Índices de concentración basados en Ia curva de Lorenz

ESTADISTICA ESPAÑ4LA n ^ m. 100, 1983, págs. 105 a 110 Indices de concen ación basados en Ia cu a de Lo en= JOSE MARIA ALBA RIESGO Dp o. de Es^a^ ica y E^o^ome is (Uni e sidsd ds Sa iliej RESUMEN Se ealiza un es udia compa a i o de di e sas exp esiones que apa ecen en la li e a u a babi ual, des inadas a exp esa numé icamen e la concen- ación de una dis ibución. La compa ación y explicaci Sn de las dis in as á mulas se ealiza analizando las p incipios en que se basan cada una de eilas, y al inal se compa an en un ejcmplo numé ico. Las exp esiones analizadas son las u ilizadas en Alcaide (1973), Pulido (1976) y la inicial- men e p opues a po Gini. Palab as cla e: Medidas de concen ación, cu a de Lo enz, índice de Gini. l. INDlCE DE C4NCENTRAClC)N DE GlNI Considé ese una dis ibución de ecuencias con las da os ag upados en k in e alos (l;_ ^,!; j con ma cas de clase x; y ecuencia absolu a de cada in e alo ; . Sea N el núme o o a! de da os, y ep esen amos po l O ^ FSTADISTIC'A ESPAlVOLA la ecuencía acumulada ela i a, co espondien e al in e alo (/;_ I, /;], es deci , ia p opo ción de da os que son meno es o iguales que 1j. Si x; ; ep esen a el o al co espondíen e a cada in e alo (/;_ I, l; ], designemos po x; ; N.^ 1a p opo ciónen que eon ibuye el in e alo (l;_ ^, /;] al o al de la dis ibución. La p opo ción en que con ibuyen los da os que son neno es o iguales que ^; al o al de la dis ibución es j^ 1 Ob iamen e ^ = 0, ^ = 1 y qo = 0, q^ = 1. La poligonal que une los pun os de coo denada:s ^^^ ; y ^ +^, i= o, 1, 2, ..., k es la cu a de concen ación de Lo enz y el doble de1 á ea de e minada po es a poligona! y la ec a de equidis ibución es, po de inición, el índice de concen ación de Gini. Así pues, pa a la de e minación del índice de concen ación de Gini es su icien e con de e mina es e á ea. Es ácil de ob ene , en onces, la exp esión del índice de Gini Ic = ^ , x^E + ^- 1 ' 1} [ 1] 2. INDICE DE CONCENTRACION DE ALCAIDE Ne dado es a de ominación al índice que se ob iene al aplica el azonamien o expues o en Alcaide (1973) a una dis ibución de ecuencias de da os ag upados en in e alos de clase. Con la no acián ya in oducida se ob iene 1 siendo ., = ^` la ecuencia ela i a del in e alo (l._ , .]. N ^ ^ ^ ESTADIST^CA ESPAÑOLA P incipio de Pu^ido. Ei indice de concen ación iene de e minado po el cocien e en e las suma de las dis ancias, medidas en sen ido e ical, desde el pun o ( ;^, q;) de la cu a de Lo enz a la ec a de equidis ibución pa a i^ 1, 2, ..., k- 1, y la suma de es as dis ancias pa a el caso hipo é ico de máxima concen ación, es deci k- 1 ^ ( ^ - Q;) ^=i k- ^ - Vi ^_ ^ Se e, pues, que la di e encia en e es os índices de concen ación es iba en el p incipio o de inición que se adop a. Todos son índices de conceni ación en el sen ido de que e i ican las siguien es p opiedades: a) Son coe icien es independien es de las magni udes que se conside en. b) Su campo ^ de a iación es el in e alo [0. l), co espondiendo el alo mínimo () al caso en que no hay conceni acián (la cu a de Lo enZ coincide con la c u a de equidis ibución) y el alo máximo, 1, al caso ex emo de máxima concen acián en que la cu a de Lo enz pasa po el pun o (1. O). E1 índice de Pulido p esen a la g an en aja de se nuy senci)lo de calcula , mien as que los índices de Aicaide y de Gini equie en un cálculo más labo ioso. Es a en aja no es al hoy día g acias a las acilidades de cálculo que p opo ciona cualquie a de las pequeñ^as máquinas de calcula exis en es en la ac ualidad. S. COMPARACION ENTRE LOS DISTINTOS INDlCES DE ^Oi'+iCENTRACION Dado que es os í ndices son ob enidos a pa i de p incipios o de iniciones di e en es, cuando los da os es án ag upados en in e alos no es posible es ablece compa aciones en e ellos. Sin emba go, en el caso pa icula de que la ag upación de los da os se haya Ile ado a cabo de modo que odos los in e alos engan la misma ecuencia, los indices N si son co npa ables. Así, si ^---, las ó mulas [ l j,[ 2] y[ 3] an e io es conducen a las k siguien es exp esiones: 1 ^` - .._ [ Z ^ ix; - (k + 1) J k ^ ^, ^ 1 ^` 1 ^ ^ lP = [2 ^ ix; - (k + 1)] [S] k - 1 ;_^ ^ iNDICES DE C'ONCENTRACIUN BASADOS EN 1.A '['RVA hE LC)REN?_ IC19 es deci , coinciden los alo es de los ínciices de Alcaicie y cie Pulido, pe o su alo es su^e io al ínciice cie Gini: k ^ lP_ k _ 1 l^. Es deci , cuando los da os es án ag upados en in e alos de igual ecuencia, el índice de Alcaide y el índice de Pulido coinciden y dan un alo supe io al índice de Gini. Es a si uación se p esen a cuando los da os es án sin ag upa (k = N), o bien, cuando es án ag upados po cuan iles (k = 10 (deciles); k= 4(cua iles), e c .). La ó mula [4J pa a k= 10, es deci , pa a da os ag upados po deciles coincide con la dada po U iel (1974) . 6. COMPROBACIONES NUMERICAS La dispa idad de las disc epancias en e es os i es índices de concen ación se pone de mani ies o cla amen e cuando se calculan los es pa a una misma dis ibución. Conside ando las dis ibuciones de las en as sala iales en los años 1971, 1972 y 1973, dadas po el 1 NE en el cuad o A-1I-14 de La Ren a Nacional en 1975 y su dis ibución, y que se adjun a en el anexo, los alo es de los í ndices de concen ación calculados po las á mulas [1], [2] y[3] son: 1NDICE DE CONCENTRACION DE Da o de Gini Alcaide Pulido 19? 1 1972 1973 0. 3280 ^. 35Q0 0. 2917 0.32b3 0.3489 0.3259 0.3297 0.3671 0.3803 FSTADISTICA ESPAÑOLA 7. AN EXO ESTRUCTU RA DE LAS RENTAS SALARIALES (1) 19? 1972 INGRESOS MEDIOS MENSUALES, INCLUIDA LA AYUDA FAMIL[AR Menos de 3.UU0 pese as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De 3.001 a 4.004 pese as . . . . . . . . . . . . . . . . De 4.OOI a 3,000 pese as .. . . . . . . . . . . . . . . De 5.001 a 6.000 pese as . . . . . . . . . . . . . . . . Dc 6.001 a 7.000 pese as . . . . . . . . . . . . . . . . De 7.001 a 8.000 pese as . . . . . . . . . . . . . . . . De 8.001 a 9.0()0 pese as . . . . . . . . . . . . . . . . De 9.001 a 10.0^00 pese as . . . . . . . . . . . . . . . . De 10.000 a 11.000 lpese as . . . . . . . . . . . . . . . . . De 11.041 a 12.040 pese as . . . . . . . . . . . . . . . . De 12.001 a 14.000 pese as . . . . . . . . . . . . . . . . De 14.00 I a 16.000 pese as . . . . . . . . . . . . . . . . De 16.000 a 18.000 pese as . . . . . . . . . . . . . . . . De 18.001 a ZA.000 pese as . . . . . . . . . . . . . . . . Más de 20.OOU pese as .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1973 Pb c^n- Po c n- Po cen- ^ ^ P o cen- ^^ Pcy cen- ^ dc Po cen- $je de ^,je de aje de aba^a- abgja- ab^ja- ^s in^ esos do es ^^s`OS do es in,g esos S,S 1,3 3,9 0,8 3,0 O,S 6,2 2,4 4,S 1,S 3,6 1,0 11,3 S,ó 7,8 3,4 4,6 1,7 11,2 6,8 9,S S,0 ó,7 3,0 10,3 7,4 9,b S,9 7,9 4,0 9,1 7,4 8,9 6,3 8,1 4,9 7,9 7,3 7,8 6,3 7,7 5,3 6,8 7,1 6,8 6,1 6,6 S,1 S,6 6,4 6,1 6,1 6,3 5,3 S,0 6,3 S,6 6,1 5,7 S,3 6,8 9,b 8,1 9,9 9,0 9,4 4,S 7,9 6,1 8,7 7,S 9,1 3,1 S,8 4,S 7,3 b,3 8,7 2,1 4,4 3,4 6,0 4,7 7,7 4,6 14,8 7,4 20.6 12,3 29,0 To al s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0 ndice concen ación d G1Nl .. . . .. .. . . . . . . 0,3243 0,3263 0,3281 (1) Se e i e a los sec o , s camp endidos en la es adis ica de sala ios y que se analizan en ios cuad os. FUENTE: INE. Encues a de sala ios. 8. REFERENCIAS ALCAIDE, A.: Es adis ica Econó nica. Ed. Sae a, Mad id, 197b. PULlDO SAN ROMÁN, A.: Es adís icas y Técnicas de In es igoción Social. Ed. Pi ámide, Mad id, 1976. URIEL. E.: «Compa acibn en e di e sas medidas de desigualdad^. Es ad s ica Española,núm. b4-b5 , 39-69 . SUMMARY ln ihis pape we s udy se e al measu es o concen a ion o a dis ibu- ion, Thus, we discusses he measu es o concen a ion used by Alcaide (1973), Pulido (1976) and Gini. Finally, by analysing some economic da a, we compa e suc h measu es. Key wo ds: Measu es o Concen a ion; Lo enz's cu e; Gini's Index. AMS 1970. Subje classi ica ion: b2-00, 62P99.