Derivadas de Lie: Transformaciones infinitesimales

T aballo Fin de G ao
De i adas de Lie:
T ans o maciones inni esimales
José Miguel Balado Al es
2019/2020
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
T aballo Fin de G ao
De i adas de Lie:
T ans o maciones inni esimales
José Miguel Balado Al es
Junio/2020
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
T abajo p opues o
Á ea de Coñecemen o:
Geome ía y Topología
Tí ulo:
De i adas de Lie: T ans o maciones inni esimales
B e e desc ición do con ido
In oduci a de i ada de Lie an o de campos de ec o es como de
campos de enso es sob e unha a iedade di e enciable.
No caso de a iedades do adas dunha es u u a adicional (mé ica de
Riemann, es u u a case complexa, e c.) ob e as exp esións locais das
súas ans o macións inni esimais e es uda algunhas p opiedades
das mesmas.
Recomendacións
Te cu sado ou es a cu sando a ma e ia Va iedades Di e enciables
co esponden e ao cua o cu so do G ao en Ma emá icas.
Ou as obse acións
iii

Índice gene al
Resumen
iii
In oducción
xi
1. In oducción 1
1.1. Nocionesbásicas ................................. 1
1.2. Campos de ec o es y ujos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Camposde enso es ............................... 7
1.3.1.
1
- o mas.................................. 7
1.3.2. Campos de enso es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3. Con acciones............................... 9
1.3.4. Ejemplos de campos de enso es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. De i adas de Lie de campos de ec o es 11
3. De i ada de Lie de campos de enso es 15
3.1. Ca ac e ización de la de i ada de Lie como de i ación . . . . . . . . . . . . 19
4. T ans o maciones inni esimales 21
4.1. Campos de ec o es de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2. Campos de ec o es holomo os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3. Campos de ec o es Hamil onianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5. De i ada de Lie y o mas di e enciales 27
5.1. De i aciones en el álgeb a de o mas di e enciales . . . . . . . . . . . . . . . 27
6. De i ación co a ian e 33
6.1. De i adasco a ian es............................... 33
6.1.1. De i ada co a ian e de campos de ec o es . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.1.2. De i ada co a ian e de campos de enso es . . . . . . . . . . . . . . . 34
i
ÍNDICE GENERAL
6.2. T anspo epa alelo................................ 35
6.2.1. Campos de ec o es a lo la go de una cu a . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2.2. De i ación de campos de ec o es a lo la go de una cu a inducida
po unaconexión............................. 36
6.2.3. Exp esión de la de i ada co a ian e en é minos del anspo e pa alelo 38
6.3. To sión de una conexión: elación con la de i ada de Lie . . . . . . . . . . . 40
6.4. Mé icas de Riemann: conexión de Le i Ci i a . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.4.1. La conexión de Le i Ci i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.4.2. Acele ación de una cu a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
xi
INTRODUCCIÓN

Capí ulo 1
In oducción
En es e capí ulo in oduci emos la no ación básica que se á necesa ia pa a el desa ollo
de la memo ia. Ha emos especial én asis en la noción de campo de ec o es y su elación
con los ujos locales. Además in oduci emos los campos de enso es, con especial a ención
a las
1
- o mas y los campos de enso es de ipo
(1,1)
y
(0,2)
, donde se encuad an las
es uc u as casi complejas y las mé icas de Riemann.
1.1. Nociones básicas
Una
a iedad opológica
de dimensión
m
es un espacio Hausdo  y localmen e euclidiano
de dimensión
m
. Di emos que la dupla
(U, ϕ)
es una ca a sob e la a iedad di e enciable
M
si
ϕ:U ⊂ M→e
U ⊂ Rn
es un homeomo smo, donde
U
y
e
U
son abie os.
Dos ca as
(U, ϕ)
y
(V, ψ)
sob e
M
son compa ibles si, o bien
U ∩ V =∅
, o bien los
cambios de ca as
ψ◦ϕ−1
y
ϕ◦ψ−1
son aplicaciones de clase inni o en e abie os de
Rn
.
Llamamos
a las
sob e
M
a una amilia de ca as
A={(Uα, ϕα)}α∈Λ
sob e
M
e i-
cando:
1.
M=Sα∈ΛUα
,
2. Si
α, β ∈Λ
, las ca as
(Uα, ϕα)
y
(Uβ, ϕβ)
son compa ibles.
Un a las
A
es
a las comple o
o
maximal
si no es á con enido en ningún o o a las sob e
M
. Una
es uc u a di e enciable
no es más que una clase de equi alencia
[A]∞
o mada
po odos los a las compa ibles con
A
.
De es a mane a, una
a iedad di e enciable
de dimensión
m
es un pa
(M, [A]∞)
donde
M
es una a iedad opológica de dimensión
m
y
[A]∞
una es uc u a di e enciable sob e
M
.
1
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Una de i ación es una unción en un álgeb a que gene aliza el compo amien o del
ope ado de de i ación usual. De modo más p eciso, dada un álgeb a
A
sob e un cue po
K
, una
K
-de i ación es una aplicación
K
-lineal
D:A→A
que e ica la egla de Leibniz
D(ab) = D(a)b+aD(b)
. En especial nos in e esa á el espacio de unciones di e enciables
F(M)
sob e una a iedad
M
is o como un
R
-álgeb a con las ope aciones de unciones
inducidas po las co espondien es ope aciones en
R
.
Fijado un pun o
p∈M
, un
ec o angen e
a
M
en el pun o
p
es una aplicación
:F(M)→R
e icando
(i)
es
R
-lineal, es o es:
(λ +µg) = λ ( ) + µ (g),
(ii)
e ica la egla de Leibniz:
( g) = ( )g(p) + (p) (g)
pa a cualesquie a
, g ∈ F(M)
y
λ, µ ∈R
.
Geomé icamen e, podemos e un ec o angen e como una clase de equi alencia o mada
po odas las cu as di e enciables
c: (−, )→M
que pasan po
p
en
= 0
y ienen el
mismo ec o elocidad
∂
∂ | =0 c
.
Llamamos
espacio ec o ial angen e
a
M
en
p
al espacio ec o ial
TpM
sob e
R
o mado
po odos los ec o es angen es a
M
en
p
do ado de las siguien es ope aciones:
( +w)( ) := ( ) + w(g),(λ )( ) := λ ( ),
pa a cualesquie a
,w∈TpM
y escala es
λ∈R
.
Sea
(U,(x1, . . . , xn))
una ca a local en la a iedad
M
, donde
(x1, . . . , xn) = ϕ
no es
más que un sis ema de coo denadas. En cada pun o
p∈ U
los ope ado es de de i ación
pa cial
∂
∂x`|p
de e minan ec o es angen es linealmen e independien es que gene an odo
TpM
, po lo que cons i uyen una base de dicho espacio ec o ial.
La unión disjun a de odos los espacios angen es en odos los pun os de una a-
iedad dada
M
cons i uye el
b ado angen e
TM =Sp∈MTpM
. El b ado angen e
iene una es uc u a na u al de a iedad di e enciable de dimensión
dim TM = 2n
. Sea
(U,(x1, . . . , xn))
una ca a local en
M
. En onces cada ec o angen e
∈TpM
se exp esa
como
=x¯
1∂
∂x1|p+· · · +x¯n∂
∂xn|p
con lo que cada elemen o
ξ∈TM
,
ξ= (p, )
con
∈TpM
, se pa ame iza con coo denadas
(x1, . . . , xn, x¯
1, . . . , x¯n)
. La p oyección na u al
π:TM →M
dada po
π(ξ) = π(p, ) = p
dene una subme sión de
TM
sob e
M
.
Sea
∈ F(M)
una unción di e enciable. Denimos la
di e encial de
en el pun o
p∈M
como la aplicación lineal
d p:TpM→R
dada po
d p( ) := ( )
pa a cada ec o
angen e
∈TpM
. Es inmedia o comp oba que
d p
es una aplicación lineal (y po an o
un elemen o del espacio ec o ial dual
T∗
pM
).
1.2. CAMPOS DE VECTORES Y FLUJOS LOCALES
3
El espacio dual del espacio ec o ial angen e,
T∗
pM
, ecibe el nomb e de
espacio co-
angen e
. Cada pa ame ización local
(U,(x1, . . . , xn))
induce una base de
T∗
pM
dada po
las di e enciales de las unciones coo denadas
{dx1
p, . . . , dxn
p}
. La unión disjun a de odos
los espacios co angen es en odos los pun os de una a iedad dada
M
cons i uye el
b a-
do co angen e
T∗M=Sp∈MT∗
pM
. El b ado co angen e iene una es uc u a na u al de
a iedad di e enciable de dimensión
dim TM = 2n
. Sea
(U,(x1, . . . , xn))
una ca a local
en
M
. En onces cada co ec o
∗∈T∗
pM
se exp esa como
∗=x10dx1
p+· · · +xn0dxn
p
con lo que cada elemen o
ω∈T∗M
,
ω= (p, ∗)
con
∗∈T∗
pM
, se pa ame iza con
coo denadas
(x1, . . . , xn, x10, . . . , xn0)
. La p oyección na u al
π:T∗M→M
dada po
π(ω) = π(p, ∗) = p
dene una subme sión de
T∗M
sob e
M
.
Sean
M1
y
M2
a iedades di e enciables y
F:M1→M2
una aplicación di e enciable.
En onces pa a cada unción di e enciable
∈ F(M2)
, la composición
◦F
de e mina una
unción di e enciable
◦F∈ F(M1)
. En cada pun o
p∈M1
se dene la
di e encial de
F
en el pun o
p
(o aplicación lineal angen e en
p
) como la aplicación
dFp:TpM1→TF(p)M2
de e minada po
dFp( )( ) := ( ◦F)
. Se sigue inmedia amen e de la denición que la
di e encial
dFp
es una aplicación lineal.
1.2. Campos de ec o es y ujos locales
Exis en di e sas o mas equi alen es de in oduci los campos de ec o es en una a-
iedad.
Denición 1.1.
Un
campo de ec o es
sob e una a iedad di e enciable es una sección del
b ado angen e
X:p∈M7→ Xp∈TpM,
donde la di e encibilidad del campo de ec o es se exp esa á en é minos de la di e encia-
bilidad de la sección
X
.
Al e na i amen e, un campo de ec o es di e enciable puede se denido en é minos de
de i aciones, de modo análogo a como se in oduje on los ec o es angen es. Así, un campo
de ec o es di e enciable es una de i ación
D
del
R
-álgeb a de unciones di e enciables
F(M)
.
Teo ema 1.2.
[3, Teo ema 2.72]
Si
X
es un campo de ec o es di e enciable sob e
M
en onces la aplicación
DX:F(M)→ F(M)
dada po
DX( ) := d (X)
es una de i ación
en
F(M)
. Recíp ocamen e, pa a cada de i ación
D
en
F(M)
exis e un único campo de
ec o es di e enciable
X
sob e
M
al que
DX=D
.
4
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Sea
(U,(x1, . . . , xn))
una ca a local en
M
. En onces
∂
∂x`:p∈ U 7→ ∂
∂x`|p
dene un
campo de ec o es local sob e el abie o
U
de o ma que odo campo de ec o es
X
en
M
se
exp esa localmen e en el abie o
U
como
X=X`∂
∂x`
, donde
X`
son unciones di e enciables
denidas en el abie o
U
.
P oduc o de campos de ec o es
In e p e ando los campos de ec o es como de i aciones en el álgeb a de unciones
F(M)
, el i e ado de dos campos de ec o es no es un campo de ec o es dado que
XY
no
es una de i ación pues o que
XY ( h) = X{Y( )h+ Y (h)}=XY ( )h+Y( )X(h) + X( )Y(h) + XY (h).
Sin emba go el an i-sime izado
[X, Y ] := XY −Y X
sí es un campo de ec o es, que
llama emos
p oduc o co che e
(o
p oduc o de Lie
) de los campos de ec o es
X
e
Y
.
Si
X=Xj∂xj
y
Y=Yj∂xj
en é minos de un sis ema de coo denadas
(x1, . . . , xn)
,
en onces
[X, Y ]
es un campo de ec o es cuyas componen es espec o a
(x1, . . . , xn)
es án
dadas po
[X, Y ] = Xj∂Y i
∂xj−Yj∂Xi
∂xj∂
∂xi.
Bajo el p oduc o co che e,
X(M)
es un álgeb a de Lie, es o es,
[·,·] : X(M)×X(M)→X(M)
es una aplicación bilineal e icando
1. El p oduc o es an isimé ico, i.e.,
[X, Y ] = −[Y, X]
,
2. El p oduc o e ica la iden idad de Jacobi
[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0
,
pa a cualesquie a
X
,
Y
,
Z∈X(M)
.
Flujos locales y g upos
1
-pa amé icos de ans o maciones
Dado un campo de ec o es
X
sob e
M
, una cu a di e enciable
c:I⊂R→M
denida en un in e alo eal
I
,
c( )
se dice que es una
cu a in eg al de
X
si se e ica
d
d c( ) = X(c( ))
pa a cualquie
∈I
.
La exis encia de soluciones locales pa a el p oblema de alo es iniciales de ecuaciones
di e enciales ga an iza la exis encia de cu as in eg ales
c( )
e icando las condiciones
iniciales
c(0) = p
,
c0(0) = Xp
pa a cada pun o
p∈M
. En gene al, dichas cu as in eg ales
es a án denidas en in e alos
I= (−p, p)
, donde
p>0
depende á del pun o
p∈M
.
1.2. CAMPOS DE VECTORES Y FLUJOS LOCALES
5
Llama emos
ujo del campo de ec o es
X
a una unción
Ψ : V × M⊂R×M→M
( , p)7→ Ψ( , p)
de o ma que pa a cada
p∈M
la cu a
Ψp(T) : V ⊂ R→M
es una cu a in eg al de
X
e icando las condiciones iniciales
Ψp(0) = p
y
Ψ0
p(0) = Xp
.
Se dice que el ujo es
comple o
si las cu as in eg ales de
X
es án denidas en oda
la ec a eal, i.e.,
V=R
. Si
Ψ
es á denida en un abie o
V × M⊂R×M
, en onces se
dice que
Ψ
es un
ujo local
. La equi alencia en e campos de ec o es y ujos locales iene
dada po el siguien e esul ado
Teo ema 1.3.
Sea
X
un campo de ec o es di e enciable y
p∈M
. En onces exis e un
en o no abie o
U∈M
de
p
,
 > 0
y un g upo 1-pa amé ico de ans o maciones
Ψ
al
que
1.
Ψ:(−, )×U→
es
C∞
;
2. Si
|s|,| |,|s+ |< 
, y
q
,
Ψ (q)∈U
en onces
Ψs(Ψ (q)) = Ψs+ (q)
y
Ψ0(q) = q
;
3. Pa a cualquie
q∈U
,
Xq
es angen e a la cu a
c: (−, )→U
donde
c( )=Ψ (q)
en
= 0
.
Un
g upo
1
-pa amé ico de ans o maciones de
M
es una aplicación di e enciable
Φ : R×M→M
( , p)7→ Φ (p)
de al o ma que
(i) pa a cada
∈R
,
Φ :M→M
es una ans o mación de
M
(homeomo smo en
M
),
(ii) pa a cada
, s ∈R
y cada
p∈M
,
Φ +s(p) = Φ ◦Φs(p)
.
Las condiciones an e io es mues an que la aplicación
Φ
es una acción del g upo adi i o
R
sob e la a iedad
M
median e di eomo smos (ya que
Φ0= Id
y
Φ−1
= Φ−
pa a cada
∈R
).
Todo g upo
1
-pa amé ico de e mina un campo de ec o es
X
que, en cada pun o
p∈M
es el ec o angen e a la cu a
γ( ) = Φp( )
en iempo ce o, i.e.,
Xp= Φ0
p(0)
.
Recíp ocamen e, odo campo de ec o es
X
induce localmen e un g upo
1
-pa amé ico
de ans o maciones (co espondien e al ujo local), al como nos asegu a el siguien e
esul ado.

6
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
P oposición 1.4.
[1, P oposi ion 1.5]
Sea
X
un campo de ec o es sob e
M
. Pa a cada
pun o
p∈M
, exis e un en o no
U
de
p
, un núme o posi i o

y un g upo
1
-pa amé ico de
ans o maciones locales
Φ :U → M
,
∈I= (−, )
, que induce el campo de ec o es
X
.
Un campo de ec o es es comple o si su ujo es comple o, o equi alen emen e, si el g upo
1
-pa amé ico de ans o maciones es global, algo que sucede sob e oda a iedad compac a
( e , po ejemplo [1, P oposi ion 1.6]). Aunque no hemos explici ado las deniciones de ujo
local y g upo
1
-pa amé ico local, es as son comple amen e análogas a sus co espondien es
globales, siemp e y cuando las dis in as condiciones engan sen ido en unción del dominio.
Se p esen an aho a unos esul ados que nos se án de in e és en lo que es a del abajo.
Sea
X
un campo de ec o es en una a iedad
M
y
F:M→M
una aplicación
di e enciable. La di e encial de la aplicación
F
ans o ma
X
en un obje o
F∗X
que no es
necesa iamen e un campo de ec o es en
M
(sino más bien un campo de ec o es a lo la go
de la aplicación). Sin emba go, cuando
F
sea un di eomo smo,
F∗X
sí es un campo de
ec o es en
M
, po lo que se á in e esan e elaciona el ujo de
F∗X
con el di eomo smo
F
.
P oposición 1.5.
Sea
F:M→M
un di eomo smo de
M
. Si un campo de ec o es
X
gene a un g upo local
1
-pa amé ico de an o maciones locales
Φ
, en onces el campo de
ec o es
F∗X
gene a el g upo de ans o maciones dado po
ˆ
Φ =F◦Φ ◦F−1
.
Demos ación.
Obsé ese en p ime luga que
ˆ
Φ
de e mina un g upo
1
-pa amé ico de
ans o maciones. De hecho,
ˆ
Φ +s=F◦Φ +s◦F−1
=F◦Φ ◦Φs◦F−1
= (F◦Φ ◦F−1)◦(F◦Φs◦F−1)
=ˆ
Φ ◦ˆ
Φs.
Además, pa a cada pun o
p∈M
el campo de ec o es
Xp
es el ec o angen e a la cu a
Φ (p)
en iempo
= 0
. Deno ando po
q=F−1(p)
, se iene que el campo de ec o es
(F∗X)p=dFq(Xq)
, donde
Xq∈TqM
es el ec o angen e a la cu a
Φ (q) = Φ (F−1(p))
en iempo
= 0
. Po an o,
(F∗X)p
es angen e a la cu a
(F◦Φ ◦F−1)(p) = ˆ
Φ (p)
en
= 0
, lo que p ueba que
ˆ
Φ
es el g upo
1
-pa amé ico asociado a
F∗X
.
Co ola io 1.6.
Un campo de ec o es
X
es in a ian e po un di eomo smo
F
, es deci ,
F∗X=X
, si sólo si
F
conmu a con el ujo de
X
, i.e.,
F◦Φ = Φ ◦F
.
Enunciamos aho a un esul ado que elaciona los g upos 1-pa amé icos de
X
e
Y
con el p oduc o co che e
[X, Y ]
; la demos ación del mismo queda elegada has a que el
desa ollo del abajo lo pe mi a.
1.3. CAMPOS DE TENSORES
7
P oposición 1.7.
Supongamos que
X
e
Y
gene an los g upos 1-pa amé icos
Φ
y
Ψ
,
espec i amen e. En onces
Φ ◦Ψs= Ψs◦Φ
pa a cualesquie a
s
y
si y sólo si
[X, Y ] = 0
.
1.3. Campos de enso es
1.3.1.
1
- o mas
Una
1
- o ma (o co ec o ) en un espacio ec o ial
V
es un elemen o del espacio dual
V∗
,
es o es, una aplicación lineal
∗:V→R
. De modo análogo a los campos de ec o es, una
1
- o ma en una a iedad es una asignación di e enciable de un co ec o en cada espacio
angen e. A la ho a de o maliza dicha di e enciabilidad se pueden segui a ios caminos
equi alen es.
Una
1- o ma
o
campo de co ec o es
sob e
M
es una sección del b ado co angen e,
ω:M→T∗(M)
p7→ (p, ωp)
donde
ωp∈T∗
pM
.
De o a mane a, una 1- o ma (di e enciable) puede in e p e a se como una aplicación
F(M)
-lineal
ω:X(M)→ F(M)
donde
ω(X)
es la unción di e enciable
ω(X) : p∈M7→
ω(X)(p) := ωp(Xp)
, pa a cualquie campo de ec o es
X
sob e
M
.
Sea
(U,(x1, . . . , xn))
una ca a local en
M
. Teniendo en cuen a que
{dx1, . . . , dxn}
es
una base local del espacio de
1
- o mas en cada espacio angen e, la
1
- o ma
ω
se exp esa
localmen e como
ω=ω`dx`
pa a cie as unciones
ω`:U → R
di e enciables.
Dada una aplicación di e enciable en e a iedades di e enciables,
F:M→˜
M
, pa a
cada 1- o ma
˜ω
en
˜
M
, denimos su pull-back como la
1
- o ma en
M
,
F∗˜ω
, dada po
(F∗˜ω)(X) = ˜ωF(p)(dFpX)
pa a cualquie
X∈TpM
.
1.3.2. Campos de enso es
Si conside amos un espacio ec o ial
V
, con base
{e1, . . . , en}
, y su espacio dual
V∗
con base,
{e1, . . . , en}
, y cons uimos el espacio ec o ial p oduc o de
copias de
V
y
s
copias de
V∗
, es deci
T
s(V) = V⊗
. . . ⊗V⊗V∗⊗s
. . . ⊗V∗
, un enso de ipo
( , s)
es un
elemen o de dicho espacio ec o ial:
K=Kj1,...,js
i1,...,i ei1⊗. . . ei ⊗ej1⊗ · · · ⊗ ejs
Toda base
{ 1, . . . , n}
de
V
induce una base
i1⊗ · · · ⊗ i ⊗ j1⊗ · · · ⊗ js
de
Ts (V)
8
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Si
(U,(x1, . . . , xn))
es una ca a local, en onces en cada pun o
p∈ U
se iene que
∂
∂xi1⊗ · · · ⊗ ∂
∂xi ⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs
es una base de
Ts (TpM)
Obse ación
1.8
.
El espacio de enso es
Ts0(V)
puede se in e p e ado como el espacio
de odas las aplicaciones
s
-lineales de
V×s
· · · ×V→R
. Análogamen e, el espacio de
enso es
T0 (V)
puede se in e p e ado como el espacio de odas las aplicaciones
-lineales
de
V∗×
· · · ×V∗→R
.
El espacio
Ts1(V)
es isomo o de o ma na u al al espacio de odas las aplicaciones
s
-lineales de
V×s
· · · ×V→V
. De hecho, cada
K ∈ Ts1(V)
, que espec o a una base
{e1, . . . , en}
de
V
se exp esa como
K=Kj1,...,js
iei⊗ej1⊗· · ·⊗ejs
, se co esponde con una
aplicación
s
-lineal
K:V×s
· · · ×V→V
de e minada po
K(ej1, . . . , ejs) = PiKi
j1...jsei
.
De mane a análoga a como in odujimos los b ados angen e y co angen e, cons ui-
mos el
b ado enso ial de ipo ( ,s)
como
T
s(TM) = Sp∈MT
s(TpM)
, donde
T
s(TpM)
ep esen a el espacio de enso es de ipo
( , s)
sob e el espacio angen e
TpM
.
Denición 1.9.
(
Campos de enso es
) Un
campo de enso es
K
sob e
TpM
es una
sección del b ado enso ial
K:p∈M→ Kp∈T
s(TpM)
donde la di e encibilidad del campo de enso es se exp esa á en é minos de la di e encia-
bilidad de la sección
K
.
Podemos exp esa un enso en unción de los elemen os de una base del espacio ec-
o ial,
TpM
, y de su dual,
T∗
pM
, del siguien e modo:
Kp=Kj1,...,js
i1,...,i ∂xi1⊗. . . ∂xi ⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs
donde
Kj1,...,js
i1,...,i
son unciones denidas en el abie o coo denado
U ⊂ M
llamadas
componen es de
K
espec o al sis ema de coo denadas
(U,(x1, . . . , xn))
.
Un campo de enso es
K
de ipo
(0, s)
( espec i amen e de ipo
(1, s)
) en
M
puede se
is o como una aplicación
s
-lineal de
X(M)×s
. . . ×X(M)
en
F(M)
( espec i amen e en
X(M)
) al que
K( 1X1, . . . , sXs) = 1. . . sK(X1, . . . , Xs)
pa a cualesquie a
i∈ F(M)
y
Xi∈X(M)
. Recíp ocamen e, una al unción puede e se
como un campo enso ial de ipo
(0, s)
( espec i amen e
(1, s)
). De es e modo si emos una
1
- o ma
ω
como una aplicación
F(M)
-lineal denida en el espacio de campos de ec o es
X(M)
con alo es en
F(M)
,
ω
no es más que un campo de enso es de ipo
(0,1)
.
Po o a pa e, un campo de ec o es is o como una aplicación
X:F(M)→ F(M)
es simplemen e un campo de enso es de ipo
(1,0)
. El espacio
T0
0(V)
ep esen a el espacio
de unciones sob e
M
.
1.3. CAMPOS DE TENSORES
9
1.3.3. Con acciones
Sea
T:V→V
un enso de ipo
(1,1)
. Su aza
(T) = Tkk
es la suma de los
elemen os de la diagonal de su exp esión ma icial. Gene alizando es a idea se denen las
con acciones de un enso de ipo
( , s)
del siguien e modo. Sea
K ∈ Ts (V)
dado po
K=Kj1,...,js
i1,...,i ei1⊗. . . ei ⊗ej1⊗ · · · ⊗ ejs
un campo de enso es de ipo
( , s)
.
Pa a cada
1≤i≤s
y cada
1≤j≤
se dene la
con acción
Cij(K)
como el campo
de enso es de ipo
(s−1, −1)
exp esado en componen es po
Cij(K) = X
k
Kj1,...,k...,js
i1,...,k...,i ei1⊗ · · · ⊗ bek⊗ · · · ⊗ ei ⊗ej1⊗ · · · ⊗ b
ek⊗ · · · ⊗ ejs
donde el supe índice
k
apa ece en la
i
-ésima posición, el subíndice
k
apa ece en la posición
j
-ésima y la no ación
bek
,
b
ek
signica que esos elemen os han sido eliminados.
1.3.4. Ejemplos de campos de enso es
A con inuación analiza emos algunos casos especiales de campos de enso es que se án
de impo ancia a lo la go de es a memo ia.
Mé icas de Riemann
Un p oduc o escala en un espacio ec o ial
V
es una aplicación bilineal simé ica y no
degene ada
h,i:V×V→R
po an o puede se in e p e ada como una o ma de ipo
(0,2)
que, en una base
{ 1, . . . , n}
de
V
se exp esa como
h,i=aij i⊗ j
pa a una ma iz de coecien es
(aij)
simé ica.
Una
mé ica de Riemann
en una a iedad es una asignación (di e enciable) de un
p oduc o escala denido posi i o en cada espacio angen e. Po an o se co esponde con
un campo de enso es de ipo
(0,2)
simé ico y denido posi i o que, en cada abie o
coo denado
(U,(x1, . . . , xn))
se exp esa como
g=gijdxi⊗dxj
pa a cie as unciones di e enciables
gij =gji
denidas en el abie o
U
.
Toda supe cie
S
en el espacio Euclídeo
R3
he eda de o ma na u al un p oduc o escala
en cada espacio angen e median e la es icción del p oduc o escala usual de
R3
, po lo
que son a iedades de Riemann en las que el campo de enso es mé ico es la p ime a o ma
undamen al de la supe cie.
16
CAPÍTULO 3. DERIVADA DE LIE DE CAMPOS DE TENSORES
Se sigue en onces que si dos campos de enso es
K
y
K0
coinciden en un abie o
U
,
en onces
DK
y
DK0
ambién coinciden en
U
.
Sea
D=D1−D2
la di e encia de las dos de i aciones. Nues o obje i o se á p oba
que si
D
se anula en
F(M)
y sob e campos de ec o es
Y∈X(M)
, en onces se anula en
T(TM)
. Veamos en p ime luga que
D
se anula sob e
1
- o mas.
Sea
Y⊗ω∈T1
1(M)
un campo de enso es de ipo
(1,1)
. La con acción
C1
1:T1
1(M)→
F(M)
es á dada po la e aluación
C1
1(Y⊗ω) = ω(Y)
. U ilizando el hecho de que la
de i ación conmu a con las con acciones, enemos
D(C1
1(Y⊗ω)) = C1
1(D(Y⊗ω)) = C1
1(DY ⊗ω) + C1
1(Y⊗Dω).
Si la de i ación se anula sob e unciones y sob e campos de ec o es, en onces se iene que
D(C1
1(Y⊗ω)) = 0
y
C1
1(DY ⊗ω)=0
, con lo que de la exp esión an e io se ob iene
0 = C1
1(Y⊗Dω)=(Dω)(Y)
pa a cualquei campo de ec o es
Y
, lo que mues a que
Dω = 0
.
Sea
K
un campo de enso es de ipo
( , s)
y
p∈M
un pun o a bi a io. Conside emos
un en o no coo denado
(U,(x1, . . . , xn))
o de
p
donde el campo de enso es se exp esa como
K=Kj1,...,js
i1,...,i ∂xi1⊗. . . ∂xi ⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs.
Como
D
es un ope ado local, bas a p oba que la de i acion
D
aplicada a cada sumando
de la exp esión an e io de
K
se anula, lo que se sigue de que
D
se anule sob e unciones,
campos de ec o es y
1
- o mas.
P oposición 3.2.
Sea
ϕ:V1→V2
un isomo smo de espacios ec o iales. En onces
ϕ
induce un isomo smo
˜ϕ:T(V1)→T(V2)
que p ese a el ipo de los enso es y conmu a
con las con acciones.
Demos ación.
Sea
ϕ:V1→V2
un isomo smo de espacios ec o iales y sea
ϕ∗:V∗
2→V∗
1
el isomo smo inducido en e los espacios duales dado po
(ϕ∗ ∗
2) : ∈V17→ ∗
2(ϕ( ))
,
pa a cada
∗
2∈V∗
2
. Conside ando el isomo smo in e so
(ϕ∗)−1:V∗
1→V∗
2
, se iene que
ϕ⊗(ϕ∗)−1:V1⊗V∗
1→V2⊗V∗
2
u⊗ ∗7→ ϕ(u)⊗(ϕ∗)−1 ∗
es un isomo smo a pa i del cual se ob iene el isomo smo buscado
˜ϕ
en e los espacios
de enso es.

17
Reco demos que si
F
es una ans o mación de
M
, la aplicación lineal angen e
F∗
induce un isomo smo en e los espacios ec o iales angen es
TF−1(p)M
y
TpM
. La P o-
posición 3.2 ga an iza que podemos ex ende el isomo smo
F∗
a un isomo smo de las
álgeb as de enso es
T(TF−1(p)M)
y
T(TpM)
, que deno a emos po
e
F∗
. Así,
e
F
es una ans-
o mación en el espacio de campos de enso es
T(TM)
que p ese a el ipo, i.e., si
K
es
de ipo
( , s)
en onces ambién lo es
˜
FK
, y que a cada campo de enso es
K
le asocia un
campo de enso es
˜
FK
de e minado en cada pun o po
(e
FK)p=e
F∗(KF−1(p))
.
De es e modo, pa a ex ende la denición de la de i ada de Lie a campos de enso es
podemos p ocede de mane a análoga a como hicimos pa a campos de ec o es. Fijado un
campo de ec o es
X
sob e
M
con g upo
1
-pa amé ico de ans o maciones
Φ
, pa a cada
alo de
conside amos el au omo smo
e
Φ
del álgeb a
T(TM)
.
Denición 3.3.
(
De i ada de Lie de campos de enso es
)
Sea
X
un campo de ec o es sob e
M
. Pa a cada campo de enso es
K
denimos la
de i ada
de Lie de
K
con espec o
X
como
(LXK)p= l´ım
→0
1
hKp−(e
Φ K)pi
donde
Φ
es el g upo 1-pa amé ico de ans o maciones de
M
asociado a
X
.
Obse ación
3.4
.
Sea
X
un campo de ec o es no nulo en
M
. Sea
(U,(x1, . . . , xn))
un
en o no coo denado donde
X=∂x1
y, po an o, el ujo local
Φ (x1, x2, . . . , xn)=(x1+
, x2, . . . , xn)
. Sea
K
un campo de enso es ipo
( , s)
que exp esamos en la coo denadas
(U,(x1, . . . , xn))
como
K=Kj1,...,js
i1,...,i ∂xi1⊗. . . ∂xi ⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs.
El campo de enso es
˜
Φ K
iene dado po
˜
Φ K=˜
Kj1,...,js
i1,...,i ∂xi1⊗. . . ∂xi ⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs.
Donde las unciones componen es
˜
Kj1,...,js
i1,...,i (x1, x2, . . . , xn) = Kj1,...,js
i1,...,i (x1− , x2, . . . , xn).
Po an o
LXK=b
Kj1,...,js
i1,...,i ∂xi1⊗. . . ∂xi ⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs
, donde
b
Kj1,...,js
i1,...,i = l´ım →01
Kj1,...,js
i1,...,i (x1, . . . , xn)− Kj1,...,js
i1,...,i (x1− , . . . , xn)
=∂x1Kj1,...,js
i1,...,i
po lo que
LXK=∂x1Kj1,...,js
i1,...,i ∂xi1⊗. . . ∂xi ⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs.
18
CAPÍTULO 3. DERIVADA DE LIE DE CAMPOS DE TENSORES
P oposición 3.5.
[1, P oposi ion 3.2]
La de i ada de Lie
LX:T(TM)→T(T M)
es una
de i ación en
T(TM)
y es á ca ac e izada po
LX =X
pa a oda unción
∈ F(M)
y
LXY= [X, Y ]
pa a odo campo de ec o es
Y
en
M
.
Demos ación.
Veamos en p ime luga que
LX:T(TM)→T(T M)
es un ope ado lineal.
Sean
K
,
K0∈T(TM)
y
α, β ∈R
. Pa a el campo de enso es
αK+βK0
, u ilizando la
linealidad de las ans o maciones
e
Φ
, se iene
LX(αK+βK0)p= l´ım →01
[(αK+βK0)p−(e
Φ (αK+βK0))p))]
= l´ım →01
α[Kp+ (e
Φ K)p] + l´ım →01
β[K0
p+ (e
Φ K0)p]
=αLXKp+βLXK0
p,
lo que mues a que
LX
es lineal.
Po o o lado,
LX(K ⊗ K0) = l´ım
→0
1
[K ⊗ K0−e
Φ (K ⊗ K0)]
= l´ım
→0
1
[K ⊗ K0−(e
Φ K)⊗(e
Φ K0)]
= l´ım
→0
1
[K ⊗ K0−(e
Φ K)⊗ K0] + l´ım
→0
1
[(e
Φ K)⊗ K0−(e
Φ K)⊗(e
Φ K0)]
= (l´ım
→0
1
[K − (e
Φ K)]) ⊗ K0+ l´ım
→0(e
Φ K)⊗(1
[K0−(e
Φ K0)])
= (LXK)⊗ K0+K ⊗ (LXK0).
Dado que
e
Φ
p ese a el ipo y conmu a con las con acciones (según se ha mos ado en la
P oposición 3.2), así lo hace
LX
. De hecho,
LX(Cj
iK) = l´ım
→0
1
[Cj
iK − e
Φ (Cj
iK)] = l´ım
→0
1
[Cj
iK − Cj
ie
Φ K)])
=Cj
il´ım
→0
1
[K − e
Φ K] = Cj
i(LXK).
Finalmen e, la acción de la de i ada de Lie sob e campos de ec o es,
LXY= [X, Y ]
ue p obada en la P oposición 2.2 y la acción sob e unciones
∈ F(M)
iene dada po
(LX )(p) = l´ım
→0
1
[ (p)− (Φ−1
p)]
=−l´ım
→0
1
[ (Φ−1
p)− (p)].
Teniendo en cuen a que
Φ−1
= Φ−
es un g upo 1-pa amé ico de ans o maciones locales
gene ado po
−X
, enemos que
LX =−(−X) =X
.
3.1. CARACTERIZACIÓN DE LA DERIVADA DE LIE COMO DERIVACIÓN
19
P oposición 3.6.
Sea
K
un campo de enso es de ipo
(1, s)
sob e
M
. En onces
(LXK)(Y1, . . . , Ys) = LXK(Y1, . . . , Ys)−
s
X
i=1
K(Y1,...,LXYi, . . . , Ys)
= [X, K(Y1, . . . , Ys)] −
s
X
i=1
K(Y1,...,[X, Yi], . . . , Ys)
pa a cualesquie a
X
,
Y1, . . . , Ys
campos de ec o es sob e
M
.
Demos ación.
Si in e p e amos el campo de ec o es
K(Y1, . . . , Ys)∈ F(M)
como el e-
sul ado de aplica las con acciones
C1, . . . , Cs
al enso
Y1⊗ · · · ⊗ Ys⊗ K
, en onces pa a
cualquie de i ación sob e
T(TM)
se iene
D(K(Y1, . . . , Ys)) = D(C1. . . Cs(Y1⊗ · · · ⊗ Ys⊗ K))
=C1. . . Cs(D(Y1⊗ · · · ⊗ Ys⊗ K))
=C1. . . Cs(Y1⊗ · · · ⊗ Ys⊗D(K)) + C1. . . Cs(D(Y1⊗ · · · ⊗ Ys)⊗ K)
= (D(K))(Y1, . . . , Ys) +
s
X
i=1
K(Y1, . . . , DYi, . . . , Ys)
Aho a, si
D=LX
, en onces po la P oposición 2.2 se iene el esul ado.
Obse ación
3.7
.
La exp esión de la de i ada de Lie en la p oposición an e io sigue sien-
do álida pa a campos de enso es
K
de ipo
(0, s)
sin más que ene en cuen a que
LXK(Y1, . . . , Ys) = XK(Y1, . . . , Ys)
po se
K(Y1, . . . , Ys)∈ F(M)
. Así
(LXK)(Y1, . . . , Ys) = XK(Y1, . . . , Ys)−
s
X
i=1
K(Y1,...,LXYi, . . . , Ys)
=XK(Y1, . . . , Ys)−
s
X
i=1
K(Y1,...,[X, Yi], . . . , Ys)
pa a cualesquie a
X
,
Y1, . . . , Ys
campos de ec o es sob e
M
.
3.1. Ca ac e ización de la de i ada de Lie como de i ación
La de i ada de Lie no solo p opo ciona una de i ación en el álgeb a de campos de
enso es
T(TM)
sino que oda de i ación de dicha álgeb a puede descompone se como
suma de una cie a de i ada de Lie jun o con un campo de enso es de ipo
(1,1)
.
Sea
S
un campo de enso es de ipo
(1,1)
sob e
M
. Así
Sp:TpM→TpM
es un
endomo smo del espacio angen e en cada pun o
p∈M
, po lo que se puede ex ende
a un endomo smo de
T(TM)
sin más que conside a en cada pun o el endomo smo
asociado
e
Sp:T(TpM)→T(TpM)
.
20
CAPÍTULO 3. DERIVADA DE LIE DE CAMPOS DE TENSORES
P oposición 3.8.
[1, P oposi ion 3.3]
Toda de i ación
D∈T(TM)
se puede descompone
de mane a única como sigue:
D=LX+S
donde
X
es un campo de ec o es y
S
es un campo enso ial de ipo
(1,1)
.
Demos ación.
Po se
D
una de i ación de
T(TM)
en onces p ese a el ipo
( , s)
de los
dis in os campos de enso es. En pa icula ac úa como de i ación an o sob e unciones
como sob e campos de ec o es.
Dado que
D:F(M)→ F(M)
es una de i ación, en onces el Teo ema 1.2 asegu a que
exis e un único campo de ec o es
X
sob e
M
al que
D =X
pa a cada
∈ F(M)
.
Aho a
D− LX
e ica
(D− LX) =D − LX =D −X = 0
y po an o, deno ando
igualmen e con
S
a la es icción del ope ado
(D− LX)
al espacio de campos de ec o es,
se iene
S( ξ) = D( ξ)− LX( ξ) = Dξ − LXξ= (D− LX)ξ= S(ξ),
de donde se sigue que
S
es un campo de enso es de ipo
(1,1)
sob e
M
, de donde se
sigue el esul ado. La unicidad en la descomposición se co esponde con la co espondencia
biyec i a en e de i aciones de unciones y campos de ec o es en la a iedad.
Capí ulo 4
T ans o maciones inni esimales
Sea
K
un campo de enso es sob e una a iedad
M
. Di emos que un campo de ec o es
X
sob e
M
es una
ans o mación inni esimal pa a
K
si el campo de enso es
K
es
in a ian e po el g upo
1
-pa amé ico de ans o maciones de
X
, es o es si
e
Φ K=K
.
Teniendo en cuen a la denición de la de i ada de Lie,
LXK= l´ım
→0
1
[K− e
Φ K]
, se sigue
de o ma inmedia a que si
X
es una ans o mación inni esimal de
K
en onces
LXK= 0
.
El obje i o de es e capí ulo es p oba el esul ado ecíp oco, con lo que se ob iene la
siguien e ca ac e ización de las ans o maciones inni esmales.
Teo ema 4.1.
Un campo de enso es
K
es in a ian e po un g upo
1
-pa amé ico de ans-
o maciones
Φ
si y solo si
LXK= 0
, donde
X
es el campo de ec o es asociado a
Φ
.
Sea
Φ
el ujo
1
-pa amé ico asociado a
X
y sean
e
Φ
los endomo mos inducidos en
el álgeb a de campos de enso es. Sea
K
un campo de enso es y conside emos la amilia
1
-pa amé ica de campos de enso es
e
Φ K
. Como
e
Φ0K=K
, si emos que la aplicación
7→ e
Φ K
es cons an e en onces ya se end á que
K
es in a ian e po
Φ
. Si
LXK= 0
,
en onces el Lema 4.3 mues a que se anula la de i ada
d
d e
Φ K | =s= 0
pa a cualquie alo
de
s
, po lo que la unción
e
Φ K
se á cons an e y
X
una ans o mación inni esimal.
Obse ación
4.2
.
Sea
X
un campo de ec o es no nulo en
M
y sea
(U,(x1, . . . , xn))
un
sis ema de coo denadas locales donde
X=∂x1
. Sea
K
un campo de enso es de ipo
( , s)
sob e
M
. Según se mos ó en la Obse ación 3.4
LXK=∂x1Kj1,...,js
i1,...,i ∂xi1⊗. . . ∂xi ⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs.
Así pues,
X
es una ans o mación inni esimal de
K
si y solo si
∂x1Kj1,...,js
i1,...,i = 0
,
de donde se sigue que .
el
campo de enso es
K
es cons an e espec o a la coo denada
co espondien e a
X
".
21

22
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES INFINITESIMALES
Lema 4.3.
Sea
Φ
un g upo 1-pa amé ico de an o maciones locales gene ado po un
campo de ec o es
X
. Sea
K
un campo de enso es. En onces se iene
e
Φs(LXK) = −d(e
Φ K)
d | =s.
pa a cualquie alo del pa áme o
s
.
Demos ación.
Fijemos un alo de
s
pa a el que es á denido el ujo local
Φ
del campo
de ec o es
X
. Teniendo en cuen a la exp esión de la de i ada de Lie de un campo de
enso es,
LXK= l´ım
→0
1
[K − e
Φ K]
, pa a cada campo de enso es
e
ΦsK
gene ado po el ujo
de
X
se iene
LX(e
ΦsK) = l´ım
→0
1
[e
ΦsK − e
Φ (e
ΦsK)]
= l´ım
→0
1
[e
ΦsK − e
Φ +sK]
=−l´ım
→0
1
[e
Φ +sK − e
ΦsK] = −d
d (e
Φ K)| =s.
Ve emos aho a que la de i ada de Lie
LX
conmu a con los endomo mos
e
Φ
asociados
al g upo
1
-pa amé ico de
X
, i.e.,
e
Φs(LXK) = LX(e
ΦsK)
de donde se segui á que
e
Φs(LXK) = LX(e
ΦsK) = −d
d (e
Φ K)| =s,
lo que p ueba el esul ado.
A con inuación p oba emos que
e
Φs(LXK) = LX(e
ΦsK)
, o equi alen emen e
LXK= (e
Φ−1
s◦ LX◦e
Φs)K
(4.1)
pa a odo campo de enso es
K
.
Teniendo en cuen a que
LX
es una de i ación y las aplicaciones
e
Φs
p ese an el p oduc o
enso (
e
Φs(K⊗K0) = e
Φs(K)⊗K0+K⊗e
Φs(K0)
), se iene que
(e
Φ−1
s◦LX◦e
Φs)
es una de i ación.
En i ud de la P oposición 3.1, la de i ación
(e
Φ−1
s◦ LX◦e
Φs)
es a á comple amen e
de e minada po su ac uación sob e unciones y campos de ec o es, po lo que bas a á
comp oba que
(e
Φ−1
s◦LX◦e
Φs)( ) = X( )
pa a cualquie
∈ F(M)
y
(e
Φ−1
s◦LX◦e
Φs)(Y) =
[X, Y ]
pa a cualquie campo de ec o es
Y
sob e
M
pa a asegu a que
LX=e
Φ−1
s◦LX◦e
Φs
.
Reco demos que pa a cada ans o mación
Φs
, como el campo de ec o es
X
es in a-
ian e po su ujo, en onces la ans o mación inducida
e
Φs
ac úa sob e campos de ec o es
como
(e
ΦsY)p= (Φs)∗|Φ−1
s(p)YΦ−1
s(p),e
ΦsX=X.
Se sigue del Co ola io 2.5 que pa a cada campo de ec o es
Y
en
M
se cumple
LXY=
(Φs)−1
∗◦ LX◦(Φs)∗Y
, po lo que ambas de i aciones coinciden sob e campos de ec o es.
23
Si
∈ F(M)
, en onces
e
Φs = ◦Φ−1
s
, de donde se sigue que
(e
ΦsLX )p= (e
ΦsX )p=XΦ−1
s(p)( ),
(LXe
Φs )p=X(e
Φs )p=Xp( ◦Φ−1
s)
=e
ΦsXΦ−1
s(p)( ◦Φ−1
s) = XΦ−1
s(p)( ◦Φ−1
s◦ ◦Φs) = XΦ−1
s(p)( )
de donde se sigue el esul ado.
El conjun o de ans o maciones inni esimales de un campo de enso es
K
iene una
es uc u a de álgeb a de Lie con el p oduc o co che e de campos de ec o es. Es o es
consecuencia inmedia a de la siguien e iden idad.
Lema 4.4.
[1, P oposi ion 3.4]
Pa a cualesquie a campos de ec o es
X
e
Y
se e ica
que
L[X,Y ]= [LX,LY].
Demos ación.
Sean
X
,
Y
campos de ec o es en
M
. Pa a cada unción
∈ F(M)
se iene
que
L[X,Y ]( )=[X, Y ]( ) = XY ( )−Y X( )
=X[LY( )] −Y[LX( )]
=LXLY( )− LYLX( )=[LX,LY]( ).
Además, si
Z
es o o campo de ec o es en
M
, en onces se sigue de la iden idad de Jacobi
que
L[X,Y ]Z= [[X, Y ]], Z] = −[[Y, Z], X]−[[Z, X], Y ]
= [X, [Y, Z]] −[Y, [X, Z]]
=LX[Y, Z]− LY[X, Z] = LYLXZ− LYLXZ= [LX,LY]Z .
Como la composición de de i aciones es una de i ación, se sigue que
[LX,LY]
es una
de i ación que coincide con
L[X,Y ]
ac uando sob e unciones y sob e campos de ec o es.
En i ud de la P oposición 3.1, se iene que ambas de i aciones coinciden, lo que p ueba
el esul ado.
Así pues, si
X
e
Y
son ans o maciones inni esimales de un campo de enso es
K
,
en onces
L[X,Y ]K= [LX,LY]K
=LX(LYK)− LY(LKK)=0,
po lo que
[X, Y ]
es asimismo una ans o mación inni esimal de
K
.
A con inuación analiza emos algunos ejemplos de ans o maciones inni esimales que
esul an de impo ancia en geome ía de Riemann, geome ía simpléc ica y en el es udio
de las es uc u as casi-complejas.
24
CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES INFINITESIMALES
4.1. T ans o maciones inni esimales de un enso mé ico:
campos de ec o es de Killing
Sea
(M, g)
una a iedad de Riemann. Una ans o mación inni esimal del enso mé-
ico
g
es un campo de ec o es
X
e icando
LXg= 0
, donde
(LXg)(Y, Z) = LXg(Y, Z)−g(LXY, Z)−g(Y, LXZ)
=Xg(Y, X)−g([X, Y ], Z)−g(Y, [X, Z]) ,
pa a cualesquie a campos de ec o es
X, Y
sob e
M
.
Las ans o maciones inni esimales de
g
eciben el nomb e de
campos de ec o es de
Killing
y, de acue do con la Obse ación 4.2 ep esen an las di ecciones en las que el enso
mé ico es cons an e. El álgeb a de los campos de ec o es de Killing sob e una a iedad
de Riemann es de dimensión ni a
≤1
2n(n+ 1)
, donde
n= dim M
. Además la dimensión
máxima en dicho álgeb a se alcanza an solo si
(M, g)
es localmen e isomé ica a una es e a,
el espacio euclídeo o el espacio hipe bólico [1], si bien es e es udio se escapa de los obje i os
del abajo.
4.2. T ans o maciones inni esimales de una es uc u a casi
compleja: campos de ec o es holomo os
Sea
(M, J)
una a iedad casi compleja. Una ans o mación inni esimal de la es uc-
u a casi compleja
J
es un campo de ec o es
X
al que
(LXJ)(Y) = LXJY −J(LXY)
,
i.e.,
[X, JY ] = J[X, Y ]
pa a odo campo de ec o es
Y
en
M
. Equi alen emen e el ujo local de
M
es á dado po
ans o maciones casi complejas, es deci
(Φ )∗J=J(Φ )∗
pa a cada
.
Es impo an e señala que si
X
es una ans o mación inni esimal de
J
, en onces el
campo de ec o es
JX
no es necesa iamen e una ans o mación inni esimal de
J
. De
hecho, eso sucede ía si
[JX, JY ] = J[JX, Y ]
pa a odo campo de ec o es
Y
en
M
.
La anulación del
enso de Nijenhuis
NJ(Y, Z) = [JY, JZ]−J[JY, Z]−J[Y, JZ]−[Y, Z]
4.3. CAMPOS DE VECTORES HAMILTONIANOS
25
es una condición sucien e pa a que el álgeb a de ans o maciones inni esimales sea
es able bajo la acción de la es uc u a
J
, que es compleja en es a si uación ( e [2]). En
al caso dicha álgeb a es compleja y posiblemen e de dimensión inni a.
4.3. T ans o maciones inni esimales de una es uc u a sim-
pléc ica: campos de ec o es Hamil onianos
Una ans o mación inni esimal de una a iedad simpléc ica
(M, Ω)
es un campo de
ec o es
X
en
M
al que
LXΩ=0
, donde
(LXΩ)(Y, Z) = XΩ(Y, Z)−Ω([X, Y ], Z)−Ω(Y, [X, Z]).
Teniendo en cuen a la elación en e la di e encial ex e io y la di e encial in e io dada
po
LXΩ = dιXΩ + ιXdΩ
( éase Teo ema 5.5), al se la
2
- o ma
Ω
ce ada, en onces
dιXΩ=0
. En consecuencia
ιXΩ
es una
1
- o ma ce ada y, en i ud del Lema de Poinca è
( e , po ejemplo [4, Theo em 11.11]) es localmen e exac a, po lo que exis e una unción
localmen e denida sob e
M
de o ma que
ιXΩ = d
.
In i iendo la discusión an e io , pa a cada
1
- o ma
θ
en
M
denimos un campo de
ec o es
X
po
ιXΩ = θ
y se iene en onces que si
dθ =dΩ = 0
, en onces
LXΩ =
0
. Po an o exis e una equi alencia en e el álgeb a de ans o maciones inni esimales
simpléc icas y el espacio de
1
- o mas ce adas, po lo que dicha álgeb a iene dimensión
inni a ( e , emplo [6]).
Un
sis ema Hamil oniano
en una a iedad simpléc ica
(M, Ω)
es un campo de ec o es
X
pa a el que la di e encial in e io
ιXΩ
es una
1
- o ma ce ada y, po an o, una ans o -
mación inni esimal simpléc ica. Un
Hamil oniano
del sis ema
X
es una unción
denida
sob e
M
al que
d =ιXΩ
.
32
CAPÍTULO 5. DERIVADA DE LIE Y FORMAS DIFERENCIALES
Pa a p oba
(ii)
, bas a obse a que
[LX, ιY] = LX◦ιY−ιY◦LX
es una an ide i ación
de g ado
−1
y que an o
[LX, ιY]
como
ι[X,Y ]
se anulan sob e
F(M)
. Po la P oposición 5.2
sólo es a e que ambas an ide i aciones ac úan igual sob e cada
1
- o ma
ω
. Así,
[LX, ιY]ω=LX◦ιY(ω)−ιY◦ LXω
=LXω(Y)−(LXω)(Y)
=Xω(Y)−Xω(Y) + ω([X, Y ]) = ω([X, Y ]) = ι[X,Y ]ω ,
de donde se sigue el esul ado.

Capí ulo 6
De i ación co a ian e
La de i ación de Lie se ob iene a pa i de la iden icación de espacios angen es po
medio del ujo de un campo de enso es. Exis e o o mecanismo de iden icación de espa-
cios angen es dado po el anspo e pa alelo asociado a una conexión. El obje i o de es e
capí ulo es p esen a es e segundo mé odo de de i ación y analiza la elación exis en e
en e ambos p ocesos. Segui emos mayo i a iamen e el análisis desa ollado en [5].
6.1. De i adas co a ian es
6.1.1. De i ada co a ian e de campos de ec o es
Del mismo modo que hicimos con la de i ada de Lie, comenzamos in oduciendo la
de i ada co a ian e sob e campos de ec o es pa a ex ende después es a denición a
1
-
o mas y, po ende, a campos de enso es a bi a ios.
Dada una a iedad di e enciable
M
, una
de i ada co a ian e
o
conexión de Koszul
en
M
es un ope ado
D:X(M)×X(M)−→ X(M)
(X, Y )7−→ DXY
e icado las siguien es p opiedades:
1.
D
es
R
-lineal en la segunda componen e:
DX(aY1+bY2) = aDXY1+bDXY2
,
2.
D
sa is ace la egla de Leibniz:
DX( Y ) = X( )Y+ DXY
,
3.
DXY
es enso ial en la p ime a componen e:
Dh1DX1+h2X2Y=h1DX1Y+h2DX2Y
,
pa a cualesquie a cons an es
a, b ∈R
y unciones
, h1, h2∈ F(M)
.
33
34
CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN COVARIANTE
Si
X=Xi∂xi
e
Y=Yj∂xj
son las exp esiones locales en coo denadas
(U,(x1, . . . , xn))
de los campos de ec o es
X
e
Y
, la exp esión en coo denadas del campo de ec o es
DXY
iene dada po
DXY=XiD∂xiYj∂xj=Xi∂Y j
∂xi∂xj+XiYjD∂xi∂xj
=Xi∂Y j
∂xi∂xj+XiYjΓ
ij∂x
=Xi∂Y k
∂xi+XiYjΓk
ij∂xk
donde las unciones
Γk
ij :U ⊂ M→R
de e minadas po
D∂xi∂xj= Γk
ij∂xk
se denominan
símbolos de Ch is oel
de la conexión
D
.
Obse ación
6.1
.
Se sigue de la exp esión an e io que, jado un pun o
p∈M
, en onces el
alo
(DXY)p
an solo depende del alo en el pun o,
Xp
, del campo de ec o es
X
y de
los alo es del campo de ec o es
Y
a lo la go de la cu a in eg al de
X
que pasa po
p
.
En consecuencia, es posible ex ende la denición de la de i ada co a ian e a un ope-
ado
D:TpM×X(M)−→ TpM
( , Y )7→ D Y
siendo
D Y= (DXY)p
pa a cualquie campo de ec o es
X
en
M
que ex ienda al ec o
, es o es,
Xp=
.
6.1.2. De i ada co a ian e de campos de enso es
Pa a deni la de i ada co a ian e sob e campos de enso es, nos in e esa ex ende la
denición como una de i ación sob e
T(TM)
. Pa a ello dicha de i ada co a ian e
D
debe á
e ica las es p opiedades siguien es:
1.
D
es
R
-lineal,
2.
D(K⊗S) = D(K)⊗S+D⊗D(S)
( egla de Leibniz),
3.
D
conmu a con las con acciones.
Empezamos ob eniendo la exp esión de la de i ada co a ian e pa a
1
- o mas. Sea
ω∈
Λ1(V)
, sabemos que, dado un campo de ec o es
X
, necesa iamen e
DXω∈Λ1(V)
. Nos
in e esa sabe como ac úa
DXω
sob e cualquie campo de ec o es
Y
. Pa a ello con uimos
el enso de ipo
(1,1)
dado po
K=Y⊗ω
y conside amos
C
la única con acción posible
sob e
K
. Po la e ce a condición, se debe cumpli que
DX(CK) = C(DXK)
. Así,
C(DXK) = C(DX(Y⊗ω)) = C(DXY⊗ω+Y ωDXω)
6.2. TRANSPORTE PARALELO
35
donde en la úl ima igualdad es amos usado la egla de Leibniz. Po an o, po la conmu-
a i idad con las con acciones se iene
DX(CK) = C(DXY⊗ω+Y⊗DXω) = ω(DXY)+(DXω)Y.
Deducimos de es e modo que dado un campo de ec o es
X
y una de i ada co a ian e
D
,
es a ac úa como de i ación en el espacio de
1
- o mas según la exp esión
(DXω)(Y) = DX(CK)−ω(DXY)
=X(ω(Y)) −ω(DXY),
pa a cualquie campo de ec o es
Y∈X(M)
.
De modo gene al, si enemos
K
un campo de enso es de ipo
( , s)
sob e
M
,
K:X(M)× · · · × X(M)→ F(M)
(X1, . . . , Xs, ω1, . . . , ω )7→ K(X1, . . . , Xs, ω1, . . . , ω )
en onces la de i ada co a ian e
DXK
es ambién un campo de enso es de ipo
( , s)
ac uando del siguien e modo
(DXK)(X1, . . . , Xs, ω1, . . . , ω ) = X[K(X1, . . . , Xs, ω1, . . . , ω )]
−
s
X
i=1
K(X1, . . . , DXXi, . . . , Xs, ω1, . . . , ω )
−
X
j=1
K(X1, . . . , Xs, ω1, . . . , DXωj, . . . , ω ),
pa a cualesquie a campos de ec o es
X1, . . . , Xs
y cualesquie a
1
- o mas
ω1, . . . , ω
so-
b e
M
.
6.2. T anspo e pa alelo
A n de in oduci el anspo e pa alelo asociado a una de i ada co a ian e se á ne-
cesa io p e iamen e in oduci la noción de campo de ec o es a lo la go de una cu a y
ex ende la de i ada co a ian e a dichos campos de ec o es.
6.2.1. Campos de ec o es a lo la go de una cu a
Hemos abajado has a aho a con campos de ec o es sob e una a iedad
M
o, en
su de ec o, sob e algún en o no local
(U,(x1, . . . , xn))
. No obs an e a n de pode da
signicado a la elocidad de una cu a y su acele ación, nos in e esa á ambién el es udio
de campos de ec o es a lo la go de una cu a dada sob e
M
.
36
CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN COVARIANTE
Sea
γ:I⊂R→M
una cu a di e enciable sob e
M
. Un
campo de ec o es a lo la go
de
γ
es una aplicación di e enciable
V:I⊂R→TM
de o ma que
V( )∈Tγ( )M
pa a
cualquie
∈I
. Deno amos po
X
los campos de ec o es a lo la go de la cu a
γ
. Así
como has a aho a los campos de ec o es es aban denidos sob e la a iedad, un campo
de ec o es a lo la go de una cu a es á denido sob e el in e alo de denición de dicha
cu a. Podemos esc ibi
V( )
en é minos de la base del espacio angen e a
M
sob e los
pun os de la cu a
γ( )
:
V( ) = Vi( )∂xi(γ( )).
De es e modo la di e enciabilidad de
V( )
equi ale a la di e enciabilidad de las componen es
Vi( )
. Dado un campo de ec o es a lo la go de una cu a
V( )
, su ge de mane a na u al
p egun a nos si es posible ex ende
V( )
a un campo de ec o es sob e
M
. Di emos que
V( )
es
ex ensible
si exis e un campo de ec o es sob e
M
,
e
V
, e icando
V( ) = e
Vγ( )
pa a
odo
∈I
.
Obse ación
6.2
.
Dado un campo de ec o es
X
sob e
M
, la es icción del campo a una
cu a
γ
,
X|γ( )
, es un campo de ec o es a lo la go de
γ
i ialmen e ex ensible. No obs an e
no odo campo de ec o es a lo la go de una cu a se puede ex ende a la a iedad.
La elocidad de la cu a
γ
,
˙γ: ∈I⊂R7→ ˙γ( )∈Tγ( )M
, es un campo de ec o es
a lo la go de
γ
que, en gene al, no es ex ensible dado que la cu a
γ
puede p esen a
au o-in e secciones.
6.2.2. De i ación de campos de ec o es a lo la go de una cu a inducida
po una conexión
El obje i o de es a sección es p oba el siguien e esul ado que nos dice como dada
una de i ación co a ian e
D
sob e
M
y una cu a
γ
, la de i ada co a ian e induce una
de i ación sob e
X
y, con es o, pode deni cuando un campo de ec o es es pa alelo a
lo la go de
γ
.
Teo ema 6.3.
Sea
D
una de i ada co a ian e sob e
M
y
γ:I⊂R→M
una cu a
en
M
. En onces
D
de e mina un único ope ado
D :X →X
e icando las siguien es
condiciones:
1.
D
es
R
-lineal, es o es,
D (aV +bW) = aD V+bD W
pa a cualesquie a
a, b ∈R
,
2.
D
e ica la egla de Leibniz
D ( ( )V( )) = d
d ( )V( )+ ( )D V( )
pa a cualquie a
unción
∈ F(I)
,
3. Si
V
es la es icción a
γ
de un campo de ec o es
Y∈X(M)
, en onces se cumple
D V=D˙γ( )Y.
6.2. TRANSPORTE PARALELO
37
Demos ación.
Conside emos un abie o coo denado
(U,(x1, . . . , xn))
de o ma que la
cu a
γ
se exp esa en coo denadas locales como
γ( )=(γ1( ), . . . , γn( ))
. Así la elo-
cidad de
γ
es el campo de ec o es a lo la go de
γ
dado en coo denadas locales po
˙
γ( ) = (˙γ1( ),..., ˙γn( )) = ˙γ`( )∂x`(γ( ))
.
Sea
V( ) = Vi( )∂xi(γ( ))
un campo de ec o es a lo la go de
γ
y supongamos que
exis e un ope ado
D :X →X
e icando las condiciones del eo ema. En onces se iene
que
D V=D (Vk( )∂xk) = dV k
d ( )∂xk+VjD ∂xj
=dV k
d ( )∂xk+VjD˙γ( )∂xj=dV k
d ( )∂xk+Vj(˙γiD∂xi∂xj)
=dV k
d ( )∂xk+ ˙γiVjΓk
ij∂xk=dV k
d ( ) + ˙γiVjΓk
ij∂xk.
Como emos
D
es á en e amen e de e minado po
˙γ
, las componen es
Vj
de campo de
ec o es
V∈X
y los símbolos de Ch is oel
Γk
ij
, de donde deducimos la unicidad.
La exis encia se deduce del hecho de que podemos cub i la cu a
γ
con ca as coo de-
nadas y deni
D V
en cada ca a del mismo modo, y po la unicidad p obada se ga an iza
que dicho ope ado es á denido sin ambigüedad.
Denición 6.4.
Sea
M
una a iedad con una de i ada co a ian e
D
. Un campo de ec o es
V∈X
es
pa alelo a lo la go de
γ
si
D V= 0
.
La demos ación del Teo ema 6.3 nos apo a la exp esión en coo denadas de
D V
, con
la que podemos eesc ibi la condición
D V= 0
como
0 = D V=ndV k
d ( ) + ˙γiVjΓk
ijo∂xk
y po an o es equi alen e al sis ema de ecuaciones
dV k
d ( ) = −˙γi( )Vj( ) Γk
ij(γ( )) ,
pa a cada
k= 1, . . . , n
. De es a o ma enemos un sis ema de
n
ecuaciones de p ime
o den, lineal y homogéneo; po lo que es á asegu ada la exis encia y unicidad de soluciones
denidas en odo el in e alo
I
pa a el p oblema de alo inicial dado po cie a condición
Vi( 0) = ai
pa a cada
i= 1, . . . , n
. Además, el conjun o de es as soluciones posee una
es uc u a de espacio ec o ial. Como consecuencia se iene el siguien e esul ado
Teo ema 6.5.
Dada una cu a
γ:I⊂R→M
,
0∈I
y un ec o
0∈Tγ( 0)M
, exis e
un único campo de ec o es pa alelo
V( )
a lo la go de
γ
e icando
V( 0) = 0
.
Dicho campo
V( )
es lo que llama emos
desplazamien o pa alelo
de
0∈Tγ( 0)M
a lo
la go de
γ
.

38
CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN COVARIANTE
Dados
0, 1∈I
el desplazamien o pa alelo nos apo a una iden icación en e los
espacios ec o iales
Tγ( 0)M
y
Tγ( 1)M
del siguien e modo:
γP 1
0:Tγ( 0)M→Tγ( 1)M
7→ V( 1)
donde
V( )
es el único campo de ec o es pa alelo a lo la go de
γ
e icando la condición
inicial
V( 0) =
. A la aplicación
γP 1
0
la llama emos
anspo e pa alelo
a lo la go de
γ
desde
γ( 0)
has a
γ( 1)
.
P oposición 6.6.
La aplicación
γP 1
0:Tγ( 0)M→Tγ( 1)M
es un isomo smo de espacios
ec o iales.
Demos ación.
Sean
, w ∈Tγ( 0)M
y deno emos po
V( )
y
W( )
los campos de ec o es
pa alelos a lo la go de
γ( )
e icando las condiciones iniciales
V( 0) =
,
W( 0) = w
. Po
an o el desplazamien o pa alelo
γP 1
0
e ica
γP 1
0( ) = V( 1),γP 1
0(w) = W( 1).
Pa a cada
λ, µ ∈R
, el campo de ec o es a lo la go de
γ( )
dado po
λV ( ) + µW( )
sigue
siendo pa alelo (ya que
D (λV +µW) = λD V+µD W= 0
) y po an o el desplazamien o
pa alelo del ec o
λ +µw
es á dado po
γP 1
0(λ +µw) = λV ( 1) + µW( 1) = λγP 1
0( ) + µγP 1
0(w),
lo que mues a que
γP 1
0
es lineal.
Veamos aho a que
γP 1
0
es inyec i a, de donde se segui á que es un isomo smo de
espacios ec o iales. Sea
∈Tγ( 0)M
de o ma que
γP 1
0( ) = ~
0
. Como el desplazamien o
pa alelo del ec o
~
0
es jus amen e
~
0
pa a odo
∈I
, si
~
0 =γP 1
0( )
, po la unicidad del
desplazamien o pa alelo necesa iamen e
=~
0
. Al se
γP 1
0
una aplicación lineal e inyec i a
en e espacios ec o iales de igual dimensión es un isomo smo.
6.2.3. Exp esión de la de i ada co a ian e en é minos del anspo e
pa alelo
Ve emos aho a un esul ado que elaciona la exp esión de la de i ada co a ian e con el
anspo e pa alelo. Además, en la demos ación del mismo se mues a ambién que dicha
de i ada co a ian e es la de i ación (usual) de una cie a unción eal cons uida a pa i
de la iden icación de espacios angen es po medio del anspo e pa alelo.
6.2. TRANSPORTE PARALELO
39
P oposición 6.7.
Sean
X
e
Y
campos de ec o es sob e
M
y
γ:I⊂R→M
cu a
in eg al de
X
e icando
γ(0) = p
. Se iene en onces que
(DXY)p= l´ım
→0
1
[(γP
0)−1(Yγ( ))−Yp].
Demos ación.
Sea
{e1, . . . , en}
una base de
TpM
y deno emos po
{E1( ), . . . , En( )}
al
conjun o o mado po el desplazado pa alelo de los ec o es
{ei}
. Dicho conjun o o ma,
pa a cada alo de
∈I
, una base de
Tγ( )M
en i ud de la P oposición 6.6. Nó ese
que pa a cada
i∈ {1, . . . , n}
,
Ei( )
es el único campo de ec o es pa alelo a lo la go de
γ
e icando
Ei(0) = ei
.
Esc ibiendo el campo de ec o es
Yγ( )
a lo la go de
γ( )
en é minos de la base
{E1( ), . . . , En( )}
como
Yγ( )=Pn
k=1 k( )Ek( )
en onces
(γP
0)−1(Yγ( )) = (γP
0)−1(
n
X
k=1
k( )Ek( )) =
n
X
k=1
(γP
0)−1( k( )Ek( ))
=
n
X
k=1
k( )(γP
0)−1(Ek( )) =
n
X
k=1
k( )ek.
U ilizando la iden icación de espacios ec o iales dada po el desplazamien o pa alelo
(γP
0)−1:Tγ( )M→TpM
, cons uimos una cu a de ec o es angen es en
TpM
,
e
Y( )
,
dada po
e
Y: ∈I⊂R7−→ e
Y( ) := (γP
0)−1(Yγ( ))∈TpM .
En onces la de i ada en iempo
= 0
de la cu a
e
Y( )
es á dada po
l´ım
→0
1
[(γP
0)−1(Yγ( ))−Yp] = d
d  =0 e
Y( ) = d
d  =0(γP
0)−1(Yγ( ))
=d
d  =0
n
X
k=1
k( )ek=
n
X
k=1
(d
d  =0 k( )ek+ k( )d
d  =0ek)
=
n
X
k=1
d
d  =0 k( )ek=
n
X
k=1
0
k(0)ek.
Po o o lado, dado que
Yγ( )
es un campo de ec o es a lo la go de
γ( )
y
γ( )
es cu a
in eg al de
X
, se e ica
D Y =0 =D˙γY =0 =D˙γ(0)Y=DX(p)Y= (DxY)p,
40
CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN COVARIANTE
y po an o el alo en el pun o
p∈M
de la de i ada co a ian e
DXY
e ica
D Y=D (
n
X
k=1
k( )Ek( )) =
n
X
k=1
D ( k( )Ek( ))
=
n
X
k=1
(d
d k( )Ek( ) + k( )D Ek( ))
=
n
X
k=1
d
d k( )Ek( ),
dado que
Ek( )
es un campo pa alelo a lo la go de
γ
. Po an o
D Y =0 =
n
X
k=1
0
k(0)Ek(0) =
n
X
k=1
0
k(0)ek,
de donde se sigue que
D Y =0 = l´ım →01
[(γP
0)−1(Yγ( ))−Yp] = e
Y0(0)
.
6.3. To sión de una conexión: elación con la de i ada de Lie
Hemos is o pues dos p ocesos di e en es, pe o análogos en su cons ucción, pa a de-
i a obje os sob e una a iedad. En el que ocupa la a ención cen al de es e abajo, la
de i ada de Lie, hemos iden icado espacios ec o iales angen es en di e en es pun os de
la a iedad median e el ujo de un campo de ec o es. En el o o p oceso de e minado
po una de i ada co a ian e (o conexión), iden icamos los espacios angen es median e el
anspo e pa alelo asociado a dicha de i ada co a ian e.
Cabe aho a p egun a se pues, si exis e alguna elación en e ambas cons ucciones. Los
dos ope ado es coinciden en su ac uación sob e el espacio de unciones
F(M)
, pues ya
imos en la P oposición 3.5 que
LX( ) = X( )
pa a un campo de ec o es
X
dado y
cualquie
∈ F(M)
; y en el caso de la de i ada co a ian e se iene
(DX )p=d
d  =0( ◦γ)( ) = Xp( )
pa a odo pun o
p∈M
y oda unción
∈ F(M)
, siendo
γ
una cu a in eg al de
X
pasando po
p∈M
.
No ocu e lo mismo al conside a la ac uación de ambos p ocesos de de i ación sob e
el espacio de campos de ec o es, donde la elación iene de e minada en é minos de la
o sión de la conexión, que in oducimos a con inuación.
Denición 6.8.
Llamamos
o sión de una de i ada co a ian e (o conexión)
D
al campo
de enso es
T(X, Y ) = DXY−DYX−[X, Y ] = DXY−DYX− LXY
.
6.3. TORSIÓN DE UNA CONEXIÓN: RELACIÓN CON LA DERIVADA DE LIE
41
Obse ación
6.9
.
La o sión de una conexión
D
es un campo de enso es de ipo
(1,2)
pues
es una aplicación
T:X(M)×X(M)→X(M)
bilineal sob e
F(M)
pues pa a
X, Y, Z ∈
X(M)
y
, g ∈ F(M)
T( X +gZ, Y ) = D X+gZY−DY( X +gZ)−[ X +gZ, Y ].
U ilizando las p opiedades de la de i ada co a ian e y del p oduc o co che e, se iene que
T( X +hZ, Y ) = DXY+hDZY−Y( )X− DYX−Y(h)Z−hDYZ
−[ X +hZ, Y ]
= T(X, Y ) + hT (X, Y ),
lo que p ueba la enso ialidad de la o sión en su p ime a gumen o. Pa a mos a la
enso ialidad del segundo a gumen o de la o sión, bas a obse a que
T(Y, X) = DYX−DXY−[Y, X] = −(DXY−DYX)−(−[X, Y ]) = −T(X, Y ),
de donde se sigue que la o sión es an isimé ica y po an o ambién enso ial en el segundo
a gumen o.
Di emos que una de i ada co a ian e
D
es
simé ica
(o lib e de o sión) si
T(X, Y )=0
.
P oposición 6.10.
Sea
D
una de i ada co a ian e en una a iedad
M
. En onces las
siguien es condiciones son equi alen es
1.
D
es simé ica, es o es
T(X, Y )=0
.
2. La de i ada co a ian e ac úa de o ma simé ica sob e campos de ec o es coo de-
nados. Es o es, pa a cualesquie a coo denadas locales
(U,(x1, . . . , xn))
se iene que
D∂xi∂xj=D∂xj∂xi
.
3. Los símbolos de Ch is oel asociados a la de i ada co a ian e e ican
Γk
ij = Γk
ji
.
Demos ación.
Supongamos que
D
es simé ica. Es conocido que el p oduc o co che e de
campos coo denados es nulo, es o es,
[∂xi, ∂xj]
pa a odo
i, j = 1, . . . , n
. De es a o ma,
dado que la o sión es nula,
T(∂xi, ∂xj) = D∂xi∂xj−D∂xj∂xi−[∂xi, ∂xj]
=D∂xi∂xj−D∂xj∂xi= 0
pa a cualesquie a
i, j
, po lo que
D∂xi∂xj=D∂xj∂xi
.
Supongamos aho a que
D∂xi∂xj=D∂xj∂xi
y p obemos
Γk
ij = Γk
ji
. Reco damos que
D∂xi∂xj= Γk
ji∂xk
, de es e modo
0 = D∂xi∂xj−D∂xj∂xi= (Γk
ji −Γk
ji)∂xk
48
CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN COVARIANTE
x1
x2
α( ) = (cos , sin )
De es e modo la elocidad y acele ación de
α( )
ienen dadas po :
˙α( )=(−sin , cos ) = −sin ∂x1+ cos ∂x2
¨α( ) = (−cos , −sin ) = −cos ∂x1−sin ∂x2
Si aho a omamos coo denadas pola es,
(U,(ρ, θ))
en el abie o
U
co espondien e al
plano menos el semieje nega i o OX incluyendo al o igen,
pa ame izamos la cu a (que desc ibe los pun-
os a dis ancia uno del o igen) como
β( ) = (1, )
y así:
˙
β( ) = (0,1) = ∂θ
¨
β( ) = (0,0)
ρ
θ
β( ) = (1, )
Aho a bien, el esul ado an e io no es cohe en e, pues calculando la acele ación con
una cie a pa ame ización en un sis ema de coo denadas, la cu a siemp e posee acele-
ación; y pa ame izada en coo denadas di e en es, la misma cu a ca ece de acele ación
en cualquie ins an e. Es o mues a que el cálculo de la acele ación simplemen e como
de i ada segunda de la cu a no es un p oceso cohe en e en gene al.
En lo que sigue de alla emos el cálculo de la acele ación de la cu a
β( )
(o equi alen e-
men e la cu a
α( )
exp esada en coo denadas pola es). Pa a ello en p ime luga hemos de
de e mina la exp esión de la conexión de Le i Ci i a en coo denadas pola es calculando
los co espondien es símbolos de Ch is oel.
El cambio de coo denadas
F: (R2,(ρ, θ)) −→ (R2,(x1, x2))
(ρ, θ)7−→ (ρcos θ, ρ sin θ),
induce una mé ica
F∗g
, dada po
(F∗g)(∂α, ∂β) = g(F∗∂α, F∗∂β)
, que no es o a cosa más
que la mé ica Euclídea exp esada en coo denadas pola es. Un cálculo inmedia o mues a

6.4. MÉTRICAS DE RIEMANN: CONEXIÓN DE LEVI CIVITA
49
que
F∗∂ρ=dF
d ( , θ) =ρ= cos θ∂x1+ sin θ∂x2,
F∗∂θ=dF
d (ρ, ) =θ=−ρsin θ∂x1+ρcos θ∂x2.
Así, la exp esión de la mé ica Euclídea en coo denadas pola es es á dada po
(F∗g)(∂ρ, ∂ρ) = g(F∗∂ρ, F∗∂ρ) = cos2θ+ sin2θ= 1
(F∗g)(∂ρ, ∂θ) = g(F∗∂ρ, F∗∂θ)=0
(F∗g)(∂θ, ∂θ) = g(F∗∂θ, F∗∂θ) = ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=ρ2.
Po an o la exp esión del enso mé ico esul a
g0=dρ ⊗dρ +ρ2dθ ⊗dθ
, con lo que
en o ma ma icial enemos
(gαβ) = 1 0
0ρ2!,(gαβ) = 1 0
0ρ−2!.
Así los símbolos de Ch is oel ienen dados po :
Γρ
ρρ =1
2gρρ{∂ρgρρ +∂ρgρρ −∂ρgρρ}= 0
Γθ
ρρ =1
2gθθ{∂ρgθρ +∂ρgθρ −∂θgρρ}= 0
Γρ
ρθ =1
2gρρ{∂ρgθρ +∂θgρρ −∂ρgρθ}= 0
Γθ
ρθ =1
2gθθ{∂ρgθθ +∂θgρθ −∂θgρθ}=1
ρ
Γρ
θθ =1
2gρρ{∂θgθρ +∂θgθρ −∂ρgθθ}=−ρ
Γθ
θθ =1
2gθθ{∂θgθθ +∂θgθθ −∂θgθθ}= 0.
Ya es amos en condiciones de calcula la acele ación de
β
espec o a la conexión de
Le i-Ci i a. Como
˙
β( ) = (0,1) = ∂θ
:
∇ ˙
β( ) = {d
d ˙
βk( ) + ˙
βi( )˙
βj( )Γk
ij(β( ))}∂xk(β( ))
= Γρ
θθ(1, )∂ρ
=−∂ρ(1, ).
de donde se sigue que la acele ación no se anula pa a ningún ins an e
.
Pa a e mina , comp oba emos que la elocidad y acele ación de la cu a en coo de-
nadas ca esianas y pola es se co esponden median e el cambio de coo denadas, po lo
50
CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN COVARIANTE
que ambos cálculos p opo cionan esul ados equi alen es. Como la cu a
β( )=(F−1◦
α)( )
, enemos que
˙
β( )=(F−1◦α)0( ) = d(F−1)α( )(α0( )) = (dF(F−1(α( ))))−1(α0( )) =
(dFβ( ))−1(α0( ))
.
Como ya calculamos, la di e encial del cambio de coo denadas iene dada po
(dF) = cos θ−ρsin θ
sin θ ρ cos θ!,(dF)β( )= cos −sin
sin cos !,
y po an o su in e sa
(dF)−1=1
ρ ρcos θ ρ sin θ
−sin θcos θ!,(dFβ( ))−1= cos sin
−sin cos !.
Así
(dFβ( ))−1(α0( ))) = cos sin
−sin cos ! −sin
cos != (0,1) = ∂θ(β( )) = ˙
β( ),
lo que se co esponde con el cálculo que ya habíamos ealizado. Además, la acele ación
e ica
∇ ˙
β= (dFβ( ))−1∇ ˙α
. De hecho,
(dFβ( ))−1(∇ ˙α) = cos sin
−sin cos ! −cos
−sin != (−1,0) = −∂ρ(β( )) = ∇ ˙
β.
Los cálculos an e io es mues an que, a la ho a de calcula la acele ación de una cu a,
es necesa io conside a la de i ada co a ian e incluso pa a cu as denidas en el espacio
Euclídeo siemp e y cuando abajemos con pa ame izaciones dis in as de las coo denadas
ca esianas.
Bibliog a ía
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51