Coordinación de sistemas con diferentes dinámicas utilizando conceptos de invarianza geométrica y modos deslizantes

Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401 © 2013 CEA. Publicado po Else ie España, S.L. Todos los de echos ese ados h p://dx.doi.o g/10.1016/j. iai.2013.09.001 Coo dinaci´ on de sis emas con di e en es din´ amicas u ilizando concep os de in a ianza geom´ e ica y modos deslizan es Alejand o Vignonia,∗, Fab icio Ga ellib, Jes´ us Pic´ oa aIns i u d’Au om`a ica i In o m`a ica Indus ial, Uni e si a Poli `ecnica de Val`encia, Camino de Ve a s/n, 46022 Valencia, Espa˜na bCONICET, LEICI, Facul ad de Ingenie ´ıa, Uni e sidad Nacional de La Pla a (UNLP), C.C.91 (1900) La Pla a, A gen ina Resumen Den o de las posibles acepciones de la palab a, en es e abajo habla emos de coo dinaci´on pa a e e i nos a la acci´ on de ac ua sob e las e e encias de los sis emas pa a log a alg´ un compo amien o colec i o deseado pe o conside ando las es icciones y capacidades de cada sis ema. Con es e obje i o, se desa olla una no edosa me odolog´ ıa basada en ´ ecnicas de acondicionamien o de e e encia u ilizando in a ianza geom´ e ica de conjun os y con ol po modos deslizan es. A pa i de un ma co gene al, se p oponen dos en oques: uno global del ipo sis ema supe iso , y o o local a a ´ es de in e acciones en e los dis in os sis emas, gene ando una ed de in e acciones. La me odolog´ ıa desa ollada pe mi e abo da el el p oblema de coo dinaci´ on de sis emas cuya din´ amica no necesa iamen e es igual pa a odos los sis emas, pudiendo se lineal, no lineal, de di e en e o den, con es icciones, e c. Pa a ello, la din´ amica p opia de cada sub-sis ema se man iene ocul a al sis ema de coo dinaci´ on. Po o o lado, el sis ema de coo dinaci´ on dispone s´ olo de la in o maci´ on necesa ia sob e las limi aciones y es icciones de cada sis ema. La idea p incipal de en oque de es e abajo es que pa a coo dina a ios sis emas es necesa io modula las e e encias locales de cada uno, eniendo en cuen a los obje i os globales, las in e acciones locales y las capacidades de cada uno de los sis emas. Copy igh c 2013 CEA. Publicado po Else ie Espa˜na, S.L. Todos los de echos ese ados. Palab as Cla e: coo dinaci´ on de sis emas, in a ianza de conjun os, modos deslizan es, sis emas mul i-agen es, con ol con es icciones. 1. In oducci´ on La coo dinaci´ on de sis emas de din´ amicos es un ema muy ac ual (Ren e al., 2007; Cao e al., 2013; An onelli, 2013). Es e p oblema ha sido, en gene al. en endido como la acci´ on de lo- g a consenso en e un g upo de agen es. En es e con ex o, con- senso se efie e a la idea de alcanza un acue do sob e un es ado de in o maci´ on en e un conjun o de sis emas indi iduales con el fin de log a un obje i o com´ un, en gene al, dependiendo de las condiciones iniciales. En la li e a u a se suele supone que odos los sis emas im- plicados son id´ en icos y que, po lo an o, ienen la misma di- n´ amica. Po o a pa e, gene almen e se conside a que es os sis emas son in eg ado es de p ime o den. Recien emen e, el p oblema del consenso se ha abo dado median e la eo ´ ıa de g a os algeb aica y las p opiedades de la ma iz laplaciana de un g a o, pa a sis emas in eg ado es de p ime o den, ´ ease ∗Au o en co espondencia. Co eos elec ´onicos: [email p o ec ed] (Alejand o Vignoni), [email p o ec ed] (Fab icio Ga elli), [email p o ec ed] (Jes´ us Pic´ o) (Ol a i-Sabe e al., 2007; Ren e al., 2007) y sus e e encias. Es e en oque se ha ex endido a una cadena de in eg ado es en (He and Cao, 2011). El uso de ´ ecnicas de con ol po modos deslizan es (MD) se ha p opues o pa a el con ol de sis emas mul i-agen e pa a log a consenso.Elm ´ as popula es el con ol de o maci´ on de eh´ ıculos a´ e eos no ipulados (UAV). En esas si uaciones, en gene al se u iliza una configu aci´ on maes o-escla o o l´ ıde - seguido . En (Galzi and Sh essel, 2006), se u iliza MD de o den supe io en configu aci´ on l´ ıde -seguido pa a con ola o ma- ciones. En (Cao and Ren, 2012) se u ilizan es imado es de modo deslizan es de iempo fini o pa a log a un consenso en con- ol de o maci´ on descen alizada, con l´ ıde i ual. Tambi´ en se ha u ilizado una acci´ on de con ol discon inua en (Co e´ s, 2006) elegida de o ma p opo cional al g adien e de una un- ci´ on definida po el Laplaciano del g a o que o man los sis- emas, que conduce a un algo i mo de consenso de modo desli- zan e. En es e abajo nos alejamos de algunos supues os habi ua- les en la li e a u a. U ilizamos ´ ecnicas de MD pa a induci la ScienceDi ec Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. Alejand o Vignoni e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401 391 coo dinaci´ on, sin emba go, no asumimos que los sis emas que an a se coo dinadas ienen la misma din´ amica. Po el con- a io, el en oque abo da el p oblema de coo dinaci´ on de sis- emas con din´ amicas posiblemen e di e en es (po ejemplo, lin- eales y no lineales, di e en es ´ o denes y limi aciones, e c). La idea de ´ as de nues o en oque del p oblema de coo di- naci´ on es que a fin de coo dina los sis emas, podemos da o - ma a sus e e encias locales en unci´ on de los obje i os locales, las capacidades de cada sis ema y la in o maci´ on disponible que cada sis ema iene sob e sus ecinos, siguiendo las ideas o igi- nales de la egla del ecino m´as ce cano (Tanne e al., 2007). Es o se ha ealizado desde dos en oques di e en es. Una global, con un sis ema je ´ a quico supe iso que modifica las e e en- cias de los sis emas, y o a local, que se basa en in e acciones di ec as en e los sis emas, y en la que no hay ning´ un l´ ıde . La es uc u a del a ´ ıculo es la siguien e. En la secci´ on 2 se p esen a el p oblema de coo dinaci´ on en o ma gene al. Luego en la secci´ on 3 se explican algunos esul ados p e ios conoci- dos en in a ianza de conjun os y acondicionamien o de e e - encia po modos deslizan es que se u ilizan pa a plan ea la es- a egia p opues a pa a coo dinaci´ on de sis emas con din´ amicas di e en es. La secci´ on 4 p opone un m´ e odo global supe isado pa a esol e el p oblema de coo dinaci´ on, mien as que en la secci´ on 5 se e o mula el p oblema de o ma descen alizada y se p esen a una soluci´ on al e na i a que no asume dis in as je - a qu´ ıas en e los sis emas, ni necesi a la exis encia de un l´ ıde del g upo. Finalmen e la secci´ on 6 mues a ejemplos de am- bas configu aciones pa a cla ifica las me odolog´ ıas p opues as y una secci´ on de conclusiones esume las ideas p incipales del abajo y p esen a algunas l´ ıneas u u as. 2. Coo dinaci´ on de sis emas En es a secci´ on se p esen a el plan eo gene al del p oblema de coo dinaci´ on, como as´ ı ambi´ en definiciones y suposiciones gene ales elacionadas con la coo dinaci´ on de sis emas. 2.1. P esen aci´on del p oblema Conside e un conjun o de Nsis emas, no necesa iamen e con la misma din´ amica. Asimismo, conside e que cada sis ema posee un lazo de con ol es able. Los sis ema in e inien es, como se ha dicho, pueden ene di e en es es icciones y ca- pacidades a la ho a de segui su e e encia. En es e con ex o de con ol con es icciones apa ece el concep o de e e encia ealizable (Hanus e al., 1987): la e e encia mas ´ apida que el sis ema es capaz de segui sin iola sus es icciones, man- eni´ endose siemp e en lazo ce ado. Po ejemplo, en el caso de un sis ema con es icciones de ac uado , una e e encia ealiz- able nunca in en a ´ a lle a a los ac uado es ue a de su ango de ope aci´ on, ya que es o deja ´ ıa al sis ema en lazo abie o (pudi- endo da luga al en´ omeno de windup). La coo dinaci´on se ´ a en endida como la acci´ on de log a un compo amien o colec i o deseado pa a un conjun o de sis- emas conside ados. En es e abajo, se abo da el p oblema ac- uando sob e las e e encias de los sis emas. De es a mane a se ienen dos ipos de e e encia sob e las que ac ua : la e e encia local de cada sis ema y la e e encia global. En e los compo amien os colec i os deseados pod ´ ıan en- con a se: Man ene una unci´ on χde las e e encias locales lo mas ce ca posible de la e e encia global. Man ene una dis ancia en e las e e encias locales de los sis emas, una a una o en e cen oides de ag upamien- os. Log a sinc onizaci´ on gene alizada, como un caso l´ ımi e de los an e io es. Cabe des aca que la unci´ on χpuede se cualquie ipo de com- binaci´ on de las e e encias locales, po ejemplo el p omedio, la moda, el m´ aximo, el m´ ınimo, e c.. En consecuencia, es a defini- ci´ on de coo dinaci´ on es muy gene al, y depende de qu´ e ipo de unci´ on se elija pa a χ. Asimismo la definici´ on de la dis ancia u ilizada pa a medi las e e encias, ambi´ en puede se gene al, dando luga a una amplia gama de compo amien os colec i os admisibles. 2.2. In e cambio de in o maci´on en e sis emas Uno de los elemen os necesa ios pa a lle a a cabo la coo - dinaci´ on en e sis emas din´ amicos, es el in e cambio de in o - maci´ on en e ellos. La o ma en que se a aca dicho p oblema en es e abajo es uno de sus p incipales apo es. La idea p incipal es que cada sis ema en ´ ıa in o maci´ on de sus es icciones lo- cales a los o os sis emas in e inien es a a ´ es de su e e encia ealizable. Dependiendo del ni el je ´ a quico al que se ansmi e la in- o maci´ on ( e Fig. 1) esul a: la opolog´ ıa global cuando la in o maci´ on se ansmi e a un ni el supe io ipo supe iso ; la opolog´ ıa local cuando la in o maci´ on se dis ibuye en el mismo ni el je ´ a quico a sis emas ecinos. En cualquie a de las dos opolog´ ıas, los sis emas indi id- uales ocul an sus es ados y salidas al es o de sis emas, en ian- do solamen e la e e encia ealizable y minimizando la in o ma- ci´ on ansmi ida. La e e encia ealizable efleja en qu´ e si uaci´ on se encuen a el sis ema con espec o a sus es icciones ´ ısicas locales. Aunque la in o maci´ on ansmi ida se minimice, la comuni- caci´ on es en gene al el cuello de bo ella de las opolog´ ıas cen- alizadas, ya que el iempo pa a ecoge oda la in o maci´ on de los sis emas depende di ec amen e del n´ ume o de sis emas y no del di´ ame o de la ed, como en el caso descen alizado. Asimismo, la opolog´ ıa global p esen a los p oblemas no - males de ulne abilidad, pues o que el nodo supe iso cen al- iza oda la in o maci´ on, y es po lo an o el pun o d´ ebil de la ed, ya que un allo en el supe iso aca ea el allo de odo el conjun o de sis emas. Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. 392 Alejand o Vignoni e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401 Figu a 1: Topolog´ ıa de conexi´ on en las dis in as configu aciones. 2.3. Suposiciones y definiciones gene ales Bajo la siguien e suposici´ on, Suposici´ on 1. Cada sis ema in e inien e es un lazo ce ado in e namen e es able y puede segui una e e encia ealizable, se puede defini la coo dinaci´ on de sis emas de la siguien e mane a: Definici´ on 1. El obje i o de coo dinaci´on se puede defini en ´e minos de un conjun o al que se desea con e i en un con- jun o con olado in a ian e Φc(x,ρ ), a a ´es de modifica la e e encia ealizable de cada sis ema. El conjun o Φc(x,ρ )m´as gene al se define como: Φc(x,ρ )={x∈X:φc(x,ρ )= (x)−ρ−δ≤0}(1) donde x∈X∈Rnson los es ados de los sis emas, (x)es una e e encia ealizable unci´on de los es ados x,ρes una unci´on que depende de la in o maci´on que llega de los o os sis emas y δes un alo p ees ablecido. La no ma ·puede hace e e encia a cualquie no ma definida en Rn, sin emba go de aqu´ı en adelan e se e e i ´a a la no ma eucl´ıdea. 3. In a ianza y Acondicionamien o de Re e encia po Mo- dos Deslizan es A con inuaci´ on se desc ibe la me odolog´ ıa u ilizada pa a ob ene la e e encia ealizable, basada en ideas de in a iancia y acondicionamien o de e e encia po modos deslizan es. La idea del acondicionamien o de e e encia, es ´ a basada en el concep o de log a una e e encia ealizable, nace o iginal- men e en el con ex o del con ol con es icciones. En conc e o, Hanus y Walgama (Hanus e al., 1987; Walgama e al., 1992) han aplicado es e ipo de soluciones pa a esol e el p oblema de sa u aci´ on en los ac uado es (windup). Bas´ andose en es e en oque y ap o echando las posibilida- des del con ol po modos deslizan es, como po ejemplo la o- bus ez en e a pe u baciones ex e nas y a ince idumb e en los pa ´ ame os (Si a-Ram´ ı ez, 1989; U kin e al., 1999), Man z y colegas (Man z e al., 2004) han aplicado acondicionamien o de e e encia po modos deslizan es (SMRC) pa a ob ene e e - encias ealizables eniendo en cuen a las es icciones, an o en los ac uado es, como en las salidas. En (Ga elli e al., 2006a,b; Ga elli, 2011) se ha u ilizado SMRC pa a aco a in e acciones c uzadas en sis emas lineales MIMO. Luego en (Pic´ o e al., 2009) se ha u ilizado SMRC pa a b´ usqueda de consigna en sis- emas no lineales con es icciones dependien es del es ado. En (G acia e al., 2012b,a) se ha u ilizado SMRC pa a esol e e- dundancia y acondiciona caminos e i ando ampas en algo i - mos de ob´ o ica m´ o il. El el con ex o de coo dinaci´ on de sis emas, en (Vignoni, 2011; Vignoni e al., 2011) se ha ealizado un esquema de co- o dinaci´ on, en donde se coo dinan las e e encias de dichos sis- emas in oluc ados u ilizando SMRC y una opolog´ ıa global de modo supe iso . A con inuaci´ on, en (Vignoni e al., 2012) se ha abo dado la coo dinaci´ on desde una opolog´ ıa local, e- niendo en cuen a las in e acciones en e los dis in os sis emas, como as´ ı ambi´ en las es icciones de los mismos. En es e a- bajo se p esen a un esquema unificado pa a coo dina sis emas din´ amicos u ilizando ideas de in a ianza de conjun os y acon- dicionamien o de e e encia. El modo de uncionamien o b´ asico del acondicionamien o de e e encia po modo deslizan e es el siguien e. El con ol po modos deslizan es apa ece aqu´ ı como un lazo adicional que ac ´ ua de mane a ansi o ia pa a gene a la e e encia ealiz- able. El lazo de acondicionamien o es a ´ ainac i o has a que las ayec o ias del sis ema alcancen po s´ ı mismas la supe ficie de deslizamien o (in en ando iola alguna es icci´ on), pasan- do el lazo de acondicionamien o al es ado ac i o. Una ez que las ayec o ias dejen de que e iola dichas es icciones y el lazo p incipal pueda ope a no malmen e, en onces el lazo de acondicionamien o pasa ´ a nue amen e al es ado inac i o. Figu a 2: Sis ema con es icciones. 3.1. In a ianza geom´e ica de conjun os Conside e el siguien e sis ema din´ amico (Fig. 2): ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˙ x= (x)+g(x)w, y=h1(x) =h2(x) (2) donde x∈X⊂Rnes el ec o de es ados del sis ema, w∈Res la acci´ on de con ol (posiblemen e discon inua), :Rn−→ Rn es el campo de de i a, g:Rn−→ Rnes el campo de con ol, y h1(x),h2(x):Rn−→ R,campos escala es definidos en X, con g(x)0,∀x∈X. Las a iables yy son ambas salidas eales del sis ema, yes la salida con olada p incipal mien as que es una a iable que debe se aco ada pa a cumpli con alguna es icci´ on especifica- da po el usua io del sis ema (e.g. alg´ un es ado medible, o una unci´ on de los es ados o acciones de con ol). Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. Alejand o Vignoni e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401 393 La co a supe io sob e la a iable define el siguien e con- jun o aco ado supe io men e: Φ(x,w, ∗)={x∈X|φ( ∗)= − ∗≤0}(3) El conjun o Φ(x,w, ∗)especifica una egi´ on en el espacio de es ados compa ible con la es icci´ on φ( ∗). Cabe des aca que es a egi´ on definida po Φ, en gene al, puede depende de las es icciones, de los mismos es ados del sis ema o incluso en- adas al sis ema. En pa icula ∗pod ´ ıa se una unci´ on a i- an e en el iempo, y puede depende po ejemplo de in o ma- ci´ on ecibida de alguno de los o os sis emas in e inien es. No a 1. Es impo an e no a que si se desea defini un conjun- o comple amen e aco ado pa a la a iable , bas a con defini dos es icciones y ob ene el conjun o final como la in e sec- ci´on de es os dos conjun os. Po ejemplo, si se desea ∗ 1< < ∗ 2, es posible defini Φ1x,w, ∗ 1=x∈X|φ( ∗ 1)=− + ∗ 1≤0, Φ2x,w, ∗ 2=x∈X|φ( ∗ 2)= − ∗ 2≤0 y luego Φ=Φ 1∩Φ2. Desde un pun o de is a geom´ e ico, el obje i o es encon a una acci´ on de con ol w, de modo que la egi´ on Φse con ie - a en un conjun o con olado in a ian e obus o (Blanchini and Miani, 2008), es deci , que que emos encon a una acci´ on de con ol w, al que pa a odo x(0) ∈Φ⊆Xla condici´ on de que x( )∈Φse cumple pa a odo >0. Pa a asegu a la in a ianza del conjun o Φ, se debe cumpli la condici´on de sub- angencialidad de Nagumo (Blanchini and Miani, 2008): (x)+g(x)w∈T Φ(x),∀x∈∂Φ.(4) Concep ualmen e significa que, cuando las ayec o ias del sis ema se encuen en sob e ∂Φ(la on e a del conjun o Φ), la acci´ on de con ol wdebe se al que el campo con olado (x)+g(x)wpe enezca a TΦ(x), el cono angen e del conjun o Φ. Figu a 3: In e p e aci´ on geom´ e ica de la condici´ on de in a ianza. Cuando se u ilizan conjun os con exos (con on e as con- inuas y di e enciables), la condici´ on an e io se puede e o mu- la ( e Fig. 3) en ´ e minos del g adien e de la es icci´ on (∇φ) que aco a al conjun o, pidiendo que la p oyecci´ on del campo ˙ x= (x)+g(x)wsob e el g adien e ∇φsea meno que ce o, es deci , que apun e hacia aden o del conjun o: ∇φ˙ x=˙ φ(x,w)≤0,∀x∈∂Φ(5) lo que cons i uye una o ma es ´ anda de condici´on impl´ıci a de in a ianza pa a conjun os con exos (Ma eczek e al., 2002): ´ ın w ˙ φ(x,w)≤0,cuando x∈∂Φ(6) Aho a conside e la definici´ on de ˙ φ(x,w) en no acion de de i adas de Lie, siendo L(·)φla de i ada de Lie en la di ecci´ on de un campo ec o ial (·)de la unci´ on φ ˙ φ(x,w)=L φ+Lgφw.(7) Luego esol iendo pa a wy con Lgφ0, se ob iene: w=Lgφ−1˙ φ−L φ=wφ+Lgφ−1˙ φ(8) con wφ=−L φ/Lgφ. Luego despejando ˙ φse ob iene ˙ φ=w−wφLgφ(9) De es a mane a, u ilizando (9) pa a esol e (6), se ob iene el conjun o soluci´ on W(x)al cual debe pe enece w, pa a hac- e al conjun o Φin a ian e, condici´on expl´ıci a de in a ianza (Pic´ o e al., 2009; Vignoni, 2011) pa a el sis ema (2): W(x)= ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ w≤wφ:x∈∂Φ∧Lgφ>0 w≥wφ:x∈∂Φ∧Lgφ<0 acio : x∈∂Φ∧Lgφ=0∧L φ>0 w=lib e : x∈∂Φ∧Lgφ=0∧L φ≤0 w=lib e : x∈Φ ∂Φ, (10) en donde se ha enido en cuen a que si x∈∂Φy al mismo iempo L φ<0, las ayec o ias del sis ema no es ´ an in en ando abandona el conjun o Φ. Luego pa a los dos p ime os casos de (10), se asume L φ>0. Asimismo no ese que, cuando x∈∂Φ, pa a que exis a wφy la in a ianza del conjun o sea ac ible, debe cumpli se Lgφ=dφ dxg(x)0 (11) Luego (11) cons i uye una condici´ on de exis encia del con ol in a ian e w. En pa icula , una ez que an o la on e a del conjun o, ∂Φ, como la campo de con ol g(x) es an definidos, solo uno de los dos p ime os casos de (10) se cumple, es de- ci , Lgφes posi i a o nega i a, pe o no cambia de signo sob e la on e a. Luego la condici´ on de in a ianza del conjun o Φ se cumpli ´ a siemp e que el conjun o W(x)no sea acio. No e que la acci´ on de con ol wpuede se omada a bi a iamen e del conjun o W(x)(10) de modo al que se cumpla la condici´ on de in a ianza. En pa icula , en el in e io de Φpuede se selec- cionada w=0, y pe mi i al sis ema e oluciona lib emen e en el in e io del conjun o. Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. 394 Alejand o Vignoni e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401 3.2. Acondicionamien o de e e encia po modos deslizan es A con inuaci´ on se a a p ocede a ob ene la wnecesa ia pa a log a en iempo fini o la in a ianza del conjun o Φdefinido en (3), con el sis ema Σp esen ado en (2). En es e abajo se implemen a un lazo auxilia con un bloque de decisi´ on discon- inuo, que pe mi e encon a el alo de e e encia que cumple con las es icciones y ue za al sis ema a pe manece en el con- jun o in a ian e. Tambi´ en se inco po a un fil o de p ime o den F, cuyo p op´ osi o es sua iza la e e encia acondicionada . En la figu a 4, se puede e la implemen aci´ on del lazo de acondicionamien o de e e encia implemen ado con modos des- lizan es. Figu a 4: Esquema gen´ e ico de acondicionamien o de e e encia po modos deslizan es. El bloque discon inuo es implemen ado con la siguien e ley de con ol de es uc u a a iable: w=wSM si φ( ∗)>0 0siφ( ∗)≤0(12) donde φes la supe ficie de deslizamien o o salida auxilia , defini- da de la siguien e o ma y de acue do con (3): φ( ∗)= − ∗(13) donde ∗es la es icci´ on impues a a la se˜ nal ywSM es la am- pli ud de la se˜ nal discon inua. El alo de wSM debe se dise˜ nado de o ma al que cuando las ayec o ias del sis ema in en en sali del conjun o Φ, se es ablezca modo deslizan e sob e la on e a del conjun o, pa a lo cual debe cumpli se localmen e al ededo de ∂Φla condici´ on necesa ia y suficien e de exis en- cia del modo deslizan e (Edwa ds and Spu geon, 1998; Pe u- que i and Ba bo , 2002): ˙ φ(x)=L φ+LgφwSM <0siφ( ∗)>0 L φ>0siφ( ∗)<0(14) La segunda desigualdad de (14) se sa is ace localmen e cuando las ayec o ias del sis ema a an de sali del Φ. Mien as que la p ime a desigualdad de (14) implica que pa a que se es ablez- ca modo deslizan e en φ( ∗)=0, se debe cumpli localmen e al ededo de ∂Φla condici´ on de ans e salidad (Si a-Ram´ ı ez, 1989), Lgφ=dφ dxg(x)0 (15) Cabe des aca ambi´ en que u ilizando el m´ e odo del con ol equi alen e (U kin e al., 1999; Edwa ds and Spu geon, 1998), una ez que el modo deslizan e se es ablece, el con ol equi a- len e con inuo se ob iene como weq =−L φ/Lgφ=wφ, el cual de acue do con (10) es el con ol eque ido pa a man ene el sis ema jus o en la on e a ∂Φ. En consecuencia, el modo des- lizan e ealiza el m´ ınimo cambio necesa io en la e e encia pa a log a que el conjun o Φsea in a ian e. Adem´ as, la condici´ on de necesa ia y su uicien e pa a el modo deslizan e (14) ga an i- za la exis encia del con ol in a ian e en (10). No a 2. En caso de que las ayec o ias se inicien ue a del conjun o Φ, se puede ob ene con e gencia en iempo fini o a la on e a ∂Φ omando wSM al que L φ+LgφwSM <−γ, pa a una de e minada cons an e posi i a γ(Pe uque i and Ba bo , 2002). Lo mismo se aplica en caso de una pe u baci´on ab up a que en ´ıe al sis ema ue a de la egion pe mi ida. Po o o lado el fil o Fes implemen ado como un fil o de p ime o den, ˙ =−α +w− ,(16) con α, pa ´ ame o de dise˜ no que ep esen a la ecuencia de co e del fil o, que debe se al, que la din´ amica del fil o no in e fie a con la din´ amica del sis ema (es deci debe se m´ as ´ apido). En esumen, el acondicionamien o de e e encia ob iene la e e encia ealizable co espondien e que se aplica ´ a al sis ema, en de e minado ins an e de iempo, pa a e i a que se iolen las es icciones. Una ca ac e ´ ıs ica in e esan e es que no se e- quie e ning´ un modelo del sis ema pa a ob ene dicha e e encia. 4. Topolog´ ıa global ipo supe iso En es a secci´ on se p esen a la coo dinaci´ on de sis emas u i- lizando una opolog´ ıa global ipo supe iso y cons i uye uno de los esul ados del p esen e abajo, jun o con la coo dinaci´ on de sis emas con opolog´ ıa local que se p esen a a en la Secci´ on 5. El p oblema que se plan ea, es el p ime o de los p esen ados en la Secci´ on 2.1, pa a lo cual se pa icula iza la Definici´ on 1 de la siguien e mane a: Definici´ on 2. El obje i o de coo dinaci´on se puede defini en ´e minos de un conjun o Φχal que se desea con e i en un con- jun o con olado in a ian e, modificando la e e encia acondi- cionada . El conjun o Φχse define como Φχ(x, i)=x∈X, i ∈RN:φχ( i)= −χ( i)−Δ≤0 (17) donde x∈X∈Rnson los es ados de los sis emas, ∈R es la e e encia acondicionada global, y χ( i)es una unci´on que depende de las e e encias acondicionadas de los sis emas in e inien es, finalmen e Δes un alo p ees ablecido, pa a el ancho de la banda pe mi ida. Luego el obje i o de coo dinaci´ on es hace al conjun o Φχ un conjun o con olado in a ian e, pa a lo cual se p opone el siguien e esquema de coo dinaci´ on global. Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. Alejand o Vignoni e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401 395 4.1. Esquema p opues o de coo dinaci´on Conside e un conjun o de Nsis emas din´ amicos, que cum- plen con la Suposici´ on 1. Se plan ea el obje i o de coo dinaci´ on como en Definici´ on 2. Si los sis emas cumplen con la p oposi- ci´ on 1 en onces es posible log a coo dinaci´ on, en endida co- mo en Secci´ on 2.1 u ilizando un esquema como el p opues o a con inuaci´ on, donde se inco po a el obje i o de coo dinaci´ on (Definici´ on 2) en un lazo de acondicionamien o de la e e encia global. Si bien en la p ´ ac ica cada sis ema puede ene es icciones, de en ada, es ados o salida, a lo la go de es e abajo y a los e ec os de cla ifica la exposici´ on del esquema p opues o, se han u ilizado sis emas con sa u aci´ on de ac uado y con olado- es bip opios. P oposici´ on 1. Cada sis ema in e inien e posee un lazo de acondicionamien o de e e encia po modos deslizan es, como el p esen ado en la secci´on 3.2. Es e lazo pe mi e maneja las es icciones locales comandando una e e encia ealizable al lazo ce ado y apo a in o maci´on a a ´es de la e e encia condicionada, al es o de los sis emas. Figu a 5: Topolog´ ıa del modo supe isado. En la Fig. 5 se mues a el esquema de coo dinaci´ on global p opues o. Cada sis ema Σi, donde i=1,...,Niden ifica al sis- ema en cues i´ on, posee su lazo local de acondicionamien o de e e encia (φi,wiyFi), que gene a la e e encia acondicionada i a pa i de la e e encia global . En un ni el je ´ a quico supe io se encuen a o o lazo de acondicionamien o, es a ez de la e e encia global. Dicho la- zo es ´ a o mado po una unci´ on de conmu aci´ on φχen la que in e iene la e e encia global y la unci´ on χde las e e encias locales. Es e lazo, ambi´ en posee una acci´ on discon inua (wg), la cual a a ´ es del fil o global de coo dinaci´ on Fgy a pa i de la consigna global cg, gene a la e e encia global sua e . 4.1.1. Fil o de Coo dinaci´on El fil o de coo dinaci´ on (Fg) es el enca gado de sua iza la acci´ on discon inua global (wg). Adem´ as, es el enca gado de in eg a las dis in as acciones discon inuas que pueden o ma pa e de la coo dinaci´ on global, que p ocedan de las dis in as Tabla 1: Va iables u ilizadas en Fig. 5 Va iable S´ ımbolo Re e encia global Consigna global cg Fil o de coo dinaci´ on Fg Funci´ on de conmu aci´ on global φχ Acci´ on discon inua global wg Sis ema iΣi Re e encia acondicionada i Salida yi Sis ema iVa iable con es icci´ on ui Fil o de p ime o den Fi Funci´ on de conmu aci´ on φi Acci´ on discon inua de la unci´ on φiwi unciones de conmu aci´ on. El fil o jun o con la unci´ on de con- mu aci´ on global φχde e mina ´ alapol ´ ı ica de coo dinaci´ onyla din´ amica global. La din´ amica del fil o es la siguien e: ˙ =−λ −cg−kT·wg(18) donde wges el ec o de acciones discon inuas globales, y kes un ec o de pesos, que define la pol´ ı ica de coo dinaci´ on, en caso de que exis a mas de una es icci´ on global. De aqu´ ıen adelan e, el ec o wgpasa ´ a a se un escala wg, ya que sin p´ e dida de gene alidad, abaja emos con una sola unci´ on de conmu aci´ on global. 4.1.2. Definici´on de la supe ficie de deslizamien o φχ A pa i del conjun o que deseamos hace in a ian e, debe- mos defini a sus on e as como es icciones (que luego se con e i ´ an en supe ficies de deslizamien o cuando el modo des- lizan e se encuen e ac i o). Pa a eso definimos las on e as de Φχcomo φ+ χ= −χ( i)−Δ φ− χ= −χ( i)+Δ (19) y la acci´ on discon inua, que o za ´ a al sis ema a pe manece den o del conjun o Φχen caso de que la din´ amica del mismo sis ema a e de sali ue a del conjun o wg=⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ w+ gsi φ+ χ>0 w− gsi φ− χ<0 0caso con a io. (20) Pa a asegu a la in a ianza del conjun o Φχ(10) se debe ele- gi w− g≤−w gyw+ g≥w g, siendo w gla co a ob enida en el Ap´ endice˜A. 4.2. Funci´on χ:elm´ınimo Un ejemplo in e esan e de pol´ ı ica de coo dinaci´ on es que la unci´ on χsea la unci´ on m´ınimo de las e e encias acondi- cionadas, χ( i)= m´ ın =m´ ın  i :i∈{1,...,N}.(21) Es a unci´ on se u iliza ´ a en el ejemplo de la Secci´ on 6, pa a lo cual en el Ap´ endice˜C se demues a la in a ianza de Φχpa a es a unci´ on u ilizando an´ alisis de unciones no sua es. Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. 396 Alejand o Vignoni e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401 5. Topolog´ ıa local dis ibuida En es a secci´ on se p esen a la coo dinaci´ on de sis emas u i- lizando una opolog´ ıa local dis ibuida. El p oblema que se plan- ea, es el segundo de los p esen ados en la Secci´ on 2.1, pa a lo cual se pa icula iza la Definici´ on 1 de la siguien e mane a: Definici´ on 3. El obje i o local en e dos sis emas conec ados es man ene en e sus e e encias una dis ancia meno que un alo p ees ablecido δij. Con lo que se puede defini el conjun o Φij como Φij(x, k)=x∈X, k ∈R,k=1,2:φij = i − j −δij ≤0 (22) donde x∈X∈Rnson los es ados de los sis emas, y i ∈Ry j ∈Rson las e e encias acondicionadas de los sis emas i y j espec i amen e. Adem´ as, los sis emas es a ´ an conec ados seg´ un la siguien e suposici´ on: Suposici´ on 2. La opolog´ıa de la ed de in e conexi´on de los sis emas es fija, en el sen ido de cual sis ema puede conec a se con o o. Es a ed puede se ep esen ada po un g a o di igido cuya ma iz de adyacencia es A =[aij], con aij =1cuando el sis ema i se puede comunica con el sis ema j, y aij =0en caso con a io. Se asume que dicho g a o es un g a o simplemen e conexo (Ol a i-Sabe e al., 2007). Luego se puede defini el conjun o Φcomo la uni´ on de los conjun os an e io es, cuando es ´ en conec ados (aij =1), pa a odos los sis emas in eg an es del g upo. Φ= N  i=1,j=1,ij aijΦij (23) En onces el obje i o de coo dinaci´ on es hace al conjun o Φ un conjun o con olado in a ian e, pa a lo cual se p opone el siguien e esquema de coo dinaci´ on local. 5.1. Esquema p opues o de coo dinaci´on Conside e un conjun o de Nsis emas din´ amicos, con N≥2, que cumplen con la Suposici´ on 1, con una opolog´ ıa de conexi´ on que cumple con la Suposici´ on 2, con un lazo de acondiciona- mien o como en P oposici´ on 1 y un obje i o de coo dinaci´ on como en Definici´ on 3, en onces es posible log a coo dinaci´ on, en endida como en Secci´ on 2.1 u ilizando un esquema como el p opues o a con inuaci´ on, donde se inco po an los obje i os de coo dinaci´ on (Definici´ on 3) en cada lazo de acondicionamien o de la e e encia local de los sis emas indi iduales. En la Fig. 6 se mues a el esquema p opues o, donde apa e- cen s´ olo dos sis emas, po simplicidad. La s´ ımbolos que apa e- cen en dicha figu a se explican en la Tabla 2. El lazo ce ado del sis ema i,Σiinco po a la plan a y un con olado bip opio: Σi:⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˙xi= i(xi)+gi(xi) i yi=hi(xi) ˙xci =Aci xci +bciei i=cci xci +dciei (24) Figu a 6: Obje i os locales inco po ados al esquema de acondicionamien o de e e encia. Tabla 2: Va iables u ilizadas en Fig. 6 Va iable S´ ımbolo Re e encia global Sis ema iΣi Re e encia acondicionada i Salida yi Sis ema iVa iable es ingida i Fil o de p ime o den Fi Res icci´ on φi Acci´ on discon inua de φiwi Res icci´ on i ual de coo dinaci´ on en e sis emas iyjφij Acci´ on discon inua de φij wij con xci yeilos es ados del con olado ylase˜ nal de e o defini- da como ei= i −yi.Aci,bci,cci,dci son pa ´ ame os cons an es del con olados. El obje i o de coo dinaci´ on local, inco po ado en el lazo de acondicionamien o, jun o con el fil o de p ime o den, dan luga a la siguien e es uc u a pa a el fil o Fi: Fi:˙ i =−αi( i − +˜wi) (25) donde ˜wies una combinaci´ on de las acciones discon inuas p o e- nien es de las es icciones ´ ısica (wi), y de la i ual que sin e i- za el obje i o de coo dinaci´ on (wij); es a definida de la siguien e mane a: ˜wi=wi+ N  j=1,ji aijwij (26) La acci´ on discon inua wise define como en Ga elli e al. (2006a): wi=⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Misi φ+ i= i− + ip >0 −Misi φ− i= i− − ip <0 0caso con a io (27) en donde Mies la ampli ud de la acci´ on discon inua wi. Asimis- mo, la acci´ on discon inua wij se define de acue do con las on- e as del conjun o Φij que se definen a con inuaci´ on como e- Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. Alejand o Vignoni e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401 397 s icciones i uales (φij). wij =⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Mij sign( i − j )si φij  i, j ≥0 0si φij  i, j <0 (28) con Mij siendo la ampli ud de la acci´ on discon inua. Finalmen e las es icciones ´ ısica y i ual es ´ an definidas de la siguien e mane a (22): φ± i= i− ± ip (29) φij = i − j −δij (30) con + ip y − ip las co as supe io e in e io de la sa u aci´ on de ac uado y δij la co a pa a la di e encia deseada en e las e e - encias. En el Ap´ endice˜B se ealiza el an´ alisis co espondien e yse demues a la in a ianza del conjun o Φij, de donde se ob ienen las siguien es co as pa a las acciones discon inuas wij: Mij >−αi i −αj j αi+αj −αi−αj αi+αj (31) y pa a las acciones discon inuas wi Mi> ij Mij − ¯ bci ± ip +¯ Aci xci bi −ρi.(32) 6. Simulaciones En es a secci´ on se mues an las ca ac e ´ ıs icas p incipales de las opolog´ ıa de coo dinaci´ on p opues as, pa a un conjun- o de 5 sis emas con dis in a din´ amica, con olado es y es ic- ciones ( e Ap´ endice˜D); a a ´ es de esul ados de simulaci´ on ob enidos con MATLAB. En e los sis emas simulados hay de p ime o y de segundo o den. Asimismo las sa u aciones de ac uado conside adas a ´ ıan en un amplio ango y los con o- lado es ue on ajus ados u ilizando di e en es c i e ios. Po o o lado, cada sis ema posee un lazo de acondicionamien o de e - e encia, con su espec i o fil o ajus ado eniendo en cuen a la din´ amica del lazo ce ado. Las ampli udes de las acciones dis- con inuas ue on ajus adas de acue do con los esul ados ob e- nidos en cada caso. 6.1. Topolog´ıa Global U ilizando la opolog´ ıa global ipo supe iso hay a ias posibles pol´ ı icas de coo dinaci´ on dependiendo de que unci´ on se elija pa a χ( i) y del ancho de la egi´ on pe mi ida pa a al ededo de χ( i). A modo de ejemplo se conside a el m´ ınimo de de las e - e encias acondicionadas como pol´ ı ica de coo dinaci´ on y po ende como unci´ on χ( i): χ( i)= m´ ın =m´ ın  i :i∈{1,...,N}.(33) La in a ianza del conjun o Φχpa a es a unci´ on se demues a en el Ap´ endice˜C. Figu a 7: Topolog´ ıa global: (a) Consigna global, e e encia global y media de las e e encias locales, jun o con la banda o egi´ on pe mi ida. (b) Acci´ on dis- con inua. La consigna global cges un escal´ on posi i o en =0,5seg, y uno nega i o en =3seg. El ancho de la egi´ on al ededo de χ( i) donde se quie en man ene a ue seleccionado como Δ=6. Las siguien es figu as mues an los esul ados ob enidos median e simulaci´ on. En la Fig. 7a se obse a la consigna glob- al cg, la e e encia acondicionada global y la unci´ on χ( i). Adem´ as ambi´ en se puede e la egi´ on pe mi ida. Figu a 8: Topolog´ ıa global: (a) Consigna global y e e encias acondicionadas locales. (b) Salidas de los sis emas indi iduales. En la Fig. 7b se mues a la acci´ on discon inua global wg.En in e esan e obse a que cuando la acci´ on discon inua es ´ a ac i- a, la e e encia global acondicionada se encuen a en la on- e a del conjun o Φ, es deci =χ( i)±Δ. Cuando uel e den o del la egi´ on pe mi ida, lle ado po la p opia din´ amica de los sis emas, la acci´ on discon inua se desac i a. En la Fig. 8a se mues an las e e encias acondicionadas. Aqu´ ı se pueden obse a algunas pa icula idades. En p ime luga , la din´ amica global es m´ as len a, pa a pode cumpli con las es icciones, y que odos los sis emas puedan segui la e - e encia global. Como consecuencia, ocu e un en´ omeno de ag upamien o, di idiendo al g upo en di e en es subg upos que compa en alguna ca ac e ´ ıs ica, en p incipio elacionada con las es icciones de los sis emas. Es e ag upamien o es un com- Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o. 398 Alejand o Vignoni e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 390–401 po amien o colec i o eme gen e, que apa ece cuando se coo - dinan sis emas din´ amicos. Finalmen e en la Fig. 8b se mues an las salidas de los sis- emas indi iduales. Aqu´ ı se ap ecia que el ansi o io de cada sis ema depende de sus es icciones y pa ´ ame os de con o- lado . A pesa de dichas di e encias, se ob iene coo dinaci´on ambi´ en a la salida, ya que cada sis ema es capaz de segui una e e encia, siemp e y cuando ´ es a sea ealizable. 6.2. Topolog´ıa local U ilizando la opolog´ ıa local, un ac o muy impo an e es la ed de conexiones. En pa icula pa a es e ejemplo se ha u i- lizado la ed p opues a en la Fig. 1. Figu a 9: Topolog´ ıa local: (a) Consigna y e e encias acondicionadas. (b) Sali- das de los sis emas indi iduales. En la Fig. 9a se mues an las e e encias locales de los cinco sis emas. Se puede e como se log an los obje i os de coo di- naci´ on, y la di e encia esul an e en e cada e e encia concue - da con los pa ´ ame os δij de la abla 3. Figu a 10: Va iable es ingida u2, obje i o de coo dinaci´ on ( 2− 5) y sus espec i as acciones discon inuas (w2yw25). En la Fig. 9b se obse an las salidas de los sis emas indi id- uales, yc ´ omo se ob iene el obje i o de coo dinaci´ on incluso en las salidas, aunque con peque˜ nas di e encias debidas a la con- figu aci´ on de los lazos ce ados de cada sis ema. Tabla 3: Pa ´ ame os de simulaci´ on. Sis ema δAmpli ud de la acci´ on discon inua 1δ13 =1M13 =2M1=5 2δ25 =1M25 =2M2=3 δ31 =1M31 =2 3δ34 =0,7M34 =1,5M3=8 δ35 =1M35 =2,2 4δ43 =0,7M43 =2M4=4 5δ52 =1M52 =1M5=3 δ53 =1M53 =1 A con inuaci´ on se mues a una selecci´ on de acciones dis- con inuas, a modo explica i o. Po mo i os de espacio, se han seleccionado los sis emas 2 y 5. En la Fig. 10 se mues an las acciones discon inuas w2yw25 jun o con las a iables es ingi- das (u2) y obje i o de coo dinaci´ on co espondien e ( 2− 5). Se obse a que, po un lado, la se˜ nal w2maneja la a iable e- s ingida u2; po ejemplo w2es ´ a ac i a cuando u2se encuen a en su l´ ımi e. Po o o lado, w25 se enca ga de que la di e encia en e las e e encias 2y 5sea meno que δ25 =1. Finalmen e en Fig. 11, se mues an las ayec o ias de las mismas a iables es ingidas (u2yu5) y de la di e encia de las e e encias ( 2− 5)enl ´ ınea oja con inua, y po o o lado, se ha g aficado el conjun o in a ian e deseado, en l´ ınea pun ea- da azul. Es e iden e que la ayec o ia comenzando den o del conjun o nunca lo abandona, ya que en e ec o la me odolog´ ıa p opues a hace al un conjun o in a ian e. 7. Conclusi´ on La coo dinaci´ on de sis emas es un ema muy ac ual. En es e abajo se p esen a una me odolog´ ıa pa a coo dina sis emas con dis in as din´ amicas u ilizando in a ianza y acondiciona- mien o de la e e encia po modos deslizan es. Es a me odolog´ ıa pe mi e la implemen aci´ on con di e en es a qui ec u as, cen- alizada o dis ibuida, y asimismo pe mi e una g an flexibili- dad, ya sea desde el pun o de is a de aplicaciones ( ob´ o ica m´ o il, UAVs, e c.), como desde el pun o de is a de la obus ez, que es inhe en e al los sis emas de con ol de es uc u a a i- able. El hecho de que cada sis ema in e inien e inco po e un lazo de acondicionamien o de e e encia, pa a hace en e a sus limi aciones, es de pa icula ele ancia pa a que los sis- emas siemp e es ´ en en lazo ce ado y sean capaces de segui una e e encia ( ealizable), pa a luego se coo dinados a a ´ es de las mismas. Asimismo, la e e encia acondicionada, espon- sable de la coo dinaci´ on, es la ´ unica in o maci´ on que compa en los sis emas in e inien es ya sea en la opolog´ ıa global ipo su- pe iso o en la opolog´ ıa local. Con es a me odolog´ ıa se minimiza el in e cambio de in o - maci´ on en e sis emas, mejo ando la pe o mance del algo i mo de coo dinaci´ on, eniendo en cuen a que la comunicaci´ on suele se un aspec o limi an e en el endimien o de los mismos. De- bido a que el acondicionamien o de e e encia es un lazo aux- ilia , no ep esen a un p oblema de implemen aci´ on, ya que se puede inco po a a cualquie ipo de con olado ya exis en e en el sis ema. Documen o desca gado de h p://h p://zl.else ie .es el 07/10/2013. Copia pa a uso pe sonal, se p ohíbe la ansmisión de es e documen o po cualquie medio o o ma o.