Índices de concentración basados en Ia curva de Lorenz

ESTADISTICA ESPAÑ4LA n ^ m. 100, 1983, págs. 105 a 110 Indices de concentración basados en Ia curva de Loren= JOSE MARIA ALBA RIESGO Dpto. de Es^a^tica y E^o^ometris (Universidsd ds Saviliej RESUMEN Se realiza un estudia comparativo de diversas expresiones que aparecen en la literatura babitual, destinadas a expresar numéricamente la concentración de una distribución. La comparación y explicacitSn de las distintas fármulas se realiza analizando las principios en que se basan cada una de eilas, y al final se comparan en un ejcmplo numérico. Las expresiones analizadas son las utilizadas en Alcaide (1973), Pulido (1976) y la inicialmente propuesta por Gini. Palabras clave: Medidas de concentración, curva de Lorenz, índice de Gini. l. INDlCE DE C4NCENTRAClC)N DE GlNI Considérese una distribución de frecuencias con las datos agrupados en k intervalos (l;_ ^,!; j con marcas de clase x; y frecuencia absoluta de cada intervalo f; . Sea N el número tota! de datos, y representamos por l Of^ FSTADISTIC'A ESPAlVOLA la frecuencía acumulada relativa, correspondiente al intervalo (/;_ I, /;], es decir, ia proporción de datos que son menores o iguales que 1j. Si x;f; representa el total correspondíente a cada intervalo (/;_ I, l; ], designemos por x; f; N.^ 1a proporciónen que eontribuye el intervalo (l;_ ^, /;] al total de la distribución. La proporción en que contribuyen los datos que son rnenores o iguales que ^; al total de la distribución es j^ 1 Obviamente v^ = 0, v^ = 1 y qo = 0, q^ = 1. La poligonal que une los puntos de coordenada:s ^^^r; y ^ +^, i= o, 1, 2, ..., k es la curva de concentración de Lorenz y el doble de1 área determinada por esta poligona! y la recta de equidistribución es, por definición, el índice de concentración de Gini. Así pues, para la determinación del índice de concentración de Gini es suficiente con determinar este área. Es fácil de obtener, entonces, la expresión del índice de Gini Ic = ^ , x^Evr + v ^- 1 ' 1} [ 1] 2. INDICE DE CONCENTRACION DE ALCAIDE Ne dado esta dertominación al índice que se obtiene al aplicar el razonamiento expuesto en Alcaide (1973) a una distribución de frecuencias de datos agrupados en intervalos de clase. Con la notacián ya introducida se obtiene 1 siendo .,f = ^` la frecuencia relativa del intervalo (l._ , t.]. N ^ ^ ^ ESTADIST^CA ESPAÑOLA Principio de Pu^ido. Ei indice de concentración viene determinado por el cociente entre las suma de las distancias, medidas en sentido vertical, desde el punto (v;^, q;) de la curva de Lorenz a la recta de equidistribución para i^ 1, 2, ..., k- 1, y la suma de estas distancias para el caso hipotético de máxima concentración, es decir k- 1 ^ (v^ - Q;) ^=i kt ^ - Vi ^_ ^ Se ve, pues, que la diferencia entre estos índices de concentración estriba en el principio o definición que se adopta. Todos son índices de conceniración en el sentido de que verifican las siguientes propiedades: a) Son coeficientes independientes de las magnitudes que se consideren. b) Su campo ^ de variación es el intervalo [0. l), correspondiendo el valor mínimo () al caso en que no hay conceniracián (la curva de LorenZ coincide con la c urva de equidistribución) y el valor máximo, 1, al caso extremo de máxima concentracián en que la curva de Lorenz pasa por el punto (1. O). E1 índice de Pulido presenta la gran ventaja de ser rnuy senci)lo de calcular, mientras que los índices de Aicaide y de Gini requieren un cálculo más laborioso. Esta ventaja no es tal hoy día gracias a las facilidades de cálculo que proporciona cualquiera de las pequeñ^as máquinas de calcular existentes en la actualidad. S. COMPARACION ENTRE LOS DISTINTOS INDlCES DE ^Oi'+iCENTRACION Dado que estos í ndices son obtenidos a partir de principios o definiciones diferentes, cuando los datos están agrupados en intervalos no es posible establecer comparaciones entre ellos. Sin embargo, en el caso particular de que la agrupación de los datos se haya Ilevado a cabo de modo que todos los intervalos tengan la misma frecuencia, los indices N si son cornparables. Así, si f^---, las fórmulas [ l j,[ 2] y[ 3] anteriores conducen a las k siguientes expresiones: 1 ^` - .._ [ Z ^ ix; - (k + 1) J k ^ ^, ^ 1 ^` 1 ^ ^ lP = [2 ^ ix; - (k + 1)] [S] k - 1 ;_^ ^ iNDICES DE C'ONCENTRACIUN BASADOS EN 1.A t'['RVA hE LC)REN?_ IC19 es decir, coinciden los valores de los ínciices de Alcaicie y cie Pulido, pero su valor es su^erior al ínciice cie Gini: k ^ lP_ k _ 1 l^. Es decir, cuando los datos están agrupados en intervalos de igual frecuencia, el índice de Alcaide y el índice de Pulido coinciden y dan un valor superior al índice de Gini. Esta situación se presenta cuando los datos están sin agrupar (k = N), o bien, cuando están agrupados por cuantiles (k = 10 (deciles); k= 4(cuartiles), etc .). La fórmula [4J para k= 10, es decir, para datos agrupados por deciles coincide con la dada por U riel (1974) . 6. COMPROBACIONES NUMERICAS La disparidad de las discrepancias entre estos ires índices de concentración se pone de manifiesto claramente cuando se calculan los tres para una misma distribución. Considerando las distribuciones de las rentas salariales en los años 1971, 1972 y 1973, dadas por el 1 NE en el cuadro A-1I-14 de La Renta Nacional en 1975 y su distribución, y que se adjunta en el anexo, los valores de los í ndices de concentración calculados por las fármulas [1], [2] y[3] son: 1NDICE DE CONCENTRACION DE Dato de Gini Alcaide Pulido 19? 1 1972 1973 0. 3280 ^. 35Q0 0. 2917 0.32b3 0.3489 0.3259 0.3297 0.3671 0.3803 FSTADISTICA ESPAÑOLA 7. AN EXO ESTRUCTU RA DE LAS RENTAS SALARIALES (1) 19?t 1972 INGRESOS MEDIOS MENSUALES, INCLUIDA LA AYUDA FAMIL[AR Menos de 3.UU0 pesetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De 3.001 a 4.004 pesetas . . . . . . . . . . . . . . . . De 4.OOI a 3,000 pesetas .. . . . . . . . . . . . . . . De 5.001 a 6.000 pesetas . . . . . . . . . . . . . . . . Dc 6.001 a 7.000 pesetas . . . . . . . . . . . . . . . . De 7.001 a 8.000 pesetas . . . . . . . . . . . . . . . . De 8.001 a 9.0()0 pesetas . . . . . . . . . . . . . . . . De 9.001 a 10.0^00 pesetas . . . . . . . . . . . . . . . . De 10.000 a 11.000 lpese tas . . . . . . . . . . . . . . . . . De 11.041 a 12.040 pesetas . . . . . . . . . . . . . . . . De 12.001 a 14.000 pesetas . . . . . . . . . . . . . . . . De 14.00 I a 16.000 pesetas . . . . . . . . . . . . . . . . De 16.000 a 18.000 pesetas . . . . . . . . . . . . . . . . De 18.001 a ZA.000 pesetas . . . . . . . . . . . . . . . . Más de 20.OOU pesetas .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1973 Pbrc^n- Porctn- Porcent^ ^ Prorcen- ^^ Pcyrcent^ dc Porcent$je de t^,je de taje de traba^atrabgja- trab^ja- ^s in^resos dores ^^s`OS dores in,gresos S,S 1,3 3,9 0,8 3,0 O,S 6,2 2,4 4,S 1,S 3,6 1,0 11,3 S,ó 7,8 3,4 4,6 1,7 11,2 6,8 9,S S,0 ó,7 3,0 10,3 7,4 9,b S,9 7,9 4,0 9,1 7,4 8,9 6,3 8,1 4,9 7,9 7,3 7,8 6,3 7,7 5,3 6,8 7,1 6,8 6,1 6,6 S,1 S,6 6,4 6,1 6,1 6,3 5,3 S,0 6,3 S,6 6,1 5,7 S,3 6,8 9,b 8,1 9,9 9,0 9,4 4,S 7,9 6,1 8,7 7,S 9,1 3,1 S,8 4,S 7,3 b,3 8,7 2,1 4,4 3,4 6,0 4,7 7,7 4,6 14,8 7,4 20.6 12,3 29,0 Totalts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 tndice concentración dt G1Nl .. . . .. .. . . . . . . 0,3243 0,3263 0,3281 (1) Se refitre a los sector,ts camprendidos en la estadistica de salarios y que se analizan en ios cuadros. FUENTE: INE. Encuesta de salarios. 8. REFERENCIAS ALCAIDE, A.: Estadistica Econórnica. Ed. Saeta, Madrid, 197b. PULlDO SAN ROMÁN, A.: Estadísticas y Técnicas de Investigoción Social. Ed. Pirámide, Madrid, 1976. URIEL. E.: «Comparacibn entre diversas medidas de desigualdad^. Estadtstica Española,núm. b4-b5 , 39-69 . SUMMARY ln ihis paper we study several measures of concentration of a distribution, Thus, we discusses the measures of concentration used by Alcaide (1973), Pulido (1976) and Gini. Finally, by analysing some economic data, we compare suc h measures. Key words: Measures of Concentration; Lorenz's curve; Gini's Index. AMS 1970. Subjet classification: b2-00, 62P99.