Fundamentos y aplicaciones del cálculo fraccionario

T abajo Fin de Más e
Fundamen os y aplicaciones
del cálculo acciona io
Daniel Cao Labo a
2015  2016
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
MÁSTER EN MATEMÁTICAS
T abajo Fin de Más e
FUNDAMENTOS
Y APLICACIONES
DEL CÁLCULO
FRACCIONARIO
Daniel Cao Labo a
Xullo 2016
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
Rosana Rod íguez López
Facul ad de Ma emá icas
15782 San iago de Compos ela
EMail:
osana. od iguez.lop[email p o ec ed]
Yo, Rosana Rod íguez López, miemb o del depa amen o de Análisis Ma-
emá ico, Es adís ica y Op imización de la Uni e sidad de San iago de Com-
pos ela y di ec o a del T abajo Fin de Más e con í ulo
Fundamen os y
aplicaciones del cálculo acciona io
,
au o izo
a don Daniel Cao Labo a pa a la p esen ación del mismo, a n de ob e-
ne el í ulo de Más e en Ma emá icas po la Uni e sidad de San iago de
Compos ela.
San iago de Compos ela, 11 de julio de 2016.
Fdo.: Rosana Rod íguez López
Fdo.: Daniel Cao Labo a

palab a
Ag adecimien os
En p ime luga , a mi u o a Rosana Rod íguez López, po su iempo,
dedicación y abajo. E es au o a de muchos olios con p opues as, ideas y
una buena can idad de co ecciones de e siones p e ias de es e documen o.
Todo ese es ue zo ha dado sus u os. En es e sen ido, ag adezco ambién
a Jo ge Losada Rod íguez sus suge encias y consejos sob e es e abajo,
especialmen e en lo ocan e a la sepa ación del g ano de la paja.
A mis alumnos de los Campus Cien ícos de Ve ano 2016, Guillem, Elisa,
E a, Júlia, Nacho, Alejand o, I ia y Sa a. Sois la p ime a clase que he enido
y habéis dejado una huella inol idable en mí; llega éis donde que áis llega .
A mis compañe os de piso, Víc o , Sebas, Aldo y Juan. Conside o que
esas pa idas de Ma io Ka o de FIFA son pa e del componen e lúdico que
oda o mación uni e si a ia debe ene .
A mi g an amigo Juan Sanz Co ea, siemp e dispues o a oma una ce -
eza en época de exámenes pa a elaja nos mu uamen e los ánimos.
A mis p imos, Na alia, Miguel, Julio, F ancisco, Ca olina y Ped o. Son
muchos los kilóme os eco idos en iciclo po la hie ba y muchos los balones
pe didos en el mon e. Ag adezco ambién que mis abuelos Rica do, Fina,
Julio y Au o a es u iesen siemp e a mados con jabón, inni a paciencia y
bocadillos pa a cuando ol íamos a casa sucios, pegándonos y pidiendo algo
de me ienda. Nunca eché nada en al a en mi in ancia g acias a oso os.
A mis pad es Au o a y Rica do, po apos a po mi o mación y dedi-
ca me odo su iempo y comp ensión. Po muchas hojas que llenase, jamás
pod ía desc ibi o almen e la impo ancia que enéis pa a mí.
A mi he mano Gonzalo, con quien lle o compa iendo habi ación casi
ein e años y me ha apo ado odo lo que he señalado en los pá a os an e-
io es y muchas cosas más. E es la pe sona con la que más me he pegado,
pe o ambién con la que más me he econciliado.
A Sand a, simplemen e, po odo. Hay lazos que son de sang e y o os
que son de in ancia, pe o hay algunos que ejemos de adul os que son incluso
iguales o más di íciles de ompe que es os p ime os.
Da os del abajo
Á ea de Conocimien o: ANÁLISIS MATEMÁTICO
Tí ulo: FUNDAMENTOS Y APLICACIONES DEL
CÁLCULO FRACCIONARIO
Di ec o /a:
ROSANA RODRÍGUEZ LÓPEZ
B e e desc ipción del con enido:
La p ime a e e encia a la idea de de i ada acciona ia apa ece en
una ca a de l'Hôpi al a Leibniz en 1695 cuando oda ía comenzaba
a o ja se la eo ía del cálculo clásico. No obs an e, podemos si ua
el inicio eal de la eo ía a comienzos del siglo XIX con los abajos
de Lac oix, Abel y o os ma emá icos con empo áneos suyos.
Ac ualmen e, a pesa de habe ca ecido de un papel an ele an e
en la his o ia de las ma emá icas como el del cálculo en e o, el
cálculo acciona io ha cap ado el in e és de mul i ud de in es i-
gado es po sus nume osas aplicaciones en di e sas á eas cien ícas.
Uno de los hechos más signica i os del cálculo acciona io es la
g an di e sidad eó ica exis en e a la ho a de deni de i adas e in-
eg ales de o den no en e o. Es po ello que dedicamos una po ción
de nues o abajo al es udio, compa a i a y manejo de allado de
a ias deniciones no equi alen es. También ealizamos un análisis
eó ico de algunas p opiedades (y cuando sea posible soluciones)
de cie as ecuaciones in eg odi e enciales acciona ias, pues es as
úl imas hacen de puen e con el es udio de algunos modelos accio-
na ios aplicados.
ii
xi
INTRODUCCIÓN
de in eg ación. Dicha ó mula iene sen ido si el o den de in eg ación es un
núme o eal posi i o, ein e p e ando la unción ac o ial como la unción
Γ
o, más gene almen e, un núme o complejo de pa e eal posi i a. Además,
la conca enación de dos in eg ales con el mismo ex emo y ó denes
α
y
β
,
espec i amen e, da luga a una in eg al de o den
α+β
con el mismo ex emo
que las an e io es.
La an e io cons ucción acili a la denición de la de i ada acciona ia
en el sen ido de Riemann-Liou ille. Cu iosamen e, al igual que la in eg al, la
de i ada acciona ia depende de un ex emo in e io o supe io y, en p inci-
pio, el alo de la de i ada sólo es independien e del ex emo elegido cuando
el o den es en e o. En es e sen ido, se dice que las de i adas acciona ias
ca ecen de compo amien o local po que, de hecho, modicaciones en una
unción ue a del en o no de un pun o a ec an, gene almen e, al alo de la
de i ada acciona ia en el pun o.
Al igual que en el cálculo en e o, uno espe a ene cie a elación de in e -
sión en e de i adas e in eg ales acciona ias de Riemann-Liou ille. Sabemos
que, si omamos una unción (de i able), la de i amos y luego la in eg amos,
no somos capaces de ecupe a la unción o iginal po que nos al a po de-
e mina una cons an e. No obs an e, si omamos una unción (con inua), la
in eg amos y luego la de i amos, ecupe amos la unción o iginal. Tend emos
un esul ado bas an e pa ecido con las in eg ales y de i adas de Riemann-
Liou ille en el que las de i adas aniquilan in eg ales, pe o, en p incipio, no
sucede el ecíp oco.
Todo lo expues o en los es pá a os an e io es puede aplica se pa a e-
sol e ecuaciones in eg ales acciona ias. T a a emos el ejemplo más sencillo
posible, donde la in eg al acciona ia de o den
α
de una unción descono-
cida es igual a una unción conocida. Dicha ecuación es la ecuación in eg al
de Abel, mencionada a iba, la cual esol emos. Asimismo, de i a emos la
ecuación a pa i de la ley de conse ación de ene gía mecánica aplicada al
p oblema mecánico de Abel.
Has a el momen o, hemos mencionado eo ía y p axis del cálculo ac-
ciona io según Riemann-Liou ille. No obs an e, exis en di e sas gene aliza-
ciones del cálculo en e o que dan luga a o as cons ucciones de cálculo
acciona io, apa en emen e dis in as. Resul a especialmen e in e esan e la
p opues a po He mann Klaus Hugo Weyl, quien se cen ó en es udia el
cálculo acciona io sob e unciones pe iódicas. En es e sen ido, si la de i-
ada de la unción
sen(x)
es
cos(x) = sen(x+π
2)
, uno puede in e p e a la
de i ada acciona ia de o den
α
del seno como
sen(x+απ
2)
. A gumen ando
de modo semejan e pa a el coseno y asumiendo que la de i ada acciona ia
es lineal, Weyl es capaz de deni  o malmen e la de i ada de una se ie

INTRODUCCIÓN
x
de Fou ie que no enga é mino cons an e. Con iene no a que el p oceso
de gene alización de Weyl (donde, esencialmen e, in e polamos senos y cose-
nos) es, en p incipio, comple amen e dis in o al de Riemann-Liou ille (donde
gene alizamos una exp esión cambiando la unción ac o ial po la unción
Γ
). Cu iosamen e, bajo cie as hipó esis sob e la unción de abajo, se iene
que la in eg al de Weyl coincide con la in eg al de Riemann-Liou ille con
ex emo in e io
−∞
.
El p incipal p oblema que p esen a el cálculo acciona io en se ies de
Fou ie es que la de i ada o mal de una se ie de Fou ie no iene po qué
con e ge o puede hace lo, pe o de modo muy len o. Es posible aumen a la
can idad de se ies de Fou ie que son con e gen es o acele a dicha elocidad
de con e gencia con los denominados mé odos de suma al e na i os, como
la suma según Cesà o. En el abajo, jus icamos eó icamen e la consis en-
cia de dichos mé odos de suma y comp obamos, de modo empí ico, su buen
compo amien o en unos ejemplos conc e os.
Finalmen e, enunciamos o as posibles deniciones de de i adas o in e-
g ales acciona ias, explicando cómo se deducen a pa i de ó mulas cono-
cidas pa a el cálculo en e o. Un ejemplo de elemen os de es e nue o conjun o
de deniciones se ían el cálculo acciona io según Ma chaud (1927), o la
p opues a análoga y pa alela de An on Ka l G ünwald (1867) y Alexei Vasi-
lie ich Le niko (1868). Mencionamos esul ados eó icos, sin demos ación,
que asegu an que, bajo cie as hipó esis sob e la unción de abajo, las de-
niciones nue as coinciden con las iejas en algún sen ido. Además, ci amos
un pa de deniciones gené icas (una dependien e de un pa áme o uncional
y la o a dependien e de un núcleo in eg al) que, con elecciones adecuadas
del pa áme o o del núcleo, es án elacionadas, de algún modo, con el cálculo
acciona io según Riemann-Liou ille. Pa a acaba , ealizamos una obse a-
ción p opia que enuncia que, pa a cualquie denición de cálculo acciona io
que in oluc e un núcleo in eg al cumpliendo cie as condiciones adecuadas,
es e debe coincidi con el de Riemann-Liou ille en los ó denes na u ales.
Nues a e e encia p incipal pa a la elabo ación de es e abajo ha sido
[8], pues cons i uye una de las monog a ías más comple as y ex ensas sob e
cálculo acciona io esc i as has a la echa. No obs an e, como documen o
de iniciación hemos u ilizado [2], pues es e a ículo consis e en una e isión
básica de di e sas deniciones de de i adas e in eg ales acciona ias. Ade-
más, pa a algunas cues iones de ca ác e pun ual o écnico, hemos ecu ido
a los o os i ems bibliog ácos. La g an mayo ía de e a os de ma emá icos
p esen es en el abajo han sido ob enidos de la web [5] conocida, popula -
men e, como MacTu o . Excepcionalmen e, po al a de imágenes, alguno de
ellas ha sido ob enida de o as páginas, gene almen e en la lengua o iginal
x i
INTRODUCCIÓN
del ma emá ico, con as ando siemp e la au en icidad del e a o con el do-
cumen o [9], que iene po au o es a expe os econocidos en el campo del
cálculo acciona io.
Capí ulo 1
Una p ime a ap oximación
El obje i o de es e capí ulo es da una p ime a isión del cálculo accio-
na io. Nos ese a emos las deniciones y nociones écnicas pa a capí ulos
pos e io es y, po ello, aho a simplemen e indica emos posibles caminos a
oma pa a a a el p oblema del cálculo acciona io y las dicul ades que
p esen an.
Hemos comen ado que el cálculo acciona io nace, al menos idealmen e,
con la anécdo a que incumbe a L'Hôpi al y Leibniz. La espues a que uno
hubiese espe ado a la p egun a ¾Qué sucede si el o den de de i ación es
n=1
2
? se ía que Tiene que sucede que al de i a dos eces, debe da la
de i ada usual.
Figu a 1.1: Guillaume de l'Hôpi al y Go ied Leibniz.
1
2
CAPÍTULO 1. UNA PRIMERA APROXIMACIÓN
Esa espues a da pie a la siguien e eexión. Pensemos en las de i adas
como ope ado es que aplican a unciones y dan como esul ado unciones.
Nos gus a ía ene la p opiedad de que la conca enación de una de i ación
de o den
α
con una de o den
β
diese lo mismo que la de i ación de los
ó denes sumados
α+β
. Las mismas conside aciones hechas pa a la de i ada
acciona ia pueden ealiza se pa a su análogo in eg al. De hecho, pa ece
lógico auna odo en una única denición pues es conocido que, en cie o
sen ido, de i ación e in eg ación se compo an de modo in e so.
El p ime p oblema es cla o pues, así como la de i ada de una unción
es única, la in eg al no lo es. En gene al, al in eg a una unción
n
eces
conocemos el esul ado sal o suma con un polinomio de g ado
n−1
.
1.1. Se ies de Taylo
En es e a amien o gené ico es amos conside ando que podemos de i a
las unciones an as eces como que amos. Po ese mo i o se ía necesa io
a a al menos con unciones de clase inni o. En pa icula , pa ece in e e-
san e abaja las unciones que son analí icas pues, conociendo las de i adas
acciona ias de los elemen os básicos, pod íamos ob ene las de i adas ac-
ciona ias de cualquie unción analí ica.
Figu a 1.2: B ook Taylo .
A pesa de la na u alidad del en oque expues o, la siguien e p oposición
indica que su gen cie os p oblemas.
1.2. SERIES FORMALES DE LAURENT
3
P oposición 1.1.
No exis e ningún endomo smo
E
en el espacio ec o ial
de unciones analí icas de a iable eal, que e ique
E◦E=D
, donde
D
es el ope ado de i ada clásica.
Demos ación.
Exis e un mo smo inyec i o de espacios ec o iales dado po
Tay :A(R)−→ RN
7−→
∞
X
n=0
n)(0)en= (0)e0+ 0(0)e1+ 00(0)e2+··· ,
donde los
{en}n∈N
cons i uyen la base canónica de
RN
y la elección de
0
como cen o de la se ie no supone pé dida de gene alidad. La cons ucción
ealizada es, esencialmen e, la de la se ie de Taylo si asociamos cada
en
con
xn
n!
. El ope ado
D
en
Tay(R)
se exp esa como el ope ado shi  denido a
con inuación
D:Tay(A(R)) −→ T ay(A(R))
∞
X
n=0
anen7−→
∞
X
n=0
an+1en.
Como el núcleo de la de i ación usual es á compues o po las unciones cons-
an es, enemos
ke D=h{e0}i
. Po o a pa e, como
ke E⊂ke D
y no
puede se que
ke E= 0
, pues en onces
D=E◦E
se ía inyec i o, enemos
ke E= ke D
.
Además,
E
debe se sob eyec i a pues o que
D=E◦E
lo es. Conse-
cuen emen e, exis e un
∈RN
con
E( ) = e0
y, e iden emen e,
6∈ ke E
.
No obs an e enemos
D( ) = E(E( )) = E(e0)=0,
lo que obliga a
∈ke D
con adiciendo
ke E= ke D
.
Esencialmen e, el esul ado enuncia que, suponiendo que la de i ada ac-
ciona ia es una aplicación lineal, no se puede espe a que es a de i ada de
una unción analí ica sea una unción analí ica. Además, aunque hubiésemos
sido capaces de hace lo, segui íamos eniendo el p oblema de deni de modo
uní oco la in eg ación.
1.2. Se ies o males de Lau en
Los dos p oblemas es án ín imamen e ligados con el hecho de que exis e
una asime ía en las se ies de Taylo ; no exis e un elemen o básico máximo,

4
CAPÍTULO 1. UNA PRIMERA APROXIMACIÓN
pe o sí uno mínimo que es
x0
. La solución pa a e i a esa asime ía pasa ía
po abaja con se ies donde el conjun o de elemen os básicos se iden icase
con
Z
en ez de
N
. En consecuencia, abaja emos con se ies o males de
Lau en , las cuales son del ipo
···+a−2e−2+a−1e−1+a0e0+a1e1+a2e2+···
con los coecien es
aj∈R
pa a odo
j∈Z
. Deno a emos al espacio de
dichas se ies, po cohe encia, como
RZ
. Asimismo deno a emos po
E(R)
al
subespacio de
RZ
o mado po las se ies con pa e de Taylo con e gen e.
Obse ación 1.2.
Pa a odo
n∈Z
, la aplicación
Dn:E(R)−→ E(R),
consis en e en desplaza cada coo denada
|n|
unidades hacia la izquie da si
n > 0
y hacia la de echa si
n < 0
, es un isomo smo.
En la sección an e io , imos como la cons ucción ealizada e a, esencial-
men e, una se ie de Taylo enmasca ando
xn
n!
como
en
. Si in en amos eu ili-
za dicho en oque pa a el caso ac ual (con subíndices nega i os) y u ilizamos
la unción
Γ
(que a a emos en el capí ulo siguien e) como gene alización
del ac o ial, asocia íamos
en
con
xn
Γ(n+1)
. Llegados a es e pun o, con iene
no a que
Γ
aplicada a los en e os nega i os oma el alo
∞
, con lo cual
el modo lógico de e alua dichas se ies consis i ía en e alua únicamen e su
pa e de Taylo . Pa ece en onces cohe en e in oduci la siguien e elación
de equi alencia en e se ies o males de Lau en .
Denición 1.3.
Decimos que dos se ies o males de Lau en , que deno amos
po
(an)n∈Z,(bn)n∈Z∈RZ
, son equi alen es,
i.e.
(an)n∈Z∼(bn)n∈Z
, si se
iene que sus coecien es de la pa e de Taylo son iguales, es deci ,
(an)n∈N=
(bn)n∈N
.
A pa i de la cons ucción de la elación de equi alencia y odo lo ex-
pues o, es e iden e que exis e un isomo smo
E(R)
∼∼
=A(R).
Obse ación 1.4.
A pesa de que, en el espacio de se ies o males
E(R)
la
in eg ación y de i ación daban un isomo smo, sólo la de i ación pasa como
aplicación cocien e a
E(R)
∼∼
=A(R)
.
1.3. RESOLUCION DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS
5
En pocas palab as, los coecien es que ienen subíndice posi i o lle an
in o mación sob e la de i ada y los que ienen subíndice nega i o lle an la
in o mación sob e las p imi i as. Al cocien a , nos es amos ol idando de
es os úl imos y se impide la denición uní oca de la in eg ación.
Llegados a es e pun o, una posible opción se ía in en a en oca la eo ía
del cálculo en
E(R)
. Noso os no lo ha emos po que, como ya hemos dicho,
no pod íamos induci el cálculo in eg al que desa ollásemos al caso de las
unciones.
1.3. Resolución de ecuaciones di e enciales median-
e se ies de po encias
En la an e io sección hemos mos ado, undamen almen e, los p oblemas
que exis en al in en a compa ibiliza el cálculo clásico y acciona io con
las se ies de Taylo . No obs an e, se ía in e esan e ene algún esul ado que
inculase el cálculo acciona io con se ies. Desa olla emos ese pun o de is a
en el capí ulo cua o. Po el momen o, ilus a emos cómo, en el caso en e o,
los desa ollos en se ie acili an la esolución de las ecuaciones di e enciales
lineales de coecien es cons an es.
P oposición 1.5.
Sea
una unción de a iable eal inni amen e de i able.
En onces
es analí ica si, y sólo si, pa a cada compac o
K
del dominio, exis e
una cons an e
CK
que hace que se e ique
dk
dxk(x)≤Ck+1
Kk!,∀k∈N.
La p ueba de dicha p oposición, en un con ex o mucho más gene al, puede
encon a se en [4]. Esencialmen e, el esul ado nos dice que pa a que una
unción inni amen e de i able sea analí ica es necesa io y sucien e que sus
coecien es de Taylo no c ezcan demasiado, donde la idea de no c ece
demasiado se o maliza con la co a an e io .
Supongamos una ecuación di e encial homogénea de coecien es cons an-
es de la o ma
cnun)+cn−1un−1) +···+c1u0+c0u= 0; cn6= 0.
(1.1)
P oposición 1.6.
La solución de la ecuación (1.1) es inni amen e de i a-
ble.
6
CAPÍTULO 1. UNA PRIMERA APROXIMACIÓN
Demos ación.
Sabemos que la solución es al menos de i able
n
eces y, de
hecho, se iene
un)=−c−1
n(cn−1un−1) +···+c1u0+c0u).
Con lo cual
un)
, a la cual en p incipio no podíamos ga an iza le egula idad,
esul a se al menos una ez de i able, pues se esc ibe como suma ni a de
unciones que e ican al condición. La de i abilidad de
un)
hace que odos
los sumandos de la de echa sean de i ables dos eces y, po ello, su suma
un)
.
Razonando induc i amen e ga an izamos cualquie g ado de de i abilidad
deseado.
P oposición 1.7.
La solución de la ecuación (1.1) es analí ica.
Demos ación.
U iliza emos la p oposición 1.5. Como la unción
u
es inni-
amen e de i able,
u
iene odas sus de i adas con inuas y, po ello, aco adas
en cualquie compac o
K
. Es, en onces, e iden e ga an iza que exis e
CK
con
dku
dxk(x)≤Ck+1
Kk!,∀k∈ {0,1, ..., n};CK≥c−1
ncj,∀j∈ {0,1, ..., n}.
Nues o obje i o es ex ende la p ime a de las co as a odos los alo es
k≥n
,
lo cual p oba á el ca ác e analí ico. Supongámosla p obada has a un cie o
alo de
k=j≥n
y eamos que se man iene pa a
j+ 1
. E ec i amen e,
|uj+1)| ≤ |cn−1c−1
nuj)|+···+|c0c−1
nuj−n+1)|≤|CKuj)|+···+|CKuj−n+1)|
=CK(|uj)|+···+|uj−n+1)|)≤CK(nCj+1
Kj!) < Cj+2
K(j+ 1)!;
donde en la penúl ima co a hemos usado la hipó esis de inducción y que
CK≥cnc−1
n= 1
. La úl ima co a es i ial u ilizando que
j≥n
.
Ejemplo 1.8.
Supongamos que que emos encon a las soluciones de la
ecuación di e encial
u0=ku
, con
k∈R
. Como oda solución posible
se á analí ica, podemos lle a el p oblema a se ies de Taylo . De i ando la
se ie de Taylo e igualando coecien es, llegamos a la ó mula de ecu en-
cia
an+1 =kan
pa a odo
n∈N
o, equi alen emen e,
an=kna0
pa a odo
n∈N
. Po an o, la solución es la se ie
X
n∈N
an
n!xn=X
n∈N
a0kn
n!xn=a0X
n∈N
1
n!(kx)n=a0ekx = (0)ekx.
1.3. RESOLUCIÓN DE EDOS EN SERIE
7
Ejemplo 1.9.
Supongamos que que emos encon a las soluciones de la
ecuación di e encial
u00 +u= 0
, que se án analí icas. Con el mismo me-
canismo mencionado an e io men e, llegamos a la ecu encia
an+2 =−an
.
Se ob iene la se ie solución
X
n∈N
an
n!xn=X
n∈2N
(−1)n
2a0
n!xn+X
n∈2N+1
(−1)n−1
2a1
n!xn=a0cos(x) + a1sen(x).
La loso ía gene al es que la esolución de ecuaciones di e enciales li-
neales con coecien es cons an es equi ale a la esolución de ecuaciones en
di e encias. Como ya habíamos anunciado p e iamen e, en el capí ulo cua o
u iliza emos la misma loso ía con las se ies de Fou ie y las incula emos
al cálculo de soluciones de algunas ecuaciones di e enciales de o den en e o
y acciona io.

Capí ulo 3
El en oque de
Riemman-Liou ille
Figu a 3.1: Geo g F ied ich Be nha d Riemann y Joseph Liou ille.
El obje i o de es e capí ulo es in oduci un p ime ejemplo de in eg al y
de i ada acciona ia. El p ime paso, que ya ha sido dado, consis ía en da
unos esul ados écnicos que sos u iesen eó icamen e el abajo a desa olla
aho a. Comenzamos in oduciendo el cálculo acciona io según Riemann-
Liou ille, el cual nace de una gene alización de la ó mula de Cauchy pa a
in eg ación epe ida. Nues o obje i o de dicha in oducción es p esen a las
nociones de in eg al y de i ada acciona ia de Riemann-Liou ille, así como
15
16
CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE
unos esul ados elemen ales que in oluc en dichos concep os. Los con enidos
p esen ados se i án pa a esol e , en la sección nal, la denominada ecua-
ción in eg al de Abel, la cual modela un de e minado p oceso ísico. Nues a
e e encia p incipal en es e capí ulo es [8] y, pa a la in e p e ación ísica de
la ecuación de Abel, u iliza emos [1].
3.1. La idea o iginal de Riemann y Liou ille
En 1832, Be nha d Riemann y Joseph Liou ille colocan la p ime a pied a
en la o malización de la eo ía del cálculo acciona io deniendo la in eg al
de Riemann-Liou ille. La idea no edosa descansa en una gene alización de
la ó mula de Cauchy pa a la in eg ación epe ida. Dicha ó mula o o ga una
igualdad en e
n
in eg ales consecu i as de una unción con inua y una única
in eg al simple donde el alo
n−1
apa ece como exponen e y como é mino
mul iplica i o ac o ial. La gene alización de las po encias a exponen es com-
plejos y del ac o ial a la unción
Γ
pe mi en da una denición de in eg al de
o den
α∈C
donde, po mo i os écnicos, se equie e
<(α)>0
. El desa ollo
de es a sección consis e, undamen almen e, en p oba la ó mula de Cauchy
pa a in eg ación epe ida, la cual es á enunciada en [8].
Teo ema 3.1
(Fó mula de Cauchy pa a in eg ación epe ida)
.
Dada una
unción con inua
: [a, b]−→ R
se iene la siguien e igualdad si
n∈Z+
:
−n)(x) : = Zx
aZ 1
a···Z n−1
a
( n)d n···d 2d 1
=1
(n−1)! Zx
a
(x− )n−1 ( )d .
Demos ación.
La p ueba se ealiza á po inducción en
n
. En ende emos
siemp e que
x∈[a, b]
, dado que no sabemos del compo amien o de
ue a
del in e alo.
El caso
n= 1
es e iden e, pues las dos exp esiones dadas po el eo ema
son manies amen e iguales sal o un cambio de nomb e en las a iables
Zx
a
( 1)d 1=Zx
a
( )d .
Supongamos el eo ema cie o has a un cie o índice
n
y p obémoslo pa a
n+ 1
. Pa imos de
−(n+1))(x) := Zx
aZ 1
a···Z n
a
( n+1)d n+1 ···d 2d 1.
3.2. INTEGRAL DE RIEMANN-LIOUVILLE
17
Aplicamos la hipó esis de inducción a las
n
in eg ales más in e nas, lo que
ans o ma la an e io igualdad en
−(n+1))(x) = 1
(n−1)! Zx
aZ 1
a
( 1− )n−1 ( )d d 1.
In e cambiando el o den de in eg ación en el miemb o de echo (al es a en
hipó esis del co ola io 2.2), ob enemos
−(n+1))(x) = 1
(n−1)! Zx
aZx
( 1− )n−1 ( )d 1d .
Finalmen e, ealizamos la in eg al in e na pa a conclui
−(n+1))(x) = 1
n!Zx
a
(x− )n ( )d ,
que es la igualdad deseada.
Obse ación 3.2.
Si
es con inua en
R
, bas a elegi un
a
pa a pode
enuncia el an e io esul ado pa a odo
x≥a
. En ese caso, habla íamos
de la
n
-p imi i a de
con ex emo in e io jo
a
. Pa alelamen e, se puede
o mula un esul ado análogo donde jamos el ex emo supe io del in e alo
de in eg ación
b
y se deja como a iable
x≤b
.
3.2. La in eg al acciona ia de Riemann-Liou ille
Como ya habíamos anunciado, la ó mula pa a in eg ación epe ida su-
gie e la posibilidad de una denición pa a alo es no na u ales de
n
. Pa a
ello, u ilizamos la unción
Γ
de Eule , que e ica la p opiedad
Γ(n+1) = n!
.
Po supues o, exis en o as unciones que gene alizan la unción ac o ial a
a iable eal o compleja con p opiedades ag adables. Dado que la gene ali-
zación clásica consis e en u iliza la unción
Γ
, no ha emos más hincapié en
el uso de o as ex ensiones del ac o ial.
Du an e es a sección,
a
y
b
se án núme os eales con
a<b
.
Denición 3.3.
Sea
∈L1(a, b)
. Denimos la in eg al acciona ia de
Riemann-Liou ille de o den
α > 0
de
po la izquie da con ex emo in-
e io
a
como sigue
(Iα
a+ )(x) := 1
Γ(α)Zx
a
( )
(x− )1−αd , x > a.
18
CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE
Denición 3.4.
Sea
∈L1(a, b)
. Denimos la in eg al acciona ia de
Riemann-Liou ille de o den
α > 0
de
po la de echa con ex emo supe io
b
como sigue
(Iα
b− )(x) := 1
Γ(α)Zb
x
( )
( −x)1−αd , x < b.
Obse ación 3.5.
Es e iden e que la in eg al acciona ia de cualquie o -
den es un ope ado lineal.
Obse ación 3.6.
Si
∈L1(a, b)
, en onces
Iα
a+ ∈L1(a, b)
po que
Zb
a|(Iα
a+ )(x)|dx =1
Γ(α)Zb
aZx
a
(y)dy
(x−y)1−αdx,
que se aco a supe io men e, de modo i ial, po
1
Γ(α)Zb
aZx
a
| (y)|dy
(x−y)1−αdx.
Si u ilizamos la ó mula de Di ichle (co ola io 2.2), la co a se eesc ibe como
1
Γ(α)Zb
a| (y)|Zb
y
dx
(x−y)1−αdy,
que, al compu a la in eg al in e na, pe mi e ob ene la co a
1
Γ(1 + α)Zb
a| (y)|(b−y)αdy ≤(b−a)α
Γ(1 + α)Zb
a| (y)|dy.
Pa a sal agua da la máxima gene alidad, hemos p esen ado la in eg a-
ción po la izquie da y po la de echa de modo sepa ado. No obs an e, los
concep os no son independien es y, como mues a el siguien e lema, es án
ín imamen e elacionados median e un ope ado ipo eexión o sime ía.
Lema 3.7.
Si
Q
es el ope ado eexión dado po
(Qϕ)(x) = ϕ(a+b−x)
,
se ienen las siguien es iden idades
QIα
a+=Iα
b−Q, QIα
b−=Iα
a+Q.
Demos ación.
Es e iden e que
Q◦Q=
id. Eso hace que bas e comp oba
sólo la p ime a iden idad pues, una ez p obada es a, deduci íamos la o a
aplicando
Q
a ambos lados
QIα
a+=Iα
b−Q=⇒QQIα
a+Q=QIα
b−QQ ⇐⇒ Iα
a+Q=QIα
b−.
3.2. INTEGRAL DE RIEMANN-LIOUVILLE
19
Po una pa e,
(QIα
a+ )(x) = (Iα
a+ )(a+b−x) = 1
Γ(α)Za+b−x
a
( )
(a+b−x− )1−αd .
Aplicamos el cambio de a iable
=a+b−s
o, equi alen emen e,
s=a+b−
,
que implica el cambio o mal al in eg a
d =−ds
. La úl ima exp esión
desa ollada es igual a
−1
Γ(α)Zx
b
(a+b−s)
(s−x)1−αds,
donde cabe des aca el cambio en los lími es de in eg ación po el cambio
de a iable. Dicho cambio se compensa con el signo menos y la an e io
exp esión es igual a
1
Γ(α)Zb
x
(a+b−s)
(s−x)1−αds.
Po o a pa e,
(Iα
b−Q )(x) = 1
Γ(α)Zb
x
Q ( )
( −x)1−αd
y bas a ene en cuen a la iden idad
Q ( ) = (a+b− )
pa a iguala la
exp esión a
1
Γ(α)Zb
x
(a+b− )
( −x)1−αd ,
que coincide con lo que que íamos e .
El lema 3.7 es emendamen e ú il si uno quie e aslada p opiedades ya
p obadas pa a la in eg al de echa a la in eg al izquie da. U iliza emos esa
écnica en el lema siguien e, donde comp obamos que la in eg al acciona ia
he eda una p opiedad conocida pa a el caso en e o.
Lema 3.8.
La in eg al de Riemann-Liou ille sa is ace
Iα
a+Iβ
a+ϕ=Iα+β
a+ϕ, Iα
b−Iβ
b−ϕ=Iα+β
b−ϕ, α, β > 0.
(3.1)
Demos ación.
Es sucien e p oba el caso de la in eg al po la izquie da
pues, una ez hecho, bas a ía usa el ope ado
Q
del lema 3.7 jun o a la
p opiedad
QQ =
id:
Iα
b−Iβ
b−ϕ=Iα
b−Iβ
b−QQϕ =QIα
a+Iβ
a+Qϕ =QIα+β
a+Qϕ =Iα+β
b−QQϕ =Iα+β
b−ϕ.

20
CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE
Pa a p oba el caso de la in eg al po la izquie da, pa imos de
Iα
a+Iβ
a+ϕ=1
Γ(α)Γ(β)Zx
a
1
(x− )1−αZ
a
ϕ(τ)dτ
( −τ)1−βd .
Al aplica la ó mula de Di ichle (co ola io 2.2), se sigue que
Iα
a+Iβ
a+ϕ=1
Γ(α)Γ(β)Zx
a
ϕ(τ)Zx
τ
d
(x− )1−α( −τ)1−βdτ.
Si aho a u ilizamos la igualdad (2.5), como
<(α)>0
y
<(β)>0,
ob e-
nemos
B(β, α)
Γ(α)Γ(β)Zx
a
ϕ(τ)
(x−τ)1−α−βdτ =1
Γ(α+β)Zx
a
ϕ(τ)
(x−τ)1−α−βdτ,
donde, en la igualdad nal, hemos usado (2.4).
3.3. La de i ada acciona ia de Riemann-Liou ille
El pá a o in oduc o io y el camino seguido has a el momen o dejan
cla o que el cálculo acciona io se inicia deniendo la in eg al acciona ia.
De hecho, en el cálculo acciona io según Riemann-Liou ille, la denición
de la in eg al a a inui en la denición de la de i ada.
Es o supone un con as e con el cálculo en e o, en el que se in oduce la
noción de de i ada de modo independien e (como lími e de cocien es inc e-
men ales). Esa di e encia es, de hecho, muy impo an e po que clásicamen e
la in eg al depende de un conjun o (in e alo o, más gene almen e, ecin-
o de in eg ación) mien as que la de i ada es un concep o local. El hecho
de deni la de i ada a pa i de la in eg al lle a a que haya que deni la
de i ada ela i a a un cie o ex emo jo.
Denición 3.9.
Sea
una unción eal con dominio
[a, b]
. Denimos la
de i ada acciona ia de Riemann-Liou ille de o den
0< α < 1
de
po la
izquie da con ex emo in e io
a
como el siguien e alo (si exis e):
(Dα
a+ )(x) := d
dx(I1−α
a+ )(x) = 1
Γ(1 −α)
d
dx Zx
a
( )
(x− )αd , x > a.
Denición 3.10.
Sea
una unción eal con dominio
[a, b]
. Denimos la
de i ada acciona ia de Riemann-Liou ille de o den
0< α < 1
de
po la
de echa con ex emo supe io
b
como el siguien e alo (si exis e):
(Dα
b− )(x) := −d
dx(I1−α
b− )(x) = −1
Γ(1 −α)
d
dx Zb
x
( )
(x− )αd .
3.3. DERIVADA DE RIEMANN-LIOUVILLE
21
Obse ación 3.11.
Al igual que sucedía con la in eg al acciona ia, es
inmedia o comp oba que la de i ada acciona ia de o den
0< α < 1
es un
ope ado lineal.
Se á in e esan e da alguna condición sob e
que asegu e la exis encia
de de i ada acciona ia en el sen ido de Riemann-Liou ille.
Obse ación 3.12.
No emos que, a di e encia de la in eg al acciona ia,
que ue denida pa a odo
α > 0
, en el caso de la de i ada hemos dado la
denición cuando
0< α < 1
. Es e iden e que las deniciones 3.9 y 3.10
no pueden p olonga se pa a
α= 1
pues, en ese caso, hab ía que conside a
una di isión en e
Γ(0)
. La solución clásica a es e p oblema pasa po una
denición ecu si a de es e ipo de de i ada.
Sea
α∈R+
y pongámoslo, con la no ación habi ual, como suma de su
pa e en e a (o suelo) y su pa e decimal, i.e.,
α= [α] + {α}
.
Denición 3.13.
Sea
una unción eal denida en
[a, b]
. Denimos la
de i ada acciona ia de Riemann-Liou ille de o den
α > 0
(cuando
{α} 6= 0
)
de
po la izquie da como el siguien e alo (si exis e):
(Dα
a+ )(x) := d
dx[α](D{α}
a+ )(x) = d
dx[α]+1(I1−{α}
a+ )(x).
Denición 3.14.
Sea
una unción eal denida en
[a, b]
. Denimos la
de i ada acciona ia de Riemann-Liou ille de o den
α > 0
(cuando
{α} 6= 0
)
de
po la de echa como el siguien e alo (si exis e):
(Dα
b− )(x) := −d
dx[α](D{α}
b− )(x) = −d
dx[α]+1(I1−{α}
b− )(x).
Obse ación 3.15.
Si
{α}= 0
, es deci , si
α∈Z+
, denimos
Dα
a+
como
la de i ada usual de o den
α
independien emen e del alo
a∈R
. Asimismo,
denimos
Dα
b−
como el opues o de la de i ada de o den
α
independien e-
men e del alo
b∈R
. En cualquie a de los casos, enemos que la de i ada
de cualquie o den
α > 0
es una aplicación lineal.
Si omamos
n= [α]+1
y, po an o,
{α}=α−n+ 1
, las deniciones
an e io es pueden eesc ibi se como
Dα
a+ =1
Γ(n−α)d
dxnZx
a
( )d
(x− )α−n+1 , n = [α]+1,
Dα
b− =(−1)n
Γ(n−α)d
dxnZb
x
( )d
(x− )α−n+1 , n = [α]+1.
22
CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE
3.4. La de i ada y la in eg al como ope ado es in-
e sos
Po comodidad a la ho a de usa no ación, pa a odo
α > 0
, u iliza emos
los con enios
I−α
a+ := Dα
a+
e
I−α
b− := Dα
b−
pa a cualquie
a la que enga sen ido aplica dichos ope ado es, donde
a
y
b
son núme os eales con
a < b
.
Obse ación 3.16.
Po denición de la de i ada de Riemann-Liou ille se
iene, i ialmen e, que
I−n
a+Iα
a+=I−n+α
a+.
Teo ema 3.17.
Sea
α > 0
, en onces enemos la igualdad
Dα
a+Iα
a+ϕ=ϕ,
pa a cualquie
ϕ∈L1(a, b)
. Además, se iene
Iα
a+Dα
a+ =
bajo la hipó esis adicional de que
∈Iα
a+(L1(a, b))
.
Demos ación.
Tenemos que
Dα
a+(Iα
a+ϕ)(x) = 1
Γ(α)Γ(n−α)d
dxnZx
a
1
(x− )α−n+1 Z
a
ϕ(s)ds
( −s)1−αd .
Si u ilizamos la ó mula de in eg ación en iángulos, ob enemos
Dα
a+(Iα
a+ϕ)(x) = 1
Γ(α)Γ(n−α)d
dxnZx
a
ϕ(s)Zx
s
d
( −s)1−α(x− )α−n+1 ds.
Realizando la in eg al in e io po (2.5) y u ilizando (2.4), pues
<(α)>0
y
<(n−α)>0
, la an e io igualdad se educe a
Dα
a+(Iα
a+ϕ)(x) = 1
Γ(n)d
dxnZx
a
ϕ(s)(x−s)n−1ds.
De ahí concluimos la p ime a a mación pues, po la ó mula in eg al de
Cauchy ( eo ema 3.1),
ϕ(x) = 1
Γ(n)d
dxnZx
a
ϕ(s)(x−s)n−1ds.
3.4. OPERADORES INVERSOS
23
La segunda a mación es p ác icamen e inmedia a. Si
=Iα
a+ϕ
, bas a
aplica la p ime a a mación pues
(Iα
a+Dα
a+) = (Iα
a+Dα
a+)(Iα
a+ϕ) = Iα
a+(Dα
a+Iα
a+)ϕ=Iα
a+ϕ= ,
ob eniendo el esul ado deseado.
Co ola io 3.18.
Sean
α, β, a, b ∈R
con
a<b
y sea
ϕ∈L1(a, b)
. Suponga-
mos que se cumple alguna de las siguien es hipó esis:
α < 0
,
β > 0
con
|α|<|β|
.
α < 0
,
β > 0
con
|α|>|β|
y
ϕ=I−α−β
a+(ψ)
con
ψ∈L1(a, b)
.
α > 0
,
β < 0
con
|α|>|β|
y
ϕ=I−β
a+(ψ)
con
ψ∈L1(a, b)
.
α > 0
,
β < 0
con
|α|<|β|
y
ϕ=I−β
a+(ψ)
con
ψ∈L1(a, b)
.
En onces se e ica que
Iα
a+Iβ
a+ϕ=Iα+β
a+ϕ.
Demos ación.
La idea de la p ueba es ealiza la descomposición adecuada
de las in eg ales o de i adas acciona ias en unción de las hipó esis que
engamos. Las he amien as a u iliza son la obse ación 3.6, la igualdad
(3.1) y el eo ema 3.17.
La p ime a hipó esis implica
−α−β > 0
y, po an o,
Iα
a+Iβ
a+ϕ=Iα
a+I−α
a+Iα+β
a+ϕ=Iα+β
a+ϕ,
donde la p ime a igualdad se jus ica con (3.1) y en la segunda aplicamos
el eo ema 3.17 pues, po la obse ación 3.6, enemos la hipó esis de que
Iα+β
a+ϕ∈L1(a, b)
.
La segunda hipó esis implica
−α−β > 0
y, po an o,
Iα
a+Iβ
a+ϕ=Iα
a+Iβ
a+I−α−β
a+ψ=ψ=Iα+β
a+ϕ,
donde la p ime a igualdad iene dada po la hipó esis de exis encia de
ψ
,
jun o al eo ema 3.17, y la segunda igualdad iene dada po (3.1).
La e ce a hipó esis implica
α+β > 0
y, po an o,
Iα
a+Iβ
a+ϕ=Iα+β
a+I−β
a+Iβ
a+ϕ=Iα+β
a+ϕ,
donde la p ime a igualdad iene dada po (3.1) y la segunda po la hipó esis
de exis encia de
ψ
, jun o al eo ema 3.17.
30
CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE
Demos ación.
Una implicación es cla a. Si uno eexamina la esolución de
la ecuación in eg al de Abel, se puede comp oba que el único paso c í ico
es la deducción de (3.7), paso en el que es necesa io que
ϕ∈L1(a, b)
pa a
aplica la ó mula de Di ichle . El es o de los pasos has a la igualdad (3.8)
no equie en hipó esis adicionales. P ecisamen e la igualdad (3.8) es la que
nos ga an iza
I1−α
a+ ∈AC([a, b])
al se p imi i a de una unción de
L1(a, b)
;
más conc e amen e es amos aplicando (2.2) y que
ϕ∈L1(a, b)
. Además, la
misma igualdad (3.8) da ambién, i ialmen e,
(I1−α
a+ )(a)=0
.
P obamos aho a la o a implicación. El hecho
I1−α
a+ ∈AC([a, b])
nos
pe mi e habla de su de i ada como
(I1−α
a+ )0=I−α
a+ ∈L1(a, b)
. Nues o
obje i o es p oba que dicha unción es solución de (3.5). En o as palab as,
si enemos
Iα
a+I−α
a+ =g
(3.11)
que emos e que con las hipó esis mencionadas an e io men e se sigue
g=
.
La p ime a obse ación es que
I1−α
a+g
es absolu amen e con inua, lo cual
es e iden e aplicando
I1−α
a+
en ambos lados de (3.11).
Po o a pa e, aplicando
I−α
a+
a los dos lados y usando el co ola io 3.18
podemos simplica el lado izquie do po que
I−α
a+ ∈L1(a, b)
y end emos
la igualdad
I−α
a+ =I−α
a+g
o, equi alen emen e,
I−1
a+I1−α
a+ =I−1
a+I1−α
a+g.
Además las unciones
I1−α
a+
y
I1−α
a+g
son absolu amen e con inuas, la p ime a
po hipó esis y la segunda po conside aciones an e io es.
Consecuen emen e, al se absolu amen e con inuas y coincidi en de i a-
da, las unciones
I1−α
a+
y
I1−α
a+g
sólo se di e encian en una cons an e, la cual
debe se
0
en is a de que
(I1−α
a+ )(a)=0
po hipó esis y
(I1−α
a+g)(a)=0
po denición de
g
.
En onces, se iene
I1−α
a+( −g) = I1−α
a+ −I1−α
a+g= 0,
que es una ecuación del ipo de la ecuación in eg al de Abel (3.5) de solución
−g
. Como
−g∈L1(a, b)
, pues de hecho es absolu amen e con inua, se
puede aplica odo el desa ollo p opio de la solución de la ecuación in eg al
de Abel y conclui la unicidad de solución. Como e iden emen e la unción
0
es una solución, dicha unicidad obliga a que
−g= 0
.
Obse ación 3.27.
Po el p ocedimien o de esolución de la ecuación in-
eg al de Abel, que e a aplicable si
ϕ∈L1(a, b)
, sabíamos que la solución

3.7. LA ECUACIÓN INTEGRAL DE ABEL
31
e a única. En consecuencia, si se ienen las hipó esis equi alen es (3.10), se
deduce ambién la unicidad de solución.
El único posible incon enien e al eo ema an e io es que deja la esolu-
bilidad de la ecuación de Abel en unción a hipó esis sob e
I1−α
a+
que puede
se de cómpu o complicado si
no es adecuada. Como solución a es e p o-
blema podemos da hipó esis sucien es sob e
que asegu an la exis encia
de solución en i ud al lema 3.20.
Co ola io 3.28.
Si
∈AC([a, b])
, en onces la ecuación de Abel con pa á-
me o
0< α < 1
iene solución.
Pa a ce a es a sección con iene señala que exis en ó mulas análogas
a las ob enidas cuando se ja el ex emo supe io de las in eg ales.
Obse ación 3.29.
Se puede o mula la ecuación de Abel jando el ex e-
mo supe io del in e alo
1
Γ(α)Zb
y
ϕ( )d
( −y)1−α= (y), y ≤b
o, equi alen emen e,
Iα
b−ϕ= .
Con el p ocedimien o ya ealizado, se ob iene la solución o mal de es a
ecuación cuando
0< α < 1
como
ϕ(x) = −1
Γ(1 −α)
d
dx Zb
x
(y)dy
(y−x)α
o, equi alen emen e,
ϕ=I−α
b− .
La exis encia de solución
ϕ∈L1(a, b)
equi ale a que
I−α
b− ∈AC([a, b])
e
(I−α
b− )(b) = 0
. Esa hipó esis se sa is ace i ialmen e si
∈AC([a, b])
y se
puede acili a la eesc i u a de la solución
ϕ
como
ϕ(x) = 1
Γ(1 −α) (b)
(b−x)α−Zb
x
0(s)ds
(s−x)α!, x ∈[a, b].
(3.12)
3.7.3. El p oblema mecánico de Abel
Una de las amas p imigenias de la ísica es la mecánica, que se enca ga
de es udia el mo imien o de los obje os bajo las acciones de las ue zas.
Un ejemplo de p oblema mecánico su ge de modo na u al al plan ea se una
p egun a como ¾Es posible de e mina la o ma de un obogán, que no p o-
duce ozamien o, si se conoce el iempo de descenso al i a se desde cualquie
al u a del mismo? El p oblema en cues ión se denomina p oblema mecánico
de Abel. A eces, el p oblema se o mula de modo más conc e o buscando
32
CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE
el obogán au óc ono, ambién llamado isóc ono, en el cual el iempo de
descenso es independien e de la al u a inicial. En es a subsección, esol e e-
mos el p oblema au óc ono y e emos que la solución es un a co de cicloide
in e ido. Pa a la esolución, se á undamen al la ecuación in eg al de Abel,
que ha sido a ado en las dos subsecciones p e ias. La e e encia p incipal
en es a subsección ha sido [1], aunque man enemos la no ación de nues a
e e encia p incipal [8].
Fo mulación del p oblema
Pa imos de una cu a dec ecien e
y(x)
des-
conocida que co a al eje
X
en
(0,0)
y de una pa ícula de masa
m
. Supo-
nemos conocido el iempo de descenso de la pa ícula desde cualquie pun o
P0≡(x0, y0)
de la cu a has a el suelo
(0,0)
. Nues o obje i o es a e igua
la o ma de la cu a, pa a lo cual supond emos un mo imien o conse a i o
donde la pa ícula sólo es á some ida a la ue za g a i a o ia. Po simplici-
dad de no ación, deno a emos po
s
a la unción que mide el a co desde un
pun o
(x0, y0)
has a el pun o
(0,0)
.
El p incipio de conse ación de ene gía mecánica o o ga
mg(y0−y) = 1
2mds
d 2−0
y obse amos inmedia amen e que el p oceso es independien e de la masa
m
. Despejando en la ecuación y eniendo en cuen a el signo
−
en la aíz, po
se el a co dec ecien e como unción del iempo,
−p2g(y0−y) = ds
d .
En onces el iempo de descenso se á
T(y0) = −1
√2gZ(0,0)
(x0,y0)
ds
√y0−y,
donde la in eg al es di ícilmen e esoluble pues las a iables
s
e
y
es án
ligadas. Pa a esol e el p oblema, ac o izamos el a co
s
a a és de una
unción que dependa exclusi amen e de la al u a (pues la cu a solución es
dec ecien e) como
s=h(y)
, enemos
T(y0) = −1
√2gZ0
y0
h0(y)dy
√y0−y⇐⇒ T=1
√2gZy0
0
h0(y)dy
√y0−y.
Al di idi en e
Γ(0,5) = √π
, se eesc ibe como la ecuación de Abel (3.5)
T(y0) = π
2gI
1
2
0+h0(y0).
3.7. LA ECUACIÓN INTEGRAL DE ABEL
33
Supongamos que
T
e ica las hipó esis (3.10) necesa ias pa a la exis encia
de solución. P ecisamen e, ya hemos is o que la solución oma la o ma
h0= 2g
πI−1
2
0+T.
Además, se puede deduci la siguien e elación en e
h0
y la in e sa de la
pendien e
h0(y) = ds
dy =s1 + dx
dy 2=⇒dx
dy =−ph0(y)2−1,
(3.13)
donde, en la implicación, se debe elegi el signo de modo cohe en e al p o-
blema. Como hemos supues o que la cu a es dec ecien e, elegimos el signo
−
, pues al aumen a
y
disminuye
x
. In eg ando, ob enemos
x=−Zy0
0 2g
πI−1
2
0+T(y)2−1dy +c
(3.14)
y el hecho de que, cuando
y0= 0
engamos
x= 0
, implica
c= 0
.
Resol e el p oblema de modo gené ico es complicado, po lo que nos
cen a emos en el caso en el que
T
es una unción cons an e, es deci , supo-
nemos que el iempo de descenso
T
es independien e de la al u a inicial. En
ese caso,
(I−1
2
0+T)(y) = 1
Γ(0,5)
T
√y=T
√πy
po (3.4) e, inyec ándolo en (3.14), enemos
x=−Zy0
0s2gT2
π2y−1dy.
Pa a calcula es a úl ima in eg al, plan eamos el cambio
y=2gT 2
π2sen2θ
,
que es á bien o mulado pues, de (3.13), se sigue
h0(y)2=2T2g
π2·1
y≥1 =⇒y∈0,2gT 2
π2.
Al usa el cambio de a iable, la in eg al se eesc ibe como
x=−4gT2
π2Zβ
0 1
sen2θ−1 sen θcos θdθ =−4gT 2
π2Zβ
0
cos2θdθ,
34
CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE
donde
β= a c sen qy0π2
2gT 2
y hemos usado, implíci amen e, que las unciones
seno y coseno son posi i as en el ecin o de in eg ación. Compu ando la
in eg al, ob enemos
x=−gT2
π2Zβ
0
(2 + 2 cos 2θ)dθ =gT2
π2(−2β−sen 2β).
Po o a pa e, po cómo se hizo el cambio de a iable, ya sabemos
y=gT2
π2(2 sen2β) = gT 2
π2(1 −cos 2β).
Obse amos que las dos exp esiones p e ias denen conjun amen e una ci-
cloide de adio
gT 2
π2
y que dicha exp esión sólo iene sen ido ísico pa a los
alo es
β∈[0, π]
, pa a los cuales la solución es una cu a dec ecien e.
Rep esen amos g ácamen e la solución del p oblema, omando la elec-
ción de
T
que ga an iza
gT 2
π2= 1
.
Figu a 3.3: Rep esen ación de la solución al p oblema de Abel.
Capí ulo 4
El en oque de Weyl
Has a el momen o nos hemos cen ado en las de i adas e in eg ales ac-
ciona ias en el sen ido de Riemann-Liou ille. Una de las p ime as comp oba-
ciones ealizadas ha sido que dichos ope ado es son lineales. Ese hecho puede
suge i nos es udia el compo amien o de las de i adas e in eg ales accio-
na ias de Riemann-Liou ille espec o a ipos de se ies uncionales. Realiza
una buena elección de la base en o no a la cual se cons uye la se ie se á
de e minan e a la ho a de simplica los cálculos. En ese sen ido, esul a
in e esan e incula la eo ía de se ies de Fou ie con el cálculo acciona io,
como ya p opuso He mann Weyl hace, ap oximadamen e, 100 años.
Figu a 4.1: He mann Klaus Hugo Weyl.
35

36
CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL
Du an e es e capí ulo, deni emos la de i ada e in eg al acciona ia de
una se ie de Fou ie . Además, p oba emos que dicha denición de cálculo
acciona io se co esponde con la de Riemann-Liou ille omando como ex-
emo in e io
−∞
. Finalmen e, dedicamos una sección a un es udio supe -
cial de las sumas de Cesà o y Fejé , pues esas nociones pe mi en ensancha ,
en cie o sen ido, el conjun o de se ies de Fou ie con e gen es.
4.1. Se ies de Fou ie
En es e abajo, po aho a, hemos pues o de manies o la ue e elación
exis en e en e las se ies de Taylo y el cálculo acciona io según Riemann-
Liou ille. Po o a pa e, al plan ea se la elación en e cálculo acciona io
y se ies uncionales, pa ece necesa io e in e esan e es udia qué sucede al
abaja con las se ies de Fou ie .
Figu a 4.2: Jean Bap is e Joseph Fou ie .
Du an e es a sección, conside amos
ϕ: (−π, π]−→ R
una unción a bi-
a ia. Dado que du an e el capí ulo apa ece án en cie o momen o po en-
cias complejas, debemos elegi cie a de e minación del a gumen o (medida
de ángulos) que, en nues o caso, se á
[−π, π)
. En consecuencia, si
α∈R
y
z∈C
in e p e a emos
zα
como el núme o complejo de módulo
|z|α
y
a gumen o p incipal
α·
a g
(z)
.
Denición 4.1.
Denimos los coecien es de Fou ie igonomé icos de
ϕ
como los alo es de las siguien es in eg ales (si exis en):
4.1. SERIES DE FOURIER
37
a0=1
πRπ
−πϕ(x)dx
,
an=1
πRπ
−πcos(nx)ϕ(x)dx,
pa a odo
n∈Z+
,
bn=1
πRπ
−πsen(nx)ϕ(x)dx,
pa a odo
n∈Z+
.
Denición 4.2.
Denimos los coecien es de Fou ie complejos de
ϕ
como
los alo es de las siguien es in eg ales (si exis en)
ϕn=1
2πZπ
−π
e−
i
nxϕ(x)dx,
pa a odo
n∈Z.
Obse ación 4.3.
Se ienen las siguien es elaciones:
an−
i
bn= 2ϕn,
si
n∈Z+,
an+
i
bn= 2ϕ−n,
si
−n∈Z−,
a0= 2ϕ0.
Obse ación 4.4.
Podemos exp esa dichas elaciones de modo in e so
como
an=ϕn+ϕ−n
si
n∈Z+,
bn=
i
(ϕn−ϕ−n)
si
n∈Z+,
a0= 2ϕ0.
La nalidad de cualquie a de las dos amilias de coecien es es cons ui ,
al menos o malmen e, la se ie de Fou ie .
Obse ación 4.5.
Po cons ucción, es equi alen e que
ϕ
enga p omedio
nulo den o del pe íodo a que suceda
ϕ0=a0= 0
.
Denición 4.6.
Denimos la se ie de Fou ie igonomé ica de
ϕ
como
a0
2+
∞
X
n=1 ancos(nx) + bnsen(nx), x ∈R.
Denición 4.7.
Denimos la se ie de Fou ie exponencial de
ϕ
como
∞
X
n=−∞
ϕne
i
nx, x ∈R.
38
CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL
Cada una de las deniciones dadas an e io men e ae un p oblema con-
sigo: los coecien es de Fou ie no ienen po qué exis i y la se ie de Fou ie
puede no se con e gen e. A con inuación exponemos, en o ma de eo emas,
di e sas soluciones conocidas a dichos p oblemas que suelen se obje o de
es udio en cualquie cu so básico de Se ies de Fou ie .
Teo ema 4.8.
Sean
∈L1(−π, π]
,
¯
su ex ensión
2π
-pe iódica y
x0∈R
.
Si exis en
l´ım
x→x+
0
¯
(x)−¯
(x+
0)
x−x0
y
l´ım
x→x−
0
¯
(x)−¯
(x−
0)
x−x0
,
en onces la se ie de Fou ie de
e aluada en el pun o
x0
es con e gen e y
su suma oma el alo
¯
(x+
0) + ¯
(x−
0)
2.
Del eo ema se ex ae, i ialmen e, el siguien e co ola io que, aunque
mucho menos gene al, se á al que nos e e i emos pa a jus ica cie os com-
po amien os g ácos que obse a emos más adelan e.
Co ola io 4.9.
Sea
∈C∞(A)
con
A⊂R
abie o,
A⊃[−π, π]
y
x0∈R
.
Sea
y0
el único ep esen an e de
x0
módulo
2π
en
(−π, π]
.
Si
y06=π
, en onces la se ie de Fou ie e aluada en el pun o
x0
es con-
e gen e y oma el alo
(y0)
.
Si
y0=π
, en onces la se ie de Fou ie e aluada en el pun o
x0
es con-
e gen e y oma el alo
¯
(π)+ ¯
(−π)
2.
Sal o que abajemos con unciones pe iódicas, es e iden e que no po-
demos espe a con e gencia uni o me. Es e hecho se debe a que las sumas
pa ciales son unciones con inuas
2π
-pe iódicas y, si con e giesen de modo
uni o me, con e ge ían a una unción con inua
2π
-pe iódica.
En el caso de a a con unciones pe iódicas, uno de los esul ados más
conocidos y ascenden es es el siguien e eo ema del ma emá ico húnga o
Lipó Fejé .
Teo ema 4.10
(de Fejé )
.
Sean
∈L1(−π, π)
,
¯
su ex ensión
2π
-pe iódica
y
σm(x)
el p omedio a i mé ico de las
m
p ime as sumas pa ciales de la se ie
de Fou ie de
(x)
. Se iene que la sucesión
(σm)m∈Z+
con e ge en casi odo
pun o a
¯
. Con las hipó esis adicionales de que
sea con inua en
[−π, π]
y que
(π) = (−π)
, la con e gencia an e io se da en odos los pun os y,
además, de modo uni o me.
4.2. EL OPERADOR DE WEYL
39
En la sección nal de es e capí ulo, e emos cómo la apo ación de Fe-
jé pe mi e ex ende el concep o de sumabilidad de una se ie y acele a ,
numé icamen e, la con e gencia de la sucesión de sumas pa ciales. En es e
úl imo caso, la idea que hay de ás es que, p ejado un pun o
x0
, algunas
sumas pa ciales de la se ie de Fou ie dan una subes imación del alo en
x0
y o as dan una sob es imación. Al ealiza el p omedio, cancelamos, pa -
cialmen e, dichos e o es y se obse a una con e gencia mucho más ápida.
Si la con e gencia uese monó ona, es deci , si la sucesión de alo es en
x0
uese monó ona, es cla o que la écnica de los p omedios no se ía de mucha
u ilidad.
4.2. El ope ado de Weyl
Hemos comen ado en el p ime capí ulo el in e és y dicul ades que p e-
sen a la elación en e el cálculo acciona io y las se ies uncionales. Has a
el momen o, sólo hemos a ado el p oblema en el caso de las se ies de Tay-
lo . Además, lo hemos hecho desde una pe spec i a muy ingenua, pues nos
e i amos de la ba alla al comp oba que la de i ada acciona ia de una
unción analí ica no iba a se , en p incipio, analí ica. Aho a ha emos una
ap oximación desde las se ies de Fou ie y comp oba emos cómo la de i ada
o in eg al acciona ia o mal de una se ie de Fou ie sigue siendo una se-
ie de Fou ie , aunque quizá pueda deja de se con e gen e. Comenzamos
deniendo la de i ada e in eg al acciona ia de los elemen os básicos de las
se ies de Fou ie , sean exponenciales, senos o cosenos.
Denición 4.11.
Pa a odo
n
en e o posi i o, denimos el alo del ope a-
do de Weyl de o den
α∈R
de las siguien es unciones:
Wαsen(nx) = n−αsen nx −απ
2=n−αsen nx cos απ
2−cos nx sen απ
2,
Wαcos(nx) = n−αcos nx −απ
2=n−αcos nx cos απ
2+ sen nx sen απ
2.
Denición 4.12.
Pa a odo
n
en e o no nulo, denimos el alo del ope ado
de Weyl de o den
α∈R
de las siguien es unciones:
Wαe
i
nx = (n
i
)−αe
i
nx = (n
i
)−α(cos nx +
i
sen nx).
Obse ación 4.13.
Nó ese que no se dene el ope ado de Weyl aplicado
al caso
n= 0
po que, cuando
α > 0
, implica ía di isiones en e
0
, pues
apa ece ía un ac o
0−α
. Al no pode deni el ope ado de Weyl pa a el
é mino co espondien e a
n= 0
, abaja emos con las unciones que se
46
CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL
Si llamamos
c0
a una co a supe io del alo de la in eg al pa a el caso
m= 0
,
ob end emos
Z∞
−∞ |g( )|d =
∞
X
m=0 Z2π(m+1)
2πm |g( )|d ≤c0+(2π)1+α(α−1)
Γ(α)
∞
X
m=1
mα−2,
que es ni o al se
α−2<−1
. El c i e io mayo an e de Weie s ass (p opo-
sición 4.21) ga an iza, en onces, que la se ie
∞
X
m=−∞ Z2π(m+1)
2πm |g( )|d
con e ge y, además, lo hace de modo uni o me.
Lema 4.27.
Se iene la siguien e exp esión
G( ) := l´ım
n→∞
n
X
m=−n
g( + 2πm),
(4.4)
donde suponemos
0< α < 1
y
G( ) = 2π
Γ(α)l´ım
n→∞ n
X
m=0
( + 2πm)α−1
+−(2π)α−1nα
α.
Demos ación.
Acabamos de comp oba en el lema an e io que
∞
X
m=−∞ Z2π
0|g( + 2mπ)|d
con e ge absolu amen e, lo cual p ueba que el miemb o de echo de (4.4)
con e ge absolu amen e pa a casi odo
, en i ud del c i e io expues o en
la página 68 de [10]. Fal a e que dicha con e gencia es, e ec i amen e, hacia
la unción
G
.
No emos que, po denición de po encia uncada, enemos
n
X
m=−n
g( + 2πm) = 2π
Γ(α) n
X
m=0
( + 2πm)α−1
+−1
2πZ2π([
2π]+n+1)
2π([
2π]−n)
sα−1
+ds!.
Además, pa a cada
∈R
jo, una elección de
n
sucien emen e g ande
ga an iza que el ex emo in e io de la in eg al,
2π([
2π]−n)
, es meno que

4.4. RELACIÓN ENTRE WEYL Y RIEMANN-LIOUVILLE
47
0
. Po lo an o, pa a naliza , es sucien e p oba que la di e encia en e la
unción
G
y las sumas pa ciales, en el lími e, ale
0
, es deci ,
l´ım
n→∞ (2πn)α
αΓ(α)−1
Γ(α)Z2π([
2π]+n+1)
0
sα−1
+ds= 0.
Eliminando cons an es, obse amos que esa úl ima condición esul a equi a-
len e a p oba que, dado cualquie
∈R
jo, enemos
l´ım
n→∞(nα−(n+
2π+ 1)α) = 0.
Esa a mación es cla amen e cie a al se
α < 1
ya que, po el Teo ema del
Valo Medio del Cálculo di e encial aplicado a la unción
xα
, la a mación
es equi alen e a que
l´ım
n→∞ ξα−1
nα(n−n−
2π−1) = 0,
donde
ξn∈(n, n + [
2π] + 1)
es el pun o cuya exis encia queda ga an izada
po el eo ema mencionado. El hecho de que el úl imo lími e alga
0
es
consecuencia inmedia a de que
ξn→ ∞
y de que
α−1<0
.
Lema 4.28.
Bajo la hipó esis
0< α < 1
, la unción
ψα
oma la o ma
ψα( ) = 2π
Γ(α) α−1
++ α( ),−2π < ≤2π,
(4.5)
donde
α( ) = 1
Γ(α)l´ım
n→∞ 2π
n
X
m=1
( + 2πm)α−1−(2πn)α
α
(4.6)
es inni amen e de i able cuando
∈(−2π, 2π]
.
Demos ación.
El lema pide p oba la igualdad
G( ) = ψα( )
pa a los alo es
∈(−2π, 2π]
. Pa a ello, es sucien e e que coinciden los coecien es de
Fou ie . Los de la unción
ψα
ya son conocidos y, po ello, bas a p oba
1
2πZ2π
0
G( )e−
i
k d = (
i
k)−α,
pa a odo
k∈Z {0}.
Pa a comp oba dicha igualdad, nos ald emos del lema an e io pues, de
la elación en e
G
y
g
, deducimos una exp esión pa a los coecien es de
Fou ie de
G
1
2πZπ
−π
e−
i
k G( )d =1
2πZ∞
−∞
e−
i
k g( )d .
48
CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL
Al sus i ui
g
po su alo , y con cálculos simila es a los expues os en el inicio
de la p ueba del lema 4.26, ob enemos
1
2πZπ
−π
e−
i
k G( )d =1
2π
∞
X
m=−∞ Z2π(m+1)
2πm
e
i
k Z2π(m+1)
2πm
α−1−sα−1
Γ(α)ds d .
Finalmen e, como la exponencial
e
i
k
es pe iódica de p omedio nulo, la an-
e io exp esión se educe a
1
2πZπ
−π
e−
i
k G( )d =1
Γ(α)Z∞
0
α−1e−
i
k d .
Mul iplicando y di idiendo po
(
i
k)α
, y u ilizando la denición 2.13 (de la
unción
Γ
), se sigue
1
2πZπ
−π
e−
i
k G( )d =(
i
k)−α
Γ(α)Z∞
0
(
i
k )α−1e−
i
k (
i
k)d = (
i
k)−α,
que es el esul ado deseado. La di e enciabilidad de cualquie o den en la
exp esión (4.6) se sigue de que una condición sucien e pa a la exis encia de
la de i ada de una se ie uncional es que exis a y con e ja uni o memen e
la se ie de las de i adas de los sumandos, lo cual se iene i ialmen e en
nues o caso.
Teo ema 4.29.
Sea
ϕ∈L1(0,2π)
una unción
2π
-pe iódica de p omedio
nulo. En onces la in eg al de Weyl coincide con la in eg al po la izquie da
de Liou ille:
Wαϕ(x) = Iα
−∞ϕ(x) := 1
Γ(α)Zx
−∞
ϕ(s)ds
(x−s)1−α,0< α < 1.
Demos ación.
Ya hemos jus icado que el lími e que apa ece en (4.6) con-
e ge de modo uni o me en
[0,2π]
y, en consecuencia, de (4.5), ex aemos el
lími e ue a de la in eg al, ob eniendo
Wαϕ(x) = 1
Γ(α)l´ım
n→∞ Z2π
0
ϕ(x− ) n
X
k=0
( + 2πk)α−1−(2π)α−1nα
α!d .
Usando el p omedio nulo de
ϕ
en un pe íodo, enemos
Wαϕ(x) = 1
Γ(α)l´ım
n→∞ Z2π
0
ϕ(x− ) n
X
k=0
( + 2πk)α−1!d .
4.5. SUMAS DE CESÀRO Y FEJÉR
49
U ilizando, además, la pe iodicidad de
ϕ
y la con e gencia uni o me (pa a
in e cambia el o den de suma inni a e in eg al), enemos
Wαϕ(x) = 1
Γ(α)l´ım
n→∞
n
X
k=0 Z2(k+1)π
2πk
ϕ(x− ) α−1d
=1
Γ(α)l´ım
n→∞ Z2(n+1)π
0
ϕ(x− ) α−1d
=−1
Γ(α)l´ım
n→∞ Zx−2(n+1)π
x
ϕ(s)(x−s)α−1ds,
donde, en el úl imo paso, hemos cambiado de a iable con
s=x−
y,
al elimina el signo nega i o con un cambio de o den en los ex emos de
in eg ación, ob enemos
Wαϕ(x) = 1
Γ(α)l´ım
n→∞ Zx
x−2(n+1)π
ϕ(s)(x−s)α−1ds =1
Γ(α)Zx
−∞
ϕ(s)ds
(x−s)1−α,
donde, en gene al, la con e gencia sólo se da en el sen ido condicional que
hemos p esen ado.
4.5. Sumas de Cesà o y Fejé
Figu a 4.5: E nes o Cesà o y Lipó Fejé .
El p oblema p incipal que p esen an las se ies de Fou ie es que la de-
i ada o mal de una se ie con e gen e no iene po qué se con e gen e.
50
CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL
Una posible solución a ese p oblema es gene aliza la noción de sumas de
una se ie de modo que haya más se ies que sean con e gen es. Uno de los
p ime os mé odos de suma gene alizados iene po au o al ma emá ico i a-
liano E nes o Cesà o. P ecisamen e, las sumas de Cesà o juegan un papel
undamen al en la eo ía de se ies de Fou ie , como demues a el Teo ema
de Fèje .
Comenzamos con una p oposición que gene aliza la noción de suma de
una se ie y además, en el caso de se ies con e gen es, de uel e el alo clásico.
Teo ema 4.30.
Conside emos una se ie de núme os eales que sea con e -
gen e
P∞
j=1 aj=A∈R
. Deno emos po
σn=Pn
j=1 aj
a la sucesión de
sumas pa ciales. Cualquie se ie di e gen e de é mino gene al
bj>0
e i-
ca
l´ım
n→∞ Pn
j=1 bjσj
Pn
j=1 bj
=A.
Demos ación.
Po con e gencia de
S
, p ejado
ε > 0
cualquie a, exis e
N1∈N
al que, si
j > N1
, enemos
kA−σjk<ε
2.
Elegimos
d∈R+
como
d= m´ax nε
2,kA−σ1k, ..., kA−σN1ko.
Po o a pa e, po la di e gencia de la se ie de é mino gene al
bj>0
,
exis e un
N2∈N
mayo que
N1
al que
N1
X
j=1
bj
N2
X
j=1
bj
d+
N2
X
j=N1+1
bj
N2
X
j=1
bj
ε
2< ε.
In ui i amen e, la elección de
N2
que ga an iza la desigualdad iene posibi-
li ada po que, como la se ie de é mino gene al
bj
es di e gen e, se puede
da un peso sucien emen e pequeño a
d
y sucien emen e g ande a
ε
2
pa a
que la media ponde ada sea in e io
ε
.
4.5. SUMAS DE CESÀRO Y FEJÉR
51
Finalmen e, al se los
bj>0
y po la desigualdad iangula , se iene que





N2
X
j=1
bjA−
N2
X
j=1
bjσj




N2
X
j=1
bj
≤
N2
X
j=1 kbj(A−σj)k
N2
X
j=1
bj
≤
N1
X
j=1
bj
N2
X
j=1
bj
d+
N2
X
j=N1+1
bj
N2
X
j=1
bj
ε
2< ε.
E iden emen e, po mono onía, las co as siguen siendo cie as sus i u-
yendo
N2
po cualquie
n∈N
con
n>N2
. En onces,



A−l´ım
n→∞ Pn
j=1 bjσj
Pn
j=1 bj


< ε.
Como la elección de
ε > 0
e a a bi a ia, se deduce que
A= l´ım
n→∞ Pn
j=1 bjσj
Pn
j=1 bj
,
que es jus o lo que que íamos p oba .
Obse ación 4.31.
El an e io eo ema aplica, en pa icula , a las sumas
de Cesà o, que se co esponden a la elección
bj= 1
pa a odo
j∈Z+
.
In ui i amen e, dicha elección se co esponde a oma como alo de la se ie
el lími e cuando
n
iende a inni o de los p omedios de las
n
p ime as sumas
pa ciales. En el caso de que, en ez de con una se ie numé ica, abajemos
con una se ie uncional, las sumas de Cesá o a eces lle an el nomb e de
sumas de Fejé .
Pa a jus ica el in e és de las sumas de Fejé , omamos la g áca de
la unción iden idad en
(−π, π)
y ep esen amos unas ap oximaciones, cada
una de ellas has a la quin a suma pa cial, de sus de i adas acciona ias en
el sen ido de Weyl:
W−1
4
,
W−2
4
,
W−3
4
y
W−1
. Teó icamen e espe a íamos
que la cu a de colo ojo, co espondien e a la de i ada de o den
1
de la
iden idad, se ap oximase a la unción cons an e
1
, pe o no es así.
La jus icación de po qué no se da la con e gencia es que, al de i a
o malmen e la se ie de la unción iden idad, se ob iene una se ie no con e -
gen e. Más conc e amen e, la se ie de la iden idad es
2
∞
X
n=1
(−1)n+1
nsen nx.

52
CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL
−2π−3π
2−π−π
2
π
2π3π
22π
−2
2
Figu a 4.6: Ap oximaciones de algunas de i adas acciona ias de Weyl de la
unción iden idad.
La de i ada o mal de la se ie nos da ía
2
∞
X
n=1
(−1)n+1 cos nx,
que cla amen e no con e ge al no ende el é mino gene al a
0
. Si aho a u ili-
zamos las sumas de Fejé , se obse a una con e gencia mucho más ag adable
de la cu a oja hacia la unción cons an e
1
.
−2π−3π
2−π−π
2
π
2π3π
22π
−2
2
Figu a 4.7: Rep esen ación de la Figu a 4.6 u ilizando sumas de Fejé .
De hecho, se puede comp oba analí icamen e que la suma en el sen i-
do de Fejé sí es con e gen e y oma el alo
1
, como p ueba la siguien e
p oposición.
P oposición 4.32.
Se iene que
2
∞
X
n=1
(−1)n+1 cos nx = 1, x ∈(−π, π),
in e p e ando la suma an e io en el sen ido de Fejé .
4.5. SUMAS DE CESÀRO Y FEJÉR
53
Demos ación.
Po la denición de suma en el sen ido de Fejé , y omando
σm
como el p omedio de las
m
p ime as sumas pa ciales, eesc ibimos la
suma
S
a calcula como
S= l´ım
m→∞ σm= l´ım
m→∞
2
m
X
n=1
(−1)n+1(m−n+ 1) cos(nx)
m.
Po o a pa e, eco demos que
(−1)n+1 cos nx = (−1)n+1<(e
i
nx)
, y oma-
mos la no ación
σ0
m=
m
X
n=0
(−1)n+1(m−n+ 1)e
i
nx.
Es cla o que enemos la elación siguien e
σm=< 2(σ0
m+ (m+ 1))
m!.
El alo de
σ0
m
es sencillo de halla , al a a se de una se ie a i mé ico-
geomé ica, y esul a se
σ0
m=
m
X
n=0
(−1)n+1(m−n+ 1)e
i
nx =
m
X
n=0
n
X
k=0
(−1)k+1e
i
kx,
que coincide con
σ0
m=
m
X
n=0
−1+(−1)n+3e
i
(n+1)x
1 + e
i
x=−(m+ 1)
1 + e
i
x+
m
X
n=0
(−1)n+3e
i
(n+1)x
1 + e
i
x.
Con la exp esión de la suma de una se ie geomé ica, hallamos el alo de la
úl ima exp esión
σ0
m=−(m+ 1)
1 + e
i
x+−e
i
x+ (−1)m+5e
i
(m+2)x
(1 + e
i
x)2.
Dada la elación en e
σm
y
σ0
m
, end emos
σm=< 2(m+ 1)
m+−2(m+ 1)
m(1 + e
i
x)+ 2−e
i
x+ (−1)m+5e
i
(m+2)x
m(1 + e
i
x)2!.
Nos in e esa á ex ae la pa e eal de la exp esión an e io y, pa a ello, nos
apoya emos en la iden idad
1
1 + e
i
x=1 + e−
i
x
2 + 2 cos x=1
2−sen x
2 + 2 cos x
i
.
54
CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL
De ahí, se de i a que
< −2(m+ 1)
m(1 + e
i
x)!=−m+ 1
m,
lo que nos da el alo del segundo sumando. No emos que, al se
x∈(−π, π)
,
el e ce y úl imo sumando se puede aco a supe io men e, en el lími e y en
i ud de la desigualdad iangula , po
l´ım
m→∞ 2−e
i
x+ (−1)m+5e
i
(m+2)x
m(1 + e
i
x)2≤l´ım
m→∞ 22
m|1 + e
i
x|2= 0,
donde el denominado es á bien denido al ene
x∈(−π, π)
.
Ag upando odos los cálculos ealizados, ob enemos
l´ım
m→∞ σm= 1,
lo que p ueba que la sucesión de sumas de Fejé con e ge a
1
.
Po o a pa e, las sumas de Fejé son ú iles pa a esol e o malmen e
cie as ecuaciones di e enciales. Como ejemplo, mos amos en qué sen ido
ex−1
πsenh(π)
(que iene p omedio nulo en
(−π, π)
) es solución de la ecuación
W−1 = +1
πsenh(π)
.
Lo p ime o es calcula los coecien es de Fou ie de
(x) = ex−1
πsenh(π)
.
Sabemos que dichos coecien es, sal o
a0
que se á
0
, coinciden con los de
g(x) = ex
. La doble in eg ación po pa es nos lle a a:
an=1
πZπ
−π
cos(nx)exdx =1
πcos(nx)ex|π
−π+n
πZπ
−π
sen(nx)exdx
=2(−1)n
πsenh(π) + −n2
πZπ
−π
cos(nx)exdx =2(−1)n
πsenh(π)−n2an,
bn=1
πZπ
−π
sen(nx)exdx =1
πsen(nx)ex|π
−π−n
πZπ
−π
cos(nx)exdx
=−n
πcos(nx)ex|π
−π−n2
πZπ
−π
sen(nx)exdx =2n(−1)n+1
πsenh(π)−n2bn.
Despejando en las ecuaciones, se sigue
an=2(−1)n
π(n2+ 1) senh(π), n ∈Z+
bn=2n(−1)n+1
π(n2+ 1) senh(π), n ∈Z+.
4.5. SUMAS DE CESÀRO Y FEJÉR
55
De i emos o malmen e la se ie asociada a
y calculemos los nue os coe-
cien es, a los cuales llama emos
cn
(pa a los que acompañan a las un-
ciones seno) y
dn
(pa a coseno). Obse emos que, po cómo se ejecu a la
de i ada o mal, enemos
cn=nbn
y
dn=−nan
. Además, po la ecua-
ción
W−1 = +1
πsenh(π)
, debe íamos ene algo pa ecido a las elaciones
cn=an
y
dn=bn
, donde ha ía al a un é mino co ec o en algún sen ido,
que hiciese apa ece el sumando
1
πsenh(π)
. Tenemos en onces:
cn=nbn=2(−1 + 1 + n2)(−1)n+1
π(n2+ 1) senh(π) = 2(−1)n+1
πsenh(π) + an,
dn=−nan=2n(−1)n+1
π(n2+ 1) senh(π) = bn.
En onces pa a que se e icase la ecuación
W−1 = +1
πsenh(π)
bas-
a ía que, en algún sen ido, u iésemos
∞
X
n=1
2(−1)n+1
πsenh(π) cos(nx) = 1
πsenh(π);
donde debemos no a que los coecien es no ienden a
0
. Dicha igualdad, en
el sen ido de Fejé , ya ha sido p opo cionada po la p oposición 4.32.
62
CAPÍTULO 5. OTRAS DEFINICIONES
Demos ación.
Po hipó esis, sabemos que podemos aplica a
el Teo ema
de Taylo , donde es conocido que el es o in eg al oma la o ma
In
0+ n)(x) = Zx
0
n)( )
Γ(n)(x− )n−1d .
En onces,
(x) =
n−1
X
j=0
j)(0)
Γ(j+ 1)xj+In
0+ n)(x)
y, de i ando en el sen ido de Riemann-Liou ille con o den
α∈(n−1, n)
,
ob enemos
I−α
0+ (x) =
n−1
X
j=0
j)(0)
Γ(j+ 1 −α)xj−α+In−α
0+ n)(x).
Finalmen e, usando que
In−α
0+ n)=Cα
0+
, enemos
I−α
0+ (x) =
n−1
X
j=0
j)(0)
Γ(j+ 1 −α)xj−α+Cα
0+ (x),
que cons i uye la igualdad deseada.
Co ola io 5.9.
Con la an e io nomencla u a e hipó esis de egula idad, las
de i adas de o den
α
de Capu o y Riemann-Liou ille aplicadas a
coinciden
si y sólo si
y sus
[α]
p ime as de i adas se anulan en el alo
0
.
Obse ación 5.10.
La elección de
0
como ex emo in e io se debe exclu-
si amen e a mo i os de simplicidad de no ación. Ob end íamos esul ados
análogos con un ex emo in e io
a∈R
a bi a io.
5.3. La de i ada de G ünwald-Le niko
En es a sección, in oducimos o a denición de de i ada ya conocida en
la li e a u a. Lo ha emos a a és de una gene alización bas an e na u al de
un hecho muy conocido, como es la p esen ación de la de i ada como lími e
de cocien es inc emen ales. Asimismo, enuncia emos eo emas que elacionan
la denición p esen ada con las dadas an e io men e. Lo expues o en es a
sección consis e en una ecolección de in o mación y esul ados de la sección
igésima de la e e encia [8].

5.3. LA DERIVADA DE GRÜNWALD-LETNIKOV
63
Figu a 5.2: An on Ka l G ünwald y Alexei Vasilie ich Le niko .
Dada una unción
, omamos la denición usual de de i ada en un pun o
x
, in e io al dominio de
, como el alo , si exis e,
0(x) = l´ım
h→0
(x+h)− (x)
h.
Es conocido, y ácilmen e e icable po inducción ma emá ica, que la de i-
ada de o den
n∈N
de
en
x
, si exis e, admi e la exp esión
n)(x) = l´ım
h→0
n
X
k=0
(−1)kn
k (x−kh)
hn.
Dado que pa a deni la de i ada acciona ia se abaja po un lado con-
c e o, se ía más sensa o cen a se en gene aliza la exp esión (po ejemplo,
po la izquie da),
l´ım
h→0+
n
X
k=0
(−1)kn
k (x−kh)
hn.
Reco demos que la denición de núme o combina o io es
n
k=n!
k!(n−k)! =Γ(n+ 1)
Γ(k+ 1)Γ(n−k+ 1), n ∈ {0,1, ..., n}
64
CAPÍTULO 5. OTRAS DEFINICIONES
y, po lo an o, el alo de un núme o combina o io puede ex ende se a alo es
eales o complejos, siemp e que
n
no sea un en e o nega i o (pa a e i a el
alo
∞
en el nume ado ). En pa icula , po con inuidad, denimos
n
k=Γ(n+ 1)
Γ(k+ 1)Γ(n−k+ 1) = 0
cuando
k
es un en e o mayo que
n
, es deci , cuando
n−k+ 1
es un en e o
no posi i o. Esa gene alización hace posible eesc ibi la de i ada de o den
en e o
n
como
l´ım
h→0
∞
X
k=0
(−1)kn
k (x−kh)
hn,
que aho a esul a cla amen e gene alizable al caso
n∈R+
.
Obse ación 5.11.
No emos que el paso de
n+ 1
sumandos a inni os es
c ucial pues, de habe man enido la no ación o iginal, no end ía sen ido
habla de
n+ 1
sumandos si
n
no es na u al.
Denición 5.12.
Dada una unción eal de a iable eal
, denimos su
de i ada de G ünwald-Le niko de o den
α
po la izquie da como:
l´ım
h→0+
∞
X
k=0
(−1)kα
k (x−kh)
hα, x ∈R,
donde
α
k=Γ(α+ 1)
Γ(k+ 1)Γ(α−k+ 1), k ∈N.
Con mo i o de ene un esul ado sob e la exis encia y alo de la de i ada
de G ünwald-Le niko de una unción, enunciamos el siguien e eo ema.
Teo ema 5.13.
Sea
p > 1
y
∈Lp(0,2π)
una unción de a iable eal con
pe íodo
2π
. En onces se iene la siguien e igualdad en casi odo pun o, donde
uno de los miemb os exis e si y sólo si exis e el o o,
l´ım
h→0+
∞
X
k=0
(−1)kα
k (x−kh)
hα=α
Γ(1 −α)l´ım
ε→0+Z∞
ε
(x)− (x− )
1+αd .
5.4. INTEGRAL RESPECTO A UNA FUNCIÓN
65
Obse ación 5.14.
Los an e io es lími es deben en ende se en el sen ido
de
Lp(0,2π)
, es deci , con la noción de con e gencia he edada de la no ma
p opia de dicho espacio.
Obse ación 5.15.
En el caso de unciones no pe iódicas, se iene un e-
sul ado idén ico cambiando
Lp(0,2π)
po
Lp(R)
y la de i ada de Ma chaud
po una a ian e uncada de la misma.
5.4. In eg ales acciona ias de una unción con es-
pec o a una unción
g
Exis e una o ma sencilla de aba ca un abanico bas an e amplio de in-
eg ales acciona ias de un modo gené ico. La idea consis e en pa i de la
in eg al en el sen ido de Riemann-Liou ille y modica la con enien emen e
median e una unción
g
.
Denición 5.16.
Dada una unción eal de a iable eal
, denimos su
in eg al acciona ia de o den
α > 0
con ex emo in e io
a
y pa áme o
uncional
g
como el siguien e alo , si exis e,
Iα
a+g (x) = 1
Γ(α)Zx
a
( )g0( )d
(g(x)−g( ))1−α, x ∈R.
Obse ación 5.17.
En base a la denición p esen ada pa ece cla o que ha-
b á que exigi que la unción
g
sea con inuamen e di e enciable pa a ob ene
buenos esul ados. Además hay que exigi mono onía, pa a que el denomina-
do sólo se anule en
x=
. Po úl imo, con iene no a que, bajo la hipó esis
de que
g
sea con inuamen e di e enciable, la in eg al de o den
α= 1
se
co esponde con la in eg al de Riemann-S iel jes de
espec o a
g
.
Obse ación 5.18.
Excluyendo la eleccion de
g
como la iden idad, que
da luga a la in eg al acciona ia de Riemann-Liou ille, la elección más
conocida, p obablemen e, es
g(x) = ln x
con ex emo in e io
0
. No emos
que dicha unción es inni amen e de i able y, de hecho, analí ica en su
abie o maximal de denición. La in eg al acciona ia con ex emo in e io
0
que in oluc a a dicha elección de
g
es conocida como in eg al acciona ia
de Hadama d y se esc ibe como
Hα (x) = Zx
0
( )
ln x
1−α
1
d , x > 0.
66
CAPÍTULO 5. OTRAS DEFINICIONES
Figu a 5.3: Jacques Salomon Hadama d.
Además, enemos la siguien e elación en e la amilia de in eg ales de-
nidas an e io men e y la de Riemann-Liou ille.
P oposición 5.19.
Si
g0(x)6= 0
cuando
x∈[a, b]
y
ϕ
admi e in eg al ac-
ciona ia de Riemann-Liou ille de o den
α
con ex emo in e io
g(a)
, enemos
la iden idad
Iα
a+g =RgIα
g(a)+R−1
g ,
donde
Rg
es el ope ado denido po
Rg(ϕ) = ϕ◦g
.
Demos ación.
Como
Rg
es in e ible, bas a comp oba que
Iα
a+gRg =RgIα
g(a) .
El miemb o izquie do, as mul iplica po
Γ(α)
, ale
Zx
a
(g( ))g0( )d
(g(x)−g( ))1−α, x ∈(a, b].
Po o a pa e, el miemb o de echo, mul iplicando po
Γ(α)
, ale
Zg(x)
g(a)
(τ)dτ
(g(x)−τ)1−α, x ∈(a, b].
Median e el cambio de a iable
τ=g( )
, que po hipó esis es inyec i o, se
demues a que ambos miemb os coinciden.
5.5. UNA DEFINICIÓN GENÉRICA
67
De la p oposición an e io , se ex aen nume osos esul ados, en pa icu-
la , la p opiedad de semig upo pa a la noción de in eg al indenida
Iα
a+gIβ
a+g=Iα+β
a+g
pa a odo
α, β > 0,
que se deduce de la idén ica p opiedad en el caso de Riemann-Liou ille.
También se p ueba ácilmen e que la in eg al de o den
α
de
(g(x)−g(a))β
es
(g(x)−g(a))α+β
si
β > −1
.
Asimismo, cuando enga sen ido, podemos in oduci una noción análoga
de de i ada con ex emo in e io
a
pa a un o den
0< α < 1
dependien e de
un pa áme o uncional
g
a a és de la iden idad
Dα
a+g =RgDα
g(a)R−1
g .
Ejecu ando los cálculos co espondien es, se concluye la siguien e exp e-
sión pa a dicha de i ada
Dα
a+g=1
Γ(α)
1
g0(x)
d
dx Zx
a
( )g0( )d
(g(x)−g( ))α,
donde con iene eco da que
g0
no se anulaba en el in e alo de abajo. La
cons ucción de las de i adas de o den supe io se ealiza ía con un p ocedi-
mien o simila al empleado en el caso de Riemann-Liou ille.
5.5. Una denición gené ica
A lo la go del p esen e abajo, se han es udiado deniciones de in eg ales
y de i adas acciona ias muy di e sas. No obs an e, sal o la in eg al accio-
na ia con espec o a una unción
g
, hemos mencionado que odas coinciden
con la de Riemann-Liou ille, jado cie o ex emo, si la unción sob e la que
abajamos iene buenas p opiedades ( egula idad, pe iodicidad, c ecimien o
len o al i a inni o,...). En es a sección, p opond emos nue os concep os de
in eg al y de i ada acciona ia y e emos has a qué pun o es án inculados
con las nociones an e io es.
Du an e es a sección,
(a, b)
se á un in e alo eal a bi a io y deno a emos
po
T⊂R2
el in e io opológico del iángulo de é ices
{(a, a),(b, a),(b, b)}
.
Denición 5.20.
Sea
K: (a, b)×(a, b)×R+−→ R
, denida sal o en un
conjun o de medida nula. Decimos que
K
es un núcleo in eg al adi i o si
K∈L1((a, b)×(a, b)×R+)
y, además, pa a oda
∈L1(a, b)
y
α, β ∈R+
,
se iene la p opiedad
Zx
a
K(x, , α +β) ( )d =Zx
a
K(x, , β)Z
a
K( , s, α) (s)ds d , x ∈(a, b).

68
CAPÍTULO 5. OTRAS DEFINICIONES
Obse ación 5.21.
Es habi ual que
K
sea un núcleo singula y no es é
denido en los pun os de la o ma
(x, x, α)∈(a, b)×(a, b)×R+.
Obse ación 5.22.
Si
K
es un núcleo in eg al adi i o, decimos que es de
con olución si y sólo si pa a cada
α > 0
exis e
e
K
denida en
(0, b −a)×R+
con
K( , s, α) = e
K( −s, α)a<s< <b.
Denición 5.23.
Sean
: (a, b)−→ R
una unción eal de a iable eal y
α > 0
. Denimos su in eg al acciona ia po la izquie da, de o den
α
y con
núcleo adi i o
K
, como el siguien e alo (si exis e):
Iα
a+K ( ) = Z
a
K( , s, α) (s)ds, ∈(a, b).
Lema 5.24.
La an e io in eg al acciona ia posee la p opiedad de semi-
g upo, es deci , si
α, β > 0
enemos
Iα
a+KIβ
a+K=Iα+β
a+K.
Demos ación.
Bas a ene en cuen a la denición 5.20 pues, po dicha de-
nición, las dos siguien es can idades son iguales pa a cualquie
x∈(a, b)
:
Iα
a+KIβ
a+K (x) = Zx
a
K(x, , β)Z
a
K( , s, α) (s)ds d
=Zx
a
K(x, , α +β) ( )d =Iα+β
a+K (x)
Denimos aho a la de i ada acciona ia co espondien e del modo lógico,
emulando la cons ucción de Riemann-Liou ille.
Denición 5.25.
Sea
: (a, b)−→ R
una unción eal de a iable eal y
omemos un eal no en e o
α > 0
. Denimos la de i ada acciona ia de
po
la izquie da, de o den
α
y con núcleo adi i o
K
, como la siguien e exp esión,
siemp e que enga sen ido,
I−α
a+K (x) = d
dx[α]+1I1−{α}
a+K (x) = d
dx[α]+1 Zx
a
K(x, , 1−{α}) ( )d ,
donde
x∈(a, b)
. En el caso de que
α
sea un en e o posi i o, denimos la
de i ada de o den
α
como la de i ada usual.
5.5. UNA DEFINICIÓN GENÉRICA
69
Obse ación 5.26.
De momen o, al y como hemos hecho la cons ucción,
es cla o que con
α > 0
la elección de
K( , s, α) = 1
Γ(α)
1
( −s)1−α, a<s< <b,
lle a al cálculo acciona io según Riemann-Liou ille. Sabemos de an emano
que dicho núcleo es adi i o pues, además de se in eg able, la ecuación (3.1)
p ueba la p opiedad esencial de los núcleos adi i os.
Una p opiedad ya conocida del cálculo según Riemann-Liou ille a ma
que, al aplica la de i ada de o den
α
a la in eg al de o den
α
de una unción
de
L1(a, b)
, se ob iene como esul ado la p opia unción. Es en onces na u al
p egun a se sob e el ecíp oco de es a p opiedad, es deci : Si la de i ada e
in eg al acciona ias con núcleo adi i o (quizá de con olución)
K
se com-
po an como pseudoin e sas (en el sen ido an es señalado) ¾exis e alguna
elación en e el núcleo
K
y el núcleo de Riemann-Liou ille?
Lema 5.27.
Supongamos que
K
es un núcleo in eg al adi i o que cumple
I−α
a+KIα
a+K = ,
pa a odo
α > 0
y oda
∈L1(a, b)
. En onces, si
n∈Z+
, enemos
In
a+K1 = Zx
a
K(x, , n)d =(x−a)n
n!
y, si el núcleo es además de con olución,
K(x, a, n) = e
K(x−a, n) = (x−a)n−1
(n−1)! , x ∈(a, b).
Demos ación.
Po comodidad de no ación, esc ibi emos
β= 1 − {α}
y
n= [α]+1
. Tenemos en onces que
d
dxnZx
a
K(x, , β)Z
a
K( , s, α) (s)ds d = (x).
Po la p opiedad de semig upo mencionada en el lema 5.24 eesc ibimos
la an e io ecuación como
d
dxnZx
a
K(x, , α +β) ( )d =d
dxnZx
a
K(x, , n) ( )d = (x).
70
CAPÍTULO 5. OTRAS DEFINICIONES
Cuando
n= 1
, si omamos
= 1
en la an e io ecuación, enemos que
d
dx Zx
a
K(x, , 1)d = 1
y, po an o, la unción que es amos de i ando debe se
x+c
, pa a odo
x∈(a, b)
y algún
c∈R
adecuado. Ajus ando el alo de la cons an e, con
la sus i ución
x=a
, se ob iene
I1
a+K1 = Zx
a
K(x, , 1)d =x−a, x ∈(a, b).
A con inuación, p obamos la p ime a ecuación indicada en el lema po
inducción en
n
. Dado que ya hemos comple ado el caso
n= 1
, supond emos
que la ecuación es álida has a
n−1
, es deci , asumimos
In−1
a+K1 := Zx
a
K(x, , n −1)d =(x−a)n−1
(n−1)! .
Po la p opiedad de semig upo, y la hipó esis del enunciado,
I−1
a+KIn
a+K1 = I−1
a+KI1
a+KIn−1
a+K1 = In−1
a+K1.
La an e io iden idad se eesc ibe, u ilizando la hipó esis de inducción, como
d
dxIn
a+K1 = (x−a)n−1
(n−1)! ,
de donde se deduce
In
a+K1 := Zx
a
K(x, , n)d =(x−a)n
n!+c
y, e aluando en
x=a
, concluimos
In
a+K1 := Zx
a
K(x, , n)d =(x−a)n
n!.
Además, si el núcleo adi i o es de con olución, podemos con inua pues
(x−a)n−1
(n−1)! =d
dx Zx
a
K(x, , n)d =d
dx Zx
ae
K(x− , n)d
y, al aplica el cambio de a iable
τ=x− , dτ =−d
, ob enemos
(x−a)n−1
(n−1)! =d
dx Zx−a
0e
K(τ, n)dτ =e
K(x−a, n), x ∈(a, b),
donde en el úl imo paso, al se el núcleo in eg able, aplicamos (2.2).
5.5. UNA DEFINICIÓN GENÉRICA
71
Obse ación 5.28.
Se puede hace una cons ucción análoga, po el lado
de echo, como
Iα
b−K ( ) = Zb
K( , s, α) (s)ds, ∈(a, b), α > 0
y ob ene se esul ados simila es a los expues os.
Además de la denición ya cons uida pa a la de i ada con núcleo
K
,
pod íamos in oduci una de i ada análoga a la de Capu o, sob e la cual de-
ja emos unas cues iones abie as que pueden da pie al desa ollo de abajo
u u o.
Denición 5.29.
Sea
α > 0
un núme o eal posi i o no en e o,
n= [α]
y
una unción eal de a iable eal. Denimos la de i ada acciona ia de
ipo Capu o-Dzhe bashyan con ex emo in e io
a
y núcleo in eg al adi i o
K
como la siguien e exp esión (si exis e):
Cα
a+K (x) = In−α
a+K n)(x) = Zx
a
K(x, , n −α) n)( )d , x ∈R.
Obse ación 5.30.
No emos que, al igual que en el caso de Riemann-
Liou ille, po adi i idad de la in eg al y po
α < n
, enemos que
I−α
a+KIn
a+K=I−α
a+KIα
a+KIn−α
a+K=In−α
a+K.
A con inuación, emula emos la p ueba del eo ema 5.8 en el caso de
in eg ales acciona ias con núcleo in eg al adi i o de con olución.
Teo ema 5.31.
Sea
α∈R+
con
n−1< α < n
. Sea
una unción sucien-
emen e egula que e ica las hipó esis del Teo ema de Taylo pa a g ado
n−1
con su co espondien e es o in eg al, en onces se iene que
Cα
0+K (x) = I−α
0+K (x) +
n−1
X
j=0
j)(0)
Γ(j+ 1)I−α
0+K(xj),
siemp e que el núcleo in eg al
K
sea adi i o y de con olución.
Demos ación.
Po hipó esis, sabemos que podemos aplica a
el Teo ema
de Taylo , donde es conocido que el es o in eg al oma la o ma
In
0+ n)(x) = Zx
0
n)( )
Γ(n)(x− )n−1d .