Curvatura de Ricci y Ecuaciones de Einstein

Traballo Fin de Grao Curvatura de Ricci y Ecuaciones de Einstein María Eugenia Gil Pallares Julio, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Curvatura de Ricci y Ecuaciones de Einstein María Eugenia Gil Pallares Julio, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Xeometría e Topoloxía, Departamento de Matemáticas Título: Curvatura de Ricci y Ecuaciones de Einstein Breve descrición do contido El objetivo del trabajo es inicial el estudio de la geometría Riemanniana y de Lorentz desde el punto de vista de la curvatura. Se dedicará especial atención al tensor de Ricci y las métricas de Einstein como puntos críticos del funcional curvatura escalar total, lo que da lugar a la ecuación de Einstein para espacio-tiempos de dimensión cuatro. Recomendacións Cursar la asignatura Variedades diferenciables, correspondiente al grado en Matemáticas. Outras observacións El TFG propuesto está claramente relacionado con la Relatividad General, desde un punto de vista matemático. iii Índice Resumen viii Introducción xi 1. Conceptos previos y notación 1 1.1. Tensores en espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Métricas de Riemann 5 3. Conexiones 9 3.1. Motivación ....................................... 9 3.2. Conexiones ....................................... 10 3.3. Campos de vectores a lo largo de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3.1. Derivadas covariantes a lo largo de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.4. Derivada covariante y campos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.5. Transporteparalelo................................... 15 3.6. Torsión de la derivada covariante: conexiones simétricas . . . . . . . . . . . . . . 19 3.7. ConexióndeLevi-Civita................................ 19 4. Geodésicas y la aplicación exponencial 25 4.1. Geodésicas........................................ 25 4.2. La aplicación exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 v vi ÍNDICE 4.2.1. Coordenadas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5. Curvatura 31 5.1. Propiedades del tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6. Subvariedades 37 7. Variedades de Einstein 43 7.1. El funcional de Hilbert-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Bibliografía 57 xiv INTRODUCCIÓN Capítulo 1 Conceptos previos y notación Este primer capítulo introductorio servirá para fijar la notación a utilizar en el resto del trabajo y revisar conceptos básicos de geometría diferencial y álgebra tratados en asignaturas del grado. Las demostraciones de los resultados enunciados en este capítulo, así como la profundización en cada uno de los conceptos puede ser consultadas en [5], [7] o [8]. 1.1. Tensores en espacios vectoriales Los campos de tensores son una herramienta fundamental en la geometría diferencial. Mientras que para el cómputo de otros operadores, como las derivaciones, no es suficiente con conocer su valor en un punto dado, los tensores quedan determinados por su valor en un cierto punto y la evaluación de cantidades previamente conocidas en dicho punto. En este trabajo usaremos de forma continuada tensores y campos de tensores sobre variedades, como serán los campos de vectores, la métrica de Riemann y los tensores de curvatura entre otros. Definición 1.1. Dado un espacio vectorial Vde dimensión finita, denotaremos como V∗su espacio dual. Definimos un tensor k-covariante y ℓ-contravariante como una aplicación multilineal F:V∗×ℓ . . . ×V∗×V×k . . . ×V→R. Notación 1.2.Un tensor k-covariante y ℓ-contravariante también se denotará por tensor (ℓ, k)o (ℓ, k)-tensor. El espacio de todos los (ℓ, k)-tensores sobre el espacio vectorial Vse denotará por Tk ℓ(V), y se toma T0(V) = R. Definición 1.3. Dados dos tensores F∈Tk ℓ(V), G ∈Tr s(V), se define el producto tensorial de ambos como el tensor de tipo k+r,ℓ+sdeterminado por: F⊗G(ω1, . . . , ωℓ+s, Y1, . . . , Yk+r) = F(ω1, . . . , ωℓ, Y1, . . . , Yk)G(ωℓ+1, . . . , ωℓ+s, Yk+1, . . . , Yk+r), para cualesquiera ω1, . . . , ωℓ+s∈V∗yY1, . . . , Yk+r∈V. 1 2 1. Conceptos previos y notación Dada una base {e1, . . . , en}del espacio vectorial V, y su correspondiente base dual {η1, . . . , ηn} de V∗, podemos expresar cualquier tensor F∈Tk ℓ(V), usando el convenio de Einstein, como: F=Fi1...ik j1...jℓej1⊗···⊗ejℓ⊗ηi1⊗···⊗ηik. 1.2. Variedades diferenciables A continuación recordaremos los conceptos básicos de las variedades diferenciables que constituirán la base sobre la cual trabajaremos. Las variedades diferenciables se corresponden con los pares de la forma (M, [A]∞), o simplemente M, donde Mes un espacio topológico Hausdorff y localmente euclidiano, y [A]∞ es una estructura diferenciable sobre M. Asumiremos para lo que resta que todas las variedades serán además paracompactas, segundo numerables y conexas. Denotaremos por F(M)al conjunto de funciones diferenciables de una variedad Men R: F(M) = {f:M→R:fes diferenciable C∞}. Una función F:M→Nentre variedades diferenciables se dirá que es diferenciable si existe una expresión local de Fen cada punto de Mque es diferenciable. Equivalentemente, F:M→Nes diferenciable si el pullback preserva el espacio de funciones diferenciables. Es decir, dada f:N→Runa función diferenciable, entonces F∗(f)=(f◦F)es diferenciable. Diremos que una aplicación v:F(M)→Res un vector tangente a la variedad Men psi es lineal, v(f+g) = v(f) + v(g),v(λf) = λv(f), y verifica una regla de Leibnitz para el producto, v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g), para cada f, g ∈F(M)y cada λ∈R. Denotaremos por TpMal espacio tangente a una variedad Men un punto p∈M. Denotaremos por fibrado tangente a la unión disjunta de los espacios tangentes a Men cada uno de sus puntos TM =Fp∈MTpM. Dada una variedad diferenciable M, se define un campo de vectores sobre Mcomo una sección diferenciable de la proyección del fibrado tangente. A lo largo del trabajo necesitaremos en numerosas ocasiones trabajar directamente sobre el espacio tangente a la variedad. Definiremos una referencia local para TM como una base de campos de vectores {E1, . . . , En}localmente definidos de forma que para cada punto p∈Mse tenga que {E1|p, . . . , En|p}es una base de TpM. La diferenciabilidad de un campo de vectores puede ser entendida de forma equivalente en términos de la diferenciabilidad de la sección local del fibrado tangente, de su expresión en coordenadas, o en términos de determinar una derivación en el espacio de funciones diferenciables F(M). Dada una aplicación diferenciable entre dos variedades F:M→N, se define la aplicación 1.2. Variedades diferenciables 3 tangente a Fopushforward en un punto p∈Mcomo F⋆p :TpM→TF(p)N, tal que F∗p(v)(h) = v(h◦F),con v∈TpMyh∈F(N). Se denotará por k-forma sobre una variedad Mcomo una sección diferenciable del fibrado exterior de grado k,ω:p∈M7→ ωp∈Λk(TpM)donde ωpes una k-forma lineal en p(aplicación multilineal y antisimétrica sobre TpM×k . . . ×TpM). Denotaremos con Λk(TM)al espacio de kformas diferenciables sobre M. Además, entenderemos la diferenciabilidad de forma equivalente en el sentido de actuar diferenciablemente sobre campos de vectores. Dadas tres variedades M1,M2yM3, y dos aplicaciones diferenciables F:M17→ M2y G:M27→ M3, entonces, el pullback de Gbajo Fes la aplicación F∗G:M17→ M3definida por F∗G=G◦F. En particular, si tenemos una aplicación diferenciable F:M7→ Nentre variedades, F∗será una aplicación entre los espacios cotangentes F∗:T∗N→T∗Mactuando sobre 1-formas ωsobre Ny definido como (F∗(ω))p(X) = ωF(p)(F∗p)(X). Observación 1.4.Cuando hablemos de diferenciabilidad de una función, a menos que se especifique lo contrario, nos referiremos a C∞. Hablaremos en general de una variedad diferenciable Mde dimensión n∈N. Los abiertos coordenados de la variedad serán denotados como el par (U,(x1, . . . , xn)), siendo la base del espacio tangente a una variedad Men un punto p∈M,∂ ∂x1,..., ∂ ∂xn={∂x1, . . . , ∂xn}={∂1, . . . , ∂n}, y la correspondiente base del espacio dual dx1,...,dxn. Denotamos por fibrado de (ℓ, k)-tensores sobre M a la unión disjunta de los espacios de (ℓ, k)-tensores del espacio vectorial tangente a una variedad Men un punto p: Tk ℓ(M) := G p∈M Tk ℓ(TpM). Un campo de tensores sobre Mes por tanto una sección del fibrado de de tensores Tk ℓM. Los campos de tensores pueden ser caracterizados por el hecho de que una aplicación Ω:Λ1(T M)×ℓ . . . ×Λ1(TM)×X(M)×k . . . ×X(M)→F(M)está inducida por un (ℓ, k)-campo de tensores si y solo si es multilineal sobre F(M). Tanto los campos de vectores como las formas diferenciables pueden entenderse como casos particulares de campos de tensores. Para terminar con este capítulo introduciremos el concepto de forma de volumen e integral sobre una variedad que necesitaremos en la definición de la curvatura escalar total. Dada una variedad diferenciable orientada de dimensión n, una n-forma diferencial ωse dirá que es una forma de volumen de Msi ωp= 0 para cualquier punto pde la variedad. En particular, teniendo en cuenta que la dimensión de Λn(TM)es 1, la clase de equivalencia de ω define una orientación sobre la variedad. Consideremos una variedad diferenciable segundo numerable orientada M, con dimensión n. Sea ωuna forma de volumen sobre My sea f:M→Runa función continua con soporte 4 1. Conceptos previos y notación compacto contenido en un abierto coordenado (U, φ = (x1, . . . , xn)). Sea fdx1∧ ··· ∧ dxnla expresión local de la n-forma fω. Entonces, la integral de fen Mes: ZM f=ZM fω =Zφ(U) f◦φ−1∈R. También presentamos el teorema de Stokes y remitimos a [8] para su demostración y una mayor profundización en la integración en variedades diferenciables. Teorema 1.5 (Teorema de Stokes).Para una variedad diferenciable Msegundo numerable orientada de dimensión ncon frontera ∂M orientada de forma compatible con la variedad, y ωuna (n−1)-forma diferencial sobre Mcon soporte compacto, se verifica RMdω=R∂M ω. Capítulo 2 Métricas de Riemann Una de las ideas principales que motivan el estudio de la geometría de Riemann es que permite explicar todas las cantidades geométricas en una variedad desde un punto de vista intrínseco. De esta forma, se elimina cualquier tipo de dependencia con el espacio ambiente, para tratar problemas que no pueden abordarse fácilmente desde el punto de vista de subvariedades en Rn. Un producto escalar en un espacio vectorial Ves una aplicación ⟨·,·⟩ :V×V→Rbilineal, simétrica y definida positiva. Para superficies en R3la primera forma fundamental daba lugar a un producto escalar en cada espacio tangente a la superficie, simplemente considerando la restricción del producto escalar de R3. En este capítulo estableceremos productos escalares en el espacio tangente a la variedad a partir de una métrica definida en la misma, lo que dará lugar a las variedades de Riemann. Los resultados de este capítulo así como las demostraciones no indicadas, pueden consultarse en [3] o en [8]. Definición 2.1. Una métrica de Riemann sobre una variedad diferenciable Mes un (0,2)- campo de tensores g∈ T2 0(M)sobre Mverificando: (i) Es simétrica: g(X, Y ) = g(Y, X), (ii) Es definida positiva: g(X, X)≥0yg(X, X) = 0 si y solo si X= 0, para cualesquiera campos de vectores X, Y en M. Una métrica de Riemann define un producto escalar en cada uno de los espacios tangentes a M. Denominamos variedad de Riemann al par (M, g)donde Mes una variedad diferenciable yges una métrica de Riemann. La diferenciablidad de la métrica de Riemann puede entenderse equivalentemente mediante su acción sobre campos de vectores o a través de su lectura en coordenadas. A partir de una métrica de Riemann, podemos definir la norma de un vector tangente Xa una variedad Men un punto pcomo ∥X∥=pg(X, X), y el ángulo que forman dos vectores no nulos X, Y ∈TpM 5 6 2. Métricas de Riemann como cos θ=g(X,Y ) ∥X∥∥Y∥, siendo los dos vectores ortonormales si su norma es 1 y forman un ángulo de π 2. Muchas veces necesitaremos restringirnos a subvariedades dentro de una variedad de mayor dimensión, o identificar variedades más abstractas dentro de otras más conocidas. En la siguiente proposición veremos que somos capaces de trasladar las propiedades riemannianas de una variedad a otra, siempre que exista una inmersión entre ellas. En particular, nos permite restringir las características riemannianas de una variedad de Riemann a sus subvariedades. De esta forma podremos estudiar la métrica original pero en un entorno más cómodo o que tiene más interés. Este resultado será de gran ayuda en el Capítulo 6 que versará sobre subvariedades y las propiedades que adquieren por encontrarse en un entorno Riemanniano. Dada una aplicación diferenciable F:M7→ Nentre variedades, se dice que es una inmersión en p∈Msi F∗pes inyectiva. Fes una inmersión si lo es en cada punto. Proposición 2.2. Dadas (M, g)una variedad de Riemann, Nuna variedad diferenciable y F:N→(M, g)una inmersión, entonces F∗ges una métrica de Riemann sobre la variedad N, y(N, F∗g)es una variedad de Riemann. Observación 2.3.En caso trabajar con superficies en (R3, g0), con g0el producto escalar usual, puesto que la inclusión ι:S→R3es una inmersión, el resultado establece que ι∗g0es una métrica en la superficie, y además será la Primera Forma Fundamental de S. Dadas dos variedades de Riemann (M, g)y(˜ M, ˜g)y un difeomorfismo local F:M→˜ M, diremos que Fes una isometría si F∗˜g=g, y en tal caso se dirá que (M, g)y(˜ M, ˜g)son isométricas. Dada una referencia local de TM {E1, . . . , En}y su correspondiente dual {η1, . . . , ηn}, la expresión de local de una métrica de Riemann gsobre la variedad M es: g=gijηi⊗ηj, donde gij =g(Ei, Ej). En particular, en caso de tomar un entorno coordenado podemos escribir: g=gijdxi⊗dxj=gijdxidxj con dxidxj=1 2(dxi⊗dxj+dxj⊗dxi). Teorema 2.4. Toda variedad paracompacta y segundo numerable admite métricas de Riemann. Demostración. Sea {(Uα, φα)}un recubrimiento de M, y sea {fα}la partición de la unidad subordinada al recubrimiento. Denotemos por g0la métrica en Rny construimos, para cada α un tensor simétrico y definido positivo de tipo (0,2) como φ∗ αg0definido en el abierto Uα. Se define g:= Pαfαφ∗ αg0. Este tensor será una métrica sobre M. 7 Por ser φ∗ αg0simétricas para todo α, entonces es claro que gtambién es simétrico. Además, como fα≥0yPαfα= 1, es claro que g(X, X)≥0y, si X= 0 entonces g(X, X) = 0. Finalmente veamos que si g(X, X) = 0 entonces X= 0. Fijado un punto p∈M,g(X, X) = Pαfα(p)g0φα(p)((φα)∗pXp,(φα)∗pXp) = 0. Como existe al menos un αpara el que fα(p)= 0, necesariamente g0φα(p)((φα)∗pXp,(φα)∗pXp) = 0, de donde se sigue que φα(p)Xp= 0, luego por ser φαun difeomorfismo, Xp= 0. Observación 2.5.Dado que toda variedad de dimensión npuede considerarse como subvariedad embebida de R2npor el teorema del embebimiento fuerte de Whitney [14] se obtiene que toda variedad admite una métrica inducida como subvariedad del espacio euclídeo. Más sorprendente aún es el resultado de J. F. Nash [11] que prueba que para cualquier variedad, toda métrica de Riemann es la métrica inducida de un espacio euclídeo de dimensión menor o igual que 1 2n(n+ 1)(3n+ 11). Estos resultados están fuera del alcance de este trabajo, pero muestran el carácter distinguido de las variedades de Riemann con respecto a otras situaciones como la geometría de Lorentz [10]. Presentamos a continuación dos operadores que usaremos extensivamente en el cálculo de curvaturas. Los operadores bemol y sostenido nos permitirán transformar tensores de tipo (0,2) en tensores de tipo (1,1) y viceversa, lo que nos permitirá tomar trazas y definir nuevos tensores de interés. Definición 2.6 (Subir y bajar índices).Sea (M, g)una variedad de Riemann. La 1-forma asociada a un campo de vectores viene dada por ♭:X∈X(M)7→ X♭∈Λ1(TM), tal que X♭(Y) := g(X, Y ), con Y∈X(M). Su expresión local es: X♭=g(Xi∂ ∂xi,·) = gijXidxj.Se dice que la 1-forma métricamente equivalente a un campo de vectores Xse obtiene bajando un índice. El campo de vectores asociado a una 1-forma viene dado por ♯:ω∈Λ1(TM)7→ X(M), verificando que para cualquier X∈X(M),g(♯ω, X) = ω(X). Se dice que el campo de vectores métricamente equivalente a una 1-forma se obtiene subiendo índices. Su expresión local es: ♯ω= (gij)−1ωj∂ ∂xi=gijωj∂ ∂xi. Ejemplo 2.7. Sea f:M→Runa función diferenciable. Definimos el campo de vectores gradiente de fcomo grad f=∇f:= ♯df, obtenido a partir de la diferencial de la función f(1-forma), subiendo un índice. Teniendo en cuenta la definición de la aplicación sostenido, el gradiente de una función verificará df(X) = g(∇f, X),para cualquier campo de vectores X sobre la variedad M. En consecuencia, podemos obtener la expresión local del gradiente usando la matriz inversa de la matriz asociada a la métrica gij, y aplicando df a los campos de vectores coordenados, resultando: ∇f=gij ∂f ∂xi∂xj. Ejemplo 2.8. Sea Hun (0,2)-tensor simétrico sobre una variedad de Riemann (M, g). Si subimos un índice, tendremos que ♯H=hes un (1,1)-tensor sobre M, y por lo tanto tiene sentido calcular 8 2. Métricas de Riemann su traza. En términos de las componentes de h, su valor se obtiene como: tr(h) = hii. Por lo tanto, podemos definir la traza de H con respecto a gcomo: trgH= tr ♯H= tr h. Dado que hij=gjkHik, y como Hes simétrico, considerando una referencia ortonormal: trgH=hii=gijHij. En particular, si tenemos una referencia ortonormal {E1, . . . , En}, la traza de ♯H=h, o equivalentemente la de Hcon respecto a ges: trgH= tr h=X i g(hEi, Ei). Estos dos ejemplos tendrán especial importancia en las definiciones de tensor de curvatura de Ricci y curvatura escalar. Veremos más adelante que el funcional de Hilbert-Einstein involucra la integral de la curvatura escalar en la variedad. Para poder realizar integrales sobre una variedad hemos visto en la definición de la integral sobre variedades en el Capítulo 1 que necesitamos un elemento de volumen. Dado que en las variedades de Riemann contamos con una estructura más rica que en variedades diferenciables, podemos definir una forma de volumen intrínsecamente relacionada con la métrica. Lema 2.9. Dada una variedad de Riemann (M, g)orientada, existe un único elemento de volumen dV (n-forma diferencial sobre Mdistinta de cero) verificando que dada una base ortonormal orientada positivamente {E1, . . . , En}del espacio tangente TpM, para todo p∈M, se tiene que dV (E1, . . . , En)=1. El elemento de volumen puede definirse para cualquier referencia local como dV =qdet(gij)η1∧. . . ∧ηn. Capítulo 3 Conexiones Dedicaremos este capítulo a introducir el concepto de conexión y transporte paralelo en las variedades de Riemann, asociadas a las cuales existe una conexión distinguida. La conexión de Levi Civita será la herramienta fundamental en el cálculo de los tensores de curvatura. 3.1. Motivación Al fin de poder normalizar qué es la curvatura en variedades de Riemann necesitamos establecer en primer lugar qué entendemos por geodésicas. Las geodésicas serán aquellas curvas con aceleración nula, pero, tal y como veremos a continuación, necesitaremos una interpretación libre de coordenadas de esta propiedad. Consideremos la parametrización de la circunferencia unidad, S1⊂R2en coordenadas cartesianas: α:t∈R→α(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t). Derivando respecto al tiempo cada una de sus coordenadas podemos obtener la velocidad y su aceleración: ˙α(t)=(−sin t, cos t),¨α(t) = −(cos t, sin t) = −α(t). Por otro lado, también podemos parametrizar la circunferencia usando coordenadas polares: β:t∈R→β(t)=(r(t), θ(t)) = (1, t). Dado que ambas parametrizaciones representan la misma curva y están conectadas por un difeomorfismo, cabría esperar que sus velocidades y aceleraciones también se correspondieran. Derivando las coordenadas de βtenemos: ˙ β(t) = (0,1),¨ β(t) = (0,0). 9 16 3. Conexiones Teorema 3.12 (Existencia y unicidad de solución para las EDO lineales).El problema de valor inicial ˙ Vj(t) = n X i=1 fj i(t)Vi(t), V j(t0) = vj 0,(3.4) tiene solución en un intervalo I⊂Rdado para cualesquiera funciones diferenciables fj i:I→R arbitrarias con i, j ∈ {1, . . . , n}, y dicha solución es única para cada t0∈Iy cada valor inicial (v1 0, . . . , vn 0)∈Rn. Teorema 3.13 (de prolongación de soluciones).Si V:I→Rny˜ V:J→Rnson dos soluciones de (3.4) con las mismas condiciones iniciales, entonces J⊂IyV=˜ Ven J. Teorema 3.14. Sean α:I→Muna curva diferenciable en M,t0∈I, y v0∈Tα(t0)Mun vector tangente a M. Existe un único campo de vectores paralelo V(t)a lo largo de αtal que V(t0) = v0. Demostración. Supongamos en primer lugar que la imagen de la curva está contenida en un abierto coordenado. A partir de la expresión (3.3), y usando la definición de campo de vectores paralelo, tendremos que Ves paralelo a lo largo de αsi, para cada k= 1, . . . , n, ˙ Vk(t) = −Vk(t) ˙αi(t)Γk ij(α(t)). Como la condición inicial que debe verificar Ves V(t0) = v0, estamos ante un problema de valor inicial como el presentado en (3.4), y por el Teorema 3.12 tenemos garantizada la existencia y unicidad de solución para el mismo que, por el Teorema 3.13, podemos prolongar a todo el dominio I. Dado que el sistema de EDOs es homogéneo, la estructura del espacio de ecuaciones será de espacio vectorial. Consideremos ahora el caso en que la imagen de la curva no está contenida en un solo abier- to coordenado. Consideremos entonces b0= sup b>t0{Existe un único transporte paralelo en [t0, b]}. Denotemos por Va dicho transporte paralelo que está definido en [t0, b0). Si b0/∈I, entonces hemos terminado. Si b0∈I, sea (U,(x1, . . . , xn)) una carta conteniendo a α(b0−δ, b0+δ)para algún ε > 0. Entonces, como la imagen de αrestringida a este intervalo está contenida en un abierto coordenado, existe un único campo de vectores paralelo ˜ Ven (b0−ε, b0+ε)que satisface ˜ V(b0−ε/2) = V(b0−ε/2). Por unicidad, V=˜ Ven la intersección de sus dominios, luego tendríamos que ˜ Ves una extensión de Vdefinida en puntos t > b0lo cual contradice la definición de b0. Por lo tanto, existe un único campo de vectores paralelo a lo largo de αdefinido en I⊂R y tal que V(t0) = v0. Finalmente, definimos a partir de estos resultados el operador que nos permitirá “trasladar” vectores tangentes a la variedad a lo largo de curvas en la misma. 3.5. Transporte paralelo 17 Definición 3.15. Sea αuna curva sobre Mdefinida en un intervalo I⊂Rcon t0, t1∈I. Se define el transporte paralelo de p=α(t0)aq=α(t1)a lo largo de αcomo la aplicación: αPt1 t0:Tα(t0)M−→ Tα(t1)M v07−→ αPt1 t0(v0) = V(t1), donde V(t)es el único campo de vectores paralelo a lo largo de αcon V(t0) = v0. Proposición 3.16. El operador αPt1 t0es un isomorfismo de espacios vectoriales. Demostración. Esta propiedad del operador transporte paralelo se obtiene de las propiedades de espacio vectorial del espacio de soluciones de las ecuaciones diferenciales que determinan a los transportes paralelos. Sean v, w ∈Tα(t0)M,V(t), W(t)campos de vectores paralelos a lo largo de α(t)con condiciones iniciales V(t0) = v, W(t0) = w. Entonces tenemos: αPt1 t0(v) = V(t1),αPt1 t0(w) = W(t1). Probemos la linealidad del operador. Sean a, b ∈Ry consideremos el campo de vectores a lo largo de αdado por aV +bW . Dada la estructura de espacio vectorial del espacio de soluciones del problema (3.4), este campo de vectores también es paralelo con condición inicial av +bw. Entonces, el desplazamiento paralelo de av +bw viene dado por: αPt1 t0(av +bw) = aV (t1) + bW(t1) = aαPt1 t0(v) + bαPt1 t0(w). Probaremos ahora la inyectividad del desplazamiento paralelo, ya que de ser un operador inyectivo, puesto que que es lineal y los dos espacios vectoriales Tα(t0)yTα(t1)tienen la misma dimensión, se tendrá que es un isomorfismo. Para ello, sea v∈Tα(t0)Mtal que αPt1 t0(v) = 0 = V(t1), donde Ves el campo de vectores paralelo a lo largo de αcon condición inicial V(t0) = v. Como Ves solución del sistema (3.4), que es homogéneo, y podemos considerar su condición inicial V(t1)=0, necesariamente V≡0, luego V(t0) = v= 0, de donde se sigue la inyectividad. Este resultado nos permite realizar el desplazamiento paralelo de una forma sencilla y cómoda si se conocen la bases del espacios tangentes en el punto de partida y su transportada en el punto final. Por ejemplo, en el caso de superficies en R3, si contamos con una geodésica γque une el punto inicial p=γ(t0)y final q=γ(t1), entonces unas bases, relacionadas por el transporte paralelo del plano tangente a la superficie en pyqson respectivamente {˙γ(t0),(Np∧˙γ(t0))}y {˙γ(t1),(Nq∧˙γ(t1))}, en donde Nes el campo de vectores normal a la superficie. De esta forma, dado v=a˙γ(t0) + b(Np∧˙γ(t0)), su transportado paralelo será w=a˙γ(t1) + b(Nq∧˙γ(t1)). Ahora que ya tenemos una forma de relacionar dos espacios tangentes a la variedad My sus vectores, podemos expresar la derivada covariante en términos del desplazamiento paralelo. 18 3. Conexiones Proposición 3.17. Consideremos dos campos de vectores sobre M,X, Y ∈X(M)y la curva integral de X,α, con α(0) = p, siendo p∈M. Se verifica: (DXY)p= l´ım t→0 (αPt 0)−1(Y(α(t))) −Y(p) t. Demostración. Consideremos una base cualquiera del espacio tangente a Men p,{e1, . . . , en}, y denotemos por {E1(t), . . . , En(t)}a los vectores obtenidos al desplazar paralelamente a lo largo de αla base de TpM. Como hemos visto que el transporte paralelo es un isomorfismo de espacios vectoriales, para cada valor de tse tiene que {E1(t), . . . , En(t)}es una base de Tα(t)M. Dado que Y(α(t)) es un campo de vectores a lo largo de α, podemos expresarlo como Y(α(t)) = Pkfk(t)Ek(t), y calcular de esta forma su transportado inverso: (αPt 0)−1(Y(α(t))) = (αPt 0)−1 X k fk(t)Ek(t)!=X k (αPt 0)−1(fk(t)Ek(t)) =X k fk(t)(αPt 0)−1(Ek(t)) = X k fk(t)ek. A partir de esta expresión, podemos trasladar la curva de vectores tangentes definida por Y(α(t)) aTpM, induciendo la curva de vectores tangentes ˜ Y:t∈I⊂R7→ ˜ Y(t) := (αPt 0)−1(Y(α(t))) ∈TpM. La derivada de la curva ˜ Yen t= 0 es: d dt ˜ Y(t)t=0 = l´ım t→0 (αPt 0)−1(Y(α(t))) −Yp t=d dtt=0 (αPt 0)−1(Y(α(t))) = d dtfk(t)ek|t0 =dfk(t) dt t=0 ek+fk(t)dek dt t=0 =f′ k(0)ek. Por otro lado, recordemos que αes la curva integral del campo de de vectores X, por lo que (DtY)t=0 = (D˙αY)t=0 =D˙α(0)Y(α(0)) = DXpYp= (DXY)p. Además, como los campos de vectores {E1(t), . . . , En(t)}son paralelos a lo largo de la curva α (Dt(Ei)=0, i = 1, . . . , n), que es curva integral de X, se sigue: DtY=Dt(Pkfk(t)Ek(t)) = PkDt(fk(t)Ek(t)) = PkDt(fk(t)Ek(t)) =Pk(f′ k(t)Ek(t) + fk(t)DtEk(t)) = Pkf′ k(t)Ek(t), de donde se sigue que DtY|t=0 =f′ k(0)ek. Finalmente, juntando los resultados vistos hasta el momento podemos concluir que : (DXY)p=DtY|t=0 =˜ Y′(0) = l´ım t→0 (αPt 0)−1(Yα(t))−Y(p) t. 3.6. Torsión de la derivada covariante: conexiones simétricas 19 3.6. Torsión de la derivada covariante: conexiones simétricas Hasta ahora hemos visto una forma de derivar campos de vectores sobre una variedad: la derivada covariante. Sin embargo, existen otras definiciones como la derivada de Lie. Aunque no vamos a entrar en detalles respecto a esta forma de derivar campos de vectores, introduciremos el concepto de torsión y algunas de sus propiedades que pueden servir para relacionar la derivada de Lie y la derivada covariante. Además, este concepto está íntimamente relacionado con la conexión de Levi-Civita que definiremos en la siguiente sección. Definición 3.18. Definimos la torsión de una derivada covariante (o conexión) Dcomo el campo de tensores de tipo (1,2) dado por T(X, Y ) = DXY−DYX−[X, Y ]y se dice que Des simétrica o libre de torsión si T(X, Y ) = 0, con X, Y ∈X(M)arbitrarios. Proposición 3.19. Consideremos una derivada covariante Den M. Los siguentes enunciados son equivalentes: (i) Des simétrica. (ii) Dactúa de forma simétrica sobre los campos de vectores coordenados. Es decir, para cualquier carta (U,(x1, . . . , xn)) se verifica D∂xi∂xj=D∂xj∂xi. (iii) Los símbolos de Christoffel asociados a Dson simétricos Γk ij = Γk ji. Demostración. Veamos en primer lugar que (i) implica (ii). Por ser Dsimétrica, T(X, Y ) = 0. Además, sabemos que [∂xi, ∂xj]=0,por ser ∂xiy∂xjcampos coordenados. Por tanto: 0 = T(∂xi, ∂xj) = D∂xi∂xj−D∂xj∂xi−[∂xi, ∂xj] = D∂xi∂xj−D∂xj∂xi. Así, D∂xi∂xj=D∂xj∂xi, como queríamos probar. Veamos ahora que (ii) implica (iii). Teniendo en cuenta que D∂xi∂xj= Γk ij∂xk, se sigue que: 0 = D∂xi∂xj−D∂xj∂xi= (Γk ij −Γk ji)∂xk,con lo que se obtiene la simetría de los símbolos de Christoffel en los argumentos (i, j). Finalmente, veamos que (iii) implica (i). Consideremos dos campos de vectores sobre M cualesquiera, con expresiones locales: X=Xi∂xi,Y=Yj∂xj. Entonces: DXY−DYX={X(Yk)−Y(Xk) + XiYjΓk ij −YiXjΓk ij}∂xk ={X(Yk)−Y(Xk) + XiYjΓk ij −YjXiΓk ji}∂xk= [X, Y ]. Y por lo tanto, teniendo en cuenta la definición de torsión, se sigue el resultado. 3.7. Conexión de Levi-Civita En el Lema 2.9 hemos obtenido un elemento de volumen sobre las variedades de Riemann que tiene en cuenta la estructura proporcionada por la métrica. Inspirados en la idea de involu- 20 3. Conexiones crar la métrica en todos los pasos y elementos que construirán el funcional de Hilbert-Einstein, definiremos a continuación la conexión de Levi-Civita conteniendo la información de la métrica de Riemann. Comenzaremos estudiando algunas propiedades generales de la relación entre la derivada covariante y la métrica de Riemann definida sobre la variedad, terminando con el teorema fundamental de la geometría de Riemann. Antes de empezar, debe recordarse que una métrica de Riemann gdefinida sobre Mes un (0,2)-tensor simétrico y definido positivo que induce un producto escalar definido positivo en TpM. Por lo tanto, dados dos campos de vectores sobre M,Y yZ, se tiene que g(Y, Z)∈F(M). Definición 3.20. Sea (M, g)una variedad de Riemann y Duna conexión sobre M. Se dice que Des compatible con la métrica gsi el transporte paralelo αPq pse realiza por isometrías. Equivalentemente, para cualquier curva en la variedad y campos de vectores paralelos a lo largo de la curva V, W , se tiene que g(V, W) = cte. Proposición 3.21. Dada (M, g)una variedad de Riemann y una conexión Dsobre Mson equivalentes: (i) Des compatible con la métrica. (ii) Dados V, W campos de vectores a lo largo de una curva αen M, se verifica que: d dtg(V, W) = g(DtV, W) + g(V, DtW).(3.5) Demostración. This is a sample text in white. (ii)⇒(i)Consideremos en la condición (ii)dos campos de vectores paralelos a lo largo de una curva αdada. Entonces DtV=DtW= 0, por lo tanto, d dt g(V, W)=0, luego g(V, W ) = cte. de donde se sigue que la conexión Des compatible con la métrica. (i)⇒(ii)Consideremos ahora una conexión Dcompatible con la métrica gy sea α:I→M una curva arbitraria en M. Sea {e1, . . . , en}una base ortonormal de Tα(t0)M. De la Proposición 3.16 se concluye que a partir de una base de Tα(t0)M, podemos obtener mediante el transporte paralelo una base de Tα(t)M. Denotemos por {E1(t), . . . , En(t)}dicha base. En este caso la expresión local para V, W campos de vectores a lo largo de la curva αes: V=ViEi, W =WjEj. Por ser Eicampos de vectores paralelos a lo largo de α, ∀i= 1,...n, podemos calcular sus derivadas covariantes como: DtV=dV i dt Ei, DtW=dWj dt Ej, Entonces g(DtV, W) + g(V, DtW) = gdV i dt , Wi+gVi,dWi dt =d dt(ViWi) = d dtg(V, W). 3.7. Conexión de Levi-Civita 21 Observación 3.22.Si Des compatible con la métrica gyαes la curva integral de X, de forma que α(t0) = p, entonces: DXpg(Y, Z) = d dtg(Y, Z)|t0=g(DXpY, Z)p+g(Y, DXpZ)p, Como esto es cierto para parbitrario, se tendrá que una conexión Des compatible con la métrica si se verifica DXg(Y, Z) = g(DXY, Z) + g(Y, DXZ)para cualesquiera X, Y, Z campos de vectores en M. Teorema 3.23 (Teorema fundamental de la geometría de Riemann).Sea (M, g)una variedad de Riemann. Existe una única conexión ∇simétrica y compatible con la métrica determinada por 2g(∇XY, Z) =Xg(Y, Z) + Y g(X, Z)−Zg(X, Y ) +g([Z, X], Y ) + g([Z, Y ], X) + g([X, Y ], Z),(3.6) para X, Y, Z campos de vectores diferenciables sobre Marbitrarios. Nos referiremos a la expresión (3.6) como fórmula de Koszul y la conexión ∇definida por ella se denominará conexión de Levi Civita. Demostración. En primer lugar demostraremos que si tenemos una conexion simétrica y compatible con la métrica, entonces se verifica la fórmula de Koszul. Sean X, Y, Z ∈X(M)arbitrarios. Por un lado, ∇g= 0 por se la conexión compatible, entonces: Xg(Y, Z)−g(∇XY, Z)−g(Y, ∇XZ)=0, Y g(X, Z)−g(∇YX, Z)−g(X, ∇YZ)=0, Zg(X, Y )−g(∇ZX, Y )−g(Y, ∇ZY)=0. Sumando las dos primeras expresiones anteriores y restando la tercera, tenemos: 0 = Xg(Y, Z) + Y g(X, Z)−Zg(X, Y )−g(∇XY, Z)−g(∇YX, Z) +g(∇ZX, Y )−g(Y, ∇XZ)−g(X, ∇YZ) + g(X, ∇ZY). Por otro lado, como la conexión ∇ha de ser simétrica, luego [X, Y ] = ∇XY− ∇YX, se sigue que: 2g(∇XY, Z) =Xg(Y, Z) + Y g(X, Z)−Zg(X, Y ) +g([Z, X], Y ) + g([Z, Y ], X) + g([X, Y ], Z). Para probar la unicidad, consideremos dos conexiones simétricas y compatibles con la métrica ∇1y∇2y veamos que son iguales. Por ser simétricas y compatibles, ambas verificarán la ecuación (3.6). Restando la fórmula de Koszul para cada conexión se tiene g(∇1 XY−∇2 XY, Z) = 0 para cualesquiera campos X, Y, Z, luego ∇1 XY=∇2 XY, y en consecuencia, ∇1=∇2. 22 3. Conexiones Un cálculo estándar demuestra que el operador ∇definido por la fórmula de Koszul determina una conexión. Además, dicha conexión es simétrica y adaptada a la métrica g. Sea (U,(x1, . . . , xn)) una carta de M. La expresión local de (3.6) es: 2g(∇∂xi∂xj, ∂xl) = ∂xig(∂xj, ∂xl) + ∂xjg(∂xl, ∂xi)−∂xlg(∂xi, ∂xj). Teniendo en cuenta las definiciones de los símbolos de Christoffel, y la definición de los elementos de la matriz de la métrica gij =g(∂xi, ∂xj), podemos reescribir esta expresión como: 2Γm ij gmk =∂xigjk +∂xjgik −∂xlgij. Multiplicando por la inversa de la matriz de la métrica a ambos lados de la ecuación tenemos: Γk ij =1 2gkl(∂xigjk +∂xjgik −∂xlgij).(3.7) Observación 3.24.A partir del la expresión (3.7) se sigue que los símbolos de Christoffel son invariantes ante isometrías locales. Terminamos este capítulo introduciendo conceptos ya conocidos del análisis, como son el Hessiano o la divergencia de un campo de vectores, pero en variedades de Riemann y usando la conexión de Levi-Civita. Para los resultados que veremos a continuación y en los siguientes capítulos debemos recordar que la contracción de índices y la derivación covariante conmuntan. En particular nos interesa aplicar esta propiedad al tensor de curvatura de Ricci, que, una vez subido uno de los índices, es un tensor de tipo (1,1). Definición 3.25. Dada una función f∈F(M), se define el Hessiano de fcomo el campo de tensores tipo (0,2) dado por Hess(f)(X, Y ) = XY (f)−(∇XY)(f), con ∇la conexión de Levi-Civita de la variedad de Riemann (M, g). Proposición 3.26 (Propiedades del Hessiano).El Hessiano de f∈F(M)es simétrico y se verifica que Hess(f)(X, Y ) = g(hf(X), Y ),con hfcampo de tensores de tipo (1,1) definido como hf(X) = ∇X∇f=∇Xgrad f. Demostración. Veamos en primer lugar que el hessiano es simétrico: Hess(f)(X, Y )−Hess(f)(Y, X) = XY (f)−(∇XY)(f)−Y X(f)+(∇YX)(f) ∇simétrica =XY (f)−[X, Y ](f)−Y X(f) = 0. Veamos ahora que podemos calcular el hessiano usando el gradiente de la función fy la métrica de Riemann. El gradiente de f,∇f=♯df, verifica g(∇f, Z) = df(Z) = Z(f). Por ser la conexión de Levi- Civita compatible con la métrica, Xg(Y, Z) = g(∇XY, Z) + g(Y, ∇XZ). Tomando Z=∇f, g(∇X∇f, Y ) = Xg(∇f, Y )−g(∇f, ∇XY) = XY (f)−∇XY(f). 3.7. Conexión de Levi-Civita 23 Para un entorno coordenado (U,(x1, . . . , xn)), y una función f∈F(M), la expresión local del hessiano de fes Hess(f) = (Hess(f))ijdxi⊗dxj. Las componentes (Hess(f))ij pueden obtenerse como (Hess(f))ij = Hess(f)∂ ∂xi,∂ ∂xj. Teniendo en cuenta la expresión local de la diferencial de f,df =∂f ∂xkdxk, y la expresión local del gradiente de f,∇f=gkl ∂f ∂xl ∂ ∂xk, entonces: (Hess(f))ij = Hess(f)∂ ∂xi,∂ ∂xj=g(∇∂ ∂xi∇f, ∂ ∂xj) =∂ ∂xi ∂f ∂xj−∇∂ ∂xi ∂ ∂xj(f) = ∂2 ∂xi∂xjf−Γk ij ∂ ∂xkf. Así como el Hessiano de una función se deriva del gradiente de la misma, podemos definir nuevos operadores a partir del primero. Por ejemplo, el laplaciano de una funcion f∈F(M)será la traza de su Hessiano: △f= trgHess(f) = tr(hf). Definición 3.27. Sea {E1, . . . , En}una referencia ortonormal, y Xcampo de vectores. Definimos la divergencia de Xcomo la traza de ∇X, es decir, div X=Xg(∇EiX, Ei). Se define la divergencia de un campo de tensores Ftipo (0,2) simétrico como (div F)(X) = X i (∇EiF)(X, Ei). Observación 3.28.Considerando la métrica del espacio euclídeo en coordenadas cartesianas, dado que gij =δij se tiene que los símbolos de Christoffel se anulan identicamente. Por tanto las nociones anteriores de Hessiano, Laplaciano y divergencia se corresponden con las conocidas del espacio euclideo en coordenadas cartesianas. El teorema de la divergencia se obtiene como caso particular del Teorema de Stokes (Teorema 1.5) y lo usaremos en varias ocasiones en el último capítulo. A continuación presentamos su enunciado y remitimos a [8] para su demostración. Teorema 3.29 (Teorema de la divergencia).Sea (M, g)una variedad de Riemann compacta orientada con frontera ∂M. Sea ˜gla métrica inducida en la frontera y sea Nel campo de vectores normales a la frontera. Entones ZM div(X)dVg=Z∂M ⟨X, N⟩dV˜g, para cualquier campo de vectores Xen M. En particular, si la variedad no tiene frontera, entonces: ZM div(X)dVg= 0. 24 3. Conexiones Capítulo 4 Geodésicas y la aplicación exponencial 4.1. Geodésicas De la misma forma que ocurría en superficies regulares en R3, las curvas geodésicas en una variedad de Riemann serán aquellas que minimizan localmente la longitud del camino entre dos puntos suficientemente próximos. Además, están caracterizadas por esta propiedad, es decir, si una curva minimiza el camino entre dos puntos, entonces dicha curva será geodésica. Para una curva γ:I⊂R→Msobre una variedad Msobre la cual se ha definido una conexión D, podemos definir la aceleración de γcomo la derivada covariante de la velocidad de γrespecto a la conexión D. En caso de que su aceleración sea nula, entonces diremos que la curva es una geodésica. Si γ:I→Mes una geodésica, entonces su velocidad es constante: d dtg(˙γ(t),˙γ(t)) = 2g(Dt˙γ(t),˙γ(t)) = 0. Por lo tanto, el parámetro de una geodésica será proporcional a la longitud de arco: s(t) = Zt t0∥˙γ(t)∥dt =c(t−t0). Observación 4.1.Debemos observar que el hecho de que una curva sea geodésica depende de la parametrización, por lo que se debería especificar que, en caso de que la aceleración de una curva γsea nula, entonces es una geodésica parametrizada. Sin embargo, en lo que resta de trabajo trataremos indistintamente las geodésicas y las geodésicas parametrizadas, refiriéndonos a una curva geodésica como aquella cuya parametrización por la longitud de arco, o proporcional, es una geodésica parametrizada. El siguiente resultado y su demostración pueden encontrarse en [9]. Teorema 4.2 (Existencia y unicidad de geodésicas).Dada una variedad MyDuna conexión sobre M, para cada p∈M,v∈TpMyt0∈R, existen un intervalo abierto I⊂Rtal que t0∈I 25 32 5. Curvatura forma: R=Rijkldxi⊗dxj⊗dxk⊗∂xl,donde los coeficientes se obtienen como: Rijkl∂xl=R(∂xi, ∂xj)∂xk=∇∂xi∇∂xj∂xk−∇∂xj∇∂xi∂xk−∇XXX X [∂xi,∂xj]∂xk =∇∂xiΓr jk∂xr−∇∂xjΓr ik∂xr=∂iΓl jk∂xl+ Γr jkΓl ir∂xl−∂jΓl ik∂xl−Γr ikΓl jr∂xl =∂iΓl jk −∂jΓl ik + Γr jkΓl ir −Γr ikΓl jr∂xl. (5.1) Observación 5.3.La expresión local de los coeficientes del tensor de curvatura (5.1) sólo depende de los símbolos de Christoffel. Por lo tanto, tomando coordenadas normales en un punto fijado pde una variedad de Riemann, obtendremos una expresión muy simplificada para el cálculo de los coeficientes. Como consecuencia, y dado que los símbolos de Christoffel son invariantes ante isometrías locales, se sigue inmediatamente que si F: (M, g)→(˜ M, ˜g)es una isometría local entre dos variedades de Riemann, entonces se conservará el tensor de curvatura: ˜ RF(p)(F∗pX, F∗pY)F∗pZ=F∗p(Rp(X, Y )Z). Observación 5.4.Las componentes del tensor métrico, expresadas en coordenadas normales, son funciones cuyos primeros términos en el desarrollo de Taylor son: gαβ(expp(xiei)) = δαβ −1 3Riαjβ(p)xixj+. . . , por lo que el tensor de curvatura representa la primera obstrucción al carácter constante de dichas funciones. Los siguientes términos del desarrollo de Taylor pueden consultarse en [4]. De forma análoga al cálculo realizado cuando calculamos el laplaciano de una función, podemos transformar el tensor de curvatura en un tensor tipo (0,4) bajando un índice, es decir, usando el operador bemol. Definición 5.5. Se define el tensor de curvatura de Riemann como el (0,4)-campo de tensores R=R♭determinado por R(X, Y, Z, W) = g(R(X, Y )Z, W), con X, Y, Z yWcampos de vectores diferenciables. Su expresión local es: R=Rijkldxi⊗dxj⊗dxk⊗dxl, Rijkl =glmRijkm. 5.1. Propiedades del tensor de curvatura Así como la conexión de Levi-Civita destacaba por sus propiedades de compatibilidad con la métrica, el tensor de curvatura también presenta una serie de propiedades algebraicas y diferenciables muy útiles en el estudio variacional que realizaremos en el último apartado. Proposición 5.6 (Propiedades algebraicas del tensor de curvatura).Sea (M, g)una variedad de Riemann. Entonces el tensor de curvatura verifica las siguientes identidades algebraicas: 5.1. Propiedades del tensor de curvatura 33 (i) R(X, Y, Z, T) = −R(Y, X, Z, T )yR(X, Y, Z, T ) = −R(X, Y, T, Z), (ii) R(X, Y, Z, T) = R(Z, T, X, Y ), (iii) R(X, Y, Z, T) + R(Y, Z, X, T ) + R(Z, X, Y, T)=0, donde X, Y, Z, T son campos de vectores en M. La propiedad (iii) anterior recibe el nombre de primera identidad de Bianchi. Proposición 5.7. Sea (M, g)una variedad de Riemann. La derivada covariante del tensor de curvatura verifica (∇XR)(Y, Z)T+ (∇YR)(Z, X)T+ (∇ZR)(X, Y )T= 0.(5.2) para caluesquiera X, Y, Z, T campos de vecotres en M. Demostración. Fijado un punto p∈M, sean X, Y, Z, T campos coordenados correspondientes a un sistema de coordenadas normales centrado en p. Entonces, en p, se tiene que: (∇XR)(Y, Z)T=∇XR(Y, Z)T−R(∇XY, Z)T−R(Y, ∇XZ)T−R(Y, Z)∇XT =∇XR(Y, Z)T=∇X∇Y∇ZT−∇X∇Z∇YT. Por lo tanto (∇XR)(Y, Z)T+ (∇YR)(Z, X)T+ (∇ZR)(X, Y )T =∇X∇Y∇ZT−∇X∇Z∇YT+∇Y∇Z∇XT−∇Y∇X∇ZT+∇Z∇X∇YT−∇Z∇Y∇XT =R(X, Y )∇ZT+R(Z, X)∇YT+R(Y, Z)∇XT= 0. Definición 5.8. Sea (V, ⟨·,·⟩)un espacio vectorial con un producto interior. Un tensor de curvatura algebraico es una aplicación multilineal A:V×V×V×V→Rverificando las identidades algebraicas de la Proposición 5.6. Un caso particular del tensor de curvatura algebraico, y que usaremos en la definición de curvatura seccional es R0(X, Y, Z, T) = g(Y, Z)g(X, T)−g(X, Z)g(Y, T ),para cualesquiera campos de vectores definidos sobre una variedad de Riemann (M, g). Definición 5.9. Dada una variedad de Riemann (M, g), un punto p∈Marbitrario y un subespacio de dimensión 2, σ⊂TpM, se define la curvatura seccional en p∈Mdel plano σ como: Kp(σ) = R(X, Y, Y, X) R0(X, Y, Y, X), donde {X, Y }es una base arbitraria de σ. 34 5. Curvatura Observación 5.10.La curvatura seccional está bien definida ya que, para X, Y vectores no nulos y linealmente independientes, R0(X, Y, Y, X) = g(Y, Y )g(X, X)−g(X, Y )g(X, Y )>0. La curvatura seccional no depende de la elección de los vectores linealmente independientes escogidos como base de σ⊂TpM. En efecto, sean {X,Y} y {X’,Y’} dos bases arbitrarias de σ,X′=aX +bY, Y ′=cX +dY. El determinante de la matriz de cambio de base es igual a (ad −bc)2. Utilizando las propiedades algebraicas del tensor de curvatura y su carácter R-lineal se verifica que R(X′, Y ′, Y ′, X′) = R(X, Y, Y, X)(ad −bc)2. Dado que el tensor de curvatura algebraico también es R-lineal y verifica las mismas identidades algebraicas que el tensor de curvatura, es inmediato que R0(X′, Y ′, Y ′, X′)=(ad −bc)2(g(X, X)g(Y, Y )−g(X, Y )g(X, Y )). Por lo tanto, R(X′, Y ′, Y ′, X′) R0(X′, Y ′, Y ′, X′)=(ad −bc)2R(X, Y, Y, X) (ad −bc)2R(X, Y, Y, X)=Kp(σ), obteniéndose así la independencia de la base escogida. La curvatura seccional es función del punto pen la variedad y del subespacio de dimensión 2 σ⊂TpM. Se presentan dos posibilidades: que la curvatura seccional no dependa del punto escogido en la variedad, o que para cada uno de los puntos, no dependa del subespacio. A continuación presentamos una condición suficiente y necesaria para la independencia de Kp(σ) de σ. Proposición 5.11. Una variedad de Riemann (M, g)tiene curvatura seccional constante c(p)∈R en un punto p∈Msi, y solo si, Rp(X, Y, Z, T) = c(p)R0 p(X, Y, Z, T ). Demostración. This is a sample text in white. “⇐′′ Basta con considerar Z=Y, T =X, de donde se sigue que R(X, Y, Y, X) = cR0(X, Y, Y, X) luego Kp(σ) = R(X,Y,Y,X) R0(X,Y,Y,X)=c(p). “⇒′′ Consideremos ˜ R=R−cR0. Si probamos que ˜ R= 0, entonces habremos terminado. Por hipótesis, como la curvatura seccional es constante, tenemos que ˜ R(X, Y, Y, X)=0, para cualesquiera X, Y ∈TpM. Si ahora consideramos Z, W ∈TpMarbitrarios, 0 = ˜ R(X+Y, Z, Z, X +Y) = : 0 ˜ R(X, Z, Z, X) + : 0 ˜ R(Y, Z, Z, Y ) + ˜ R(X, Z, Z, Y ) + ˜ R(Y, Z, Z, X), luego 0 = ˜ R(X, Y, Z, T) + ˜ R(Y, Z, X, T ) + ˜ R(Z, X, Y, T ) =˜ R(X, Y, Z, T)−˜ R(Y, X, Z, T )−˜ R(X, Z, Y, T ) = 3 ˜ R(X, Y, Z, T). 5.1. Propiedades del tensor de curvatura 35 Corolario 5.12. Sea (M, g)una variedad de Riemann conexa con dim(M)≥3. La curvatura seccional Kges constante en M, es decir, no depende del punto ni del plano en donde se calcula, si, y solo si, es constante en cada punto, es decir, independiente del plano escogido para cada p∈M. Demostración. La implicación hacia la izquierda es directa. Veamos la implicación hacia la derecha. Por la Proposición 5.11 sabemos que si Kp=cp, entonces R(X, Y )Z=cR0(X, Y )Z. Sustituyendo R=cR0en la segunda identidad de Bianchi, y teniendo en cuenta que al estar trabajando con una métrica de Riemann y con la conexión de Levi-Civita, la primera es paralela, entonces ∇XR0(Y, Z)T= 0 para cualesquiera campos de vectores, 0 = ∇XR(Y, Z)T+∇YR(Z, X)T+∇ZR(X, Y )T =∇X(cR0(Y, Z)T) + ∇Y(cR0(Z, X)T) + ∇Z(cR0(X, Y )T) =dc(X)R0(Y, Z)T+dc(Y)R0(Z, X)T+dc(Z)R0(X, Y )T. Como esto se verifica para campos X, Y, Z, T ∈X(M)arbitrarios, podemos tomar en particular, fijado un Xunitario, Y, Z unitarios ortogonales entre sí y además ortogonales a X, y T=Z. En este caso, 0 = dc(X)R0(Y, Z)Z+dc(Y)R0(Z, X)Z+dc(Z)R0(X, Y )Z =dc(X)(g(Z, Z)Y− : 0 g(Y, Z)Z) + dc(Y)( : 0 g(X, Z)Z−g(Z, Z)X) + dc(Z)( : 0 g(Y, Z)X− : 0 g(X, Z)Y) =dc(X)Y−dc(Y)X. Finalmente, como X, Y son ortogonales, necesariamente dc ≡0lo que finaliza la demostración. Definición 5.13. Se define el tensor de Ricci o tensor curvatura de Ricci como el campo de tensores tipo (0,2) obtenido de la contracción del primer y último índices del tensor de curvatura. Denotando por {E1, . . . , En}una base ortonormal arbitraria ρ(X, Y ) = tr(Z→R(Z, X)Y) = X i R(Ei, X, Y, Ei), y cuyas componentes son ρij =gkmRkijm.A partir del tensor de Ricci se define el operador de Ricci, que no es más que el tensor de tipo (1,1) obtenido al subir uno de los índices de ρ, Ricij=ρikgkj. Si ahora calculamos la traza del operador de Ricci obtenemos la curvatura escalar:τ= trgρ=gijρij. Es fácil de comprobar que el tensor de curvatura de Ricci ρes simétrico: ρ(X, Y ) = X i R(Ei, X, Y, Ei) = X i R(Y, Ei, Ei, X) = X i R(Ei, Y, X, Ei) = ρ(Y, X). Su carácter tensorial se sigue directamente de ser una contracción de un tensor. 36 5. Curvatura Observación 5.14.Consideremos la forma de volumen ωde una variedad Riemanniana (M, g) orientada ω=pdet(gαβ)dx1∧···∧dxn. Sea θp(u) = qdet(gαβ)(expp(u)) la función densidad de volumen definida en un entorno del origen de TpM. Los primeros términos en su desarrollo en serie de Taylor vienen dados por θp(expp(xiei)) = 1 −1 6ρij(p)xixj+. . . , por lo que el tensor de Ricci puede interpretarse como una medida de la forma en que la aplicación exppdistorsiona el volumen. Los siguientes términos del desarrollo de Taylor pueden consultarse en [4]. Observación 5.15.De la expresión del tensor de curvatura de Ricci observamos que se trata de hacer una especie de promedio de todas la curvaturas seccionales. En particular, para cada X∈TpMunitario, ρ(X, X)es la suma de todas las curvaturas seccionales correspondientes a los n−1planos en TpMortogonales entre sí y que contienen a X. Ejemplo 5.16. Estudiaremos ahora el caso en que la curvatura seccional es constante: Kp(σ) = c, que implica Rp=cR0 p. En este caso, considerando que la variedad de Riemann (M, g)sobre la que estamos trabajando tiene dimensión n: ρ(X, Y ) = X i R(Ei, X, Y, Ei) = cX i R0(Ei, X, Y, Ei) =cX i (g(X, Y )g(Ei, Ei)−g(X, Ei)g(Y, Ei)) = c(n−1)g(X, Y ). Tenemos entonces que existe una relación directa entre la métrica de la variedad y el tensor de curvatura de Ricci, lo que motivará la definición de variedades de Einstein. Cabe mencionar además que, en caso de variedades de dimensión 2, dado que solo existe un único plano tangente en cada uno de los puntos, la curvatura seccional es siempre constante en cada punto respecto al plano escogido. Por lo tanto, para variedades de dimensión 2, siempre se tendrá que el tensor de curvatura en un punto es proporcional a la métrica: ρp(X, Y ) = c(p)g(X, Y ). Capítulo 6 Subvariedades En este capítulo estudiaremos la relación entre las geometrías de una variedad de Riemann (˜ M, ˜g)y una subvariedad (M, g)de la misma. Buscaremos relaciones entre las conexiones de Levi- Civita y las curvaturas definidas en My en el espacio ambiente con la intención de construir modelos para los espacios de curvatura seccional constante. Sea ˜ Muna variedad diferenciable. Decimos que M⊂˜ Mes una subvariedad inmersa de ˜ Msi la inclusión ι:M→˜ Mes una inmersión. Se dirá que es una subvariedad regular de ˜ M si Mes un subespacio topológico de ˜ My la inclusión ι:M→˜ Mes un embebimiento. En [7] se prueba que una aplicación entre dos variedades diferenciables es una inmersión si, y solo si, es un embebimiento local. Dado que nuestro interés es en cuestiones locales, supondremos a lo largo de este capítulo que todas las subvariedades son embebidas. Definición 6.1. Sea (˜ M, ˜g)una variedad de Riemann y ι:M→˜ Muna inmersión. Diremos que ιes una inmersión isométrica si g=ι∗˜g. Para una variedad de Riemann (˜ M, ˜g), diremos que (M, g =ι∗˜g)es una subvariedad de Riemann de ˜ Msi Mes una subvariedad regular de ˜ M. Comenzaremos estableciendo la relación entre las conexiones de Levi-Civita definidas en el espacio ambiente ˜ M,˜ ∇, y en la subvariedad M,∇. Recordemos que una conexión es un operador que actúa sobre dos campos de vectores sobre una variedad, y que devuelve otro campo de vectores. Por lo tanto, si queremos establecer una relación entre ∇y˜ ∇, necesitaremos relacionar los campos de vectores tangentes a My los campos de vectores tangentes a ˜ M. Sean X, Y ∈X(M)y denotemos por ˜ X, ˜ Y∈X(˜ M)a dos extensiones cualesquiera de XeY al espacio ambiente ˜ M,˜ X|M=X, ˜ Y|M=Y. Sobre los campos ˜ Xy˜ Ypodemos hacer actuar el operador ˜ ∇, y a continuación restringir el campo de vectores obtenido a M: ˜ ∇:X(M)×X(M)−→ X(˜ M) (X, Y )7−→ ˜ ∇XY=˜ ∇˜ X˜ Y|M. 37 38 6. Subvariedades Observación 6.2.El valor de ˜ ∇˜ X˜ Y|Mes independiente de la elección de las extensiones de los campos XeY. En efecto pues si consideramos un punto p∈Marbitrario, y tomamos coordenadas locales (x1, . . . , xn, xn+1, . . . , x˜n)determinadas por el hecho de ser Muna subvariedad regular. ˜ ∇˜ X˜ Yp=n˜ X(˜ Yk) + ˜ Xi˜ YjΓk ij }p∂xk(p) = n˜ Xp(˜ Yk) + ˜ Xi p˜ Yj pΓk ij(p)o∂xk(p) = ˜ Xp=Xp,˜ Yp=YpnXp(˜ Yk) + Xi pYj p˜ Γk ij(p)o∂xk(p) = Xp(˜ Yk)=d˜ Yk p(Xp)nXp(Yk) + Xi pYj p˜ Γk ij(p)o∂xk(p). Para cada uno de los puntos p∈Mpodemos hacer una descomposición del espacio tangente a ˜ Men el espacio tangente a Men py su ortogonal: Tp(˜ M) = TpMLT⊥ p(M). De esta forma, podemos descomponer el campo de vectores ˜ ∇XYen una componente en TM y en una componente ortogonal: ˜ ∇XY= ( ˜ ∇XY)⊤+ ( ˜ ∇XY)⊥. Para relacionar las distintas cantidades y operadores intrínsecos definidos en las dos variedades necesitaremos la segunda forma fundamental. Esta se define como la aplicación II : (X, Y )∈X(M)×X(M)7→ II(X, Y )=(˜ ∇XY)⊥∈X⊥(M). Proposición 6.3. La segunda forma fundamental es simétrica y F(M)-bilineal. Demostración. Veamos en primer lugar que la segunda forma fundamental es simétrica. Para ello consideremos dos campos de vectores XeYsobre M. Entonces: II(X, Y )−II(Y, X)=(˜ ∇XY−˜ ∇YX)⊥= ([X, Y ] ∈T M )⊥= 0. Para estudiar la bilinealidad, bastará con probarlo para una de sus componentes, siguiéndose por simetría que la otra componente también es bilineal. Dado que la conexión de Levi-Civita es tensorial sobre la primera componente, II(fX, Y ) = ˜ ∇fX Y=f˜ ∇XY=fII(X, Y ), con lo que se obtiene el resultado. La segunda forma fundamental proporciona la componente normal de ˜ ∇XY. A continuación consideramos la componente tangencial, que coincidirá con la conexión de Levi-Civita de la subvariedad. Teorema 6.4 (Fórmula de Gauss).Sea (˜ M, ˜g)una variedad de Riemann, (M, g)una subvariedad de Riemann de ˜ M. Dados dos campos de vectores X, Y ∈X(M)se verifica que ˜ ∇XY=∇XY+ II(X, Y ). Demostración. Por lo tanto, bastará con comprobar que la componente tangente a Mde ˜ ∇XY coincide con ∇XY. Gracias a la unicidad de la conexión de Levi-Civita, bastará con comprobar que la aplicación ˜ ∇⊤definida como ˜ ∇⊤:X(M)×X(M)−→ X(M) (X, Y )7−→ ˜ ∇⊤(X, Y )=(˜ ∇XY)⊤= ( ˜ ∇˜ X˜ Y)⊤ M, 39 es una conexión sobre Msimétrica y compatible con g. Evaluando siempre en puntos de Mes fácil comprobar que ˜ ∇⊤verifica las propiedades de las conexiones. Dado que ˜ ∇⊤ XY−˜ ∇⊤ YX= ( ˜ ∇XY−˜ ∇YX)⊤= [X, Y ] ∈T M ⊤= [X, Y ], entonces la conexión es simétrica. Y finalmente se comprueba que es compatible con la métrica g. Considerando X, Y, Z ∈X(M), Xg(Y, Z) = ˜g(˜ ∇XY, Z) + ˜g(Y, ˜ ∇XZ) = Y,Z∈X(M)g(( ˜ ∇XY)⊤, Z) + g(Y, (˜ ∇XZ)⊤) = g(˜ ∇⊤ XY, Z) + g(Y, ˜ ∇⊤ XZ). A partir de la fórmula de Gauss se sigue la interpretación directa de que la segunda forma fundamental no es más que una medida de la diferencia entre la conexión de Riemann intrínseca en My la conexión de Riemann de la variedad ambiente. Veremos a continuación que servirá para relacionar los tensores de curvatura de My˜ M, por lo que también participará en la cuantificación de sus diferencias. Hasta ahora solo hemos considerado campos de vectores tangentes a la subvariedad M. Estudiaremos a continuación la derivada covariante de campos de vectores normales a la subvariedad respecto a campos de vectores tangentes. Sea U∈X⊥(M)un campo de vectores normal a M. Si Y∈X(M), entonces ˜g(U, Y )=0en todos los puntos p∈M. Sin embargo, la derivada covariante de un campo de vectores se puede descomponer en una componente normal y otra tangencial a la subvariedad, por lo que dado otro campo de vectores X∈X(M),˜g(˜ ∇XU, Y )será en general no nulo. Teorema 6.5 (Ecuación de Weingarten).Dados X, Y ∈X(M), U ∈X⊥(M), que pueden ser extendidos de forma arbitraria a la variedad ambiente ˜ M, entonces para cualquier punto de M ˜g(˜ ∇XU, Y ) = −˜g(II(X, Y ), U). La demostración se sigue de forma inmediata de la compatibilidad de la métrica y la conexión de Levi Civita. Basta considerar ˜ X, ˜ Y , ˜ U∈X(˜ M)extensiones a la variedad ambiente de los campos X, Y yU. Dada la compatibilidad de la conexión de Levi-Civita y la métrica ˜gde ˜ M, se tiene ˜ X˜g(˜ Y , ˜ U) = ˜g(˜ ∇˜ X˜ Y , ˜ U) + ˜g(˜ Y , ˜ ∇˜ X˜ U). Al restringirnos a la subvariedad M:X : 0 ˜g(˜ Y , ˜ U)|M= ˜g(˜ ∇XY, U) + ˜g(Y, ˜ ∇XU). Entonces se llega a la ecuación de Weingarten: ˜g(˜ ∇XU, Y ) = ˜g(II(X, Y ), U) = −˜g(II(X, Y ), U). Podemos ahora relacionar los tensores de curvatura definidos en la variedad ambiente ˜ My la subvariedad Ma partir de la llamada ecuación de Gauss. Teorema 6.6 (Ecuación de Gauss).Dados X, Y, Z, T ∈X(M)campos de vectores tangentes a M, se verifica: ˜ R(X, Y, Z, T) = R(X, Y, Z, T )−˜g(II(X, T),II(Y, Z)) + ˜g(II(X, Z),II(Y, T)). 40 6. Subvariedades Demostración. Denotemos indistintamente por X, Y, Z, T a los campos de vectores tangentes a My a cualquier extensión de los mismos al espacio ambiente. ˜ R(X, Y, Z, T) = ˜g(˜ ∇X˜ ∇YZ−˜ ∇Y˜ ∇XZ−˜ ∇[X,Y ]Z, W) = ˜g˜ ∇X(∇YZ+ II(Y, Z)) −˜ ∇Y(∇XZ+ II(X, Z)) −(∇[X,Y ]Z+ II([X, Y ], Z)), T =g(∇X∇YZ, T)−˜g(˜ ∇X(II(Y, Z)), T)−g(∇Y∇XZ, T) −˜g(˜ ∇Y(II(X, Z)), T )−g(∇[X,Y ]Z, T) =R(X, Y, Z, T )−g(II(X, T),II(Y, Z)) + g(II(Y, T),II(X, Z)). Ejemplo 6.7. Como aplicación de los resultados vistos hasta el momento podemos considerar el caso particular de una hipersuperficie Men Rn. Sea N∈X⊥(M)un campo de vectores unitario ortogonal a Mfijado. Por ser unitario ˜g(N, N) = 1, para cualquier campo de vectores X∈X(M)se tiene 0 = X˜g(N, N) = 2˜g(˜ ∇XN, N), y por tanto, ˜ ∇XN= ( ˜ ∇XN)⊤. Se define el operador de configuración como el campo de tensores de tipo (1,1) sobre Mdeterminado por X∈X(M)7→ s(X) = −˜ ∇XN. Utilizando la ecuación de Weingarten, se tiene que el operador configuración es autoadjunto: g(s(X), Y ) = −g(˜ ∇XN, Y ) = ˜g(II(X, Y ), N) = ˜g(II(Y, X), N) = −g(˜ ∇YN, X) = g(X, s(Y)). Consecuentemente, como Mes una hipersuperficie, la dimensión del espacio tangente es n−1, luego II(X, Y ) = ˜g(II(X, Y ), N)N. Podemos definir a partir de esta condición un campo de tensores de tipo (0,2) sobre M h(X, Y ) = ˜g(II(X, Y ), N) = −˜g(˜ ∇XN, Y ) = ˜g(s(X), Y ), que es equivalente a la segunda forma fundamental. Si ahora particularizamos a una superficie Sen R3podremos obtener el teorema Egregium de Gauss, que establece que la curvatura de Gauss de una superficie es invariante bajo isometrías. Teorema 6.8. Dada una superficie regular Sde R3, la curvatura de Gauss en un punto p∈M coincide con la curvatura seccional del plano TpM, y por lo tanto: Kp=R(u1, u2, u2, u1) R0(u1, u2, u2, u1), para una base cualquiera {u1, u2}de TpM. Demostración. Fijado un campo de vectores Nnormal a S, hemos visto que el operador configuración es un (1,1)-campo de tensores autoadjunto, por lo que, para cada punto p∈M,s diagonaliza en una base ortonormal de TpM. Denotemos por λ1, λ2los dos autovalores reales de srespecto a una base ortonormal {E1, E2}. De la ecuación de Gauss, para el caso particular de R3y la métrica usual, tenemos que: 0 = ˜ R(E1, E2, E2, E1) =R(E1, E2, E2, E1)−g(II(E1, E1),II(E2, E2)) + g(II(E1, E2),II(E2, E1)) =R(E1, E2, E2, E1)−λ1λ2, (6.1) 41 de donde se sigue que Kp(TpM) = R(E1, E2, E2, E1) R0(E1, E2, E2, E1) | {z } =1 =R(E1, E2, E2, E1) = λ1λ2= det(s). Por lo tanto, la curvatura de Gauss se conservará a través de isometrías. Como corolario de este ejemplo, y teniendo en cuenta la definición de curvatura escalar y su relación con la curvatura seccional, se sigue que en superficies en R3la curvatura escalar es el doble que la curvatura de Gauss. Ejemplo 6.9. Variedades con curvatura seccional constante positiva: la esfera de radio R. Sn(R)puede obtenerse como la imagen inversa del valor regular Rde la función f:Rn→R, f(x) = x2 1+. . . +x2 n. Por lo tanto, un vector normal a Sn(R)unitario es N=1 2R∇f. Además, Hess(f)=2g. Entonces, si consideramos dos campos de vectores X, Y ∈X(Sn(R)), tenemos: II(X, Y ) = 1 2R⟨∇X∇f, Y ⟩N=1 2RHess(f)(X, Y )N=1 Rg(X, Y )N. Por lo tanto, R(X, Y, Z, T ) = ⟨II(X, T),II(Y, Z)⟩−⟨II(X, Z),II(Y, T)⟩=1 R2R0(X, Y, Z, T ). Teniendo en cuenta los resultados 5.11 y 6.8 concluimos que la curvatura de Gauss de la esfera de radio R es constante e igual a 1 R2. Ejemplo 6.10. Variedades con curvatura seccional constante negativa: el modelo del hiperboloide del espacio hiperbólico. La métrica definida en el espacio de Minkowski viene dada por por el producto escalar g0(x, x) = (x1)2+. . . + (xn)2−(xn+1)2. Esta métrica no es una métrica de Riemann, pues no es definida positiva. Se definen así los vectores temporales (g0(x, x)<0) y espaciales (g0(x, x)>0), siendo los vectores con g0(x, x)=0 el cono de luz. El espacio hiperbólico de radio R > 0se define como Hn(R) = {x ∈Ln+1 tales que g0(x, x) = −R2, xn+1 >0}, es decir como la imagen recíproca de −R2para la aplicación f:Ln+1 →R, f(x) = x2 1+. . . +x2 n−x2 n+1. Realizamos ahora un argumento análogo al de la esfera para obtener la curvatura de Hn(R). En primer lugar, calculemos el gradiente de f. df =∂f ∂xidxi= 2x1dx1+. . . + 2xndxn−2xn+1dxn+1, ∇f(x) = ♯df(x) = dfkgkl∂l(x)=2x1∂1+. . . + 2xn∂n−(−2xn+1)∂n+1 = 2x. Entonces g(∇f, ∇f) = 4g(x, x) = −4R2, lo que nos permite definir un campo de vectores normal a Hn(R)y unitario como N=1 2R∇f,∥N∥=−1. A partir de este campo de vectores normal al espacio hiperbólico podemos ver que la métrica ι∗g0obtenida al restringir la métrica 48 7. Variedades de Einstein normales de área. 0 = d dt|t=0 ZQqdet(g[t]ij)du1du2=ZQ d dt|t=0qdet(g[t]ij)du1du2 =ZQ 1 2pdet(gij) d dt|t=0 det(g[t]ij)du1du2 =ZQ 1 2pdet(gij)dg[t]11 dt |t=0g22 +g11 dg[t]22 dt |t=0 −2g12 dg[t]12 dt |t=0du1du2 =ZQ 1 pdet(gij)(−2hLijg22 −2hL22g11 −4hL12g12)du1du2 =ZQ−h det(gij)(L11g22 +L22g11 −2L12g12)qdet(gij)du1du2 = eq (7.5) −ZQ 2hHqdet(gij)du1du2. Bastará con considerar ahora como función arbitraria hla curvatura media H, lo que implicaría que una superficie será minimal si, y solo si, H≡0. En conclusión, si consideramos −2Hcomo el gradiente del funcional de área, entonces la superficie dada por la parametrización x es minimal si, y solo si, el funcional de área es estacionario, es decir, H≡0. Definición 7.11. Dada una variedad de Riemann (M, g)compacta y orientada, con elemento de volumen dVg=pdet(gij)dx1∧···∧dxn, se define el funcional de Hilbert-Einstein como el funcional Sque asocia a cada métrica de Riemann su curvatura escalar total: S:M −→ R g7−→ Sg=ZM τgdVg, donde Mdenota todas las posibles métricas de Riemann sobre la variedad M. Definición 7.12. Fijada una métrica gsobre una variedad Mse define una variación de la métrica en la dirección hsegún el parámetro tcomo g[t] := g+th, donde hes un campo de tensores simétrico de tipo (0,2) y tes un parámetro real. Observación 7.13.Como la matriz asociada a la métrica de Riemann definida sobre una variedad en una base ortonormal es la identidad, se tiene que, para valores de tsuficientemente pequeños, la variación de la métrica está bien definida y g[t]es no degenerada. Definición 7.14. Sea g[t] = g+th una variación de la métrica sobre M. Denotaremos por δS(t) a la derivada direccional de Sen la dirección de h, es decir: δS(t) = d dtS(g+th). 7.1. El funcional de Hilbert-Einstein 49 Ejemplo 7.15. Si la variedad de Riemann Mtiene dimensión 2, entonces, por el teorema de Gauss-Bonnet, la curvatura total escalar será constante e igual a 4πχ(M), con χ(M)la característica de Euler de M. Por lo tanto, sea cual sea la variación que consideremos de la métrica, la curvatura escalar total seguirá siendo la misma y constante, por lo que todas las métricas son puntos críticos del funcional de Hilbert-Einstein. Para poder resolver el problema variacional presentado, necesitamos en primer lugar obtener una expresión del mismo. Para ello comenzamos calculando la derivada con respecto al parámetro tdel elemento de volumen. Lema 7.16. Dada la métrica g[t] = g+th y su elemento de volumen asociado dV [t], se verifica que: d dtt=0 dV [t] = 1 2trg(h)dVg. Demostración. La demostración para el caso de dimensión 2 se ha visto en el Ejemplo 7.10. Para el caso n≥3consideremos inicialmente una matriz cuadrada de dimensión n×n,A, con coeficientes aij. Denotemos por Aij a los menores de Aresultantes de la eliminación de la i-ésima fila y la j-ésima columna. Entonces la matriz de adjuntos de Atiene por elementos adj A= (−1)i+jdet Aij. Por otro lado, la relación entre la matriz inversa de Ay la matriz de adjuntos es (adj A)t= det AA−1. Por lo tanto: det A=Pn i,j=1(−1)i+jaij det Aij. Si consideramos los coeficientes de la matriz Acomo variables tenemos que ∂det A ∂aij = (−1)i+jdet Aij = (adjA)ij = det AA−1 ji . Volvamos ahora al cálculo de la derivada del diferencial de volumen: dV [t] = pdet g[t]dx1∧ ···∧dxn. d dtpdet g[t] = 1 2pdet g[t] d dt det g[t] = 1 2pdet g[t] ∂det g[t] ∂g[t]ij | {z } det gt(g[t])−1 ji ∂g[t]ij ∂t | {z } hij . Entonces d dt |t=0 pdet g[t] = 1 2√det gdet ggjihij =1 2√det gtrg(h), y por lo tanto d dtt=0 dV [t] = d√det gt dt t=0 dx1∧···∧dxn=1 2trg(h)pdet gdx1∧···∧dxn=1 2trg(h)dVg. Para simplificar la notación definimos a continuación el producto escalar de dos tensores. Empezaremos por su definición en el nivel algebraico pasando a continuación a su extensión a variedades de Riemann. Definición 7.17. Sea Vun espacio vectorial sobre el que se ha definido un producto escalar ⟨·,·⟩, con matriz asociada g, y sea {ei}iuna base ortonormal de V. Dados dos tensores de tipo 50 7. Variedades de Einstein (0,2) simétricos T=Tijei⊗ejyS=Sijei⊗ejsobre V, definimos el producto escalar de T yScomo: ⟨T, S⟩=TαβSαβ =TαβSijgiαgjβ. Como caso particular de interés del producto escalar de dos tensores tipo (0,2) simétricos destacamos ⟨T, g⟩=Tijgij = trgT. Para el caso de variedades de Riemann (M, g), podemos definir un producto escalar de dos campos de tensores de tipo (0,2) simétricos considerando su evaluación en los puntos de la variedad. Para el elemento de volumen dVgdefinido sobre M, podemos definir productos escalares sobre la variedad en los cuales estén involucrados integrales. Para la siguiente definición recordemos que hemos denotado por Tk ℓ(M)al fibrado de (ℓ,k)-tensores sobre la variedad M. Definición 7.18. Dada una variedad de Riemann (M, g)compacta definimos: ⟪·,·⟫:T2 0(M)×T2 0(M)−→ R (T, S)7−→ ⟪T, S⟫=ZM⟨T, S⟩dVg. En la definición anterior, considerando una referencia local ortonormal {E1, . . . , En}tenemos ⟪T, S⟫=RMPi,j T(Ei, Ej)S(Ej, Ei)dVg, es decir, para una referencia ortonormal, el producto interno en la Definición 7.18 no es más que la integral de la traza total del tensor tipo (2,2) determinado por T⊗ˆ S, donde ˆ Ses el campo de tensores tipo (2,0) métricamente equivalente a S. Además, dado que el producto escalar es definido positivo, ⟪T, S⟫≥0. A partir del producto escalar observamos que para aquellas variaciones g+th que mantengan el volumen constante, d dt t=0 RMdV [t]=0: 0 = d dtt=0 ZM dV [t] = ZM d dtt=0 dV [t] = ZM⟨h, g⟩dVg=⟪h, g⟫. Es decir, la métrica y el tensor hson ortogonales como campos de tensores. Usando la notación introducida por el producto escalar, procedemos finalmente al cálculo de las variaciones del funcional de Hilbert-Einstein. Teorema 7.19 (Variación de la curvatura escalar total).Dada una variedad diferenciable compacta y orientable My dada g[t] = g+th una variación de la métrica gsobre M, se tiene que: d dtt=0 S(g[t]) = ⟪τ 2g−ρ, h⟫ 7.1. El funcional de Hilbert-Einstein 51 Demostración. Para la demostración de este resultado, además del teorema de la divergencia, usaremos las propiedades de las coordenadas normales, en particular, las enunciadas en la Proposición 4.13. Fijaremos un punto p∈My denotaremos por (x1, . . . , xn)un sistema de coordenadas normales centradas en p. En este caso, Γk ij(p)=0y∂igjk(p)=0, para cualesquiera i, j, k = 1, . . . , n. Los cálculos que se realizarán a continuación se entenderán locales, es decir, evaluados en el punto p. Necesitaremos la expresión de d dt g[t]ij. Partiremos del hecho de que g[t]ilg[t]jl =δj i. Entonces: 0 = d dtg[t]ilg[t]jl = ( d dtg[t]il)g[t]jl +g[t]il(d dtg[t]jl). Por definición de g[t] = g+th, tenemos que, 0 = hilg[t]jl +g[t]il(d dt g[t]jl). Multiplicando por g[t]ij, se tiene 0 = d dtg[t]klg[t]ikg[t]ij +g[t]klhikg[t]ij =d dtg[t]klδj k+g[t]klhikg[t]ij =d dtg[t]jl +g[t]klg[t]ijhik. Como consecuencia, evaluando en t= 0, d dtgjl =−gklgijhik =−hlj. Debemos de obtener la derivada del funcional de Einstein, y por lo tanto, necesitamos la derivada de la curvatura escalar, pues ya hemos obtenido la derivada de dV [t]en el Lema 7.16. Para ello comenzamos obteniendo la derivada temporal de los símbolos de Christoffel. Dado que las primeras derivadas de la métrica se anulan en py d dt |t=0 ∂ig[t]jl =∂ihjl = (∇ih)(∂j, ∂l) = ∂ihjl −h(∇i∂j, ∂l)−h(∂j,∇i∂l) = ∂ihjl, se sigue: d dtt=0 Γ[t]k ij =d dtt=0 g[t]kl 2(∂ig[t]jl +∂jg[t]il −∂lg[t]ij) =1 2 d dt |t=0 g[t]kl(∂igjl +∂jgil −∂lgij) + 1 2gkl d dt |t=0 (∂ig[t]jl +∂jg[t]il −∂lg[t]ij) =1 2gkl ((∇ih)jl + (∇jh)il −(∇lh)ij). Además: R(∂i, ∂j)∂k=∇i∇j∂k−∇j∇i∂k=∇iΓl jk∂l−∇jΓl ik∂l =∂iΓl jk∂l+ Γl jk∇i∂l−∂lΓl ik∂l−Γl ik∇j∂l={Γl jk −Γl ik}∂l, con lo que se tiene que Rl ijk =∂iΓl jk −∂jΓl ik.Para calcular su derivada temporal denotando con X, Y, Z, V campos de vectores obtenidos como combinaciones lineales de los campos coordenados correspondientes a un sistema de coordenadas normales centrado en p, y evaluando en el punto p, se sigue: (∇2h)(X, Y ;Z, V )=(∇V(∇Zh))(X, Y ) =∇V(∇h)(X, Y ;Z)−∇h(∇VX, Y ;Z)−∇h(X, ∇VY;Z)−∇h(X, Y ;∇VZ) =∇V(∇Zh)(X, Y )−(∇∇VZh)(X, Y )−(∇Zh)(∇VX, Y )−(∇Zh)(X, ∇VY) =∇V{∇Zh(X, Y )−h(∇ZX, Y )−h(X, ∇ZY)}, 52 7. Variedades de Einstein de donde se sigue que (∇2h)(∂i, ∂j;∂k, ∂l) = ∂k∂lhij.Entonces: d dtt=0 R[t]l ijk =d dt∂iΓl jk −d dt∂jΓl ik =1 2∂iglp {(∇jh)kp + (∇kh)jp −(∇ph)jk}− 1 2∂jglp {(∇ih)kp + (∇kh)ip −(∇ph)ik} =1 2glp ∇2 ijhkp +∇2 ijhjp −∇2 iphjk −∇2 jihkp −∇2 jkhip +∇2 jphik. Calcularemos ahora la derivada temporal de las componentes tensor de Ricci: d dtt=0 ρ[t]ik =d dtt=0 Rq qik =1 2gqp ∇2 qihkp +∇2 qkhip −∇2 qphik −∇2 iqhkp −∇2 ikhqp +∇2 iphqk =1 2gpq −∇2 ikhpq +∇2 qkhip −∇2 pqhik +∇2 qihpk. Finalmente, podemos obtener la expresión de la derivada temporal de la curvatura escalar teniendo en cuenta que, para una aplicación f∈F(M), se tiene que en coordenadas normales y evaluando en el punto p,△f= trg(Hess(f)) = gik Hess(f)ik =gik(∂2f ∂i∂j−Γk ij∂kf) = gik∇2 ijf, d dtt=0 τ[t] = ρik(d dtt=0 g[t]ki)+( d dtt=0 ρ[t]ik)gki =−ρikhik +1 2gikgpq −∇2 ikhpq +∇2 qkhip −∇2 pqhik +∇2 qihpk =−⟨ρ, h⟩+ div1div2h−gikgp1∇2 ikhpq =−⟨h, ρ⟩+ div1div2h−∆ trgh, en donde hemos señalado el argumento en el cual se realiza la contracción en el tensor hen el cálculo de la divergencia. Para calcular la derivada del funcional de Hilbert-Einstein, bastará integrar las expresiones obtenidas hasta el momento, para lo que usaremos el teorema de la divergencia: d dtt=0 ZM τ[t]dV [t] = ZM d dtt=0 τ[t]dVg+ZM τ[t]d dtt=0 dV [t] =ZM{−⟨ρ, h⟩−∆ trgh+ div1div2h}dVg+ZM 1 2τ⟨h, g⟩dVg =ZM⟨−ρ+τ 2g, h⟩dVg=⟪−ρ+τ 2g, h⟫. Ahora que hemos obtenido la expresión para las variaciones del funcional de Hilbert-Einstein ya estamos en disposición de saber cuáles son los puntos críticos de dicho funcional. En particular, tendremos que una variedad de Riemann (M, g)es S-crítica si d dt t=0 S(g[t]) = 0, para cualquier variación de g, es decir, para cualquier h. Esto ocurre si, y solo si, ⟪ρ−τ 2g, h⟫= 0,∀h∈T2 0(M)sim, es decir, si, y solo si, ρ−τ 2g= 0. Hemos visto que para variedades de dimensión 2, esto siempre se cumple, por lo que no podemos distinguir aquellas métricas que sean óptimas. 7.1. El funcional de Hilbert-Einstein 53 Para el caso de variedades con dimensión mayor que 2, τ= trgρ= tr τ 2g=τ 2trgg=τ 2n, de donde se sigue que τ=τ 2ny por lo tanto (n−2)τ= 0. Como, por hipótesis, n > 2, necesariamente τ= 0, lo cual implicaría que ρ= 0 y se dice que la variedad (M,g) es Ricci llana. Además del propio resultado matemático al que hemos llegado, existen profundas consecuencias físicas asociadas al mismo. Para entender la aplicación del tensor de Einstein ρ−τ 2gen campos como la Relatividad General debemos recordar en primer lugar el caso particular newtoniano de la ecuación de Poisson. La ecuación de Poisson es una ecuación elíptica en derivadas parciales usada en diversos campos de la física y toma la forma ∇·g=−4πGρ en el ámbito de la gravedad newtoniana, relacionando de esta forma el campo gravitatorio gy la densidad ρde un objeto masivo. Si además el campo gravitacional es conservativo, derivará de un potencial ϕ, y la ecuación de Poisson resulta ∇2ϕ=−4πGρ . Con esta idea, Einstein intentó comprender la gravedad newtoniana dentro del marco de de Relatividad General, por lo que se hacía necesario encontrar una ecuación diferencial que relacionara el tensor de energía de la materia y la métrica del espacio. Dado que la ecuación de Poisson de la gravedad newtoniana depende de las segundas derivadas del potencial ϕ, el tensor derivado de la métrica debería contener solamente derivadas segundas de gµν, su divergencia debería ser nula, y la dependencia con las derivadas segundas debería ser lineal. Es pues el tensor de Einstein estudiado hasta el momento el candidato perfecto. De esta discusión, para el caso del Universo regido por la métrica de Lorentz ds2=c2dt2−dr2, dr2=dx2+dy2+dz2, resultan las Ecuaciones de campo de Einstein:G=ρ−τ 2g=T, donde Tes el tensor de energía-momento conteniendo toda la información de la densidad de energía y momento del sistema. La métrica de la variedad se interpreta como el potencial gravitacional de la materia. En el Teorema 7.19 hemos visto que las variedades que minimizan el tensor de curvatura total son aquellas con G=ρ−τ 2g= 0, es decir, el caso de variedades Ricci llanas donde el tensor de energía-momento es nulo, el vacío. Estos espacios son denominados espacios de Einstein especiales. Para obtener puntos críticos distintos de las métricas Ricci llanas debemos restringir el funcional de Einstein. Hasta ahora hemos considerados todas las variaciones de la métrica gposibles, independientemente de los cambios en el volumen de la variedad asociados. A continuación nos restringiremos a variaciones de la métrica para las cuales el volumen total no cambia, lo que implica que pasaremos de un problema variacional a un problema de multiplicadores de Lagrange. Teorema 7.20. Sea (M, g)una variedad de Riemann compacta de dimensión n≥3yg[t] = g+th una variación de la métrica gde forma que Vol(M, g[t]) = RMdV [t]es constante. Entonces d dt t=0 S(g[t]) = 0 si y solo si (M, g)es una variedad de Einstein. Demostración. Tenemos que probar que la restricción de Sal subconjunto M0⊂ M de métricas 54 7. Variedades de Einstein con volumen constante tiene un punto crítico condicionado en las variedades de Einstein. Como el volumen es constante ⟪h, g⟫= 0.Entonces, en el Teorema 7.19, 0 = d dt|t0 S(g[t]) = ⟪τ 2g−ρ, h⟫, para todo campo de tensores hortogonal a g. Así pues se tiene que el tensor de Einstein τ 2g−ρ ha de ser un múltiplo del tensor métrico: τ 2g−ρ=λg para alguna función λ:M→R. Tomando trazas se sigue que ρ=τ ng, entonces ρ=λ+τ 2g, lo que muestra que (M, g)es una variedad de Einstein. Siguiendo la aplicación directa a la Relatividad General vista para el caso sin restricciones, el hecho de que las variedades de Einstein sean críticas para el funcional restringido tiene implicaciones importantes. Ante las incompatibilidades detectadas entre las observaciones del Universo y las Ecuaciones de campo de Einstein, Einstein introdujo un término a mayores sin dar explicación de su significado, pero que era necesario para que las observaciones y la teoría coincidiesen. Este término es Λg, donde Λes la llamada constante cosmológica, y a día de hoy, sigue sin saberse qué representa exactamente. Las ecuaciones de campo con constante cosmológica resultan ρ−τ 2g+ Λg=T. Entonces, para el caso de un espacio vacío, T= 0, obtenemos que ρ=τ 2g−Λg, es decir, la constante cosmológica es el coeficiente de Lagrange del problema variacional con restricciones que acabamos de resolver. Tomando trazas a ambos lados, y teniendo en cuenta que estamos en una variedad de dimensión 4 (espacio-tiempo) resulta τ= 4τ 2−4Λ ⇒Λ = τ 4. Esto implica que la constante cosmológica está acoplada a la métrica, específicamente con la curvatura escalar. Aunque la curvatura escalar es cuatro veces mayor que la constante cosmológica, llama la atención que un objeto que antes no estábamos considerando contribuye a la curvatura del Universo. La constante cosmológica fue introducida principalmente para evitar el colapso del Universo que se derivaba de los modelos esféricos que solo consideraban materia y radiación. Esta constante serviría para contrarrestar parte de la fuerza de gravedad pero como no existían pruebas experimentales ni observaciones de la misma en la época, se dedujo que debería ser suficientemente pequeña como para ser indetectable. Tras el análisis de distintos modelos en los que se involucraba la constante cosmológica, se observó que la densidad de energía asociada a la constante cosmológica permitía la conservación de la densidad de energía total en el universo, por lo que se le denominó energía de vacío. 7.1. El funcional de Hilbert-Einstein 55 Actualmente se asocia la constante cosmológica a la energía oscura (diferente a la materia oscura) y según el modelo “Benchmark” del Universo, que es el que mejor se ajusta a las observaciones, corresponde con el 68% de su contenido. La materia bariónica, de la cual estamos formados nosotros y las estrellas, es solamente el 4 % del Universo. 56 7. Variedades de Einstein Bibliografía [1] B. Andrews; C. Hopper. The Ricci flow in Riemannian geometry. A complete proof of the differentiable 1/4-pinching sphere theorem, Lecture Notes in Mathematics, Springer, Heidelberg (2011). [2] A. L. Besse, Einstein manifolds, Reprint of the 1987 edition, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin (2008). [3] M. P. do Carmo, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides 10 Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro (1979). [4] A. Gray, Tubes, Advanced Book Program, Addison-Wesley Publ. Co., Redwood City, CA (1990). [5] W. Kühnel, Differential geometry. Curves—surfaces—manifolds, Third edition, Translated from the 2013 German edition by Bruce Hunt, with corrections and additions by the author, Student Mathematical Library 77 American Mathematicla Society, Providence (2015). [6] S. Lang, Undergraduate analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York (1997). [7] J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Second edition, Graduate Texts in Mathematics 218 Springer, New York (2013). [8] J. M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds, Graduate Texts in Mathematics 176 Springer, Cham (2018). [9] J. M. Lee, Riemannian manifolds: an introduction to curvature, Graduate Texts in Mathematics 176. Springer-Verlag, New York (1997). [10] O. Müller, M. Sánchez, Lorentzian manifolds isometrically embeddable in Ln.Trans. Amer. Math. Soc. 363 (2011), 5367–5379. [11] J. F. Nash, The imbedding problem for Riemannian manifolds. Ann. of Math. (2) 63 (1956), 20–63. 57