Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401
© 2013 CEA. Publicado po Else ie España, S.L. Todos los de echos ese ados
h p://dx.doi.o g/10.1016/j. iai.2013.09.001
Coo dinaci´
on de sis emas con di e en es din´
amicas
u ilizando concep os de in a ianza geom´
e ica y modos deslizan es
Alejand o Vignonia,∗, Fab icio Ga ellib, Jes´
us Pic´
oa
aIns i u d’Au om`a ica i In o m`a ica Indus ial, Uni e si a Poli `ecnica de Val`encia, Camino de Ve a s/n, 46022 Valencia, Espa˜na
bCONICET, LEICI, Facul ad de Ingenie ´ıa, Uni e sidad Nacional de La Pla a (UNLP), C.C.91 (1900) La Pla a, A gen ina
Resumen
Den o de las posibles acepciones de la palab a, en es e abajo habla emos de coo dinaci´on pa a e e i nos a la acci´
on de ac ua
sob e las e e encias de los sis emas pa a log a alg´
un compo amien o colec i o deseado pe o conside ando las es icciones y
capacidades de cada sis ema. Con es e obje i o, se desa olla una no edosa me odolog´
ıa basada en ´
ecnicas de acondicionamien o
de e e encia u ilizando in a ianza geom´
e ica de conjun os y con ol po modos deslizan es. A pa i de un ma co gene al, se
p oponen dos en oques: uno global del ipo sis ema supe iso , y o o local a a ´
es de in e acciones en e los dis in os sis emas,
gene ando una ed de in e acciones.
La me odolog´
ıa desa ollada pe mi e abo da el el p oblema de coo dinaci´
on de sis emas cuya din´
amica no necesa iamen e es
igual pa a odos los sis emas, pudiendo se lineal, no lineal, de di e en e o den, con es icciones, e c. Pa a ello, la din´
amica p opia
de cada sub-sis ema se man iene ocul a al sis ema de coo dinaci´
on. Po o o lado, el sis ema de coo dinaci´
on dispone s´
olo de la
in o maci´
on necesa ia sob e las limi aciones y es icciones de cada sis ema. La idea p incipal de en oque de es e abajo es que
pa a coo dina a ios sis emas es necesa io modula las e e encias locales de cada uno, eniendo en cuen a los obje i os globales,
las in e acciones locales y las capacidades de cada uno de los sis emas. Copy igh c
2013 CEA. Publicado po Else ie Espa˜na,
S.L. Todos los de echos ese ados.
Palab as Cla e: coo dinaci´
on de sis emas, in a ianza de conjun os, modos deslizan es, sis emas mul i-agen es, con ol con
es icciones.
1. In oducci´
on
La coo dinaci´
on de sis emas de din´
amicos es un ema muy
ac ual (Ren e al., 2007; Cao e al., 2013; An onelli, 2013). Es e
p oblema ha sido, en gene al. en endido como la acci´
on de lo-
g a consenso en e un g upo de agen es. En es e con ex o, con-
senso se efie e a la idea de alcanza un acue do sob e un es ado
de in o maci´
on en e un conjun o de sis emas indi iduales con
el fin de log a un obje i o com´
un, en gene al, dependiendo de
las condiciones iniciales.
En la li e a u a se suele supone que odos los sis emas im-
plicados son id´
en icos y que, po lo an o, ienen la misma di-
n´
amica. Po o a pa e, gene almen e se conside a que es os
sis emas son in eg ado es de p ime o den. Recien emen e, el
p oblema del consenso se ha abo dado median e la eo ´
ıa de
g a os algeb aica y las p opiedades de la ma iz laplaciana de
un g a o, pa a sis emas in eg ado es de p ime o den, ´
ease
∗Au o en co espondencia.
Co eos elec ´onicos: [email p o ec ed] (Alejand o Vignoni),
[email p o ec ed] (Fab icio Ga elli), [email p o ec ed]
(Jes´
us Pic´
o)
(Ol a i-Sabe e al., 2007; Ren e al., 2007) y sus e e encias.
Es e en oque se ha ex endido a una cadena de in eg ado es en
(He and Cao, 2011).
El uso de ´
ecnicas de con ol po modos deslizan es (MD)
se ha p opues o pa a el con ol de sis emas mul i-agen e pa a
log a consenso.Elm
´
as popula es el con ol de o maci´
on de
eh´
ıculos a´
e eos no ipulados (UAV). En esas si uaciones, en
gene al se u iliza una configu aci´
on maes o-escla o o l´
ıde -
seguido . En (Galzi and Sh essel, 2006), se u iliza MD de o den
supe io en configu aci´
on l´
ıde -seguido pa a con ola o ma-
ciones.
En (Cao and Ren, 2012) se u ilizan es imado es de modo
deslizan es de iempo fini o pa a log a un consenso en con-
ol de o maci´
on descen alizada, con l´
ıde i ual. Tambi´
en
se ha u ilizado una acci´
on de con ol discon inua en (Co e´
s,
2006) elegida de o ma p opo cional al g adien e de una un-
ci´
on definida po el Laplaciano del g a o que o man los sis-
emas, que conduce a un algo i mo de consenso de modo desli-
zan e.
En es e abajo nos alejamos de algunos supues os habi ua-
les en la li e a u a. U ilizamos ´
ecnicas de MD pa a induci la
ScienceDi ec
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coo dinaci´
on, sin emba go, no asumimos que los sis emas que
an a se coo dinadas ienen la misma din´
amica. Po el con-
a io, el en oque abo da el p oblema de coo dinaci´
on de sis-
emas con din´
amicas posiblemen e di e en es (po ejemplo, lin-
eales y no lineales, di e en es ´
o denes y limi aciones, e c).
La idea de ´
as de nues o en oque del p oblema de coo di-
naci´
on es que a fin de coo dina los sis emas, podemos da o -
ma a sus e e encias locales en unci´
on de los obje i os locales,
las capacidades de cada sis ema y la in o maci´
on disponible que
cada sis ema iene sob e sus ecinos, siguiendo las ideas o igi-
nales de la egla del ecino m´as ce cano (Tanne e al., 2007).
Es o se ha ealizado desde dos en oques di e en es. Una global,
con un sis ema je ´
a quico supe iso que modifica las e e en-
cias de los sis emas, y o a local, que se basa en in e acciones
di ec as en e los sis emas, y en la que no hay ning´
un l´
ıde .
La es uc u a del a ´
ıculo es la siguien e. En la secci´
on 2 se
p esen a el p oblema de coo dinaci´
on en o ma gene al. Luego
en la secci´
on 3 se explican algunos esul ados p e ios conoci-
dos en in a ianza de conjun os y acondicionamien o de e e -
encia po modos deslizan es que se u ilizan pa a plan ea la es-
a egia p opues a pa a coo dinaci´
on de sis emas con din´
amicas
di e en es. La secci´
on 4 p opone un m´
e odo global supe isado
pa a esol e el p oblema de coo dinaci´
on, mien as que en la
secci´
on 5 se e o mula el p oblema de o ma descen alizada y
se p esen a una soluci´
on al e na i a que no asume dis in as je -
a qu´
ıas en e los sis emas, ni necesi a la exis encia de un l´
ıde
del g upo. Finalmen e la secci´
on 6 mues a ejemplos de am-
bas configu aciones pa a cla ifica las me odolog´
ıas p opues as
y una secci´
on de conclusiones esume las ideas p incipales del
abajo y p esen a algunas l´
ıneas u u as.
2. Coo dinaci´
on de sis emas
En es a secci´
on se p esen a el plan eo gene al del p oblema
de coo dinaci´
on, como as´
ı ambi´
en definiciones y suposiciones
gene ales elacionadas con la coo dinaci´
on de sis emas.
2.1. P esen aci´on del p oblema
Conside e un conjun o de Nsis emas, no necesa iamen e
con la misma din´
amica. Asimismo, conside e que cada sis ema
posee un lazo de con ol es able. Los sis ema in e inien es,
como se ha dicho, pueden ene di e en es es icciones y ca-
pacidades a la ho a de segui su e e encia. En es e con ex o
de con ol con es icciones apa ece el concep o de e e encia
ealizable (Hanus e al., 1987): la e e encia mas ´
apida que
el sis ema es capaz de segui sin iola sus es icciones, man-
eni´
endose siemp e en lazo ce ado. Po ejemplo, en el caso de
un sis ema con es icciones de ac uado , una e e encia ealiz-
able nunca in en a ´
a lle a a los ac uado es ue a de su ango de
ope aci´
on, ya que es o deja ´
ıa al sis ema en lazo abie o (pudi-
endo da luga al en´
omeno de windup).
La coo dinaci´on se ´
a en endida como la acci´
on de log a
un compo amien o colec i o deseado pa a un conjun o de sis-
emas conside ados. En es e abajo, se abo da el p oblema ac-
uando sob e las e e encias de los sis emas. De es a mane a se
ienen dos ipos de e e encia sob e las que ac ua : la e e encia
local de cada sis ema y la e e encia global.
En e los compo amien os colec i os deseados pod ´
ıan en-
con a se:
Man ene una unci´
on χde las e e encias locales lo mas
ce ca posible de la e e encia global.
Man ene una dis ancia en e las e e encias locales de
los sis emas, una a una o en e cen oides de ag upamien-
os.
Log a sinc onizaci´
on gene alizada, como un caso l´
ımi e
de los an e io es.
Cabe des aca que la unci´
on χpuede se cualquie ipo de com-
binaci´
on de las e e encias locales, po ejemplo el p omedio, la
moda, el m´
aximo, el m´
ınimo, e c.. En consecuencia, es a defini-
ci´
on de coo dinaci´
on es muy gene al, y depende de qu´
e ipo de
unci´
on se elija pa a χ. Asimismo la definici´
on de la dis ancia
u ilizada pa a medi las e e encias, ambi´
en puede se gene al,
dando luga a una amplia gama de compo amien os colec i os
admisibles.
2.2. In e cambio de in o maci´on en e sis emas
Uno de los elemen os necesa ios pa a lle a a cabo la coo -
dinaci´
on en e sis emas din´
amicos, es el in e cambio de in o -
maci´
on en e ellos. La o ma en que se a aca dicho p oblema en
es e abajo es uno de sus p incipales apo es. La idea p incipal
es que cada sis ema en ´
ıa in o maci´
on de sus es icciones lo-
cales a los o os sis emas in e inien es a a ´
es de su e e encia
ealizable.
Dependiendo del ni el je ´
a quico al que se ansmi e la in-
o maci´
on ( e Fig. 1) esul a:
la opolog´
ıa global cuando la in o maci´
on se ansmi e a un
ni el supe io ipo supe iso ;
la opolog´
ıa local cuando la in o maci´
on se dis ibuye en el
mismo ni el je ´
a quico a sis emas ecinos.
En cualquie a de las dos opolog´
ıas, los sis emas indi id-
uales ocul an sus es ados y salidas al es o de sis emas, en ian-
do solamen e la e e encia ealizable y minimizando la in o ma-
ci´
on ansmi ida. La e e encia ealizable efleja en qu´
e si uaci´
on
se encuen a el sis ema con espec o a sus es icciones ´
ısicas
locales.
Aunque la in o maci´
on ansmi ida se minimice, la comuni-
caci´
on es en gene al el cuello de bo ella de las opolog´
ıas cen-
alizadas, ya que el iempo pa a ecoge oda la in o maci´
on de
los sis emas depende di ec amen e del n´
ume o de sis emas y no
del di´
ame o de la ed, como en el caso descen alizado.
Asimismo, la opolog´
ıa global p esen a los p oblemas no -
males de ulne abilidad, pues o que el nodo supe iso cen al-
iza oda la in o maci´
on, y es po lo an o el pun o d´
ebil de la
ed, ya que un allo en el supe iso aca ea el allo de odo el
conjun o de sis emas.
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392 Alejand o Vignoni e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401
Figu a 1: Topolog´
ıa de conexi´
on en las dis in as configu aciones.
2.3. Suposiciones y definiciones gene ales
Bajo la siguien e suposici´
on,
Suposici´
on 1. Cada sis ema in e inien e es un lazo ce ado
in e namen e es able y puede segui una e e encia ealizable,
se puede defini la coo dinaci´
on de sis emas de la siguien e
mane a:
Definici´
on 1. El obje i o de coo dinaci´on se puede defini en
´e minos de un conjun o al que se desea con e i en un con-
jun o con olado in a ian e Φc(x,ρ
), a a ´es de modifica la
e e encia ealizable de cada sis ema. El conjun o Φc(x,ρ
)m´as
gene al se define como:
Φc(x,ρ
)={x∈X:φc(x,ρ
)= (x)−ρ−δ≤0}(1)
donde x∈X∈Rnson los es ados de los sis emas, (x)es
una e e encia ealizable unci´on de los es ados x,ρes una
unci´on que depende de la in o maci´on que llega de los o os
sis emas y δes un alo p ees ablecido. La no ma ·puede
hace e e encia a cualquie no ma definida en Rn, sin emba go
de aqu´ı en adelan e se e e i ´a a la no ma eucl´ıdea.
3. In a ianza y Acondicionamien o de Re e encia po Mo-
dos Deslizan es
A con inuaci´
on se desc ibe la me odolog´
ıa u ilizada pa a
ob ene la e e encia ealizable, basada en ideas de in a iancia
y acondicionamien o de e e encia po modos deslizan es.
La idea del acondicionamien o de e e encia, es ´
a basada en
el concep o de log a una e e encia ealizable, nace o iginal-
men e en el con ex o del con ol con es icciones. En conc e o,
Hanus y Walgama (Hanus e al., 1987; Walgama e al., 1992)
han aplicado es e ipo de soluciones pa a esol e el p oblema
de sa u aci´
on en los ac uado es (windup).
Bas´
andose en es e en oque y ap o echando las posibilida-
des del con ol po modos deslizan es, como po ejemplo la o-
bus ez en e a pe u baciones ex e nas y a ince idumb e en los
pa ´
ame os (Si a-Ram´
ı ez, 1989; U kin e al., 1999), Man z y
colegas (Man z e al., 2004) han aplicado acondicionamien o de
e e encia po modos deslizan es (SMRC) pa a ob ene e e -
encias ealizables eniendo en cuen a las es icciones, an o en
los ac uado es, como en las salidas. En (Ga elli e al., 2006a,b;
Ga elli, 2011) se ha u ilizado SMRC pa a aco a in e acciones
c uzadas en sis emas lineales MIMO. Luego en (Pic´
o e al.,
2009) se ha u ilizado SMRC pa a b´
usqueda de consigna en sis-
emas no lineales con es icciones dependien es del es ado. En
(G acia e al., 2012b,a) se ha u ilizado SMRC pa a esol e e-
dundancia y acondiciona caminos e i ando ampas en algo i -
mos de ob´
o ica m´
o il.
El el con ex o de coo dinaci´
on de sis emas, en (Vignoni,
2011; Vignoni e al., 2011) se ha ealizado un esquema de co-
o dinaci´
on, en donde se coo dinan las e e encias de dichos sis-
emas in oluc ados u ilizando SMRC y una opolog´
ıa global
de modo supe iso . A con inuaci´
on, en (Vignoni e al., 2012)
se ha abo dado la coo dinaci´
on desde una opolog´
ıa local, e-
niendo en cuen a las in e acciones en e los dis in os sis emas,
como as´
ı ambi´
en las es icciones de los mismos. En es e a-
bajo se p esen a un esquema unificado pa a coo dina sis emas
din´
amicos u ilizando ideas de in a ianza de conjun os y acon-
dicionamien o de e e encia.
El modo de uncionamien o b´
asico del acondicionamien o
de e e encia po modo deslizan e es el siguien e. El con ol
po modos deslizan es apa ece aqu´
ı como un lazo adicional que
ac ´
ua de mane a ansi o ia pa a gene a la e e encia ealiz-
able. El lazo de acondicionamien o es a ´
ainac i o has a que
las ayec o ias del sis ema alcancen po s´
ı mismas la supe ficie
de deslizamien o (in en ando iola alguna es icci´
on), pasan-
do el lazo de acondicionamien o al es ado ac i o. Una ez que
las ayec o ias dejen de que e iola dichas es icciones y el
lazo p incipal pueda ope a no malmen e, en onces el lazo de
acondicionamien o pasa ´
a nue amen e al es ado inac i o.
Figu a 2: Sis ema con es icciones.
3.1. In a ianza geom´e ica de conjun os
Conside e el siguien e sis ema din´
amico (Fig. 2):
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
˙
x= (x)+g(x)w,
y=h1(x)
=h2(x)
(2)
donde x∈X⊂Rnes el ec o de es ados del sis ema, w∈Res
la acci´
on de con ol (posiblemen e discon inua), :Rn−→ Rn
es el campo de de i a, g:Rn−→ Rnes el campo de con ol, y
h1(x),h2(x):Rn−→ R,campos escala es definidos en X, con
g(x)0,∀x∈X.
Las a iables yy son ambas salidas eales del sis ema, yes
la salida con olada p incipal mien as que es una a iable que
debe se aco ada pa a cumpli con alguna es icci´
on especifica-
da po el usua io del sis ema (e.g. alg´
un es ado medible, o una
unci´
on de los es ados o acciones de con ol).
Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o.
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La co a supe io sob e la a iable define el siguien e con-
jun o aco ado supe io men e:
Φ(x,w, ∗)={x∈X|φ( ∗)= − ∗≤0}(3)
El conjun o Φ(x,w, ∗)especifica una egi´
on en el espacio de
es ados compa ible con la es icci´
on φ( ∗). Cabe des aca que
es a egi´
on definida po Φ, en gene al, puede depende de las
es icciones, de los mismos es ados del sis ema o incluso en-
adas al sis ema. En pa icula ∗pod ´
ıa se una unci´
on a i-
an e en el iempo, y puede depende po ejemplo de in o ma-
ci´
on ecibida de alguno de los o os sis emas in e inien es.
No a 1. Es impo an e no a que si se desea defini un conjun-
o comple amen e aco ado pa a la a iable , bas a con defini
dos es icciones y ob ene el conjun o final como la in e sec-
ci´on de es os dos conjun os. Po ejemplo, si se desea ∗
1< < ∗
2,
es posible defini
Φ1x,w, ∗
1=x∈X|φ( ∗
1)=− + ∗
1≤0,
Φ2x,w, ∗
2=x∈X|φ( ∗
2)= − ∗
2≤0
y luego Φ=Φ
1∩Φ2.
Desde un pun o de is a geom´
e ico, el obje i o es encon a
una acci´
on de con ol w, de modo que la egi´
on Φse con ie -
a en un conjun o con olado in a ian e obus o (Blanchini and
Miani, 2008), es deci , que que emos encon a una acci´
on de
con ol w, al que pa a odo x(0) ∈Φ⊆Xla condici´
on de que
x( )∈Φse cumple pa a odo >0.
Pa a asegu a la in a ianza del conjun o Φ, se debe cumpli
la condici´on de sub- angencialidad de Nagumo (Blanchini and
Miani, 2008):
(x)+g(x)w∈T
Φ(x),∀x∈∂Φ.(4)
Concep ualmen e significa que, cuando las ayec o ias del
sis ema se encuen en sob e ∂Φ(la on e a del conjun o Φ),
la acci´
on de con ol wdebe se al que el campo con olado
(x)+g(x)wpe enezca a TΦ(x), el cono angen e del conjun o
Φ.
Figu a 3: In e p e aci´
on geom´
e ica de la condici´
on de in a ianza.
Cuando se u ilizan conjun os con exos (con on e as con-
inuas y di e enciables), la condici´
on an e io se puede e o mu-
la ( e Fig. 3) en ´
e minos del g adien e de la es icci´
on (∇φ)
que aco a al conjun o, pidiendo que la p oyecci´
on del campo
˙
x= (x)+g(x)wsob e el g adien e ∇φsea meno que ce o, es
deci , que apun e hacia aden o del conjun o:
∇φ˙
x=˙
φ(x,w)≤0,∀x∈∂Φ(5)
lo que cons i uye una o ma es ´
anda de condici´on impl´ıci a de
in a ianza pa a conjun os con exos (Ma eczek e al., 2002):
´
ın
w
˙
φ(x,w)≤0,cuando x∈∂Φ(6)
Aho a conside e la definici´
on de ˙
φ(x,w) en no acion de de i adas
de Lie, siendo L(·)φla de i ada de Lie en la di ecci´
on de un
campo ec o ial (·)de la unci´
on φ
˙
φ(x,w)=L φ+Lgφw.(7)
Luego esol iendo pa a wy con Lgφ0, se ob iene:
w=Lgφ−1˙
φ−L φ=wφ+Lgφ−1˙
φ(8)
con wφ=−L φ/Lgφ. Luego despejando ˙
φse ob iene
˙
φ=w−wφLgφ(9)
De es a mane a, u ilizando (9) pa a esol e (6), se ob iene
el conjun o soluci´
on W(x)al cual debe pe enece w, pa a hac-
e al conjun o Φin a ian e, condici´on expl´ıci a de in a ianza
(Pic´
o e al., 2009; Vignoni, 2011) pa a el sis ema (2):
W(x)=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
w≤wφ:x∈∂Φ∧Lgφ>0
w≥wφ:x∈∂Φ∧Lgφ<0
acio : x∈∂Φ∧Lgφ=0∧L φ>0
w=lib e : x∈∂Φ∧Lgφ=0∧L φ≤0
w=lib e : x∈Φ ∂Φ,
(10)
en donde se ha enido en cuen a que si x∈∂Φy al mismo
iempo L φ<0, las ayec o ias del sis ema no es ´
an in en ando
abandona el conjun o Φ. Luego pa a los dos p ime os casos de
(10), se asume L φ>0. Asimismo no ese que, cuando x∈∂Φ,
pa a que exis a wφy la in a ianza del conjun o sea ac ible, debe
cumpli se
Lgφ=dφ
dxg(x)0 (11)
Luego (11) cons i uye una condici´
on de exis encia del con ol
in a ian e w. En pa icula , una ez que an o la on e a del
conjun o, ∂Φ, como la campo de con ol g(x) es an definidos,
solo uno de los dos p ime os casos de (10) se cumple, es de-
ci , Lgφes posi i a o nega i a, pe o no cambia de signo sob e
la on e a. Luego la condici´
on de in a ianza del conjun o Φ
se cumpli ´
a siemp e que el conjun o W(x)no sea acio. No e
que la acci´
on de con ol wpuede se omada a bi a iamen e del
conjun o W(x)(10) de modo al que se cumpla la condici´
on
de in a ianza. En pa icula , en el in e io de Φpuede se selec-
cionada w=0, y pe mi i al sis ema e oluciona lib emen e en
el in e io del conjun o.
Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o.
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3.2. Acondicionamien o de e e encia po modos deslizan es
A con inuaci´
on se a a p ocede a ob ene la wnecesa ia
pa a log a en iempo fini o la in a ianza del conjun o Φdefinido
en (3), con el sis ema Σp esen ado en (2). En es e abajo se
implemen a un lazo auxilia con un bloque de decisi´
on discon-
inuo, que pe mi e encon a el alo de e e encia que cumple
con las es icciones y ue za al sis ema a pe manece en el con-
jun o in a ian e. Tambi´
en se inco po a un fil o de p ime o den
F, cuyo p op´
osi o es sua iza la e e encia acondicionada .
En la figu a 4, se puede e la implemen aci´
on del lazo de
acondicionamien o de e e encia implemen ado con modos des-
lizan es.
Figu a 4: Esquema gen´
e ico de acondicionamien o de e e encia po modos
deslizan es.
El bloque discon inuo es implemen ado con la siguien e ley
de con ol de es uc u a a iable:
w=wSM si φ( ∗)>0
0siφ( ∗)≤0(12)
donde φes la supe ficie de deslizamien o o salida auxilia , defini-
da de la siguien e o ma y de acue do con (3):
φ( ∗)= − ∗(13)
donde ∗es la es icci´
on impues a a la se˜
nal ywSM es la am-
pli ud de la se˜
nal discon inua. El alo de wSM debe se dise˜
nado
de o ma al que cuando las ayec o ias del sis ema in en en
sali del conjun o Φ, se es ablezca modo deslizan e sob e la
on e a del conjun o, pa a lo cual debe cumpli se localmen e
al ededo de ∂Φla condici´
on necesa ia y suficien e de exis en-
cia del modo deslizan e (Edwa ds and Spu geon, 1998; Pe u-
que i and Ba bo , 2002):
˙
φ(x)=L φ+LgφwSM <0siφ( ∗)>0
L φ>0siφ( ∗)<0(14)
La segunda desigualdad de (14) se sa is ace localmen e cuando
las ayec o ias del sis ema a an de sali del Φ. Mien as que la
p ime a desigualdad de (14) implica que pa a que se es ablez-
ca modo deslizan e en φ( ∗)=0, se debe cumpli localmen e
al ededo de ∂Φla condici´
on de ans e salidad (Si a-Ram´
ı ez,
1989),
Lgφ=dφ
dxg(x)0 (15)
Cabe des aca ambi´
en que u ilizando el m´
e odo del con ol
equi alen e (U kin e al., 1999; Edwa ds and Spu geon, 1998),
una ez que el modo deslizan e se es ablece, el con ol equi a-
len e con inuo se ob iene como weq =−L φ/Lgφ=wφ, el cual
de acue do con (10) es el con ol eque ido pa a man ene el
sis ema jus o en la on e a ∂Φ. En consecuencia, el modo des-
lizan e ealiza el m´
ınimo cambio necesa io en la e e encia pa a
log a que el conjun o Φsea in a ian e. Adem´
as, la condici´
on
de necesa ia y su uicien e pa a el modo deslizan e (14) ga an i-
za la exis encia del con ol in a ian e en (10).
No a 2. En caso de que las ayec o ias se inicien ue a del
conjun o Φ, se puede ob ene con e gencia en iempo fini o a
la on e a ∂Φ omando wSM al que L φ+LgφwSM <−γ, pa a
una de e minada cons an e posi i a γ(Pe uque i and Ba bo ,
2002). Lo mismo se aplica en caso de una pe u baci´on ab up a
que en ´ıe al sis ema ue a de la egion pe mi ida.
Po o o lado el fil o Fes implemen ado como un fil o de
p ime o den,
˙ =−α +w− ,(16)
con α, pa ´
ame o de dise˜
no que ep esen a la ecuencia de co e
del fil o, que debe se al, que la din´
amica del fil o no in e fie a
con la din´
amica del sis ema (es deci debe se m´
as ´
apido).
En esumen, el acondicionamien o de e e encia ob iene la
e e encia ealizable co espondien e que se aplica ´
a al sis ema,
en de e minado ins an e de iempo, pa a e i a que se iolen
las es icciones. Una ca ac e ´
ıs ica in e esan e es que no se e-
quie e ning´
un modelo del sis ema pa a ob ene dicha e e encia.
4. Topolog´
ıa global ipo supe iso
En es a secci´
on se p esen a la coo dinaci´
on de sis emas u i-
lizando una opolog´
ıa global ipo supe iso y cons i uye uno
de los esul ados del p esen e abajo, jun o con la coo dinaci´
on
de sis emas con opolog´
ıa local que se p esen a a en la Secci´
on
5.
El p oblema que se plan ea, es el p ime o de los p esen ados
en la Secci´
on 2.1, pa a lo cual se pa icula iza la Definici´
on 1
de la siguien e mane a:
Definici´
on 2. El obje i o de coo dinaci´on se puede defini en
´e minos de un conjun o Φχal que se desea con e i en un con-
jun o con olado in a ian e, modificando la e e encia acondi-
cionada . El conjun o Φχse define como
Φχ(x, i)=x∈X, i ∈RN:φχ( i)= −χ( i)−Δ≤0
(17)
donde x∈X∈Rnson los es ados de los sis emas, ∈R
es la e e encia acondicionada global, y χ( i)es una unci´on
que depende de las e e encias acondicionadas de los sis emas
in e inien es, finalmen e Δes un alo p ees ablecido, pa a el
ancho de la banda pe mi ida.
Luego el obje i o de coo dinaci´
on es hace al conjun o Φχ
un conjun o con olado in a ian e, pa a lo cual se p opone el
siguien e esquema de coo dinaci´
on global.
Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o.

Alejand o Vignoni e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401 395
4.1. Esquema p opues o de coo dinaci´on
Conside e un conjun o de Nsis emas din´
amicos, que cum-
plen con la Suposici´
on 1. Se plan ea el obje i o de coo dinaci´
on
como en Definici´
on 2. Si los sis emas cumplen con la p oposi-
ci´
on 1 en onces es posible log a coo dinaci´
on, en endida co-
mo en Secci´
on 2.1 u ilizando un esquema como el p opues o
a con inuaci´
on, donde se inco po a el obje i o de coo dinaci´
on
(Definici´
on 2) en un lazo de acondicionamien o de la e e encia
global.
Si bien en la p ´
ac ica cada sis ema puede ene es icciones,
de en ada, es ados o salida, a lo la go de es e abajo y a los
e ec os de cla ifica la exposici´
on del esquema p opues o, se
han u ilizado sis emas con sa u aci´
on de ac uado y con olado-
es bip opios.
P oposici´
on 1. Cada sis ema in e inien e posee un lazo de
acondicionamien o de e e encia po modos deslizan es, como
el p esen ado en la secci´on 3.2. Es e lazo pe mi e maneja las
es icciones locales comandando una e e encia ealizable al
lazo ce ado y apo a in o maci´on a a ´es de la e e encia
condicionada, al es o de los sis emas.
Figu a 5: Topolog´
ıa del modo supe isado.
En la Fig. 5 se mues a el esquema de coo dinaci´
on global
p opues o. Cada sis ema Σi, donde i=1,...,Niden ifica al sis-
ema en cues i´
on, posee su lazo local de acondicionamien o de
e e encia (φi,wiyFi), que gene a la e e encia acondicionada
i a pa i de la e e encia global .
En un ni el je ´
a quico supe io se encuen a o o lazo de
acondicionamien o, es a ez de la e e encia global. Dicho la-
zo es ´
a o mado po una unci´
on de conmu aci´
on φχen la que
in e iene la e e encia global y la unci´
on χde las e e encias
locales.
Es e lazo, ambi´
en posee una acci´
on discon inua (wg), la
cual a a ´
es del fil o global de coo dinaci´
on Fgy a pa i de la
consigna global cg, gene a la e e encia global sua e .
4.1.1. Fil o de Coo dinaci´on
El fil o de coo dinaci´
on (Fg) es el enca gado de sua iza
la acci´
on discon inua global (wg). Adem´
as, es el enca gado de
in eg a las dis in as acciones discon inuas que pueden o ma
pa e de la coo dinaci´
on global, que p ocedan de las dis in as
Tabla 1: Va iables u ilizadas en Fig. 5
Va iable S´
ımbolo
Re e encia global
Consigna global cg
Fil o de coo dinaci´
on Fg
Funci´
on de conmu aci´
on global φχ
Acci´
on discon inua global wg
Sis ema iΣi
Re e encia acondicionada i
Salida yi
Sis ema iVa iable con es icci´
on ui
Fil o de p ime o den Fi
Funci´
on de conmu aci´
on φi
Acci´
on discon inua de la unci´
on φiwi
unciones de conmu aci´
on. El fil o jun o con la unci´
on de con-
mu aci´
on global φχde e mina ´
alapol
´
ı ica de coo dinaci´
onyla
din´
amica global. La din´
amica del fil o es la siguien e:
˙ =−λ −cg−kT·wg(18)
donde wges el ec o de acciones discon inuas globales, y kes
un ec o de pesos, que define la pol´
ı ica de coo dinaci´
on, en
caso de que exis a mas de una es icci´
on global. De aqu´
ıen
adelan e, el ec o wgpasa ´
a a se un escala wg, ya que sin
p´
e dida de gene alidad, abaja emos con una sola unci´
on de
conmu aci´
on global.
4.1.2. Definici´on de la supe ficie de deslizamien o φχ
A pa i del conjun o que deseamos hace in a ian e, debe-
mos defini a sus on e as como es icciones (que luego se
con e i ´
an en supe ficies de deslizamien o cuando el modo des-
lizan e se encuen e ac i o). Pa a eso definimos las on e as de
Φχcomo
φ+
χ= −χ( i)−Δ
φ−
χ= −χ( i)+Δ (19)
y la acci´
on discon inua, que o za ´
a al sis ema a pe manece
den o del conjun o Φχen caso de que la din´
amica del mismo
sis ema a e de sali ue a del conjun o
wg=⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
w+
gsi φ+
χ>0
w−
gsi φ−
χ<0
0caso con a io.
(20)
Pa a asegu a la in a ianza del conjun o Φχ(10) se debe ele-
gi w−
g≤−w
gyw+
g≥w
g, siendo w
gla co a ob enida en el
Ap´
endice˜A.
4.2. Funci´on χ:elm´ınimo
Un ejemplo in e esan e de pol´
ı ica de coo dinaci´
on es que
la unci´
on χsea la unci´
on m´ınimo de las e e encias acondi-
cionadas,
χ( i)= m´
ın =m´
ın  i :i∈{1,...,N}.(21)
Es a unci´
on se u iliza ´
a en el ejemplo de la Secci´
on 6, pa a lo
cual en el Ap´
endice˜C se demues a la in a ianza de Φχpa a
es a unci´
on u ilizando an´
alisis de unciones no sua es.
Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o.
396 Alejand o Vignoni e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401
5. Topolog´
ıa local dis ibuida
En es a secci´
on se p esen a la coo dinaci´
on de sis emas u i-
lizando una opolog´
ıa local dis ibuida. El p oblema que se plan-
ea, es el segundo de los p esen ados en la Secci´
on 2.1, pa a lo
cual se pa icula iza la Definici´
on 1 de la siguien e mane a:
Definici´
on 3. El obje i o local en e dos sis emas conec ados
es man ene en e sus e e encias una dis ancia meno que un
alo p ees ablecido δij. Con lo que se puede defini el conjun o
Φij como
Φij(x, k)=x∈X, k ∈R,k=1,2:φij = i − j
−δij ≤0
(22)
donde x∈X∈Rnson los es ados de los sis emas, y i ∈Ry
j ∈Rson las e e encias acondicionadas de los sis emas i y
j espec i amen e.
Adem´
as, los sis emas es a ´
an conec ados seg´
un la siguien e
suposici´
on:
Suposici´
on 2. La opolog´ıa de la ed de in e conexi´on de los
sis emas es fija, en el sen ido de cual sis ema puede conec a se
con o o. Es a ed puede se ep esen ada po un g a o di igido
cuya ma iz de adyacencia es A =[aij], con aij =1cuando el
sis ema i se puede comunica con el sis ema j, y aij =0en caso
con a io. Se asume que dicho g a o es un g a o simplemen e
conexo (Ol a i-Sabe e al., 2007).
Luego se puede defini el conjun o Φcomo la uni´
on de los
conjun os an e io es, cuando es ´
en conec ados (aij =1), pa a
odos los sis emas in eg an es del g upo.
Φ=
N

i=1,j=1,ij
aijΦij (23)
En onces el obje i o de coo dinaci´
on es hace al conjun o Φ
un conjun o con olado in a ian e, pa a lo cual se p opone el
siguien e esquema de coo dinaci´
on local.
5.1. Esquema p opues o de coo dinaci´on
Conside e un conjun o de Nsis emas din´
amicos, con N≥2,
que cumplen con la Suposici´
on 1, con una opolog´
ıa de conexi´
on
que cumple con la Suposici´
on 2, con un lazo de acondiciona-
mien o como en P oposici´
on 1 y un obje i o de coo dinaci´
on
como en Definici´
on 3, en onces es posible log a coo dinaci´
on,
en endida como en Secci´
on 2.1 u ilizando un esquema como el
p opues o a con inuaci´
on, donde se inco po an los obje i os de
coo dinaci´
on (Definici´
on 3) en cada lazo de acondicionamien o
de la e e encia local de los sis emas indi iduales.
En la Fig. 6 se mues a el esquema p opues o, donde apa e-
cen s´
olo dos sis emas, po simplicidad. La s´
ımbolos que apa e-
cen en dicha figu a se explican en la Tabla 2. El lazo ce ado
del sis ema i,Σiinco po a la plan a y un con olado bip opio:
Σi:⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
˙xi= i(xi)+gi(xi) i
yi=hi(xi)
˙xci =Aci xci +bciei
i=cci xci +dciei
(24)
Figu a 6: Obje i os locales inco po ados al esquema de acondicionamien o de
e e encia.
Tabla 2: Va iables u ilizadas en Fig. 6
Va iable S´
ımbolo
Re e encia global
Sis ema iΣi
Re e encia acondicionada i
Salida yi
Sis ema iVa iable es ingida i
Fil o de p ime o den Fi
Res icci´
on φi
Acci´
on discon inua de φiwi
Res icci´
on i ual de
coo dinaci´
on en e sis emas iyjφij
Acci´
on discon inua de φij wij
con xci yeilos es ados del con olado ylase˜
nal de e o defini-
da como ei= i −yi.Aci,bci,cci,dci son pa ´
ame os cons an es
del con olados.
El obje i o de coo dinaci´
on local, inco po ado en el lazo
de acondicionamien o, jun o con el fil o de p ime o den, dan
luga a la siguien e es uc u a pa a el fil o Fi:
Fi:˙ i =−αi( i − +˜wi) (25)
donde ˜wies una combinaci´
on de las acciones discon inuas p o e-
nien es de las es icciones ´
ısica (wi), y de la i ual que sin e i-
za el obje i o de coo dinaci´
on (wij); es a definida de la siguien e
mane a:
˜wi=wi+
N

j=1,ji
aijwij (26)
La acci´
on discon inua wise define como en Ga elli e al. (2006a):
wi=⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
Misi φ+
i= i− +
ip >0
−Misi φ−
i= i− −
ip <0
0caso con a io
(27)
en donde Mies la ampli ud de la acci´
on discon inua wi. Asimis-
mo, la acci´
on discon inua wij se define de acue do con las on-
e as del conjun o Φij que se definen a con inuaci´
on como e-
Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o.
Alejand o Vignoni e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401 397
s icciones i uales (φij).
wij =⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
Mij sign( i − j
)si φij  i, j
≥0
0si φij  i, j
<0
(28)
con Mij siendo la ampli ud de la acci´
on discon inua. Finalmen e
las es icciones ´
ısica y i ual es ´
an definidas de la siguien e
mane a (22):
φ±
i= i− ±
ip (29)
φij = i − j
−δij (30)
con +
ip y −
ip las co as supe io e in e io de la sa u aci´
on de
ac uado y δij la co a pa a la di e encia deseada en e las e e -
encias.
En el Ap´
endice˜B se ealiza el an´
alisis co espondien e yse
demues a la in a ianza del conjun o Φij, de donde se ob ienen
las siguien es co as pa a las acciones discon inuas wij:
Mij >−αi i −αj j
αi+αj
−αi−αj
αi+αj
(31)
y pa a las acciones discon inuas wi
Mi>
ij
Mij −
¯
bci ±
ip +¯
Aci xci
bi
−ρi.(32)
6. Simulaciones
En es a secci´
on se mues an las ca ac e ´
ıs icas p incipales
de las opolog´
ıa de coo dinaci´
on p opues as, pa a un conjun-
o de 5 sis emas con dis in a din´
amica, con olado es y es ic-
ciones ( e Ap´
endice˜D); a a ´
es de esul ados de simulaci´
on
ob enidos con MATLAB. En e los sis emas simulados hay
de p ime o y de segundo o den. Asimismo las sa u aciones de
ac uado conside adas a ´
ıan en un amplio ango y los con o-
lado es ue on ajus ados u ilizando di e en es c i e ios. Po o o
lado, cada sis ema posee un lazo de acondicionamien o de e -
e encia, con su espec i o fil o ajus ado eniendo en cuen a la
din´
amica del lazo ce ado. Las ampli udes de las acciones dis-
con inuas ue on ajus adas de acue do con los esul ados ob e-
nidos en cada caso.
6.1. Topolog´ıa Global
U ilizando la opolog´
ıa global ipo supe iso hay a ias
posibles pol´
ı icas de coo dinaci´
on dependiendo de que unci´
on
se elija pa a χ( i) y del ancho de la egi´
on pe mi ida pa a
al ededo de χ( i).
A modo de ejemplo se conside a el m´
ınimo de de las e -
e encias acondicionadas como pol´
ı ica de coo dinaci´
on y po
ende como unci´
on χ( i):
χ( i)= m´
ın =m´
ın  i :i∈{1,...,N}.(33)
La in a ianza del conjun o Φχpa a es a unci´
on se demues a
en el Ap´
endice˜C.
Figu a 7: Topolog´
ıa global: (a) Consigna global, e e encia global y media de
las e e encias locales, jun o con la banda o egi´
on pe mi ida. (b) Acci´
on dis-
con inua.
La consigna global cges un escal´
on posi i o en =0,5seg,
y uno nega i o en =3seg. El ancho de la egi´
on al ededo
de χ( i) donde se quie en man ene a ue seleccionado como
Δ=6. Las siguien es figu as mues an los esul ados ob enidos
median e simulaci´
on. En la Fig. 7a se obse a la consigna glob-
al cg, la e e encia acondicionada global y la unci´
on χ( i).
Adem´
as ambi´
en se puede e la egi´
on pe mi ida.
Figu a 8: Topolog´
ıa global: (a) Consigna global y e e encias acondicionadas
locales. (b) Salidas de los sis emas indi iduales.
En la Fig. 7b se mues a la acci´
on discon inua global wg.En
in e esan e obse a que cuando la acci´
on discon inua es ´
a ac i-
a, la e e encia global acondicionada se encuen a en la on-
e a del conjun o Φ, es deci =χ( i)±Δ. Cuando uel e
den o del la egi´
on pe mi ida, lle ado po la p opia din´
amica
de los sis emas, la acci´
on discon inua se desac i a.
En la Fig. 8a se mues an las e e encias acondicionadas.
Aqu´
ı se pueden obse a algunas pa icula idades. En p ime
luga , la din´
amica global es m´
as len a, pa a pode cumpli con
las es icciones, y que odos los sis emas puedan segui la e -
e encia global. Como consecuencia, ocu e un en´
omeno de
ag upamien o, di idiendo al g upo en di e en es subg upos que
compa en alguna ca ac e ´
ıs ica, en p incipio elacionada con
las es icciones de los sis emas. Es e ag upamien o es un com-
Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o.
398 Alejand o Vignoni e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401
po amien o colec i o eme gen e, que apa ece cuando se coo -
dinan sis emas din´
amicos.
Finalmen e en la Fig. 8b se mues an las salidas de los sis-
emas indi iduales. Aqu´
ı se ap ecia que el ansi o io de cada
sis ema depende de sus es icciones y pa ´
ame os de con o-
lado . A pesa de dichas di e encias, se ob iene coo dinaci´on
ambi´
en a la salida, ya que cada sis ema es capaz de segui una
e e encia, siemp e y cuando ´
es a sea ealizable.
6.2. Topolog´ıa local
U ilizando la opolog´
ıa local, un ac o muy impo an e es
la ed de conexiones. En pa icula pa a es e ejemplo se ha u i-
lizado la ed p opues a en la Fig. 1.
Figu a 9: Topolog´
ıa local: (a) Consigna y e e encias acondicionadas. (b) Sali-
das de los sis emas indi iduales.
En la Fig. 9a se mues an las e e encias locales de los cinco
sis emas. Se puede e como se log an los obje i os de coo di-
naci´
on, y la di e encia esul an e en e cada e e encia concue -
da con los pa ´
ame os δij de la abla 3.
Figu a 10: Va iable es ingida u2, obje i o de coo dinaci´
on ( 2− 5) y sus
espec i as acciones discon inuas (w2yw25).
En la Fig. 9b se obse an las salidas de los sis emas indi id-
uales, yc
´
omo se ob iene el obje i o de coo dinaci´
on incluso en
las salidas, aunque con peque˜
nas di e encias debidas a la con-
figu aci´
on de los lazos ce ados de cada sis ema.
Tabla 3: Pa ´
ame os de simulaci´
on.
Sis ema δAmpli ud de la acci´
on discon inua
1δ13 =1M13 =2M1=5
2δ25 =1M25 =2M2=3
δ31 =1M31 =2
3δ34 =0,7M34 =1,5M3=8
δ35 =1M35 =2,2
4δ43 =0,7M43 =2M4=4
5δ52 =1M52 =1M5=3
δ53 =1M53 =1
A con inuaci´
on se mues a una selecci´
on de acciones dis-
con inuas, a modo explica i o. Po mo i os de espacio, se han
seleccionado los sis emas 2 y 5. En la Fig. 10 se mues an las
acciones discon inuas w2yw25 jun o con las a iables es ingi-
das (u2) y obje i o de coo dinaci´
on co espondien e ( 2− 5).
Se obse a que, po un lado, la se˜
nal w2maneja la a iable e-
s ingida u2; po ejemplo w2es ´
a ac i a cuando u2se encuen a
en su l´
ımi e. Po o o lado, w25 se enca ga de que la di e encia
en e las e e encias 2y 5sea meno que δ25 =1.
Finalmen e en Fig. 11, se mues an las ayec o ias de las
mismas a iables es ingidas (u2yu5) y de la di e encia de las
e e encias ( 2− 5)enl
´
ınea oja con inua, y po o o lado,
se ha g aficado el conjun o in a ian e deseado, en l´
ınea pun ea-
da azul. Es e iden e que la ayec o ia comenzando den o del
conjun o nunca lo abandona, ya que en e ec o la me odolog´
ıa
p opues a hace al un conjun o in a ian e.
7. Conclusi´
on
La coo dinaci´
on de sis emas es un ema muy ac ual. En es e
abajo se p esen a una me odolog´
ıa pa a coo dina sis emas
con dis in as din´
amicas u ilizando in a ianza y acondiciona-
mien o de la e e encia po modos deslizan es. Es a me odolog´
ıa
pe mi e la implemen aci´
on con di e en es a qui ec u as, cen-
alizada o dis ibuida, y asimismo pe mi e una g an flexibili-
dad, ya sea desde el pun o de is a de aplicaciones ( ob´
o ica
m´
o il, UAVs, e c.), como desde el pun o de is a de la obus ez,
que es inhe en e al los sis emas de con ol de es uc u a a i-
able. El hecho de que cada sis ema in e inien e inco po e un
lazo de acondicionamien o de e e encia, pa a hace en e a
sus limi aciones, es de pa icula ele ancia pa a que los sis-
emas siemp e es ´
en en lazo ce ado y sean capaces de segui
una e e encia ( ealizable), pa a luego se coo dinados a a ´
es
de las mismas. Asimismo, la e e encia acondicionada, espon-
sable de la coo dinaci´
on, es la ´
unica in o maci´
on que compa en
los sis emas in e inien es ya sea en la opolog´
ıa global ipo su-
pe iso o en la opolog´
ıa local.
Con es a me odolog´
ıa se minimiza el in e cambio de in o -
maci´
on en e sis emas, mejo ando la pe o mance del algo i mo
de coo dinaci´
on, eniendo en cuen a que la comunicaci´
on suele
se un aspec o limi an e en el endimien o de los mismos. De-
bido a que el acondicionamien o de e e encia es un lazo aux-
ilia , no ep esen a un p oblema de implemen aci´
on, ya que se
puede inco po a a cualquie ipo de con olado ya exis en e en
el sis ema.
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