Derivadas de Lie: Transformaciones infinitesimales

Traballo Fin de Grao Derivadas de Lie: Transformaciones innitesimales José Miguel Balado Alves 2019/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Derivadas de Lie: Transformaciones innitesimales José Miguel Balado Alves Junio/2020 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Trabajo propuesto Área de Coñecemento: Geometría y Topología Título: Derivadas de Lie: Transformaciones innitesimales Breve descrición do contido Introducir a derivada de Lie tanto de campos de vectores como de campos de tensores sobre unha variedade diferenciable. No caso de variedades dotadas dunha estrutura adicional (métrica de Riemann, estrutura case complexa, etc.) obter as expresións locais das súas transformacións innitesimais e estudar algunhas propiedades das mesmas. Recomendacións Ter cursado ou estar cursando a materia Variedades Diferenciables correspondente ao cuarto curso do Grao en Matemáticas. Outras observacións iii Índice general Resumen viii Introducción xi 1. Introducción 1 1.1. Nocionesbásicas ................................. 1 1.2. Campos de vectores y ujos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Camposdetensores ............................... 7 1.3.1. 1 -formas.................................. 7 1.3.2. Campos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3. Contracciones............................... 9 1.3.4. Ejemplos de campos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Derivadas de Lie de campos de vectores 11 3. Derivada de Lie de campos de tensores 15 3.1. Caracterización de la derivada de Lie como derivación . . . . . . . . . . . . 19 4. Transformaciones innitesimales 21 4.1. Campos de vectores de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2. Campos de vectores holomorfos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3. Campos de vectores Hamiltonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5. Derivada de Lie y formas diferenciales 27 5.1. Derivaciones en el álgebra de formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . 27 6. Derivación covariante 33 6.1. Derivadascovariantes............................... 33 6.1.1. Derivada covariante de campos de vectores . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.1.2. Derivada covariante de campos de tensores . . . . . . . . . . . . . . . 34 v vi ÍNDICE GENERAL 6.2. Transporteparalelo................................ 35 6.2.1. Campos de vectores a lo largo de una curva . . . . . . . . . . . . . . 35 6.2.2. Derivación de campos de vectores a lo largo de una curva inducida porunaconexión............................. 36 6.2.3. Expresión de la derivada covariante en términos del transporte paralelo 38 6.3. Torsión de una conexión: relación con la derivada de Lie . . . . . . . . . . . 40 6.4. Métricas de Riemann: conexión de Levi Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.4.1. La conexión de Levi Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.4.2. Aceleración de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 xiv INTRODUCCIÓN Capítulo 1 Introducción En este capítulo introduciremos la notación básica que será necesaria para el desarrollo de la memoria. Haremos especial énfasis en la noción de campo de vectores y su relación con los ujos locales. Además introduciremos los campos de tensores, con especial atención a las 1 -formas y los campos de tensores de tipo (1,1) y (0,2) , donde se encuadran las estructuras casi complejas y las métricas de Riemann. 1.1. Nociones básicas Una variedad topológica de dimensión m es un espacio Hausdor y localmente euclidiano de dimensión m . Diremos que la dupla (U, ϕ) es una carta sobre la variedad diferenciable M si ϕ:U ⊂ M→e U ⊂ Rn es un homeomorsmo, donde U y e U son abiertos. Dos cartas (U, ϕ) y (V, ψ) sobre M son compatibles si, o bien U ∩ V =∅ , o bien los cambios de cartas ψ◦ϕ−1 y ϕ◦ψ−1 son aplicaciones de clase innito entre abiertos de Rn . Llamamos atlas sobre M a una familia de cartas A={(Uα, ϕα)}α∈Λ sobre M veri- cando: 1. M=Sα∈ΛUα , 2. Si α, β ∈Λ , las cartas (Uα, ϕα) y (Uβ, ϕβ) son compatibles. Un atlas A es atlas completo o maximal si no está contenido en ningún otro atlas sobre M . Una estructura diferenciable no es más que una clase de equivalencia [A]∞ formada por todos los atlas compatibles con A . De esta manera, una variedad diferenciable de dimensión m es un par (M, [A]∞) donde M es una variedad topológica de dimensión m y [A]∞ una estructura diferenciable sobre M . 1 2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Una derivación es una función en un álgebra que generaliza el comportamiento del operador de derivación usual. De modo más preciso, dada un álgebra A sobre un cuerpo K , una K -derivación es una aplicación K -lineal D:A→A que verica la regla de Leibniz D(ab) = D(a)b+aD(b) . En especial nos interesará el espacio de funciones diferenciables F(M) sobre una variedad M visto como un R -álgebra con las operaciones de funciones inducidas por las correspondientes operaciones en R . Fijado un punto p∈M , un vector tangente a M en el punto p es una aplicación v:F(M)→R vericando (i) v es R -lineal, esto es: v(λf +µg) = λv(f) + µv(g), (ii) v verica la regla de Leibniz: v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g) para cualesquiera f, g ∈ F(M) y λ, µ ∈R . Geométricamente, podemos ver un vector tangente como una clase de equivalencia formada por todas las curvas diferenciables c: (−, )→M que pasan por p en t= 0 y tienen el mismo vector velocidad ∂ ∂t |t=0 c . Llamamos espacio vectorial tangente a M en p al espacio vectorial TpM sobre R formado por todos los vectores tangentes a M en p dotado de las siguientes operaciones: (v+w)(f) := v(f) + w(g),(λv)(f) := λv(f), para cualesquiera v,w∈TpM y escalares λ∈R . Sea (U,(x1, . . . , xn)) una carta local en la variedad M , donde (x1, . . . , xn) = ϕ no es más que un sistema de coordenadas. En cada punto p∈ U los operadores de derivación parcial ∂ ∂x`|p determinan vectores tangentes linealmente independientes que generan todo TpM , por lo que constituyen una base de dicho espacio vectorial. La unión disjunta de todos los espacios tangentes en todos los puntos de una variedad dada M constituye el brado tangente TM =Sp∈MTpM . El brado tangente tiene una estructura natural de variedad diferenciable de dimensión dim TM = 2n . Sea (U,(x1, . . . , xn)) una carta local en M . Entonces cada vector tangente v∈TpM se expresa como v=x¯ 1∂ ∂x1|p+· · · +x¯n∂ ∂xn|p con lo que cada elemento ξ∈TM , ξ= (p, v) con v∈TpM , se parametriza con coordenadas (x1, . . . , xn, x¯ 1, . . . , x¯n) . La proyección natural π:TM →M dada por π(ξ) = π(p, v) = p dene una submersión de TM sobre M . Sea f∈ F(M) una función diferenciable. Denimos la diferencial de f en el punto p∈M como la aplicación lineal dfp:TpM→R dada por dfp(v) := v(f) para cada vector tangente v∈TpM . Es inmediato comprobar que dfp es una aplicación lineal (y por tanto un elemento del espacio vectorial dual T∗ pM ). 1.2. CAMPOS DE VECTORES Y FLUJOS LOCALES 3 El espacio dual del espacio vectorial tangente, T∗ pM , recibe el nombre de espacio cotangente . Cada parametrización local (U,(x1, . . . , xn)) induce una base de T∗ pM dada por las diferenciales de las funciones coordenadas {dx1 p, . . . , dxn p} . La unión disjunta de todos los espacios cotangentes en todos los puntos de una variedad dada M constituye el brado cotangente T∗M=Sp∈MT∗ pM . El brado cotangente tiene una estructura natural de variedad diferenciable de dimensión dim TM = 2n . Sea (U,(x1, . . . , xn)) una carta local en M . Entonces cada covector v∗∈T∗ pM se expresa como v∗=x10dx1 p+· · · +xn0dxn p con lo que cada elemento ω∈T∗M , ω= (p, v∗) con v∗∈T∗ pM , se parametriza con coordenadas (x1, . . . , xn, x10, . . . , xn0) . La proyección natural π:T∗M→M dada por π(ω) = π(p, v∗) = p dene una submersión de T∗M sobre M . Sean M1 y M2 variedades diferenciables y F:M1→M2 una aplicación diferenciable. Entonces para cada función diferenciable f∈ F(M2) , la composición f◦F determina una función diferenciable f◦F∈ F(M1) . En cada punto p∈M1 se dene la diferencial de F en el punto p (o aplicación lineal tangente en p ) como la aplicación dFp:TpM1→TF(p)M2 determinada por dFp(v)(f) := v(f◦F) . Se sigue inmediatamente de la denición que la diferencial dFp es una aplicación lineal. 1.2. Campos de vectores y ujos locales Existen diversas formas equivalentes de introducir los campos de vectores en una variedad. Denición 1.1. Un campo de vectores sobre una variedad diferenciable es una sección del brado tangente X:p∈M7→ Xp∈TpM, donde la diferencibilidad del campo de vectores se expresará en términos de la diferenciabilidad de la sección X . Alternativamente, un campo de vectores diferenciable puede ser denido en términos de derivaciones, de modo análogo a como se introdujeron los vectores tangentes. Así, un campo de vectores diferenciable es una derivación D del R -álgebra de funciones diferenciables F(M) . Teorema 1.2. [3, Teorema 2.72] Si X es un campo de vectores diferenciable sobre M entonces la aplicación DX:F(M)→ F(M) dada por DX(f) := df(X) es una derivación en F(M) . Recíprocamente, para cada derivación D en F(M) existe un único campo de vectores diferenciable X sobre M tal que DX=D . 4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Sea (U,(x1, . . . , xn)) una carta local en M . Entonces ∂ ∂x`:p∈ U 7→ ∂ ∂x`|p dene un campo de vectores local sobre el abierto U de forma que todo campo de vectores X en M se expresa localmente en el abierto U como X=X`∂ ∂x` , donde X` son funciones diferenciables denidas en el abierto U . Producto de campos de vectores Interpretando los campos de vectores como derivaciones en el álgebra de funciones F(M) , el iterado de dos campos de vectores no es un campo de vectores dado que XY no es una derivación puesto que XY (fh) = X{Y(f)h+fY (h)}=XY (f)h+Y(f)X(h) + X(f)Y(h) + fXY (h). Sin embargo el anti-simetrizado [X, Y ] := XY −Y X sí es un campo de vectores, que llamaremos producto corchete (o producto de Lie ) de los campos de vectores X e Y . Si X=Xj∂xj y Y=Yj∂xj en términos de un sistema de coordenadas (x1, . . . , xn) , entonces [X, Y ] es un campo de vectores cuyas componentes respecto a (x1, . . . , xn) están dadas por [X, Y ] = Xj∂Y i ∂xj−Yj∂Xi ∂xj∂ ∂xi. Bajo el producto corchete, X(M) es un álgebra de Lie, esto es, [·,·] : X(M)×X(M)→X(M) es una aplicación bilineal vericando 1. El producto es antisimétrico, i.e., [X, Y ] = −[Y, X] , 2. El producto verica la identidad de Jacobi [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 , para cualesquiera X , Y , Z∈X(M) . Flujos locales y grupos 1 -paramétricos de transformaciones Dado un campo de vectores X sobre M , una curva diferenciable c:I⊂R→M denida en un intervalo real I , c(t) se dice que es una curva integral de X si se verica d dtc(t) = X(c(t)) para cualquier t∈I . La existencia de soluciones locales para el problema de valores iniciales de ecuaciones diferenciales garantiza la existencia de curvas integrales c(t) vericando las condiciones iniciales c(0) = p , c0(0) = Xp para cada punto p∈M . En general, dichas curvas integrales estarán denidas en intervalos I= (−p, p) , donde p>0 dependerá del punto p∈M . 1.2. CAMPOS DE VECTORES Y FLUJOS LOCALES 5 Llamaremos ujo del campo de vectores X a una función Ψ : V × M⊂R×M→M (t, p)7→ Ψ(t, p) de forma que para cada p∈M la curva Ψp(T) : V ⊂ R→M es una curva integral de X vericando las condiciones iniciales Ψp(0) = p y Ψ0 p(0) = Xp . Se dice que el ujo es completo si las curvas integrales de X están denidas en toda la recta real, i.e., V=R . Si Ψ está denida en un abierto V × M⊂R×M , entonces se dice que Ψ es un ujo local . La equivalencia entre campos de vectores y ujos locales viene dada por el siguiente resultado Teorema 1.3. Sea X un campo de vectores diferenciable y p∈M . Entonces existe un entorno abierto U∈M de p ,  > 0 y un grupo 1-paramétrico de transformaciones Ψt tal que 1. Ψ:(−, )×U→ es C∞ ; 2. Si |s|,|t|,|s+t|<  , y q , Ψt(q)∈U entonces Ψs(Ψt(q)) = Ψs+t(q) y Ψ0(q) = q ; 3. Para cualquier q∈U , Xq es tangente a la curva c: (−, )→U donde c(t)=Ψt(q) en t= 0 . Un grupo 1 -paramétrico de transformaciones de M es una aplicación diferenciable Φ : R×M→M (t, p)7→ Φt(p) de tal forma que (i) para cada t∈R , Φt:M→M es una transformación de M (homeomorsmo en M ), (ii) para cada t, s ∈R y cada p∈M , Φt+s(p) = Φt◦Φs(p) . Las condiciones anteriores muestran que la aplicación Φ es una acción del grupo aditivo R sobre la variedad M mediante difeomorsmos (ya que Φ0= Id y Φ−1 t= Φ−t para cada t∈R ). Todo grupo 1 -paramétrico determina un campo de vectores X que, en cada punto p∈M es el vector tangente a la curva γ(t) = Φp(t) en tiempo cero, i.e., Xp= Φ0 p(0) . Recíprocamente, todo campo de vectores X induce localmente un grupo 1 -paramétrico de transformaciones (correspondiente al ujo local), tal como nos asegura el siguiente resultado. 6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Proposición 1.4. [1, Proposition 1.5] Sea X un campo de vectores sobre M . Para cada punto p∈M , existe un entorno U de p , un número positivo  y un grupo 1 -paramétrico de transformaciones locales Φt:U → M , t∈I= (−, ) , que induce el campo de vectores X . Un campo de vectores es completo si su ujo es completo, o equivalentemente, si el grupo 1 -paramétrico de transformaciones es global, algo que sucede sobre toda variedad compacta (ver, por ejemplo [1, Proposition 1.6]). Aunque no hemos explicitado las deniciones de ujo local y grupo 1 -paramétrico local, estas son completamente análogas a sus correspondientes globales, siempre y cuando las distintas condiciones tengan sentido en función del dominio. Se presentan ahora unos resultados que nos serán de interés en lo que resta del trabajo. Sea X un campo de vectores en una variedad M y F:M→M una aplicación diferenciable. La diferencial de la aplicación F transforma X en un objeto F∗X que no es necesariamente un campo de vectores en M (sino más bien un campo de vectores a lo largo de la aplicación). Sin embargo, cuando F sea un difeomorsmo, F∗X sí es un campo de vectores en M , por lo que será interesante relacionar el ujo de F∗X con el difeomorsmo F . Proposición 1.5. Sea F:M→M un difeomorsmo de M . Si un campo de vectores X genera un grupo local 1 -paramétrico de tranformaciones locales Φt , entonces el campo de vectores F∗X genera el grupo de transformaciones dado por ˆ Φt=F◦Φt◦F−1 . Demostración. Obsérvese en primer lugar que ˆ Φt determina un grupo 1 -paramétrico de transformaciones. De hecho, ˆ Φt+s=F◦Φt+s◦F−1 =F◦Φt◦Φs◦F−1 = (F◦Φt◦F−1)◦(F◦Φs◦F−1) =ˆ Φt◦ˆ Φs. Además, para cada punto p∈M el campo de vectores Xp es el vector tangente a la curva Φt(p) en tiempo t= 0 . Denotando por q=F−1(p) , se tiene que el campo de vectores (F∗X)p=dFq(Xq) , donde Xq∈TqM es el vector tangente a la curva Φt(q) = Φt(F−1(p)) en tiempo t= 0 . Por tanto, (F∗X)p es tangente a la curva (F◦Φt◦F−1)(p) = ˆ Φt(p) en t= 0 , lo que prueba que ˆ Φt es el grupo 1 -paramétrico asociado a F∗X . Corolario 1.6. Un campo de vectores X es invariante por un difeomorsmo F , es decir, F∗X=X , si sólo si F conmuta con el ujo de X , i.e., F◦Φt= Φt◦F . Enunciamos ahora un resultado que relaciona los grupos 1-paramétricos de X e Y con el producto corchete [X, Y ] ; la demostración del mismo queda relegada hasta que el desarrollo del trabajo lo permita. 1.3. CAMPOS DE TENSORES 7 Proposición 1.7. Supongamos que X e Y generan los grupos 1-paramétricos Φt y Ψt , respectivamente. Entonces Φt◦Ψs= Ψs◦Φt para cualesquiera s y t si y sólo si [X, Y ] = 0 . 1.3. Campos de tensores 1.3.1. 1 -formas Una 1 -forma (o covector) en un espacio vectorial V es un elemento del espacio dual V∗ , esto es, una aplicación lineal v∗:V→R . De modo análogo a los campos de vectores, una 1 -forma en una variedad es una asignación diferenciable de un covector en cada espacio tangente. A la hora de formalizar dicha diferenciabilidad se pueden seguir varios caminos equivalentes. Una 1-forma o campo de covectores sobre M es una sección del brado cotangente, ω:M→T∗(M) p7→ (p, ωp) donde ωp∈T∗ pM . De otra manera, una 1-forma (diferenciable) puede interpretarse como una aplicación F(M) -lineal ω:X(M)→ F(M) donde ω(X) es la función diferenciable ω(X) : p∈M7→ ω(X)(p) := ωp(Xp) , para cualquier campo de vectores X sobre M . Sea (U,(x1, . . . , xn)) una carta local en M . Teniendo en cuenta que {dx1, . . . , dxn} es una base local del espacio de 1 -formas en cada espacio tangente, la 1 -forma ω se expresa localmente como ω=ω`dx` para ciertas funciones ω`:U → R diferenciables. Dada una aplicación diferenciable entre variedades diferenciables, F:M→˜ M , para cada 1-forma ˜ω en ˜ M , denimos su pull-back como la 1 -forma en M , F∗˜ω , dada por (F∗˜ω)(X) = ˜ωF(p)(dFpX) para cualquier X∈TpM . 1.3.2. Campos de tensores Si consideramos un espacio vectorial V , con base {e1, . . . , en} , y su espacio dual V∗ con base, {e1, . . . , en} , y construimos el espacio vectorial producto de r copias de V y s copias de V∗ , es decir Tr s(V) = V⊗r . . . ⊗V⊗V∗⊗s . . . ⊗V∗ , un tensor de tipo (r, s) es un elemento de dicho espacio vectorial: K=Kj1,...,js i1,...,irei1⊗. . . eir⊗ej1⊗ · · · ⊗ ejs Toda base {v1, . . . , vn} de V induce una base vi1⊗ · · · ⊗ vir⊗vj1⊗ · · · ⊗ vjs de Tsr(V) 8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Si (U,(x1, . . . , xn)) es una carta local, entonces en cada punto p∈ U se tiene que ∂ ∂xi1⊗ · · · ⊗ ∂ ∂xir⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs es una base de Tsr(TpM) Observación 1.8 . El espacio de tensores Ts0(V) puede ser interpretado como el espacio de todas las aplicaciones s -lineales de V×s · · · ×V→R . Análogamente, el espacio de tensores T0r(V) puede ser interpretado como el espacio de todas las aplicaciones r -lineales de V∗×r · · · ×V∗→R . El espacio Ts1(V) es isomorfo de forma natural al espacio de todas las aplicaciones s -lineales de V×s · · · ×V→V . De hecho, cada K ∈ Ts1(V) , que respecto a una base {e1, . . . , en} de V se expresa como K=Kj1,...,js iei⊗ej1⊗· · ·⊗ejs , se corresponde con una aplicación s -lineal K:V×s · · · ×V→V determinada por K(ej1, . . . , ejs) = PiKi j1...jsei . De manera análoga a como introdujimos los brados tangente y cotangente, construimos el brado tensorial de tipo (r,s) como Tr s(TM) = Sp∈MTr s(TpM) , donde Tr s(TpM) representa el espacio de tensores de tipo (r, s) sobre el espacio tangente TpM . Denición 1.9. ( Campos de tensores ) Un campo de tensores K sobre TpM es una sección del brado tensorial K:p∈M→ Kp∈Tr s(TpM) donde la diferencibilidad del campo de tensores se expresará en términos de la diferenciabilidad de la sección K . Podemos expresar un tensor en función de los elementos de una base del espacio vectorial, TpM , y de su dual, T∗ pM , del siguiente modo: Kp=Kj1,...,js i1,...,ir∂xi1⊗. . . ∂xir⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs donde Kj1,...,js i1,...,ir son funciones denidas en el abierto coordenado U ⊂ M llamadas componentes de K respecto al sistema de coordenadas (U,(x1, . . . , xn)) . Un campo de tensores K de tipo (0, s) (respectivamente de tipo (1, s) ) en M puede ser visto como una aplicación s -lineal de X(M)×s . . . ×X(M) en F(M) (respectivamente en X(M) ) tal que K(f1X1, . . . , fsXs) = f1. . . fsK(X1, . . . , Xs) para cualesquiera fi∈ F(M) y Xi∈X(M) . Recíprocamente, una tal función puede verse como un campo tensorial de tipo (0, s) (respectivamente (1, s) ). De este modo si vemos una 1 -forma ω como una aplicación F(M) -lineal denida en el espacio de campos de vectores X(M) con valores en F(M) , ω no es más que un campo de tensores de tipo (0,1) . Por otra parte, un campo de vectores visto como una aplicación X:F(M)→ F(M) es simplemente un campo de tensores de tipo (1,0) . El espacio T0 0(V) representa el espacio de funciones sobre M . 1.3. CAMPOS DE TENSORES 9 1.3.3. Contracciones Sea T:V→V un tensor de tipo (1,1) . Su traza tr(T) = Tkk es la suma de los elementos de la diagonal de su expresión matricial. Generalizando esta idea se denen las contracciones de un tensor de tipo (r, s) del siguiente modo. Sea K ∈ Tsr(V) dado por K=Kj1,...,js i1,...,irei1⊗. . . eir⊗ej1⊗ · · · ⊗ ejs un campo de tensores de tipo (r, s) . Para cada 1≤i≤s y cada 1≤j≤r se dene la contracción Cij(K) como el campo de tensores de tipo (s−1, r −1) expresado en componentes por Cij(K) = X k Kj1,...,k...,js i1,...,k...,irei1⊗ · · · ⊗ bek⊗ · · · ⊗ eir⊗ej1⊗ · · · ⊗ b ek⊗ · · · ⊗ ejs donde el superíndice k aparece en la i -ésima posición, el subíndice k aparece en la posición j -ésima y la notación bek , b ek signica que esos elementos han sido eliminados. 1.3.4. Ejemplos de campos de tensores A continuación analizaremos algunos casos especiales de campos de tensores que serán de importancia a lo largo de esta memoria. Métricas de Riemann Un producto escalar en un espacio vectorial V es una aplicación bilineal simétrica y no degenerada h,i:V×V→R por tanto puede ser interpretada como una forma de tipo (0,2) que, en una base {v1, . . . , vn} de V se expresa como h,i=aijvi⊗vj para una matriz de coecientes (aij) simétrica. Una métrica de Riemann en una variedad es una asignación (diferenciable) de un producto escalar denido positivo en cada espacio tangente. Por tanto se corresponde con un campo de tensores de tipo (0,2) simétrico y denido positivo que, en cada abierto coordenado (U,(x1, . . . , xn)) se expresa como g=gijdxi⊗dxj para ciertas funciones diferenciables gij =gji denidas en el abierto U . Toda supercie S en el espacio Euclídeo R3 hereda de forma natural un producto escalar en cada espacio tangente mediante la restricción del producto escalar usual de R3 , por lo que son variedades de Riemann en las que el campo de tensores métrico es la primera forma fundamental de la supercie. 16 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE LIE DE CAMPOS DE TENSORES Se sigue entonces que si dos campos de tensores K y K0 coinciden en un abierto U , entonces DK y DK0 también coinciden en U . Sea D=D1−D2 la diferencia de las dos derivaciones. Nuestro objetivo será probar que si D se anula en F(M) y sobre campos de vectores Y∈X(M) , entonces se anula en T(TM) . Veamos en primer lugar que D se anula sobre 1 -formas. Sea Y⊗ω∈T1 1(M) un campo de tensores de tipo (1,1) . La contracción C1 1:T1 1(M)→ F(M) está dada por la evaluación C1 1(Y⊗ω) = ω(Y) . Utilizando el hecho de que la derivación conmuta con las contracciones, tenemos D(C1 1(Y⊗ω)) = C1 1(D(Y⊗ω)) = C1 1(DY ⊗ω) + C1 1(Y⊗Dω). Si la derivación se anula sobre funciones y sobre campos de vectores, entonces se tiene que D(C1 1(Y⊗ω)) = 0 y C1 1(DY ⊗ω)=0 , con lo que de la expresión anterior se obtiene 0 = C1 1(Y⊗Dω)=(Dω)(Y) para cualqueir campo de vectores Y , lo que muestra que Dω = 0 . Sea K un campo de tensores de tipo (r, s) y p∈M un punto arbitrario. Consideremos un entorno coordenado (U,(x1, . . . , xn)) o de p donde el campo de tensores se expresa como K=Kj1,...,js i1,...,ir∂xi1⊗. . . ∂xir⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs. Como D es un operador local, basta probar que la derivacion D aplicada a cada sumando de la expresión anterior de K se anula, lo que se sigue de que D se anule sobre funciones, campos de vectores y 1 -formas. Proposición 3.2. Sea ϕ:V1→V2 un isomorsmo de espacios vectoriales. Entonces ϕ induce un isomorsmo ˜ϕ:T(V1)→T(V2) que preserva el tipo de los tensores y conmuta con las contracciones. Demostración. Sea ϕ:V1→V2 un isomorsmo de espacios vectoriales y sea ϕ∗:V∗ 2→V∗ 1 el isomorsmo inducido entre los espacios duales dado por (ϕ∗v∗ 2) : v∈V17→ v∗ 2(ϕ(v)) , para cada v∗ 2∈V∗ 2 . Considerando el isomorsmo inverso (ϕ∗)−1:V∗ 1→V∗ 2 , se tiene que ϕ⊗(ϕ∗)−1:V1⊗V∗ 1→V2⊗V∗ 2 u⊗v∗7→ ϕ(u)⊗(ϕ∗)−1v∗ es un isomorsmo a partir del cual se obtiene el isomorsmo buscado ˜ϕ entre los espacios de tensores. 17 Recordemos que si F es una transformación de M , la aplicación lineal tangente F∗ induce un isomorsmo entre los espacios vectoriales tangentes TF−1(p)M y TpM . La Proposición 3.2 garantiza que podemos extender el isomorsmo F∗ a un isomorsmo de las álgebras de tensores T(TF−1(p)M) y T(TpM) , que denotaremos por e F∗ . Así, e F es una transformación en el espacio de campos de tensores T(TM) que preserva el tipo, i.e., si K es de tipo (r, s) entonces también lo es ˜ FK , y que a cada campo de tensores K le asocia un campo de tensores ˜ FK determinado en cada punto por (e FK)p=e F∗(KF−1(p)) . De este modo, para extender la denición de la derivada de Lie a campos de tensores podemos proceder de manera análoga a como hicimos para campos de vectores. Fijado un campo de vectores X sobre M con grupo 1 -paramétrico de transformaciones Φt , para cada valor de t consideramos el automorsmo e Φt del álgebra T(TM) . Denición 3.3. ( Derivada de Lie de campos de tensores ) Sea X un campo de vectores sobre M . Para cada campo de tensores K denimos la derivada de Lie de K con respecto X como (LXK)p= l´ım t→0 1 thKp−(e ΦtK)pi donde Φt es el grupo 1-paramétrico de transformaciones de M asociado a X . Observación 3.4 . Sea X un campo de vectores no nulo en M . Sea (U,(x1, . . . , xn)) un entorno coordenado donde X=∂x1 y, por tanto, el ujo local Φt(x1, x2, . . . , xn)=(x1+ t, x2, . . . , xn) . Sea K un campo de tensores tipo (r, s) que expresamos en la coordenadas (U,(x1, . . . , xn)) como K=Kj1,...,js i1,...,ir∂xi1⊗. . . ∂xir⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs. El campo de tensores ˜ ΦtK viene dado por ˜ ΦtK=˜ Kj1,...,js i1,...,ir∂xi1⊗. . . ∂xir⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs. Donde las funciones componentes ˜ Kj1,...,js i1,...,ir(x1, x2, . . . , xn) = Kj1,...,js i1,...,ir(x1−t, x2, . . . , xn). Por tanto LXK=b Kj1,...,js i1,...,ir∂xi1⊗. . . ∂xir⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs , donde b Kj1,...,js i1,...,ir= l´ımt→01 tKj1,...,js i1,...,ir(x1, . . . , xn)− Kj1,...,js i1,...,ir(x1−t, . . . , xn) =∂x1Kj1,...,js i1,...,ir por lo que LXK=∂x1Kj1,...,js i1,...,ir∂xi1⊗. . . ∂xir⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs. 18 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE LIE DE CAMPOS DE TENSORES Proposición 3.5. [1, Proposition 3.2] La derivada de Lie LX:T(TM)→T(T M) es una derivación en T(TM) y está caracterizada por LXf=Xf para toda función f∈ F(M) y LXY= [X, Y ] para todo campo de vectores Y en M . Demostración. Veamos en primer lugar que LX:T(TM)→T(T M) es un operador lineal. Sean K , K0∈T(TM) y α, β ∈R . Para el campo de tensores αK+βK0 , utilizando la linealidad de las transformaciones e Φt , se tiene LX(αK+βK0)p= l´ımt→01 t[(αK+βK0)p−(e Φt(αK+βK0))p))] = l´ımt→01 tα[Kp+ (e ΦtK)p] + l´ımt→01 tβ[K0 p+ (e ΦtK0)p] =αLXKp+βLXK0 p, lo que muestra que LX es lineal. Por otro lado, LX(K ⊗ K0) = l´ım t→0 1 t[K ⊗ K0−e Φt(K ⊗ K0)] = l´ım t→0 1 t[K ⊗ K0−(e ΦtK)⊗(e ΦtK0)] = l´ım t→0 1 t[K ⊗ K0−(e ΦtK)⊗ K0] + l´ım t→0 1 t[(e ΦtK)⊗ K0−(e ΦtK)⊗(e ΦtK0)] = (l´ım t→0 1 t[K − (e ΦtK)]) ⊗ K0+ l´ım t→0(e ΦtK)⊗(1 t[K0−(e ΦtK0)]) = (LXK)⊗ K0+K ⊗ (LXK0). Dado que e Φt preserva el tipo y conmuta con las contracciones (según se ha mostrado en la Proposición 3.2), así lo hace LX . De hecho, LX(Cj iK) = l´ım t→0 1 t[Cj iK − e Φt(Cj iK)] = l´ım t→0 1 t[Cj iK − Cj ie ΦtK)]) =Cj il´ım t→0 1 t[K − e ΦtK] = Cj i(LXK). Finalmente, la acción de la derivada de Lie sobre campos de vectores, LXY= [X, Y ] fue probada en la Proposición 2.2 y la acción sobre funciones f∈ F(M) viene dada por (LXf)(p) = l´ım t→0 1 t[f(p)−f(Φ−1 tp)] =−l´ım t→0 1 t[f(Φ−1 tp)−f(p)]. Teniendo en cuenta que Φ−1 t= Φ−t es un grupo 1-paramétrico de transformaciones locales generado por −X , tenemos que LXf=−(−X)f=Xf . 3.1. CARACTERIZACIÓN DE LA DERIVADA DE LIE COMO DERIVACIÓN 19 Proposición 3.6. Sea K un campo de tensores de tipo (1, s) sobre M . Entonces (LXK)(Y1, . . . , Ys) = LXK(Y1, . . . , Ys)− s X i=1 K(Y1,...,LXYi, . . . , Ys) = [X, K(Y1, . . . , Ys)] − s X i=1 K(Y1,...,[X, Yi], . . . , Ys) para cualesquiera X , Y1, . . . , Ys campos de vectores sobre M . Demostración. Si interpretamos el campo de vectores K(Y1, . . . , Ys)∈ F(M) como el resultado de aplicar las contracciones C1, . . . , Cs al tensor Y1⊗ · · · ⊗ Ys⊗ K , entonces para cualquier derivación sobre T(TM) se tiene D(K(Y1, . . . , Ys)) = D(C1. . . Cs(Y1⊗ · · · ⊗ Ys⊗ K)) =C1. . . Cs(D(Y1⊗ · · · ⊗ Ys⊗ K)) =C1. . . Cs(Y1⊗ · · · ⊗ Ys⊗D(K)) + C1. . . Cs(D(Y1⊗ · · · ⊗ Ys)⊗ K) = (D(K))(Y1, . . . , Ys) + s X i=1 K(Y1, . . . , DYi, . . . , Ys) Ahora, si D=LX , entonces por la Proposición 2.2 se tiene el resultado. Observación 3.7 . La expresión de la derivada de Lie en la proposición anterior sigue siendo válida para campos de tensores K de tipo (0, s) sin más que tener en cuenta que LXK(Y1, . . . , Ys) = XK(Y1, . . . , Ys) por ser K(Y1, . . . , Ys)∈ F(M) . Así (LXK)(Y1, . . . , Ys) = XK(Y1, . . . , Ys)− s X i=1 K(Y1,...,LXYi, . . . , Ys) =XK(Y1, . . . , Ys)− s X i=1 K(Y1,...,[X, Yi], . . . , Ys) para cualesquiera X , Y1, . . . , Ys campos de vectores sobre M . 3.1. Caracterización de la derivada de Lie como derivación La derivada de Lie no solo proporciona una derivación en el álgebra de campos de tensores T(TM) sino que toda derivación de dicha álgebra puede descomponerse como suma de una cierta derivada de Lie junto con un campo de tensores de tipo (1,1) . Sea S un campo de tensores de tipo (1,1) sobre M . Así Sp:TpM→TpM es un endomorsmo del espacio tangente en cada punto p∈M , por lo que se puede extender a un endomorsmo de T(TM) sin más que considerar en cada punto el endomorsmo asociado e Sp:T(TpM)→T(TpM) . 20 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE LIE DE CAMPOS DE TENSORES Proposición 3.8. [1, Proposition 3.3] Toda derivación D∈T(TM) se puede descomponer de manera única como sigue: D=LX+S donde X es un campo de vectores y S es un campo tensorial de tipo (1,1) . Demostración. Por ser D una derivación de T(TM) entonces preserva el tipo (r, s) de los distintos campos de tensores. En particular actúa como derivación tanto sobre funciones como sobre campos de vectores. Dado que D:F(M)→ F(M) es una derivación, entonces el Teorema 1.2 asegura que existe un único campo de vectores X sobre M tal que Df =Xf para cada f∈ F(M) . Ahora D− LX verica (D− LX)f=Df − LXf=Df −Xf = 0 y por tanto, denotando igualmente con S a la restricción del operador (D− LX) al espacio de campos de vectores, se tiene S(fξ) = D(fξ)− LX(fξ) = fDξ −fLXξ=f(D− LX)ξ=fS(ξ), de donde se sigue que S es un campo de tensores de tipo (1,1) sobre M , de donde se sigue el resultado. La unicidad en la descomposición se corresponde con la correspondencia biyectiva entre derivaciones de funciones y campos de vectores en la variedad. Capítulo 4 Transformaciones innitesimales Sea K un campo de tensores sobre una variedad M . Diremos que un campo de vectores X sobre M es una transformación innitesimal para K si el campo de tensores K es invariante por el grupo 1 -paramétrico de transformaciones de X , esto es si e ΦtK=K . Teniendo en cuenta la denición de la derivada de Lie, LXK= l´ım t→0 1 t[K− e ΦtK] , se sigue de forma inmediata que si X es una transformación innitesimal de K entonces LXK= 0 . El objetivo de este capítulo es probar el resultado recíproco, con lo que se obtiene la siguiente caracterización de las transformaciones innitesmales. Teorema 4.1. Un campo de tensores K es invariante por un grupo 1 -paramétrico de transformaciones Φt si y solo si LXK= 0 , donde X es el campo de vectores asociado a Φt . Sea Φt el ujo 1 -paramétrico asociado a X y sean e Φt los endomormos inducidos en el álgebra de campos de tensores. Sea K un campo de tensores y consideremos la familia 1 -paramétrica de campos de tensores e ΦtK . Como e Φ0K=K , si vemos que la aplicación t7→ e ΦtK es constante entonces ya se tendrá que K es invariante por Φt . Si LXK= 0 , entonces el Lema 4.3 muestra que se anula la derivada d dt e ΦtK |t=s= 0 para cualquier valor de s , por lo que la función e ΦtK será constante y X una transformación innitesimal. Observación 4.2 . Sea X un campo de vectores no nulo en M y sea (U,(x1, . . . , xn)) un sistema de coordenadas locales donde X=∂x1 . Sea K un campo de tensores de tipo (r, s) sobre M . Según se mostró en la Observación 3.4 LXK=∂x1Kj1,...,js i1,...,ir∂xi1⊗. . . ∂xir⊗dxj1⊗ · · · ⊗ dxjs. Así pues, X es una transformación innitesimal de K si y solo si ∂x1Kj1,...,js i1,...,ir= 0 , de donde se sigue que . el campo de tensores K es constante respecto a la coordenada correspondiente a X ". 21 22 CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES INFINITESIMALES Lema 4.3. Sea Φt un grupo 1-paramétrico de tranformaciones locales generado por un campo de vectores X . Sea K un campo de tensores. Entonces se tiene e Φs(LXK) = −d(e ΦtK) dt |t=s. para cualquier valor del parámetro s . Demostración. Fijemos un valor de s para el que está denido el ujo local Φ del campo de vectores X . Teniendo en cuenta la expresión de la derivada de Lie de un campo de tensores, LXK= l´ım t→0 1 t[K − e ΦtK] , para cada campo de tensores e ΦsK generado por el ujo de X se tiene LX(e ΦsK) = l´ım t→0 1 t[e ΦsK − e Φt(e ΦsK)] = l´ım t→0 1 t[e ΦsK − e Φt+sK] =−l´ım t→0 1 t[e Φt+sK − e ΦsK] = −d dt(e ΦtK)|t=s. Veremos ahora que la derivada de Lie LX conmuta con los endomormos e Φt asociados al grupo 1 -paramétrico de X , i.e., e Φs(LXK) = LX(e ΦsK) de donde se seguirá que e Φs(LXK) = LX(e ΦsK) = −d dt(e ΦtK)|t=s, lo que prueba el resultado. A continuación probaremos que e Φs(LXK) = LX(e ΦsK) , o equivalentemente LXK= (e Φ−1 s◦ LX◦e Φs)K (4.1) para todo campo de tensores K . Teniendo en cuenta que LX es una derivación y las aplicaciones e Φs preservan el producto tensor ( e Φs(K⊗K0) = e Φs(K)⊗K0+K⊗e Φs(K0) ), se tiene que (e Φ−1 s◦LX◦e Φs) es una derivación. En virtud de la Proposición 3.1, la derivación (e Φ−1 s◦ LX◦e Φs) estará completamente determinada por su actuación sobre funciones y campos de vectores, por lo que bastará comprobar que (e Φ−1 s◦LX◦e Φs)(f) = X(f) para cualquier f∈ F(M) y (e Φ−1 s◦LX◦e Φs)(Y) = [X, Y ] para cualquier campo de vectores Y sobre M para asegurar que LX=e Φ−1 s◦LX◦e Φs . Recordemos que para cada transformación Φs , como el campo de vectores X es invariante por su ujo, entonces la transformación inducida e Φs actúa sobre campos de vectores como (e ΦsY)p= (Φs)∗|Φ−1 s(p)YΦ−1 s(p),e ΦsX=X. Se sigue del Corolario 2.5 que para cada campo de vectores Y en M se cumple LXY= (Φs)−1 ∗◦ LX◦(Φs)∗Y , por lo que ambas derivaciones coinciden sobre campos de vectores. 23 Si f∈ F(M) , entonces e Φsf=f◦Φ−1 s , de donde se sigue que (e ΦsLXf)p= (e ΦsXf)p=XΦ−1 s(p)(f), (LXe Φsf)p=X(e Φsf)p=Xp(f◦Φ−1 s) =e ΦsXΦ−1 s(p)(f◦Φ−1 s) = XΦ−1 s(p)(f◦Φ−1 s◦ ◦Φs) = XΦ−1 s(p)(f) de donde se sigue el resultado. El conjunto de transformaciones innitesimales de un campo de tensores K tiene una estructura de álgebra de Lie con el producto corchete de campos de vectores. Esto es consecuencia inmediata de la siguiente identidad. Lema 4.4. [1, Proposition 3.4] Para cualesquiera campos de vectores X e Y se verica que L[X,Y ]= [LX,LY]. Demostración. Sean X , Y campos de vectores en M . Para cada función f∈ F(M) se tiene que L[X,Y ](f)=[X, Y ](f) = XY (f)−Y X(f) =X[LY(f)] −Y[LX(f)] =LXLY(f)− LYLX(f)=[LX,LY](f). Además, si Z es otro campo de vectores en M , entonces se sigue de la identidad de Jacobi que L[X,Y ]Z= [[X, Y ]], Z] = −[[Y, Z], X]−[[Z, X], Y ] = [X, [Y, Z]] −[Y, [X, Z]] =LX[Y, Z]− LY[X, Z] = LYLXZ− LYLXZ= [LX,LY]Z . Como la composición de derivaciones es una derivación, se sigue que [LX,LY] es una derivación que coincide con L[X,Y ] actuando sobre funciones y sobre campos de vectores. En virtud de la Proposición 3.1, se tiene que ambas derivaciones coinciden, lo que prueba el resultado. Así pues, si X e Y son transformaciones innitesimales de un campo de tensores K , entonces L[X,Y ]K= [LX,LY]K =LX(LYK)− LY(LKK)=0, por lo que [X, Y ] es asimismo una transformación innitesimal de K . A continuación analizaremos algunos ejemplos de transformaciones innitesimales que resultan de importancia en geometría de Riemann, geometría simpléctica y en el estudio de las estructuras casi-complejas. 24 CAPÍTULO 4. TRANSFORMACIONES INFINITESIMALES 4.1. Transformaciones innitesimales de un tensor métrico: campos de vectores de Killing Sea (M, g) una variedad de Riemann. Una transformación innitesimal del tensor métrico g es un campo de vectores X vericando LXg= 0 , donde (LXg)(Y, Z) = LXg(Y, Z)−g(LXY, Z)−g(Y, LXZ) =Xg(Y, X)−g([X, Y ], Z)−g(Y, [X, Z]) , para cualesquiera campos de vectores X, Y sobre M . Las transformaciones innitesimales de g reciben el nombre de campos de vectores de Killing y, de acuerdo con la Observación 4.2 representan las direcciones en las que el tensor métrico es constante. El álgebra de los campos de vectores de Killing sobre una variedad de Riemann es de dimensión nita ≤1 2n(n+ 1) , donde n= dim M . Además la dimensión máxima en dicho álgebra se alcanza tan solo si (M, g) es localmente isométrica a una esfera, el espacio euclídeo o el espacio hiperbólico [1], si bien este estudio se escapa de los objetivos del trabajo. 4.2. Transformaciones innitesimales de una estructura casi compleja: campos de vectores holomorfos Sea (M, J) una variedad casi compleja. Una transformación innitesimal de la estructura casi compleja J es un campo de vectores X tal que (LXJ)(Y) = LXJY −J(LXY) , i.e., [X, JY ] = J[X, Y ] para todo campo de vectores Y en M . Equivalentemente el ujo local de M está dado por transformaciones casi complejas, es decir (Φt)∗J=J(Φt)∗ para cada t . Es importante señalar que si X es una transformación innitesimal de J , entonces el campo de vectores JX no es necesariamente una transformación innitesimal de J . De hecho, eso sucedería si [JX, JY ] = J[JX, Y ] para todo campo de vectores Y en M . La anulación del tensor de Nijenhuis NJ(Y, Z) = [JY, JZ]−J[JY, Z]−J[Y, JZ]−[Y, Z] 4.3. CAMPOS DE VECTORES HAMILTONIANOS 25 es una condición suciente para que el álgebra de transformaciones innitesimales sea estable bajo la acción de la estructura J , que es compleja en esta situación (ver [2]). En tal caso dicha álgebra es compleja y posiblemente de dimensión innita. 4.3. Transformaciones innitesimales de una estructura simpléctica: campos de vectores Hamiltonianos Una transformación innitesimal de una variedad simpléctica (M, Ω) es un campo de vectores X en M tal que LXΩ=0 , donde (LXΩ)(Y, Z) = XΩ(Y, Z)−Ω([X, Y ], Z)−Ω(Y, [X, Z]). Teniendo en cuenta la relación entre la diferencial exterior y la diferencial interior dada por LXΩ = dιXΩ + ιXdΩ (véase Teorema 5.5), al ser la 2 -forma Ω cerrada, entonces dιXΩ=0 . En consecuencia ιXΩ es una 1 -forma cerrada y, en virtud del Lema de Poincarè (ver, por ejemplo [4, Theorem 11.11]) es localmente exacta, por lo que existe una función f localmente denida sobre M de forma que ιXΩ = df . Invirtiendo la discusión anterior, para cada 1 -forma θ en M denimos un campo de vectores X por ιXΩ = θ y se tiene entonces que si dθ =dΩ = 0 , entonces LXΩ = 0 . Por tanto existe una equivalencia entre el álgebra de transformaciones innitesimales simplécticas y el espacio de 1 -formas cerradas, por lo que dicha álgebra tiene dimensión innita (ver, emplo [6]). Un sistema Hamiltoniano en una variedad simpléctica (M, Ω) es un campo de vectores X para el que la diferencial interior ιXΩ es una 1 -forma cerrada y, por tanto, una transformación innitesimal simpléctica. Un Hamiltoniano del sistema X es una función f denida sobre M tal que df =ιXΩ . 32 CAPÍTULO 5. DERIVADA DE LIE Y FORMAS DIFERENCIALES Para probar (ii) , basta observar que [LX, ιY] = LX◦ιY−ιY◦LX es una antiderivación de grado −1 y que tanto [LX, ιY] como ι[X,Y ] se anulan sobre F(M) . Por la Proposición 5.2 sólo resta ver que ambas antiderivaciones actúan igual sobre cada 1 -forma ω . Así, [LX, ιY]ω=LX◦ιY(ω)−ιY◦ LXω =LXω(Y)−(LXω)(Y) =Xω(Y)−Xω(Y) + ω([X, Y ]) = ω([X, Y ]) = ι[X,Y ]ω , de donde se sigue el resultado. Capítulo 6 Derivación covariante La derivación de Lie se obtiene a partir de la identicación de espacios tangentes por medio del ujo de un campo de tensores. Existe otro mecanismo de identicación de espacios tangentes dado por el transporte paralelo asociado a una conexión. El objetivo de este capítulo es presentar este segundo método de derivación y analizar la relación existente entre ambos procesos. Seguiremos mayoritariamente el análisis desarrollado en [5]. 6.1. Derivadas covariantes 6.1.1. Derivada covariante de campos de vectores Del mismo modo que hicimos con la derivada de Lie, comenzamos introduciendo la derivada covariante sobre campos de vectores para extender después esta denición a 1 - formas y, por ende, a campos de tensores arbitrarios. Dada una variedad diferenciable M , una derivada covariante o conexión de Koszul en M es un operador D:X(M)×X(M)−→ X(M) (X, Y )7−→ DXY vericado las siguientes propiedades: 1. D es R -lineal en la segunda componente: DX(aY1+bY2) = aDXY1+bDXY2 , 2. D satisface la regla de Leibniz: DX(fY ) = X(f)Y+fDXY , 3. DXY es tensorial en la primera componente: Dh1DX1+h2X2Y=h1DX1Y+h2DX2Y , para cualesquiera constantes a, b ∈R y funciones f, h1, h2∈ F(M) . 33 34 CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN COVARIANTE Si X=Xi∂xi e Y=Yj∂xj son las expresiones locales en coordenadas (U,(x1, . . . , xn)) de los campos de vectores X e Y , la expresión en coordenadas del campo de vectores DXY viene dada por DXY=XiD∂xiYj∂xj=Xi∂Y j ∂xi∂xj+XiYjD∂xi∂xj =Xi∂Y j ∂xi∂xj+XiYjΓr ij∂xr =Xi∂Y k ∂xi+XiYjΓk ij∂xk donde las funciones Γk ij :U ⊂ M→R determinadas por D∂xi∂xj= Γk ij∂xk se denominan símbolos de Christoel de la conexión D . Observación 6.1 . Se sigue de la expresión anterior que, jado un punto p∈M , entonces el valor (DXY)p tan solo depende del valor en el punto, Xp , del campo de vectores X y de los valores del campo de vectores Y a lo largo de la curva integral de X que pasa por p . En consecuencia, es posible extender la denición de la derivada covariante a un operador D:TpM×X(M)−→ TpM (v, Y )7→ DvY siendo DvY= (DXY)p para cualquier campo de vectores X en M que extienda al vector v , esto es, Xp=v . 6.1.2. Derivada covariante de campos de tensores Para denir la derivada covariante sobre campos de tensores, nos interesa extender la denición como una derivación sobre T(TM) . Para ello dicha derivada covariante D deberá vericar las tres propiedades siguientes: 1. D es R -lineal, 2. D(K⊗S) = D(K)⊗S+D⊗D(S) (regla de Leibniz), 3. D conmuta con las contracciones. Empezamos obteniendo la expresión de la derivada covariante para 1 -formas. Sea ω∈ Λ1(V) , sabemos que, dado un campo de vectores X , necesariamente DXω∈Λ1(V) . Nos interesa saber como actúa DXω sobre cualquier campo de vectores Y . Para ello contruimos el tensor de tipo (1,1) dado por K=Y⊗ω y consideramos C la única contracción posible sobre K . Por la tercera condición, se debe cumplir que DX(CK) = C(DXK) . Así, C(DXK) = C(DX(Y⊗ω)) = C(DXY⊗ω+Y ωDXω) 6.2. TRANSPORTE PARALELO 35 donde en la última igualdad estamos usado la regla de Leibniz. Por tanto, por la conmutatividad con las contracciones se tiene DX(CK) = C(DXY⊗ω+Y⊗DXω) = ω(DXY)+(DXω)Y. Deducimos de este modo que dado un campo de vectores X y una derivada covariante D , esta actúa como derivación en el espacio de 1 -formas según la expresión (DXω)(Y) = DX(CK)−ω(DXY) =X(ω(Y)) −ω(DXY), para cualquier campo de vectores Y∈X(M) . De modo general, si tenemos K un campo de tensores de tipo (r, s) sobre M , K:X(M)× · · · × X(M)→ F(M) (X1, . . . , Xs, ω1, . . . , ωr)7→ K(X1, . . . , Xs, ω1, . . . , ωr) entonces la derivada covariante DXK es también un campo de tensores de tipo (r, s) actuando del siguiente modo (DXK)(X1, . . . , Xs, ω1, . . . , ωr) = X[K(X1, . . . , Xs, ω1, . . . , ωr)] − s X i=1 K(X1, . . . , DXXi, . . . , Xs, ω1, . . . , ωr) − r X j=1 K(X1, . . . , Xs, ω1, . . . , DXωj, . . . , ωr), para cualesquiera campos de vectores X1, . . . , Xs y cualesquiera 1 -formas ω1, . . . , ωr sobre M . 6.2. Transporte paralelo A n de introducir el transporte paralelo asociado a una derivada covariante será necesario previamente introducir la noción de campo de vectores a lo largo de una curva y extender la derivada covariante a dichos campos de vectores. 6.2.1. Campos de vectores a lo largo de una curva Hemos trabajado hasta ahora con campos de vectores sobre una variedad M o, en su defecto, sobre algún entorno local (U,(x1, . . . , xn)) . No obstante a n de poder dar signicado a la velocidad de una curva y su aceleración, nos interesará también el estudio de campos de vectores a lo largo de una curva dada sobre M . 36 CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN COVARIANTE Sea γ:I⊂R→M una curva diferenciable sobre M . Un campo de vectores a lo largo de γ es una aplicación diferenciable V:I⊂R→TM de forma que V(t)∈Tγ(t)M para cualquier t∈I . Denotamos por Xt los campos de vectores a lo largo de la curva γ . Así como hasta ahora los campos de vectores estaban denidos sobre la variedad, un campo de vectores a lo largo de una curva está denido sobre el intervalo de denición de dicha curva. Podemos escribir V(t) en términos de la base del espacio tangente a M sobre los puntos de la curva γ(t) : V(t) = Vi(t)∂xi(γ(t)). De este modo la diferenciabilidad de V(t) equivale a la diferenciabilidad de las componentes Vi(t) . Dado un campo de vectores a lo largo de una curva V(t) , surge de manera natural preguntarnos si es posible extender V(t) a un campo de vectores sobre M . Diremos que V(t) es extensible si existe un campo de vectores sobre M , e V , vericando V(t) = e Vγ(t) para todo t∈I . Observación 6.2 . Dado un campo de vectores X sobre M , la restricción del campo a una curva γ , X|γ(t) , es un campo de vectores a lo largo de γ trivialmente extensible. No obstante no todo campo de vectores a lo largo de una curva se puede extender a la variedad. La velocidad de la curva γ , ˙γ:t∈I⊂R7→ ˙γ(t)∈Tγ(t)M , es un campo de vectores a lo largo de γ que, en general, no es extensible dado que la curva γ puede presentar auto-intersecciones. 6.2.2. Derivación de campos de vectores a lo largo de una curva inducida por una conexión El objetivo de esta sección es probar el siguiente resultado que nos dice como dada una derivación covariante D sobre M y una curva γ , la derivada covariante induce una derivación sobre Xt y, con esto, poder denir cuando un campo de vectores es paralelo a lo largo de γ . Teorema 6.3. Sea D una derivada covariante sobre M y γ:I⊂R→M una curva en M . Entonces D determina un único operador Dt:Xt→Xt vericando las siguientes condiciones: 1. Dt es R -lineal, esto es, Dt(aV +bW) = aDtV+bDtW para cualesquiera a, b ∈R , 2. Dt verica la regla de Leibniz Dt(f(t)V(t)) = d dt f(t)V(t)+f(t)DtV(t) para cualquiera función f∈ F(I) , 3. Si V es la restricción a γ de un campo de vectores Y∈X(M) , entonces se cumple DtV=D˙γ(t)Y. 6.2. TRANSPORTE PARALELO 37 Demostración. Consideremos un abierto coordenado (U,(x1, . . . , xn)) de forma que la curva γ se expresa en coordenadas locales como γ(t)=(γ1(t), . . . , γn(t)) . Así la velocidad de γ es el campo de vectores a lo largo de γ dado en coordenadas locales por ˙ γ(t) = (˙γ1(t),..., ˙γn(t)) = ˙γ`(t)∂x`(γ(t)) . Sea V(t) = Vi(t)∂xi(γ(t)) un campo de vectores a lo largo de γ y supongamos que existe un operador Dt:Xt→Xt vericando las condiciones del teorema. Entonces se tiene que DtV=Dt(Vk(t)∂xk) = dV k dt (t)∂xk+VjDt∂xj =dV k dt (t)∂xk+VjD˙γ(t)∂xj=dV k dt (t)∂xk+Vj(˙γiD∂xi∂xj) =dV k dt (t)∂xk+ ˙γiVjΓk ij∂xk=dV k dt (t) + ˙γiVjΓk ij∂xk. Como vemos Dt está enteramente determinado por ˙γ , las componentes Vj de campo de vectores V∈Xt y los símbolos de Christoel Γk ij , de donde deducimos la unicidad. La existencia se deduce del hecho de que podemos cubrir la curva γ con cartas coordenadas y denir DtV en cada carta del mismo modo, y por la unicidad probada se garantiza que dicho operador está denido sin ambigüedad. Denición 6.4. Sea M una variedad con una derivada covariante D . Un campo de vectores V∈Xt es paralelo a lo largo de γ si DtV= 0 . La demostración del Teorema 6.3 nos aporta la expresión en coordenadas de DtV , con la que podemos reescribir la condición DtV= 0 como 0 = DtV=ndV k dt (t) + ˙γiVjΓk ijo∂xk y por tanto es equivalente al sistema de ecuaciones dV k dt (t) = −˙γi(t)Vj(t) Γk ij(γ(t)) , para cada k= 1, . . . , n . De esta forma tenemos un sistema de n ecuaciones de primer orden, lineal y homogéneo; por lo que está asegurada la existencia y unicidad de soluciones denidas en todo el intervalo I para el problema de valor inicial dado por cierta condición Vi(t0) = ai para cada i= 1, . . . , n . Además, el conjunto de estas soluciones posee una estructura de espacio vectorial. Como consecuencia se tiene el siguiente resultado Teorema 6.5. Dada una curva γ:I⊂R→M , t0∈I y un vector v0∈Tγ(t0)M , existe un único campo de vectores paralelo V(t) a lo largo de γ vericando V(t0) = v0 . Dicho campo V(t) es lo que llamaremos desplazamiento paralelo de v0∈Tγ(t0)M a lo largo de γ . 38 CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN COVARIANTE Dados t0, t1∈I el desplazamiento paralelo nos aporta una identicación entre los espacios vectoriales Tγ(t0)M y Tγ(t1)M del siguiente modo: γPt1 t0:Tγ(t0)M→Tγ(t1)M v7→ V(t1) donde V(t) es el único campo de vectores paralelo a lo largo de γ vericando la condición inicial V(t0) = v . A la aplicación γPt1 t0 la llamaremos transporte paralelo a lo largo de γ desde γ(t0) hasta γ(t1) . Proposición 6.6. La aplicación γPt1 t0:Tγ(t0)M→Tγ(t1)M es un isomorsmo de espacios vectoriales. Demostración. Sean v, w ∈Tγ(t0)M y denotemos por V(t) y W(t) los campos de vectores paralelos a lo largo de γ(t) vericando las condiciones iniciales V(t0) = v , W(t0) = w . Por tanto el desplazamiento paralelo γPt1 t0 verica γPt1 t0(v) = V(t1),γPt1 t0(w) = W(t1). Para cada λ, µ ∈R , el campo de vectores a lo largo de γ(t) dado por λV (t) + µW(t) sigue siendo paralelo (ya que Dt(λV +µW) = λDtV+µDtW= 0 ) y por tanto el desplazamiento paralelo del vector λv +µw está dado por γPt1 t0(λv +µw) = λV (t1) + µW(t1) = λγPt1 t0(v) + µγPt1 t0(w), lo que muestra que γPt1 t0 es lineal. Veamos ahora que γPt1 t0 es inyectiva, de donde se seguirá que es un isomorsmo de espacios vectoriales. Sea v∈Tγ(t0)M de forma que γPt1 t0(v) = ~ 0 . Como el desplazamiento paralelo del vector ~ 0 es justamente ~ 0 para todo t∈I , si ~ 0 =γPt1 t0(v) , por la unicidad del desplazamiento paralelo necesariamente v=~ 0 . Al ser γPt1 t0 una aplicación lineal e inyectiva entre espacios vectoriales de igual dimensión es un isomorsmo. 6.2.3. Expresión de la derivada covariante en términos del transporte paralelo Veremos ahora un resultado que relaciona la expresión de la derivada covariante con el transporte paralelo. Además, en la demostración del mismo se muestra también que dicha derivada covariante es la derivación (usual) de una cierta función real construida a partir de la identicación de espacios tangentes por medio del transporte paralelo. 6.2. TRANSPORTE PARALELO 39 Proposición 6.7. Sean X e Y campos de vectores sobre M y γ:I⊂R→M curva integral de X vericando γ(0) = p . Se tiene entonces que (DXY)p= l´ım t→0 1 t[(γPt 0)−1(Yγ(t))−Yp]. Demostración. Sea {e1, . . . , en} una base de TpM y denotemos por {E1(t), . . . , En(t)} al conjunto formado por el desplazado paralelo de los vectores {ei} . Dicho conjunto forma, para cada valor de t∈I , una base de Tγ(t)M en virtud de la Proposición 6.6. Nótese que para cada i∈ {1, . . . , n} , Ei(t) es el único campo de vectores paralelo a lo largo de γ vericando Ei(0) = ei . Escribiendo el campo de vectores Yγ(t) a lo largo de γ(t) en términos de la base {E1(t), . . . , En(t)} como Yγ(t)=Pn k=1 fk(t)Ek(t) entonces (γPt 0)−1(Yγ(t)) = (γPt 0)−1( n X k=1 fk(t)Ek(t)) = n X k=1 (γPt 0)−1(fk(t)Ek(t)) = n X k=1 fk(t)(γPt 0)−1(Ek(t)) = n X k=1 fk(t)ek. Utilizando la identicación de espacios vectoriales dada por el desplazamiento paralelo (γPt 0)−1:Tγ(t)M→TpM , construimos una curva de vectores tangentes en TpM , e Y(t) , dada por e Y:t∈I⊂R7−→ e Y(t) := (γPt 0)−1(Yγ(t))∈TpM . Entonces la derivada en tiempo t= 0 de la curva e Y(t) está dada por l´ım t→0 1 t[(γPt 0)−1(Yγ(t))−Yp] = d dtt=0 e Y(t) = d dtt=0(γPt 0)−1(Yγ(t)) =d dtt=0 n X k=1 fk(t)ek= n X k=1 (d dtt=0fk(t)ek+fk(t)d dtt=0ek) = n X k=1 d dtt=0fk(t)ek= n X k=1 f0 k(0)ek. Por otro lado, dado que Yγ(t) es un campo de vectores a lo largo de γ(t) y γ(t) es curva integral de X , se verica DtYt=0 =D˙γYt=0 =D˙γ(0)Y=DX(p)Y= (DxY)p, 40 CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN COVARIANTE y por tanto el valor en el punto p∈M de la derivada covariante DXY verica DtY=Dt( n X k=1 fk(t)Ek(t)) = n X k=1 Dt(fk(t)Ek(t)) = n X k=1 (d dtfk(t)Ek(t) + fk(t)DtEk(t)) = n X k=1 d dtfk(t)Ek(t), dado que Ek(t) es un campo paralelo a lo largo de γ . Por tanto DtYt=0 = n X k=1 f0 k(0)Ek(0) = n X k=1 f0 k(0)ek, de donde se sigue que DtYt=0 = l´ımt→01 t[(γPt 0)−1(Yγ(t))−Yp] = e Y0(0) . 6.3. Torsión de una conexión: relación con la derivada de Lie Hemos visto pues dos procesos diferentes, pero análogos en su construcción, para derivar objetos sobre una variedad. En el que ocupa la atención central de este trabajo, la derivada de Lie, hemos identicado espacios vectoriales tangentes en diferentes puntos de la variedad mediante el ujo de un campo de vectores. En el otro proceso determinado por una derivada covariante (o conexión), identicamos los espacios tangentes mediante el transporte paralelo asociado a dicha derivada covariante. Cabe ahora preguntarse pues, si existe alguna relación entre ambas construcciones. Los dos operadores coinciden en su actuación sobre el espacio de funciones F(M) , pues ya vimos en la Proposición 3.5 que LX(f) = X(f) para un campo de vectores X dado y cualquier f∈ F(M) ; y en el caso de la derivada covariante se tiene (DXf)p=d dtt=0(f◦γ)(t) = Xp(f) para todo punto p∈M y toda función f∈ F(M) , siendo γ una curva integral de X pasando por p∈M . No ocurre lo mismo al considerar la actuación de ambos procesos de derivación sobre el espacio de campos de vectores, donde la relación viene determinada en términos de la torsión de la conexión, que introducimos a continuación. Denición 6.8. Llamamos torsión de una derivada covariante (o conexión) D al campo de tensores T(X, Y ) = DXY−DYX−[X, Y ] = DXY−DYX− LXY . 6.3. TORSIÓN DE UNA CONEXIÓN: RELACIÓN CON LA DERIVADA DE LIE 41 Observación 6.9 . La torsión de una conexión D es un campo de tensores de tipo (1,2) pues es una aplicación T:X(M)×X(M)→X(M) bilineal sobre F(M) pues para X, Y, Z ∈ X(M) y f, g ∈ F(M) T(fX +gZ, Y ) = DfX+gZY−DY(fX +gZ)−[fX +gZ, Y ]. Utilizando las propiedades de la derivada covariante y del producto corchete, se tiene que T(fX +hZ, Y ) = fDXY+hDZY−Y(f)X−fDYX−Y(h)Z−hDYZ −[fX +hZ, Y ] =fT(X, Y ) + hT (X, Y ), lo que prueba la tensorialidad de la torsión en su primer argumento. Para mostrar la tensorialidad del segundo argumento de la torsión, basta observar que T(Y, X) = DYX−DXY−[Y, X] = −(DXY−DYX)−(−[X, Y ]) = −T(X, Y ), de donde se sigue que la torsión es antisimétrica y por tanto también tensorial en el segundo argumento. Diremos que una derivada covariante D es simétrica (o libre de torsión) si T(X, Y )=0 . Proposición 6.10. Sea D una derivada covariante en una variedad M . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes 1. D es simétrica, esto es T(X, Y )=0 . 2. La derivada covariante actúa de forma simétrica sobre campos de vectores coordenados. Esto es, para cualesquiera coordenadas locales (U,(x1, . . . , xn)) se tiene que D∂xi∂xj=D∂xj∂xi . 3. Los símbolos de Christoel asociados a la derivada covariante verican Γk ij = Γk ji . Demostración. Supongamos que D es simétrica. Es conocido que el producto corchete de campos coordenados es nulo, esto es, [∂xi, ∂xj] para todo i, j = 1, . . . , n . De esta forma, dado que la torsión es nula, T(∂xi, ∂xj) = D∂xi∂xj−D∂xj∂xi−[∂xi, ∂xj] =D∂xi∂xj−D∂xj∂xi= 0 para cualesquiera i, j , por lo que D∂xi∂xj=D∂xj∂xi . Supongamos ahora que D∂xi∂xj=D∂xj∂xi y probemos Γk ij = Γk ji . Recordamos que D∂xi∂xj= Γk ji∂xk , de este modo 0 = D∂xi∂xj−D∂xj∂xi= (Γk ji −Γk ji)∂xk 48 CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN COVARIANTE x1 x2 α(t) = (cos t, sin t) De este modo la velocidad y aceleración de α(t) vienen dadas por: ˙α(t)=(−sin t, cos t) = −sin t∂x1+ cos t∂x2 ¨α(t) = (−cos t, −sin t) = −cos t∂x1−sin t∂x2 Si ahora tomamos coordenadas polares, (U,(ρ, θ)) en el abierto U correspondiente al plano menos el semieje negativo OX incluyendo al origen, parametrizamos la curva (que describe los puntos a distancia uno del origen) como β(t) = (1, t) y así: ˙ β(t) = (0,1) = ∂θ ¨ β(t) = (0,0) ρ θ β(t) = (1, t) Ahora bien, el resultado anterior no es coherente, pues calculando la aceleración con una cierta parametrización en un sistema de coordenadas, la curva siempre posee aceleración; y parametrizada en coordenadas diferentes, la misma curva carece de aceleración en cualquier instante. Esto muestra que el cálculo de la aceleración simplemente como derivada segunda de la curva no es un proceso coherente en general. En lo que sigue detallaremos el cálculo de la aceleración de la curva β(t) (o equivalentemente la curva α(t) expresada en coordenadas polares). Para ello en primer lugar hemos de determinar la expresión de la conexión de Levi Civita en coordenadas polares calculando los correspondientes símbolos de Christoel. El cambio de coordenadas F: (R2,(ρ, θ)) −→ (R2,(x1, x2)) (ρ, θ)7−→ (ρcos θ, ρ sin θ), induce una métrica F∗g , dada por (F∗g)(∂α, ∂β) = g(F∗∂α, F∗∂β) , que no es otra cosa más que la métrica Euclídea expresada en coordenadas polares. Un cálculo inmediato muestra 6.4. MÉTRICAS DE RIEMANN: CONEXIÓN DE LEVI CIVITA 49 que F∗∂ρ=dF dt (t, θ)t=ρ= cos θ∂x1+ sin θ∂x2, F∗∂θ=dF dt (ρ, t)t=θ=−ρsin θ∂x1+ρcos θ∂x2. Así, la expresión de la métrica Euclídea en coordenadas polares está dada por (F∗g)(∂ρ, ∂ρ) = g(F∗∂ρ, F∗∂ρ) = cos2θ+ sin2θ= 1 (F∗g)(∂ρ, ∂θ) = g(F∗∂ρ, F∗∂θ)=0 (F∗g)(∂θ, ∂θ) = g(F∗∂θ, F∗∂θ) = ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=ρ2. Por tanto la expresión del tensor métrico resulta g0=dρ ⊗dρ +ρ2dθ ⊗dθ , con lo que en forma matricial tenemos (gαβ) = 1 0 0ρ2!,(gαβ) = 1 0 0ρ−2!. Así los símbolos de Christoel vienen dados por: Γρ ρρ =1 2gρρ{∂ρgρρ +∂ρgρρ −∂ρgρρ}= 0 Γθ ρρ =1 2gθθ{∂ρgθρ +∂ρgθρ −∂θgρρ}= 0 Γρ ρθ =1 2gρρ{∂ρgθρ +∂θgρρ −∂ρgρθ}= 0 Γθ ρθ =1 2gθθ{∂ρgθθ +∂θgρθ −∂θgρθ}=1 ρ Γρ θθ =1 2gρρ{∂θgθρ +∂θgθρ −∂ρgθθ}=−ρ Γθ θθ =1 2gθθ{∂θgθθ +∂θgθθ −∂θgθθ}= 0. Ya estamos en condiciones de calcular la aceleración de β respecto a la conexión de Levi-Civita. Como ˙ β(t) = (0,1) = ∂θ : ∇t˙ β(t) = {d dt ˙ βk(t) + ˙ βi(t)˙ βj(t)Γk ij(β(t))}∂xk(β(t)) = Γρ θθ(1, t)∂ρ =−∂ρ(1, t). de donde se sigue que la aceleración no se anula para ningún instante t . Para terminar, comprobaremos que la velocidad y aceleración de la curva en coordenadas cartesianas y polares se corresponden mediante el cambio de coordenadas, por lo 50 CAPÍTULO 6. DERIVACIÓN COVARIANTE que ambos cálculos proporcionan resultados equivalentes. Como la curva β(t)=(F−1◦ α)(t) , tenemos que ˙ β(t)=(F−1◦α)0(t) = d(F−1)α(t)(α0(t)) = (dF(F−1(α(t))))−1(α0(t)) = (dFβ(t))−1(α0(t)) . Como ya calculamos, la diferencial del cambio de coordenadas viene dada por (dF) = cos θ−ρsin θ sin θ ρ cos θ!,(dF)β(t)= cos t−sin t sin tcos t!, y por tanto su inversa (dF)−1=1 ρ ρcos θ ρ sin θ −sin θcos θ!,(dFβ(t))−1= cos tsin t −sin tcos t!. Así (dFβ(t))−1(α0(t))) = cos tsin t −sin tcos t! −sin t cos t!= (0,1) = ∂θ(β(t)) = ˙ β(t), lo que se corresponde con el cálculo que ya habíamos realizado. Además, la aceleración verica ∇t˙ β= (dFβ(t))−1∇t˙α . De hecho, (dFβ(t))−1(∇t˙α) = cos tsin t −sin tcos t! −cos t −sin t!= (−1,0) = −∂ρ(β(t)) = ∇t˙ β. Los cálculos anteriores muestran que, a la hora de calcular la aceleración de una curva, es necesario considerar la derivada covariante incluso para curvas denidas en el espacio Euclídeo siempre y cuando trabajemos con parametrizaciones distintas de las coordenadas cartesianas. Bibliografía [1] S. Kobayashi, K. 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