Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo
y
Diseño en Ingenie ía. Vol.
7,
4,
455-472(
1991)
PROBLEMAS
DE
HOMOGENEIZACION
EN LA INGENIERIA.
UNA EXPERIMENTACION NUMERICA
MIGUEL LOBO*
MARIA EUGENIA PEREZ*
Y
AVELINO SAMARTIN**
*Depa amen o de Ma emá icas,
Uni e sidad de Can ab ia.
**Depa amen o de Mecánica de los Medios
Con inuos
y
Teo a'a de Es uc u as,
Uni e sidad Poli écnica de Mad id.
RESUMEN
Se expone b e emen e el p oblema ma emá ico de homogeneización, en sus ace as:
homogeneización en el dominio y en el con o no. Con espec o a es a úl ima, se in oducen
los concep os de alla c í ica
y
p oblema lími e. Los esul ados ob enidos se aplican a un caso
pa icula ep esen ado po un cilind o con condiciones de bo de pe iódicas. Se comp ueba
la alidez del desa ollo eó ico median e una expe imen ación numé ica u ilizando elemen os
ini os
3-D
obse ándose la elocidad de con e gencia que se ob iene en elación con el caso
lími e. Finalmen e se comen a la posibilidad de u iliza la écnica de homogeneización pa a
ob ene unos c i e ios hacia un diseño e icien e y óp imo de los esul ados de las ba as
co ugadas en el ho migón a mado.
SUMMARY
The wo main p oblems o homogeneiza ion - he homogeneiza ion o he bounda y and
he homogeneiza ion o he domain- a e b ie ly p esen ed. The concep o he c i ica1 size
and he limi p oblem a e in oduced o he homogeneiza ion o he bounda y. The ob ained
esul s a e applied o a pa icula example ep esen ed by a cylind ical body wi h pe iodical
condi ions o e he la e al bounda y. The alidi y o he heo e ical analysis is checked by a
nume ical es using
3-D
ini e elemen model and he con e gence speed owa ds he limi
p oblem is obse ed. Finally some hin s abou he use o he ob ained esul s in he design o
he co uga ion o he ein o cemen ba s o he conc e e s uc u es a e gi en.
Recibido: Julio 1990
OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España)
ISSN
0213-1315
M.
LOBO,
M.E. PEREZ
Y
A. SAMARTIN
INTRODUCCION
Una clase de es uc u as que apa ece ecuen emen e en la Ingenie ía co esponde
a las cons i uidas po un elemen o que se epi e en una o a ias di ecciones.
Conside aciones de e iciencia cons uc i a,
y
a eces de p e ab icación, impulsan es e
ipo de cons ucciones. Ejemplos conocidos co esponden a o jados, denominados
en episos sin igas, que ep esen an e's uc u as empa illado plano con una celda
que se epi e según dos di ecciones o ogonales (Figu a
1).
O os casos son las celosías
egula es, con un elemen o unidad con eniendo sime ías que le pe mi en su epe ición
en a ias di ecciones (Figu a
2).
UNIDAD
I
i
DETALLE-A
UNIDAD
7
/
DETALLE-A
Figu a
1.
Empa illado plano. Figu a
2.
Celosía plana.
El cálculo de es as es uc u as puede simpli ica se de un modo conside able, si
se supone que el núme o de elemen os uni a ios exis en e es su icien emen e ele ado,
pa a conside a que oda la es uc u a puede se sus i uida po o a con un ma e ial
con inuo, que p esen a unas ca ac e ís icas de e minadas po las p opiedades elás icas
y
geomé icas de la celda uni a ia.
La de e minación de es a es uc u a con ma e ial con inuo o es uc u a
homogeneizada puede e ec ua se median e p ocedimien os empí icos, como es el caso del
mé odo de la losa o ó opa equi alen e a un able o de puen e de igas. Es posible,
sin emba go, u iliza un p ocedimien o gene al de ob ención de la es uc u a lími e
homogeneizada
y
que se desc ibe en la siguien e sección.
PROBLEMAS
DE
HOMOGENEIZACION EN
LA
INGENIERIA
Finalmen e exis en si uaciones, en las que la pe iodicidad espacial no ocu e
en el in e io de la es uc u a sino en sus condiciones de con o no. La si uación
lími e u homogeneizada consis e en la es uc u a bajo unas condiciones de on e a
uni o mes. Un ejemplo, que se desa olla á con de alle aquí, co esponde a un sólido
elás ico cilínd ico con condiciones de con o no, a lo la go de su supe icie la e al,
al e na i amen e ipo Di ichle , es deci , con mo imien os especi icados y de ipo
Neumann con ensiones conocidas. Es e caso co esponde a una simulación en a i a
del compo amien o de una ba a co ugada en el in e io de una masa de ho migón.
HOMOGENEIZACION. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
La ho nogeneización es un p oceso de inspi ación ísica que consis e en subs i ui
un ma e ial ue emen e he e ogéneo po uno homogéneo equi alen e. Es e p oceso es
impo an e cuando se in en a, po ejemplo, es udia de o maciones o empe a u as en
cue pos con he e ogeneidades debidas a la p esencia.de impu ezas dis ibuidas de una
cie a mane a en los mismos, luidos que a a iesan medios po osos, pa edes pe o adas,
e c.. Desde un pun o de is a numé ico es necesa io ealiza algún ipo de p omedio
pa a el es udio de es os p oblemas, pues sino, los mé odos numé icos usuales pueden
esul a muy coc osos dada la compleja es uc u a geomé ica del p oblema.
De mane a gene al, las écnicas de homogeneización son odas aquellas que
pe mi en subs i ui un medio he e ogéneo po uno homogéneo equi alen e. Aunque los
p ocesos de ho nogeneización han sido es udiados po nume osos au o es, sin emba go,
la de inición ma emá ica de medio homogéneo equi alen e no ha enido un signi icado
ma emá ico p eciso has a echa ela i amen e ecien e. Son, quizás, los abajos de
Sanchez-Palencia y Babuska hacia
1970
los que han con ibuido a da una o mulación
cla a de un p oblema de ho nogeneización bajo la o ma de un p oblema dependien e
de un pequeño pa áme o.
A g andes asgos, se puede deci que si se supone
u"
la solución de un p oblema
PE
plan eado en una es uc u a pe iódica, cuya ampli ud depende de un pequeño
pa áme o
E
(c . Figu a
3),
pa ece lógico pensa que si
E
es muy pequeño
u"
se a a pode
ap oxima po una unción
u0
(solución del p oblema homogeneizado) independien e
de
E.
Así si
u"
+
U'(&
+
O)
en alguna opología, se denomina á p oblema lími e o
p oblema homogeneizado al p oblema
Po
del cual
u0
es solución.
Así pues, los p oblemas que apa ecen
al
in en a esol e un p oblema
P"
de
homogeneización son dos undamen almen e:
a) ~e e mina el posible p oblema homogeneizado
Po.
b) Demos a la con e gencia de las soluciones
u"
a
u0
cuando
E
-
O
en alguna
opología.
En é minos gene ales, los dis in os mé odos u ilizados en ho nogeneización se
suelen di e encia en dos g andes g upos: las écnicas basadas en desa ollos asin ó icos,
y las écnicas ma emá icas de con e gencia de ope ado es. En cuan o a las p ime as,
ienen la en aja de se muy in ui i as y de p opo ciona , si es posible, el p oblema
homogeneizado, pe o p esen an el incon enien e de u iliza azonamien os de ipo
M.
LOBO,
M.E. PEREZ
Y
A. SAMARTIN
Figu a
3.
Es uc u a pe iódica.
heu ís ica
y que, po an o, hay que jus i ica a pos e io i. En cuan o a las segundas,
aunque son igu osas y pe mi en demos a la con e gencia de las soluciones ienen la
des en aja de que, en gene al, necesi an de esul ados de las p ime as. De alguna
mane a ambos ipos de écnicas se complemen an. En cuan o a au o es que han
abajado y con ibuido en los úl imos años a la in oducción de écnicas pa a la
esolución de p oblemas de homogeneización, se pueden ci a en e o os a Benessousan,
De Gio gi, Lions, Mu a , Sanchez-Falencia, Spagnolo, Ta a , e c. de quienes algunas
publicaciones se ci an en las Re e encias.
En odo p oceso de homogeneización se in en a p ime amen e ob ene
in o maciones mac oscópicas en unción de in o maciones mic oscópicas. Es a
in o mación mic oscópica, se puede exp esa median e un cambio de a iables en un
en o no de cada he e ogeneidad (" a iables locales") que amplían conside ablemen e
el en o no de la he e ogeneidad que se es á a ando. De es a mane a és a se
puede es udia po sepa ado del es o de las he e ogeneidades, dando luga al
denominado p oblema local, el cual conduce, en ocasiones, a in e esan es p oblemas
de la eo ía del po encial. Después, se in en a acopla con enien emen e median e
algún "p incipio de ma ching", con el es o de las he e ogeneidades, pa a ob ene el
p oblema homogeneizado.
Aquí se es udia un p oblema de homogeneización de on e as; en es e caso las
he e ogeneidades no apa ecen sob e el dominio sino sob e la on e a.
A
es e ipo de
p oblemas pe enecen los p oblemas sob e luidos que a a iesan pa edes pe o adas
(c . Sanchez-PalencialO, Sanchez-Palencia
&
Sanchez-Hube g, po ejemplo); el es udio
de las de o maciones en un cue po elás ico homogéneo una de cuyas pa edes p esen an
ugosidades
y
se encuen a adhe ido po es as zonas a una pa ed lisa (c . Lobo
&
Pé ez8); el es udio de la empe a u a en una columna que iene pequeñas zonas heladas
PROBLEMAS DE HOMOGENEIZACION EN LA INGENIERIA
o oidales a su al ededo (c . B illa d
&
Pé ez2). En es os p oblemas se es udia el
amaño que deben ene las he e ogeneidades sob e la on e a, " alla c í ica", de
modo que el ma e ial se compo e de mane a dis in a a los casos ex emos: odo una
he e ogeneidad o sin he e ogeneidades.
En es e a ículo se mues an unos ejemplos numé icos de ap oximación de un
p oblema de homogeneización de on e as a a és del p oblema homogeneizado.
Aunque un es udio de allado de la ob ención del p oblema lími e a a és de las écnicas
del análisis asin ó ico o mal, pueden encon a se en la e e encia [3], aquí se p esen a
un b e e esumen de es e es udio.
O os ejemplos de homogeneización, cuando el amaño de las he e ogeneidades
es del mismo o den que la dis ancia en e eiias, pueden e se, po ejemplo, en las
e e encias
[1]
y
[5].
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.
DESCRIPCION DEL PROBLEMA HOMOGENEIZADO
Plan eamien o del p oblema
PE.
En el ma co de la elas icidad lineal, se conside a un cue po isó opo, homogéneo,
de o ma cilínd ica,
R,
some ido a la acción de una ue za ,
E
(L2(R))3,
sob e cuya
supe icie la e al
C
se suponen exis en condiciones de ipo Neumann
a,nj
=
O,
sal o
en de e minados anillos
A;,
de anchu a E, sepa ados en e sí dis ancias q
=
q(~) (c .
Figu a
4),
k
=
1,2,3 .
.
. N, con N
=
N(&)
=
O(l/q). Se es udia el p oblema lími e pa a
las dis in as dependencias
E
y
q;
E
<
q; q(~)
+
0.
l
Figu a
4.
P oblemas de homogeneización de on e as.

M.
LOBO,
M.E.
PEREZ
Y
A.
SAMARTIN
Las ecuaciones que igen es e p oblema son:
I
a jnj
=
O
sob e T2U(C
-
UA;)
k
u"
=
O
sob e Ti U U A;
k
0'
=
aGkhekh(uE), ekh(u )
=
'
23
z(a,,
+
&)
1
siendo
I
U"
=
(U:, U;, U;) ec o desplazamien o
(
a;jkh las cons an es de la elas icidad.
Se obse a que el p oblema plan eado admi e una o mulación a iacional
equi alen e a encon a u" en el espacio VE al que:
siendo
u"
es la solución débil del p oblema P".
Dada la es uc u a geomé ica del p oblema es e iden e que sob e
C
iene luga
un enómeno de capa lími e. Se conside a en p ime luga , que u" p esen a sob e cada
anillo A;, un enómeno de capa lími e,
k
=
1,2,
. .
.
,0(1/q).
Se pos ula que u" admi e un desa ollo ex e io , en el in e io de
52
del ipo:
uE(xl, ~2,~3)
=
u0(x1,x2,
~3)
-k
&ul(xl, ~2~x3)
+
. .
.
M
donde u0 se á solución del p oblema Po:
a
o
zaij
+
l
=
O
en
52,
i=1,2,3
a$nj
=
O
sob e 2,
U'
=
O
sob e TI
+
condiciones de con o no sob e
C
o?.
3
=
a,.
jkh
e
kh(uO)
Con el in de de e mina la condición que u0 e i ica sob e
C
se p ocede a u iliza
las écnicas del análisis asin ónico o mal ( éase, po ejemplo, las e e encias [3], [6],
171.
PROBLEMAS DE HOMOGENEIZACION
EN
LA INGENIERIA
Fenómeno
de
capa
lími e sob e
cada
Ak,
k
ijo
Dada la es uc u a geomé ica del p oblema pa ece lógico pensa en elegi
coo denadas cilínd icas T, 0, z,
y
unas coo denadas locales adecuadas en un en o no
de Ak:
Es po an o azonable conside a el p oblema de la elas icidad esc i o en
coo denadas cilínd icas y el ec o desplazamien o se exp esa aho a en las nue as
componen es u"
=
(u~,u~,u~). De es a mane a se supone un desa ollo local pa a
u" en un en o no de Ak del ipo:
Razonamien os de ipo s anda d en análisis asin ó ico o mal conducen a encon a
0 como solución de un p oblema en un dominio no aco ado, pa a el que hay que
in oduci una condición adicional en el in ini o. En es e p oblema, que no es de
elas icidad lineal, se puede ob ene su solución a pa i de las soluciones de es
p oblemas locales bidimensionales (en coo denadas Rl, Zl), que sí co esponden a
la elas icidad lineal y que se plan ean en el semiplano (Rl
<
0).
l
La condición en el in ini o, a la que se ha hecho e e encia se calcula al impone el
acoplamien o ("ma ching") asin ó ico en e los desa ollos ex e io y local de u" en un
en o no de A". Se ob iene así la siguien e exp esión:
-1
2-2
aO(&) O(-, O,
->E)]
=
~~(l,o,~~)
"'O
E
E
Conside aciones sob e la eo ía del po encial, en elas icidad bidimensional, en el
semiplano ( éase el capí ulo
19
de [ll]), pe mi en ob ene explíci amen e las soluciones
de los es p oblemas locales, ía ecuaciones in eg ales. La condición que e i ican es as
unciones en el in ini o conducen a la deducción del alo de a'(&) siguien e:
De e minación de la condición sob e
C
Se conside an dis in os desa ollos, pa a las ensiones ( $, s, &)
=
(
(U"),
o
(U"),
Z(uE)), uno ex e io en
R
y o o local sob e C, pa a lo cual hay que ene en
cuen a la in o mación ob enida sob e a'(&) y 0 y hace un p oceso de suma sob e
las' dis in as zonas de capas lími es locales A;
k
=
l..
.
,
NE. La hipó esis
de solapamien o ("o e lap") en e ambos desa ollos (Véase
[3]
y [6]) conduce a la
condición que u0 e i ica sob e C.
M.
LOBO,
M.E. PEREZ
Y
A. SAMARTIN
En es e p oceso de suma se de e mina la llamada " alla c í ica" pa a la elación
-'
con c
>
O;
y
inalmen e se deduce así el p oblema
Po
del que es
C
=
lim"-+o
S,
solución u', donde la condición sob e
C
es á dada po :
uo.n.
+
cciju?
=
0 sob e
C.
ZJ
J
(7)
C
=
Cij es la "ma iz de capacidades":
C
=
T~AT,
T
es la ma iz de o ación que ans o ma los ejes locales del plano angen e al con o no
en los gene ales del p oblema,
y A es la ma iz que se calcula a pa i de la solución de los es p oblemas locales:
con
c
=
*
,
X
y
p
cons an es de Lamé, de mane a que el p oblema homogeneizado
X+P
al que se ha llegado es á de inido po :
a
o
~0;~
+
;
=
O
en
0,
i
=
1,2,.3
u$nj
=
O
sob e 2,u0
=
O
sob e
l
a$nj
+
cC;juY
=
O
sob e C
OO.
23
=
aijkhekh(uO)
El caso c
=
+m
se aduce po u0
=
O
sob e C, es deci , cuando la dis ancia en e
anillos,
77,
es asin ó icamen e más pequeña que -l/ln~, el desplazamien o nulo se
impone asin ó icamen e sob e la supe icie la e al
C
del cilind o.
El caso c
=
O
se aduce po a$nj
=
O
sob e
C;
es deci , cuando la dis ancia en e
anillos es asin ó icamen e mayo que -l/lne, la condición de ensiones nulas sob e C
se impone asin ó icamen e.
En el caso
O
<
c
<
cm,
la solución u" iene un compo amien o asin ó ico sob e la
supe icie la e al
E,
in e medio en e los casos ex emos, c
=
O
ó
c
=
oo,
como se
obse a en la de inición del p oblema lími e
Po.
En cualquie a de los es casos el p oblema
Po
es un p oblema bien p opues o,
en un de e minado espacio uncional, dado que la ma iz
C
es una ma iz simé ica
de inida posi i a.
Obse ación: Es as écnicas pe mi en ambién ob ene el mismo p oblema lími e si,
en ez de anillos ci cula es sob e la on e a del cue po, se conside a una banda espi al
en ollada a la columna (c . Figu a 5). O os mé odos pa a el es udio de p oblemas de
es e ipo pueden encon a se en [2].
COMPROBACION EXPERIMENTAL
Los an e io es esul ados eó icos han sido con as ados median e una
expe imen ación numé ica, aplicada al modelo es uc u al ep esen ado po la Figu a
6.
Co esponde es e modelo a un sólido cilínd ico de adio
R
=
0,5 m
y
al u a
H
=
1
.O0 m,
compues o de un ma e ial elás ico de cons an es
G
=
0.5 m-2 y
u
=
0,20
Figu a
5.
P oblema de homogeneización de on e as.
m
BORDE EMPOTRADO
BORDE LIBRE
Figu a
6.
Ejemplo módulo.
Las condiciones de on e a en las secciones ec as
z
=
O
y
z
=
H
son
espec i amen e de empo amien o (mo imien os
u,
=
u,
=
u0
=
O)
y
lib e ( ensiones
a,,
=
T,,
=
,~
=
O). La supe icie la e al es lib e, pe o se dispone de o ma pe iódica,
empo amien o a una al u a
EH
sepa ados en e sí una dis ancia
?H.
Los esul ados que se ob ienen pa a el p oblema lími e son independien es de la
M.
LOBO,
M.E. PEREZ
Y
A. SAMARTIN
Figu a
10.
Mo imien os e icales.

Figu a
11.
Tensiones e icales.
-
2
HIPOTESIS
1
-
CARGA VERTICAL
i
=
-
.I
,O
m
405
0,10 Q15 0,20 425 0,30 0,s
440
445
( m2)
CASO
1
A''
//'/
M.
LOBO,
M.E. PEREZ
Y
A. SAMARTIN
ob ene el alo de la cons an e
c
de la alla c í ica
y
de es a o ma e alua la clase de
condiciones de con o no del es ado lími e homogeneizado.
AGRADECIMIENTOS
Los au o es desean ag adece las suge encias
y
comen a ios de los censo es
anónimos de es e a ículo que han pe mi ido una mejo exposición del mismo.
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