Bol. Soc. Esp. Ma . Apl. no18 (2001), 19–45.
Polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones
Rena o ´
Al a ez Noda se
Depa amen o de An´
alisis Ma em´
a ico, Uni . de Se illa
Ins i u o Ca los I de F´
ısica Te´
o ica y Compu acional
Uni e sidad de G anada
e-mail: [email p o ec ed]
1 In oducci´on
En es e b e e a ´ıculo amos a in en a da una isi´on de los polinomios
o ogonales: en es ma em´a icos de g an sencillez y con un sinn´ume o de
aplicaciones an o en Ma em´a icas (ecuaciones di e enciales, combina o ia,
eo ´ıa de n´ume os, ´algeb a compu acional, unciones The a, ap oximaci´on
acional, eo ´ıa de g upos, e c) como en F´ısica o Ingenie ´ıa ( ´ısica cu´an ica,
ecuaciones de Sch ¨odinge , en op´ıas de Shannon, oscilado es, comp esi´on de la
in o maci´on, e c).
Aunque no es nues o obje i o p esen a nue os eo emas, pa a si ua nos en
el con ex o amos a comenza dando una de las de iniciones m´as sencillas de
amilia de polinomios o ogonales.
De inici´on: Dada una sucesi´on de polinomios (Pn)ncon g ado Pn=n, di emos
que es una sucesi´on de polinomios o ogonales con espec o a una medida µsi
se cumple que: RRPn(x)Pm(x)dµ(x) = δn,mKn,n,m= 0,1,2, . . ., donde δn,m
es el s´ımbolo de K onecke (δn,m = 1 si n=my 0 si n6=m).
Cuando la medida µes posi i a en onces, Kn>0 pa a odo n, en cuyo
caso se dice que la amilia de polinomios es de inida posi i a, y a dn=√Kn
se le denomina no ma del polinomio Pn. Ejemplos de dichas amilias son
los conocidos polinomios de Jacobi, Lague e y He mi e que in oduci emos
en el p ´oximo apa ado. Un caso de especial in e ´es es cuando la medida es
absolu amen e con inua, es deci , cuando exis e una unci´on con inua ρ(no
necesa iamen e posi i a) al que dµ(x) = ρ(x)dx. En es e caso la unci´on ρse
denomina unci´on peso.
Pa a mayo cla idad amos a di idi nues a exposici´on en dis in os
apa ados. Comenza emos dando una b e e in oducci´on his ´o ica pa a a con-
inuaci´on pasa a desc ibi dos de los aspec os m´as llama i os elacionados con
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R. ´
Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 20
es os obje os ma em´a icos: el nacimien o de la eo ´ıa gene al y los eo emas
de ca ac e izaci´on. Tambi´en e emos dos g andes subclases de polinomios
o ogonales: los q−polinomios y los polinomios ma iciales. Culmina emos
p esen an o un b e e apa ado con algunas de las aplicaciones m´as signi ica i as
de los polinomios o ogonales as´ı como la desc ipci´on de algunos ex os cl´asicos
sob e el ema.
2 B e e in oducci´on his ´o ica
2.1 Las amilias cl´asicas
Los polinomios o ogonales co esponden a una peque˜na pa e de una g an
amilia de unciones especiales. Su his o ia se emon a al siglo XVIII y
es ´a es echamen e elacionada con la esoluci´on de p oblemas de inmedia a
aplicaci´on p ´ac ica. Uno de es os p oblemas es aba elacionado con la, po
en onces ecien e, eo ´ıa de la g a edad de New on. E a bien conocido en el
siglo XVIII que la ue za de a acci´on en e dos cue pos pod´ıa se de e minada
a pa i de la unci´on po encial V(x, y, z). Adem´as, la misma e a ´acil de calcula
conociendo la dis ibuci´on de masa –digamos su densidad ρ– en el in e io del
cue po median e la ´o mula:
V(x, y, z) = ZZZρ(ξ, η, ζ)
dξdηdζ, (1)
donde =p(x−ξ)2+ (y−η)2+ (z−ζ)2y, po an o, calculando la in eg al
es posible encon a la unci´on V. Es o, sin emba go, es complicado ya que
es necesa io conoce a p io i la dis ibuci´on de masa de los cue pos, la cual
es, en gene al, desconocida. Si a es o unimos el hecho de que el c´alculo
di ec o de la in eg al (1) suele se muy engo oso –pues se a a de una in eg al
iple que hay que in eg a en un olumen aco ado pe o con o ma a bi a ia–.
Ad ien M. Legend e
O a posibilidad e a esol e la ecuaci´on del po encial
pa a pun os ex e io es al cue po: ∂2V
∂x2+∂2V
∂y2+∂2V
∂z2= 0.
Es a noci´on del po encial y su elaci´on con las ue zas
ue a ado po dis in os ma em´a icos de la alla de
Daniel Be noulli, Eule y Lag ange.
Uno de los p oblemas m´as a ac i os su gidos
en esos a˜nos ue el de la a acci´on de un cue po
po una es e a. Es e p oblema in e es´o a Ad ien–
Ma ie Legend e (1752–1833). ´
Es e, en un a ´ıculo de
1782 i ulado Su l’a ac ion des sph´e o¨ıdes (aunque
publicado en 1785), p ob´o un eo ema muy in e esan e
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Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 21
que es ablece que, si se conoce el alo de la ue za de a acci´on de un cue po
de e oluci´on en un pun o ex e io si uado en su eje, en onces se conoce en
odo pun o ex e io . As´ı edujo el p oblema al es udio de la componen e adial
P( , θ, 0), cuya exp esi´on es
P( , θ, 0) = ZZZ ( − 0) cos γ
( 2−2 0cos γ+ 02)3
2
02sin θ0dθ0dφ0d 0,
donde cos γ= cos θcos θ0+ sen θsen θ0cos φ0. Adem´as p ob´o que el in eg ando
de ´es a se pod´ıa exp esa median e una se ie de po encias de 0
de la o ma
1
2½1+3P2(cos γ) 02
2+ 5P4(cos γ) 04
4+. . .¾.
Las unciones P2, P4, ... son unciones acionales en e as –polinomios– de cos γ,
que hoy se conocen como polinomios de Legend e.
Dos a˜nos m´as a de en 1784, Legend e dedujo algunas de las p opiedades de
las unciones P2n(x) como la o ogonalidad:
Z1
0
P2n(x)P2m(x)dx =δmn
1
4m+ 1,
donde δmn es el s´ımbolo de K onecke . Hab´ıa nacido la p ime a amilia
de polinomios o ogonales de la his o ia. En ese mismo abajo, Legend e
p ob´o que los ce os de Pne an eales, dis in os en e s´ı, sim´e icos espec o
al o igen y meno es, en alo absolu o que 1. En su cua o a ´ıculo sob e el
ema (esc i o en 1790, aunque publicado es a˜nos m´as a de) in odujo los
polinomios de g ado impa , as´ı como los hoy llamados polinomios asociados de
Legend e Pm
n(x) que se exp esan a a ´es de los polinomios Pnde la o ma
P(m)
n(x) = (1 −x2)m
2dmPn(x)
dxm, y que son soluciones de la ecuaci´on de Laplace en
coo denadas es ´e icas as aplica el m´e odo de sepa aci´on de a iables.
Cha les He mi e
Los polinomios de Legend e ue on conside ados
ambi´en po Pie e–Simon Laplace (1749–1827) quien
en 1782 in odujo las unciones es ´e icas –que es ´an
di ec amen e elacionadas con los polinomios de
Legend e– y demos ´o a ios esul ados ela i os a
ellas. Tambi´en es des acable o o esul ado publicado
en 1826 –M´emoi e su l’a ac ion des sphe oides
(Co esp. su l’Ecole Royale Poly ech. III, 361–
385)– po el anc´es Olinde Rod igues (1794–1851). Se
a a de una ´o mula pa a exp esa los polinomios de
Legend e, Pn(x) = 1
2nn!
dn(x2−1)n
dxn, conocida hoy d´ıa
como ´o mula de Rod igues.
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La siguien e amilia, en o den de apa ici´on, ue la de los polinomios de
He mi e Hnllamados as´ı en hono a Cha les He mi e (1822–1901) quien los
es udi´o jun o con el caso de a ias a iables en su ensayo Su un nou eau
d´e eloppemen en s´e ie des onc ions (C. R. Acad. Sci. Pa is, I) en 1864 ( e
Œu es, Gau hie -Villa s, 1908, Tome II, 293–308), aunque al pa ece el p ime o
en conside a los ue Laplace en 1810 en su M´ecanique c´eles e donde los u iliz´o
en p oblemas de eo ´ıa de las p obabilidades. En es e caso la o ogonalidad se
exp esa espec o a la unci´on e−x2sopo ada en la ec a eal.
Luego el uso Pa nu i L o ich Chebyshe (1821–1894) ealiz´o un es udio
de allado de los mismos en 1859 – ´ease su a ´ıculo Su le d´e eloppemen des
onc ions `a une seule a iable (Oeu es, Tom I, 501-508, Chelsea Pub. Co.)–.
Nicol´as Lague e
La p ´oxima amilia, conocida como polinomios de
Lague e Lα
n, deben su nomb e a Edmond Nicol´as
Lague e (1834–1886). Es os polinomios ya e an
pa cialmen e conocidos po Niels Hen ik Abel (1802–
1829) y Joseph-Louis Lag ange (1736–1813), aunque es
nue amen e Chebyshe el p ime o en ealiza un es udio
de allado de los mismos en 1859 en el abajo an es
ci ado y que con inu´o el ma em´a ico uso Kons an in
Aleksand o ich Posse (1847–1928) en 1873. El caso
gene al pa a α > −1 ue es udiado po Yulian Vasile ich
Sojo kin (1842–1827) en 1873, y no es has a 1879 que Lague e los in oduce
–caso pa icula α= 0– cuando es udiaba la in eg al R∞
xe−xx−1dx, median e
su desa ollo en acciones con inuas. En pa icula , Lague e, en su memo ia
Su l’in ´eg ale R∞
x
e−xdx
x(Bull. Soc. Ma h. F ance, VII, 1879) ( e Πes,
Gau hie -Villa s, 1898, 428–437), p ueba, en e o as cosas, la elaci´on en e la
in eg al R∞
x
e−x
xdx, y la acci´on con inua:
Z∞
x
e−x
xdx =e−x
x+ 1 −1
x+ 3 −···
=e−xφm(x)
Lm(x),
donde los denominado es Lm(x) son las soluciones polin´omicas de la ecuaci´on
di e encial de Lague e xy00 + (x+ 1)y0−my = 0, m= 0,1,2, . . ., que no son
m´as que los hoy conocidos polinomios cl´asicos de Lague e.
En es e abajo Lague e ambi´en demos ´o que los ce os de los Lne an
eales y simples y adem´as, p ob´o la p opiedad de o ogonalidad que sa is ac´ıan
dichos polinomios:
Z∞
0
e−xLm(x)Ln(x)dx =δmn(n!)2.
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A˜nos m´as a de, en 1880, o o es udian e de Chebyshe , Nikolai Yako le ich
Sonin (1849–1915) con in´ua el es udio comenzado po Sojo kin sob e los
polinomios con α > −1. Es quiz´a po ello que en algunos si ios a los polinomios
Lα
n(x) se les denomina polinomios de Lague e–Sonin.
An es de pasa a nues a ´ul ima amilia cl´asica debemos hace una b e e
incu si´on en la eo ´ıa de las ecuaciones di e enciales de segundo o den. El es udio
de las unciones especiales que su gen como soluciones en se ie de ecuaciones
di e enciales o dina ias lineales ue desa ollado po Ca l F iede ich Gauss
(1777–1855) en su amoso ensayo de 1813 Disquisi iones gene ales ci ca se iem
in ini am ..., (We ke, II (1876), 123-162) sob e unciones hipe geom´e icas. –
las cuales, a su ez, ue on in oducidas po Leonha d Eule (1707–1783) en
1769–. En es e ensayo Gauss no hizo uso de la ecuaci´on di e encial que s´ı
u iliz´o m´as a de en ma e ial in´edi o –Disquisi iones gene ales ci ca se iem
in ini am..., (We ke, III (1876), 207-229)–. All´ı in odujo la ecuaci´on di e encial
x(1 −x)y00 + [γ−(α+β+ 1)x]y0−αβy = 0, cuya soluci´on es
F(α, β;γ|x) = 1 + α·β
1·γx+α(α+ 1) ·β(β+ 1)
1·2·γ(γ+ 1) x2+··· .(2)
Ca l F. Gauss
Gauss econoci´o que, pa a cie os alo es de α,βy
γ, la se ie inclu´ıa, en e o as, casi odas las unciones
elemen ales. Po ejemplo: (1 + z)a= F(−a, b;b|−z),
log(1+z) = zF(1,1; 2|−z), e c. Tambi´en Gauss es ableci´o
la con e gencia de la se ie e in odujo la no aci´on
F(a, b ;c|x) que con i e oda ´ıa con la no aci´on mode na
2F1¡a, b
c¯¯x¢. O o abajo impo an e de Gauss ue su
Me hodus no a in eg ali um alo es pe app oxima ionen
in eniendi, (We ke III, 163–196) donde demues a una
´o mula de cuad a u as pa a el c´alculo ap oximado (y
e icien e) de in eg ales que cons i uye una de las aplicaciones m´as impo an es
de los polinomios o ogonales. En conc e o, Gauss “ ecupe ´o” los ce os de los
polinomios de Legend e cuando buscaba d´onde debe ´ıan es a los del polinomio
de in e polaci´on (de Lag ange) pa a ob ene la mayo p ecisi´on posible al
in eg a en e 0 y 1, aunque no u iliz´o la o ogonalidad de los polinomios
(hecho que p obablemen e desconoc´ıa) sino la unci´on hipe geom´e ica 2F1. La
cons ucci´on de la ´o mula de cuad a u as, al y como la conocemos hoy usando
la o ogonalidad, se debe a nues o p ´oximo pe sonaje, Ka l Gus a Jacob
Jacobi –Ue e Gauss’ ne e Me hode die we he de In eg ale n¨ahe ungsweise
zu inden J. Reine Angew. Ma h., 1(1826) 301-308– (1804–1851), o o de los
g andes ma em´a icos del siglo XIX.

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Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 24
Ka l Jacobi
Jacobi ue uno de los m´as g andes ma em´a icos del
siglo XIX y no s´olo po sus apo aciones pu amen e
e´o icas, sino po su in e ´es po esol e d´ı iciles
p oblemas de inmedia a aplicaci´on p ´ac ica –las amosas
ecuaciones de Hamil on y Jacobi de la Mec´anica, o sus
abajos en Mec´anica de Fluidos, po ejemplo–. Es
no able su c´eleb e ase: “El se˜no Fou ie opina que
la inalidad de las ma em´a icas consis e en su u ilidad
p´ublica y en la explicaci´on de los en´omenos na u ales;
pe o un il´oso o como ´el debe ´ıa habe sabido que la
inalidad ´unica de la ciencia es endi hono al esp´ı i u humano y que, po
ello, una cues i´on de n´ume os ale an o como una cues i´on sob e el sis ema
del mundo, que quiz´a di´o comienzo a esa absu da ba alla de hoy d´ıa sob e la
p io idad de la Ma em´a ica “pla ´onica” basada en la idea de que la Ma em´a ica
debe se independien e de oda u ilidad inmedia a de la Ma em´a ica aplicada de
Fou ie .
Fiel a esa idea pla ´onica, Jacobi in oduce una nue a amilia que gene aliza
los polinomios de Legend e a pa i de la unci´on hipe geom´e ica de Gauss,
sin impo a le sus posibles aplicaciones – eco demos que las amilias an e io es
hab´ıan apa ecido de uno u o o modo elacionadas con aplicaciones ´ısicas o
ma em´a icas–. As´ı, en su a ´ıculo p´os umo de 1859, Un e sunshungen ¨ube die
Di e en ialgleichung de hype geome ischen Reihe (J. Reine Angew. Ma h. 56
149–165), de ini´o la amilia de polinomios
Pα,β
n(x) = Γ(n+α+ 1)
Γ(α+ 1)n!2F1µ−n, n +α+β+ 1
α+ 1 ¯¯¯¯
1−x
2¶,
pa a la que demos ´o, en e o as, una p opiedad de o ogonalidad en el in e alo
[−1,1] con espec o a la unci´on peso ρ(x) = (1−x)α(1+x)β,α > −1, β > −1,
o sea,
Z1
−1
Pα,β
n(x)Pα,β
m(x)ρ(x)dx =δmn
2α+β+1Γ(n+α+ 1)Γ(n+β+ 1)
(2n+α+β+ 1)Γ(n+α+β+ 1)n!,
donde Γ(x) deno a la unci´on Gamma de Eule . Es ´acil comp oba ( e , po
ejemplo, [12, 40, 42]) que an o los polinomios de Lague e como los de He mi e
ambi´en se pueden esc ibi como una unci´on hipe geom´e ica no de Gauss, sino
de las unciones hipe geom´e icas gene alizadas pFq.
Pa a culmina es e apa ado menciona emos que una gene alizaci´on de la
se ie hipe geom´e ica de Gauss (2) ue ealizada po Edua d Heine (1821–1881)
en 1846–1847. En sus ensayos ¨
Ube die Reihe... (J. Reine Angew. Ma h. 32
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Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 25
(1846), 210-212) y Un e suchungen ¨ube die Reihe... (J. Reine Angew. Ma h.
34 (1847), 285-328), Heine in oduce la se ie
1 + (1 −qα)(1 −qβ)
(1 −q)(1 −qγ)z+(1 −qα)(1 −qα+1)(1 −qβ)(1 −qβ+1)
(1 −q)(1 −q2)(1 −qγ)(1 −qγ+1)z2+···,
que ob iamen e se ans o ma en (2) cuando q→1 y se conoce como la se ie de
Heine 2ϕ1. Gene alizaciones de la se ie de Heine han se ido pa a in oduci y
es udia o as amilias de polinomios: los q-polinomios a los que nos e e i emos
m´as adelan e.
2.2 Las amilias cl´asicas disc e as
Adem´as de las amilias an e io es, conocidas como amilias cl´asicas con inuas
(ya que sa is acen una ecuaci´on di e encial), exis en o as denominadas
com´unmen e amilias “disc e as” ya que su o ogonalidad iene dada median e
sumas, o bien son soluci´on de una ecuaci´on en di e encias. El caso m´as
sencillo lo cons i uyen los polinomios de Chebyshe disc e os in oducidos po
Chebyshe en 1858 en un b e e abajo i ulado Su une nou elle s´e ie (Oeu es,
Tom I, 381–384, Chelsea Pub. Co.), y que luego ampli´o en su ensayo Su
l’in e pola ion des aleu s ´equidis an es (Oeu es, Tom II, 219–242, Chelsea
Pub. Co.) de 1875, cuyo p incipal obje i o e a cons ui buenas ablas de
uego pa a la a ille ´ıa usa. Siguiendo las ideas expues as po Chebyshe , M.
P. K a chuk in odujo en 1929 una nue a amilia: los polinomios de K a chuk.
La idea es la siguien e: in e pola una unci´on cuando a los alo es dados de
la unci´on se les asignan unos pesos de acue do con alguna ley de e minada
de p obabilidad. En o as palab as, sean x0, x1, . . . , xNdi e en es alo es
de la a iable independien e de una unci´on (x) y sean y0, y1, ..., yNlos
co espondien es alo es de la unci´on. Se quie e encon a los coe icien es Am
del desa ollo y≈A0P0(x) + ...+AkPk(x),(k < N) de e minados po la
condici´on
N−1
X
i=0
ρ(xi)[yi−A0P0(xi)−···−AkPk(xi)]2= m´ınimo, xi+1 =xi+ 1,
y donde Pmes un polinomio de g ado mde e minado po la condici´on de
o ogonalidad y no malizaci´on (polinomios o ono males)
N−1
X
i=0
ρ(xi)Pk(xi)Pm(xi) = ½0k < m
1k=m, ρ(xi)>0,
N−1
X
i=0
ρ(xi) = 1.(3)
En el caso ρ(x) = 1, x= 0,1, . . . N −1 (dis ibuci´on uni o me), es e
p oblema conduce a los polinomios disc e os de Chebyshe , mien as que el
R. ´
Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 26
caso ρ(x) = (n−1)(n−2)···(n−x)
1·2···xpxqn−1−x,x= 0,1,2, . . . , N −1 (dis ibuci´on
binomial) conduce a los polinomios de K a chuk. O os casos co esponden a
las dis ibuciones de Poisson ρ(x) = µx
x!,x= 0,1,2, . . . (polinomios de Cha lie ),
de Pascal ρ(x) = µx
Γ(γ+x)x!,x= 0,1,2, . . . (polinomios de Meixne ) y de P´olya
o hipe geom´e ica ρ(x) = Γ(N+α−x)Γ(β+x+1)
Γ(N−x)x!,x= 1,2, . . . , N −1 (polinomios
de Hahn, de los cuales los de Chebyshe son un caso pa icula ). Es as cua o
amilias cons i uyen lo que hoy conocemos como polinomios cl´asicos disc e os.
Aunque el m´e odo desc i o nos pe mi e ob ene odas las amilias de
polinomios disc e os no odas se descub ie on de esa mane a. Como ejemplo
mos a emos c´omo apa ecie on los polinomios de Meixne a pa i de las
unciones gene a ices, muy ´u iles en la eo ´ıa de p obabilidades. Po unci´on
gene a iz de la sucesi´on de polinomios (Pn)nse en iende una unci´on Fde
dos a iables que se puede ep esen a median e una se ie o mal in ini a de
la o ma F(x, w) = P∞
n=0 anPn(x)wn, donde la sucesi´on (an)nes conocida.
J. Meixne , en un a ´ıculo publicado en el J. London Ma h. Soc. ( ol
9pp. 6-13) en 1934, conside ´o el p oblema de la de e minaci´on de odos
los sis emas de polinomios o ogonales cuyas unciones gene a ices u ie an
la o ma A(w)exG(w)=P∞
n=0 n(x)wn,A(w) = P∞
n=0 anwn, y G(w) =
P∞
n=1 gnwn, donde a06= 0, g16= 0 y nson polinomios de g ado ncon
coe icien es p incipales y (n!)−1a0gn
1–el coe icien e p incipal de un polinomio es
el coe icien e de la mayo po encia del mismo, o sea, ansi pn(x) = anxn+···–.
Meixne p ob´o que a la sucesi´on (Pn)nle co esponde una unci´on gene a iz
an e io si y s´olo si los polinomios (Pn)nsa is acen una elaci´on de ecu encia de
la o ma Pn+1(x) = [x−(d n+ )]Pn(x)−n(g n+h)Pn−1(x), n6= 0, donde g6= 0,
g+h > 0. Adem´as demos ´o que exis ´ıan cinco clases dis in as de polinomios
o ogonales con una unci´on gene a iz de inida como an es, es conocidas: los
polinomios de He mi e, los polinomios de Lague e y los polinomios de Cha lie
–in oducidos inicialmen e po C.V.L. Cha lie en 1905–1906 en su a ´ıculo en
el A ki ¨o Ma ema ik, As onomi och Fysik. ( ol. 2(20) pag. 35) al es udia
cie os p oblemas elacionados con mediciones as ´onomicas–, y dos nue as: los
ya mencionados polinomios de Meixne y los polinomios de Meixne de segunda
especie, o ogonales espec o a una unci´on peso compleja.
3 Teo ´ıa gene al. S iel jes y Chebyshe
Como hemos is o en la secci´on an e io , los polinomios o ogonales es ´an
es echamen e elacionados con las ecuaciones di e enciales y eo ´ıa de ap o-
ximaci´on (en pa icula po su elaci´on con las acciones con inuas). Es a
conexi´on, y en especial la segunda, conducen al nacimien o, en la segunda mi ad
R. ´
Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 27
del siglo XIX, de la eo ´ıa gene al sob e polinomios o ogonales.
Veamos, en p ime luga , la elaci´on en e los polinomios o ogonales y la
eo ´ıa de las acciones con inuas. Comenza emos con los abajos de Thomas
Jan S iel jes J . (1856–1894). S iel jes, en su amoso ensayo Reche ches su les
ac ions con inues (Ann. Fac. Sci. Uni . Toulouse, 8(1894) 1-122, 9(1895)
1-47) publicado p´os umamen e en dos pa es en 1894 y 1895, desa oll´o la eo ´ıa
gene al de las S- acciones de inidas po
1
c1z+1
c2+1
c3z+· · · 1
c2n+1
c2n+1z+...
,
con la condici´on ck>0 (k= 1,2, ...). S iel jes p ob´o que haciendo el cambio
a2
0= 1/c1, b0=−1/(c1c2) y a2
n= 1/(c2n−1c2
2nc2n+1), bn=−1/(c2nc2n+1)−
1/(c2n+1c2n+2), n= 1,2, . . ., es a acci´on se ans o maba en una de las
acciones con inuas de Jacobi y, adem´as, que si ak= 0, pa a odo k≥n+ 1,
en onces la exp esi´on an e io se ans o maba en una unci´on acional n(z)
de la o ma n(z) = 1
a1
p(1)
n−1(z)
pn(z), donde los polinomios denominado es pn(z) y los
nume ado es p(1)
n−1(z) son soluciones de la elaci´on de ecu encia a es ´e minos
z n(z) = an+1 n+1(z) + bn n(z) + an n−1(z), n ≥0,
Thomas S iel jes
con las condiciones iniciales:
−1(z) = 0, 0(z) = 1 y −1(z) = 1, 0(z) = 0,
espec i amen e. A pa i de la elaci´on de ecu en-
cia y pa a el caso de las J- acciones, S iel jes demos ´o
que exis ´ıa un uncional L, lineal y posi i o, al que,
L(pnpm) = 0 pa a n6=m, lo cual se puede in e p e-
a como una e si´on p imi i a del amoso eo ema de
Fa a d demos ado an es po O. Pe on (1929), A. Win -
ne (1929) y M. H. S one (1932), J. She man (1935) y I.
P. Na anson (1935) indis in amen e que asegu a lo siguien e:
Teo ema: (Fa a d 1935 [20]) Supongamos que una sucesi´on de polinomios
(pn)nsa is ace una elaci´on de ecu encia a es ´e minos de la o ma:
zpn(z) = an+1pn+1(z) + bnpn(z) + anpn−1(z), n ≥0,
R. ´
Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 34
y g upos cu´an icos, en e o as in oluc ´andonse un sinn´ume o de ma em´a icos
de los que se puede des aca a R. Askey, J. A. Wilson, T. H. Koo nwinde ,
D. S an on, M. E. H. Ismail, T. S. Chiha a, W. A. Al-Salam, A. F. Niki o o ,
V. B. U a o , N. M. A akishiye , S. K. Suslo , en e o os ( e , po ejemplo,
[8, 9, 10, 22, 28, 29, 39]).
Exis en dos o mas gene ales de a a a es as amilias. La p ime a,
desa ollada en los a˜nos 80 po los es adounidenses G. E. And ews y R. Askey
y sus colabo ado es, se basa en las se ies hipe geom´e icas b´asicas 4ϕ3–las “q”
gene alizaciones de la se ie de Gauss de las que ya hemos is o un ejemplo
debido a Heine–, de inidas en gene al po
ϕpa1, a2, ..., a
b1, b2, ..., bpq;z=
∞
X
k=0
(a1;q)k···(a ;q)k
(b1;q)k···(bp;q)k
zk
(q;q)kh(−1)kqk
2(k−1)ip− +1 ,
con (a;q)n=Qn−1
k=0 (1 −aqk), 0 < q < 1. En pa icula , descub ie on que odas
las amilias de polinomios o ogonales cl´asicos pod´ıan ob ene se como casos
l´ımi es de los polinomios de Askey-Wilson de inidos po
pn(x;a, b, c, d) = 4ϕ3q−n, qn−1abcd, ae−iθ, aeiθ
q;q
ab, ac, ad , x = cos θ,
apa eciendo en 1994 [28] la q−Tabla de Askey que clasi icaba (p esun amen e)
a odas las dem´as amilias de q−polinomios.
Algo m´as a de, en 1983, los usos A. F. Niki o o y A. V. U a o
p oponen una ap oximaci´on di e en e (y m´as gene al) que consis e en conside a
los q−polinomios como soluciones polin´omicas –en x(s)– de una ecuaci´on en
di e encias:
˜σ(x(s)) 4
4x(s−1
2)5y(s)
5x(s)+˜τ(x(s))
2·4y(s)
4x(s)+5y(s)
5x(s)¸+λy(s) = 0,
5 (s) = (s)− (s−1),4 (s) = (s+ 1) − (s),
(6)
con x(s) = c1qs+c2(q)q−s+c3(q) = c1(qs+q−s−µ) + c3, donde q∈C,c1, c2, c3
son cons an es que pueden depende de q, pe o son independien es de s; ˜σ(x(s))
es un polinomio de g ado, a lo sumo, 2 en x(s) y ˜τ(x(s)), de g ado 1 y λes una
cons an e. La ecuaci´on an e io se denomina ecuaci´on en di e encias de ipo
hipe geom´e ico y ap oxima a la ecuaci´on (4) en la ed no uni o me x(s). Una
p opiedad inmedia a de es a ap oximaci´on es p ecisamen e que las soluciones
de (6) se pueden exp esa como se ies b´asicas, es deci
Pn(s)q=4ϕ3µq−n, q2µ+n−1+P4
i=1si, qs1−s, qs1+s+µ
qs1+s2+µ, qs1+s3+µ, qs1+s4+µ;q , q¶,(7)

R. ´
Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 35
En pa icula , los polinomios de Askey-Wilson son una soluci´on de la ecuaci´on
an e io cuando x(s) = 1
2(qs+q−s)≡x, y qs1=a,qs2=b,qs3=c,qs4=d.
Los abajos de es os dos au o es culmina con una clasi icaci´on di e en e de los
q−polinomios, basada en la ecuaci´on (6), apa ecida en 1991 [41].
Apa en emen e, la clasi icaci´on de los q−polinomios seg´un la q− abla
de Askey con en´ıa odas las amilias posibles de q−polinomios. No
obs an e quedaba pendien e la cues i´on de si ealmen e la ecuaci´on de ipo
hipe geom´e ico (6) en´ıa como soluci´on a odas las amilias conocidas de
q−polinomios. Es a cues i´on ue pa cialmen e esuel a en [6], donde se es ablece
un hecho so p enden e: incluso den o de la clase de Hahn, lo que equi ale
a abaja en la ed exponencial lineal x(s) = c1qs+c3, la clasi icaci´on de
Niki o o -U a o con iene dos amilias comple amen e nue as y no con enidas
en el q−esquema de Askey. Ellas son:
jn(x;a, b) = 2φ0µq−n, aqn
—¯¯¯q;x
ab¶,yln(x;a) = 2φ0µq−n,0
—¯¯¯q;−x
a¶.
Ac ualmen e con in´ua abie o el p oblema de ca ac e izaci´on en la ed gene al
conoci´endose s´olo algunos esul ados pa ciales (aunque muy in e esan es)
debidos a A. G unbaum y L. Haine usando ´ecnicas biespec ales [23]. Tambi´en
es ´a abie o el p oblema de clasi icaci´on comple a de odas las amilias
o ogonales en la ed gene al x(s) = c1(q)qs+c2(q)q−s+c3(q).
6 Polinomios ma iciales
An es de pasa a e algunas de las p incipales aplicaciones de los polinomios
o ogonales amos a comen a b e emen e una de las ex ensiones m´as
impo an es y de mayo ac ualidad de la eo ´ıa de polinomios o ogonales: los
polinomios o ogonales ma iciales. Es os obje os ma em´a icos son polinomios
cuyos coe icien es son ma ices cuad adas e.g. N×N, o equi alen emen e, son
ma ices cuyas en adas son polinomios, i.e., Pn(x) = Anxn+An−1xn−1+
···A1x+A0con Ak∈RN,N ,k= 0,1, . . . , n. La o ogonalidad iene dada
en es e caso po una ma iz de medidas µ= (µi,j)N
i,j=1 de inida posi i a
(es deci , al que pa a odo conjun o de Bo el A⊂R, la ma iz n´ume ica
µ(A) = (µi,j(A))N
i,j=1 es semide inida posi i a) con momen os RR ndW ( )<
+∞,∀n≥0, al que
ZR
Pn(x)dµ(x)Pm(x) = δn,mΓn, n, m ≥0,(8)
siendo Γnuna ma iz de inida posi i a. Como en el caso escala , la sucesi´on de
polinomios ma iciales o ogonales (Pn)nsa is ace una ´o mula de ecu encia
R. ´
Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 36
de es ´e minos:
Pn( ) = An+1Pn+1( ) + Bn( )Pn( ) + A∗
nPn−1( ), n ≥0,
donde P−1( ) es la ma iz nula 0nyP0( ) = Ines la ma iz unidad In.
La o ogonalidad ma icial ha sido es udiada de mane a espo ´adica du an e
los ´ul imos cincuen a a˜nos. Po ejemplo, M. K ein conside a el p oblema de
momen os ma icial y los co espondien es polinomios ma iciales en los a˜nos 40.
En los 60 se in e esan po ellos F. A kinson (1968) y Yu. M. Be ezansky (1965)
en sus monog a ´ıas Disc e e and con inuous bounda y p oblems yExpansions
in eigen unc ions o sel adjoin ope a o s, espec i amen e. En los 80, J.S.
Ge onimo los usa en la eo ´ıa de dispe si´on (sca e ing heo y), S. Basu y
N. K. Bose (1983) en modelos de edes (ne wo ks), e c. No obs an e, al aba
mo i aci´on pa a desa olla un es udio sis em´a ico de la eo ´ıa; es a mo i aci´on
ha apa ecido al p incipio de es a d´ecada a pa i de a ios abajos de A. Du ´an
[18, 19] donde ´es e mues a c´omo in e p e a ma icialmen e la o ogonalidad
escala , con i iendo as´ı la eo ´ıa de polinomios ma iciales o ogonales en una
he amien a pa a esol e p oblemas de la eo ´ıa escala cl´asica.
En pa icula , Du ´an p ueba, usando las medidas ma iciales, que
1
Pn|p0
n(0)|2= sup{w22({0})−|w12|2({0})
w1,1({0}):W},
donde W= (wi,j)2
i,j=1 es el conjun o de odas las medidas ma iciales asociadas
a la sucesi´on (pn)n, p oblema ´es e que pe manec´ıa abie o desde p incipios del
siglo XX, po que pa a da le espues a e a necesa io acudi a la o ogonalidad
ma icial. Es e uso de la o ogonalidad ma icial pa a esol e p oblemas de la
o ogonalidad escala cl´asica ha gene ado el in e ´es necesa io pa a lle a a cabo
un es udio sis ´ema ico de la o ogonalidad ma icial, si u´andola, adem´as, como
una de las ´a eas m´as p ome edo as den o de la eo ´ıa de polinomios o ogonales.
7 Aplicaciones
Desc ibamos a con inuaci´on algunas de las aplicaciones de los polinomios o -
ogonales.
Equilib io elec os ´a ico. Una aplicaci´on muy in e esan e de los polinomios
o ogonales cl´asicos de Jacobi, Lague e y He mi e, ue descubie a po S iel jes
y es ´a es echamen e ligada al p oblema del equilib io elec os ´a ico ( e e.g.
[42] y las e e encias del mismo). Es e p oblema se di ide en dos: cuando el
in e alo donde se encuen an las ca gas es un in e alo aco ado y cuando no lo
es.
R. ´
Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 37
I. Caso de un sis ema de ca gas en un in e alo aco ado. Supongamos que
enemos nca gas uni a ias x1, x2, . . . , xndis ibuidas en [−1,1] y colocamos
dos ca gas ex a en los ex emos: una ca ga p > 0 en x= 1 y o a q > 0 en
x=−1. Supongamos que la ene g´ıa de in e acci´on en e las ca gas es ´a egida
po una ley loga ´ı mica (elec os ´a ica bidimensional) exp esada median e la
´o mula
L=−log Dn(x1, x2, . . . , xn) + p
n
X
i=1
log 1
|1−xi|+q
n
X
i=1
log 1
|1 + xi|,
donde el disc iminan e Dn(x1, x2, . . . , xn) de x1, x2, . . . , xn iene dado po
Dn(x1, x2, . . . , xn) = Y
1≤i<j≤n|xi−xj|.
Teo ema: (S iel jes 1885–1889) La ene g´ıa alcanza ´a un m´ınimo cuando
x1, x2, . . . , xnsean los ce os del polinomio de Jacobi P(2p−1,2q−1)
n(x).
Es e eo ema nos da la in e p e aci´on elec os ´a ica de los ce os de los
polinomios pa a un in e alo aco ado. No emos que, al conside a un sis ema de
ca gas uni a ias del mismo signo, ´es as se epele ´an. En el caso de un in e alo
aco ado, las ca gas, al es a ligadas a ´el, se man end ´an en su in e io . No ocu e
igual en el caso de que el in e alo no sea aco ado, pues las ca gas se pueden
i al in ini o (como de hecho ocu i ´ıa si se deja an lib es). Po ello, en el caso
de in e alos no aco ados se ienen que in oduci condiciones adicionales que
asegu en que las ca gas no se alejan al in ini o.
II. Caso de un sis ema de ca gas en un in e alo no aco ado. Supongamos que
enemos nca gas uni a ias dis ibuidas en el in e alo [0,∞) y colocamos una
ca ga ex a p > 0 en el o igen x= 0. Pa a impedi que las ca gas se puedan i
al in ini o exigi emos que se cumpla una condici´on ex a pa a el cen oide de las
ca gas: 1
nPn
k=1 xk≤K, con Kcie o n´ume o posi i o. En es e caso la ene g´ıa
end ´a dada po la exp esi´on
L=−log Dn(x1, . . . , xn) + p
n
X
k=1
log 1
xk
.
Teo ema: La exp esi´on an e io jun o con la condici´on pa a el cen oide
iene un m´ınimo cuando x1, x2, . . . , xnson los ce os del polinomio de Lague e
L(2p−1)
n(cnx), donde cn= (n+ 2p−1)/K.
Si aho a colocamos las nca gas uni a ias dis ibuidas en el in e alo (−∞,∞) e
imponemos la condici´on: 1
nPn
k=1 x2
k≤L, L > 0, en onces enemos el siguien e
esul ado:
R. ´
Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 38
Teo ema: La exp esi´on −log Dn(x1, x2, . . . , xn)con la condici´on sob e el
momen o de ine cia end ´a un m´ınimo cuando x1, x2, . . . , xnson los ce os del
polinomio de He mi e Hn(dnx), donde dn=p(n−1)/2L.
Un hecho impo an e elacionado con es a in e p e aci´on elec oes ´a ica es
el siguien e: Si conside amos que la ca ga o al en el caso del in e alo [−1,1]
es 1, y hacemos ende el n´ume o de dichas ca gas a in ini o obse amos que las
ca gas pyqde los ex emos es desp eciable con espec o a la ca ga in e io y,
po an o, la dis ibuci´on asin ´o ica de los ce os de los polinomios de Jacobi es
independien e de los pa ´ame os αyβde los mismos, luego podemos ob ene la
a pa i de cualquie a de sus “sub amilias”. As´ı, po ejemplo, si omamos los
polinomios de Chebyshe de p ime a especie (α=β= 1/2) cuyos ce os son
xj= cos(2j−1)π/(2n), j= 1,2, . . . , n, end emos pa a el n´ume o de ce os
Nn(a, b) en el in e alo [a, b] la siguien e es imaci´on:
Nn(a, b)
2n=X
a≤cos (2j−1)π
2n≤b
1
n=1
πZb
a
1
√1−x2dx +o(1),
conocida como la dis ibuci´on a cseno y que esul a ca ac e ´ıs ica pa a oda
una ampl´ısima clase de polinomios o ogonales [−1,1], como, po ejemplo, la
conocida clase de Ne ai. En ealidad, es e hecho no es una casualidad sino que
es una consecuencia de la es echa in e elaci´on que exis e en e la eo ´ıa de
polinomios o ogonales y la eo ´ıa del po encial y es p ecisamen e una de las
p incipales l´ıneas de in es igaci´on del momen o.
M´ecanica cu´an ica. En o a di ecci´on, p ecisamen e la ecuaci´on di e encial
que las amilias cl´asicas (y o as) sa is acen da pie a una de sus p incipales
aplicaciones: su u ilizaci´on pa a desc ibi los m´as impo an es modelos cu´an icos
an o ela i is as como no ela i is as. Po ci a algunos menciona emos el
oscilado cu´an ico (polinomios de He mi e o Lague e y Jacobi), el ´a omo de
hid ´ogeno y la in e aci´on en e los piones y el n´ucleo a ´omico (polinomios de
Lague e y Jacobi), e c.
Como ejemplo eamos las ecuaciones es aciona ias de Sch ¨odinge pa a el
´a omo de hid ´ogeno (caso no ela i is a) y de Klein-Go don pa a un pi´on (caso
ela i is a) en un po encial de Coulomb, i.e.,
∆ψS+ 2 µES+1
¶ψS= 0,∆ψKG +·³EKG +µ
´2−1¸ψKG = 0,
espec i amen e, donde ∆ es el laplaciano en R3,E ep esen a la ene g´ıa del
sis ema y ψes la unci´on de onda que ca ac e iza po comple o al sis ema.
U ilizando que el po encial es cen al, y po an o iene sime ´ıa es ´e ica,
R. ´
Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 39
podemos sepa a a iables en coo denadas es ´e icas ob eniendo las siguien es
soluciones
ψS( , θ, φ) = Nn,le−(2
n+l+1 )µ2
n+l+ 1¶l+1
L2l+1
nµ2
n+l+ 1¶Yl,m(θ, φ),
con Nn,l = n!
(n+l+ 1)2(n+ 2l+ 1)! pa a la p ime a y, pa a la segunda,
ψKG = an!
(n+ν+ 1)(n+ 2ν+ 1)!e−2a (2a )ν+1 L2ν+1
n(2a )Yl,m(θ, φ),
con ν=−1
2+q(l+1
2)2−µ2,a= 1−³1−µ2
2(n+l+1)2´2yLα
nlos polinomios
cl´asicos de Lague e. En ambos casos, n= 0,1,2, . . .,l= 0,1, . . . , n −1,
m=−l, −l+ 1, . . . , l eYl,m ep esen a a los a m´onicos es ´e icos que son
p opo cionales a los polinomios de Jacobi Pm,m
l−m(cos θ). Finalmen e, pa a ambos
sis emas se ob ienen los siguien es alo es de la ene g´ıa E:
ES=−1
2(n+l+ 1)2, EKG = 1 −µ2
2(n+l+ 1)2.
En ambos casos se iene un espec o disc e o de ene g´ıa que concue da muy
bien con los hechos expe imen ales. Des aquemos que en el caso del ´a omo
de hid ´ogeno es os alo es explica on pe ec amen e la llamada se ie de Balme ,
´ısico suizo que en 1885 descub i´o que las ecuencias ωde las l´ıneas del espec o
de ayas del ´a omo de hid ´ogeno se exp esaba po la ´o mula ω=Rµ1
22−1
k2¶,
k= 3,4, . . . yRcie a cons an e. P ecisamen e los in en os de explica es e
en´omeno die on un impulso de ini i o a la apa ici´on de la eo ´ıa cu´an ica. (Boh
(1913), Pauli (1929) y Sch ¨odinge (1929)).
510 15 20 25
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
x2R3,02
x2R3,12
x2R0,02
Es ado undamen al (neg o) y exi ado ( onos g ises) del ´a omo de Hid ´ogeno
O a aplicaci´on impo an e de los polinomios o ogonales elacionada con lo
an e io es en el c´alculo de las en op´ıas de sis emas cu´an icos, en pa icula

R. ´
Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 40
pa a los oscilado es y ´a omos de hid ´ogeno. Es a can idad iene de inida po
in eg ales de la o ma
Eβ(pn) = −Zxβp2
n(x) ln ¡p2
n(x)¢ρ(x)dx ,
donde pnson polinomios o ogonales espec o a la unci´on peso ρ(dµ(x) =
ρ(x)dx), y β∈R. En gene al, el alo pa a la en op´ıa no se conoce pa a
casi ninguna amilia de polinomios (excep uando los polinomios de Cheby-
she de p ime a y segunda especie), y muchos de los esul ados son esul ados
asin ´o icos. G an pa e de es a eo ´ıa es ´a siendo desa ollada po J. S. Dehesa
y sus colabo ado es ( e el magn´ı ico su ey sob e es e ema [16]).
Teo ´ıa de ep esen aci´on de q−´algeb as. O o ejemplo de aplicaci´on de
los polinomios o ogonales es ´a elacionado con la eo ´ıa de ep esen aci´on de
q−´algeb as. A modo de ejemplo amos a desc ibi la conexi´on en e el q−´algeb a
SUq(2) y los polinomios duales de Hahn de inidos po [7]
W(c)
n(x(s), a, b)q=3ϕ2µq−n, qa−s, qa+s+1
qa−b+1, qa+c+1 ;q, q¶.(9)
El ´algeb a SUq(2) es ´a gene ada po los ope ado es J+, J−, J0, que sa is acen
las ecuaciones
[J0, J±] = ±J±,[J+, J−] = [2J0]q=sh(2J0γ)
shγ , q =eγ,
(J±)†=J∓,(J0)†=J0,
(10)
donde [A, B] = AB −BA, [n]q= (qn
2−q−n
2)/(q1
2−q−1
2) son los “q-n´ume os”
y [2J0]qse en iende como el co espondien e desa ollo o mal en se ie de
po encias. Un p oblema de g an in e ´es es de e mina los coe icien es de
Clebsch-Go dan (CCG) hJ1M1J2M2|JMiq, de inidos median e el desa ollo
|J1J2, JMiq=X
M1,M2hJ1M1J2M2|JMiq|J1M1iq|J2M2iq,(11)
siendo |J1J2, JMiq,|J1M1iqy|J2M2iqlos ec o es de la base de las
ep esen aciones i educibles de SUq(2) DJ,DJ1yDJ2, espec i amen e.
U ilizando las p opiedades de es os coe icien es ( e e.g. [7, 45]) es ´acil
comp oba que se iene la igualdad
(−1)J1+J2−JhJ1M1J2M2|JMiq=sρ(s)4x(s−1/2)
d2
n
W(c)
n(s, a, b)q−1.
|J1−J2|< M, n =J2−M2, s =J, a =M, c =J1−J2, b =J1+J2+ 1,
R. ´
Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 41
donde ρ(x) y dndeno an las unciones peso y la no ma de los q-polinomios duales
de Hahn, W(c)
n(x(s), a, b)q−1, y 4es el ope ado de inido en (6). Las elaciones
del ipo an e io son de g an impo ancia, pues pe mi en ob ene una g an
can idad de p opiedades de los CCG a pa i de los polinomios W(c)
n(x(s), a, b)qy
ice e sa. En pa icula , en [7], explo ando la elaci´on an e io , se encon ´o una
exp esi´on desconocida has a el momen o, que iden i icaba a los q−polinomios
duales de Hahn con los q−polinomios de Hahn.
An es de conclui es a secci´on debemos des aca que ambi´en los
polinomios “disc e os” es ´an in ´ınsecamen e ligados con p ocesos cu´an icos,
pa icula men e los polinomios de Hahn, Meixne , Meixne -Pollaczek y
K a chuk. Tambi´en es impo an e des aca el papel ele an e de los polinomios
o ogonales en la eo ´ıa de ep esen aci´on de g upos [39, Cap´ı ulo 5], (en
pa icula los g upos O(3), SU(2) y SU(1,1); en eo ´ıa de comp esi´on de la
in o maci´on [39, Secci´on 4.1]; ´o mulas de cuad a u a [39, Secci´on 4.1]; pa a el
econocimien o de oz [11]; e c.
Ap´endice: Un comen a io ace ca de la li e a u a.
Exis en un sin ´ın de publicaciones dedicadas a los polinomios o ogonales (po
ejemplo en la bibliog a ´ıa ecopilada J. A. Shoha , E. Hille y J. L. Walsh, –
A bibliog aphy on o hogonal polynomials. Bulle in o he Na ional Resea ch
Council.(U.S.A.) Numbe 103, Na ional Academy o Sciences, Washing on D.C., 1940–
has a 1940 hab´ıan apa ecido 1952 abajos de 643 au o es). Un simple is azo a las
bases de da os disponibles nos dan es ad´ıs icas mucho mayo es.
Hoy en d´ıa enemos excelen es monog a ´ıas dedicadas al es udio de los polinomios
o ogonales. Vamos a inclui aqui una b e e lis a de las mismas –sin p e ende que
´es a sea comple a–.
•O hogonal Polynomials po G. Szeg¨o [42], que es la p ime a monog a ´ıa de-
dicada po en e o a es e ema y que ecoge las p incipales ideas y ´ecnicas
ma em´a icas, es udiando en pa icula los polinomios de la clase de Szeg¨o, en e
o os muchos.
•O hogonal Polynomials (Pe gamon P ess, Ox o d, 1971) po G.F eud dedicado
al es udio de los polinomios desde un pun o de is a o mal, o sea, p opiedades
gene ales, conexi´on con el p oblema de momen os, acciones con inuas, e c.
•Special Func ions and i s Applica ions, N. N. Lebede (Do e , Nue a Yo k,
1972). Monog a ´ıa cl´asica que desc ibe g an pa e de las unciones especiales y
polinomios cl´asicos as´ı como muchas de sus aplicaciones a p oblemas de ´ısica
ma em´a ica e ingenie ´ıa.
•An in oduc ion o o hogonal polynomials po T. S. Chiha a [12]. Excelen e
e isi´on del ema u ilizando ´ecnicas de uncionales lineales. Muy ecomendable
pa a el “p incipian e”.
•Special Func ions o Ma hema ical Physics po A.F. Niki o o y V. B. U a o
[40], dedicada a las aplicaciones ´ısicas de los polinomios y donde se in oducen
´es os a pa i de la ecuaci´on di e encial de ipo hipe geom´e ico. Es a monog a ´ıa
es una magn´ı ica in oducci´on al ema.
R. ´
Al a ez Los polinomios o ogonales: his o ia y aplicaciones 42
•Classical O hogonal Polynomials o a Disc e e Va iable po A.F. Niki o o ,
S. K. Suslo y V. B. U a o [39], la ´unica, has a el momen o, dedicada al
es udio de allado de los polinomios o ogonales de a iable disc e a en edes,
an o uni o mes como no uni o mes, y sus aplicaciones.
•Special Func ions and he Theo y o G oup Rep esen a ions po N. Ja. Vilenkin
[44] y Rep esen a ions o Lie G oups and Special Func ions po N. Ja. Vilenkin
y A. U. Klimyk [45], ambos dedicados al es udio de las unciones especiales,
polinomios cl´asicos con inuos y disc e os, as´ı como los q-polinomios u ilizando
la eo ´ıa de la ep esen aci´on de g upos y ´algeb as.
•Gene al O hogonal Polynomials po H. S ahl y V. To ik (Camb ige Uni e si y
P ess, 1992) dedicado a los aspec os m´as gene ales y o males de la eo ´ıa de
polinomios o ogonales con muchas incu siones en el an´alisis complejo, eo ´ıa
del po encial y p opiedades asin ´o icas.
•Fou ie Se ies in O hogonal Polynomials po B. Osilenke (Wo ld Scien i ic,
Singapo e, 1999) dedicado a las se ies de Fou ie de polinomios o gonales,
eo emas gene ales de con e gencia en L2,Lp, e c.
Una colecci´on m´as comple a de los ex os y manuales elacionados con los
polinomios o ogonales se puede encon a en OP-SF NET:The Elec onic News Ne
o he SIAM Ac i i y G oup on O hogonal Polynomials and Special Func ions en la
di ecci´on de in e ne : h p://ma h.nis .go /ops /booklis .h ml
Ag adecimien os: Quie o ag adece a la Sociedad Espa˜nola de Ma em´a ica
Aplicada (SEMA) po su co dial in i aci´on a esc ibi es e abajo sob e
polinomios o ogonales.
Re e encias
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