Generalización de la teoría de líneas proporcionales

cd
BIBLIOTECA
UNIVERSITARIA
DE
SANTIAGO
00679470
se
UNIVERSIDAD
DL
SANTIAGO
DE
COMPO5TI
u

GENERALIZACION
DE
L/I
TEORIA
DE
LÍNEAS
PBOPORCIONÁLES,
POR
MEDIO
DE
UN
TEOREMA
NUEVO
ELEMENTAL,
DEL
QUE
SE
DERIVAN
ALGUNAS
CUESTIONES
PERTENECIENTES
Á
LA
GEOMETRÍA
MODERNA,
LAS
FÓRMULAS
TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES
Y
OTRAS
INTERESANTES
PROPIEDADES,
POR
0.
ATANASIO
LASALA
Y
MARTINEZ,
Licenciado
en
Ciencias
exac as,
Di ec o
y
Ca ed iilico
de
Ma emá icas
del
Ins i u o
de
O ense.
ORENSE:
Bmy.
y
SJb.
de
B6
ío
;!C!;
o
í^ozano.
Plaza
del
Hie o,
núm.
3.
1880.
GENERALIZACION
de
la
eo ía
de
LINEAS
PROPORCIONALES,
POR
MEDIO
DE
UN
TEOREMA
NUEVO
ELEMENTAL,
DEL
QUE
SE
DERIVAN
ALGUNAS
CUESTIONES
PERTENECIENTES
Á
LA
GEOMETRIA
MODERNA,
LAS
FÓRMULAS
TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES,
Y
OTRAS
INTERESANTES
PROPIEDADES,
POR
DON
ATANASIO
LASALA
Y
MARTINEZ,
Licenciado
en
Ciencias
exac as,
Di cclon
y
Ca ed iuico
de
Malemá icae
del
Ins i u o
do
O ense.
ORENSE:
Iinp.
y
Lib.
de
Rioneg o
Lozano,
Plaza
del
Hie o,
n.°
3.
UMVLRS1DADL
DE
SANTIAGO
DE
COMPOSTEL
u
*
PRIMERA
PARTE.
GEOMETRÍA
RECTILÍNEA.
CAPÍTULO
PRIMERO.
PRINCIPIOS
FUNDAMENTALES.
1.
—
Exposición
de
los
p incipios
nndamen ales.
■
I.
Sien
una
ec a
inde inida
se
ma can
es
pun os
a,
b,
c,
es os
de e minan
es
segmen os
ab,
ac,
be,
dos
de
los
cuales
ienen
siemp e
un
pun o
común:
al
compa a
las
longi udes
de
dos
segmen os
conside a emos
como
el
pun o
común;
los
o os
dos
pun os
se án
los
ex emos
de
los
segmen os.
"L
e ma
.
(Fig.
1J
Si
desde
el
é ice
A
de
un
iángulo
isósceles
ABC
se
aza
una
ec a
AD
que
encuen e
á
la
base
en
un
-pun o
D,
los
segmen os
DB,
DC
de
és a
son
p opo cionales
á
las
dis ancias
del
pun o
D
á
los
o os
lados.
•
se
UNIVERSIDAD!
DL
SANTIAGO
DE
COMPOSTE
'
u

—
12
—
Teniendo
p esen e
que
los
ángulos
en
la
base
de
un
ián

gulo
isósceles
son
iguales,
se
e
que
los
iángulos
ec ángulos
BED
y
CFD
son
semejan es,
luego
DB
_
DE
DO
DF
lo
que
demues a
el
lema.
T
e o e ma
.
(Fig.
2.)
3.
Cuando
es
concu en es
PA,
PB,
PC
se
co an
po
una
ans e sal
en
es
pun os
a,
b,
c,
dos
segmen os
cualesquie a
de
és a
son
p opo cionales
á
las
dis ancias
de
su
o igen
común
alas
o as
dos
concu en es,
con
al
que
cada
segmen o
se
di ida
po
la
dis ancia
de
su
ex emo
al
pun o
de
concu so
P.
Sean
ba
y
be
dos
cualesquie a
de
los
es
segmen os
ab,
be,
ac
de
la
ans e sal,
y
¿
y
las
dis ancias
del
o igen
b
á
las
concu en es
PAy
PC.
Que emos
demos a
la
elación
ba
.
be
¿a
Pa
'Pe
bx
'
T acémosla
bisec iz
Pd
del
ángulo
A
PC
que
o man
las
concu en es
que
pasan
po
los
ex emos
a
y
c
de
los
segmen

os;
po
el
o igen
b
i emos
una
pa alela
á
la
bisec iz
Pd,
p o

longándola
has a
que
encuen e
en
a'
y
c'
álas
concu en es
PAy
PC.
El
iángulo
Pa'c'
se á
isósceles,
po que
el
ángulo
c'
es
igual
al
dPc
mi ad
de
APC,
y
el
ángul
en
a'
es
igual
al
AP¿¿
mi ad
ambién
de
APC;
luego
[Zema]
'
ba'
¿a
be'
b*;
‘
1
acemos
po
c
y
c'
pa alelas
á
PA
p olongándolas
has a
que
u
—
13
—
encuen en
á
y
á
la
ans e sal
abe
espec i amen e
en
e
;
los
iángulos
semejan es
bao,'
y
bce.
cP i
y
da án
ba
_
aa'
_
c'/
be
ce
’
Pe
ce'
’
de
donde,
po
di isión,
ba
.
Pa
_
aa'.
cc'
.
be
'
Pe
ce.
c'/
’
pe o
el
iángulo
cc
’
e
es
isósceles,
po
se
semejan e
al
Pe'a',
luego
ee'
=
ee;
po
an o
el
segundo
miemb o
de
la
igualdad
an e io
se
educe
á
aa'
ba'
ba.
c'J
be'
“
T7
’
igualdad
que
demues a
el
eo ema.
La
misma
demos ación
puede
aplica se
á
los
segmen os
ab,
ac
y
á
los
ca,
cb.
N
o a
.
En
luga
de
la
elación
en e
las
dis ancias
del
o igen
de
los
segmen os
á
las
concu en es
PA
y
PC,
puede
pone se
la
elación
en e
las
dis ancias
de
o o'pun o
cualquie

a
de
PB
á
las
mismas,
po que
es a
elación
es
cons an e
pa a
odos
los
pun os
de
una
misma
concu en e.
C
o o l a io
.
(Fig.
3
J
41.
Si
es
concu en es
PA,
PB,
PC
se
co an
po
do
s
ans e sales
.
dos
segmen os
cualesquie a
de
la
p ime a
ans

e sal
son
p opo cionales
á
los
co espondien es
de
la
segunda,
con
al
que
cada
segmen o
se
di ida
po
la
dis ancia
de
su
ex

emo
al
pun o
de
concu so
P.
Llamando
—
á
la
azón
de
las
dis ancias
de
un
pun o
cual

quie a
de
PB
á
PA
y
PC,
end emos
[3]
ba
.
be
-ni
b'a'
.
b'c'
w
Va
'
Pe
n
’
Va'
'
Pe'
u
_
ba
be
b'a'
b'c'
lue8
"°
Va
:
Pe
—
"P^
:
"Pe
7
1
Del
mismo
modo
se
ob ienen
las
elaciones
ab
.
ac
a'b'
e
a'
o'
ca
.
cb
da'
.
db*
" b
:
"Vc
—
"W
:
■p7'
:
"Vb
—
V?
:
P^
7
*
5.
El
an e io
co ola io
puede
demos a se
di ec amen e,
y
en
al
caso
el
eo ema
del
núme o
3
pasa
á
se
co ola io.
En
e ec o:
po
el
o igen
b
de
los
segmen os
elegidos
ba
y
be
acemos
una
pa alela
a"
e"
á
a'
d,
y
po
a
y
a"
o as
dos
pa a

lelas
á
la
concu en e
PC.
Los
iángulos
semejan es
bam,
bcc
H
y
los
bna".
bcc"
nos
dan
ni
b(d'
9|
'
be
-
cd
'
111
’
L
Los
iángulos
semejan es
P«c,
a"a)i
y
los
Va^c",
aa^m
dan
Va_a
,,
a
Va"_aa"
Ve
A
’
#
Pe"
am
’
Di idiendo
la
igualdad
[1]
po
la
[3]
y
la
[2]
po
la
[4]
se á
ba
.
Va
_
am.a"u
be
"
Ve
-
ce",
a"a
’
ba"
.
Va"_a!'n.am
bd
’
:
"Vd'-d'c.aa"
’
de
donde
ba
e
Va
_
ba"
.
Va"
be
*
Pe
be"
'
Ve"
’
*
sus i uyendo
g
po
su
igual
g,
y
po
™
sé á
__
Va'
.
Pa'
"
Pc
—
17d
‘
P?
'
ó
po
úl imo
—
:
/_
=
•
—
Pa
Pe
Pa'
'
Pe'*
Pa a
deduci
de
es e
p incipio
el
del
núme o
3,
p olonga

mos
¿a
has a
c',
y
se á
(Fig.
4.)
.
6c
_
¿a
.
__
Pa. o'
P«
'
Pe
—
Pí
:
Pe'
—
:
~P7"
;
los
iángulos
semejan es
c'Pa
y
c'6-(
nos
dan
Pa
'
Pc
'
i
i
a
/
p
“
-
b(í
-
=
- -,
.
de
donde
¿y
=
.-
,
;
be'
•
*
Pe'
’
sus i uyendo
la
acción
po
su
igual
¿y,
la
p ime a
igualdad
se á
_
¿a
P
a
‘
Pe
—
F;
'
II.
Conexión
en e
I
o n
p incipios
undamen ales
y
los
eo emas
de
líneas
p opo cionales.
<>.
De
dos
modos
se
exponen
en
los
a ados
de
geome ía
los
undamen os
de
las
líneas
p opo cionales:
unos
au o es
apoyan
la
eo ía
en
que
oda
pa alela
á
un
lado
de
un
ián

gulo
di ide
los
o os
dos
én
pa es
p opo cionales;
o os
em

plean,
en
luga
de- iángulo,
un
apecio
co ado
po
una
pa

alela
á
las
bases.
Ambos
enunciados
son
igualmen e
es ic i os,
po que
la
p opo cionalidad
no
sólo
iene
luga
en e
los
segmen os
adi i

os
p oducidos
po
una
pa alela
in e io ,
sino
que
ambién
exis e
en e
los
sus ac i os
causados
po
una
ex e io ,
y
en
in
son
p opo cionales
dos
segmen os
cualesquie a
de
una
ans

e sal
álos
co espondien es
de
la
o a,
cuando
los
segmen os
es án
de e minados
po
es
pa alelas
ó
po
dos
pa alelas
y
el
pun o
de
concu so
de
las
ans e sales.
El
de ec o
apun ado
suele
emedia se
po
medio
de
co ola

ios,
lo
que
complica
innecesa iamen e
la
cues ión,
sin
que
áun
asi
lleguen
á
a a se
odos
los
casos
posibles.
C eemos
que,
pa a
da
á
la
p oposición
que
noso
cupa
oda
su
gene alidad,
debe
p escindi se
de
la
idea
de
iángulo
ó
a

pecio,
y
deci :
Cuando
es
ec as
-pa alelas
se
co au
po
dos
ans e sa

les.,
dos
segnien os
cualesquie a
de
la
p ime a
ans e sal
son
p opo cionales
d
los
co espondien es
de
la
segunda.
Es e
enunciado
comp ende
odos
los
casos.
En
e ec o,
a

zando
dos
ans e sales
abe,
a'b'c'
(Fig.
5
)
pod á
sucede
que
se
encuen en
en
una
pa alela
ex ema
A,
núm.
1,
en
la
in e

media
B,
núm.
2,
ue a
de
las
pa alelas,
núm.
3,
ó
en e
dos
pa

alelas
B'y
C,
núm.
4,
y
end emos
en
cualquie a
de
los
cua o
casos
que
dos
segmen os
ab
y
ac,
ba
y
be
ó
ca
y
cb
de
la
ans

e sal
abe
son
p opo cionales
á
los
co espondien es
a'b'
y
a'o
’
,
b
’
a
’
y
b'c'
,
c'a'
y
c'l/.
Jus i icada
la
con eniencia
de
adop a
el
enunciado
an

e io ,
e emos
aho a
la
analogía
que
gua da
con
el
p incipio
undamen al
del
núm.
-I.
•
En
ambas
p oposiciones
se
es ablecen
elaciones
de
magni

ud
en e
los
segmen os
de
dos
ans e sales
p oducidos
po
es
concu en es
ó
po
es
pa alelas,
es o
es,
po
es
concu

en es
en
el
in ini o:
la
cues ión
p opues a
es,
pues,
la
misma,
gene al
en
el
p ime
caso,
po que
la
posición
del
pun o
de
con

cu so
es
inde e minada,
pa icula
en
el
segundo;
luego
debe
espe a se
en
buena
lógica
que
nues o
p incipio
undamen al
del
núm.
4
comp enda
el
delineas
p opo cionales
enunciado
en
el
núm.
G.

—
17
—
Y
así
.sucede,
en
e ec o.
Supongamos
qne
el
pun o
de
con

cu so
P
se
aleje
al
in ini o,
ó
lo
qne
es
igual
que
las
concu en
-
es
se
con ie an
en
pa alelas
(Fig.
6j,y
en onces
la
elación
[
1|
ba
.
be
__
b'a'
#
b'c
’
Va"
Pe
—
Pa'
*
Pe'
se
con e i á
en
ba
:
be
=
b'a'
:
b'c
’
po
la
sup esión
de
los
denominado es
iguales
P«
y
Pe,
l
’
a'
y
Pe'.'
i
Haciendo
en
el
p incipio
undamen al
del
núm.
3
la
misma
hipó esis.
P
en
el
in ini o,
la
elación
ba
,
be
_
b-j.
P ?
"
P<?
b-(
se
con ie e
en
ba
_
b-j.
•
be
b^
'
oda
ez
que
P l=P¿?.
En
es e
supues o,
ba
y
be
son
segmen os
de
una
ans e sal
in e cep ados
po
es
ec as
pa alelas,
y
1
Cuando
el
pun o
P
(Fig.
3J
se
halle
en
el
in ini o,
las
ec as
Pa,
Pe
se án
in ini amen e
g andes;
su
di e encia
en
cambio
se á
ini a,
po que
los
ex emos
a
y
c
es án
á
dis ancia
ini a
de
los
demás
pun

os
de
la
igu a.
La
di e encia
ini a
en e
dos
can idades
in ini amen

e
g andes
es
nula
ela i amen e
á
es as
can idades,
que
po
lo
an o
pueden
conside a se
iguales.
Es o
mismo
lo
con i man'las
siguien es
conside aciones:
si
aza

,
,
,
,
Pa
aa'
,
,
.
mos
a'm
pa alela
a
ac
(Fig.
1)
se a
p^
—
—
i
po
mucho
que
se
aleje
el
pun o
P
es a
p opo ción
siemp e
end á
luga ,
luego
Pa
aa)
lúa.
d í
77-
=
Um.
de
—
;
Pe
cm
’
.
,
pe o
en
el
lími e,,
es
deci ,
cuando
Pa
y
Pe
sean
pa alelas,
la
igu

a
acó! a
se á
un
pa alelóg amo,
y
po
an o
Um.
de
a
—
=Y,
luego
U a.
de
=
1,
ó
sea
Pa
=
Pe
e a
b
Pe
•_
Lo
mismo
se
demues a
que
Pa=
Pa
’
pa iendo
de
la
igualdad
Pa
_
ac
Pa'
~
a
’
a
'
•
3
u
UX1VERSJDADE
DE
SANTIAGO
DE
OMPOSTE.
—
Ls
—
¿x,
b-;
las
dis ancias
en e
las
pa alelas
co espondien es;
lue

go
el
p incipio
que
nos.
ocupa
es
una
gene alización
del
si

guien e:
Dos
segiMu os^ciiales^uieTa,
de
d)ia
iTo^isDeTsal
iu eTcep ados
po
es
pa alelas
son
p opo cionales
á
las
co espondien es
dis
ancias
en e
és as.
Es a
p oposición,
demos ándola
di ec amen e,
pudie a
y
acaso
debie a
adop a se
como
base
de
las
líneas
p opo ciona

les,
po
se
muy
exp esi a.
Queda,
pues,
sen ado
que
los
dos
p incipios
ela i os
á
ec

as
concu en es
co adas
po
ans e sales,
expues os
en
los
núme os
3
y
4,
son
gene alizaciones
de
los
en
que
se
unda
la
eo ía
de
líneas
p opo cionales.
Al
pasa
del
caso
gene al,
pun

o
de
concu so
cualquie a,
al
pa icúla ,
pun o
de
concu so
en
el
in ini o,
los
denominado es
de
los
segmen os,
que
son
las
dis ancias
de
los
ex emos
espec i os
al
pun o
de
concu so,
desapa ecen:
deben,
po
lo
an o,
mi a se
como
co ecciones
debidas
á
la
Jai a
de
pa alelismo
de
las
concu en es
en
P.
S.
No
ca ece
de
in e és
obse a
que
al
paso
que
desapa

ece
el
pa alelismo,
las
igualdades
ela i as
á
los
seg
’
men os
se
complican:
la
in e sección
de
un
sis ema
de
pa alelas
po
o o
ambién
de
pa alelas
o igina
la
igxialdaddc
segmen os;
con

ié ese
uno
de
los
sis emas
en
haz
de
ec as
concu en es,
y
la
igualdad
de
segmen os
se
con ie e
en
igualdad
de
azones:
cambiase
ambién
el
segundo
sis ema
de
pa alelas
en
haz
de
ec as
concu en es,
y
á
la
igualdad
de
azones
de
líneas
suce

de
la
igualdad
de
azones
de
azones.
O.
Toda ía
amos
á
conside a
el
p incipio
undamen al
del
núm.
3
bajo
o o
pun o
de
is a,
an
in e esan e
como
el
an

eno .
La
elación
bd
be
_
¿a
Pd
‘
Pe
—
¿7
puede
esc ibi se
en
la
o ma
ba
.
Pa
bx
Te''
Pc~Tj
y
aduci se
al
lenguaje
ulga
del
modo
siguien e:
—
19
—
Si
desde
el
'oé ice
P
de
Hi
idugulo
Pac
(Fig*.
2)
se
aía
una
ec a
Pb
que
encuen e
al
lado
opues o,
la
elación
—
de
los
Pa
segmen os
de
és e
y
la
d,e
los
lados
del
ángulo
son
p opo cio

nales
á
las
dis ancias
del
pié
de
dicha
ec a
á
los
mismos
lados.
Es e
eo ema
es
una
gene alización
del
que
se
enuncia
en
los
a ados
de
geome ía
elemen al
diciendo:
La
bisec iz
de
un
ángulo
in e no
ó
ex e no
de
un
iángulo,
di ide
al
lado
opues o
en
dos
segmen os
p opo cionales
ó,
los
lados
del
ángulo.
En
e ec o:
azando
la
bisec iz
AD
(Fig.
1^
y
las
dis ancias
DE
y
DF
del
pun o
D
álos
lados
AB
y
AC,
enemos
DB
.
AB_
DE
.
.
DC-
:
AC~
DF
’
pe o
el
pun o
D
pe enecien e
á
la
bisec iz
del
ángulo
BAC
ó
del
ex e no
B'AC
equidis a
de
los
lados
del
ángulo,
y
po
an o
DE
,
.
^=1:
luego
DB_
AB
.
DC
-
AC
'
Como
al
demos a
el
eo ema
del
núm.
3
no
nos
hemos
se

ido
de
es e
úl imo,
podemos
conside a le
como
co ola io
de
aquel.
111.
—
G ado
de
gene alidad
de
los
p incipios
undamen ales.
1O.
El
eo ema
del
núme o
3
se
e i ica
áunen
el
caso
pa

icula
de
que
la
ans e sal
sea
pa alela
á
una
de
las
concu

en es.
En
al
supues o,
alguno
de
los
pun os
de
in e sección
a,
b,
c
se
aleja
al
in ini o,
y
las
dis ancias
á
los
o os
pun os
de
la
igu a
deben
conside a se
iguales,
siemp e
que
su
di e encia
sea
ini a.
u
—
20
—
Suponiendo,
pa a
ija las
ideas,
que
la
ans e sal
sea
na-
emi a
3
,1™™"'™*
6
P
°
’
l
, o
P
on
8
6
™
o
nos
demos a
el
eo-
élin ini o
Seí?m
™
0s
cnyo
o i
«e
n
ea
es
deci
el
pun o
en
La
elación
del
caso
gene al
ca
el)
_
ca
P<?
'
Yl)
—
’
Ü a
i
d
°
i
‘
‘
-y^
á
,
las
P
e
P
endicula
es
bajadas
desde
el
pun-
aíio a
en
ln
°
nS
C
'
lncu en es
PA
y
PB
-
se
con ie e
—
=£
a
Pa
c3
’
oda
ez
que a
y
cí,
magni udes
in ini as
cuya
di e encia
«b
im
a,
son
guales;
no
di emos
lo
mismo
d^
c»
y
“
mü
ini a
iidém
•
’
aS
’
P
^
qUC
n
°
C
°
US a
I"
6
m
di e encia
sea
Ha
y
ademas
po que
sabemos
que
las
dis ancias
de
los
di

e en es
pun os
de
PC
á
las
ec as
PA
y
PB
gua dan
un
a
a

zón
cons an e,
a
po
lo
an o
~
no
es,
en
gene al,
igual
á
la
unidad,
sino
ála
elación
de
un
pun o
cualquie a
c'
dcPCáPAyPB.
1
'
Pues o
que
la
elección
de
pun o
en
la
concu en e
PC
es
aibi ana
damos
la
p e e encia
al
c',
in e sección
de
PC
con
una
pa alela
i ada
po
b
á
la
bisec iz
P^
del
ángulo
APB
Debemos,
po
consiguien e,
demos a
la
igualdad
‘
Pb
_cV
Pa
c'^'
'
El
iángulo
Pba'
es
isósceles,
luego
c'a'
_
c'x'
~Tb~^
y
luego
—
C
'
T
'
Pa
Pq.
-
c'b
—
^7
•
—
Ti
—
que
unen
los
pun os
a,
b,
c,
P
es
24,
como
debía
sucede ,
pues

o
que
con
cua o
le as
se
o man
24
pe mu aciones.
De
es as
24
azones
sólo
son
dis in as
las
seis
que
hemos
señalado
con
[a].
T es
de
ellas
se
ob ienen
aplicando
los
p in

cipios
undamen ales
sucesi amen e
á
los
segmen os
que
pa

en
de
a,
de
b
y
de
c
;
o as
es
in i iendo
las
an e io es;
y
cada
una
de
las
seis
p oduce
o as
es
equi alen es
á
ella,
pe

mu ando
dos
le as
y
á
la
ez
las
o as
dos
de
odas
las
mane

as
posibles.
Es
cla o
que
odas
son
independien es
de
la
di ección
de
la
ans e sal.
15).
Aho a
podemos
enuncia
los
dos
p incipios
undamen

ales
del
modo
siguien e:
.
S¿
en
cualquie a
de
las
azones
compues as
de
un
haz
de
es
-
ec as
co ado
po
una
ans e sal,
hacemos
que
el
pun o
P
ocu
pe
el
úl imo
luga
*
,
la
azón
es
igual
al
cocien e
de
las
dis an

cias
del
e ce
pun o
d
las
concu en es
que
pasan
po
los
dos
p ime os.
Todas
las
azones
son
cons an es,
cualquie a
que
sea
la
ans e sal.
Así,
cPab')
=
(abcP)
=
=
cons an e.
(Pacb)
=(bcaP)
=
a
i
.
■
,
—
=
cons an e.
a-
1.
Bas a
pe mu a
la
le a
P
con
la
úl ima
y
á
la
ez
las
o as
dos.
se
UMVLRSJDAD
DE
SANTIAGO
DE
COMPO-TL
u

CAPÍTULO
SEGUNDO.
TEORÍAS
DE
GEOMETRIA
MODERNA
QUE
SE
DEDUCEN
INMEDIATAMENTE
DE
LOS
PRINCIPIOS
FUNDAMENTALES.
—
In oducción.
-O.
Guando
se
conside an
en
una
ec a
inde inida
uno
ó
mas
segmen os
de
la
misma,
puede
ene se
en
cuen a,
además
de
la
longi ud
de
cada
segmen o,
su
di ección,
á
pa i
de
un
ex emo
conside ado
como
o igen.
Po
mane a
que
un
segmen

o
es a a
comple amen e
de e minado
si
conocemos
el
o o-en
ó
pun o
de
pa ida,
el
sen ido
en
que
debe
lle a se
sob e
la
ec a
y
su
longi ud.
’
La
oposición
en
el
sen ido
de
los
segmen os
se
exp esa
po
los
signos
con a ios
má.s
y
menos:
odos
los
segmen os
di i

gidos
en
un
mismo
sen ido
con enido
se
conside an
gosi i os
y
odos
los
segmen os
di igidos
en
el
sen ido
con a io
se
consi

de an
Qiega i os.
Si
con enimos
en
conside a
como
posi i as
las
longi u

des
con adas
de
izquie da
á
de echa,
las
que
se
cuen en
de
de

echa
a
izquie da
se án
nega i as.
El
segmen o
al
(Fig.
13
es
posi i o,
el
la
es
nega i o,
y
como
en
longi ud
son
iguales^
enemos
n
'
=
—
la
ó
al
la
=
o.
Si
en
una
ec a
inde inida
XY
conside amos
dos
pun os
ijos
a
y
y
o o
pun o
cualquie a
w,
las
dis ancias
de
m
á
a
y
¿ end án
el
mismo
signo
ó
signos
con a ios,
según
que
m
es é
en
la
p olongación
de
ab
ó
que
es é
en e
a
y
b
la
elación
de
las
dis ancias
se á,
pues,
posi i a
en
el
p ime
caso
y
nega i a
en
el
segundo.
Así
ma
'mía
'nVa
posi i as,
^nega i a.
31.
Si
eu
una
ec a
inde -ni^o,
XY
(Fig.
14^
ma camos
dos
pun os
/jos
a
y
b,
exis e
siemp e
un
pun o
y
sólo
uno
en
la
ecia,
al
q^ue
la
a ón
de
sus
dis ancias
á
los
pun os
/jos
es
igual
en
magni ud
y
en
signo
á
una
elación
dada
—
.
Dicho
pun o
se
ha

lla á
en
la
p olongación
de
ab
si
es
posi i a,
y
en e
a
y
b
.
in
..
si
—
es
nega i a.
T azo
po
el
pun o
a
una
ec a
que
o me
con
la
ab
un
án

gulo
cualquie a;
omo
en
dicha
ec a,
á
pa i
del
pun o
a,
una
longi ud
am
=
m
azo
po
b
una
pa alela
á
am
igual
en
lon

gi ud
á
n,
hácia
el
mismo
lado
que
am
con
espec o
á
XY,
si
la
elación
dada
es
posi i a,
y
hácia
lado
dis in o,
si
es
nega i a:
sea
bn
en
el
p ime
caso
y
bn!
en
el
segundo;
uniendo
m
con
n
ó
con
n'
la
ec a
de
unión
encuen a
á
XY
en
d
6
en
c,
y
se á
da
_
am
_m
ca
__
am
__ __
m
db
bn
n
5
cb
bn'
n
Si
—
es
mayo
que
la
unidad,
se á
da
>■
db,
ca
">
cb;
luego
los
pun os
d
y
c
cae án
espec i amen e
á
la
de echa
de
b
y
de
o,
medio
de
ab.
Si
—
es
meno
que
la
unidad,
se á
da
•<
db,
ca<_cb;
lueg
’
o
los
pun os
d
y
c
cae án
espec i amen e
á
la
izquie da
de
a
y
o.
Si
—
es
igual
á
la
unidad,
se á
ca
=
—
cb,
y
el
pun o
c
cae

á
en
el
medio
de
ab.
En
cuan o
al
d,
end emos
~
31
-
da
db- La
ba
_
db~
db
db
'
lueg-o
=
0,
bd
=
Qo
;
po
consiguien e
el
pun o
d
se
aleja
al
in ini o,
lo
que
po
o a
pa e
es
e iden e,
oda
ez
que,
en
la
hipó esis
ac ual,
siendo
am
y
bu
iguales
y
pa alelas,
la
igu a
amub
es
un
pa alelóg amo,
y
po
lo
an o
mu
pa alela
á
XY.
Po
úl imo,
si
la
elación
—
ale
ce o
ó
in ini o
se á
da
=
0.
u
ca=
0
en
el
p ime
caso,
db
=
0,
cb
=
0
en
el
segundo;
luego
d,
y
c
se
con unden
con
a
ó
con
b.
Los
pun os
dy
c
son
únicos,pues
si
d,
se
mue e
ace cándose
ó
alejándose
de
b,
los
é minos
de
la
acción
disminuyen
ó
aumen an
en
can idades
iguales,
luego
la
acción
a ia
cons

an emen e
en
el
mismo
sen ido,
pasando
po
alo es
odos
mayo es
ó
odos
meno es
que
—
;
y
si
c
se
mue e
ace cándose
al
U
ca
pun o
a
ó
alejándose,
el
nume ado
de
disminuye
ó
aumen

a
y
el
denominado
a ia
en
sen ido
con a io,
adqui iendo
la
acción
alo es
sucesi os
odos
meno es
ó
odos
mayo es
m
que
—
.
77,
a
Análogo
azonamien o
se
aplica
si
la
elación
es
meno
que
uno,
y
po
lo
an o
el
pun o
d,
es á
á
la
izquie da
de
a.
II.
—
T ans e sales.
T
e o e ma
.
(
Fig.
15J.
*3*5.
Si
dos
coucu eu es
e7i
O
se
c o
IM
po7'
a ias
ans e

sales
que
pa en
de
uii
pun o
P,
los
segmen os
de
las
concu en

es,
cuyos
o ígenes
comunes
son
las
in e secciones
co7i
una
mis

ma
ans e sal,
son
p opo cionales,
con
al
que
cada
segmen o
se
di ida
po
la
dis ancia
de
su
ex emo
al
pun o
P.
se
VMVLKSIDADL
DE
SANTIAGO
u
—
32
—
Sean
¿
y
los
o ígenes
comunes
á
los
segmen os
de
las
concu en es
en
O.
'Tenemos
[1]
ab
.
ac
_
P7/
:
P
—
a'b
’
.
a'c'
IV'
:
P?
•
ac
.
ad
_
a'c
’
.
a'd
’
Pe
:
IV
“
:
FV
:
TV
ab
,
a'b'
_
ac
.
a'd
Pb
:
Pb'
"
"
Pe
"
Pe'
’
ac
.
_
ad
.
a'd'
Pe
‘
Pe'
~
Pd
:
Pd'
ab
alb
’
ac
a'c
’
(id
.
a'd?
,
lue
s°
pí
:
p
?
=
P
c
:
p
?=
p
3-P¿-""
181
-
»3.
E
sc o l io
l.°
En
luga
de
dos
pun os
dis in os
en
linea
ec a
con
P,
puede
oma se
pa a
o igen
común
de
odos
los
segmen os
el
pun o
de
concu so
O,
pues
la
demos ación
se ia
semejan e,
po
consiguien e
Oa
O¿_Ob.Oy_Oc.Oc
,
,
„
Pa
:
Pa'
~
Pb
'
Pb'
-
Pe
*
IV
"
'
*
1
J
‘
.
•5-1.
E
sc o l io
2.°
Si
P
se
aleja
al
in ini o,
es
deci ,
si
odas
las
ans e sales
son
pa alelas
en e
si,
end emos
P
í
Z
=
Pa',
Pb
=
Pb',
Pe
=
Pe'
e c.
luego
las
se ies
[«]
y
se
educen,
en
es e
caso
pa icula ,
á
ab
:
(¿U
=
ac
:
a'c'
=
ad
:
a'd'
..........
[«']
O í
:
O¿?'
=
Ob
:
Ob'
=
üc
:
Oc'
.
.
.
.
Donde
emos
que
es e
eo ema
es
una
gene alización
del
siguien e:
u

—
33
—
U
iia
se ie
ole
pa
(líelas
di ide
á
dos
ec as
cualesquie a
en
pa es
p opo cionales
.
Aho a
podemos
deci :
una
se ie
de
con

cu en es
di
ide
á
dos
ec as
cualesquie a
en
pa os
po po cio-
nales,
con
al
que
se
Imga
en
és as
la
co ección
debida
ála
al a
de
pa alelismo,
y
que
se
cuen en
desde
o ígenes
comunes
en
línea
ec a
con
el
pun o
de
concu so.
Es a
condición
aquí
necesa ia,
no
lo
es
en
las
líneas
p opo cionales.
Si
las
concu en es
en
O
se
con ie en
en
pa alelas,
el
pun

o
O
se
aleja
al
in ini o,
y
se á
0^=0«',
0¿=0¿',
Oc=Oc'
e c.:
po
consiguien e
la
sé ie
[¿]
se
con ie e
en
P
íz
'
:
Pa=
Pó'
:
:
Pe....,
que
aducida
al
lenguaje
ulga
signi ica:
Dos
pa alelas
disiden,
á
a ias
concu en es
en
pa es
p o

po cionales.
En
la
misma
hipó esis,
la
sé ie
¡n]
,
esc i a
en
la
o ma
Q
lj.Pl>_ac
Pe
_
ad
.
Pd
a'b'
‘
P¿'
a'c'
'
Pc'
a'd'
‘
Pd'
-
se
con ie e,
po
se
iguales
las
segundas
azones,
en
al)
:
a'l)'
=
ac
:
a'c'
=
ad
:
,
lo
que
nos
dice:
.
Dos
pa alelas
que
encuen an
á
a ias
concu en es
quedan
di ididas
po
és as
en
pa
es
p opo cionales.
$5.
Si
en e
los
ex emos
de
nná
ec a
limi ada
ab
se
ma

ca
un
pun o
c,
queda
la
ec a
di idida
en
dos
segmen os,
lla

mados
adi i os
po que
ac
+
cb
=
ab.
Po
ex ensión,
si
en
la
p olongación
de
ab
se
ma ca
un
pun o
c.
se
dice
que
es e
pun o
di ide
á
la
ec a
ab
en
dos
segmen os
sus ac i os,
po

que
ca
—
cb
=
ab.
En
ambos
casos
se
conside a
el
pun o
c
como
o igen
común
á
los
dos
segmen os,
y
al
cocien e
de
és os
le
llama emos
a ón
segmen a ia
de
la
ec a
limi ida
ab.
se
UMVFRS1DADF
DL
SAN11AG0
DF
OMPOSTFI
.A
u
T
eo ema
.
36.
,57
dos
lados
de
un
u nguio
se
co an
po
una
ans

e sal
no
pa alela
al
e ce
lado,
los
segmen os
de
los
p ime os
son
p opo cionales,
siemp e
que
se
haga
en
cada
uno
la
co ec

ción
debida
d
la. al a
de
pa alelismo.
Sea
ABC
(Fig.
16}
el
iángulo
co ado
po
la
ans e sal
abe.
Imaginando
una
ec a
^A,
y
conside ando
las
es
concu

en es
en
a.
a.X,
ac,
¿zB
co adas
po
las
ans e sales
B
y
AC
se á
[4]
‘
—
•
—
—
¿
A
•
/x
'
aX
*
aW
—
aX*
aV;
Si
en
luga
délos
segmen os
de
cada
lado,
omá noslos
la

dos
en e os
AB,
AC
y
dos
agmén os
co espondien es,
am

bién
se
e i ica
el
eo ema.
Así
AB
.
Xc
AC
.
A¿
¿zB
‘
ac
aC
"
ab
'
BA
.
Bc_CA
.
C£
aX"
ac~
aX
‘
ab
'
En
es as
es
igualdades,
leyendo
solamen e
los
nume ado

es,
se
en
las
p opo ciones
que
ienen
luga
en e
los
segmen

os
de
dos
lados
de
un
iángmlo
ABC
co ado
po
una
pa alela
/>cal
e ce
lado;
los
denominado es
desapa ecen
cuando
supo

nemos
a
en
el
in ini o.
35.
E
sc o l io
.
La
segunda
p opo ción
AB.
Xc_X^
Xb
«P
'
ac
íz
C
‘
ab
'
puede
esc ibi se
en
la
o ma
1.
Uo
"
M1
'
lcl
'
a,lllo
la
igu a
como
uu
cuad ilá e o
BC e
cuyos
n
k»opue, os
se
han
p ologado
has a
su
encuen o
en
A
»
la
exp esión
úl ima
nos
dice:
'
Pínlon.íix.Ho
los
IsAos
opues os
de
,
i
e«®l il.
i,o'o
loisl.i
su
'1
co«L>i>
S
o,lasi-<i
$
ones
s ,,,, oma las
de
dos
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op Vs os
'
«N
'T*
cl
Tí
Us
®
l(ls
,
'
,lMncs
^nmen a ias
de
los
o os
dos
.

..
01
a
'
1,1
P
1101
^
esc ibi se
la
úl ima
exp esión
en
o a
o ma,,
que
no
ca ece
de
in e és,
á
sabe -
AB.
ac.
X6.
aC
=
Xc.
ab.
AC.
,
6
sea,
en
é minos,
ulga es,
P olouga*
los
lados
opues os
de
un
cuadnilaleTo
has a
que
e^X
iÓs-nu
CWSÍ
*
eTa
’
0
,os
segmen os
que
en
cada
UulAe-
,
V
5
T
eC0M
”
S0
’
el
T
*
c o
<~a o
seqmen-
d
í
wK
”
eIh
;
cni
"
C0
"™^
Pe enecien es
á
dis in os
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del
uad,
da e o,
es
igual
al
p oduc o
de
os
o os
cua o
.T
eo ema
.
(Fig.
17
J
,s
z
desde
el
pun o
de
encuen o?
de
dos
lados
opues os
de
™
cuad ola e o
ABCD
se
aca
una
ansoe sal
que
cu e
a
los
o os
dos
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los
segmen os
de
es os
se ám
p opo cionales,
oa
al
qae,
se
haga
en
cada
uno
la
de
pa alelismo.
eoT eccinn
debida
á
la
.
al a
Tenemos
en
e ec o
[
1
¡
,
«B
«A
_
cC
el)
PB
'
PA
-
PC
:
PD
•
1
Al
esc ibi
la
p opo ción
debe
cuida se:
1.°
de
oma
las
a

zones
segmen a ias
odas
mayo es
ó
odas
meno es
que
la
unidad;
de
pone
en
ambas
azones
compues as
pa a
p ime
e' mino
la
a-
*
zon
segmen a ia
del
lado
más
lejano
al
pun o
de
concu so
opues o,.ó
en
ambas
la
del
lado
más
p óximo.
u
S(
—
36
—
Si
en
luga
de
los
segmen os
de
los
lados
AB
y
CD
oma

mos
los
lados
en e os
y
dos
segmen os
co espondien es,
se
e i ica
ambién
el
eo ema:
así
AB
.
Xa
_
DC
.
Dg
PB
'
Va
PC
'
Pe
'
BA
.
Va_
CD
.
Ce
PA
*
P«~
PD
'
Ve
'
Leyendo
los
nume ado es
de
las
es
igualdades
se
en
las
p opo ciones
á
que
da
luga
un
apecio
cuando
se
.co a
po
una
pa alela
á
las
bases.
El
apecio
se
ob iene
suponiendo
P
en
el
in ini o:
en
al
caso
los
denominado es
desapa ecen.
30.
E
s c o l io
.
La
p ime a
igualdad
del
núme o
an e io
puede
esc ibi se
así
B.cC_PB.PA
aX
'
¿D
~
PC
:
PD
’
Conside ando
los
segmen os
que
los
pun os
a
y
c
de e mi

nan
en
AB
y
DC,
y
los
que
de e mina
P
en
AD
y
BC,
pode

mos
deci :
a
VZ
desde
el
pau o
de
concu so
de
dos
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op
ues os
de
un
cua

d ilá e o
se
a a
una
ans e sal
que
co le
á
los
o os
dos
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las
a ones
segmen a ias
de
dos
lados
opues os
son
p opo ciona

les
á
las
a ones
segmen a ias
de
los
o os
dos.
1
31.
La
úl ima
exp esión
equi ale
á
B.
PC.
cD.
PA
=
aX.
PB.
cC.
PD
,
es
deci :
1
La
egla
más
ácil
pa a
esc ibi
la
p opo ción
consis e
en
aplica
la
de
la
no a
del
núme o
27,
sus i uyendo
el
pun o
de
concu so
de
los
lados
AB
y
DC,
o igen
común
de
I
q s
segmen os,
po
los
o ígenes
es

pec i os
a
y
c
del
eo ema
ac ual.
Si
las
dos
ans e sales
ijas
P^',
son
pa alelas
es

pec i amen e
á
ON
y
OM,
ambién
se
aleja
al
in ini o
el
pun o
a',
y
los
segmen os
c
’
a
’
,
Pa'
se án
iguales;
po
an o
la
úl ima
elación
se á
(Fig.
21)
ca.
c'V
=
Pa.
pg
=
cons an e.
T
eo ema
.
(Fig.
16).
.
11.
Si
dos
lados
de
nn
iángulo
ABC,
conside ados
como
indejinidos
,
se
co lan
po
una
ans e sal
abe,
las
azones
seg

men a ias
de
dichos
lados
son
p opo cionales
á
los
segmen os
del
e ce o
de e minados
po
la,
ans e sal.
Es
deci
que
¿C
.
cB
_
«C
l)^
:
~
^B
En
e ec o,
conside ando
las
concu en es
AC
y
AB
co adas
po
las* ans e sales
sCB
y
abe,
siendo
ija
la
p ime a,
el
eo

ema
del
núme o
37
nos
dá
la
igualdad
[a].
Pod ía
ambién
deduci se
di ec amen e
del
p incipio
del
núme o
8
que,
suponiendo
una
ec a
aX,
da ía
¿C
aC
_
cB
aB
bX
'
aX
cX
‘
aX
’
ácil
de
ans o ma
en
la
elación
[/?].
E
sc o l io
1."
Si
la
ans e sal
abe
es
pa alela
al
lado
BC,
el
pun o
a
se
aleja
al
in ini o,
y
la
elación
-^5
es
igual
á
1:
luego
bC__
cB
bX
""
cX
‘
es
deci :
oda
pa alela
á
un
lado
de
un
iángulo
di ide
los
o os
dos
lados
en
pa es
p opo cionales.

—
44
—
E
sc o l io
2."
El
impo an e
eo ema
an e io
se
encuen a
ya
en
las
Es é icas
de
Menelao,
g-eóme a
g iego
que
i ió
80
anos
después
de
Jesu-C is o,
y
suele
enuncia se
del
modo
si

guien e:
Si
los
es
alos
de
aa
iángulo,
conside ados
como
inde ini

dos,
seco
in
po
una
ans e sal,
és a
de e mina
seis
segmen

os
ales
que
el
p oduc o
de
es
de
ellos
sin
ejel emidaL
común
es
igual
alp oduclo
’
de
los
o os
es.
Se
e
e ec i amen e
que
la
igualdad
[¿z]
equi ale
á
es a
o a
«13.
bC.
ck
=
aG.
bX.
cB.
Nues o
enunciado
o ece
la.
en aja
de
pa en iza
la
co

nexión
en e
el
eo ema
de
Menelao
y
el
do
las
lineas
p opo

cionales,
del
que
es
una
gene alización,
como
ace adamen e
exp esa
M.
Chasles
cu
su
his o ia
déla
Geome ía.
1
T
eo ema
ec íp o c o
.
48.
Si
en
los
es
lados
de
un
I iángulo,
conside ados
como
inde inidos,
se
ma can
es
pun os,
de
modo
que
las
azo

nes
segmen a ias
de
dos
lados
sean
p opo cionales
á
los
segmen

os
del
e ce o,
dichos
es
pun os
es a án
en
linea
ec a.
Supongamos
que
en e
loS
segmen os
de e minados
po
los
pun os
a,
b,
sexis a
la
elación
■
¿C
.
cB
_
«C
bX
:
cX~
«B
l<ZJ1
Conside ando
las
concu en es
AC,
AB
y
la
ans e sal
ija
BC,
la
ec a
que,
une
b
con
c
iene
que
pasa
po
a
[3S].
E
sc o l io
l.°
Si
la
azón
-=.
ale
1.
es
deci
si
«B
•
¿C_£B
bX
~
cX'
.
1
Ape gu
his o ique
su
P
o igine
el
le
déóeloppemen!
des
mélhodes
en
Géomé ie.
Pa ís
1875,
pág.
27.
SI
;
CMVg^lDADF
DE
SANTIAGO
DE
COMPOSTFLA-
u
la
ans e sal
be
es
pa alela
al
lado
BC,
de
lo
con a io
—
no
end ía
el
alo
1,
luego:
si
una
ec a
di ide
en
pa es'iwo*-
'po nonales
ádos
lados
de
un
I iángulo
,espa alela
al
e ce
lado.
E
sc o l io
2.°
El
ecíp oco
an e io
se
enuncia
comunmen e
asi:
Cuando
sob e
los
lados
de
un
iMguló.,
conside ados
co no
in-
depnidos,
se
ma can
es
pun os
ales
que
el
p oduc o
de
es
segmen os
sin
ex emidad
común
sea
igual
al
p oduc o
de
os
o os
es,
dichos
es
pun os
es án
en
linca
ec a.
T
eo ema
,
22).
-13.
Si
desde
un
pun o
P
lomado
en
una
diagonal
de
un
cua-
dn
ale o
ABCD
se
azan
dos
ans e sales
co ando
cada
una
a
dos
lados
adyacen es,
las
azones
segmen a ias
de
dos
de
és os
son
p opo cionales
d
las
azones
segmen a ias
de
los
o os
dos
1
enemos,
en
e ec o
[41]
PB"
¿B.
c
I)_PB
aA
/
dX
PD
1
6C
:
cC
-
■p'I5
,
luego
_
!1
•
^2
_
A
1
d
a
-
-7c
R
]
ó
«
b
.¿
b
_^
d
;
c
d
l
71
,
.
aX
•"bC-dX-^
■
l//|
1
Es as
exp esiones
pueden
esc ibi se
así:
«A.
¿B.
/-G'. ZD
=
?B.
ÓO.
c
D
;
.
VA.
,
lo
que
pe mi e
enuncia
el
eo ema
Úe
o o
modo:
.
S
desde
un
punió
de
uná
diyyonal
de
un
cuad ilále o
se
I iuan
dos
I ans e sales
co lando
cada,
una
á
dos
lados
adyacen es,
esul an
ochó
seg-
"
e
‘
dos.
ales
que
el
p oduc o
de
cua o
de
ellos
sin
ex emidad,
común
es
igual
al
p oduc o
de
los
o os
cua o.
—
4G
—
•
I
KOREM
RE .íl-RDCO,
11.
,S>
l .,
ÍUdh
‘
0
bidns
<b-
h
a
CU(i#l,Hl<Í(
TO
.se
íli iden
en
dns
^e lmeH oS
pn
medio
de
punios
a,
b,
e,
d.
de
bU
modo
que
las
n-
sones
segmen a ias
de
dos
lados
adyacen es
sean
p opo cionales
á
las
abones
segmen a iás
de
los
o os
dos.
las
ec as
ad
y
be
concu en
en
un
pun o
de
la
diagonal
BD,
y
las
al)
y
de
concu

en
en
un
pun o
de
la
o a
diagonal
ÁC.
Tenemos
po
hipó esis
aB
.
í
ZD
_bB
.
cD
aX
'
dX
-
1>C
**
cC
:
llamando
P
al
pun o
en
que
ad
encuen a
á
Bl),
el
p ime
miemb o
déla
igualdad
[a]
ald á
[
II],
luego
¿B
.
el)
_
PB
ÓC-
cC
-
PD
’
lo
que
exige
que
be
pase
ambién
po
P
[4»].
Análoga
demos ación
se
aplica
á
ab
y
de,
pa iendo
de
la
igualdad
[¿j
del
núme o
an e io .
C
o o l a io s
.
15.
1.
1
,S7
desde
un
pun o
P
de
una
diagonal
Bl)
de
.n
cua

d ilá e o
se
aían
dos
ans e sales
co lando
cada
una
á
dos
lados
adyacen es,
las
ec as
que
unan
los
pun os
a
y
d
de
in e

sección
de
una
de
ellas
espec i amen e
con
los
b
y
c
de
la
o a
concu en
en
un
pun o
de
la
segunda
diagonal
AC.
Pues o
que,
según
el
eo ema
di ec o,
las
azones
segmen

a ias
p oducidas
po
Pad
y
Pbc
son
p opo cionales,
luego.
>egnn
el
ecip oco,
las
ans e sales
ab
y
de
concu en
en
un
pun o
de
C.
—
47
—
BG.
2.°
Si
lesde
los
pun os
de
concu so
E
y
F
(Fig*.
23^
de
los
lados
opues os
de
un
cuad ilá e o
ABCD
se
aían
dos
ans-
e sales
que
co en
á
los
lados
del
mismo
en
pun os
b
y
d.
a
?/
c,
I'
ía
ec as
que
unen
a
con
d
?/
b
con
c
concu en
en
un
pun o
de
la
diagonal
BI).
g
las
que
unen
a
con
b,
c
con
d
concu en
en
un
pun o
de
la
o a
diagonal
AC.
*
Tenemos,
en
e ec o
[3^J,
dB
.
cC
_
¿B
dX
•
aX
"
cD
~
le
''
71)
?
qm
1
se
con ie e
en
_
^B
.
¿D
aX
"
dX
—
1>C
*
cC
’
luego
el
co ola io
es
cie o
[
B
S|
.
T
eo ema
.
(Fi i.
24J.
E
$.
Si
lodos
los
lados
de
un
polígono,
conside ados
como
in

de inidos,
se
co lan
po
una
ans e sal,
és a
de e mina
en
cada
lado
dos
segmen os
.
y
el
p oduc o
de
odos
los
que
no
ienen
nin

gún
ex emo
común
es
igual
al
p odu o
de
odos
los
demás.
Sea
ABCDE
el
polígono,
MN
la
ans e sal
y
a,
b,
c,
d.e
los
pun os
en
que
és a
co a
á
los
lados
de
aquel.
1
azando
las
diagonales
AC,
Al)
del
polí ono
y
p olongán

dolas
has a
la
ans e sal,
end emos
a ios
iángulos
ABC,
ACD,
ADE
co ados
po
la
ans e sal
común
MN;
luego
[41J
—
CC
jTp_cC
D'D
eE
di)
aX
1
C'A
bC
’
C'X
:
D'A
*
7
d
1
ÍTA
:
7X
=
<?E
;
mul iplicando
o denadamen e
y
simpli icando
esul a:
cC
JÉll
aX
-
eX
¿C
"
el)
‘
dF.
’
ó
aB.
6C.
cD.
dF.
eX=aX.
bB.
cC.
dD.
eE,
lo
que
debíamos
demos a .
T
eo ema
.
(
F
ííj
.
25^.
4N.
Dadas
es
ci cún e cucias
A,
B,
C,
si
conside ándolas
dos
á
dos
azamos
las
angen es
comunes
ex e io es,
los
es
■pun os
a,
b,
c
en
que
és as
encuen an
á
las
espec i as
ec as
de
los
cen os
es án
en
linca
ec a.
Sean
A,
B,
C
los
adios
de
las
ci cun e encias.
Tenemos
la
igualdad
e iden e
po
sí
misma
B
.
C
_
B
A
*
A
—
C
’
pe o
los
adios
de
dos
ci cun e encias
son
p opo cionales
á
las
dis ancias
del
pun o
en
que
concu en
las
angen es
comunes
á
los
cen os
espec i os,
luego
cB
.
¿C
_^B
¿A
'
¿A
aG
'
lo
que
demues a
que
a,
¿y
c
es án
en
linea
eé a.
T
eo ema
.
(Fig.
^.S).
H>.
Si
desde
dos
pun os
djos
A,
A'
de
dos
edas
concu en

es
OM,
ON
se
azan
pa es
de
ans e sales
Aa'
y
A'a,
Ab'
y
A'b
e c.
cuyas
in e secciones
p
e c.
es án
en
linea
ec a
con
O,
y
se
conside a
como
ijo
uno
de
los
pa es
Aa',
A'a,
la
elación
ha
.
b'a'
bO
:
W
es
cons an e.
En
e ec o:
si
a endemos
al
cuad ilá e o
Os«a'
y
á
las
ans

e sales
A'¿y
Xy
azadas
desde
un
pun o
3
de
la
diagonal
Oa,

—
49
—
las
cuales
co an,
la
p ime a
á
los
lados
adyacen es
«O
y
«a
en
b
y
A',
y
la
segunda
á
los
o os
dos
«'O
y
«'a
en
b'
y
A.
en

d emos
[13|
ba
.
A'^
b'(C
.
Xa*
bO
:
A'a
-
TY)
:
A?
’
,
.
.
ba
b'a!
Ma
Xa!
,
,
óbie
P
■7
o
:
o
=
;:
a
7
i"
1
-
T azando
desde
A
y
A'
o as
dos
ans e sales
que
se
co a

sen
en
la
ec a
O
’
/,
ob end iamos
de
igual
mane a
una
exp e

sión
cuyo
segundo
miemb o
se ia
idén ico
al
de
[«],
luego
los
p ime os
miemb os
se ian
iguales:
po
lau o

T
eo ema
.
(Fiy.
2T
).
50.
a
W
dos
concu en es
OM,
ON
se
co an
po
'pa es
de
ans e sales
Ab'
y
A'b,
Ac'
ij
A'c
C ue
pa en
de
dos
pun os
^os
X
i/
X!
omados
en
las
concu en es.-y
cuyas
'in e secciones^,
es án
en
linea
ec a
con
O,
la,
elación
bA
_
bTV
b()
:
b'O
es
cons an e
é
igual
á
—
.
Suponiendo
que
las
dos
ans e sales
ijas
Xa'
y
X'a
dél
eo

ema
an e io
se
con undan
en
una
sola
ec a
AA',
los
nume a

do es
X'a
y
Xa'
del
segundo
miemb o
de
la
elación
[/?]
se án
iguales
y
de
signos
con a ios,
luego
IA
.
b'X^
_
_
«A
b^*"b'6
—
X
”
IWVLKSIDAL".
DE
SANTIAGO
DE
OMPOST
-50
—
el
segundo
miemb o,
es
cons an e,
el
eo ema
es
Obsé ese
que
la
elación
—
•
.
.
1
¿O
'
¿'O
CS
P
osl l a
si
la
ec a
OK
es
in e io
al
ángulo
MON,
y
nega i a
si
OK
es
ex e io .
T
eo ema
ec íp o c o
.
en es
«
nS
,
^
05
A
A
'
2.1
Z n
V
a
™
46
Ab'
»
A'b
Ac'
si
Ve
en
las
concu en es
segmen os
ales
quela
e'-
bA
.
1/A'
bO
:
b'Ó
sen
conslnn e,
ins
iu eTseccioupQ
,j
>>
/,
i
i
Sea
?
la
in e sección
del
p ime
pa
de
ec as
AZ'
A-z
•«
i
pun o
con
que
0,3
encuen a
Z
V
P
,
!
A
'
y
a
e
l
enemos
encuen ia
a
AA
.
Po
el
eo ema
di ec o
^A
.
£A'
__
a
A
¿O
1
/XO
------
TV
:
iden
á
AA'
en
la
elacinn
2
.
.
en
m
i
elación
-
—
.
p
O
consiguien e
odas
pa

sa an
po
«
con undiéndose
en
una
sola.
T
eo ema
.
(F
ú j
.
^).
'
Ml
T
101ijo
P
se
oaw
'
aummles
■
...
que
coí eu
a
dos
concu en e»
OM,
ON,
los
ec as
si
:
UMVÍ3GJDA11L
DE
SANTIAGO
DE
COMPOSTFIA
que
unan
los
pun os
de
in e sección
a
y
a'
de
cualquie a
de
ellas
con
los
espec i amen e
opues os
b'
y
b,
c'
y
c
de
las
o as,
se
co

a án
en
pun os
en
linca
ec a
con
O.
Según
el
eo ema
[37]
=
co ó
¿,u
6
,
60
‘
¿'O
cO
c
O
luego
en
i ud
del
[51],
los
pun os
3,
7..
es án
en
linca
1
ce

a
con
O.
'L'
eo ema
.
(
Fíg.
28J.
53.
Si
desde
dos
pxiu os
jijos
ay
a'
omados
eu
dos
ec as
cancu eu es
OM,
ON
se
aían
pa es
de
ec as
ab'
y
a'b,
ac-
y
a'c...
que
se
co en
en
pun os
en
linea
ec a
con
O,
las
ec as
que
unan
a
con
a',
b
con
b'
,
c
con
c'
e c.
concu i án
en
un
-mismo
pun o
P.
.
Seg-un
el
eo ema
[50]
¿O
*
¿'O
cO
c'^
luego
en
i ud
del
[3S],
las
ec as
aa',
ce'
e c,
concu en
en
un
mismo
pun o.
T
eo ema
.
(Fi q.^).
51.
Si
desde
un
pun o
I
omado
en
el
plano
de
un
iángulo
ABC
se
i an
ec as
á
los
es
é ices,
p olongadas
has a
los
lados
opues os,
el
cocien e
de
las
a ones
segmen a ias
de
dos
lados
es
igual
y
de
signo
con a io
á
la
azón
segmen a ia
del
e ce o.
Es
deci
que
¿C
cB_
aC
bk*
cX"
aB
1
J
’
se
UMVFRSIDA
■
DE
5AN
JIAGC
DE
COMPOST
u
-52-
En
elec o:
conside ando
Jas
concu en es
AC
AR
x,
i
<(;
OROLAiiTO.
Si
a
es
el
pun o
medio
de
BC.
la
elación
ale
—
1.
luego
«
a-S-
<lc
(,0S
de
h-K a.iulu
doseupaXpTopoM^l^
j^'^nn
es o,
la
ec a
6c
se á
pa alela
á
BC
En
e ec o:
la
igualdad
equi ale
á
es a
o a:
«B.
¿0.
cA.
=
—
i
B
T
k o bma
ec íp o c o
.
(V
k j
•-><);
S(
:
UKMRSipADL
I
DE
SANTIAGO
DE
COMP i
TFIÁ
—
59
—
ó
sea
C(
•
—
,(,,
.
, ,
'
,
cb
‘
db
c'b'
‘
a'U
C0
Nl(Mi e,
lo
cual
debíamos
demos a .
'
Es
cla o
que
es e
eo ema
se
e i ica
en
el
caso
de
coinci

dencia
de
dos
pun os
homólogos.
A
"o a.
La
p oposición
an e io ,
que
se
encuen a
a
en
las
C
olecciones
ma emá icas
de
Pappus,
siglo
IV
de
la-
e a
c is iana,
y
en
la
que
M.
Chasles
ha
undado
su
excelen e
T <i-
aáo
de
Geome ía
supe io
puede
deduci se
di ec amen e
del
p incipio
núme o
J,
base
del
p esen e
es udio.
Tenemos,
en
e ec o,
(^0)
=
(«'
C
O)
,
Vabcl^
=
^a'
U
d'
O),
di idiendo
es as
igualdades,
con
obje o
de
elimina
O,
esul a
ca-
.
da
__
c'a'
.
d'a'
cb
'
db
~
c'b'
'
d'b'
‘
50.
El
eo ema
de
la
elación
ana mónica
es
en e amen e
gene al.
Si
suponemos
una
ans e sal
b'
c'
d'
{Fig.
33)
pa ale

la
á
un
adio
0«,
end emos
ca
,
da
d'b'
cb
'
d,b
c
’
b'
1
oda
ez
que
hallándose
el
pun o
a*
en
el
in ini o
es
c'a'
=d'a;.
Es a
obse ación
o ece
un
medio
sencillo
y
ácil
de
e ene
pa a
halla
el
cua o
pun o
de
una
igu a
ec ilínea
cuando
se
.
conocen
es
y
el
alo
de
la
elación
ana mónica.-
Supongamos
conocidos
los
pun os
a,
b,
c,
y
a emos
de
halla
el
cua o
d
po
la
condición
abcd^
=
.
Desde
un
pun o,
ex e io
á
la
ec a
dada,
ácense
es
a-
1
Pa ís,
1852.
u

—
60
—
dios
á
los
pun os
,
í,
c;
í ese
una
ans e sal
pa alela
á
cual

quie a
de
ellos,
al
Oa
po
ejemplo,
es a
pa alela
encuen a
á
0«
en
un
pun o
en
el
in ini o,
que
llama emos
a'.
Aho a
bien,
ó
sea
íbed)
=
(a'
b
’
d
d'^
=
da*
d'a'
-77-
:
-777i
=
‘
1
*
,
db
d
b
.
,
7
,
,
,
dib'
pe o
c
a
=
a
a
,
luego
=
.
El
pun o
(V
se
de e mina á
po
es a
condición,
y
azando
el
adio
O
í
?,
s u
in e sección
con
la
ec a
dada
se á
el
pun o
d
que
buscábamos.
71.
Llama emos
elaciones
ana mónicas
de
un
haz
de
cua

o
ec as
á
las
elaciones
ana mónicas
de
sus
cua o
pun os
de
in e sección
con
una
ans e sal
cualquie a.
Cua o
ec as
concu en es
en
un
pun o,
conside adas
dos
á
dos,
o man
seis
ángulos.
Dos
haces
d?
cua o
ec as,
cuyos
án

gulos
sean
espec i amen e
iguales,
end án
las
mismas
ela

ciones
ana mónicas.
O o
an o
decimos
de
dos
haces
cuyos
ángulos
sean
unos
iguales
y
o os
suplemen a ios,
po que
los
adios
de
un
haz
pueden
sus i ui se
po
sus
p olongaciones,
lo
que
cambia
algunos
ángulos
del
haz
en
sus
espec i os
suple

men os.
.
De
es a
obse ación
se
desp enden
p oposiciones
análogas
á
las
a adas
en
el
núme o
1®.
1
."
Si
los
adios
de
dos
ó
más
haces
de
cua o
ec as
insc ip

os
en
una
ci cun e encia
pasan
po
cua o
pun os
ijos
de
es a
cu ca,
las
elaciones
ana mónicas
de
los
haces
son
iguales.
2
.
a
Si
el
cen o
de
un
ci culo
se
une
con
los
pun os
mi
que
cua o
angen es
ijas
son
co ladas
po
una
quin a
angen e
móoU,
las
elaciones
ana mónicas
de
los
haces
son
cons an es,
cualquie a
que
sea
la
angen e
mocil.
7».
Se
llaman
elaciones
ana mónicas
de
cua o
pun os
si uados
en
una
ci cun e encia,
las
elaciones
ana mónicas
de
se
UMVLKSJPADI.
DE
SANTIA(;
ü
DE
COyPO
'TFlAl
—
61
—
i.n
ha
Z
insc ip o
cuyos
adios
pasan
po
los
cua o
pun os
Se
llaman
elaciones
ana mónicas
de
cua o
angen es
ijas'
as
elaciones
ana mónicas
de
un
haz
cen al
cuyos
adios
pa.
;
an
po
los
pun os
de
in e sección
de
las
ang-en es
con
una
quin a
angen e
mó il.
“
^mes
con
una
Pues o
que
el
haz
cen al,
cuyos
adios
pasan
po
los
ella
lio
pun os
de
in e sección
de
las
angen es
ijas
con
la
mó il
iene
las
mismas
elaciones
ana mónicas
que
el
insc ip o
cuyo
cen o
es á
en
el
pun o
de
con ac o
de
es a
9
quin a
anlen e^
■
os
edios
pasan
po
los
cua o
pun os
de
con ac o
cíe
es
T
e o e ma
.
(Fi i.
:,
‘
1J
^i^os
inu as
de
cualnjjun os
en
linea
ec a
abed
,/
ah
c
d
ienen
una
elación
ana mónica
igual
y
-un
pun o
homó

logo
común
a,
las
es
ec as
que
unen
dos
á
dos
los
o os
pun os
homólogos
concu en
en
un
mismo
pun o.
Supongamos
ahed')
=
a
//
c'
d^,
lis a
igualdad
pué'de
esc ibi se
asi
ca
.
c'a
_
da
.
d'a
el
‘
c
’
l)
db
‘
dí7/
?
conside ando
las
dos
concu en es
en
a
co adas
po
las
ans-
e sales
bb
,
ce'
x
da
’
,
siendo
ija
la
bb
’
.
las
ans e sales
con

cu en
en
un
pun o
O
[3S].
51.
La
igualdad
en e
dos
elaciones
ana mónicas
puede
es ablece se
de
cua o
modos,
po que
pe mu ando
en
una
de
ellas
dos
de
sus
le as
y
á
la
ez
las
o as
dos,
la
elación
no
a ia,
subsis iendo
igual
á
la
o a.
u
Así,
de
la
igualdad
^aicd')
=
c
'
^')
pueden
deduci se
es as
es
=
^'a'd'c'^
^cd
=
^'d'a'b'V^M
=
que
se
han
ob enido
pe mu ando
sucesi amen e
en
a'b'c'd'
,
«
y
U.
a'
y
c',
a'
y
d',
y
ila
ez
las
o as
dos
le as.
‘
En
consecuencia,
cuando
dos
igu as
ec ilíneas
de
cua o
pun os
ienen
una
elación
ana mónica
igual,
haciendo
coin

cidi
dos
pun os
cualesquie a,
aunque
no
sean
homólogos,
los
demás
unidos
dos
á
dos,
de
mane a
con enien e,
dan
es
ec

as
que
concu en
en
un
pun o.
Si
enemos,
po
ejemplo,
^abcd^
=
^a'b'c'd'V
y
hacemos
coincidi
los
pun os
no
homólogos
¿
y
c
,
pe mu

ando
en
el
segundo
miemb o
b'
con
c'
y
a'
con
d
se á
Vabcd
1
^
=
(¿'c'í's')»
donde
b
y
c'
son
homólogos,
luego,
según
el
eo ema,
las
ec as
que
unan
a,
c,
d,
pun os
de
la
p ime a
elación,
con
sus
homólogos
en
la
segunda
d',
b"
,
a'
concu i án
en
un
pun o
O.
H».
C
o o l a io
.
Si
dos
JiguTCis
wclidiueds
de
c xml
I
o
‘
puu-
os
que
se
co esponden,
ienen
una
elación
ana mónica
igual,
las
demás
elaciones
aná mónicas
son
espec i amen e
iguales.
Haciendo
coincidi
dos
pun os
homólogos,
las
ec as
que
unan
los
demás
dos
á
dos
concu i án
en
un
mismo
pun o,
lue

go
odas
las
elaciones
ana mónicas
análogas
de
las
dos
igu

as
se án
espec i amen e
iguales
[OS].
T
E
OR
e
m
a
.
(
Fi /
.
35
J
50.
Si
los
adios
de
dos
haces
O
y
O'
de
cua o
ec as
se
co lan
dos
d
dos
en
pun os
a,
p,
7,
8
si uados
en
linea
ec a,
los
haces
ienen
iguales
elaciones
ana mónicas.
—
63
—
Demos emos
el
eo ema
pa a
una
elación
ana mónica
cualquie a:
po
ejemplo,
p obemos
que
=
UVc'd'Y
(
Conside ando
los
p ime os
adios
Q
’
a
como
dos
concu

en es
en
a,
los
segundos
O¿,
O'¿'
como
dos
ans e sales
ijas
que
pa en
de
pun os
ijos
O,
O'
omados
en
las
concu en es
a
los
demás
como
ans e sales
que
pa en
de
los
mismos
pun

os
y
se
co an
dos
á
dos
en
pun os
en
línea
ec a
con
a
3
dnd
emos
[4 >]
ca
.
c'a
_
da
.
d'a
‘
c'U
~"db
*
d
7
^'
’
ó
bien
Vilícd^
=
^al/c'd',.
Es
cla o
que
es a
p opo ción
se
e i ica
ambién
en
el
caso
de
con undi se
dos
adios
homólogos
en
uno
solo.
No a.
El
eo ema
an e io
puede
demos a se
po
la
simple
conside ación
de
se
una
ans e sal
común
á
los
dos
haces:
pe o
hemos
p e e ido
conse a
la
co elación
en e
las
p opiedades
de
las
igu as
ec ilíneas
de
cua o
pun os
y
las
analog
’
as
de
los
haces
de
cua o
ec as
concu en es.
T
e o e ma
.
(F
ú
/.
3(y.
<5.
.Si
dos
haces
()
y
CY
de
cua TO
ec as
licúen,
una
elación
(ina mónica
igual
y
un
adio
homólogo
común,
los
es
pun os
de
in e sección
de
los
o os
adios
co espondien es,
omados
dos
á
dos,
es án
en
linea
ec a.
Suponiendo
(O,
ABCD)
=
(OTVB'C'D'),
que emos
demos-
mi
que
las
in e secciones
a,
3,
7
de
los
adios
homólogos
es án
en
linea
ec a.
En
i ud
de
la
hipó esis,
la
elación
ana mónica
de
los
cua o
pun os
de
in e sección
del
haz
O,ABCD
con
una
ec a
u
—
64
—
cualquie a
se á
igual
á
la
elación
ana mónica
de
los
cua o
pun os
de
in e sección
del
haz
O^A'B'C'D'
con
o a
ec a:
luego
elación
que
puede
esc ibi se
así
ca
.
da
_
(ya
.
Oa
cb
"
c'l)
(yb
"
Olí
"
.
Conside ando
los
p ime os
adios
OA,
O'A'
como
dos
con
-
cu en es
en
a.
y
los
demás
como
ans e sales
que
pa en
de
dos
pun os
ijos
O
y
O'
omados
en
aquellas,
siendo
ijas
y
O'b',
es
cla o
que
los
pun os
3
y
7
es a án
en
linea
ec a
con
Cuando
dos
haces
de
cua o
ec as
ienen
una
elación
ana mónica
igual,
haciendo
coincidi
dos
adios
cualesquie a,
aunque
no
sean
homólogos,
hab á
siemp e
es
pa es
de
adios
que
dos
á
dos
se
co a án
en
es
pun os
en
linca
ec a.
Si
enemos,
po
ejemplo,
(O,ABCD)
=
(O^A'B'C'O'
.
y
hacemos
coincidi
los
adios
OA,
O'C'
no
homólogos,
pe mu

ando
en
la
igualdad
an e io
C'
con
A'
y
l)'
con
B'
se á
(O,ABCD)
=
O'
;
C
,
D'A'B'
,
donde
los
adios
que
coinciden
OA,
0'0'
son
homólogos;
lue

go,
según
el
eo ema,
los
pun os
de
in e sección
de
OB,
OC.
01)
con
O'D',
O
’
A',
0'13'
es a án
en
linea
ec a.
ÍO.
C
o o l a io
.
Si
dos
haces
de
cua o
ec as
que
se
co

esponden
ienen
una
elación
ana mónica
igual,
las
demás
se án
espec inámen e
iguales.
Haciendo
coincidi
dos
adios
homólogos
las
in e secciones
de
los
demás
es a án
en
línea
ec a
[57J;
luego
odas
las
ela

ciones
ana mónicas
análogas
de
los
dos
haces
se án
espec i

amen e
iguales
[56].
u

—
65
—
T
e o e ma
.
(Fig.
37).
SO.
Dado
un
exágono
insc ip o
en
una
ci cun e encia,
si
se
p olongan
cada
dos
lados
opues os
AB
y
DE,
BÓ
y
FE,
CD
y
V
Abas a
su
encuen o,
los
es
pun os
de
in e sección
L,
M,
Ñ
es a án
en
linea
ec a.
Tenemos
[<1]
(A,
BDEF)
=
(O,
BDEF)
;
el
p ime
haz
de e mina
en
una
ec a
LD
los
pun os
L,
I),
E,
G,
y
el
segundo
de e mina
en
MF
los
M,
H,
E,
F;
luego
(LDEG)
=
(MHEF)
;
es as
dos
igü as
ec ilíneas
ienen
un
pun o
común
E,
luego
las
ec as
LM,
DH,
GF
concu en
en
un
mismo
pun o
N,
ó
lo
que
es
igual,
los
pun os
L,
M,
N
es án
en
linea
ec a.
1
SI.
Insc ibiendo
en
una
ci cun e encia
un
pen ágono,
cua

d ilá e o
ó
iángulo,
y
azando
po
uno,
dos
ó
es
é ices
espec i amen e
angen es
á
la
ci cun e encia,
pod án
consi

de a se
es as
igu as
como
exágonos
insc ip os
en
los
que
uno,
dos
.ó
es
pa es
de
é ices
consecu i os
se
han
eunido
en
un
pun o,
y
el
eo ema
an e io
se á
aplicable,
po que
no
depende
de
la
longi ud
de
los
lados
del
exágono.
Fundados
en
es a
obse ación
di emos:
l
.°
En
odo
pen ágono
insc ip o
en
una
ci cun e encia,
el
pun o
de
concu so
de
la
angen e
en
un
é ice
con
el
lado
opues

o,
y
las
in e secciones
de
los
o os
cua o
lados
dos
á
dos,
son
es
pun os
en
linea
ec a.
2
.°
En
odo
cuad ilá e o
insc ip o,
las
angen es
en
dos
é

ices
opues os
se
co an
sob e
la
ec a
que
une
los
pun os
de
con

cu so
de
los
lados
opues os.
1
Es e
eo ema
es
un
caso
pa icula
del
exag ama
mís ico
que
Pas

cal
descub ió
á
los
16
años
de
edad
(1639),
y
del
que
dedujo
cua o

cien os
co ola ios.
9
S(
UNIVLKMDA
DE
SAKT1AG
DF
COMPOS'
—
66
—
3
.
En
odo
cuad ilá e o
insc ip o,
el
pun o
d«
concu so
de
dos
lados
opues os
y
los
pun os
en
que
las
p olongaciones
de
los
o os
dos
lados
opues os
encuen an
d
las
angen es
abadas
po
los
ex emos
'
de
uno
de
los
p ime os,
son
es
pun os
en
linea
ec a.
4
.°
En
odo
iángulo
insc ip o,
los
es
pun os
de
in e sec

ción
délos
lados
con
las
angen es
i adas
po
los
- é ices
opues

os
es án
en
linea
ec a.
T
e o e ma
.
(Fig.
38).
En
odo
exágono
ci cunsc i o
á
un
ci culo,
las
ec as
AD,
BE,
CF
que
unen
los
Te lices
opues os
se
co an
en
un
mis

mo
pun o
O.
En
e ec o:
conside ando
los
lados
BC,
DE,
EF
y
FA
como
cua o
angen es
ijas,
y
los
no
consecu i os
AB
y
CD
como
dos
posiciones
de
una
angen e
mó il,
emos
que
la
AB
es á
co

ada
en
los
pun os.
B,
H,
L,
A,
y
la
CD
lo
es á,
po
las
mismas
angen es,
en
C,
D,
M,
N:
luego
[71]
(BHLA)
=
(CDMN).
Tomando
E
y
F
pa a
cen os
de
dos
haces
cuyos
adios
pasen
espec i amen e
po
los
pun os
an e io es,
se á
(E,
BHLA)
=
(F,CDMN);
pe o
es os
haces
ienen
un
adio
común
EL.
FM,
luego
las
in

e secciones
O,
D,
A
de
EB
con
FC,
EH
con
FDy
EA
con
FN
es án
en
línea
ec a,
es
deci
que
las
diagonales
EB
y
FC
se
co an
sób ela
AD;
po
consiguien e
las
es
concu en
en
un
mismo
pun o
O.
1
S3.
Ci cunsc ibiendo
á
una
ci cun e encia
un
pen ágono,
cuad ilá e o
ó
iángulo,
y
conside ando
uno.
dos
ó
es
pun

os
de
con ac o
espec i amen e
como
é ices
de
ángulos
ci -
1
Es e
eo ema
se
debe
á
B iancbon.
u
—
67
—
cuusc i os,
pod an
mi a se
las
mencionadas
igu as
como
exá

gonos
ci cunsc i os
en
los
que
uno,
dos
ó
es
ángulos
son
igua

les
ádos
ec os;
y
el
eo ema
an e io
se á
aplicable
á
ellas,
pues

o
que
es
independien e
del
alo
de
los
ángulos
del
exágono.
De
es a
obse ación
se
deduce:
1
."
En
odo
pen ágono
ci cunsc i o
á
un
ci culo,
la
ec a
que
une
un
é ice
con
el
pun o
de
con ac o
del
lado
opues o,
g
las
dos
diagonales
que
unen
as
o os
cua o
é ices,
se
co an
en
un
mismo
pun o.
2
."
En
odo
cuad ilá e o
ci cunsc i o
á
un
ci culo,
las
ec

as
que
unen
los
pun os
de
con ac o
de
lados
opues os
se
co an
en
el
pun o
de
in e sección
de
las
diagonales.
3
."
En
odo
cuad ilá e o
ci cunsc i o,
la
ec a
que
une
dos
é ices
opues os,
y
las
que
unen
los
o os
dos
con
los
pun os
de
con ac o
de
dos
lados
adyacen es
á
uno
de
los
p ime os
é ices,
son
es
ec as
que
se
co lan
en
un
pun o.
4
."
En
odo
iangulo
ci cunsc i o
á
un
ci culo,
las
es
ec

as
de
unión
de
los
é ices
con
los
pun os
de
con ac o
opues os,
concu en
en
un
pun o.
T
eo ema
.
(Fig.
39J.
N
I.
Si
dos
iángulos
ABC,
A'B'C'
ienen
sus
é ices
colo

cados
dos
á
dos
sol e
es
ec as
concu en es
en
O,
sus
lados
se
co lan
dos
á
dos
en
pun os
a,
b,
c
en
linea
ec a.
Sean
D,
E,
F
los
pun os
en
que
la
ec a
ab
encuen a
á
las
es
concu en es.
Es
e iden e
que
a,
OBEB')
={b,
OBEB')
.
luego
(O
ADA')
=
(OCFC'),
po
consiguien e
las
ec as
AC,
DF
6
ab
y
A'C'
concu en
en
un
mismo
pun o
c,
ó
lo
que
es
igual,
los
pun os
a,
b,
c
es án
en
línea
ec a.
u
-68
—
T
eo e ma
ec íp o c o
.
*5.
Si
los
lados
de
dos
iángulos
ABO,
A'B'C'
se
co an
dos
a
dos
en
es
pun os
a,
b,
c
si uados
en
linea
ec a,
sus
é

ices
es án
si uados
dos
á
dos
en
es
ec as
concu en es.
Sean
i
y
H
los
pun os
en
que
AC
y
A'C'
co an
á
BB'
Es
e iden e
que
luego
(B,
=
(B',
,
(AGCc)
=
(A'HC'c)
;
po
consiguien e
las
ec as
A
A',
GH
ó
BB'
y
CC'
concu en
en
un
mismo
pun o
O.
No a
1.
a
Los
dos
eo emas
p eceden es
es án
comp endi

dos
en
el
co ola io
del
núme o
45
En
e ec o:
p olongando
BA
j
BC
has a
que
encuen en
espec i amen e
á
B'A'
y
B'C'
am

bién
p olongados,
se
o ma
un
cuad ilá e o
BsÉ^,
del
que
BB'
es
una
diagonal;
y
como
desde
un
pun o
O
de
és a
enemos
dos
ans e sales
OAA',
OCC,
las
ec as
AC,
A'C
que
unen
los
pun os
A
y
A
espec i amen e
con
C
y
C
concu en
en
un
pun

o
c
de
la
o a
diagonal
ai,
luego
a,
6
y
c
es án
en
línea
ec a
e
un
modo
semejan e
demos a íamos
el
ecíp oco.
Ao a
2.
a
Son
cie os
los
dos
eo emas
an e io es
pa a
dos
gu as
ec ilíneas
cualesquie a,
cuyos
é ices
es én
en
ec as
concu en es
ó
cuyos
lados
se
co en
en
una
misma
ec a.
Po
mane a
que
es as
dos
condiciones
son
consecuencia
una
de
o a.
El
pun o
de
concu so
se
llama
cen o
de
homología,
y
la
icc a
e)e
de
homología-,
las
igu as
se
llaman
homológicas,
de

nominación
debida
á
Poncele ,
si
bien
los
eo emas
pa icula-
les
se
deben
a
Desa gues.
Haciendo
que
una
de
las
igu as
ho

mológicas
gi e
al ededo
del
eje
de
homología
saliendo
ue a
p
ano,
lab
ec as
AA',
BB',
CC'
siguen
concu iendo
en
O.
es o
es,
son
pe spec i as.
1
aducid
O e
“
°
“
'
se
LMVLKolDAUL
-
DE
COMP iílWe
u
—
75
—
Uniendo
los
pun os
medios
Q,
H,
L
de
los
lados
del
mismo
iángulo
po
medio
de
ec as,
la
GL
pasa á
po
el
pun o
me

dio
m
de
la
diagonal
AC,
LH
pasa á
po
h
,
medio
de
la
BD,
y
HG
po
p,
medio
de
EF.
Sus i uyendo
los
seis
segmen os
de
la
igualdad
[a]
po
sus
mi ades
espec i as,
se á
wG
.
_
pG
m .
"
oL
—
p
H
'
1
encinos,
pues,
que
en
el
iángulo
GUL,
los
pun os
y
n
de e minan
en
dos
lados
LG,
LH
azones
segmen a ias
p o

po cionales
á
los
segmen os
que
el
pun o
p
de e mina
en
el
e ce
lado
GH;
luego
los
es
pun os
m.
a.
p
es a án
en
linea
ec a
[«»].
'
T
e o e ma
.
(Viq.
1O1
.
Los
cua o
lados
de
un
cuad ilá e o
comple o
A
BU
D
E
F
.
las
es
diagonales,
g
las
dos
ec as
queMnen
los
pun os
E
g
F
con
la
in e sección
G
de
las
diagonales
in e io es,
son
nue e
lineas
di ididas
a mónicamen e.
La
simple
inspección
de
la
igu a
mani ies a
que
Ed
es
po

la
del
pun o
F
con
espec o
al
ángulo
AED.
lo
que
demues a
el
eo ema
pa a
BC,
Al)
y
FG.
También
se
e
que
Ya
es
pola
de
E
con
elación
al
ángulo
AFB,
lo
que
demues a
el
eo ema
pa a
CD,
AB
y
EG.
Llamando
II'
al
pun o
en
que
la
diagonal
BI)
encuen a
á
EL,
emos
que
AH
es
pola
de
H'
con
elación
á
EAF;
luego
el
eo ema
es
cie o
pa a
BD
y
EF.
Po
ul imo,
H'C
es
pola
de
A
con
espec o
al
ángulo
BH'E,
lo
que
demues a
el
eo ema
pa a
la
diagonal
AC.
no a á
que
cada
lado
del
cuad ilá e o
es
di idido
a mó

nicamen e
po
uno
de
los
é ices
E,
F
y
uno
de
los
pun os
a,
l),
c,
d
en
que
las
ans e sales
EG
y
FG
encuen an
á
los
lados:
cada
diagonal
es á
di idida
a mónicamen e
po
las
o as
u

—
76
—
dos:
y
las
-
ans e sales
EG
y
FG
es án
di ididas
po
dos
la

dos
opues os
del
cuad ilá e o.
1O».
E
s c o l io
.
Las
ec as
ad
y
be
concu en
en
un
pun o
de
la
diagonal
BD,
y
las
ab
y
de
en
uno
de
la
AC
aunque
las
ans e sales
E
ó
?,
F
íz
no
pasen
po
G
[1G].
Si
las
ans e sales
Ed
y
Fs
pasan
po
G,
los
mencionados
pun os
de
concu so
se

án
los
conjugados
a mónicos
IF
y
H
en
que
las
diagonales
BD
y
AC
encuen an
á
la
e ce a
diagonal
EF;
po que
consi

de ando
las
concu en es
AE,
AF,
como
los
pa es
de
ec as
ED
y
FB,
E
í
Z
y
F
íz
se
co an
en
pun os
G
y
G
en
línea
ec a
con
A,
las
ec as
BD
y
ad
concu en
en
un
mismo
pun o
de
la
EF
[53J.
De
un
modo
análogo,
conside ando
las
concu en es
BE,
BF
y
los
pa es
de
ec as
EG
y
FG,
ED
y
FD,
cuyas
in e sec

ciones
G
y
D
es án
en
línea
ec a
con
B,
se
demues a
que
ab,
AC
y
de
concu en
en
H.
Po
úl imo,
ha emos
no a
que
los
lados
del
cuad ilá e o
abed
es án
a mónicamen e
di ididos
po
las
es
diagonales
del
ABCDEF.
103.
Las
elaciones
¿C
,
cB
__
gC
'
.
bX
"
cA
~
aE
’
bC
.
cB
_
aC
bX
"
cX
íí
B
’
de
los
eo emas
de
Menelao
[41
J
y
de
Ce a[54],
pueden
esc i

bi se
en
es a
o ma:
^B
^C
cX
_
aC
‘
bX
'
cB
~
’
[«]
sB
bC
cX__
aC*
bX"
cB
—
Si
en
un
lado,
BC
po
ejemplo,
del
iángulo
ABC
se
de

e mina
el
pun o
conjugado
a mónico
del
a
con
elación
á
di

cho
lado,
y
le
llamamos
a',
se á
aE
a'B
.
«c
_
“
«'c
;
u
—
n
—
llamando
L'
y
c'
a
los
pun os
conjugados
a mónicos
de
b
y
c
con
espec o
á
los
lados
AG
y
AB
en
que
és os
se
hallan
si ua

dos,
end emos
ambién
_
—
_
£2
_
c
'
^
¿A
~
A
’
"cB
--
c'B
"
Según
es o,
si
en
una
de
las
elaciones
[¿z]
se
sus i uye
un
nume o
impa
de
pun os
a^b.c
po
sus
conjugados
esul a á
la
o a
elación:
y
sus i uyendo
dos
délos
es
pun os
a,
b,
c
po
sus
conjugados
la
elación
no
se
al e a.
Aho a
bien,
cuando
se
e i ica
la
p ime a
de
las
elaciones
[^J
,
los
pun os
a,
b,
c
es án
en
línea
ec a,
y
cuando
se
e i ica
la
segunda,
las
es
ec as
Ai?,
Bb,
Ce
concu en
en
un
mismo
pun o,
luego
Cuando
en
los
lados
de
un
iángulo
engamos
es
pun os
en
línea
ec a
se
pod án
ob ene
es
ec as
concu en es
en
un
pun o,
sus i uyendo
un
núme o
impa
de
pun os
po
sus
con

jugados
a mónicos;
y
ecíp ocamen e,
cuando
engamos
es
ec as
pa iendo
de
los
é ices
y
concu en es
en
un
pun o,
se
ob end án
del
mismo
modo
es
pun os
en
línea
ec a.
Cuando
engamos
es
pun os
en
línea
ec a
se
ob end án
o os
es
en
línea
ec a
cambiando
dos
de
los
pun os
po
sus
conjugados
a mónicos;
y
cuando
engamos
es
ec as
concu en es
en
un
pun o
se
halla án
de
igual
mane a
o as
es
concu en es.
Es a
obse ación
nos
pe mi e
enuncia
a ias
p oposiciones.
1.
a
Si
un
iángulo
se
co a
po
una
ans e sal
en
es
pun

os
a,
b,
c,
las
ec as
que
únanlos
pun os
a',
b',
c',
conjugados
a

mónicos
de
a,
b,
c
espec o
de
los
lados
del
iángulo,
con
los
é

ices
opues os,
se
co an
en
un
mismo
pun o.
*
2.
a
Si
un
iángulo
se
co a
po
una
ans e sal
en
es
pun

os
a,
b,
c,
uno
cualquie a
de
es os
pun os
es á
en
linea
ec a
eon
los
conjugados
a mónicos
de
los
o os
dos.
3
.
a
Si
un
iángulo
se
co a
po
una
ans e sal
en
es
pun

os
a,
b,
c,
las
ec as
que
unan
dos
de
es os
pun os
a,
b
g
el
con

yugado
c'
del
e ce o
con
los
é ices
opues os,
concu en
en
un
misino
pun o.
UNIVERSIDAD!.
DE
SANTIAGO
DF
COMPOSTEI
u
—
78
—
4
.
a
Dado
uu
pun o
I
en
el
plano
de
un
I iángulo,
las
pola es
del
mismo
pun o
con
elación
á
los
es
ángulos,
encuen an
á
los
lados
opues os
en
es
pun os
en
linea
ec a.
5
.
a
Las
pola es
de
I
con
elación
á
dos
ángulos
del
iángu

lo
y
la
ec a
que
une
el
pun o
I
con
el
e ce
é ice,
concu en
en
un
mismo
pun o.
6
.
a
La
pola
de
I
con
elación
á
un
ángulo
A
del
iángulo
y
las
ec as
que
unen
F
con
los
o os
é (ices
B
y
0,
encuen

an
á
los
lados
opues os
en
( es
pun os
en
linea
ec a.
1
?
Las
bisec ices
de
los
es
ángulos
ex e nos
de
un
ián

gulo
encuen an
á
los
lados
opues os
en
es
pun os
en
linea
ec a.
8
.
a
Las
Iñsec ices
de
dos
ángulos
ex e nos
de
un
iángulo
y
del
e ce
ángulo
in e no,
concu en
en
un
mismo
pun o.
9
.
a
J^as
bisec ices
de
dos
ángulos
de
un
iángulo
y
la
del
suplemen o
del
e ce o,
encuen an
á
los
lados
opues os
en
es
pun os
en
linea
ec a.
.
■OI.
Hemos
is o
[41S
y
6
Ij
que
conside ando
dos
á
dos
es
ci cun e encias
dadas
y
azando
sus
angen es
cóiñunes
ex e io es
é
in e io es,
los
pun os
a,
b,
c
Fig.
2Ó)
en
que
las
ex e io es
encuen an
á
las
espec i as
lineas
de
los
cen os
es án
en
línea
ec a;
y
las
es
ec as
que
unen
cada
uno
de.
los
cen os
con
los
a'.
b'
,
c'
en
que
las
angen es
in e io es
encuen

an
á
las
lineas
de
los
cen os,
concu en
en
un
pun o.
L
na
de
es as
p opiedades
os
consecuencia
de
la
o a,
.en
i

ud
de
la
obse ación
gene al
expues a
en
el
núme o
an e io ,
oda
oz
que
a'
.
b"
.
c
son
pun os
conjugados
a mónicos
de
a,
b,
c
con
espec o
á
los
lados
del
iángulo
ABC;
y
de
cualquie a
de
ellas
pueden
dedmp so
consecuencias
bas an e
cu iosas.
Conside emos
los
es
pun os
a,
b,
<?en
linea
ec a,
y
cam

biemos
algunos
de
ellos
po
sus
conjugados.
'
.
Cambiando
a
y
b
po
a'
y
b'
se
deduce:
a',
b'
y
c
en
linea
ec a,
ay
c
po
a
’
y
c
’
a'
,
c'
y
¿en
línea
ec a.
by
c
po
b'
y
c
b',
c'
y
¿z
en
linea
ec a.
Cambiando
a
po
a
las
ec as
Xa',
B¿,
C
son
concu en es,
b
po
b'
B¿',
Xa,
Ce
son
concu en es,
cpo C
Xa,
^b,
Ce'son
concu en es.
u
—
79
—
V.
—
1>¡ isión
liomog áli n.
105.
Si
enemos
dos
líneas
ec as
y
suponemos
en
cada
una
dos
pun os
ijos
y
uno
mó il,
de
modo
que
los
cocien es
de
las
dis ancias
de
és e
á
los
ijos
espec i os
es én
en
elación
cons

an e,
los
pun os
mó iles
o man
cnlas
ec as
dos
di isiones
komog ádcas.
Sean
a,
1)
los
pun os
ijos
de
la
p ime a
ec a
y
c
el
mó il,
sean
a',
c*
los
análogos
en
la
o a:
es as
ec as
se
halla án
homog á icamen e
di ididas
si
se
e i ica
la
elación
en,
c'a'
—
7
:
í
,
=
cons an e.
CU
Cb
.
KM».
Según
es a
de inición,
el
eo ema
del
núme o
36
nos
dice
que
cuando
dos
ec as
se
co an
po
dos
ans e sales
ijas
que
pa en
de
un
pun o
P,
oda
ans e sal
mó il
al ededo
de
•dicho
pun o
de e mina
en
las
p ime as
ec as
dos
di isiones
homog á icas;
y
podiendo
conside a
como
ijas
dos
ans e

sales
cualesquie a,
enuncia emos
así
dicho
eo ema:
Si
dos
Teclas
se
co an
'po
a ias
ans e sales
gue
pa en
de
un
mismo
pun o,
quedan
di ididas
komog á icamen e.
1
Los
pun os
ijos
son
dos
cualesquie a
de
la
p ime a
ec a
y
sus
homólogos
en
la
o a.
El
pun o
de
concu so
de
ambas
ec as
es
homólogo
de
sí
mismo
en
las
dos
di isiones,
po que
una
de
las
ans e sales
que
pa en
de
P
puede
pasa
po
dicho
pun o.
105.
Recip ocamen e.
Si
hacemos
coincidi
dos
pun os
jijos
homólogos
de
dos
ec as
di ididas
homog a leamen e,
las
ec as
que
unan
dos
dos
á
dos
los
demás
pun os
homólogos
con
cu en
en
un
mismo
pun o
[3NJ.
2
ION.
Cuando
dos
ec as
concu en es
se
co an
po
a ias
ans e sales
que
pa en
de
un
pun o,
pueden
conside a se
como
ijas
dos
cualesquie a
de
ellas
[36]:
luego,
eniendo
p e-
1
Ohasles,
T ai e
de
Géomé ie
supe ieu e,
mun.
102.
2
Id.
id.
núm.
103.
UNIVLRSIDADI
DE
SANTIAGO
DE
COMPOSTF
■
u
«en e
el
ecíp oco
an e io ,
di emos:
en
dos
ec as
di ididas
homog á icamen e
pueden
conside a se
como
ijos
dos
pun os
cualesquie a
de
la
p ime a
y
los
homólogos
de
la
segunda,
siendo
odos
los
demás
di e sas
posiciones
del
pun o
mó il.
1O!>.
Supongamos
dos
ec as
di ididas
homog á icamen e.
Sean
a,
c,
el
cua o
pun os
de
la
p ime a
y
a',
c',^
los
co

espondien es
de
la
segunda.
Conside emos
como
ijos
los
a
y
b
s
y
V*
y
se á
[105]
ca
.
eV
(Id
.
d!(¿
,
ca,
.
da
c'a'
.
d'a'
ch
"
c'l)
—
db
‘
d'b
’
°
*
"dJj
”
"dU
‘
"dd;
’
es o
es
V^cd^
=
[a'
b'
o'
d'^
;
luego
CTiaudo
dos
Teclas
es án
di ididas
Komog ájicameu é.
cua

o
pun os
de
la
p ime a
y
los
co espondien es
de
la
segunda
ienen
iguales
elaciones
ana mónicas.
Recip ocamen e,
cuando
dos
ec as
es án
di ididas
po
pun

os
([ue
se
co esponden,
de
modo
que
la
elación
ana mónica
de
cua o
pun os
cualesquie a
de
la
p ime a
sea
igual
á
la
elación
ana mónica
de
los
cua o
pun os
co espondien es
de
la
segunda,
las
ec as
es án
di ididas
homog á icamen e.
Si
a,
b,
c,
d
son
cua o
pun os
de
la
p ime a
di isión
y
a',
b'
,
c'
,
d'
los
co espondien es,
enemos
po
hipó esis
^abcd^
=
^a'
b*
c*
d
’
^
,
,
,
,
ca
c'a'
da
d'a'
.
de
donde
-y
:
—
=
-
T
:
[
í
?].
cb
cb
db
db
Tomemos
es
pun os
de
los
an e io es
a,
b,
d
y
un
cua o
e,
y
los
co espondien es
a',
b',
d',
e
’
,
y
se á
abde^
=
^a'
b'
d'
e'}
,
,
,
,
da
d'a'
ea
e'a'
7n
de
donde
-y
:
-yy
=
-
:
—
M].
db
d'b
eb
e
b
L
J

—
81
—
De
es a
mane a
pudié amos
con inua
inde inidamen e.
De
las
elaciones
[a],
[¿],
e c
se
deduce
ca
.
c'a,'
(Id
,
d'a'
ea
.
e'a'
cb
‘
cb'
lb
'
d'b
’
eíj
‘
e'b..........
lo
que
demues a
que
los
pun os
a,
b,
c,
d,
e...,
a
’
,
b',
c'
,
d',
c*
...
o man
dos
di isiones
lio
Laog á icas.
No a.
Las
conclusiones
an e io es
se
deducen
ambién
de
los
eo emas
núme os
107
y
1OO.
El
107
demues a
que
dos
ec as
di ididas
homog á icamen e
pueden
coloca se
de
ma

ne a
que
uniendo
los
pun os
de
una
con
los
homólogos
de
la
o a
las
ec as
de
unión
concu an
en
un
mismo
pun o;
luego
cua o
pun os
cualesquie a
de
la
p ime a
ec a
end án
igua

les
elaciones
ana mónicas
que
los
co espondien es
de
la
se«-
gunda
[08].
Recíp ocamen e,
si
cua o
pun os
cualesquie a
b,
c,
d
de
la
p ime a
ec a
ienen
igual
elación
ana mónica
que
los
co

espondien es
a',
b'
.
c
,
d'
déla
segunda,
haciendo
coincidi
dos
pun os
homólogos
a
y
las
ec as
que
unan
b
con
b'
,
c
con
c',
d
con
d*
se án
concu en es
[73]:
conside ando
o os
cua o
pun os
a',
b
d'
,
la
ec a
ee'
pasa á
po
el
pun o
de
concu so
de
las
es
an e io es,
y
asi
sucesi amen e.
Siendo,
según
es o,
concu en es
odas
las
ec as
bb'
,
cc'
,
dd'
,
ce'
e c.
las
dos
di isio

nes
son
homog á icas
[106].
Se
hab á
obse ado
ya
que
la
elación
ana mónica
es
un
caso
pa icula
de
la
di isión
homog á ica:
aquel
en
que
los
pun os
de
di isión
son
cua o.
11O.
Si
nos
p oponemos
ma ca
una
di isión
homog á ica
de
o a
dada
a,
b,
c,
d,
e....,
oma emos
es
pun os
a bi a ios
a',
b',
c'
en
linea
ec a
y
de e mina emos
un
cua o
pun o
d
pol

la
condición
a?
b'
c*
d
”
)
=
^abcd'),
siguiendo
la
egla
del
núme o
<»7:
de e minando
sucesi a

men e
o os
po
las
condiciones
(a'
b'
c'
=
abee)
,
(a'
b'
d
=
'adc
}
e c.
se
end án
dos
di isiones
homog á icas
[!OO],
se
UN[ -ERS1DAI
"
DE
SANTLAGC
DECOMPOST
u
111.
Dos
haces
de
ec as
concu en es
son
liomogya icos
si
co ándolos
po
ans e sales
quedan
és as
di ididas
homo i- á-
ncamen e.
o
Es
cla o
que
si
dos
ans e sales
es án
di ididas
liomog á-
ncamen e
po
dos
haces,
o as
dos
ans e sales
cualesquie a
lo
es a án
ambién,
po que
las
nue as
di isiones
se án
homoe- á-
icas
con
espec o
á
las
p ime as
[106];
luego
se án
homog á-
ncas
en e
sí.
°
113.
SI
Da íos
adíos
que
pa len
de
dos
pun os
ijos
se
co

an
dos
a
dos
en
pun os
si uados
en
línea
ec a,
os
líaces
que
o

man
son
homog d
íeos.
1
[19].
"
Obse oacíon.
La
ec a
que
une
los
cen os
de
los
dos
haces
es
un
adio
homólogo
de
sí
mismo
común
á
los
dos
haces.
113.
R
ec íp o c o
.
Haciendo
coincidi
dos
adíos
komóloqos
de
dos
haces
homog a icos
los
demás
se
co lan
dos
á
dos
en
pun

os
si uados
en
linea
ec a.
2
3
[51].
T
eo e ma
.
111.
Sidos
ec as
es án
di ididas
Komoq a leamen e,
y
en
la
ec a
que
une
dos
pun os
de
di isión
homólogos
ma camos
dos
1
y
,
P
'
’
UMen l
°
pC0U
los
$
uulos
de
di isión
de
una
ícela
y
V
con
los
espec i os
homólogos
déla
o a,
las
ec as
de
unión
se
co an
dos
á
dos
en
pun o
si uados
en
linca
ec a
hom^^n"
8
eC aS
pa en
de
P
y
p
'
^
man
dos
haces
nomogiancos
con
un
adio
común
PP'.
Si
las
di isiones
homog á icas
ienen
un
pun o
homólogo
común
a,
es
cla o
que
la
ec a
luga
geomé ico
de
las
in e

secciones
de
los
adios
que
pa en
de
Py
P
pasa á
po
Apo que
cionado
’
eCe
6,1
al
CaS
°
31
geomé ico
men-
lUUcillO.
1
Ohasles,
núm.
104.
2
Id.
núm.
105.
3
Id.
núm.
100.
T
eo e ma
.
115.
Dados
dos
haces
homog á íeos,
si
-po
la
in e sección
de
dos
adios
homólogos
azamos
dos
ans-oe sales,
las
ec as
que
unen
los
pun os
de
in e sección
de
una
ans e sal
y
un
haz
con
los
de
la
o a
an e sal
y
el
o o
haz
concu en
en
un
mismo
pun o.
1
Po que
las
ans e sales
quedan
di ididas
homog á ícamen-
e
po
los
haces
y
ienen
un
pun o
homólogo
común.
-
Si
los
haces
homog á icos
ienen
un
adio
homólogo
común,
el
pun o
de
concu so
es a á
en
es e
adio.
T
eo e ma
.
■
IG.
Si
dos
ec as
es án
di ididas
homog a leamen e,
y
uni

mos
dos
pun os
de
la
p ime a
con
los
homólogos
de
la
segunda
omados
in e samen e.,
las
ec as
de
unión
se
co an
siemp e
sol e
una
misma
ec a
ja.
Sea
AB'
(Fig.
el
pun o
de
concu so
de
las
dos
ec as,
que
designa emos
po
A
cuando
se
conside e
como
pun o
de
la
ec a
M
y
po
B'
cuando
se
conside e
como
pun o
de
la
ec a
N.
Sea
A'
el
pun o
de
la
N
co espondien e
al
pun o
A
de
la
M,
y
B
el
pun o
de
la
M
co espondien e
al
B'
de
la
N.
Según
es o,
á
los
pun os
a,
6,
A,
B
de
la
ec a
M
co espon

den
en
la
N
los
a',
U
,
A',
B';
luego
[109]
(¿z5AB)
=
(a'
b'
A'
B
z
):
pe mu ando
las
le as
del
segundo
miemb o
de
modo
que
en
la
igualdad
esul an e
los
pun os
A
y
B'
sean
homólogos,
en

d emos
(s¿AB)
=
(¿'
a*
B'
A')
;
1
Chasles,
núm.
107.
—
84
-
luego
las
ec as
que
unen
a
con
b
con
a'
concu en
en
un
mismo
pun o
de
la
BA'
[5
J],
y
como
és a
es
ija,
queda
demos

ado
el
eo ema.
1
Si
AB
uese
un
pun o
homólogo
común
á
las
dos
di isiones
la
ec a
mup
pasa ía
po
dicho
pun o,
y
se ia
la
pola
del
pun

o
de
concu so
de
las
ec as
a' ',
bb',
cc
e c.
con
espec o
al
án

gulo
que
o man
las
M
y
N.
C
o o l a io
.
iis.
>Si
en
dos
ec os
M
7/
N
lomamos
dos
se ies
de
es
pun os
cualesquie a
a,
b,
c
y
a',
b',
c'
que
se
co espondan
uno
á
uno,
las
ec as
ab'
y
a'b.ac
’
y
a'c,
be'
y
b'c
se
co lan
en
es
punios
m,
n,
p
si uados
en
linea
ec a.
-
Pues o
que
el
azouamien o
del
eo ema
some e
la
posición
de
los
pun os
a,
b,
c
y
a'.
b'
.
c'
á
la
única
condición
de
que
pe

enezcan
á
dos
di isiones
homog á icas,
y
es o
se
puede
siem

p e
supone
de
es
pun os
ma cados
a bi a iamen e
en
dos
lineas
ec as
[1IOJ.
T
eo e ma
.
(Fig.
48
J
.
?
0S
^
aces
komo
9
Y
«1icos,
si
conside amos
dos
adoskíX.
km
del
p ime o
y
los
dos
co espondienles
O'AVÓ'B*
del
seg /ndo,
la
ec a
que
una
los
pun os
m,
n
en
que
los
p ime

os
adios
encuen an
á
los
segundos,
omados
in e samen e.
pa-
sa a^
siemp e
po
un
mismo
pun o
ijo.
Sea
Oa
el
adio
que
en
el
p ime
haz
co esponde
al
O'O
(el
segundo,
OV
el
adio
del
segundo
haz
que
co espon-
í
00
del
p ime o
-
y
p
el
pun o
de
encuen o
de
Oa
y
U
a
.
Gomo
los
adios
0'0
y
00'
son
ijos,
sus
co espondien es
1
Es
la
demos ación
de
Clmslcs,
núme o
108,
modi icada
en
su
segunda
pa e.
2
Chasles,
núm,
109.
S
3
LMX'LRilDADÉ
DE
SANTIAGO.
'
DE
COM
J
-TEM
u
—
91
—
Pues
bien,
es e
in e esan e
eo ema
se
deduce
inmedia a

men e
del
nues o
[4],
po
una
simple
eliminación
de
los
seg

men os
que
concu en
en
O,
según
se
ha
is o
en
el
núme o
6».
193.
Siendo
el
eo ema
de
Menelao
y
el
de
la
elación
ana mónica
consecuencias
de
una
misma
p oposición,
deben
es a
unidos
po
más
pun os
de
con ac o
de
los
que
se
pe ciben
á
p ime a
is a,
y
no
ca ece
de
in e és
descub i
la
dependen

cia
y
luga
espec i o
de
las
es
p oposiciones.
Gene almen e
aquellos
dos
eo emas
se
p esen an
como
inde

pendien es
uno
de
o o,
con
sus
demos aciones
p opias.
Chasles
ha
deducido,
sin
emba go,
el
p ime o
del
segundo
1
median e
la
in olución,
undándose
en
que
los
. é ices
del
iángulo
y
los
pun os
de
in e sección
de
la
ans e sal
con
los
lados,
pueden
conside a se
como
los
seis
é ices
de
un
cuad ilá e o
comple

o,
cuyas
p oyecciones
sob e
una
ec a
es án
en
in olución,
y
en
que
los
segmen os
p oyec ados
son
dos
á
dos
p opo ciona

les
á
sus
p oyecciones;
y
ambién
lo
deduce
empleando
un
haz
de
cua o
ec as
co ado
po
dos
ans e sales,
una
de
las
cua

les
es
pa alela
á
un
adio
del
haz.
Noso os
añadi emos
que
el
p incipio
de
la
elación
ana

mónica
puede
á
su
ez
se
deducido
del
eo ema
de
Menelao.
Sean,
en
e ec o,
dos
ans e sales
ábed,
y
a'
b'
d
d'
(Fig.
52).
T azando
po
a
una
pa alela
á
la
segunda
ans e sal,
y
con

side ando
el
iángulo
abm
co ado
po
las
ans e sales
Oc%,
se á
.
um
db
pm
Ob
ca*
ua
Om
’
da
‘
pa
Qm,
’
de
donde
—
:
—
=
-
•
ó
—
•
—
=
—
•
•
ca
'
na
da
‘
pa
ca
'
da
na
"
pa
‘
pe o
luego
nm
.
pm
_
db'
.
d'b'
na
"
pa
—
da'
'
d'a'
’
cb
.db
_
db'
,
d'b'
ca
*
da
da'
'
d'a'
*
1
Núme o
352.
UMVCRS1DA
DE
SANTiAG
DE
COMPOS'
u

Concep uamos
del
mayo
in e és
pa a
la
ciencia
analiza
y
descub i
los
pun os
de
con ac o
en e
las
di e sas
p oposicio

nes:
las
e dades
aisladas
no
deben
sa is ace nos
has a
encon

a
el
inculo
que
las
une
á
una
eo ía
de e minada,
has a
sa

be
el
luga
que
deben
ocupa
en
la
ciencia,
la
que
se á
an o
más
pe ec a,
cuan a
mayo
con inuidad
exis a
en e
sus
pa

es:
y
uno
de
los
medios
más
adecuados
pa a
log a
es e
in
consis e,
á
nues o
juicio,
en
ele a se
á
pun os
de
is a
gene

ales,
cuidando
de
no
in oduci
en
los
enunciados
ninguna
idea
que
es inja
ó
limi e
su
na u al
alcance.
Buen
núme o
de
eo emas
geomé icos
se
p esen an
como
pi
opiedades
del
iángulo,,
sin
que
es a
idea
sea
esencial.
Cie

o
que
el
iángulo
esul a
en
los
casos
gene ales,
y
su
consi

de ación
como
suje o
del
enunciado
ab e ia
y
acili a
el
len-
«uaje,
pe o
es a
en aja
queda
des uida
po
incon enien es
de
más
peso,
siendo
uno
es ingi
el
alcance
del
enunciado:
con

secuencia
ineludible
déla
in acción
de
las
leyes
lógicas
en
que
incu imos
al
p esen a ,
como
suje o
de
una
p oposición,
una
igu a
cuya
exis encia
es
acciden al,
y
de
cuyas
p opiedades
no
se
hace
uso
alguno
en
la
demos ación.
Ejemplo
y
p ueba
de
lo
dicho
es
el
eo ema
de
Menelao.
be
ha
mi ado
es a
p oposición
como
p opiedad
del
ián

gulo,
aunque
dando
más
ex ensión
á
la
idea,
suponiendo
los
lados
inde inidos:
pe o
¿no
gana á
en
gene alidad
el
eo ema
p escindiendo
de
la
igu a,
y
conside ando
an
sólo
dos
ec as
concu en es
y
una
ans e sal
ija,
según
lo
hacemos
en
el
núme o
37?
Es
indudable
que
sí,
po que
de
es e
modo
se
puede
a a
el
caso
de
una
ans e sal
ija
pa alela
á
cualquie a
de
las
concu en es,
y
ambién
el
de
dos
concu en es
en
el
in ini o,
hipó esis
muy
iolen as
en
una
igu a
ce ada
como
el
iángulo.
Suponiendo,
pues,
dos
concu en es
co adas
po
una
ans

e sal
ija
y
o a
mó il
al ededo
de
un
pun o
P
de
la
p ime a,
end emos
—
M
—
y
como
el
segundo
miemb o
es
independien e
de
la
di ección
de
la
ans e sal
mó il,
el
eo ema
de
Menelao
se
enuncia á
como
se
ha
is o
en
el
núme o
5R.
Aho a
es
e iden e
la
conexión
en e
el
p incipio
de
la
di i

sión
homog á ica
[KMi],
el
de
la
elación
ana mónica
y
el
eo

ema
de
Menelao.
Pa iendo
déla
elación
Fig.
15)
(ihcV
=
'a'
V
d
Pj
.
esc i a
bajo
la
o ma
ca
.
da'
_
Pa
PF
"cb
:
”
db'
—
P¿
:
p
T'
’
y
suponiendo
ijas
las
ans e sales
Pá;
,
PíF,
si
conside a

mos
un
núme o
inde inido
de
ans e sales
mó iles
Pee',
P^'.
Ped
e c.
y
p escindimos
del
segundo
miemb o,
se á
ca
.
da
’
da
.
d'a*
ca
.
da'
cb
‘
db'
db
"
d'b'
eb
"
db'
que
es
el
p incipio
de
la
di isión
homog á ica.
Si
sólo
conside

amos
dos
ans e sales
mó iles,
se á
ca
.
da'
_
da
.
día'
cb
‘
db
’
—
db
*
d'b
’
ca
.
da
_
da'
.
d'a
’
cb
‘
db
db'
*
d'b'
’
que
es
el
p incipio
de
la
elación
ana mónica.
Si
conside amos
una
ans e sal
mó il
y
suponemos
que
una
de
las
ijas
pase
po
O,
end emos,
omando
en
cuen a
el
alo
del
segundo
miemb o,
ca
.
dd
_
P é
co
:
70
-
’
que
es
el
eo ema
de
Menelao.
—
94
—
l
‘
Sl.
A
los
es
p incipios
que
acaban
de
ocupa nos
co es

ponden
o os
es:
L°
haces
homog á icos
[11»];
2.°
haces
ana mónicos
[56];
3.°
eo ema
de
Cé a
[51],
Todos
es
es án
comp endidos
en
la
elación
[«]
del
núme o
49,
asi
como
los
an e io es
lo
es án
en
la
elación
[
a
]
del
núme o
36.
Si
de
los
pun os
ijos
A
y
A'
(Fig.
26)
pa en
pa es
de
a

dios
cuyas
in e secciones
O,
a,
p...
es én
en
línea
ec a,
consi

de ando
dos
pa es
AO
y
A'O,
A/z'
y
A'
íz
como
ijos
y
p escin

diendo
del
segundo
miemb o
de
la
elación
A¿'
se á
.
ba
.
b £
_
ca
.
c
’
d'
da
.
d'a'
_
¿O
*
¿'O
“
cO
:
dO
~
db
:
=
lo
que
demues a
que
los
haces
A
y
A'
son
homog á icos.
Si
sólo
se
conside an
cua o
pa es
de
adios
se á
ba
e
b'a'
_
ca
.
c'a*
bO
‘
b'O
cÓ
'
c'O
ó
bien
b^
.
ca^
_
b'a'
.
c'a!
¿O
"
cO
~
:
dO
’
luego
los
haces
(A,
Oa'
b'
d^
y
(A',
Qabc^
ienen
iguales
elacio

nes
ana mónicBS.
Po
úl imo,
conside ando
un
sólo
pa
ijo
AO,
A'O,
supo

niendo
que
el
segundo
Xa',
X'a
se
eduzca
á
la
ec a
XX',
y
pmando
en
cuen a
el
segundo
miemb o
de
la
ecuación
[d
esul a
(Fig.
27)
J
’
.
^A'
_
«A
¿O
•
b'O
—
^A'
’
que
es
el
eo ema
de
Cé a.
se
UNIVCRSU'AÓC
DE
SAND.-.üd^'
*
DF
COMP<
Tn.A
CAPÍTULO
CUARTO.
APLICACION
DE
LOS
FUNDAMENTALES
A
LA
THICONOMETP.IA.
.
1*5.
Has a
aho a
nos
hemos
limi ado
á
es udia
las
ela

ciones
en e
segmen os
delineas
ec as;
aho a
amos
á
es a

blece .
como
p ueba
de
las
a iadas
aplicaciones
áque
se
p es a
el
p incipio
del
núme o
3,
algunas
p oposiciones
análogas
en
las
que'los
segmen os
es a án
eemplazados
po
senos
de
ángu

los,
la.
ecuación
de
la
línea
ec a
y
las
ó mulas
undamen ales
de
la
T igonome ía.
Se
hab á
obse ado,
sin
duda,
que
las
dis ancias
¿a
y
¿
'L
ig.
2)
del
o igen
b
de
los
segmen os
de
una
ans e sal
abe
á
las
concu en es
PA
y
PC
son
los
senos
de
los
ángulos
BPA,BPC
que
la
concu en e
PB
o ma
con
las
o as
dos,
pues
si
bien
es os
senos
en
ealidad
son
las
azones
-'jy
.
-
'
■
de
las
o denadas
b^
y
b-;
al
adio
Pb,
como
en
el
p incipio
del
núme-
io
3
conside amos
el
cocien e
de
los
senos,
podemos
p escin

di
del
adio,
y
mi a
las
dis ancias
y
b;-
como
senos
de
los
ángulos
mencionados.
De
es a
obse ación
se
in ie e
que
nues os
p incipios
un

damen ales
son
igualmen e
ú iles
pa a
descub i
elaciones
en e
segmen os
de
ec as,
po
la
eliminación
de
senos,
según
se
ha
is o
en
es e
es udio,
ó
en e
senos
de
ángulos,
po
elimi

nación
de
segmen os,
pudiendo
se i
ambién
pa a
descub i
ó
demos a
elaciones
en e
ec as
y
senos.
UMVLKS1DA1
l
DE
SANTIAGC
DE
COMPGST
T
eo ema
.
(Fig.
28J.
1
‘
5G.
Sidos
concu en es
OM,
ON
se
co an
poyuna
ans

e sal
ija
Paa'
y
o a
mó il
Pbb'
al ededo
del
pun o
P
de
la
p ime a,
la
elación
sen
la'a
e
sen
b'aa
’
sen
M'O
*
sen
1/aO
es
cons an e
é
igual
á
sen
PO
íz
sen
PO#'
En
e ec o:
sen
ba!a
_
ba
.
a'a
sen
la'O
60
*
a'O
*
sen
b'aa'
b'u
.
aa'
sen
b'aO
b'O
*
aO
’
luego
sen
ba'a
.
sen
b
’
a
a}
_
1^
.
Oa
_
sen
P(
);?
sen
ba'O
’
sen
b'aÓ
Pa'
"
O/z'
—
sen
PO z'
‘
„
C
o o l a k
.
o
,
Si
un
iángulo
ABC
se
co la
po
una
ans e sal
abe
(Fig.
16),
se
e i ica
l
i
elación
son
¿BC
.
sen
cCB
_
sen
a
AC
sen
¿BA
‘
sen
cCA
—
sen
«AB
"
Es
consecuencia
inmedia a
del
eo ema,
conside ando
las
concu ny es
AB,
AC
co adas
])o
la
ans e sal
ija
¿zCB
y
la
mó il
ale.
Obsé ese
la
analogía
en e
es a
p op.osicion
y
el
eo ema
de
Menelao.
T
eo ema
.
(Fig.
*¿1.)
1*5#.
Si
desde
dos
pun os
ijos
A.
A',
omados
en
dos
concu

en es
en
O,
se
azan
pa es
de
ec as
Ab',
A'b
e c.
que
se
co len
en
pun os
en
línea
ec a
con
O,
la
elación

—
97
—
,
,
,
.
,
.
sen
a
OA
es
cons an e
e
igual
a
—
---------- -
.
sen
a
O
A'.
En
e ec o:
sen
¿A'A
_
M
.
A/A
sen
¿'A
A'
_
¿'A'
.
A
A'
sen
M'O
—
¿O
'
A'O
’
sen
JAO"
—
"^Ó
:
"AO
’
de
donde
sen
¿A'A
.
sen
¿'AA'
_
-A
.
O
A
sen
aOA
sen
¿Á'Ó
"
sen
¿'AO
~
~
«A
7
"
OA'
—
~
sen
«OA'
’
1®8>.
C
o o l a io
.
Si
desde
un
-pun o
I
(Fig-.
16)
omado
en
el
plano
de
un
iángulo
ABC
se
azan
ec as
á
los
es
é i

ces,
p olongándolas
has a
que
encuen en
á
los
lados
opues os
en
a',
b,
c,
se
e ijica
la
elación
.
sen
¿BC
.
sen
cCB
_
sen
cé
AC
sen
¿BA
*
sen
cCxA
—
sen
a'AB
‘
Es
consecuencia
inmedia a
del
eo ema.
Es e
co ola io
iene
con
el
eo ema
de
Cé a
la
misma
ana

logía
que
el
an e io
con
el
de
Menelao.
De
los
dos
co ola ios
an e io es
se
deduce
se
n
gAC
_
sen
¿z'AC
sen
«AB
sen
«'AB
*
130.
Se
llama
elación
ana mónica
de
un
haz
de
cua o
ec as
el
cocien e
de
las
azones
de
los
senos
de
los
ángulos
que
dos
de
es as
ec as
o man
con
las
o as
dos.
Cuando
una
elación
ana mónica
iene
el
alo
pa icu

la
—
1,
el
haz
es
a mónico.
La
igualdad
[«]
exp esa
que
el
haz
cuyo
cen o
es
A
y
cu

yos
adios
pasan
po
C,
B,
a,
a'
es
a mónico.
Los
adios
Xa,
Xa'
di iden
a mónicamen e
el
ángulo
CAB
de
los
o os
dos,
ó
son
conjugados
a mónicos
espec o
de
CAB;
lo
mismo
AC
y
AB
son
conjugados
a mónicos
espec o
del
ángulo
aXa*.
DE
SANTIAGC
DE
COMPOST
u
—
98
—
T
eo ema
.
(Fig.
32/
131.
Las
elaciones
ana mónicas
de
un
Ka%
de
cua o
ec as
son
iguales
á
las
elaciones
ana mónicas
de
los
cua o
pun os
en
que
una
ansoe sal
co a
a
dichas
ec as.
Tenemos,
en
e ec o
[3]
sen
COA
ca
.
Oa
sen
DOA
da
.
Oa
sen
COB
cb
*
'
sen
DOB
—
Tb
*
" 5b
’
de
donde,
po
di isión,
sen
COA
.
sen
DOA
__
ca
.
da
sen
COB'
'
sen
DOB
~
cb
'
db
'
138.
C
o o l a io
.
Un
Kax
cuyos
adios
pasan
po
cua o
pun os
en
p opo ción
a mónica,
es
a mónico.
P
o b l ema
.
(Fig.
53/
133.
Di idi
un
ángulo
en
dos
pa es
cuyos
senos
gua den
en e
si
una
elación
dada
—
.
o
n
bea
el
ángulo
ABC.
T azo
el
a co
co espondien e,
di ido
la
cue da
en
dos
pa es
DA,
DC
ó
D'A,
D'C
que
sean
como
—
:
las
ec as
BD
y
BD'
esuel en
el
p oblema,
po que
DA
#
BA
_
sen
DBA
DC
**
BC
—
seiFDBC
’
pe o
BA
=
BC,
luego
sen
DBA
DA
_
m
sen
DBC~
DC
-
ñ
'
u
—
99
—
T
e o e ma
.
(Fig.
54J.
1341.
El
luga
geomé ico
ele
los
pun os
O
de
un
plano
ales
gue,uniéndolos
á
es
pun os
ijos'
A,B,C
en
linea
ec a,
los
senos
de
dos
de
lo^ángulos
esul an es
gua den
siemp e
en e
si
una
•
,
.
m
.
„
.
misma
elación
—
,
es
una
ci cun e encia.
Tenemos,
en
e ec o,
BA
e
O
A
sen
BOA
.
BC
:
OC
—
sen
BOC
’
B
A
siendo
cons an e
po que
A,
B,
0
son
pun os
ijos,-y
sen
BOA
.
O
A
,
■
------
HñTT
po
hipó esis,
ambién
lo
se aí
y
ecip oca

sen
oUC'
(JO
,
.
O
A
sen
BOA
,
,
men e,
si
es
cons an e
lo
se a
------
;
pe o
el
lug-a
OC
sen
BOC
°
geomé ico
de
los
pun os
cuyas
dis ancias
á
dos
dados
A
y
C
es án
en
elación
cons an e
es
una
ci cun e encia,
que
iene
po
diáme o
la
dis ancia
en e
dos
pun os
a mónicos
conjugados
con
espec o
á
AC,
ales
que
cada
uno
di ida
á
es e
segmen o
en
la
elación
dicha;
luego
el
luga
geomé ico
del
p esen e
eo

ema
se á
una
ci cun e encia.
Pa a
de e mina la
hay
que
di idi
AC
en
dos
segmen os
cuya
elación
sea
igual
á
BA
.
m
BA.
n
BC
‘
n
BC.
m
’
,,
.
.
•
BA.n
,
BA.
íí
«
,
,
Haciendo
---------
=
a
,
se á
-^7-
—
=
-7777-
;
luego
debe-
m
---
BC.w
BC
J
*
•
T
J
-
W
AB
A
"
V
k
CX
mos
de e mina
«
po
la
condición
—
=
------
,
y
di idi
AC
na.
en
pa es
p opo cionales
á
«
y
BC.
Tomo
(
Fig.
55)
Am
=
m,
An
=
n,
uno
m
con
n
y
azo
S(
UMX'LRSIMUL
DE
SANTIAG
DE
pOMPÓSTFi
u
—
100
—
po
B
la
pa alela
Ba
á
nw,
Aa
se á
igual
á
a.
T azo
aho a
po
C
una
pa alela
B'B"
á
Aa,
omo
CB'
=
CB"
=
CB:
un^n!
dAia
C
á
n
^
ycon
B//se
de e
m
in
an
los
pun os
X,Y
ex emos
del
diáme o
que
se
buscaba.
Caso
-pa icula .
Si
=
1,
OB
es
bisec iz
de
AOC,
el
pun o
Y
se á
el
conjugado
de
B
con
elación
á
AC:
luego
el
lu-
pa
geóme a
áe
los
pun os
O
ales
gue
OB
sealise^kw
pün
í
oBT^
e,
‘
enCla
j
<^,Míie,l
,
e?
'
O,
'
1a
6=1
pun o
B
a
su
conjugado
con
elación
á
AC.
P
o bl e ma
.
(Fig.
56.)
135.
Halla
la
ecuación
de
la
linea
ec a.
Sea
la
ce a/kE
e minada
po
!a
o denada
en
el
o íe-en
61
á
T
10
MA$
=
?
iue
o ma
con
el
e^de
asíc.
Llamemos
«
al
ángulo
yOa?
de
los
ejes,
y
sean
MN
MP
las
coo denadas
de
un
pun o
cualquie a
M
de
la
ec a.
’
Conside ando
las
es
concu en es
en
MP,
MB
MN
coi adas
po
la
ans e sal
Oy,
enemos
[3]:
’
’
BP_
MP~
y
—
1)
X
ó
sen
BMP
sen
BMÑ
’
_
sen
,3
—
sen
(a
—
3)
de
donde
y
=
senp
S^l
(a-3)
+
T
eo ema
.
(Fig.
57).
«s
<«.
“
""
-
*-«•.
*
-
s«
.1
iángulo
ABC.
„
ll
„
c
„
se
uni l mdaim
:
DE
SANTIAGO
DE.CÓ POS EIA
C
o o l a io s
.
115.
L°
Los
'p ime os
'miemb os
de
las
elaciones
[a]
ie

nen
un
nalo
cons an e,
cualquie a
que
sea
el
a co
ans e sal.
,
1
JO
’
.
2
/°
EL
a co
ángulo
de
un
iángulo
cs-
je co
di ide
el
lado
opues o
en
dos
segmen os,
cuyos
senos
son
p opo cionalesá
los
senos
de
los
lados
que
o man
el
ángulo
.
Si
en
la
p ime a
de
las
ó mulas
[^]
suponemos
bPa
=
bPc
se á
’
sen
ba
_
sen
Pa
sen
be
sen
Pe
‘
117.,
3.°
El
plano
bisec o
de
un
ángulo
died o
de
un
ie

d o
di ide
la
ca a
opues a
en
dos
segmen os,
cuyos
senos
son
p o

po cionales
á
los
senos
de
las
ca as
que
o man
el
died o.
US.
4.°
El
a co
azado
desde
el
é ice
de
un
iángulo
es é ico
al
pun o
medio
de
la
base
di ide
el
ángulo
en
el
é ice
en
dos
segmen os
,
cuyos
senos
son
in e samen e
p opo ciona
les
á
los
senos
de
los
lados
que
o man
el
ángulo.
Si
en
la
ó mula
p ime a
de
las
[a]
suponemos
ba=
be,
se á
sen
bPa
_
sen
Pe
sen
bPc
sen
Pa
‘
11O.
5.°
Análogo
al
an e io
en
un
ied o.
150.
G."
>Si
unimos
el
é ice
de
un
iángulo
isósceles
con
un
pun o
cualquie a
de
la
base,
po
un
a co
de
ci culo
máximo,
queda
és a
di idida
en
dos
a cos,
cuyos
senos
son
p opo cionales
á
los
senos
de
los
ángulos
que
o ma
el
a co
con
los
lados
iguales.
De
donde
se
deduce:
El
a co
de
ci culo
máximo
que
une
el
é ice
de,
un
iángulo
isósceles
con
el
pun o
medio
de
la
base,
es
bisec o
del
ángulo
en
el
é ice,
y
ecip ocamen e.
151.
7.°
Análogo
al
an e io
en
un
ied o.

UMVCRSJl)A®g|
DE
SANTIAGO
D.F.COMP i'lB^
CAPÍTULO
SEGUNDO.
TEORÍAS
QUE
SE
DEDUCEN
DE
LOS
PRINCIPIOS
FUNDAMENTALES.
14»V.
A
en icándose
nues os
p incipios
undamen ales
en
la
es e a,
sin
más
que
sus i ui
las
líneas
ec as
po
a cos
de
cí

culo
máximo
las
longi udes
de
los
segmen os
ec ilíneos
po
los
senos
de
los
segmen os
de
a co,
y
los
senos
de
ángulos
ec

ilíneos
po
senos
de
ángulos
es é icos,
es
cla o
que
ambién
se
Ae i ica án
muchas
délas
p oposiciones
que
de
aquellos
p incipios
se
deducen
inmedia amen e,
siendo
las
demos acio

nes
en e amen e
análogas.
Po
es o
nos
limi a emos
á
indica
los
enunciados
de
los
eo emas,
mien as
su
índole
especial
no
nos
obligue
áda
demos ación.
—
luí
odiiccion
.
,
Sien
una
ci cun e encia
O
se
ienen
dos
pun os
ijos
o
Gl),
y
se
ma ca
o o
cualquie a
c,
pa a
halla
el
sig

no
de
la
elación
hay
que
a ende
á
dos
cosas:
1.
a
el
sig

no
de
cada
seno
(posi i o
si
el
a co
es
meno
que
180°
y
nega-
i o
si
es
mayo ):
2.
a
la
di ección
ela i a
de
los
segmen os
á
pa i
de
c:
si
se
cuen an
en
el
mismo
sen ido
la
elación
se á,
po
es e
concep o,
posi i a,
y
nega i a
en
el
caso
con a io.
Con
a eglo
á
es as
obse aciones,
se
é
ácilmen e
que
si
c
eb
a
en e
a
y
b,
es o
es,
en
el
a co
meno
de
los
que
unen
—
110
—
i
*
/
x
i
,
n
i
i
•
sen
ca
los
pun os
a
y
o,
ó
en e
a
y
b
,
la
elación
------
es
nega i-
sen
co
a,
cualquie a
que
sea
el
sen ido
en
que
se
cuen e
cada
uno
de
los
a cos,
y
si
c
es á
en
el
a co
ab'
ó
en
el
a'b,
dicha
elación
es
siemp e
posi i a.
Es
además
e iden e
que
dado
un
a co
ab
puede
siemp e
.
.
.
.
.
sen
ca
.
ma ca se
un
pun o
c
al
que
la
elación
------
,
enga
un
alo
1
sen
cb
D
dado
en
magni ud
y
en
signo
[133],
y
que
exis en
dos
pun os
en
la
ci cun e encia
que
sa is acen
á
es a
condición,
siendo
ácil
p oba
que
ales
pun os
son
ex emos
de
un
mismo
diáme o'
II.
—
A ces
ans e sales.
151.
T
eo e ma
.
Si
dos
a cos
de
ci culo
máximo
se
co an
po
o os
a ios
({ue
pa en
de
un
pun o
e i ica
sen
ab
.
sen
a'b'
__
sen
ac
e
sen
dd
__
sen
ad
.
sen
a'd*
sen
‘
sen
Pb'
sen
Pe
"
sen
Pe'
sen
P
í
Z
*
sen
Pd'
L
sen
Oa
.
sen
Oa'
_
sen
Ob
.
sen
Ob'
_
sen
Oc
.
sen
Oc'
sen
P(Z
"
sen
P«'
sen
Pb
"
sen
Pb'
sen
Pe
'
sen
Pe'
Se
demues an
es as
elaciones
como
sus
análogas
de
los
núme os^y»3.
155.
T
eo ema
.
Silos
lados
de
un
iángulo
es é ico
ABC
se
co an
po
un
a co
de
ci culo
máximo
en
es
pun is
a,
b,
c
se
e i ica
sen
cX
.
sen
cB
sen
bX
.
sen
bC
sen
aX
"
sen
aP
sen
aX
‘
sen
«C
’
sen
AB
,
sen
Xc
sen
AC
.
sen
Xb
sen
aP
‘
sen
ac
~
"
sen
aC
*
sen
ab
’
sen
BA
.
sen
B ?
sen
CA
.
sen
Cb
sen
aX
'
sen
ac
sen
aX
*
sen
ab
"
Demos ación
del
núme o
*56.
u
-111
—
P olongando
los
lacios
opaes os
de
un
cuad ilá e o
es é ico
has a
su
encuen o,
g
conside ando
los
senos
de
los
segmen os
que
de e minan
los
pun os
de
concu so,
las
azones
de
senos
de
seg

men os
de
dos
lados
opues os
son
p opo cionales
á
las
de
los
oí os
dos
[87],
ó
en
o os
é minos,
el
p oduc o
de
senos
de
cua

o
segmen os,
sin,
segundo
ex emo
común,
pe enecien es
á
dis in os
lados
del
cuad ilá e o,
es
igual
al
p oduc o
de
senos
de
los
o os
cua o
[8NJ.
156.
T
eo e ma
.
Si
desde
el
pun o
de
encuen o
P
de
dos
lados
opues os
de
un
cuad ilá e o
es é ico
ABCD
se
aza
un
a co
de
ci culo
máximo
que
co le
á
los
o os
dos
lados
en
a
?/
c
se
e i ica
sen
zB
,
sen
aX
_
sen
cC
.
sen
cD
sen
PB
‘
sen
PA~senPC
2
senPD
’
.
sen
AB
.
sen
Xa
__
sen
DC
.
sen
De
sen
PB
'
sen
Pa
~
sen
PC
2
sen
Pe
’
__
sen
CD
.
sen
Ce
sen
PA
"
sen
Pa
sen
PD
'
sen
Pe
'
Demos ación
del
núme o
86.
Si
desde
el
pun o
de
concu so
de
dos
lados
opues os
de
un
cuad ilá e o
es é ico
se
aza
un
a co
de
ci culo
máximo
que
co

e
á
los
o os
dos
lados,
las
azones
de
senos
de
segmen os
de
dos
lados
opues os
son
p opo cionales
á
las
de
los
o os
dos
[30],
ó
en
o os
é minos,
el
p oduc o
de
senos
de
cua o
segmen os
sin
ex emidad
común,
pe enecien es
á
dis in os
lados
del
cuad ilá

e o,
es
igual
al
p oduc o
de
senos
de
los
o os
cua o
[31],
157.
T
eo e ma
.
Si
desde
cada
pun o
de
concu so
de
los
la

dos
opues os
de
un
cuad ilá e o
es é ico
se
aza
un
a co
de
ci

culo
máximo
que
co le
á
los
o os
dos
lados
se
e i ica
sen
.
sen
cC
sen
PB
.
sen
PC
sen
aX
"
sen
cD
sen
PA
'
sen
PD
’
sen
1>P
.
sen
d
X
_
sen
QB
,
sen
QA
sen
¿C
"
sen
¿ZD
—
sen
QC
*
sen
QD
*
sen
aB
.
sen
cC
_
sen
6B
sen
dX
sen
aX
'
sen
cD
sen
6C
‘
sen
dD
"
Demos ación
del
núme o
38.
u
—
112
—
Si
desde
cada
pun o
de
concu so
de
los
lados
opues os
de
un
cuad ilá e o
es/é ico
se
aza
un
a co
que
co e
á
los
o os
dos
lados,
és os
quedan
di ididos
en
ocho
segmen os,
y
el
p oduc o
de
los
senos
de
cua o
de
ellos,
sin
ex emidad
común,
es
igual
al
p oduc o
de
senos
de
los
o os
cua o.
[33].
.
.
15S.
T
eo ema
.
Si
dos
a cos
de
ci culo
máximo
que
con

cu en
en
O
se
co an
po
o os
dos
a cos
igos
Paa',
Pbb',
odo
a co
de
ci culo
máximo
Pee'
mó il
al ededo
de
P
de e mina
en
los
p ime os
segmen os
ales
que
la
elación
sen
ca
.
sen
c'a'
sen
cb
"
sen
c'b'
es
cons an e.
[36],
.
159.
T
eo ema
.
Si
dos
a cos
de
ci culo
máximo
que
con

cu en
en
O
se
co lan
po
un
a co
jigo
Paa'
y
o o
Pee'
mó il
al

ededo
de
un
pun o
P
del
p ime o,
la
elación
'
e
sen
ca
.
sen
c'a'
sen
cO
’
sen
c'O
es
cons an e
é
igual
á
'
-----
.
[35].
sen
Pa'
L
J
160.
T
eo e ma
e c íp o c o
.
Si
dos
a cos
de
ci culo
máximo
que
concu en
en
O
se
co an
po
a ios
a cós,
uno
de
ellos
aa'
conside ado
como
i
-
jo.de
al
modo
que
la
elación
-
sen
el)
sen
c
O
sea
cons an e,
odos
los
a cos
concu en
en
un
mismo
pun o,
al
que
la
elación
de
los
senos
desús
dis ancias
es/é icas
á
ay
a'
es
igual
á
dicha
cons an e.
[3#].
1«1.
Supongamos
dos
a cos
de
ci culo
máximo
OM,
ON
(Fig.
62)
co ados
po
dos
a cos
ijos
Paa',
Póh'
que
pa en
del
pun o
P,
y
sea
PA»a
una
posición
del
a co
mó il
de e minada
po
un
pun o
A
si uado
á
90°
del
medio
de
ab.
La
elación
cons

an e
[158]
sen
ca
sen
c
a
sen
A#
sen
ma
------
,
.
------
;
ó
sea
------
—
,
:
---------
.
sen
cb
sen
c'b
sen
Xb
sen
mb'
’
u

-1
13

,
sen
'inb'
sen
Xa
,
,
iene
en
es e
caso
el
alo
---------
,
po a
ic
--------
-
=7
1.
á
can

sen
ma
1
1
sen
Xb
sa
de
se
Xa
y
Xb
suplemen a ios.
Sea
PB o
o a
posición
del
a co
mó il
de e minada
po
nn
pun o
B
si uado
$í
90°
del
medio
de
a'b'
.
La
elación
cons an e
sen
ca
#
sen
c
’
a'
sen
ua
.
sen
13«'
sen
cb
‘
sen
c'b*
‘
sen
ub
"
sen
134'
’
..
,
.
,
sen
aa
son
13//,'
,
iene
en
es e
caso
el
alo
—
—
.
po que
-----
—
,
—
1.
sen
nb
‘
1
sen
134
De
lo
dicho
se
desp ende
sen
mb'
sen
na
sen
ma'
sen
nb
‘
Si
suponemos
el
pun o
P
dis an e
90°
del
medio
de
aa'
h'uj.
G3),
y
P^¿'
es
una
ans e sal
cualquie a,
la
elación
.
sen
ca
sen
c'a'
sen
Va
sen
Va'
,
,
----- ,
:
------
7/,
=
—
i /
•'
—
ñ .
=
cous au e,
sen
cb
sen
c
4
sen
P4
sen
P4
se
educe
á
sen
ca
.
sen
c'a'
_
sen
P4'
sen
cb
'
sen
c'b'
sen
P4
cons an e.
Si
la
ans e sal
mó il
Pee'
pasa
po
un
pun o
c
dis an e
90*
’
del
medio
de
«4,
la
in e io
elación
se á
sen
c'b'
_
sen
P4'
sen
c'a'
sen
P4
"
Si
la
ans e sal
mó il
pasa
po
O,
se á
sen
0«
.
sen
0«'
_
sen
P4'
sen
04
'
sen
04'
sen
P4
"
16
se
UMVFRSIDADF
DE
SAN1IAGO
u
Si
P
dis a
90°
del
medio
de
a
y
del
medio
de
bU
,
condicio

nes
á
las
que
siemp e
es
posible
some e
los
a cos
OM
y
OX,
end emos
sen
ca
sen
c'a
’
sen
el)
sen
c'b'
"
si,
en
el
ac ual
supues o,
c
dis a
90°
del
medio
de
ab,
se á
sen
ca
=
sen
cb,
po
consiguien e
sen
cV
=
sen
c'b*,
lo
que
exige
que
c'a
’
y
el'
sean
suplemen a ios,
es o
es,
que
c'
dis e
ambién
90"
del
medio
de
aV/.
Si,
en
el
mismo
supues o,
el
a co
mó il
pasa
po
O,
se á
sen
sen
O
a'
sen
Ob
sen
(
M'
'
■6**-
T
eo e ma
.
.Si
los
lados
de
un
iángulo
es é ico
ABC
(L'ig.
64)
se
co an
po
un
a co
de
ci culo
máximo
en
es
pun os
a.
b,
c,
se
e i ica
la
elación
sen
¿C
.
sen
cB
_
sen
sG
sen
b^
‘
sen
cA
—
señ~ B
Demos ación
del
núme o
II.
IOS.
C
o o l a io
.
Si
el
pun o
a
dis a
90°
del
medio
de
BC,
se á
=
j
sen
lB
’
y
po
an o
luego:
Si
en
la
base
de
un
iángulo
es é ico
se
ma ca
un
pun o
á
90
del
medio
de
dicha
base,
lodo
a co
de
ci culo
máximo
que
pa a
de
aquel
pun o
di idi á
los
lados
en
segmen os
cuyos
senos
son
p opo cionales
.
Recíp ocamen e:
Si
dos
lados
de
un
iángulo
se
di iden
po
un
a co
de
modo
que
los
senos
di
los
segmen os
sean
p opo ciona

les,
el
a co
pasa á
po
un
pun o
del
e ce
lado
á
90"
del
pun o
medio.
—
115
—
Si
b
y
c
son
los
pun os
medios
de
los
lados
AC
y
AB,
el
a co
be
co a á
al
lado
BC
en
un
pun o
a
dis an e
90"
del
medio
de
BC.
NoH.
De
la
p opo ción
b
no
se
deduce,
como
en
los
ián

gulos
ec ilíneos,
o a
o mada
con
los
lados
en e os
y
dos
seg

men os
co espondien es:
enemos,
en
e ec o,
sen
AC
.
sen
AB
_
sen
¿zC
.
sen
«B
sen
Ab
"
sen
Ac
sen
ab
‘
sen
ac
‘
y
como
sen
aO
=
sen
zzB,
esul a
sen
AC
.
sen
AB
_
sen
ac
.
sen
Ab
'
sen
Ac
sen
ab
"
,
,
sen
AC
sen
AB
.
.
luego
pa a
que
uese
-----
—
.
=
-------
--
,
se ia
necesa io
que
sen
Ab
sen
Ac
,
sen
ac
=
sen
ab,
condición
que
en
gene al
no
se
e i ica.
1<»1.
E
sc o l io
.
El
co ola io
an e io
o ece
un
medio
de
di idi
un
a co
dado
de
ci culo
máximo
en
dos
segmen os
de
senos
p opo cionales
á
los
senos
de
los
segmen os
en
que
es á
di idido
o o
a co
de
la
misma
es e a.
Si
el
a co
que
se
quie e
di idi os
AB,
aza emos
po
A
un
a co
AC
igual
al
di idido
que
se
nos
da,
y
el
a co
BC:
omando
el
pun o
a
á
90°
del
me

dio
de
BC,
y
uniéndole
con
el
pun o
de
di isión
dado
b,
el
pun o
cen
que
ab
encuen a
al
lado
AB
esuel e
la
cues ión.
105.
T
eo e ma
ec íp o c o
.
Si
en
los
lados
de
uu
iáugulo
es é ico
ABC
se
mi caa
es
pan os
a,
b,
c
de
modo
(yue
sen
¿C
.
s
en
cB
_
sen
«C
,
sen
bA
"
sen
cA
sen
zzB
‘
■
los
pun os
a,
b,
c
es a án
en
una
misma
ci cun e encia
máxima.
Sea
a'
el
pun o
en
que
el
a co
be
encuen a
al
lado
BC;
de
la
hipó esis
y
del
eo ema
di ec o
se
deduce
sen
aC
_
sen
a'C
.
sen
aB
sen
a'A
'
pa a
que
es a
condición
se
e i ique
es
necesa io
[153]
que
aya
’
se
UMVERSIDADE
de
S
an iag o
DE
COMPOSTFL*
u
—
1
1C>
—
se
con undan
en
nn
sólo
pun o,
ó
que
sean
los
dos
ex emos
de
un
diáme o
del
ci culo
máximo
qm*
pasa
po
B
y
C,
y
en
cual'
quie a
de
es as
hipó esis
a,
b
y
c
pe énc
’
ccn
á
una
misma
ci

cun e encia
máxima.
1<»G.
C
o o l a io
.
Si
en
los
lados
de
un
iángulo
ABC
ma camos
es
pun os
a,b,c
dis an es
90"
de
los
espec i os
pun os
medios,
se
e i ica
la
elación
[a];
luego
Los
pun os
ma cados
en
los
es
lados
de
nn
( iángulo
es é i

co
á
90°
de
los
punios
medios,
es án
en
una
misma
ci cun
e encia
máxima.
1G7.
T
eo ema
.
>S¡
desde
un
pun o
omado
en
uno
de
los
a cos
diagonales
de
un
cuad ilá e o
es é ico
se
aían
dos
a cos
co ando
cada
uno
á
dos
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adyacen es,
las
abones
en e
los
senos
de
los
segmen os
de
dos
de
es os
lados
son
n opo cionales
á
las
azones
en e
los
senos
de
los
segmen os
de
los
a os
dos
[43].
16N.
R
ec íp o c o
.
¡Si
los
cua o
lados
de
un
cuad ilá e o
es é ico
ABCI)
se
di iden
en
dos
segmen os
po
medio
de
punios
a,
b,
c,
d,
de
al
modo
que
las
azones
en e
los
senos
de
los
seg

men os
de
dos
lados
adyacen es
sean
p opo cionales
á
las
azo

nes
en e
los
senos
de
los
segmen os
de
los
o os
dos.
los
a cos
ad
y
be
de
ci culo
máximo
concu en
en
un
pun o
del
a co
diagonal
BD,
y
los
ab
y
de
concu en
en
pun o
del
o o
a co
dia

gonal
AC
[44].
I65>.
C
o o l a io
l."
Si
de*
de
un
pun o
Y
de
un
a co
diago

nal
BI)
de
un
cuad ilá e o
es é ico
ABCD
se
azan
dos
a cos
ansce sales
co ando
cada
uno
á
dos
lados
adyacen es,
los
a cos
que
unan
los
pun os
a
y
d
de
in e sección
de
un
a co
ans e sal
con
los
b
y
c
del
o o
concu en
en
un
pun o
del
a co
diago

nal
AC
[15].
150.
C
o o l a io
2."
Si
desde
los
pun os
de
concu so
R
y
F
de
los
lados
opues os
de
un
cuad ilá e o
es é ico
ABCD
se
a

zan
dos
a cos
ans e sales
co lando
á
los
lados
del
mismo
en
pun os
b
y
d.
a
y
c,
los
a cos
que
unen
a
con
d
y
b
con
c
concu

en
en
un
pun o
del
diagonal
BD,
y
los
que
unen
a
con
b,
c
con
d
concu en
en
un
pun o
del
o o
diagonal
AC
[4G].
se
UNIVLRMDAOL
DE
SAN'TJA
s
•
DE
COMPGVmS.
u
4
.°
Dados
loa
a cos
ele
ci culo
que
se
pueden
p o

longa ,
aza
po
un
pun o
dado
o o
a co,
al
que
si
los
es
se
p olongasen
concu ie an
en
un
mismo
pun o.
Véanse
los
núme os
9®
y
>3.
505
.
Dado
un
haz
de
cua o
a cos
concu en es
en
O,
siem

p e
se
puede
co a
po
o o
a co
ans e sal
en
cua o
pun os,
de
modo
que
la
azón
en e
los
senos
de
las
dis ancias
es é icas
de
uno
de
és os
á
dos
de
los
o os
sea
igual
á
la
unidad.
Es o
puede
consegui se
de
dos
modos:
haciendo
que
dichas
dis an

cias
sean
dos
a cos
suplemen a ios
ó
dos
a cos
iguales.
Sea
el
a co
abed
(Fig.
66).
Desc ibo
el
a co
db
’
c'cC
,
desde.O
como
polo
y
con
un
adio
igual
á
la
cue da
de
un
cuad an e
máximo;
los
ángulos
en
O
end án
po
medida
los
segmen os
co espondien es
de
(¿b'¿d'
aho a
bien
sen
da
.
sen
O ?
_
sen
d^a
_
sen
d'a'
sen
db
*
sen
Ob
sen
dOb
sen
d'b'
’
7

77
o a o
.
sen
da
,
.
si
suponemos
da
+
db
=
180°,
se a
-------
=
1
,
po
consi

sen
db
1
guien e
sen
Oí
sen
d'a'
.
sen
O
íz
sen
d'b'
’
omando,
pues,
O
íz
=
d'b',
Oí
=
d'a'
,
el
a co
de e minado
po
a
y
b
se á
al
que
da
+
db
=
180°.
Lo
mismo
sen
ca
.
sen
Oa
sen
cOa
•
sen
c'a'
.
sen
cb
"
sen
Oí
sen
cOb
sen
c'b'
’
.
,
.
sen
ca
_
.
.
1
si
suponemos
ca
=
cb,
se á
------
j
=
1,
po
consiguien e
sen
co
sen
Oí
sen
c'a'
sen
Oa
sen
c'b'
’
omando,
pues,
Oa
=
c'b',
Oí
=
c'a',
el
a co
de e minado
po
a
y
b
se á
al
que
ca
=
cb.

-124-
*5OG.
T
eo e ma
.
Si
un
haz
a mónico
se
co a
po
un
a co
ans e sal,
de
modo
/ue
da
+
db
=
180°,
se á
ca
=
—
cb;
y
e

cíp ocamen e,
si
ca
=
—
cb,
se á
da
4-
db
=
180".
Tenemos
•
sen
cb
sen
db
'
Si
»a
+
<1!,
=
180",
se á
=
1
,
luego
i^
=
_
1
dc
.
.
,
sen
db
’
h
sen
cb
’
donde
ca
=
—
cb.
sen
da
-----
77
=
Ldc
donde
sen
db
•
Si
ca
—
—
cb.
se á
—
—
-
=
—
1.
lue í'o
,
sen
cb
D
da
4-
db
=
180
n
.
*505.
I
eo b e ma
.
Dado
un
haz
co lado
po
un
a co
I ans-
ce sal
en
cua o
pun os
a,
b,
c,
d,
si
se
e i ican
las
dos
condi

ciones
da
4-
db
=
180",
ca
=
—
cb,
el
haz
es
a mónico.
Po quede
,
^«
=
,
sen
cb
’
sen
db
se
deduce
*
sen
abcd^
=
—
1
.
.
,
’
I!O
k
ma
.
Si
dos
adios
conjugados
de
un
ha:-
a

mónico
son
ec angula es,
di iden
en
dos
pa es
iguales
al
án.
guio
de
los
o os
dos
adios
g
al
suplemen o.
Sea
el
haz
a mónico
O,
ABC!)
en
el
que
suponemos
que
los
adios
conjugados
OC,
ODse
co an
en
ángulo
ec o.
Tenemos
Sen
—
sen
c
^
a
(,
_
8011
sen
dOb
sen
6
‘
0¿
U
eos
cOb
—
sen
cOb
’
lo
que
exige
que
sea
¿O
íz
=
cOb.
*500.
H
ec íp o c o
.
L
o s
a cos
bisec o cs
de
un
inqulo
AOB
y
del
suplemen o
M^Jo man
con
los
lados
del
imgulo
un
haz
a mónico.
En
e ec o
sen
ca
sen
cb
_sen
Oa
sen
’
sen
da
_
sen
db
~
_
sen
0»
sen
Ob
luego
sen
ca
_
sen
da
sen
cb
sen
db
se
IINIVERSIUADE
DL
SANTU
JÓ
DE
COMP
STEÍÁ
u
—
125
-
•ÍIO.
T
k o k k mx
.
/
j
>.
s
cua o
hnlos
de
un
cuad ilá e o
es é

ico
comple o.
los
es
a cos
dia jóiialcs,
-y
los
dos
que
uucn
los
pun os
di-
concu so
de
los
Indos
opues os
con
la
-in e sección
de
los
a cos
diagona'es
in e io es,
son
nueoe
a cos
di ididos
a mónica

men e
[IOI],
Ks
aplicable
al
cuad ilá e o
es é ico
el
escolio
del
núm.
IOS.
•Sil.
La
obse ación
gehe al
del
núm.
103
se
aplica
igual

men e
á
las
igu as
es é icas,
po
consiguien e
las
nue e
p o

posiciones
enunciadas
en
dicho
núme o.,
se
e i ican
ambién
en
los
iángulos
es é icos.
V.
—
Blii
ision
homog- á ica.
*515.
A
in
de
no
cansa
la
a ención
del
lec o
con
nue as
epe iciones,
nos
limi a emos
á
consigna ,
pa a
conclui ,
(pie
odas
las
p oposiciones
ela i as
á
la
di isión
homog áíica
de
dos
lineas
ec as,
y
á
los
haces
homog á icos
ec ilíneos,
a a

das
en
los
núme os
105
á
HO,
son
aplicables
á
las
igu as
es

é icas
co espondien es,
sus i uyendo,
como
se
ha
is o
has a
aho a,
las
lineas
ec as
po
a cos
de
ci culo
máximo,
las
longi

udes
de
los
segmen os
ec ilíneos
po
senos
de
a cos,
y
los
se

nos
de
ángulos
ec ilíneos
po
senos
de
ángulos
es é icos.
u
Pñ< ina*.
P ólogo
.
-
..................................................................................................
i
PRIMERA
PARTE.
íicomeí ia
ec ilínea.
CAPÍTULO
PRIMERO.
—
P
incipios
unda men a l es
.
I
.
Exposición
de
los
p incipios
un
lamén ales
....................
11
II
.
—
Conexión
en e
los
p incipios
undamen ales
y
los
eo

emas
de
líneas
p opo cionales
............................
15
III
.
—
G ado
de
gene alidad
de
los
p incipios
unda
nen ales.
1!)
IV
.
—
De e minación
de
la
posición
ela i a
de
es
ec as
concu en es
................................................................
22
V
.
—
No ación
..............................................................................................
25
CAPÍTULO
SEGUNDO.
—
T
eo ía s
de
geome ía
mode na
QUE
SE
DEDUCEN
INMEDIATAMENTE
DE
LOS
PRINCIPIOS
FUNDAMENTALES.
L
—
In oducción
............................................................................................
2U
II
.
—
T ans e sales
................................................................................
31
III
.
—
Relación
ana mónica.
.
.
.
5G
IV
.
—
P opo ción
a mónica
..................................................................
69
V
.
—
Di isión
homog álica
....................................................................
79
CAPÍTULO
TERCERO.
Conexiones
en e
los
p incipios
undamen ales,
el
eo ema
de
las
ans e sales
y
el
de
la
elación
ana mónica.
.
.
87
se
IINIVERSlllA
DL
SANTIAGC
u
capí ul o
cua o
.
Aplicación
de
los
p incipios
undamen ales
á
la
T igono

me ía
.................................................................
.
.
.
.
.
95
SEGUNDA
PARTE.
<*eomc<i*ía
es é ica.
CAPÍTULO
p ime o
.
P incipios
undamen ales
................................................................................
105
CAPÍTULO
SEGUNDO.
—
T
eo emas
que
se
deducen
de
l os
PRINCmOS
FUNDAMENTALES.
I
.
—
In oducción
...............................................................................................
109
II
.
—
A cos
ans e sales
.......................................................................
110
III
.
—
Relación
ana mónica
.................................................................
•
120
IV
.
—
P opo ción
a mónica
..........................................................................
122
V,
—
Di isión
homog á ica
................................................................................
125
u

se
UNIVERSIDADE
DE
SANTIAGO
DE
COMPOSTELA
LASALA.
LÁM.
2
8
UNIVERSIDADE
DE
SANTIAGO
DE
COMPOSTELA