ESTADISTICA ESPAÑ4LA
n
^
m. 100, 1983, págs. 105 a 110
Indices de concen ación basados en Ia cu a de
Lo en=
JOSE MARIA ALBA RIESGO
Dp o. de Es^a^ ica y E^o^ome is
(Uni e sidsd ds Sa iliej
RESUMEN
Se ealiza un es udia compa a i o de di e sas exp esiones que apa ecen
en la li e a u a babi ual, des inadas a exp esa numé icamen e la concen-
ación de una dis ibución. La compa ación y explicaci Sn de las dis in as
á mulas se ealiza analizando las p incipios en que se basan cada una de
eilas,
y al inal se compa an en un ejcmplo numé ico. Las exp esiones
analizadas son las u ilizadas en Alcaide (1973), Pulido (1976) y la inicial-
men e p opues a po Gini.
Palab as cla e:
Medidas de concen ación,
cu a de Lo enz,
índice de
Gini.
l.
INDlCE DE C4NCENTRAClC)N DE GlNI
Considé ese una dis ibución de ecuencias con las da os ag upados en k in e alos
(l;_ ^,!; j
con ma cas de clase
x; y
ecuencia absolu a de cada in e alo
; .
Sea N el
núme o o a! de da os, y ep esen amos po
l O ^
FSTADISTIC'A ESPAlVOLA
la
ecuencía acumulada ela i a, co espondien e al in e alo (/;_ I, /;], es deci , ia
p opo ción de da os que son meno es o iguales que 1j.
Si
x; ;
ep esen a el o al co espondíen e a cada in e alo (/;_ I, l; ], designemos po
x; ;
N.^
1a
p opo ciónen que
eon ibuye
el in e alo (l;_ ^, /;] al o al
de la dis ibución.
La p opo ción
en que
con ibuyen los da os que son neno es o
iguales
que ^; al o al
de la dis ibución es
j^ 1
Ob iamen e ^ = 0, ^ = 1 y qo = 0, q^ = 1. La poligonal que une los pun os de
coo denada:s ^^^ ; y
^
+^,
i= o,
1, 2, ..., k es la cu a de concen ación de Lo enz y el doble
de1 á ea de e minada po es a poligona! y la ec a de equidis ibución es, po de inición,
el índice de concen ación de Gini.
Así pues, pa a la de e minación del índice de concen ación de Gini es su icien e con
de e mina es e á ea. Es ácil de ob ene , en onces, la exp esión del índice de Gini
Ic =
^
,
x^E
+ ^- 1 ' 1}
[ 1]
2.
INDICE DE CONCENTRACION DE ALCAIDE
Ne dado es a de ominación al índice que se ob iene al aplica el azonamien o
expues o en Alcaide
(1973) a
una dis ibución de ecuencias de da os ag upados en
in e alos de clase.
Con la
no acián ya in oducida se ob iene
1
siendo
.,
= ^` la
ecuencia ela i a del in e alo
(l._ , .].
N
^
^ ^
ESTADIST^CA ESPAÑOLA
P incipio de Pu^ido.
Ei indice de concen ación iene de e minado po el cocien e
en e las suma de las dis ancias, medidas en sen ido e ical, desde el pun o ( ;^, q;) de
la cu a de Lo enz a la ec a de equidis ibución pa a i^ 1, 2, ..., k- 1, y la suma de
es as dis ancias pa a el caso hipo é ico de máxima concen ación, es deci
k- 1
^ ( ^ - Q;)
^=i
k-
^
-
Vi
^_ ^
Se e, pues, que la di e encia en e es os índices de concen ación es iba en el
p incipio o de inición que se adop a. Todos son índices de conceni ación en el sen ido
de que e i ican las siguien es p opiedades:
a)
Son coe icien es independien es de las magni udes que se conside en.
b)
Su campo
^
de a iación es el in e alo [0. l), co espondiendo el alo mínimo ()
al
caso en que no hay conceni acián (la cu a de Lo enZ coincide con la c u a de
equidis ibución) y el alo máximo, 1, al caso ex emo de máxima concen acián en
que la cu a de Lo enz pasa po el pun o (1. O). E1 índice de Pulido p esen a la g an
en aja de se nuy senci)lo de calcula , mien as que los índices de Aicaide y de Gini
equie en un cálculo más labo ioso.
Es a en aja no es al hoy día g acias a las acilidades de cálculo que p opo ciona
cualquie a de las pequeñ^as máquinas de calcula exis en es en la ac ualidad.
S.
COMPARACION ENTRE LOS DISTINTOS INDlCES DE ^Oi'+iCENTRACION
Dado que es os
í
ndices son ob enidos a pa i de p incipios o de iniciones di e en es,
cuando los da os es án ag upados en in e alos no es posible es ablece compa aciones
en e ellos. Sin emba go, en el caso pa icula de que la ag upación de los da os se haya
Ile ado a cabo de modo que odos los in e alos engan la misma ecuencia, los indices
N
si son co npa ables. Así, si
^---, las
ó mulas [ l j,[ 2] y[ 3] an e io es conducen a las
k
siguien es exp esiones:
1
^`
- .._ [ Z ^ ix; - (k +
1) J
k
^ ^, ^
1
^`
1 ^
^ lP =
[2
^ ix; - (k + 1)]
[S]
k - 1 ;_^ ^
iNDICES DE C'ONCENTRACIUN
BASADOS
EN 1.A '['RVA hE LC)REN?_
IC19
es deci , coinciden los alo es de los ínciices de Alcaicie y cie Pulido, pe o su alo es
su^e io al ínciice cie Gini:
k
^ lP_ k _ 1 l^.
Es deci , cuando los da os es án ag upados en in e alos de igual ecuencia, el índice
de Alcaide y el índice de Pulido coinciden y dan un alo supe io al índice de Gini.
Es a si uación se p esen a cuando los da os es án sin ag upa (k = N), o bien,
cuando es án ag upados po cuan iles (k = 10 (deciles); k= 4(cua iles), e c .).
La ó mula [4J pa a k= 10, es deci , pa a da os ag upados po deciles coincide con
la dada po U iel (1974) .
6.
COMPROBACIONES NUMERICAS
La dispa idad de las disc epancias en e es os i es índices de concen ación se pone
de mani ies o cla amen e cuando se calculan los es pa a una misma dis ibución.
Conside ando las dis ibuciones de las en as sala iales en los años
1971, 1972 y
1973, dadas
po el 1 NE en el cuad o
A-1I-14 de
La Ren a Nacional en 1975 y su
dis ibución, y que se adjun a en el anexo, los alo es de los
í
ndices de concen ación
calculados po las á mulas
[1], [2] y[3] son:
1NDICE DE CONCENTRACION DE
Da o de
Gini
Alcaide
Pulido
19? 1
1972
1973
0. 3280
^. 35Q0
0. 2917
0.32b3
0.3489 0.3259
0.3297
0.3671
0.3803

FSTADISTICA ESPAÑOLA
7.
AN EXO
ESTRUCTU RA DE LAS RENTAS SALARIALES (1)
19?
1972
INGRESOS MEDIOS
MENSUALES,
INCLUIDA
LA AYUDA
FAMIL[AR
Menos de 3.UU0 pese as
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De 3.001 a 4.004 pese as
. . . . . . . . . . . . . . . .
De 4.OOI a 3,000 pese as
.. . . . . . . . . . . . . . .
De 5.001 a 6.000 pese as
. . . . . . . . . . . . . . . .
Dc 6.001 a 7.000 pese as
. . . . . . . . . . . . . . . .
De 7.001
a
8.000 pese as
. . . . . . . . . . . . . . . .
De 8.001 a 9.0()0 pese as
. . . . . . . . . . . . . . . .
De 9.001 a 10.0^00 pese as
. . . . . . . . . . . . . . . .
De 10.000
a 11.000 lpese as . . . . . . . . . . . . . . . . .
De 11.041 a 12.040 pese as
. . . . . . . . . . . . . . . .
De 12.001 a 14.000 pese as
. . . . . . . . . . . . . . . .
De 14.00 I a 16.000 pese as
. . . . . . . . . . . . . . . .
De 16.000 a 18.000 pese as
. . . . . . . . . . . . . . . .
De 18.001 a ZA.000 pese as
. . . . . . . . . . . . . . . .
Más de 20.OOU pese as
.. . . . . . . . . . . . . . . . . ..
1973
Pb c^n-
Po c n-
Po cen-
^ ^ P o cen-
^^ Pcy cen- ^ dc Po cen-
$je de
^,je
de
aje de
aba^a-
abgja-
ab^ja-
^s in^ esos do es ^^s`OS do es in,g esos
S,S
1,3
3,9
0,8 3,0
O,S
6,2
2,4
4,S
1,S
3,6
1,0
11,3
S,ó
7,8
3,4
4,6
1,7
11,2
6,8
9,S
S,0
ó,7
3,0
10,3
7,4
9,b
S,9
7,9
4,0
9,1
7,4
8,9 6,3
8,1
4,9
7,9
7,3
7,8
6,3
7,7
5,3
6,8
7,1
6,8
6,1
6,6
S,1
S,6
6,4
6,1 6,1
6,3
5,3
S,0
6,3
S,6
6,1
5,7
S,3
6,8 9,b
8,1
9,9
9,0
9,4
4,S
7,9
6,1
8,7
7,S
9,1
3,1 S,8
4,S
7,3
b,3
8,7
2,1
4,4
3,4
6,0
4,7
7,7
4,6
14,8
7,4
20.6
12,3
29,0
To al s . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100,0
100,0
100,0
100,0
100,0 100,0
ndice concen ación
d G1Nl .. . . .. .. . . . . . .
0,3243
0,3263
0,3281
(1)
Se e i e a los sec o , s camp endidos en la es adis ica de sala ios y que se analizan en ios cuad os.
FUENTE:
INE. Encues a de sala ios.
8.
REFERENCIAS
ALCAIDE, A.:
Es adis ica Econó nica.
Ed. Sae a, Mad id, 197b.
PULlDO SAN ROMÁN, A.:
Es adís icas y Técnicas de In es igoción Social.
Ed. Pi ámide, Mad id,
1976.
URIEL. E.: «Compa acibn
en e di e sas medidas de desigualdad^.
Es ad s ica
Española,núm.
b4-b5 , 39-69 .
SUMMARY
ln ihis pape we s udy se e al measu es o concen a ion o a dis ibu-
ion,
Thus, we discusses he measu es o concen a ion used by Alcaide
(1973), Pulido (1976) and Gini.
Finally, by analysing some economic da a,
we compa e suc h measu es.
Key wo ds:
Measu es o Concen a ion; Lo enz's cu e; Gini's Index.
AMS 1970. Subje classi ica ion: b2-00, 62P99.