Problemas de homogeneización en la Ingenieria. Una experimentación numérica

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 7, 4, 455-472( 1991) PROBLEMAS DE HOMOGENEIZACION EN LA INGENIERIA. UNA EXPERIMENTACION NUMERICA MIGUEL LOBO* MARIA EUGENIA PEREZ* Y AVELINO SAMARTIN** *Depa amen o de Ma emá icas, Uni e sidad de Can ab ia. **Depa amen o de Mecánica de los Medios Con inuos y Teo a'a de Es uc u as, Uni e sidad Poli écnica de Mad id. RESUMEN Se expone b e emen e el p oblema ma emá ico de homogeneización, en sus ace as: homogeneización en el dominio y en el con o no. Con espec o a es a úl ima, se in oducen los concep os de alla c í ica y p oblema lími e. Los esul ados ob enidos se aplican a un caso pa icula ep esen ado po un cilind o con condiciones de bo de pe iódicas. Se comp ueba la alidez del desa ollo eó ico median e una expe imen ación numé ica u ilizando elemen os ini os 3-D obse ándose la elocidad de con e gencia que se ob iene en elación con el caso lími e. Finalmen e se comen a la posibilidad de u iliza la écnica de homogeneización pa a ob ene unos c i e ios hacia un diseño e icien e y óp imo de los esul ados de las ba as co ugadas en el ho migón a mado. SUMMARY The wo main p oblems o homogeneiza ion - he homogeneiza ion o he bounda y and he homogeneiza ion o he domain- a e b ie ly p esen ed. The concep o he c i ica1 size and he limi p oblem a e in oduced o he homogeneiza ion o he bounda y. The ob ained esul s a e applied o a pa icula example ep esen ed by a cylind ical body wi h pe iodical condi ions o e he la e al bounda y. The alidi y o he heo e ical analysis is checked by a nume ical es using 3-D ini e elemen model and he con e gence speed owa ds he limi p oblem is obse ed. Finally some hin s abou he use o he ob ained esul s in he design o he co uga ion o he ein o cemen ba s o he conc e e s uc u es a e gi en. Recibido: Julio 1990 OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 M. LOBO, M.E. PEREZ Y A. SAMARTIN INTRODUCCION Una clase de es uc u as que apa ece ecuen emen e en la Ingenie ía co esponde a las cons i uidas po un elemen o que se epi e en una o a ias di ecciones. Conside aciones de e iciencia cons uc i a, y a eces de p e ab icación, impulsan es e ipo de cons ucciones. Ejemplos conocidos co esponden a o jados, denominados en episos sin igas, que ep esen an e's uc u as empa illado plano con una celda que se epi e según dos di ecciones o ogonales (Figu a 1). O os casos son las celosías egula es, con un elemen o unidad con eniendo sime ías que le pe mi en su epe ición en a ias di ecciones (Figu a 2). UNIDAD I i DETALLE-A UNIDAD 7 / DETALLE-A Figu a 1. Empa illado plano. Figu a 2. Celosía plana. El cálculo de es as es uc u as puede simpli ica se de un modo conside able, si se supone que el núme o de elemen os uni a ios exis en e es su icien emen e ele ado, pa a conside a que oda la es uc u a puede se sus i uida po o a con un ma e ial con inuo, que p esen a unas ca ac e ís icas de e minadas po las p opiedades elás icas y geomé icas de la celda uni a ia. La de e minación de es a es uc u a con ma e ial con inuo o es uc u a homogeneizada puede e ec ua se median e p ocedimien os empí icos, como es el caso del mé odo de la losa o ó opa equi alen e a un able o de puen e de igas. Es posible, sin emba go, u iliza un p ocedimien o gene al de ob ención de la es uc u a lími e homogeneizada y que se desc ibe en la siguien e sección. PROBLEMAS DE HOMOGENEIZACION EN LA INGENIERIA Finalmen e exis en si uaciones, en las que la pe iodicidad espacial no ocu e en el in e io de la es uc u a sino en sus condiciones de con o no. La si uación lími e u homogeneizada consis e en la es uc u a bajo unas condiciones de on e a uni o mes. Un ejemplo, que se desa olla á con de alle aquí, co esponde a un sólido elás ico cilínd ico con condiciones de con o no, a lo la go de su supe icie la e al, al e na i amen e ipo Di ichle , es deci , con mo imien os especi icados y de ipo Neumann con ensiones conocidas. Es e caso co esponde a una simulación en a i a del compo amien o de una ba a co ugada en el in e io de una masa de ho migón. HOMOGENEIZACION. CONCEPTOS FUNDAMENTALES La ho nogeneización es un p oceso de inspi ación ísica que consis e en subs i ui un ma e ial ue emen e he e ogéneo po uno homogéneo equi alen e. Es e p oceso es impo an e cuando se in en a, po ejemplo, es udia de o maciones o empe a u as en cue pos con he e ogeneidades debidas a la p esencia.de impu ezas dis ibuidas de una cie a mane a en los mismos, luidos que a a iesan medios po osos, pa edes pe o adas, e c.. Desde un pun o de is a numé ico es necesa io ealiza algún ipo de p omedio pa a el es udio de es os p oblemas, pues sino, los mé odos numé icos usuales pueden esul a muy coc osos dada la compleja es uc u a geomé ica del p oblema. De mane a gene al, las écnicas de homogeneización son odas aquellas que pe mi en subs i ui un medio he e ogéneo po uno homogéneo equi alen e. Aunque los p ocesos de ho nogeneización han sido es udiados po nume osos au o es, sin emba go, la de inición ma emá ica de medio homogéneo equi alen e no ha enido un signi icado ma emá ico p eciso has a echa ela i amen e ecien e. Son, quizás, los abajos de Sanchez-Palencia y Babuska hacia 1970 los que han con ibuido a da una o mulación cla a de un p oblema de ho nogeneización bajo la o ma de un p oblema dependien e de un pequeño pa áme o. A g andes asgos, se puede deci que si se supone u" la solución de un p oblema PE plan eado en una es uc u a pe iódica, cuya ampli ud depende de un pequeño pa áme o E (c . Figu a 3), pa ece lógico pensa que si E es muy pequeño u" se a a pode ap oxima po una unción u0 (solución del p oblema homogeneizado) independien e de E. Así si u" + U'(& + O) en alguna opología, se denomina á p oblema lími e o p oblema homogeneizado al p oblema Po del cual u0 es solución. Así pues, los p oblemas que apa ecen al in en a esol e un p oblema P" de homogeneización son dos undamen almen e: a) ~e e mina el posible p oblema homogeneizado Po. b) Demos a la con e gencia de las soluciones u" a u0 cuando E - O en alguna opología. En é minos gene ales, los dis in os mé odos u ilizados en ho nogeneización se suelen di e encia en dos g andes g upos: las écnicas basadas en desa ollos asin ó icos, y las écnicas ma emá icas de con e gencia de ope ado es. En cuan o a las p ime as, ienen la en aja de se muy in ui i as y de p opo ciona , si es posible, el p oblema homogeneizado, pe o p esen an el incon enien e de u iliza azonamien os de ipo M. LOBO, M.E. PEREZ Y A. SAMARTIN Figu a 3. Es uc u a pe iódica. heu ís ica y que, po an o, hay que jus i ica a pos e io i. En cuan o a las segundas, aunque son igu osas y pe mi en demos a la con e gencia de las soluciones ienen la des en aja de que, en gene al, necesi an de esul ados de las p ime as. De alguna mane a ambos ipos de écnicas se complemen an. En cuan o a au o es que han abajado y con ibuido en los úl imos años a la in oducción de écnicas pa a la esolución de p oblemas de homogeneización, se pueden ci a en e o os a Benessousan, De Gio gi, Lions, Mu a , Sanchez-Falencia, Spagnolo, Ta a , e c. de quienes algunas publicaciones se ci an en las Re e encias. En odo p oceso de homogeneización se in en a p ime amen e ob ene in o maciones mac oscópicas en unción de in o maciones mic oscópicas. Es a in o mación mic oscópica, se puede exp esa median e un cambio de a iables en un en o no de cada he e ogeneidad (" a iables locales") que amplían conside ablemen e el en o no de la he e ogeneidad que se es á a ando. De es a mane a és a se puede es udia po sepa ado del es o de las he e ogeneidades, dando luga al denominado p oblema local, el cual conduce, en ocasiones, a in e esan es p oblemas de la eo ía del po encial. Después, se in en a acopla con enien emen e median e algún "p incipio de ma ching", con el es o de las he e ogeneidades, pa a ob ene el p oblema homogeneizado. Aquí se es udia un p oblema de homogeneización de on e as; en es e caso las he e ogeneidades no apa ecen sob e el dominio sino sob e la on e a. A es e ipo de p oblemas pe enecen los p oblemas sob e luidos que a a iesan pa edes pe o adas (c . Sanchez-PalencialO, Sanchez-Palencia & Sanchez-Hube g, po ejemplo); el es udio de las de o maciones en un cue po elás ico homogéneo una de cuyas pa edes p esen an ugosidades y se encuen a adhe ido po es as zonas a una pa ed lisa (c . Lobo & Pé ez8); el es udio de la empe a u a en una columna que iene pequeñas zonas heladas PROBLEMAS DE HOMOGENEIZACION EN LA INGENIERIA o oidales a su al ededo (c . B illa d & Pé ez2). En es os p oblemas se es udia el amaño que deben ene las he e ogeneidades sob e la on e a, " alla c í ica", de modo que el ma e ial se compo e de mane a dis in a a los casos ex emos: odo una he e ogeneidad o sin he e ogeneidades. En es e a ículo se mues an unos ejemplos numé icos de ap oximación de un p oblema de homogeneización de on e as a a és del p oblema homogeneizado. Aunque un es udio de allado de la ob ención del p oblema lími e a a és de las écnicas del análisis asin ó ico o mal, pueden encon a se en la e e encia [3], aquí se p esen a un b e e esumen de es e es udio. O os ejemplos de homogeneización, cuando el amaño de las he e ogeneidades es del mismo o den que la dis ancia en e eiias, pueden e se, po ejemplo, en las e e encias [1] y [5]. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. DESCRIPCION DEL PROBLEMA HOMOGENEIZADO Plan eamien o del p oblema PE. En el ma co de la elas icidad lineal, se conside a un cue po isó opo, homogéneo, de o ma cilínd ica, R, some ido a la acción de una ue za , E (L2(R))3, sob e cuya supe icie la e al C se suponen exis en condiciones de ipo Neumann a,nj = O, sal o en de e minados anillos A;, de anchu a E, sepa ados en e sí dis ancias q = q(~) (c . Figu a 4), k = 1,2,3 . . . N, con N = N(&) = O(l/q). Se es udia el p oblema lími e pa a las dis in as dependencias E y q; E < q; q(~) + 0. l Figu a 4. P oblemas de homogeneización de on e as. M. LOBO, M.E. PEREZ Y A. SAMARTIN Las ecuaciones que igen es e p oblema son: I a jnj = O sob e T2U(C - UA;) k u" = O sob e Ti U U A; k 0' = aGkhekh(uE), ekh(u ) = ' 23 z(a,, + &) 1 siendo I U" = (U:, U;, U;) ec o desplazamien o ( a;jkh las cons an es de la elas icidad. Se obse a que el p oblema plan eado admi e una o mulación a iacional equi alen e a encon a u" en el espacio VE al que: siendo u" es la solución débil del p oblema P". Dada la es uc u a geomé ica del p oblema es e iden e que sob e C iene luga un enómeno de capa lími e. Se conside a en p ime luga , que u" p esen a sob e cada anillo A;, un enómeno de capa lími e, k = 1,2, . . . ,0(1/q). Se pos ula que u" admi e un desa ollo ex e io , en el in e io de 52 del ipo: uE(xl, ~2,~3) = u0(x1,x2, ~3) -k &ul(xl, ~2~x3) + . . . M donde u0 se á solución del p oblema Po: a o zaij + l = O en 52, i=1,2,3 a$nj = O sob e 2, U' = O sob e TI + condiciones de con o no sob e C o?. 3 = a,. jkh e kh(uO) Con el in de de e mina la condición que u0 e i ica sob e C se p ocede a u iliza las écnicas del análisis asin ónico o mal ( éase, po ejemplo, las e e encias [3], [6], 171. PROBLEMAS DE HOMOGENEIZACION EN LA INGENIERIA Fenómeno de capa lími e sob e cada Ak, k ijo Dada la es uc u a geomé ica del p oblema pa ece lógico pensa en elegi coo denadas cilínd icas T, 0, z, y unas coo denadas locales adecuadas en un en o no de Ak: Es po an o azonable conside a el p oblema de la elas icidad esc i o en coo denadas cilínd icas y el ec o desplazamien o se exp esa aho a en las nue as componen es u" = (u~,u~,u~). De es a mane a se supone un desa ollo local pa a u" en un en o no de Ak del ipo: Razonamien os de ipo s anda d en análisis asin ó ico o mal conducen a encon a 0 como solución de un p oblema en un dominio no aco ado, pa a el que hay que in oduci una condición adicional en el in ini o. En es e p oblema, que no es de elas icidad lineal, se puede ob ene su solución a pa i de las soluciones de es p oblemas locales bidimensionales (en coo denadas Rl, Zl), que sí co esponden a la elas icidad lineal y que se plan ean en el semiplano (Rl < 0). l La condición en el in ini o, a la que se ha hecho e e encia se calcula al impone el acoplamien o ("ma ching") asin ó ico en e los desa ollos ex e io y local de u" en un en o no de A". Se ob iene así la siguien e exp esión: -1 2-2 aO(&) O(-, O, ->E)] = ~~(l,o,~~) "'O E E Conside aciones sob e la eo ía del po encial, en elas icidad bidimensional, en el semiplano ( éase el capí ulo 19 de [ll]), pe mi en ob ene explíci amen e las soluciones de los es p oblemas locales, ía ecuaciones in eg ales. La condición que e i ican es as unciones en el in ini o conducen a la deducción del alo de a'(&) siguien e: De e minación de la condición sob e C Se conside an dis in os desa ollos, pa a las ensiones ( $, s, &) = ( (U"), o (U"), Z(uE)), uno ex e io en R y o o local sob e C, pa a lo cual hay que ene en cuen a la in o mación ob enida sob e a'(&) y 0 y hace un p oceso de suma sob e las' dis in as zonas de capas lími es locales A; k = l.. . , NE. La hipó esis de solapamien o ("o e lap") en e ambos desa ollos (Véase [3] y [6]) conduce a la condición que u0 e i ica sob e C. M. LOBO, M.E. PEREZ Y A. SAMARTIN En es e p oceso de suma se de e mina la llamada " alla c í ica" pa a la elación -' con c > O; y inalmen e se deduce así el p oblema Po del que es C = lim"-+o S, solución u', donde la condición sob e C es á dada po : uo.n. + cciju? = 0 sob e C. ZJ J (7) C = Cij es la "ma iz de capacidades": C = T~AT, T es la ma iz de o ación que ans o ma los ejes locales del plano angen e al con o no en los gene ales del p oblema, y A es la ma iz que se calcula a pa i de la solución de los es p oblemas locales: con c = * , X y p cons an es de Lamé, de mane a que el p oblema homogeneizado X+P al que se ha llegado es á de inido po : a o ~0;~ + ; = O en 0, i = 1,2,.3 u$nj = O sob e 2,u0 = O sob e l a$nj + cC;juY = O sob e C OO. 23 = aijkhekh(uO) El caso c = +m se aduce po u0 = O sob e C, es deci , cuando la dis ancia en e anillos, 77, es asin ó icamen e más pequeña que -l/ln~, el desplazamien o nulo se impone asin ó icamen e sob e la supe icie la e al C del cilind o. El caso c = O se aduce po a$nj = O sob e C; es deci , cuando la dis ancia en e anillos es asin ó icamen e mayo que -l/lne, la condición de ensiones nulas sob e C se impone asin ó icamen e. En el caso O < c < cm, la solución u" iene un compo amien o asin ó ico sob e la supe icie la e al E, in e medio en e los casos ex emos, c = O ó c = oo, como se obse a en la de inición del p oblema lími e Po. En cualquie a de los es casos el p oblema Po es un p oblema bien p opues o, en un de e minado espacio uncional, dado que la ma iz C es una ma iz simé ica de inida posi i a. Obse ación: Es as écnicas pe mi en ambién ob ene el mismo p oblema lími e si, en ez de anillos ci cula es sob e la on e a del cue po, se conside a una banda espi al en ollada a la columna (c . Figu a 5). O os mé odos pa a el es udio de p oblemas de es e ipo pueden encon a se en [2]. COMPROBACION EXPERIMENTAL Los an e io es esul ados eó icos han sido con as ados median e una expe imen ación numé ica, aplicada al modelo es uc u al ep esen ado po la Figu a 6. Co esponde es e modelo a un sólido cilínd ico de adio R = 0,5 m y al u a H = 1 .O0 m, compues o de un ma e ial elás ico de cons an es G = 0.5 m-2 y u = 0,20 Figu a 5. P oblema de homogeneización de on e as. m BORDE EMPOTRADO BORDE LIBRE Figu a 6. Ejemplo módulo. Las condiciones de on e a en las secciones ec as z = O y z = H son espec i amen e de empo amien o (mo imien os u, = u, = u0 = O) y lib e ( ensiones a,, = T,, = ,~ = O). La supe icie la e al es lib e, pe o se dispone de o ma pe iódica, empo amien o a una al u a EH sepa ados en e sí una dis ancia ?H. Los esul ados que se ob ienen pa a el p oblema lími e son independien es de la M. LOBO, M.E. PEREZ Y A. SAMARTIN Figu a 10. Mo imien os e icales. Figu a 11. Tensiones e icales. - 2 HIPOTESIS 1 - CARGA VERTICAL i = - .I ,O m 405 0,10 Q15 0,20 425 0,30 0,s 440 445 ( m2) CASO 1 A'' //'/ M. LOBO, M.E. PEREZ Y A. SAMARTIN ob ene el alo de la cons an e c de la alla c í ica y de es a o ma e alua la clase de condiciones de con o no del es ado lími e homogeneizado. AGRADECIMIENTOS Los au o es desean ag adece las suge encias y comen a ios de los censo es anónimos de es e a ículo que han pe mi ido una mejo exposición del mismo. REFERENCIAS 1. J.F. Bou ga , "Nume ical expe imen s o he homogeneiza ion me hod o ope a o wi h pe iodic coe icien s", Rappo de Reche che, No. 277, INRIA, Pa ís, (1978). 2. A. B illa d y E. Pé ez, "Compo emen asymp o ique de un co ps homogene iso ope gele su une pa ie de sa on ie e", Uni e si e de Hau e Alsace, No. 47, Mulhouse, (1988). 3. A. B illa d, M. Lobo y E. Pé ez, "Une p obleme de homogeneisa ion de on ie es en elas ici e linea e pou un co ps cilind ique", Acep ado en C.R.A.S. de Pa ís, (1990). 4. C. Conca, "On he applica ion o he homogeneiza ion heo y o a class o p oblems a ising in luids mechanics, 11. Nume ical esul a s", Rappod de Reche che, No. 83031, Lab. Anal. 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