Pa 3, The Mode n Theo y. Econome ica 34, 18 - 76. Fandel, G. (1972), Op imale En scheidung bei meh ache Zielse zung. Hei- delbe g e al. Gal, T. (1977), A Gene al Me hod o De e mining he Se o All E icien Solu ions o a Linea Vec o maximum P oblem. Eu opean Jou nal o Ope a ional Resea ch 1, 307-322. Geo ion, A. M. (1968), P ope E iciency and he Theo y o Vec o Maximi- za ion. Jou nal o Ma hema ical Analysis and Applica ions 22, 618 - 630. He n, R. und O. 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OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.102.2.155 | Gene a ed on 2023-04-04 12:01:34 172 Ha ald Dyckho Koopmans, T. (1951), Analysis o P oduc ion as an E icien Combina ion o Ac i i ies, in: T. Koopmans (H sg.), Ac i i y Analysis o P oduc ion and Alloca ion, Co wies Comission Monog aph 13, New Yo k. K elle, W. (1969), P oduk ions heo ie. Tübingen. Künzi, H. P., W. K elle und R. on Randow (1979), Nich linea e P og am- mie ung. Heidelbe g e al. Mangasa ian, O. L. (1969), Nonlinea P og amming. New Yo k e al. Ma os, B. (1975), Nonlinea P og amming: Theo y and Me hods. Ams e - dam e al. Panaga iya, A. (1980), Va iable Re u ns o Scale in Gene al Equilib ium Theo y Once Again. Jou nal o In e na ional Economy 10, 499 - 526. — (1981), Va iable Re u ns o Scale in P oduc ion and Pa e ns o Spezial- iza ion. Ame ican Economic Re iew 71, 221 - 230. Rade , T. (1970), Resou ce Alloca ion wi h Inc easing Re u ns o Scale. 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