Curvatura de Ricci y Ecuaciones de Einstein

T aballo Fin de G ao
Cu a u a de Ricci y Ecuaciones de
Eins ein
Ma ía Eugenia Gil Palla es
Julio, 2022
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
T aballo Fin de G ao
Cu a u a de Ricci y Ecuaciones de
Eins ein
Ma ía Eugenia Gil Palla es
Julio, 2022
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
T abajo p opues o
Á ea de Coñecemen o: Xeome ía e Topoloxía, Depa amen o de Ma emá icas
Tí ulo: Cu a u a de Ricci y Ecuaciones de Eins ein
B e e desc ición do con ido
El obje i o del abajo es inicial el es udio de la geome ía Riemanniana y de Lo en z desde
el pun o de is a de la cu a u a. Se dedica á especial a ención al enso de Ricci y las
mé icas de Eins ein como pun os c í icos del uncional cu a u a escala o al, lo que da
luga a la ecuación de Eins ein pa a espacio- iempos de dimensión cua o.
Recomendacións
Cu sa la asigna u a Va iedades di e enciables, co espondien e al g ado en Ma emá icas.
Ou as obse acións
El TFG p opues o es á cla amen e elacionado con la Rela i idad Gene al, desde un pun o
de is a ma emá ico.
iii

Índice
Resumen iii
In oducción xi
1. Concep os p e ios y no ación 1
1.1. Tenso es en espacios ec o iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Va iedades di e enciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Mé icas de Riemann 5
3. Conexiones 9
3.1. Mo i ación ....................................... 9
3.2. Conexiones ....................................... 10
3.3. Campos de ec o es a lo la go de cu as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1. De i adas co a ian es a lo la go de cu as . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4. De i ada co a ian e y campos de enso es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5. T anspo epa alelo................................... 15
3.6. To sión de la de i ada co a ian e: conexiones simé icas . . . . . . . . . . . . . . 19
3.7. ConexióndeLe i-Ci i a................................ 19
4. Geodésicas y la aplicación exponencial 25
4.1. Geodésicas........................................ 25
4.2. La aplicación exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
i ÍNDICE
4.2.1. Coo denadas no males . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5. Cu a u a 31
5.1. P opiedades del enso de cu a u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6. Sub a iedades 37
7. Va iedades de Eins ein 43
7.1. El uncional de Hilbe -Eins ein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Bibliog a ía 57
xi INTRODUCCIÓN

Capí ulo 1
Concep os p e ios y no ación
Es e p ime capí ulo in oduc o io se i á pa a ija la no ación a u iliza en el es o del a-
bajo y e isa concep os básicos de geome ía di e encial y álgeb a a ados en asigna u as del
g ado. Las demos aciones de los esul ados enunciados en es e capí ulo, así como la p o undiza-
ción en cada uno de los concep os puede se consul adas en [5], [7] o [8].
1.1. Tenso es en espacios ec o iales
Los campos de enso es son una he amien a undamen al en la geome ía di e encial. Mien-
as que pa a el cómpu o de o os ope ado es, como las de i aciones, no es su icien e con conoce
su alo en un pun o dado, los enso es quedan de e minados po su alo en un cie o pun o
y la e aluación de can idades p e iamen e conocidas en dicho pun o. En es e abajo usa emos
de o ma con inuada enso es y campos de enso es sob e a iedades, como se án los campos de
ec o es, la mé ica de Riemann y los enso es de cu a u a en e o os.
De inición 1.1. Dado un espacio ec o ial Vde dimensión ini a, deno a emos como V∗su
espacio dual. De inimos un enso k-co a ian e y ℓ-con a a ian e como una aplicación
mul ilineal
F:V∗×ℓ
. . . ×V∗×V×k
. . . ×V→R.
No ación 1.2.Un enso k-co a ian e y ℓ-con a a ian e ambién se deno a á po enso (ℓ, k)o
(ℓ, k)- enso . El espacio de odos los (ℓ, k)- enso es sob e el espacio ec o ial Vse deno a á po
Tk
ℓ(V), y se oma T0(V) = R.
De inición 1.3. Dados dos enso es F∈Tk
ℓ(V), G ∈T
s(V), se de ine el p oduc o enso ial
de ambos como el enso de ipo k+ ,ℓ+sde e minado po :
F⊗G(ω1, . . . , ωℓ+s, Y1, . . . , Yk+ ) = F(ω1, . . . , ωℓ, Y1, . . . , Yk)G(ωℓ+1, . . . , ωℓ+s, Yk+1, . . . , Yk+ ),
pa a cualesquie a ω1, . . . , ωℓ+s∈V∗yY1, . . . , Yk+ ∈V.
1
2 1. Concep os p e ios y no ación
Dada una base {e1, . . . , en}del espacio ec o ial V, y su co espondien e base dual {η1, . . . , ηn}
de V∗, podemos exp esa cualquie enso F∈Tk
ℓ(V), usando el con enio de Eins ein, como:
F=Fi1...ik
j1...jℓej1⊗···⊗ejℓ⊗ηi1⊗···⊗ηik.
1.2. Va iedades di e enciables
A con inuación eco da emos los concep os básicos de las a iedades di e enciables que cons-
i ui án la base sob e la cual abaja emos.
Las a iedades di e enciables se co esponden con los pa es de la o ma (M, [A]∞), o
simplemen e M, donde Mes un espacio opológico Hausdo y localmen e euclidiano, y [A]∞
es una es uc u a di e enciable sob e M. Asumi emos pa a lo que es a que odas las a iedades
se án además pa acompac as, segundo nume ables y conexas.
Deno a emos po F(M)al conjun o de unciones di e enciables de una a iedad Men R:
F(M) = { :M→R: es di e enciable C∞}. Una unción F:M→Nen e a iedades
di e enciables se di á que es di e enciable si exis e una exp esión local de Fen cada pun o de
Mque es di e enciable. Equi alen emen e, F:M→Nes di e enciable si el pullback p ese a el
espacio de unciones di e enciables. Es deci , dada :N→Runa unción di e enciable, en onces
F∗( )=( ◦F)es di e enciable.
Di emos que una aplicación :F(M)→Res un ec o angen e a la a iedad Men psi es
lineal, ( +g) = ( ) + (g), (λ ) = λ ( ), y e i ica una egla de Leibni z pa a el p oduc o,
( g) = ( )g(p) + (p) (g), pa a cada , g ∈F(M)y cada λ∈R.
Deno a emos po TpMal espacio angen e a una a iedad Men un pun o p∈M. Deno-
a emos po ib ado angen e a la unión disjun a de los espacios angen es a Men cada uno
de sus pun os TM =Fp∈MTpM.
Dada una a iedad di e enciable M, se de ine un campo de ec o es sob e Mcomo una
sección di e enciable de la p oyección del ib ado angen e. A lo la go del abajo necesi a emos en
nume osas ocasiones abaja di ec amen e sob e el espacio angen e a la a iedad. De ini emos
una e e encia local pa a TM como una base de campos de ec o es {E1, . . . , En}localmen e
de inidos de o ma que pa a cada pun o p∈Mse enga que {E1|p, . . . , En|p}es una base de
TpM.
La di e enciabilidad de un campo de ec o es puede se en endida de o ma equi alen e en
é minos de la di e enciabilidad de la sección local del ib ado angen e, de su exp esión en
coo denadas, o en é minos de de e mina una de i ación en el espacio de unciones di e enciables
F(M).
Dada una aplicación di e enciable en e dos a iedades F:M→N, se de ine la aplicación
1.2. Va iedades di e enciables 3
angen e a Fopush o wa d en un pun o p∈Mcomo F⋆p :TpM→TF(p)N, al que
F∗p( )(h) = (h◦F),con ∈TpMyh∈F(N).
Se deno a á po k- o ma sob e una a iedad Mcomo una sección di e enciable del ib ado
ex e io de g ado k,ω:p∈M7→ ωp∈Λk(TpM)donde ωpes una k- o ma lineal en p(aplicación
mul ilineal y an isimé ica sob e TpM×k
. . . ×TpM). Deno a emos con Λk(TM)al espacio de k-
o mas di e enciables sob e M. Además, en ende emos la di e enciabilidad de o ma equi alen e
en el sen ido de ac ua di e enciablemen e sob e campos de ec o es.
Dadas es a iedades M1,M2yM3, y dos aplicaciones di e enciables F:M17→ M2y
G:M27→ M3, en onces, el pullback de Gbajo Fes la aplicación F∗G:M17→ M3de inida
po F∗G=G◦F. En pa icula , si enemos una aplicación di e enciable F:M7→ Nen e
a iedades, F∗se á una aplicación en e los espacios co angen es F∗:T∗N→T∗Mac uando
sob e 1- o mas ωsob e Ny de inido como (F∗(ω))p(X) = ωF(p)(F∗p)(X).
Obse ación 1.4.Cuando hablemos de di e enciabilidad de una unción, a menos que se espe-
ci ique lo con a io, nos e e i emos a C∞. Habla emos en gene al de una a iedad di e encia-
ble Mde dimensión n∈N. Los abie os coo denados de la a iedad se án deno ados como
el pa (U,(x1, . . . , xn)), siendo la base del espacio angen e a una a iedad Men un pun o
p∈M,∂
∂x1,..., ∂
∂xn={∂x1, . . . , ∂xn}={∂1, . . . , ∂n}, y la co espondien e base del espacio
dual dx1,...,dxn.
Deno amos po ib ado de (ℓ, k)- enso es sob e M a la unión disjun a de los espacios de
(ℓ, k)- enso es del espacio ec o ial angen e a una a iedad Men un pun o p:
Tk
ℓ(M) := G
p∈M
Tk
ℓ(TpM).
Un campo de enso es sob e Mes po an o una sección del ib ado de de enso es
Tk
ℓM. Los campos de enso es pueden se ca ac e izados po el hecho de que una aplicación
Ω:Λ1(T M)×ℓ
. . . ×Λ1(TM)×X(M)×k
. . . ×X(M)→F(M)es á inducida po un (ℓ, k)-campo
de enso es si y solo si es mul ilineal sob e F(M). Tan o los campos de ec o es como las o mas
di e enciables pueden en ende se como casos pa icula es de campos de enso es.
Pa a e mina con es e capí ulo in oduci emos el concep o de o ma de olumen e in eg al
sob e una a iedad que necesi a emos en la de inición de la cu a u a escala o al.
Dada una a iedad di e enciable o ien ada de dimensión n, una n- o ma di e encial ωse di á
que es una o ma de olumen de Msi ωp= 0 pa a cualquie pun o pde la a iedad. En
pa icula , eniendo en cuen a que la dimensión de Λn(TM)es 1, la clase de equi alencia de ω
de ine una o ien ación sob e la a iedad.
Conside emos una a iedad di e enciable segundo nume able o ien ada M, con dimensión n.
Sea ωuna o ma de olumen sob e My sea :M→Runa unción con inua con sopo e
4 1. Concep os p e ios y no ación
compac o con enido en un abie o coo denado (U, φ = (x1, . . . , xn)). Sea dx1∧ ··· ∧ dxnla
exp esión local de la n- o ma ω. En onces, la in eg al de en Mes:
ZM
=ZM
ω =Zφ(U)
◦φ−1∈R.
También p esen amos el eo ema de S okes y emi imos a [8] pa a su demos ación y una
mayo p o undización en la in eg ación en a iedades di e enciables.
Teo ema 1.5 (Teo ema de S okes).Pa a una a iedad di e enciable Msegundo nume able o ien-
ada de dimensión ncon on e a ∂M o ien ada de o ma compa ible con la a iedad, y ωuna
(n−1)- o ma di e encial sob e Mcon sopo e compac o, se e i ica RMdω=R∂M ω.
Capí ulo 2
Mé icas de Riemann
Una de las ideas p incipales que mo i an el es udio de la geome ía de Riemann es que pe mi e
explica odas las can idades geomé icas en una a iedad desde un pun o de is a in ínseco.
De es a o ma, se elimina cualquie ipo de dependencia con el espacio ambien e, pa a a a
p oblemas que no pueden abo da se ácilmen e desde el pun o de is a de sub a iedades en Rn.
Un p oduc o escala en un espacio ec o ial Ves una aplicación ⟨·,·⟩ :V×V→Rbilineal,
simé ica y de inida posi i a. Pa a supe icies en R3la p ime a o ma undamen al daba luga
a un p oduc o escala en cada espacio angen e a la supe icie, simplemen e conside ando la
es icción del p oduc o escala de R3. En es e capí ulo es ablece emos p oduc os escala es en el
espacio angen e a la a iedad a pa i de una mé ica de inida en la misma, lo que da á luga
a las a iedades de Riemann. Los esul ados de es e capí ulo así como las demos aciones no
indicadas, pueden consul a se en [3] o en [8].
De inición 2.1. Una mé ica de Riemann sob e una a iedad di e enciable Mes un (0,2)-
campo de enso es g∈ T2
0(M)sob e M e i icando:
(i) Es simé ica: g(X, Y ) = g(Y, X),
(ii) Es de inida posi i a: g(X, X)≥0yg(X, X) = 0 si y solo si X= 0,
pa a cualesquie a campos de ec o es X, Y en M.
Una mé ica de Riemann de ine un p oduc o escala en cada uno de los espacios angen es a
M. Denominamos a iedad de Riemann al pa (M, g)donde Mes una a iedad di e enciable
yges una mé ica de Riemann.
La di e enciablidad de la mé ica de Riemann puede en ende se equi alen emen e median e
su acción sob e campos de ec o es o a a és de su lec u a en coo denadas. A pa i de una
mé ica de Riemann, podemos de ini la no ma de un ec o angen e Xa una a iedad Men
un pun o pcomo ∥X∥=pg(X, X), y el ángulo que o man dos ec o es no nulos X, Y ∈TpM
5

6 2. Mé icas de Riemann
como cos θ=g(X,Y )
∥X∥∥Y∥, siendo los dos ec o es o ono males si su no ma es 1 y o man un ángulo
de π
2.
Muchas eces necesi a emos es ingi nos a sub a iedades den o de una a iedad de mayo
dimensión, o iden i ica a iedades más abs ac as den o de o as más conocidas. En la siguien e
p oposición e emos que somos capaces de aslada las p opiedades iemannianas de una a ie-
dad a o a, siemp e que exis a una inme sión en e ellas. En pa icula , nos pe mi e es ingi las
ca ac e ís icas iemannianas de una a iedad de Riemann a sus sub a iedades. De es a o ma po-
d emos es udia la mé ica o iginal pe o en un en o no más cómodo o que iene más in e és. Es e
esul ado se á de g an ayuda en el Capí ulo 6 que e sa á sob e sub a iedades y las p opiedades
que adquie en po encon a se en un en o no Riemanniano.
Dada una aplicación di e enciable F:M7→ Nen e a iedades, se dice que es una inme sión
en p∈Msi F∗pes inyec i a. Fes una inme sión si lo es en cada pun o.
P oposición 2.2. Dadas (M, g)una a iedad de Riemann, Nuna a iedad di e enciable y
F:N→(M, g)una inme sión, en onces F∗ges una mé ica de Riemann sob e la a iedad N,
y(N, F∗g)es una a iedad de Riemann.
Obse ación 2.3.En caso abaja con supe icies en (R3, g0), con g0el p oduc o escala usual,
pues o que la inclusión ι:S→R3es una inme sión, el esul ado es ablece que ι∗g0es una
mé ica en la supe icie, y además se á la P ime a Fo ma Fundamen al de S.
Dadas dos a iedades de Riemann (M, g)y(˜
M, ˜g)y un di eomo ismo local F:M→˜
M,
di emos que Fes una isome ía si F∗˜g=g, y en al caso se di á que (M, g)y(˜
M, ˜g)son
isomé icas.
Dada una e e encia local de TM {E1, . . . , En}y su co espondien e dual {η1, . . . , ηn}, la
exp esión de local de una mé ica de Riemann gsob e la a iedad M es:
g=gijηi⊗ηj,
donde gij =g(Ei, Ej). En pa icula , en caso de oma un en o no coo denado podemos esc ibi :
g=gijdxi⊗dxj=gijdxidxj
con dxidxj=1
2(dxi⊗dxj+dxj⊗dxi).
Teo ema 2.4. Toda a iedad pa acompac a y segundo nume able admi e mé icas de Riemann.
Demos ación. Sea {(Uα, φα)}un ecub imien o de M, y sea { α}la pa ición de la unidad
subo dinada al ecub imien o. Deno emos po g0la mé ica en Rny cons uimos, pa a cada α
un enso simé ico y de inido posi i o de ipo (0,2) como φ∗
αg0de inido en el abie o Uα. Se
de ine g:= Pα αφ∗
αg0. Es e enso se á una mé ica sob e M.
7
Po se φ∗
αg0simé icas pa a odo α, en onces es cla o que g ambién es simé ico. Además,
como α≥0yPα α= 1, es cla o que g(X, X)≥0y, si X= 0 en onces g(X, X) = 0.
Finalmen e eamos que si g(X, X) = 0 en onces X= 0.
Fijado un pun o p∈M,g(X, X) = Pα α(p)g0φα(p)((φα)∗pXp,(φα)∗pXp) = 0. Como exis e
al menos un αpa a el que α(p)= 0, necesa iamen e g0φα(p)((φα)∗pXp,(φα)∗pXp) = 0, de donde
se sigue que φα(p)Xp= 0, luego po se φαun di eomo ismo, Xp= 0.
Obse ación 2.5.Dado que oda a iedad de dimensión npuede conside a se como sub a iedad
embebida de R2npo el eo ema del embebimien o ue e de Whi ney [14] se ob iene que oda
a iedad admi e una mé ica inducida como sub a iedad del espacio euclídeo. Más so p enden e
aún es el esul ado de J. F. Nash [11] que p ueba que pa a cualquie a iedad, oda mé ica
de Riemann es la mé ica inducida de un espacio euclídeo de dimensión meno o igual que
1
2n(n+ 1)(3n+ 11). Es os esul ados es án ue a del alcance de es e abajo, pe o mues an
el ca ác e dis inguido de las a iedades de Riemann con espec o a o as si uaciones como la
geome ía de Lo en z [10].
P esen amos a con inuación dos ope ado es que usa emos ex ensi amen e en el cálculo de
cu a u as. Los ope ado es bemol y sos enido nos pe mi i án ans o ma enso es de ipo (0,2)
en enso es de ipo (1,1) y ice e sa, lo que nos pe mi i á oma azas y de ini nue os enso es
de in e és.
De inición 2.6 (Subi y baja índices).Sea (M, g)una a iedad de Riemann. La 1- o ma
asociada a un campo de ec o es iene dada po ♭:X∈X(M)7→ X♭∈Λ1(TM), al que
X♭(Y) := g(X, Y ), con Y∈X(M). Su exp esión local es: X♭=g(Xi∂
∂xi,·) = gijXidxj.Se dice
que la 1- o ma mé icamen e equi alen e a un campo de ec o es Xse ob iene bajando un
índice.
El campo de ec o es asociado a una 1- o ma iene dado po ♯:ω∈Λ1(TM)7→ X(M), e-
i icando que pa a cualquie X∈X(M),g(♯ω, X) = ω(X). Se dice que el campo de ec o es
mé icamen e equi alen e a una 1- o ma se ob iene subiendo índices. Su exp esión local es:
♯ω= (gij)−1ωj∂
∂xi=gijωj∂
∂xi.
Ejemplo 2.7. Sea :M→Runa unción di e enciable. De inimos el campo de ec o es
g adien e de como g ad =∇ := ♯d , ob enido a pa i de la di e encial de la unción
(1- o ma), subiendo un índice. Teniendo en cuen a la de inición de la aplicación sos enido, el
g adien e de una unción e i ica á d (X) = g(∇ , X),pa a cualquie campo de ec o es X
sob e la a iedad M. En consecuencia, podemos ob ene la exp esión local del g adien e usando
la ma iz in e sa de la ma iz asociada a la mé ica gij, y aplicando d a los campos de ec o es
coo denados, esul ando:
∇ =gij ∂
∂xi∂xj.
Ejemplo 2.8. Sea Hun (0,2)- enso simé ico sob e una a iedad de Riemann (M, g). Si subimos
un índice, end emos que ♯H=hes un (1,1)- enso sob e M, y po lo an o iene sen ido calcula
8 2. Mé icas de Riemann
su aza. En é minos de las componen es de h, su alo se ob iene como: (h) = hii. Po lo
an o, podemos de ini la aza de H con espec o a gcomo:
gH= ♯H= h.
Dado que hij=gjkHik, y como Hes simé ico, conside ando una e e encia o ono mal:
gH=hii=gijHij.
En pa icula , si enemos una e e encia o ono mal {E1, . . . , En}, la aza de ♯H=h, o equi a-
len emen e la de Hcon espec o a ges:
gH= h=X
i
g(hEi, Ei).
Es os dos ejemplos end án especial impo ancia en las de iniciones de enso de cu a u a
de Ricci y cu a u a escala .
Ve emos más adelan e que el uncional de Hilbe -Eins ein in oluc a la in eg al de la cu -
a u a escala en la a iedad. Pa a pode ealiza in eg ales sob e una a iedad hemos is o en
la de inición de la in eg al sob e a iedades en el Capí ulo 1 que necesi amos un elemen o de
olumen. Dado que en las a iedades de Riemann con amos con una es uc u a más ica que
en a iedades di e enciables, podemos de ini una o ma de olumen in ínsecamen e elacionada
con la mé ica.
Lema 2.9. Dada una a iedad de Riemann (M, g)o ien ada, exis e un único elemen o de olu-
men dV (n- o ma di e encial sob e Mdis in a de ce o) e i icando que dada una base o ono mal
o ien ada posi i amen e {E1, . . . , En}del espacio angen e TpM, pa a odo p∈M, se iene que
dV (E1, . . . , En)=1. El elemen o de olumen puede de ini se pa a cualquie e e encia local como
dV =qde (gij)η1∧. . . ∧ηn.
Capí ulo 3
Conexiones
Dedica emos es e capí ulo a in oduci el concep o de conexión y anspo e pa alelo en las
a iedades de Riemann, asociadas a las cuales exis e una conexión dis inguida. La conexión de
Le i Ci i a se á la he amien a undamen al en el cálculo de los enso es de cu a u a.
3.1. Mo i ación
Al in de pode no maliza qué es la cu a u a en a iedades de Riemann necesi amos es a-
blece en p ime luga qué en endemos po geodésicas. Las geodésicas se án aquellas cu as con
acele ación nula, pe o, al y como e emos a con inuación, necesi a emos una in e p e ación lib e
de coo denadas de es a p opiedad. Conside emos la pa ame ización de la ci cun e encia unidad,
S1⊂R2en coo denadas ca esianas:
α: ∈R→α( ) = (x( ), y( )) = (cos , sin ).
De i ando espec o al iempo cada una de sus coo denadas podemos ob ene la elocidad y su
acele ación:
˙α( )=(−sin , cos ),¨α( ) = −(cos , sin ) = −α( ).
Po o o lado, ambién podemos pa ame iza la ci cun e encia usando coo denadas pola es:
β: ∈R→β( )=( ( ), θ( )) = (1, ).
Dado que ambas pa ame izaciones ep esen an la misma cu a y es án conec adas po un di-
eomo ismo, cab ía espe a que sus elocidades y acele aciones ambién se co espondie an.
De i ando las coo denadas de β enemos:
˙
β( ) = (0,1),¨
β( ) = (0,0).
9
16 3. Conexiones
Teo ema 3.12 (Exis encia y unicidad de solución pa a las EDO lineales).El p oblema de alo
inicial
˙
Vj( ) =
n
X
i=1
j
i( )Vi( ), V j( 0) = j
0,(3.4)
iene solución en un in e alo I⊂Rdado pa a cualesquie a unciones di e enciables j
i:I→R
a bi a ias con i, j ∈ {1, . . . , n}, y dicha solución es única pa a cada 0∈Iy cada alo inicial
( 1
0, . . . , n
0)∈Rn.
Teo ema 3.13 (de p olongación de soluciones).Si V:I→Rny˜
V:J→Rnson dos soluciones
de (3.4) con las mismas condiciones iniciales, en onces J⊂IyV=˜
Ven J.
Teo ema 3.14. Sean α:I→Muna cu a di e enciable en M, 0∈I, y 0∈Tα( 0)Mun
ec o angen e a M. Exis e un único campo de ec o es pa alelo V( )a lo la go de α al que
V( 0) = 0.
Demos ación. Supongamos en p ime luga que la imagen de la cu a es á con enida en un
abie o coo denado. A pa i de la exp esión (3.3), y usando la de inición de campo de ec o es
pa alelo, end emos que Ves pa alelo a lo la go de αsi, pa a cada k= 1, . . . , n,
˙
Vk( ) = −Vk( ) ˙αi( )Γk
ij(α( )).
Como la condición inicial que debe e i ica Ves V( 0) = 0, es amos an e un p oblema de alo
inicial como el p esen ado en (3.4), y po el Teo ema 3.12 enemos ga an izada la exis encia
y unicidad de solución pa a el mismo que, po el Teo ema 3.13, podemos p olonga a odo el
dominio I. Dado que el sis ema de EDOs es homogéneo, la es uc u a del espacio de ecuaciones
se á de espacio ec o ial.
Conside emos aho a el caso en que la imagen de la cu a no es á con enida en un solo abie -
o coo denado. Conside emos en onces b0= sup
b> 0{Exis e un único anspo e pa alelo en [ 0, b]}.
Deno emos po Va dicho anspo e pa alelo que es á de inido en [ 0, b0). Si b0/∈I, en onces
hemos e minado. Si b0∈I, sea (U,(x1, . . . , xn)) una ca a con eniendo a α(b0−δ, b0+δ)pa a
algún ε > 0. En onces, como la imagen de α es ingida a es e in e alo es á con enida en un
abie o coo denado, exis e un único campo de ec o es pa alelo ˜
Ven (b0−ε, b0+ε)que sa is ace
˜
V(b0−ε/2) = V(b0−ε/2). Po unicidad, V=˜
Ven la in e sección de sus dominios, luego en-
d íamos que ˜
Ves una ex ensión de Vde inida en pun os > b0lo cual con adice la de inición
de b0. Po lo an o, exis e un único campo de ec o es pa alelo a lo la go de αde inido en I⊂R
y al que V( 0) = 0.
Finalmen e, de inimos a pa i de es os esul ados el ope ado que nos pe mi i á “ aslada ”
ec o es angen es a la a iedad a lo la go de cu as en la misma.

3.5. T anspo e pa alelo 17
De inición 3.15. Sea αuna cu a sob e Mde inida en un in e alo I⊂Rcon 0, 1∈I. Se
de ine el anspo e pa alelo de p=α( 0)aq=α( 1)a lo la go de αcomo la aplicación:
αP 1
0:Tα( 0)M−→ Tα( 1)M
07−→ αP 1
0( 0) = V( 1),
donde V( )es el único campo de ec o es pa alelo a lo la go de αcon V( 0) = 0.
P oposición 3.16. El ope ado αP 1
0es un isomo ismo de espacios ec o iales.
Demos ación. Es a p opiedad del ope ado anspo e pa alelo se ob iene de las p opiedades de
espacio ec o ial del espacio de soluciones de las ecuaciones di e enciales que de e minan a los
anspo es pa alelos. Sean , w ∈Tα( 0)M,V( ), W( )campos de ec o es pa alelos a lo la go
de α( )con condiciones iniciales V( 0) = , W( 0) = w. En onces enemos:
αP 1
0( ) = V( 1),αP 1
0(w) = W( 1).
P obemos la linealidad del ope ado .
Sean a, b ∈Ry conside emos el campo de ec o es a lo la go de αdado po aV +bW . Dada
la es uc u a de espacio ec o ial del espacio de soluciones del p oblema (3.4), es e campo de
ec o es ambién es pa alelo con condición inicial a +bw. En onces, el desplazamien o pa alelo
de a +bw iene dado po :
αP 1
0(a +bw) = aV ( 1) + bW( 1) = aαP 1
0( ) + bαP 1
0(w).
P oba emos aho a la inyec i idad del desplazamien o pa alelo, ya que de se un ope ado inyec i-
o, pues o que que es lineal y los dos espacios ec o iales Tα( 0)yTα( 1) ienen la misma dimensión,
se end á que es un isomo ismo. Pa a ello, sea ∈Tα( 0)M al que αP 1
0( ) = 0 = V( 1), donde
Ves el campo de ec o es pa alelo a lo la go de αcon condición inicial V( 0) = . Como Ves so-
lución del sis ema (3.4), que es homogéneo, y podemos conside a su condición inicial V( 1)=0,
necesa iamen e V≡0, luego V( 0) = = 0, de donde se sigue la inyec i idad.
Es e esul ado nos pe mi e ealiza el desplazamien o pa alelo de una o ma sencilla y cómoda
si se conocen la bases del espacios angen es en el pun o de pa ida y su anspo ada en el pun o
inal. Po ejemplo, en el caso de supe icies en R3, si con amos con una geodésica γque une el
pun o inicial p=γ( 0)y inal q=γ( 1), en onces unas bases, elacionadas po el anspo e
pa alelo del plano angen e a la supe icie en pyqson espec i amen e {˙γ( 0),(Np∧˙γ( 0))}y
{˙γ( 1),(Nq∧˙γ( 1))}, en donde Nes el campo de ec o es no mal a la supe icie. De es a o ma,
dado =a˙γ( 0) + b(Np∧˙γ( 0)), su anspo ado pa alelo se á w=a˙γ( 1) + b(Nq∧˙γ( 1)).
Aho a que ya enemos una o ma de elaciona dos espacios angen es a la a iedad My sus
ec o es, podemos exp esa la de i ada co a ian e en é minos del desplazamien o pa alelo.
18 3. Conexiones
P oposición 3.17. Conside emos dos campos de ec o es sob e M,X, Y ∈X(M)y la cu a
in eg al de X,α, con α(0) = p, siendo p∈M. Se e i ica:
(DXY)p= l´ım
→0
(αP
0)−1(Y(α( ))) −Y(p)
.
Demos ación. Conside emos una base cualquie a del espacio angen e a Men p,{e1, . . . , en},
y deno emos po {E1( ), . . . , En( )}a los ec o es ob enidos al desplaza pa alelamen e a lo
la go de αla base de TpM. Como hemos is o que el anspo e pa alelo es un isomo ismo
de espacios ec o iales, pa a cada alo de se iene que {E1( ), . . . , En( )}es una base de
Tα( )M. Dado que Y(α( )) es un campo de ec o es a lo la go de α, podemos exp esa lo como
Y(α( )) = Pk k( )Ek( ), y calcula de es a o ma su anspo ado in e so:
(αP
0)−1(Y(α( ))) = (αP
0)−1 X
k
k( )Ek( )!=X
k
(αP
0)−1( k( )Ek( ))
=X
k
k( )(αP
0)−1(Ek( )) = X
k
k( )ek.
A pa i de es a exp esión, podemos aslada la cu a de ec o es angen es de inida po Y(α( ))
aTpM, induciendo la cu a de ec o es angen es
˜
Y: ∈I⊂R7→ ˜
Y( ) := (αP
0)−1(Y(α( ))) ∈TpM.
La de i ada de la cu a ˜
Yen = 0 es:
d
d ˜
Y( ) =0
= l´ım
→0
(αP
0)−1(Y(α( ))) −Yp
=d
d  =0
(αP
0)−1(Y(α( ))) = d
d k( )ek| 0
=d k( )
d  =0
ek+ k( )dek
d  =0
= ′
k(0)ek.
Po o o lado, eco demos que αes la cu a in eg al del campo de de ec o es X, po lo que
(D Y) =0 = (D˙αY) =0 =D˙α(0)Y(α(0)) = DXpYp= (DXY)p.
Además, como los campos de ec o es {E1( ), . . . , En( )}son pa alelos a lo la go de la cu a α
(D (Ei)=0, i = 1, . . . , n), que es cu a in eg al de X, se sigue:
D Y=D (Pk k( )Ek( )) = PkD ( k( )Ek( )) = PkD ( k( )Ek( ))
=Pk( ′
k( )Ek( ) + k( )D Ek( )) = Pk ′
k( )Ek( ),
de donde se sigue que D Y| =0 = ′
k(0)ek.
Finalmen e, jun ando los esul ados is os has a el momen o podemos conclui que :
(DXY)p=D Y| =0 =˜
Y′(0) = l´ım
→0
(αP
0)−1(Yα( ))−Y(p)
.
3.6. To sión de la de i ada co a ian e: conexiones simé icas 19
3.6. To sión de la de i ada co a ian e: conexiones simé icas
Has a aho a hemos is o una o ma de de i a campos de ec o es sob e una a iedad: la
de i ada co a ian e. Sin emba go, exis en o as de iniciones como la de i ada de Lie. Aunque no
amos a en a en de alles espec o a es a o ma de de i a campos de ec o es, in oduci emos el
concep o de o sión y algunas de sus p opiedades que pueden se i pa a elaciona la de i ada de
Lie y la de i ada co a ian e. Además, es e concep o es á ín imamen e elacionado con la conexión
de Le i-Ci i a que de ini emos en la siguien e sección.
De inición 3.18. De inimos la o sión de una de i ada co a ian e (o conexión) Dcomo el
campo de enso es de ipo (1,2) dado po T(X, Y ) = DXY−DYX−[X, Y ]y se dice que Des
simé ica o lib e de o sión si T(X, Y ) = 0, con X, Y ∈X(M)a bi a ios.
P oposición 3.19. Conside emos una de i ada co a ian e Den M. Los siguen es enunciados
son equi alen es:
(i) Des simé ica.
(ii) Dac úa de o ma simé ica sob e los campos de ec o es coo denados. Es deci , pa a cual-
quie ca a (U,(x1, . . . , xn)) se e i ica D∂xi∂xj=D∂xj∂xi.
(iii) Los símbolos de Ch is o el asociados a Dson simé icos Γk
ij = Γk
ji.
Demos ación. Veamos en p ime luga que (i) implica (ii). Po se Dsimé ica, T(X, Y ) = 0.
Además, sabemos que [∂xi, ∂xj]=0,po se ∂xiy∂xjcampos coo denados. Po an o:
0 = T(∂xi, ∂xj) = D∂xi∂xj−D∂xj∂xi−[∂xi, ∂xj] = D∂xi∂xj−D∂xj∂xi.
Así, D∂xi∂xj=D∂xj∂xi, como que íamos p oba .
Veamos aho a que (ii) implica (iii). Teniendo en cuen a que D∂xi∂xj= Γk
ij∂xk, se sigue que:
0 = D∂xi∂xj−D∂xj∂xi= (Γk
ij −Γk
ji)∂xk,con lo que se ob iene la sime ía de los símbolos de
Ch is o el en los a gumen os (i, j).
Finalmen e, eamos que (iii) implica (i). Conside emos dos campos de ec o es sob e M
cualesquie a, con exp esiones locales: X=Xi∂xi,Y=Yj∂xj. En onces:
DXY−DYX={X(Yk)−Y(Xk) + XiYjΓk
ij −YiXjΓk
ij}∂xk
={X(Yk)−Y(Xk) + XiYjΓk
ij −YjXiΓk
ji}∂xk= [X, Y ].
Y po lo an o, eniendo en cuen a la de inición de o sión, se sigue el esul ado.
3.7. Conexión de Le i-Ci i a
En el Lema 2.9 hemos ob enido un elemen o de olumen sob e las a iedades de Riemann
que iene en cuen a la es uc u a p opo cionada po la mé ica. Inspi ados en la idea de in olu-
20 3. Conexiones
c a la mé ica en odos los pasos y elemen os que cons ui án el uncional de Hilbe -Eins ein,
de ini emos a con inuación la conexión de Le i-Ci i a con eniendo la in o mación de la mé ica
de Riemann.
Comenza emos es udiando algunas p opiedades gene ales de la elación en e la de i ada
co a ian e y la mé ica de Riemann de inida sob e la a iedad, e minando con el eo ema un-
damen al de la geome ía de Riemann. An es de empeza , debe eco da se que una mé ica de
Riemann gde inida sob e Mes un (0,2)- enso simé ico y de inido posi i o que induce un p o-
duc o escala de inido posi i o en TpM. Po lo an o, dados dos campos de ec o es sob e M,Y
yZ, se iene que g(Y, Z)∈F(M).
De inición 3.20. Sea (M, g)una a iedad de Riemann y Duna conexión sob e M. Se dice
que Des compa ible con la mé ica gsi el anspo e pa alelo αPq
pse ealiza po isome ías.
Equi alen emen e, pa a cualquie cu a en la a iedad y campos de ec o es pa alelos a lo la go
de la cu a V, W , se iene que g(V, W) = c e.
P oposición 3.21. Dada (M, g)una a iedad de Riemann y una conexión Dsob e Mson
equi alen es:
(i) Des compa ible con la mé ica.
(ii) Dados V, W campos de ec o es a lo la go de una cu a αen M, se e i ica que:
d
d g(V, W) = g(D V, W) + g(V, D W).(3.5)
Demos ación. This is a sample ex in whi e.
(ii)⇒(i)Conside emos en la condición (ii)dos campos de ec o es pa alelos a lo la go de una
cu a αdada. En onces D V=D W= 0, po lo an o, d
d g(V, W)=0, luego g(V, W ) = c e. de
donde se sigue que la conexión Des compa ible con la mé ica.
(i)⇒(ii)Conside emos aho a una conexión Dcompa ible con la mé ica gy sea α:I→M
una cu a a bi a ia en M. Sea {e1, . . . , en}una base o ono mal de Tα( 0)M. De la P oposi-
ción 3.16 se concluye que a pa i de una base de Tα( 0)M, podemos ob ene median e el ans-
po e pa alelo una base de Tα( )M. Deno emos po {E1( ), . . . , En( )}dicha base. En es e caso
la exp esión local pa a V, W campos de ec o es a lo la go de la cu a αes:
V=ViEi, W =WjEj.
Po se Eicampos de ec o es pa alelos a lo la go de α, ∀i= 1,...n, podemos calcula sus
de i adas co a ian es como:
D V=dV i
d Ei, D W=dWj
d Ej,
En onces
g(D V, W) + g(V, D W) = gdV i
d , Wi+gVi,dWi
d =d
d (ViWi) = d
d g(V, W).
3.7. Conexión de Le i-Ci i a 21
Obse ación 3.22.Si Des compa ible con la mé ica gyαes la cu a in eg al de X, de o ma
que α( 0) = p, en onces:
DXpg(Y, Z) = d
d g(Y, Z)| 0=g(DXpY, Z)p+g(Y, DXpZ)p,
Como es o es cie o pa a pa bi a io, se end á que una conexión Des compa ible con la
mé ica si se e i ica DXg(Y, Z) = g(DXY, Z) + g(Y, DXZ)pa a cualesquie a X, Y, Z campos de
ec o es en M.
Teo ema 3.23 (Teo ema undamen al de la geome ía de Riemann).Sea (M, g)una a iedad
de Riemann. Exis e una única conexión ∇simé ica y compa ible con la mé ica de e minada
po
2g(∇XY, Z) =Xg(Y, Z) + Y g(X, Z)−Zg(X, Y )
+g([Z, X], Y ) + g([Z, Y ], X) + g([X, Y ], Z),(3.6)
pa a X, Y, Z campos de ec o es di e enciables sob e Ma bi a ios.
Nos e e i emos a la exp esión (3.6) como ó mula de Koszul y la conexión ∇de inida po
ella se denomina á conexión de Le i Ci i a.
Demos ación. En p ime luga demos a emos que si enemos una conexion simé ica y compa-
ible con la mé ica, en onces se e i ica la ó mula de Koszul. Sean X, Y, Z ∈X(M)a bi a ios.
Po un lado, ∇g= 0 po se la conexión compa ible, en onces:
Xg(Y, Z)−g(∇XY, Z)−g(Y, ∇XZ)=0,
Y g(X, Z)−g(∇YX, Z)−g(X, ∇YZ)=0,
Zg(X, Y )−g(∇ZX, Y )−g(Y, ∇ZY)=0.
Sumando las dos p ime as exp esiones an e io es y es ando la e ce a, enemos:
0 = Xg(Y, Z) + Y g(X, Z)−Zg(X, Y )−g(∇XY, Z)−g(∇YX, Z)
+g(∇ZX, Y )−g(Y, ∇XZ)−g(X, ∇YZ) + g(X, ∇ZY).
Po o o lado, como la conexión ∇ha de se simé ica, luego [X, Y ] = ∇XY− ∇YX, se sigue
que:
2g(∇XY, Z) =Xg(Y, Z) + Y g(X, Z)−Zg(X, Y )
+g([Z, X], Y ) + g([Z, Y ], X) + g([X, Y ], Z).
Pa a p oba la unicidad, conside emos dos conexiones simé icas y compa ibles con la mé ica
∇1y∇2y eamos que son iguales. Po se simé icas y compa ibles, ambas e i ica án la ecua-
ción (3.6). Res ando la ó mula de Koszul pa a cada conexión se iene g(∇1
XY−∇2
XY, Z) = 0
pa a cualesquie a campos X, Y, Z, luego ∇1
XY=∇2
XY, y en consecuencia, ∇1=∇2.

22 3. Conexiones
Un cálculo es ánda demues a que el ope ado ∇de inido po la ó mula de Koszul de e mina
una conexión. Además, dicha conexión es simé ica y adap ada a la mé ica g.
Sea (U,(x1, . . . , xn)) una ca a de M. La exp esión local de (3.6) es:
2g(∇∂xi∂xj, ∂xl) = ∂xig(∂xj, ∂xl) + ∂xjg(∂xl, ∂xi)−∂xlg(∂xi, ∂xj).
Teniendo en cuen a las de iniciones de los símbolos de Ch is o el, y la de inición de los elemen os
de la ma iz de la mé ica gij =g(∂xi, ∂xj), podemos eesc ibi es a exp esión como:
2Γm
ij gmk =∂xigjk +∂xjgik −∂xlgij.
Mul iplicando po la in e sa de la ma iz de la mé ica a ambos lados de la ecuación enemos:
Γk
ij =1
2gkl(∂xigjk +∂xjgik −∂xlgij).(3.7)
Obse ación 3.24.A pa i del la exp esión (3.7) se sigue que los símbolos de Ch is o el son
in a ian es an e isome ías locales.
Te minamos es e capí ulo in oduciendo concep os ya conocidos del análisis, como son el
Hessiano o la di e gencia de un campo de ec o es, pe o en a iedades de Riemann y usando
la conexión de Le i-Ci i a. Pa a los esul ados que e emos a con inuación y en los siguien es
capí ulos debemos eco da que la con acción de índices y la de i ación co a ian e conmun an.
En pa icula nos in e esa aplica es a p opiedad al enso de cu a u a de Ricci, que, una ez
subido uno de los índices, es un enso de ipo (1,1).
De inición 3.25. Dada una unción ∈F(M), se de ine el Hessiano de como el campo
de enso es ipo (0,2) dado po Hess( )(X, Y ) = XY ( )−(∇XY)( ), con ∇la conexión de
Le i-Ci i a de la a iedad de Riemann (M, g).
P oposición 3.26 (P opiedades del Hessiano).El Hessiano de ∈F(M)es simé ico y se
e i ica que Hess( )(X, Y ) = g(h (X), Y ),con h campo de enso es de ipo (1,1) de inido como
h (X) = ∇X∇ =∇Xg ad .
Demos ación. Veamos en p ime luga que el hessiano es simé ico:
Hess( )(X, Y )−Hess( )(Y, X) = XY ( )−(∇XY)( )−Y X( )+(∇YX)( )
∇simé ica
=XY ( )−[X, Y ]( )−Y X( ) = 0.
Veamos aho a que podemos calcula el hessiano usando el g adien e de la unción y la mé ica
de Riemann.
El g adien e de ,∇ =♯d , e i ica g(∇ , Z) = d (Z) = Z( ). Po se la conexión de Le i-
Ci i a compa ible con la mé ica, Xg(Y, Z) = g(∇XY, Z) + g(Y, ∇XZ). Tomando Z=∇ ,
g(∇X∇ , Y ) = Xg(∇ , Y )−g(∇ , ∇XY) = XY ( )−∇XY( ).
3.7. Conexión de Le i-Ci i a 23
Pa a un en o no coo denado (U,(x1, . . . , xn)), y una unción ∈F(M), la exp esión local del
hessiano de es Hess( ) = (Hess( ))ijdxi⊗dxj. Las componen es (Hess( ))ij pueden ob ene se
como (Hess( ))ij = Hess( )∂
∂xi,∂
∂xj. Teniendo en cuen a la exp esión local de la di e encial de
,d =∂
∂xkdxk, y la exp esión local del g adien e de ,∇ =gkl ∂
∂xl
∂
∂xk, en onces:
(Hess( ))ij = Hess( )∂
∂xi,∂
∂xj=g(∇∂
∂xi∇ , ∂
∂xj)
=∂
∂xi
∂
∂xj−∇∂
∂xi
∂
∂xj( ) = ∂2
∂xi∂xj −Γk
ij
∂
∂xk .
Así como el Hessiano de una unción se de i a del g adien e de la misma, podemos de ini nue os
ope ado es a pa i del p ime o. Po ejemplo, el laplaciano de una uncion ∈F(M)se á la
aza de su Hessiano: △ = gHess( ) = (h ).
De inición 3.27. Sea {E1, . . . , En}una e e encia o ono mal, y Xcampo de ec o es. De inimos
la di e gencia de Xcomo la aza de ∇X, es deci ,
di X=Xg(∇EiX, Ei).
Se de ine la di e gencia de un campo de enso es F ipo (0,2) simé ico como
(di F)(X) = X
i
(∇EiF)(X, Ei).
Obse ación 3.28.Conside ando la mé ica del espacio euclídeo en coo denadas ca esianas,
dado que gij =δij se iene que los símbolos de Ch is o el se anulan iden icamen e. Po an o las
nociones an e io es de Hessiano, Laplaciano y di e gencia se co esponden con las conocidas del
espacio euclideo en coo denadas ca esianas.
El eo ema de la di e gencia se ob iene como caso pa icula del Teo ema de S okes (Teo e-
ma 1.5) y lo usa emos en a ias ocasiones en el úl imo capí ulo. A con inuación p esen amos su
enunciado y emi imos a [8] pa a su demos ación.
Teo ema 3.29 (Teo ema de la di e gencia).Sea (M, g)una a iedad de Riemann compac a
o ien ada con on e a ∂M. Sea ˜gla mé ica inducida en la on e a y sea Nel campo de ec o es
no males a la on e a. En ones
ZM
di (X)dVg=Z∂M ⟨X, N⟩dV˜g,
pa a cualquie campo de ec o es Xen M.
En pa icula , si la a iedad no iene on e a, en onces:
ZM
di (X)dVg= 0.
24 3. Conexiones
Capí ulo 4
Geodésicas y la aplicación exponencial
4.1. Geodésicas
De la misma o ma que ocu ía en supe icies egula es en R3, las cu as geodésicas en una
a iedad de Riemann se án aquellas que minimizan localmen e la longi ud del camino en e dos
pun os su icien emen e p óximos. Además, es án ca ac e izadas po es a p opiedad, es deci , si
una cu a minimiza el camino en e dos pun os, en onces dicha cu a se á geodésica.
Pa a una cu a γ:I⊂R→Msob e una a iedad Msob e la cual se ha de inido una
conexión D, podemos de ini la acele ación de γcomo la de i ada co a ian e de la elocidad
de γ espec o a la conexión D. En caso de que su acele ación sea nula, en onces di emos que la
cu a es una geodésica. Si γ:I→Mes una geodésica, en onces su elocidad es cons an e:
d
d g(˙γ( ),˙γ( )) = 2g(D ˙γ( ),˙γ( )) = 0.
Po lo an o, el pa áme o de una geodésica se á p opo cional a la longi ud de a co:
s( ) = Z
0∥˙γ( )∥d =c( − 0).
Obse ación 4.1.Debemos obse a que el hecho de que una cu a sea geodésica depende de la
pa ame ización, po lo que se debe ía especi ica que, en caso de que la acele ación de una cu a
γsea nula, en onces es una geodésica pa ame izada. Sin emba go, en lo que es a de abajo
a a emos indis in amen e las geodésicas y las geodésicas pa ame izadas, e i iéndonos a una
cu a geodésica como aquella cuya pa ame ización po la longi ud de a co, o p opo cional, es
una geodésica pa ame izada.
El siguien e esul ado y su demos ación pueden encon a se en [9].
Teo ema 4.2 (Exis encia y unicidad de geodésicas).Dada una a iedad MyDuna conexión
sob e M, pa a cada p∈M, ∈TpMy 0∈R, exis en un in e alo abie o I⊂R al que 0∈I
25
32 5. Cu a u a
o ma: R=Rijkldxi⊗dxj⊗dxk⊗∂xl,donde los coe icien es se ob ienen como:
Rijkl∂xl=R(∂xi, ∂xj)∂xk=∇∂xi∇∂xj∂xk−∇∂xj∇∂xi∂xk−∇XXX
X
[∂xi,∂xj]∂xk
=∇∂xiΓ
jk∂x −∇∂xjΓ
ik∂x =∂iΓl
jk∂xl+ Γ
jkΓl
i ∂xl−∂jΓl
ik∂xl−Γ
ikΓl
j ∂xl
=∂iΓl
jk −∂jΓl
ik + Γ
jkΓl
i −Γ
ikΓl
j ∂xl.
(5.1)
Obse ación 5.3.La exp esión local de los coe icien es del enso de cu a u a (5.1) sólo depende
de los símbolos de Ch is o el. Po lo an o, omando coo denadas no males en un pun o ijado
pde una a iedad de Riemann, ob end emos una exp esión muy simpli icada pa a el cálculo de
los coe icien es.
Como consecuencia, y dado que los símbolos de Ch is o el son in a ian es an e isome ías
locales, se sigue inmedia amen e que si F: (M, g)→(˜
M, ˜g)es una isome ía local en e dos
a iedades de Riemann, en onces se conse a á el enso de cu a u a:
˜
RF(p)(F∗pX, F∗pY)F∗pZ=F∗p(Rp(X, Y )Z).
Obse ación 5.4.Las componen es del enso mé ico, exp esadas en coo denadas no males, son
unciones cuyos p ime os é minos en el desa ollo de Taylo son:
gαβ(expp(xiei)) = δαβ −1
3Riαjβ(p)xixj+. . . ,
po lo que el enso de cu a u a ep esen a la p ime a obs ucción al ca ác e cons an e de
dichas unciones. Los siguien es é minos del desa ollo de Taylo pueden consul a se en [4].
De o ma análoga al cálculo ealizado cuando calculamos el laplaciano de una unción, po-
demos ans o ma el enso de cu a u a en un enso ipo (0,4) bajando un índice, es deci ,
usando el ope ado bemol.
De inición 5.5. Se de ine el enso de cu a u a de Riemann como el (0,4)-campo de
enso es R=R♭de e minado po R(X, Y, Z, W) = g(R(X, Y )Z, W), con X, Y, Z yWcampos
de ec o es di e enciables. Su exp esión local es:
R=Rijkldxi⊗dxj⊗dxk⊗dxl, Rijkl =glmRijkm.
5.1. P opiedades del enso de cu a u a
Así como la conexión de Le i-Ci i a des acaba po sus p opiedades de compa ibilidad con la
mé ica, el enso de cu a u a ambién p esen a una se ie de p opiedades algeb aicas y di e en-
ciables muy ú iles en el es udio a iacional que ealiza emos en el úl imo apa ado.
P oposición 5.6 (P opiedades algeb aicas del enso de cu a u a).Sea (M, g)una a iedad
de Riemann. En onces el enso de cu a u a e i ica las siguien es iden idades algeb aicas:

5.1. P opiedades del enso de cu a u a 33
(i) R(X, Y, Z, T) = −R(Y, X, Z, T )yR(X, Y, Z, T ) = −R(X, Y, T, Z),
(ii) R(X, Y, Z, T) = R(Z, T, X, Y ),
(iii) R(X, Y, Z, T) + R(Y, Z, X, T ) + R(Z, X, Y, T)=0,
donde X, Y, Z, T son campos de ec o es en M.
La p opiedad (iii) an e io ecibe el nomb e de p ime a iden idad de Bianchi.
P oposición 5.7. Sea (M, g)una a iedad de Riemann. La de i ada co a ian e del enso de
cu a u a e i ica
(∇XR)(Y, Z)T+ (∇YR)(Z, X)T+ (∇ZR)(X, Y )T= 0.(5.2)
pa a caluesquie a X, Y, Z, T campos de eco es en M.
Demos ación. Fijado un pun o p∈M, sean X, Y, Z, T campos coo denados co espondien es a
un sis ema de coo denadas no males cen ado en p. En onces, en p, se iene que:
(∇XR)(Y, Z)T=∇XR(Y, Z)T−R(∇XY, Z)T−R(Y, ∇XZ)T−R(Y, Z)∇XT
=∇XR(Y, Z)T=∇X∇Y∇ZT−∇X∇Z∇YT.
Po lo an o
(∇XR)(Y, Z)T+ (∇YR)(Z, X)T+ (∇ZR)(X, Y )T
=∇X∇Y∇ZT−∇X∇Z∇YT+∇Y∇Z∇XT−∇Y∇X∇ZT+∇Z∇X∇YT−∇Z∇Y∇XT
=R(X, Y )∇ZT+R(Z, X)∇YT+R(Y, Z)∇XT= 0.
De inición 5.8. Sea (V, ⟨·,·⟩)un espacio ec o ial con un p oduc o in e io . Un enso de
cu a u a algeb aico es una aplicación mul ilineal A:V×V×V×V→R e i icando las
iden idades algeb aicas de la P oposición 5.6.
Un caso pa icula del enso de cu a u a algeb aico, y que usa emos en la de inición de cu -
a u a seccional es R0(X, Y, Z, T) = g(Y, Z)g(X, T)−g(X, Z)g(Y, T ),pa a cualesquie a campos
de ec o es de inidos sob e una a iedad de Riemann (M, g).
De inición 5.9. Dada una a iedad de Riemann (M, g), un pun o p∈Ma bi a io y un
subespacio de dimensión 2, σ⊂TpM, se de ine la cu a u a seccional en p∈Mdel plano σ
como:
Kp(σ) = R(X, Y, Y, X)
R0(X, Y, Y, X),
donde {X, Y }es una base a bi a ia de σ.
34 5. Cu a u a
Obse ación 5.10.La cu a u a seccional es á bien de inida ya que, pa a X, Y ec o es no nulos
y linealmen e independien es, R0(X, Y, Y, X) = g(Y, Y )g(X, X)−g(X, Y )g(X, Y )>0.
La cu a u a seccional no depende de la elección de los ec o es linealmen e independien es
escogidos como base de σ⊂TpM. En e ec o, sean {X,Y} y {X’,Y’} dos bases a bi a ias de
σ,X′=aX +bY, Y ′=cX +dY. El de e minan e de la ma iz de cambio de base es igual a
(ad −bc)2. U ilizando las p opiedades algeb aicas del enso de cu a u a y su ca ác e R-lineal
se e i ica que
R(X′, Y ′, Y ′, X′) = R(X, Y, Y, X)(ad −bc)2.
Dado que el enso de cu a u a algeb aico ambién es R-lineal y e i ica las mismas iden idades
algeb aicas que el enso de cu a u a, es inmedia o que
R0(X′, Y ′, Y ′, X′)=(ad −bc)2(g(X, X)g(Y, Y )−g(X, Y )g(X, Y )).
Po lo an o,
R(X′, Y ′, Y ′, X′)
R0(X′, Y ′, Y ′, X′)=(ad −bc)2R(X, Y, Y, X)
(ad −bc)2R(X, Y, Y, X)=Kp(σ),
ob eniéndose así la independencia de la base escogida.
La cu a u a seccional es unción del pun o pen la a iedad y del subespacio de dimensión 2
σ⊂TpM. Se p esen an dos posibilidades: que la cu a u a seccional no dependa del pun o
escogido en la a iedad, o que pa a cada uno de los pun os, no dependa del subespacio. A
con inuación p esen amos una condición su icien e y necesa ia pa a la independencia de Kp(σ)
de σ.
P oposición 5.11. Una a iedad de Riemann (M, g) iene cu a u a seccional cons an e c(p)∈R
en un pun o p∈Msi, y solo si, Rp(X, Y, Z, T) = c(p)R0
p(X, Y, Z, T ).
Demos ación. This is a sample ex in whi e.
“⇐′′ Bas a con conside a Z=Y, T =X, de donde se sigue que R(X, Y, Y, X) = cR0(X, Y, Y, X)
luego Kp(σ) = R(X,Y,Y,X)
R0(X,Y,Y,X)=c(p).
“⇒′′ Conside emos ˜
R=R−cR0. Si p obamos que ˜
R= 0, en onces hab emos e minado.
Po hipó esis, como la cu a u a seccional es cons an e, enemos que ˜
R(X, Y, Y, X)=0, pa a
cualesquie a X, Y ∈TpM. Si aho a conside amos Z, W ∈TpMa bi a ios,
0 = ˜
R(X+Y, Z, Z, X +Y)
=
: 0
˜
R(X, Z, Z, X) +
: 0
˜
R(Y, Z, Z, Y ) + ˜
R(X, Z, Z, Y ) + ˜
R(Y, Z, Z, X),
luego
0 = ˜
R(X, Y, Z, T) + ˜
R(Y, Z, X, T ) + ˜
R(Z, X, Y, T )
=˜
R(X, Y, Z, T)−˜
R(Y, X, Z, T )−˜
R(X, Z, Y, T ) = 3 ˜
R(X, Y, Z, T).
5.1. P opiedades del enso de cu a u a 35
Co ola io 5.12. Sea (M, g)una a iedad de Riemann conexa con dim(M)≥3. La cu a u a
seccional Kges cons an e en M, es deci , no depende del pun o ni del plano en donde se calcula,
si, y solo si, es cons an e en cada pun o, es deci , independien e del plano escogido pa a cada
p∈M.
Demos ación. La implicación hacia la izquie da es di ec a. Veamos la implicación hacia la de-
echa. Po la P oposición 5.11 sabemos que si Kp=cp, en onces R(X, Y )Z=cR0(X, Y )Z.
Sus i uyendo R=cR0en la segunda iden idad de Bianchi, y eniendo en cuen a que al es a
abajando con una mé ica de Riemann y con la conexión de Le i-Ci i a, la p ime a es pa alela,
en onces ∇XR0(Y, Z)T= 0 pa a cualesquie a campos de ec o es,
0 = ∇XR(Y, Z)T+∇YR(Z, X)T+∇ZR(X, Y )T
=∇X(cR0(Y, Z)T) + ∇Y(cR0(Z, X)T) + ∇Z(cR0(X, Y )T)
=dc(X)R0(Y, Z)T+dc(Y)R0(Z, X)T+dc(Z)R0(X, Y )T.
Como es o se e i ica pa a campos X, Y, Z, T ∈X(M)a bi a ios, podemos oma en pa icula ,
ijado un Xuni a io, Y, Z uni a ios o ogonales en e sí y además o ogonales a X, y T=Z. En
es e caso,
0 = dc(X)R0(Y, Z)Z+dc(Y)R0(Z, X)Z+dc(Z)R0(X, Y )Z
=dc(X)(g(Z, Z)Y−
: 0
g(Y, Z)Z) + dc(Y)(
: 0
g(X, Z)Z−g(Z, Z)X) + dc(Z)(
: 0
g(Y, Z)X−
: 0
g(X, Z)Y)
=dc(X)Y−dc(Y)X.
Finalmen e, como X, Y son o ogonales, necesa iamen e dc ≡0lo que inaliza la demos ación.
De inición 5.13. Se de ine el enso de Ricci o enso cu a u a de Ricci como el campo de
enso es ipo (0,2) ob enido de la con acción del p ime y úl imo índices del enso de cu a u a.
Deno ando po {E1, . . . , En}una base o ono mal a bi a ia
ρ(X, Y ) = (Z→R(Z, X)Y) = X
i
R(Ei, X, Y, Ei),
y cuyas componen es son ρij =gkmRkijm.A pa i del enso de Ricci se de ine el ope ado
de Ricci, que no es más que el enso de ipo (1,1) ob enido al subi uno de los índices de ρ,
Ricij=ρikgkj. Si aho a calculamos la aza del ope ado de Ricci ob enemos la cu a u a
escala :τ= gρ=gijρij.
Es ácil de comp oba que el enso de cu a u a de Ricci ρes simé ico:
ρ(X, Y ) = X
i
R(Ei, X, Y, Ei) = X
i
R(Y, Ei, Ei, X) = X
i
R(Ei, Y, X, Ei) = ρ(Y, X).
Su ca ác e enso ial se sigue di ec amen e de se una con acción de un enso .
36 5. Cu a u a
Obse ación 5.14.Conside emos la o ma de olumen ωde una a iedad Riemanniana (M, g)
o ien ada ω=pde (gαβ)dx1∧···∧dxn. Sea θp(u) = qde (gαβ)(expp(u)) la unción densidad
de olumen de inida en un en o no del o igen de TpM. Los p ime os é minos en su desa ollo
en se ie de Taylo ienen dados po
θp(expp(xiei)) = 1 −1
6ρij(p)xixj+. . . ,
po lo que el enso de Ricci puede in e p e a se como una medida de la o ma en que la aplicación
exppdis o siona el olumen. Los siguien es é minos del desa ollo de Taylo pueden consul a se
en [4].
Obse ación 5.15.De la exp esión del enso de cu a u a de Ricci obse amos que se a a
de hace una especie de p omedio de odas la cu a u as seccionales. En pa icula , pa a cada
X∈TpMuni a io, ρ(X, X)es la suma de odas las cu a u as seccionales co espondien es a
los n−1planos en TpMo ogonales en e sí y que con ienen a X.
Ejemplo 5.16. Es udia emos aho a el caso en que la cu a u a seccional es cons an e: Kp(σ) = c,
que implica Rp=cR0
p. En es e caso, conside ando que la a iedad de Riemann (M, g)sob e la
que es amos abajando iene dimensión n:
ρ(X, Y ) = X
i
R(Ei, X, Y, Ei) = cX
i
R0(Ei, X, Y, Ei)
=cX
i
(g(X, Y )g(Ei, Ei)−g(X, Ei)g(Y, Ei)) = c(n−1)g(X, Y ).
Tenemos en onces que exis e una elación di ec a en e la mé ica de la a iedad y el enso de
cu a u a de Ricci, lo que mo i a á la de inición de a iedades de Eins ein.
Cabe menciona además que, en caso de a iedades de dimensión 2, dado que solo exis e un
único plano angen e en cada uno de los pun os, la cu a u a seccional es siemp e cons an e en
cada pun o espec o al plano escogido. Po lo an o, pa a a iedades de dimensión 2, siemp e se
end á que el enso de cu a u a en un pun o es p opo cional a la mé ica:
ρp(X, Y ) = c(p)g(X, Y ).
Capí ulo 6
Sub a iedades
En es e capí ulo es udia emos la elación en e las geome ías de una a iedad de Riemann
(˜
M, ˜g)y una sub a iedad (M, g)de la misma. Busca emos elaciones en e las conexiones de Le i-
Ci i a y las cu a u as de inidas en My en el espacio ambien e con la in ención de cons ui
modelos pa a los espacios de cu a u a seccional cons an e.
Sea ˜
Muna a iedad di e enciable. Decimos que M⊂˜
Mes una sub a iedad inme sa de
˜
Msi la inclusión ι:M→˜
Mes una inme sión. Se di á que es una sub a iedad egula de ˜
M
si Mes un subespacio opológico de ˜
My la inclusión ι:M→˜
Mes un embebimien o. En [7]
se p ueba que una aplicación en e dos a iedades di e enciables es una inme sión si, y solo si,
es un embebimien o local. Dado que nues o in e és es en cues iones locales, supond emos a lo
la go de es e capí ulo que odas las sub a iedades son embebidas.
De inición 6.1. Sea (˜
M, ˜g)una a iedad de Riemann y ι:M→˜
Muna inme sión. Di emos
que ιes una inme sión isomé ica si g=ι∗˜g. Pa a una a iedad de Riemann (˜
M, ˜g), di emos
que (M, g =ι∗˜g)es una sub a iedad de Riemann de ˜
Msi Mes una sub a iedad egula de
˜
M.
Comenza emos es ableciendo la elación en e las conexiones de Le i-Ci i a de inidas en el
espacio ambien e ˜
M,˜
∇, y en la sub a iedad M,∇. Reco demos que una conexión es un ope ado
que ac úa sob e dos campos de ec o es sob e una a iedad, y que de uel e o o campo de
ec o es. Po lo an o, si que emos es ablece una elación en e ∇y˜
∇, necesi a emos elaciona
los campos de ec o es angen es a My los campos de ec o es angen es a ˜
M.
Sean X, Y ∈X(M)y deno emos po ˜
X, ˜
Y∈X(˜
M)a dos ex ensiones cualesquie a de XeY
al espacio ambien e ˜
M,˜
X|M=X, ˜
Y|M=Y. Sob e los campos ˜
Xy˜
Ypodemos hace ac ua el
ope ado ˜
∇, y a con inuación es ingi el campo de ec o es ob enido a M:
˜
∇:X(M)×X(M)−→ X(˜
M)
(X, Y )7−→ ˜
∇XY=˜
∇˜
X˜
Y|M.
37

38 6. Sub a iedades
Obse ación 6.2.El alo de ˜
∇˜
X˜
Y|Mes independien e de la elección de las ex ensiones de los
campos XeY. En e ec o pues si conside amos un pun o p∈Ma bi a io, y omamos coo -
denadas locales (x1, . . . , xn, xn+1, . . . , x˜n)de e minadas po el hecho de se Muna sub a iedad
egula .
˜
∇˜
X˜
Yp=n˜
X(˜
Yk) + ˜
Xi˜
YjΓk
ij }p∂xk(p) = n˜
Xp(˜
Yk) + ˜
Xi
p˜
Yj
pΓk
ij(p)o∂xk(p)
=
˜
Xp=Xp,˜
Yp=YpnXp(˜
Yk) + Xi
pYj
p˜
Γk
ij(p)o∂xk(p) =
Xp(˜
Yk)=d˜
Yk
p(Xp)nXp(Yk) + Xi
pYj
p˜
Γk
ij(p)o∂xk(p).
Pa a cada uno de los pun os p∈Mpodemos hace una descomposición del espacio an-
gen e a ˜
Men el espacio angen e a Men py su o ogonal: Tp(˜
M) = TpMLT⊥
p(M). De es a
o ma, podemos descompone el campo de ec o es ˜
∇XYen una componen e en TM y en una
componen e o ogonal: ˜
∇XY= ( ˜
∇XY)⊤+ ( ˜
∇XY)⊥.
Pa a elaciona las dis in as can idades y ope ado es in ínsecos de inidos en las dos a-
iedades necesi a emos la segunda o ma undamen al. Es a se de ine como la aplicación
II : (X, Y )∈X(M)×X(M)7→ II(X, Y )=(˜
∇XY)⊥∈X⊥(M).
P oposición 6.3. La segunda o ma undamen al es simé ica y F(M)-bilineal.
Demos ación. Veamos en p ime luga que la segunda o ma undamen al es simé ica. Pa a
ello conside emos dos campos de ec o es XeYsob e M. En onces:
II(X, Y )−II(Y, X)=(˜
∇XY−˜
∇YX)⊥= ([X, Y ]
∈T M
)⊥= 0.
Pa a es udia la bilinealidad, bas a á con p oba lo pa a una de sus componen es, siguiéndose
po sime ía que la o a componen e ambién es bilineal. Dado que la conexión de Le i-Ci i a es
enso ial sob e la p ime a componen e, II( X, Y ) = ˜
∇ X Y= ˜
∇XY= II(X, Y ), con lo que se
ob iene el esul ado.
La segunda o ma undamen al p opo ciona la componen e no mal de ˜
∇XY. A con inuación
conside amos la componen e angencial, que coincidi á con la conexión de Le i-Ci i a de la
sub a iedad.
Teo ema 6.4 (Fó mula de Gauss).Sea (˜
M, ˜g)una a iedad de Riemann, (M, g)una sub a iedad
de Riemann de ˜
M. Dados dos campos de ec o es X, Y ∈X(M)se e i ica que
˜
∇XY=∇XY+ II(X, Y ).
Demos ación. Po lo an o, bas a á con comp oba que la componen e angen e a Mde ˜
∇XY
coincide con ∇XY. G acias a la unicidad de la conexión de Le i-Ci i a, bas a á con comp oba
que la aplicación ˜
∇⊤de inida como
˜
∇⊤:X(M)×X(M)−→ X(M)
(X, Y )7−→ ˜
∇⊤(X, Y )=(˜
∇XY)⊤= ( ˜
∇˜
X˜
Y)⊤
M,
39
es una conexión sob e Msimé ica y compa ible con g. E aluando siemp e en pun os de Mes
ácil comp oba que ˜
∇⊤ e i ica las p opiedades de las conexiones. Dado que
˜
∇⊤
XY−˜
∇⊤
YX= ( ˜
∇XY−˜
∇YX)⊤= [X, Y ]
∈T M
⊤= [X, Y ],
en onces la conexión es simé ica. Y inalmen e se comp ueba que es compa ible con la mé ica
g. Conside ando X, Y, Z ∈X(M),
Xg(Y, Z) = ˜g(˜
∇XY, Z) + ˜g(Y, ˜
∇XZ)
=
Y,Z∈X(M)g(( ˜
∇XY)⊤, Z) + g(Y, (˜
∇XZ)⊤) = g(˜
∇⊤
XY, Z) + g(Y, ˜
∇⊤
XZ).
A pa i de la ó mula de Gauss se sigue la in e p e ación di ec a de que la segunda o ma
undamen al no es más que una medida de la di e encia en e la conexión de Riemann in ínseca
en My la conexión de Riemann de la a iedad ambien e. Ve emos a con inuación que se i á pa a
elaciona los enso es de cu a u a de My˜
M, po lo que ambién pa icipa á en la cuan i icación
de sus di e encias.
Has a aho a solo hemos conside ado campos de ec o es angen es a la sub a iedad M. Es u-
dia emos a con inuación la de i ada co a ian e de campos de ec o es no males a la sub a iedad
espec o a campos de ec o es angen es. Sea U∈X⊥(M)un campo de ec o es no mal a M. Si
Y∈X(M), en onces ˜g(U, Y )=0en odos los pun os p∈M. Sin emba go, la de i ada co a ian e
de un campo de ec o es se puede descompone en una componen e no mal y o a angencial a
la sub a iedad, po lo que dado o o campo de ec o es X∈X(M),˜g(˜
∇XU, Y )se á en gene al
no nulo.
Teo ema 6.5 (Ecuación de Weinga en).Dados X, Y ∈X(M), U ∈X⊥(M), que pueden se
ex endidos de o ma a bi a ia a la a iedad ambien e ˜
M, en onces pa a cualquie pun o de M
˜g(˜
∇XU, Y ) = −˜g(II(X, Y ), U).
La demos ación se sigue de o ma inmedia a de la compa ibilidad de la mé ica y la conexión
de Le i Ci i a. Bas a conside a ˜
X, ˜
Y , ˜
U∈X(˜
M)ex ensiones a la a iedad ambien e de los
campos X, Y yU. Dada la compa ibilidad de la conexión de Le i-Ci i a y la mé ica ˜gde ˜
M,
se iene ˜
X˜g(˜
Y , ˜
U) = ˜g(˜
∇˜
X˜
Y , ˜
U) + ˜g(˜
Y , ˜
∇˜
X˜
U).
Al es ingi nos a la sub a iedad M:X
: 0
˜g(˜
Y , ˜
U)|M= ˜g(˜
∇XY, U) + ˜g(Y, ˜
∇XU).
En onces se llega a la ecuación de Weinga en: ˜g(˜
∇XU, Y ) = ˜g(II(X, Y ), U) = −˜g(II(X, Y ), U).
Podemos aho a elaciona los enso es de cu a u a de inidos en la a iedad ambien e ˜
My
la sub a iedad Ma pa i de la llamada ecuación de Gauss.
Teo ema 6.6 (Ecuación de Gauss).Dados X, Y, Z, T ∈X(M)campos de ec o es angen es a
M, se e i ica:
˜
R(X, Y, Z, T) = R(X, Y, Z, T )−˜g(II(X, T),II(Y, Z)) + ˜g(II(X, Z),II(Y, T)).
40 6. Sub a iedades
Demos ación. Deno emos indis in amen e po X, Y, Z, T a los campos de ec o es angen es a
My a cualquie ex ensión de los mismos al espacio ambien e.
˜
R(X, Y, Z, T) = ˜g(˜
∇X˜
∇YZ−˜
∇Y˜
∇XZ−˜
∇[X,Y ]Z, W)
= ˜g˜
∇X(∇YZ+ II(Y, Z)) −˜
∇Y(∇XZ+ II(X, Z)) −(∇[X,Y ]Z+ II([X, Y ], Z)), T
=g(∇X∇YZ, T)−˜g(˜
∇X(II(Y, Z)), T)−g(∇Y∇XZ, T)
−˜g(˜
∇Y(II(X, Z)), T )−g(∇[X,Y ]Z, T)
=R(X, Y, Z, T )−g(II(X, T),II(Y, Z)) + g(II(Y, T),II(X, Z)).
Ejemplo 6.7. Como aplicación de los esul ados is os has a el momen o podemos conside a
el caso pa icula de una hipe supe icie Men Rn. Sea N∈X⊥(M)un campo de ec o es
uni a io o ogonal a M ijado. Po se uni a io ˜g(N, N) = 1, pa a cualquie campo de ec o es
X∈X(M)se iene 0 = X˜g(N, N) = 2˜g(˜
∇XN, N), y po an o, ˜
∇XN= ( ˜
∇XN)⊤. Se de ine el
ope ado de con igu ación como el campo de enso es de ipo (1,1) sob e Mde e minado po
X∈X(M)7→ s(X) = −˜
∇XN. U ilizando la ecuación de Weinga en, se iene que el ope ado
con igu ación es au oadjun o:
g(s(X), Y ) = −g(˜
∇XN, Y ) = ˜g(II(X, Y ), N) = ˜g(II(Y, X), N) = −g(˜
∇YN, X) = g(X, s(Y)).
Consecuen emen e, como Mes una hipe supe icie, la dimensión del espacio angen e es
n−1, luego II(X, Y ) = ˜g(II(X, Y ), N)N. Podemos de ini a pa i de es a condición un campo
de enso es de ipo (0,2) sob e M h(X, Y ) = ˜g(II(X, Y ), N) = −˜g(˜
∇XN, Y ) = ˜g(s(X), Y ), que
es equi alen e a la segunda o ma undamen al.
Si aho a pa icula izamos a una supe icie Sen R3pod emos ob ene el eo ema Eg egium de
Gauss, que es ablece que la cu a u a de Gauss de una supe icie es in a ian e bajo isome ías.
Teo ema 6.8. Dada una supe icie egula Sde R3, la cu a u a de Gauss en un pun o p∈M
coincide con la cu a u a seccional del plano TpM, y po lo an o:
Kp=R(u1, u2, u2, u1)
R0(u1, u2, u2, u1),
pa a una base cualquie a {u1, u2}de TpM.
Demos ación. Fijado un campo de ec o es Nno mal a S, hemos is o que el ope ado con-
igu ación es un (1,1)-campo de enso es au oadjun o, po lo que, pa a cada pun o p∈M,s
diagonaliza en una base o ono mal de TpM. Deno emos po λ1, λ2los dos au o alo es eales de
s espec o a una base o ono mal {E1, E2}. De la ecuación de Gauss, pa a el caso pa icula de
R3y la mé ica usual, enemos que:
0 = ˜
R(E1, E2, E2, E1)
=R(E1, E2, E2, E1)−g(II(E1, E1),II(E2, E2)) + g(II(E1, E2),II(E2, E1))
=R(E1, E2, E2, E1)−λ1λ2,
(6.1)
41
de donde se sigue que
Kp(TpM) = R(E1, E2, E2, E1)
R0(E1, E2, E2, E1)
| {z }
=1
=R(E1, E2, E2, E1) = λ1λ2= de (s).
Po lo an o, la cu a u a de Gauss se conse a á a a és de isome ías.
Como co ola io de es e ejemplo, y eniendo en cuen a la de inición de cu a u a escala y su
elación con la cu a u a seccional, se sigue que en supe icies en R3la cu a u a escala es el
doble que la cu a u a de Gauss.
Ejemplo 6.9. Va iedades con cu a u a seccional cons an e posi i a: la es e a de adio R.
Sn(R)puede ob ene se como la imagen in e sa del alo egula Rde la unción :Rn→R,
(x) = x2
1+. . . +x2
n. Po lo an o, un ec o no mal a Sn(R)uni a io es N=1
2R∇ . Además,
Hess( )=2g. En onces, si conside amos dos campos de ec o es X, Y ∈X(Sn(R)), enemos:
II(X, Y ) = 1
2R⟨∇X∇ , Y ⟩N=1
2RHess( )(X, Y )N=1
Rg(X, Y )N.
Po lo an o,
R(X, Y, Z, T ) = ⟨II(X, T),II(Y, Z)⟩−⟨II(X, Z),II(Y, T)⟩=1
R2R0(X, Y, Z, T ).
Teniendo en cuen a los esul ados 5.11 y 6.8 concluimos que la cu a u a de Gauss de la es e a
de adio R es cons an e e igual a 1
R2.
Ejemplo 6.10. Va iedades con cu a u a seccional cons an e nega i a: el modelo del hipe boloide
del espacio hipe bólico.
La mé ica de inida en el espacio de Minkowski iene dada po po el p oduc o escala
g0(x, x) = (x1)2+. . . + (xn)2−(xn+1)2. Es a mé ica no es una mé ica de Riemann, pues no es
de inida posi i a. Se de inen así los ec o es empo ales (g0(x, x)<0) y espaciales (g0(x, x)>0),
siendo los ec o es con g0(x, x)=0 el cono de luz. El espacio hipe bólico de adio R > 0se de-
ine como Hn(R) = {x ∈Ln+1 ales que g0(x, x) = −R2, xn+1 >0}, es deci como la imagen
ecíp oca de −R2pa a la aplicación :Ln+1 →R, (x) = x2
1+. . . +x2
n−x2
n+1.
Realizamos aho a un a gumen o análogo al de la es e a pa a ob ene la cu a u a de Hn(R).
En p ime luga , calculemos el g adien e de .
d =∂
∂xidxi= 2x1dx1+. . . + 2xndxn−2xn+1dxn+1,
∇ (x) = ♯d (x) = d kgkl∂l(x)=2x1∂1+. . . + 2xn∂n−(−2xn+1)∂n+1 = 2x.
En onces g(∇ , ∇ ) = 4g(x, x) = −4R2, lo que nos pe mi e de ini un campo de ec o es
no mal a Hn(R)y uni a io como N=1
2R∇ ,∥N∥=−1. A pa i de es e campo de ec o es
no mal al espacio hipe bólico podemos e que la mé ica ι∗g0ob enida al es ingi la mé ica
48 7. Va iedades de Eins ein
no males de á ea.
0 = d
d | =0 ZQqde (g[ ]ij)du1du2=ZQ
d
d | =0qde (g[ ]ij)du1du2
=ZQ
1
2pde (gij)
d
d | =0 de (g[ ]ij)du1du2
=ZQ
1
2pde (gij)dg[ ]11
d | =0g22 +g11
dg[ ]22
d | =0 −2g12
dg[ ]12
d | =0du1du2
=ZQ
1
pde (gij)(−2hLijg22 −2hL22g11 −4hL12g12)du1du2
=ZQ−h
de (gij)(L11g22 +L22g11 −2L12g12)qde (gij)du1du2
=
eq (7.5) −ZQ
2hHqde (gij)du1du2.
Bas a á con conside a aho a como unción a bi a ia hla cu a u a media H, lo que implica ía
que una supe icie se á minimal si, y solo si, H≡0.
En conclusión, si conside amos −2Hcomo el g adien e del uncional de á ea, en onces la su-
pe icie dada po la pa ame ización
x
es minimal si, y solo si, el uncional de á ea es es aciona io,
es deci , H≡0.
De inición 7.11. Dada una a iedad de Riemann (M, g)compac a y o ien ada, con elemen o
de olumen dVg=pde (gij)dx1∧···∧dxn, se de ine el uncional de Hilbe -Eins ein como
el uncional Sque asocia a cada mé ica de Riemann su cu a u a escala o al:
S:M −→ R
g7−→ Sg=ZM
τgdVg,
donde Mdeno a odas las posibles mé icas de Riemann sob e la a iedad M.
De inición 7.12. Fijada una mé ica gsob e una a iedad Mse de ine una a iación de la
mé ica en la di ección hsegún el pa áme o como
g[ ] := g+ h,
donde hes un campo de enso es simé ico de ipo (0,2) y es un pa áme o eal.
Obse ación 7.13.Como la ma iz asociada a la mé ica de Riemann de inida sob e una a iedad
en una base o ono mal es la iden idad, se iene que, pa a alo es de su icien emen e pequeños,
la a iación de la mé ica es á bien de inida y g[ ]es no degene ada.
De inición 7.14. Sea g[ ] = g+ h una a iación de la mé ica sob e M. Deno a emos po δS( )
a la de i ada di eccional de Sen la di ección de h, es deci :
δS( ) = d
d S(g+ h).

7.1. El uncional de Hilbe -Eins ein 49
Ejemplo 7.15. Si la a iedad de Riemann M iene dimensión 2, en onces, po el eo ema
de Gauss-Bonne , la cu a u a o al escala se á cons an e e igual a 4πχ(M), con χ(M)la
ca ac e ís ica de Eule de M. Po lo an o, sea cual sea la a iación que conside emos de la
mé ica, la cu a u a escala o al segui á siendo la misma y cons an e, po lo que odas las
mé icas son pun os c í icos del uncional de Hilbe -Eins ein.
Pa a pode esol e el p oblema a iacional p esen ado, necesi amos en p ime luga ob ene
una exp esión del mismo. Pa a ello comenzamos calculando la de i ada con espec o al pa áme o
del elemen o de olumen.
Lema 7.16. Dada la mé ica g[ ] = g+ h y su elemen o de olumen asociado dV [ ], se e i ica
que:
d
d  =0
dV [ ] = 1
2 g(h)dVg.
Demos ación. La demos ación pa a el caso de dimensión 2 se ha is o en el Ejemplo 7.10.
Pa a el caso n≥3conside emos inicialmen e una ma iz cuad ada de dimensión n×n,A,
con coe icien es aij. Deno emos po Aij a los meno es de A esul an es de la eliminación de
la i-ésima ila y la j-ésima columna. En onces la ma iz de adjun os de A iene po elemen os
adj A= (−1)i+jde Aij. Po o o lado, la elación en e la ma iz in e sa de Ay la ma iz de
adjun os es (adj A) = de AA−1. Po lo an o: de A=Pn
i,j=1(−1)i+jaij de Aij. Si conside amos
los coe icien es de la ma iz Acomo a iables enemos que
∂de A
∂aij
= (−1)i+jde Aij = (adjA)ij = de AA−1
ji .
Vol amos aho a al cálculo de la de i ada del di e encial de olumen: dV [ ] = pde g[ ]dx1∧ ···∧dxn.
d
d pde g[ ] = 1
2pde g[ ]
d
d de g[ ] = 1
2pde g[ ]
∂de g[ ]
∂g[ ]ij
| {z }
de g (g[ ])−1
ji
∂g[ ]ij
∂
| {z }
hij
.
En onces d
d | =0 pde g[ ] = 1
2√de gde ggjihij =1
2√de g g(h), y po lo an o
d
d  =0
dV [ ] = d√de g
d  =0
dx1∧···∧dxn=1
2 g(h)pde gdx1∧···∧dxn=1
2 g(h)dVg.
Pa a simpli ica la no ación de inimos a con inuación el p oduc o escala de dos enso es.
Empeza emos po su de inición en el ni el algeb aico pasando a con inuación a su ex ensión a
a iedades de Riemann.
De inición 7.17. Sea Vun espacio ec o ial sob e el que se ha de inido un p oduc o escala
⟨·,·⟩, con ma iz asociada g, y sea {ei}iuna base o ono mal de V. Dados dos enso es de ipo
50 7. Va iedades de Eins ein
(0,2) simé icos T=Tijei⊗ejyS=Sijei⊗ejsob e V, de inimos el p oduc o escala de T
yScomo:
⟨T, S⟩=TαβSαβ =TαβSijgiαgjβ.
Como caso pa icula de in e és del p oduc o escala de dos enso es ipo (0,2) simé icos
des acamos
⟨T, g⟩=Tijgij = gT.
Pa a el caso de a iedades de Riemann (M, g), podemos de ini un p oduc o escala de dos campos
de enso es de ipo (0,2) simé icos conside ando su e aluación en los pun os de la a iedad.
Pa a el elemen o de olumen dVgde inido sob e M, podemos de ini p oduc os escala es sob e la
a iedad en los cuales es én in oluc ados in eg ales. Pa a la siguien e de inición eco demos que
hemos deno ado po Tk
ℓ(M)al ib ado de (ℓ,k)- enso es sob e la a iedad M.
De inición 7.18. Dada una a iedad de Riemann (M, g)compac a de inimos:
⟪·,·⟫:T2
0(M)×T2
0(M)−→ R
(T, S)7−→ ⟪T, S⟫=ZM⟨T, S⟩dVg.
En la de inición an e io , conside ando una e e encia local o ono mal {E1, . . . , En} enemos
⟪T, S⟫=RMPi,j T(Ei, Ej)S(Ej, Ei)dVg, es deci , pa a una e e encia o ono mal, el p oduc o
in e no en la De inición 7.18 no es más que la in eg al de la aza o al del enso ipo (2,2)
de e minado po T⊗ˆ
S, donde ˆ
Ses el campo de enso es ipo (2,0) mé icamen e equi alen e a
S. Además, dado que el p oduc o escala es de inido posi i o, ⟪T, S⟫≥0.
A pa i del p oduc o escala obse amos que pa a aquellas a iaciones g+ h que man engan
el olumen cons an e, d
d  =0 RMdV [ ]=0:
0 = d
d  =0 ZM
dV [ ] = ZM
d
d  =0
dV [ ] = ZM⟨h, g⟩dVg=⟪h, g⟫.
Es deci , la mé ica y el enso hson o ogonales como campos de enso es.
Usando la no ación in oducida po el p oduc o escala , p ocedemos inalmen e al cálculo de
las a iaciones del uncional de Hilbe -Eins ein.
Teo ema 7.19 (Va iación de la cu a u a escala o al).Dada una a iedad di e enciable com-
pac a y o ien able My dada g[ ] = g+ h una a iación de la mé ica gsob e M, se iene
que:
d
d  =0
S(g[ ]) = ⟪τ
2g−ρ, h⟫
7.1. El uncional de Hilbe -Eins ein 51
Demos ación. Pa a la demos ación de es e esul ado, además del eo ema de la di e gencia,
usa emos las p opiedades de las coo denadas no males, en pa icula , las enunciadas en la P o-
posición 4.13. Fija emos un pun o p∈My deno a emos po (x1, . . . , xn)un sis ema de coo -
denadas no males cen adas en p. En es e caso, Γk
ij(p)=0y∂igjk(p)=0, pa a cualesquie a
i, j, k = 1, . . . , n. Los cálculos que se ealiza án a con inuación se en ende án locales, es deci ,
e aluados en el pun o p.
Necesi a emos la exp esión de d
d g[ ]ij. Pa i emos del hecho de que g[ ]ilg[ ]jl =δj
i. En onces:
0 = d
d g[ ]ilg[ ]jl = ( d
d g[ ]il)g[ ]jl +g[ ]il(d
d g[ ]jl).
Po de inición de g[ ] = g+ h, enemos que, 0 = hilg[ ]jl +g[ ]il(d
d g[ ]jl). Mul iplicando po
g[ ]ij, se iene
0 = d
d g[ ]klg[ ]ikg[ ]ij +g[ ]klhikg[ ]ij =d
d g[ ]klδj
k+g[ ]klhikg[ ]ij =d
d g[ ]jl +g[ ]klg[ ]ijhik.
Como consecuencia, e aluando en = 0,
d
d gjl =−gklgijhik =−hlj.
Debemos de ob ene la de i ada del uncional de Eins ein, y po lo an o, necesi amos la de i ada
de la cu a u a escala , pues ya hemos ob enido la de i ada de dV [ ]en el Lema 7.16. Pa a
ello comenzamos ob eniendo la de i ada empo al de los símbolos de Ch is o el. Dado que las
p ime as de i adas de la mé ica se anulan en py
d
d | =0 ∂ig[ ]jl =∂ihjl = (∇ih)(∂j, ∂l) = ∂ihjl −h(∇i∂j, ∂l)−h(∂j,∇i∂l) = ∂ihjl,
se sigue:
d
d  =0
Γ[ ]k
ij =d
d  =0 g[ ]kl
2(∂ig[ ]jl +∂jg[ ]il −∂lg[ ]ij)
=1
2
d
d | =0 g[ ]kl(∂igjl +∂jgil −∂lgij) + 1
2gkl d
d | =0 (∂ig[ ]jl +∂jg[ ]il −∂lg[ ]ij)
=1
2gkl ((∇ih)jl + (∇jh)il −(∇lh)ij).
Además:
R(∂i, ∂j)∂k=∇i∇j∂k−∇j∇i∂k=∇iΓl
jk∂l−∇jΓl
ik∂l
=∂iΓl
jk∂l+ Γl
jk∇i∂l−∂lΓl
ik∂l−Γl
ik∇j∂l={Γl
jk −Γl
ik}∂l,
con lo que se iene que Rl
ijk =∂iΓl
jk −∂jΓl
ik.Pa a calcula su de i ada empo al deno ando con
X, Y, Z, V campos de ec o es ob enidos como combinaciones lineales de los campos coo denados
co espondien es a un sis ema de coo denadas no males cen ado en p, y e aluando en el pun o
p, se sigue:
(∇2h)(X, Y ;Z, V )=(∇V(∇Zh))(X, Y )
=∇V(∇h)(X, Y ;Z)−∇h(∇VX, Y ;Z)−∇h(X, ∇VY;Z)−∇h(X, Y ;∇VZ)
=∇V(∇Zh)(X, Y )−(∇∇VZh)(X, Y )−(∇Zh)(∇VX, Y )−(∇Zh)(X, ∇VY)
=∇V{∇Zh(X, Y )−h(∇ZX, Y )−h(X, ∇ZY)},
52 7. Va iedades de Eins ein
de donde se sigue que (∇2h)(∂i, ∂j;∂k, ∂l) = ∂k∂lhij.En onces:
d
d  =0
R[ ]l
ijk =d
d ∂iΓl
jk −d
d ∂jΓl
ik
=1
2∂iglp {(∇jh)kp + (∇kh)jp −(∇ph)jk}− 1
2∂jglp {(∇ih)kp + (∇kh)ip −(∇ph)ik}
=1
2glp ∇2
ijhkp +∇2
ijhjp −∇2
iphjk −∇2
jihkp −∇2
jkhip +∇2
jphik.
Calcula emos aho a la de i ada empo al de las componen es enso de Ricci:
d
d  =0
ρ[ ]ik =d
d  =0
Rq
qik =1
2gqp ∇2
qihkp +∇2
qkhip −∇2
qphik −∇2
iqhkp −∇2
ikhqp +∇2
iphqk
=1
2gpq −∇2
ikhpq +∇2
qkhip −∇2
pqhik +∇2
qihpk.
Finalmen e, podemos ob ene la exp esión de la de i ada empo al de la cu a u a escala e-
niendo en cuen a que, pa a una aplicación ∈F(M), se iene que en coo denadas no males y
e aluando en el pun o p,△ = g(Hess( )) = gik Hess( )ik =gik(∂2
∂i∂j−Γk
ij∂k ) = gik∇2
ij ,
d
d  =0
τ[ ] = ρik(d
d  =0
g[ ]ki)+( d
d  =0
ρ[ ]ik)gki
=−ρikhik +1
2gikgpq −∇2
ikhpq +∇2
qkhip −∇2
pqhik +∇2
qihpk
=−⟨ρ, h⟩+ di 1di 2h−gikgp1∇2
ikhpq =−⟨h, ρ⟩+ di 1di 2h−∆ gh,
en donde hemos señalado el a gumen o en el cual se ealiza la con acción en el enso hen el
cálculo de la di e gencia.
Pa a calcula la de i ada del uncional de Hilbe -Eins ein, bas a á in eg a las exp esiones
ob enidas has a el momen o, pa a lo que usa emos el eo ema de la di e gencia:
d
d  =0 ZM
τ[ ]dV [ ] = ZM
d
d  =0
τ[ ]dVg+ZM
τ[ ]d
d  =0
dV [ ]
=ZM{−⟨ρ, h⟩−∆ gh+ di 1di 2h}dVg+ZM
1
2τ⟨h, g⟩dVg
=ZM⟨−ρ+τ
2g, h⟩dVg=⟪−ρ+τ
2g, h⟫.
Aho a que hemos ob enido la exp esión pa a las a iaciones del uncional de Hilbe -Eins ein
ya es amos en disposición de sabe cuáles son los pun os c í icos de dicho uncional. En pa icula ,
end emos que una a iedad de Riemann (M, g)es S-c í ica si d
d  =0 S(g[ ]) = 0, pa a cualquie
a iación de g, es deci , pa a cualquie h. Es o ocu e si, y solo si, ⟪ρ−τ
2g, h⟫= 0,∀h∈T2
0(M)sim,
es deci , si, y solo si, ρ−τ
2g= 0.
Hemos is o que pa a a iedades de dimensión 2, es o siemp e se cumple, po lo que no podemos
dis ingui aquellas mé icas que sean óp imas.
7.1. El uncional de Hilbe -Eins ein 53
Pa a el caso de a iedades con dimensión mayo que 2,
τ= gρ= τ
2g=τ
2 gg=τ
2n,
de donde se sigue que τ=τ
2ny po lo an o (n−2)τ= 0. Como, po hipó esis, n > 2,
necesa iamen e τ= 0, lo cual implica ía que ρ= 0 y se dice que la a iedad (M,g) es Ricci llana.
Además del p opio esul ado ma emá ico al que hemos llegado, exis en p o undas consecuen-
cias ísicas asociadas al mismo. Pa a en ende la aplicación del enso de Eins ein ρ−τ
2gen
campos como la Rela i idad Gene al debemos eco da en p ime luga el caso pa icula new-
oniano de la ecuación de Poisson. La ecuación de Poisson es una ecuación elíp ica en de i adas
pa ciales usada en di e sos campos de la ísica y oma la o ma ∇·g=−4πGρ en el ámbi o de
la g a edad new oniana, elacionando de es a o ma el campo g a i a o io gy la densidad ρde
un obje o masi o. Si además el campo g a i acional es conse a i o, de i a á de un po encial ϕ,
y la ecuación de Poisson esul a ∇2ϕ=−4πGρ .
Con es a idea, Eins ein in en ó comp ende la g a edad new oniana den o del ma co de
de Rela i idad Gene al, po lo que se hacía necesa io encon a una ecuación di e encial que
elaciona a el enso de ene gía de la ma e ia y la mé ica del espacio. Dado que la ecuación de
Poisson de la g a edad new oniana depende de las segundas de i adas del po encial ϕ, el enso
de i ado de la mé ica debe ía con ene solamen e de i adas segundas de gµν, su di e gencia
debe ía se nula, y la dependencia con las de i adas segundas debe ía se lineal. Es pues el enso
de Eins ein es udiado has a el momen o el candida o pe ec o.
De es a discusión, pa a el caso del Uni e so egido po la mé ica de Lo en z ds2=c2d 2−d 2,
d 2=dx2+dy2+dz2, esul an las Ecuaciones de campo de Eins ein:G=ρ−τ
2g=T, donde
Tes el enso de ene gía-momen o con eniendo oda la in o mación de la densidad de ene gía
y momen o del sis ema. La mé ica de la a iedad se in e p e a como el po encial g a i acional
de la ma e ia. En el Teo ema 7.19 hemos is o que las a iedades que minimizan el enso de
cu a u a o al son aquellas con G=ρ−τ
2g= 0, es deci , el caso de a iedades Ricci llanas
donde el enso de ene gía-momen o es nulo, el acío. Es os espacios son denominados espacios
de Eins ein especiales.
Pa a ob ene pun os c í icos dis in os de las mé icas Ricci llanas debemos es ingi el un-
cional de Eins ein. Has a aho a hemos conside ados odas las a iaciones de la mé ica gposibles,
independien emen e de los cambios en el olumen de la a iedad asociados. A con inuación nos
es ingi emos a a iaciones de la mé ica pa a las cuales el olumen o al no cambia, lo que im-
plica que pasa emos de un p oblema a iacional a un p oblema de mul iplicado es de Lag ange.
Teo ema 7.20. Sea (M, g)una a iedad de Riemann compac a de dimensión n≥3yg[ ] =
g+ h una a iación de la mé ica gde o ma que Vol(M, g[ ]) = RMdV [ ]es cons an e. En onces
d
d  =0 S(g[ ]) = 0 si y solo si (M, g)es una a iedad de Eins ein.
Demos ación. Tenemos que p oba que la es icción de Sal subconjun o M0⊂ M de mé icas

54 7. Va iedades de Eins ein
con olumen cons an e iene un pun o c í ico condicionado en las a iedades de Eins ein. Como
el olumen es cons an e ⟪h, g⟫= 0.En onces, en el Teo ema 7.19,
0 = d
d | 0
S(g[ ]) = ⟪τ
2g−ρ, h⟫,
pa a odo campo de enso es ho ogonal a g. Así pues se iene que el enso de Eins ein τ
2g−ρ
ha de se un múl iplo del enso mé ico: τ
2g−ρ=λg pa a alguna unción λ:M→R. Tomando
azas se sigue que ρ=τ
ng, en onces ρ=λ+τ
2g, lo que mues a que (M, g)es una a iedad
de Eins ein.
Siguiendo la aplicación di ec a a la Rela i idad Gene al is a pa a el caso sin es iccio-
nes, el hecho de que las a iedades de Eins ein sean c í icas pa a el uncional es ingido iene
implicaciones impo an es.
An e las incompa ibilidades de ec adas en e las obse aciones del Uni e so y las Ecuaciones
de campo de Eins ein, Eins ein in odujo un é mino a mayo es sin da explicación de su signi i-
cado, pe o que e a necesa io pa a que las obse aciones y la eo ía coincidiesen. Es e é mino es
Λg, donde Λes la llamada cons an e cosmológica, y a día de hoy, sigue sin sabe se qué ep esen a
exac amen e. Las ecuaciones de campo con cons an e cosmológica esul an
ρ−τ
2g+ Λg=T.
En onces, pa a el caso de un espacio acío, T= 0, ob enemos que ρ=τ
2g−Λg, es deci , la
cons an e cosmológica es el coe icien e de Lag ange del p oblema a iacional con es icciones
que acabamos de esol e . Tomando azas a ambos lados, y eniendo en cuen a que es amos en
una a iedad de dimensión 4 (espacio- iempo) esul a
τ= 4τ
2−4Λ ⇒Λ = τ
4.
Es o implica que la cons an e cosmológica es á acoplada a la mé ica, especí icamen e con la cu -
a u a escala . Aunque la cu a u a escala es cua o eces mayo que la cons an e cosmológica,
llama la a ención que un obje o que an es no es ábamos conside ando con ibuye a la cu a u a
del Uni e so.
La cons an e cosmológica ue in oducida p incipalmen e pa a e i a el colapso del Uni e so
que se de i aba de los modelos es é icos que solo conside aban ma e ia y adiación. Es a cons an e
se i ía pa a con a es a pa e de la ue za de g a edad pe o como no exis ían p uebas expe-
imen ales ni obse aciones de la misma en la época, se dedujo que debe ía se su icien emen e
pequeña como pa a se inde ec able.
T as el análisis de dis in os modelos en los que se in oluc aba la cons an e cosmológica, se
obse ó que la densidad de ene gía asociada a la cons an e cosmológica pe mi ía la conse ación
de la densidad de ene gía o al en el uni e so, po lo que se le denominó ene gía de acío.
7.1. El uncional de Hilbe -Eins ein 55
Ac ualmen e se asocia la cons an e cosmológica a la ene gía oscu a (di e en e a la ma e ia oscu a)
y según el modelo “Benchma k” del Uni e so, que es el que mejo se ajus a a las obse aciones,
co esponde con el 68% de su con enido. La ma e ia ba iónica, de la cual es amos o mados
noso os y las es ellas, es solamen e el 4 % del Uni e so.
56 7. Va iedades de Eins ein
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