Notas de geometría afín y euclídea

NOTAS DE GEOMETRÍA AFÍN Y EUCLÍDEA MARÍA J. VALE GONSALVES Estas son las notas utilizadas durante los cursos 2020-21 y 2021-22 para impartir la materia Xeometría Linear del Grado de Matemáticas de la Universidad de Santiago de Compostela. Índice 1. ESPACIO AFÍN 3 1.1. Espacio afín sobre un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Referencias afines. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Aplicacionesafines ...................................... 22 1.4. Ejercicios............................................ 35 2. ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS 39 2.1. Espacios vectoriales euclídeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2. Transformaciones ortogonales. Matrices ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3. Transformaciones ortogonales del plano vectorial euclídeo . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4. Clasificación de las transformaciones ortogonales del plano vectorial euclídeo . . . . . . 59 2.5. Clasificación de las transformaciones ortogonales del espacio vectorial euclídeo tridimensional ............................................. 60 2.6. Productovectorial ...................................... 66 2.7. Ejercicios............................................ 69 3. ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO 71 3.1. Espaciosafineseuclídeos................................... 71 3.2. El espacio afín euclídeo tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3. Movimientos.......................................... 78 3.4. Movimientos en el plano afín euclídeo. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.5. Movimientos en el espacio afín euclídeo tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.6. Ejercicios............................................ 92 4. CÓNICAS Y CUÁDRICAS 95 4.1. Lugares geométricos en el plano afín euclídeo: Circunferencia, Elipse, Hipérbola y Parábola 95 4.2. Cónicas............................................. 102 4.3. Cónicas en el plano afín euclídeo. Ecuación reducida de una cónica . . . . . . . . . . . 106 4.4. Clasificación afín de cónicas reales y complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.5. Centrodeunacónica..................................... 117 4.6. Ejemplosdecónicas ..................................... 119 4.7. Cuádricas ........................................... 128 4.8. Cuádricas en el espacio afín euclídeo tridimensional. Ecuación reducida de una cuádrica 130 4.9. Clasificación afín de cuádricas reales y complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.10.Centrodeunacuádrica.................................... 144 4.11.Ejemplosdecuádricas .................................... 146 4.12. Intersección de una cuádrica y un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.13.Ejercicios ........................................... 158 5. APÉNDICE 161 5.1. Vectores............................................ 161 5.2. Grupos............................................. 165 5.3. Teoremaespectral ...................................... 170 Bibliografía 174 2 1. ESPACIO AFÍN En este tema introducimos el concepto de espacio afín como una generalización del plano y espacio ordinario. Cada espacio afín lleva asociado un espacio vectorial y en los espacios afines estudiamos únicamente las propiedades geométricas que se pueden deducir de las propiedades de sus vectores. Un concepto fundamental en este tema es el paralelismo. La teoría de figuras homotéticas está dentro de la geometría afín. Los conceptos de traslación y homotecia y más en general el concepto de aplicación afín son conceptos afines. El estudio de longitudes, ángulos, perpendicularidad y distancias corresponde a la geometría euclídea. Las figuras que utilizamos se refieren al plano o espacio ordinario y están aquí principalmente para apoyar nuestra intuición; las demostraciones deben hacerse de forma lógica y ser independientes de las figuras. 1.1. Espacio afín sobre un espacio vectorial Sea Vun espacio vectorial sobre un cuerpo K. 1.1.1.Definición. ([3, p. 498]) Un espacio afín sobre el espacio vectorial Ves una terna (A, V, →) formada por un conjunto no vacío Acuyos elementos se llaman puntos, el espacio vectorial Vy una operación externa: →:A×A:−→ V (P , Q)7−→ −−→ PQ donde por −−→ PQ o también por −−→ P, Q denotamos la imagen por la aplicación →del par (P, Q), verificándose los siguientes axiomas: (1) Relación de Chasles: Para cualesquiera puntos P, Q, R ∈A, se verifica −−→ PQ +−−→ QR =−→ PR. (2) Para cada punto P∈Ay cada vector v∈V, existe un único punto Q∈Atal que −−→ PQ =v; generalmente denotaremos Qpor P+vy entonces se tiene que −−−−−→ P, P +v=v, para cada P∈A y cada v∈V. Con frecuencia denotaremos el espacio afín (A, V, →)simplemente por A. Si K=Rdiremos que A es un espacio afín real. Si K=Cdiremos que Aes un espacio afín complejo. 1.1.2.Proposición. Sea Aun espacio afín sobre V. Se tiene: (1) P+−−→ P Q =Q, para todo P, Q ∈A. (2) −−→ P P = 0, para todo P∈A. (3) −−→ P Q =−−→ P Q0=⇒Q=Q0. (4) −−→ P Q = 0 ⇐⇒ Q=P. (5) −−→ Q P =−−−→ P Q, para todo P, Q ∈A. (6) Relación del paralelogramo: −−→ P Q =−−→ R T =⇒−−→ P R =−−→ Q T. (7) P+v=P+v0⇒v=v0. (8) P+ (u+v)=(P+u) + v, para todo P∈Ay para cualesquiera u, v ∈V. (9) P+ 0 = P, para todo P∈A. Demostración. (1) Se sigue de la definición 1.1.1 (2). (2) Dado que −−→ P P =−−→ P P +−−→ P P, se tiene que −−→ P P = 0. (3) Pongamos v=−−→ P Q =−−→ P Q0. Por la definición 1.1.1 (2),Q=P+v=Q0. (4) Se sigue de (2) y(3). (5) Es consecuencia de que −−→ P Q +−−→ Q P =−−→ P P = 0. (6) Se tiene −−→ P R =−−→ P Q +−−→ Q R =−−→ R T +−−→ Q R =−−→ Q R +−−→ R T =−−→ Q T. (7) v=−−−−−→ P, P +v=−−−−−−→ P, P +v0=v0. (8) Dado que −−−−−−−−−−→ P, (P+u) + v=−−−−−−→ P, P +u+−−−−−−−−−−−−−−→ P+u, (P+u) + v=u+v=−−−−−−−−−−→ P, P + (u+v), el resultado se sigue de (3). (9) Se sigue de (3), puesto que −−−−−−→ P, P + 0 = 0 = −−→ P P. 4 1.1.3.Ejemplos. (1) El conjunto de los puntos del plano (espacio) ordinario, junto con el espacio vectorial de los vectores libres del plano (espacio) y con la aplicación que lleva cada par de puntos P, Q del plano (espacio) al vector libre [−−→ PQ], forman un espacio afín. (2) Sea Vun espacio vectorial sobre K. La terna (V, V, →), donde para cualesquiera P, Q ∈V, −−→ PQ =Q−P, es un espacio afín. En efecto, la relación de Chasles se verifica puesto que −−→ P Q +−−→ Q R = (Q−P)+(R−Q) = R−P=−−→ P R. El axioma (2) se verifica, puesto que para cada punto P∈Vy cada vector v∈Vel punto Q=P+ves el único punto que verifica la ecuación Q−P=v. Así, todo espacio vectorial Vpuede ser considerado como un espacio afín sobre V; este espacio afín se llama el espacio afín de Vy lo denotaremos por V. 1.1.4.Definición. Sea Pun punto de Ay sea Uun subespacio de V. Se llama variedad lineal o subespacio afín de Aque pasa por Py con dirección Ual conjunto P+U={P+u|u∈U} ⊂ A. 1.1.5.Observación. Las variedades lineales del espacio afín de Vson los subconjuntos de Vde la forma P+U={P+u|u∈U}, donde P∈VyUes un subespacio de V, es decir, son los elementos del espacio vectorial cociente V/U. El espacio afín Asobre el espacio vectorial Ves una variedad lineal de A. En efecto, A=P+V, para todo P∈A. 1.1.6.Proposición. Sea Aun espacio afín sobre el espacio vectorial V. (1) Sea L=P+Uuna variedad lineal de AyQ∈A. Son equivalentes: (a)Q∈L. 5 (b)−−→ PQ ∈U. (c)L=Q+U. (2) Sea L=P+Uuna variedad lineal de A. Si R, S ∈L, entonces −→ RS ∈U. (3) Sean L1=P1+U1yL2=P2+U2variedades lineales de A. Se tiene L1⊂L2⇐⇒ P1∈L2, U1⊂U2. y en particular, L1=L2⇒U1=U2. Demostración. (1) (a)⇒(b)Existe u∈Utal que Q=P+u. Por tanto −−→ PQ =u∈U. (b)⇒(c)Para cada u∈U, se tiene P+u=Q+−−→ QP +u∈Q+U. Así, L⊂Q+U. De forma similar se prueba que Q+U⊂L. (c)⇒(a)Q=Q+ 0 ∈Q+U=L. (2) Por (1) se tiene que L=R+Uy dado que S∈R+U,−→ RS ∈U. (3) Si L1⊂L2, entonces P1∈L2y por (1),L2=P1+U2. Veamos que U1⊂U2. Si u1∈U1, P1+u1∈L1⊂L2=P1+U2, luego existe un vector u2∈U2tal que P1+u1=P1+u2. De la proposición 1.1.2 (7), se sigue que u1=u2∈U2. Recíprocamente, si P1∈L2, entonces L2=P1+U2 y dado que U1⊂U2, se tiene L1=P1+U1⊂L2. 1.1.7.Observación. Como consecuencia de la proposición 1.1.6, toda variedad lineal tiene un único subespacio dirección. Veamos que toda variedad lineal es un espacio afín. 1.1.8.Proposición. Sea L=P+Uuna variedad lineal de A. La terna (L, U, →), siendo →:L×L−→ U la aplicación que lleva cada par (Q, R)∈L×Lal vector −−→ QR de V, es un espacio afín sobre U. Demostración. Dado que Q, R ∈L, el vector −−→ QR ∈U. La relación de Chasles se verifica para los puntos de L, puesto que se verifica para los puntos de A. También se verifica el axioma (2), puesto que para cada punto Q∈Ly cada vector u∈Uel punto R=Q+u∈L=Q+Ues el único punto que verifica la ecuación −−→ QR =u. 1.1.9.Definición. Sea Vun espacio vectorial sobre K. Una combinación lineal de los elementos v1, . . . , vr∈Ves una suma r X i=1 λivi, λi∈K, i = 1, . . . , r. Si Ses un subconjunto de V, se llama subespacio generado por S, y se denota por hSi, al conjunto de todas las combinaciones lineales de los elementos de todos los subconjuntos finitos de S. 6 Si Ses un subconjunto de V, entonces hSies el menor subespacio de Vque contiene a S. 1.1.10.Observación. Una base de un espacio vectorial Vde dimensión nes una n-pla (v1, . . . , vn)∈Vn tal que el conjunto {v1, . . . , vn}genera V; en particular, los vectores v1, . . . , vnson linealmente independientes. 1.1.11.Definición. Se llama dimensión del espacio afín (A, V, →)a la dimensión de Vcomo espacio vectorial sobre K. Si Aes un espacio afín y L=P+Ues una variedad lineal de A, entonces dim L= dimKU. 1.1.12.Definición. Se llaman rectas yplanos a los espacios afines de dimensiones 1 y 2, respectivamente. Si la dimensión de Aes n, se llaman hiperplanos de Aa las variedades lineales de dimensión n−1. El espacio afín Atiene dimensión 0si, y solo si, A={P}, para algún P∈A. El conjunto vacío se considera una variedad lineal de dimensión −1. 1.1.13.Proposición. Si L1=P1+U1yL2=P2+U2son variedades lineales de igual dimensión de un espacio afín AyL1⊂L2, entonces L1=L2. Demostración. Por la proposición 1.1.6 (3),U1⊂U2yP1∈L2. Dado que dimKU1= dimKU2, se tiene que U1=U2y entonces, por la proposición 1.1.6 (1),L2=P1+U2=P1+U1=L1. 1.1.14.Proposición. Si {Li}i∈Ies un conjunto de variedades lineales de A, entonces Ti∈ILies una variedad lineal de A. Además, si Li=Pi+UiyQ∈Ti∈ILi, \ i∈I Li=Q+\ i∈I Ui. Demostración. Por la proposición 1.1.6, Li=Q+Uipara cada i∈Iy se tiene P∈\ i∈I Li⇐⇒ P∈Li,∀i∈I⇐⇒ −−→ QP ∈Ui,∀i∈I⇐⇒ −−→ QP ∈\ i∈I Ui⇐⇒ P∈Q+\ i∈I Ui. Como consecuencia, si Ti∈ILi6=∅, entonces dim (Ti∈ILi) = dimK(Ti∈IUi). 1.1.15.Definición. Si S⊂A, se llama variedad lineal generada por Sy la denotaremos por hhSii a la variedad lineal hhSii =\ i∈I Li, donde {Li}i∈Ies el conjunto de variedades lineales de Aque contienen a S. La variedad lineal generada por Ses la menor variedad lineal de Aque contiene a S. La siguiente proposición da una descripción de los elementes de hhSii. 1.1.16.Proposición. Si S6=∅un subconjunto de A, entonces hhSii =Q+h−−→ QP |P∈Si, para cualquier Q∈S. 7 Demostración. La inclusión S⊂Q+h−−→ QP |P∈Sise sigue de las igualdades Q=Q+ 0, P =Q+−−→ QP, ∀P∈S. Si L=R+Ues una variedad lineal de Atal que S⊂L, entonces, por la proposición 1.1.6, L=Q+U, h−−→ QP |P∈Si ⊂ U. Así, Q+h−−→ QP |P∈Si ⊂ L. 1.1.17.Ejercicio. Sean SyS0subconjuntos no vacíos de A. Prueba que: (1) S⊂ hhSii. (2) Si S⊂S0, entonces hhSii ⊂ hhS0ii. (3) Ses una variedad lineal de Asi, y solo si, hhSii =S. (4) Si Atiene dimensión finita, existe un subconjunto finito S0de Stal que hhSii =hhS0ii. (5) Dados P, Q ∈A, si Q∈ hhS∪{P}ii yQ6∈ hhSii, entonces P∈ hhS∪{Q}ii. 1.1.18.Proposición. Sean L1=P1+U1yL2=P2+U2variedades lineales de A. Se tiene L1\L26=∅⇐⇒ −−−→ P1P2∈U1+U2 Demostración. Si L1∩L26=∅, existen u1∈U1yu2∈U2tales que P1+u1=P2+u2. Entonces P1=P2+u2−u1, de donde se sigue que −−−→ P1P2=u1−u2∈U1+U2. Recíprocamente, si −−−→ P1P2∈U1+U2, existen vectores u1∈U1yu2∈U2tales que −−−→ P1P2=u1+u2, luego P2=P1+−−−→ P1P2=P1+u1+u2. Por tanto P2−u2=P1+u1∈L1∩L2. 1.1.19.Observación. Si L1yL2son variedades lineales de Asu unión conjuntista L1∪L2no es, en general, una variedad lineal de A. Si el cuerpo Ktiene característica distinta de 2 y L1∪L2es una variedad lineal, entonces L1⊂L2oL2⊂L1. En efecto, sean L1=P1+U1yL2=P2+U2y supongamos que Ues el subespacio dirección de L1∪L2. Dado que P1, P2∈L1∪L2, se tiene que −−−→ P1P2∈U, luego P1+ 2 −−−→ P1P2∈L1∪L2. Si P1+ 2 −−−→ P1P2∈L1, entonces 2−−−→ P1P2∈U1y si P1+ 2 −−−→ P1P2∈L2, −−−→ P1P2=−−−→ P2P1+ 2 −−−→ P1P2=−−−−−−−−−−−→ P2, P1+ 2 −−−→ P1P2∈U2. Por tanto, si la característica de Kes distinta de 2 se tiene que −−−→ P1P2∈U1∪U2, de donde se sigue que L1∩L26=∅. Si P∈L1∩L2, entonces L1∪L2=P+U, luego U=U1∪U2, y por ser Uun subespacio de Vse tiene que U1⊂U2oU2⊂U1. Por la proposición 1.1.6, L1⊂L2oL2⊂L1. Si K=Z2no se verifica necesariamente que si L1∪L2es una variedad lineal de A, entonces L1⊂L2oL2⊂L1. En este caso, las rectas de Ason todos los conjuntos formados por dos puntos distintos; por tanto si P, Q ∈A,P6=Q, se tiene que {P, Q}es una recta. 8 1.1.20.Definición. Sea {Li}i∈Iun conjunto de variedades lineales de A. Se llama variedad lineal unión osuma de las variedades {Li}i∈Ide Aa la menor variedad lineal de Aque contiene a Si∈ILi; la denotaremos por ◦i∈ILi. Se tiene ◦i∈ILi=hh[ i∈I Liii. En particular, si S={P1, . . . , Pr}, escribiremos P1◦. . . ◦Pr=hhSii. La siguiente proposición da una expresión sencilla de los elementos de L1◦L2. 1.1.21.Proposition. Si L1=P1+U1yL2=P2+U2son variedades lineales de A, entonces L1◦L2=P1+h−−−→ P1P2i+U1+U2. Demostración. Se tiene que L1⊂P1+h−−−→ P1P2i+U1+U2puesto que P1+u1∈P1+h−−−→ P1P2i+U1+U2, para cada u1∈U1yL2⊂P1+h−−−→ P1P2i+U1+U2porque P2+u2=P1+−−−→ P1P2+u2, para cada u2∈U2. Sea L=Q+Uuna variedad lineal de Atal que L1∪L2⊂L. Dado que U1⊂UyU2⊂U, es U1+U2⊂U. Puesto que P1, P2∈L, se tiene que L=P1+Uyh−−−→ P1P2i ⊂ U. Así, P1+h−−−→ P1P2i+U1+U2⊂L. 1.1.22.Corolario. Sea Aun espacio vectorial de dimensión finita y sean L1=P1+U1yL2=P2+U2 variedades lineales de A. Se tiene: (1) Identidad de Grassmann para variedades lineales afines: Si L1∩L26=∅, entonces dim (L1◦L2) + dim (L1\L2) = dim L1+ dim L2. (2) Si L1TL2=∅, entonces dim (L1◦L2) = 1 + dimK(U1+U2). Demostración. (1) Si L1∩L26=∅yQ∈L1∩L2, entonces L1∩L2=Q+ (U1∩U2)yL1◦L2= P1+U1+U2. El resultado se sigue de la identidad de Grassmann para subespacios. (2) Si L1∩L2=∅, entonces −−−→ P1P26∈ U1+U2y por tanto h−−−→ P1P2i ∩ (U1+U2) = {0}. Así, dim (L1◦L2) = 1 + dimK(U1+U2). 1.1.23.Definición. Se dice que las variedades lineales L1=P1+U1yL2=P2+U2son paralelas, si U1⊂U2oU2⊂U1. Se escribe L1kL2. 1.1.24.Proposición. Sean L=Q+U,L1=P1+U1yL2=P2+U2variedades lineales de A. Se tiene: (1) Si L1kL2ydim L1= dim L2, entonces U1=U2. (2) Si L1kL2yL1∩L26=∅, entonces L1⊂L2oL2⊂L1; además, si dim L1= dim L2, entonces L1=L2. (3) La “relación de paralelismo” es una relación de equivalencia en el conjunto de las variedades lineales de la misma dimensión de un espacio afín. 9 (2) Dado que −−→ QP = n X i=1 xivi, v = n X i=1 zivi,−−−−−→ Q, P +v=−−→ QP +−−−−−→ P, P +v=−−→ QP +v, se tiene −−−−−→ Q, P +v= n X i=1 (xi+zi)vi. (3) Se sigue del lema 1.2.11 y de (1) y (2). 1.2.13.Definición. Sean B= (v1, . . . , vn)yB0= (v0 1, . . . , v0 n)bases de un espacio vectorial Vy sea v0 i= n X j=1 aji vj, i = 1, . . . , n. La matriz idB0B=   a11 . . . a1n . . ..... . . an1. . . ann   = (aij) se llama matriz de cambio de base de B0aB. 1.2.14.Proposición. Sean Luna variedad lineal de A,R={P1, . . . , Pn;Q}una referencia de A, R0= (P0 1, . . . , P0 r;Q0)una referencia de L,BR= (v1, . . . , vn)yBR0={v0 1, . . . , v0 r}. Supongamos que (a1, . . . , an)son las coordenadas de Q0en Ry que v0 j= n X i=1 aij vi, j = 1, . . . , r. Si Pes un punto de Lde coordenadas (x1, . . . , xn)en Ry(x0 1, . . . , x0 r)en R0, entonces    x1 . . . xn   =   a1 . . . an   +   a11 . . . a1r . . ..... . . an1. . . anr      x0 1 . . . x0 r   , que es la ecuación matricial del cambio de coordenadas de los puntos de Lde la referencia R0a la referencia R. 16 Demostración. Dado que −−→ QP =−−→ QQ0+−−→ Q0P, se tiene n X i=1 xivi= n X i=1 aivi+ r X j=1 x0 jv0 j= n X i=1 aivi+ n X j=1 x0 j( n X i=1 aij vi) = n X i=1 aivi+ n X i=1 ( r X j=1 aijx0 j)vi, de donde se sigue xi=ai+ r X j=1 aijx0 j, i = 1, . . . , n. 1.2.15.Cambio de coordenadas. Sean R={P1, . . . , Pn;Q}yR0={P0 1, . . . , P0 n;Q0}referencias de A,BR= (v1, . . . , vn)yBR0= (v0 1, . . . , v0 n). Sea Pun punto de coordenadas (x1, . . . , xn)en la referencia Ry coordenadas (x0 1, . . . , x0 n) en la referencia R0. Si idBR0BR= (aij)es la matriz de cambio de base de BR0aBR, entonces    x1 . . . xn   =   b1 . . . bn   +   a11 . . . a1n . . ..... . . an1. . . ann      x0 1 . . . x0 n   , donde (b1, . . . , bn)son las coordenadas de Q0en R. Esta ecuación se llama ecuación matricial del cambio de coordenadas de R0aR. Demostración. Es un caso particular de la proposición 1.2.14; basta tomar L=A. 17 1.2.16.Proposición. Sea R={P1, . . . , Pn;Q}una referencia de AyBR= (v1, . . . , vn). El conjunto S de puntos de Acuyas coordenadas (x1, . . . , xn)en Rson solución del sistema de ecuaciones lineales c11x1+. . . +c1nxn=d1 c21x1+. . . +c2nxn=d2 . . ..... . .. . . cm1x1+. . . +cmnxn=dm, donde cij, di∈K, i = 1, . . . m , j = 1, . . . , n, es una variedad lineal de Ay si S6=∅, entonces la dimensión de Ses n−rango (cij). Los vectores de la dirección de Sson los vectores cuyas coordenadas en BRson solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneo asociado al anterior. Demostración. Si f:V→Kmes la aplicación lineal definida por f(vi) = (c1i, . . . , cmi), i = 1, . . . , n, entonces f( n X i=1 xivi) = ( n X i=1 c1ixi,..., n X i=1 cmi xi). Si Pes el punto de coordenadas (x1, . . . , xn)en R, se tiene P∈S⇐⇒ n X i=1 cji xi=dj, j = 1, . . . , m ⇐⇒ n X i=1 c1ixi,..., n X i=1 cmi xi= (d1, . . . , dm), es decir, P∈Ssi, y sólo si, f(−−→ QP)=(d1, . . . , dm). Si A∈S, entonces S=A+Nucf, donde Nucf={v∈V|f(v)=0}; en efecto, P∈S⇐⇒ f(−−→ QP)=(d1, . . . , dm) = f(−→ QA)⇐⇒ −−→ QP−−→ QA ∈Nucf⇐⇒ −→ AP ∈Nucf⇐⇒ P∈A+Nucf. Por tanto, dim S= dimKNucf=n−dimKf(V) = n−rango(cij). Además, un vector de coordenadas (x1, . . . , xn)en BRestá en la dirección de S, si, y solo si, fn X i=1 xivi= (0,...,0) ⇐⇒ n X i=1 c1ixi,..., n X i=1 cmi xi= (0,...,0), de donde se sigue que unas ecuaciones en la base BRdel subespacio dirección de Sson n X i=1 cji xi= 0, j = 1, . . . , m. 18 1.2.17.Ecuaciones paramétricas de una variedad lineal. Sean L=A+Uuna variedad lineal de A,R={P1, . . . , Pn;Q}una referencia de A,BR= (v1, . . . , vn)yBU={u1, . . . , ur}una base de U. Supongamos que (a1, . . . , an)son las coordenadas de Aen Ry que uj= n X i=1 aij vi, j = 1, . . . , r. Si Pes un punto de Lde coordenadas (x1, . . . , xn)en R, entonces P∈L⇐⇒ ∃λ1, . . . , λr∈K|xi=ai+ r X j=1 λjaij, i = 1, . . . , n. Los escalares λ1, . . . , λrse llaman parámetros. Demostración. Se tiene que P∈Lsi, y solo si, existe u∈Utal que P=A+u, equivalentemente si existen escalares λ1, . . . , λr∈Ktales que P=A+ r X j=1 λjuj. Por el lema 1.2.12, se tiene P∈L⇐⇒ ∃λ1, . . . , λr∈K|(x1, . . . , xn)=(a1, . . . , an) + λ1(a11, . . . , ar1) + . . . +λr(a1r, . . . , anr), y el resultado se sigue igualando coordenadas. 1.2.18.Ejemplo. Unas ecuaciones paramétricas del plano Π = (0,1,1) + h(1,1,1),(1,0,2)ide R3en la referencia canónica están dadas por (x, y, z)∈Π⇐⇒      x=λ1+λ2 y= 1 + λ1 z= 1 + λ+ 2λ2, donde λ1, λ2∈R. Para calcular unas ecuaciones paramétricas del plano Πen la referencia R={(1,−1,0),(0,1,0),(0,1,1); (1,1,1)} obtenemos que las coordenadas del punto (0,1,1) en Rson (0,0,1), las coordenadas del vector (1,1,1) en BR= ((0,−2,−1),(−1,0,−1),(−1,0,0)) son (−1/2,−1/2,−1/2) y las coordenadas del vector (1,0,2) en BRson (0,−2,1). Si Pes el punto de coordenadas (x, y, z)en R, entonces P∈Π⇐⇒      x=−(1/2) λ1 y=−(1/2) λ1−2λ2 z= 1 −(1/2)λ1+λ2, donde λ1, λ2∈R, con lo que se tienen unas ecuaciones paramétricas de Πen R. 19 1.2.19.Ecuaciones lineales o implícitas de una variedad lineal. Sean L=A+Uuna variedad lineal de Ade dimensión r,R={P1, . . . , Pn;Q}una referencia de A,BR= (v1, . . . , vn)y BU={u1, . . . , ur}una base de U. Supongamos que (a1, . . . , an)son las coordenadas de Aen Ry que uj= n X i=1 aij vi, j = 1, . . . , r. Si Pes un punto de Lde coordenadas (x1, . . . , xn)en R, se tiene P∈L⇐⇒ rango    x1−a1a11 . . . a1r . . .. . ..... . . xn−anan1. . . anr   =r. En particular, si ∆ =  a11 . . . a1r . . ..... . . ar1. . . arr 6= 0, entonces P∈L⇐⇒  x1−a1a11 . . . a1r . . .. . ..... . . xr−arar1. . . arr xj−ajaj1. . . ajr  = 0, j =r+ 1, . . . , n. Así, toda variedad lineal de dimensión ren un espacio afín de dimensión nqueda determinada por el conjunto de soluciones de un sistema de n−recuaciones lineales y nincógnitas, donde el rango de la matriz de coeficientes es n−r. Por la proposición 1.2.16, unas ecuaciones del subespacio dirección U de Len la base BRestán dadas por el sistema de ecuaciones lineales homogéneo asociado al sistema de ecuaciones lineales de Len R. Demostración. Se tiene que P∈Lsi, y solo si, −→ AP ∈U, es decir, P∈L⇐⇒ −→ AQ +−−→ QP ∈U⇐⇒ n X i=1 (xi−ai)vi∈n X i=1 ai1vi,..., n X i=1 air vi, luego P∈L⇐⇒ rango    x1−a1a11 . . . a1r . . .. . ..... . . xn−anan1. . . anr   =r. 1.2.20.Observación. Sea Aun espacio afín de dimensión nyLuna variedad lineal de Ade dimensión r. El menor número de ecuaciones lineales de un sistema de ecuaciones lineales de Les n−r. En efecto, por 1.2.19, las coordenadas de los puntos de Lson el conjunto de soluciones de un sistema de n−recuaciones lineales y nincógnitas. Si las coordenadas de los puntos de Lson el conjunto de soluciones de un sistema de mecuaciones lineales y nincógnitas y Aes la matriz de coeficientes de este sistema, entonces por la proposición 1.2.16, dim L=n−rango A ≥ n−m; luego, m≥n−r. 20 1.2.21.Ejemplo. Una ecuación lineal del plano Π = (0,1,1) + h(1,1,1),(1,0,2)idel ejemplo 1.2.18 en la referencia canónica se obtiene de la siguiente forma: (x, y, z)∈Π⇐⇒ rango   x1 1 y−110 z−1 1 2  = dim Π = 2 ⇐⇒  x1 1 y−110 z−1 1 2 = 0 ⇐⇒ 2x−y−z+2 = 0. Sea Pel punto de coordenadas (x0, y0, z0)en la referencia R={(1,−1,0),(0,1,0),(0,1,1); (1,1,1)}. Una ecuación lineal del plano Πen Rse obtiene de la siguiente forma: P∈Π⇐⇒  x0−1/2 0 y0−1/2−2 z0−1−1/2 1 = 0 ⇐⇒ 3x0−y0−2z0+ 2 = 0. También se puede calcular una ecuación lineal de Πen Ra partir de su ecuación lineal en la referencia canónica y de las ecuaciones del cambio de coordenadas de la referencia Ra la referencia canónica (1.2.15). 1.2.22.Ejemplo. Sea Hel hiperplano de R4cuya ecuación en la referencia canónica es x+y+z+t= 2. Sea Lla recta de R4cuyas ecuaciones en la referencia canónica son L≡     x−y= 2 2x+z= 4 t= 0. Se tiene que L⊂Hy que los puntos (1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1) y(0,1,0,1) son puntos de H afínmente independientes. Vamos a calcular unas ecuaciones lineales de la recta Len la referencia R={(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1); (0,1,0,1)} de H. Las coordenadas del punto (0,−2,4,0) de Len Rson (0,1,3) y las coordenadas del vector (1,1,−2,0) de la dirección de Len la base BR= ((1,0,0,−1),(0,0,1,−1),(0,−1,1,0)) son (1,−1,−1). Si Pes el punto de coordenadas (x0, y0, z0)en R, entonces P∈L⇐⇒ rango   x01 y0−1−1 z0−3−1 = 1 ⇐⇒ x01 y0−1−1= 0,x01 z0−3−1= 0, luego P∈L⇐⇒ L≡(x0+y0−1=0 x0+z0−3=0. También se pueden calcular unas ecuaciones lineales de Len Ra partir de las ecuaciones de L en la referencia canónica y de las ecuaciones del cambio de coordenadas de la referencia Rde Ha la referencia canónica (proposición 1.2.14). Obsérvese que 3 el número mínimo de ecuaciones lineales de Lcomo variedad lineal de R4y que 2 es el número mínimo de ecuaciones lineales de Lcomo variedad lineal de H. 21 1.2.23.Definición. Sea Aun espacio afín sobre el espacio vectorial V. Sean P1,P2,P3yP4cuatro puntos distintos y l1,l2,l3yl4cuatro rectas distintas. Se dice que los puntos P1, P2, P3, P4son los vértices del paralelogramo de lados l1, l2, l3, l4si se verifican las siguientes condiciones: (1) l1kl3,l2kl4. (2) l1∩l4={P1},l1∩l2={P2},l2∩l3={P3},l3∩l4={P4}. Las longitudes de los lados opuestos de un paralelogramo se pueden comparar, ya que los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos. La siguiente proposición demuestra que los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud. 1.2.24.Lema. Sean P1, P2, P3, P4los vértices de un paralelogramo. Se tiene −−−→ P1P2=−−−→ P4P3,−−−→ P1P4=−−−→ P2P3. Demostración. Dado que P1◦P2kP4◦P3yP1◦P4kP2◦P4, existen escalares a, b ∈Ktales que −−−→ P1P2=a−−−→ P4P3y−−−→ P1P4=b−−−→ P2P3. Veamos que a=b= 1. Por la relación de Chasles, −−−→ P1P2+−−−→ P2P3=−−−→ P1P3=−−−→ P1P4+−−−→ P4P3, y por lo tanto a−−−→ P4P3+−−−→ P2P3=b−−−→ P2, P3+−−−→ P4P3, de donde se sigue (a−1) −−−→ P4P3+ (1 −b)−−−→ P2P3= 0. Dado que l2∩l3={P3}, los vectores −−−→ P4P3y−−−→ P2P3son linealmente independientes, luego a=b= 1. 1.3. Aplicaciones afines En esta sección consideraremos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K. La geometría afín estudia las propiedades que se conservan por isomorfismos afines. Si K=QoK=R, el teorema fundamental de la geometría afín [14] afirma que los isomorfismos afines de un espacio afín de dimensión finita n≥2sobre un espacio vectorial son las aplicaciones biyectivas que llevan puntos alineados en puntos alineados. Damos la definición algebraica de isomorfismo afín y estudiamos sus propiedades algebraicas y geométricas; entre los isomorfismos afines destacan las traslaciones y las homotecias que en espacios afines de dimensión n≥2son las aplicaciones biyectivas que llevan cada recta en una recta paralela. 22 •GRUPO AFÍN 1.3.1.Definición. Sean VyV0espacios vectoriales, AyA0espacios afines sobre VyV0, respectivamente, y Oun punto de A. Se dice que una aplicación α:A→A0es afín si la aplicación −→ α:V→V0 dada por −→ α(v) = −−−−−−−−−−−→ α(O), α(O+v), v ∈V, es una aplicación lineal. 1.3.2.Lema. Si α:A→A0es una aplicación afín, entonces −→ α(v) = −−−−−−−−−−−→ α(P), α(P+v), v ∈V, para cada P∈A. Demostración. Se tiene −−−−−−−−−−−→ α(P), α(P+v) = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ α(O+−−→ OP ), α(O+−−→ OP +v) = −−−−−−−−−−−−→ α(O+−−→ OP ), α(O) + −−−−−−−−−−−−−−−−→ α(O), α(O+−−→ OP +v) =−−→ α(−−→ OP ) + −→ α(−−→ OP +v) = −→ α(v). 1.3.3.Definición. Si α:A→A0es una aplicación afín, la aplicación lineal −→ α:V→V0se llama la aplicación lineal asociada aα. Se dice que la aplicación afín α:A→A0es un isomorfismo de espacios afines si existe una aplicación afín β:A0→Atal que β◦α=idAyα◦β=idA0; los isomorfismos de espacios afines se llaman afinidades. Se dice que los espacios afines AyA0son isomorfos si existe una afinidad α:A→A0. 1.3.4.Lema. Si α:A→A0es una aplicación afín, entonces −−−−−−−→ α(P), α(Q) = −→ α(−−→ P Q), para todo P, Q ∈A. Demostración. Si v=−−→ PQ, se tiene −→ α(−−→ PQ) = −−−−−−−−−−−−→ α(P), α(P+−−→ PQ) = −−−−−−−→ α(P), α(Q). 1.3.5.Proposición. Sean AyA0espacios afines sobre los espacios vectoriales VyV0, respectivamente. (1) Si Aes un punto de A,A0un punto de A0yf:V→V0una aplicación lineal, entonces la aplicación α:A→A0dada por α(P) = A0+f(−→ AP)es una aplicación afín cuya aplicación lineal asociada es f. (2) Si α:A→A0es una aplicación afín y A∈A, entonces α(P) = α(A)+−→ α(−→ AP), para cada P∈A. (3) Toda aplicación afín α:A→A0está determinada conocida la imagen de un punto y su aplicación lineal asociada. Demostración. (1) La aplicación α:A→A0dada por α(P) = A0+f(−→ AP)es una aplicación afín. En efecto, para cada v∈V, −→ α(v)=−−−−−−−−−−−→ α(O), α(O+v) = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ A0+f(−→ AO), A0+f(−−−−−→ A, O +v)=−f(−→ AO)+f(−−−−−→ A, O +v) = f(−−−−−→ O, O +v)=f(v). (2) Dado que −−−−−−−→ α(A), α(P) = −→ α(−→ AP), se tiene que α(P) = α(A) + −→ α(−→ AP). (3) Se sigue de (2). 23 1.3.6.Ejemplo. La aplicación afín α:R3→R4tal que α(1,0,1) = (2,−1,1,0) y cuya aplicación lineal asociada es −→ α:R3→R4,−→ α(x, y, z)=(x, 2y−z, 0, x +y+z), es la aplicación dada por α(x, y, z) =(2,−1,1,0) + −→ α(x−1, y, z −1) = (2,−1,1,0) + (x−1,2y−z+ 1,0, x +y+z−2) =(1 + x, 2y−z, 1,−2 + x+y+z). 1.3.7.Proposición. (1) Si α1:A1→A2yα2:A2→A3son aplicaciones afines, entonces α2◦α1es una aplicación afín. (2) idA:A→Aes una aplicación afín. (3) El conjunto G(A) = {α:A→A|αafinidad} es un grupo con la operación composición. Demostración. (1) Sea O∈A, para cada v∈V, (−−−−→ α2◦α1)(v) =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ (α2◦α1)(O),(α2◦α1)(O+v)) = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ α2(α1(O)), α2(α1(O) + −→ α1(v)) =−→ α2(−→ α1(v)) = (−→ α2◦−→ α1)(v), luego −−−−→ α2◦α1=−→ α2◦−→ α1es una aplicación lineal. (2) La aplicación identidad idA:A→A, idA(P) = Ppara cada P∈P, es una aplicación afín con aplicación lineal asociada idV. (3) Se sigue de (1) y(2). El grupo (G(A),◦)se llama grupo afín de Ay se denota simplemente por G(A). 1.3.8.Proposicion. (1) Sean Aun espacio afín sobre el espacio vectorial Vyv∈V. La aplicación traslación por el vector v, dada por tv:A−→ A P7−→ P+v, es una afinidad. (2) El conjunto T(A) = {tv:A→A|v∈V} es un grupo abeliano con la operación composición. Demostración. (1) Si Oes un punto de A, entonces −→ tv(w) = −−−−−−−−−−−−→ tv(O), tv(O+w) = −−−−−−−−−−−−→ O+v, O +w+v=w, w ∈V. Así, tves una aplicación afín cuya aplicación lineal asociada es idV; además, tves una afinidad, puesto que (tv)−1=t−ves una aplicación afín. (2) Se sigue de las siguientes igualdades: tv+v0=tv0◦tv,t0=idAyt−v= (tv)−1. 24 El grupo (T(A),◦)se llama grupo de traslaciones de Ay se denota por T(A). 1.3.9.Proposición. (1) Sea α:A→A0una aplicación afín. Son equivalentes: (a)αes una afinidad, (b)αes una aplicación biyectiva, (c)−→ αes un isomorfismo de espacios vectoriales. (2) Sean AyA0espacios afines sobre los espacios vectoriales VyV0, respectivamente, dim A= dim A0=n. Sea α:A→A0una aplicación afín y P1, . . . , Pn+1 puntos de Aafínmente independientes. Entonces αes una afinidad si, y solo si, α(P1), . . . , α(Pn+1)son puntos afínmente independientes. (3) Sea α:A→A0una aplicación afín. Se tiene: (a) Si Les una variedad lineal de A, entonces α(L)es una variedad lineal de A0. (b) Si αes una afinidad y Les una variedad lineal de A, entonces dim α(L) = dim L. (c) Si {Li}i∈Ies un conjunto de variedades lineales de A, entonces α(◦i∈ILi) = ◦i∈Iα(Li), y si αes una afinidad, α(\ i∈I Li) = \ i∈I α(Li). (d) Si αes una afinidad y L1yL2son variedades lineales de A, entonces L1kL2⇐⇒ α(L1)kα(L2). Demostración. (1) (a)⇒(b)Trivial. (b)⇒(c)Veamos que −→ αes inyectiva. Sea v∈Vtal que −→ α(v)=0. Se tiene −−−−−−−−−−−→ α(P), α(P+v) = −→ α(−−−−−→ P, P +v) = −→ α(v)=0, luego α(P+v) = α(P). Por ser αinyectiva, P=P+v, y por la proposición 1.1.2 (7) y(9),v= 0. Para probar que −→ αes suprayectiva tomamos v0∈V0yP0∈A0. Sean P, Q ∈Atales que α(P) = P0y α(Q) = P0+v0. Entonces v0=−−−−−−−→ α(P), α(Q) = −→ α(−−→ PQ). (c)⇒(a)Sean A∈Ayβ:A0→Ala aplicación afín dada por β(P0) = A+−→ α−1(−−−−−→ α(A), P0), P0∈A0. Es inmediato que β◦α=idAyα◦β=idA0. 25 1.3.24.Proposición. Sea α:A→Auna afinidad y λ∈K,λ6= 0. Si −→ α=λidV, entonces αes una dilatación; en particular, las traslaciones y las homotecias de Ason dilataciones. Demostración. Si λidVes la aplicación lineal asociada a αyL=A+hvies una recta de A, entonces α(L) = α(A) + hλ vi=α(A) + hvi, luego α(L)es una recta paralela a L. 1.3.25.Definición. Una configuración ofigura en Aes un subconjunto de A. Se dice que dos figuras en Ason homotéticas si existe una dilatación que lleva una figura en la otra. Los dos triángulos en azul de la figura de la izquierda son homotéticos y los dos triángulos en azul de la figura de la derecha también lo son. 1.3.26.Lema. Si D∈Di(A)yL1yL2son rectas de Aparalelas, entonces las rectas D(L1)yD(L2) son paralelas. Demostración. Dado que D(L1)kL1,L1kL2yL2kD(L2), por la transitividad del paralelismo en rectas se tiene D(L1)kD(L2). 1.3.27.Teorema. Si D∈Di(A), entonces existe λ∈K,λ6= 0, tal que Des una afinidad cuya aplicación lineal asociada es λidV. Demostración. Sean v∈VyP∈A. Consideremos la aplicación −→ D:V→Vdada por −→ D(v) = −−−−−−−−−−−→ D(P), D(P+v), v ∈V. Veamos que −→ Dno depende del punto P∈A. Si v= 0, −−−−−−−−−−−→ D(P), D(P+ 0) = −−−−−−−−→ D(P), D(P)=0, P ∈A. 32 Sea v6= 0 y sean P, Q ∈A. Veamos que: −−−−−−−−−−−→ D(P), D(P+v) = −−−−−−−−−−−→ D(Q), D(Q+v). Caso 1: Si Q6∈ P+hvi=l1, se tiene l1=P◦(P+v)kl3=Q◦(Q+v), l2=P◦Qkl4= (P+v)◦(Q+v), l16=l3, l26=l4, l1∩l2={P}, l2∩l3={Q}, l3∩l4={Q+v}, l1∩l4={P+v}. Por el lema 1.3.26, puesto que Dlleva rectas a rectas, D(l1) = D(P)◦D(P+v)kD(l3) = D(Q)◦D(Q+v), D(l2) = D(P)◦D(Q)kD(l4) = D(P+v)◦D(Q+v). Por la definición 1.2.23, los puntos D(P),D(P+v),D(Q+v)yD(Q)son los vértices del paralelogramo de lados D(l1),D(l4),D(l3)yD(l2), y entonces, por la proposición 1.2.24, −−−−−−−−−−−→ D(P), D(P+v) = −−−−−−−−−−−→ D(Q), D(Q+v). Caso 2: Si Q∈P+hvi, dado que dim A=n≥2, existe R6∈ P+hvi=Q+hvi. Por el caso 1, −−−−−−−−−−−→ D(P), D(P+v) = −−−−−−−−−−−→ D(R), D(R+v) = −−−−−−−−−−−→ D(Q), D(Q+v). Puesto que D(l1)kl1, existe λv∈Ktal que −→ D(v) = −−−−−−−−−−−→ D(P), D(P+v) = λvv. Veamos que para todo w∈V−{0},λw=λv. Si vywson vectores linealmente independientes λv+w(v+w) = −−−−−−−−−−−−−−−→ D(P), D(P+v+w) = −−−−−−−−−−−→ D(P), D(P+v) + −−−−−−−−−−−−−−−−−−→ D(P+v), D(P+v+w) = λvv+λww, luego λv=λv+w=λw. Si vywson linealmente dependientes, entonces hvi=hwiy como dim V≥2, existe u∈Vtal que u6∈ hvi. Los vectores uyvson linealmente independientes y uywtambién lo son. Así, λv=λu=λw. Por tanto, si λ=λv(cualquiera que sea v6= 0), se tiene −→ D=λidV. 33 1.3.28.Corolario. Una aplicación D:A→Aes una dilatación si, y solo si, Des una afinidad cuya aplicación lineal asociada es λidV, para algún λ∈K,λ6= 0. Demostración. Se sigue de la proposición 1.3.24 y del teorema 1.3.27. 1.3.29.Proposición. Sea Duna dilatación con isomorphismo lineal asociado λidV:V→V. Se tiene: (1) Si λ= 1, entonces Des una traslación. (2) Si λ6= 1, entonces Des una homotecia distinta de idA. El punto fijo de Des el centro y el escalar λes la razón. Demostración. (1) Si λ= 1, entonces la aplicación lineal asociada a Des idV. Por el lema 1.3.10, D=tv, donde v=−−−−−→ P, D(P)para todo P∈A. (2) Si λ6= 1, entonces el único punto fijo de Des el punto C=A+ (λ−1)−1−−−−−→ D(A), A, siendo Aun punto cualquiera de A. En efecto, D(P) = P⇐⇒ D(A) + λ−→ AP =P⇐⇒ −−−−−→ D(A), P =λ−→ AP ⇐⇒ −−−−−→ D(A), A +−→ AP =λ−→ AP ⇐⇒ −−−−−→ D(A), A = (λ−1) −→ AP ⇐⇒ −→ AP = (λ−1)−1−−−−−→ D(A), A ⇐⇒ P=A+ (λ−1)−1−−−−−→ D(A), A. Por la proposición 1.3.5 (2), D(P) = C+ (λidV)(−−→ CP) = C+λ−−→ CP =Hλ C(P), P ∈A. 1.3.30.Ejemplo. Vamos a calcular la dilatación D:R3→R3que verifica D(1,1,−1) = (1,1,1) y D(0,2,2) = (3,−1,−5). Las dilataciones de R3son afinidades cuya aplicación lineal asociada es la aplicación λ1R3:R3−→ R3 (x, y, z)7−→ λ(x, y, z) = (λx, λy, λz), con λ∈R,λ6= 0. Por ser Duna aplicación afín, −→ D((0,2,2) −(1,1,−1)) = D(0,2,2) −D(1,1,−1), luego −→ D(−1,1,3) = (2,−2,−6) = (−2)(−1,1,3). Por tanto, λ=−2y entonces Des una homotecia de razón −2. Se tiene D(x, y, z) =D(1,1,−1) −2(x−1, y −1, z + 1) = (1,1,1) + (2 −2x, 2−2y, −2−2z) =(3 −2x, 3−2y, −1−2z). El centro de αes el único punto fijo de α, es decir el punto (1,1,−1/3). 34 1.4. Ejercicios. (1) Sea Aun espacio afín de dimensión n≥4sobre un espacio vectorial. Estudia cuales de las propiedades de incidencia de (1.1.28) relativas a puntos, rectas y planos se verifican en A. (2) Prueba que si L1yL2son rectas del espacio afín Ade dimensión n≥3sobre un espacio vectorial, entonces L1yL2se cruzan si, y solo si, no son coplanarias. (3) Sea Aun espacio afín de dimensión n≥2sobre un espacio vectorial, Luna variedad lineal y P un punto de A. Prueba que si P6∈ L, entonces dim (L◦P) = 1 + dim L. (4) Sea Aun espacio afín de dimensión n≥2sobre un espacio vectorial, Luna variedad lineal no vacía y Hun hiperplano tal que L∦H. Prueba que dim (L∩H) = dim L−1. (5) Sea Aun espacio afín de dimensión 3, L1yL2rectas que se cruzan y Pun punto tal que P6∈ L1 yP6∈ L2. ¿Existe alguna recta coplanaria con L1y con L2que pase por P? ¿Para que puntos P∈Aes cierto este resultado si dim A≥4? (6) Sea Aun espacio afín de dimensión 3, L1yL2rectas que se cruzan y Pun punto tal que P6∈ L1 yP6∈ L2. ¿Para que puntos de Aexiste una recta que pasa por Py corta a L1y a L2? Estudia el mismo problema cuando L1kL2yL16=L2. (7) Sea Aun espacio afín sobre V,R={P1, . . . , Pn;Q}una referencia de AyBR= (v1, . . . , vn)su base asociada. Calcula las coordenadas de los puntos P1, . . . , Pn, Q yQ+v1+. . . +vnen R. (8) Sea Kun cuerpo de característica distinta de 2,Vun espacio vectorial sobre Kde dimensión n≥2yAun espacio afín sobre V. Prueba que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. (9) Teorema de Desargues: Sea Aun plano afín sobre un espacio vectorial. Sean L1,L2yL3rectas distintas que son paralelas. Sean A, A0∈L1,A6=A0,B, B0∈L2,B6=B0yC, C0∈L3,C6=C0. Supongamos que A,ByCno están alineados y que A0,B0yC0no están alineados. Prueba que si A◦BkA0◦B0yA◦CkA0◦C0, entonces B◦CkB0◦C0. (10) Calcula una referencia de R3donde el plano Πcuya ecuación en la referencia canónica es 2x+ y−z= 1 tiene la ecuación z0= 0. 35 (11) Sea Aun espacio afín de dimensión 3 y sea Runa referencia de A. Estudia la posición relativa (a)de dos planos, (b)de una recta y un plano, (c)de dos rectas, según el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada con los términos independientes del sistema de ecuaciones lineales en la referencia Rde sus correspondientes intersecciones. (12) Estudia la posición relativa de las rectas L1= (−1,2,0)+h(3,−3,1)iyL2= (0,2,0)+h(1,−1,1)i de R3. Calcula la recta que pasa por P= (2,−2,0) y corta a las rectas L1yL2. ¿Existe una recta que pasa por P0= (1,1,0) y corta a L1y a L2? (13) Sean LyL0rectas de R4cuyas ecuaciones en la referencia canónica son L≡     2x−y+ 1 = 0 x−z= 0 t=−1, L0≡           x= 3 y= 1 + λ z= 2λ t=λ. (a)Estudia la posición relativa de LyL0. Calcula unas ecuaciones lineales de L◦L0. (b)Calcula unas ecuaciones lineales de la recta que pasa por el punto (0,0,−2,−2) y es coplanaria con las rectas LyL0. (c)¿Existe alguna recta que pasa por el punto (1,0,0,0) y es coplanaria con las rectas LyL0? (14) Consideremos el espacio afín R3. (a)Encuentra los números reales apara los cuales los puntos Pa= (1,0, a),Qa= (0, a −2,1) yT= (2,0,3) están alineados. (b)Para cada número real acalcula la menor variedad lineal que pasa por los tres puntos del apartado anterior. (c)Para los valores de apara los cuales Pa,QayTno están alineados, encuentra un punto S tal que los puntos Pa,Qa,TySno son coplanarios y calcula unas ecuaciones lineales de la recta T◦Sen la referencia R={Pa, T, S;Qa}. (d)Sea Πel plano cuya ecuación en la referencia canónica es 2x−2y−z−1=0. Prueba que (P1, Q1, T)es una referencia de Π. (e)Sea rla recta cuyas ecuaciones en la referencia canónica son r≡(x= 1 2y+z= 1. ¿Está la recta rcontenida en el plano Π? En caso afirmativo, calcula unas ecuaciones lineales de ren R0={P1, Q1;T}. 36 (15) Sean AyA0espacios afines sobre los espacios vectoriales VyV0, respectivamente. Prueba que α:A→A0es una aplicación afín si, y solo si, existe una aplicación lineal f:V→V0tal que −−−−−−−→ α(P), α(Q) = f(−−→ PQ), P, Q ∈A. (16) Sea Vun espacio vectorial sobre el cuerpo Ky sea Aun espacio afín sobre V. Sea R= {P1, . . . , Pn;Q}una referencia afín de Ayα:A→A0una afinidad. Prueba que el punto P∈Atiene coordenadas (x1, . . . , xn)en Rsi, y solo si, α(P)tiene coordenadas (x1, . . . , xn)en la referencia α(R) = {α(P1), . . . , α(Pn); α(Q)}. (17) Sea Vun espacio vectorial sobre el cuerpo K,dim V≥2, y sea Aun espacio afín sobre V. (a)Prueba que las homotecias de centro Cforman un grupo abeliano con la operación composición isomorfo al grupo (K∗,·). (b)Prueba que la composición de dos homotecias de distinto centro y razones λyµes una homotecia si λ µ 6= 1 y una traslación si λ µ = 1. (c)Sean λ, µ ∈K,λ µ 6= 1, y sean C, D ∈A,C6=D. Calcula el centro y la razón de la homotecia composición HD µ◦HC λ. (18) Sea Kun cuerpo de característica distinta de 2,Vun espacio vectorial sobre KyAun espacio afín sobre V. Prueba que si α:A→Aes una afinidad, Mes el punto medio de P1yP2si, y solo si, α(M)es el punto medio de α(P1)yα(P2). (19) Sea Aun espacio afín y sean LyL0rectas paralelas de A,L6=L0. Sean P1yP2puntos de L, P16=P2, y P0 1yP0 2puntos de L0,P0 16=P0 2. Prueba que existe una única dilatación D:A→A tal que D(P1) = P0 1yD(P2) = P0 2. (20) Sea Aun plano afín sobre un espacio vectorial Vy sean L1,L2yL3rectas tales que no pasan las tres por un mismo punto, L16k L2,L26k L3yL16 kL3, y sean L0 1,L0 2, y L0 3otras tres rectas con las mismas propiedades. Prueba que existe una única afinidad α:A→Atal que α(Li) = L0 i, para i= 1,2,3. (21) Considera en R2las rectas LiyL0 icuyas ecuaciones en la referencia canónica son L1≡x+ 1 = 0, L2≡x+y−5 = 0, L3≡x−y−1 = 0, L0 1≡4x−3y+ 1 = 0, L0 2≡4x−y−5=0, L0 3≡y+ 1 = 0. Calcula las ecuaciones en la referencia canónica de la afinidad α:R2→R2tal que α(Li) = L0 i, para i= 1,2,3. ¿Existe una única afinidad verifiando estas condiciones? (22) Sea Πel plano cuya ecuación en la referencia canónica es x+y+z−1=0. Estudia si existe alguna afinidad α:R3→R3tal que α(Π) = Π yα(1,0,1) = (0,1,1). En caso afirmativo, razona si existe una única afinidad verificando estas condiciones. (23) Considera en R2las rectas riyr0 i,i= 1,2,3,4, cuyas ecuaciones en la referencia canónica son r1≡2x−y−1=0, r2≡x+y−2=0, r3≡x+y−5=0, r4≡2x−y−4=0, r0 1≡3x+y−3=0, r0 2≡x−3y−1 = 0, r0 3≡x−3y−11 = 0, r0 4≡3x+y−13 = 0. 37 a) Estudia si existe alguna afinidad α:R2→R2tal que α(ri) = r0 i, para i= 1,2,3,4. b) ¿Existe una única afinidad verificando estas condiciones? En caso afirmativo, calcula las ecuaciones de αen la referencia canónica. (24) Sea Aun espacio afín sobre Vyα:A→Auna afinidad. (a)Prueba que si αdeja fijos dos puntos distintos de A, entonces 1es un autovalor del isomorfismo lineal asociado a α. (b)Recíprocamente, supongamos que 1es un autovalor del isomorfismo lineal asociado a α. ¿Deja αdos puntos fijos distintos? (25) Sea α:A→Aun afinidad. Demuestra que el conjunto {P∈A|α(P) = P}de puntos fijos de αes vacío o un punto o una variedad lineal cuya dirección es el subespacio de vectores propios asociados al autovalor 1de −→ α. 38 2. ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS En este tema se introduce el concepto de producto escalar en un espacio vectorial real, que generaliza el concepto de producto escalar usual de vectores libres del plano o espacio. Trasladaremos a los espacios vectoriales euclídeos las nociones de longitud de un vector y ángulo entre dos vectores, de forma que se conserven las propiedades que tienen en el espacio vectorial de los vectores libres. Probaremos la existencia de bases ortonormales en un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita. Las transformaciones ortonormales de un espacio vectorial euclídeo son las aplicaciones lineales que conservan el producto escalar o, equivalentemente, la longitud de los vectores. Se estudian y clasifican las transformaciones ortogonales de un plano y de un espacio vectorial euclídeo tridimensional. 2.1. Espacios vectoriales euclídeos 2.1.1.Definición. Sea Vun espacio vectorial real. Se dice que una aplicación σ:V×V→Res un producto escalar en Vsi verifica las siguientes condiciones: (1) σes una aplicación bilineal o una forma bilineal, es decir: (a)σ(λ1v1+λ2v2, w) = λ1σ(v1, w) + λ2σ(v2, w), v1, v2, w ∈V, λ1, λ2∈R, (b)σ(v, λ1w1+λ2w2) = λ1σ(v, w1) + λ2σ(v, w2), v, w1, w2∈V, λ1, λ2∈R, (2) σes simétrica, es decir σ(v, w) = σ(w, v), para todo v, w ∈V, (3) σes definida positiva: a)σ(v, v)≥0, para todo v∈V, b)σ(v, v) = 0 ⇒v= 0. Si σes un producto escalar, denotaremos con frecuencia σ(u, v)por u·v. Un espacio vectorial euclídeo es un par (V, σ), donde Ves un espacio vectorial real y σes un producto escalar en V. Lo denotaremos por (V, σ)o simplemente por V. 2.1.2.Ejemplos. (1) Sean V2yV3los espacios vectoriales reales de los vectores libres del plano y del espacio ordinario, respectivamente. La aplicación σi:Vi×Vi→R,i= 2,3, dada por σi(−→ u , −→ v) = (0,si −→ u=−→ 0o−→ v=−→ 0, |−→ u||−→ v|cos ∠(−→ u , −→ v),si −→ u6=−→ 0y−→ v6=−→ 0, donde ∠(−→ u , −→ v)es el ángulo no orientado entre los vectores −→ uy−→ v(es decir, el menor de los ángulos que forman un representante −−→ OP1de −→ uy un representante −−→ OP2de −→ v), es un producto escalar en Vi, para i= 2,3. Por tanto, (Vi, σi)es un espacio vectorial euclídeo para i= 2,3. 39 (2) La aplicación σ:Rn×Rn→R, dada por σ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = x1y1+. . . +xnyn, es un producto escalar en Rn, que llamaremos producto escalar usual. Así, Rncon el producto escalar usual es un espacio vectorial euclídeo. (3) En el espacio vectorial R[X]de polinomios en una variable con coeficientes en R, si a, b ∈R, a<b, la aplicación σ:R[X]×R[X]→Rdada por σ(F(X), G(X)) = Zb a F(x)G(x)dx, F(X), G(X)∈R[X] es un producto escalar en R[X]. La bilinealidad de σse sigue de las propiedades de la integral definida. Claramente, σes simétrica y es definida positiva, puesto que σ(F(X), F(X)) = Zb a F(x)2dx ≥0, yF2(−):[a, b]→R,F2(x)=(F(x))2, es una función continua no negativa que se anula a lo sumo en un número finito de puntos de [a, b].(R[X], σ)es un ejemplo de espacio vectorial euclídeo que no tiene dimensión finita. (4) Si (V, σ)es un espacio vectorial euclídeo y Uun subespacio de V, entonces la aplicación σU:U×U→R (u , u0)7−→ σ(u, u0) es un producto escalar en U. Así, todo subespacio Ude un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial euclídeo con el producto escalar σUinducido. Vamos a introducir el concepto de matriz de Gram de una forma bilineal, ya que facilita el estudio del producto escalar y permitirá utilizar el criterio de Sylvester para determinar cuando una forma bilineal simétrica es definida positiva. 2.1.3.Definición. Sea Vun espacio vectorial real de dimensión finita, σ:V×V→Runa forma bilineal y sea B={v1, . . . , vn}una base de V. Se llama matriz de Gram de σrespecto a la base Ba la matriz GB σ=     g11 g12 . . . g1n g21 g22 . . . g2n . . .. . .. . . gn1gn2. . . gnn     = (gij), donde gij =σ(vi, vj), para i, j = 1, . . . , n. 2.1.4.Observación. Sea σ:V×V→Runa forma bilineal y B={v1,...vn}una base de V. Si v=x1v1+. . . +xnvn,w=y1v1+. . . +ynvnson vectores de VyGB σ= (gij)es la matriz de Gram de σrespecto a B, entonces σ(v, w) = n X i,j=1 gij xiyj=x1. . . xnGB σ   y1 . . . yn   . 40 2.1.5.Definición. Sea Kun cuerpo y CyDmatrices n×nsobre K. Se dice que CyDson congruentes, si existe una matriz regular Ptal que PtCP=D, donde Ptes la matriz traspuesta de la matriz P. La relación “ser congruentes” en el conjunto de matrices n×nsobre Kes una relación de equivalencia. 2.1.6.Proposición. Sea Vun espacio vectorial euclídeo, B={v1,...vn}yB0={v0 1,...v0 n}bases de Vy sean v0 j= n X i=1 pij vi, j = 1, . . . , n. Si P=idB0B= (pij), entonces GB0 σ=PtGB σP. Así, las matrices GB σyGB0 σson congruentes. Demostración. Sean GB σ= (gij)yGB0 σ0= (g0 ij). Se tiene g0 ij =v0 i·v0 j= ( n X k=1 pki vk)·( n X l=1 plj vs) = n X k,l=1 pki plj gkl. 2.1.7.Proposición. Sea σ:V×V→Runa forma bilineal y sea B={v1,...vn}una base de V. Entonces, la forma bilineal σes simétrica si, y solo si, la matriz GB σes una matriz simétrica, es decir, si (GB σ)t=GB σ. Demostración. Si σes simétrica, gij =σ(vi, vj) = σ(vj, vi) = gji, i, j = 1, . . . , n, luego GB σes simétrica. Recíprocamente, si gij =gji, para i, j = 1, . . . , n,v=x1v1+. . . +xnvny w=y1v1+. . . +ynvn, se tiene σ(v, w) = n X i,j=1 gij xiyj= n X i,j=1 gji yjxi=σ(w, v). 2.1.8.Definición. Sean (V, σ)y(V0, σ0)espacios vectoriales euclídeos. Se dice que una aplicación f:V→V0es una isometría si verifica (1) fes un isomorfismo de espacios vectoriales reales, (2) σ(v, w) = σ0(f(v), f(w), para todo v, w ∈V. Sean (V, σ)y(V0, σ0)vectoriales euclideos. Se dice que (V, σ)y(V0, σ0)son isométricos si existe una isometría f:V→V0. 2.1.9.Lema. Sean (V, σ)y(V0, σ0)espacios vectoriales euclídeos de dimensión n,B= (v1,...vn)una base de Vyf:V→V0un isomorfismo de espacios vectoriales reales. Se tiene que fes una isometría si, y solo si, vi·vj=f(vi)·f(vj), para i, j = 1, . . . , n. 41 Demostración. Sea B= (u1, . . . , ur)una base ortonormal de Uyv∈V. Consideremos el vector u= (v·u1)u1+. . . + (v·ur)ur∈U. El vector v−u∈U⊥, puesto que, para cada i= 1, . . . , r, (v−u)·ui=v·ui−u·ui=v·ui−v·ui= 0, i = 1, . . . , r. Asì, V=U+U⊥. Además, si v∈U∩U⊥, entonces v·v= 0 y por ser Vun espacio vectorial euclídeo, se tiene que v= 0. Por tanto V=U⊥U⊥. Los números reales v·uise llaman coeficientes de Fourier de vrespecto a la base ortonormal B de U. 2.1.28.Definición. Sea Vun espacio vectorial euclídeo y Uun subespacio de Vde dimensión finita. Si v∈Vse llama proyección ortogonal de vsobre Ual vector vU∈Utal que v−vU∈U⊥. 2.1.29.Observación. Sea Vun espacio vectorial euclídeo, Ues un subespacio de Vde dimensión finita y vun vector de V. Si B= (u1, . . . , ur)es una base ortonormal de U, entonces vU= (v·u1)u1+. . . + (v·ur)ur∈U. Veamos un ejemplo de como calcular la proyección ortogonal de un vector sobre un plano vectorial de R3. 2.1.30.Ejemplo. Consideremos el plano vectorial Ude R3cuya ecuación en la base canónica es 2x+y−z= 0 y el vector v= (−3,1,1). Se tiene U=h((1,0,2),(0,1,1)i, U⊥=h(2,1,−1)i. Luego R3=U⊥U⊥=h(1,0,2),(0,1,1),(2,1,−1)i. Dado que (−3,1,1) = −(1,0,2) + 2(0,1,1) −(2,1,−1), la proyección ortogonal de vsobre Ues el vector vU=−(1,0,2) + 2(0,1,1) = (−1,2,0). 48 2.1.31.Teorema de clasificación de espacios vectoriales euclídeos. Dos espacios vectoriales euclídeos de dimensión finita son isométricos si, y solo si, tienen igual dimensión; en particular, todo espacio vectorial euclídeo de dimensión nes isométrico a Rncon el producto escalar usual. Demostración. Sean B= (v1, . . . , vn)yB0= (v0 1, . . . , v0 n)bases ortonormales de VyV0, respectivamente. La aplicación lineal f:V→V0dada por f(vi) = v0 i, i = 1, . . . , n, es una isometría, puesto que vi·vj=δij =v0 i·v0 j=f(vi)·f(vj), para i, j = 1, . . . , n. La isometría f:V3→R3dada por f(−→ i) = e1,f(−→ j) = e2,f(−→ k) = e3, donde C= (e1, e2, e3)es la base canónica de R3, permite identificar el espacio vectorial euclídeo de los vectores libres del espacio ordinario con R3, con el producto escalar usual. De forma análoga se identifica el espacio vectorial euclídeo de los vectores libres del plano ordinario con R2, con el producto escalar usual. 2.2. Transformaciones ortogonales. Matrices ortogonales 2.2.1.Definición. Sea Kun cuerpo. Se dice que la matriz A ∈ Mn(K)es una matriz ortogonal si AtA=I, siendo Atla matriz traspuesta de A. 2.2.2.Proposición. Sea A= (aij)∈Mn(R). Las siguientes propiedades son equivalentes: (1) La matriz Aes una matriz ortogonal. (2) A−1=At. (3) A At=I. (4) BF= ((a11, . . . , a1n),...,(an1, . . . , ann)) es una base ortonormal de Rncon el producto escalar usual. (5) BC= ((a11, . . . , an1),...,((a1n, . . . , ann)) es una base ortonormal de Rncon el producto escalar usual. Demostración. (1) ⇒(2) La matriz Aes regular, puesto que det(At) det(A) = 1. Luego, At=AtI= At(AA−1) = A−1. (2) ⇒(1) AtA=A−1A=I. (2) ⇔(3) se prueba de forma similar a (1) ⇔(2). (4) es equivalente a que AAt=I. (5) es equivalente a que AtA=I. 49 2.2.3.Proposición. Si Aes una matriz ortogonal, entonces el determinante de Avale 1o−1. Demostración. Se tiene (det(A))2= det(At) det(A) = det(AtA) = 1. Así, det(A) = 1 odet(A) = −1. 2.2.4.Definición. Sea Vun un espacio vectorial euclídeo. Se dice que la aplicación f:V→Ves una transformación ortogonal de Vsi es una isometría, es decir si es un isomorfismo de espacios vectoriales reales y además f(v)·f(w) = v·w, ∀v, w ∈V 2.2.5.Proposición. Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión finita y f:V→Vuna aplicación lineal. Entonces fes una transformación ortogonal si, y sólo si, f(v)·f(w) = v·w, v, w ∈V. Demostración. Basta ver que si f(v)·f(w) = v·w, para cada v, w ∈V, entonces fes un isomorfismo de espacios vectoriales; y puesto que el espacio vectorial Vtiene dimensión finita, es suficiente probar que el núcleo de fes el subespacio {0}. Se tiene f(v) = 0 =⇒0 = f(v)·f(v) = v·v=⇒v= 0. 2.2.6.Proposición. Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión finita. Una aplicación f:V→V es una transformación ortogonal si, y solo si, f(v)·f(w) = v·w, para todo v, w ∈V. Demostración. Es suficiente probar que si la aplicación f:V→Vverifica que f(v)·f(w) = v·w, para todo v, w ∈V, entonces fes una aplicación lineal. Si u=v+w, 0 =ku−v−wk2=kuk2+kvk2+kwk2−2u·v−2u·w−2v·w =kf(u)k2+kf(v)k2+kf(w)k2−2f(u)·f(v)−2f(u)·f(w)−2f(v)·f(w) =kf(u)−f(v)−f(w)k2. Así, f(v+w) = f(v) + f(w). Si u=λ v, 0 = ku−λ vk2=kuk2+λ2kvk2−2λ u ·v=kf(u)k2+λ2kf(v)k2−2λ f(u)·f(v) = kf(u)−λf(v)k2. Así, f(λ v) = λ f(v). 2.2.7.Notación. Si Ves un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, denotaremos por O(V)el conjunto de las transformaciones ortogonales de Vy por O(n, R)el conjunto de las matrices n×n reales ortogonales. 50 2.2.8.Teorema. Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, Buna base ortonormal de V yf:V→Vuna aplicación lineal. Entonces fes una transformación ortogonal si, y solo si, la matriz asociada a frespecto a la base Bes una matriz ortogonal. Demostración. Sea A= (aij)la matriz asociada a frespecto a la base B= (v1, . . . , vn). Por el lema 2.1.9, fes una transformación ortogonal si, y solo si, f(vi)·f(vj) = δij , para i, j = 1, . . . , n. El resultado se sigue de las siguientes equivalencias f(vi)·f(vj) = δij ⇐⇒ n X k=1 aki vk·n X l=1 alj vl=δij ⇐⇒ n X k,l=1 akialjδkl =δij ⇐⇒ n X k=1 akiakj =δij ⇐⇒ AtA=I. El siguiente lema será utilizado en el capítulo 4para clasificar los movimientos en un espacio afín euclídeo. 2.2.9.Lema. Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión finita y f:V→Vuna transformación ortogonal de V. Se tiene Im(f−idV) = (Nuc(f−idV))⊥. Demostración. Para cada (f−idV)(v)∈Im(f−idV)y cada w∈Nuc(f−idV), es (f−idV)(v)·w= (f(v)−v)·w=f(v)·w−v·w=f(v)·f(w)−v·w= 0. Así, Im(f−idV)⊂(Nuc(f−idV))⊥y, dado que dimRIm(f−idV) = dimRV−dimRNuc(f−idV) = dimR(Nuc(f−idV))⊥, se obtiene el resultado. 2.2.10.Lema. Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión n≥1y sean Buna base ortonormal de VyB0una base de V. Entonces B0es una base ortonormal de Vsi, y solo si, 1B0Bes una matriz ortogonal. Demostración. Sean B= (v1, . . . , vn)yB0= (v0 1, . . . , v0 n)y consideremos la aplicación lineal f:V→V dada por f(vi) = v0 i, i = 1, . . . , n. Se tiene que fB=idB0B. Por la demostración del teorema 2.1.31, B0es una base ortonormal si, y solo si, f∈ O(V)y por el teorema 2.2.8, f∈ O(V)si, y solo si, 1B0B=fB∈ O(n, R). 2.2.11.Lema. Sea Vun espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo Kyf:V→Vuna aplicación lineal. Si ByB0son bases de VyfByfB0son las matrices asociadas a frespecto a las bases ByB0respectivamente, entonces det(fB) = det(fB0). 51 Demostración. Se tiene fB0=P−1fBP, donde P=idB0B. Por tanto, det(fB0) = det(P−1) det(fB) det(P) = (det(P))−1det(P) det(fB) = det(fB). 2.2.12.Definición. Sea Vun espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo Ky sea f:V→V una aplicación lineal. Se llama determinante de f, y se denota por det(f), al deteminante de la matriz asociada a fen una base Bde V, es decir det(f) = det(fB). Obsérvese que por el lema 2.2.11, det(f)no depende de la base considerada en V. 2.2.13.Proposición. Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión finita. Si fes una transformación ortogonal de V, entonces el determinante de fes 1o−1. Demostración. Sea Buna base ortonormal de V. Por el teorema 2.2.8, la matriz fBes una matriz ortogonal. Dado que el determinante de fes igual al determinante de fB, por la proposición 2.2.3 es det(f) = 1 odet(f) = −1. 2.2.14.Definición. Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión finita y funa transformación ortogonal de V. Se dice que fes un giro o una rotación si det(f)=1. Se dice que fes una reflexión si det(f) = −1. 2.2.15.Ejemplo. El giro de ángulo ϕen V2,Gϕ:V2→V2,0≤ϕ < 2π, es la transformación ortogonal de V2cuya matriz asociada en la base ortonormal C= (−→ i , −→ j)es (Gϕ)C=cos ϕ−sen ϕ sen ϕcos ϕ. 2.2.16.Notación. Si Ves un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita, denotaremos por O+(V)el conjunto de los giros de Vy por O−(V)el conjunto de las reflexiones de V. Denotaremos por O+(n, R) el conjunto de las matrices n×nortogonales reales de determinante 1y por O−(n, R)el conjunto de las matrices n×nortogonales reales de determinante −1. 52 2.2.17.Proposición. Sea Vun espacio vectorial euclídeo. El conjunto O(V)con la operación composición es un grupo que se denomina grupo ortogonal de Vy el conjunto O+(V)es un subgrupo de O(V) que se denomina grupo de los giros de V. El conjunto O(n, R)con la operación producto de matrices es un grupo y el conjunto O+(n, R)es un subgrupo de O(n, R). Si Vtiene dimensión nyBes una base ortonormal de V, la aplicación ΦB:O(V)−→ O(n, R) dada por ΦB(f) = fB, donde fBes la matriz asociada a frespecto a la base B, es un isomorfismo de grupos; además, f∈ O+(V)si, y solo si, fB∈ O+(n, R)yf∈ O−(V)si, y solo si, fB∈ O−(n, R). Demostración. Es inmediata. A partir de transformaciones ortogonales de subespacios de un espacio vectorial euclídeo Vse pueden construir nuevas transformaciones ortogonales de Vcomo se prueba en la siguiente proposición. 2.2.18.Proposición. Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión finita y sean U1yU2subespacios de Vtales que V=U1⊥U2. Si f1∈ O(U1)yf2∈ O(U2), entonces la aplicación: f1⊥f2:V−→ V dada por (f1⊥f2)(u1+u2) = f1(u1)+f2(u2)para todo u1∈U1y todo u2∈U2, es una transformación ortogonal de V. Demostración. Para todo u1, v1∈U1yu2, v2∈U2, se tiene (f1⊥f2)(u1+u2)·(f1⊥f2)(v1+v2) = (f1(u1) + f2(u2)) ·(f1(v1) + f2(v2)) =f1(u1)·f1(v1) + f1(u1)·f2(v2) +f2(u2)·f1(v1) + f2(u2)·f2(v2) =u1·v1+u2·v2= (u1+u2)·(v1+v2). 2.2.19.Definición. Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión ny sea Hun hiperplano vectorial de V, es decir, un subespacio de Vde dimensión n−1. Se llama simetría respecto a Ha la transformación ortogonal de V,SH=idH⊥(−idH⊥). SH(u+w) = u−w, u ∈H, w ∈H⊥. Obsérvese que el conjunto de vectores fijos de SHes Hy que (SH)2=idV, equivalentemente, S−1 H=SH. 53 2.2.20.Proposición. Si Hes un hiperplano vectorial de V, entonces SHes una reflexión. Demostración. Dado que V=H⊥H⊥, si B= (v1, . . . , vn−1)es una base de HyH⊥=hvni, entonces B0= (v1, . . . , vn)es una base de V. Teniendo en cuenta que SH=idH⊥(−idH⊥), (SH)B0=diag(1 n−1 . . . 1−1). Por tanto, detSH= det (SH)B0=−1. Así, SHes una reflexión. 2.2.21.Ejemplo. Considemos en R3el producto escalar usual. Sea Uel plano vectorial de R3cuya ecuación en la base canónica es y−z= 0. Se tiene U=h(1,0,0),(0,1,1)i, U⊥=h(0,1,−1)i. Sea B= ((1,0,0),(0,1,1),(0,1,−1)). La simetría respecto al plano vectorial Ude R3es la aplicación lineal SU=idU⊥(−idU⊥): R3→R3dada por SU(1,0,0) = (1,0,0), SU(0,1,1) = (0,1,1), SU(0,1,−1) = (0,−1,1), luego (SU)C= (SU)BC idCB =  1 0 0 0 1 −1 0 1 1    1 0 0 0 1 1 0 1 −1  −1 =  1 0 0 0 1 −1 0 1 1    1 0 0 0 1/2 1/2 0 1/2−1/2 =  100 001 010 . Así, SU(x, y, z)=(x, z, y). 2.2.22.Proposición. Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión finita y sea funa transformación ortogonal de V. Si Ues un subespacio invariante por f, entonces tambien lo es U⊥. Demostración. Veamos que si f(U)⊂U, entonces f(U⊥)⊂U⊥. Por ser fun isomorfismo de espacios vectoriales f(U) = Uy se tiene que para cada u∈Uy cada w∈U⊥, u·f(w) = f(f−1(u)) ·f(w) = f−1(u)·w= 0. 2.2.23.Proposición. Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión finita y funa transformación ortogonal de V. Si λ∈Res un autovalor de f, entonces λ=±1. Demostración. Si ves un vector propio de fasociado al autovalor λ, entonces f(v) = λ v. Se tiene v·v=f(v)·f(v) = (λ v)·(λ v) = λ2v·v, y dado que v·v6= 0, es λ2= 1. 54 2.3. Transformaciones ortogonales del plano vectorial euclídeo 2.3.1.Proposición. Si A∈O(2,R), entonces (1) A ∈ O+(2,R)⇐⇒ ∃a, b ∈R, a2+b2= 1 | A =a−b b a , (2) A ∈ O−(2,R)⇐⇒ ∃a, b ∈R, a2+b2= 1 | A =a b b−a. Demostración. (1) Si A=a c b d , la condición AtA=Ies equivalente a las condiciones a2+b2= 1, a c +b d = 0, c2+d2= 1. La condición det(A) = 1 equivale a ad −bc = 1. Resolviendo el sistema a2+b2= 1, a c +b d = 0, a d −b c = 1, se tiene que c=−byd=a. (2) Se prueba de forma análoga a (1). 2.3.2.Proposición. Sea Vun plano vectorial euclídeo, B= (v1, v2)una base ortonormal de Vy f:V→Vuna aplicación R-lineal. Se tiene: (1) f∈ O+(V)⇐⇒ ∃a, b ∈R, a2+b2= 1 |fB=a−b b a , (2) f∈ O−(V)⇐⇒ ∃a, b ∈R, a2+b2= 1 |fB=a b b−a. Además, a=v1·f(v1). Demostración. Se sigue de la proposición anterior y de la proposición 2.2.17. 2.3.3.Proposición. El grupo O+(2,R)es abeliano. Demostración. a−b b a a0−b0 b0a0=a0−b0 b0a0a−b b a  2.3.4.Corolario. Si Ves un plano vectorial euclídeo, entonces O+(V)es un grupo abeliano. Demostración. Por la proposición 2.2.17, los grupos O+(V)yO+(2,R)son isomorfos. 55 2.3.5.Proposición. Sea Vun plano vectorial euclídeo y sean uyvvectores no nulos de Vtales que kuk=kvk. Existe un único giro f∈ O+(V)tal que f(u) = v. Demostración. Sea B= (v1, v2)una base ortonormal de Vy sean (x1, x2),(y1, y2)las coordenadas de uyv, respectivamente, en la base B. Veamos que existe una matriz ortogonal A=a−b b a  tal que Ax1 x2=y1 y2. Resolviendo el sistema x1a−x2b=y1, x2a+x1b=y2, se tiene que a=x1y1+x2y2 kuk2, b =x1y2−x2y1 kuk2, a2+b2=kuk2kvk2 kuk4= 1. Si fes el giro de Vcuya matriz asociada respecto a la base Bes la matriz Aque acabamos de obtener, entonces f(u) = v. Obsérvese que en un plano vectorial euclídeo un giro está determinado conocida la imagen de un vector no nulo. 2.3.6.Lema. Sea Vun plano vectorial euclídeo, uyvvectores unitarios de Vyf∈ O+(V). Se verifica u·f(u) = v·f(v). Demostración. Por la proposición 2.3.5, existe un giro gtal que g(u) = v. Así, u·f(u) = g(u)·g(f(u)) = g(u)·f(g(u)) = v·f(v). 2.3.7.Definición. Sea Vun plano vectorial euclídeo y sea fun giro de V. Se llama coseno de f, y se denota por cos f, al número real cos f=v·f(v), donde ves un vector unitario cualquiera de V. 2.3.8.Corolario. Sea Vun plano vectorial euclídeo y sea fun giro de V. Si ByB0son bases ortonormales de Vy si fB=a−b b a , fB0=a0−b0 b0a0, a2+b2= 1, a02+b02= 1. entonces a=a0= cos fyb=±b0. 56 Demostración. Pongamos B= (v1, v2)yB0= (v0 1, v0 2). Por la proposición 2.3.2 y la definición 2.3.7, se tiene a=v1·f(v1) = cos f=v0 1·f(v0 1) = a0. Por tanto, b2= 1 −a2=b02, luego b=±b0. 2.3.9.Nota. El valor de ben el corolario anterior depende de la base ortonormal considerada en V. Por ejemplo, si B= (v1, v2)es una base ortonormal de Vy fB=a−b b a , a2+b2= 1, entonces la matriz asociada a frespecto a B0= (v2, v1)es fB0=a b −b a . 2.3.10.Definición. Sea Vun espacio vectorial real de dimensión finita. Se dice que las bases ByB0 tienen la misma orientación si el determinante de la matriz de cambio de base idB B0es positivo; en caso contrario se dice que tienen distinta orientación. La relación “tener la misma orientación” en el conjunto de bases de Ves una relación de equivalencia. Existen solamente dos clases de equivalencia distintas para esta relación. Si Bes una base de V, la clase de equivalencia [B]se dice que es una orientación en V. El par (V, [B]) se llama espacio vectorial orientado. Diremos que Vestá orientado con la base Bpara indicar que consideramos (V, [B]) y en este caso las bases de [B]se dice que son bases de orientación positiva y las bases de Vque no están en [B]se dice que son bases de orientación negativa. Consideramos que Rnestá orientado con la base canónica. El espacio V2de los vectores libres del plano se considera orientado con la base ortonormal C= (−→ i , −→ j)asociada a la referencia canónica C={E1, E2;O}del plano ordinario. El espacio V3de los vectores libres del espacio se considera orientado con la base ortonormal C= (−→ i , −→ j , −→ k)asociada a la referencia canónica C={E1, E2, E3;O}del espacio ordinario. 2.3.11.Proposición. Sea Vun plano vectorial euclídeo orientado y sea fun giro de V. Sean ByB0 son bases ortonormales de Vtales que fB=a−b b a , fB0=a0−b0 b0a0, a2+b2= 1, a02+b02= 1. Si ByB0tienen la misma orientación, entonces fB=fB0. Si ByB0tienen distinta orientación, entonces a0=ayb0=−b 57 f=f1⊥(−idhv3i),f1∈ O−(hv3i⊥). Sea B0 1={v0 1, v0 2}una base ortonormal de hv3i⊥tal que (f1)B0 1=1 0 0−1. Si B0= (v0 1, v0 2, v3), se tiene fB0=  100 0−1 0 0 0 −1 , luego fes el giro de eje V1=hv0 1iy ángulo π. . 2.5.6.Corolario. Sea Vun espacio vectorial euclídeo tridimensional orientado y sea funa transformación ortogonal de V. Se tiene: (1) Si 1es un autovalor de fde multiplicidad 1y las otras dos raíces del polinomio característico son a±bi,a2+b2= 1, entonces fes un giro de eje orientado V1y ángulo ϕ(que depende de la orientación de V1), tal que cos ϕ=aysen ϕ=±b. (2) Si 1es un autovalor de fde multiplicidad 2y−1es un autovalor de fde multiplicidad 1, entonces fes la simetría respecto al plano vectorial V1. (3) Si −1es un autovalor de fde multiplicidad 1y las otras dos raíces del polinomio característico son a±bi 6=±1,a2+b2= 1, entonces fes la composición de un giro de eje orientado V−1y ángulo ϕ(que depende de la orientación de V−1), tal que cos ϕ=aysen ϕ=±b, con la simetría respecto al plano vectorial (V−1)⊥. 2.5.7.Corolario. Sea Vun espacio vectorial euclídeo tridimensional y sea funa transformación ortogonal de V. Se tiene: (1) Si ftiene solo un subespacio de vectores fijos de dimensión 1, entonces fes un giro de eje ese subespacio. (2) Si ftiene únicamente un subespacio de vectores fijos de dimensión 2, entonces fes la simetría respecto a ese subespacio. (3) Si el único vector fijo de fes el cero, entonces fes la composición de un giro con una simetría respecto a un plano vectorial. 2.5.8.Ejemplo. Consideremos en R3el producto escalar usual. La aplicación lineal f:R3→R3dada por f(x, y, z)=(−z, −x, y) es una transformación ortogonal, puesto que su matriz asociada respecto a la base canónica es fC=  0 0 −1 −1 0 0 0 1 0  , 64 que es una matriz ortogonal (ft CfC=I). Puesto que det(f) = det(fC)=1,fes un giro. El polinomio característico de fes Pf(X) =  −X0−1 −1−X0 0 1 −X=−X3+ 1. Las raíces de Pf(X)son 1,−1/2 + √3/2y−1/2−√3/2. Por el corolario 2.5.6, fes un giro de eje la recta vectorial Nuc(f−idR3) = {(x, y, z)∈R3|x+z= 0, x +y= 0}=h(−1,1,1)i. El ángulo del giro fes un número real ϕ,0≤ϕ < 2π, tal que cos ϕ=−1/2, luego ϕ= 2π/3 oϕ= 4π/3, dependiendo de la orientación que consideremos en el eje del giro. Veamos cual es el ángulo de fsi orientamos el eje de giro con la base {(−1,1,1)}. Consideremos la base ortonormal B1={(√2/2,0,√2/2),(√6/6,√6/3,−√6/6)}de h(−1,1,1)i⊥. Dado que la base B={(√2/2,0,√2/2),(√6/6,√6/3,−√6/6),(−√3/3,√3/3,√3/3)}, es de orientación positiva, la base B1es de orientación positiva, Se tiene fB=idCB fCidBC = (idBC)tfB(idBC) =  √2/2 0 √2/2 √6/6√6/3−√6/6 −√3/3√3/3√3/3   0 0 −1 −1 0 0 0 1 0    √2/2√6/6−√3/3 0√6/3√3/3 √2/2−√6/6√3/3  = −1/2√3/2 0 −√3/2−1/2 0 0 0 1  . Si f1=f|h(−1,1,1)i⊥, entonces (f1)B1=−1/2√3/2 −√3/2−1/2. y el ángulo del giro fes ϕ∈[0,2π)tal que cos ϕ=−1/2ysen ϕ=−√3/2, es decir ϕ= 4π/3. Si orientamos el eje de giro con la base {(1,−1,−1)}, entonces el ángulo del giro es 2π/3. 2.5.9.Ejemplo. Consideremos en R3el producto escalar usual. La aplicación f:R3→R3dada por f(x, y, z) = 1 3(x−2y−2z, −2x+y−2z, −2x−2y+z) es una transformación ortogonal, puesto que su matriz asociada respecto a la base canónica es fC=1 3  1−2−2 −2 1 −2 −2−2 1  , 65 que es una matriz ortogonal (ft CfC=I). Como det(f) = det(fC) = −1,fes una reflexión. El polinomio característico de fes Pf(X) = −(X2−1)(X−1). Las raíces de Pf(X)son 1(de multiplicidad 2) y −1(de multiplicidad 1). Por el corolario 2.5.6, fes la simetría respecto al plano vectorial Nuc(f−idR3) = {(x, y, z)∈R3|x+y+z= 0}. 2.6. Producto vectorial Sea Vun espacio vectorial euclídeo tridimensional orientado. 2.6.1.Definición. Sea B= (v1, v2, v3)una base ortonormal de Vde orientación positiva. Sean uyv vectores cuyas coordenadas en Bson (x1, x2, x3)e(y1, y2, y3), respectivamente. Se llama producto vectorial de uyval vector u∧vde coordenadas x2x3 y2y3,x3x1 y3y1,x1x2 y1y2, en la base B. Utilizaremos la notación u∧v= v1v2v3 x1x2x3 y1y2y3. 2.6.2.Proposición. (1) Los vectores no nulos uyvson linealmente dependientes si, y solo si, u∧v= 0 . (2) El vector u∧ves un vector ortogonal a uy a v. (3) Si uyvson linealmente independientes, entonces (u, v, u ∧v)es una base de Vde orientación positiva. (4) ku∧vk=kukkvksen∠(u, v), siendo ∠(u, v)el ángulo no orientado que forman uyv. (5) La aplicación ∧:V×V→V , ∧(u, v) = u∧v, es bilineal y antisimétrica. Demostración. Sean uyvvectores cuyas coordenadas en la base ortonormal de orientación positiva B son (x1, x2, x3)e(y1, y2, y3), respectivamente. (1) Existe λ∈Rtal que u=λ v o, equivalentemente, (x1, x2, x3) = λ(y1, y2, y3); así, rangox1x2x3 y1y2y3= 1 ⇐⇒ x2x3 y2y3,x3x1 y3y1,x1x2 y1y2= (0,0,0) ⇐⇒ u∧v= 0. (2) Se tiene u·(u∧v) = x1x2x3 y2y3+x2x3x1 y3y1+x3x1x2 y1y2= x1x2x3 x1x2x3 y1y2y3= 0. 66 Análogamente se prueba que v·(u∧v) = 0. (3) Los vectores u,vyu∧vson linealmente independientes, puesto que a u+b v+c(u∧v)=0⇒a u·(u∧v)+b v·(u∧v)+c(u∧v)·(u∧v)=0⇒c(u∧v)·(u∧v) = 0 ⇒c= 0, luego a u +b v = 0. Por ser uyvvectores linealmente independientes, a=b= 0. Si B0= (u, v, u ∧v), entonces det(1B0B) =  x1y1x2x3 y2y3 x2y2x3x1 y3y1 x3y3x1x2 y1y2  =x2x3 y2y3 2 +x3x1 y3y1 2 +x1x2 y1y2 2 =ku∧vk2>0. (4) Se tiene kuk2kvk2sen2∠(u, v) =kuk2kvk2−kuk2kvk2cos2∠(u, v) =(x2 1+x2 2+x2 3)(y2 1+y2 2+y2 3)−(x1y1+x2y2+x3y3)2 =x2x3 y2y3 2 +x3x1 y3y1 2 +x1x2 y1y2 2 =ku∧vk2. (5) ∧es antisimétrica: v∧u= v1v2v3 y1y2y3 x1x2x3=−(u∧v). 2.6.3.Proposición. Si uyvson vectores linealmente independientes, entonces u∧vestá determinado por (2), (3) y (4). Así, u∧vno depende de la base ortonormal de orientación positiva considerada. Demostración. Sea wun vector ortogonal a uy a vtal que (u, v, w)es una base de orientación positiva y kwk=kukkvksen∠(u, v). Se tiene que hu∧vi=hu, vi⊥=hwi, luego existe λ∈Rtal que w=λ(u∧v). Dado que kwk=ku∧vk, se obtiene que kwk=|λ| ku∧vk=ku∧vk, luego |λ|= 1. Por tener las bases (u, v, u ∧v)y(u, v, w)la misma orientación,  1 0 0 0 1 0 0 0 λ=λ > 0. Por tanto, λ= 1. 67 2.6.4.Ejemplo. En el espacio vectorial euclídeo V3de vectores libres del espacio, si −→ uy−→ vson vectores libres linealmente independientes, −→ u∧−→ ves un vector libre ortogonal a −→ uy−→ vcuyo módulo es el área del paralelogramo determinado por −→ uy−→ v, |−→ u∧−→ v|=|−→ u||−→ v|sen ∠(−→ u , −→ v) = |−→ u||−→ w|, y cuyo sentido es el de avance de un sacacorchos situado en la dirección de −→ u∧−→ vque gira de −→ ua−→ v siguiendo el menor ángulo. 2.6.5.Observación. Si (u, v, w)es una base ortonormal de Vde orientación positiva, entonces w=u∧v. En efecto, wverifica las condiciones (2),(3) y(4) de la proposición 2.6.2. 2.6.6.Ejemplo. En el espacio vectorial euclídeo (R3, σ)del ejemplo 2.1.23 vamos a calcular el producto vectorial (1,2,0) ∧(2,3,1), utilizando la base ortonormal B=v1= (√2/2,0,0) , v2= (√2/2,√2,0) , v3= (1,2,1), obtenida en el ejemplo 2.1.23. La base Bes de orientación positiva, puesto que det(idBC) = 2 >0. Dado que (1,2,0) = √2v2y que (2,3,1) = √2/2v1+√2/2v2+v3, se tiene (1,2,0) ∧(2,3,1) =  v1v2v3 0√2 0 √2/2√2/2 1 =√2v1−v3= (0,−2,−1). 2.6.7.Producto mixto. Sea Buna base ortonormal de Vde orientación positiva. Sean u,vyw vectores V. Se llama producto mixto de la terna (u, v, w)al número real (u v w) = u·(v∧w). 68 2.6.8.Propiedades del producto mixto. (1) Sea B= (v1, v2, v3)una base ortonormal de Vde orientación positiva. Sean u,vywvectores de coordenadas (x1, x2, x3),(y1, y2, y3)y(z1, z2, z3), respectivamente, en la base B. Se tiene (u v w) =  x1x2x3 y1y2y3 z1z2z3. (2) ( u v w )=(v w u ) = ( w u v ). Demostración. (1) (u v w) =(x1v1+x2v2+x3v3)·y2y3 z2z3v1+y3y1 z3z1v2+y1y2 z1z2v3 =x1y2y3 z2z3+x2y3y1 z3z1+x3y1y2 z1z2= x1x2x3 y1y2y3 z1z2z3. (2) (u v w) = −(v u w) = (v w u) = −(w v u)=(w u v). 2.6.9.Ejemplo. En el espacio vectorial euclídeo V3de los vectores libres del espacio, si −→ u,−→ vy−→ wson vectores libres linealmente independientes, entonces el valor absoluto del producto mixto (−→ u−→ v−→ w)es igual al volumen del paralelepípedo determinado por estos tres vectores. |(−→ u∧−→ v)·−→ w|=|−→ u∧−→ v||−→ w||cos ∠(−→ u∧−→ v , w)|=|−→ u∧−→ v||−→ OA|. 2.7. Ejercicios. (1) Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión finita. Demuestra que el método de ortogonalización de Gram-Schmidt aplicado a una base Bproporciona una base ortogonal de Vcon la misma orientación que B. (2) Sea Vun espacio vectorial euclídeo orientado de dimensión finita y B= (v1, . . . , vn)una base de V. Prueba que si f∈ O+(V), entonces Byf(B)=(f(v1), . . . , f(vn)) tienen la misma orientación, y que si f∈ O−(V),Byf(B)tienen distinta orientación. 69 (3) Sea Vun espacio vectorial euclídeo tridimensional y sean u, v, w ∈V− {0},u, v 6∈ hwi, tales que la proyección ortogonal de usobre hwicoincide con la proyección ortogonal de vsobre hwi. Prueba que si kuk=kvk, entonces existe un único giro f∈ O+(V)de eje hwital que f(u) = v. Prueba que todo giro de Vestá determinado conocidos el eje de giro y la imagen de un vector no nulo que no está en el eje de giro. (4) Calcula las ecuaciones en la base canónica del giro fde R3tal que f(0,1,−1) = (0,1,−1) y f(1,0,1) = (−1,−1,0). (5) Sea Vun espacio vectorial euclídeo tridimensional orientado. Prueba que si fes un giro de V, entonces f(u∧v) = f(u)∧f(v), para todo u, v ∈V. Prueba que si fes una reflexión de V, entonces f(u∧v) = f(v)∧f(u), para todo u, v ∈V. (6) Sea Vun espacio vectorial euclídeo de dimensión n. Prueba que si n= 1, entonces O(V) = {1V,−1V}. Prueba que si n≥2, entonces toda transformación ortogonal se puede escribir como composición de r≤nsimetrías (Teorema de Cartan-Dieudonné). (7) Considera en R4la forma bilineal σdada por: σ((x1, x2, x3, x4),(y1, y2, y3, y4)) = x1y1+x1y2+x2y1−x2y2+x3y3+x3y4+x4y3+ 2x4y4. (a)¿Es (R4, σ)un espacio vectorial euclídeo? (b)Sea Uel subespacio de R4cuya ecuación en la base canónica es y= 0. ¿Es Ucon la forma bilineal inducida un espacio vectorial euclídeo? En caso afirmativo, calcula una base ortonormal de U. (c)Calcula una isometría f:U→Rm, para algún m, considerando en Rmel producto escalar usual. (8) Considera la forma bilineal σ:R3×R3→Rdada por: σ((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = x1y1+x1y2+x2y1+ 2x2y2+x3y3. (a)Demuestra que σes un producto escalar y calcula una base ortonormal de (R3, σ). (b)Sea f:R3→R3la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica Ces fC=  1 0 0 −1−1 0 0 0 1  . Prueba que fes una transformación ortogonal del espacio euclídeo (R3, σ). Clasifica fy calcula sus elementos geométricos. (9) Calcula las ecuaciones en la base canónica de R3de la simetría respecto al plano vectorial Ucuya ecuación en la base canónica es x+y+z= 0. (10) Calcula las ecuaciones en la base canónica de R3del giro de eje orientado la recta vectorial h(1,1,1)iy cuyo ángulo es π 6. 70 3. ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO En este tema se estudian los espacios afines euclídeos. Utilizando la estructura del espacio vectorial euclídeo asociado al espacio afín, se introducen los conceptos geométricos de perpendicularidad entre variedades lineales y distancia. Se estudian los movimientos de un espacio afín euclídeo y se clasifican en dimensiones 2y3. 3.1. Espacios afines euclídeos 3.1.1.Definición. ([3, p. 503]) Se dice que un espacio afín Asobre Ves un espacio afín euclídeo si V es un espacio vectorial euclídeo. Se dice que un espacio afín euclídeo sobre Ves orientado si el espacio vectorial Vestá orientado. Si Ves un espacio vectorial euclídeo denotaremos por Vel espacio afín de V. En esta sección vamos a considerar espacios afines euclídeos de dimensión finita. 3.1.2.Definición. Sea Aun espacio afín euclídeo sobre Vy sean PyQdos puntos de A. Se llama distancia entre PyQa la longitud del vector −−→ PQ. d(P, Q) = k−−→ PQ k. 3.1.3.Propiedades de la distancia. (1) d(P, Q)≥0, para todo P, Q ∈A. (2) d(P, Q)=0si, y solo si, P=Q. (3) d(P, Q) = d(Q, P ), para todo P, Q ∈A. (4) d(P, Q)≤d(P, R) + d(R, Q), para todo P, Q, R ∈A(Desigualdad triangular). (5) Si P,QyRson tres puntos de Ay−→ PR y−−→ RQ son vectores ortogonales, entonces d(P, Q)2=d(P, R)2+d(R, Q)2. 3.1.4.Definición. Sea Aun espacio afín euclídeo sobre V. Se dice que una referencia R={E1, . . . , En;O} de Aes una referencia rectangular si la base BR= (−−→ OE1,...,−−→ OEn)es una base ortonormal de V. Si R es una referencia rectangular de A, las coordenadas de un punto Pen Rse dice que son las coordenadas rectangulares de Pen R. Todo espacio afín euclídeo Asobre Vde dimensión finita tiene referencias rectangulares. En efecto, si B= (v1, . . . , vn)es una base ortonormal de VyP∈A, entonces se tiene la referencia rectangular R={P+v1, . . . , P +vn;P}. 71 La referencia canónica de Rnes una referencia rectangular de Rncuando se considera en Rnel producto escalar usual. También son referencias rectangulares las referencias canónicas del plano y espacio ordinario. 3.1.5.Proposición. Sea R={E1, . . . , En;O}una referencia rectangular de AyR0={P1, . . . , Pn;Q} una referencia de A. Sea Pun punto de coordenadas (x1, . . . , xn)en la referencia Ry coordenadas (x0 1, . . . , x0 n)en la referencia R0. Consideremos la ecuación del cambio de coordenadas de R0aR:    x1 . . . xn   =   b1 . . . bn   +   a11 . . . a1n . . ..... . . an1. . . ann      x0 1 . . . x0 n   .(?) La referencia R0es rectangular si, y solo si, la matriz (aij) = idBR0BRes una matriz ortogonal. Demostración. La referencia R0es rectangular si, y solo si, la base BR0es ortonormal, equivalentemente, por el lema 2.2.10, la matriz idB0 R,BRes una matriz ortogonal. Si la matriz (aij)es una matriz ortogonal, se dice que la ecuación (?)es la ecuación matricial de cambio de coordenadas rectangulares de R0aR. 3.1.6.Definición Sean AyA0espacios afines euclídeos sobre los espacios vectoriales VyV0, respectivamente. Una aplicación α:A→A0se dice que es un isomorfismo de espacios afines euclídeos si es una afinidad cuya aplicación lineal asociada −→ α:V→V0es una isometría. Se dice que los espacios afines euclídeos AyA0son isomorfos si existe un isomorfismo de espacios afines euclídeos α:A→A0. 3.1.7.Proposition Si Aes un espacio afín euclídeo sobre Vde dimensión n, entonces Aes isomorfo al espacio afín euclídeo de Rnconsiderando en Rnel producto escalar usual. Demostración. Sea R={E1, . . . , En;O}una referencia rectangular de Acuya base asociada es BR= (v1, . . . , vn). La aplicación del ejemplo 1.3.12 (2), αR:A−→ Kn P7−→ (x1, . . . , xn), donde (x1, . . . , xn)son las coordenadas de Pen R, es un isomorfismo de espacios afines euclideos, puesto que su aplicación lineal asociada −→ αR:V−→ Kn,−→ αR(vi) = ei, i = 1, . . . , n, donde C= (e1, . . . , en)es la base canónica de Rn, es una isometría. En efecto, −→ αR(vi)·−→ αR(vj) = ei·ej=δij =vi·vj, para i, j = 1, . . . , n. En particular, si Aes el plano (espacio) afín euclídeo ordinario y Ces la referencia canónica, el isomorfismo αCpermite identificar el plano (espacio) afín euclídeo ordinario con R2(R3). 72 3.1.8.Proposition. Sea R={E1, . . . , En;O}una referencia rectangular del espacio afín euclídeo Ay sean PyP0puntos cuyas coordenadas en Rson (x1, . . . , xn)e(y1, . . . , yn), respectivamente. Se tiene d(P, P 0) = p(y1−x1)2+. . . + (yn−xn)2. Demostración. Sea BR= (v1, . . . , vn). Se tiene d(P, P 0) = k−−→ PP0k=k−−−→ OP +−−→ OP 0k=k n X i=1 (yi−xi)vik=p(y1−x1)2+. . . + (yn−xn)2. 3.1.9.Definición. Consideremos el espacio afín euclídeo Asobre V. Se dice que dos variedades lineales no vacías L1=A1+U1yL2=A2+U2son perpendiculares si el subespacio U1es ortogonal al subespacio U2. 3.1.10.Definición. Consideremos el espacio afín euclídeo Asobre V. Sea L=A+Uuna variedad lineal de A,L6=∅, y P∈A. Se llama variedad perpendicular aLque pasa por Pa la variedad lineal L⊥ P=P+U⊥. 3.1.11.Proposición. Las variedades lineales LyL⊥ Pse cortan en un único punto. Demostración. Si L=A+U, entonces L⊥ P=P+U⊥. Dado que −→ AP ∈V=U⊥U⊥, es L∩L⊥ P6=∅. Sea P0∈L∩L⊥ P. Se tiene L∩L⊥ P=P0+ (U∩U⊥) = {P0}. 3.1.12.Definición. Consideremos el espacio afín euclídeo Asobre V. Se llama proyección ortogonal del punto Psobre la variedad lineal Lal punto de corte de LyL⊥ P; es decir, es el punto P0∈L, tal que la recta que pasa por PyP0es perpendicular a L. 3.1.13.Definición. Sean L1yL2variedades lineales del espacio afín euclídeo Asobre V,L16=∅, L26=∅. Se llama distancia de L1aL2al número real d(L1, L2) = ´ınf {d(P1, P2)|P1∈L1, P2∈L2}. 73 3.4. Movimientos en el plano afín euclídeo. Clasificación Sea Aun plano afín euclídeo orientado sobre V. Describiremos y clasificaremos los movimientos en un plano afín euclídeo orientado utilizando el estudio de las transformaciones ortogonales y la clasificación de transformaciones ortogonales dada en un plano vectorial euclídeo. 3.4.1.Definición. Se llama giro de centro el punto Cyángulo ϕa la aplicación GC,ϕ :A→Adada por GC,ϕ(P) = C+Gϕ(−−→ CP), donde Gϕ∈O+(V)es el giro de ángulo ϕ. Si ϕ=π, se dice que GC,π es una simetría central de centro C. Por 3.3.3 (4),GC,ϕ es un movimiento. 3.4.2.Proposición. El único punto fijo del giro de centro Cy ángulo ϕ, si ϕ6= 0, es C. Demostración. Se tiene GC,ϕ(P) = P⇐⇒ C+Gϕ(−−→ CP) = P⇐⇒ Gϕ(−−→ CP) = −−→ CP ⇐⇒ −−→ CP = 0 ⇐⇒ P=C. 3.4.3.Definición. Se llama simetría respecto a la recta r=A+huia la aplicación Sr:A→A, dada por Sr(P) = A+Shui(−→ AP), donde Shuies la simetría respecto a hui. Por 3.3.3 (4),Sres un movimiento. 3.4.4.Observación. Si A0∈r, entonces A+Shui(−→ AP) = A0+Shui(−−→ A0P). En efecto, dado que −−→ AA0∈ hui, se tiene Shui(−−→ AA0) = −−→ AA0y por tanto Shui(−→ AP) = Shui(−−−−−−−→ AA0+A0P) = −−→ AA0+Shui(−−→ A0P). 80 3.4.5.Proposición. Los únicos puntos fijos de la simetría Srson los puntos de r. Demostración. Se tiene Sr(P) = P⇐⇒ A+Shui(−→ AP) = P⇐⇒ Shui(−→ AP) = −→ AP ⇐⇒ −→ AP ∈ hui ⇐⇒ P∈r. 3.4.6.Definición. Se llama simetría deslizante respecto a la recta r=A+huiyvector de traslación v∈ hui,v6= 0 a la aplicación Sr,v =tv◦Sr, donde Sres la simetría respecto a la recta r. Por 3.3.3 (3),Sres un movimiento. 3.4.7.Proposición. La simetría deslizante Sr,v no tiene puntos fijos. Demostración. Razonemos por reducción al absurdo: Si Pes un punto fijo de Sr,v, entonces Sr,v(P) = P⇐⇒ A+Shui(−→ AP) + v=P⇐⇒ Shui(−→ AP) + v=−→ AP. Dado que además, Shui(−→ AP) = −→ AP +v, se tiene v= 0, lo cual contradice la definición de simetría deslizante. 3.4.8.Ejercicio. Prueba que la descomposición de una simetría deslizante como composición de la simetría respecto a una recta y una traslación por un vector de la dirección de la recta es única. 3.4.9.Teorema. (Teorema de clasificación de los movimientos del plano afín euclídeo) Sea Aun plano afín euclídeo orientado sobre V,M:A→Aun movimiento y Aun punto cualquiera de A. Pongamos V1= Nuc (−→ M−idV). Se tiene (1) Si −→ M=idV, entonces M=tves una traslación con v=−−−−−→ AM(A). (2) Si −→ M∈O+(V)y−→ M6=idV, entonces −→ Mes un giro de ángulo ϕ6= 0 yMes el giro de centro C=A−vy ángulo ϕ, siendo vel vector que verifica −→ M(v)−v=−−−−−→ AM(A). (3) Si −→ M∈O−(V)y−−−−−→ AM(A)∈(V1)⊥, entonces Mes la simetría respecto a la recta r=A+ 1 2−−−−−→ AM(A) + V1. 81 (4) Si −→ M∈O−(V)y−−−−−→ AM(A)6∈ (V1)⊥, entonces Mes la simetría deslizante respecto a la recta r=A+1 2v2+V1, donde −−−−−→ AM(A) = v1+v2, con v1∈V1,v2∈(V1)⊥, y el vector de traslación de Mes v1. Demostración. (1) Se sigue del lema 1.3.10. (2) Por la proposición 2.3.13, −→ M=Gϕ. Dado que Nuc(−→ M−idV) = 0, se tiene que −→ M−idVes un isomorfismo y por tanto existe un único v∈Vtal que (−→ M−idV)(v) = −−−−−→ AM(A). Pongamos C=A−v. Se tiene M(P)=M(A)+−→ M(−→ AP)=A+−−−−−→ AM(A)+−→ M(−→ AP)=A−v+−→ M(v)+−→ M(−→ AP)=C+−→ M(−−→ CP)=GC,ϕ(P). (3) Del teorema 2.4.1 se sigue que −→ M=SV1(simetría respecto a V1). Poniendo r=A+1 2−−−−−→ AM(A)+V1, M(P) = M(A) + −→ M(−→ AP) = A+−−−−−→ AM(A) + −→ M(−→ AP) =A+1 2−−−−−→ AM(A) + −→ M(−−−−−−−−−−−−→ A+1 2−−−−−→ AM(A), A) + −→ M(−→ AP) = Sr(P). (4) Dado que −→ M=SV1=idV1⊥(−id(V1)⊥), si −−−−−→ AM(A) = v1+v2, con v1∈V1yv2∈(V1)⊥, y ponemos r=A+1 2v2+V1, se tiene M(P) = M(A) + −→ M(−→ AP) = A+−−−−−→ AM(A) + −→ M(−→ AP) =A+1 2v2+−→ M(−−−−−−−−→ A+1 2v2, A) + −→ M(−→ AP) + v1 =Sr(P) + v1=Sr,v1(P). El vector v1es la proyección ortogonal del vector −−−−−→ AM(A)sobre V1. Obsérvese que −−−−−→ AM(A)∈(V1)⊥si, y solo si, −−−−−→ PM(P)∈(V1)⊥, para todo punto Pde A. En efecto, −−−−−→ PM(P) = −→ PA +−−−−−→ AM(A) + −−−−−−−−−→ M(A), M(P) = −→ PA +−−−−−→ AM(A) + −→ M(−→ AP) = (−→ M−idV)(−→ AP) + −−−−−→ AM(A). y(−→ M−idV)(−→ AP)∈(V1)⊥, por el lema 2.2.9. 3.4.10.Corolario. Sea Aun punto cualquiera de A,M:A→Aun movimiento y V1= Nuc (−→ M−idV). Se tiene (1) Si −→ M∈ O+(V),−→ M6=idV,Mtiene un único punto fijo y Mes un giro de centro ese punto y ángulo el ángulo del giro −→ M. (2) Si −→ M∈ O−(V)y−−−−−→ AM(A)∈(V1)⊥, entonces el conjunto de puntos fijos de Mes una recta y M es una simetría respecto a esa recta. (3) Si −→ M∈ O−(V)y−−−−−→ AM(A)6∈ (V1)⊥, entonces Mno tiene puntos fijos y Mes una simetría deslizante. El vector de traslación vde Mes la proyección ortogonal del vector −−−−−→ AM(A)sobre el subespacio V1de vectores fijos de fy la recta de simetría de Mes la de la simetría t−v◦M. 82 3.4.11.Corolario. Sea M:A→Aun movimiento. Se tiene (1) Si Mtiene un único punto fijo, entonces Mes un giro de centro ese punto y el ángulo de Mes el ángulo del giro −→ M. (2) Si Mtiene solamente una recta de puntos fijos, entonces Mes una simetría respecto a esa recta. (3) Si Mno tiene puntos fijos y no es una traslación, entonces Mes una simetría deslizante. 3.5. Movimientos en el espacio afín euclídeo tridimensional Sea Aun espacio afín euclídeo orientado de dimensión 3sobre V. Vamos a describir y clasificar los movimientos de A; para esto utilizaremos el teorema 2.5.5 de clasificación de las transformaciones ortogonales. 3.5.1.Definición. Se llama giro de eje orientado la recta r=A+hwiyángulo ϕ∈[0,2π), a la aplicación Gr,ϕ :A→Adada por Gr,ϕ(P) = A+Ghwi,ϕ(−−→ AP), donde Ghwi,ϕ ∈O+(V)es un giro de eje orientado hwiy ángulo ϕ. Por 3.3.3 (4),Gr,ϕ es un movimiento. 3.5.2.Observación. Si A0∈r, entonces A+Ghwi,ϕ(−→ AP) = A0+Ghwi,ϕ(−−→ A0P). En efecto, dado que −−→ AA0∈ hwi, se tiene que Ghwi,ϕ(−−→ AA0) = −−→ AA0. 3.5.3.Proposición. Los únicos puntos fijos del giro Gr,ϕ, si ϕ6= 0, son los puntos del eje r=A+hwi. Demostración. Se tiene Gr,ϕ(P) = P⇐⇒ A+Ghwi,ϕ(−→ AP) = P⇐⇒ Ghwi,ϕ(−→ AP) = −→ AP ⇐⇒ −→ AP ∈ hwi ⇐⇒ P∈r. 83 3.5.4.Definición. Sea r=A+hwiuna recta y sea v∈ hwi,v6= 0. Se llama movimiento helicoidal de eje la recta r,ángulo ϕ6= 0 yvector de traslación v, a la aplicación Hr,v,ϕ =tv◦Gr,ϕ donde Gr,ϕ es el giro de eje ry ángulo ϕ. Por 3.3.3 (3),Hr,v,ϕ es un movimiento. 3.5.5.Proposición. Un movimiento helicoidal Hr,v,ϕ no tiene puntos fijos. Demostración. Sea Hr,v,ϕ =tv◦Gr,ϕ. Por el lema 2.2.9, Im(Ghwi,ϕ −idV) = Nuc(Ghwi,ϕ −idV)⊥=hwi⊥. Razonemos por reducción al absurdo: Si Pes un punto fijo de Hr,v,ϕ, entonces Hr,v,α(P) = P⇐⇒ A+Ghwi,ϕ(−→ AP)+v=P⇐⇒ Ghwi,ϕ(−→ AP)+v=−→ AP ⇐⇒ (Ghwi,ϕ −idV)(−→ AP) = −v. Luego v∈ hwiTIm(Ghwi,ϕ −idV) = hwiThwi⊥= 0. 3.5.6.Ejercicio. Prueba que la descomposición de un movimiento helicoidal como composición de un giro y una traslación de vector traslación en la dirección del eje de giro es única. 3.5.7.Definición. Se llama simetría central de centro Ca la aplicación SC:A→Adada por SC(P) = C−−−→ CP, para todo P∈A. Por 3.3.3 (4),SCes un movimiento. 84 3.5.8.Proposición. El único punto fijo de una simetría central de centro Ces el punto C. Demostración. Si Pes un punto fijo de SC, entonces C−−−→ CP =P⇐⇒ −−−→ CP =−−→ CP ⇐⇒ C=P. 3.5.9.Definición. Se llama simetría respecto al plano Π = A+Ua la aplicación SΠ:A→Adada por SΠ(P) = A+SU(−→ AP), donde SU∈O−(V)es la simetría respecto al subespacio U. Por 3.3.3 (4),SΠes un movimiento. 3.5.10.Observación. Si A0∈Π, entonces A+SU(−→ AP) = A0+SU(−−→ A0P). En efecto, dado que −−→ AA0∈U, se tiene que SU(−−→ AA0) = −−→ AA0. 3.5.11.Proposición. Los únicos puntos fijos de la simetría SΠson los puntos del plano Π. Demostración. Si Π = A+U, entonces SΠ(P) = P⇐⇒ A+SU(−→ AP) = P⇐⇒ SU(−→ AP) = −→ AP ⇐⇒ −→ AP ∈U⇐⇒ P∈Π. 3.5.12.Definición. Se llama simetría deslizante respecto al plano Π = A+Uyvector de traslación v∈U,v6= 0, a la composición SΠ,v =tv◦SΠ, donde SΠes la simetría respecto al plano Π. 85 Por 3.3.3 (3),Sr,v es un movimiento. 3.5.13.Proposición. La simetría deslizante SΠ,v no tiene puntos fijos. Demostración. Sea Π = A+U. Razonemos por reducción al absurdo: Si Pes un punto fijo de SΠ,v, entonces SΠ,v(P) = P⇐⇒ A+SU(−→ AP) + v=P⇐⇒ −→ AP =SU(−→ AP) + v. Dado que además SU(−→ AP) = −→ AP +v, se tiene que v= 0. 3.5.14.Ejercicio. Prueba que la descomposición de una simetría deslizante como composición de la simetría respecto a un plano y una traslación por un vector de la dirección del plano es única. 3.5.15.Ejemplo. El giro de eje orientado r= (1,2,−1) + h(1,1,−1)iy ángulo 4π/3es el movimiento dado por Gr,4π/3(x, y, z) = (1,2,−1) + Gh(1,1,−1)i,4π/3(x−1, y −2, z + 1), donde Gh(1,1,−1)i,4π/3es el giro de eje orientado h(1,1,−1)iy ángulo 4π/3, es decir, Gh(1,1,−1)i,4π/3=G4π/3⊥idh(1,1,−1)i, G4π/3∈ O+(h(1,1,−1)i⊥). Una base ortonormal de h(1,1,−1)i⊥es B1= ((0,√2/2,√2/2),(√6/3,−√6/6,√6/6)). Pongamos B= ((0,√2/2,√2/2),(√6/3,−√6/6,√6/6),(√3/3,√3/3,−√3/3)). La base Bes una base de orientación positiva, puesto que det(1BC)>0. Por tanto, B1es una base ortonormal de h(1,1,−1)i⊥de orientación positiva. Así, (G4π/3)B1=cos 4π/3−sen 4π/3 sen 4π/3 cos 4π/3=−1/2√3/2 −√3/2−1/2, luego (Gh(1,1,−1)i,4π/3)B= −1/2√3/2 0 −√3/2−1/2 0 0 0 1  . Se tiene (Gh(1,1,−1)i,4π/3)C=idBC (Gh(1,1,−1)i,4π/3)BidCB =  0√6/3√3/3 √2/2−√6/6√3/3 √2/2√6/6−√3/3  −1/2√3/2 0 −√3/2−1/2 0 0 0 1    0√2/2√2/2 √6/3−√6/6√6/6 √3/3√3/3−√3/3  =  0 0 −1 100 0−1 0  , 86 donde idCB = (idBC)tpor ser la base Bortogonal. Por tanto, Gh(1,1,−1)i,4π/3(x, y, z)=(−z, x, −y), luego Gr,4π/3(x, y, z) =(1,2,−1) + Gh(1,1,−1),4π/3(x−1, y −2, z + 1) =(1,2,−1) + (−z−1, x −1,−y+ 2) = (−z, 1 + x, 1−y). Las ecuaciones del giro de eje r= (1,2,−1) + h(1,1,−1)iy ángulo 4π/3en la referencia canónica son x0=−z, y0= 1 + x, z0= 1 −y. 3.5.16.Ejemplo. La simetría deslizante respecto al plano de Πcuya ecuación en la referencia canónica es x+y+ 3 = 0, y con vector de traslación v= (−2,2,3), es el movimiento SΠ,v =tv◦SΠ, donde SΠes la simetría respecto al plano Π. Dado que Π=(−3,0,0) + h(1,−1,0),(0,0,1)i, SΠ(x, y, z)=(−3,0,0) + SU(x+ 3, y, z), donde U=h(1,−1,0),(0,0,1)iySU=idU⊥(−idU⊥). Se tiene que U⊥=h(1,1,0)i. La transformación ortogonal SU:R3→R3es la aplicación lineal dada por: SU(1,−1,0) = (1,−1,0), SU(0,0,1) = (0,0,1), SU(1,1,= (−1,−1,0). Sea B= ((1,−1,0),(0,0,1),(1,1,0)). Se tiene (SU)C=(SU)BC idCB =  1 0 −1 −1 0 −1 0 1 0    101 −101 010  −1 =  0−1 0 −1 0 0 0 0 1  , luego SU(x, y, z) = (−y, −x, z). Por tanto, SΠ(x, y, z) = (−3,0,0) + SU(x+ 3 , y , z)=(−3,0,0) + (−y , −3−x, z)=(−3−y , −3−x , z). Así, SΠ,v(x, y, z)=SΠ(x, y, z)+(−2,2,3)=(−3−y , −3−x , z)+(−2,2,3)=(−5−y , −1−x, 3 + z). Las ecuaciones de SΠ,v en la referencia canónica son x0=−5−y, y0=−1−x, z0= 3 + z. 3.5.17.Teorema. (Teorema de clasificación de los movimientos del espacio afín euclídeo tridimensional) Sea Aun espacio afín euclídeo orientado de dimensión 3,Mun movimiento de AyAun punto cualquiera de A. Sean V1= Nuc (−→ M−idV)yV−1= Nuc (−→ M+idV). Se tiene: (1) Si −→ M=idV, entonces M=tves una traslación con v=−−−−−−→ A, M(A). 87 (2) Si −→ M∈O+(V)y−→ M6=idV, entonces −→ Mes un giro de eje V1y ángulo ϕ,ϕ6= 0, que depende de la orientación de V1. (a)Si el vector −−−−−−→ A, M(A)∈(V1)⊥, entonces Mes un giro de eje orientado r=A−v+V1y ángulo ϕ, siendo vun vector que verifica −→ M(v)−v=−−−−−−→ A, M(A). (b)Si el vector −−−−−−→ A, M(A)6∈ (V1)⊥y−−−−−→ AM(A) = v1+v2, con v1∈V1yv2∈(V1)⊥, se tiene que Mes un movimiento helicoidal de eje r=A−v+V1, ángulo ϕy vector de traslación v1, siendo vun vector que verifica −→ M(v)−v=v2. (3) Si −→ M∈O−(V)es la simetría respecto al subespacio V1de dimensión 2, se tienen dos casos: (a)Si el vector −−−−−−→ A, M(A)∈(V1)⊥, entonces Mes la simetría respecto al plano Π = A+ 1 2−−−−−−→ A, M(A) + V1. (b)Si el vector −−−−−−→ A, M(A)6∈ (V1)⊥, poniendo −−−−−−→ A, M(A) = v1+v2, con v1∈V1yv2∈(V1)⊥, se tiene que Mes la simetría deslizante respecto al plano Π = A+1 2v2+V1y vector de traslación v1. (4) Si −→ M∈O−(V)es la composición de un giro de eje V−1y la simetría respecto al plano (V−1)⊥ (i.e., los autovalores de −→ Mson −1ya±bi 6=±1), entonces Mtiene un único punto fijo CyM es la composición del giro de eje orientado C+V−1y ángulo ϕque depende de la orientación de V−1y la simetría respecto al plano C+ (V−1)⊥. (5) Si −→ M=−idV, entonces Mes la simetría central de centro C=A+1 2−−−−−−→ A, M(A). Demostración. (1) Se sigue del lema 1.3.10. (2) Sea −→ M∈O+(V)el giro de eje orientado V1y ángulo ϕ. (2) (a) Dado que −−−−−−→ A, M(A)∈(V1)⊥=Im(−→ M−idV), existe v∈Vtal que (−→ M−idV)(v) = −−−−−→ AM(A). Consideremos la recta r=A−v+V1. Para todo P∈A, M(P) = M(A) + −→ M(−→ AP) = A+−−−−−−→ A, M(A) + −→ M(−→ AP) = A−v+−→ M(−−−−−→ A−v, P) = Gr,ϕ(P). (2)(b) Si −−−−−−→ A, M(A) = v1+v2con v1∈V1yv2∈(V1)⊥, como (V1)⊥= Im (−→ M−idV), existe v∈V tal que −→ M(v)−v=v2. Si r=A−v+V1yP∈A, M(P) = M(A) + −→ M(−→ AP) = A+−−−−−−→ A, M(A) + −→ M(−→ AP) = A+v1+v2+−→ M(−→ AP) =A−v+−→ M(v) + −→ M(−→ AP) + v1=A−v+−→ M(−−−−−→ A−v P) + v1 =Gr,ϕ(P) + v1=Hr,ϕ,v1(P). (3) Sea −→ M∈O−(V)la simetría respecto al subespacio V1de dimensión 2. 88 (3) (a) Si −−−−−−→ A, M(A)∈(V1)⊥,Π = A+1 2−−−−−−→ A, M(A) + V1yP∈A, M(P) = M(A) + −→ M(−→ AP) = A+−−−−−−→ A, M(A) + −→ M(−→ AP) =A+1 2−−−−−−→ A, M(A)−−→ M(1 2−−−−−−→ A, M(A)) + −→ M(−→ AP) =A+1 2−−−−−−→ A, M(A) + −→ M(−−−−−−−−−−−−−→ A+1 2−−−−−−→ A, M(A), P) = SΠ(P). (3) (b) Si −−−−−−→ A, M(A)6∈ (V1)⊥,−−−−−−→ A, M(A) = v1+v2, con v1∈V1,v2∈(V1)⊥,Π = A+1 2v2+V1yP∈A, M(P) = M(A) + −→ M(−→ AP) = A+−−−−−−→ A, M(A) + −→ M(−→ AP) = A+v1+v2+−→ M(−→ AP) =A+1 2v2−−→ M(1 2v2) + −→ M(−→ AP) + v1=A+1 2v2+−→ M(−−−−−−−−→ A+1 2v2, P) + v1 =SΠ,v1(P). (4) Sea −→ M∈O−(V)tal que −→ M=h◦g, donde ges el giro de eje orientado V−1y ángulo ϕyh es la simetría respecto al subespacio (V−1)⊥. Dado que Nuc(−→ M−idV) = 0, la aplicación −→ M−idVes un isomorfismo y por tanto existe un único vector vtal que (−→ M−idV)(v) = −−−−−→ AM(A). Consideremos la recta r=A−v+V−1y el plano Π = A−v+ (V−1)⊥. Para todo P∈A, M(P) = M(A) + −→ M(−→ AP) = A+−−−−−−→ A, M(A) + −→ M(−→ AP) = A−v+−→ M(v) + −→ M(−→ AP) =A−v+−→ M(−−−−−→ A−v, P) = A−v+h(g(−−−−−→ A−v, P)) = A−v+h(−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ A−v, A −v+g(−−−−−→ A−v, P)) =SΠ(A−v+g(−−−−−→ A−v, P)=(SΠ◦Gr,ϕ)(P). Obsérvese que A−ves el único punto fijo M. En efecto, M(P) = M(A) + −→ M(−→ AP) = A+−−−−−−→ A, M(A) + −→ M(−→ AP) = A−v+−→ M(v) + −→ M(−→ AP) = P si, y solo si, (−→ M−idV)(v+−→ AP)=0. Así, −→ AP =−vy por tanto P=A−v. (5) Si −→ M=−idVyC=A+1 2−−−−−−→ A, M(A), entonces para todo P∈Ase tiene M(P) = M(A)−−→ AP =A+−−−−−−→ A, M(A)−−→ AP =C−−−−−−−−−−−−−−→ A+1 2−−−−−−→ A, M(A), A −−→ AP =C−−−→ CP =SC(P). En este caso, obsérvese que si B= (v1, v2, v3)es una base ortonormal de V, entonces la recta r= C+hv1iy el plano Π = C+hv2, v3ison perpendiculares y SC=Gr,π ◦SΠ. 89 4.1.3.Definición. Sean F1yF2puntos distintos del plano Ay sea a > 0un número real tal que 2a>d(F1, F2). El lugar geométrico Cde los puntos del plano Acuya suma de distancias a los puntos F1yF2es 2ase dice que es una elipse, C={P∈A|d(P, F1) + d(P, F2)=2a}. Los puntos F1yF2se llaman los focos de la elipse. 4.1.4.Proposición. Existe una referencia rectangular de Adonde la elipse admite una ecuación de la forma x2 a2+y2 b2= 1, a > 0, b > 0, a > b. (?) La ecuación (?)se llama ecuación canónica de la elipse. Demostración. ([12, Cap. 8]) Sea Cla elipse formada por los puntos de Acuya suma de distancias a los puntos F1yF2es 2a > d(F1, F2)=2c. Sea Oel punto medio de F1yF2. Pongamos v1=−−→ OF1 k−−→ OF1k, v2∈ hv1i⊥,kv2k= 1. Consideremos la referencia rectangular R={E1=O+v1, E2=O+v2;O}. Las coordenadas de F1y F2en Rson (c, 0) y(−c, 0), puesto que −−→ OF1=k−−→ OF1kv1=k1 2−−−→ F1F2kv1=1 2d(F1, F2)v1=c v1, −−→ OF2=−−−→ OF1=−c v1. Si Pes el punto de coordenadas (x, y)en R, entonces P∈C⇐⇒ d(P, F1) + d(P, F2)=2a⇐⇒ p(x−c)2+y2+p(x+c)2+y2= 2a ⇐⇒ p(x−c)2+y2= 2a−p(x+c)2+y2. Elevando al cuadrado los dos mienbros de la última igualdad, (x−c)2+y2= 4a2+ (x+c)2+y2−4ap(x+c)2+y2⇐⇒ a2+cx =ap(x+c)2+y2, y volviendo a elevar al cuadrado, a2(a2−c2) = x2(a2−c2) + a2y2. 96 Dado que a > c,a2−c2>0, y poniendo b=√a2−c2se tiene que b < a. Así, si Pes un punto de C, entonces sus coordenadas (x, y)en Rverifican la ecuación x2 a2+y2 b2= 1. Recíprocamente, si Pes un punto cuyas coordenadas (x, y)en Rverifican la ecuación x2 a2+y2 b2= 1, entonces P∈C, es decir, d(P, F1) + d(P, F2)=2a. En efecto, d(P, F1) = p(x−c)2+y2=r(x−c)2+a2−c2 a2(a2−x2)=r(a2−cx)2 a2= (a2−cx) a=a−c ax, y, análogamente, d(P, F2) = a+c ax; dado que x2=a2−a2 a2−c2y2≤a2, es −a≤x≤a, luego −c≤c ax≤c, −c≤ −c ax≤c, y por tanto, 0< a −c≤a+c ax, 0< a −c≤a−c ax, de donde se sigue que d(P, F1) = a−c ax, d(P, F2) = a+c ax, y como consecuencia d(P, F1) + d(P, F2)=2a. Las rectas O◦E1yO◦E2se llaman ejes principales de la elipse, por ser sus ejes de simetría. La recta O◦E1=F1◦F2se llama eje focal o mayor y la recta O◦E2se llama eje menor o secundario. Los números aybse llaman longitudes de los semiejes yces la semidistancia focal. Los puntos A,A0, ByB0, que son las puntos de corte de la elipse con los ejes principales, se llaman vértices de la elipse. El punto Ose llama centro. 97 4.1.5.Definición. Sean F1yF2puntos distintos de plano Ay sea a > 0un número real tal que 2a<d(F1, F2). El lugar geométrico Cde los puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de distancias a los puntos F1yF2es 2ase dice que es una hipérbola. C={P∈A| |d(P, F1)−d(P, F2)=2a|}. Los puntos F1yF2se llaman los focos de la hipérbola 4.1.6.Proposición. Existe una referencia rectangular de Adonde la hipérbola admite una ecuación de la forma: x2 a2−y2 b2= 1, a > 0, b > 0.(?) Demostración. Supongamos que Ces la hipérbola formada por los puntos de Atales que el valor absoluto de la diferencia de distancias a los puntos F1yF2es 2a<d(F1, F2)=2c. Sea Oel punto medio de F1yF2. Tomemos v1=−−→ OF1 k−−→ OF1k, v2∈ hv1i⊥,kv2k= 1. Consideremos la referencia rectangular R={E1=O+v1, E2=O+v2;O}. Las coordenadas de F1yF2 en Rson (c, 0) y(−c, 0), respectivamente. Si Pes el punto de coordenadas (x, y)en R, entonces P∈C⇐⇒ |d(P, F1)−d(P, F2)|= 2a⇐⇒ p(x−c)2+y2−p(x+c)2+y2=±2a ⇐⇒ p(x−c)2+y2=±2a+p(x+c)2+y2 =⇒(x−c)2+y2= 4a2+ (x+c)2+y2±4ap(x+c)2+y2 ⇐⇒ a2+cx =±ap(x+c)2+y2 =⇒a2(c2−a2) = x2(c2−a2)−a2y2. 98 Dado que c>a,c2−a2>0, y poniendo b=√c2−a2se tiene que b2x2−a2y2=a2b2. Así, si Pes un punto de C, sus coordenadas (x, y)en Rverifican la ecuación x2 a2−y2 b2= 1. Recíprocamente, sea Pun punto cuyas coordenadas (x, y)en Rverifican la ecuación x2 a2−y2 b2= 1. a > 0, b > 0, y veamos que P∈C, es decir que |d(P, F1)−d(P, F2)|= 2a. Se tiene d(P, F1) = p(x−c)2+y2=r(x−c)2+c2−a2 a2(x2−a2) = r(a2−cx)2 a2= a2−cx a=a−c ax. Análogamente, d(P, F2) = a+c ax, y puesto que x2 a2−y2 b2= 1, es x≥aox≤ −a. Si x≥a, d(P, F1) = a−c ax=c ax−a, d(P, F2) = a+c ax=c ax+a, y así, d(P, F1)−d(F1, F2) = −2a. Si x≤ −a, d(P, F1) = a−c ax=a−c ax, d(P, F2) = a+c ax=−a−c ax, luego d(P, F1)−d(P, F2)=2a. La ecuación (?)se llama ecuación canónica de la hipérbola. Las rectas O◦E1yO◦E2se llaman ejes principales de la hipérbola, por ser sus ejes de simetría; el eje O◦E1=F1◦F2se llama eje focal y el eje O◦E2eje secundario. La hipérbola tiene dos ramas: una formada por los puntos de la hipérbola de coordenadas (x, y)con x≥ay otra formada por los puntos de la hipérbola de coordenadas (x, y) con x≤ −a. 99 Los vértices de la hipérbola son los puntos de corte AyA0del eje focal con la hipérbola y sus coordenadas en Rson (a, 0) y(−a, 0), respectivamente. El eje secundario no corta a la hipérbola. La hipérbola tiene dos asíntotas, que son las rectas de ecuaciones L1≡x a−y b= 0, L2≡x a+y b= 0. Las rectas L1yL2verifican que al alejarse un punto Pde la hipérbola del origen O, la distancia entre Py alguna de estas dos rectas tiende a cero. 4.1.7.Definición. Sea Fun punto y Luna recta de Atal que F6∈ L. El lugar geométrico Cde los puntos del plano cuya distancia al punto Fcoincide con la distancia a la recta Lse dice que es una parábola La distancia p=d(F, L)se llama parámetro de la parábola, el punto Fse llama foco y la recta Ldirectriz. C={P∈A|d(P, F ) = d(P, L)}. 4.1.8.Proposición. Existe una referencia rectangular de Adonde la ecuación de la parábola es C≡y2= 2 p x, p > 0.(?) Demostración. Supongamos que Ces la parábola formada por los puntos de Acuya distancia al punto Fes igual a la distancia a la recta Ly sea p=d(F, L ). Sea F0la proyeción ortogonal de Fsobre Ly sea Oel punto medio de FyF0. Pongamos v1=−−→ OF k−−→ OF k, v2∈ hv1i⊥,kv2k= 1. 100 En la referencia rectangular R={E1=O+v1, E2=O+v2;O}, las coordenadas del foco Fson (p 2,0 ), las de F0son (−p 2,0 ), y la ecuación de la directriz L=F0+hv2ies L≡x+p 2= 0. Si Pes el punto de coordenadas (x, y)en R, entonces d(P, F ) = r(x−p 2)2+y2, d(P, L) = x+p 2. Así, P∈C⇐⇒ r(x−p 2)2+y2=x+p 2=⇒(x−p 2)2+y2= (x+p 2)2⇐⇒ y2= 2 p x. Recíprocamene, sea Pun punto cuyas coordenadas (x, y)en Rverifican la ecuación: y2= 2 p x, p > 0, con p > 0. Veamos que P∈C, es decir que d(P, F) = d(P, L). Se tiene d(P, F ) = r(x−p 2)2+y2, d(P, L) = x+p 2, luego d(P, F ) = r(x−p 2)2+y2=r(x−p 2)2+ 2 p x =r(x+p 2)2=x+p 2=d(P, L). La ecuación (?)se llama ecuación canónica de la parábola. El punto Fes el foco, la recta Lla directriz, y el punto Ose llama vértice de la parábola. Las rectas O◦E1yO◦E2se llaman ejes principales de la parábola, la recta O◦E1se llama además eje focal y es su eje de simetría, y pes el parámetro de la parábola. 101 4.2. Cónicas. Sea Kun cuerpo de característica distinta de 2,Vun espacio vectorial de dimensión 2 sobre Ky Aun plano afín sobre V. Si K=R, entonces toda matriz real simétrica Aes congruente a una matriz diagonal Dy se llama signatura de Aal par (p, q)de números enteros ≥0, donde pyqindican el número de elementos positivos y elementos negativos en D, respectivamente; además, por la ley de inercia de Sylvester el par (p, q)no depende de la matriz diagonal congruente a la matriz Aconsiderada. 4.2.1.Definición Una cónica Cen Aes el lugar geométrico de los puntos de Acuyas coordenadas (x, y)respecto a una referencia R={P1, P2;Q}verifican una ecuación polinómica de segundo grado con coeficientes en K, C≡a11x2+a22y2+ 2a12xy + 2a1x+ 2a2y+a0= 0.(?) Denotaremos por AyBlas matrices simétricas: A=a11 a12 a12 a22 ,B=  a0a1a2 a1a11 a12 a2a12 a22  . La ecuación (?)se expresa matricialmente como C≡1x y B  1 x y = 0. Se llaman ecuaciones de la cónica Cen Ra las ecuaciones que se obtienen multiplicando por un escalar no nulo la ecuación (?). La matriz Bo cualquiera de sus proporcionales se dice que es una matriz de la cónica en Ry la matriz Ase llama matriz de términos cuadráticos de la cónica en R. 4.2.2.Ecuación de la cónica en otra referencia afín. ([3, p. 603]) Sea R0={P0 1, P0 2;Q0}otra referencia de A. Sea Pun punto de coordenadas (x, y)en Ry de coordenadas (x0, y0)en R0. Consideremos la ecuación de cambio de coordenadas de R0aR: x y=b c+p11 p12 p21 p22 x0 y0, donde (b, c)son las coordenadas del punto Q0en Ry P=p11 p12 p21 p22 = 1BR0BR es la matriz del cambio de base de BR0aBR. Si ponemos ¯ P=  1 0 0 b p11 p12 c p21 p22  , 102 se tiene   1 x y =¯ P  1 x0 y0 . La matriz ¯ Pse llama matriz del cambio de coordenadas de R0aR. Sustituyendo en la ecuación matricial de C, C≡1x0y0¯ PtB¯ P  1 x0 y0 = 0. Si consideramos las matrices B0=¯ PtB¯ P=  a0 0a0 1a0 2 a0 1a0 11 a0 12 a0 2a0 12 a0 22  ,a0 11 a0 12 a0 12 a0 22 =PtAP =A0, la ecuación de Cen la referencia R0es C≡a0 11x02+a0 22y02+ 2a0 12x0y0+ 2a0 1x0+ 2a0 2y0+a0 0= 0. Dado que A0=PtAP yA 6= 0, es A06= 0. Así, la ecuación de Cen R0es una ecuación polinómica de grado 2. Las matrices AyA0son congruentes y también lo son las matrices ByB0, y por tanto rango(A) = rango(A0),rango(B) = rango (B0). Además, si K=R, signatura(A) = signatura(A0),signatura(B) = signatura(B0). Si Aes un plano afín euclídeo y RyR0son referencias rectangulares, entonces las matrices AyA0son semejantes y por tanto tienen igual traza, determinante y los mismos autovalores; en este caso, dado que det( ¯ P) = det(P)y que Pes una matriz ortogonal, se tiene det(B) = det(B0). 4.2.3.Definición. Sea Cla cónica en Acuya ecuación en una referencia Res C≡a11x2+a22y2+ 2a12xy + 2a1x+ 2a2y+a0= 0, Se dice que la cónica Ces no degenerada si det(B)6= 0 o, equivalentemente, si rango(B) = 3, siendo B la matriz de la cónica en R. Por 4.2.2, el hecho de que la cónica sea no degenerada no depende de la referencia afín considerada. Vamos a clasificar las cónicas por sus ecuaciones y considerar como cónicas distintas aquellas cuyas ecuaciones en una misma referencia no son proporcionales. 4.2.4.Definición. Se dice que las cónicas C1yC2en Ason afínmente equivalentes si existen referencias R1yR2tales que una ecuación de C1en R1es igual a una ecuación de C2en R2. En el conjunto de las cónicas en el plano A, la relación “ser afínmente equivalentes” es una relación de equivalencia. 103 4.2.5.Proposición. Sean C1yC2las cónicas en Acuyas ecuaciones en la referencia Rson C1≡a11x2+a22y2+ 2a12xy + 2a1x+ 2a2y+a0= 0, C2≡a0 11x2+a0 22y2+ 2a0 12xy + 2a0 1x+ 2a0 2y+a0 0= 0. Sean AyBlas matrices asociadas a la cónica C1yA0yB0las matrices asociadas a C2en R. Si C1 es afínmente equivalente a C2, existe ρ∈K−{0}tal que las matrices A0yρAson congruentes y las matrices B0yρBson congruentes; en particular, rango(A) = rango(A0),rango(B) = rango(B0). Si K=Ry signatura(A) = (p, q), entonces signatura(A0) = (p, q)o(q, p)y si signatura(B) = (r, s), entonces signatura(B0) = (r, s)o(s, r). Demostración. Existen referencias afines R1yR2tales que una ecuación de C1en R1coincide con una ecuación de C2en R2. Sean C1≡1x1y1¯ P1tB¯ P1  1 x1 y1 = 0,C2≡1x2y2¯ P2tB0¯ P2  1 x2 y2 = 0 las ecuaciones de C1en R1y de C2en R2, siendo las matrices ¯ P1y¯ P2las matrices del cambio de coordenadas de R1aRy de R2aR, respectivamente. Existe ρ∈K−{0}tal que ¯ P2tB0¯ P2=ρ¯ P1tB¯ P1=¯ P1t(ρB)¯ P1, y por tanto P2tA0P2=ρPt 1AP1=P1t(ρA)P1. 4.2.6.Observación. Utilizando el teorema de Witt ([1, Ch. VI, Proposition 5.1, Theorem 8.10]), se puede probar que si C1yC2son cónicas no degeneradas y existen escalares ρ, µ ∈K−{0}tales que las matrices A0yρAson congruentes y las matrices B0yµBson congruentes, entonces las cónicas C1 yC2son afínmente equivalentes. 4.2.7.Lema. Si Ces una cónica y α:A→Auna afinidad, entonces α(C)es una cónica. Demostración. Sea Cla cónica cuya ecuación en la referencia Res C≡1x y B  1 x y = 0. yAla matriz de términos cuadráticos de Cen R. Sean (x, y)son las coordenadas de un punto Pen Ry(x0, y0)son las coordenadas de α−1(P)en R. Si la ecuación de la afinidad α−1en Res x0 y0=b c+Px y,P=p11 p12 p21 p22  104 entonces una ecuación de α(C)en Res α(C)≡1x y ¯ PtB¯ P  1 x y = 0,¯ P=  1 0 0 b p11 p12 c p21 p22  . Dado que PtAP 6= 0,α(C)es una cónica. 4.2.8.Proposición. Si las cónicas C1yC2en Ason afínmente equivalentes, entonces existe una afinidad α:A→Atal que α(C1) = C2. Demostración. Sean R={P1, P2;Q}yR0={P0 1, P0 2;Q0}referencias de Atales que una ecuación de C1en R0es igual a una ecuación de C2en R. Si unas ecuaciones de C1yC2en Rson C1≡1x y B  1 x y = 0,C2≡1x y B0  1 x y = 0, entonces ¯ PtB¯ P=λB0, para algún λ∈K−{0}, donde ¯ P=  1 0 0 b p11 p12 c p21 p22   es la matriz de cambio de coordenadas de R0aR. Consideremos la afinidad α:A→Atal que α(P0 1) = P1,α(P0 2) = P2yα(Q0) = Q. Dado que la ecuación matricial de α−1en Res x0 y0=b c+p11 p12 p21 p22 x y, donde (x, y)son las coordenadas de un punto Pen Ry(x0, y0)son las coordenadas de α−1(P)en R, se tiene que α(C1) = C2. 4.2.9.Observación. Si C1yC2son dos cónicas reales no vacías o dos cónicas complejas y existe una afinidad α:A→Atal que α(C1) = C2, entonces las cónicas C1yC2son afínmente equivalentes. En efecto, si α:A→Aes una afinidad tal que α(C1) = C2y la ecuación matricial de la afinidad α−1en la referencia Res x0 y0=b c+p11 p12 p21 p22 x y, entonces la ecuación de cambio de coordenadas de la referencia α−1(R) = {α−1(P1), α−1(P2); α−1(Q)} a la referencia Res ¯ P  1 x0 y0 =  1 x y ,¯ P=  1 0 0 0p11 p12 0p21 p22  , donde (x, y)son las coordenadas de un punto Pen Ry(x0, y0)son las coordenadas de Pen α−1(R). Luego, una ecuación de C1en α−1(R)es C1≡1x0y0¯ PtB¯ P  1 x0 y0 = 0. 105 si O00 es el punto de coordenadas (−k/(2b1),−b2/λ2)en la referencia R0, entonces una ecuación reducida de Cen la referencia rectangular R00 ={O00 +v0 1, O00 +v0 2;O00}es C≡λ2y002+ 2b1x00 = 0, o también C≡y002=−2b1 λ2 x00, que es la ecuación canónica de la parábola si b1/λ2<0. El parámetro pde Cestá dado por p=b1 λ2=s−det(B) (traza(A))3. Los rectas de ecuaciones x00 = 0 ey00 = 0 son los ejes principales de la parábola. Si b1/λ2>0, haciendo el cambio de coordenadas x1=−x00,y1=y00, se obtiene la ecuación canónica de la parábola C≡y2 1=2b1 λ2 x1, que es la ecuación de Cen la referencia R1={O00 −v0 1, O00 +v0 2;O00}. (b)Si b1= 0 o, equivalentemente, det(A)=0ydet(B)=0, entonces C≡λ2(y0+b2 λ2 )2+k= 0. Con el cambio de coordenadas x00 =x0, y00 =y0+b2 λ2 , si O00 es el punto de coordenadas (0,−b2/λ2)en la referencia R0, entonces una ecuación reducida de Cen la referencia rectangular R00 ={O00 +v0 1, O00 +v0 2;O00}es C≡λ2y002+k= 0. (i) Si k= 0 , el rango de Bes 1. En este caso se dice que Ces la recta doble de ecuación canónica y002= 0 ; el conjunto de puntos de Ces el de la recta de ecuación y00 = 0. 112 (ii) Si k6= 0 ysigno(λ2)6= signo(k)o, equivalentemente, si signatura(B) = (1,1), entonces Cestá formada por dos rectas paralelas. Su ecuación canónica es C≡y002−a2= 0, a2=−k λ2 . (iii) Si k6= 0 ysigno(λ2) = signo(k), es decir, si signatura(B) = (2,0), entonces su ecuación canónica es C≡y002+a2= 0, a2=k λ2 ; y se dice que Cestá formada por dos rectas paralelas imaginarias;Ces el conjunto vacío. 4.3.9.Teorema de clasificación de cónicas en un plano afín euclídeo. Dos cónicas C1yC2son métricamente equivalentes si, y solo si, tienen la misma ecuación canónica. Demostración. Se sigue de la proposición 4.3.3 (véase también su prueba), del teorema 4.3.7 y de 4.3.8. 4.4. Clasificación afín de cónicas reales y complejas Sea Kun cuerpo de característica distinta de 2,Vun espacio vectorial de dimensión 2sobre Ky Aun plano afín sobre V. Sea Cla cónica en Acuya ecuación en una referencia R={P1, P2;Q}es C≡a11x2+a22y2+ 2a12xy + 2a1x+ 2a2y+a0= 0. Dado que toda matriz simétrica es congruente a una matriz diagonal y Aes una matriz simétrica, existe una matriz no singular P=p11 p12 p21 p22 , tal que PtAP =d10 0d2. Si BR= (v1, v2), entonces B0= (v0 1=p11v1+p21v2, v0 2=p12v1+p22v2) 113 es una base de AyP= 1B0BR. Razonando como en el teorema 4.3.7, si denotamos por (x0, y0)las coordenadas de un punto en la referencia R0={O+v0 1, O +v0 2;O}, entonces la ecuación de Cen R0es C≡d1x02+d2y02+ 2b1x0+ 2b2y0+a0= 0, donde (b1b2)=(a1a2)P. En los casos en que K=RoK=Cvamos a clasificar las cónicas en Apor sus ecuaciones. 4.4.1.Teorema de clasificación afín de cónicas reales. ([3, p 117]) Sea Aun plano afín real. Existe una referencia de Arespecto a la cual la ecuación de la cónica es de una de las siguientes formas, que se llama ecuación canónica de la cónica afín: (1) Si det(A)6= 0, (a)C≡x2 1+y2 1= 1, si det(A)>0ysignatura(B) = (2,1) o(1,2); en este caso se dice que C es una elipse. (b)C≡x2 1+y2 1=−1, si det(A)>0ysignatura(B) = (3,0) o(0,3); se dice que Ces una elipse imaginaria;Ces el conjunto vacío. (c)C≡x2 1−y2 1= 1, si det(A)<0ydet(B)6= 0; se dice que Ces una hipérbola. (d)C≡x2 1−y2 1= 0, si det(A)<0ydet(B)=0;Cestá formada por dos rectas que se cortan en un punto. (e)C≡x2 1+y2 1= 0, si det(A)>0ydet(B) = 0; se dice que Ces un par de rectas imaginarias no paralelas que se cortan en un punto de A;Ces un punto. (2) Si det(A)=0, (a)C≡y2 1+x1= 0, si det(B)6= 0; se dice que Ces una parábola. (b)C≡y2 1−1 = 0, si signatura(B) = (1,1);Ces un par de rectas paralelas. (c)C≡y2 1+ 1 = 0, si signatura(B) = (2,0) o(0,2); se dice que Ces un par de rectas paralelas imaginarias;Ces el conjunto vacío. (d)C≡y2 1= 0, si rango(B)=1; se dice que Ces una recta doble. Demostración. Razonaremos como en 4.3.8 pero haciendo cambios de coordenadas afines. (1) Si det(A)6= 0, completando cuadrados se tiene C≡d1(x0+b1 d1 )2+d2(y0+b2 d2 )2+a0−b2 1 d1−b2 2 d2 = 0. Pongamos δ=−a0+b2 1 d1 +b2 2 d2 . 114 (a)Si det(A)>0y signatura(B) = (2,1) o(1,2), haciendo el cambio de coordenadas x1=rd1 δx0+b1 d1, y1=rd2 δy0+b2 d2, una ecuación de Ces C≡x2 1+y2 1= 1. (b)Si det(A)>0y signatura(B) = (3,0) o(0,3), con el cambio de coordenadas x1=r−d1 δx0+b1 d1, y1=r−d2 δy0+b2 d2, una ecuación de Ces C≡x2 1+y2 1=−1. (c)Si det(A)<0ysigno(d1) = signo(δ), con el cambio de coordenadas x1=rd1 δx0+b1 d1, y1=r−d2 δy0+b2 d2, se tiene C≡x2 1−y2 1= 1. (d)Si det(B) = 0 ydet(A)>0o, equivalentemente, δ= 0 ysigno(d1) = signo(d2), con el cambio de coordenadas x1=x0+b1 d1 , y1=rd2 d1y0+b2 d2, una ecuación de Ces C≡x2 1+y2 1= 0. (e)Si det(B)=0o, es decir, δ= 0 ydet(A)<0o, equivalentemente, signo(d1)6= signo(d2), con el cambio de coordenadas x1=x0+b1 d1 , y1=r−d2 d1y0+b2 d2, una ecuación de Ces C≡x2 1−y2 1= 0. (2) Si det(A)=0y suponemos que d1= 0, entonces C≡d2y02+ 2b1x0+ 2b2y0+a0= 0. Completando cuadrados y poniendo k=a0−b2 2 d2 , se tiene C≡d2y0+b2 d22 + 2b1x0+k= 0. Se pueden presentar los siguientes casos: 115 (a)Si det(B)6= 0 o, equivalentemente, si b16= 0, haciendo el cambio de coordenadas x1=2b1 d2 x0+k d2 , y1=y0+b2 d2 , una ecuación de Ces C≡y2 1+x1= 0. (b)Si det(A)=0,det(B) = 0, entonces haciendo el cambio de coordenadas C≡d2y0+b2 d22 +k= 0. (i) Si signatura(B) = (2,0) o(0,2), con el cambio de coordenadas x1=x0, y1=rd2 ky0+b2 d2, se tiene C≡y2 1+ 1 = 0. (ii) Si signatura(B) = (1,1) , con el cambio de coordenadas x1=x0, y1=r−d2 ky0+b2 d2, una ecuación de Ces C≡y2 1−1=0. (iii) Si rango(B)=1, con el cambio de coordenadas x1=x0, y1=y0+b2 d2 , se tiene C≡y2 1= 0. 4.4.2.Teorema. Sean C1yC2cónicas reales, AyBlas matrices asociadas a la cónica C1yA0yB0 las matrices asociadas a la cónica C2, signatura(A)=(p, q)y signatura(B)=(r, s). Se tiene que C1 yC2son afínmente equivalentes si, y solo si, signatura(A0)=(p, q)o(q, p)y signatura(B0)=(r, s)o (s, r). Demostración. Se sigue de la proposición 4.2.5 y de 4.4.1. 4.4.3.Observación. Obsérvese que por la proposición 4.2.5 y el teorema de clasificación de cónicas afines, en un plano afín euclídeo todas las elipses son afínmente equivalentes a la circunferencia de ecuación x2+y2= 1, todas las hipérbolas son afínmente equivalentes a la hipérbola de ecuación x2−y2= 1 y todas las parábolas son afínmente equivalentes a la parábola de ecuación y2=x. 116 4.4.4.Clasificación afín de cónicas complejas. Sea Aun plano afín complejo y Cla cónica en A cuya ecuación en una referencia afín es C≡a11x2+a22y2+ 2a12xy + 2a1x+ 2a2y+a0= 0, y sean Bla matriz de la cónica y Ala matriz de los términos cuadráticos. Existe una referencia de A respecto a la cual la ecuación de la cónica es de una de las siguientes formas, que se llama ecuación canónica de la cónica afín: (1) Si det(A)6= 0, (a)C≡x2 1+y2 1= 1, si det(B)6= 0. (b)C≡x2 1+y2 1= 0, si det(B) = 0, y Cestá formada por dos rectas que se cortan en un punto. (2) Si det(A) = 0, (a)C≡y2 1+x1= 0, si det(B)6= 0. (b)C≡y2 1+ 1 = 0, si rango(B) = 2, y Ces un par de rectas paralelas. (c)C≡y2 1= 0, si rango(B)=1y se dice que Ces una recta doble. Demostración. Se razona como en 4.4.1 pero teniendo en cuenta que todo número complejo es un cuadrado. 4.4.5.Teorema. Sean C1yC2cónicas complejas, AyBlas matrices asociadas a la cónica C1yA0 yB0las matrices asociadas a la cónica C2. Se tiene que C1yC2son afínmente equivalentes si, y solo si, rango(A0) = rango(A)yrango(B0) = rango(B). Demostración. Se sigue de la proposición 4.2.5 y de que si rango(A0) = rango(A0)yrango(B0) = rango(B), entonces por 4.4.4 las cónicas tienen la misma ecuación canónica. 4.5. Centro de una cónica Sea Kun cuerpo de característica distinta de 2,Vun espacio vectorial sobre KyAun plano afín sobre V. 4.5.1.Definición. Sea Cuna cónica. Se dice que un punto PC∈Aes centro ocentro de simetría de la cónica si toda recta que pasa por PCy corta a la cónica en un punto la corta también en su simétrico respecto a PC. 4.5.2.Definición. Se dice que una cónica es central si, y sólo si, tiene un único centro de simetría. 4.5.3.Proposición. Sea Aun plano afín real o complejo, R={P1, P2;Q}una referencia de A,Cla cónica cuya ecuación en Res C≡a11x2+a22y2+ 2a12xy + 2a1x+ 2a2y+a0= 0, y A=a11 a12 a12 a22 . 117 Entonces un punto PCde coordenadas (x0, y0)en Res centro de Csi, y solo si, Ax0 y0=−a1 a2,(1) y la cónica Ces una cónica central, si y solo si, det(A)6= 0. Demostración. Un punto PCes un centro de la cónica Csi para cada P∈C, el punto P0=PC−−−→ PCP pertenece a C. Si la cónica Cno está contenida en una recta y el punto PCes un centro de la cónica, entonces existen puntos P1yP2en Ctales que PC,P1yP2no están alineados. En efecto, existe P1∈Ctal que P16=PCy dado que C6⊂ PC◦P1, existe P2∈Ctal que P26∈ PC◦P1. Así, los puntos PC,P1yP2no están alineados. Si las coordenadas de PCen Rson (x0, y0)y las coordenadas de −−−→ PCPi en BRson (hi, ki), para i= 1,2, entonces las coordenadas de Pien Rson (x0+hi, y0+ki)y las de P0 i=PC−−−−→ PCPison (x0−hi, y0−ki), para i= 1,2. Dado que PCes un centro de la cónica, se tiene a11(x0+hi)2+a22(y0+ti)2+ 2a12(x0+hi)(y0+ki)+2a1(x0+hi)+2a2(y0+ki) + a0= 0, a11(x0−hi)2+a22(y0−ki)2+ 2a12(x0−hi)(y0−ki)+2a1(x0−hi)+2a2(y0−ki) + a0= 0, para i= 1,2. Como consecuencia, (a11x0+a12y0+a1)hi+ (a12x0+a22y0+a2)ki= 0, i = 1,2, equivalentemente h1k1 h2k2a11x0+a12y0+a1 a12x0+a22y0+a2=0 0. Puesto que los vectores −−−→ PCP1y−−−→ PCP2son linealmente independientes, h1k1 h2k26= 0, luego se tiene (1), a11x0+a12y0+a1= 0, a12x0+a22y0+a2= 0. Recíprocamente, si las coordenadas (x0, y0)de un punto de Averifican las ecuaciones (1), entonces ese punto es un centro de C. Si Ces una recta doble, entonces los puntos de Cson los centros de simetría de Cy son los puntos que verifican la ecuación (1). En un plano afín real, si la cónica Ces un par de rectas imaginarias no paralelas que se cortan en un punto, entonces ese punto es el centro de simetría de Cy es el único punto cuyas coordenadas verifican la ecuación (1). 4.5.4.Ejemplos. Si Aes un plano afín real, la elipse, la hipérbola y un par de rectas (paralelas o no) tienen centros de simetría. 4.5.5.Ejemplos. Si Aes un plano afín real, entonces las cónicas centrales son las elipses, la hipérbolas, los pares de rectas que se cortan en un punto y las formadas por un punto. En un plano afín euclídeo las cónicas centrales son las circunferencias, la elipses, las hipérbolas y los pares de rectas que se cortan en un punto y las formadas por un punto. 118 4.5.6.Observación. Si Aes un plano afín real, la parábola no tiene centro, puesto que la matriz B=  a0a1a2 a1a11 a12 a2a12 a22   tiene rango 3, luego la matriz a1a11 a12 a2a12 a22  tiene rango 2. Dado que el rango de la matriz Aes 1, el sistema (1) de la proposición 4.5.3 no tiene solución. 4.5.7.Observación. Si Aes un plano afín euclídeo, la referencia Res rectangular y la cónica Ces central, entonces el centro de simetría de la cónica es el punto de corte de los ejes principales de la cónica. En efecto, si la ecuación reducida de Cen una referencia R1es λ1x2 1+λ2y2 1=δ, el centro de Ces el punto de coordenadas (0,0) en R1. En efecto, si PCtiene coordenadas (x0, y0) en R1, entonces λ10 0λ2x0 y0=0 0⇐⇒ x0= 0, y0= 0. Por tanto si Ces una cónica central, la ecuación (1) da las coordenadas en la referencia Rdel punto de corte de los ejes principales de la cónica. 4.6. Ejemplos de cónicas 4.6.1.Ejemplo. Consideremos la cónica en R2cuya ecuación en la referencia canónica es C≡3x2+ 3y2+ 2xy −4x+ 4y−4=0. Las matrices de la cónica son A=3 1 1 3 ,B= −4−2 2 −2 3 1 2 1 3  . Se tiene det(A)=8>0,det(B) = −64. 119 Dado que det(B)6= 0, la cónica Cno es degenerada, y como det(A)>0,Ces una elipse. Además, Ces una cónica central. Vamos a calcular la ecuación reducida, el centro y los ejes principales de C siguiendo el teorema 4.3.7 y 4.3.8. Por el teorema espectral, la matriz simétrica Aes diagonalizable y existe una matriz de paso ortogonal. Para calcular una matriz de paso Portogonal calculamos el polinomio característico de A, PA(X) = 3−X1 1 3 −X=X2−6X+ 8 = (X−2)(X−4). Los autovalores de Ason λ1= 2 yλ2= 4. Los subespacios propios asociados a los autovalores son V2=Nuc(f−2idR3) = h(1,−1)i, V4=Nuc(f−4idR3) = h(1,1)i, donde fes el endomorfismo de R2cuya matriz asociada en la base canónica es A. La matriz P=√2/2√2/2 −√2/2√2/2 es una matriz ortogonal y verifica PtAP =diag (2 4). La base B= (v1= (√2/2,−√2/2), v2= (√2/2,√2/2)) es una base ortonormal de R2con el producto escalar usual y P=idBC. El centro de la cónica es el punto O00 = (x0, y0)dado por 3 1 1 3 x0 y0=−−2 2, de donde se sigue que O00 = (1,−1). La ecuación reducida de Cen la referencia rectangular R00 = {E00 1=O00 +v1, E00 2=O00 +v2;O00}es C≡2x002+ 4 y002=δ, δ =−det(B) det(A)=−−64 18 = 8, equivalentemente, C≡x002 4+y002 2= 1. Los ejes principales de la elipse son eje O00x00 =O00 ◦E00 1= (1,−1) + h(1,−1)i,eje O00y00 =O00 ◦E00 2= (1,−1) + h(1,1)i. El eje focal o eje mayor de la elipse es el eje O00x00. 120 La ecuación del cambio de coordenadas de la referencia R00 a la referencia canónica es x y=1 −1+√2/2√2/2 −√2/2√2/2x00 y00 . Los vértices AyBde Cson los puntos de coordenadas (2,0) y(0,√2) en R00 y los focos F1yF2son los puntos de coordenadas (√2,0) y(−√2,0) en R00. Por tanto, A= (1 + √2,−1−√2),B= (2,0), F1= (2,−2) yF2= (0,0) = O. 4.6.2.Ejemplo. Consideremos la cónica en R2de ecuación en la referencia canónica C≡12y2−16xy −8x+ 28y+ 15 = 0. Las matrices de la cónica son A=0−8 −8 12 ,B=  15 −4 14 −4 0 −8 14 −8 12  . Se tiene det(A) = −64 <0,det(B) = −256. Dado que det(B)6= 0, la cónica Ces no degenerada. Dado que det(A)<0,Ces una hipérbola. La cónica Ces una cónica central Vamos a calcular la ecuación reducida. el centro y los ejes principales de Csiguiendo el teorema 4.3.7 y 4.3.8. Por el teorema espectral, la matriz simétrica Aes diagonalizable y existe una matriz de paso ortogonal. Para calcular una matriz de paso Portogonal calculamos el polinomio característico de A, PA(X) = −X−8 −8 12 −X=X2−12X−64 = (X+ 4)(X−16). Los autovalores de Ason λ1=−4yλ2= 16. Los subespacios propios asociados a los autovalores son V−4= Nuc(f+ 4 idR2) = h(2,1)i, V16 = Nuc(f−16 idR2) = h(1,−2)i, donde fes el endomorfismo de R2cuya matriz asociada en la base canónica es A. La matriz P=2√5/5√5/5 √5/5−2√5/5 es ortogonal y es una matriz de paso, es decir, PtAP =diag (−4 16 ). La base B= (v1= (2√5/5,√5/5), v2= (√5/5,−2√5/5)) es una base ortonormal de R2con el producto escalar usual y P=idBC. El centro de la cónica es el punto O00 = (x0, y0)cuyas coordenadas verifican la ecuación 0−8 −8 12 x0 y0=−−4 14 , 121 4.7. Cuádricas Sean Kun cuerpo de característica distinta de 2,Vun espacio vectorial sobre Kde dimensión 3 yAun espacio afín sobre V. 4.7.1.Definición. Una cuádrica Sen Aes el lugar geométrico de los puntos de Acuyas coordenadas (x, y, z)respecto a una referencia R={P1, P2, P3;Q}verifican una ecuación polinómica de segundo grado con coeficientes en K, S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+ 2a3z+a0= 0.(?) Denotaremos por AyBlas matrices simétricas: A=  a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33  ,B=    a0a1a2a3 a1a11 a12 a13 a2a12 a22 a23 a3a13 a23 a33    . La ecuación (?)de Sen Rse expresa matricialmente como S≡1x y z B    1 x y z    = 0. Se llaman ecuaciones de la cuádrica Sen Ra las ecuaciones que se obtienen multiplicando por un escalar no nulo la ecuación (?). La matriz Bo cualquiera de sus proporcionales se llama matriz de la cuádrica en Ry la matriz Ase dice que es la matriz de términos cuadráticos de la cuádrica. 4.7.2.Ecuación de la cuádrica en otra referencia afín. ([3, p. 635]) Si R0={P0 1, P0 2, P0 3;Q0} es otra referencia de A,(x, y, z)son las coordenadas de un punto en la referencia Ry(x0, y0, z0)sus coordenadas en R0, se tiene   x y z =  b c d +  p11 p12 p13 p21 p22 p23 p31 p32 p33    x0 y0 z0 , donde (b, c, d)son las coordenadas de Q0en Ry P=  p11 p12 p13 p21 p22 p23 p31 p32 p33  = 1BR0BR, siendo BRyBR0las bases asociadas a las referencias RyR0, respectivamente. La matriz ¯ P=    1 0 0 0 b p11 p12 p13 c p21 p22 p23 d p31 p32 p33,     128 se llama matriz del cambio de coordenadas de R0aR. Se tiene:     1 x y z    =¯ P    1 x0 y0 z0    . Sustituyendo en la ecuación de la cuádrica Sen R, S≡1x0y0z0¯ PtB¯ P    1 x0 y0 z0    = 0. Si A0=PtA P =  a0 11 a0 12 a0 13 a0 12 a0 22 a0 23 a0 13 a0 23 a0 33  ,B0=¯ PtB¯ P=    a0 0a0 1a0 2a0 3 a0 1a0 11 a0 12 a0 13 a0 2a0 12 a0 22 a0 23 a0 3a0 13 a0 23 a0 33    , la ecuación de Sen la referencia R0es S≡a0 11x02+a0 22y02+a0 33z02+ 2a0 12x0y0+ 2a0 13x0z0+ 2a0 23y0z0+ 2a0 1x0+ 2a0 2y0+ 2a0 3z0+a0 0= 0. Dado que A0=PtAP yA 6= 0, es A06= 0. Así, la ecuación de Sen R0es una ecuación polinómica de grado 2; es decir, el hecho de que una curva sea una cónica, no depende de la referencia afín considerada. Las matrices AyA0y las matrices ByB0son matrices congruentes. Además, si K=R, signatura(A) = signatura(A0),signatura(B) = signatura(B0). Si Aes un espacio afín euclídeo y RyR0son referencias rectangulares, entonces las matrices AyA0 son semejantes y det(B) = det(B0). 4.7.3.Definición. Sea Sla cuádrica en Acuya ecuación en una referencia afín es S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+ 2a3z+a0= 0. Se dice que la cuádrica Ses no degenerada si det(B)6= 0, siendo Bla matriz de la cuádrica. Por 4.7.2, el hecho de que la cuádrica sea no degenerada no depende de la referencia afín considerada. Vamos a clasificar las cuádricas por sus ecuaciones y considerar como cuádricas distintas aquellas cuyas ecuaciones en una misma referencia no son proporcionales. 4.7.4.Proposición. Se dice que las cuádricas S1yS2en Ason afínmente equivalentes si existen referencias R1yR2tales que una ecuación de S1en R1coincide con una ecuación de S2en R2. La relación “ser afínmente equivalentes” es una relación de equivalencia en el conjunto de las cuádricas en A. 129 4.7.5.Proposición. Sean S1yS2las cuádricas en Acuyas ecuaciones en la referencia afín Rson S1≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+a3z+a0= 0, S2≡a0 11x2+a0 22y2+a0 33z2+ 2a0 12xy + 2a0 13xz + 2a0 23yz + 2a0 1x+ 2a0 2y+ 2a0 3x+a0 0= 0. Sean AyBlas matrices asociadas a la cuádrica S1yA0yB0las matrices asociadas a S2. Si S1es afínmente equivalente a S2, entonces existe ρ∈Ktal que las matrices A0yρAson congruentes y las matrices B0yρBson congruentes; en particular, rango(A) = rango(A0),rango(B) = rango(B0). Si K=Ry signatura(A) = (p, q), entonces signatura(A0) = (p, q)o(q, p)y si signatura(B) = (r, s), entonces signatura(B0) = (r, s)o(s, r). Demostración. Es análoga a la de la proposición 4.2.5. 4.7.6.Observación. De la misma forma que en el caso de las cónicas se puede probar, utilizando el teorema de Witt ([1, Ch. VI, Proposition 5.1, Theorem 8.10]), que si S1yS2son cuádricas no degeneradas y existen escalares ρ, µ ∈K−{0}tales que las matrices A0yρAson congruentes y las matrices B0yµBson congruentes, entonces las cuádricas S1yS2son afínmente equivalentes. 4.7.7.Lema. Si Ses una cuádrica en Ayα:A→Auna afinidad, entonces α(S)es una cuádrica. Demostración. Se razona como en el lema 4.2.7. 4.7.8.Proposición. Si las cuádricas S1yS2son afínmente equivalentes, entonces existe una afinidad α:A→Atal que α(S1) = S2. Demostración. Se razona como en la proposición 4.2.8. 4.7.9.Observación. Razonando como en 4.2.9 y teniendo en cuenta ([13, p. 126] ), se prueba que si S1 yS2son dos cuádricas reales no vacías o dos cúádricas complejas, y existe una afinidad α:A→Atal que α(S1) = S2, entonces S1yS2son cuádricas afínmente equivalentes. Si S1yS2son dos cuádricas reales formadas por un punto, entonces son afínmente equivalentes y si S1yS2son dos rectas entonces también son afínmente equivalentes (véase el teorema 4.9.1). 4.8. Cuádricas en el espacio afín euclídeo tridimensional. Ecuación reducida de una cuádrica Sea Aun espacio afín euclídeo tridimensional sobre un espacio vectorial real V. 4.8.1.Definición. Se dice que las cuádricas S1yS2en Ason métricamente equivalentes si existen referencias rectangulares R1yR2tales que una ecuación de S1en R1coincide con una ecuación de S2en R2. En el conjunto de las cuádricas en A, la relación “ser métricamente equivalentes” es una relación de equivalencia. 130 4.8.2.Observación. Si dos cuádricas son métricamente equivalentes, entonces son afínmente equivalentes. 4.8.3.Proposición. Sea Sla cuádrica en Ade ecuaciones S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+a3z+a0= 0, S≡a0 11x2+a0 22y2+a0 33z2+ 2a0 12xy + 2a0 13xz + 2a0 23yz + 2a0 1x+ 2a0 2y+ 2a0 3x+a0 0= 0. en las referencias rectangulares RyR0, respectivamente. Sean AyBlas matrices asociadas a la cuádrica Sen RyA0yB0las matricas asociadas a Sen R. Existe ρ∈R−{0}tal que las matrices A0 yρAson semejantes, las matrices B0yρBson congruentes; como consecuencia det(A0) = ρ3det(A), traza(A0) = ρtraza(A)y si los autovalores de Ason λ1,λ2yλ3y los de A0son λ0 1,λ0 2yλ0 3, entonces λ0 1=ρ λ1, λ0 2=ρ λ2, λ0 3=ρ λ3. Además, det(B0) = ρ4det(B). Demostración. Es análoga a la de la proposición 4.3.3. 4.8.4.Definición. ([3, p. 671]) Sea Sla cuádrica en Acuya ecuación en la referencia rectangular Res S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+ 2a3z+a0= 0, y sean AyBlas matrices asociadas a S. Los números det(A),det(B), traza(A)y los autovalores Ase llaman invariantes métricos de la cuádrica. 4.8.5.Proposición. Si las cuádricas S1yS2en Ason métricamente equivalentes, entonces existe un movimiento α:A→Atal que α(S1) = S2. Demostración. Se razona como en la proposición 4.3.5. 4.8.6.Observación. Razonando como en 4.2.9 se prueba que si S1yS2son dos cuádricas reales con más de un punto y que no son rectas o dos cúádricas complejas, y existe un movimiento α:A→Atal que α(S1) = S2, entonces S1yS2son cuádricas métricamente equivalentes. 4.8.7.Observación. De forma análoga al estudio que se hizo de la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola como lugares geométricos en un plano afín euclídeo, se puede hacer el estudio de la esfera, el elipsoide, el hiperboloide de una hoja, el hiperboloide de dos hojas, el paraboloide elíptico, el paraboloide hiperbólico, el cono y los cilindros en un espacio afín euclídeo tridimensional. El estudio del elipsoide, el hiperboloide de una hoja, el hiperboloide de dos hojas, el paraboloide elíptico y el paraboloide hiperbólico como lugares geométricos se puede ver en [3], Capítulo 13, sección 3. Definiremos las cuádricas en un espacio afín euclídeo tridimensional por su ecuación reducida. Para clasificar métricamente las cuádricas en un espacio afín euclídeo tridimensioneal vamos a hacer cambios de coordenadas rectangulares en la ecuación de la cuádrica hasta llegar a su ecuación canónica ([4, Cap. VII]) . 131 4.8.8.Teorema. Sea Sla cuádrica cuya ecuación en la referencia rectangular R={E1, E2, E3;O}es S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+ 2a3z+a0= 0. Existe una referencia rectangular R0={E0 1, E0 2, E0 3;O}de Arespecto a la cual la ecuación de la cuádrica es S≡λ1x02+λ2y02+λ3z02+ 2b1x0+ 2b2y0+ 2b3z0+a0= 0. Demostración. Aplicando el teorema espectral a la matriz simétrica A, podemos encontrar una matriz ortogonal P=  p11 p12 p13 p21 p22 p23 p31 p32 p33,  tal que PtA P =  λ10 0 0λ20 0 0 λ3 . Puesto que la matriz Pes ortogonal, si BR= (v1, v2, v3), entonces B= (v0 1=p11v1+p21v2+p31v3, v0 2=p12v1+p22v2+p32v3, v0 3=p13v1+p23v2+p33v3) es una base ortonormal de V. Sean (x, y, z)las coordenadas de un punto en la referencia R= {E1, E2, E3;O}y(x0, y0, z0)las coordenadas en la referencia R0={E0 1, E0 2, E0 3;O}, donde E0 1=O+v0 1, E0 2=O+v0 2,E0 3=O+v0 3; entonces   x y z =P  x0 y0 z0 , y poniendo ¯ P=    1 0 0 0 0p11 p12 p13 0p21 p22 p23 0p31 p32 p33    , se tiene     1 x y z    =¯ P    1 x0 y0 z0    . Sustituyendo en la ecuación de Sen R, S≡1x0y0z0¯ PtB¯ P    1 x0 y0 z0    = 0, 132 se obtiene la ecuación S≡1x0y0z0    a0b1b2b3 b1λ10 0 b20λ20 b30 0 λ3        1 x0 y0 z0    = 0, es decir, S≡λ1x02+λ2y02+λ3z02+ 2b1x0+ 2b2y0+ 2b3z0+a0= 0, donde (b1b2b3)=(a1a2a3)P. 4.8.9.Obtención de la ecuación reducida de una cuádrica. A partir de la ecuación de Sen la referencia rectangular R0, se tienen los siguientes casos: (1) Si λ16= 0,λ26= 0 yλ36= 0 o, equivalentemente, si det(A)6= 0, S≡λ1(x0+b1 λ1 )2+λ2(y0+b2 λ2 )2+λ3(z0+b3 λ3 )2+a0−b2 1 λ1−b2 2 λ2−b2 3 λ3 = 0 . Pongamos x00 =x0+b1 λ1 , y00 =y0+b2 λ2 , z00 =z0+b3 λ3 , y δ=−a0+b2 1 λ1 +b2 2 λ2 +b2 3 λ3 =−det(B) det(A). Si O00 es el punto de coordenadas (−b1/λ1,−b2/λ2,−b3/λ3)en R0y consideramos la referencia rectangular R00 ={O00 +v0 1, O00 +v0 2, O00 +v0 3;O00}, la ecuación de Sen R00 es S≡λ1x002+λ2y002+λ3z002=δ. Esta ecuación se dice que es una ecuación reducida de la cuádrica. Las rectas de ecuaciones ejeO00x00 ≡(y00 = 0 z00 = 0 ,ejeO00y00 ≡(x00 = 0 z00 = 0 ,ejeO00z00 ≡(x00 = 0 y00 = 0 se llaman ejes principales de la cuádrica. (a)Para δ6= 0 o, equivalentemente, det(B)6= 0, se tiene: (i) Si signo(λ1) = signo(λ2) = signo(λ3) = signo(δ), y λ1,λ2yλ3no son iguales, entonces Ses un elipsoide con ecuación reducida S≡x002 a2+y002 b2+z002 c2= 1, a2=δ λ1 , b2=δ λ2 , c2=δ λ3 , donde a, b, c > 0. Si a≥b≥c, diremos que es su ecuación canónica. 133 Si λ1=λ2=λ3, entonces Ses una esfera. S≡x002+y002+z002=r2, r =rδ λ1 . (ii) Si signo(λ1) = signo(λ2) = signo(λ3)6= signo(δ), una ecuación reducida de Ses S≡x002 a2+y002 b2+z002 c2=−1, a2=−δ λ1 , b2=−δ λ2 , c2=−δ λ3 , donde a, b, c > 0. Si a≥b≥c, diremos que es su ecuación canónica. Se dice que Ses un elipsoide imaginario;Ses el conjunto vacío. Si además, λ1=λ2=λ3, entonces se dice que Ses una esfera imaginaria;Ses el conjunto vacío. (iii) Si signo(λ1) = signo(λ2) = signo(δ)6= signo(λ3),Ses un hiperboloide de una hoja con ecuación reducida S≡x002 a2+y002 b2−z002 c2= 1, a2=δ λ1 , b2=δ λ2 , c2=−δ λ3 , donde a, b, c > 0. Si a≥b, diremos que es su ecuación canónica. 134 (iv) Si signo(λ1) = signo(δ)6= signo(λ2) = signo(λ3),Ses un hiperboloide de dos hojas con ecuación reducida S≡x002 a2−y002 b2−z002 c2= 1, a2=δ λ1 , b2=−δ λ2 , c2=−δ λ3 , donde a, b, c > 0. Si b≥c, diremos que es su ecuación canónica. (b)Para δ= 0 o, equivalentemente, det(B)=0, una ecuación reducida de Ses S≡λ1x002+λ2y002+λ3z002= 0. (i) Si signo(λ1) = signo(λ2)6= signo(λ3), la cuádrica es un cono con ecuación S≡x002 a2+y002 b2−z002= 0, a2=−λ3 λ1 , b2=−λ3 λ2 . donde a, b, c > 0. Si a≥b, diremos que es su ecuación canónica. - - ... _, - y" 135 (ii) Si signo(λ1) = signo(λ2) = signo(λ3), una ecuación reducida de Ses S≡x002 a2+y002 b2+z002= 0, a2=λ3 λ1 , b2=λ3 λ2 . donde a, b, c > 0. Si a≥b, diremos que es su ecuación canónica. Se dice que Ses un cono imaginario;Sestá formada por un punto. (2) Si λ16= 0,λ26= 0 yλ3= 0, entonces S≡λ1(x0+b1 λ1 )2+λ2(y0+b2 λ2 )2+ 2b3z0+a0−b2 1 λ1−b2 2 λ2 = 0 . Pongamos k=a0−b2 1 λ1−b2 2 λ2 . Se tienen los siguientes casos: (a)Para b36= 0 o, equivalentemente, det(B)6= 0, ponemos x00 =x0+b1 λ1 , y00 =y0+b2 λ2 , z00 =z0+k 2b3 . Sea R00 ={O00 +v0 1, O00 +v0 2, O00 +v0 3;O00}, donde O00 es el punto cuyas coordenadas en la referencia R0son (−b1/λ1,−b2/λ2,−k/(2b1)). En la referencia rectangular R00 la cuádrica tiene la ecuación reducida S≡λ1x002+λ2y002=−2b3z00,|b3|=s−det(B) λ1λ2 , . Las rectas de ecuaciones ejeO00x00 ≡(y00 = 0 z00 = 0 ,ejeO00y00 ≡(x00 = 0 z00 = 0 ,ejeO00z00 ≡(x00 = 0 y00 = 0 se llaman ejes principales de la cuádrica. (i) Si signo(λ1) = signo(λ2)6= signo(b3),Ses un paraboloide elíptico con ecuación reducida S≡x002 a2+y002 b2= 2z00, a2=−b3 λ1 , b2=−b3 λ2 . donde a, b > 0. Si a≥b, diremos que es su ecuación canónica. 136 Si signo(λ1) = signo(λ2) = signo(b3),Ses un paraboloide elíptico y haciendo el cambio de coordenadas x1=x00,y1=y00,z1=−z00, obtenemos la ecuación S≡x12 a2+y12 b2= 2z1, a2=b3 λ1 , b2=b3 λ2 . donde a, b > 0. Si a≥bdiremos que es su ecuación canónica. (ii) Si signo(λ1)6= signo(λ2) = signo(b3),Ses un paraboloide hiperbólico de ecuación canónica S≡x002 a2−y002 b2= 2 z00, a2=−b3 λ1 , b2=b3 λ2 . donde a, b > 0. Si signo(λ1) = signo(b3)6= signo(λ2),Ses un paraboloide hiperbólico y haciendo el cambio de coordenadas x1=x00,y1=y00 yz1=−z00, se obtiene la ecuación canónica S≡x2 1 a2−y2 1 b2= 2 z1, a2=b3 λ1 , b2=−b3 λ2 . donde a, b > 0. (b)Para b3= 0 o, equivalentemente, det(B)=0, ponemos x00 =x0+b1 λ1 , y00 =y0+b2 λ2 , z00 =z0. 137 4.10. Centro de una cuádrica Sean Kun cuerpo de característica distinta de 2,Vun espacio vectorial tridimensional sobre K yAun espacio afín sobre V. 4.10.1.Definición. Sea Suna cuádrica. Se dice que un punto PS∈Aes centro ocentro de simetría de la cuádrica si toda recta que pasa por PSy corta a la cuádrica en un punto la corta también en su simétrico respecto a PS. 4.10.2.Definición. Se dice que una cuádrica es central si, y sólo si, tiene un único centro de simetría. 4.10.3.Proposición. Sea Aun espacio afín tridimensional real o complejo, R={P1, P2, P3;Q}una referencia de AySla cuádrica cuya ecuación en Res S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+ 2a3z+a0= 0, y sea A=  a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33   la matriz de los términos cuadráticos de S. Un punto PSde coordenadas (x0, y0, z0)en Res centro de Ssi, y solo si, A  x0 y0 z0 =−  a1 a2 a3 .(1) La cuádrica Ses central si, y solo si, det(A)6= 0. Demostración. Un punto PSes centro de la cuádrica Ssi, para cada punto P∈S, el punto P0= PS−−−→ PSPpertenece a S. Supongamos que la cuádrica Sno está contenida en un plano; en este caso, si el punto PSes un centro de la cuádrica, existen puntos P1,P2yP3en Stales que PS,P1,P2yP3no son coplanarios. Si las coordenadas de PSen Rson (x0, y0, z0)y las coordenadas de −−−→ PSPien BRson (hi, ki, ti), para i= 1,2,3, entonces las coordenadas en Rdel punto Pison (x0+hi, y0+ki, z0+ti)y las coordenadas de P0 i=PC−−−−→ PCPien Rson (x0−hi, y0−ki, z0−ti), para i= 1,2,3. Dado que PS es un centro de la cuádrica, se tienen las ecuaciones a11(x0+hi)2+a22(y0+ki)2+a33(z0+ti)2+ 2a12(x0+hi)(y0+ki)+2a13(x0+hi)(z0+ti) + 2a23(y0+ki)(z0+ti)+2a1(x0+hi)+2a2(y0+ti)+2a3(x0+ti) + a0= 0, a11(x0−hi)2+a22(y0−ki)2+a33(z0−ti)2+ 2a12(x0−hi)(y0−ki)+2a13(x0−hi)(z0−ti) + 2a23(y0−ki)(z0−ti)+2a1(x0−hi)+2a2(y0−ti)+2a3(x0−ti) + a0= 0, para i= 1,2,3. Como consecuencia, (a11x0+a12y0+a13z0+a1)hi+(a12x0+a22y0+a23z0+a2)ki+(a31x0+a32y0+a33z0+a3)ti= 0, i = 1,2,3, 144 equivalentemente,   h1k1t1 h2k2t2 h3k3t3   a11x0+a12y0+a13 +a1 a12x0+a22y0+a23 +a2 a13x0+a23y0+a33 +a3 =  0 0 0 . Puesto que los vectores −−−→ PSP1,−−−→ PSP2y−−−→ PSP3son linealmente independientes,  h1k1t1 h2k2t2 h3k3t36= 0, y se tiene (1), a11x0+a12y0+a13 +a1= 0, a12x0+a22y0+a23 +a2= 0, a13x0+a23y0+a33 +a3= 0. Recíprocamente, si un punto de coordenadas (x0, y0, z0)en Rverifica las ecuaciones (2), ese punto es un centro de S. Si Ses un plano doble, entonces los centros de Sson los puntos de Sy son los puntos que verifican la ecuacion (1). Si Aes un espacio afín real y la cuádrica es un par de planos imaginarios paralelos que se cortan en una recta, entonces los centros de Sson los puntos de esa recta y si Ses un cono imaginario el centro es el punto que lo forma. 4.10.4.Ejemplos. Si Aes un espacio afin real tridimensional, entonces el elipsoide, el hiperboloide de una hoja, el hiperboloide de dos hojas, el cono, el cilindro elíptico, el cilindro hiperbólico y un par de planos (paralelos o no) tienen centros de simetría. El paraboloide elíptico, el paraboloide hiperbólico y el cilindro parabólico no tienen centros de simetría. 4.10.5.Ejemplos. Si Aes un espacio afín tridimensional real, entonces el elipsoide, el hiperboloide de una hoja, el hiperboloide de dos hojas, el cono y un punto son las cuádricas centrales. En un espacio afín euclídeo tridimensional las cuádricas centrales son: la esfera, el elipsoide, el hiperboloide de una hoja, el hiperboloide de dos hojas, el cono y un punto. 4.10.6.Observación. Si Aes un espacio afín euclídeo tridimensional, la referencia Res rectangular y la cuádrica Ses central, entonces el centro de simetría de la cuádrica es el punto de corte de los ejes principales de la cuádrica. Por tanto, si Ses una cúádrica central, la ecuación (1) en 4.10.3 da las coordenadas en la referencia Rdel punto de corte de los ejes principales de la cuádrica. 145 4.11. Ejemplos de cuádricas 4.11.1.Ejemplo. Consideremos la cuádrica en R3cuya ecuación en la referencia canónica es S≡2x2−2yz −8x+ 8z+ 6 = 0. Las matrices de la cuádrica son A=  200 0 0 −1 0−1 0  ,B=    6−404 −4200 000−1 4 0 −1 0    . Se tiene det(A) = −2<0,det(B)=4. Dado que det(B)6= 0, la cuádrica Ses no degenerada y puesto que det(A)6= 0, la cuádrica Ses una cuádrica central. Por el teorema espectral, como Aes una matriz real simétrica, es diagonable. El polinomio característico de Aes PA(X) = −(X−2) (X−1) (X+ 1). Los autovalores de Ason 2, 1y−1y los subespacios propios asociados a estos autovalores son V1= Nuc(f−idR3) = h(0,1,−1)i, V2= Nuc(f−2idR3) = h(1,0,0)i, V−1= Nuc(f+idR3) = h(0,1,1)i, donde f:R3→R3es la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es A. La base B= (v1= (0,√2/2,−√2/2), v2= (1,0,0), v3= (0,√2/2,√2/2)) es ortonormal. El centro de la cuádrica es el punto O00 = (x0, y0, z0)tal que   200 0 0 −1 0−1 0    x0 y0 z0 =− −4 0 4 , es decir, O00 = (2,4,0). Una ecuación reducida de Sen la referencia rectangular R00 ={E00 1=O00 +v1, E00 2=O00 +v2, E00 3=O00 +v3;O00} es S≡x002+ 2y002−z002=δ, δ =−det(B) det(A)= 2, equivalentemente, S≡x002 2+y002−z002 2= 1. La cuádrica Ses un hiperboloide de una hoja.Los ejes principales son las rectas eje O00x00 =(2,4,0) + h(0,1,−1)i, eje O00y00 =(2,4,0) + h(1,0,0)i, eje O00z00 =(2,4,0) + h(0,1,1)i. 146 4.11.2.Ejemplo. Consideremos la cuádrica en R3cuya ecuación en la referencia canónica es S≡y2−2xz −2y+ 4z+ 5 = 0. Las matrices de la cuádrica son A=  0 0 −1 0 1 0 −1 0 0  ,B=    5 0 −1 2 000−1 −1010 2−100    . Se tiene det(A) = −1<0,det(B) = −4. Dado que det(B)6= 0, la cuádrica Ses no degenerada, y puesto que det(A)6= 0,Ses una cuádrica central. Por el teorema espectral, como la matriz Aes real y simétrica, es diagonable. El polinomio característico de Aes PA(X) = −(1 −X)2(X+ 1). Los autovalores de Ason −1(de multiplicidad 1) y1(de multiplicidad 2) y los subespacios propios asociados a estos autovalores son V−1= Nuc(f+idR3) = h(1,0,1)i, V1= Nuc(f−idR3) = h(1,0,−1),(0,1,0)i, donde f:R3→R3es la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es A. El centro de la cuádrica es el punto O00 = (x0, y0, z0)tal que   0 0 −1 0 1 0 −1 0 0    x0 y0 z0 =−  0 −1 2 , es decir, O00 = (2,1,0). La referencia R00 ={E00 1=O00 +v1, E00 2=O00 +v2, E00 3=O00 +v3;O00}, donde v1= (√2/2,0,√2/2), v2= (0,1,0), v3= (√2/2,0,−√2/2), 147 es una referencia rectangular y la ecuación de Sen R00 es la ecuación reducida S≡ −x002+y002+z002=δ, δ =−det(B) det(A)=−4, equivalentemente, S≡x002 4−y002 4−z002 4= 1. Ses un hiperboloide de 2 hojas. Los ejes principales son las rectas eje O00x00 = (2,1,0) + h(1,0,1)i,eje O00y00 = (2,1,0) + h(0,1,0)i,eje O00z00 = (2,1,0) + h(1,0,−1)i. 4.11.3.Ejemplo. Consideremos la cuádrica en R3cuya ecuación en la referencia canónica es S≡x2+y2+ 2z2+ 2xy −4x+ 7 = 0. Las matrices de la cuádrica son A=  1 1 0 1 1 0 0 0 2  ,B=    7−200 −2 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2    , y sus determinabtes son det(A)=0,det(B) = −8. Dado que det(B)6= 0, la cuádrica Ses no degenerada. Por el teorema espectral, dado que Aes una matriz real simétrica, es diagonable y existe una matriz de paso ortogonal. El polinomio característico de Aes PA(X) = −X(X−2)2. Los autovalores de Ason 2 (de multiplicidad 2) y 1 (de multiplicidad 1). Ses un paraboloide elíptico. Los subespacios propios asociados a los autovalores 2y0son V2= Nuc(f−2idR3) = h(1,1,0),(0,0,1)i, V0= Nuc(f) = h(1,−1,0)i, 148 donde f:R3→R3es la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es A. Una matriz de paso ortogonal, es decir una matriz regular Ptal que PtAP =  200 020 000 , es la matriz P=  √2/2 0 √2/2 √2/2 0 −√2/2 0 1 0  . La base B=v1= (√2/2,√2/2,0), v2= (0,0,1), v3= (√2/2,−√2/2,0) es ortonormal y P=idBC. La referencia R={(√2/2,√2/2,0),(0,0,1),(√2/2,−√2/2),0); (0,0,0)} es una referencia rectangular de R3. La ecuación de cambio de coordenadas de Ra la referencia canónica es   √2/2 0 √2/2 √2/2 0 −√2/2 0 1 0    x0 y0 z0 =  x y z , donde (x, y, z)y(x0, y0, z0)son las coordenadas de un punto en las referencia canónica y R, respectivamente. Puesto que −200  √2/2 0 √2/2 √2/2 0 −√2/2 0 1 0  =−√2 0 −√2, la ecuación de Sen la referencia Res S≡2x02+ 2y02+ 2√2x0−2√2z0+ 7 = 0. Completando cuadrados se tiene S≡2(x0−√2 2)2+ 2y02−2√2z0+ 6 = 0, o, equivalentemente, S≡2(x0−√2 2)2+ 2y02−2√2(z0−3√2 2)=0. Pongamos x00 =x0−√2 2, y00 =y0, z00 =z0−3√2 2. Sea O00 el punto de coordenadas (√2/2,0,3√2/2) en la referencia R. Consideremos la referencia rectangular R00 ={O00 +v1, O00 +v2, O00 +v3;O00}. La ecuación del paraboloide elíptico Sen R00 es S≡2x002+ 2y002−2√2z00 = 0, 149 que es una ecuación reducida de S, equivalentemente S≡x002+y002=√2z00. Se tiene que O00 = (2,−1,0), ya que   √2/2 0 √2/2 √2/2 0 −√2/2 0 1 0    √2/2 0 3√2/2 =  2 −1 0 . Los ejes principales son eje O00x00 =(2,−1,0) + h(1,1,0)i, eje O00y00 =(2,−1,0) + h(0,0,1)i, eje O00z00 =(2,−1,0) + h(1,−1,0)i. 4.11.4.Ejemplo. Consideremos la cuádrica en R3cuya ecuación en la referencia canónica es S≡30x2+ 7y2+ 13z2+ 8yz −60x−26y+ 28z+ 67 = 0. Las matrices de la cuádrica son A=  30 0 0 0 7 4 0 4 13  ,B=    67 −30 −13 14 −30 30 0 0 −13 0 7 4 14 0 4 13    . Se tiene det(A) = 2250 <0,det(B) = 67500. Dado que det(B)6= 0, la cuádrica Ses no degenerada y puesto que det(A)6= 0, la cuádrica Ses una cuádrica central. Por el teorema espectral, como Aes una matriz real simétrica, es diagonable. El 150 polinomio característico de Aes PA(X) = −(X−5) (X−15) (X−30). Los autovalores de Ason 5, 15 y30 y los subespacios propios asociados a estos autovalores son V5= Nuc(f−5idR3) = h(0,−2,1)i, V15 = Nuc(f−15 idR3) = h(0,1,2)i, V30 = Nuc(f−30 idR3) = h(1,0,0)i, donde f:R3→R3es la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto a la base canónica es A. La base B= (v1= (0,−2√5/5,√5/5), v2= (0,√5/5,2√5/5), v3= (1,0,0)) es ortonormal. El centro de la cuádrica es el punto O00 = (x0, y0, z0)tal que   30 0 0 0 7 4 0 4 13    x0 y0 z0 =− −30 −13 14  , es decir, O00 = (1,3,−2). La ecuación reducida de Sen la referencia rectangular R00 ={E00 1=O00 +v1, E00 2=O00 +v2, E00 3=O00 +v3;O00} es S≡5x002+ 15 y002+ 30 z002=δ, δ =−det(B) det(A)= 30, equivalentemente, S≡x002 6+y002 2+z002= 1. La cuádrica Ses un elipsoide.Los ejes principales son las rectas eje O00x00 =(1,3,−2) + h(0,−2,1)i, eje O00y00 =(1,3,−2) + h(0,1,2)i, eje O00z00 =(1,3,−2) + h(1,0,0)i. 151 4.11.5.Ejemplo. Vamos a clasificar afínmente la cuádrica en R3cuya ecuación en la referencia canónica es S≡2x2+ 2xz −2yz + 4y+ 1 = 0. Las matrices de la cuádrica son A=  201 0 0 −1 1−1 0  ,B=    1 0 2 0 0 2 0 1 2 0 0 −1 0 1 −1 0    . Se tiene que det(A) = −2,det(B)=2. Dado que det(B)6= 0, la cuádrica Ses no degenerada y puesto que det(A)6= 0,Ses una cuádrica central. La signatura de Aes (2,1) y la signatura de Bes (2,2). Por el teorema de clasificación afín de cuádricas reales, Ses un hiperboloide de una hoja. 4.12. Intersección de una cuádrica y un plano 4.12.1.Proposición. Si Aes un espacio afín tridimensional real o complejo, la intersección de una cuádrica central con un plano es una cónica. Demostración. Sea R={P1, P2, P3;Q}una referencia de AySuna cuádrica cuya ecuación en Res S≡a11x2+a22y2+a33z2+ 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x+ 2a2y+ 2a3z+a0= 0. Sean Ala matriz de términos cuadráticos y Bla matriz de Sen R,Πun plano y R0una referencia de Π. Si la ecuación de cambio de coordenadas de los puntos de Πde R0aRes   x y z =  p1 p2 p3 +  p11 p12 p21 p21 p31 p31  x0 y0, y P=  p11 p12 p21 p22 p31 p32  ,¯ P=    1 0 0 p1p11 p12 p2p21 p22 p3p31 p32    , la ecuación de cambio de coordenadas de los puntos de Πde R0aRes también     1 x y z    =¯ P  1 x0 y0 . Entonces S∩Π≡1x0y0¯ PtB¯ P  1 x0 y0 = 0. 152 Sean A0=PtAP =a0 11 a0 12 a0 12 a0 22 , B0=¯ PtB¯ P=  a0 0a0 1a0 2 a0 1a0 11 a12 a0 2a0 12 a0 22  . La ecuación de S∩Πen R0es S∩Π≡a0 11x02+a0 22y02+ 2a0 12x0y0+ 2a0 1x0+ 2a0 2y0+a0 0= 0. Dado que rango(P)=2, vamos a suponer que p11 p12 p21 p21 6= 0, y consideremos la matriz P3=  0p11 p12 0p21 p22 1p31 p32  . Entonces det(P3)6= 0 y Pt 3AP3=  b0b1b2 c1a0 11 a0 12 c2a0 12 a0 22  , y si Ses una cuádrica central, det(A)6= 0. Así, det(Pt 3AP3) =  b0b1b2 c1a0 11 a0 12 c2a0 12 a0 22 6= 0, luego A06= 0. Por tanto, S∩Πes una cónica. 4.12.2.Observación. Si la cuádrica no es central, en general el resultado anterior no es cierto. En efecto, consideremos el paraboloide hiperbólico de ecuación S≡z2+ 2xz + 2yz −2x+ 2y+ 2z+ 1 = 0 en una referencia afín R={P1, P2, P3;Q}. Las matrices de la cuádrica en Rson A=  0 0 1 0 0 1 1 1 1  ,B=    0−111 −1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1    . Como det(A)=0,Sno es una cuádrica central. Sea Πel plano de ecuación z= 0 en Ry consideremos la referencia R1={P1, P2;Q}de Π. La ecuación de S∩Πen la referencia R1es la recta S∩Π≡ −2x1+ 2y1+ 1 = 0, donde (x1, y1)son las coordenadas de un punto de Πen R1. 153