Polinomios ortogonales: historia y aplicaciones

Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. no18 (2001), 19–45. Polinomios ortogonales: historia y aplicaciones Renato ´ Alvarez Nodarse Departamento de An´ alisis Matem´ atico, Univ. de Sevilla Instituto Carlos I de F´ ısica Te´ orica y Computacional Universidad de Granada e-mail: [email protected] 1 Introducci´on En este breve art´ıculo vamos a intentar dar una visi´on de los polinomios ortogonales: entes matem´aticos de gran sencillez y con un sinn´umero de aplicaciones tanto en Matem´aticas (ecuaciones diferenciales, combinatoria, teor´ıa de n´umeros, ´algebra computacional, funciones Theta, aproximaci´on racional, teor´ıa de grupos, etc) como en F´ısica o Ingenier´ıa (f´ısica cu´antica, ecuaciones de Schr¨odinger, entrop´ıas de Shannon, osciladores, compresi´on de la informaci´on, etc). Aunque no es nuestro objetivo presentar nuevos teoremas, para situarnos en el contexto vamos a comenzar dando una de las definiciones m´as sencillas de familia de polinomios ortogonales. Definici´on: Dada una sucesi´on de polinomios (Pn)ncon grado Pn=n, diremos que es una sucesi´on de polinomios ortogonales con respecto a una medida µsi se cumple que: RRPn(x)Pm(x)dµ(x) = δn,mKn,n,m= 0,1,2, . . ., donde δn,m es el s´ımbolo de Kronecker (δn,m = 1 si n=my 0 si n6=m). Cuando la medida µes positiva entonces, Kn>0 para todo n, en cuyo caso se dice que la familia de polinomios es definida positiva, y a dn=√Kn se le denomina norma del polinomio Pn. Ejemplos de dichas familias son los conocidos polinomios de Jacobi, Laguerre y Hermite que introduciremos en el pr´oximo apartado. Un caso de especial inter´es es cuando la medida es absolutamente continua, es decir, cuando existe una funci´on continua ρ(no necesariamente positiva) tal que dµ(x) = ρ(x)dx. En este caso la funci´on ρse denomina funci´on peso. Para mayor claridad vamos a dividir nuestra exposici´on en distintos apartados. Comenzaremos dando una breve introducci´on hist´orica para a continuaci´on pasar a describir dos de los aspectos m´as llamativos relacionados con 19 R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 20 estos objetos matem´aticos: el nacimiento de la teor´ıa general y los teoremas de caracterizaci´on. Tambi´en veremos dos grandes subclases de polinomios ortogonales: los q−polinomios y los polinomios matriciales. Culminaremos presentanto un breve apartado con algunas de las aplicaciones m´as significativas de los polinomios ortogonales as´ı como la descripci´on de algunos textos cl´asicos sobre el tema. 2 Breve introducci´on hist´orica 2.1 Las familias cl´asicas Los polinomios ortogonales corresponden a una peque˜na parte de una gran familia de funciones especiales. Su historia se remonta al siglo XVIII y est´a estrechamente relacionada con la resoluci´on de problemas de inmediata aplicaci´on pr´actica. Uno de estos problemas estaba relacionado con la, por entonces reciente, teor´ıa de la gravedad de Newton. Era bien conocido en el siglo XVIII que la fuerza de atracci´on entre dos cuerpos pod´ıa ser determinada a partir de la funci´on potencial V(x, y, z). Adem´as, la misma era f´acil de calcular conociendo la distribuci´on de masa –digamos su densidad ρ– en el interior del cuerpo mediante la f´ormula: V(x, y, z) = ZZZρ(ξ, η, ζ) rdξdηdζ, (1) donde r=p(x−ξ)2+ (y−η)2+ (z−ζ)2y, por tanto, calculando la integral es posible encontrar la funci´on V. Esto, sin embargo, es complicado ya que es necesario conocer a priori la distribuci´on de masa de los cuerpos, la cual es, en general, desconocida. Si a esto unimos el hecho de que el c´alculo directo de la integral (1) suele ser muy engorroso –pues se trata de una integral triple que hay que integrar en un volumen acotado pero con forma arbitraria–. Adrien M. Legendre Otra posibilidad era resolver la ecuaci´on del potencial para puntos exteriores al cuerpo: ∂2V ∂x2+∂2V ∂y2+∂2V ∂z2= 0. Esta noci´on del potencial y su relaci´on con las fuerzas fue tratado por distintos matem´aticos de la talla de Daniel Bernoulli, Euler y Lagrange. Uno de los problemas m´as atractivos surgidos en esos a˜nos fue el de la atracci´on de un cuerpo por una esfera. Este problema interes´o a Adrien– Marie Legendre (1752–1833). ´ Este, en un art´ıculo de 1782 titulado Sur l’attraction des sph´ero¨ıdes (aunque publicado en 1785), prob´o un teorema muy interesante R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 21 que establece que, si se conoce el valor de la fuerza de atracci´on de un cuerpo de revoluci´on en un punto exterior situado en su eje, entonces se conoce en todo punto exterior. As´ı redujo el problema al estudio de la componente radial P(r, θ, 0), cuya expresi´on es P(r, θ, 0) = ZZZ (r−r0) cos γ (r2−2rr0cos γ+r02)3 2 r02sin θ0dθ0dφ0dr0, donde cos γ= cos θcos θ0+ sen θsen θ0cos φ0. Adem´as prob´o que el integrando de ´esta se pod´ıa expresar mediante una serie de potencias de r0 rde la forma 1 r2½1+3P2(cos γ)r02 r2+ 5P4(cos γ)r04 r4+. . .¾. Las funciones P2, P4, ... son funciones racionales enteras –polinomios– de cos γ, que hoy se conocen como polinomios de Legendre. Dos a˜nos m´as tarde en 1784, Legendre dedujo algunas de las propiedades de las funciones P2n(x) como la ortogonalidad: Z1 0 P2n(x)P2m(x)dx =δmn 1 4m+ 1, donde δmn es el s´ımbolo de Kronecker. Hab´ıa nacido la primera familia de polinomios ortogonales de la historia. En ese mismo trabajo, Legendre prob´o que los ceros de Pneran reales, distintos entre s´ı, sim´etricos respecto al origen y menores, en valor absoluto que 1. En su cuarto art´ıculo sobre el tema (escrito en 1790, aunque publicado tres a˜nos m´as tarde) introdujo los polinomios de grado impar, as´ı como los hoy llamados polinomios asociados de Legendre Pm n(x) que se expresan a trav´es de los polinomios Pnde la forma P(m) n(x) = (1 −x2)m 2dmPn(x) dxm, y que son soluciones de la ecuaci´on de Laplace en coordenadas esf´ericas tras aplicar el m´etodo de separaci´on de variables. Charles Hermite Los polinomios de Legendre fueron considerados tambi´en por Pierre–Simon Laplace (1749–1827) quien en 1782 introdujo las funciones esf´ericas –que est´an directamente relacionadas con los polinomios de Legendre– y demostr´o varios resultados relativos a ellas. Tambi´en es destacable otro resultado publicado en 1826 –M´emoire sur l’attraction des spheroides (Corresp. sur l’Ecole Royale Polytech. III, 361– 385)– por el franc´es Olinde Rodrigues (1794–1851). Se trata de una f´ormula para expresar los polinomios de Legendre, Pn(x) = 1 2nn! dn(x2−1)n dxn, conocida hoy d´ıa como f´ormula de Rodrigues. R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 22 La siguiente familia, en orden de aparici´on, fue la de los polinomios de Hermite Hnllamados as´ı en honor a Charles Hermite (1822–1901) quien los estudi´o junto con el caso de varias variables en su ensayo Sur un nouveau d´eveloppement en s´erie des fonctions (C. R. Acad. Sci. Paris, I) en 1864 (ver Œuvres, Gauthier-Villars, 1908, Tome II, 293–308), aunque al parecer el primero en considerarlos fue Laplace en 1810 en su M´ecanique c´eleste donde los utiliz´o en problemas de teor´ıa de las probabilidades. En este caso la ortogonalidad se expresa respecto a la funci´on e−x2soportada en la recta real. Luego el ruso Pafnuti Lvovich Chebyshev (1821–1894) realiz´o un estudio detallado de los mismos en 1859 –v´ease su art´ıculo Sur le d´eveloppement des fonctions `a une seule variable (Oeuvres, Tom I, 501-508, Chelsea Pub. Co.)–. Nicol´as Laguerre La pr´oxima familia, conocida como polinomios de Laguerre Lα n, deben su nombre a Edmond Nicol´as Laguerre (1834–1886). Estos polinomios ya eran parcialmente conocidos por Niels Henrik Abel (1802– 1829) y Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), aunque es nuevamente Chebyshev el primero en realizar un estudio detallado de los mismos en 1859 en el trabajo antes citado y que continu´o el matem´atico ruso Konstantin Aleksandrovich Posse (1847–1928) en 1873. El caso general para α > −1 fue estudiado por Yulian Vasilevich Sojotkin (1842–1827) en 1873, y no es hasta 1879 que Laguerre los introduce –caso particular α= 0– cuando estudiaba la integral R∞ xe−xx−1dx, mediante su desarrollo en fracciones continuas. En particular, Laguerre, en su memoria Sur l’int´egrale R∞ x e−xdx x(Bull. Soc. Math. France, VII, 1879) (ver Œvres, Gauthier-Villars, 1898, 428–437), prueba, entre otras cosas, la relaci´on entre la integral R∞ x e−x xdx, y la fracci´on continua: Z∞ x e−x xdx =e−x x+ 1 −1 x+ 3 −··· =e−xφm(x) Lm(x), donde los denominadores Lm(x) son las soluciones polin´omicas de la ecuaci´on diferencial de Laguerre xy00 + (x+ 1)y0−my = 0, m= 0,1,2, . . ., que no son m´as que los hoy conocidos polinomios cl´asicos de Laguerre. En este trabajo Laguerre tambi´en demostr´o que los ceros de los Lneran reales y simples y adem´as, prob´o la propiedad de ortogonalidad que satisfac´ıan dichos polinomios: Z∞ 0 e−xLm(x)Ln(x)dx =δmn(n!)2. R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 23 A˜nos m´as tarde, en 1880, otro estudiante de Chebyshev, Nikolai Yakovlevich Sonin (1849–1915) contin´ua el estudio comenzado por Sojotkin sobre los polinomios con α > −1. Es quiz´a por ello que en algunos sitios a los polinomios Lα n(x) se les denomina polinomios de Laguerre–Sonin. Antes de pasar a nuestra ´ultima familia cl´asica debemos hacer una breve incursi´on en la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales de segundo orden. El estudio de las funciones especiales que surgen como soluciones en serie de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales fue desarrollado por Carl Friederich Gauss (1777–1855) en su famoso ensayo de 1813 Disquisitiones generales circa seriem infinitam ..., (Werke, II (1876), 123-162) sobre funciones hipergeom´etricas. – las cuales, a su vez, fueron introducidas por Leonhard Euler (1707–1783) en 1769–. En este ensayo Gauss no hizo uso de la ecuaci´on diferencial que s´ı utiliz´o m´as tarde en material in´edito –Disquisitiones generales circa seriem infinitam..., (Werke, III (1876), 207-229)–. All´ı introdujo la ecuaci´on diferencial x(1 −x)y00 + [γ−(α+β+ 1)x]y0−αβy = 0, cuya soluci´on es F(α, β;γ|x) = 1 + α·β 1·γx+α(α+ 1) ·β(β+ 1) 1·2·γ(γ+ 1) x2+··· .(2) Carl F. Gauss Gauss reconoci´o que, para ciertos valores de α,βy γ, la serie inclu´ıa, entre otras, casi todas las funciones elementales. Por ejemplo: (1 + z)a= F(−a, b;b|−z), log(1+z) = zF(1,1; 2|−z), etc. Tambi´en Gauss estableci´o la convergencia de la serie e introdujo la notaci´on F(a, b ;c|x) que convive todav´ıa con la notaci´on moderna 2F1¡a, b c¯¯x¢. Otro trabajo importante de Gauss fue su Methodus nova integrali um valores per approximationen inveniendi, (Werke III, 163–196) donde demuestra una f´ormula de cuadraturas para el c´alculo aproximado (y eficiente) de integrales que constituye una de las aplicaciones m´as importantes de los polinomios ortogonales. En concreto, Gauss “recuper´o” los ceros de los polinomios de Legendre cuando buscaba d´onde deber´ıan estar los del polinomio de interpolaci´on (de Lagrange) para obtener la mayor precisi´on posible al integrar entre 0 y 1, aunque no utiliz´o la ortogonalidad de los polinomios (hecho que probablemente desconoc´ıa) sino la funci´on hipergeom´etrica 2F1. La construcci´on de la f´ormula de cuadraturas, tal y como la conocemos hoy usando la ortogonalidad, se debe a nuestro pr´oximo personaje, Karl Gustav Jacob Jacobi –Uever Gauss’ neve Methode die werthe der Integrale n¨aherungsweise zu finden J. Reine Angew. Math., 1(1826) 301-308– (1804–1851), otro de los grandes matem´aticos del siglo XIX. R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 24 Karl Jacobi Jacobi fue uno de los m´as grandes matem´aticos del siglo XIX y no s´olo por sus aportaciones puramente te´oricas, sino por su inter´es por resolver d´ıficiles problemas de inmediata aplicaci´on pr´actica –las famosas ecuaciones de Hamilton y Jacobi de la Mec´anica, o sus trabajos en Mec´anica de Fluidos, por ejemplo–. Es notable su c´elebre frase: “El se˜nor Fourier opina que la finalidad de las matem´aticas consiste en su utilidad p´ublica y en la explicaci´on de los fen´omenos naturales; pero un fil´osofo como ´el deber´ıa haber sabido que la finalidad ´unica de la ciencia es rendir honor al esp´ıritu humano y que, por ello, una cuesti´on de n´umeros vale tanto como una cuesti´on sobre el sistema del mundo, que quiz´a di´o comienzo a esa absurda batalla de hoy d´ıa sobre la prioridad de la Matem´atica “plat´onica” basada en la idea de que la Matem´atica debe ser independiente de toda utilidad inmediata de la Matem´atica aplicada de Fourier. Fiel a esa idea plat´onica, Jacobi introduce una nueva familia que generaliza los polinomios de Legendre a partir de la funci´on hipergeom´etrica de Gauss, sin importarle sus posibles aplicaciones –recordemos que las familias anteriores hab´ıan aparecido de uno u otro modo relacionadas con aplicaciones f´ısicas o matem´aticas–. As´ı, en su art´ıculo p´ostumo de 1859, Untersunshungen ¨uber die Differentialgleichung de hypergeometrischen Reihe (J. Reine Angew. Math. 56 149–165), defini´o la familia de polinomios Pα,β n(x) = Γ(n+α+ 1) Γ(α+ 1)n!2F1µ−n, n +α+β+ 1 α+ 1 ¯¯¯¯ 1−x 2¶, para la que demostr´o, entre otras, una propiedad de ortogonalidad en el intervalo [−1,1] con respecto a la funci´on peso ρ(x) = (1−x)α(1+x)β,α > −1, β > −1, o sea, Z1 −1 Pα,β n(x)Pα,β m(x)ρ(x)dx =δmn 2α+β+1Γ(n+α+ 1)Γ(n+β+ 1) (2n+α+β+ 1)Γ(n+α+β+ 1)n!, donde Γ(x) denota la funci´on Gamma de Euler. Es f´acil comprobar (ver, por ejemplo, [12, 40, 42]) que tanto los polinomios de Laguerre como los de Hermite tambi´en se pueden escribir como una funci´on hipergeom´etrica no de Gauss, sino de las funciones hipergeom´etricas generalizadas pFq. Para culminar este apartado mencionaremos que una generalizaci´on de la serie hipergeom´etrica de Gauss (2) fue realizada por Eduard Heine (1821–1881) en 1846–1847. En sus ensayos ¨ Uber die Reihe... (J. Reine Angew. Math. 32 R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 25 (1846), 210-212) y Untersuchungen ¨uber die Reihe... (J. Reine Angew. Math. 34 (1847), 285-328), Heine introduce la serie 1 + (1 −qα)(1 −qβ) (1 −q)(1 −qγ)z+(1 −qα)(1 −qα+1)(1 −qβ)(1 −qβ+1) (1 −q)(1 −q2)(1 −qγ)(1 −qγ+1)z2+···, que obviamente se transforma en (2) cuando q→1 y se conoce como la serie de Heine 2ϕ1. Generalizaciones de la serie de Heine han servido para introducir y estudiar otras familias de polinomios: los q-polinomios a los que nos referiremos m´as adelante. 2.2 Las familias cl´asicas discretas Adem´as de las familias anteriores, conocidas como familias cl´asicas continuas (ya que satisfacen una ecuaci´on diferencial), existen otras denominadas com´unmente familias “discretas” ya que su ortogonalidad viene dada mediante sumas, o bien son soluci´on de una ecuaci´on en diferencias. El caso m´as sencillo lo constituyen los polinomios de Chebyshev discretos introducidos por Chebyshev en 1858 en un breve trabajo titulado Sur une nouvelle s´erie (Oeuvres, Tom I, 381–384, Chelsea Pub. Co.), y que luego ampli´o en su ensayo Sur l’interpolation des valeurs ´equidistantes (Oeuvres, Tom II, 219–242, Chelsea Pub. Co.) de 1875, cuyo principal objetivo era construir buenas tablas de fuego para la artiller´ıa rusa. Siguiendo las ideas expuestas por Chebyshev, M. P. Kravchuk introdujo en 1929 una nueva familia: los polinomios de Kravchuk. La idea es la siguiente: interpolar una funci´on cuando a los valores dados de la funci´on se les asignan unos pesos de acuerdo con alguna ley determinada de probabilidad. En otras palabras, sean x0, x1, . . . , xNdiferentes valores de la variable independiente de una funci´on f(x) y sean y0, y1, ..., yNlos correspondientes valores de la funci´on. Se quiere encontrar los coeficientes Am del desarrollo y≈A0P0(x) + ...+AkPk(x),(k < N) determinados por la condici´on N−1 X i=0 ρ(xi)[yi−A0P0(xi)−···−AkPk(xi)]2= m´ınimo, xi+1 =xi+ 1, y donde Pmes un polinomio de grado mdeterminado por la condici´on de ortogonalidad y normalizaci´on (polinomios ortonormales) N−1 X i=0 ρ(xi)Pk(xi)Pm(xi) = ½0k < m 1k=m, ρ(xi)>0, N−1 X i=0 ρ(xi) = 1.(3) En el caso ρ(x) = 1, x= 0,1, . . . N −1 (distribuci´on uniforme), este problema conduce a los polinomios discretos de Chebyshev, mientras que el R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 26 caso ρ(x) = (n−1)(n−2)···(n−x) 1·2···xpxqn−1−x,x= 0,1,2, . . . , N −1 (distribuci´on binomial) conduce a los polinomios de Kravchuk. Otros casos corresponden a las distribuciones de Poisson ρ(x) = µx x!,x= 0,1,2, . . . (polinomios de Charlier), de Pascal ρ(x) = µx Γ(γ+x)x!,x= 0,1,2, . . . (polinomios de Meixner) y de P´olya o hipergeom´etrica ρ(x) = Γ(N+α−x)Γ(β+x+1) Γ(N−x)x!,x= 1,2, . . . , N −1 (polinomios de Hahn, de los cuales los de Chebyshev son un caso particular). Estas cuatro familias constituyen lo que hoy conocemos como polinomios cl´asicos discretos. Aunque el m´etodo descrito nos permite obtener todas las familias de polinomios discretos no todas se descubrieron de esa manera. Como ejemplo mostraremos c´omo aparecieron los polinomios de Meixner a partir de las funciones generatrices, muy ´utiles en la teor´ıa de probabilidades. Por funci´on generatriz de la sucesi´on de polinomios (Pn)nse entiende una funci´on Fde dos variables que se puede representar mediante una serie formal infinita de la forma F(x, w) = P∞ n=0 anPn(x)wn, donde la sucesi´on (an)nes conocida. J. Meixner, en un art´ıculo publicado en el J. London Math. Soc. (vol 9pp. 6-13) en 1934, consider´o el problema de la determinaci´on de todos los sistemas de polinomios ortogonales cuyas funciones generatrices tuvieran la forma A(w)exG(w)=P∞ n=0 fn(x)wn,A(w) = P∞ n=0 anwn, y G(w) = P∞ n=1 gnwn, donde a06= 0, g16= 0 y fnson polinomios de grado ncon coeficientes principales y (n!)−1a0gn 1–el coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente de la mayor potencia del mismo, o sea, ansi pn(x) = anxn+···–. Meixner prob´o que a la sucesi´on (Pn)nle corresponde una funci´on generatriz anterior si y s´olo si los polinomios (Pn)nsatisfacen una relaci´on de recurrencia de la forma Pn+1(x) = [x−(d n+f)]Pn(x)−n(g n+h)Pn−1(x), n6= 0, donde g6= 0, g+h > 0. Adem´as demostr´o que exist´ıan cinco clases distintas de polinomios ortogonales con una funci´on generatriz definida como antes, tres conocidas: los polinomios de Hermite, los polinomios de Laguerre y los polinomios de Charlier –introducidos inicialmente por C.V.L. Charlier en 1905–1906 en su art´ıculo en el Arkiv f¨or Matematik, Astronomi och Fysik. (vol. 2(20) pag. 35) al estudiar ciertos problemas relacionados con mediciones astr´onomicas–, y dos nuevas: los ya mencionados polinomios de Meixner y los polinomios de Meixner de segunda especie, ortogonales respecto a una funci´on peso compleja. 3 Teor´ıa general. Stieltjes y Chebyshev Como hemos visto en la secci´on anterior, los polinomios ortogonales est´an estrechamente relacionados con las ecuaciones diferenciales y teor´ıa de aproximaci´on (en particular por su relaci´on con las fracciones continuas). Esta conexi´on, y en especial la segunda, conducen al nacimiento, en la segunda mitad R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 27 del siglo XIX, de la teor´ıa general sobre polinomios ortogonales. Veamos, en primer lugar, la relaci´on entre los polinomios ortogonales y la teor´ıa de las fracciones continuas. Comenzaremos con los trabajos de Thomas Jan Stieltjes Jr. (1856–1894). Stieltjes, en su famoso ensayo Recherches sur les fractions continues (Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, 8(1894) 1-122, 9(1895) 1-47) publicado p´ostumamente en dos partes en 1894 y 1895, desarroll´o la teor´ıa general de las S-fracciones definidas por 1 c1z+1 c2+1 c3z+· · · 1 c2n+1 c2n+1z+... , con la condici´on ck>0 (k= 1,2, ...). Stieltjes prob´o que haciendo el cambio a2 0= 1/c1, b0=−1/(c1c2) y a2 n= 1/(c2n−1c2 2nc2n+1), bn=−1/(c2nc2n+1)− 1/(c2n+1c2n+2), n= 1,2, . . ., esta fracci´on se transformaba en una de las fracciones continuas de Jacobi y, adem´as, que si ak= 0, para todo k≥n+ 1, entonces la expresi´on anterior se transformaba en una funci´on racional fn(z) de la forma fn(z) = 1 a1 p(1) n−1(z) pn(z), donde los polinomios denominadores pn(z) y los numeradores p(1) n−1(z) son soluciones de la relaci´on de recurrencia a tres t´erminos zrn(z) = an+1rn+1(z) + bnrn(z) + anrn−1(z), n ≥0, Thomas Stieltjes con las condiciones iniciales: r−1(z) = 0, r0(z) = 1 y r−1(z) = 1, r0(z) = 0, respectivamente. A partir de la relaci´on de recurrencia y para el caso de las J-fracciones, Stieltjes demostr´o que exist´ıa un funcional L, lineal y positivo, tal que, L(pnpm) = 0 para n6=m, lo cual se puede interpretar como una versi´on primitiva del famoso teorema de Favard demostrado antes por O. Perron (1929), A. Wintner (1929) y M. H. Stone (1932), J. Sherman (1935) y I. P. Natanson (1935) indistintamente que asegura lo siguiente: Teorema: (Favard 1935 [20]) Supongamos que una sucesi´on de polinomios (pn)nsatisface una relaci´on de recurrencia a tres t´erminos de la forma: zpn(z) = an+1pn+1(z) + bnpn(z) + anpn−1(z), n ≥0, R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 34 y grupos cu´anticos, entre otras involucr´andonse un sinn´umero de matem´aticos de los que se puede destacar a R. Askey, J. A. Wilson, T. H. Koornwinder, D. Stanton, M. E. H. Ismail, T. S. Chihara, W. A. Al-Salam, A. F. Nikiforov, V. B. Uvarov, N. M. Atakishiyev, S. K. Suslov, entre otros (ver, por ejemplo, [8, 9, 10, 22, 28, 29, 39]). Existen dos formas generales de tratar a estas familias. La primera, desarrollada en los a˜nos 80 por los estadounidenses G. E. Andrews y R. Askey y sus colaboradores, se basa en las series hipergeom´etricas b´asicas 4ϕ3–las “q” generalizaciones de la serie de Gauss de las que ya hemos visto un ejemplo debido a Heine–, definidas en general por rϕpa1, a2, ..., ar b1, b2, ..., bpq;z= ∞ X k=0 (a1;q)k···(ar;q)k (b1;q)k···(bp;q)k zk (q;q)kh(−1)kqk 2(k−1)ip−r+1 , con (a;q)n=Qn−1 k=0 (1 −aqk), 0 < q < 1. En particular, descubrieron que todas las familias de polinomios ortogonales cl´asicos pod´ıan obtenerse como casos l´ımites de los polinomios de Askey-Wilson definidos por pn(x;a, b, c, d) = 4ϕ3q−n, qn−1abcd, ae−iθ, aeiθ q;q ab, ac, ad , x = cos θ, apareciendo en 1994 [28] la q−Tabla de Askey que clasificaba (presuntamente) a todas las dem´as familias de q−polinomios. Algo m´as tarde, en 1983, los rusos A. F. Nikiforov y A. V. Uvarov proponen una aproximaci´on diferente (y m´as general) que consiste en considerar los q−polinomios como soluciones polin´omicas –en x(s)– de una ecuaci´on en diferencias: ˜σ(x(s)) 4 4x(s−1 2)5y(s) 5x(s)+˜τ(x(s)) 2·4y(s) 4x(s)+5y(s) 5x(s)¸+λy(s) = 0, 5f(s) = f(s)−f(s−1),4f(s) = f(s+ 1) −f(s), (6) con x(s) = c1qs+c2(q)q−s+c3(q) = c1(qs+q−s−µ) + c3, donde q∈C,c1, c2, c3 son constantes que pueden depender de q, pero son independientes de s; ˜σ(x(s)) es un polinomio de grado, a lo sumo, 2 en x(s) y ˜τ(x(s)), de grado 1 y λes una constante. La ecuaci´on anterior se denomina ecuaci´on en diferencias de tipo hipergeom´etrico y aproxima a la ecuaci´on (4) en la red no uniforme x(s). Una propiedad inmediata de esta aproximaci´on es precisamente que las soluciones de (6) se pueden expresar como series b´asicas, es decir Pn(s)q=4ϕ3µq−n, q2µ+n−1+P4 i=1si, qs1−s, qs1+s+µ qs1+s2+µ, qs1+s3+µ, qs1+s4+µ;q , q¶,(7) R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 35 En particular, los polinomios de Askey-Wilson son una soluci´on de la ecuaci´on anterior cuando x(s) = 1 2(qs+q−s)≡x, y qs1=a,qs2=b,qs3=c,qs4=d. Los trabajos de estos dos autores culmina con una clasificaci´on diferente de los q−polinomios, basada en la ecuaci´on (6), aparecida en 1991 [41]. Aparentemente, la clasificaci´on de los q−polinomios seg´un la q−tabla de Askey conten´ıa todas las familias posibles de q−polinomios. No obstante quedaba pendiente la cuesti´on de si realmente la ecuaci´on de tipo hipergeom´etrico (6) ten´ıa como soluci´on a todas las familias conocidas de q−polinomios. Esta cuesti´on fue parcialmente resuelta en [6], donde se establece un hecho sorprendente: incluso dentro de la clase de Hahn, lo que equivale a trabajar en la red exponencial lineal x(s) = c1qs+c3, la clasificaci´on de Nikiforov-Uvarov contiene dos familias completamente nuevas y no contenidas en el q−esquema de Askey. Ellas son: jn(x;a, b) = 2φ0µq−n, aqn —¯¯¯q;x ab¶,yln(x;a) = 2φ0µq−n,0 —¯¯¯q;−x a¶. Actualmente contin´ua abierto el problema de caracterizaci´on en la red general conoci´endose s´olo algunos resultados parciales (aunque muy interesantes) debidos a A. Grunbaum y L. Haine usando t´ecnicas biespectrales [23]. Tambi´en est´a abierto el problema de clasificaci´on completa de todas las familias ortogonales en la red general x(s) = c1(q)qs+c2(q)q−s+c3(q). 6 Polinomios matriciales Antes de pasar a ver algunas de las principales aplicaciones de los polinomios ortogonales vamos a comentar brevemente una de las extensiones m´as importantes y de mayor actualidad de la teor´ıa de polinomios ortogonales: los polinomios ortogonales matriciales. Estos objetos matem´aticos son polinomios cuyos coeficientes son matrices cuadradas e.g. N×N, o equivalentemente, son matrices cuyas entradas son polinomios, i.e., Pn(x) = Anxn+An−1xn−1+ ···A1x+A0con Ak∈RN,N ,k= 0,1, . . . , n. La ortogonalidad viene dada en este caso por una matriz de medidas µ= (µi,j)N i,j=1 definida positiva (es decir, tal que para todo conjunto de Borel A⊂R, la matriz n´umerica µ(A) = (µi,j(A))N i,j=1 es semidefinida positiva) con momentos RRtndW (t)< +∞,∀n≥0, tal que ZR Pn(x)dµ(x)Pm(x) = δn,mΓn, n, m ≥0,(8) siendo Γnuna matriz definida positiva. Como en el caso escalar, la sucesi´on de polinomios matriciales ortogonales (Pn)nsatisface una f´ormula de recurrencia R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 36 de tres t´erminos: tPn(t) = An+1Pn+1(t) + Bn(t)Pn(t) + A∗ nPn−1(t), n ≥0, donde P−1(t) es la matriz nula 0nyP0(t) = Ines la matriz unidad In. La ortogonalidad matricial ha sido estudiada de manera espor´adica durante los ´ultimos cincuenta a˜nos. Por ejemplo, M. Krein considera el problema de momentos matricial y los correspondientes polinomios matriciales en los a˜nos 40. En los 60 se interesan por ellos F. Atkinson (1968) y Yu. M. Berezansky (1965) en sus monograf´ıas Discrete and continuous boundary problems yExpansions in eigenfunctions of selfadjoint operators, respectivamente. En los 80, J.S. Geronimo los usa en la teor´ıa de dispersi´on (scattering theory), S. Basu y N. K. Bose (1983) en modelos de redes (networks), etc. No obstante, faltaba motivaci´on para desarrollar un estudio sistem´atico de la teor´ıa; esta motivaci´on ha aparecido al principio de esta d´ecada a partir de varios trabajos de A. Dur´an [18, 19] donde ´este muestra c´omo interpretar matricialmente la ortogonalidad escalar, convirtiendo as´ı la teor´ıa de polinomios matriciales ortogonales en una herramienta para resolver problemas de la teor´ıa escalar cl´asica. En particular, Dur´an prueba, usando las medidas matriciales, que 1 Pn|p0 n(0)|2= sup{w22({0})−|w12|2({0}) w1,1({0}):W}, donde W= (wi,j)2 i,j=1 es el conjunto de todas las medidas matriciales asociadas a la sucesi´on (pn)n, problema ´este que permanec´ıa abierto desde principios del siglo XX, porque para darle respuesta era necesario acudir a la ortogonalidad matricial. Este uso de la ortogonalidad matricial para resolver problemas de la ortogonalidad escalar cl´asica ha generado el inter´es necesario para llevar a cabo un estudio sist´ematico de la ortogonalidad matricial, situ´andola, adem´as, como una de las ´areas m´as prometedoras dentro de la teor´ıa de polinomios ortogonales. 7 Aplicaciones Describamos a continuaci´on algunas de las aplicaciones de los polinomios ortogonales. Equilibrio electrost´atico. Una aplicaci´on muy interesante de los polinomios ortogonales cl´asicos de Jacobi, Laguerre y Hermite, fue descubierta por Stieltjes y est´a estrechamente ligada al problema del equilibrio electrost´atico (ver e.g. [42] y las referencias del mismo). Este problema se divide en dos: cuando el intervalo donde se encuentran las cargas es un intervalo acotado y cuando no lo es. R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 37 I. Caso de un sistema de cargas en un intervalo acotado. Supongamos que tenemos ncargas unitarias x1, x2, . . . , xndistribuidas en [−1,1] y colocamos dos cargas extra en los extremos: una carga p > 0 en x= 1 y otra q > 0 en x=−1. Supongamos que la energ´ıa de interacci´on entre las cargas est´a regida por una ley logar´ıtmica (electrost´atica bidimensional) expresada mediante la f´ormula L=−log Dn(x1, x2, . . . , xn) + p n X i=1 log 1 |1−xi|+q n X i=1 log 1 |1 + xi|, donde el discriminante Dn(x1, x2, . . . , xn) de x1, x2, . . . , xnviene dado por Dn(x1, x2, . . . , xn) = Y 1≤i<j≤n|xi−xj|. Teorema: (Stieltjes 1885–1889) La energ´ıa alcanzar´a un m´ınimo cuando x1, x2, . . . , xnsean los ceros del polinomio de Jacobi P(2p−1,2q−1) n(x). Este teorema nos da la interpretaci´on electrost´atica de los ceros de los polinomios para un intervalo acotado. Notemos que, al considerar un sistema de cargas unitarias del mismo signo, ´estas se repeler´an. En el caso de un intervalo acotado, las cargas, al estar ligadas a ´el, se mantendr´an en su interior. No ocurre igual en el caso de que el intervalo no sea acotado, pues las cargas se pueden ir al infinito (como de hecho ocurrir´ıa si se dejaran libres). Por ello, en el caso de intervalos no acotados se tienen que introducir condiciones adicionales que aseguren que las cargas no se alejan al infinito. II. Caso de un sistema de cargas en un intervalo no acotado. Supongamos que tenemos ncargas unitarias distribuidas en el intervalo [0,∞) y colocamos una carga extra p > 0 en el origen x= 0. Para impedir que las cargas se puedan ir al infinito exigiremos que se cumpla una condici´on extra para el centroide de las cargas: 1 nPn k=1 xk≤K, con Kcierto n´umero positivo. En este caso la energ´ıa vendr´a dada por la expresi´on L=−log Dn(x1, . . . , xn) + p n X k=1 log 1 xk . Teorema: La expresi´on anterior junto con la condici´on para el centroide tiene un m´ınimo cuando x1, x2, . . . , xnson los ceros del polinomio de Laguerre L(2p−1) n(cnx), donde cn= (n+ 2p−1)/K. Si ahora colocamos las ncargas unitarias distribuidas en el intervalo (−∞,∞) e imponemos la condici´on: 1 nPn k=1 x2 k≤L, L > 0, entonces tenemos el siguiente resultado: R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 38 Teorema: La expresi´on −log Dn(x1, x2, . . . , xn)con la condici´on sobre el momento de inercia tendr´a un m´ınimo cuando x1, x2, . . . , xnson los ceros del polinomio de Hermite Hn(dnx), donde dn=p(n−1)/2L. Un hecho importante relacionado con esta interpretaci´on electroest´atica es el siguiente: Si consideramos que la carga total en el caso del intervalo [−1,1] es 1, y hacemos tender el n´umero de dichas cargas a infinito observamos que las cargas pyqde los extremos es despreciable con respecto a la carga interior y, por tanto, la distribuci´on asint´otica de los ceros de los polinomios de Jacobi es independiente de los par´ametros αyβde los mismos, luego podemos obtenerla a partir de cualquiera de sus “subfamilias”. As´ı, por ejemplo, si tomamos los polinomios de Chebyshev de primera especie (α=β= 1/2) cuyos ceros son xj= cos(2j−1)π/(2n), j= 1,2, . . . , n, tendremos para el n´umero de ceros Nn(a, b) en el intervalo [a, b] la siguiente estimaci´on: Nn(a, b) 2n=X a≤cos (2j−1)π 2n≤b 1 n=1 πZb a 1 √1−x2dx +o(1), conocida como la distribuci´on arcseno y que resulta caracter´ıstica para toda una ampl´ısima clase de polinomios ortogonales [−1,1], como, por ejemplo, la conocida clase de Nevai. En realidad, este hecho no es una casualidad sino que es una consecuencia de la estrecha interrelaci´on que existe entre la teor´ıa de polinomios ortogonales y la teor´ıa del potencial y es precisamente una de las principales l´ıneas de investigaci´on del momento. M´ecanica cu´antica. En otra direcci´on, precisamente la ecuaci´on diferencial que las familias cl´asicas (y otras) satisfacen da pie a una de sus principales aplicaciones: su utilizaci´on para describir los m´as importantes modelos cu´anticos tanto relativistas como no relativistas. Por citar algunos mencionaremos el oscilador cu´antico (polinomios de Hermite o Laguerre y Jacobi), el ´atomo de hidr´ogeno y la interaci´on entre los piones y el n´ucleo at´omico (polinomios de Laguerre y Jacobi), etc. Como ejemplo veamos las ecuaciones estacionarias de Schr¨odinger para el ´atomo de hidr´ogeno (caso no relativista) y de Klein-Gordon para un pi´on (caso relativista) en un potencial de Coulomb, i.e., ∆ψS+ 2 µES+1 r¶ψS= 0,∆ψKG +·³EKG +µ r´2−1¸ψKG = 0, respectivamente, donde ∆ es el laplaciano en R3,Erepresenta la energ´ıa del sistema y ψes la funci´on de onda que caracteriza por completo al sistema. Utilizando que el potencial es central, y por tanto tiene simetr´ıa esf´erica, R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 39 podemos separar variables en coordenadas esf´ericas obteniendo las siguientes soluciones ψS(r, θ, φ) = Nn,le−(2r n+l+1 )µ2r n+l+ 1¶l+1 L2l+1 nµ2r n+l+ 1¶Yl,m(θ, φ), con Nn,l =rn! (n+l+ 1)2(n+ 2l+ 1)! para la primera y, para la segunda, ψKG =ran! (n+ν+ 1)(n+ 2ν+ 1)!e−2ar (2ar)ν+1 L2ν+1 n(2ar)Yl,m(θ, φ), con ν=−1 2+q(l+1 2)2−µ2,a=r1−³1−µ2 2(n+l+1)2´2yLα nlos polinomios cl´asicos de Laguerre. En ambos casos, n= 0,1,2, . . .,l= 0,1, . . . , n −1, m=−l, −l+ 1, . . . , l eYl,m representa a los arm´onicos esf´ericos que son proporcionales a los polinomios de Jacobi Pm,m l−m(cos θ). Finalmente, para ambos sistemas se obtienen los siguientes valores de la energ´ıa E: ES=−1 2(n+l+ 1)2, EKG = 1 −µ2 2(n+l+ 1)2. En ambos casos se tiene un espectro discreto de energ´ıa que concuerda muy bien con los hechos experimentales. Destaquemos que en el caso del ´atomo de hidr´ogeno estos valores explicaron perfectamente la llamada serie de Balmer, f´ısico suizo que en 1885 descubri´o que las frecuencias ωde las l´ıneas del espectro de rayas del ´atomo de hidr´ogeno se expresaba por la f´ormula ω=Rµ1 22−1 k2¶, k= 3,4, . . . yRcierta constante. Precisamente los intentos de explicar este fen´omeno dieron un impulso definitivo a la aparici´on de la teor´ıa cu´antica. (Bohr (1913), Pauli (1929) y Schr¨odinger (1929)). 510 15 20 25 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 x2R3,02 x2R3,12 x2R0,02 Estado fundamental (negro) y exitado (tonos grises) del ´atomo de Hidr´ogeno Otra aplicaci´on importante de los polinomios ortogonales relacionada con lo anterior es en el c´alculo de las entrop´ıas de sistemas cu´anticos, en particular R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 40 para los osciladores y ´atomos de hidr´ogeno. Esta cantidad viene definida por integrales de la forma Eβ(pn) = −Zxβp2 n(x) ln ¡p2 n(x)¢ρ(x)dx , donde pnson polinomios ortogonales respecto a la funci´on peso ρ(dµ(x) = ρ(x)dx), y β∈R. En general, el valor para la entrop´ıa no se conoce para casi ninguna familia de polinomios (exceptuando los polinomios de Chebyshev de primera y segunda especie), y muchos de los resultados son resultados asint´oticos. Gran parte de esta teor´ıa est´a siendo desarrollada por J. S. Dehesa y sus colaboradores (ver el magn´ıfico survey sobre este tema [16]). Teor´ıa de representaci´on de q−´algebras. Otro ejemplo de aplicaci´on de los polinomios ortogonales est´a relacionado con la teor´ıa de representaci´on de q−´algebras. A modo de ejemplo vamos a describir la conexi´on entre el q−´algebra SUq(2) y los polinomios duales de Hahn definidos por [7] W(c) n(x(s), a, b)q=3ϕ2µq−n, qa−s, qa+s+1 qa−b+1, qa+c+1 ;q, q¶.(9) El ´algebra SUq(2) est´a generada por los operadores J+, J−, J0, que satisfacen las ecuaciones [J0, J±] = ±J±,[J+, J−] = [2J0]q=sh(2J0γ) shγ , q =eγ, (J±)†=J∓,(J0)†=J0, (10) donde [A, B] = AB −BA, [n]q= (qn 2−q−n 2)/(q1 2−q−1 2) son los “q-n´umeros” y [2J0]qse entiende como el correspondiente desarrollo formal en serie de potencias. Un problema de gran inter´es es determinar los coeficientes de Clebsch-Gordan (CCG) hJ1M1J2M2|JMiq, definidos mediante el desarrollo |J1J2, JMiq=X M1,M2hJ1M1J2M2|JMiq|J1M1iq|J2M2iq,(11) siendo |J1J2, JMiq,|J1M1iqy|J2M2iqlos vectores de la base de las representaciones irreducibles de SUq(2) DJ,DJ1yDJ2, respectivamente. Utilizando las propiedades de estos coeficientes (ver e.g. [7, 45]) es f´acil comprobar que se tiene la igualdad (−1)J1+J2−JhJ1M1J2M2|JMiq=sρ(s)4x(s−1/2) d2 n W(c) n(s, a, b)q−1. |J1−J2|< M, n =J2−M2, s =J, a =M, c =J1−J2, b =J1+J2+ 1, R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 41 donde ρ(x) y dndenotan las funciones peso y la norma de los q-polinomios duales de Hahn, W(c) n(x(s), a, b)q−1, y 4es el operador definido en (6). Las relaciones del tipo anterior son de gran importancia, pues permiten obtener una gran cantidad de propiedades de los CCG a partir de los polinomios W(c) n(x(s), a, b)qy viceversa. En particular, en [7], explotando la relaci´on anterior, se encontr´o una expresi´on desconocida hasta el momento, que identificaba a los q−polinomios duales de Hahn con los q−polinomios de Hahn. Antes de concluir esta secci´on debemos destacar que tambi´en los polinomios “discretos” est´an intr´ınsecamente ligados con procesos cu´anticos, particularmente los polinomios de Hahn, Meixner, Meixner-Pollaczek y Kravchuk. Tambi´en es importante destacar el papel relevante de los polinomios ortogonales en la teor´ıa de representaci´on de grupos [39, Cap´ıtulo 5], (en particular los grupos O(3), SU(2) y SU(1,1); en teor´ıa de compresi´on de la informaci´on [39, Secci´on 4.1]; f´ormulas de cuadratura [39, Secci´on 4.1]; para el reconocimiento de voz [11]; etc. Ap´endice: Un comentario acerca de la literatura. Existen un sinf´ın de publicaciones dedicadas a los polinomios ortogonales (por ejemplo en la bibliograf´ıa recopilada J. A. Shohat, E. Hille y J. L. Walsh, – A bibliography on orthogonal polynomials. Bulletin of the National Research Council.(U.S.A.) Number 103, National Academy of Sciences, Washington D.C., 1940– hasta 1940 hab´ıan aparecido 1952 trabajos de 643 autores). Un simple vistazo a las bases de datos disponibles nos dan estad´ısticas mucho mayores. Hoy en d´ıa tenemos excelentes monograf´ıas dedicadas al estudio de los polinomios ortogonales. Vamos a incluir aqui una breve lista de las mismas –sin pretender que ´esta sea completa–. •Orthogonal Polynomials por G. Szeg¨o [42], que es la primera monograf´ıa dedicada por entero a este tema y que recoge las principales ideas y t´ecnicas matem´aticas, estudiando en particular los polinomios de la clase de Szeg¨o, entre otros muchos. •Orthogonal Polynomials (Pergamon Press, Oxford, 1971) por G.Freud dedicado al estudio de los polinomios desde un punto de vista formal, o sea, propiedades generales, conexi´on con el problema de momentos, fracciones continuas, etc. •Special Functions and its Applications, N. N. Lebedev (Dover, Nueva York, 1972). Monograf´ıa cl´asica que describe gran parte de las funciones especiales y polinomios cl´asicos as´ı como muchas de sus aplicaciones a problemas de f´ısica matem´atica e ingenier´ıa. •An introduction to orthogonal polynomials por T. S. Chihara [12]. Excelente revisi´on del tema utilizando t´ecnicas de funcionales lineales. Muy recomendable para el “principiante”. •Special Functions of Mathematical Physics por A.F. Nikiforov y V. B. Uvarov [40], dedicada a las aplicaciones f´ısicas de los polinomios y donde se introducen ´estos a partir de la ecuaci´on diferencial de tipo hipergeom´etrico. Esta monograf´ıa es una magn´ıfica introducci´on al tema. R. ´ Alvarez Los polinomios ortogonales: historia y aplicaciones 42 •Classical Orthogonal Polynomials of a Discrete Variable por A.F. Nikiforov, S. K. Suslov y V. B. Uvarov [39], la ´unica, hasta el momento, dedicada al estudio detallado de los polinomios ortogonales de variable discreta en redes, tanto uniformes como no uniformes, y sus aplicaciones. •Special Functions and the Theory of Group Representations por N. Ja. Vilenkin [44] y Representations of Lie Groups and Special Functions por N. Ja. Vilenkin y A. U. Klimyk [45], ambos dedicados al estudio de las funciones especiales, polinomios cl´asicos continuos y discretos, as´ı como los q-polinomios utilizando la teor´ıa de la representaci´on de grupos y ´algebras. •General Orthogonal Polynomials por H. Stahl y V. Totik (Cambrige University Press, 1992) dedicado a los aspectos m´as generales y formales de la teor´ıa de polinomios ortogonales con muchas incursiones en el an´alisis complejo, teor´ıa del potencial y propiedades asint´oticas. •Fourier Series in Orthogonal Polynomials por B. Osilenker (World Scientific, Singapore, 1999) dedicado a las series de Fourier de polinomios ortgonales, teoremas generales de convergencia en L2,Lp, etc. Una colecci´on m´as completa de los textos y manuales relacionados con los polinomios ortogonales se puede encontrar en OP-SF NET:The Electronic News Net of the SIAM Activity Group on Orthogonal Polynomials and Special Functions en la direcci´on de internet: http://math.nist.gov/opsf/booklist.html Agradecimientos: Quiero agradecer a la Sociedad Espa˜nola de Matem´atica Aplicada (SEMA) por su cordial invitaci´on a escribir este trabajo sobre polinomios ortogonales. Referencias [1] W. A. Al-Salam, Characterization theorems for orthogonal polynomials. En: Orthogonal Polynomials: Theory and Practice. P. Nevai (Ed.) NATO ASI Series C, Vol. 294. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1990, 1-24. [2] R. ´ Alvarez-Nodarse, Polinomios hipergeom´etricos y q-polinomios. Monograf´ıas de la Academia de Ciencias de Zaragoza. 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