Notas de geometría afín y euclídea

NOTAS DE GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA
MARÍA J. VALE GONSALVES
Es as son las no as u ilizadas du an e los cu sos 2020-21 y 2021-22 pa a impa i la ma e ia
Xeome ía Linea del G ado de Ma emá icas de la Uni e sidad de San iago de Compos ela.
Índice
1. ESPACIO AFÍN 3
1.1. Espacio a ín sob e un espacio ec o ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Re e encias a ines. Coo denadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Aplicacionesa ines ...................................... 22
1.4. Eje cicios............................................ 35
2. ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS 39
2.1. Espacios ec o iales euclídeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2. T ans o maciones o ogonales. Ma ices o ogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3. T ans o maciones o ogonales del plano ec o ial euclídeo . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4. Clasi icación de las ans o maciones o ogonales del plano ec o ial euclídeo . . . . . . 59
2.5. Clasi icación de las ans o maciones o ogonales del espacio ec o ial euclídeo idimen-
sional ............................................. 60
2.6. P oduc o ec o ial ...................................... 66
2.7. Eje cicios............................................ 69
3. ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO 71
3.1. Espaciosa ineseuclídeos................................... 71
3.2. El espacio a ín euclídeo idimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3. Mo imien os.......................................... 78
3.4. Mo imien os en el plano a ín euclídeo. Clasi icación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5. Mo imien os en el espacio a ín euclídeo idimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6. Eje cicios............................................ 92
4. CÓNICAS Y CUÁDRICAS 95
4.1. Luga es geomé icos en el plano a ín euclídeo: Ci cun e encia, Elipse, Hipé bola y Pa ábola 95
4.2. Cónicas............................................. 102
4.3. Cónicas en el plano a ín euclídeo. Ecuación educida de una cónica . . . . . . . . . . . 106
4.4. Clasi icación a ín de cónicas eales y complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5. Cen odeunacónica..................................... 117
4.6. Ejemplosdecónicas ..................................... 119
4.7. Cuád icas ........................................... 128
4.8. Cuád icas en el espacio a ín euclídeo idimensional. Ecuación educida de una cuád ica 130
4.9. Clasi icación a ín de cuád icas eales y complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.10.Cen odeunacuád ica.................................... 144
4.11.Ejemplosdecuád icas .................................... 146
4.12. In e sección de una cuád ica y un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.13.Eje cicios ........................................... 158
5. APÉNDICE 161
5.1. Vec o es............................................ 161
5.2. G upos............................................. 165
5.3. Teo emaespec al ...................................... 170
Bibliog a ía 174
2
1. ESPACIO AFÍN
En es e ema in oducimos el concep o de espacio a ín como una gene alización del plano y espacio
o dina io. Cada espacio a ín lle a asociado un espacio ec o ial y en los espacios a ines es udiamos
únicamen e las p opiedades geomé icas que se pueden deduci de las p opiedades de sus ec o es.
Un concep o undamen al en es e ema es el pa alelismo. La eo ía de igu as homo é icas es á
den o de la geome ía a ín. Los concep os de aslación y homo ecia y más en gene al el concep o de
aplicación a ín son concep os a ines. El es udio de longi udes, ángulos, pe pendicula idad y dis ancias
co esponde a la geome ía euclídea.
Las igu as que u ilizamos se e ie en al plano o espacio o dina io y es án aquí p incipalmen e pa a
apoya nues a in uición; las demos aciones deben hace se de o ma lógica y se independien es de las
igu as.
1.1. Espacio a ín sob e un espacio ec o ial
Sea Vun espacio ec o ial sob e un cue po K.
1.1.1.De inición. ([3, p. 498]) Un espacio a ín sob e el espacio ec o ial Ves una e na (A, V, →)
o mada po un conjun o no acío Acuyos elemen os se llaman pun os, el espacio ec o ial Vy una
ope ación ex e na:
→:A×A:−→ V
(P , Q)7−→ −−→
PQ
donde po −−→
PQ o ambién po −−→
P, Q deno amos la imagen po la aplicación →del pa (P, Q), e i icándose
los siguien es axiomas:
(1) Relación de Chasles: Pa a cualesquie a pun os P, Q, R ∈A, se e i ica −−→
PQ +−−→
QR =−→
PR.
(2) Pa a cada pun o P∈Ay cada ec o ∈V, exis e un único pun o Q∈A al que −−→
PQ = ;
gene almen e deno a emos Qpo P+ y en onces se iene que −−−−−→
P, P + = , pa a cada P∈A
y cada ∈V.
Con ecuencia deno a emos el espacio a ín (A, V, →)simplemen e po A. Si K=Rdi emos que A
es un espacio a ín eal. Si K=Cdi emos que Aes un espacio a ín complejo.
1.1.2.P oposición. Sea Aun espacio a ín sob e V. Se iene:
(1) P+−−→
P Q =Q, pa a odo P, Q ∈A.
(2) −−→
P P = 0, pa a odo P∈A.
(3) −−→
P Q =−−→
P Q0=⇒Q=Q0.
(4) −−→
P Q = 0 ⇐⇒ Q=P.
(5) −−→
Q P =−−−→
P Q, pa a odo P, Q ∈A.
(6) Relación del pa alelog amo: −−→
P Q =−−→
R T =⇒−−→
P R =−−→
Q T.
(7) P+ =P+ 0⇒ = 0.
(8) P+ (u+ )=(P+u) + , pa a odo P∈Ay pa a cualesquie a u, ∈V.
(9) P+ 0 = P, pa a odo P∈A.
Demos ación. (1) Se sigue de la de inición 1.1.1 (2).
(2) Dado que −−→
P P =−−→
P P +−−→
P P, se iene que −−→
P P = 0.
(3) Pongamos =−−→
P Q =−−→
P Q0. Po la de inición 1.1.1 (2),Q=P+ =Q0.
(4) Se sigue de (2) y(3).
(5) Es consecuencia de que −−→
P Q +−−→
Q P =−−→
P P = 0.
(6) Se iene −−→
P R =−−→
P Q +−−→
Q R =−−→
R T +−−→
Q R =−−→
Q R +−−→
R T =−−→
Q T.
(7) =−−−−−→
P, P + =−−−−−−→
P, P + 0= 0.
(8) Dado que
−−−−−−−−−−→
P, (P+u) + =−−−−−−→
P, P +u+−−−−−−−−−−−−−−→
P+u, (P+u) + =u+ =−−−−−−−−−−→
P, P + (u+ ),
el esul ado se sigue de (3).
(9) Se sigue de (3), pues o que −−−−−−→
P, P + 0 = 0 = −−→
P P.
4
1.1.3.Ejemplos.
(1) El conjun o de los pun os del plano (espacio) o dina io, jun o con el espacio ec o ial de los
ec o es lib es del plano (espacio) y con la aplicación que lle a cada pa de pun os P, Q del plano
(espacio) al ec o lib e [−−→
PQ], o man un espacio a ín.
(2) Sea Vun espacio ec o ial sob e K. La e na (V, V, →), donde pa a cualesquie a P, Q ∈V,
−−→
PQ =Q−P, es un espacio a ín. En e ec o, la elación de Chasles se e i ica pues o que
−−→
P Q +−−→
Q R = (Q−P)+(R−Q) = R−P=−−→
P R.
El axioma (2) se e i ica, pues o que pa a cada pun o P∈Vy cada ec o ∈Vel pun o
Q=P+ es el único pun o que e i ica la ecuación Q−P= .
Así, odo espacio ec o ial Vpuede se conside ado como un espacio a ín sob e V; es e espacio
a ín se llama el espacio a ín de Vy lo deno a emos po V.
1.1.4.De inición. Sea Pun pun o de Ay sea Uun subespacio de V. Se llama a iedad lineal o
subespacio a ín de Aque pasa po Py con di ección Ual conjun o
P+U={P+u|u∈U} ⊂ A.
1.1.5.Obse ación. Las a iedades lineales del espacio a ín de Vson los subconjun os de Vde la
o ma
P+U={P+u|u∈U},
donde P∈VyUes un subespacio de V, es deci , son los elemen os del espacio ec o ial cocien e V/U.
El espacio a ín Asob e el espacio ec o ial Ves una a iedad lineal de A. En e ec o, A=P+V,
pa a odo P∈A.
1.1.6.P oposición. Sea Aun espacio a ín sob e el espacio ec o ial V.
(1) Sea L=P+Uuna a iedad lineal de AyQ∈A. Son equi alen es:
(a)Q∈L.
5

(b)−−→
PQ ∈U.
(c)L=Q+U.
(2) Sea L=P+Uuna a iedad lineal de A. Si R, S ∈L, en onces −→
RS ∈U.
(3) Sean L1=P1+U1yL2=P2+U2 a iedades lineales de A. Se iene
L1⊂L2⇐⇒ P1∈L2, U1⊂U2.
y en pa icula ,
L1=L2⇒U1=U2.
Demos ación. (1) (a)⇒(b)Exis e u∈U al que Q=P+u. Po an o −−→
PQ =u∈U.
(b)⇒(c)Pa a cada u∈U, se iene
P+u=Q+−−→
QP +u∈Q+U.
Así, L⊂Q+U. De o ma simila se p ueba que Q+U⊂L.
(c)⇒(a)Q=Q+ 0 ∈Q+U=L.
(2) Po (1) se iene que L=R+Uy dado que S∈R+U,−→
RS ∈U.
(3) Si L1⊂L2, en onces P1∈L2y po (1),L2=P1+U2. Veamos que U1⊂U2. Si u1∈U1,
P1+u1∈L1⊂L2=P1+U2, luego exis e un ec o u2∈U2 al que P1+u1=P1+u2. De la
p oposición 1.1.2 (7), se sigue que u1=u2∈U2. Recíp ocamen e, si P1∈L2, en onces L2=P1+U2
y dado que U1⊂U2, se iene L1=P1+U1⊂L2.
1.1.7.Obse ación. Como consecuencia de la p oposición 1.1.6, oda a iedad lineal iene un único
subespacio di ección.
Veamos que oda a iedad lineal es un espacio a ín.
1.1.8.P oposición. Sea L=P+Uuna a iedad lineal de A. La e na (L, U, →), siendo →:L×L−→ U
la aplicación que lle a cada pa (Q, R)∈L×Lal ec o −−→
QR de V, es un espacio a ín sob e U.
Demos ación. Dado que Q, R ∈L, el ec o −−→
QR ∈U. La elación de Chasles se e i ica pa a los
pun os de L, pues o que se e i ica pa a los pun os de A. También se e i ica el axioma (2), pues o que
pa a cada pun o Q∈Ly cada ec o u∈Uel pun o R=Q+u∈L=Q+Ues el único pun o que
e i ica la ecuación −−→
QR =u.
1.1.9.De inición. Sea Vun espacio ec o ial sob e K. Una combinación lineal de los elemen os
1, . . . , ∈Ves una suma
X
i=1
λi i, λi∈K, i = 1, . . . , .
Si Ses un subconjun o de V, se llama subespacio gene ado po S, y se deno a po hSi, al conjun o de
odas las combinaciones lineales de los elemen os de odos los subconjun os ini os de S.
6
Si Ses un subconjun o de V, en onces hSies el meno subespacio de Vque con iene a S.
1.1.10.Obse ación. Una base de un espacio ec o ial Vde dimensión nes una n-pla ( 1, . . . , n)∈Vn
al que el conjun o { 1, . . . , n}gene a V; en pa icula , los ec o es 1, . . . , nson linealmen e inde-
pendien es.
1.1.11.De inición. Se llama dimensión del espacio a ín (A, V, →)a la dimensión de Vcomo espacio
ec o ial sob e K.
Si Aes un espacio a ín y L=P+Ues una a iedad lineal de A, en onces dim L= dimKU.
1.1.12.De inición. Se llaman ec as yplanos a los espacios a ines de dimensiones 1 y 2, espec i a-
men e. Si la dimensión de Aes n, se llaman hipe planos de Aa las a iedades lineales de dimensión
n−1. El espacio a ín A iene dimensión 0si, y solo si, A={P}, pa a algún P∈A. El conjun o acío
se conside a una a iedad lineal de dimensión −1.
1.1.13.P oposición. Si L1=P1+U1yL2=P2+U2son a iedades lineales de igual dimensión de
un espacio a ín AyL1⊂L2, en onces L1=L2.
Demos ación. Po la p oposición 1.1.6 (3),U1⊂U2yP1∈L2. Dado que dimKU1= dimKU2, se
iene que U1=U2y en onces, po la p oposición 1.1.6 (1),L2=P1+U2=P1+U1=L1.
1.1.14.P oposición. Si {Li}i∈Ies un conjun o de a iedades lineales de A, en onces Ti∈ILies una
a iedad lineal de A. Además, si Li=Pi+UiyQ∈Ti∈ILi,
i∈I
Li=Q+
i∈I
Ui.
Demos ación. Po la p oposición 1.1.6, Li=Q+Uipa a cada i∈Iy se iene
P∈
i∈I
Li⇐⇒ P∈Li,∀i∈I⇐⇒ −−→
QP ∈Ui,∀i∈I⇐⇒ −−→
QP ∈
i∈I
Ui⇐⇒ P∈Q+
i∈I
Ui.
Como consecuencia, si Ti∈ILi6=∅, en onces dim (Ti∈ILi) = dimK(Ti∈IUi).
1.1.15.De inición. Si S⊂A, se llama a iedad lineal gene ada po Sy la deno a emos po hhSii a la
a iedad lineal
hhSii =
i∈I
Li,
donde {Li}i∈Ies el conjun o de a iedades lineales de Aque con ienen a S.
La a iedad lineal gene ada po Ses la meno a iedad lineal de Aque con iene a S.
La siguien e p oposición da una desc ipción de los elemen es de hhSii.
1.1.16.P oposición. Si S6=∅un subconjun o de A, en onces
hhSii =Q+h−−→
QP |P∈Si,
pa a cualquie Q∈S.
7
Demos ación. La inclusión S⊂Q+h−−→
QP |P∈Sise sigue de las igualdades
Q=Q+ 0, P =Q+−−→
QP, ∀P∈S.
Si L=R+Ues una a iedad lineal de A al que S⊂L, en onces, po la p oposición 1.1.6,
L=Q+U, h−−→
QP |P∈Si ⊂ U.
Así,
Q+h−−→
QP |P∈Si ⊂ L.
1.1.17.Eje cicio. Sean SyS0subconjun os no acíos de A. P ueba que:
(1) S⊂ hhSii.
(2) Si S⊂S0, en onces hhSii ⊂ hhS0ii.
(3) Ses una a iedad lineal de Asi, y solo si, hhSii =S.
(4) Si A iene dimensión ini a, exis e un subconjun o ini o S0de S al que hhSii =hhS0ii.
(5) Dados P, Q ∈A, si Q∈ hhS∪{P}ii yQ6∈ hhSii, en onces P∈ hhS∪{Q}ii.
1.1.18.P oposición. Sean L1=P1+U1yL2=P2+U2 a iedades lineales de A. Se iene
L1 L26=∅⇐⇒ −−−→
P1P2∈U1+U2
Demos ación. Si L1∩L26=∅, exis en u1∈U1yu2∈U2 ales que P1+u1=P2+u2. En onces
P1=P2+u2−u1, de donde se sigue que −−−→
P1P2=u1−u2∈U1+U2.
Recíp ocamen e, si −−−→
P1P2∈U1+U2, exis en ec o es u1∈U1yu2∈U2 ales que −−−→
P1P2=u1+u2,
luego P2=P1+−−−→
P1P2=P1+u1+u2. Po an o P2−u2=P1+u1∈L1∩L2.
1.1.19.Obse ación. Si L1yL2son a iedades lineales de Asu unión conjun is a L1∪L2no es,
en gene al, una a iedad lineal de A. Si el cue po K iene ca ac e ís ica dis in a de 2 y L1∪L2es
una a iedad lineal, en onces L1⊂L2oL2⊂L1. En e ec o, sean L1=P1+U1yL2=P2+U2y
supongamos que Ues el subespacio di ección de L1∪L2. Dado que P1, P2∈L1∪L2, se iene que
−−−→
P1P2∈U, luego
P1+ 2 −−−→
P1P2∈L1∪L2.
Si P1+ 2 −−−→
P1P2∈L1, en onces 2−−−→
P1P2∈U1y si P1+ 2 −−−→
P1P2∈L2,
−−−→
P1P2=−−−→
P2P1+ 2 −−−→
P1P2=−−−−−−−−−−−→
P2, P1+ 2 −−−→
P1P2∈U2.
Po an o, si la ca ac e ís ica de Kes dis in a de 2 se iene que −−−→
P1P2∈U1∪U2, de donde se sigue que
L1∩L26=∅. Si P∈L1∩L2, en onces L1∪L2=P+U, luego U=U1∪U2, y po se Uun subespacio
de Vse iene que U1⊂U2oU2⊂U1. Po la p oposición 1.1.6, L1⊂L2oL2⊂L1.
Si K=Z2no se e i ica necesa iamen e que si L1∪L2es una a iedad lineal de A, en onces
L1⊂L2oL2⊂L1. En es e caso, las ec as de Ason odos los conjun os o mados po dos pun os
dis in os; po an o si P, Q ∈A,P6=Q, se iene que {P, Q}es una ec a.
8
1.1.20.De inición. Sea {Li}i∈Iun conjun o de a iedades lineales de A. Se llama a iedad lineal
unión osuma de las a iedades {Li}i∈Ide Aa la meno a iedad lineal de Aque con iene a Si∈ILi;
la deno a emos po ◦i∈ILi. Se iene
◦i∈ILi=hh[
i∈I
Liii.
En pa icula , si S={P1, . . . , P }, esc ibi emos P1◦. . . ◦P =hhSii.
La siguien e p oposición da una exp esión sencilla de los elemen os de L1◦L2.
1.1.21.P oposi ion. Si L1=P1+U1yL2=P2+U2son a iedades lineales de A, en onces
L1◦L2=P1+h−−−→
P1P2i+U1+U2.
Demos ación. Se iene que L1⊂P1+h−−−→
P1P2i+U1+U2pues o que P1+u1∈P1+h−−−→
P1P2i+U1+U2, pa a
cada u1∈U1yL2⊂P1+h−−−→
P1P2i+U1+U2po que P2+u2=P1+−−−→
P1P2+u2, pa a cada u2∈U2. Sea
L=Q+Uuna a iedad lineal de A al que L1∪L2⊂L. Dado que U1⊂UyU2⊂U, es U1+U2⊂U.
Pues o que P1, P2∈L, se iene que L=P1+Uyh−−−→
P1P2i ⊂ U. Así, P1+h−−−→
P1P2i+U1+U2⊂L.
1.1.22.Co ola io. Sea Aun espacio ec o ial de dimensión ini a y sean L1=P1+U1yL2=P2+U2
a iedades lineales de A. Se iene:
(1) Iden idad de G assmann pa a a iedades lineales a ines: Si L1∩L26=∅, en onces
dim (L1◦L2) + dim (L1 L2) = dim L1+ dim L2.
(2) Si L1TL2=∅, en onces
dim (L1◦L2) = 1 + dimK(U1+U2).
Demos ación. (1) Si L1∩L26=∅yQ∈L1∩L2, en onces L1∩L2=Q+ (U1∩U2)yL1◦L2=
P1+U1+U2. El esul ado se sigue de la iden idad de G assmann pa a subespacios.
(2) Si L1∩L2=∅, en onces −−−→
P1P26∈ U1+U2y po an o h−−−→
P1P2i ∩ (U1+U2) = {0}. Así,
dim (L1◦L2) = 1 + dimK(U1+U2).
1.1.23.De inición. Se dice que las a iedades lineales L1=P1+U1yL2=P2+U2son pa alelas,
si U1⊂U2oU2⊂U1. Se esc ibe L1kL2.
1.1.24.P oposición. Sean L=Q+U,L1=P1+U1yL2=P2+U2 a iedades lineales de A. Se
iene:
(1) Si L1kL2ydim L1= dim L2, en onces U1=U2.
(2) Si L1kL2yL1∩L26=∅, en onces L1⊂L2oL2⊂L1; además, si dim L1= dim L2, en onces
L1=L2.
(3) La “ elación de pa alelismo” es una elación de equi alencia en el conjun o de las a iedades
lineales de la misma dimensión de un espacio a ín.
9
(2) Dado que
−−→
QP =
n
X
i=1
xi i, =
n
X
i=1
zi i,−−−−−→
Q, P + =−−→
QP +−−−−−→
P, P + =−−→
QP + ,
se iene
−−−−−→
Q, P + =
n
X
i=1
(xi+zi) i.
(3) Se sigue del lema 1.2.11 y de (1) y (2).
1.2.13.De inición. Sean B= ( 1, . . . , n)yB0= ( 0
1, . . . , 0
n)bases de un espacio ec o ial Vy sea
0
i=
n
X
j=1
aji j, i = 1, . . . , n.
La ma iz
idB0B=


a11 . . . a1n
.
.
.....
.
.
an1. . . ann


= (aij)
se llama ma iz de cambio de base de B0aB.
1.2.14.P oposición. Sean Luna a iedad lineal de A,R={P1, . . . , Pn;Q}una e e encia de A,
R0= (P0
1, . . . , P0
;Q0)una e e encia de L,BR= ( 1, . . . , n)yBR0={ 0
1, . . . , 0
}. Supongamos que
(a1, . . . , an)son las coo denadas de Q0en Ry que
0
j=
n
X
i=1
aij i, j = 1, . . . , .
Si Pes un pun o de Lde coo denadas (x1, . . . , xn)en Ry(x0
1, . . . , x0
)en R0, en onces



x1
.
.
.
xn


=


a1
.
.
.
an


+


a11 . . . a1
.
.
.....
.
.
an1. . . an





x0
1
.
.
.
x0


,
que es la ecuación ma icial del cambio de coo denadas de los pun os de Lde la e e encia R0a la
e e encia R.
16

Demos ación. Dado que −−→
QP =−−→
QQ0+−−→
Q0P, se iene
n
X
i=1
xi i=
n
X
i=1
ai i+
X
j=1
x0
j 0
j=
n
X
i=1
ai i+
n
X
j=1
x0
j(
n
X
i=1
aij i)
=
n
X
i=1
ai i+
n
X
i=1
(
X
j=1
aijx0
j) i,
de donde se sigue
xi=ai+
X
j=1
aijx0
j, i = 1, . . . , n.
1.2.15.Cambio de coo denadas.
Sean R={P1, . . . , Pn;Q}yR0={P0
1, . . . , P0
n;Q0} e e encias de A,BR= ( 1, . . . , n)yBR0=
( 0
1, . . . , 0
n). Sea Pun pun o de coo denadas (x1, . . . , xn)en la e e encia Ry coo denadas (x0
1, . . . , x0
n)
en la e e encia R0. Si idBR0BR= (aij)es la ma iz de cambio de base de BR0aBR, en onces



x1
.
.
.
xn


=


b1
.
.
.
bn


+


a11 . . . a1n
.
.
.....
.
.
an1. . . ann





x0
1
.
.
.
x0
n


,
donde (b1, . . . , bn)son las coo denadas de Q0en R. Es a ecuación se llama ecuación ma icial del
cambio de coo denadas de R0aR.
Demos ación. Es un caso pa icula de la p oposición 1.2.14; bas a oma L=A.
17
1.2.16.P oposición. Sea R={P1, . . . , Pn;Q}una e e encia de AyBR= ( 1, . . . , n). El conjun o S
de pun os de Acuyas coo denadas (x1, . . . , xn)en Rson solución del sis ema de ecuaciones lineales
c11x1+. . . +c1nxn=d1
c21x1+. . . +c2nxn=d2
.
.
.....
.
..
.
.
cm1x1+. . . +cmnxn=dm,
donde cij, di∈K, i = 1, . . . m , j = 1, . . . , n, es una a iedad lineal de Ay si S6=∅, en onces la
dimensión de Ses n− ango (cij). Los ec o es de la di ección de Sson los ec o es cuyas coo denadas
en BRson solución del sis ema de ecuaciones lineales homogéneo asociado al an e io .
Demos ación. Si :V→Kmes la aplicación lineal de inida po
( i) = (c1i, . . . , cmi), i = 1, . . . , n,
en onces
(
n
X
i=1
xi i) = (
n
X
i=1
c1ixi,...,
n
X
i=1
cmi xi).
Si Pes el pun o de coo denadas (x1, . . . , xn)en R, se iene
P∈S⇐⇒
n
X
i=1
cji xi=dj, j = 1, . . . , m ⇐⇒ n
X
i=1
c1ixi,...,
n
X
i=1
cmi xi= (d1, . . . , dm),
es deci , P∈Ssi, y sólo si, (−−→
QP)=(d1, . . . , dm). Si A∈S, en onces S=A+Nuc , donde
Nuc ={ ∈V| ( )=0}; en e ec o,
P∈S⇐⇒ (−−→
QP)=(d1, . . . , dm) = (−→
QA)⇐⇒ −−→
QP−−→
QA ∈Nuc ⇐⇒ −→
AP ∈Nuc ⇐⇒ P∈A+Nuc .
Po an o,
dim S= dimKNuc =n−dimK (V) = n− ango(cij).
Además, un ec o de coo denadas (x1, . . . , xn)en BRes á en la di ección de S, si, y solo si,
n
X
i=1
xi i= (0,...,0) ⇐⇒ n
X
i=1
c1ixi,...,
n
X
i=1
cmi xi= (0,...,0),
de donde se sigue que unas ecuaciones en la base BRdel subespacio di ección de Sson
n
X
i=1
cji xi= 0, j = 1, . . . , m.
18
1.2.17.Ecuaciones pa amé icas de una a iedad lineal. Sean L=A+Uuna a iedad lineal
de A,R={P1, . . . , Pn;Q}una e e encia de A,BR= ( 1, . . . , n)yBU={u1, . . . , u }una base de U.
Supongamos que (a1, . . . , an)son las coo denadas de Aen Ry que
uj=
n
X
i=1
aij i, j = 1, . . . , .
Si Pes un pun o de Lde coo denadas (x1, . . . , xn)en R, en onces
P∈L⇐⇒ ∃λ1, . . . , λ ∈K|xi=ai+
X
j=1
λjaij, i = 1, . . . , n.
Los escala es λ1, . . . , λ se llaman pa áme os.
Demos ación. Se iene que P∈Lsi, y solo si, exis e u∈U al que P=A+u, equi alen emen e si
exis en escala es λ1, . . . , λ ∈K ales que
P=A+
X
j=1
λjuj.
Po el lema 1.2.12, se iene
P∈L⇐⇒ ∃λ1, . . . , λ ∈K|(x1, . . . , xn)=(a1, . . . , an) + λ1(a11, . . . , a 1) + . . . +λ (a1 , . . . , an ),
y el esul ado se sigue igualando coo denadas.
1.2.18.Ejemplo. Unas ecuaciones pa amé icas del plano Π = (0,1,1) + h(1,1,1),(1,0,2)ide R3en
la e e encia canónica es án dadas po
(x, y, z)∈Π⇐⇒ 




x=λ1+λ2
y= 1 + λ1
z= 1 + λ+ 2λ2,
donde λ1, λ2∈R.
Pa a calcula unas ecuaciones pa amé icas del plano Πen la e e encia
R={(1,−1,0),(0,1,0),(0,1,1); (1,1,1)}
ob enemos que las coo denadas del pun o (0,1,1) en Rson (0,0,1), las coo denadas del ec o (1,1,1)
en BR= ((0,−2,−1),(−1,0,−1),(−1,0,0)) son (−1/2,−1/2,−1/2) y las coo denadas del ec o
(1,0,2) en BRson (0,−2,1). Si Pes el pun o de coo denadas (x, y, z)en R, en onces
P∈Π⇐⇒ 




x=−(1/2) λ1
y=−(1/2) λ1−2λ2
z= 1 −(1/2)λ1+λ2,
donde λ1, λ2∈R, con lo que se ienen unas ecuaciones pa amé icas de Πen R.
19
1.2.19.Ecuaciones lineales o implíci as de una a iedad lineal. Sean L=A+Uuna a-
iedad lineal de Ade dimensión ,R={P1, . . . , Pn;Q}una e e encia de A,BR= ( 1, . . . , n)y
BU={u1, . . . , u }una base de U. Supongamos que (a1, . . . , an)son las coo denadas de Aen Ry que
uj=
n
X
i=1
aij i, j = 1, . . . , .
Si Pes un pun o de Lde coo denadas (x1, . . . , xn)en R, se iene
P∈L⇐⇒ ango 


x1−a1a11 . . . a1
.
.
..
.
.....
.
.
xn−anan1. . . an


= .
En pa icula , si
∆ = 
a11 . . . a1
.
.
.....
.
.
a 1. . . a
6= 0,
en onces
P∈L⇐⇒ 
x1−a1a11 . . . a1
.
.
..
.
.....
.
.
x −a a 1. . . a
xj−ajaj1. . . aj

= 0, j = + 1, . . . , n.
Así, oda a iedad lineal de dimensión en un espacio a ín de dimensión nqueda de e minada po el
conjun o de soluciones de un sis ema de n− ecuaciones lineales y nincógni as, donde el ango de la
ma iz de coe icien es es n− . Po la p oposición 1.2.16, unas ecuaciones del subespacio di ección U
de Len la base BRes án dadas po el sis ema de ecuaciones lineales homogéneo asociado al sis ema
de ecuaciones lineales de Len R.
Demos ación. Se iene que P∈Lsi, y solo si, −→
AP ∈U, es deci ,
P∈L⇐⇒ −→
AQ +−−→
QP ∈U⇐⇒
n
X
i=1
(xi−ai) i∈n
X
i=1
ai1 i,...,
n
X
i=1
ai i,
luego
P∈L⇐⇒ ango 


x1−a1a11 . . . a1
.
.
..
.
.....
.
.
xn−anan1. . . an


= .
1.2.20.Obse ación. Sea Aun espacio a ín de dimensión nyLuna a iedad lineal de Ade dimen-
sión . El meno núme o de ecuaciones lineales de un sis ema de ecuaciones lineales de Les n− .
En e ec o, po 1.2.19, las coo denadas de los pun os de Lson el conjun o de soluciones de un sis ema
de n− ecuaciones lineales y nincógni as. Si las coo denadas de los pun os de Lson el conjun o de
soluciones de un sis ema de mecuaciones lineales y nincógni as y Aes la ma iz de coe icien es de
es e sis ema, en onces po la p oposición 1.2.16, dim L=n− ango A ≥ n−m; luego, m≥n− .
20
1.2.21.Ejemplo. Una ecuación lineal del plano Π = (0,1,1) + h(1,1,1),(1,0,2)idel ejemplo 1.2.18 en
la e e encia canónica se ob iene de la siguien e o ma:
(x, y, z)∈Π⇐⇒ ango 

x1 1
y−110
z−1 1 2 
= dim Π = 2 ⇐⇒ 
x1 1
y−110
z−1 1 2 = 0 ⇐⇒ 2x−y−z+2 = 0.
Sea Pel pun o de coo denadas (x0, y0, z0)en la e e encia R={(1,−1,0),(0,1,0),(0,1,1); (1,1,1)}.
Una ecuación lineal del plano Πen Rse ob iene de la siguien e o ma:
P∈Π⇐⇒ 
x0−1/2 0
y0−1/2−2
z0−1−1/2 1 = 0 ⇐⇒ 3x0−y0−2z0+ 2 = 0.
También se puede calcula una ecuación lineal de Πen Ra pa i de su ecuación lineal en la
e e encia canónica y de las ecuaciones del cambio de coo denadas de la e e encia Ra la e e encia
canónica (1.2.15).
1.2.22.Ejemplo. Sea Hel hipe plano de R4cuya ecuación en la e e encia canónica es x+y+z+ = 2.
Sea Lla ec a de R4cuyas ecuaciones en la e e encia canónica son
L≡




x−y= 2
2x+z= 4
= 0.
Se iene que L⊂Hy que los pun os (1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1) y(0,1,0,1) son pun os de H
a ínmen e independien es. Vamos a calcula unas ecuaciones lineales de la ec a Len la e e encia
R={(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1); (0,1,0,1)}
de H. Las coo denadas del pun o (0,−2,4,0) de Len Rson (0,1,3) y las coo denadas del ec o
(1,1,−2,0) de la di ección de Len la base BR= ((1,0,0,−1),(0,0,1,−1),(0,−1,1,0)) son (1,−1,−1).
Si Pes el pun o de coo denadas (x0, y0, z0)en R, en onces
P∈L⇐⇒ ango 

x01
y0−1−1
z0−3−1
= 1 ⇐⇒ x01
y0−1−1= 0,x01
z0−3−1= 0,
luego
P∈L⇐⇒ L≡(x0+y0−1=0
x0+z0−3=0.
También se pueden calcula unas ecuaciones lineales de Len Ra pa i de las ecuaciones de L
en la e e encia canónica y de las ecuaciones del cambio de coo denadas de la e e encia Rde Ha la
e e encia canónica (p oposición 1.2.14). Obsé ese que 3 el núme o mínimo de ecuaciones lineales de
Lcomo a iedad lineal de R4y que 2 es el núme o mínimo de ecuaciones lineales de Lcomo a iedad
lineal de H.
21

1.2.23.De inición. Sea Aun espacio a ín sob e el espacio ec o ial V. Sean P1,P2,P3yP4cua o
pun os dis in os y l1,l2,l3yl4cua o ec as dis in as. Se dice que los pun os P1, P2, P3, P4son los
é ices del pa alelog amo de lados l1, l2, l3, l4si se e i ican las siguien es condiciones:
(1) l1kl3,l2kl4.
(2) l1∩l4={P1},l1∩l2={P2},l2∩l3={P3},l3∩l4={P4}.
Las longi udes de los lados opues os de un pa alelog amo se pueden compa a , ya que los lados
opues os de un pa alelog amo son pa alelos. La siguien e p oposición demues a que los lados opues os
de un pa alelog amo ienen la misma longi ud.
1.2.24.Lema. Sean P1, P2, P3, P4los é ices de un pa alelog amo. Se iene
−−−→
P1P2=−−−→
P4P3,−−−→
P1P4=−−−→
P2P3.
Demos ación. Dado que P1◦P2kP4◦P3yP1◦P4kP2◦P4, exis en escala es a, b ∈K ales que
−−−→
P1P2=a−−−→
P4P3y−−−→
P1P4=b−−−→
P2P3. Veamos que a=b= 1. Po la elación de Chasles,
−−−→
P1P2+−−−→
P2P3=−−−→
P1P3=−−−→
P1P4+−−−→
P4P3,
y po lo an o
a−−−→
P4P3+−−−→
P2P3=b−−−→
P2, P3+−−−→
P4P3,
de donde se sigue
(a−1) −−−→
P4P3+ (1 −b)−−−→
P2P3= 0.
Dado que l2∩l3={P3}, los ec o es −−−→
P4P3y−−−→
P2P3son linealmen e independien es, luego a=b= 1.
1.3. Aplicaciones a ines
En es a sección conside a emos espacios ec o iales sob e un mismo cue po K. La geome ía a ín
es udia las p opiedades que se conse an po isomo ismos a ines. Si K=QoK=R, el eo ema
undamen al de la geome ía a ín [14] a i ma que los isomo ismos a ines de un espacio a ín de dimensión
ini a n≥2sob e un espacio ec o ial son las aplicaciones biyec i as que lle an pun os alineados en
pun os alineados. Damos la de inición algeb aica de isomo ismo a ín y es udiamos sus p opiedades
algeb aicas y geomé icas; en e los isomo ismos a ines des acan las aslaciones y las homo ecias que
en espacios a ines de dimensión n≥2son las aplicaciones biyec i as que lle an cada ec a en una ec a
pa alela.
22
•GRUPO AFÍN
1.3.1.De inición. Sean VyV0espacios ec o iales, AyA0espacios a ines sob e VyV0, espec i a-
men e, y Oun pun o de A. Se dice que una aplicación α:A→A0es a ín si la aplicación −→
α:V→V0
dada po −→
α( ) = −−−−−−−−−−−→
α(O), α(O+ ), ∈V,
es una aplicación lineal.
1.3.2.Lema. Si α:A→A0es una aplicación a ín, en onces
−→
α( ) = −−−−−−−−−−−→
α(P), α(P+ ), ∈V,
pa a cada P∈A.
Demos ación. Se iene
−−−−−−−−−−−→
α(P), α(P+ ) = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
α(O+−−→
OP ), α(O+−−→
OP + ) = −−−−−−−−−−−−→
α(O+−−→
OP ), α(O) + −−−−−−−−−−−−−−−−→
α(O), α(O+−−→
OP + )
=−−→
α(−−→
OP ) + −→
α(−−→
OP + ) = −→
α( ).
1.3.3.De inición. Si α:A→A0es una aplicación a ín, la aplicación lineal −→
α:V→V0se llama la
aplicación lineal asociada aα.
Se dice que la aplicación a ín α:A→A0es un isomo ismo de espacios a ines si exis e una aplicación
a ín β:A0→A al que β◦α=idAyα◦β=idA0; los isomo ismos de espacios a ines se llaman a inidades.
Se dice que los espacios a ines AyA0son isomo os si exis e una a inidad α:A→A0.
1.3.4.Lema. Si α:A→A0es una aplicación a ín, en onces −−−−−−−→
α(P), α(Q) = −→
α(−−→
P Q), pa a odo P, Q ∈A.
Demos ación. Si =−−→
PQ, se iene −→
α(−−→
PQ) = −−−−−−−−−−−−→
α(P), α(P+−−→
PQ) = −−−−−−−→
α(P), α(Q).
1.3.5.P oposición. Sean AyA0espacios a ines sob e los espacios ec o iales VyV0, espec i amen e.
(1) Si Aes un pun o de A,A0un pun o de A0y :V→V0una aplicación lineal, en onces la
aplicación α:A→A0dada po α(P) = A0+ (−→
AP)es una aplicación a ín cuya aplicación lineal
asociada es .
(2) Si α:A→A0es una aplicación a ín y A∈A, en onces α(P) = α(A)+−→
α(−→
AP), pa a cada P∈A.
(3) Toda aplicación a ín α:A→A0es á de e minada conocida la imagen de un pun o y su aplicación
lineal asociada.
Demos ación. (1) La aplicación α:A→A0dada po α(P) = A0+ (−→
AP)es una aplicación a ín. En
e ec o, pa a cada ∈V,
−→
α( )=−−−−−−−−−−−→
α(O), α(O+ ) = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
A0+ (−→
AO), A0+ (−−−−−→
A, O + )=− (−→
AO)+ (−−−−−→
A, O + ) = (−−−−−→
O, O + )= ( ).
(2) Dado que −−−−−−−→
α(A), α(P) = −→
α(−→
AP), se iene que α(P) = α(A) + −→
α(−→
AP).
(3) Se sigue de (2).
23
1.3.6.Ejemplo. La aplicación a ín α:R3→R4 al que α(1,0,1) = (2,−1,1,0) y cuya aplicación lineal
asociada es −→
α:R3→R4,−→
α(x, y, z)=(x, 2y−z, 0, x +y+z), es la aplicación dada po
α(x, y, z) =(2,−1,1,0) + −→
α(x−1, y, z −1) = (2,−1,1,0) + (x−1,2y−z+ 1,0, x +y+z−2)
=(1 + x, 2y−z, 1,−2 + x+y+z).
1.3.7.P oposición.
(1) Si α1:A1→A2yα2:A2→A3son aplicaciones a ines, en onces α2◦α1es una aplicación a ín.
(2) idA:A→Aes una aplicación a ín.
(3) El conjun o
G(A) = {α:A→A|αa inidad}
es un g upo con la ope ación composición.
Demos ación. (1) Sea O∈A, pa a cada ∈V,
(−−−−→
α2◦α1)( ) =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
(α2◦α1)(O),(α2◦α1)(O+ )) = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
α2(α1(O)), α2(α1(O) + −→
α1( ))
=−→
α2(−→
α1( )) = (−→
α2◦−→
α1)( ),
luego −−−−→
α2◦α1=−→
α2◦−→
α1es una aplicación lineal.
(2) La aplicación iden idad idA:A→A, idA(P) = Ppa a cada P∈P, es una aplicación a ín con
aplicación lineal asociada idV.
(3) Se sigue de (1) y(2).
El g upo (G(A),◦)se llama g upo a ín de Ay se deno a simplemen e po G(A).
1.3.8.P oposicion.
(1) Sean Aun espacio a ín sob e el espacio ec o ial Vy ∈V. La aplicación aslación po el
ec o , dada po
:A−→ A
P7−→ P+ ,
es una a inidad.
(2) El conjun o
T(A) = { :A→A| ∈V}
es un g upo abeliano con la ope ación composición.
Demos ación. (1) Si Oes un pun o de A, en onces
−→
(w) = −−−−−−−−−−−−→
(O), (O+w) = −−−−−−−−−−−−→
O+ , O +w+ =w, w ∈V.
Así, es una aplicación a ín cuya aplicación lineal asociada es idV; además, es una a inidad, pues o
que ( )−1= − es una aplicación a ín.
(2) Se sigue de las siguien es igualdades: + 0= 0◦ , 0=idAy − = ( )−1.
24
El g upo (T(A),◦)se llama g upo de aslaciones de Ay se deno a po T(A).
1.3.9.P oposición.
(1) Sea α:A→A0una aplicación a ín. Son equi alen es:
(a)αes una a inidad,
(b)αes una aplicación biyec i a,
(c)−→
αes un isomo ismo de espacios ec o iales.
(2) Sean AyA0espacios a ines sob e los espacios ec o iales VyV0, espec i amen e, dim A=
dim A0=n. Sea α:A→A0una aplicación a ín y P1, . . . , Pn+1 pun os de Aa ínmen e inde-
pendien es. En onces αes una a inidad si, y solo si, α(P1), . . . , α(Pn+1)son pun os a ínmen e
independien es.
(3) Sea α:A→A0una aplicación a ín. Se iene:
(a) Si Les una a iedad lineal de A, en onces α(L)es una a iedad lineal de A0.
(b) Si αes una a inidad y Les una a iedad lineal de A, en onces dim α(L) = dim L.
(c) Si {Li}i∈Ies un conjun o de a iedades lineales de A, en onces
α(◦i∈ILi) = ◦i∈Iα(Li),
y si αes una a inidad,
α(
i∈I
Li) =
i∈I
α(Li).
(d) Si αes una a inidad y L1yL2son a iedades lineales de A, en onces
L1kL2⇐⇒ α(L1)kα(L2).
Demos ación. (1) (a)⇒(b)T i ial.
(b)⇒(c)Veamos que −→
αes inyec i a. Sea ∈V al que −→
α( )=0. Se iene
−−−−−−−−−−−→
α(P), α(P+ ) = −→
α(−−−−−→
P, P + ) = −→
α( )=0,
luego α(P+ ) = α(P). Po se αinyec i a, P=P+ , y po la p oposición 1.1.2 (7) y(9), = 0.
Pa a p oba que −→
αes sup ayec i a omamos 0∈V0yP0∈A0. Sean P, Q ∈A ales que α(P) = P0y
α(Q) = P0+ 0. En onces
0=−−−−−−−→
α(P), α(Q) = −→
α(−−→
PQ).
(c)⇒(a)Sean A∈Ayβ:A0→Ala aplicación a ín dada po
β(P0) = A+−→
α−1(−−−−−→
α(A), P0), P0∈A0.
Es inmedia o que β◦α=idAyα◦β=idA0.
25
1.3.24.P oposición. Sea α:A→Auna a inidad y λ∈K,λ6= 0. Si −→
α=λidV, en onces αes una
dila ación; en pa icula , las aslaciones y las homo ecias de Ason dila aciones.
Demos ación. Si λidVes la aplicación lineal asociada a αyL=A+h ies una ec a de A, en onces
α(L) = α(A) + hλ i=α(A) + h i,
luego α(L)es una ec a pa alela a L.
1.3.25.De inición. Una con igu ación o igu a en Aes un subconjun o de A. Se dice que dos igu as
en Ason homo é icas si exis e una dila ación que lle a una igu a en la o a.
Los dos iángulos en azul de la igu a de la izquie da son homo é icos y los dos iángulos en azul
de la igu a de la de echa ambién lo son.
1.3.26.Lema. Si D∈Di(A)yL1yL2son ec as de Apa alelas, en onces las ec as D(L1)yD(L2)
son pa alelas.
Demos ación. Dado que D(L1)kL1,L1kL2yL2kD(L2), po la ansi i idad del pa alelismo en
ec as se iene D(L1)kD(L2).
1.3.27.Teo ema. Si D∈Di(A), en onces exis e λ∈K,λ6= 0, al que Des una a inidad cuya
aplicación lineal asociada es λidV.
Demos ación. Sean ∈VyP∈A. Conside emos la aplicación −→
D:V→Vdada po
−→
D( ) = −−−−−−−−−−−→
D(P), D(P+ ), ∈V.
Veamos que −→
Dno depende del pun o P∈A. Si = 0,
−−−−−−−−−−−→
D(P), D(P+ 0) = −−−−−−−−→
D(P), D(P)=0, P ∈A.
32

Sea 6= 0 y sean P, Q ∈A. Veamos que:
−−−−−−−−−−−→
D(P), D(P+ ) = −−−−−−−−−−−→
D(Q), D(Q+ ).
Caso 1: Si Q6∈ P+h i=l1, se iene
l1=P◦(P+ )kl3=Q◦(Q+ ), l2=P◦Qkl4= (P+ )◦(Q+ ), l16=l3, l26=l4,
l1∩l2={P}, l2∩l3={Q}, l3∩l4={Q+ }, l1∩l4={P+ }.
Po el lema 1.3.26, pues o que Dlle a ec as a ec as,
D(l1) = D(P)◦D(P+ )kD(l3) = D(Q)◦D(Q+ ),
D(l2) = D(P)◦D(Q)kD(l4) = D(P+ )◦D(Q+ ).
Po la de inición 1.2.23, los pun os D(P),D(P+ ),D(Q+ )yD(Q)son los é ices del pa alelog amo
de lados D(l1),D(l4),D(l3)yD(l2),
y en onces, po la p oposición 1.2.24,
−−−−−−−−−−−→
D(P), D(P+ ) = −−−−−−−−−−−→
D(Q), D(Q+ ).
Caso 2: Si Q∈P+h i, dado que dim A=n≥2, exis e R6∈ P+h i=Q+h i. Po el caso 1,
−−−−−−−−−−−→
D(P), D(P+ ) = −−−−−−−−−−−→
D(R), D(R+ ) = −−−−−−−−−−−→
D(Q), D(Q+ ).
Pues o que D(l1)kl1, exis e λ ∈K al que
−→
D( ) = −−−−−−−−−−−→
D(P), D(P+ ) = λ .
Veamos que pa a odo w∈V−{0},λw=λ . Si ywson ec o es linealmen e independien es
λ +w( +w) = −−−−−−−−−−−−−−−→
D(P), D(P+ +w) = −−−−−−−−−−−→
D(P), D(P+ ) + −−−−−−−−−−−−−−−−−−→
D(P+ ), D(P+ +w) = λ +λww,
luego λ =λ +w=λw. Si ywson linealmen e dependien es, en onces h i=hwiy como dim V≥2,
exis e u∈V al que u6∈ h i. Los ec o es uy son linealmen e independien es y uyw ambién lo
son. Así, λ =λu=λw. Po an o, si λ=λ (cualquie a que sea 6= 0), se iene −→
D=λidV.
33
1.3.28.Co ola io. Una aplicación D:A→Aes una dila ación si, y solo si, Des una a inidad cuya
aplicación lineal asociada es λidV, pa a algún λ∈K,λ6= 0.
Demos ación. Se sigue de la p oposición 1.3.24 y del eo ema 1.3.27.
1.3.29.P oposición. Sea Duna dila ación con isomo phismo lineal asociado λidV:V→V. Se iene:
(1) Si λ= 1, en onces Des una aslación.
(2) Si λ6= 1, en onces Des una homo ecia dis in a de idA. El pun o ijo de Des el cen o y el escala
λes la azón.
Demos ación. (1) Si λ= 1, en onces la aplicación lineal asociada a Des idV. Po el lema 1.3.10,
D= , donde =−−−−−→
P, D(P)pa a odo P∈A.
(2) Si λ6= 1, en onces el único pun o ijo de Des el pun o C=A+ (λ−1)−1−−−−−→
D(A), A, siendo Aun
pun o cualquie a de A. En e ec o,
D(P) = P⇐⇒ D(A) + λ−→
AP =P⇐⇒ −−−−−→
D(A), P =λ−→
AP ⇐⇒ −−−−−→
D(A), A +−→
AP =λ−→
AP
⇐⇒ −−−−−→
D(A), A = (λ−1) −→
AP ⇐⇒ −→
AP = (λ−1)−1−−−−−→
D(A), A
⇐⇒ P=A+ (λ−1)−1−−−−−→
D(A), A.
Po la p oposición 1.3.5 (2),
D(P) = C+ (λidV)(−−→
CP) = C+λ−−→
CP =Hλ
C(P), P ∈A.
1.3.30.Ejemplo. Vamos a calcula la dila ación D:R3→R3que e i ica D(1,1,−1) = (1,1,1) y
D(0,2,2) = (3,−1,−5).
Las dila aciones de R3son a inidades cuya aplicación lineal asociada es la aplicación
λ1R3:R3−→ R3
(x, y, z)7−→ λ(x, y, z) = (λx, λy, λz),
con λ∈R,λ6= 0. Po se Duna aplicación a ín,
−→
D((0,2,2) −(1,1,−1)) = D(0,2,2) −D(1,1,−1),
luego −→
D(−1,1,3) = (2,−2,−6) = (−2)(−1,1,3).
Po an o, λ=−2y en onces Des una homo ecia de azón −2. Se iene
D(x, y, z) =D(1,1,−1) −2(x−1, y −1, z + 1) = (1,1,1) + (2 −2x, 2−2y, −2−2z)
=(3 −2x, 3−2y, −1−2z).
El cen o de αes el único pun o ijo de α, es deci el pun o (1,1,−1/3).
34
1.4. Eje cicios.
(1) Sea Aun espacio a ín de dimensión n≥4sob e un espacio ec o ial. Es udia cuales de las
p opiedades de incidencia de (1.1.28) ela i as a pun os, ec as y planos se e i ican en A.
(2) P ueba que si L1yL2son ec as del espacio a ín Ade dimensión n≥3sob e un espacio ec o ial,
en onces L1yL2se c uzan si, y solo si, no son coplana ias.
(3) Sea Aun espacio a ín de dimensión n≥2sob e un espacio ec o ial, Luna a iedad lineal y P
un pun o de A. P ueba que si P6∈ L, en onces dim (L◦P) = 1 + dim L.
(4) Sea Aun espacio a ín de dimensión n≥2sob e un espacio ec o ial, Luna a iedad lineal no
acía y Hun hipe plano al que L∦H. P ueba que dim (L∩H) = dim L−1.
(5) Sea Aun espacio a ín de dimensión 3, L1yL2 ec as que se c uzan y Pun pun o al que P6∈ L1
yP6∈ L2. ¿Exis e alguna ec a coplana ia con L1y con L2que pase po P? ¿Pa a que pun os
P∈Aes cie o es e esul ado si dim A≥4?
(6) Sea Aun espacio a ín de dimensión 3, L1yL2 ec as que se c uzan y Pun pun o al que P6∈ L1
yP6∈ L2. ¿Pa a que pun os de Aexis e una ec a que pasa po Py co a a L1y a L2? Es udia
el mismo p oblema cuando L1kL2yL16=L2.
(7) Sea Aun espacio a ín sob e V,R={P1, . . . , Pn;Q}una e e encia de AyBR= ( 1, . . . , n)su
base asociada. Calcula las coo denadas de los pun os P1, . . . , Pn, Q yQ+ 1+. . . + nen R.
(8) Sea Kun cue po de ca ac e ís ica dis in a de 2,Vun espacio ec o ial sob e Kde dimensión
n≥2yAun espacio a ín sob e V. P ueba que las diagonales de un pa alelog amo se co an en
su pun o medio.
(9) Teo ema de Desa gues: Sea Aun plano a ín sob e un espacio ec o ial. Sean L1,L2yL3 ec as
dis in as que son pa alelas. Sean A, A0∈L1,A6=A0,B, B0∈L2,B6=B0yC, C0∈L3,C6=C0.
Supongamos que A,ByCno es án alineados y que A0,B0yC0no es án alineados. P ueba que
si A◦BkA0◦B0yA◦CkA0◦C0, en onces B◦CkB0◦C0.
(10) Calcula una e e encia de R3donde el plano Πcuya ecuación en la e e encia canónica es 2x+
y−z= 1 iene la ecuación z0= 0.
35
(11) Sea Aun espacio a ín de dimensión 3 y sea Runa e e encia de A. Es udia la posición ela i a
(a)de dos planos,
(b)de una ec a y un plano,
(c)de dos ec as,
según el ango de la ma iz de coe icien es y de la ma iz ampliada con los é minos independien es
del sis ema de ecuaciones lineales en la e e encia Rde sus co espondien es in e secciones.
(12) Es udia la posición ela i a de las ec as L1= (−1,2,0)+h(3,−3,1)iyL2= (0,2,0)+h(1,−1,1)i
de R3. Calcula la ec a que pasa po P= (2,−2,0) y co a a las ec as L1yL2. ¿Exis e una
ec a que pasa po P0= (1,1,0) y co a a L1y a L2?
(13) Sean LyL0 ec as de R4cuyas ecuaciones en la e e encia canónica son
L≡




2x−y+ 1 = 0
x−z= 0
=−1,
L0≡










x= 3
y= 1 + λ
z= 2λ
=λ.
(a)Es udia la posición ela i a de LyL0. Calcula unas ecuaciones lineales de L◦L0.
(b)Calcula unas ecuaciones lineales de la ec a que pasa po el pun o (0,0,−2,−2) y es copla-
na ia con las ec as LyL0.
(c)¿Exis e alguna ec a que pasa po el pun o (1,0,0,0) y es coplana ia con las ec as LyL0?
(14) Conside emos el espacio a ín R3.
(a)Encuen a los núme os eales apa a los cuales los pun os Pa= (1,0, a),Qa= (0, a −2,1)
yT= (2,0,3) es án alineados.
(b)Pa a cada núme o eal acalcula la meno a iedad lineal que pasa po los es pun os del
apa ado an e io .
(c)Pa a los alo es de apa a los cuales Pa,QayTno es án alineados, encuen a un pun o S
al que los pun os Pa,Qa,TySno son coplana ios y calcula unas ecuaciones lineales de la
ec a T◦Sen la e e encia R={Pa, T, S;Qa}.
(d)Sea Πel plano cuya ecuación en la e e encia canónica es 2x−2y−z−1=0. P ueba que
(P1, Q1, T)es una e e encia de Π.
(e)Sea la ec a cuyas ecuaciones en la e e encia canónica son
≡(x= 1
2y+z= 1.
¿Es á la ec a con enida en el plano Π? En caso a i ma i o, calcula unas ecuaciones lineales
de en R0={P1, Q1;T}.
36
(15) Sean AyA0espacios a ines sob e los espacios ec o iales VyV0, espec i amen e. P ueba que
α:A→A0es una aplicación a ín si, y solo si, exis e una aplicación lineal :V→V0 al que
−−−−−−−→
α(P), α(Q) = (−−→
PQ), P, Q ∈A.
(16) Sea Vun espacio ec o ial sob e el cue po Ky sea Aun espacio a ín sob e V. Sea R=
{P1, . . . , Pn;Q}una e e encia a ín de Ayα:A→A0una a inidad. P ueba que el pun o
P∈A iene coo denadas (x1, . . . , xn)en Rsi, y solo si, α(P) iene coo denadas (x1, . . . , xn)en
la e e encia α(R) = {α(P1), . . . , α(Pn); α(Q)}.
(17) Sea Vun espacio ec o ial sob e el cue po K,dim V≥2, y sea Aun espacio a ín sob e V.
(a)P ueba que las homo ecias de cen o C o man un g upo abeliano con la ope ación compo-
sición isomo o al g upo (K∗,·).
(b)P ueba que la composición de dos homo ecias de dis in o cen o y azones λyµes una
homo ecia si λ µ 6= 1 y una aslación si λ µ = 1.
(c)Sean λ, µ ∈K,λ µ 6= 1, y sean C, D ∈A,C6=D. Calcula el cen o y la azón de la
homo ecia composición HD
µ◦HC
λ.
(18) Sea Kun cue po de ca ac e ís ica dis in a de 2,Vun espacio ec o ial sob e KyAun espacio
a ín sob e V. P ueba que si α:A→Aes una a inidad, Mes el pun o medio de P1yP2si, y solo
si, α(M)es el pun o medio de α(P1)yα(P2).
(19) Sea Aun espacio a ín y sean LyL0 ec as pa alelas de A,L6=L0. Sean P1yP2pun os de L,
P16=P2, y P0
1yP0
2pun os de L0,P0
16=P0
2. P ueba que exis e una única dila ación D:A→A
al que D(P1) = P0
1yD(P2) = P0
2.
(20) Sea Aun plano a ín sob e un espacio ec o ial Vy sean L1,L2yL3 ec as ales que no pasan
las es po un mismo pun o, L16k L2,L26k L3yL16 kL3, y sean L0
1,L0
2, y L0
3o as es ec as
con las mismas p opiedades. P ueba que exis e una única a inidad α:A→A al que α(Li) = L0
i,
pa a i= 1,2,3.
(21) Conside a en R2las ec as LiyL0
icuyas ecuaciones en la e e encia canónica son
L1≡x+ 1 = 0, L2≡x+y−5 = 0, L3≡x−y−1 = 0,
L0
1≡4x−3y+ 1 = 0, L0
2≡4x−y−5=0, L0
3≡y+ 1 = 0.
Calcula las ecuaciones en la e e encia canónica de la a inidad α:R2→R2 al que α(Li) = L0
i,
pa a i= 1,2,3. ¿Exis e una única a inidad e i iando es as condiciones?
(22) Sea Πel plano cuya ecuación en la e e encia canónica es x+y+z−1=0. Es udia si exis e
alguna a inidad α:R3→R3 al que α(Π) = Π yα(1,0,1) = (0,1,1). En caso a i ma i o, azona
si exis e una única a inidad e i icando es as condiciones.
(23) Conside a en R2las ec as iy 0
i,i= 1,2,3,4, cuyas ecuaciones en la e e encia canónica son
1≡2x−y−1=0, 2≡x+y−2=0, 3≡x+y−5=0, 4≡2x−y−4=0,
0
1≡3x+y−3=0, 0
2≡x−3y−1 = 0, 0
3≡x−3y−11 = 0, 0
4≡3x+y−13 = 0.
37

a) Es udia si exis e alguna a inidad α:R2→R2 al que α( i) = 0
i, pa a i= 1,2,3,4.
b) ¿Exis e una única a inidad e i icando es as condiciones? En caso a i ma i o, calcula las
ecuaciones de αen la e e encia canónica.
(24) Sea Aun espacio a ín sob e Vyα:A→Auna a inidad.
(a)P ueba que si αdeja ijos dos pun os dis in os de A, en onces 1es un au o alo del isomo -
ismo lineal asociado a α.
(b)Recíp ocamen e, supongamos que 1es un au o alo del isomo ismo lineal asociado a α.
¿Deja αdos pun os ijos dis in os?
(25) Sea α:A→Aun a inidad. Demues a que el conjun o {P∈A|α(P) = P}de pun os ijos de
αes acío o un pun o o una a iedad lineal cuya di ección es el subespacio de ec o es p opios
asociados al au o alo 1de −→
α.
38
2. ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS
En es e ema se in oduce el concep o de p oduc o escala en un espacio ec o ial eal, que gene aliza
el concep o de p oduc o escala usual de ec o es lib es del plano o espacio. T aslada emos a los espacios
ec o iales euclídeos las nociones de longi ud de un ec o y ángulo en e dos ec o es, de o ma que
se conse en las p opiedades que ienen en el espacio ec o ial de los ec o es lib es.
P oba emos la exis encia de bases o ono males en un espacio ec o ial euclídeo de dimensión ini a.
Las ans o maciones o ono males de un espacio ec o ial euclídeo son las aplicaciones lineales que
conse an el p oduc o escala o, equi alen emen e, la longi ud de los ec o es. Se es udian y clasi ican
las ans o maciones o ogonales de un plano y de un espacio ec o ial euclídeo idimensional.
2.1. Espacios ec o iales euclídeos
2.1.1.De inición. Sea Vun espacio ec o ial eal. Se dice que una aplicación σ:V×V→Res un
p oduc o escala en Vsi e i ica las siguien es condiciones:
(1) σes una aplicación bilineal o una o ma bilineal, es deci :
(a)σ(λ1 1+λ2 2, w) = λ1σ( 1, w) + λ2σ( 2, w), 1, 2, w ∈V, λ1, λ2∈R,
(b)σ( , λ1w1+λ2w2) = λ1σ( , w1) + λ2σ( , w2), , w1, w2∈V, λ1, λ2∈R,
(2) σes simé ica, es deci σ( , w) = σ(w, ), pa a odo , w ∈V,
(3) σes de inida posi i a:
a)σ( , )≥0, pa a odo ∈V,
b)σ( , ) = 0 ⇒ = 0.
Si σes un p oduc o escala , deno a emos con ecuencia σ(u, )po u· .
Un espacio ec o ial euclídeo es un pa (V, σ), donde Ves un espacio ec o ial eal y σes un
p oduc o escala en V. Lo deno a emos po (V, σ)o simplemen e po V.
2.1.2.Ejemplos.
(1) Sean V2yV3los espacios ec o iales eales de los ec o es lib es del plano y del espacio o dina io,
espec i amen e. La aplicación σi:Vi×Vi→R,i= 2,3, dada po
σi(−→
u , −→
) = (0,si −→
u=−→
0o−→
=−→
0,
|−→
u||−→
|cos ∠(−→
u , −→
),si −→
u6=−→
0y−→
6=−→
0,
donde ∠(−→
u , −→
)es el ángulo no o ien ado en e los ec o es −→
uy−→
(es deci , el meno de los
ángulos que o man un ep esen an e −−→
OP1de −→
uy un ep esen an e −−→
OP2de −→
), es un p oduc o
escala en Vi, pa a i= 2,3. Po an o, (Vi, σi)es un espacio ec o ial euclídeo pa a i= 2,3.
39
(2) La aplicación σ:Rn×Rn→R, dada po
σ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = x1y1+. . . +xnyn,
es un p oduc o escala en Rn, que llama emos p oduc o escala usual. Así, Rncon el p oduc o
escala usual es un espacio ec o ial euclídeo.
(3) En el espacio ec o ial R[X]de polinomios en una a iable con coe icien es en R, si a, b ∈R,
a<b, la aplicación σ:R[X]×R[X]→Rdada po
σ(F(X), G(X)) = Zb
a
F(x)G(x)dx, F(X), G(X)∈R[X]
es un p oduc o escala en R[X]. La bilinealidad de σse sigue de las p opiedades de la in eg al
de inida. Cla amen e, σes simé ica y es de inida posi i a, pues o que
σ(F(X), F(X)) = Zb
a
F(x)2dx ≥0,
yF2(−):[a, b]→R,F2(x)=(F(x))2, es una unción con inua no nega i a que se anula a
lo sumo en un núme o ini o de pun os de [a, b].(R[X], σ)es un ejemplo de espacio ec o ial
euclídeo que no iene dimensión ini a.
(4) Si (V, σ)es un espacio ec o ial euclídeo y Uun subespacio de V, en onces la aplicación
σU:U×U→R
(u , u0)7−→ σ(u, u0)
es un p oduc o escala en U. Así, odo subespacio Ude un espacio ec o ial euclídeo es un espacio
ec o ial euclídeo con el p oduc o escala σUinducido.
Vamos a in oduci el concep o de ma iz de G am de una o ma bilineal, ya que acili a el es udio
del p oduc o escala y pe mi i á u iliza el c i e io de Syl es e pa a de e mina cuando una o ma
bilineal simé ica es de inida posi i a.
2.1.3.De inición. Sea Vun espacio ec o ial eal de dimensión ini a, σ:V×V→Runa o ma
bilineal y sea B={ 1, . . . , n}una base de V. Se llama ma iz de G am de σ espec o a la base Ba
la ma iz
GB
σ=




g11 g12 . . . g1n
g21 g22 . . . g2n
.
.
..
.
..
.
.
gn1gn2. . . gnn




= (gij),
donde gij =σ( i, j), pa a i, j = 1, . . . , n.
2.1.4.Obse ación. Sea σ:V×V→Runa o ma bilineal y B={ 1,... n}una base de V. Si
=x1 1+. . . +xn n,w=y1 1+. . . +yn nson ec o es de VyGB
σ= (gij)es la ma iz de G am de
σ espec o a B, en onces
σ( , w) =
n
X
i,j=1
gij xiyj=x1. . . xnGB
σ


y1
.
.
.
yn


.
40
2.1.5.De inición. Sea Kun cue po y CyDma ices n×nsob e K. Se dice que CyDson cong uen es,
si exis e una ma iz egula P al que P CP=D, donde P es la ma iz aspues a de la ma iz P.
La elación “se cong uen es” en el conjun o de ma ices n×nsob e Kes una elación de equi a-
lencia.
2.1.6.P oposición. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo, B={ 1,... n}yB0={ 0
1,... 0
n}bases de
Vy sean
0
j=
n
X
i=1
pij i, j = 1, . . . , n.
Si P=idB0B= (pij), en onces
GB0
σ=P GB
σP.
Así, las ma ices GB
σyGB0
σson cong uen es.
Demos ación. Sean GB
σ= (gij)yGB0
σ0= (g0
ij). Se iene
g0
ij = 0
i· 0
j= (
n
X
k=1
pki k)·(
n
X
l=1
plj s) =
n
X
k,l=1
pki plj gkl.
2.1.7.P oposición. Sea σ:V×V→Runa o ma bilineal y sea B={ 1,... n}una base de V.
En onces, la o ma bilineal σes simé ica si, y solo si, la ma iz GB
σes una ma iz simé ica, es deci ,
si (GB
σ) =GB
σ.
Demos ación. Si σes simé ica,
gij =σ( i, j) = σ( j, i) = gji, i, j = 1, . . . , n,
luego GB
σes simé ica. Recíp ocamen e, si gij =gji, pa a i, j = 1, . . . , n, =x1 1+. . . +xn ny
w=y1 1+. . . +yn n, se iene
σ( , w) =
n
X
i,j=1
gij xiyj=
n
X
i,j=1
gji yjxi=σ(w, ).
2.1.8.De inición. Sean (V, σ)y(V0, σ0)espacios ec o iales euclídeos. Se dice que una aplicación
:V→V0es una isome ía si e i ica
(1) es un isomo ismo de espacios ec o iales eales,
(2) σ( , w) = σ0( ( ), (w), pa a odo , w ∈V.
Sean (V, σ)y(V0, σ0) ec o iales euclideos. Se dice que (V, σ)y(V0, σ0)son isomé icos si exis e una
isome ía :V→V0.
2.1.9.Lema. Sean (V, σ)y(V0, σ0)espacios ec o iales euclídeos de dimensión n,B= ( 1,... n)una
base de Vy :V→V0un isomo ismo de espacios ec o iales eales. Se iene que es una isome ía
si, y solo si, i· j= ( i)· ( j), pa a i, j = 1, . . . , n.
41
Demos ación. Sea B= (u1, . . . , u )una base o ono mal de Uy ∈V. Conside emos el ec o
u= ( ·u1)u1+. . . + ( ·u )u ∈U.
El ec o −u∈U⊥, pues o que, pa a cada i= 1, . . . , ,
( −u)·ui= ·ui−u·ui= ·ui− ·ui= 0, i = 1, . . . , .
Asì, V=U+U⊥. Además, si ∈U∩U⊥, en onces · = 0 y po se Vun espacio ec o ial euclídeo,
se iene que = 0. Po an o V=U⊥U⊥.
Los núme os eales ·uise llaman coe icien es de Fou ie de espec o a la base o ono mal B
de U.
2.1.28.De inición. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo y Uun subespacio de Vde dimensión ini a.
Si ∈Vse llama p oyección o ogonal de sob e Ual ec o U∈U al que − U∈U⊥.
2.1.29.Obse ación. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo, Ues un subespacio de Vde dimensión
ini a y un ec o de V. Si B= (u1, . . . , u )es una base o ono mal de U, en onces
U= ( ·u1)u1+. . . + ( ·u )u ∈U.
Veamos un ejemplo de como calcula la p oyección o ogonal de un ec o sob e un plano ec o ial
de R3.
2.1.30.Ejemplo. Conside emos el plano ec o ial Ude R3cuya ecuación en la base canónica es
2x+y−z= 0 y el ec o = (−3,1,1). Se iene
U=h((1,0,2),(0,1,1)i, U⊥=h(2,1,−1)i.
Luego R3=U⊥U⊥=h(1,0,2),(0,1,1),(2,1,−1)i. Dado que
(−3,1,1) = −(1,0,2) + 2(0,1,1) −(2,1,−1),
la p oyección o ogonal de sob e Ues el ec o
U=−(1,0,2) + 2(0,1,1) = (−1,2,0).
48

2.1.31.Teo ema de clasi icación de espacios ec o iales euclídeos. Dos espacios ec o iales
euclídeos de dimensión ini a son isomé icos si, y solo si, ienen igual dimensión; en pa icula , odo
espacio ec o ial euclídeo de dimensión nes isomé ico a Rncon el p oduc o escala usual.
Demos ación. Sean B= ( 1, . . . , n)yB0= ( 0
1, . . . , 0
n)bases o ono males de VyV0, espec i a-
men e. La aplicación lineal :V→V0dada po
( i) = 0
i, i = 1, . . . , n,
es una isome ía, pues o que i· j=δij = 0
i· 0
j= ( i)· ( j), pa a i, j = 1, . . . , n.
La isome ía :V3→R3dada po (−→
i) = e1, (−→
j) = e2, (−→
k) = e3, donde C= (e1, e2, e3)es la
base canónica de R3, pe mi e iden i ica el espacio ec o ial euclídeo de los ec o es lib es del espacio
o dina io con R3, con el p oduc o escala usual. De o ma análoga se iden i ica el espacio ec o ial
euclídeo de los ec o es lib es del plano o dina io con R2, con el p oduc o escala usual.
2.2. T ans o maciones o ogonales. Ma ices o ogonales
2.2.1.De inición. Sea Kun cue po. Se dice que la ma iz A ∈ Mn(K)es una ma iz o ogonal si
A A=I, siendo A la ma iz aspues a de A.
2.2.2.P oposición. Sea A= (aij)∈Mn(R). Las siguien es p opiedades son equi alen es:
(1) La ma iz Aes una ma iz o ogonal.
(2) A−1=A .
(3) A A =I.
(4) BF= ((a11, . . . , a1n),...,(an1, . . . , ann)) es una base o ono mal de Rncon el p oduc o escala
usual.
(5) BC= ((a11, . . . , an1),...,((a1n, . . . , ann)) es una base o ono mal de Rncon el p oduc o escala
usual.
Demos ación. (1) ⇒(2) La ma iz Aes egula , pues o que de (A ) de (A) = 1. Luego, A =A I=
A (AA−1) = A−1.
(2) ⇒(1) A A=A−1A=I.
(2) ⇔(3) se p ueba de o ma simila a (1) ⇔(2).
(4) es equi alen e a que AA =I.
(5) es equi alen e a que A A=I.
49
2.2.3.P oposición. Si Aes una ma iz o ogonal, en onces el de e minan e de A ale 1o−1.
Demos ación. Se iene
(de (A))2= de (A ) de (A) = de (A A) = 1.
Así, de (A) = 1 ode (A) = −1.
2.2.4.De inición. Sea Vun un espacio ec o ial euclídeo. Se dice que la aplicación :V→Ves una
ans o mación o ogonal de Vsi es una isome ía, es deci si es un isomo ismo de espacios ec o iales
eales y además
( )· (w) = ·w, ∀ , w ∈V
2.2.5.P oposición. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo de dimensión ini a y :V→Vuna aplicación
lineal. En onces es una ans o mación o ogonal si, y sólo si,
( )· (w) = ·w, , w ∈V.
Demos ación. Bas a e que si ( )· (w) = ·w, pa a cada , w ∈V, en onces es un isomo ismo
de espacios ec o iales; y pues o que el espacio ec o ial V iene dimensión ini a, es su icien e p oba
que el núcleo de es el subespacio {0}. Se iene
( ) = 0 =⇒0 = ( )· ( ) = · =⇒ = 0.
2.2.6.P oposición. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo de dimensión ini a. Una aplicación :V→V
es una ans o mación o ogonal si, y solo si, ( )· (w) = ·w, pa a odo , w ∈V.
Demos ación. Es su icien e p oba que si la aplicación :V→V e i ica que ( )· (w) = ·w, pa a
odo , w ∈V, en onces es una aplicación lineal.
Si u= +w,
0 =ku− −wk2=kuk2+k k2+kwk2−2u· −2u·w−2 ·w
=k (u)k2+k ( )k2+k (w)k2−2 (u)· ( )−2 (u)· (w)−2 ( )· (w)
=k (u)− ( )− (w)k2.
Así, ( +w) = ( ) + (w).
Si u=λ ,
0 = ku−λ k2=kuk2+λ2k k2−2λ u · =k (u)k2+λ2k ( )k2−2λ (u)· ( ) = k (u)−λ ( )k2.
Así, (λ ) = λ ( ).
2.2.7.No ación. Si Ves un espacio ec o ial euclídeo de dimensión ini a, deno a emos po O(V)el
conjun o de las ans o maciones o ogonales de Vy po O(n, R)el conjun o de las ma ices n×n
eales o ogonales.
50
2.2.8.Teo ema. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo de dimensión ini a, Buna base o ono mal de V
y :V→Vuna aplicación lineal. En onces es una ans o mación o ogonal si, y solo si, la ma iz
asociada a espec o a la base Bes una ma iz o ogonal.
Demos ación. Sea A= (aij)la ma iz asociada a espec o a la base B= ( 1, . . . , n). Po el lema
2.1.9, es una ans o mación o ogonal si, y solo si, ( i)· ( j) = δij , pa a i, j = 1, . . . , n. El
esul ado se sigue de las siguien es equi alencias
( i)· ( j) = δij ⇐⇒ n
X
k=1
aki k·n
X
l=1
alj l=δij ⇐⇒
n
X
k,l=1
akialjδkl =δij
⇐⇒
n
X
k=1
akiakj =δij ⇐⇒ A A=I.
El siguien e lema se á u ilizado en el capí ulo 4pa a clasi ica los mo imien os en un espacio a ín
euclídeo.
2.2.9.Lema. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo de dimensión ini a y :V→Vuna ans o mación
o ogonal de V. Se iene
Im( −idV) = (Nuc( −idV))⊥.
Demos ación. Pa a cada ( −idV)( )∈Im( −idV)y cada w∈Nuc( −idV), es
( −idV)( )·w= ( ( )− )·w= ( )·w− ·w= ( )· (w)− ·w= 0.
Así, Im( −idV)⊂(Nuc( −idV))⊥y, dado que
dimRIm( −idV) = dimRV−dimRNuc( −idV) = dimR(Nuc( −idV))⊥,
se ob iene el esul ado.
2.2.10.Lema. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo de dimensión n≥1y sean Buna base o ono mal
de VyB0una base de V. En onces B0es una base o ono mal de Vsi, y solo si, 1B0Bes una ma iz
o ogonal.
Demos ación. Sean B= ( 1, . . . , n)yB0= ( 0
1, . . . , 0
n)y conside emos la aplicación lineal :V→V
dada po
( i) = 0
i, i = 1, . . . , n.
Se iene que B=idB0B. Po la demos ación del eo ema 2.1.31, B0es una base o ono mal si, y solo
si, ∈ O(V)y po el eo ema 2.2.8, ∈ O(V)si, y solo si, 1B0B= B∈ O(n, R).
2.2.11.Lema. Sea Vun espacio ec o ial de dimensión ini a sob e un cue po Ky :V→Vuna
aplicación lineal. Si ByB0son bases de Vy By B0son las ma ices asociadas a espec o a las
bases ByB0 espec i amen e, en onces de ( B) = de ( B0).
51
Demos ación. Se iene
B0=P−1 BP,
donde P=idB0B. Po an o,
de ( B0) = de (P−1) de ( B) de (P) = (de (P))−1de (P) de ( B) = de ( B).
2.2.12.De inición. Sea Vun espacio ec o ial de dimensión ini a sob e un cue po Ky sea :V→V
una aplicación lineal. Se llama de e minan e de , y se deno a po de ( ), al de eminan e de la ma iz
asociada a en una base Bde V, es deci
de ( ) = de ( B).
Obsé ese que po el lema 2.2.11, de ( )no depende de la base conside ada en V.
2.2.13.P oposición. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo de dimensión ini a. Si es una ans o ma-
ción o ogonal de V, en onces el de e minan e de es 1o−1.
Demos ación. Sea Buna base o ono mal de V. Po el eo ema 2.2.8, la ma iz Bes una ma iz
o ogonal. Dado que el de e minan e de es igual al de e minan e de B, po la p oposición 2.2.3 es
de ( ) = 1 ode ( ) = −1.
2.2.14.De inición. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo de dimensión ini a y una ans o mación
o ogonal de V. Se dice que es un gi o o una o ación si de ( )=1. Se dice que es una e lexión
si de ( ) = −1.
2.2.15.Ejemplo. El gi o de ángulo ϕen V2,Gϕ:V2→V2,0≤ϕ < 2π, es la ans o mación
o ogonal de V2cuya ma iz asociada en la base o ono mal C= (−→
i , −→
j)es
(Gϕ)C=cos ϕ−sen ϕ
sen ϕcos ϕ.
2.2.16.No ación. Si Ves un espacio ec o ial euclídeo de dimensión ini a, deno a emos po O+(V)el
conjun o de los gi os de Vy po O−(V)el conjun o de las e lexiones de V. Deno a emos po O+(n, R)
el conjun o de las ma ices n×no ogonales eales de de e minan e 1y po O−(n, R)el conjun o de
las ma ices n×no ogonales eales de de e minan e −1.
52
2.2.17.P oposición. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo. El conjun o O(V)con la ope ación composi-
ción es un g upo que se denomina g upo o ogonal de Vy el conjun o O+(V)es un subg upo de O(V)
que se denomina g upo de los gi os de V. El conjun o O(n, R)con la ope ación p oduc o de ma ices
es un g upo y el conjun o O+(n, R)es un subg upo de O(n, R). Si V iene dimensión nyBes una
base o ono mal de V, la aplicación
ΦB:O(V)−→ O(n, R)
dada po ΦB( ) = B, donde Bes la ma iz asociada a espec o a la base B, es un isomo ismo de
g upos; además, ∈ O+(V)si, y solo si, B∈ O+(n, R)y ∈ O−(V)si, y solo si, B∈ O−(n, R).
Demos ación. Es inmedia a.
A pa i de ans o maciones o ogonales de subespacios de un espacio ec o ial euclídeo Vse
pueden cons ui nue as ans o maciones o ogonales de Vcomo se p ueba en la siguien e p oposición.
2.2.18.P oposición. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo de dimensión ini a y sean U1yU2subespacios
de V ales que V=U1⊥U2. Si 1∈ O(U1)y 2∈ O(U2), en onces la aplicación:
1⊥ 2:V−→ V
dada po ( 1⊥ 2)(u1+u2) = 1(u1)+ 2(u2)pa a odo u1∈U1y odo u2∈U2, es una ans o mación
o ogonal de V.
Demos ación. Pa a odo u1, 1∈U1yu2, 2∈U2, se iene
( 1⊥ 2)(u1+u2)·( 1⊥ 2)( 1+ 2) = ( 1(u1) + 2(u2)) ·( 1( 1) + 2( 2))
= 1(u1)· 1( 1) + 1(u1)· 2( 2)
+ 2(u2)· 1( 1) + 2(u2)· 2( 2)
=u1· 1+u2· 2= (u1+u2)·( 1+ 2).
2.2.19.De inición. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo de dimensión ny sea Hun hipe plano ec-
o ial de V, es deci , un subespacio de Vde dimensión n−1. Se llama sime ía espec o a Ha la
ans o mación o ogonal de V,SH=idH⊥(−idH⊥).
SH(u+w) = u−w, u ∈H, w ∈H⊥.
Obsé ese que el conjun o de ec o es ijos de SHes Hy que (SH)2=idV, equi alen emen e, S−1
H=SH.
53

2.2.20.P oposición. Si Hes un hipe plano ec o ial de V, en onces SHes una e lexión.
Demos ación. Dado que V=H⊥H⊥, si B= ( 1, . . . , n−1)es una base de HyH⊥=h ni, en onces
B0= ( 1, . . . , n)es una base de V. Teniendo en cuen a que SH=idH⊥(−idH⊥),
(SH)B0=diag(1 n−1
. . . 1−1).
Po an o, de SH= de (SH)B0=−1. Así, SHes una e lexión.
2.2.21.Ejemplo. Considemos en R3el p oduc o escala usual. Sea Uel plano ec o ial de R3cuya
ecuación en la base canónica es y−z= 0. Se iene
U=h(1,0,0),(0,1,1)i, U⊥=h(0,1,−1)i.
Sea B= ((1,0,0),(0,1,1),(0,1,−1)). La sime ía espec o al plano ec o ial Ude R3es la aplicación
lineal SU=idU⊥(−idU⊥): R3→R3dada po
SU(1,0,0) = (1,0,0), SU(0,1,1) = (0,1,1), SU(0,1,−1) = (0,−1,1),
luego
(SU)C= (SU)BC idCB =

1 0 0
0 1 −1
0 1 1 


1 0 0
0 1 1
0 1 −1

−1
=

1 0 0
0 1 −1
0 1 1 


1 0 0
0 1/2 1/2
0 1/2−1/2
=

100
001
010
.
Así, SU(x, y, z)=(x, z, y).
2.2.22.P oposición. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo de dimensión ini a y sea una ans o mación
o ogonal de V. Si Ues un subespacio in a ian e po , en onces ambien lo es U⊥.
Demos ación. Veamos que si (U)⊂U, en onces (U⊥)⊂U⊥. Po se un isomo ismo de espacios
ec o iales (U) = Uy se iene que pa a cada u∈Uy cada w∈U⊥,
u· (w) = ( −1(u)) · (w) = −1(u)·w= 0.
2.2.23.P oposición. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo de dimensión ini a y una ans o mación
o ogonal de V. Si λ∈Res un au o alo de , en onces λ=±1.
Demos ación. Si es un ec o p opio de asociado al au o alo λ, en onces ( ) = λ . Se iene
· = ( )· ( ) = (λ )·(λ ) = λ2 · ,
y dado que · 6= 0, es λ2= 1.
54
2.3. T ans o maciones o ogonales del plano ec o ial euclídeo
2.3.1.P oposición. Si A∈O(2,R), en onces
(1) A ∈ O+(2,R)⇐⇒ ∃a, b ∈R, a2+b2= 1 | A =a−b
b a ,
(2) A ∈ O−(2,R)⇐⇒ ∃a, b ∈R, a2+b2= 1 | A =a b
b−a.
Demos ación. (1) Si
A=a c
b d ,
la condición A A=Ies equi alen e a las condiciones
a2+b2= 1, a c +b d = 0, c2+d2= 1.
La condición de (A) = 1 equi ale a ad −bc = 1. Resol iendo el sis ema
a2+b2= 1, a c +b d = 0, a d −b c = 1,
se iene que c=−byd=a.
(2) Se p ueba de o ma análoga a (1).
2.3.2.P oposición. Sea Vun plano ec o ial euclídeo, B= ( 1, 2)una base o ono mal de Vy
:V→Vuna aplicación R-lineal. Se iene:
(1) ∈ O+(V)⇐⇒ ∃a, b ∈R, a2+b2= 1 | B=a−b
b a ,
(2) ∈ O−(V)⇐⇒ ∃a, b ∈R, a2+b2= 1 | B=a b
b−a.
Además, a= 1· ( 1).
Demos ación. Se sigue de la p oposición an e io y de la p oposición 2.2.17.
2.3.3.P oposición. El g upo O+(2,R)es abeliano.
Demos ación. a−b
b a a0−b0
b0a0=a0−b0
b0a0a−b
b a 
2.3.4.Co ola io. Si Ves un plano ec o ial euclídeo, en onces O+(V)es un g upo abeliano.
Demos ación. Po la p oposición 2.2.17, los g upos O+(V)yO+(2,R)son isomo os.
55
2.3.5.P oposición. Sea Vun plano ec o ial euclídeo y sean uy ec o es no nulos de V ales que
kuk=k k. Exis e un único gi o ∈ O+(V) al que (u) = .
Demos ación. Sea B= ( 1, 2)una base o ono mal de Vy sean (x1, x2),(y1, y2)las coo denadas de
uy , espec i amen e, en la base B. Veamos que exis e una ma iz o ogonal
A=a−b
b a 
al que
Ax1
x2=y1
y2.
Resol iendo el sis ema
x1a−x2b=y1, x2a+x1b=y2,
se iene que
a=x1y1+x2y2
kuk2, b =x1y2−x2y1
kuk2, a2+b2=kuk2k k2
kuk4= 1.
Si es el gi o de Vcuya ma iz asociada espec o a la base Bes la ma iz Aque acabamos de ob ene ,
en onces (u) = .
Obsé ese que en un plano ec o ial euclídeo un gi o es á de e minado conocida la imagen de un
ec o no nulo.
2.3.6.Lema. Sea Vun plano ec o ial euclídeo, uy ec o es uni a ios de Vy ∈ O+(V). Se e i ica
u· (u) = · ( ).
Demos ación. Po la p oposición 2.3.5, exis e un gi o g al que g(u) = . Así,
u· (u) = g(u)·g( (u)) = g(u)· (g(u)) = · ( ).
2.3.7.De inición. Sea Vun plano ec o ial euclídeo y sea un gi o de V. Se llama coseno de , y se
deno a po cos , al núme o eal
cos = · ( ),
donde es un ec o uni a io cualquie a de V.
2.3.8.Co ola io. Sea Vun plano ec o ial euclídeo y sea un gi o de V. Si ByB0son bases
o ono males de Vy si
B=a−b
b a , B0=a0−b0
b0a0, a2+b2= 1, a02+b02= 1.
en onces a=a0= cos yb=±b0.
56
Demos ación. Pongamos B= ( 1, 2)yB0= ( 0
1, 0
2). Po la p oposición 2.3.2 y la de inición 2.3.7, se
iene
a= 1· ( 1) = cos = 0
1· ( 0
1) = a0.
Po an o, b2= 1 −a2=b02, luego b=±b0.
2.3.9.No a. El alo de ben el co ola io an e io depende de la base o ono mal conside ada en V.
Po ejemplo, si B= ( 1, 2)es una base o ono mal de Vy
B=a−b
b a , a2+b2= 1,
en onces la ma iz asociada a espec o a B0= ( 2, 1)es
B0=a b
−b a .
2.3.10.De inición. Sea Vun espacio ec o ial eal de dimensión ini a. Se dice que las bases ByB0
ienen la misma o ien ación si el de e minan e de la ma iz de cambio de base idB B0es posi i o; en
caso con a io se dice que ienen dis in a o ien ación.
La elación “ ene la misma o ien ación” en el conjun o de bases de Ves una elación de equi alencia.
Exis en solamen e dos clases de equi alencia dis in as pa a es a elación. Si Bes una base de V, la
clase de equi alencia [B]se dice que es una o ien ación en V.
El pa (V, [B]) se llama espacio ec o ial o ien ado. Di emos que Ves á o ien ado con la base
Bpa a indica que conside amos (V, [B]) y en es e caso las bases de [B]se dice que son bases de
o ien ación posi i a y las bases de Vque no es án en [B]se dice que son bases de o ien ación nega i a.
Conside amos que Rnes á o ien ado con la base canónica.
El espacio V2de los ec o es lib es del plano se conside a o ien ado con la base o ono mal C=
(−→
i , −→
j)asociada a la e e encia canónica C={E1, E2;O}del plano o dina io.
El espacio V3de los ec o es lib es del espacio se conside a o ien ado con la base o ono mal
C= (−→
i , −→
j , −→
k)asociada a la e e encia canónica C={E1, E2, E3;O}del espacio o dina io.
2.3.11.P oposición. Sea Vun plano ec o ial euclídeo o ien ado y sea un gi o de V. Sean ByB0
son bases o ono males de V ales que
B=a−b
b a , B0=a0−b0
b0a0, a2+b2= 1, a02+b02= 1.
Si ByB0 ienen la misma o ien ación, en onces B= B0. Si ByB0 ienen dis in a o ien ación,
en onces a0=ayb0=−b
57
= 1⊥(−idh 3i), 1∈ O−(h 3i⊥). Sea B0
1={ 0
1, 0
2}una base o ono mal de h 3i⊥ al que
( 1)B0
1=1 0
0−1.
Si B0= ( 0
1, 0
2, 3), se iene
B0=

100
0−1 0
0 0 −1
,
luego es el gi o de eje V1=h 0
1iy ángulo π. .
2.5.6.Co ola io. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo idimensional o ien ado y sea una ans o -
mación o ogonal de V. Se iene:
(1) Si 1es un au o alo de de mul iplicidad 1y las o as dos aíces del polinomio ca ac e ís ico
son a±bi,a2+b2= 1, en onces es un gi o de eje o ien ado V1y ángulo ϕ(que depende de la
o ien ación de V1), al que cos ϕ=aysen ϕ=±b.
(2) Si 1es un au o alo de de mul iplicidad 2y−1es un au o alo de de mul iplicidad 1, en onces
es la sime ía espec o al plano ec o ial V1.
(3) Si −1es un au o alo de de mul iplicidad 1y las o as dos aíces del polinomio ca ac e ís ico
son a±bi 6=±1,a2+b2= 1, en onces es la composición de un gi o de eje o ien ado V−1y
ángulo ϕ(que depende de la o ien ación de V−1), al que cos ϕ=aysen ϕ=±b, con la sime ía
espec o al plano ec o ial (V−1)⊥.
2.5.7.Co ola io. Sea Vun espacio ec o ial euclídeo idimensional y sea una ans o mación
o ogonal de V. Se iene:
(1) Si iene solo un subespacio de ec o es ijos de dimensión 1, en onces es un gi o de eje ese
subespacio.
(2) Si iene únicamen e un subespacio de ec o es ijos de dimensión 2, en onces es la sime ía
espec o a ese subespacio.
(3) Si el único ec o ijo de es el ce o, en onces es la composición de un gi o con una sime ía
espec o a un plano ec o ial.
2.5.8.Ejemplo. Conside emos en R3el p oduc o escala usual. La aplicación lineal :R3→R3dada
po
(x, y, z)=(−z, −x, y)
es una ans o mación o ogonal, pues o que su ma iz asociada espec o a la base canónica es
C=

0 0 −1
−1 0 0
0 1 0 
,
64

que es una ma iz o ogonal (
C C=I). Pues o que de ( ) = de ( C)=1, es un gi o. El polinomio
ca ac e ís ico de es
P (X) = 
−X0−1
−1−X0
0 1 −X=−X3+ 1.
Las aíces de P (X)son 1,−1/2 + √3/2y−1/2−√3/2. Po el co ola io 2.5.6, es un gi o de eje la
ec a ec o ial
Nuc( −idR3) = {(x, y, z)∈R3|x+z= 0, x +y= 0}=h(−1,1,1)i.
El ángulo del gi o es un núme o eal ϕ,0≤ϕ < 2π, al que cos ϕ=−1/2, luego ϕ= 2π/3
oϕ= 4π/3, dependiendo de la o ien ación que conside emos en el eje del gi o. Veamos cual es el
ángulo de si o ien amos el eje de gi o con la base {(−1,1,1)}. Conside emos la base o ono mal
B1={(√2/2,0,√2/2),(√6/6,√6/3,−√6/6)}de h(−1,1,1)i⊥. Dado que la base
B={(√2/2,0,√2/2),(√6/6,√6/3,−√6/6),(−√3/3,√3/3,√3/3)},
es de o ien ación posi i a, la base B1es de o ien ación posi i a, Se iene
B=idCB CidBC = (idBC) B(idBC)
=

√2/2 0 √2/2
√6/6√6/3−√6/6
−√3/3√3/3√3/3


0 0 −1
−1 0 0
0 1 0 


√2/2√6/6−√3/3
0√6/3√3/3
√2/2−√6/6√3/3

=
−1/2√3/2 0
−√3/2−1/2 0
0 0 1 
.
Si 1= |h(−1,1,1)i⊥, en onces
( 1)B1=−1/2√3/2
−√3/2−1/2.
y el ángulo del gi o es ϕ∈[0,2π) al que cos ϕ=−1/2ysen ϕ=−√3/2, es deci ϕ= 4π/3. Si
o ien amos el eje de gi o con la base {(1,−1,−1)}, en onces el ángulo del gi o es 2π/3.
2.5.9.Ejemplo. Conside emos en R3el p oduc o escala usual. La aplicación :R3→R3dada po
(x, y, z) = 1
3(x−2y−2z, −2x+y−2z, −2x−2y+z)
es una ans o mación o ogonal, pues o que su ma iz asociada espec o a la base canónica es
C=1
3

1−2−2
−2 1 −2
−2−2 1 
,
65
que es una ma iz o ogonal (
C C=I). Como de ( ) = de ( C) = −1, es una e lexión. El poli-
nomio ca ac e ís ico de es
P (X) = −(X2−1)(X−1).
Las aíces de P (X)son 1(de mul iplicidad 2) y −1(de mul iplicidad 1). Po el co ola io 2.5.6, es
la sime ía espec o al plano ec o ial
Nuc( −idR3) = {(x, y, z)∈R3|x+y+z= 0}.
2.6. P oduc o ec o ial
Sea Vun espacio ec o ial euclídeo idimensional o ien ado.
2.6.1.De inición. Sea B= ( 1, 2, 3)una base o ono mal de Vde o ien ación posi i a. Sean uy
ec o es cuyas coo denadas en Bson (x1, x2, x3)e(y1, y2, y3), espec i amen e. Se llama p oduc o
ec o ial de uy al ec o u∧ de coo denadas
x2x3
y2y3,x3x1
y3y1,x1x2
y1y2,
en la base B. U iliza emos la no ación
u∧ =
1 2 3
x1x2x3
y1y2y3.
2.6.2.P oposición.
(1) Los ec o es no nulos uy son linealmen e dependien es si, y solo si, u∧ = 0 .
(2) El ec o u∧ es un ec o o ogonal a uy a .
(3) Si uy son linealmen e independien es, en onces (u, , u ∧ )es una base de Vde o ien ación
posi i a.
(4) ku∧ k=kukk ksen∠(u, ), siendo ∠(u, )el ángulo no o ien ado que o man uy .
(5) La aplicación ∧:V×V→V , ∧(u, ) = u∧ , es bilineal y an isimé ica.
Demos ación. Sean uy ec o es cuyas coo denadas en la base o ono mal de o ien ación posi i a B
son (x1, x2, x3)e(y1, y2, y3), espec i amen e.
(1) Exis e λ∈R al que u=λ o, equi alen emen e, (x1, x2, x3) = λ(y1, y2, y3); así,
angox1x2x3
y1y2y3= 1 ⇐⇒ x2x3
y2y3,x3x1
y3y1,x1x2
y1y2= (0,0,0) ⇐⇒ u∧ = 0.
(2) Se iene
u·(u∧ ) = x1x2x3
y2y3+x2x3x1
y3y1+x3x1x2
y1y2=
x1x2x3
x1x2x3
y1y2y3= 0.
66
Análogamen e se p ueba que ·(u∧ ) = 0.
(3) Los ec o es u, yu∧ son linealmen e independien es, pues o que
a u+b +c(u∧ )=0⇒a u·(u∧ )+b ·(u∧ )+c(u∧ )·(u∧ )=0⇒c(u∧ )·(u∧ ) = 0 ⇒c= 0,
luego a u +b = 0. Po se uy ec o es linealmen e independien es, a=b= 0.
Si B0= (u, , u ∧ ), en onces
de (1B0B) =

x1y1x2x3
y2y3
x2y2x3x1
y3y1
x3y3x1x2
y1y2

=x2x3
y2y3
2
+x3x1
y3y1
2
+x1x2
y1y2
2
=ku∧ k2>0.
(4) Se iene
kuk2k k2sen2∠(u, ) =kuk2k k2−kuk2k k2cos2∠(u, )
=(x2
1+x2
2+x2
3)(y2
1+y2
2+y2
3)−(x1y1+x2y2+x3y3)2
=x2x3
y2y3
2
+x3x1
y3y1
2
+x1x2
y1y2
2
=ku∧ k2.
(5) ∧es an isimé ica:
∧u=
1 2 3
y1y2y3
x1x2x3=−(u∧ ).
2.6.3.P oposición. Si uy son ec o es linealmen e independien es, en onces u∧ es á de e minado
po (2), (3) y (4). Así, u∧ no depende de la base o ono mal de o ien ación posi i a conside ada.
Demos ación. Sea wun ec o o ogonal a uy a al que (u, , w)es una base de o ien ación posi i a y
kwk=kukk ksen∠(u, ). Se iene que hu∧ i=hu, i⊥=hwi, luego exis e λ∈R al que w=λ(u∧ ).
Dado que kwk=ku∧ k, se ob iene que kwk=|λ| ku∧ k=ku∧ k, luego |λ|= 1. Po ene las
bases (u, , u ∧ )y(u, , w)la misma o ien ación,

1 0 0
0 1 0
0 0 λ=λ > 0.
Po an o, λ= 1.
67
2.6.4.Ejemplo. En el espacio ec o ial euclídeo V3de ec o es lib es del espacio, si −→
uy−→
son ec o es
lib es linealmen e independien es, −→
u∧−→
es un ec o lib e o ogonal a −→
uy−→
cuyo módulo es el á ea
del pa alelog amo de e minado po −→
uy−→
,
|−→
u∧−→
|=|−→
u||−→
|sen ∠(−→
u , −→
) = |−→
u||−→
w|,
y cuyo sen ido es el de a ance de un sacaco chos si uado en la di ección de −→
u∧−→
que gi a de −→
ua−→
siguiendo el meno ángulo.
2.6.5.Obse ación. Si (u, , w)es una base o ono mal de Vde o ien ación posi i a, en onces
w=u∧ . En e ec o, w e i ica las condiciones (2),(3) y(4) de la p oposición 2.6.2.
2.6.6.Ejemplo. En el espacio ec o ial euclídeo (R3, σ)del ejemplo 2.1.23 amos a calcula el p oduc o
ec o ial (1,2,0) ∧(2,3,1), u ilizando la base o ono mal
B= 1= (√2/2,0,0) , 2= (√2/2,√2,0) , 3= (1,2,1),
ob enida en el ejemplo 2.1.23. La base Bes de o ien ación posi i a, pues o que de (idBC) = 2 >0.
Dado que (1,2,0) = √2 2y que (2,3,1) = √2/2 1+√2/2 2+ 3, se iene
(1,2,0) ∧(2,3,1) = 
1 2 3
0√2 0
√2/2√2/2 1 =√2 1− 3= (0,−2,−1).
2.6.7.P oduc o mix o. Sea Buna base o ono mal de Vde o ien ación posi i a. Sean u, yw
ec o es V. Se llama p oduc o mix o de la e na (u, , w)al núme o eal
(u w) = u·( ∧w).
68
2.6.8.P opiedades del p oduc o mix o.
(1) Sea B= ( 1, 2, 3)una base o ono mal de Vde o ien ación posi i a. Sean u, yw ec o es de
coo denadas (x1, x2, x3),(y1, y2, y3)y(z1, z2, z3), espec i amen e, en la base B. Se iene
(u w) = 
x1x2x3
y1y2y3
z1z2z3.
(2) ( u w )=( w u ) = ( w u ).
Demos ación. (1)
(u w) =(x1 1+x2 2+x3 3)·y2y3
z2z3 1+y3y1
z3z1 2+y1y2
z1z2 3
=x1y2y3
z2z3+x2y3y1
z3z1+x3y1y2
z1z2=
x1x2x3
y1y2y3
z1z2z3.
(2) (u w) = −( u w) = ( w u) = −(w u)=(w u ).
2.6.9.Ejemplo. En el espacio ec o ial euclídeo V3de los ec o es lib es del espacio, si −→
u,−→
y−→
wson
ec o es lib es linealmen e independien es, en onces el alo absolu o del p oduc o mix o (−→
u−→
−→
w)es
igual al olumen del pa alelepípedo de e minado po es os es ec o es.
|(−→
u∧−→
)·−→
w|=|−→
u∧−→
||−→
w||cos ∠(−→
u∧−→
, w)|=|−→
u∧−→
||−→
OA|.
2.7. Eje cicios.
(1) Sea Vun espacio ec o ial euclídeo de dimensión ini a. Demues a que el mé odo de o ogona-
lización de G am-Schmid aplicado a una base Bp opo ciona una base o ogonal de Vcon la
misma o ien ación que B.
(2) Sea Vun espacio ec o ial euclídeo o ien ado de dimensión ini a y B= ( 1, . . . , n)una base
de V. P ueba que si ∈ O+(V), en onces By (B)=( ( 1), . . . , ( n)) ienen la misma
o ien ación, y que si ∈ O−(V),By (B) ienen dis in a o ien ación.
69

(3) Sea Vun espacio ec o ial euclídeo idimensional y sean u, , w ∈V− {0},u, 6∈ hwi, ales
que la p oyección o ogonal de usob e hwicoincide con la p oyección o ogonal de sob e hwi.
P ueba que si kuk=k k, en onces exis e un único gi o ∈ O+(V)de eje hwi al que (u) = .
P ueba que odo gi o de Ves á de e minado conocidos el eje de gi o y la imagen de un ec o
no nulo que no es á en el eje de gi o.
(4) Calcula las ecuaciones en la base canónica del gi o de R3 al que (0,1,−1) = (0,1,−1) y
(1,0,1) = (−1,−1,0).
(5) Sea Vun espacio ec o ial euclídeo idimensional o ien ado. P ueba que si es un gi o de V,
en onces (u∧ ) = (u)∧ ( ), pa a odo u, ∈V. P ueba que si es una e lexión de V,
en onces (u∧ ) = ( )∧ (u), pa a odo u, ∈V.
(6) Sea Vun espacio ec o ial euclídeo de dimensión n. P ueba que si n= 1, en onces O(V) =
{1V,−1V}. P ueba que si n≥2, en onces oda ans o mación o ogonal se puede esc ibi como
composición de ≤nsime ías (Teo ema de Ca an-Dieudonné).
(7) Conside a en R4la o ma bilineal σdada po :
σ((x1, x2, x3, x4),(y1, y2, y3, y4)) = x1y1+x1y2+x2y1−x2y2+x3y3+x3y4+x4y3+ 2x4y4.
(a)¿Es (R4, σ)un espacio ec o ial euclídeo?
(b)Sea Uel subespacio de R4cuya ecuación en la base canónica es y= 0. ¿Es Ucon la
o ma bilineal inducida un espacio ec o ial euclídeo? En caso a i ma i o, calcula una base
o ono mal de U.
(c)Calcula una isome ía :U→Rm, pa a algún m, conside ando en Rmel p oduc o escala
usual.
(8) Conside a la o ma bilineal σ:R3×R3→Rdada po :
σ((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = x1y1+x1y2+x2y1+ 2x2y2+x3y3.
(a)Demues a que σes un p oduc o escala y calcula una base o ono mal de (R3, σ).
(b)Sea :R3→R3la aplicación lineal cuya ma iz asociada espec o a la base canónica Ces
C=

1 0 0
−1−1 0
0 0 1 
.
P ueba que es una ans o mación o ogonal del espacio euclídeo (R3, σ). Clasi ica y
calcula sus elemen os geomé icos.
(9) Calcula las ecuaciones en la base canónica de R3de la sime ía espec o al plano ec o ial Ucuya
ecuación en la base canónica es x+y+z= 0.
(10) Calcula las ecuaciones en la base canónica de R3del gi o de eje o ien ado la ec a ec o ial
h(1,1,1)iy cuyo ángulo es π
6.
70
3. ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO
En es e ema se es udian los espacios a ines euclídeos. U ilizando la es uc u a del espacio ec o ial
euclídeo asociado al espacio a ín, se in oducen los concep os geomé icos de pe pendicula idad en e
a iedades lineales y dis ancia. Se es udian los mo imien os de un espacio a ín euclídeo y se clasi ican
en dimensiones 2y3.
3.1. Espacios a ines euclídeos
3.1.1.De inición. ([3, p. 503]) Se dice que un espacio a ín Asob e Ves un espacio a ín euclídeo si V
es un espacio ec o ial euclídeo. Se dice que un espacio a ín euclídeo sob e Ves o ien ado si el espacio
ec o ial Ves á o ien ado. Si Ves un espacio ec o ial euclídeo deno a emos po Vel espacio a ín
de V.
En es a sección amos a conside a espacios a ines euclídeos de dimensión ini a.
3.1.2.De inición. Sea Aun espacio a ín euclídeo sob e Vy sean PyQdos pun os de A. Se llama
dis ancia en e PyQa la longi ud del ec o −−→
PQ.
d(P, Q) = k−−→
PQ k.
3.1.3.P opiedades de la dis ancia.
(1) d(P, Q)≥0, pa a odo P, Q ∈A.
(2) d(P, Q)=0si, y solo si, P=Q.
(3) d(P, Q) = d(Q, P ), pa a odo P, Q ∈A.
(4) d(P, Q)≤d(P, R) + d(R, Q), pa a odo P, Q, R ∈A(Desigualdad iangula ).
(5) Si P,QyRson es pun os de Ay−→
PR y−−→
RQ son ec o es o ogonales, en onces
d(P, Q)2=d(P, R)2+d(R, Q)2.
3.1.4.De inición. Sea Aun espacio a ín euclídeo sob e V. Se dice que una e e encia R={E1, . . . , En;O}
de Aes una e e encia ec angula si la base BR= (−−→
OE1,...,−−→
OEn)es una base o ono mal de V. Si R
es una e e encia ec angula de A, las coo denadas de un pun o Pen Rse dice que son las coo denadas
ec angula es de Pen R.
Todo espacio a ín euclídeo Asob e Vde dimensión ini a iene e e encias ec angula es. En e ec o,
si B= ( 1, . . . , n)es una base o ono mal de VyP∈A, en onces se iene la e e encia ec angula
R={P+ 1, . . . , P + n;P}.
71
La e e encia canónica de Rnes una e e encia ec angula de Rncuando se conside a en Rnel
p oduc o escala usual. También son e e encias ec angula es las e e encias canónicas del plano y
espacio o dina io.
3.1.5.P oposición. Sea R={E1, . . . , En;O}una e e encia ec angula de AyR0={P1, . . . , Pn;Q}
una e e encia de A. Sea Pun pun o de coo denadas (x1, . . . , xn)en la e e encia Ry coo denadas
(x0
1, . . . , x0
n)en la e e encia R0. Conside emos la ecuación del cambio de coo denadas de R0aR:



x1
.
.
.
xn


=


b1
.
.
.
bn


+


a11 . . . a1n
.
.
.....
.
.
an1. . . ann





x0
1
.
.
.
x0
n


.(?)
La e e encia R0es ec angula si, y solo si, la ma iz (aij) = idBR0BRes una ma iz o ogonal.
Demos ación. La e e encia R0es ec angula si, y solo si, la base BR0es o ono mal, equi alen emen e,
po el lema 2.2.10, la ma iz idB0
R,BRes una ma iz o ogonal.
Si la ma iz (aij)es una ma iz o ogonal, se dice que la ecuación (?)es la ecuación ma icial de
cambio de coo denadas ec angula es de R0aR.
3.1.6.De inición Sean AyA0espacios a ines euclídeos sob e los espacios ec o iales VyV0, espec-
i amen e. Una aplicación α:A→A0se dice que es un isomo ismo de espacios a ines euclídeos si es
una a inidad cuya aplicación lineal asociada −→
α:V→V0es una isome ía. Se dice que los espacios
a ines euclídeos AyA0son isomo os si exis e un isomo ismo de espacios a ines euclídeos α:A→A0.
3.1.7.P oposi ion Si Aes un espacio a ín euclídeo sob e Vde dimensión n, en onces Aes isomo o
al espacio a ín euclídeo de Rnconside ando en Rnel p oduc o escala usual.
Demos ación. Sea R={E1, . . . , En;O}una e e encia ec angula de Acuya base asociada es
BR= ( 1, . . . , n). La aplicación del ejemplo 1.3.12 (2),
αR:A−→ Kn
P7−→ (x1, . . . , xn),
donde (x1, . . . , xn)son las coo denadas de Pen R, es un isomo ismo de espacios a ines euclideos,
pues o que su aplicación lineal asociada
−→
αR:V−→ Kn,−→
αR( i) = ei, i = 1, . . . , n,
donde C= (e1, . . . , en)es la base canónica de Rn, es una isome ía. En e ec o,
−→
αR( i)·−→
αR( j) = ei·ej=δij = i· j,
pa a i, j = 1, . . . , n.
En pa icula , si Aes el plano (espacio) a ín euclídeo o dina io y Ces la e e encia canónica, el
isomo ismo αCpe mi e iden i ica el plano (espacio) a ín euclídeo o dina io con R2(R3).
72
3.1.8.P oposi ion. Sea R={E1, . . . , En;O}una e e encia ec angula del espacio a ín euclídeo Ay
sean PyP0pun os cuyas coo denadas en Rson (x1, . . . , xn)e(y1, . . . , yn), espec i amen e. Se iene
d(P, P 0) = p(y1−x1)2+. . . + (yn−xn)2.
Demos ación. Sea BR= ( 1, . . . , n). Se iene
d(P, P 0) = k−−→
PP0k=k−−−→
OP +−−→
OP 0k=k
n
X
i=1
(yi−xi) ik=p(y1−x1)2+. . . + (yn−xn)2.
3.1.9.De inición. Conside emos el espacio a ín euclídeo Asob e V. Se dice que dos a iedades lineales
no acías L1=A1+U1yL2=A2+U2son pe pendicula es si el subespacio U1es o ogonal al
subespacio U2.
3.1.10.De inición. Conside emos el espacio a ín euclídeo Asob e V. Sea L=A+Uuna a iedad
lineal de A,L6=∅, y P∈A. Se llama a iedad pe pendicula aLque pasa po Pa la a iedad lineal
L⊥
P=P+U⊥.
3.1.11.P oposición. Las a iedades lineales LyL⊥
Pse co an en un único pun o.
Demos ación. Si L=A+U, en onces L⊥
P=P+U⊥. Dado que −→
AP ∈V=U⊥U⊥, es L∩L⊥
P6=∅.
Sea P0∈L∩L⊥
P. Se iene
L∩L⊥
P=P0+ (U∩U⊥) = {P0}.
3.1.12.De inición. Conside emos el espacio a ín euclídeo Asob e V. Se llama p oyección o ogonal
del pun o Psob e la a iedad lineal Lal pun o de co e de LyL⊥
P; es deci , es el pun o P0∈L, al
que la ec a que pasa po PyP0es pe pendicula a L.
3.1.13.De inición. Sean L1yL2 a iedades lineales del espacio a ín euclídeo Asob e V,L16=∅,
L26=∅. Se llama dis ancia de L1aL2al núme o eal
d(L1, L2) = ´ın {d(P1, P2)|P1∈L1, P2∈L2}.
73
3.4. Mo imien os en el plano a ín euclídeo. Clasi icación
Sea Aun plano a ín euclídeo o ien ado sob e V. Desc ibi emos y clasi ica emos los mo imien os
en un plano a ín euclídeo o ien ado u ilizando el es udio de las ans o maciones o ogonales y la
clasi icación de ans o maciones o ogonales dada en un plano ec o ial euclídeo.
3.4.1.De inición. Se llama gi o de cen o el pun o Cyángulo ϕa la aplicación GC,ϕ :A→Adada
po GC,ϕ(P) = C+Gϕ(−−→
CP), donde Gϕ∈O+(V)es el gi o de ángulo ϕ. Si ϕ=π, se dice que GC,π
es una sime ía cen al de cen o C.
Po 3.3.3 (4),GC,ϕ es un mo imien o.
3.4.2.P oposición. El único pun o ijo del gi o de cen o Cy ángulo ϕ, si ϕ6= 0, es C.
Demos ación. Se iene
GC,ϕ(P) = P⇐⇒ C+Gϕ(−−→
CP) = P⇐⇒ Gϕ(−−→
CP) = −−→
CP ⇐⇒ −−→
CP = 0 ⇐⇒ P=C.
3.4.3.De inición. Se llama sime ía espec o a la ec a =A+huia la aplicación S :A→A, dada
po S (P) = A+Shui(−→
AP), donde Shuies la sime ía espec o a hui.
Po 3.3.3 (4),S es un mo imien o.
3.4.4.Obse ación. Si A0∈ , en onces A+Shui(−→
AP) = A0+Shui(−−→
A0P). En e ec o, dado que
−−→
AA0∈ hui, se iene Shui(−−→
AA0) = −−→
AA0y po an o Shui(−→
AP) = Shui(−−−−−−−→
AA0+A0P) = −−→
AA0+Shui(−−→
A0P).
80

3.4.5.P oposición. Los únicos pun os ijos de la sime ía S son los pun os de .
Demos ación. Se iene
S (P) = P⇐⇒ A+Shui(−→
AP) = P⇐⇒ Shui(−→
AP) = −→
AP ⇐⇒ −→
AP ∈ hui ⇐⇒ P∈ .
3.4.6.De inición. Se llama sime ía deslizan e espec o a la ec a =A+huiy ec o de aslación
∈ hui, 6= 0 a la aplicación S , = ◦S , donde S es la sime ía espec o a la ec a .
Po 3.3.3 (3),S es un mo imien o.
3.4.7.P oposición. La sime ía deslizan e S , no iene pun os ijos.
Demos ación. Razonemos po educción al absu do: Si Pes un pun o ijo de S , , en onces
S , (P) = P⇐⇒ A+Shui(−→
AP) + =P⇐⇒ Shui(−→
AP) + =−→
AP.
Dado que además, Shui(−→
AP) = −→
AP + , se iene = 0, lo cual con adice la de inición de sime ía
deslizan e.
3.4.8.Eje cicio. P ueba que la descomposición de una sime ía deslizan e como composición de la
sime ía espec o a una ec a y una aslación po un ec o de la di ección de la ec a es única.
3.4.9.Teo ema. (Teo ema de clasi icación de los mo imien os del plano a ín euclídeo) Sea Aun plano
a ín euclídeo o ien ado sob e V,M:A→Aun mo imien o y Aun pun o cualquie a de A. Pongamos
V1= Nuc (−→
M−idV). Se iene
(1) Si −→
M=idV, en onces M= es una aslación con =−−−−−→
AM(A).
(2) Si −→
M∈O+(V)y−→
M6=idV, en onces −→
Mes un gi o de ángulo ϕ6= 0 yMes el gi o de cen o
C=A− y ángulo ϕ, siendo el ec o que e i ica −→
M( )− =−−−−−→
AM(A).
(3) Si −→
M∈O−(V)y−−−−−→
AM(A)∈(V1)⊥, en onces Mes la sime ía espec o a la ec a =A+
1
2−−−−−→
AM(A) + V1.
81
(4) Si −→
M∈O−(V)y−−−−−→
AM(A)6∈ (V1)⊥, en onces Mes la sime ía deslizan e espec o a la ec a
=A+1
2 2+V1, donde −−−−−→
AM(A) = 1+ 2, con 1∈V1, 2∈(V1)⊥, y el ec o de aslación
de Mes 1.
Demos ación. (1) Se sigue del lema 1.3.10.
(2) Po la p oposición 2.3.13, −→
M=Gϕ. Dado que Nuc(−→
M−idV) = 0, se iene que −→
M−idVes
un isomo ismo y po an o exis e un único ∈V al que (−→
M−idV)( ) = −−−−−→
AM(A). Pongamos
C=A− . Se iene
M(P)=M(A)+−→
M(−→
AP)=A+−−−−−→
AM(A)+−→
M(−→
AP)=A− +−→
M( )+−→
M(−→
AP)=C+−→
M(−−→
CP)=GC,ϕ(P).
(3) Del eo ema 2.4.1 se sigue que −→
M=SV1(sime ía espec o a V1). Poniendo =A+1
2−−−−−→
AM(A)+V1,
M(P) = M(A) + −→
M(−→
AP) = A+−−−−−→
AM(A) + −→
M(−→
AP)
=A+1
2−−−−−→
AM(A) + −→
M(−−−−−−−−−−−−→
A+1
2−−−−−→
AM(A), A) + −→
M(−→
AP) = S (P).
(4) Dado que −→
M=SV1=idV1⊥(−id(V1)⊥), si −−−−−→
AM(A) = 1+ 2, con 1∈V1y 2∈(V1)⊥, y ponemos
=A+1
2 2+V1, se iene
M(P) = M(A) + −→
M(−→
AP) = A+−−−−−→
AM(A) + −→
M(−→
AP)
=A+1
2 2+−→
M(−−−−−−−−→
A+1
2 2, A) + −→
M(−→
AP) + 1
=S (P) + 1=S , 1(P).
El ec o 1es la p oyección o ogonal del ec o −−−−−→
AM(A)sob e V1.
Obsé ese que −−−−−→
AM(A)∈(V1)⊥si, y solo si, −−−−−→
PM(P)∈(V1)⊥, pa a odo pun o Pde A. En e ec o,
−−−−−→
PM(P) = −→
PA +−−−−−→
AM(A) + −−−−−−−−−→
M(A), M(P) = −→
PA +−−−−−→
AM(A) + −→
M(−→
AP)
= (−→
M−idV)(−→
AP) + −−−−−→
AM(A).
y(−→
M−idV)(−→
AP)∈(V1)⊥, po el lema 2.2.9.
3.4.10.Co ola io. Sea Aun pun o cualquie a de A,M:A→Aun mo imien o y V1= Nuc (−→
M−idV).
Se iene
(1) Si −→
M∈ O+(V),−→
M6=idV,M iene un único pun o ijo y Mes un gi o de cen o ese pun o y
ángulo el ángulo del gi o −→
M.
(2) Si −→
M∈ O−(V)y−−−−−→
AM(A)∈(V1)⊥, en onces el conjun o de pun os ijos de Mes una ec a y M
es una sime ía espec o a esa ec a.
(3) Si −→
M∈ O−(V)y−−−−−→
AM(A)6∈ (V1)⊥, en onces Mno iene pun os ijos y Mes una sime ía
deslizan e. El ec o de aslación de Mes la p oyección o ogonal del ec o −−−−−→
AM(A)sob e el
subespacio V1de ec o es ijos de y la ec a de sime ía de Mes la de la sime ía − ◦M.
82
3.4.11.Co ola io. Sea M:A→Aun mo imien o. Se iene
(1) Si M iene un único pun o ijo, en onces Mes un gi o de cen o ese pun o y el ángulo de Mes
el ángulo del gi o −→
M.
(2) Si M iene solamen e una ec a de pun os ijos, en onces Mes una sime ía espec o a esa ec a.
(3) Si Mno iene pun os ijos y no es una aslación, en onces Mes una sime ía deslizan e.
3.5. Mo imien os en el espacio a ín euclídeo idimensional
Sea Aun espacio a ín euclídeo o ien ado de dimensión 3sob e V. Vamos a desc ibi y clasi ica
los mo imien os de A; pa a es o u iliza emos el eo ema 2.5.5 de clasi icación de las ans o maciones
o ogonales.
3.5.1.De inición. Se llama gi o de eje o ien ado la ec a =A+hwiyángulo ϕ∈[0,2π), a la
aplicación G ,ϕ :A→Adada po G ,ϕ(P) = A+Ghwi,ϕ(−−→
AP), donde Ghwi,ϕ ∈O+(V)es un gi o de
eje o ien ado hwiy ángulo ϕ.
Po 3.3.3 (4),G ,ϕ es un mo imien o.
3.5.2.Obse ación. Si A0∈ , en onces A+Ghwi,ϕ(−→
AP) = A0+Ghwi,ϕ(−−→
A0P). En e ec o, dado que
−−→
AA0∈ hwi, se iene que Ghwi,ϕ(−−→
AA0) = −−→
AA0.
3.5.3.P oposición. Los únicos pun os ijos del gi o G ,ϕ, si ϕ6= 0, son los pun os del eje =A+hwi.
Demos ación. Se iene
G ,ϕ(P) = P⇐⇒ A+Ghwi,ϕ(−→
AP) = P⇐⇒ Ghwi,ϕ(−→
AP) = −→
AP ⇐⇒ −→
AP ∈ hwi ⇐⇒ P∈ .
83
3.5.4.De inición. Sea =A+hwiuna ec a y sea ∈ hwi, 6= 0. Se llama mo imien o helicoidal de
eje la ec a ,ángulo ϕ6= 0 y ec o de aslación , a la aplicación H , ,ϕ = ◦G ,ϕ donde G ,ϕ es el
gi o de eje y ángulo ϕ.
Po 3.3.3 (3),H , ,ϕ es un mo imien o.
3.5.5.P oposición. Un mo imien o helicoidal H , ,ϕ no iene pun os ijos.
Demos ación. Sea H , ,ϕ = ◦G ,ϕ. Po el lema 2.2.9,
Im(Ghwi,ϕ −idV) = Nuc(Ghwi,ϕ −idV)⊥=hwi⊥.
Razonemos po educción al absu do: Si Pes un pun o ijo de H , ,ϕ, en onces
H , ,α(P) = P⇐⇒ A+Ghwi,ϕ(−→
AP)+ =P⇐⇒ Ghwi,ϕ(−→
AP)+ =−→
AP ⇐⇒ (Ghwi,ϕ −idV)(−→
AP) = − .
Luego ∈ hwiTIm(Ghwi,ϕ −idV) = hwiThwi⊥= 0.
3.5.6.Eje cicio. P ueba que la descomposición de un mo imien o helicoidal como composición de un
gi o y una aslación de ec o aslación en la di ección del eje de gi o es única.
3.5.7.De inición. Se llama sime ía cen al de cen o Ca la aplicación SC:A→Adada po SC(P) =
C−−−→
CP, pa a odo P∈A.
Po 3.3.3 (4),SCes un mo imien o.
84
3.5.8.P oposición. El único pun o ijo de una sime ía cen al de cen o Ces el pun o C.
Demos ación. Si Pes un pun o ijo de SC, en onces
C−−−→
CP =P⇐⇒ −−−→
CP =−−→
CP ⇐⇒ C=P.
3.5.9.De inición. Se llama sime ía espec o al plano Π = A+Ua la aplicación SΠ:A→Adada po
SΠ(P) = A+SU(−→
AP), donde SU∈O−(V)es la sime ía espec o al subespacio U.
Po 3.3.3 (4),SΠes un mo imien o.
3.5.10.Obse ación. Si A0∈Π, en onces A+SU(−→
AP) = A0+SU(−−→
A0P). En e ec o, dado que −−→
AA0∈U,
se iene que SU(−−→
AA0) = −−→
AA0.
3.5.11.P oposición. Los únicos pun os ijos de la sime ía SΠson los pun os del plano Π.
Demos ación. Si Π = A+U, en onces
SΠ(P) = P⇐⇒ A+SU(−→
AP) = P⇐⇒ SU(−→
AP) = −→
AP ⇐⇒ −→
AP ∈U⇐⇒ P∈Π.
3.5.12.De inición. Se llama sime ía deslizan e espec o al plano Π = A+Uy ec o de aslación
∈U, 6= 0, a la composición SΠ, = ◦SΠ, donde SΠes la sime ía espec o al plano Π.
85

Po 3.3.3 (3),S , es un mo imien o.
3.5.13.P oposición. La sime ía deslizan e SΠ, no iene pun os ijos.
Demos ación. Sea Π = A+U. Razonemos po educción al absu do: Si Pes un pun o ijo de SΠ, ,
en onces
SΠ, (P) = P⇐⇒ A+SU(−→
AP) + =P⇐⇒ −→
AP =SU(−→
AP) + .
Dado que además SU(−→
AP) = −→
AP + , se iene que = 0.
3.5.14.Eje cicio. P ueba que la descomposición de una sime ía deslizan e como composición de la
sime ía espec o a un plano y una aslación po un ec o de la di ección del plano es única.
3.5.15.Ejemplo. El gi o de eje o ien ado = (1,2,−1) + h(1,1,−1)iy ángulo 4π/3es el mo imien o
dado po
G ,4π/3(x, y, z) = (1,2,−1) + Gh(1,1,−1)i,4π/3(x−1, y −2, z + 1),
donde Gh(1,1,−1)i,4π/3es el gi o de eje o ien ado h(1,1,−1)iy ángulo 4π/3, es deci ,
Gh(1,1,−1)i,4π/3=G4π/3⊥idh(1,1,−1)i, G4π/3∈ O+(h(1,1,−1)i⊥).
Una base o ono mal de h(1,1,−1)i⊥es
B1= ((0,√2/2,√2/2),(√6/3,−√6/6,√6/6)).
Pongamos
B= ((0,√2/2,√2/2),(√6/3,−√6/6,√6/6),(√3/3,√3/3,−√3/3)).
La base Bes una base de o ien ación posi i a, pues o que de (1BC)>0. Po an o, B1es una base
o ono mal de h(1,1,−1)i⊥de o ien ación posi i a. Así,
(G4π/3)B1=cos 4π/3−sen 4π/3
sen 4π/3 cos 4π/3=−1/2√3/2
−√3/2−1/2,
luego
(Gh(1,1,−1)i,4π/3)B=
−1/2√3/2 0
−√3/2−1/2 0
0 0 1 
.
Se iene
(Gh(1,1,−1)i,4π/3)C=idBC (Gh(1,1,−1)i,4π/3)BidCB
=

0√6/3√3/3
√2/2−√6/6√3/3
√2/2√6/6−√3/3

−1/2√3/2 0
−√3/2−1/2 0
0 0 1 


0√2/2√2/2
√6/3−√6/6√6/6
√3/3√3/3−√3/3

=

0 0 −1
100
0−1 0 
,
86
donde idCB = (idBC) po se la base Bo ogonal. Po an o,
Gh(1,1,−1)i,4π/3(x, y, z)=(−z, x, −y),
luego
G ,4π/3(x, y, z) =(1,2,−1) + Gh(1,1,−1),4π/3(x−1, y −2, z + 1)
=(1,2,−1) + (−z−1, x −1,−y+ 2) = (−z, 1 + x, 1−y).
Las ecuaciones del gi o de eje = (1,2,−1) + h(1,1,−1)iy ángulo 4π/3en la e e encia canónica son
x0=−z, y0= 1 + x, z0= 1 −y.
3.5.16.Ejemplo. La sime ía deslizan e espec o al plano de Πcuya ecuación en la e e encia canónica
es x+y+ 3 = 0, y con ec o de aslación = (−2,2,3), es el mo imien o
SΠ, = ◦SΠ,
donde SΠes la sime ía espec o al plano Π. Dado que Π=(−3,0,0) + h(1,−1,0),(0,0,1)i,
SΠ(x, y, z)=(−3,0,0) + SU(x+ 3, y, z),
donde U=h(1,−1,0),(0,0,1)iySU=idU⊥(−idU⊥). Se iene que U⊥=h(1,1,0)i. La ans o mación
o ogonal SU:R3→R3es la aplicación lineal dada po :
SU(1,−1,0) = (1,−1,0), SU(0,0,1) = (0,0,1), SU(1,1,= (−1,−1,0).
Sea B= ((1,−1,0),(0,0,1),(1,1,0)). Se iene
(SU)C=(SU)BC idCB =

1 0 −1
−1 0 −1
0 1 0 


101
−101
010

−1
=

0−1 0
−1 0 0
0 0 1 
,
luego SU(x, y, z) = (−y, −x, z). Po an o,
SΠ(x, y, z) = (−3,0,0) + SU(x+ 3 , y , z)=(−3,0,0) + (−y , −3−x, z)=(−3−y , −3−x , z).
Así,
SΠ, (x, y, z)=SΠ(x, y, z)+(−2,2,3)=(−3−y , −3−x , z)+(−2,2,3)=(−5−y , −1−x, 3 + z).
Las ecuaciones de SΠ, en la e e encia canónica son
x0=−5−y, y0=−1−x, z0= 3 + z.
3.5.17.Teo ema. (Teo ema de clasi icación de los mo imien os del espacio a ín euclídeo idimensional)
Sea Aun espacio a ín euclídeo o ien ado de dimensión 3,Mun mo imien o de AyAun pun o
cualquie a de A. Sean V1= Nuc (−→
M−idV)yV−1= Nuc (−→
M+idV). Se iene:
(1) Si −→
M=idV, en onces M= es una aslación con =−−−−−−→
A, M(A).
87
(2) Si −→
M∈O+(V)y−→
M6=idV, en onces −→
Mes un gi o de eje V1y ángulo ϕ,ϕ6= 0, que depende de
la o ien ación de V1.
(a)Si el ec o −−−−−−→
A, M(A)∈(V1)⊥, en onces Mes un gi o de eje o ien ado =A− +V1y
ángulo ϕ, siendo un ec o que e i ica −→
M( )− =−−−−−−→
A, M(A).
(b)Si el ec o −−−−−−→
A, M(A)6∈ (V1)⊥y−−−−−→
AM(A) = 1+ 2, con 1∈V1y 2∈(V1)⊥, se iene que
Mes un mo imien o helicoidal de eje =A− +V1, ángulo ϕy ec o de aslación 1,
siendo un ec o que e i ica −→
M( )− = 2.
(3) Si −→
M∈O−(V)es la sime ía espec o al subespacio V1de dimensión 2, se ienen dos casos:
(a)Si el ec o −−−−−−→
A, M(A)∈(V1)⊥, en onces Mes la sime ía espec o al plano Π = A+
1
2−−−−−−→
A, M(A) + V1.
(b)Si el ec o −−−−−−→
A, M(A)6∈ (V1)⊥, poniendo −−−−−−→
A, M(A) = 1+ 2, con 1∈V1y 2∈(V1)⊥,
se iene que Mes la sime ía deslizan e espec o al plano Π = A+1
2 2+V1y ec o de
aslación 1.
(4) Si −→
M∈O−(V)es la composición de un gi o de eje V−1y la sime ía espec o al plano (V−1)⊥
(i.e., los au o alo es de −→
Mson −1ya±bi 6=±1), en onces M iene un único pun o ijo CyM
es la composición del gi o de eje o ien ado C+V−1y ángulo ϕque depende de la o ien ación de
V−1y la sime ía espec o al plano C+ (V−1)⊥.
(5) Si −→
M=−idV, en onces Mes la sime ía cen al de cen o C=A+1
2−−−−−−→
A, M(A).
Demos ación. (1) Se sigue del lema 1.3.10.
(2) Sea −→
M∈O+(V)el gi o de eje o ien ado V1y ángulo ϕ.
(2) (a) Dado que −−−−−−→
A, M(A)∈(V1)⊥=Im(−→
M−idV), exis e ∈V al que (−→
M−idV)( ) = −−−−−→
AM(A).
Conside emos la ec a =A− +V1. Pa a odo P∈A,
M(P) = M(A) + −→
M(−→
AP) = A+−−−−−−→
A, M(A) + −→
M(−→
AP) = A− +−→
M(−−−−−→
A− , P) = G ,ϕ(P).
(2)(b) Si −−−−−−→
A, M(A) = 1+ 2con 1∈V1y 2∈(V1)⊥, como (V1)⊥= Im (−→
M−idV), exis e ∈V
al que −→
M( )− = 2. Si =A− +V1yP∈A,
M(P) = M(A) + −→
M(−→
AP) = A+−−−−−−→
A, M(A) + −→
M(−→
AP) = A+ 1+ 2+−→
M(−→
AP)
=A− +−→
M( ) + −→
M(−→
AP) + 1=A− +−→
M(−−−−−→
A− P) + 1
=G ,ϕ(P) + 1=H ,ϕ, 1(P).
(3) Sea −→
M∈O−(V)la sime ía espec o al subespacio V1de dimensión 2.
88
(3) (a) Si −−−−−−→
A, M(A)∈(V1)⊥,Π = A+1
2−−−−−−→
A, M(A) + V1yP∈A,
M(P) = M(A) + −→
M(−→
AP) = A+−−−−−−→
A, M(A) + −→
M(−→
AP)
=A+1
2−−−−−−→
A, M(A)−−→
M(1
2−−−−−−→
A, M(A)) + −→
M(−→
AP)
=A+1
2−−−−−−→
A, M(A) + −→
M(−−−−−−−−−−−−−→
A+1
2−−−−−−→
A, M(A), P) = SΠ(P).
(3) (b) Si −−−−−−→
A, M(A)6∈ (V1)⊥,−−−−−−→
A, M(A) = 1+ 2, con 1∈V1, 2∈(V1)⊥,Π = A+1
2 2+V1yP∈A,
M(P) = M(A) + −→
M(−→
AP) = A+−−−−−−→
A, M(A) + −→
M(−→
AP) = A+ 1+ 2+−→
M(−→
AP)
=A+1
2 2−−→
M(1
2 2) + −→
M(−→
AP) + 1=A+1
2 2+−→
M(−−−−−−−−→
A+1
2 2, P) + 1
=SΠ, 1(P).
(4) Sea −→
M∈O−(V) al que −→
M=h◦g, donde ges el gi o de eje o ien ado V−1y ángulo ϕyh
es la sime ía espec o al subespacio (V−1)⊥. Dado que Nuc(−→
M−idV) = 0, la aplicación −→
M−idVes
un isomo ismo y po an o exis e un único ec o al que (−→
M−idV)( ) = −−−−−→
AM(A). Conside emos la
ec a =A− +V−1y el plano Π = A− + (V−1)⊥. Pa a odo P∈A,
M(P) = M(A) + −→
M(−→
AP) = A+−−−−−−→
A, M(A) + −→
M(−→
AP) = A− +−→
M( ) + −→
M(−→
AP)
=A− +−→
M(−−−−−→
A− , P) = A− +h(g(−−−−−→
A− , P)) = A− +h(−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
A− , A − +g(−−−−−→
A− , P))
=SΠ(A− +g(−−−−−→
A− , P)=(SΠ◦G ,ϕ)(P).
Obsé ese que A− es el único pun o ijo M. En e ec o,
M(P) = M(A) + −→
M(−→
AP) = A+−−−−−−→
A, M(A) + −→
M(−→
AP) = A− +−→
M( ) + −→
M(−→
AP) = P
si, y solo si, (−→
M−idV)( +−→
AP)=0. Así, −→
AP =− y po an o P=A− .
(5) Si −→
M=−idVyC=A+1
2−−−−−−→
A, M(A), en onces pa a odo P∈Ase iene
M(P) = M(A)−−→
AP =A+−−−−−−→
A, M(A)−−→
AP
=C−−−−−−−−−−−−−−→
A+1
2−−−−−−→
A, M(A), A −−→
AP =C−−−→
CP =SC(P).
En es e caso, obsé ese que si B= ( 1, 2, 3)es una base o ono mal de V, en onces la ec a =
C+h 1iy el plano Π = C+h 2, 3ison pe pendicula es y SC=G ,π ◦SΠ.
89
4.1.3.De inición. Sean F1yF2pun os dis in os del plano Ay sea a > 0un núme o eal al que
2a>d(F1, F2). El luga geomé ico Cde los pun os del plano Acuya suma de dis ancias a los pun os
F1yF2es 2ase dice que es una elipse,
C={P∈A|d(P, F1) + d(P, F2)=2a}.
Los pun os F1yF2se llaman los ocos de la elipse.
4.1.4.P oposición. Exis e una e e encia ec angula de Adonde la elipse admi e una ecuación de la
o ma x2
a2+y2
b2= 1, a > 0, b > 0, a > b. (?)
La ecuación (?)se llama ecuación canónica de la elipse.
Demos ación. ([12, Cap. 8]) Sea Cla elipse o mada po los pun os de Acuya suma de dis ancias a
los pun os F1yF2es 2a > d(F1, F2)=2c. Sea Oel pun o medio de F1yF2. Pongamos
1=−−→
OF1
k−−→
OF1k, 2∈ h 1i⊥,k 2k= 1.
Conside emos la e e encia ec angula R={E1=O+ 1, E2=O+ 2;O}. Las coo denadas de F1y
F2en Rson (c, 0) y(−c, 0), pues o que
−−→
OF1=k−−→
OF1k 1=k1
2−−−→
F1F2k 1=1
2d(F1, F2) 1=c 1,
−−→
OF2=−−−→
OF1=−c 1.
Si Pes el pun o de coo denadas (x, y)en R, en onces
P∈C⇐⇒ d(P, F1) + d(P, F2)=2a⇐⇒ p(x−c)2+y2+p(x+c)2+y2= 2a
⇐⇒ p(x−c)2+y2= 2a−p(x+c)2+y2.
Ele ando al cuad ado los dos mienb os de la úl ima igualdad,
(x−c)2+y2= 4a2+ (x+c)2+y2−4ap(x+c)2+y2⇐⇒ a2+cx =ap(x+c)2+y2,
y ol iendo a ele a al cuad ado,
a2(a2−c2) = x2(a2−c2) + a2y2.
96

Dado que a > c,a2−c2>0, y poniendo b=√a2−c2se iene que b < a. Así, si Pes un pun o de C,
en onces sus coo denadas (x, y)en R e i ican la ecuación
x2
a2+y2
b2= 1.
Recíp ocamen e, si Pes un pun o cuyas coo denadas (x, y)en R e i ican la ecuación
x2
a2+y2
b2= 1,
en onces P∈C, es deci , d(P, F1) + d(P, F2)=2a. En e ec o,
d(P, F1) = p(x−c)2+y2= (x−c)2+a2−c2
a2(a2−x2)= (a2−cx)2
a2=
(a2−cx)
a=a−c
ax,
y, análogamen e, d(P, F2) = a+c
ax; dado que x2=a2−a2
a2−c2y2≤a2, es −a≤x≤a, luego
−c≤c
ax≤c, −c≤ −c
ax≤c,
y po an o,
0< a −c≤a+c
ax, 0< a −c≤a−c
ax,
de donde se sigue que
d(P, F1) = a−c
ax, d(P, F2) = a+c
ax,
y como consecuencia
d(P, F1) + d(P, F2)=2a.
Las ec as O◦E1yO◦E2se llaman ejes p incipales de la elipse, po se sus ejes de sime ía. La
ec a O◦E1=F1◦F2se llama eje ocal o mayo y la ec a O◦E2se llama eje meno o secunda io.
Los núme os aybse llaman longi udes de los semiejes yces la semidis ancia ocal. Los pun os A,A0,
ByB0, que son las pun os de co e de la elipse con los ejes p incipales, se llaman é ices de la elipse.
El pun o Ose llama cen o.
97
4.1.5.De inición. Sean F1yF2pun os dis in os de plano Ay sea a > 0un núme o eal al que
2a<d(F1, F2). El luga geomé ico Cde los pun os del plano ales que el alo absolu o de la
di e encia de dis ancias a los pun os F1yF2es 2ase dice que es una hipé bola.
C={P∈A| |d(P, F1)−d(P, F2)=2a|}.
Los pun os F1yF2se llaman los ocos de la hipé bola
4.1.6.P oposición. Exis e una e e encia ec angula de Adonde la hipé bola admi e una ecuación
de la o ma: x2
a2−y2
b2= 1, a > 0, b > 0.(?)
Demos ación. Supongamos que Ces la hipé bola o mada po los pun os de A ales que el alo
absolu o de la di e encia de dis ancias a los pun os F1yF2es 2a<d(F1, F2)=2c. Sea Oel pun o
medio de F1yF2. Tomemos
1=−−→
OF1
k−−→
OF1k, 2∈ h 1i⊥,k 2k= 1.
Conside emos la e e encia ec angula R={E1=O+ 1, E2=O+ 2;O}. Las coo denadas de F1yF2
en Rson (c, 0) y(−c, 0), espec i amen e. Si Pes el pun o de coo denadas (x, y)en R, en onces
P∈C⇐⇒ |d(P, F1)−d(P, F2)|= 2a⇐⇒ p(x−c)2+y2−p(x+c)2+y2=±2a
⇐⇒ p(x−c)2+y2=±2a+p(x+c)2+y2
=⇒(x−c)2+y2= 4a2+ (x+c)2+y2±4ap(x+c)2+y2
⇐⇒ a2+cx =±ap(x+c)2+y2
=⇒a2(c2−a2) = x2(c2−a2)−a2y2.
98
Dado que c>a,c2−a2>0, y poniendo b=√c2−a2se iene que b2x2−a2y2=a2b2. Así, si Pes un
pun o de C, sus coo denadas (x, y)en R e i ican la ecuación
x2
a2−y2
b2= 1.
Recíp ocamen e, sea Pun pun o cuyas coo denadas (x, y)en R e i ican la ecuación
x2
a2−y2
b2= 1. a > 0, b > 0,
y eamos que P∈C, es deci que |d(P, F1)−d(P, F2)|= 2a. Se iene
d(P, F1) = p(x−c)2+y2= (x−c)2+c2−a2
a2(x2−a2) = (a2−cx)2
a2=
a2−cx
a=a−c
ax.
Análogamen e, d(P, F2) = a+c
ax, y pues o que
x2
a2−y2
b2= 1,
es x≥aox≤ −a. Si x≥a,
d(P, F1) = a−c
ax=c
ax−a, d(P, F2) = a+c
ax=c
ax+a,
y así, d(P, F1)−d(F1, F2) = −2a. Si x≤ −a,
d(P, F1) = a−c
ax=a−c
ax, d(P, F2) = a+c
ax=−a−c
ax,
luego d(P, F1)−d(P, F2)=2a.
La ecuación (?)se llama ecuación canónica de la hipé bola. Las ec as O◦E1yO◦E2se llaman
ejes p incipales de la hipé bola, po se sus ejes de sime ía; el eje O◦E1=F1◦F2se llama eje ocal y
el eje O◦E2eje secunda io. La hipé bola iene dos amas: una o mada po los pun os de la hipé bola
de coo denadas (x, y)con x≥ay o a o mada po los pun os de la hipé bola de coo denadas (x, y)
con x≤ −a.
99
Los é ices de la hipé bola son los pun os de co e AyA0del eje ocal con la hipé bola y sus
coo denadas en Rson (a, 0) y(−a, 0), espec i amen e. El eje secunda io no co a a la hipé bola. La
hipé bola iene dos asín o as, que son las ec as de ecuaciones
L1≡x
a−y
b= 0, L2≡x
a+y
b= 0.
Las ec as L1yL2 e i ican que al aleja se un pun o Pde la hipé bola del o igen O, la dis ancia
en e Py alguna de es as dos ec as iende a ce o.
4.1.7.De inición. Sea Fun pun o y Luna ec a de A al que F6∈ L. El luga geomé ico Cde los
pun os del plano cuya dis ancia al pun o Fcoincide con la dis ancia a la ec a Lse dice que es una
pa ábola La dis ancia p=d(F, L)se llama pa áme o de la pa ábola, el pun o Fse llama oco y la
ec a Ldi ec iz.
C={P∈A|d(P, F ) = d(P, L)}.
4.1.8.P oposición. Exis e una e e encia ec angula de Adonde la ecuación de la pa ábola es
C≡y2= 2 p x, p > 0.(?)
Demos ación. Supongamos que Ces la pa ábola o mada po los pun os de Acuya dis ancia al pun o
Fes igual a la dis ancia a la ec a Ly sea p=d(F, L ). Sea F0la p oyeción o ogonal de Fsob e Ly
sea Oel pun o medio de FyF0. Pongamos
1=−−→
OF
k−−→
OF k, 2∈ h 1i⊥,k 2k= 1.
100
En la e e encia ec angula R={E1=O+ 1, E2=O+ 2;O}, las coo denadas del oco Fson
(p
2,0 ), las de F0son (−p
2,0 ), y la ecuación de la di ec iz L=F0+h 2ies
L≡x+p
2= 0.
Si Pes el pun o de coo denadas (x, y)en R, en onces
d(P, F ) = (x−p
2)2+y2, d(P, L) = x+p
2.
Así,
P∈C⇐⇒ (x−p
2)2+y2=x+p
2=⇒(x−p
2)2+y2= (x+p
2)2⇐⇒ y2= 2 p x.
Recíp ocamene, sea Pun pun o cuyas coo denadas (x, y)en R e i ican la ecuación:
y2= 2 p x, p > 0,
con p > 0. Veamos que P∈C, es deci que d(P, F) = d(P, L). Se iene
d(P, F ) = (x−p
2)2+y2, d(P, L) = x+p
2,
luego
d(P, F ) = (x−p
2)2+y2= (x−p
2)2+ 2 p x = (x+p
2)2=x+p
2=d(P, L).
La ecuación (?)se llama ecuación canónica de la pa ábola. El pun o Fes el oco, la ec a Lla
di ec iz, y el pun o Ose llama é ice de la pa ábola. Las ec as O◦E1yO◦E2se llaman ejes
p incipales de la pa ábola, la ec a O◦E1se llama además eje ocal y es su eje de sime ía, y pes el
pa áme o de la pa ábola.
101

4.2. Cónicas.
Sea Kun cue po de ca ac e ís ica dis in a de 2,Vun espacio ec o ial de dimensión 2 sob e Ky
Aun plano a ín sob e V.
Si K=R, en onces oda ma iz eal simé ica Aes cong uen e a una ma iz diagonal Dy se llama
signa u a de Aal pa (p, q)de núme os en e os ≥0, donde pyqindican el núme o de elemen os
posi i os y elemen os nega i os en D, espec i amen e; además, po la ley de ine cia de Syl es e el
pa (p, q)no depende de la ma iz diagonal cong uen e a la ma iz Aconside ada.
4.2.1.De inición Una cónica Cen Aes el luga geomé ico de los pun os de Acuyas coo denadas
(x, y) espec o a una e e encia R={P1, P2;Q} e i ican una ecuación polinómica de segundo g ado
con coe icien es en K,
C≡a11x2+a22y2+ 2a12xy + 2a1x+ 2a2y+a0= 0.(?)
Deno a emos po AyBlas ma ices simé icas:
A=a11 a12
a12 a22 ,B=

a0a1a2
a1a11 a12
a2a12 a22 
.
La ecuación (?)se exp esa ma icialmen e como
C≡1x y B

1
x
y
= 0.
Se llaman ecuaciones de la cónica Cen Ra las ecuaciones que se ob ienen mul iplicando po un escala
no nulo la ecuación (?). La ma iz Bo cualquie a de sus p opo cionales se dice que es una ma iz de
la cónica en Ry la ma iz Ase llama ma iz de é minos cuad á icos de la cónica en R.
4.2.2.Ecuación de la cónica en o a e e encia a ín. ([3, p. 603]) Sea R0={P0
1, P0
2;Q0}o a e e-
encia de A. Sea Pun pun o de coo denadas (x, y)en Ry de coo denadas (x0, y0)en R0. Conside emos
la ecuación de cambio de coo denadas de R0aR:
x
y=b
c+p11 p12
p21 p22 x0
y0,
donde (b, c)son las coo denadas del pun o Q0en Ry
P=p11 p12
p21 p22 = 1BR0BR
es la ma iz del cambio de base de BR0aBR. Si ponemos
¯
P=

1 0 0
b p11 p12
c p21 p22 
,
102
se iene 

1
x
y
=¯
P

1
x0
y0
.
La ma iz ¯
Pse llama ma iz del cambio de coo denadas de R0aR. Sus i uyendo en la ecuación ma icial
de C,
C≡1x0y0¯
P B¯
P

1
x0
y0
= 0.
Si conside amos las ma ices
B0=¯
P B¯
P=

a0
0a0
1a0
2
a0
1a0
11 a0
12
a0
2a0
12 a0
22

,a0
11 a0
12
a0
12 a0
22 =P AP =A0,
la ecuación de Cen la e e encia R0es
C≡a0
11x02+a0
22y02+ 2a0
12x0y0+ 2a0
1x0+ 2a0
2y0+a0
0= 0.
Dado que A0=P AP yA 6= 0, es A06= 0. Así, la ecuación de Cen R0es una ecuación polinómica de
g ado 2. Las ma ices AyA0son cong uen es y ambién lo son las ma ices ByB0, y po an o
ango(A) = ango(A0), ango(B) = ango (B0).
Además, si K=R,
signa u a(A) = signa u a(A0),signa u a(B) = signa u a(B0).
Si Aes un plano a ín euclídeo y RyR0son e e encias ec angula es, en onces las ma ices AyA0son
semejan es y po an o ienen igual aza, de e minan e y los mismos au o alo es; en es e caso, dado
que de ( ¯
P) = de (P)y que Pes una ma iz o ogonal, se iene de (B) = de (B0).
4.2.3.De inición. Sea Cla cónica en Acuya ecuación en una e e encia Res
C≡a11x2+a22y2+ 2a12xy + 2a1x+ 2a2y+a0= 0,
Se dice que la cónica Ces no degene ada si de (B)6= 0 o, equi alen emen e, si ango(B) = 3, siendo B
la ma iz de la cónica en R.
Po 4.2.2, el hecho de que la cónica sea no degene ada no depende de la e e encia a ín conside ada.
Vamos a clasi ica las cónicas po sus ecuaciones y conside a como cónicas dis in as aquellas cuyas
ecuaciones en una misma e e encia no son p opo cionales.
4.2.4.De inición. Se dice que las cónicas C1yC2en Ason a ínmen e equi alen es si exis en e e encias
R1yR2 ales que una ecuación de C1en R1es igual a una ecuación de C2en R2.
En el conjun o de las cónicas en el plano A, la elación “se a ínmen e equi alen es” es una elación
de equi alencia.
103
4.2.5.P oposición. Sean C1yC2las cónicas en Acuyas ecuaciones en la e e encia Rson
C1≡a11x2+a22y2+ 2a12xy + 2a1x+ 2a2y+a0= 0,
C2≡a0
11x2+a0
22y2+ 2a0
12xy + 2a0
1x+ 2a0
2y+a0
0= 0.
Sean AyBlas ma ices asociadas a la cónica C1yA0yB0las ma ices asociadas a C2en R. Si C1
es a ínmen e equi alen e a C2, exis e ρ∈K−{0} al que las ma ices A0yρAson cong uen es y las
ma ices B0yρBson cong uen es; en pa icula ,
ango(A) = ango(A0), ango(B) = ango(B0).
Si K=Ry signa u a(A) = (p, q), en onces signa u a(A0) = (p, q)o(q, p)y si signa u a(B) = ( , s),
en onces signa u a(B0) = ( , s)o(s, ).
Demos ación. Exis en e e encias a ines R1yR2 ales que una ecuación de C1en R1coincide con
una ecuación de C2en R2. Sean
C1≡1x1y1¯
P1 B¯
P1

1
x1
y1
= 0,C2≡1x2y2¯
P2 B0¯
P2

1
x2
y2
= 0
las ecuaciones de C1en R1y de C2en R2, siendo las ma ices ¯
P1y¯
P2las ma ices del cambio de
coo denadas de R1aRy de R2aR, espec i amen e. Exis e ρ∈K−{0} al que
¯
P2 B0¯
P2=ρ¯
P1 B¯
P1=¯
P1 (ρB)¯
P1,
y po an o
P2 A0P2=ρP
1AP1=P1 (ρA)P1.
4.2.6.Obse ación. U ilizando el eo ema de Wi ([1, Ch. VI, P oposi ion 5.1, Theo em 8.10]), se
puede p oba que si C1yC2son cónicas no degene adas y exis en escala es ρ, µ ∈K−{0} ales que
las ma ices A0yρAson cong uen es y las ma ices B0yµBson cong uen es, en onces las cónicas C1
yC2son a ínmen e equi alen es.
4.2.7.Lema. Si Ces una cónica y α:A→Auna a inidad, en onces α(C)es una cónica.
Demos ación. Sea Cla cónica cuya ecuación en la e e encia Res
C≡1x y B

1
x
y
= 0.
yAla ma iz de é minos cuad á icos de Cen R. Sean (x, y)son las coo denadas de un pun o Pen
Ry(x0, y0)son las coo denadas de α−1(P)en R. Si la ecuación de la a inidad α−1en Res
x0
y0=b
c+Px
y,P=p11 p12
p21 p22 
104
en onces una ecuación de α(C)en Res
α(C)≡1x y ¯
P B¯
P

1
x
y
= 0,¯
P=

1 0 0
b p11 p12
c p21 p22 
.
Dado que P AP 6= 0,α(C)es una cónica.
4.2.8.P oposición. Si las cónicas C1yC2en Ason a ínmen e equi alen es, en onces exis e una
a inidad α:A→A al que α(C1) = C2.
Demos ación. Sean R={P1, P2;Q}yR0={P0
1, P0
2;Q0} e e encias de A ales que una ecuación de
C1en R0es igual a una ecuación de C2en R. Si unas ecuaciones de C1yC2en Rson
C1≡1x y B

1
x
y
= 0,C2≡1x y B0

1
x
y
= 0,
en onces ¯
P B¯
P=λB0, pa a algún λ∈K−{0}, donde
¯
P=

1 0 0
b p11 p12
c p21 p22 

es la ma iz de cambio de coo denadas de R0aR. Conside emos la a inidad α:A→A al que
α(P0
1) = P1,α(P0
2) = P2yα(Q0) = Q. Dado que la ecuación ma icial de α−1en Res
x0
y0=b
c+p11 p12
p21 p22 x
y,
donde (x, y)son las coo denadas de un pun o Pen Ry(x0, y0)son las coo denadas de α−1(P)en R,
se iene que α(C1) = C2.
4.2.9.Obse ación. Si C1yC2son dos cónicas eales no acías o dos cónicas complejas y exis e una
a inidad α:A→A al que α(C1) = C2, en onces las cónicas C1yC2son a ínmen e equi alen es. En
e ec o, si α:A→Aes una a inidad al que α(C1) = C2y la ecuación ma icial de la a inidad α−1en
la e e encia Res x0
y0=b
c+p11 p12
p21 p22 x
y,
en onces la ecuación de cambio de coo denadas de la e e encia α−1(R) = {α−1(P1), α−1(P2); α−1(Q)}
a la e e encia Res
¯
P

1
x0
y0
=

1
x
y
,¯
P=

1 0 0
0p11 p12
0p21 p22 
,
donde (x, y)son las coo denadas de un pun o Pen Ry(x0, y0)son las coo denadas de Pen α−1(R).
Luego, una ecuación de C1en α−1(R)es
C1≡1x0y0¯
P B¯
P

1
x0
y0
= 0.
105
si O00 es el pun o de coo denadas (−k/(2b1),−b2/λ2)en la e e encia R0, en onces una
ecuación educida de Cen la e e encia ec angula R00 ={O00 + 0
1, O00 + 0
2;O00}es
C≡λ2y002+ 2b1x00 = 0,
o ambién
C≡y002=−2b1
λ2
x00,
que es la ecuación canónica de la pa ábola si b1/λ2<0. El pa áme o pde Ces á dado po
p=b1
λ2=s−de (B)
( aza(A))3.
Los ec as de ecuaciones x00 = 0 ey00 = 0 son los ejes p incipales de la pa ábola. Si b1/λ2>0,
haciendo el cambio de coo denadas x1=−x00,y1=y00, se ob iene la ecuación canónica de
la pa ábola
C≡y2
1=2b1
λ2
x1,
que es la ecuación de Cen la e e encia R1={O00 − 0
1, O00 + 0
2;O00}.
(b)Si b1= 0 o, equi alen emen e, de (A)=0yde (B)=0, en onces
C≡λ2(y0+b2
λ2
)2+k= 0.
Con el cambio de coo denadas
x00 =x0, y00 =y0+b2
λ2
,
si O00 es el pun o de coo denadas (0,−b2/λ2)en la e e encia R0, en onces una ecuación
educida de Cen la e e encia ec angula R00 ={O00 + 0
1, O00 + 0
2;O00}es
C≡λ2y002+k= 0.
(i) Si k= 0 , el ango de Bes 1. En es e caso se dice que Ces la ec a doble de ecuación
canónica y002= 0 ; el conjun o de pun os de Ces el de la ec a de ecuación y00 = 0.
112

(ii) Si k6= 0 ysigno(λ2)6= signo(k)o, equi alen emen e, si signa u a(B) = (1,1), en onces
Ces á o mada po dos ec as pa alelas. Su ecuación canónica es
C≡y002−a2= 0, a2=−k
λ2
.
(iii) Si k6= 0 ysigno(λ2) = signo(k), es deci , si signa u a(B) = (2,0), en onces su ecuación
canónica es
C≡y002+a2= 0, a2=k
λ2
;
y se dice que Ces á o mada po dos ec as pa alelas imagina ias;Ces el conjun o
acío.
4.3.9.Teo ema de clasi icación de cónicas en un plano a ín euclídeo. Dos cónicas C1yC2son
mé icamen e equi alen es si, y solo si, ienen la misma ecuación canónica.
Demos ación. Se sigue de la p oposición 4.3.3 ( éase ambién su p ueba), del eo ema 4.3.7 y de 4.3.8.
4.4. Clasi icación a ín de cónicas eales y complejas
Sea Kun cue po de ca ac e ís ica dis in a de 2,Vun espacio ec o ial de dimensión 2sob e Ky
Aun plano a ín sob e V. Sea Cla cónica en Acuya ecuación en una e e encia R={P1, P2;Q}es
C≡a11x2+a22y2+ 2a12xy + 2a1x+ 2a2y+a0= 0.
Dado que oda ma iz simé ica es cong uen e a una ma iz diagonal y Aes una ma iz simé ica,
exis e una ma iz no singula
P=p11 p12
p21 p22 ,
al que
P AP =d10
0d2.
Si BR= ( 1, 2), en onces
B0= ( 0
1=p11 1+p21 2, 0
2=p12 1+p22 2)
113
es una base de AyP= 1B0BR. Razonando como en el eo ema 4.3.7, si deno amos po (x0, y0)las
coo denadas de un pun o en la e e encia R0={O+ 0
1, O + 0
2;O}, en onces la ecuación de Cen R0es
C≡d1x02+d2y02+ 2b1x0+ 2b2y0+a0= 0,
donde
(b1b2)=(a1a2)P.
En los casos en que K=RoK=C amos a clasi ica las cónicas en Apo sus ecuaciones.
4.4.1.Teo ema de clasi icación a ín de cónicas eales. ([3, p 117]) Sea Aun plano a ín eal. Exis e
una e e encia de A espec o a la cual la ecuación de la cónica es de una de las siguien es o mas, que
se llama ecuación canónica de la cónica a ín:
(1) Si de (A)6= 0,
(a)C≡x2
1+y2
1= 1, si de (A)>0ysigna u a(B) = (2,1) o(1,2); en es e caso se dice que C
es una elipse.
(b)C≡x2
1+y2
1=−1, si de (A)>0ysigna u a(B) = (3,0) o(0,3); se dice que Ces una
elipse imagina ia;Ces el conjun o acío.
(c)C≡x2
1−y2
1= 1, si de (A)<0yde (B)6= 0; se dice que Ces una hipé bola.
(d)C≡x2
1−y2
1= 0, si de (A)<0yde (B)=0;Ces á o mada po dos ec as que se co an
en un pun o.
(e)C≡x2
1+y2
1= 0, si de (A)>0yde (B) = 0; se dice que Ces un pa de ec as imagina ias
no pa alelas que se co an en un pun o de A;Ces un pun o.
(2) Si de (A)=0,
(a)C≡y2
1+x1= 0, si de (B)6= 0; se dice que Ces una pa ábola.
(b)C≡y2
1−1 = 0, si signa u a(B) = (1,1);Ces un pa de ec as pa alelas.
(c)C≡y2
1+ 1 = 0, si signa u a(B) = (2,0) o(0,2); se dice que Ces un pa de ec as pa alelas
imagina ias;Ces el conjun o acío.
(d)C≡y2
1= 0, si ango(B)=1; se dice que Ces una ec a doble.
Demos ación. Razona emos como en 4.3.8 pe o haciendo cambios de coo denadas a ines.
(1) Si de (A)6= 0, comple ando cuad ados se iene
C≡d1(x0+b1
d1
)2+d2(y0+b2
d2
)2+a0−b2
1
d1−b2
2
d2
= 0.
Pongamos
δ=−a0+b2
1
d1
+b2
2
d2
.
114
(a)Si de (A)>0y signa u a(B) = (2,1) o(1,2), haciendo el cambio de coo denadas
x1= d1
δx0+b1
d1, y1= d2
δy0+b2
d2,
una ecuación de Ces
C≡x2
1+y2
1= 1.
(b)Si de (A)>0y signa u a(B) = (3,0) o(0,3), con el cambio de coo denadas
x1= −d1
δx0+b1
d1, y1= −d2
δy0+b2
d2,
una ecuación de Ces
C≡x2
1+y2
1=−1.
(c)Si de (A)<0ysigno(d1) = signo(δ), con el cambio de coo denadas
x1= d1
δx0+b1
d1, y1= −d2
δy0+b2
d2,
se iene
C≡x2
1−y2
1= 1.
(d)Si de (B) = 0 yde (A)>0o, equi alen emen e, δ= 0 ysigno(d1) = signo(d2), con el
cambio de coo denadas
x1=x0+b1
d1
, y1= d2
d1y0+b2
d2,
una ecuación de Ces
C≡x2
1+y2
1= 0.
(e)Si de (B)=0o, es deci , δ= 0 yde (A)<0o, equi alen emen e, signo(d1)6= signo(d2),
con el cambio de coo denadas
x1=x0+b1
d1
, y1= −d2
d1y0+b2
d2,
una ecuación de Ces
C≡x2
1−y2
1= 0.
(2) Si de (A)=0y suponemos que d1= 0, en onces
C≡d2y02+ 2b1x0+ 2b2y0+a0= 0.
Comple ando cuad ados y poniendo k=a0−b2
2
d2
, se iene
C≡d2y0+b2
d22
+ 2b1x0+k= 0.
Se pueden p esen a los siguien es casos:
115
(a)Si de (B)6= 0 o, equi alen emen e, si b16= 0, haciendo el cambio de coo denadas
x1=2b1
d2
x0+k
d2
, y1=y0+b2
d2
,
una ecuación de Ces
C≡y2
1+x1= 0.
(b)Si de (A)=0,de (B) = 0, en onces haciendo el cambio de coo denadas
C≡d2y0+b2
d22
+k= 0.
(i) Si signa u a(B) = (2,0) o(0,2), con el cambio de coo denadas
x1=x0, y1= d2
ky0+b2
d2,
se iene
C≡y2
1+ 1 = 0.
(ii) Si signa u a(B) = (1,1) , con el cambio de coo denadas
x1=x0, y1= −d2
ky0+b2
d2,
una ecuación de Ces
C≡y2
1−1=0.
(iii) Si ango(B)=1, con el cambio de coo denadas
x1=x0, y1=y0+b2
d2
,
se iene
C≡y2
1= 0.
4.4.2.Teo ema. Sean C1yC2cónicas eales, AyBlas ma ices asociadas a la cónica C1yA0yB0
las ma ices asociadas a la cónica C2, signa u a(A)=(p, q)y signa u a(B)=( , s). Se iene que C1
yC2son a ínmen e equi alen es si, y solo si, signa u a(A0)=(p, q)o(q, p)y signa u a(B0)=( , s)o
(s, ).
Demos ación. Se sigue de la p oposición 4.2.5 y de 4.4.1.
4.4.3.Obse ación. Obsé ese que po la p oposición 4.2.5 y el eo ema de clasi icación de cónicas
a ines, en un plano a ín euclídeo odas las elipses son a ínmen e equi alen es a la ci cun e encia de
ecuación x2+y2= 1, odas las hipé bolas son a ínmen e equi alen es a la hipé bola de ecuación
x2−y2= 1 y odas las pa ábolas son a ínmen e equi alen es a la pa ábola de ecuación y2=x.
116
4.4.4.Clasi icación a ín de cónicas complejas. Sea Aun plano a ín complejo y Cla cónica en A
cuya ecuación en una e e encia a ín es
C≡a11x2+a22y2+ 2a12xy + 2a1x+ 2a2y+a0= 0,
y sean Bla ma iz de la cónica y Ala ma iz de los é minos cuad á icos. Exis e una e e encia de A
espec o a la cual la ecuación de la cónica es de una de las siguien es o mas, que se llama ecuación
canónica de la cónica a ín:
(1) Si de (A)6= 0,
(a)C≡x2
1+y2
1= 1, si de (B)6= 0.
(b)C≡x2
1+y2
1= 0, si de (B) = 0, y Ces á o mada po dos ec as que se co an en un pun o.
(2) Si de (A) = 0,
(a)C≡y2
1+x1= 0, si de (B)6= 0.
(b)C≡y2
1+ 1 = 0, si ango(B) = 2, y Ces un pa de ec as pa alelas.
(c)C≡y2
1= 0, si ango(B)=1y se dice que Ces una ec a doble.
Demos ación. Se azona como en 4.4.1 pe o eniendo en cuen a que odo núme o complejo es un
cuad ado.
4.4.5.Teo ema. Sean C1yC2cónicas complejas, AyBlas ma ices asociadas a la cónica C1yA0
yB0las ma ices asociadas a la cónica C2. Se iene que C1yC2son a ínmen e equi alen es si, y solo
si, ango(A0) = ango(A)y ango(B0) = ango(B).
Demos ación. Se sigue de la p oposición 4.2.5 y de que si ango(A0) = ango(A0)y ango(B0) =
ango(B), en onces po 4.4.4 las cónicas ienen la misma ecuación canónica.
4.5. Cen o de una cónica
Sea Kun cue po de ca ac e ís ica dis in a de 2,Vun espacio ec o ial sob e KyAun plano a ín
sob e V.
4.5.1.De inición. Sea Cuna cónica. Se dice que un pun o PC∈Aes cen o ocen o de sime ía de la
cónica si oda ec a que pasa po PCy co a a la cónica en un pun o la co a ambién en su simé ico
espec o a PC.
4.5.2.De inición. Se dice que una cónica es cen al si, y sólo si, iene un único cen o de sime ía.
4.5.3.P oposición. Sea Aun plano a ín eal o complejo, R={P1, P2;Q}una e e encia de A,Cla
cónica cuya ecuación en Res
C≡a11x2+a22y2+ 2a12xy + 2a1x+ 2a2y+a0= 0,
y
A=a11 a12
a12 a22 .
117

En onces un pun o PCde coo denadas (x0, y0)en Res cen o de Csi, y solo si,
Ax0
y0=−a1
a2,(1)
y la cónica Ces una cónica cen al, si y solo si, de (A)6= 0.
Demos ación. Un pun o PCes un cen o de la cónica Csi pa a cada P∈C, el pun o P0=PC−−−→
PCP
pe enece a C. Si la cónica Cno es á con enida en una ec a y el pun o PCes un cen o de la cónica,
en onces exis en pun os P1yP2en C ales que PC,P1yP2no es án alineados. En e ec o, exis e
P1∈C al que P16=PCy dado que C6⊂ PC◦P1, exis e P2∈C al que P26∈ PC◦P1. Así, los pun os
PC,P1yP2no es án alineados. Si las coo denadas de PCen Rson (x0, y0)y las coo denadas de −−−→
PCPi
en BRson (hi, ki), pa a i= 1,2, en onces las coo denadas de Pien Rson (x0+hi, y0+ki)y las de
P0
i=PC−−−−→
PCPison (x0−hi, y0−ki), pa a i= 1,2. Dado que PCes un cen o de la cónica, se iene
a11(x0+hi)2+a22(y0+ i)2+ 2a12(x0+hi)(y0+ki)+2a1(x0+hi)+2a2(y0+ki) + a0= 0,
a11(x0−hi)2+a22(y0−ki)2+ 2a12(x0−hi)(y0−ki)+2a1(x0−hi)+2a2(y0−ki) + a0= 0,
pa a i= 1,2. Como consecuencia,
(a11x0+a12y0+a1)hi+ (a12x0+a22y0+a2)ki= 0, i = 1,2,
equi alen emen e h1k1
h2k2a11x0+a12y0+a1
a12x0+a22y0+a2=0
0.
Pues o que los ec o es −−−→
PCP1y−−−→
PCP2son linealmen e independien es,
h1k1
h2k26= 0,
luego se iene (1),
a11x0+a12y0+a1= 0, a12x0+a22y0+a2= 0.
Recíp ocamen e, si las coo denadas (x0, y0)de un pun o de A e i ican las ecuaciones (1), en onces ese
pun o es un cen o de C.
Si Ces una ec a doble, en onces los pun os de Cson los cen os de sime ía de Cy son los pun os
que e i ican la ecuación (1). En un plano a ín eal, si la cónica Ces un pa de ec as imagina ias no
pa alelas que se co an en un pun o, en onces ese pun o es el cen o de sime ía de Cy es el único
pun o cuyas coo denadas e i ican la ecuación (1).
4.5.4.Ejemplos. Si Aes un plano a ín eal, la elipse, la hipé bola y un pa de ec as (pa alelas o no)
ienen cen os de sime ía.
4.5.5.Ejemplos. Si Aes un plano a ín eal, en onces las cónicas cen ales son las elipses, la hipé bolas,
los pa es de ec as que se co an en un pun o y las o madas po un pun o. En un plano a ín euclídeo
las cónicas cen ales son las ci cun e encias, la elipses, las hipé bolas y los pa es de ec as que se co an
en un pun o y las o madas po un pun o.
118
4.5.6.Obse ación. Si Aes un plano a ín eal, la pa ábola no iene cen o, pues o que la ma iz
B=

a0a1a2
a1a11 a12
a2a12 a22 

iene ango 3, luego la ma iz a1a11 a12
a2a12 a22 
iene ango 2. Dado que el ango de la ma iz Aes 1, el sis ema (1) de la p oposición 4.5.3 no iene
solución.
4.5.7.Obse ación. Si Aes un plano a ín euclídeo, la e e encia Res ec angula y la cónica Ces
cen al, en onces el cen o de sime ía de la cónica es el pun o de co e de los ejes p incipales de la
cónica. En e ec o, si la ecuación educida de Cen una e e encia R1es
λ1x2
1+λ2y2
1=δ,
el cen o de Ces el pun o de coo denadas (0,0) en R1. En e ec o, si PC iene coo denadas (x0, y0)
en R1, en onces λ10
0λ2x0
y0=0
0⇐⇒ x0= 0, y0= 0.
Po an o si Ces una cónica cen al, la ecuación (1) da las coo denadas en la e e encia Rdel pun o
de co e de los ejes p incipales de la cónica.
4.6. Ejemplos de cónicas
4.6.1.Ejemplo. Conside emos la cónica en R2cuya ecuación en la e e encia canónica es
C≡3x2+ 3y2+ 2xy −4x+ 4y−4=0.
Las ma ices de la cónica son
A=3 1
1 3 ,B=
−4−2 2
−2 3 1
2 1 3 
.
Se iene
de (A)=8>0,de (B) = −64.
119
Dado que de (B)6= 0, la cónica Cno es degene ada, y como de (A)>0,Ces una elipse. Además,
Ces una cónica cen al. Vamos a calcula la ecuación educida, el cen o y los ejes p incipales de C
siguiendo el eo ema 4.3.7 y 4.3.8.
Po el eo ema espec al, la ma iz simé ica Aes diagonalizable y exis e una ma iz de paso
o ogonal. Pa a calcula una ma iz de paso Po ogonal calculamos el polinomio ca ac e ís ico de A,
PA(X) = 3−X1
1 3 −X=X2−6X+ 8 = (X−2)(X−4).
Los au o alo es de Ason λ1= 2 yλ2= 4. Los subespacios p opios asociados a los au o alo es son
V2=Nuc( −2idR3) = h(1,−1)i, V4=Nuc( −4idR3) = h(1,1)i,
donde es el endomo ismo de R2cuya ma iz asociada en la base canónica es A. La ma iz
P=√2/2√2/2
−√2/2√2/2
es una ma iz o ogonal y e i ica P AP =diag (2 4). La base
B= ( 1= (√2/2,−√2/2), 2= (√2/2,√2/2))
es una base o ono mal de R2con el p oduc o escala usual y P=idBC. El cen o de la cónica es el
pun o O00 = (x0, y0)dado po 3 1
1 3 x0
y0=−−2
2,
de donde se sigue que O00 = (1,−1). La ecuación educida de Cen la e e encia ec angula R00 =
{E00
1=O00 + 1, E00
2=O00 + 2;O00}es
C≡2x002+ 4 y002=δ, δ =−de (B)
de (A)=−−64
18 = 8,
equi alen emen e,
C≡x002
4+y002
2= 1.
Los ejes p incipales de la elipse son
eje O00x00 =O00 ◦E00
1= (1,−1) + h(1,−1)i,eje O00y00 =O00 ◦E00
2= (1,−1) + h(1,1)i.
El eje ocal o eje mayo de la elipse es el eje O00x00.
120
La ecuación del cambio de coo denadas de la e e encia R00 a la e e encia canónica es
x
y=1
−1+√2/2√2/2
−√2/2√2/2x00
y00 .
Los é ices AyBde Cson los pun os de coo denadas (2,0) y(0,√2) en R00 y los ocos F1yF2son
los pun os de coo denadas (√2,0) y(−√2,0) en R00. Po an o, A= (1 + √2,−1−√2),B= (2,0),
F1= (2,−2) yF2= (0,0) = O.
4.6.2.Ejemplo. Conside emos la cónica en R2de ecuación en la e e encia canónica
C≡12y2−16xy −8x+ 28y+ 15 = 0.
Las ma ices de la cónica son
A=0−8
−8 12 ,B=

15 −4 14
−4 0 −8
14 −8 12 
.
Se iene
de (A) = −64 <0,de (B) = −256.
Dado que de (B)6= 0, la cónica Ces no degene ada. Dado que de (A)<0,Ces una hipé bola. La
cónica Ces una cónica cen al Vamos a calcula la ecuación educida. el cen o y los ejes p incipales
de Csiguiendo el eo ema 4.3.7 y 4.3.8.
Po el eo ema espec al, la ma iz simé ica Aes diagonalizable y exis e una ma iz de paso
o ogonal. Pa a calcula una ma iz de paso Po ogonal calculamos el polinomio ca ac e ís ico de A,
PA(X) = −X−8
−8 12 −X=X2−12X−64 = (X+ 4)(X−16).
Los au o alo es de Ason λ1=−4yλ2= 16. Los subespacios p opios asociados a los au o alo es son
V−4= Nuc( + 4 idR2) = h(2,1)i, V16 = Nuc( −16 idR2) = h(1,−2)i,
donde es el endomo ismo de R2cuya ma iz asociada en la base canónica es A. La ma iz
P=2√5/5√5/5
√5/5−2√5/5
es o ogonal y es una ma iz de paso, es deci , P AP =diag (−4 16 ). La base
B= ( 1= (2√5/5,√5/5), 2= (√5/5,−2√5/5))
es una base o ono mal de R2con el p oduc o escala usual y P=idBC. El cen o de la cónica es el
pun o O00 = (x0, y0)cuyas coo denadas e i ican la ecuación
0−8
−8 12 x0
y0=−−4
14 ,
121
4.7. Cuád icas
Sean Kun cue po de ca ac e ís ica dis in a de 2,Vun espacio ec o ial sob e Kde dimensión 3
yAun espacio a ín sob e V.
4.7.1.De inición. Una cuád ica Sen Aes el luga geomé ico de los pun os de Acuyas coo denadas
(x, y, z) espec o a una e e encia R={P1, P2, P3;Q} e i ican una ecuación polinómica de segundo
g ado con coe icien es en K,
S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+ 2a3z+a0= 0.(?)
Deno a emos po AyBlas ma ices simé icas:
A=

a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33 
,B=



a0a1a2a3
a1a11 a12 a13
a2a12 a22 a23
a3a13 a23 a33



.
La ecuación (?)de Sen Rse exp esa ma icialmen e como
S≡1x y z B



1
x
y
z



= 0.
Se llaman ecuaciones de la cuád ica Sen Ra las ecuaciones que se ob ienen mul iplicando po un
escala no nulo la ecuación (?). La ma iz Bo cualquie a de sus p opo cionales se llama ma iz de la
cuád ica en Ry la ma iz Ase dice que es la ma iz de é minos cuad á icos de la cuád ica.
4.7.2.Ecuación de la cuád ica en o a e e encia a ín. ([3, p. 635]) Si R0={P0
1, P0
2, P0
3;Q0}
es o a e e encia de A,(x, y, z)son las coo denadas de un pun o en la e e encia Ry(x0, y0, z0)sus
coo denadas en R0, se iene


x
y
z
=

b
c
d
+

p11 p12 p13
p21 p22 p23
p31 p32 p33 


x0
y0
z0
,
donde (b, c, d)son las coo denadas de Q0en Ry
P=

p11 p12 p13
p21 p22 p23
p31 p32 p33 
= 1BR0BR,
siendo BRyBR0las bases asociadas a las e e encias RyR0, espec i amen e. La ma iz
¯
P=



1 0 0 0
b p11 p12 p13
c p21 p22 p23
d p31 p32 p33,




128

se llama ma iz del cambio de coo denadas de R0aR. Se iene:




1
x
y
z



=¯
P



1
x0
y0
z0



.
Sus i uyendo en la ecuación de la cuád ica Sen R,
S≡1x0y0z0¯
P B¯
P



1
x0
y0
z0



= 0.
Si
A0=P A P =

a0
11 a0
12 a0
13
a0
12 a0
22 a0
23
a0
13 a0
23 a0
33

,B0=¯
P B¯
P=



a0
0a0
1a0
2a0
3
a0
1a0
11 a0
12 a0
13
a0
2a0
12 a0
22 a0
23
a0
3a0
13 a0
23 a0
33



,
la ecuación de Sen la e e encia R0es
S≡a0
11x02+a0
22y02+a0
33z02+ 2a0
12x0y0+ 2a0
13x0z0+ 2a0
23y0z0+ 2a0
1x0+ 2a0
2y0+ 2a0
3z0+a0
0= 0.
Dado que A0=P AP yA 6= 0, es A06= 0. Así, la ecuación de Sen R0es una ecuación polinómica de
g ado 2; es deci , el hecho de que una cu a sea una cónica, no depende de la e e encia a ín conside ada.
Las ma ices AyA0y las ma ices ByB0son ma ices cong uen es. Además, si K=R,
signa u a(A) = signa u a(A0),signa u a(B) = signa u a(B0).
Si Aes un espacio a ín euclídeo y RyR0son e e encias ec angula es, en onces las ma ices AyA0
son semejan es y de (B) = de (B0).
4.7.3.De inición. Sea Sla cuád ica en Acuya ecuación en una e e encia a ín es
S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+ 2a3z+a0= 0.
Se dice que la cuád ica Ses no degene ada si de (B)6= 0, siendo Bla ma iz de la cuád ica.
Po 4.7.2, el hecho de que la cuád ica sea no degene ada no depende de la e e encia a ín conside ada.
Vamos a clasi ica las cuád icas po sus ecuaciones y conside a como cuád icas dis in as aquellas
cuyas ecuaciones en una misma e e encia no son p opo cionales.
4.7.4.P oposición. Se dice que las cuád icas S1yS2en Ason a ínmen e equi alen es si exis en
e e encias R1yR2 ales que una ecuación de S1en R1coincide con una ecuación de S2en R2.
La elación “se a ínmen e equi alen es” es una elación de equi alencia en el conjun o de las cuá-
d icas en A.
129
4.7.5.P oposición. Sean S1yS2las cuád icas en Acuyas ecuaciones en la e e encia a ín Rson
S1≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+a3z+a0= 0,
S2≡a0
11x2+a0
22y2+a0
33z2+ 2a0
12xy + 2a0
13xz + 2a0
23yz + 2a0
1x+ 2a0
2y+ 2a0
3x+a0
0= 0.
Sean AyBlas ma ices asociadas a la cuád ica S1yA0yB0las ma ices asociadas a S2. Si S1es
a ínmen e equi alen e a S2, en onces exis e ρ∈K al que las ma ices A0yρAson cong uen es y las
ma ices B0yρBson cong uen es; en pa icula ,
ango(A) = ango(A0), ango(B) = ango(B0).
Si K=Ry signa u a(A) = (p, q), en onces signa u a(A0) = (p, q)o(q, p)y si signa u a(B) = ( , s),
en onces signa u a(B0) = ( , s)o(s, ).
Demos ación. Es análoga a la de la p oposición 4.2.5.
4.7.6.Obse ación. De la misma o ma que en el caso de las cónicas se puede p oba , u ilizando
el eo ema de Wi ([1, Ch. VI, P oposi ion 5.1, Theo em 8.10]), que si S1yS2son cuád icas no
degene adas y exis en escala es ρ, µ ∈K−{0} ales que las ma ices A0yρAson cong uen es y las
ma ices B0yµBson cong uen es, en onces las cuád icas S1yS2son a ínmen e equi alen es.
4.7.7.Lema. Si Ses una cuád ica en Ayα:A→Auna a inidad, en onces α(S)es una cuád ica.
Demos ación. Se azona como en el lema 4.2.7.
4.7.8.P oposición. Si las cuád icas S1yS2son a ínmen e equi alen es, en onces exis e una a inidad
α:A→A al que α(S1) = S2.
Demos ación. Se azona como en la p oposición 4.2.8.
4.7.9.Obse ación. Razonando como en 4.2.9 y eniendo en cuen a ([13, p. 126] ), se p ueba que si S1
yS2son dos cuád icas eales no acías o dos cúád icas complejas, y exis e una a inidad α:A→A al
que α(S1) = S2, en onces S1yS2son cuád icas a ínmen e equi alen es. Si S1yS2son dos cuád icas
eales o madas po un pun o, en onces son a ínmen e equi alen es y si S1yS2son dos ec as en onces
ambién son a ínmen e equi alen es ( éase el eo ema 4.9.1).
4.8. Cuád icas en el espacio a ín euclídeo idimensional. Ecuación educida de
una cuád ica
Sea Aun espacio a ín euclídeo idimensional sob e un espacio ec o ial eal V.
4.8.1.De inición. Se dice que las cuád icas S1yS2en Ason mé icamen e equi alen es si exis en
e e encias ec angula es R1yR2 ales que una ecuación de S1en R1coincide con una ecuación de
S2en R2.
En el conjun o de las cuád icas en A, la elación “se mé icamen e equi alen es” es una elación
de equi alencia.
130
4.8.2.Obse ación. Si dos cuád icas son mé icamen e equi alen es, en onces son a ínmen e equi a-
len es.
4.8.3.P oposición. Sea Sla cuád ica en Ade ecuaciones
S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+a3z+a0= 0,
S≡a0
11x2+a0
22y2+a0
33z2+ 2a0
12xy + 2a0
13xz + 2a0
23yz + 2a0
1x+ 2a0
2y+ 2a0
3x+a0
0= 0.
en las e e encias ec angula es RyR0, espec i amen e. Sean AyBlas ma ices asociadas a la
cuád ica Sen RyA0yB0las ma icas asociadas a Sen R. Exis e ρ∈R−{0} al que las ma ices A0
yρAson semejan es, las ma ices B0yρBson cong uen es; como consecuencia de (A0) = ρ3de (A),
aza(A0) = ρ aza(A)y si los au o alo es de Ason λ1,λ2yλ3y los de A0son λ0
1,λ0
2yλ0
3, en onces
λ0
1=ρ λ1, λ0
2=ρ λ2, λ0
3=ρ λ3.
Además, de (B0) = ρ4de (B).
Demos ación. Es análoga a la de la p oposición 4.3.3.
4.8.4.De inición. ([3, p. 671]) Sea Sla cuád ica en Acuya ecuación en la e e encia ec angula Res
S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+ 2a3z+a0= 0,
y sean AyBlas ma ices asociadas a S. Los núme os de (A),de (B), aza(A)y los au o alo es Ase
llaman in a ian es mé icos de la cuád ica.
4.8.5.P oposición. Si las cuád icas S1yS2en Ason mé icamen e equi alen es, en onces exis e un
mo imien o α:A→A al que α(S1) = S2.
Demos ación. Se azona como en la p oposición 4.3.5.
4.8.6.Obse ación. Razonando como en 4.2.9 se p ueba que si S1yS2son dos cuád icas eales con
más de un pun o y que no son ec as o dos cúád icas complejas, y exis e un mo imien o α:A→A al
que α(S1) = S2, en onces S1yS2son cuád icas mé icamen e equi alen es.
4.8.7.Obse ación. De o ma análoga al es udio que se hizo de la ci cun e encia, elipse, hipé bola
y pa ábola como luga es geomé icos en un plano a ín euclídeo, se puede hace el es udio de la es e a,
el elipsoide, el hipe boloide de una hoja, el hipe boloide de dos hojas, el pa aboloide elíp ico, el pa a-
boloide hipe bólico, el cono y los cilind os en un espacio a ín euclídeo idimensional. El es udio del
elipsoide, el hipe boloide de una hoja, el hipe boloide de dos hojas, el pa aboloide elíp ico y el pa a-
boloide hipe bólico como luga es geomé icos se puede e en [3], Capí ulo 13, sección 3. De ini emos
las cuád icas en un espacio a ín euclídeo idimensional po su ecuación educida.
Pa a clasi ica mé icamen e las cuád icas en un espacio a ín euclídeo idimensioneal amos a hace
cambios de coo denadas ec angula es en la ecuación de la cuád ica has a llega a su ecuación canónica
([4, Cap. VII]) .
131
4.8.8.Teo ema. Sea Sla cuád ica cuya ecuación en la e e encia ec angula R={E1, E2, E3;O}es
S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+ 2a3z+a0= 0.
Exis e una e e encia ec angula R0={E0
1, E0
2, E0
3;O}de A espec o a la cual la ecuación de la
cuád ica es
S≡λ1x02+λ2y02+λ3z02+ 2b1x0+ 2b2y0+ 2b3z0+a0= 0.
Demos ación. Aplicando el eo ema espec al a la ma iz simé ica A, podemos encon a una ma iz
o ogonal
P=

p11 p12 p13
p21 p22 p23
p31 p32 p33,

al que
P A P =

λ10 0
0λ20
0 0 λ3
.
Pues o que la ma iz Pes o ogonal, si BR= ( 1, 2, 3), en onces
B= ( 0
1=p11 1+p21 2+p31 3, 0
2=p12 1+p22 2+p32 3, 0
3=p13 1+p23 2+p33 3)
es una base o ono mal de V. Sean (x, y, z)las coo denadas de un pun o en la e e encia R=
{E1, E2, E3;O}y(x0, y0, z0)las coo denadas en la e e encia R0={E0
1, E0
2, E0
3;O}, donde E0
1=O+ 0
1,
E0
2=O+ 0
2,E0
3=O+ 0
3; en onces


x
y
z
=P

x0
y0
z0
,
y poniendo
¯
P=



1 0 0 0
0p11 p12 p13
0p21 p22 p23
0p31 p32 p33



,
se iene




1
x
y
z



=¯
P



1
x0
y0
z0



.
Sus i uyendo en la ecuación de Sen R,
S≡1x0y0z0¯
P B¯
P



1
x0
y0
z0



= 0,
132
se ob iene la ecuación
S≡1x0y0z0



a0b1b2b3
b1λ10 0
b20λ20
b30 0 λ3







1
x0
y0
z0



= 0,
es deci ,
S≡λ1x02+λ2y02+λ3z02+ 2b1x0+ 2b2y0+ 2b3z0+a0= 0,
donde
(b1b2b3)=(a1a2a3)P.
4.8.9.Ob ención de la ecuación educida de una cuád ica. A pa i de la ecuación de Sen la
e e encia ec angula R0, se ienen los siguien es casos:
(1) Si λ16= 0,λ26= 0 yλ36= 0 o, equi alen emen e, si de (A)6= 0,
S≡λ1(x0+b1
λ1
)2+λ2(y0+b2
λ2
)2+λ3(z0+b3
λ3
)2+a0−b2
1
λ1−b2
2
λ2−b2
3
λ3
= 0 .
Pongamos
x00 =x0+b1
λ1
, y00 =y0+b2
λ2
, z00 =z0+b3
λ3
,
y
δ=−a0+b2
1
λ1
+b2
2
λ2
+b2
3
λ3
=−de (B)
de (A).
Si O00 es el pun o de coo denadas (−b1/λ1,−b2/λ2,−b3/λ3)en R0y conside amos la e e encia
ec angula R00 ={O00 + 0
1, O00 + 0
2, O00 + 0
3;O00}, la ecuación de Sen R00 es
S≡λ1x002+λ2y002+λ3z002=δ.
Es a ecuación se dice que es una ecuación educida de la cuád ica. Las ec as de ecuaciones
ejeO00x00 ≡(y00 = 0
z00 = 0 ,ejeO00y00 ≡(x00 = 0
z00 = 0 ,ejeO00z00 ≡(x00 = 0
y00 = 0
se llaman ejes p incipales de la cuád ica.
(a)Pa a δ6= 0 o, equi alen emen e, de (B)6= 0, se iene:
(i) Si signo(λ1) = signo(λ2) = signo(λ3) = signo(δ), y λ1,λ2yλ3no son iguales, en onces
Ses un elipsoide con ecuación educida
S≡x002
a2+y002
b2+z002
c2= 1, a2=δ
λ1
, b2=δ
λ2
, c2=δ
λ3
,
donde a, b, c > 0. Si a≥b≥c, di emos que es su ecuación canónica.
133

Si λ1=λ2=λ3, en onces Ses una es e a.
S≡x002+y002+z002= 2, = δ
λ1
.
(ii) Si signo(λ1) = signo(λ2) = signo(λ3)6= signo(δ), una ecuación educida de Ses
S≡x002
a2+y002
b2+z002
c2=−1, a2=−δ
λ1
, b2=−δ
λ2
, c2=−δ
λ3
,
donde a, b, c > 0. Si a≥b≥c, di emos que es su ecuación canónica. Se dice que Ses
un elipsoide imagina io;Ses el conjun o acío. Si además, λ1=λ2=λ3, en onces se
dice que Ses una es e a imagina ia;Ses el conjun o acío.
(iii) Si signo(λ1) = signo(λ2) = signo(δ)6= signo(λ3),Ses un hipe boloide de una hoja con
ecuación educida
S≡x002
a2+y002
b2−z002
c2= 1, a2=δ
λ1
, b2=δ
λ2
, c2=−δ
λ3
,
donde a, b, c > 0. Si a≥b, di emos que es su ecuación canónica.
134
(i ) Si signo(λ1) = signo(δ)6= signo(λ2) = signo(λ3),Ses un hipe boloide de dos hojas con
ecuación educida
S≡x002
a2−y002
b2−z002
c2= 1, a2=δ
λ1
, b2=−δ
λ2
, c2=−δ
λ3
,
donde a, b, c > 0. Si b≥c, di emos que es su ecuación canónica.
(b)Pa a δ= 0 o, equi alen emen e, de (B)=0, una ecuación educida de Ses
S≡λ1x002+λ2y002+λ3z002= 0.
(i) Si signo(λ1) = signo(λ2)6= signo(λ3), la cuád ica es un cono con ecuación
S≡x002
a2+y002
b2−z002= 0, a2=−λ3
λ1
, b2=−λ3
λ2
.
donde a, b, c > 0. Si a≥b, di emos que es su ecuación canónica.
-
-
...
_,
-
y"
135
(ii) Si signo(λ1) = signo(λ2) = signo(λ3), una ecuación educida de Ses
S≡x002
a2+y002
b2+z002= 0, a2=λ3
λ1
, b2=λ3
λ2
.
donde a, b, c > 0. Si a≥b, di emos que es su ecuación canónica. Se dice que Ses un
cono imagina io;Ses á o mada po un pun o.
(2) Si λ16= 0,λ26= 0 yλ3= 0, en onces
S≡λ1(x0+b1
λ1
)2+λ2(y0+b2
λ2
)2+ 2b3z0+a0−b2
1
λ1−b2
2
λ2
= 0 .
Pongamos
k=a0−b2
1
λ1−b2
2
λ2
.
Se ienen los siguien es casos:
(a)Pa a b36= 0 o, equi alen emen e, de (B)6= 0, ponemos
x00 =x0+b1
λ1
, y00 =y0+b2
λ2
, z00 =z0+k
2b3
.
Sea R00 ={O00 + 0
1, O00 + 0
2, O00 + 0
3;O00}, donde O00 es el pun o cuyas coo denadas en la
e e encia R0son (−b1/λ1,−b2/λ2,−k/(2b1)). En la e e encia ec angula R00 la cuád ica
iene la ecuación educida
S≡λ1x002+λ2y002=−2b3z00,|b3|=s−de (B)
λ1λ2
, .
Las ec as de ecuaciones
ejeO00x00 ≡(y00 = 0
z00 = 0 ,ejeO00y00 ≡(x00 = 0
z00 = 0 ,ejeO00z00 ≡(x00 = 0
y00 = 0
se llaman ejes p incipales de la cuád ica.
(i) Si signo(λ1) = signo(λ2)6= signo(b3),Ses un pa aboloide elíp ico con ecuación educida
S≡x002
a2+y002
b2= 2z00, a2=−b3
λ1
, b2=−b3
λ2
.
donde a, b > 0. Si a≥b, di emos que es su ecuación canónica.
136
Si signo(λ1) = signo(λ2) = signo(b3),Ses un pa aboloide elíp ico y haciendo el cambio
de coo denadas x1=x00,y1=y00,z1=−z00, ob enemos la ecuación
S≡x12
a2+y12
b2= 2z1, a2=b3
λ1
, b2=b3
λ2
.
donde a, b > 0. Si a≥bdi emos que es su ecuación canónica.
(ii) Si signo(λ1)6= signo(λ2) = signo(b3),Ses un pa aboloide hipe bólico de ecuación
canónica
S≡x002
a2−y002
b2= 2 z00, a2=−b3
λ1
, b2=b3
λ2
.
donde a, b > 0.
Si signo(λ1) = signo(b3)6= signo(λ2),Ses un pa aboloide hipe bólico y haciendo el
cambio de coo denadas x1=x00,y1=y00 yz1=−z00, se ob iene la ecuación canónica
S≡x2
1
a2−y2
1
b2= 2 z1, a2=b3
λ1
, b2=−b3
λ2
.
donde a, b > 0.
(b)Pa a b3= 0 o, equi alen emen e, de (B)=0, ponemos
x00 =x0+b1
λ1
, y00 =y0+b2
λ2
, z00 =z0.
137
4.10. Cen o de una cuád ica
Sean Kun cue po de ca ac e ís ica dis in a de 2,Vun espacio ec o ial idimensional sob e K
yAun espacio a ín sob e V.
4.10.1.De inición. Sea Suna cuád ica. Se dice que un pun o PS∈Aes cen o ocen o de sime ía
de la cuád ica si oda ec a que pasa po PSy co a a la cuád ica en un pun o la co a ambién en su
simé ico espec o a PS.
4.10.2.De inición. Se dice que una cuád ica es cen al si, y sólo si, iene un único cen o de sime ía.
4.10.3.P oposición. Sea Aun espacio a ín idimensional eal o complejo, R={P1, P2, P3;Q}una
e e encia de AySla cuád ica cuya ecuación en Res
S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+ 2a3z+a0= 0,
y sea
A=

a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33 

la ma iz de los é minos cuad á icos de S. Un pun o PSde coo denadas (x0, y0, z0)en Res cen o
de Ssi, y solo si,
A

x0
y0
z0
=−

a1
a2
a3
.(1)
La cuád ica Ses cen al si, y solo si, de (A)6= 0.
Demos ación. Un pun o PSes cen o de la cuád ica Ssi, pa a cada pun o P∈S, el pun o P0=
PS−−−→
PSPpe enece a S. Supongamos que la cuád ica Sno es á con enida en un plano; en es e caso, si
el pun o PSes un cen o de la cuád ica, exis en pun os P1,P2yP3en S ales que PS,P1,P2yP3no
son coplana ios. Si las coo denadas de PSen Rson (x0, y0, z0)y las coo denadas de −−−→
PSPien BRson
(hi, ki, i), pa a i= 1,2,3, en onces las coo denadas en Rdel pun o Pison (x0+hi, y0+ki, z0+ i)y
las coo denadas de P0
i=PC−−−−→
PCPien Rson (x0−hi, y0−ki, z0− i), pa a i= 1,2,3. Dado que PS
es un cen o de la cuád ica, se ienen las ecuaciones
a11(x0+hi)2+a22(y0+ki)2+a33(z0+ i)2+ 2a12(x0+hi)(y0+ki)+2a13(x0+hi)(z0+ i)
+ 2a23(y0+ki)(z0+ i)+2a1(x0+hi)+2a2(y0+ i)+2a3(x0+ i) + a0= 0,
a11(x0−hi)2+a22(y0−ki)2+a33(z0− i)2+ 2a12(x0−hi)(y0−ki)+2a13(x0−hi)(z0− i)
+ 2a23(y0−ki)(z0− i)+2a1(x0−hi)+2a2(y0− i)+2a3(x0− i) + a0= 0,
pa a i= 1,2,3. Como consecuencia,
(a11x0+a12y0+a13z0+a1)hi+(a12x0+a22y0+a23z0+a2)ki+(a31x0+a32y0+a33z0+a3) i= 0, i = 1,2,3,
144

equi alen emen e,


h1k1 1
h2k2 2
h3k3 3


a11x0+a12y0+a13 +a1
a12x0+a22y0+a23 +a2
a13x0+a23y0+a33 +a3
=

0
0
0
.
Pues o que los ec o es −−−→
PSP1,−−−→
PSP2y−−−→
PSP3son linealmen e independien es,

h1k1 1
h2k2 2
h3k3 36= 0,
y se iene (1),
a11x0+a12y0+a13 +a1= 0, a12x0+a22y0+a23 +a2= 0, a13x0+a23y0+a33 +a3= 0.
Recíp ocamen e, si un pun o de coo denadas (x0, y0, z0)en R e i ica las ecuaciones (2), ese pun o es
un cen o de S.
Si Ses un plano doble, en onces los cen os de Sson los pun os de Sy son los pun os que e i ican
la ecuacion (1). Si Aes un espacio a ín eal y la cuád ica es un pa de planos imagina ios pa alelos
que se co an en una ec a, en onces los cen os de Sson los pun os de esa ec a y si Ses un cono
imagina io el cen o es el pun o que lo o ma.
4.10.4.Ejemplos. Si Aes un espacio a in eal idimensional, en onces el elipsoide, el hipe boloide de
una hoja, el hipe boloide de dos hojas, el cono, el cilind o elíp ico, el cilind o hipe bólico y un pa de
planos (pa alelos o no) ienen cen os de sime ía. El pa aboloide elíp ico, el pa aboloide hipe bólico
y el cilind o pa abólico no ienen cen os de sime ía.
4.10.5.Ejemplos. Si Aes un espacio a ín idimensional eal, en onces el elipsoide, el hipe boloide de
una hoja, el hipe boloide de dos hojas, el cono y un pun o son las cuád icas cen ales. En un espacio
a ín euclídeo idimensional las cuád icas cen ales son: la es e a, el elipsoide, el hipe boloide de una
hoja, el hipe boloide de dos hojas, el cono y un pun o.
4.10.6.Obse ación. Si Aes un espacio a ín euclídeo idimensional, la e e encia Res ec angula
y la cuád ica Ses cen al, en onces el cen o de sime ía de la cuád ica es el pun o de co e de los
ejes p incipales de la cuád ica. Po an o, si Ses una cúád ica cen al, la ecuación (1) en 4.10.3 da las
coo denadas en la e e encia Rdel pun o de co e de los ejes p incipales de la cuád ica.
145
4.11. Ejemplos de cuád icas
4.11.1.Ejemplo. Conside emos la cuád ica en R3cuya ecuación en la e e encia canónica es
S≡2x2−2yz −8x+ 8z+ 6 = 0.
Las ma ices de la cuád ica son
A=

200
0 0 −1
0−1 0 
,B=



6−404
−4200
000−1
4 0 −1 0



.
Se iene
de (A) = −2<0,de (B)=4.
Dado que de (B)6= 0, la cuád ica Ses no degene ada y pues o que de (A)6= 0, la cuád ica Ses
una cuád ica cen al. Po el eo ema espec al, como Aes una ma iz eal simé ica, es diagonable.
El polinomio ca ac e ís ico de Aes PA(X) = −(X−2) (X−1) (X+ 1). Los au o alo es de Ason 2,
1y−1y los subespacios p opios asociados a es os au o alo es son
V1= Nuc( −idR3) = h(0,1,−1)i, V2= Nuc( −2idR3) = h(1,0,0)i, V−1= Nuc( +idR3) = h(0,1,1)i,
donde :R3→R3es la aplicación lineal cuya ma iz asociada espec o a la base canónica es A. La
base
B= ( 1= (0,√2/2,−√2/2), 2= (1,0,0), 3= (0,√2/2,√2/2))
es o ono mal. El cen o de la cuád ica es el pun o O00 = (x0, y0, z0) al que


200
0 0 −1
0−1 0 


x0
y0
z0
=−
−4
0
4
,
es deci , O00 = (2,4,0). Una ecuación educida de Sen la e e encia ec angula
R00 ={E00
1=O00 + 1, E00
2=O00 + 2, E00
3=O00 + 3;O00}
es
S≡x002+ 2y002−z002=δ, δ =−de (B)
de (A)= 2,
equi alen emen e,
S≡x002
2+y002−z002
2= 1.
La cuád ica Ses un hipe boloide de una hoja.Los ejes p incipales son las ec as
eje O00x00 =(2,4,0) + h(0,1,−1)i,
eje O00y00 =(2,4,0) + h(1,0,0)i,
eje O00z00 =(2,4,0) + h(0,1,1)i.
146
4.11.2.Ejemplo. Conside emos la cuád ica en R3cuya ecuación en la e e encia canónica es
S≡y2−2xz −2y+ 4z+ 5 = 0.
Las ma ices de la cuád ica son
A=

0 0 −1
0 1 0
−1 0 0 
,B=



5 0 −1 2
000−1
−1010
2−100



.
Se iene
de (A) = −1<0,de (B) = −4.
Dado que de (B)6= 0, la cuád ica Ses no degene ada, y pues o que de (A)6= 0,Ses una cuád ica
cen al. Po el eo ema espec al, como la ma iz Aes eal y simé ica, es diagonable. El polinomio
ca ac e ís ico de Aes PA(X) = −(1 −X)2(X+ 1). Los au o alo es de Ason −1(de mul iplicidad 1)
y1(de mul iplicidad 2) y los subespacios p opios asociados a es os au o alo es son
V−1= Nuc( +idR3) = h(1,0,1)i, V1= Nuc( −idR3) = h(1,0,−1),(0,1,0)i,
donde :R3→R3es la aplicación lineal cuya ma iz asociada espec o a la base canónica es A. El
cen o de la cuád ica es el pun o O00 = (x0, y0, z0) al que


0 0 −1
0 1 0
−1 0 0 


x0
y0
z0
=−

0
−1
2
,
es deci , O00 = (2,1,0). La e e encia R00 ={E00
1=O00 + 1, E00
2=O00 + 2, E00
3=O00 + 3;O00}, donde
1= (√2/2,0,√2/2), 2= (0,1,0), 3= (√2/2,0,−√2/2),
147
es una e e encia ec angula y la ecuación de Sen R00 es la ecuación educida
S≡ −x002+y002+z002=δ, δ =−de (B)
de (A)=−4,
equi alen emen e,
S≡x002
4−y002
4−z002
4= 1.
Ses un hipe boloide de 2 hojas. Los ejes p incipales son las ec as
eje O00x00 = (2,1,0) + h(1,0,1)i,eje O00y00 = (2,1,0) + h(0,1,0)i,eje O00z00 = (2,1,0) + h(1,0,−1)i.
4.11.3.Ejemplo. Conside emos la cuád ica en R3cuya ecuación en la e e encia canónica es
S≡x2+y2+ 2z2+ 2xy −4x+ 7 = 0.
Las ma ices de la cuád ica son
A=

1 1 0
1 1 0
0 0 2 
,B=



7−200
−2 1 1 0
0 1 1 0
0 0 0 2



,
y sus de e minab es son
de (A)=0,de (B) = −8.
Dado que de (B)6= 0, la cuád ica Ses no degene ada. Po el eo ema espec al, dado que Aes una
ma iz eal simé ica, es diagonable y exis e una ma iz de paso o ogonal. El polinomio ca ac e ís ico
de Aes PA(X) = −X(X−2)2. Los au o alo es de Ason 2 (de mul iplicidad 2) y 1 (de mul iplicidad
1). Ses un pa aboloide elíp ico. Los subespacios p opios asociados a los au o alo es 2y0son
V2= Nuc( −2idR3) = h(1,1,0),(0,0,1)i, V0= Nuc( ) = h(1,−1,0)i,
148
donde :R3→R3es la aplicación lineal cuya ma iz asociada espec o a la base canónica es A. Una
ma iz de paso o ogonal, es deci una ma iz egula P al que
P AP =

200
020
000
,
es la ma iz
P=

√2/2 0 √2/2
√2/2 0 −√2/2
0 1 0 
.
La base
B= 1= (√2/2,√2/2,0), 2= (0,0,1), 3= (√2/2,−√2/2,0)
es o ono mal y P=idBC. La e e encia
R={(√2/2,√2/2,0),(0,0,1),(√2/2,−√2/2),0); (0,0,0)}
es una e e encia ec angula de R3. La ecuación de cambio de coo denadas de Ra la e e encia canónica
es 

√2/2 0 √2/2
√2/2 0 −√2/2
0 1 0 


x0
y0
z0
=

x
y
z
,
donde (x, y, z)y(x0, y0, z0)son las coo denadas de un pun o en las e e encia canónica y R, espec i-
amen e. Pues o que
−200

√2/2 0 √2/2
√2/2 0 −√2/2
0 1 0 
=−√2 0 −√2,
la ecuación de Sen la e e encia Res
S≡2x02+ 2y02+ 2√2x0−2√2z0+ 7 = 0.
Comple ando cuad ados se iene
S≡2(x0−√2
2)2+ 2y02−2√2z0+ 6 = 0,
o, equi alen emen e,
S≡2(x0−√2
2)2+ 2y02−2√2(z0−3√2
2)=0.
Pongamos
x00 =x0−√2
2, y00 =y0, z00 =z0−3√2
2.
Sea O00 el pun o de coo denadas (√2/2,0,3√2/2) en la e e encia R. Conside emos la e e encia ec-
angula R00 ={O00 + 1, O00 + 2, O00 + 3;O00}. La ecuación del pa aboloide elíp ico Sen R00 es
S≡2x002+ 2y002−2√2z00 = 0,
149

que es una ecuación educida de S, equi alen emen e
S≡x002+y002=√2z00.
Se iene que O00 = (2,−1,0), ya que


√2/2 0 √2/2
√2/2 0 −√2/2
0 1 0 


√2/2
0
3√2/2
=

2
−1
0
.
Los ejes p incipales son
eje O00x00 =(2,−1,0) + h(1,1,0)i,
eje O00y00 =(2,−1,0) + h(0,0,1)i,
eje O00z00 =(2,−1,0) + h(1,−1,0)i.
4.11.4.Ejemplo. Conside emos la cuád ica en R3cuya ecuación en la e e encia canónica es
S≡30x2+ 7y2+ 13z2+ 8yz −60x−26y+ 28z+ 67 = 0.
Las ma ices de la cuád ica son
A=

30 0 0
0 7 4
0 4 13 
,B=



67 −30 −13 14
−30 30 0 0
−13 0 7 4
14 0 4 13



.
Se iene
de (A) = 2250 <0,de (B) = 67500.
Dado que de (B)6= 0, la cuád ica Ses no degene ada y pues o que de (A)6= 0, la cuád ica Ses
una cuád ica cen al. Po el eo ema espec al, como Aes una ma iz eal simé ica, es diagonable. El
150
polinomio ca ac e ís ico de Aes PA(X) = −(X−5) (X−15) (X−30). Los au o alo es de Ason 5,
15 y30 y los subespacios p opios asociados a es os au o alo es son
V5= Nuc( −5idR3) = h(0,−2,1)i, V15 = Nuc( −15 idR3) = h(0,1,2)i,
V30 = Nuc( −30 idR3) = h(1,0,0)i,
donde :R3→R3es la aplicación lineal cuya ma iz asociada espec o a la base canónica es A. La
base
B= ( 1= (0,−2√5/5,√5/5), 2= (0,√5/5,2√5/5), 3= (1,0,0))
es o ono mal. El cen o de la cuád ica es el pun o O00 = (x0, y0, z0) al que


30 0 0
0 7 4
0 4 13 


x0
y0
z0
=−
−30
−13
14 
,
es deci , O00 = (1,3,−2). La ecuación educida de Sen la e e encia ec angula
R00 ={E00
1=O00 + 1, E00
2=O00 + 2, E00
3=O00 + 3;O00}
es
S≡5x002+ 15 y002+ 30 z002=δ, δ =−de (B)
de (A)= 30,
equi alen emen e,
S≡x002
6+y002
2+z002= 1.
La cuád ica Ses un elipsoide.Los ejes p incipales son las ec as
eje O00x00 =(1,3,−2) + h(0,−2,1)i,
eje O00y00 =(1,3,−2) + h(0,1,2)i,
eje O00z00 =(1,3,−2) + h(1,0,0)i.
151
4.11.5.Ejemplo. Vamos a clasi ica a ínmen e la cuád ica en R3cuya ecuación en la e e encia canónica
es
S≡2x2+ 2xz −2yz + 4y+ 1 = 0.
Las ma ices de la cuád ica son
A=

201
0 0 −1
1−1 0 
,B=



1 0 2 0
0 2 0 1
2 0 0 −1
0 1 −1 0



.
Se iene que
de (A) = −2,de (B)=2.
Dado que de (B)6= 0, la cuád ica Ses no degene ada y pues o que de (A)6= 0,Ses una cuád ica
cen al. La signa u a de Aes (2,1) y la signa u a de Bes (2,2). Po el eo ema de clasi icación a ín de
cuád icas eales, Ses un hipe boloide de una hoja.
4.12. In e sección de una cuád ica y un plano
4.12.1.P oposición. Si Aes un espacio a ín idimensional eal o complejo, la in e sección de una
cuád ica cen al con un plano es una cónica.
Demos ación. Sea R={P1, P2, P3;Q}una e e encia de AySuna cuád ica cuya ecuación en Res
S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+ 2a3z+a0= 0.
Sean Ala ma iz de é minos cuad á icos y Bla ma iz de Sen R,Πun plano y R0una e e encia
de Π. Si la ecuación de cambio de coo denadas de los pun os de Πde R0aRes


x
y
z
=

p1
p2
p3
+

p11 p12
p21 p21
p31 p31 
x0
y0,
y
P=

p11 p12
p21 p22
p31 p32 
,¯
P=



1 0 0
p1p11 p12
p2p21 p22
p3p31 p32



,
la ecuación de cambio de coo denadas de los pun os de Πde R0aRes ambién




1
x
y
z



=¯
P

1
x0
y0
.
En onces
S∩Π≡1x0y0¯
P B¯
P

1
x0
y0
= 0.
152
Sean
A0=P AP =a0
11 a0
12
a0
12 a0
22 , B0=¯
P B¯
P=

a0
0a0
1a0
2
a0
1a0
11 a12
a0
2a0
12 a0
22

.
La ecuación de S∩Πen R0es
S∩Π≡a0
11x02+a0
22y02+ 2a0
12x0y0+ 2a0
1x0+ 2a0
2y0+a0
0= 0.
Dado que ango(P)=2, amos a supone que
p11 p12
p21 p21 6= 0,
y conside emos la ma iz
P3=

0p11 p12
0p21 p22
1p31 p32 
.
En onces de (P3)6= 0 y
P
3AP3=

b0b1b2
c1a0
11 a0
12
c2a0
12 a0
22

,
y si Ses una cuád ica cen al, de (A)6= 0. Así,
de (P
3AP3) = 
b0b1b2
c1a0
11 a0
12
c2a0
12 a0
22
6= 0,
luego A06= 0. Po an o, S∩Πes una cónica.
4.12.2.Obse ación. Si la cuád ica no es cen al, en gene al el esul ado an e io no es cie o. En
e ec o, conside emos el pa aboloide hipe bólico de ecuación
S≡z2+ 2xz + 2yz −2x+ 2y+ 2z+ 1 = 0
en una e e encia a ín R={P1, P2, P3;Q}. Las ma ices de la cuád ica en Rson
A=

0 0 1
0 0 1
1 1 1 
,B=



0−111
−1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 1 1



.
Como de (A)=0,Sno es una cuád ica cen al. Sea Πel plano de ecuación z= 0 en Ry conside emos
la e e encia R1={P1, P2;Q}de Π. La ecuación de S∩Πen la e e encia R1es la ec a
S∩Π≡ −2x1+ 2y1+ 1 = 0,
donde (x1, y1)son las coo denadas de un pun o de Πen R1.
153