Generalización de la teoría de líneas proporcionales

cd BIBLIOTECA UNIVERSITARIA DE SANTIAGO 00679470 se UNIVERSIDAD DL SANTIAGO DE COMPO5TI u GENERALIZACION DE L/I TEORIA DE LÍNEAS PBOPORCIONÁLES, POR MEDIO DE UN TEOREMA NUEVO ELEMENTAL, DEL QUE SE DERIVAN ALGUNAS CUESTIONES PERTENECIENTES Á LA GEOMETRÍA MODERNA, LAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Y OTRAS INTERESANTES PROPIEDADES, POR 0. ATANASIO LASALA Y MARTINEZ, Licenciado en Ciencias exactas, Director y Catedviilico de Matemáticas del Instituto de Orense. ORENSE: Bmy. y SJb. de B6 ío ;!C!; t o í^ozano. Plaza del Hierro, núm. 3. 1880. GENERALIZACION de la teoría de LINEAS PROPORCIONALES, POR MEDIO DE UN TEOREMA NUEVO ELEMENTAL, DEL QUE SE DERIVAN ALGUNAS CUESTIONES PERTENECIENTES Á LA GEOMETRIA MODERNA, LAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES, Y OTRAS INTERESANTES PROPIEDADES, POR DON ATANASIO LASALA Y MARTINEZ, Licenciado en Ciencias exactas, Dircclon y Catedriuico de Malemáticae del Instituto do Orense. ORENSE: Iinp. y Lib. de Rionegro Lozano, Plaza del Hierro, n.° 3. UMVLRS1DADL DE SANTIAGO DE COMPOSTEL u * PRIMERA PARTE. GEOMETRÍA RECTILÍNEA. CAPÍTULO PRIMERO. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES. 1. — Exposición de los principios fnndamentales. ■ I. Sien una recta indefinida se marcan tres puntos a, b, c, estos determinan tres segmentos ab, ac, be, dos de los cuales tienen siempre un punto común: al comparar las longitudes de dos segmentos consideraremos como el punto común; los otros dos puntos serán los extremos de los segmentos. "L e ma . (Fig. 1J Si desde el vértice A de un triángulo isósceles ABC se traza una recta AD que encuentre á la base en un -punto D, los segmentos DB, DC de ésta son proporcionales á las distancias del punto D á los otros lados. • se UNIVERSIDAD! DL SANTIAGO DE COMPOSTE ' u — 12 — Teniendo presente que los ángulos en la base de un trián  gulo isósceles son iguales, se ve que los triángulos rectángulos BED y CFD son semejantes, luego DB _ DE DO DF lo que demuestra el lema. T e o r e ma . (Fig. 2.) 3. Cuando tres concurrentes PA, PB, PC se cortan por una transversal en tres puntos a, b, c, dos segmentos cualesquiera de ésta son proporcionales á las distancias de su origen común alas otras dos concurrentes, con tal que cada segmento se divida por la distancia de su extremo al punto de concurso P. Sean ba y be dos cualesquiera de los tres segmentos ab, be, ac de la transversal, y ¿ y las distancias del origen b á las concurrentes PAy PC. Queremos demostrar la relación ba . be ¿a Pa 'Pe bx ' Tracémosla bisectriz Pd del ángulo A PC que forman las concurrentes que pasan por los extremos a y c de los segmen  tos; por el origen b tiremos una paralela á la bisectriz Pd, pro  longándola hasta que encuentre en a' y c' álas concurrentes PAy PC. El triángulo Pa'c' será isósceles, porque el ángulo c' es igual al dPc mitad de APC, y el ángultf en a' es igual al AP¿¿ mitad también de APC; luego [Zema] ' ba' ¿a be' b*; ‘ 1 racemos por c y c' paralelas á PA prolongándolas hasta que u — 13 — encuentren á y á la transversal abe respectivamente en e \ f; los triángulos semejantes bao,' y bce. cPti y darán ba _ aa' _ c'/ be ce ’ Pe ce' ’ de donde, por división, ba . Pa _ aa'. cc' . be ' Pe ce. c'/ ’ pero el triángulo cc ’ e es isósceles, por ser semejante al Pe'a', luego ee' = ee; por tanto el segundo miembro de la igualdad anterior se reduce á aa' ba' ba. c'J be' “ T7 ’ igualdad que demuestra el teorema. La misma demostración puede aplicarse á los segmentos ab, ac y á los ca, cb. N o t a . En lugar de la relación entre las distancias del origen de los segmentos á las concurrentes PA y PC, puede ponerse la relación entre las distancias de otro'punto cualquie  ra de PB á las mismas, porque esta relación es constante para todos los puntos de una misma concurrente. C o r o l a r io . (Fig. 3 J 41. Si tres concurrentes PA, PB, PC se cortan por do s transversales . dos segmentos cualesquiera de la primera trans  versal son proporcionales á los correspondientes de la segunda, con tal que cada segmento se divida por la distancia de su ex  tremo al punto de concurso P. Llamando — á la razón de las distancias de un punto cual  quiera de PB á PA y PC, tendremos [3] ba . be -ni b'a' . b'c' w Va ' Pe n ’ Va' ' Pe' u _ ba be b'a' b'c' lue8 "° Va : Pe — "P^ : "Pe 7 1 Del mismo modo se obtienen las relaciones ab . ac a'b' e a' o' ca . cb da' . db* "vb : "Vc — "W : ■p7' : "Vb — V? : P^ 7 * 5. El anterior corolario puede demostrarse directamente, y en tal caso el teorema del número 3 pasa á ser corolario. En efecto: por el origen b de los segmentos elegidos ba y be tracemos una paralela a" e" á a' d, y por a y a" otras dos para  lelas á la concurrente PC. Los triángulos semejantes bam, bcc H y los bna". bcc" nos dan ni b(d' r9| ' be - cd r ' 111 ’ L Los triángulos semejantes P«c, a"a)i y los Va^c", aa^m dan Va_a ,, a Va"_aa" Ve A ’ # Pe" am ’ Dividiendo la igualdad [1] por la [3] y la [2] por la [4] será ba . Va _ am.a"u be " Ve - ce", a"a ’ ba" . Va"_a!'n.am bd ’ : "Vd'-d'c.aa" ’ de donde ba e Va _ ba" . Va" be * Pe be" ' Ve" ’ * sustituyendo g por su igual g, y por ™ sérá __ Va' . Pa' " Pc — 17d ‘ P? ' ó por último — : /_ = • — Pa Pe Pa' ' Pe'* Para deducir de este principio el del número 3, prolonga  mos ¿a hasta c', y será (Fig. 4.) . 6c _ ¿a . __ Pa.fo' P« ' Pe — Pí : Pe' — : ~P7" ; los triángulos semejantes c'Pa y c'6-( nos dan Pa ' Pc ' i i a / p “ - b(í -r = -v-, . de donde ¿y = r .- , ; be' • * Pe' ’ sustituyendo la fracción por su igual ¿y, la primera igualdad será _ ¿a P a ‘ Pe — F; ' II. Conexión entre I o n principios fundamentales y los teoremas de líneas proporcionales. <>. De dos modos se exponen en los tratados de geometría los fundamentos de las líneas proporcionales: unos autores apoyan la teoría en que toda paralela á un lado de un trián  gulo divide los otros dos én partes proporcionales; otros em  plean, en lugar de-triángulo, un trapecio cortado por una pa  ralela á las bases. Ambos enunciados son igualmente restrictivos, porque la proporcionalidad no sólo tiene lugar entre los segmentos aditi  vos producidos por una paralela interior, sino que también existe entre los sustractivos causados por una exterior, y en fin son proporcionales dos segmentos cualesquiera de una trans  versal álos correspondientes de la otra, cuando los segmentos están determinados por tres paralelas ó por dos paralelas y el punto de concurso de las transversales. El defecto apuntado suele remediarse por medio de corola  rios, lo que complica innecesariamente la cuestión, sin que áun asi lleguen á tratarse todos los casos posibles. Creemos que, para dar á la proposición que noso cupa toda su generalidad, debe prescindirse de la idea de triángulo ó tra  pecio, y decir: Cuando tres rectas -paralelas se cortau por dos transversa  les., dos segnientos cualesquiera de la primera transversal son proporcionales d los correspondientes de la segunda. Este enunciado comprende todos los casos. En efecto, tra  zando dos transversales abe, a'b'c' (Fig. 5 ) podrá suceder que se encuentren en una paralela extrema A, núm. 1, en la inter  media B, núm. 2, fuera de las paralelas, núm. 3, ó entre dos pa  ralelas B'y C, núm. 4, y tendremos en cualquiera de los cuatro casos que dos segmentos ab y ac, ba y be ó ca y cb de la trans  versal abe son proporcionales á los correspondientes a'b' y a'o ’ , b ’ a ’ y b'c' , c'a' y c'l/. Justificada la conveniencia de adoptar el enunciado an  terior, veremos ahora la analogía que guarda con el principio fundamental del núm. -I. • En ambas proposiciones se establecen relaciones de magni  tud entre los segmentos de dos transversales producidos por tres concurrentes ó por tres paralelas, esto es, por tres concur  rentes en el infinito: la cuestión propuesta es, pues, la misma, general en el primer caso, porque la posición del punto de con  curso es indeterminada, particular en el segundo; luego debe esperarse en buena lógica que nuestro principio fundamental del núm. 4 comprenda el delineas proporcionales enunciado en el núm. G. — 17 — Y así .sucede, en efecto. Supongamos qne el punto de con  curso P se aleje al infinito, ó lo qne es igual que las concurren - fes se conviertan en paralelas (Fig. 6j,y entonces la relación [ 1| ba . be __ b'a' # b'c ’ Va" Pe — Pa' * Pe' se convertirá en ba : be = b'a' : b'c ’ por la supresión de los denominadores iguales P« y Pe, l ’ a' y Pe'.' i Haciendo en el principio fundamental del núm. 3 la misma hipótesis. P en el infinito, la relación ba , be _ b-j. Pt? " P<? b-( se convierte en ba _ b-j. • be b^ ' toda vez que Pfl=P¿?. En este supuesto, ba y be son segmentos de una transversal interceptados por tres rectas paralelas, y 1 Cuando el punto P (Fig. 3J se halle en el infinito, las rectas Pa, Pe serán infinitamente grandes; su diferencia en cambio será finita, porque los extremos a y c están á distancia finita de los demás pun  tos de la figura. La diferencia finita entre dos cantidades infinitamen  te grandes es nula relativamente á estas cantidades, que por lo tanto pueden considerarse iguales. Esto mismo lo confirman'las siguientes consideraciones: si traza  , , , , Pa aa' , , . mos a'm paralela a ac (Fig. 1) sera p^ — — i por mucho que se aleje el punto P esta proporción siempre tendrá lugar, luego Pa aa) lúa. dtí 77- = Um. de — ; Pe cm ’ . , pero en el límite,, es decir, cuando Pa y Pe sean paralelas, la figu  ra acó!va será un paralelógramo, y por tanto Um. de a — =Y, luego Uva. de = 1, ó sea Pa = Pe era b Pe •_ Lo mismo se demuestra que Pa= Pa ’ partiendo de la igualdad Pa _ ac Pa' ~ a ’ va ' • 3 u UX1VERSJDADE DE SANTIAGO DE fOMPOSTE. — Ls — ¿x, b-; las distancias entre las paralelas correspondientes; lue  go el principio que nos. ocupa es una generalización del si  guiente: Dos segiMutos^ciiales^uieTa, de d)ia iTo^isDeTsal iuteTceptados por tres paralelas son proporcionales á las correspondientes dis tancias entre éstas. Esta proposición, demostrándola directamente, pudiera y acaso debiera adoptarse como base de las líneas proporciona  les, por ser muy expresiva. Queda, pues, sentado que los dos principios relativos á rec  tas concurrentes cortadas por transversales, expuestos en los números 3 y 4, son generalizaciones de los en que se funda la teoría de líneas proporcionales. Al pasar del caso general, pun  to de concurso cualquiera, al particúlar, punto de concurso en el infinito, los denominadores de los segmentos, que son las distancias de los extremos respectivos al punto de concurso, desaparecen: deben, por lo tanto, mirarse como correcciones debidas á la Jaita de paralelismo de las concurrentes en P. S. No carece de interés observar que al paso que desapa  rece el paralelismo, las igualdades relativas á los seg ’ mentos se complican: la intersección de un sistema de paralelas por otro también de paralelas origina la igxialdaddc segmentos; con  viértese uno de los sistemas en haz de rectas concurrentes, y la igualdad de segmentos se convierte en igualdad de razones: cambiase también el segundo sistema de paralelas en haz de rectas concurrentes, y á la igualdad de razones de líneas suce  de la igualdad de razones de razones. O. Todavía vamos á considerar el principio fundamental del núm. 3 bajo otro punto de vista, tan interesante como el an  tenor. La relación bd be _ ¿a Pd ‘ Pe — ¿7 puede escribirse en la forma ba . Pa bx Te'' Pc~Tj y traducirse al lenguaje vulgar del modo siguiente: — 19 — Si desde el 'oértice P de Hit tridugulo Pac (Fig*. 2) se traía una recta Pb que encuentre al lado opuesto, la relación — de los Pa segmentos de éste y la d,e los lados del ángulo son proporcio  nales á las distancias del pié de dicha recta á los mismos lados. Este teorema es una generalización del que se enuncia en los tratados de geometría elemental diciendo: La bisectriz de un ángulo interno ó externo de un triángulo, divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales ó, los lados del ángulo. En efecto: trazando la bisectriz AD (Fig. 1^ y las distancias DE y DF del punto D álos lados AB y AC, tenemos DB . AB_ DE . . DC- : AC~ DF ’ pero el punto D perteneciente á la bisectriz del ángulo BAC ó del externo B'AC equidista de los lados del ángulo, y por tanto DE , . ^=1: luego DB_ AB . DC - AC ' Como al demostrar el teorema del núm. 3 no nos hemos ser  vido de este último, podemos considerarle como corolario de aquel. 111. — Grado de generalidad de los principios fundamentales. 1O. El teorema del número 3 se verifica áunen el caso par  ticular de que la transversal sea paralela á una de las concur  rentes. En tal supuesto, alguno de los puntos de intersección a, b, c se aleja al infinito, y las distancias á los otros puntos de la figura deben considerarse iguales, siempre que su diferencia sea finita. u — 20 — Suponiendo, para fijarlas ideas, que la transversal sea naremirar 3 ,1™™"'™* 6 P ° ’ l ,ro P on 8 6 ™ o nos demostrar el teoélinfinito Seí?m ™ t0s cnyo ori «e n ea es decir el punto en La relación del caso general ca el) _ ca P<? ' Yl) — ’ Üra i d ° fi ‘ ‘ -y^ á , las P er P endicular es bajadas desde el punaíiora en fln ° nS C ' lncurrentes PA y PB - se convierte — =£ a Pa c3 ’ toda vez quera y cí, magnitudes infinitas cuya diferencia «b fim a, son tguales; no diremos lo mismo d^ c» y “ mü finita iidém • ’ aS ’ P ^ qUC n ° C ° USta I" 6 m diferencia sea Ha y ademas porque sabemos que las distancias de los di  ferentes puntos de PC á las rectas PA y PB guardan un a ra  zón constante, a por lo tanto ~ no es, en general, igual á la unidad, sino ála relación de un punto cualquiera c' dcPCáPAyPB. 1 ' Puesto que la elección de punto en la concurrente PC es aibitrana damos la preferencia al c', intersección de PC con una paralela tirada por b á la bisectriz P^ del ángulo APB Debemos, por consiguiente, demostrar la igualdad ‘ Pb _cV Pa c'^' ' El triángulo Pba' es isósceles, luego c'a' _ c'x' ~Tb~^ y luego — C ' T ' Pa Pq. - c'b — ^7 • — Ti — que unen los puntos a, b, c, P es 24, como debía suceder, pues  to que con cuatro letras se forman 24 permutaciones. De estas 24 razones sólo son distintas las seis que hemos señalado con [a]. Tres de ellas se obtienen aplicando los prin  cipios fundamentales sucesivamente á los segmentos que par  ten de a, de b y de c ; otras tres invirtiendo las anteriores; y cada una de las seis produce otras tres equivalentes á ella, per  mutando dos letras y á la vez las otras dos de todas las mane  ras posibles. Es claro que todas son independientes de la dirección de la transversal. 15). Ahora podemos enunciar los dos principios fundamen  tales del modo siguiente: . S¿ en cualquiera de las razones compuestas de un haz de tres - rectas cortado por una transversal, hacemos que el punto P ocu pe el último lugar * , la razón es igual al cociente de las distan  cias del tercer punto d las concurrentes que pasan por los dos primeros. Todas las razones son constantes, cualquiera que sea la transversal. Así, tcPab') = (abcP) = = constante. (Pacb) =(bcaP) = a i . ■ , — = constante. a-t 1. Basta permutar la letra P con la última y á la vez las otras dos. se UMVLRSJDAD DE SANTIAGO DE COMPO-TL u CAPÍTULO SEGUNDO. TEORÍAS DE GEOMETRIA MODERNA QUE SE DEDUCEN INMEDIATAMENTE DE LOS PRINCIPIOS FUNDAMENTALES. — Introducción. -O. Guando se consideran en una recta indefinida uno ó mas segmentos de la misma, puede tenerse en cuenta, además de la longitud de cada segmento, su dirección, á partir de un extremo considerado como origen. Por manera que un segmen  to estara completamente determinado si conocemos el orfo-en ó punto de partida, el sentido en que debe llevarse sobre la recta y su longitud. ’ La oposición en el sentido de los segmentos se expresa por los signos contrarios má.s y menos: todos los segmentos diri  gidos en un mismo sentido convenido se consideran gositiros y todos los segmentos dirigidos en el sentido contrario se consi  deran Qiegativos. Si convenimos en considerar como positivas las longitu  des contadas de izquierda á derecha, las que se cuenten de de  recha a izquierda serán negativas. El segmento al (Fig. 13 es positivo, el la es negativo, y como en longitud son iguales^ tenemos n ' = — la ó al la = o. Si en una recta indefinida XY consideramos dos puntos fijos a y y otro punto cualquiera w, las distancias de m á a y ¿tendrán el mismo signo ó signos contrarios, según que m esté en la prolongación de ab ó que esté entre a y b\ la relación de las distancias será, pues, positiva en el primer caso y negativa en el segundo. Así ma 'mía 'nVa positivas, ^negativa. 31. Si eu una recta indef-ni^o, XY (Fig. 14^ marcamos dos puntos /jos a y b, existe siempre un punto y sólo uno en la recia, tal q^ue la ratón de sus distancias á los puntos /jos es igual en magnitud y en signo á una relación dada — . Dicho punto se ha  llará en la prolongación de ab si es positiva, y entre a y b . in .. si — es negativa. Trazo por el punto a una recta que forme con la ab un án  gulo cualquiera; tomo en dicha recta, á partir del punto a, una longitud am = m\ trazo por b una paralela á am igual en lon  gitud á n, hácia el mismo lado que am con respecto á XY, si la relación dada es positiva, y hácia lado distinto, si es negativa: sea bn en el primer caso y bn! en el segundo; uniendo m con n ó con n' la recta de unión encuentra á XY en d 6 en c, y será da _ am _m ca __ am __ __ m db bn n 5 cb bn' n Si — es mayor que la unidad, será da >■ db, ca "> cb; luego los puntos d y c caerán respectivamente á la derecha de b y de o, medio de ab. Si — es menor que la unidad, será da •< db, ca<_cb; lueg ’ o los puntos d y c caerán respectivamente á la izquierda de a y o. Si — es igual á la unidad, será ca = — cb, y el punto c cae  rá en el medio de ab. En cuanto al d, tendremos ~ 31 - da db-vLa ba _ db~ db db ' lueg-o = 0, bd = Qo ; por consiguiente el punto d se aleja al infinito, lo que por otra parte es evidente, toda vez que, en la hipótesis actual, siendo am y bu iguales y paralelas, la figura amub es un paralelógramo, y por lo tanto mu paralela á XY. Por último, si la relación — vale cero ó infinito será da = 0. u ca= 0 en el primer caso, db = 0, cb = 0 en el segundo; luego d, y c se confunden con a ó con b. Los puntos dy c son únicos,pues si d, se mueve acercándose ó alejándose de b, los términos de la fracción disminuyen ó aumentan en cantidades iguales, luego la fracción varia cons  tantemente en el mismo sentido, pasando por valores todos mayores ó todos menores que — ; y si c se mueve acercándose al U ca punto a ó alejándose, el numerador de disminuye ó aumen  ta y el denominador varia en sentido contrario, adquiriendo la fracción valores sucesivos todos menores ó todos mayores m que — . 77, a Análogo razonamiento se aplica si la relación es menor que uno, y por lo tanto el punto d, está á la izquierda de a. II. — Transversales. T e o r e ma . ( Fig. 15J. *3*5. Si dos coucurreutes e7i O se c o t IM po7' varias transver  sales que parten de uii punto P, los segmentos de las concurren  tes, cuyos orígenes comunes son las intersecciones co7i una mis  ma transversal, son proporcionales, con tal que cada segmento se divida por la distancia de su extremo al punto P. se VMVLKSIDADL DE SANTIAGO u — 32 — Sean ¿t y los orígenes comunes á los segmentos de las concurrentes en O. 'Tenemos [1] ab . ac _ P7/ : Pr — a'b ’ . a'c' IV' : P? • ac . ad _ a'c ’ . a'd ’ Pe : IV “ : FV : TV ab , a'b' _ ac . a'd Pb : Pb' " " Pe " Pe' ’ ac . _ ad . a'd' Pe ‘ Pe' ~ Pd : Pd' ab alb ’ ac a'c ’ (id . a'd? r , lue s° pí : p ? = P c : p ?= p 3-P¿-"" 181 - »3. E sc o l io l.° En lugar de dos puntos distintos en linea recta con P, puede tomarse para origen común de todos los segmentos el punto de concurso O, pues la demostración seria semejante, por consiguiente Oa O¿_Ob.Oy_Oc.Oc , , „ Pa : Pa' ~ Pb ' Pb' - Pe * IV " ' * 1 J ‘ . •5-1. E sc o l io 2.° Si P se aleja al infinito, es decir, si todas las transversales son paralelas entre si, tendremos P í Z = Pa', Pb = Pb', Pe = Pe' etc. luego las series [«] y se reducen, en este caso particular, á ab : (¿U = ac : a'c' = ad : a'd' .......... [«'] Orí : O¿?' = Ob : Ob' = üc : Oc' . . . . Donde vemos que este teorema es una generalización del siguiente: u — 33 — U iia serie ole par (líelas divide á dos rectas cualesquiera en partes proporcionales . Ahora podemos decir: una serie de con  currentes di vide á dos rectas cualesquiera en partos porporcionales, con tal que se Imga en éstas la corrección debida ála falta de paralelismo, y que se cuenten desde orígenes comunes en línea recta con el punto de concurso. Esta condición aquí necesaria, no lo es en las líneas proporcionales. Si las concurrentes en O se convierten en paralelas, el pun  to O se aleja al infinito, y será 0^=0«', 0¿=0¿', Oc=Oc' etc.: por consiguiente la série [¿] se convierte en P íz ' : Pa= Pó' : : Pe...., que traducida al lenguaje vulgar significa: Dos paralelas disiden, á varias concurrentes en partes pro  porcionales. En la misma hipótesis, la série ¡n] , escrita en la forma Q lj.Pl>_ac Pe _ ad . Pd a'b' ‘ P¿' a'c' ' Pc' a'd' ‘ Pd' - se convierte, por ser iguales las segundas razones, en al) : a'l)' = ac : a'c' = ad : , lo que nos dice: . Dos paralelas que encuentran á varias concurrentes quedan divididas por éstas en par tes proporcionales. $5. Si entre los extremos de nná recta limitada ab se mar  ca un punto c, queda la recta dividida en dos segmentos, lla  mados aditivos porque ac + cb = ab. Por extensión, si en la prolongación de ab se marca un punto c. se dice que este punto divide á la recta ab en dos segmentos sustractivos, por  que ca — cb = ab. En ambos casos se considera el punto c como origen común á los dos segmentos, y al cociente de éstos le llamaremos ratón segmentaria de la recta limitida ab. se UMVFRS1DADF DL SAN11AG0 DF rOMPOSTFI .A u T eo r ema . 36. ,57 dos lados de un truvnguio se cortan por una trans  versal no paralela al tercer lado, los segmentos de los primeros son proporcionales, siempre que se haga en cada uno la correc  ción debida d la.falta de paralelismo. Sea ABC (Fig. 16} el triángulo cortado por la transversal abe. Imaginando una recta ^A, y considerando las tres concur  rentes en a. a.X, ac, ¿zB cortadas por las transversales \B y AC será [4] ‘ — • — — ¿ A • /x ' aX * aW — aX* aV; Si en lugar délos segmentos de cada lado, tomárnoslos la  dos enteros AB, AC y dos ragméntos correspondientes, tam  bién se verifica el teorema. Así AB . Xc AC . A¿ ¿zB ‘ ac aC " ab ' BA . Bc_CA . C£ aX" ac~ aX ‘ ab ' En estas tres igualdades, leyendo solamente los numerado  res, se ven las proporciones que tienen lugar entre los segmen  tos de dos lados de un triángmlo ABC cortado por una paralela />cal tercer lado; los denominadores desaparecen cuando supo  nemos a en el infinito. 35. E sc o l io . La segunda proporción AB. Xc_X^ Xb «P ' ac íz C ‘ ab ' puede escribirse en la forma 1. Uo " M1 ' lcl ' a,lllo la figura como uu cuadrilátero BCfe cuyos n k»opue,tos se han prologado hasta su encuentro en A v » la expresión última nos dice: ' Pínlon.íix.Ho los IsAos opuestos de , tit e«®lril. t i,o'o loisl.i su f '1 co«L>i> S o,lasi-<i $ ones sr,,,,tomarlas de dos lados oprVstos ' «N 'T* cl Tí Us ® l(ls , ' ,lMncs ^nmentarias de los otros dos .  .. 01 a ' 1,1 P 1101 ^ escribirse la última expresión en otra forma,, que no carece de interés, á saber- AB. ac. X6. aC = Xc. ab. AC. , 6 sea, en términos, vulgares, Prolouga* los lados opuestos de un cuadnilaleTo hasta que te^X iÓs-nu CWSÍ * eTa ’ ttt0 ,os segmentos que en cada UulAe- , V 5 T eC0M ” S0 ’ el T r * cto <~atro seqmend í wK ” eIh ; cni " C0 "™^ Pertenecientes á distintos lados del ruad, datero, es igual al producto de tos otros cuatro .T eo r ema . (Fig. 17 J ,s z desde el punto de encuentro? de dos lados opuestos de ™ cuadrolatero ABCD se traca una transoersal que curte a los otros dos lados, los segmentos de estos serám proporcionales, toa tal qae, se haga en cada uno la de paralelismo. eoTreccinn debida á la . falta Tenemos en efecto [ 1 ¡ , «B «A _ cC el) PB ' PA - PC : PD • 1 Al escribir la proporción debe cuidarse: 1.° de tomar las ra  zones segmentarias todas mayores ó todas menores que la unidad; de poner en ambas razones compuestas para primer te'rmino la ra- * zon segmentaria del lado más lejano al punto de concurso opuesto,.ó en ambas la del lado más próximo. u S( — 36 — Si en lugar de los segmentos de los lados AB y CD toma  mos los lados enteros y dos segmentos correspondientes, se verifica también el teorema: así AB . Xa _ DC . Dg PB ' Va PC ' Pe ' BA . Va_ CD . Ce PA * P«~ PD ' Ve ' Leyendo los numeradores de las tres igualdades se ven las proporciones á que da lugar un trapecio cuando se .corta por una paralela á las bases. El trapecio se obtiene suponiendo P en el infinito: en tal caso los denominadores desaparecen. 30. E s c o l io . La primera igualdad del número anterior puede escribirse así rtB.cC_PB.PA aX ' ¿D ~ PC : PD ’ Considerando los segmentos que los puntos a y c determi  nan en AB y DC, y los que determina P en AD y BC, pode  mos decir: a VZ desde el pauto de concurso de dos lados op uestos de un cua  drilátero se trata una transversal que corle á los otros dos lados, las ratones segmentarias de dos lados opuestos son proporciona  les á las ratones segmentarias de los otros dos. 1 31. La última expresión equivale á rtB. PC. cD. PA = aX. PB. cC. PD , es decir: 1 La regla más fácil para escribir la proporción consiste en aplicar la de la nota del número 27, sustituyendo el punto de concurso de los lados AB y DC, origen común de I q s segmentos, por los orígenes res  pectivos a y c del teorema actual. Si las dos transversales fijas P^', son paralelas res  pectivamente á ON y OM, también se aleja al infinito el punto a', y los segmentos c ’ a ’ , Pa' serán iguales; por tanto la última relación será (Fig. 21) ca. c'V = Pa. pg = constante. T eo r ema . (Fig. 16). . 11. Si dos lados de nn triángulo ABC, considerados como indejinidos , se corlan por una transversal abe, las razones seg  mentarias de dichos lados son proporcionales á los segmentos del tercero determinados por la, transversal. Es decir que ¿C . cB _ «C l)^ : ~ ^B En efecto, considerando las concurrentes AC y AB cortadas por las*transversales sCB y abe, siendo fija la primera, el teo  rema del número 37 nos dá la igualdad [a]. Podría también deducirse directamente del principio del número 8 que, suponiendo una recta aX, daría ¿C aC _ cB aB bX ' aX cX ‘ aX ’ fácil de transformar en la relación [/?]. E sc o l io 1." Si la transversal abe es paralela al lado BC, el punto a se aleja al infinito, y la relación -^5 es igual á 1: luego bC__ cB bX "" cX ‘ es decir: toda paralela á un lado de un triángulo divide los otros dos lados en partes proporcionales. — 44 — E sc o l io 2." El importante teorema anterior se encuentra ya en las Esféricas de Menelao, g-eómetra griego que vivió 80 anos después de Jesu-Cristo, y suele enunciarse del modo si  guiente: Si los fres falos de aa triángulo, considerados como indefini  dos, secorf in por una transversal, ésta determina seis segmen  tos tales que el producto de tres de ellos sin ejelremidaL común es igual alproduclo ’ de los otros tres. Se ve efectivamente que la igualdad [¿z] equivale á esta otra «13. bC. ck = aG. bX. cB. Nuestro enunciado ofrece la. ventaja de patentizar la co  nexión entre el teorema de Menelao y el do las lineas propor  cionales, del que es una generalización, como acertadamente expresa M. Chasles cu su historia déla Geometría. 1 T eo r ema r ec ípr o c o . 48. Si en los tres lados de un Iriángulo, considerados como indefinidos, se marcan tres puntos, de modo que las razo  nes segmentarias de dos lados sean proporcionales á los segmen  tos del tercero, dichos tres puntos estarán en linea recta. Supongamos que entre loS segmentos determinados por los puntos a, b, sexista la relación ■ ¿C . cB _ «C bX : cX~ «B l<ZJ1 Considerando las concurrentes AC, AB y la transversal fija BC, la recta que, une b con c tiene que pasar por a [3S]. E sc o l io l.° Si la razón -=. vale 1. es decir si «B • ¿C_£B bX ~ cX' . 1 Apergu historique sur P origine el le déóeloppemen! des mélhodes en Géométrie. París 1875, pág. 27. SI ; CMVg^lDADF DE SANTIAGO DE COMPOSTFLA- u la transversal be es paralela al lado BC, de lo contrario — no tendría el valor 1, luego: si una recta divide en partes'iwo*- 'pornonales ádos lados de un Iriángulo ,esparalela al tercer lado. E sc o l io 2.° El recíproco anterior se enuncia comunmente asi: Cuando sobre los lados de un triMguló., considerados corno indepnidos, se marcan tres puntos tales que el producto de tres segmentos sin extremidad común sea igual al producto de tos otros tres, dichos tres puntos están en linca recta. T eo r ema , 22). -13. Si desde un punto P lomado en una diagonal de un cuadn alero ABCD se trazan dos transversales cortando cada una a dos lados adyacentes, las razones segmentarias de dos de éstos son proporcionales d las razones segmentarias de los otros dos 1 enemos, en efecto [41] PB" ¿B. c I)_PB aA / dX PD 1 6C : cC - ■p'I5 , luego _ !1 • ^2 _ r A 1 d a - -7c R ] ó « b .¿ b _^ d ; c d l 71 , . aX •"bC-dX-^ ■ l//| 1 Estas expresiones pueden escribirse así: «A. ¿B. /-G'.vZD = t ?B. ÓO. c D ; . VA. , lo que permite enunciar el teorema Úe otro modo: . Sf desde un punió de uná diyyonal de un cuadrilálero se Iriuan dos Iransrersales corlando cada, una á dos lados adyacentes, resultan ochó seg- " te ‘ dos. tales que el producto de cuatro de ellos sin extremidad, común es igual al producto de los otros cuatro. — 4G — • I KOREM \ REr.íl-RDCO, 11. ,S> lr.,t ÍUdh ‘ 0 bidns <bh a CU(i#l,Hl<Í(f TO .se íliriden en dns ^eflmeHtoS pnv medio de punios a, b, e, d. de bU modo que las rnsones segmentarias de dos lados adyacentes sean proporcionales á las rabones segmentariás de los otros dos. las rectas ad y be concurren en un punto de la diagonal BD, y las al) y de concur  ren en un punto de la otra diagonal ÁC. Tenemos por hipótesis aB . í ZD _bB . cD aX ' dX - 1>C ** cC : llamando P al punto en que ad encuentra á Bl), el primer miembro déla igualdad [a] valdrá [ II], luego ¿B . el) _ PB ÓC- cC - PD ’ lo que exige que be pase también por P [4»]. Análoga demostración se aplica á ab y de, partiendo de la igualdad [¿j del número anterior. C o r o l a r io s . 15. 1. 1 ,S7 desde un punto P de una diagonal Bl) de v.n cua  drilátero se traían dos transversales corlando cada una á dos lados adyacentes, las rectas que unan los puntos a y d de inter  sección de una de ellas respectivamente con los b y c de la otra concurren en un punto de la segunda diagonal AC. Puesto que, según el teorema directo, las razones segmen  tarias producidas por Pad y Pbc son proporcionales, luego. >egnn el reciproco, las transversales ab y de concurren en un punto de \C. — 47 — BG. 2.° Si tlesde los puntos de concurso E y F (Fig*. 23^ de los lados opuestos de un cuadrilátero ABCD se traían dos transrersales que corten á los lados del mismo en puntos b y d. a ?/ c, I' ía rectas que unen a con d ?/ b con c concurren en un punto de la diagonal BI). g las que unen a con b, c con d concurren en un punto de la otra diagonal AC. * Tenemos, en efecto [3^J, dB . cC _ ¿B dX • aX " cD ~ le '' 71) ? qm 1 se convierte en _ ^B . ¿D aX " dX — 1>C * cC ’ luego el corolario es cierto [ B S| . T eo r ema . (Fifi. 24J. E $. Si lodos los lados de un polígono, considerados como in  definidos, se corlan por una transversal, ésta determina en cada lado dos segmentos . y el producto de todos los que no tienen nin  gún extremo común es igual al produto de todos los demás. Sea ABCDE el polígono, MN la transversal y a, b, c, d.e los puntos en que ésta corta á los lados de aquel. 1 razando las diagonales AC, Al) del polífono y prolongán  dolas hasta la transversal, tendremos varios triángulos ABC, ACD, ADE cortados por la transversal común MN; luego [41J — CC jTp_cC D'D eE di) aX 1 C'A bC ’ C'X : D'A * 7 d 1 ÍTA : 7X = <?E ; multiplicando ordenadamente y simplificando resulta: cC JÉll aX - eX ¿C " el) ‘ dF. ’ ó aB. 6C. cD. dF. eX=aX. bB. cC. dD. eE, lo que debíamos demostrar. T eo r ema . ( F ííj . 25^. 4N. Dadas tres circúnfercucias A, B, C, si considerándolas dos á dos trazamos las tangentes comunes exteriores, los tres ■puntos a, b, c en que éstas encuentran á las respectivas rectas de los centros están en linca recta. Sean A, B, C los radios de las circunferencias. Tenemos la igualdad evidente por sí misma B . C _ B A * A — C ’ pero los radios de dos circunferencias son proporcionales á las distancias del punto en que concurren las tangentes comunes á los centros respectivos, luego cB . ¿C _^B ¿A ' ¿A aG ' lo que demuestra que a, ¿y c están en linea reéta. T eo r ema . (Fig. ^.S). H>. Si desde dos puntos djos A, A' de dos redas concurren  tes OM, ON se trazan pares de transversales Aa' y A'a, Ab' y A'b etc. cuyas intersecciones p etc. están en linea recta con O, y se considera como fijo uno de los pares Aa', A'a, la relación ha . b'a' bO : W es constante. En efecto: si atendemos al cuadrilátero Os«a' y á las trans  versales A'¿y Xy trazadas desde un punto 3 de la diagonal Oa, — 49 — las cuales cortan, la primera á los lados adyacentes «O y «a en b y A', y la segunda á los otros dos «'O y «'a en b' y A. ten  dremos [13| ba . A'^ b'(C . Xa* bO : A'a - TY) : A? ’ , . . ba b'a! Ma Xa! , , óbie P ■7 o : t o = t ;: a 7 i" 1 - Trazando desde A y A' otras dos transversales que se corta  sen en la recta O ’ /, obtendriamos de igual manera una expre  sión cuyo segundo miembro seria idéntico al de [«], luego los primeros miembros serian iguales: por lauto  T eo r ema . (Fiy. 2T ). 50. a W dos concurrentes OM, ON se cortan por 'pares de transversales Ab' y A'b, Ac' ij A'c Cfue parten de dos puntos ^os X i/ X! tomados en las concurrentes.-y cuyas 'intersecciones^, están en linea recta con O, la, relación bA _ bTV b() : b'O es constante é igual á — . Suponiendo que las dos transversales fijas Xa' y X'a dél teo  rema anterior se confundan en una sola recta AA', los numera  dores X'a y Xa' del segundo miembro de la relación [/?] serán iguales y de signos contrarios, luego IA . b'X^ _ _ «A b^*"b'6 — vX ” IWVLKSIDAL". DE SANTIAGO DE rOMPOST -50 — el segundo miembro, es constante, el teorema es Obsérvese que la relación — • . . 1 ¿O ' ¿'O CS P osltlva si la recta OK es interior al ángulo MON, y negativa si OK es exterior. T eo r ema r ec ípr o c o . rentes « nS , ^ 05 A A ' 2.1 trttZttn V a ™ 46 Ab' » A'b Ac' si Ve en las concurrentes segmentos tales quela re'- bA . 1/A' bO : b'Ó sen conslnnte, ins iuteTseccioupQ ,j >> r/, i i Sea ? la intersección del primer par de rectas AZ' A-z •« i punto con que 0,3 encuentra Z \ V P , f ! A ' y a e l tenemos encuentia a AA . Por el teorema directo ^A . £A' __ a A ¿O 1 /XO ------ TV : viden á AA' en la relacinn 2 . . en m i elación - — . p Or consiguiente todas pa  saran por « confundiéndose en una sola. T eo r ema . (F ú j . ^). ' Ml T 101ijo P se toaw ' traummles ■ ... que coíteu a dos concurrente» OM, ON, los rectas si : UMVÍ3GJDA11L DE SANTIAGO DE COMPOSTFIA que unan los puntos de intersección a y a' de cualquiera de ellas con los respectivamente opuestos b' y b, c' y c de las otras, se cor  tarán en puntos en linca recta con O. Según el teorema [37] = cotó ¿,u 6 , 60 ‘ ¿'O cO c O luego en virtud del [51], los puntos 3, 7.. están en linca 1 ce  ta con O. 'L' eo r ema . ( Fíg. 28J. 53. Si desde dos pxiutos jijos ay a' tomados eu dos rectas cancurreutes OM, ON se traían pares de rectas ab' y a'b, ac- y a'c... que se corten en puntos en linea recta con O, las rectas que unan a con a', b con b' , c con c' etc. concurrirán en un -mismo punto P. . Seg-un el teorema [50] ¿O * ¿'O cO c'^ luego en virtud del [3S], las rectas aa', ce' etc, concurren en un mismo punto. T eo r ema . (Firq.^). 51. Si desde un punto I tomado en el plano de un triángulo ABC se tiran rectas á los tres vértices, prolongadas hasta los lados opuestos, el cociente de las ratones segmentarias de dos lados es igual y de signo contrario á la razón segmentaria del tercero. Es decir que ¿C cB_ aC bk* cX" aB 1 J ’ se UMVFRSIDAt ■ DE 5AN JIAGC DE COMPOST u -52- En electo: considerando Jas concurrentes AC AR x, i <(; OROLAiiTO. Si a es el punto medio de BC. la relación vale — 1. luego « a-S- <lc (,0S de h-Kva.iulu doseupaXpTopoM^l^ j^'^nn esto, la recta 6c será paralela á BC En erecto: la igualdad equivale á esta otra: «B. ¿0. cA. = — i \ fB T k o r bma r ec ípr o c o . (V k j •-><); S( : UKMRSipADL I DE SANTIAGO DE COMPfi TFIÁ — 59 — ó sea C(t • — r,(,, . ,r, ' , cb ‘ db c'b' ‘ a'U C0 Nl(Mite, lo cual debíamos demostrar. ' Es claro que este teorema se verifica en el caso de coinci  dencia de dos puntos homólogos. A "ota. La proposición anterior, que se encuentra va en las C olecciones matemáticas de Pappus, siglo IV de laera cristiana, y en la que M. Chasles ha fundado su excelente Tr<itaáo de Geometría superior puede deducirse directamente del principio número J, base del presente estudio. Tenemos, en efecto, (^0) = («' C O) , Vabcl^ = ^a' U d' O), dividiendo estas igualdades, con objeto de eliminar O, resulta ca- . da __ c'a' . d'a' cb ' db ~ c'b' ' d'b' ‘ 50. El teorema de la relación anarmónica es enteramente general. Si suponemos una transversal b' c' d' {Fig. 33) parale  la á un radio 0«, tendremos ca , da d'b' cb ' d,b c ’ b' 1 toda vez que hallándose el punto a* en el infinito es c'a' =d'a;. Esta observación ofrece un medio sencillo y fácil de retener para hallar el cuarto punto de una figura rectilínea cuando se . conocen tres y el valor de la relación anarmónica.- Supongamos conocidos los puntos a, b, c, y tratemos de hallar el cuarto d por la condición \abcd^ = r. Desde un punto, exterior á la recta dada, trácense tres ra- 1 París, 1852. u — 60 — dios á los puntos tt, í, c; tírese una transversal paralela á cual  quiera de ellos, al Oa por ejemplo, esta paralela encuentra á 0« en un punto en el infinito, que llamaremos a'. Ahora bien, ó sea víbed) = (a' b ’ d d'^ = r da* d'a' -77- : -777i = ‘ 1 * , db d b . , 7 , , , dib' pero c a = a a , luego = r. El punto (V se determinará por esta condición, y trazando el radio O í ?, s u intersección con la recta dada será el punto d que buscábamos. 71. Llamaremos relaciones anarmónicas de un haz de cua  tro rectas á las relaciones anarmónicas de sus cuatro puntos de intersección con una transversal cualquiera. Cuatro rectas concurrentes en un punto, consideradas dos á dos, forman seis ángulos. Dos haces d? cuatro rectas, cuyos án  gulos sean respectivamente iguales, tendrán las mismas rela  ciones anarmónicas. Otro tanto decimos de dos haces cuyos ángulos sean unos iguales y otros suplementarios, porque los radios de un haz pueden sustituirse por sus prolongaciones, lo que cambia algunos ángulos del haz en sus respectivos suple  mentos. . De esta observación se desprenden proposiciones análogas á las tratadas en el número 1®. 1 ." Si los radios de dos ó más haces de cuatro rectas inscrip  tos en una circunferencia pasan por cuatro puntos fijos de esta curca, las relaciones anarmónicas de los haces son iguales. 2 . a Si el centro de un circulo se une con los puntos mi que cuatro tangentes fijas son corladas por una quinta tangente móoU, las relaciones anarmónicas de los haces son constantes, cualquiera que sea la tangente mocil. 7». Se llaman relaciones anarmónicas de cuatro puntos situados en una circunferencia, las relaciones anarmónicas de se UMVLKSJPADI. DE SANTIA(; ü DE COyPO 'TFlAl — 61 — i.n ha Z inscripto cuyos radios pasan por los cuatro puntos Se llaman relaciones anarmónicas de cuatro tangentes fijas' as relaciones anarmónicas de un haz central cuyos radios pa. ; an por los puntos de intersección de las tang-entes con una quinta tangente móvil. “ ^mes con una Puesto que el haz central, cuyos radios pasan por los ella lio puntos de intersección de las tangentes fijas con la móvil tiene las mismas relaciones anarmónicas que el inscripto cuyo centro está en el punto de contacto de esta 9 quinta tanlente^ ■ os tedios pasan por los cuatro puntos de contacto cíe tes T e o r e ma . (Fifi. :, ‘ 1J ^i^os finuras de cualnjjuntos en linea recta abed ,/ ah c d tienen una relación anarmónica igual y -un punto homó  logo común a, las tres rectas que unen dos á dos los otros puntos homólogos concurren en un mismo punto. Supongamos ahed') = a // c' d^, lista igualdad pué'de escribirse asi ca . c'a _ da . d'a el ‘ c ’ l) db ‘ dí7/ ? considerando las dos concurrentes en a cortadas por las trans- \ersales bb , ce' x da ’ , siendo fija la bb ’ . las transversales con  curren en un punto O [3S]. 51. La igualdad entre dos relaciones anarmónicas puede establecerse de cuatro modos, porque permutando en una de ellas dos de sus letras y á la vez las otras dos, la relación no varia, subsistiendo igual á la otra. u Así, de la igualdad ^aicd') = c ' ^') pueden deducirse estas tres = ^'a'd'c'^ ^cd\ = ^'d'a'b'V^M = que se han obtenido permutando sucesivamente en a'b'c'd' , « y U. a' y c', a' y d', y tila vez las otras dos letras. ‘ En consecuencia, cuando dos figuras rectilíneas de cuatro puntos tienen una relación anarmónica igual, haciendo coin  cidir dos puntos cualesquiera, aunque no sean homólogos, los demás unidos dos á dos, de manera conveniente, dan tres rec  tas que concurren en un punto. Si tenemos, por ejemplo, ^abcd^ = ^a'b'c'd'V y hacemos coincidir los puntos no homólogos ¿ y c , permu  tando en el segundo miembro b' con c' y a' con d\ será Vabcd 1 ^ = (¿'c'í's')» donde b y c' son homólogos, luego, según el teorema, las rectas que unan a, c, d, puntos de la primera relación, con sus homólogos en la segunda d', b" , a' concurrirán en un punto O. H». C o r o l a r io . Si dos JiguTCis wclidiueds de c xml I t o ‘ puutos que se corresponden, tienen una relación anarmónica igual, las demás relaciones anármónicas son respectivamente iguales. Haciendo coincidir dos puntos homólogos, las rectas que unan los demás dos á dos concurrirán en un mismo punto, lue  go todas las relaciones anarmónicas análogas de las dos figu  ras serán respectivamente iguales [OS]. T E OR e m a . ( Fif/ . 35 J 50. Si los radios de dos haces O y O' de cuatro rectas se corlan dos d dos en puntos a, p, 7, 8 situados en linea recta, los haces tienen iguales relaciones anarmónicas. — 63 — Demostremos el teorema para una relación anarmónica cualquiera: por ejemplo, probemos que = UVc'd'Y ( Considerando los primeros radios Q ’ a como dos concur  rentes en a, los segundos O¿, O'¿' como dos transversales fijas que parten de puntos fijos O, O' tomados en las concurrentes a los demás como transversales que parten de los mismos pun  tos y se cortan dos á dos en puntos en línea recta con a v 3 tdnd remos [4f>] ca . c'a _ da . d'a ‘ c'U ~"db * d 7 ^' ’ ó bien Vilícd^ = ^al/c'd',. Es claro que esta proporción se verifica también en el caso de contundirse dos radios homólogos en uno solo. Nota. El teorema anterior puede demostrarse por la simple consideración de ser una transversal común á los dos haces: pero hemos preferido conservar la correlación entre las propiedades de las figuras rectilíneas de cuatro puntos y las analog ’ as de los haces de cuatro rectas concurrentes. T e o r e ma . (F ú /. 3(y. <5. .Si dos haces () y CY de cuatTO rectas licúen, una relación (inarmónica igual y un radio homólogo común, los tres puntos de intersección de los otros radios correspondientes, tomados dos á dos, están en linea recta. Suponiendo (O, ABCD) = (OTVB'C'D'), queremos demostmi que las intersecciones a, 3, 7 de los radios homólogos están en linea recta. En virtud de la hipótesis, la relación anarmónica de los cuatro puntos de intersección del haz O,ABCD con una recta u — 64 — cualquiera será igual á la relación anarmónica de los cuatro puntos de intersección del haz O^A'B'C'D' con otra recta: luego relación que puede escribirse así ca . da _ (ya . Oa cb " c'l) (yb " Olí " . Considerando los primeros radios OA, O'A' como dos con - currentes en a. y los demás como transversales que parten de dos puntos fijos O y O' tomados en aquellas, siendo fijas y O'b', es claro que los puntos 3 y 7 estarán en linea recta con Cuando dos haces de cuatro rectas tienen una relación anarmónica igual, haciendo coincidir dos radios cualesquiera, aunque no sean homólogos, habrá siempre tres pares de radios que dos á dos se cortarán en tres puntos en linca recta. Si tenemos, por ejemplo, (O,ABCD) = (O^A'B'C'O' . y hacemos coincidir los radios OA, O'C' no homólogos, permu  tando en la igualdad anterior C' con A' y l)' con B' será (O,ABCD) = O' ; C , D'A'B' , donde los radios que coinciden OA, 0'0' son homólogos; lue  go, según el teorema, los puntos de intersección de OB, OC. 01) con O'D', O ’ A', 0'13' estarán en linea recta. ÍO. C o r o l a r io . Si dos haces de cuatro rectas que se cor  responden tienen una relación anarmónica igual, las demás serán respectinámente iguales. Haciendo coincidir dos radios homólogos las intersecciones de los demás estarán en línea recta [57J; luego todas las rela  ciones anarmónicas análogas de los dos haces serán respecti  vamente iguales [56]. u — 65 — T e o r e ma . (Fig. 37). SO. Dado un exágono inscripto en una circunferencia, si se prolongan cada dos lados opuestos AB y DE, BÓ y FE, CD y V Abasta su encuentro, los tres puntos de intersección L, M, Ñ estarán en linea recta. Tenemos [<1] (A, BDEF) = (O, BDEF) ; el primer haz determina en una recta LD los puntos L, I), E, G, y el segundo determina en MF los M, H, E, F; luego (LDEG) = (MHEF) ; estas dos figüras rectilíneas tienen un punto común E, luego las rectas LM, DH, GF concurren en un mismo punto N, ó lo que es igual, los puntos L, M, N están en linea recta. 1 SI. Inscribiendo en una circunferencia un pentágono, cua  drilátero ó triángulo, y trazando por uno, dos ó tres vértices respectivamente tangentes á la circunferencia, podrán consi  derarse estas figuras como exágonos inscriptos en los que uno, dos .ó tres pares de vértices consecutivos se han reunido en un punto, y el teorema anterior será aplicable, porque no depende de la longitud de los lados del exágono. Fundados en esta observación diremos: l .° En todo pentágono inscripto en una circunferencia, el punto de concurso de la tangente en un vértice con el lado opues  to, y las intersecciones de los otros cuatro lados dos á dos, son tres puntos en linea recta. 2 .° En todo cuadrilátero inscripto, las tangentes en dos vér  tices opuestos se cortan sobre la recta que une los puntos de con  curso de los lados opuestos. 1 Este teorema es un caso particular del exagrama místico que Pas  cal descubrió á los 16 años de edad (1639), y del que dedujo cuatro  cientos corolarios. 9 S( UNIVLKMDA DE SAKT1AG DF COMPOS' — 66 — 3 . En todo cuadrilátero inscripto, el punto d« concurso de dos lados opuestos y los puntos en que las prolongaciones de los otros dos lados opuestos encuentran d las tangentes trabadas por los extremos ' de uno de los primeros, son tres puntos en linea recta. 4 .° En todo triángulo inscripto, los tres puntos de intersec  ción délos lados con las tangentes tiradas por los -vértices opues  tos están en linea recta. T e o r e ma . (Fig. 38). En todo exágono circunscrito á un circulo, las rectas AD, BE, CF que unen los Terlices opuestos se cortan en un mis  mo punto O. En efecto: considerando los lados BC, DE, EF y FA como cuatro tangentes fijas, y los no consecutivos AB y CD como dos posiciones de una tangente móvil, vemos que la AB está cor  tada en los puntos. B, H, L, A, y la CD lo está, por las mismas tangentes, en C, D, M, N: luego [71] (BHLA) = (CDMN). Tomando E y F para centros de dos haces cuyos radios pasen respectivamente por los puntos anteriores, será (E, BHLA) = (F,CDMN); pero estos haces tienen un radio común EL. FM, luego las in  tersecciones O, D, A de EB con FC, EH con FDy EA con FN están en línea recta, es decir que las diagonales EB y FC se cortan sóbrela AD; por consiguiente las tres concurren en un mismo punto O. 1 S3. Circunscribiendo á una circunferencia un pentágono, cuadrilátero ó triángulo, y considerando uno. dos ó tres pun  tos de contacto respectivamente como vértices de ángulos cir- 1 Este teorema se debe á Briancbon. u — 67 — cuuscritos, podran mirarse las mencionadas figuras como exá  gonos circunscritos en los que uno, dos ó tres ángulos son igua  les ádos rectos; y el teorema anterior será aplicable á ellas, pues  to que es independiente del valor de los ángulos del exágono. De esta observación se deduce: 1 ." En todo pentágono circunscrito á un circulo, la recta que une un vértice con el punto de contacto del lado opuesto, g las dos diagonales que unen tas otros cuatro vértices, se cortan en un mismo punto. 2 ." En todo cuadrilátero circunscrito á un circulo, las rec  tas que unen los puntos de contacto de lados opuestos se cortan en el punto de intersección de las diagonales. 3 ." En todo cuadrilátero circunscrito, la recta que une dos vértices opuestos, y las que unen los otros dos con los puntos de contacto de dos lados adyacentes á uno de los primeros vértices, son tres rectas que se corlan en un punto. 4 ." En todo triangulo circunscrito á un circulo, las tres rec  tas de unión de los vértices con los puntos de contacto opuestos, concurren en un punto. T eo r ema . (Fig. 39J. N I. Si dos triángulos ABC, A'B'C' tienen sus vértices colo  cados dos á dos solre tres rectas concurrentes en O, sus lados se corlan dos á dos en puntos a, b, c en linea recta. Sean D, E, F los puntos en que la recta ab encuentra á las tres concurrentes. Es evidente que a, OBEB') ={b, OBEB') . luego (O ADA') = (OCFC'), por consiguiente las rectas AC, DF 6 ab y A'C' concurren en un mismo punto c, ó lo que es igual, los puntos a, b, c están en línea recta. u -68 — T eo r e ma r ec ípr o c o . *5. Si los lados de dos triángulos ABO, A'B'C' se cortan dos a dos en tres puntos a, b, c situados en linea recta, sus vér  tices están situados dos á dos en tres rectas concurrentes. Sean ir y H los puntos en que AC y A'C' cortan á BB' Es evidente que luego (B, = (B', , (AGCc) = (A'HC'c) ; por consiguiente las rectas A A', GH ó BB' y CC' concurren en un mismo punto O. Nota 1. a Los dos teoremas precedentes están comprendi  dos en el corolario del número 45 En efecto: prolongando BA j BC hasta que encuentren respectivamente á B'A' y B'C' tam  bién prolongados, se forma un cuadrilátero BsÉ^, del que BB' es una diagonal; y como desde un punto O de ésta tenemos dos transversales OAA', OCC, las rectas AC, A'C que unen los puntos A y A respectivamente con C y C concurren en un pun  to c de la otra diagonal ai, luego a, 6 y c están en línea recta e un modo semejante demostraríamos el recíproco. Aota 2. a Son ciertos los dos teoremas anteriores para dos guras rectilíneas cualesquiera, cuyos vértices estén en rectas concurrentes ó cuyos lados se corten en una misma recta. Por manera que estas dos condiciones son consecuencia una de otra. El punto de concurso se llama centro de homología, y la iccta e)e de homología-, las figuras se llaman homológicas, de  nominación debida á Poncelet, si bien los teoremas particulales se deben a Desargues. Haciendo que una de las figuras ho  mológicas gire alrededor del eje de homología saliendo fuera p ano, lab rectas AA', BB', CC' siguen concurriendo en O. esto es, son perspectivas. 1 traducid Ore “ ° “ ' se LMVLKolDAUL - DE COMPfiílWe u — 75 — Uniendo los puntos medios Q, H, L de los lados del mismo triángulo por medio de rectas, la GL pasará por el punto me  dio m de la diagonal AC, LH pasará por h , medio de la BD, y HG por p, medio de EF. Sustituyendo los seis segmentos de la igualdad [a] por sus mitades respectivas, será wG . _ pG m\. " toL — p H ' 1 encinos, pues, que en el triángulo GUL, los puntos y n determinan en dos lados LG, LH razones segmentarias pro  porcionales á los segmentos que el punto p determina en el tercer lado GH; luego los tres puntos m. a. p estarán en linea recta [«»]. ' T e o r e ma . (Viq. 1O1 . Los cuatro lados de un cuadrilátero completo A BU D E F . las tres diagonales, g las dos rectas queMnen los puntos E g F con la intersección G de las diagonales interiores, son nueve lineas divididas armónicamente. La simple inspección de la figura manifiesta que Ed es po  lar del punto F con respecto al ángulo AED. lo que demuestra el teorema para BC, Al) y FG. También se ve que Ya es polar de E con relación al ángulo AFB, lo que demuestra el teorema para CD, AB y EG. Llamando II' al punto en que la diagonal BI) encuentra á EL, vemos que AH es polar de H' con relación á EAF; luego el teorema es cierto para BD y EF. Por ultimo, H'C es polar de A con respecto al ángulo BH'E, lo que demuestra el teorema para la diagonal AC. notará que cada lado del cuadrilátero es dividido armó  nicamente por uno de los vértices E, F y uno de los puntos a, l), c, d en que las transversales EG y FG encuentran á los lados: cada diagonal está dividida armónicamente por las otras u — 76 — dos: y las - transversales EG y FG están divididas por dos la  dos opuestos del cuadrilátero. 1O». E s c o l io . Las rectas ad y be concurren en un punto de la diagonal BD, y las ab y de en uno de la AC aunque las transversales E ó ?, F íz no pasen por G [1G]. Si las transversales Ed y Fs pasan por G, los mencionados puntos de concurso se  rán los conjugados armónicos IF y H en que las diagonales BD y AC encuentran á la tercera diagonal EF; porque consi  derando las concurrentes AE, AF, como los pares de rectas ED y FB, E í Z y F íz se cortan en puntos G y G en línea recta con A, las rectas BD y ad concurren en un mismo punto de la EF [53J. De un modo análogo, considerando las concurrentes BE, BF y los pares de rectas EG y FG, ED y FD, cuyas intersec  ciones G y D están en línea recta con B, se demuestra que ab, AC y de concurren en H. Por último, haremos notar que los lados del cuadrilátero abed están armónicamente divididos por las tres diagonales del ABCDEF. 103. Las relaciones ¿C , cB __ gC ' . bX " cA ~ aE ’ bC . cB _ aC bX " cX íí B ’ de los teoremas de Menelao [41 J y de Ceva[54], pueden escri  birse en esta forma: ^B ^C cX _ aC ‘ bX ' cB ~ ’ [«] sB bC cX__ aC* bX" cB — Si en un lado, BC por ejemplo, del triángulo ABC se de  termina el punto conjugado armónico del a con relación á di  cho lado, y le llamamos a', será aE a'B . «c _ “ «'c ; u — n — llamando L' y c' a los puntos conjugados armónicos de b y c con respecto á los lados AG y AB en que éstos se hallan situa  dos, tendremos también _ — _ £2 _ c ' ^ ¿A ~ A ’ "cB -- c'B " Según esto, si en una de las relaciones [¿z] se sustituye un numero impar de puntos a^b.c por sus conjugados resultará la otra relación: y sustituyendo dos délos tres puntos a, b, c por sus conjugados la relación no se altera. Ahora bien, cuando se verifica la primera de las relaciones [^J , los puntos a, b, c están en línea recta, y cuando se verifica la segunda, las tres rectas Ai?, Bb, Ce concurren en un mismo punto, luego Cuando en los lados de un triángulo tengamos tres puntos en línea recta se podrán obtener tres rectas concurrentes en un punto, sustituyendo un número impar de puntos por sus con  jugados armónicos; y recíprocamente, cuando tengamos tres rectas partiendo de los vértices y concurrentes en un punto, se obtendrán del mismo modo tres puntos en línea recta. Cuando tengamos tres puntos en línea recta se obtendrán otros tres en línea recta cambiando dos de los puntos por sus conjugados armónicos; y cuando tengamos tres rectas concurrentes en un punto se hallarán de igual manera otras tres concurrentes. Esta observación nos permite enunciar varias proposiciones. 1. a Si un triángulo se corta por una transversal en tres pun  tos a, b, c, las rectas que únanlos puntos a', b', c', conjugados ar  mónicos de a, b, c respecto de los lados del triángulo, con los vér  tices opuestos, se cortan en un mismo punto. * 2. a Si un triángulo se corta por una transversal en tres pun  tos a, b, c, uno cualquiera de estos puntos está en linea recta eon los conjugados armónicos de los otros dos. 3 . a Si un triángulo se corta por una transversal en tres pun  tos a, b, c, las rectas que unan dos de estos puntos a, b g el con  yugado c' del tercero con los vértices opuestos, concurren en un misino punto. UNIVERSIDAD!. DE SANTIAGO DF COMPOSTEI u — 78 — 4 . a Dado uu punto I en el plano de un Iriángulo, las polares del mismo punto con relación á los tres ángulos, encuentran á los lados opuestos en tres puntos en linea recta. 5 . a Las polares de I con relación á dos ángulos del triángu  lo y la recta que une el punto I con el tercer vértice, concurren en un mismo punto. 6 . a La polar de I con relación á un ángulo A del triángulo y las rectas que unen F con los otros vér(ices B y 0, encuen  tran á los lados opuestos en (res puntos en linea recta. 1 ? Las bisectrices de los tres ángulos externos de un trián  gulo encuentran á los lados opuestos en tres puntos en linea recta. 8 . a Las Iñsectrices de dos ángulos externos de un triángulo y del tercer ángulo interno, concurren en un mismo punto. 9 . a J^as bisectrices de dos ángulos de un triángulo y la del suplemento del tercero, encuentran á los lados opuestos en tres puntos en linea recta. . ■OI. Hemos visto [41S y 6 Ij que considerando dos á dos tres circunferencias dadas y trazando sus tangentes cóiñunes exteriores é interiores, los puntos a, b, c Fig. 2Ó) en que las exteriores encuentran á las respectivas lineas de los centros están en línea recta; y las tres rectas que unen cada uno de. los centros con los a'. b' , c' en que las tangentes interiores encuen  tran á las lineas de los centros, concurren en un punto. L na de estas propiedades os consecuencia de la otra, .en vir  tud de la observación general expuesta en el número anterior, toda voz que a' . b" . c son puntos conjugados armónicos de a, b, c con respecto á los lados del triángulo ABC; y de cualquiera de ellas pueden dedmprso consecuencias bastante curiosas. Consideremos los tres puntos a, b, <?en linea recta, y cam  biemos algunos de ellos por sus conjugados. ' . Cambiando a y b por a' y b' se deduce: a', b' y c en linea recta, ay c por a ’ y c ’ a' , c' y ¿en línea recta. by c por b' y c b', c' y ¿z en linea recta. Cambiando a por a\ las rectas Xa', B¿, Cf son concurrentes, b por b' B¿', Xa, Ce son concurrentes, cporC Xa, ^b, Ce'son concurrentes. u — 79 — V. — 1>¡visión liomográlirn. 105. Si tenemos dos líneas rectas y suponemos en cada una dos puntos fijos y uno móvil, de modo que los cocientes de las distancias de éste á los fijos respectivos estén en relación cons  tante, los puntos móviles forman cnlas rectas dos divisiones komográdcas. Sean a, 1) los puntos fijos de la primera recta y c el móvil, sean a', c* los análogos en la otra: estas rectas se hallarán homográficamente divididas si se verifica la relación en, c'a' — 7 : t í , = constante. CU Cb . KM». Según esta definición, el teorema del número 36 nos dice que cuando dos rectas se cortan por dos transversales fijas que parten de un punto P, toda transversal móvil alrededor de •dicho punto determina en las primeras rectas dos divisiones homográficas; y podiendo considerar como fijas dos transver  sales cualesquiera, enunciaremos así dicho teorema: Si dos Teclas se cortan 'por varias transversales gue parten de un mismo punto, quedan divididas komográficamente. 1 Los puntos fijos son dos cualesquiera de la primera recta y sus homólogos en la otra. El punto de concurso de ambas rectas es homólogo de sí mismo en las dos divisiones, porque una de las transversales que parten de P puede pasar por dicho punto. 105. Reciprocamente. Si hacemos coincidir dos puntos jijos homólogos de dos rectas divididas homografleamente, las rectas que unan dos dos á dos los demás puntos homólogos con curren en un mismo punto [3NJ. 2 ION. Cuando dos rectas concurrentes se cortan por varias transversales que parten de un punto, pueden considerarse como fijas dos cualesquiera de ellas [36]: luego, teniendo pre- 1 Ohasles, Traite de Géométrie superieure, mun. 102. 2 Id. id. núm. 103. UNIVLRSIDADI DE SANTIAGO DE COMPOSTF ■ u «ente el recíproco anterior, diremos: en dos rectas divididas homográficamente pueden considerarse como fijos dos puntos cualesquiera de la primera y los homólogos de la segunda, siendo todos los demás diversas posiciones del punto móvil. 1O!>. Supongamos dos rectas divididas homográficamente. Sean a, c, el cuatro puntos de la primera y a', c',^ los cor  respondientes de la segunda. Consideremos como fijos los a y b s y V* y será [105] ca . eV (Id . d!(¿ , ca, . da c'a' . d'a' ch " c'l) — db ‘ d'b ’ ° * "dJj ” "dU ‘ "dd; ’ esto es V^cd^ = [a' b' o' d'^ ; luego CTiaudo dos Teclas están divididas Komográjicameuté. cua  tro puntos de la primera y los correspondientes de la segunda tienen iguales relaciones anarmónicas. Reciprocamente, cuando dos rectas están divididas por pun  tos ([ue se corresponden, de modo que la relación anarmónica de cuatro puntos cualesquiera de la primera sea igual á la relación anarmónica de los cuatro puntos correspondientes de la segunda, las rectas están divididas homográficamente. Si a, b, c, d son cuatro puntos de la primera división y a', b' , c' , d' los correspondientes, tenemos por hipótesis ^abcd^ = ^a' b* c* d ’ ^ , , , , ca c'a' da d'a' r . de donde -y : — = - T : [ í ?]. cb cb db db Tomemos tres puntos de los anteriores a, b, d y un cuarto e, y los correspondientes a', b', d', e ’ , y será \abde^ = ^a' b' d' e'} , , , , da d'a' ea e'a' r7n de donde -y : -yy = - : — M]. db d'b eb e b L J — 81 — De esta manera pudiéramos continuar indefinidamente. De las relaciones [a], [¿], etc se deduce ca . c'a,' (Id , d'a' ea . e'a' cb ‘ cb' tlb ' d'b ’ eíj ‘ e'b.......... lo que demuestra que los puntos a, b, c, d, e..., a ’ , b', c' , d', c* ... forman dos divisiones lio Laográficas. Nota. Las conclusiones anteriores se deducen también de los teoremas números 107 y 1OO. El 107 demuestra que dos rectas divididas homográficamente pueden colocarse de ma  nera que uniendo los puntos de una con los homólogos de la otra las rectas de unión concurran en un mismo punto; luego cuatro puntos cualesquiera de la primera recta tendrán igua  les relaciones anarmónicas que los correspondientes de la se«- gunda [08]. Recíprocamente, si cuatro puntos cualesquiera b, c, d de la primera recta tienen igual relación anarmónica que los cor  respondientes a', b' . c , d' déla segunda, haciendo coincidir dos puntos homólogos a y las rectas que unan b con b' , c con c', d con d* serán concurrentes [73]: considerando otros cuatro puntos a', b\ d' , la recta ee' pasará por el punto de concurso de las tres anteriores, y asi sucesivamente. Siendo, según esto, concurrentes todas las rectas bb' , cc' , dd' , ce' etc. las dos divisio  nes son homográficas [106]. Se habrá observado ya que la relación anarmónica es un caso particular de la división homográfica: aquel en que los puntos de división son cuatro. 11O. Si nos proponemos marcar una división homográfica de otra dada a, b, c, d, e...., tomaremos tres puntos arbitrarios a', b', c' en linea recta y determinaremos un cuarto punto d pol  la condición a? b' c* d ” ) = ^abcd'), siguiendo la regla del número <»7: determinando sucesiva  mente otros por las condiciones (a' b' c' = fabee) , (a' b' d = 'adcf } etc. se tendrán dos divisiones homográficas [!OO], se UN[\-ERS1DAI " DE SANTLAGC DECOMPOST u 111. Dos haces de rectas concurrentes son liomogyaficos si cortándolos por transversales quedan éstas divididas homofi-rá- ncamente. o Es claro que si dos transversales están divididas liomográncamente por dos haces, otras dos transversales cualesquiera lo estarán también, porque las nuevas divisiones serán homoe-rá- ficas con respecto á las primeras [106]; luego serán homográncas entre sí. ° 113. SI Daríos radíos que parlen de dos puntos fijos se cor  tan dos a dos en puntos situados en línea recta, tos líaces que for  man son homogrd fíeos. 1 [19]. " Obseroacíon. La recta que une los centros de los dos haces es un radio homólogo de sí mismo común á los dos haces. 113. R ec ípr o c o . Haciendo coincidir dos radíos komóloqos de dos haces homograficos los demás se corlan dos á dos en pun  tos situados en linea recta. 2 3 [51]. T eo r e ma . 111. Sidos rectas están divididas Komoqrafleamente, y en la recta que une dos puntos de división homólogos marcamos dos 1 y , P ' ’ UMentl ° pC0U los $ uulos de división de una ícela y V con los respectivos homólogos déla otra, las rectas de unión se cortan dos á dos en puntof situados en linca recta hom^^n" 8 reCtaS parten de P y p ' ^ man dos haces nomogiancos con un radio común PP'. Si las divisiones homográficas tienen un punto homólogo común a, es claro que la recta lugar geométrico de las inter  secciones de los radios que parten de Py P\ pasará por Aporque cionado ’ eCe 6,1 tal CaS ° 31 geométrico menvlUUcillO. 1 Ohasles, núm. 104. 2 Id. núm. 105. 3 Id. núm. 100. T eo r e ma . 115. Dados dos haces homográfíeos, si -por la intersección de dos radios homólogos trazamos dos trans-oersales, las rectas que unen los puntos de intersección de una transversal y un haz con los de la otra tranversal y el otro haz concurren en un mismo punto. 1 Porque las transversales quedan divididas homográfícamente por los haces y tienen un punto homólogo común. - Si los haces homográficos tienen un radio homólogo común, el punto de concurso estará en este radio. T eo r e ma . ■ IG. Si dos rectas están divididas homografleamente, y uni  mos dos puntos de la primera con los homólogos de la segunda tomados inversamente., las rectas de unión se cortan siempre solre una misma recta fja. Sea AB' (Fig. el punto de concurso de las dos rectas, que designaremos por A cuando se considere como punto de la recta M y por B' cuando se considere como punto de la recta N. Sea A' el punto de la N correspondiente al punto A de la M, y B el punto de la M correspondiente al B' de la N. Según esto, á los puntos a, 6, A, B de la recta M correspon  den en la N los a', U , A', B'; luego [109] (¿z5AB) = (a' b' A' B z ): permutando las letras del segundo miembro de modo que en la igualdad resultante los puntos A y B' sean homólogos, ten  dremos (s¿AB) = (¿' a* B' A') ; 1 Chasles, núm. 107. — 84 - luego las rectas que unen a con b con a' concurren en un mismo punto de la BA' [5 J], y como ésta es fija, queda demos  trado el teorema. 1 Si AB fuese un punto homólogo común á las dos divisiones la recta mup pasaría por dicho punto, y seria la polar del pun  to de concurso de las rectas a't', bb', cc etc. con respecto al án  gulo que forman las M y N. C o r o l a r io . iis. >Si en dos rectos M 7/ N lomamos dos series de tres puntos cualesquiera a, b, c y a', b', c' que se correspondan uno á uno, las rectas ab' y a'b.ac ’ y a'c, be' y b'c se corlan en tres punios m, n, p situados en linea recta. - Puesto que el razouamiento del teorema somete la posición de los puntos a, b, c y a'. b' . c' á la única condición de que per  tenezcan á dos divisiones homográficas, y esto se puede siem  pre suponer de tres puntos marcados arbitrariamente en dos lineas rectas [1IOJ. T eo r e ma . (Fig. 48 J . ? 0S ^ aces komo 9 Y «1icos, si consideramos dos radoskíX. km del primero y los dos correspondienles O'AVÓ'B* del segv/ndo, la recta que una los puntos m, n en que los prime  ros radios encuentran á los segundos, tomados inrersamente. pasara^ siempre por un mismo punto fijo. Sea Oa el radio que en el primer haz corresponde al O'O (el segundo, OV el radio del segundo haz que corresponív 00 del primero - y p el punto de encuentro de Oa y U a . Gomo los radios 0'0 y 00' son fijos, sus correspondientes 1 Es la demostración de Clmslcs, número 108, modificada en su segunda parte. 2 Chasles, núm, 109. S 3 LMX'LRilDADÉ DE SANTIAGO. ' DE COMf J -TEM u — 91 — Pues bien, este interesante teorema se deduce inmediata  mente del nuestro [4], por una simple eliminación de los seg  mentos que concurren en O, según se ha visto en el número 6». 193. Siendo el teorema de Menelao y el de la relación anarmónica consecuencias de una misma proposición, deben estar unidos por más puntos de contacto de los que se perciben á primera vista, y no carece de interés descubrir la dependen  cia y lugar respectivo de las tres proposiciones. Generalmente aquellos dos teoremas se presentan como inde  pendientes uno de otro, con sus demostraciones propias. Chasles ha deducido, sin embargo, el primero del segundo 1 mediante la involución, fundándose en que los .vértices del triángulo y los puntos de intersección de la transversal con los lados, pueden considerarse como los seis vértices de un cuadrilátero comple  to, cuyas proyecciones sobre una recta están en involución, y en que los segmentos proyectados son dos á dos proporciona  les á sus proyecciones; y también lo deduce empleando un haz de cuatro rectas cortado por dos transversales, una de las cua  les es paralela á un radio del haz. Nosotros añadiremos que el principio de la relación anar  mónica puede á su vez ser deducido del teorema de Menelao. Sean, en efecto, dos transversales ábed, y a' b' d d' (Fig. 52). Trazando por a una paralela á la segunda transversal, y con  siderando el triángulo abm cortado por las transversales Oc%, será . um db pm Ob ca* ua Om ’ da ‘ pa Qm, ’ de donde — : — = - • ó — • — = — • • ca ' na da ‘ pa ca ' da na " pa ‘ pero luego nm . pm _ db' . d'b' na " pa — da' ' d'a' ’ cb .db _ db' , d'b' ca * da da' ' d'a' * 1 Número 352. UMVCRS1DA DE SANTiAG DE COMPOS' u Conceptuamos del mayor interés para la ciencia analizar y descubrir los puntos de contacto entre las diversas proposicio  nes: las verdades aisladas no deben satisfacernos hasta encon  trar el vinculo que las une á una teoría determinada, hasta sa  ber el lugar que deben ocupar en la ciencia, la que será tanto más perfecta, cuanta mayor continuidad exista entre sus par  tes: y uno de los medios más adecuados para lograr este fin consiste, á nuestro juicio, en elevarse á puntos de vista gene  rales, cuidando de no introducir en los enunciados ninguna idea que restrinja ó limite su natural alcance. Buen número de teoremas geométricos se presentan como pi opiedades del triángulo,, sin que esta idea sea esencial. Cier  to que el triángulo resulta en los casos generales, y su consi  deración como sujeto del enunciado abrevia y facilita el len- «uaje, pero esta ventaja queda destruida por inconvenientes de más peso, siendo uno restringir el alcance del enunciado: con  secuencia ineludible déla infracción de las leyes lógicas en que incurrimos al presentar, como sujeto de una proposición, una figura cuya existencia es accidental, y de cuyas propiedades no se hace uso alguno en la demostración. Ejemplo y prueba de lo dicho es el teorema de Menelao. be ha mirado esta proposición como propiedad del trián  gulo, aunque dando más extensión á la idea, suponiendo los lados indefinidos: pero ¿no ganará en generalidad el teorema prescindiendo de la figura, y considerando tan sólo dos rectas concurrentes y una transversal fija, según lo hacemos en el número 37? Es indudable que sí, porque de este modo se puede tratar el caso de una transversal fija paralela á cualquiera de las concurrentes, y también el de dos concurrentes en el infinito, hipótesis muy violentas en una figura cerrada como el triángulo. Suponiendo, pues, dos concurrentes cortadas por una trans  versal fija y otra móvil alrededor de un punto P de la primera, tendremos — M — y como el segundo miembro es independiente de la dirección de la transversal móvil, el teorema de Menelao se enunciará como se ha visto en el número 5R. Ahora es evidente la conexión entre el principio de la divi  sión homográfica [KMi], el de la relación anarmónica y el teo  rema de Menelao. Partiendo déla relación Fig. 15) (ihcV = 'a' V d Pj . escrita bajo la forma ca . da' _ Pa PF "cb : ” db' — P¿ : p T' ’ y suponiendo fijas las transversales Pá; , PíF, si considera  mos un número indefinido de transversales móviles Pee', P^'. Ped etc. y prescindimos del segundo miembro, será ca . da ’ da . d'a* ca . da' cb ‘ db' db " d'b' eb " db' que es el principio de la división homográfica. Si sólo conside  ramos dos transversales móviles, será ca . da' _ da . día' cb ‘ db ’ — db * d'b ’ ca . da _ da' . d'a ’ cb ‘ db db' * d'b' ’ que es el principio de la relación anarmónica. Si consideramos una transversal móvil y suponemos que una de las fijas pase por O, tendremos, tomando en cuenta el valor del segundo miembro, ca . dd _ Pré co : 70 - ’ que es el teorema de Menelao. — 94 — l ‘ Sl. A los tres principios que acaban de ocuparnos corres  ponden otros tres: L° haces homográficos [11»]; 2.° haces anarmónicos [56]; 3.° teorema de Céva [51], Todos tres están comprendidos en la relación [«] del número 49, asi como los anteriores lo están en la relación [ a ] del número 36. Si de los puntos fijos A y A' (Fig. 26) parten pares de ra  dios cuyas intersecciones O, a, p... estén en línea recta, consi  derando dos pares AO y A'O, A/z' y A' íz como fijos y prescin  diendo del segundo miembro de la relación A¿' será . ba . b\£ _ ca . c ’ d' da . d'a' _ ¿O * ¿'O “ cO : dO ~ db : = lo que demuestra que los haces A y A' son homográficos. Si sólo se consideran cuatro pares de radios será ba e b'a' _ ca . c'a* bO ‘ b'O cÓ ' c'O ó bien b^ . ca^ _ b'a' . c'a! ¿O " cO ~ : dO ’ luego los haces (A, Oa' b' d^ y (A', Qabc^ tienen iguales relacio  nes anarmónicBS. Por último, considerando un sólo par fijo AO, A'O, supo  niendo que el segundo Xa', X'a se reduzca á la recta XX', y tpmando en cuenta el segundo miembro de la ecuación [d resulta (Fig. 27) J ’ . ^A' _ «A ¿O • b'O — ^A' ’ que es el teorema de Céva. se UNIVCRSU'AÓC DE SAND.-.üd^' * DF COMP< Tn.A CAPÍTULO CUARTO. APLICACION DE LOS FUNDAMENTALES A LA THICONOMETP.IA. . 1*5. Hasta ahora nos hemos limitado á estudiar las rela  ciones entre segmentos delineas rectas; ahora vamos á esta  blecer. como prueba de las variadas aplicaciones áque se presta el principio del número 3, algunas proposiciones análogas en las que'los segmentos estarán reemplazados por senos de ángu  los, la. ecuación de la línea recta y las fórmulas fundamentales de la Trigonometría. Se habrá observado, sin duda, que las distancias ¿a y ¿v 'L ig. 2) del origen b de los segmentos de una transversal abe á las concurrentes PA y PC son los senos de los ángulos BPA,BPC que la concurrente PB forma con las otras dos, pues si bien estos senos en realidad son las razones -'jy . - ' ■ de las ordenadas b^ y b-; al radio Pb, como en el principio del númeio 3 consideramos el cociente de los senos, podemos prescin  dir del radio, y mirar las distancias y b;- como senos de los ángulos mencionados. De esta observación se infiere que nuestros principios fun  damentales son igualmente útiles para descubrir relaciones entre segmentos de rectas, por la eliminación de senos, según se ha visto en este estudio, ó entre senos de ángulos, por elimi  nación de segmentos, pudiendo servir también para descubrir ó demostrar relaciones entre rectas y senos. UMVLKS1DA1 l DE SANTIAGC DE COMPGST T eo r ema . (Fig. 28J. 1 ‘ 5G. Sidos concurrentes OM, ON se cortan poyuna trans  versal fija Paa' y otra móvil Pbb' alrededor del punto P de la primera, la relación sen la'a e sen b'aa ’ sen M'O * sen 1/aO es constante é igual á sen PO íz sen PO#' En efecto: sen ba!a _ ba . a'a sen la'O 60 * a'O * sen b'aa' b'uf . aa' sen b'aO b'O * aO ’ luego sen ba'a . sen b ’ a a} _ 1^ . Oa _ sen P( );? sen ba'O ’ sen b'aÓ Pa' " O/z' — sen POrz' ‘ „ C o r o l a k . o , Si un triángulo ABC se corla por una transversal abe (Fig. 16), se verifica l i relación son ¿BC . sen cCB _ sen a AC sen ¿BA ‘ sen cCA — sen «AB " Es consecuencia inmediata del teorema, considerando las concurnytes AB, AC cortadas ])or la transversal fija ¿zCB y la móvil ale. Obsérvese la analogía entre esta prop.osicion y el teorema de Menelao. T eo r ema . (Fig. *¿1.) 1*5#. Si desde dos puntos fijos A. A', tomados en dos concur  rentes en O, se trazan pares de rectas Ab', A'b etc. que se corlen en puntos en línea recta con O, la velación — 97 — , , , . , . sen a OA es constante e igual a — ---------- - . sen a O A'. En efecto: sen ¿A'A _ M . A/A sen ¿'A A' _ ¿'A' . A A' sen M'O — ¿O ' A'O ’ sen JAO" — "^Ó : "AO ’ de donde sen ¿A'A . sen ¿'AA' _ -A . O A sen aOA sen ¿Á'Ó " sen ¿'AO ~ ~ «A 7 " OA' — ~ sen «OA' ’ 1®8>. C o r o l a r io . Si desde un -punto I (Fig-. 16) tomado en el plano de un triángulo ABC se trazan rectas á los tres vérti  ces, prolongándolas hasta que encuentren á los lados opuestos en a', b, c, se verijica la relación . sen ¿BC . sen cCB _ sen cé AC sen ¿BA * sen cCxA — sen a'AB ‘ Es consecuencia inmediata del teorema. Este corolario tiene con el teorema de Céva la misma ana  logía que el anterior con el de Menelao. De los dos corolarios anteriores se deduce se n gAC _ sen ¿z'AC sen «AB sen «'AB * 130. Se llama relación anarmónica de un haz de cuatro rectas el cociente de las razones de los senos de los ángulos que dos de estas rectas forman con las otras dos. Cuando una relación anarmónica tiene el valor particu  lar — 1, el haz es armónico. La igualdad [«] expresa que el haz cuyo centro es A y cu  yos radios pasan por C, B, a, a' es armónico. Los radios Xa, Xa' dividen armónicamente el ángulo CAB de los otros dos, ó son conjugados armónicos respecto de CAB; lo mismo AC y AB son conjugados armónicos respecto del ángulo aXa*. DE SANTIAGC DE COMPOST u — 98 — T eo r ema . (Fig. 32/ 131. Las relaciones anarmónicas de un Ka% de cuatro rectas son iguales á las relaciones anarmónicas de los cuatro puntos en que una transoersal corta a dichas rectas. Tenemos, en efecto [3] sen COA ca . Oa sen DOA da . Oa sen COB cb * ' sen DOB — Tb * "t5b ’ de donde, por división, sen COA . sen DOA __ ca . da sen COB' ' sen DOB ~ cb ' db ' 138. C o r o l a r io . Un Kax cuyos radios pasan por cuatro puntos en proporción armónica, es armónico. P r o b l ema . (Fig. 53/ 133. Dividir un ángulo en dos partes cuyos senos guarden entre si una relación dada — . o n bea el ángulo ABC. Trazo el arco correspondiente, divido la cuerda en dos partes DA, DC ó D'A, D'C que sean como — : las rectas BD y BD' resuelven el problema, porque DA # BA _ sen DBA DC ** BC — seiFDBC ’ pero BA = BC, luego sen DBA DA _ m sen DBC~ DC - ñ ' u — 99 — T e o r e ma . (Fig. 54J. 1341. El lugar geométrico ele los puntos O de un plano tales gue,uniéndolos á tres puntos fijos' A,B,C en linea recta, los senos de dos de lo^ángulos resultantes guarden siempre entre si una • , . m . „ . misma relación — , es una circunferencia. Tenemos, en efecto, BA e O A sen BOA . BC : OC — sen BOC ’ B A siendo constante porque A, B, 0 son puntos fijos,-y sen BOA . O A , ■ ------ HñTT por hipótesis, también lo seraí y reciproca  sen oUC' (JO , . O A sen BOA , , mente, si es constante lo sera ------ ; pero el lug-ar OC sen BOC r ° geométrico de los puntos cuyas distancias á dos dados A y C están en relación constante es una circunferencia, que tiene por diámetro la distancia entre dos puntos armónicos conjugados con respecto á AC, tales que cada uno divida á este segmento en la relación dicha; luego el lugar geométrico del presente teo  rema será una circunferencia. Para determinarla hay que dividir AC en dos segmentos cuya relación sea igual á BA . m BA. n BC ‘ n BC. m ’ ,, . . • BA.n , BA. íí « , , Haciendo --------- = a , será -^7- — = -7777- ; luego debem --- BC.w BC J * • T J - W AB A " V k CX mos determinar « por la condición — = ------ , y dividir AC na. en partes proporcionales á « y BC. Tomo ( Fig. 55) Am = m, An = n, uno m con n y trazo S( UMX'LRSIMUL DE SANTIAG DE pOMPÓSTFi u — 100 — por B la paralela Ba á nw, Aa será igual á a. Trazo ahora por C una paralela B'B" á Aa, tomo CB' = CB" = CB: un^n! dAia C á n ^ ycon B//se deter m in an los puntos X,Y extremos del diámetro que se buscaba. Caso -particular. Si = 1, OB es bisectriz de AOC, el punto Y será el conjugado de B con relación á AC: luego el lupar geómetra áe los puntos O tales gue OB sealise^kw pün í oBT^ e, ‘ enCla j <^,Míie,l , e? ' O, ' 1a 6=1 punto B a su conjugado con relación á AC. P r o bl e ma . (Fig. 56.) 135. Hallar la ecuación de la linea recta. Sea la rceta/kE terminada por !a ordenada en el oríe-en 61 á T 10 MA$ = ? iue forma con el e^de asíc. Llamemos « al ángulo yOa? de los ejes, y sean MN MP las coordenadas de un punto cualquiera M de la recta. ’ Considerando las tres concurrentes en MP, MB MN coitadas por la transversal Oy, tenemos [3]: ’ ’ BP_ MP~ y — 1) X ó sen BMP sen BMÑ ’ _ sen ,3 — sen (a — 3) de donde y = senp S^l (a-3) + T eo r ema . (Fig. 57). «s <«. “ "" - *-«•. * - s« .1 triángulo ABC. „ vfrll „ c „ se univl r mdaim : DE SANTIAGO DE.CÓtfPOStEIA C o r o l a r io s . 115. L° Los 'primeros 'miembros de las relaciones [a] tie  nen un nalor constante, cualquiera que sea el arco transversal. , 1 JO ’ . 2 /° EL arco ángulo de un triángulo csjertco divide el lado opuesto en dos segmentos, cuyos senos son proporcionalesá los senos de los lados que forman el ángulo . Si en la primera de las fórmulas [^] suponemos bPa = bPc será ’ sen ba _ sen Pa sen be sen Pe ‘ 117., 3.° El plano bisector de un ángulo diedro de un trie  dro divide la cara opuesta en dos segmentos, cuyos senos son pro  porcionales á los senos de las caras que forman el diedro. US. 4.° El arco trazado desde el vértice de un triángulo esférico al punto medio de la base divide el ángulo en el vértice en dos segmentos , cuyos senos son inversamente proporciona les á los senos de los lados que forman el ángulo. Si en la fórmula primera de las [a] suponemos ba= be, será sen bPa _ sen Pe sen bPc sen Pa ‘ 11O. 5.° Análogo al anterior en un triedro. 150. G." >Si unimos el vértice de un triángulo isósceles con un punto cualquiera de la base, por un arco de circulo máximo, queda ésta dividida en dos arcos, cuyos senos son proporcionales á los senos de los ángulos que forma el arco con los lados iguales. De donde se deduce: El arco de circulo máximo que une el vértice de, un triángulo isósceles con el punto medio de la base, es bisector del ángulo en el vértice, y reciprocamente. 151. 7.° Análogo al anterior en un triedro. UMVCRSJl)A®g| DE SANTIAGO D.F.COMPri'lB^ CAPÍTULO SEGUNDO. TEORÍAS QUE SE DEDUCEN DE LOS PRINCIPIOS FUNDAMENTALES. 14»V. A enficándose nuestros principios fundamentales en la esfera, sin más que sustituir las líneas rectas por arcos de cír  culo máximo las longitudes de los segmentos rectilíneos por los senos de los segmentos de arco, y los senos de ángulos rec  tilíneos por senos de ángulos esféricos, es claro que también se Aerificarán muchas délas proposiciones que de aquellos principios se deducen inmediatamente, siendo las demostracio  nes enteramente análogas. Por esto nos limitaremos á indicar los enunciados de los teoremas, mientras su índole especial no nos obligue ádar demostración. — luí vodiiccion . , Sien una circunferencia O se tienen dos puntos fijos o Gl), y se marca otro cualquiera c, para hallar el sig  no de la relación hay que atender á dos cosas: 1. a el sig  no de cada seno (positivo si el arco es menor que 180° y negaivo si es mayor): 2. a la dirección relativa de los segmentos á partir de c: si se cuentan en el mismo sentido la relación será, por este concepto, positiva, y negativa en el caso contrario. Con arreglo á estas observaciones, se vé fácilmente que si c eb a entre a y b, esto es, en el arco menor de los que unen — 110 — i * / x i , n i i • sen ca los puntos a y o, ó entre a y b , la relación ------ es negatisen co va, cualquiera que sea el sentido en que se cuente cada uno de los arcos, y si c está en el arco ab' ó en el a'b, dicha relación es siempre positiva. Es además evidente que dado un arco ab puede siempre . . . . . sen ca . marcarse un punto c tal que la relación ------ , tenga un valor 1 sen cb D dado en magnitud y en signo [133], y que existen dos puntos en la circunferencia que satisfacen á esta condición, siendo fácil probar que tales puntos son extremos de un mismo diámetro' II. — Arces transversales. 151. T eo r e ma . Si dos arcos de circulo máximo se cortan por otros varios ({ue parten de un punto verifica sen ab . sen a'b' __ sen ac e sen dd __ sen ad . sen a'd* sen ‘ sen Pb' sen Pe " sen Pe' sen P í Z * sen Pd' L sen Oa . sen Oa' _ sen Ob . sen Ob' _ sen Oc . sen Oc' sen P(Z " sen P«' sen Pb " sen Pb' sen Pe ' sen Pe' Se demuestran estas relaciones como sus análogas de los números^y»3. 155. T eo r ema . Silos lados de un triángulo esférico ABC se cortan por un arco de circulo máximo en tres punttis a, b, c se verifica sen cX . sen cB sen bX . sen bC sen aX " sen aP sen aX ‘ sen «C ’ sen AB , sen Xc sen AC . sen Xb sen aP ‘ sen ac ~ " sen aC * sen ab ’ sen BA . sen Br? sen CA . sen Cb sen aX ' sen ac sen aX * sen ab " Demostración del número *56. u -111 — Prolongando los lacios opaestos de un cuadrilátero esférico hasta su encuentro, g considerando los senos de los segmentos que determinan los puntos de concurso, las razones de senos de seg  mentos de dos lados opuestos son proporcionales á las de los oíros dos [87], ó en otros términos, el producto de senos de cua  tro segmentos, sin, segundo extremo común, pertenecientes á distintos lados del cuadrilátero, es igual al producto de senos de los otros cuatro [8NJ. 156. T eo r e ma . Si desde el punto de encuentro P de dos lados opuestos de un cuadrilátero esférico ABCD se traza un arco de circulo máximo que corle á los otros dos lados en a ?/ c se verifica sen tzB , sen aX _ sen cC . sen cD sen PB ‘ sen PA~senPC 2 senPD ’ . sen AB . sen Xa __ sen DC . sen De sen PB ' sen Pa ~ sen PC 2 sen Pe ’ __ sen CD . sen Ce sen PA " sen Pa sen PD ' sen Pe ' Demostración del número 86. Si desde el punto de concurso de dos lados opuestos de un cuadrilátero esférico se traza un arco de circulo máximo que cor  te á los otros dos lados, las razones de senos de segmentos de dos lados opuestos son proporcionales á las de los otros dos [30], ó en otros términos, el producto de senos de cuatro segmentos sin extremidad común, pertenecientes á distintos lados del cuadrilá  tero, es igual al producto de senos de los otros cuatro [31], 157. T eo r e ma . Si desde cada punto de concurso de los la  dos opuestos de un cuadrilátero esférico se traza un arco de cir  culo máximo que corle á los otros dos lados se verifica sen . sen cC sen PB . sen PC sen aX " sen cD sen PA ' sen PD ’ sen 1>P . sen d X _ sen QB , sen QA sen ¿C " sen ¿ZD — sen QC * sen QD * sen aB . sen cC _ sen 6B sen dX sen aX ' sen cD sen 6C ‘ sen dD " Demostración del número 38. u — 112 — Si desde cada punto de concurso de los lados opuestos de un cuadrilátero es/érico se traza un arco que corte á los otros dos lados, éstos quedan divididos en ocho segmentos, y el producto de los senos de cuatro de ellos, sin extremidad común, es igual al producto de senos de los otros cuatro. [33]. . . 15S. T eo r ema . Si dos arcos de circulo máximo que con  curren en O se cortan por otros dos arcos figos Paa', Pbb', todo arco de circulo máximo Pee' móvil alrededor de P determina en los primeros segmentos tales que la relación sen ca . sen c'a' sen cb " sen c'b' es constante. [36], . 159. T eo r ema . Si dos arcos de circulo máximo que con  curren en O se corlan por un arco jigo Paa' y otro Pee' móvil al  rededor de un punto P del primero, la relación ' e sen ca . sen c'a' sen cO ’ sen c'O es constante é igual á ' ----- . [35]. sen Pa' L J 160. T eo r e ma r e c ípr o c o . Si dos arcos de circulo máximo que concurren en O se cortan por varios arcós, uno de ellos aa' considerado como fi - jo.de tal modo que la relación - sen el) sen c O sea constante, todos los arcos concurren en un mismo punto, tal que la relación de los senos desús distancias es/éricas á ay a' es igual á dicha constante. [3#]. 1«1. Supongamos dos arcos de circulo máximo OM, ON (Fig. 62) cortados por dos arcos fijos Paa', Póh' que parten del punto P, y sea PA»a una posición del arco móvil determinada por un punto A situado á 90° del medio de ab. La relación cons  tante [158] sen ca sen c a sen A# sen ma ------ , . ------ rv; ó sea ------ — , : --------- . sen cb sen c'b sen Xb sen mb' ’ u -1 13  , sen 'inb' sen Xa , , tiene en este caso el valor --------- , pora tic -------- r- =7 1. á can  sen ma 1 1 sen Xb sa de ser Xa y Xb suplementarios. Sea PBto otra posición del arco móvil determinada por nn punto B situado $í 90° del medio de a'b' . La relación constante sen ca # sen c ’ a' sen ua . sen 13«' sen cb ‘ sen c'b* ‘ sen ub " sen 134' ’ .. , . , sen aa son 13//,' , tiene en este caso el valor — — r . porque ----- — , — 1. sen nb ‘ 1 sen 134 De lo dicho se desprende sen mb' sen na sen ma' sen nb ‘ Si suponemos el punto P distante 90° del medio de aa' h'uj. G3), y P^¿' es una transversal cualquiera, la relación . sen ca sen c'a' sen Va sen Va' , , ----- , : ------ 7/, = — ir/ •' — ñr. = coustaute, sen cb sen c 4 sen P4 sen P4 se reduce á sen ca . sen c'a' _ sen P4' sen cb ' sen c'b' sen P4 constante. Si la transversal móvil Pee' pasa por un punto c distante 90* ’ del medio de «4, la interior relación será sen c'b' _ sen P4' sen c'a' sen P4 " Si la transversal móvil pasa por O, será sen 0« . sen 0«' _ sen P4' sen 04 ' sen 04' sen P4 " 16 se UMVFRSIDADF DE SAN1IAGO u Si P dista 90° del medio de art y del medio de bU , condicio  nes á las que siempre es posible someter los arcos OM y OX, tendremos sen ca sen c'a ’ sen el) sen c'b' " si, en el actual supuesto, c dista 90° del medio de ab, será sen ca = sen cb, por consiguiente sen cV = sen c'b*, lo que exige que c'a ’ y el' sean suplementarios, esto es, que c' diste también 90" del medio de aV/. Si, en el mismo supuesto, el arco móvil pasa por O, será sen sen O a' sen Ob sen ( M' ' ■6**- T eo r e ma . .Si los lados de un triángulo esférico ABC (L'ig. 64) se cortan por un arco de circulo máximo en tres puntos a. b, c, se verifica la relación sen ¿C . sen cB _ sen sG sen b^ ‘ sen cA — señ~fB Demostración del número II. IOS. C o r o l a r io . Si el punto a dista 90° del medio de BC, será = j sen flB ’ y por tanto luego: Si en la base de un triángulo esférico se marca un punto á 90 del medio de dicha base, lodo arco de circulo máximo que parta de aquel punto dividirá los lados en segmentos cuyos senos son proporcionales . Recíprocamente: Si dos lados de un triángulo se dividen por un arco de modo que los senos di los segmentos sean proporciona  les, el arco pasará por un punto del tercer lado á 90" del punto medio. — 115 — Si b y c son los puntos medios de los lados AC y AB, el arco be cortará al lado BC en un punto a distante 90" del medio de BC. NoH. De la proporción \b\ no se deduce, como en los trián  gulos rectilíneos, otra formada con los lados enteros y dos seg  mentos correspondientes: tenemos, en efecto, sen AC . sen AB _ sen ¿zC . sen «B sen Ab " sen Ac sen ab ‘ sen ac ‘ y como sen aO = sen zzB, resulta sen AC . sen AB _ sen ac . sen Ab ' sen Ac sen ab " , , sen AC sen AB . . luego para que fuese ----- — . = ------- t -- , seria necesario que sen Ab sen Ac , sen ac = sen ab, condición que en general no se verifica. 1<»1. E sc o l io . El corolario anterior ofrece un medio de dividir un arco dado de circulo máximo en dos segmentos de senos proporcionales á los senos de los segmentos en que está dividido otro arco de la misma esfera. Si el arco que se quiere dividiros AB, trazaremos por A un arco AC igual al dividido que se nos da, y el arco BC: tomando el punto a á 90° del me  dio de BC, y uniéndole con el punto de división dado b, el punto cen que ab encuentra al lado AB resuelve la cuestión. 105. T eo r e ma r ec ípr o c o . Si en los lados de uu triáugulo esférico ABC se mircaa tres pantos a, b, c de modo (yue sen ¿C . s en cB _ sen «C , sen bA " sen cA sen zzB ‘ ■ los puntos a, b, c estarán en una misma circunferencia máxima. Sea a' el punto en que el arco be encuentra al lado BC; de la hipótesis y del teorema directo se deduce sen aC _ sen a'C . sen aB sen a'A ' para que esta condición se verifique es necesario [153] que aya ’ se UMVERSIDADE de S ant iag o DE COMPOSTFL* u — 1 1C> — se confundan en nn sólo punto, ó que sean los dos extremos de un diámetro del circulo máximo qm* pasa por B y C, y en cual' quiera de estas hipótesis a, b y c perténc ’ ccn á una misma cir  cunferencia máxima. 1<»G. C o r o l a r io . Si en los lados de un triángulo ABC marcamos tres puntos a,b,c distantes 90" de los respectivos puntos medios, se verifica la relación [a]; luego Los puntos marcados en los tres lados de nn (riángulo esféri  co á 90° de los punios medios, están en una misma circun ferencia máxima. 1G7. T eo r ema . >S¡ desde un punto tomado en uno de los arcos diagonales de un cuadrilátero esférico se traían dos arcos cortando cada uno á dos lados adyacentes, las rabones entre los senos de los segmentos de dos de estos lados son nroporcionales á las razones entre los senos de los segmentos de los afros dos [43]. 16N. R ec ípr o c o . ¡Si los cuatro lados de un cuadrilátero esférico ABCI) se ditiden en dos segmentos por medio de punios a, b, c, d, de tal modo que las razones entre los senos de los seg  mentos de dos lados adyacentes sean proporcionales á las razo  nes entre los senos de los segmentos de los otros dos. los arcos ad y be de circulo máximo concurren en un punto del arco diagonal BD, y los ab y de concurren en punto del otro arco dia  gonal AC [44]. I65>. C o r o l a r io l." Si de* de un punto Y de un arco diago  nal BI) de un cuadrilátero esférico ABCD se trazan dos arcos transcersales cortando cada uno á dos lados adyacentes, los arcos que unan los puntos a y d de intersección de un arco transversal con los b y c del otro concurren en un punto del arco diago  nal AC [15]. 150. C o r o l a r io 2." Si desde los puntos de concurso R y F de los lados opuestos de un cuadrilátero esférico ABCD se tra  zan dos arcos transversales corlando á los lados del mismo en puntos b y d. a y c, los arcos que unen a con d y b con c concur  ren en un punto del diagonal BD, y los que unen a con b, c con d concurren en un punto del otro diagonal AC [4G]. se UNIVLRMDAOL DE SAN'TJA s • DE COMPGVmS. u 4 .° Dados tloa arcos ele circulo que se pueden pro  longar, trazar por un punto dado otro arco, tal que si los tres se prolongasen concurrieran en un mismo punto. Véanse los números 9® y f>3. 505 . Dado un haz de cuatro arcos concurrentes en O, siem  pre se puede cortar por otro arco transversal en cuatro puntos, de modo que la razón entre los senos de las distancias esféricas de uno de éstos á dos de los otros sea igual á la unidad. Esto puede conseguirse de dos modos: haciendo que dichas distan  cias sean dos arcos suplementarios ó dos arcos iguales. Sea el arco abed (Fig. 66). Describo el arco db ’ c'cC , desde.O como polo y con un radio igual á la cuerda de un cuadrante máximo; los ángulos en O tendrán por medida los segmentos correspondientes de (¿b'¿d'\ ahora bien sen da . sen Or? _ sen d^a _ sen d'a' sen db * sen Ob sen dOb sen d'b' ’ 7  77 t o a o . sen da , . si suponemos da + db = 180°, sera ------- = 1 , por consi  sen db 1 guiente sen Oí sen d'a' . sen O íz sen d'b' ’ tomando, pues, O íz = d'b', Oí = d'a' , el arco determinado por a y b será tal que da + db = 180°. Lo mismo sen ca . sen Oa sen cOa • sen c'a' . sen cb " sen Oí sen cOb sen c'b' ’ . , . sen ca _ . . 1 si suponemos ca = cb, será ------ j = 1, por consiguiente sen co sen Oí sen c'a' sen Oa sen c'b' ’ tomando, pues, Oa = c'b', Oí = c'a', el arco determinado por a y b será tal que ca = cb. -124- *5OG. T eo r e ma . Si un haz armónico se corta por un arco transversal, de modo r/ue da + db = 180°, será ca = — cb; y re  cíprocamente, si ca = — cb, será da 4- db = 180". Tenemos • sen cb sen db ' Si »a + <1!, = 180", será = 1 , luego i^ = _ 1 dc . . , sen db ’ h sen cb ’ donde ca = — cb. sen da ----- 77 = Ldc donde sen db • Si ca — — cb. será — — - = — 1. luefí'o , sen cb D da 4- db = 180 n . *505. I eo b e ma . Dado un haz corlado por un arco Iranscersal en cuatro puntos a, b, c, d, si se verifican las dos condi  ciones da 4- db = 180", ca = — cb, el haz es armónico. Porquede , ^« = , sen cb ’ sen db se deduce * sen \abcd^ = — 1 . . , ’ I!O r k ma . Si dos radios conjugados de un ha:- ar  mónico son rectangulares, dividen en dos partes iguales al án. guio de los otros dos radios g al suplemento. Sea el haz armónico O, ABC!) en el que suponemos que los radios conjugados OC, ODse cortan en ángulo recto. Tenemos Sen — sen c ^ a (, _ 8011 sen dOb sen 6 ‘ 0¿ U eos cOb — sen cOb ’ lo que exige que sea ¿O íz = cOb. *500. H ec ípr o c o . L o s arcos bisectorcs de un tinqulo AOB y del suplemento M^Jorman con los lados del imgulo un haz armónico. En efecto sen ca sen cb _sen Oa sen ’ sen da _ sen db ~ _ sen 0» sen Ob luego sen ca _ sen da sen cb sen db se IINIVERSIUADE DL SANTU JÓ DE COMPf STEÍÁ u — 125 - •ÍIO. T k o k k mx . / j >. s cuatro hnlos de un cuadrilátero esfé  rico completo. los tres arcos diafjóiialcs, -y los dos que uucn los puntos diconcurso de los Indos opuestos con la -intersección de los arcos diagona'es interiores, son nueoe arcos divididos armónica  mente [IOI], Ks aplicable al cuadrilátero esférico el escolio del núm. IOS. •Sil. La observación geheral del núm. 103 se aplica igual  mente á las figuras esféricas, por consiguiente las nueve pro  posiciones enunciadas en dicho número., se verifican también en los triángulos esféricos. V. — Blii ision homog-rática. *515. A fin de no cansar la atención del lector con nuevas repeticiones, nos limitaremos á consignar, para concluir, (pie todas las proposiciones relativas á la división homográíica de dos lineas rectas, y á los haces homográficos rectilíneos, trata  das en los números 105 á HO, son aplicables á las figuras es  féricas correspondientes, sustituyendo, como se ha visto hasta ahora, las lineas rectas por arcos de circulo máximo, las longi  tudes de los segmentos rectilíneos por senos de arcos, y los se  nos de ángulos rectilíneos por senos de ángulos esféricos. u Pñ<rina*. Prólogo . - .................................................................................................. i PRIMERA PARTE. íicomeíria rectilínea. CAPÍTULO PRIMERO. — P r incipios funda ment a l es . I . Exposición de los principios fun laméntales .................... 11 II . — Conexión entre los principios fundamentales y los teo  remas de líneas proporcionales ............................ 15 III . — Grado de generalidad de los principios funda nentales. 1!) IV . — Determinación de la posición relativa de tres rectas concurrentes ................................................................ 22 V . — Notación .............................................................................................. 25 CAPÍTULO SEGUNDO. — T eor ía s de geomet r ía moder na QUE SE DEDUCEN INMEDIATAMENTE DE LOS PRINCIPIOS FUNDAMENTALES. L — Introducción ............................................................................................ 2U II . — Transversales ................................................................................ 31 III . — Relación anarmónica. . . . 5G IV . — Proporción armónica .................................................................. 69 V . — División homográlica .................................................................... 79 CAPÍTULO TERCERO. Conexiones enfre los principios fundamentales, el teorema de las transversales y el de la relación anarmónica. . . 87 se IINIVERSlllAr DL SANTIAGC u capít ul o cuar t o . Aplicación de los principios fundamentales á la Trigono  metría ................................................................. . . . . . 95 SEGUNDA PARTE. <*eomc<i*ía esférica. CAPÍTULO primero . Principios fundamentales ................................................................................ 105 CAPÍTULO SEGUNDO. — T eoremas que se deducen de l os PRINCmOS FUNDAMENTALES. I . — Introducción ............................................................................................... 109 II . — Arcos transversales ....................................................................... 110 III . — Relación anarmónica ................................................................. • 120 IV . — Proporción armónica .......................................................................... 122 V, — División homográfica ................................................................................ 125 u se UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA LASALA. LÁM. 2 8 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA