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Pixel-Bi . Re is a de Medios y Educación
SISTEMA DIÉDRICO. TÉCNICAS EDUCATIVAS CON AYUDAS 3D
EN EL ESPACIO REAL, Y SU SIMULACIÓN EN EL ESPACIO
VIRTUAL
Juan Bel án Chica
jbel an@ug .es
José Manuel Bel án Polaina
Uni e sidad de G anada(España)
Hay una impo an e o e a de so wa e educa i o con g an a iedad en sus ca ac e ís icas o males y
me odológicas; pe o a pesa de es a po encialidad se pueden desap o echa sus posibilidades pedagógicas
si, an e es a di e sidad, no se selecciona, no se con igu a o no se aplica, adecuadamen e. Se ha ealizado
un es udio con as ado de dis in as écnicas didác icas con di e en es mues as de alumnos, en donde se
han u ilizado espacios idimensionales eales y angibles, con un ma e ial didác ico especialmen e diseñado
pa a la enseñanza del sis ema diéd ico. Se han seleccionado sus cualidades más ele an es, is os los
esul ados ob enidos, pa a o ece modelos en el diseño, la con igu ación o la elección del so wa e.
Palab as cla e: Geome ía Desc ip i a, Sis ema diéd ico, Dibujo écnico, Didác ica, Es udio y Enseñanza.
The e is an impo an o e o educa ional so wa e wi h g ea a ie y in i s o mal and me hodological
cha ac e is ics; bu in spi e o his po en ial, i s pedagogic possibili ies can be was ed i , in he ace o his
di e si y, hey a e no selec ed, no con igu ed, o no applied, app op ia ely. A s udy has been ca ied ou
con as ing he di e en didac ics echniques wi h di e en samples o s uden s, whe ein eal and angible
h ee-dimensional spaces ha e been used wi h a specially designed didac ic ma e ial o he eaching o he
Eu opean died ic sys em. I s mos ele an quali ies ha e been selec ed based on he ob ained esul o
o e models in i s design and he con igu a ion o elec ion o he so wa e.
Keywo ds: Desc ip i e Geome y, Eu opean Died ic Sys em, Technical D awing, Didac ics, S udy and
Teaching.
Nº 36 Ene o 2010 pp.151 - 170
1. In oducción
Se han es udiado las posibilidades
pedagógicas de a ias écnicas educa i as,
adicionales y/o mul imedia, suscep ibles de
se implan adas den o de las nue as
ecnologías de la in o mación y la
comunicación (TIC), dada la impo ancia de la
adecuación del sis ema educa i o a las
necesidades de la nue a sociedad (Ma o o
Sánchez, 2007). Conc e amen e, pa a la
enseñanza del sis ema diéd ico se ha hallado
una g an di e sidad o mal y me odológica
en el so wa e educa i o disponible, pe o si
se selecciona y aplica de modo inadecuado
pod ía no p oduci los bene icios que
po encialmen e pueden posee . En especial se
han desa ollado dos écnicas educa i as que
po medio de maque as u ilizan el espacio eal
y angible, con el obje i o de que los
hallazgos que se consigan puedan se i de
e e encia u o ien ación en el diseño o en la
selección de so wa e educa i o que u iliza
los espacios i uales in og á icos.
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Bel án, J. y Bel án, J. M.
Es e abajo se ha cen ado en la ob ención
de las is as (plan a, alzado y pe il, en sis ema
eu opeo) po que es a a ea es undamen al
pa a el pos e io desa ollo o ma i o del
alumno. Los au o es han ensayado y u ilizado,
en enseñanzas de secunda ia y uni e si a ia,
di e en es mé odos y écnicas educa i as: (a)
“ adicional”, (b) con maque as y sopo es
mul imedia no in o má icos, y (c) con medios
in o má icos (Bel án Chica, 1989; Bel án
Polaina, 2006), con el obje i o de (1) alo a la
e icacia de las écnicas con maque as y
sopo es mul imedia no in o má icos y (2)
u iliza los hallazgos que se ob engan pa a
de ini di ec ices ú iles en el diseño, selección
y uso de so wa e educa i o pa a es a ma e ia.
Se u ilizan ayudas 3D, an o en los espacios
eales como en los i uales, consis en es en
expone el obje o de es udio en es
dimensiones (3D) y, simul áneamen e, en sus
p oyecciones en el plano bidimensional (2D).
Es a es una ayuda ecuen emen e u ilizada
en el aula, en azados en la piza a, en
ilus aciones g á icas de lib os, láminas de
dibujo, e c. En es e es udio se abaja bajo la
hipó esis de que la ayuda 3D aumen a
no ablemen e si las explicaciones se ealizan
en el espacio eal y angible u ilizando
maque as (un ied o de planos aba ibles y
o os ma e iales complemen a ios) y que es as
ayudas ambién debe án de se e icaces
aplicándolas en el espacio i ual.
Documen ación.- En g an pa e de la
bibliog a ía consul ada se han encon ado las
ayudas 3D ci adas con ilus aciones g á icas
que mues an los con enidos en una
ep esen ación en pe spec i a (3D) jun o a
o o dibujo con los planos aba idos en sis ema
diéd ico (Suá ez Cañedo, 1958; Izquie do
Asensi, 1971; F ede-Al enidike , 1974;
Giménez A ibas, 1980; Rod íguez de Abajo,
1982; Raya Mo al, 1984; Bone Mingue , 1986;
Cabezas Gelabe y O ega de Uhle , 2001). Las
ayudas 3D apa ecen ambién en lib os de ex o
de di e en es e apas educa i as (Belda
Mendoza y Capilla A güelles, 1976; Solanas
Donoso, 1977; Gu ié ez Vázquez, Izquie do
Asensi, Na a o de Zu illaga y Placencia
Vale o, 1979; Rod íguez de Abajo, Ga cía
Co de a y Ruiz Aja, 1980).
2. Las ecnicas educa i as
2.1. Mé odo “ adicional”
Al aplica el mé odo que se pod ía denomina
Figu a nº1.
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Pixel-Bi . Re is a de Medios y Educación
como “ adicional” se ecu e a los azados en
la piza a ( ig.1), con di e en es es a egias pa a
aplica ayudas 3D. Las explicaciones y
azados pa a halla las is as en sis ema
diéd ico se acompañan de o os dibujos en
pe spec i a caballe a, con los mismos
con enidos, pa a acili a el es udio
compa a i o 2D / 3D. Se azan las
p oyecciones en pe spec i a (3D), se explica
el aba imien o de los planos del ied o y cómo
se hallan (2D) la plan a, el alzado y el pe il.
2. 2. Rep esen aciones como somb as
(modo somb as)
La comp ensión de es as p oyecciones o
is as se p e ende acili a ma e ializando los
espacios de abajo pa a hace los
ex ao dina iamen e pe cep ibles. Así, la
ayuda 3D consis e en u iliza ( igu as 3 a 5)
un ied o de planos aba ibles que puede gi a
al ededo de los ejes X y Z. Den o se pueden
ija igu as de alamb e (cue pos geomé icos)
cuyas somb as pueden p oyec a se y
dibuja se en sus planos. En la igu a 2 se e la
ins alación de es e ma e ial en un aula en
donde hay un p oyec o de luz que en ía sus
ayos sob e los planos de p oyección del
ied o. El con enido a es udia es, po
ejemplo, (A) una pi ámide (de alamb e) que se
ha colocado adecuadamen e pa a que gene e
una “copia” (S), somb a o ep esen ación.
Con es e ma e ial didác ico se puede
dis ingui ácilmen e en e el espacio eal (3D)
y el espacio ep esen ado (2D). Al alumno se
le hace e el espacio idimensional
compues o po el died o y la pi ámide (A),
jun o a la somb a (S) que se p oyec a. De es e
modo se es udian más ácilmen e las
simili udes y las di e encias en e las o mas
eales y las o mas ep esen adas (las somb as
p oyec adas), y cómo los elemen os 2D y 3D
e olucionan simul áneamen e en sus
mo imien os y ans o maciones.
En la secuencia de imágenes de las igu as
3 y 4: se a manipulando el ied o pa a que el
obje o (la casa de alamb e) p oyec e su
somb a, dando la p oyección e ical que se
aza con o ulado ; después se gi a el ied o
has a que llega a la posición de p oyec a y
aza la plan a; seguidamen e se hacen los
gi os necesa ios pa a halla el pe il. La casa
de alamb e, de cons ucción case a, p esen a
imp ecisiones geomé icas que, sin emba go,
a o ecen la comp ensión de las p oyecciones
po que las somb as de las a is as, que debe ían
de coincidi exac amen e, se en como
somb as de alamb es (a is as) di e en es. Y
Figu a nº 2.
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Bel án, J. y Bel án, J. M.
Figu a nº 3.
Figu a nº 4.
Figu a nº 5.
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po úl imo ( ig. 5), una ez dibujadas las is as,
se qui a la casa de alamb e y se aba en los
es planos de p oyección. Ya en es a posición,
se pueden aza las líneas de co espondencia
en e las es is as.
De es a mane a, la igu a eal (la casa) y sus
ep esen aciones se encuen an muy
ce canas, y el alumno las comp ende po la
simple pe cepción isual. Con el empleo de
las somb as, el cen o de p oyección (el
p oyec o de luz) es á a dis ancia ini a y, en
igo , no puede p oduci somb as a modo de
p oyecciones cilínd icas o ogonales; es o no
puede ocu i po que el pun o de luz no puede
es a en el in ini o. Pe o es e incon enien e
queda a enuado, po un lado, ubicando la
uen e de luz lo más alejada posible, po
ejemplo, en la pa ed opues a; y, po o o lado,
ilus ando al alumno pa a que comp enda es e
e o geomé ico y lo pe mi a po las en ajas
pedagógicas que es e ma e ial didác ico
o ece. Realmen e, y a e ec os p ác icos, no
hay al incon enien e pues o que se a a de
un e o concep ual y eó ico que el alumno
comp ende y consien e.
2.3. Rep esen aciones como is as (modo
is as)
En la ins alación que aho a se hace en el
aula ( ig. 6) se u iliza una cáma a de ídeo con
zoom colocada en el mismo luga que an es
ocupaba el p oyec o de luz. La igu a a
es udia , (la pi ámide A), es cap ada po la
cáma a de ídeo cuya señal es ansmi ida al
p oyec o de ídeo (“cañón”) que a su ez la
p oyec a en la pan alla (P). El p oyec o o
“cañón” de ídeo se egula (con su zoom, o
po su dis ancia a la pan alla) pa a que la
imagen p oyec ada (P) en la pan alla enga la
misma escala que el ied o eal.
Aquí, la ayuda 3D consis e en que: los
alumnos pueden e el ied o eal desde sus
mesas (los luga es V1, V2, V3, V4, e c.) y
ambién pueden obse a lo que se e desde
la cáma a. O sea, pueden e el obje o de
es udio desde sus p opios ojos y, ambién,
desde el ojo (con “ isión cilínd ica o ogonal”)
de la cáma a de ídeo. Po lo cual odos
pueden es udia simul ánea y/o
al e na i amen e la ealidad angible (A) y su
ep esen ación (P), du an e las explicaciones
del p o eso .
El alumno esuel e las p oyecciones
diéd icas pensando en las is as (con “ isión
cilínd ica”), es deci , pensando en cómo se e
la casa desde a iba, cómo se e de en e y
cómo se e de pe il. También con las “ is as”
(como an es con las “somb as”) el alumno
comp ende y consien e el e o geomé ico que
se p oduce al u iliza una cáma a de ideo
p o is a de zoom (la cual no puede da
p oyecciones cilínd icas o ogonales po que
su pun o de is a no puede es a en el in ini o).
En las igu as 7 y 8 se e a la izquie da el
“cañón” de ídeo que p oyec a en la pan alla
lo que e la cáma a. En la pa e de echa es á el
ied o eal con el obje o que se es udia: en la
igu a 7 es una casa opaca, con las ca as
oblicuas a los planos e icales del ied o; en
la igu a 8 el obje o es de alamb e, cons uido
con mayo exac i ud geomé ica, con sus ca as
pa alelas a los planos e icales del died o.
En las igu as 9 y 10 se mues a una
secuencia de 12 imágenes de los gi os del
ied o sob e sus ejes X y Z pa a halla la
plan a, el alzado y el pe il ( e o os 1, 6 y 12
e ocadas con las is as en neg o). Es una
sucesión de imágenes como las que oma la
cáma a de ídeo pa a p oyec a las sob e
di e en es sopo es, según con enga: (a)
sob e un panel plano po á il ecubie o de
pliegos de papel desechable ( e igu as 7 y

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Bel án, J. y Bel án, J. M.
Figu a nº 6.
Figu a nº 7.
Figu a nº 8.
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Pixel-Bi . Re is a de Medios y Educación
8) en donde se pueden e y aza las is as
con o ulado ; (b) sob e la piza a en donde
los azados se hacen con iza, aunque se en
con poca luz; y (c) sob e la pan alla en ollable
que hay en la pa e supe io de la piza a, que
puede se colocada empo almen e sob e los
an e io es sopo es según los eque imien os
didác icos. Las is as azadas, con o ulado
o con iza, quedan ubicadas en sis ema
eu opeo en su co ec a posición ( e igu a
10 bis).
3. Mé odo
La mues a.- Es á o mada po es g upos
de es udian es de p ime cu so de Bellas A es,
en el cu so 2006-07, ma iculados en la
asigna u a “Sis emas de Análisis de la Fo ma
Figu a nº 9-10.
Figu a nº 10: bis.
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Bel án, J. y Bel án, J. M.
y la Rep esen ación”, de 9 c édi os, oncal y
anual, en la cual se es udia el sis ema diéd ico
y las pe spec i as caballe a, axonomé ica y
cónica. Pa icipan 95 alumnos di ididos en los
g upos A, B y C. En el g upo A hay 39 alumnos,
en el B hay 15 y en el C 41. La mayo ía p o iene
del bachille a o.
An eceden es académicos.- Los alumnos se
han clasi icado en es ni eles: el ni el I se ha
asignado a los alumnos que solamen e hab ían
cu sado el sis ema diéd ico en e apas
an e io es al bachille a o; el ni el II a los que,
además, han cu sado es a ma e ia en el p ime
cu so de bachille a o; y el ni el III con los
que, además, la han cu sado en segundo cu so
(o ni eles equi alen es, o supe io es). Los
esul ados indican que, de los 95 pa icipan es,
en el ni el I hay 23 alumnos (el 24,21%); del
ni el II hay 61 (el 64,21%) y del ni el III hay 11
(el 11,5%). Como se puede e ( abla 1) es una
mues a he e ogénea con impo an es
desni eles.
Tabla nº 1: Ni eles según los
an eceden es académicos.
Aplicación de las écnicas educa i as y
g upo con ol.- Cada una de las es écnicas
explicadas an e io men e se han aplicado a es
g upos (A, B y C) dis in os: Al g upo A, la
écnica A: Mé odo “ adicional”. Al g upo
B, la écnica B: Modo somb as. Y al g upo C,
la écnica C: Modo is as. El g upo A se
conside a el g upo con ol y los g upos B y C
como los g upos in e enidos.
Va iables, ins umen os de medida e
in e enciones.- La a iable independien e se
co esponde con las in e enciones
educa i as según las es écnicas
an e io men e expues as, y la a iable
dependien e alo a los e ec os de es as
in e enciones en el alumnado. Pa a alo a
la a iable dependien e p ime o se mide el
ni el del alumnado de cada uno de los g upos
(ni el inicial) an es de la in e ención
educa i a, as la cual se e ec úa una segunda
medición (ni el inal) en los mismos g upos.
Las di e encias en e ambas mediciones son
los inc emen os egis ados en el alumno los
cuales in o man del endimien o de cada una
de las écnicas (A, B y C) aplicadas. Como
ins umen o de medida se u ilizan láminas de
dibujo, diseñadas pa a es e es udio, que han
de cumplimen a los alumnos. El alo inicial
se mide con la lámina de la igu a 11 median e
un sondeo inicial. Las in e enciones
educa i as se ealizan u ilizando la lámina de
la igu a 12; y el alo inal se mide con la
lámina de la igu a 13 median e la p ueba inal.
3.1. Sondeo inicial
Como ins umen o de medida pa a la
e aluación inicial de los es g upos (A, B y
C) de alumnos se ha u ilizado, como se ha
dicho, la lámina de la igu a 11. Al ealiza es a
p ueba, las ins ucciones dadas al alumnado
se limi a on a indica les que aza an a mano
alzada las es is as de las igu as dadas en
los espacios co espondien es. Se ealiza on
es as p uebas dando un iempo máximo de
40’.
3.2. In e ención educa i a
En las dis in as in e enciones (g upos A,
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Pixel-Bi . Re is a de Medios y Educación
B y C) se ha cuidado de que los di e en es
e ec os que p oduzcan en los alumnos, de cada
uno de los es g upos, es én causados
solamen e po las cualidades y peculia idades
de cada écnica, p ocu ando e i a cualquie
o o ipo de in luencia. Po lo cual las
di e encias es án en las écnicas aplicadas, y
los demás elemen os son comunes: (a) se ha
explicado con las ayudas 3D de mane a que el
alumno enga p esen e el espacio 3D y 2D
pa a que ealice las compa aciones
pe inen es, (b) se han explicado odas las
is as de cada una de las seis igu as, y en
o den c ecien e de di icul ad, (c) se han
mos ado las soluciones 2D en los planos de
p oyección del ied o y se ha dado iempo
pa a que los alumnos puedan aza las en sus
co espondien es láminas, (e) las es
in e enciones se han ealizado al comienzo
del cu so, sin ningún ipo de ac i idad
o ma i a p e ia y ( ) siemp e ha ac uado el
mismo expe imen ado . En las es
in e enciones se ha u ilizado la lámina de la
igu a 12, la cual p esen a un g ado de
di icul ad más bajo que las o as dos po que
aquí la mayo a ención del alumno ha de
emplea se en comp ende los undamen os
del sis ema diéd ico, e i ando es ue zos pa a
comp ende las igu as.
3.3. P ueba inal
La in e ención educa i a y la p ueba inal
se ealiza on, una as o a, en la misma sesión
y sin in e upción pa a e i a in luencias
ex e nas; así, una ez ecogidas las láminas
de la igu a 12, inmedia amen e se epa ie on
las de la igu a 13 y seguidamen e se p ocedió
a su azado sin ningún ipo de ayuda, y a
modo de examen. Así se p ocedió con cada
uno de los g upos A, B y C. No su gie on
p oblemas po exceso de abajo o al a de
iempo. Es a úl ima p ueba con iene un ni el
de di icul ad algo mayo que la del sondeo
inicial con el in de que se puedan cap a y
alo a mejo los p e isibles inc emen os
causados po la in e ención an e io .
4. Valo ación de los esul ados
4.1. C i e ios de alo ación.
En las p uebas (inicial y inal) se ha alo ado
(a) que el alumno sepa aza las is as y (b)
que además es én ubicadas en su luga
co espondien e, según el sis ema eu opeo;
es deci , se mide su comp ensión del
uncionamien o del sis ema diéd ico: (a) cómo
se p oyec a la igu a en cada plano del ied o
y (b) cómo se aba en los planos de p oyección.
La pun uación mayo que se puede ob ene
es el esul ado de mul iplica las 6 igu as de
la lámina po las 3 p oyecciones que gene a
cada una, o sea, 18.
4.2. Análisis de da os
Como se e en la abla 1, la mues a es
he e ogénea, y se ha ac uado en
consecuencia. Pa a cuan i ica los esul ados,
el da o que se ha de ob ene es el inc emen o
o di e encia en el núme o de acie os en e la
p ueba inicial y la p ueba inal. Casi no ha
habido di e encia en los alumnos de mayo
ni el: aquéllos que en la p ueba inicial han
ob enido 17 y 18 acie os (18 es lo máximo).
En onces se decidió no con a con es os
alumnos al hace las alo aciones po que no
iban a apo a da os signi ica i os, po lo que
la mues a ha quedado educida al conjun o
M ( abla 2) compues o po los alumnos de los
g upos A, B y C que en la p ueba inicial han
ob enido has a 16 acie os (ma gen 1-16). Así,
se ha compu ado la mues a del conjun o M,
cuyos esul ados se pueden e en la abla 3
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Bel án, J. y Bel án, J. M.
Figu a nº 14.
Figu a nº 15.
Figu a nº 16.

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Pixel-Bi . Re is a de Medios y Educación
Figu a nº 17a.
Figu a nº 17b.
Figu a nº 18.
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Bel án, J. y Bel án, J. M.
Figu a nº 19.
Figu a nº 20.
Figu a nº 21. Figu a nº 22.
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Pixel-Bi . Re is a de Medios y Educación
la écnica C (modo is as), aunque no enseña
el obje o de es udio en 3D en una zona de al
lado como an es se hizo en el espacio eal
con maque as ( e las igu as 7 y 8).
En cambio en es e úl imo ídeo ( igu as 21
y 22) sí se enseña el obje o de es udio en 3D
(el died o i ual, a la izquie da). La zona de
es udio es á di idida en dos: a la izquie da
apa ece, en pe spec i a cónica, una pi ámide
con un plano secan e, y a la de echa lo mismo
en sis ema diéd ico. El ídeo enseña, paso a
paso, cómo se halla la sección en los dos
espacios a la ez: en pe spec i a cónica (3D)
y en sis ema diéd ico (2D). Con o me se
a anza en la exposición de es e ídeo has a
llega a la igu a 22, las líneas se an azando
una a una desde su pun o de o igen has a su
des ino, ala gándose (o aco ándose, según
se haga a anza o e ocede la secuencia de
imágenes a modo de mo iola). En odos es os
ídeos se puede pa a la imagen, a anza o
e ocede a olun ad pa a da iempo a e ,
a ende consul as y comp ende la cues ión.
Es e ipo de p esen ación puede o ece
in e esan es ca ac e ís icas didác icas y, como
en o as que an e io men e se han hecho, sus
ecu sos pueden supe a a los de las écnicas
B y C en espacios eales.
En odos los casos, de una mane a u o a,
los con enidos a es udia se exponen en el
espacio idimensional (3D, eal o i ual) y en
sus co espondien es p oyecciones planas
(2D, eales o i uales) pa a es udia los de
modo simul áneo y/o al e na i o, en espacios
p óximos o conjun ados, en donde se pueden
ealiza mejo las compa aciones.
Nue as in es igaciones, que incluyan
es udios es adís icos con alumnos que cu san
es as ma e ias en di e en es e apas educa i as,
pod ían alo a la e acidad de los da os
ob enidos en es e es udio y, sob e odo, en
qué g ado son cie as las suposiciones
e ec uadas en es e capí ulo y qué alidez
ienen las p opues as de so wa e educa i o
que se ha expues o. Es e es udio indica que
son e icaces las ayudas 3D según las écnicas
B y C en el espacio eal po lo que se supone
que pod ían se i como modelo de
con igu ación del so wa e en espacios
i uales.
La manipulación del so wa e a modo de
mo iola es solamen e una opción que p e ende
gene aliza más su empleo docen e. En o as
opciones, se u iliza so wa e educa i o con
aplicaciones CAD, manipulable a iempo eal,
con posibilidad de a ia su con igu ación y
con enidos según las necesidades del
momen o, con mayo es posibilidades
didác icas a cambio de necesi a cie a
p epa ación (p epa ación que debe á de
inclui se, adecuadamen e, en las di e en es
e apas educa i as, no solamen e pa a
manipulación del so wa e didác ico sino
ambién como “ able o de dibujo”
complemen a io).
Como se ha is o, las modalidades que se
p oponen son cua o: (1) modo somb as
( igu as 14 a 16); (2) mix o somb as/ is as
(como una segunda pa e del ídeo an e io ,
ig. 17); (3) modo is as en una sola zona de
es udio ( igu as 18 a 20); y (4) modo is as en
dos zonas de es udio ( igu as 21 y 22). Pa a
que su empleo sea asequible a cualquie
usua io, se puede ealiza un ma e ial en o ma
de iche os de ídeo ( ipo .a i o .mpg) que se
puedan maneja a modo de “mo iola” (pa a la
ácil manipulación de ídeos, en e o as
aplicaciones, se puede u iliza Vi ualDub que
se puede desca ga de la ed g a ui amen e).
Con un g ado de p epa ación in o má ica
mayo , con el uso de sis emas CAD (Au oCad,
3DS udio…) las posibilidades pedagógicas de
es as ecnologías aumen an mucho más. Es
ambién un so wa e ú il pa a el ap endizaje
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Bel án, J. y Bel án, J. M.
en línea (Online lea ning), un modo de c ea ,
en ega y di igi ma e iales u ilizando la ed
(Pe u ena Cancio, L. y He nández- Pilo o
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expues as y es án basadas en ecu sos
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Fecha de ecepción: 23-03-2009
Fecha de e isión: 17-12-2009
Fecha de acep ación: 22-12-2009