Fundamentos y aplicaciones del cálculo fraccionario

Trabajo Fin de Máster Fundamentos y aplicaciones del cálculo fraccionario Daniel Cao Labora 2015  2016 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA MÁSTER EN MATEMÁTICAS Trabajo Fin de Máster FUNDAMENTOS Y APLICACIONES DEL CÁLCULO FRACCIONARIO Daniel Cao Labora Xullo 2016 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Rosana Rodríguez López Facultad de Matemáticas 15782 Santiago de Compostela EMail: rosana.rodriguez.lop[email protected] Yo, Rosana Rodríguez López, miembro del departamento de Análisis Matemático, Estadística y Optimización de la Universidad de Santiago de Compostela y directora del Trabajo Fin de Máster con título Fundamentos y aplicaciones del cálculo fraccionario , autorizo a don Daniel Cao Labora para la presentación del mismo, a n de obtener el título de Máster en Matemáticas por la Universidad de Santiago de Compostela. Santiago de Compostela, 11 de julio de 2016. Fdo.: Rosana Rodríguez López Fdo.: Daniel Cao Labora palabra Agradecimientos En primer lugar, a mi tutora Rosana Rodríguez López, por su tiempo, dedicación y trabajo. Eres autora de muchos folios con propuestas, ideas y una buena cantidad de correcciones de versiones previas de este documento. Todo ese esfuerzo ha dado sus frutos. En este sentido, agradezco también a Jorge Losada Rodríguez sus sugerencias y consejos sobre este trabajo, especialmente en lo tocante a la separación del grano de la paja. A mis alumnos de los Campus Cientícos de Verano 2016, Guillem, Elisa, Eva, Júlia, Nacho, Alejandro, Iria y Sara. Sois la primera clase que he tenido y habéis dejado una huella inolvidable en mí; llegaréis donde queráis llegar. A mis compañeros de piso, Víctor, Sebas, Aldo y Juan. Considero que esas partidas de Mario Kart o de FIFA son parte del componente lúdico que toda formación universitaria debe tener. A mi gran amigo Juan Sanz Correa, siempre dispuesto a tomar una cerveza en época de exámenes para relajarnos mutuamente los ánimos. A mis primos, Natalia, Miguel, Julio, Francisco, Carolina y Pedro. Son muchos los kilómetros recorridos en triciclo por la hierba y muchos los balones perdidos en el monte. Agradezco también que mis abuelos Ricardo, Fina, Julio y Aurora estuviesen siempre armados con jabón, innita paciencia y bocadillos para cuando volvíamos a casa sucios, pegándonos y pidiendo algo de merienda. Nunca eché nada en falta en mi infancia gracias a vosotros. A mis padres Aurora y Ricardo, por apostar por mi formación y dedicarme todo su tiempo y comprensión. Por muchas hojas que llenase, jamás podría describir totalmente la importancia que tenéis para mí. A mi hermano Gonzalo, con quien llevo compartiendo habitación casi veinte años y me ha aportado todo lo que he señalado en los párrafos anteriores y muchas cosas más. Eres la persona con la que más me he pegado, pero también con la que más me he reconciliado. A Sandra, simplemente, por todo. Hay lazos que son de sangre y otros que son de infancia, pero hay algunos que tejemos de adultos que son incluso iguales o más difíciles de romper que estos primeros. v Datos del trabajo Área de Conocimiento: ANÁLISIS MATEMÁTICO Título: FUNDAMENTOS Y APLICACIONES DEL CÁLCULO FRACCIONARIO Director/a: ROSANA RODRÍGUEZ LÓPEZ Breve descripción del contenido: La primera referencia a la idea de derivada fraccionaria aparece en una carta de l'Hôpital a Leibniz en 1695 cuando todavía comenzaba a forjarse la teoría del cálculo clásico. No obstante, podemos situar el inicio real de la teoría a comienzos del siglo XIX con los trabajos de Lacroix, Abel y otros matemáticos contemporáneos suyos. Actualmente, a pesar de haber carecido de un papel tan relevante en la historia de las matemáticas como el del cálculo entero, el cálculo fraccionario ha captado el interés de multitud de investigadores por sus numerosas aplicaciones en diversas áreas cientícas. Uno de los hechos más signicativos del cálculo fraccionario es la gran diversidad teórica existente a la hora de denir derivadas e integrales de orden no entero. Es por ello que dedicamos una porción de nuestro trabajo al estudio, comparativa y manejo detallado de varias deniciones no equivalentes. También realizamos un análisis teórico de algunas propiedades (y cuando sea posible soluciones) de ciertas ecuaciones integrodiferenciales fraccionarias, pues estas últimas hacen de puente con el estudio de algunos modelos fraccionarios aplicados. vii xiv INTRODUCCIÓN de integración. Dicha fórmula tiene sentido si el orden de integración es un número real positivo, reinterpretando la función factorial como la función Γ o, más generalmente, un número complejo de parte real positiva. Además, la concatenación de dos integrales con el mismo extremo y órdenes α y β , respectivamente, da lugar a una integral de orden α+β con el mismo extremo que las anteriores. La anterior construcción facilita la denición de la derivada fraccionaria en el sentido de Riemann-Liouville. Curiosamente, al igual que la integral, la derivada fraccionaria depende de un extremo inferior o superior y, en principio, el valor de la derivada sólo es independiente del extremo elegido cuando el orden es entero. En este sentido, se dice que las derivadas fraccionarias carecen de comportamiento local porque, de hecho, modicaciones en una función fuera del entorno de un punto afectan, generalmente, al valor de la derivada fraccionaria en el punto. Al igual que en el cálculo entero, uno espera tener cierta relación de inversión entre derivadas e integrales fraccionarias de Riemann-Liouville. Sabemos que, si tomamos una función (derivable), la derivamos y luego la integramos, no somos capaces de recuperar la función original porque nos falta por determinar una constante. No obstante, si tomamos una función (continua), la integramos y luego la derivamos, recuperamos la función original. Tendremos un resultado bastante parecido con las integrales y derivadas de RiemannLiouville en el que las derivadas aniquilan integrales, pero, en principio, no sucede el recíproco. Todo lo expuesto en los tres párrafos anteriores puede aplicarse para resolver ecuaciones integrales fraccionarias. Trataremos el ejemplo más sencillo posible, donde la integral fraccionaria de orden α de una función desconocida es igual a una función conocida. Dicha ecuación es la ecuación integral de Abel, mencionada arriba, la cual resolvemos. Asimismo, derivaremos la ecuación a partir de la ley de conservación de energía mecánica aplicada al problema mecánico de Abel. Hasta el momento, hemos mencionado teoría y praxis del cálculo fraccionario según Riemann-Liouville. No obstante, existen diversas generalizaciones del cálculo entero que dan lugar a otras construcciones de cálculo fraccionario, aparentemente distintas. Resulta especialmente interesante la propuesta por Hermann Klaus Hugo Weyl, quien se centró en estudiar el cálculo fraccionario sobre funciones periódicas. En este sentido, si la derivada de la función sen(x) es cos(x) = sen(x+π 2) , uno puede interpretar la derivada fraccionaria de orden α del seno como sen(x+απ 2) . Argumentando de modo semejante para el coseno y asumiendo que la derivada fraccionaria es lineal, Weyl es capaz de denir formalmente la derivada de una serie INTRODUCCIÓN xv de Fourier que no tenga término constante. Conviene notar que el proceso de generalización de Weyl (donde, esencialmente, interpolamos senos y cosenos) es, en principio, completamente distinto al de Riemann-Liouville (donde generalizamos una expresión cambiando la función factorial por la función Γ ). Curiosamente, bajo ciertas hipótesis sobre la función de trabajo, se tiene que la integral de Weyl coincide con la integral de Riemann-Liouville con extremo inferior −∞ . El principal problema que presenta el cálculo fraccionario en series de Fourier es que la derivada formal de una serie de Fourier no tiene por qué converger o puede hacerlo, pero de modo muy lento. Es posible aumentar la cantidad de series de Fourier que son convergentes o acelerar dicha velocidad de convergencia con los denominados métodos de suma alternativos, como la suma según Cesàro. En el trabajo, justicamos teóricamente la consistencia de dichos métodos de suma y comprobamos, de modo empírico, su buen comportamiento en unos ejemplos concretos. Finalmente, enunciamos otras posibles deniciones de derivadas o integrales fraccionarias, explicando cómo se deducen a partir de fórmulas conocidas para el cálculo entero. Un ejemplo de elementos de este nuevo conjunto de deniciones serían el cálculo fraccionario según Marchaud (1927), o la propuesta análoga y paralela de Anton Karl Grünwald (1867) y Alexei Vasilievich Letnikov (1868). Mencionamos resultados teóricos, sin demostración, que aseguran que, bajo ciertas hipótesis sobre la función de trabajo, las de- niciones nuevas coinciden con las viejas en algún sentido. Además, citamos un par de deniciones genéricas (una dependiente de un parámetro funcional y la otra dependiente de un núcleo integral) que, con elecciones adecuadas del parámetro o del núcleo, están relacionadas, de algún modo, con el cálculo fraccionario según Riemann-Liouville. Para acabar, realizamos una observación propia que enuncia que, para cualquier denición de cálculo fraccionario que involucre un núcleo integral cumpliendo ciertas condiciones adecuadas, este debe coincidir con el de Riemann-Liouville en los órdenes naturales. Nuestra referencia principal para la elaboración de este trabajo ha sido [8], pues constituye una de las monografías más completas y extensas sobre cálculo fraccionario escritas hasta la fecha. No obstante, como documento de iniciación hemos utilizado [2], pues este artículo consiste en una revisión básica de diversas deniciones de derivadas e integrales fraccionarias. Además, para algunas cuestiones de carácter puntual o técnico, hemos recurrido a los otros items bibliográcos. La gran mayoría de retratos de matemáticos presentes en el trabajo han sido obtenidos de la web [5] conocida, popularmente, como MacTutor. Excepcionalmente, por falta de imágenes, alguno de ellas ha sido obtenida de otras páginas, generalmente en la lengua original xvi INTRODUCCIÓN del matemático, contrastando siempre la autenticidad del retrato con el documento [9], que tiene por autores a expertos reconocidos en el campo del cálculo fraccionario. Capítulo 1 Una primera aproximación El objetivo de este capítulo es dar una primera visión del cálculo fraccionario. Nos reservaremos las deniciones y nociones técnicas para capítulos posteriores y, por ello, ahora simplemente indicaremos posibles caminos a tomar para tratar el problema del cálculo fraccionario y las dicultades que presentan. Hemos comentado que el cálculo fraccionario nace, al menos idealmente, con la anécdota que incumbe a L'Hôpital y Leibniz. La respuesta que uno hubiese esperado a la pregunta ¾Qué sucede si el orden de derivación es n=1 2 ? sería que Tiene que suceder que al derivar dos veces, debe dar la derivada usual. Figura 1.1: Guillaume de l'Hôpital y Gottfried Leibniz. 1 2 CAPÍTULO 1. UNA PRIMERA APROXIMACIÓN Esa respuesta da pie a la siguiente reexión. Pensemos en las derivadas como operadores que aplican a funciones y dan como resultado funciones. Nos gustaría tener la propiedad de que la concatenación de una derivación de orden α con una de orden β diese lo mismo que la derivación de los órdenes sumados α+β . Las mismas consideraciones hechas para la derivada fraccionaria pueden realizarse para su análogo integral. De hecho, parece lógico aunar todo en una única denición pues es conocido que, en cierto sentido, derivación e integración se comportan de modo inverso. El primer problema es claro pues, así como la derivada de una función es única, la integral no lo es. En general, al integrar una función n veces conocemos el resultado salvo suma con un polinomio de grado n−1 . 1.1. Series de Taylor En este tratamiento genérico estamos considerando que podemos derivar las funciones tantas veces como queramos. Por ese motivo sería necesario tratar al menos con funciones de clase innito. En particular, parece interesante trabajar las funciones que son analíticas pues, conociendo las derivadas fraccionarias de los elementos básicos, podríamos obtener las derivadas fraccionarias de cualquier función analítica. Figura 1.2: Brook Taylor. A pesar de la naturalidad del enfoque expuesto, la siguiente proposición indica que surgen ciertos problemas. 1.2. SERIES FORMALES DE LAURENT 3 Proposición 1.1. No existe ningún endomorsmo E en el espacio vectorial de funciones analíticas de variable real, que verique E◦E=D , donde D es el operador derivada clásica. Demostración. Existe un morsmo inyectivo de espacios vectoriales dado por Tay :A(R)−→ RN f7−→ ∞ X n=0 fn)(0)en=f(0)e0+f0(0)e1+f00(0)e2+··· , donde los {en}n∈N constituyen la base canónica de RN y la elección de 0 como centro de la serie no supone pérdida de generalidad. La construcción realizada es, esencialmente, la de la serie de Taylor si asociamos cada en con xn n! . El operador D en Tay(R) se expresa como el operador shift denido a continuación D:Tay(A(R)) −→ T ay(A(R)) ∞ X n=0 anen7−→ ∞ X n=0 an+1en. Como el núcleo de la derivación usual está compuesto por las funciones constantes, tenemos ker D=h{e0}i . Por otra parte, como ker E⊂ker D y no puede ser que ker E= 0 , pues entonces D=E◦E sería inyectivo, tenemos ker E= ker D . Además, E debe ser sobreyectiva puesto que D=E◦E lo es. Consecuentemente, existe un v∈RN con E(v) = e0 y, evidentemente, v6∈ ker E . No obstante tenemos D(v) = E(E(v)) = E(e0)=0, lo que obliga a v∈ker D contradiciendo ker E= ker D . Esencialmente, el resultado enuncia que, suponiendo que la derivada fraccionaria es una aplicación lineal, no se puede esperar que esta derivada de una función analítica sea una función analítica. Además, aunque hubiésemos sido capaces de hacerlo, seguiríamos teniendo el problema de denir de modo unívoco la integración. 1.2. Series formales de Laurent Los dos problemas están íntimamente ligados con el hecho de que existe una asimetría en las series de Taylor; no existe un elemento básico máximo, 4 CAPÍTULO 1. UNA PRIMERA APROXIMACIÓN pero sí uno mínimo que es x0 . La solución para evitar esa asimetría pasaría por trabajar con series donde el conjunto de elementos básicos se identicase con Z en vez de N . En consecuencia, trabajaremos con series formales de Laurent, las cuales son del tipo ···+a−2e−2+a−1e−1+a0e0+a1e1+a2e2+··· con los coecientes aj∈R para todo j∈Z . Denotaremos al espacio de dichas series, por coherencia, como RZ . Asimismo denotaremos por E(R) al subespacio de RZ formado por las series con parte de Taylor convergente. Observación 1.2. Para todo n∈Z , la aplicación Dn:E(R)−→ E(R), consistente en desplazar cada coordenada |n| unidades hacia la izquierda si n > 0 y hacia la derecha si n < 0 , es un isomorsmo. En la sección anterior, vimos como la construcción realizada era, esencialmente, una serie de Taylor enmascarando xn n! como en . Si intentamos reutilizar dicho enfoque para el caso actual (con subíndices negativos) y utilizamos la función Γ (que trataremos en el capítulo siguiente) como generalización del factorial, asociaríamos en con xn Γ(n+1) . Llegados a este punto, conviene notar que Γ aplicada a los enteros negativos toma el valor ∞ , con lo cual el modo lógico de evaluar dichas series consistiría en evaluar únicamente su parte de Taylor. Parece entonces coherente introducir la siguiente relación de equivalencia entre series formales de Laurent. Denición 1.3. Decimos que dos series formales de Laurent, que denotamos por (an)n∈Z,(bn)n∈Z∈RZ , son equivalentes, i.e. (an)n∈Z∼(bn)n∈Z , si se tiene que sus coecientes de la parte de Taylor son iguales, es decir, (an)n∈N= (bn)n∈N . A partir de la construcción de la relación de equivalencia y todo lo expuesto, es evidente que existe un isomorsmo E(R) ∼∼ =A(R). Observación 1.4. A pesar de que, en el espacio de series formales E(R) la integración y derivación daban un isomorsmo, sólo la derivación pasa como aplicación cociente a E(R) ∼∼ =A(R) . 1.3. RESOLUCION DE EDOS EN SERIE DE POTENCIAS 5 En pocas palabras, los coecientes que tienen subíndice positivo llevan información sobre la derivada y los que tienen subíndice negativo llevan la información sobre las primitivas. Al cocientar, nos estamos olvidando de estos últimos y se impide la denición unívoca de la integración. Llegados a este punto, una posible opción sería intentar enfocar la teoría del cálculo en E(R) . Nosotros no lo haremos porque, como ya hemos dicho, no podríamos inducir el cálculo integral que desarrollásemos al caso de las funciones. 1.3. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias En la anterior sección hemos mostrado, fundamentalmente, los problemas que existen al intentar compatibilizar el cálculo clásico y fraccionario con las series de Taylor. No obstante, sería interesante tener algún resultado que vinculase el cálculo fraccionario con series. Desarrollaremos ese punto de vista en el capítulo cuarto. Por el momento, ilustraremos cómo, en el caso entero, los desarrollos en serie facilitan la resolución de las ecuaciones diferenciales lineales de coecientes constantes. Proposición 1.5. Sea f una función de variable real innitamente derivable. Entonces f es analítica si, y sólo si, para cada compacto K del dominio, existe una constante CK que hace que se verique dkf dxk(x)≤Ck+1 Kk!,∀k∈N. La prueba de dicha proposición, en un contexto mucho más general, puede encontrarse en [4]. Esencialmente, el resultado nos dice que para que una función innitamente derivable sea analítica es necesario y suciente que sus coecientes de Taylor no crezcan demasiado, donde la idea de no crecer demasiado se formaliza con la cota anterior. Supongamos una ecuación diferencial homogénea de coecientes constantes de la forma cnun)+cn−1un−1) +···+c1u0+c0u= 0; cn6= 0. (1.1) Proposición 1.6. La solución de la ecuación (1.1) es innitamente derivable. 6 CAPÍTULO 1. UNA PRIMERA APROXIMACIÓN Demostración. Sabemos que la solución es al menos derivable n veces y, de hecho, se tiene un)=−c−1 n(cn−1un−1) +···+c1u0+c0u). Con lo cual un) , a la cual en principio no podíamos garantizarle regularidad, resulta ser al menos una vez derivable, pues se escribe como suma nita de funciones que verican tal condición. La derivabilidad de un) hace que todos los sumandos de la derecha sean derivables dos veces y, por ello, su suma un) . Razonando inductivamente garantizamos cualquier grado de derivabilidad deseado. Proposición 1.7. La solución de la ecuación (1.1) es analítica. Demostración. Utilizaremos la proposición 1.5. Como la función u es innitamente derivable, u tiene todas sus derivadas continuas y, por ello, acotadas en cualquier compacto K . Es, entonces, evidente garantizar que existe CK con dku dxk(x)≤Ck+1 Kk!,∀k∈ {0,1, ..., n};CK≥c−1 ncj,∀j∈ {0,1, ..., n}. Nuestro objetivo es extender la primera de las cotas a todos los valores k≥n , lo cual probará el carácter analítico. Supongámosla probada hasta un cierto valor de k=j≥n y veamos que se mantiene para j+ 1 . Efectivamente, |uj+1)| ≤ |cn−1c−1 nuj)|+···+|c0c−1 nuj−n+1)|≤|CKuj)|+···+|CKuj−n+1)| =CK(|uj)|+···+|uj−n+1)|)≤CK(nCj+1 Kj!) < Cj+2 K(j+ 1)!; donde en la penúltima cota hemos usado la hipótesis de inducción y que CK≥cnc−1 n= 1 . La última cota es trivial utilizando que j≥n . Ejemplo 1.8. Supongamos que queremos encontrar las soluciones de la ecuación diferencial u0=ku , con k∈R . Como toda solución posible f será analítica, podemos llevar el problema a series de Taylor. Derivando la serie de Taylor e igualando coecientes, llegamos a la fórmula de recurrencia an+1 =kan para todo n∈N o, equivalentemente, an=kna0 para todo n∈N . Por tanto, la solución es la serie X n∈N an n!xn=X n∈N a0kn n!xn=a0X n∈N 1 n!(kx)n=a0ekx =f(0)ekx. 1.3. RESOLUCIÓN DE EDOS EN SERIE 7 Ejemplo 1.9. Supongamos que queremos encontrar las soluciones de la ecuación diferencial u00 +u= 0 , que serán analíticas. Con el mismo mecanismo mencionado anteriormente, llegamos a la recurrencia an+2 =−an . Se obtiene la serie solución X n∈N an n!xn=X n∈2N (−1)n 2a0 n!xn+X n∈2N+1 (−1)n−1 2a1 n!xn=a0cos(x) + a1sen(x). La losofía general es que la resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coecientes constantes equivale a la resolución de ecuaciones en diferencias. Como ya habíamos anunciado previamente, en el capítulo cuarto utilizaremos la misma losofía con las series de Fourier y las vincularemos al cálculo de soluciones de algunas ecuaciones diferenciales de orden entero y fraccionario. Capítulo 3 El enfoque de Riemman-Liouville Figura 3.1: Georg Friedrich Bernhard Riemann y Joseph Liouville. El objetivo de este capítulo es introducir un primer ejemplo de integral y derivada fraccionaria. El primer paso, que ya ha sido dado, consistía en dar unos resultados técnicos que sostuviesen teóricamente el trabajo a desarrollar ahora. Comenzamos introduciendo el cálculo fraccionario según RiemannLiouville, el cual nace de una generalización de la fórmula de Cauchy para integración repetida. Nuestro objetivo de dicha introducción es presentar las nociones de integral y derivada fraccionaria de Riemann-Liouville, así como 15 16 CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE unos resultados elementales que involucren dichos conceptos. Los contenidos presentados servirán para resolver, en la sección nal, la denominada ecuación integral de Abel, la cual modela un determinado proceso físico. Nuestra referencia principal en este capítulo es [8] y, para la interpretación física de la ecuación de Abel, utilizaremos [1]. 3.1. La idea original de Riemann y Liouville En 1832, Bernhard Riemann y Joseph Liouville colocan la primera piedra en la formalización de la teoría del cálculo fraccionario deniendo la integral de Riemann-Liouville. La idea novedosa descansa en una generalización de la fórmula de Cauchy para la integración repetida. Dicha fórmula otorga una igualdad entre n integrales consecutivas de una función continua y una única integral simple donde el valor n−1 aparece como exponente y como término multiplicativo factorial. La generalización de las potencias a exponentes complejos y del factorial a la función Γ permiten dar una denición de integral de orden α∈C donde, por motivos técnicos, se requiere <(α)>0 . El desarrollo de esta sección consiste, fundamentalmente, en probar la fórmula de Cauchy para integración repetida, la cual está enunciada en [8]. Teorema 3.1 (Fórmula de Cauchy para integración repetida) . Dada una función continua f: [a, b]−→ R se tiene la siguiente igualdad si n∈Z+ : f−n)(x) : = Zx aZt1 a···Ztn−1 a f(tn)dtn···dt2dt1 =1 (n−1)! Zx a (x−t)n−1f(t)dt. Demostración. La prueba se realizará por inducción en n . Entenderemos siempre que x∈[a, b] , dado que no sabemos del comportamiento de f fuera del intervalo. El caso n= 1 es evidente, pues las dos expresiones dadas por el teorema son maniestamente iguales salvo un cambio de nombre en las variables Zx a f(t1)dt1=Zx a f(t)dt. Supongamos el teorema cierto hasta un cierto índice n y probémoslo para n+ 1 . Partimos de f−(n+1))(x) := Zx aZt1 a···Ztn a f(tn+1)dtn+1 ···dt2dt1. 3.2. INTEGRAL DE RIEMANN-LIOUVILLE 17 Aplicamos la hipótesis de inducción a las n integrales más internas, lo que transforma la anterior igualdad en f−(n+1))(x) = 1 (n−1)! Zx aZt1 a (t1−t)n−1f(t)dtdt1. Intercambiando el orden de integración en el miembro derecho (al estar en hipótesis del corolario 2.2), obtenemos f−(n+1))(x) = 1 (n−1)! Zx aZx t (t1−t)n−1f(t)dt1dt. Finalmente, realizamos la integral interna para concluir f−(n+1))(x) = 1 n!Zx a (x−t)nf(t)dt, que es la igualdad deseada. Observación 3.2. Si f es continua en R , basta elegir un a para poder enunciar el anterior resultado para todo x≥a . En ese caso, hablaríamos de la n -primitiva de f con extremo inferior jo a . Paralelamente, se puede formular un resultado análogo donde jamos el extremo superior del intervalo de integración b y se deja como variable x≤b . 3.2. La integral fraccionaria de Riemann-Liouville Como ya habíamos anunciado, la fórmula para integración repetida sugiere la posibilidad de una denición para valores no naturales de n . Para ello, utilizamos la función Γ de Euler, que verica la propiedad Γ(n+1) = n! . Por supuesto, existen otras funciones que generalizan la función factorial a variable real o compleja con propiedades agradables. Dado que la generalización clásica consiste en utilizar la función Γ , no haremos más hincapié en el uso de otras extensiones del factorial. Durante esta sección, a y b serán números reales con a<b . Denición 3.3. Sea f∈L1(a, b) . Denimos la integral fraccionaria de Riemann-Liouville de orden α > 0 de f por la izquierda con extremo inferior a como sigue (Iα a+f)(x) := 1 Γ(α)Zx a f(t) (x−t)1−αdt, x > a. 18 CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE Denición 3.4. Sea f∈L1(a, b) . Denimos la integral fraccionaria de Riemann-Liouville de orden α > 0 de f por la derecha con extremo superior b como sigue (Iα b−f)(x) := 1 Γ(α)Zb x f(t) (t−x)1−αdt, x < b. Observación 3.5. Es evidente que la integral fraccionaria de cualquier orden es un operador lineal. Observación 3.6. Si f∈L1(a, b) , entonces Iα a+f∈L1(a, b) porque Zb a|(Iα a+f)(x)|dx =1 Γ(α)Zb aZx a f(y)dy (x−y)1−αdx, que se acota superiormente, de modo trivial, por 1 Γ(α)Zb aZx a |f(y)|dy (x−y)1−αdx. Si utilizamos la fórmula de Dirichlet (corolario 2.2), la cota se reescribe como 1 Γ(α)Zb a|f(y)|Zb y dx (x−y)1−αdy, que, al computar la integral interna, permite obtener la cota 1 Γ(1 + α)Zb a|f(y)|(b−y)αdy ≤(b−a)α Γ(1 + α)Zb a|f(y)|dy. Para salvaguardar la máxima generalidad, hemos presentado la integración por la izquierda y por la derecha de modo separado. No obstante, los conceptos no son independientes y, como muestra el siguiente lema, están íntimamente relacionados mediante un operador tipo reexión o simetría. Lema 3.7. Si Q es el operador reexión dado por (Qϕ)(x) = ϕ(a+b−x) , se tienen las siguientes identidades QIα a+=Iα b−Q, QIα b−=Iα a+Q. Demostración. Es evidente que Q◦Q= id. Eso hace que baste comprobar sólo la primera identidad pues, una vez probada esta, deduciríamos la otra aplicando Q a ambos lados QIα a+=Iα b−Q=⇒QQIα a+Q=QIα b−QQ ⇐⇒ Iα a+Q=QIα b−. 3.2. INTEGRAL DE RIEMANN-LIOUVILLE 19 Por una parte, (QIα a+f)(x) = (Iα a+f)(a+b−x) = 1 Γ(α)Za+b−x a f(t) (a+b−x−t)1−αdt. Aplicamos el cambio de variable t=a+b−s o, equivalentemente, s=a+b−t , que implica el cambio formal al integrar dt =−ds . La última expresión desarrollada es igual a −1 Γ(α)Zx b f(a+b−s) (s−x)1−αds, donde cabe destacar el cambio en los límites de integración por el cambio de variable. Dicho cambio se compensa con el signo menos y la anterior expresión es igual a 1 Γ(α)Zb x f(a+b−s) (s−x)1−αds. Por otra parte, (Iα b−Qf)(x) = 1 Γ(α)Zb x Qf(t) (t−x)1−αdt y basta tener en cuenta la identidad Qf(t) = f(a+b−t) para igualar la expresión a 1 Γ(α)Zb x f(a+b−t) (t−x)1−αdt, que coincide con lo que queríamos ver. El lema 3.7 es tremendamente útil si uno quiere trasladar propiedades ya probadas para la integral derecha a la integral izquierda. Utilizaremos esa técnica en el lema siguiente, donde comprobamos que la integral fraccionaria hereda una propiedad conocida para el caso entero. Lema 3.8. La integral de Riemann-Liouville satisface Iα a+Iβ a+ϕ=Iα+β a+ϕ, Iα b−Iβ b−ϕ=Iα+β b−ϕ, α, β > 0. (3.1) Demostración. Es suciente probar el caso de la integral por la izquierda pues, una vez hecho, bastaría usar el operador Q del lema 3.7 junto a la propiedad QQ = id: Iα b−Iβ b−ϕ=Iα b−Iβ b−QQϕ =QIα a+Iβ a+Qϕ =QIα+β a+Qϕ =Iα+β b−QQϕ =Iα+β b−ϕ. 20 CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE Para probar el caso de la integral por la izquierda, partimos de Iα a+Iβ a+ϕ=1 Γ(α)Γ(β)Zx a 1 (x−t)1−αZt a ϕ(τ)dτ (t−τ)1−βdt. Al aplicar la fórmula de Dirichlet (corolario 2.2), se sigue que Iα a+Iβ a+ϕ=1 Γ(α)Γ(β)Zx a ϕ(τ)Zx τ dt (x−t)1−α(t−τ)1−βdτ. Si ahora utilizamos la igualdad (2.5), como <(α)>0 y <(β)>0, obtenemos B(β, α) Γ(α)Γ(β)Zx a ϕ(τ) (x−τ)1−α−βdτ =1 Γ(α+β)Zx a ϕ(τ) (x−τ)1−α−βdτ, donde, en la igualdad nal, hemos usado (2.4). 3.3. La derivada fraccionaria de Riemann-Liouville El párrafo introductorio y el camino seguido hasta el momento dejan claro que el cálculo fraccionario se inicia deniendo la integral fraccionaria. De hecho, en el cálculo fraccionario según Riemann-Liouville, la denición de la integral va a inuir en la denición de la derivada. Esto supone un contraste con el cálculo entero, en el que se introduce la noción de derivada de modo independiente (como límite de cocientes incrementales). Esa diferencia es, de hecho, muy importante porque clásicamente la integral depende de un conjunto (intervalo o, más generalmente, recinto de integración) mientras que la derivada es un concepto local. El hecho de denir la derivada a partir de la integral lleva a que haya que denir la derivada relativa a un cierto extremo jo. Denición 3.9. Sea f una función real con dominio [a, b] . Denimos la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville de orden 0< α < 1 de f por la izquierda con extremo inferior a como el siguiente valor (si existe): (Dα a+f)(x) := d dx(I1−α a+f)(x) = 1 Γ(1 −α) d dx Zx a f(t) (x−t)αdt, x > a. Denición 3.10. Sea f una función real con dominio [a, b] . Denimos la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville de orden 0< α < 1 de f por la derecha con extremo superior b como el siguiente valor (si existe): (Dα b−f)(x) := −d dx(I1−α b−f)(x) = −1 Γ(1 −α) d dx Zb x f(t) (x−t)αdt. 3.3. DERIVADA DE RIEMANN-LIOUVILLE 21 Observación 3.11. Al igual que sucedía con la integral fraccionaria, es inmediato comprobar que la derivada fraccionaria de orden 0< α < 1 es un operador lineal. Será interesante dar alguna condición sobre f que asegure la existencia de derivada fraccionaria en el sentido de Riemann-Liouville. Observación 3.12. Notemos que, a diferencia de la integral fraccionaria, que fue denida para todo α > 0 , en el caso de la derivada hemos dado la denición cuando 0< α < 1 . Es evidente que las deniciones 3.9 y 3.10 no pueden prolongarse para α= 1 pues, en ese caso, habría que considerar una división entre Γ(0) . La solución clásica a este problema pasa por una denición recursiva de este tipo de derivada. Sea α∈R+ y pongámoslo, con la notación habitual, como suma de su parte entera (o suelo) y su parte decimal, i.e., α= [α] + {α} . Denición 3.13. Sea f una función real denida en [a, b] . Denimos la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville de orden α > 0 (cuando {α} 6= 0 ) de f por la izquierda como el siguiente valor (si existe): (Dα a+f)(x) := d dx[α](D{α} a+f)(x) = d dx[α]+1(I1−{α} a+f)(x). Denición 3.14. Sea f una función real denida en [a, b] . Denimos la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville de orden α > 0 (cuando {α} 6= 0 ) de f por la derecha como el siguiente valor (si existe): (Dα b−f)(x) := −d dx[α](D{α} b−f)(x) = −d dx[α]+1(I1−{α} b−f)(x). Observación 3.15. Si {α}= 0 , es decir, si α∈Z+ , denimos Dα a+f como la derivada usual de orden α independientemente del valor a∈R . Asimismo, denimos Dα b−f como el opuesto de la derivada de orden α independientemente del valor b∈R . En cualquiera de los casos, tenemos que la derivada de cualquier orden α > 0 es una aplicación lineal. Si tomamos n= [α]+1 y, por tanto, {α}=α−n+ 1 , las deniciones anteriores pueden reescribirse como Dα a+f=1 Γ(n−α)d dxnZx a f(t)dt (x−t)α−n+1 , n = [α]+1, Dα b−f=(−1)n Γ(n−α)d dxnZb x f(t)dt (x−t)α−n+1 , n = [α]+1. 22 CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE 3.4. La derivada y la integral como operadores inversos Por comodidad a la hora de usar notación, para todo α > 0 , utilizaremos los convenios I−α a+f:= Dα a+f e I−α b−f:= Dα b−f para cualquier f a la que tenga sentido aplicar dichos operadores, donde a y b son números reales con a < b . Observación 3.16. Por denición de la derivada de Riemann-Liouville se tiene, trivialmente, que I−n a+Iα a+=I−n+α a+. Teorema 3.17. Sea α > 0 , entonces tenemos la igualdad Dα a+Iα a+ϕ=ϕ, para cualquier ϕ∈L1(a, b) . Además, se tiene Iα a+Dα a+f=f bajo la hipótesis adicional de que f∈Iα a+(L1(a, b)) . Demostración. Tenemos que Dα a+(Iα a+ϕ)(x) = 1 Γ(α)Γ(n−α)d dxnZx a 1 (x−t)α−n+1 Zt a ϕ(s)ds (t−s)1−αdt. Si utilizamos la fórmula de integración en triángulos, obtenemos Dα a+(Iα a+ϕ)(x) = 1 Γ(α)Γ(n−α)d dxnZx a ϕ(s)Zx s dt (t−s)1−α(x−t)α−n+1 ds. Realizando la integral interior por (2.5) y utilizando (2.4), pues <(α)>0 y <(n−α)>0 , la anterior igualdad se reduce a Dα a+(Iα a+ϕ)(x) = 1 Γ(n)d dxnZx a ϕ(s)(x−s)n−1ds. De ahí concluimos la primera armación pues, por la fórmula integral de Cauchy (teorema 3.1), ϕ(x) = 1 Γ(n)d dxnZx a ϕ(s)(x−s)n−1ds. 3.4. OPERADORES INVERSOS 23 La segunda armación es prácticamente inmediata. Si f=Iα a+ϕ , basta aplicar la primera armación pues (Iα a+Dα a+)f= (Iα a+Dα a+)(Iα a+ϕ) = Iα a+(Dα a+Iα a+)ϕ=Iα a+ϕ=f, obteniendo el resultado deseado. Corolario 3.18. Sean α, β, a, b ∈R con a<b y sea ϕ∈L1(a, b) . Supongamos que se cumple alguna de las siguientes hipótesis: α < 0 , β > 0 con |α|<|β| . α < 0 , β > 0 con |α|>|β| y ϕ=I−α−β a+(ψ) con ψ∈L1(a, b) . α > 0 , β < 0 con |α|>|β| y ϕ=I−β a+(ψ) con ψ∈L1(a, b) . α > 0 , β < 0 con |α|<|β| y ϕ=I−β a+(ψ) con ψ∈L1(a, b) . Entonces se verica que Iα a+Iβ a+ϕ=Iα+β a+ϕ. Demostración. La idea de la prueba es realizar la descomposición adecuada de las integrales o derivadas fraccionarias en función de las hipótesis que tengamos. Las herramientas a utilizar son la observación 3.6, la igualdad (3.1) y el teorema 3.17. La primera hipótesis implica −α−β > 0 y, por tanto, Iα a+Iβ a+ϕ=Iα a+I−α a+Iα+β a+ϕ=Iα+β a+ϕ, donde la primera igualdad se justica con (3.1) y en la segunda aplicamos el teorema 3.17 pues, por la observación 3.6, tenemos la hipótesis de que Iα+β a+ϕ∈L1(a, b) . La segunda hipótesis implica −α−β > 0 y, por tanto, Iα a+Iβ a+ϕ=Iα a+Iβ a+I−α−β a+ψ=ψ=Iα+β a+ϕ, donde la primera igualdad viene dada por la hipótesis de existencia de ψ , junto al teorema 3.17, y la segunda igualdad viene dada por (3.1). La tercera hipótesis implica α+β > 0 y, por tanto, Iα a+Iβ a+ϕ=Iα+β a+I−β a+Iβ a+ϕ=Iα+β a+ϕ, donde la primera igualdad viene dada por (3.1) y la segunda por la hipótesis de existencia de ψ , junto al teorema 3.17. 30 CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE Demostración. Una implicación es clara. Si uno reexamina la resolución de la ecuación integral de Abel, se puede comprobar que el único paso crítico es la deducción de (3.7), paso en el que es necesario que ϕ∈L1(a, b) para aplicar la fórmula de Dirichlet. El resto de los pasos hasta la igualdad (3.8) no requieren hipótesis adicionales. Precisamente la igualdad (3.8) es la que nos garantiza I1−α a+f∈AC([a, b]) al ser primitiva de una función de L1(a, b) ; más concretamente estamos aplicando (2.2) y que ϕ∈L1(a, b) . Además, la misma igualdad (3.8) da también, trivialmente, (I1−α a+f)(a)=0 . Probamos ahora la otra implicación. El hecho I1−α a+f∈AC([a, b]) nos permite hablar de su derivada como (I1−α a+f)0=I−α a+f∈L1(a, b) . Nuestro objetivo es probar que dicha función es solución de (3.5). En otras palabras, si tenemos Iα a+I−α a+f=g (3.11) queremos ver que con las hipótesis mencionadas anteriormente se sigue g=f . La primera observación es que I1−α a+g es absolutamente continua, lo cual es evidente aplicando I1−α a+ en ambos lados de (3.11). Por otra parte, aplicando I−α a+ a los dos lados y usando el corolario 3.18 podemos simplicar el lado izquierdo porque I−α a+f∈L1(a, b) y tendremos la igualdad I−α a+f=I−α a+g o, equivalentemente, I−1 a+I1−α a+f=I−1 a+I1−α a+g. Además las funciones I1−α a+f y I1−α a+g son absolutamente continuas, la primera por hipótesis y la segunda por consideraciones anteriores. Consecuentemente, al ser absolutamente continuas y coincidir en derivada, las funciones I1−α a+f y I1−α a+g sólo se diferencian en una constante, la cual debe ser 0 en vista de que (I1−α a+f)(a)=0 por hipótesis y (I1−α a+g)(a)=0 por denición de g . Entonces, se tiene I1−α a+(f−g) = I1−α a+f−I1−α a+g= 0, que es una ecuación del tipo de la ecuación integral de Abel (3.5) de solución f−g . Como f−g∈L1(a, b) , pues de hecho es absolutamente continua, se puede aplicar todo el desarrollo propio de la solución de la ecuación integral de Abel y concluir la unicidad de solución. Como evidentemente la función 0 es una solución, dicha unicidad obliga a que f−g= 0 . Observación 3.27. Por el procedimiento de resolución de la ecuación integral de Abel, que era aplicable si ϕ∈L1(a, b) , sabíamos que la solución 3.7. LA ECUACIÓN INTEGRAL DE ABEL 31 era única. En consecuencia, si se tienen las hipótesis equivalentes (3.10), se deduce también la unicidad de solución. El único posible inconveniente al teorema anterior es que deja la resolubilidad de la ecuación de Abel en función a hipótesis sobre I1−α a+f que puede ser de cómputo complicado si f no es adecuada. Como solución a este problema podemos dar hipótesis sucientes sobre f que aseguran la existencia de solución en virtud al lema 3.20. Corolario 3.28. Si f∈AC([a, b]) , entonces la ecuación de Abel con parámetro 0< α < 1 tiene solución. Para cerrar esta sección conviene señalar que existen fórmulas análogas a las obtenidas cuando se ja el extremo superior de las integrales. Observación 3.29. Se puede formular la ecuación de Abel jando el extremo superior del intervalo 1 Γ(α)Zb y ϕ(t)dt (t−y)1−α=f(y), y ≤b o, equivalentemente, Iα b−ϕ=f. Con el procedimiento ya realizado, se obtiene la solución formal de esta ecuación cuando 0< α < 1 como ϕ(x) = −1 Γ(1 −α) d dx Zb x f(y)dy (y−x)α o, equivalentemente, ϕ=I−α b−f. La existencia de solución ϕ∈L1(a, b) equivale a que I−α b−f∈AC([a, b]) e (I−α b−f)(b) = 0 . Esa hipótesis se satisface trivialmente si f∈AC([a, b]) y se puede facilitar la reescritura de la solución ϕ como ϕ(x) = 1 Γ(1 −α) f(b) (b−x)α−Zb x f0(s)ds (s−x)α!, x ∈[a, b]. (3.12) 3.7.3. El problema mecánico de Abel Una de las ramas primigenias de la física es la mecánica, que se encarga de estudiar el movimiento de los objetos bajo las acciones de las fuerzas. Un ejemplo de problema mecánico surge de modo natural al plantearse una pregunta como ¾Es posible determinar la forma de un tobogán, que no produce rozamiento, si se conoce el tiempo de descenso al tirarse desde cualquier altura del mismo? El problema en cuestión se denomina problema mecánico de Abel. A veces, el problema se formula de modo más concreto buscando 32 CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE el tobogán tautócrono, también llamado isócrono, en el cual el tiempo de descenso es independiente de la altura inicial. En esta subsección, resolveremos el problema tautócrono y veremos que la solución es un arco de cicloide invertido. Para la resolución, será fundamental la ecuación integral de Abel, que ha sido tratado en las dos subsecciones previas. La referencia principal en esta subsección ha sido [1], aunque mantenemos la notación de nuestra referencia principal [8]. Formulación del problema Partimos de una curva decreciente y(x) desconocida que corta al eje X en (0,0) y de una partícula de masa m . Suponemos conocido el tiempo de descenso de la partícula desde cualquier punto P0≡(x0, y0) de la curva hasta el suelo (0,0) . Nuestro objetivo es averiguar la forma de la curva, para lo cual supondremos un movimiento conservativo donde la partícula sólo está sometida a la fuerza gravitatoria. Por simplicidad de notación, denotaremos por s a la función que mide el arco desde un punto (x0, y0) hasta el punto (0,0) . El principio de conservación de energía mecánica otorga mg(y0−y) = 1 2mds dt 2−0 y observamos inmediatamente que el proceso es independiente de la masa m . Despejando en la ecuación y teniendo en cuenta el signo − en la raíz, por ser el arco decreciente como función del tiempo, −p2g(y0−y) = ds dt . Entonces el tiempo de descenso será T(y0) = −1 √2gZ(0,0) (x0,y0) ds √y0−y, donde la integral es difícilmente resoluble pues las variables s e y están ligadas. Para resolver el problema, factorizamos el arco s a través de una función que dependa exclusivamente de la altura (pues la curva solución es decreciente) como s=h(y) , tenemos T(y0) = −1 √2gZ0 y0 h0(y)dy √y0−y⇐⇒ T=1 √2gZy0 0 h0(y)dy √y0−y. Al dividir entre Γ(0,5) = √π , se reescribe como la ecuación de Abel (3.5) T(y0) = rπ 2gI 1 2 0+h0(y0). 3.7. LA ECUACIÓN INTEGRAL DE ABEL 33 Supongamos que T verica las hipótesis (3.10) necesarias para la existencia de solución. Precisamente, ya hemos visto que la solución toma la forma h0=r2g πI−1 2 0+T. Además, se puede deducir la siguiente relación entre h0 y la inversa de la pendiente h0(y) = ds dy =s1 + dx dy 2=⇒dx dy =−ph0(y)2−1, (3.13) donde, en la implicación, se debe elegir el signo de modo coherente al problema. Como hemos supuesto que la curva es decreciente, elegimos el signo − , pues al aumentar y disminuye x . Integrando, obtenemos x=−Zy0 0r2g πI−1 2 0+T(y)2−1dy +c (3.14) y el hecho de que, cuando y0= 0 tengamos x= 0 , implica c= 0 . Resolver el problema de modo genérico es complicado, por lo que nos centraremos en el caso en el que T es una función constante, es decir, suponemos que el tiempo de descenso T es independiente de la altura inicial. En ese caso, (I−1 2 0+T)(y) = 1 Γ(0,5) T √y=T √πy por (3.4) e, inyectándolo en (3.14), tenemos x=−Zy0 0s2gT2 π2y−1dy. Para calcular esta última integral, planteamos el cambio y=2gT 2 π2sen2θ , que está bien formulado pues, de (3.13), se sigue h0(y)2=2T2g π2·1 y≥1 =⇒y∈0,2gT 2 π2. Al usar el cambio de variable, la integral se reescribe como x=−4gT2 π2Zβ 0r1 sen2θ−1 sen θcos θdθ =−4gT 2 π2Zβ 0 cos2θdθ, 34 CAPÍTULO 3. EL ENFOQUE DE RIEMMAN-LIOUVILLE donde β= arc sen qy0π2 2gT 2 y hemos usado, implícitamente, que las funciones seno y coseno son positivas en el recinto de integración. Computando la integral, obtenemos x=−gT2 π2Zβ 0 (2 + 2 cos 2θ)dθ =gT2 π2(−2β−sen 2β). Por otra parte, por cómo se hizo el cambio de variable, ya sabemos y=gT2 π2(2 sen2β) = gT 2 π2(1 −cos 2β). Observamos que las dos expresiones previas denen conjuntamente una cicloide de radio gT 2 π2 y que dicha expresión sólo tiene sentido físico para los valores β∈[0, π] , para los cuales la solución es una curva decreciente. Representamos grácamente la solución del problema, tomando la elección de T que garantiza gT 2 π2= 1 . Figura 3.3: Representación de la solución al problema de Abel. Capítulo 4 El enfoque de Weyl Hasta el momento nos hemos centrado en las derivadas e integrales fraccionarias en el sentido de Riemann-Liouville. Una de las primeras comprobaciones realizadas ha sido que dichos operadores son lineales. Ese hecho puede sugerirnos estudiar el comportamiento de las derivadas e integrales fraccionarias de Riemann-Liouville respecto a tipos de series funcionales. Realizar una buena elección de la base en torno a la cual se construye la serie será determinante a la hora de simplicar los cálculos. En ese sentido, resulta interesante vincular la teoría de series de Fourier con el cálculo fraccionario, como ya propuso Hermann Weyl hace, aproximadamente, 100 años. Figura 4.1: Hermann Klaus Hugo Weyl. 35 36 CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL Durante este capítulo, deniremos la derivada e integral fraccionaria de una serie de Fourier. Además, probaremos que dicha denición de cálculo fraccionario se corresponde con la de Riemann-Liouville tomando como extremo inferior −∞ . Finalmente, dedicamos una sección a un estudio super- cial de las sumas de Cesàro y Fejér, pues esas nociones permiten ensanchar, en cierto sentido, el conjunto de series de Fourier convergentes. 4.1. Series de Fourier En este trabajo, por ahora, hemos puesto de maniesto la fuerte relación existente entre las series de Taylor y el cálculo fraccionario según RiemannLiouville. Por otra parte, al plantearse la relación entre cálculo fraccionario y series funcionales, parece necesario e interesante estudiar qué sucede al trabajar con las series de Fourier. Figura 4.2: Jean Baptiste Joseph Fourier. Durante esta sección, consideramos ϕ: (−π, π]−→ R una función arbitraria. Dado que durante el capítulo aparecerán en cierto momento potencias complejas, debemos elegir cierta determinación del argumento (medida de ángulos) que, en nuestro caso, será [−π, π) . En consecuencia, si α∈R y z∈C interpretaremos zα como el número complejo de módulo |z|α y argumento principal α· arg (z) . Denición 4.1. Denimos los coecientes de Fourier trigonométricos de ϕ como los valores de las siguientes integrales (si existen): 4.1. SERIES DE FOURIER 37 a0=1 πRπ −πϕ(x)dx , an=1 πRπ −πcos(nx)ϕ(x)dx, para todo n∈Z+ , bn=1 πRπ −πsen(nx)ϕ(x)dx, para todo n∈Z+ . Denición 4.2. Denimos los coecientes de Fourier complejos de ϕ como los valores de las siguientes integrales (si existen) ϕn=1 2πZπ −π e− i nxϕ(x)dx, para todo n∈Z. Observación 4.3. Se tienen las siguientes relaciones: an− i bn= 2ϕn, si n∈Z+, an+ i bn= 2ϕ−n, si −n∈Z−, a0= 2ϕ0. Observación 4.4. Podemos expresar dichas relaciones de modo inverso como an=ϕn+ϕ−n si n∈Z+, bn= i (ϕn−ϕ−n) si n∈Z+, a0= 2ϕ0. La nalidad de cualquiera de las dos familias de coecientes es construir, al menos formalmente, la serie de Fourier. Observación 4.5. Por construcción, es equivalente que ϕ tenga promedio nulo dentro del período a que suceda ϕ0=a0= 0 . Denición 4.6. Denimos la serie de Fourier trigonométrica de ϕ como a0 2+ ∞ X n=1 ancos(nx) + bnsen(nx), x ∈R. Denición 4.7. Denimos la serie de Fourier exponencial de ϕ como ∞ X n=−∞ ϕne i nx, x ∈R. 38 CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL Cada una de las deniciones dadas anteriormente trae un problema consigo: los coecientes de Fourier no tienen por qué existir y la serie de Fourier puede no ser convergente. A continuación exponemos, en forma de teoremas, diversas soluciones conocidas a dichos problemas que suelen ser objeto de estudio en cualquier curso básico de Series de Fourier. Teorema 4.8. Sean f∈L1(−π, π] , ¯ f su extensión 2π -periódica y x0∈R . Si existen l´ım x→x+ 0 ¯ f(x)−¯ f(x+ 0) x−x0 y l´ım x→x− 0 ¯ f(x)−¯ f(x− 0) x−x0 , entonces la serie de Fourier de f evaluada en el punto x0 es convergente y su suma toma el valor ¯ f(x+ 0) + ¯ f(x− 0) 2. Del teorema se extrae, trivialmente, el siguiente corolario que, aunque mucho menos general, será al que nos referiremos para justicar ciertos comportamientos grácos que observaremos más adelante. Corolario 4.9. Sea f∈C∞(A) con A⊂R abierto, A⊃[−π, π] y x0∈R . Sea y0 el único representante de x0 módulo 2π en (−π, π] . Si y06=π , entonces la serie de Fourier evaluada en el punto x0 es convergente y toma el valor f(y0) . Si y0=π , entonces la serie de Fourier evaluada en el punto x0 es convergente y toma el valor ¯ f(π)+ ¯ f(−π) 2. Salvo que trabajemos con funciones periódicas, es evidente que no podemos esperar convergencia uniforme. Este hecho se debe a que las sumas parciales son funciones continuas 2π -periódicas y, si convergiesen de modo uniforme, convergerían a una función continua 2π -periódica. En el caso de tratar con funciones periódicas, uno de los resultados más conocidos y trascendentes es el siguiente teorema del matemático húngaro Lipót Fejér. Teorema 4.10 (de Fejér) . Sean f∈L1(−π, π) , ¯ f su extensión 2π -periódica y σm(x) el promedio aritmético de las m primeras sumas parciales de la serie de Fourier de f(x) . Se tiene que la sucesión (σm)m∈Z+ converge en casi todo punto a ¯ f . Con las hipótesis adicionales de que f sea continua en [−π, π] y que f(π) = f(−π) , la convergencia anterior se da en todos los puntos y, además, de modo uniforme. 4.2. EL OPERADOR DE WEYL 39 En la sección nal de este capítulo, veremos cómo la aportación de Fejér permite extender el concepto de sumabilidad de una serie y acelerar, numéricamente, la convergencia de la sucesión de sumas parciales. En este último caso, la idea que hay detrás es que, prejado un punto x0 , algunas sumas parciales de la serie de Fourier dan una subestimación del valor en x0 y otras dan una sobrestimación. Al realizar el promedio, cancelamos, parcialmente, dichos errores y se observa una convergencia mucho más rápida. Si la convergencia fuese monótona, es decir, si la sucesión de valores en x0 fuese monótona, es claro que la técnica de los promedios no sería de mucha utilidad. 4.2. El operador de Weyl Hemos comentado en el primer capítulo el interés y dicultades que presenta la relación entre el cálculo fraccionario y las series funcionales. Hasta el momento, sólo hemos tratado el problema en el caso de las series de Taylor. Además, lo hemos hecho desde una perspectiva muy ingenua, pues nos retiramos de la batalla al comprobar que la derivada fraccionaria de una función analítica no iba a ser, en principio, analítica. Ahora haremos una aproximación desde las series de Fourier y comprobaremos cómo la derivada o integral fraccionaria formal de una serie de Fourier sigue siendo una serie de Fourier, aunque quizá pueda dejar de ser convergente. Comenzamos deniendo la derivada e integral fraccionaria de los elementos básicos de las series de Fourier, sean exponenciales, senos o cosenos. Denición 4.11. Para todo n entero positivo, denimos el valor del operador de Weyl de orden α∈R de las siguientes funciones: Wαsen(nx) = n−αsen nx −απ 2=n−αsen nx cos απ 2−cos nx sen απ 2, Wαcos(nx) = n−αcos nx −απ 2=n−αcos nx cos απ 2+ sen nx sen απ 2. Denición 4.12. Para todo n entero no nulo, denimos el valor del operador de Weyl de orden α∈R de las siguientes funciones: Wαe i nx = (n i )−αe i nx = (n i )−α(cos nx + i sen nx). Observación 4.13. Nótese que no se dene el operador de Weyl aplicado al caso n= 0 porque, cuando α > 0 , implicaría divisiones entre 0 , pues aparecería un factor 0−α . Al no poder denir el operador de Weyl para el término correspondiente a n= 0 , trabajaremos con las funciones que se 46 CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL Si llamamos c0 a una cota superior del valor de la integral para el caso m= 0 , obtendremos Z∞ −∞ |g(t)|dt = ∞ X m=0 Z2π(m+1) 2πm |g(t)|dt ≤c0+(2π)1+α(α−1) Γ(α) ∞ X m=1 mα−2, que es nito al ser α−2<−1 . El criterio mayorante de Weierstrass (proposición 4.21) garantiza, entonces, que la serie ∞ X m=−∞ Z2π(m+1) 2πm |g(t)|dt converge y, además, lo hace de modo uniforme. Lema 4.27. Se tiene la siguiente expresión G(t) := l´ım n→∞ n X m=−n g(t+ 2πm), (4.4) donde suponemos 0< α < 1 y G(t) = 2π Γ(α)l´ım n→∞ n X m=0 (t+ 2πm)α−1 +−(2π)α−1nα α. Demostración. Acabamos de comprobar en el lema anterior que ∞ X m=−∞ Z2π 0|g(t+ 2mπ)|dt converge absolutamente, lo cual prueba que el miembro derecho de (4.4) converge absolutamente para casi todo t , en virtud del criterio expuesto en la página 68 de [10]. Falta ver que dicha convergencia es, efectivamente, hacia la función G . Notemos que, por denición de potencia truncada, tenemos n X m=−n g(t+ 2πm) = 2π Γ(α) n X m=0 (t+ 2πm)α−1 +−1 2πZ2π([ t 2π]+n+1) 2π([ t 2π]−n) sα−1 +ds!. Además, para cada t∈R jo, una elección de n sucientemente grande garantiza que el extremo inferior de la integral, 2π([ t 2π]−n) , es menor que 4.4. RELACIÓN ENTRE WEYL Y RIEMANN-LIOUVILLE 47 0 . Por lo tanto, para nalizar, es suciente probar que la diferencia entre la función G y las sumas parciales, en el límite, vale 0 , es decir, l´ım n→∞ (2πn)α αΓ(α)−1 Γ(α)Z2π([ t 2π]+n+1) 0 sα−1 +ds= 0. Eliminando constantes, observamos que esa última condición resulta equivalente a probar que, dado cualquier t∈R jo, tenemos l´ım n→∞(nα−(n+t 2π+ 1)α) = 0. Esa armación es claramente cierta al ser α < 1 ya que, por el Teorema del Valor Medio del Cálculo diferencial aplicado a la función xα , la armación es equivalente a que l´ım n→∞ ξα−1 nα(n−n−t 2π−1) = 0, donde ξn∈(n, n + [ t 2π] + 1) es el punto cuya existencia queda garantizada por el teorema mencionado. El hecho de que el último límite valga 0 es consecuencia inmediata de que ξn→ ∞ y de que α−1<0 . Lema 4.28. Bajo la hipótesis 0< α < 1 , la función ψα toma la forma ψα(t) = 2π Γ(α)tα−1 ++rα(t),−2π < t ≤2π, (4.5) donde rα(t) = 1 Γ(α)l´ım n→∞ 2π n X m=1 (t+ 2πm)α−1−(2πn)α α (4.6) es innitamente derivable cuando t∈(−2π, 2π] . Demostración. El lema pide probar la igualdad G(t) = ψα(t) para los valores t∈(−2π, 2π] . Para ello, es suciente ver que coinciden los coecientes de Fourier. Los de la función ψα ya son conocidos y, por ello, basta probar 1 2πZ2π 0 G(t)e− i ktdt = ( i k)−α, para todo k∈Z\{0}. Para comprobar dicha igualdad, nos valdremos del lema anterior pues, de la relación entre G y g , deducimos una expresión para los coecientes de Fourier de G 1 2πZπ −π e− i ktG(t)dt =1 2πZ∞ −∞ e− i ktg(t)dt. 48 CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL Al sustituir g por su valor, y con cálculos similares a los expuestos en el inicio de la prueba del lema 4.26, obtenemos 1 2πZπ −π e− i ktG(t)dt =1 2π ∞ X m=−∞ Z2π(m+1) 2πm e i kt Z2π(m+1) 2πm tα−1−sα−1 Γ(α)ds dt. Finalmente, como la exponencial e i kt es periódica de promedio nulo, la anterior expresión se reduce a 1 2πZπ −π e− i ktG(t)dt =1 Γ(α)Z∞ 0 tα−1e− i ktdt. Multiplicando y dividiendo por ( i k)α , y utilizando la denición 2.13 (de la función Γ ), se sigue 1 2πZπ −π e− i ktG(t)dt =( i k)−α Γ(α)Z∞ 0 ( i kt)α−1e− i kt( i k)dt = ( i k)−α, que es el resultado deseado. La diferenciabilidad de cualquier orden en la expresión (4.6) se sigue de que una condición suciente para la existencia de la derivada de una serie funcional es que exista y converja uniformemente la serie de las derivadas de los sumandos, lo cual se tiene trivialmente en nuestro caso. Teorema 4.29. Sea ϕ∈L1(0,2π) una función 2π -periódica de promedio nulo. Entonces la integral de Weyl coincide con la integral por la izquierda de Liouville: Wαϕ(x) = Iα −∞ϕ(x) := 1 Γ(α)Zx −∞ ϕ(s)ds (x−s)1−α,0< α < 1. Demostración. Ya hemos justicado que el límite que aparece en (4.6) converge de modo uniforme en [0,2π] y, en consecuencia, de (4.5), extraemos el límite fuera de la integral, obteniendo Wαϕ(x) = 1 Γ(α)l´ım n→∞ Z2π 0 ϕ(x−t) n X k=0 (t+ 2πk)α−1−(2π)α−1nα α!dt. Usando el promedio nulo de ϕ en un período, tenemos Wαϕ(x) = 1 Γ(α)l´ım n→∞ Z2π 0 ϕ(x−t) n X k=0 (t+ 2πk)α−1!dt. 4.5. SUMAS DE CESÀRO Y FEJÉR 49 Utilizando, además, la periodicidad de ϕ y la convergencia uniforme (para intercambiar el orden de suma innita e integral), tenemos Wαϕ(x) = 1 Γ(α)l´ım n→∞ n X k=0 Z2(k+1)π 2πk ϕ(x−t)tα−1dt =1 Γ(α)l´ım n→∞ Z2(n+1)π 0 ϕ(x−t)tα−1dt =−1 Γ(α)l´ım n→∞ Zx−2(n+1)π x ϕ(s)(x−s)α−1ds, donde, en el último paso, hemos cambiado de variable con s=x−t y, al eliminar el signo negativo con un cambio de orden en los extremos de integración, obtenemos Wαϕ(x) = 1 Γ(α)l´ım n→∞ Zx x−2(n+1)π ϕ(s)(x−s)α−1ds =1 Γ(α)Zx −∞ ϕ(s)ds (x−s)1−α, donde, en general, la convergencia sólo se da en el sentido condicional que hemos presentado. 4.5. Sumas de Cesàro y Fejér Figura 4.5: Ernesto Cesàro y Lipót Fejér. El problema principal que presentan las series de Fourier es que la derivada formal de una serie convergente no tiene por qué ser convergente. 50 CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL Una posible solución a ese problema es generalizar la noción de sumas de una serie de modo que haya más series que sean convergentes. Uno de los primeros métodos de suma generalizados tiene por autor al matemático italiano Ernesto Cesàro. Precisamente, las sumas de Cesàro juegan un papel fundamental en la teoría de series de Fourier, como demuestra el Teorema de Fèjer. Comenzamos con una proposición que generaliza la noción de suma de una serie y además, en el caso de series convergentes, devuelve el valor clásico. Teorema 4.30. Consideremos una serie de números reales que sea convergente P∞ j=1 aj=A∈R . Denotemos por σn=Pn j=1 aj a la sucesión de sumas parciales. Cualquier serie divergente de término general bj>0 veri- ca l´ım n→∞ Pn j=1 bjσj Pn j=1 bj =A. Demostración. Por convergencia de S , prejado ε > 0 cualquiera, existe N1∈N tal que, si j > N1 , tenemos kA−σjk<ε 2. Elegimos d∈R+ como d= m´ax nε 2,kA−σ1k, ..., kA−σN1ko. Por otra parte, por la divergencia de la serie de término general bj>0 , existe un N2∈N mayor que N1 tal que N1 X j=1 bj N2 X j=1 bj d+ N2 X j=N1+1 bj N2 X j=1 bj ε 2< ε. Intuitivamente, la elección de N2 que garantiza la desigualdad viene posibilitada porque, como la serie de término general bj es divergente, se puede dar un peso sucientemente pequeño a d y sucientemente grande a ε 2 para que la media ponderada sea inferior ε . 4.5. SUMAS DE CESÀRO Y FEJÉR 51 Finalmente, al ser los bj>0 y por la desigualdad triangular, se tiene que      N2 X j=1 bjA− N2 X j=1 bjσj     N2 X j=1 bj ≤ N2 X j=1 kbj(A−σj)k N2 X j=1 bj ≤ N1 X j=1 bj N2 X j=1 bj d+ N2 X j=N1+1 bj N2 X j=1 bj ε 2< ε. Evidentemente, por monotonía, las cotas siguen siendo ciertas sustituyendo N2 por cualquier n∈N con n>N2 . Entonces,    A−l´ım n→∞ Pn j=1 bjσj Pn j=1 bj   < ε. Como la elección de ε > 0 era arbitraria, se deduce que A= l´ım n→∞ Pn j=1 bjσj Pn j=1 bj , que es justo lo que queríamos probar. Observación 4.31. El anterior teorema aplica, en particular, a las sumas de Cesàro, que se corresponden a la elección bj= 1 para todo j∈Z+ . Intuitivamente, dicha elección se corresponde a tomar como valor de la serie el límite cuando n tiende a innito de los promedios de las n primeras sumas parciales. En el caso de que, en vez de con una serie numérica, trabajemos con una serie funcional, las sumas de Cesáro a veces llevan el nombre de sumas de Fejér. Para justicar el interés de las sumas de Fejér, tomamos la gráca de la función identidad en (−π, π) y representamos unas aproximaciones, cada una de ellas hasta la quinta suma parcial, de sus derivadas fraccionarias en el sentido de Weyl: W−1 4 , W−2 4 , W−3 4 y W−1 . Teóricamente esperaríamos que la curva de color rojo, correspondiente a la derivada de orden 1 de la identidad, se aproximase a la función constante 1 , pero no es así. La justicación de por qué no se da la convergencia es que, al derivar formalmente la serie de la función identidad, se obtiene una serie no convergente. Más concretamente, la serie de la identidad es 2 ∞ X n=1 (−1)n+1 nsen nx. 52 CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL −2π−3π 2−π−π 2 π 2π3π 22π −2 2 Figura 4.6: Aproximaciones de algunas derivadas fraccionarias de Weyl de la función identidad. La derivada formal de la serie nos daría 2 ∞ X n=1 (−1)n+1 cos nx, que claramente no converge al no tender el término general a 0 . Si ahora utilizamos las sumas de Fejér, se observa una convergencia mucho más agradable de la curva roja hacia la función constante 1 . −2π−3π 2−π−π 2 π 2π3π 22π −2 2 Figura 4.7: Representación de la Figura 4.6 utilizando sumas de Fejér. De hecho, se puede comprobar analíticamente que la suma en el sentido de Fejér sí es convergente y toma el valor 1 , como prueba la siguiente proposición. Proposición 4.32. Se tiene que 2 ∞ X n=1 (−1)n+1 cos nx = 1, x ∈(−π, π), interpretando la suma anterior en el sentido de Fejér. 4.5. SUMAS DE CESÀRO Y FEJÉR 53 Demostración. Por la denición de suma en el sentido de Fejér, y tomando σm como el promedio de las m primeras sumas parciales, reescribimos la suma S a calcular como S= l´ım m→∞ σm= l´ım m→∞ 2 m X n=1 (−1)n+1(m−n+ 1) cos(nx) m. Por otra parte, recordemos que (−1)n+1 cos nx = (−1)n+1<(e i nx) , y tomamos la notación σ0 m= m X n=0 (−1)n+1(m−n+ 1)e i nx. Es claro que tenemos la relación siguiente σm=< 2(σ0 m+ (m+ 1)) m!. El valor de σ0 m es sencillo de hallar, al tratarse de una serie aritméticogeométrica, y resulta ser σ0 m= m X n=0 (−1)n+1(m−n+ 1)e i nx = m X n=0 n X k=0 (−1)k+1e i kx, que coincide con σ0 m= m X n=0 −1+(−1)n+3e i (n+1)x 1 + e i x=−(m+ 1) 1 + e i x+ m X n=0 (−1)n+3e i (n+1)x 1 + e i x. Con la expresión de la suma de una serie geométrica, hallamos el valor de la última expresión σ0 m=−(m+ 1) 1 + e i x+−e i x+ (−1)m+5e i (m+2)x (1 + e i x)2. Dada la relación entre σm y σ0 m , tendremos σm=< 2(m+ 1) m+−2(m+ 1) m(1 + e i x)+ 2−e i x+ (−1)m+5e i (m+2)x m(1 + e i x)2!. Nos interesará extraer la parte real de la expresión anterior y, para ello, nos apoyaremos en la identidad 1 1 + e i x=1 + e− i x 2 + 2 cos x=1 2−sen x 2 + 2 cos x i . 54 CAPÍTULO 4. EL ENFOQUE DE WEYL De ahí, se deriva que < −2(m+ 1) m(1 + e i x)!=−m+ 1 m, lo que nos da el valor del segundo sumando. Notemos que, al ser x∈(−π, π) , el tercer y último sumando se puede acotar superiormente, en el límite y en virtud de la desigualdad triangular, por l´ım m→∞ 2−e i x+ (−1)m+5e i (m+2)x m(1 + e i x)2≤l´ım m→∞ 22 m|1 + e i x|2= 0, donde el denominador está bien denido al tener x∈(−π, π) . Agrupando todos los cálculos realizados, obtenemos l´ım m→∞ σm= 1, lo que prueba que la sucesión de sumas de Fejér converge a 1 . Por otra parte, las sumas de Fejér son útiles para resolver formalmente ciertas ecuaciones diferenciales. Como ejemplo, mostramos en qué sentido ex−1 πsenh(π) (que tiene promedio nulo en (−π, π) ) es solución de la ecuación W−1f=f+1 πsenh(π) . Lo primero es calcular los coecientes de Fourier de f(x) = ex−1 πsenh(π) . Sabemos que dichos coecientes, salvo a0 que será 0 , coinciden con los de g(x) = ex . La doble integración por partes nos lleva a: an=1 πZπ −π cos(nx)exdx =1 πcos(nx)ex|π −π+n πZπ −π sen(nx)exdx =2(−1)n πsenh(π) + −n2 πZπ −π cos(nx)exdx =2(−1)n πsenh(π)−n2an, bn=1 πZπ −π sen(nx)exdx =1 πsen(nx)ex|π −π−n πZπ −π cos(nx)exdx =−n πcos(nx)ex|π −π−n2 πZπ −π sen(nx)exdx =2n(−1)n+1 πsenh(π)−n2bn. Despejando en las ecuaciones, se sigue an=2(−1)n π(n2+ 1) senh(π), n ∈Z+ bn=2n(−1)n+1 π(n2+ 1) senh(π), n ∈Z+. 4.5. SUMAS DE CESÀRO Y FEJÉR 55 Derivemos formalmente la serie asociada a f y calculemos los nuevos coe- cientes, a los cuales llamaremos cn (para los que acompañan a las funciones seno) y dn (para coseno). Observemos que, por cómo se ejecuta la derivada formal, tenemos cn=nbn y dn=−nan . Además, por la ecuación W−1f=f+1 πsenh(π) , deberíamos tener algo parecido a las relaciones cn=an y dn=bn , donde haría falta un término corrector en algún sentido, que hiciese aparecer el sumando 1 πsenh(π) . Tenemos entonces: cn=nbn=2(−1 + 1 + n2)(−1)n+1 π(n2+ 1) senh(π) = 2(−1)n+1 πsenh(π) + an, dn=−nan=2n(−1)n+1 π(n2+ 1) senh(π) = bn. Entonces para que se vericase la ecuación W−1f=f+1 πsenh(π) bastaría que, en algún sentido, tuviésemos ∞ X n=1 2(−1)n+1 πsenh(π) cos(nx) = 1 πsenh(π); donde debemos notar que los coecientes no tienden a 0 . Dicha igualdad, en el sentido de Fejér, ya ha sido proporcionada por la proposición 4.32. 62 CAPÍTULO 5. OTRAS DEFINICIONES Demostración. Por hipótesis, sabemos que podemos aplicar a f el Teorema de Taylor, donde es conocido que el resto integral toma la forma In 0+fn)(x) = Zx 0 fn)(t) Γ(n)(x−t)n−1dt. Entonces, f(x) = n−1 X j=0 fj)(0) Γ(j+ 1)xj+In 0+fn)(x) y, derivando en el sentido de Riemann-Liouville con orden α∈(n−1, n) , obtenemos I−α 0+f(x) = n−1 X j=0 fj)(0) Γ(j+ 1 −α)xj−α+In−α 0+fn)(x). Finalmente, usando que In−α 0+fn)=Cα 0+f , tenemos I−α 0+f(x) = n−1 X j=0 fj)(0) Γ(j+ 1 −α)xj−α+Cα 0+f(x), que constituye la igualdad deseada. Corolario 5.9. Con la anterior nomenclatura e hipótesis de regularidad, las derivadas de orden α de Caputo y Riemann-Liouville aplicadas a f coinciden si y sólo si f y sus [α] primeras derivadas se anulan en el valor 0 . Observación 5.10. La elección de 0 como extremo inferior se debe exclusivamente a motivos de simplicidad de notación. Obtendríamos resultados análogos con un extremo inferior a∈R arbitrario. 5.3. La derivada de Grünwald-Letnikov En esta sección, introducimos otra denición de derivada ya conocida en la literatura. Lo haremos a través de una generalización bastante natural de un hecho muy conocido, como es la presentación de la derivada como límite de cocientes incrementales. Asimismo, enunciaremos teoremas que relacionan la denición presentada con las dadas anteriormente. Lo expuesto en esta sección consiste en una recolección de información y resultados de la sección vigésima de la referencia [8]. 5.3. LA DERIVADA DE GRÜNWALD-LETNIKOV 63 Figura 5.2: Anton Karl Grünwald y Alexei Vasilievich Letnikov. Dada una función f , tomamos la denición usual de derivada en un punto x , interior al dominio de f , como el valor, si existe, f0(x) = l´ım h→0 f(x+h)−f(x) h. Es conocido, y fácilmente vericable por inducción matemática, que la derivada de orden n∈N de f en x , si existe, admite la expresión fn)(x) = l´ım h→0 n X k=0 (−1)kn kf(x−kh) hn. Dado que para denir la derivada fraccionaria se trabaja por un lado concreto, sería más sensato centrarse en generalizar la expresión (por ejemplo, por la izquierda), l´ım h→0+ n X k=0 (−1)kn kf(x−kh) hn. Recordemos que la denición de número combinatorio es n k=n! k!(n−k)! =Γ(n+ 1) Γ(k+ 1)Γ(n−k+ 1), n ∈ {0,1, ..., n} 64 CAPÍTULO 5. OTRAS DEFINICIONES y, por lo tanto, el valor de un número combinatorio puede extenderse a valores reales o complejos, siempre que n no sea un entero negativo (para evitar el valor ∞ en el numerador). En particular, por continuidad, denimos n k=Γ(n+ 1) Γ(k+ 1)Γ(n−k+ 1) = 0 cuando k es un entero mayor que n , es decir, cuando n−k+ 1 es un entero no positivo. Esa generalización hace posible reescribir la derivada de orden entero n como l´ım h→0 ∞ X k=0 (−1)kn kf(x−kh) hn, que ahora resulta claramente generalizable al caso n∈R+ . Observación 5.11. Notemos que el paso de n+ 1 sumandos a innitos es crucial pues, de haber mantenido la notación original, no tendría sentido hablar de n+ 1 sumandos si n no es natural. Denición 5.12. Dada una función real de variable real f , denimos su derivada de Grünwald-Letnikov de orden α por la izquierda como: l´ım h→0+ ∞ X k=0 (−1)kα kf(x−kh) hα, x ∈R, donde α k=Γ(α+ 1) Γ(k+ 1)Γ(α−k+ 1), k ∈N. Con motivo de tener un resultado sobre la existencia y valor de la derivada de Grünwald-Letnikov de una función, enunciamos el siguiente teorema. Teorema 5.13. Sea p > 1 y f∈Lp(0,2π) una función de variable real con período 2π . Entonces se tiene la siguiente igualdad en casi todo punto, donde uno de los miembros existe si y sólo si existe el otro, l´ım h→0+ ∞ X k=0 (−1)kα kf(x−kh) hα=α Γ(1 −α)l´ım ε→0+Z∞ ε f(x)−f(x−t) t1+αdt. 5.4. INTEGRAL RESPECTO A UNA FUNCIÓN 65 Observación 5.14. Los anteriores límites deben entenderse en el sentido de Lp(0,2π) , es decir, con la noción de convergencia heredada de la norma propia de dicho espacio. Observación 5.15. En el caso de funciones no periódicas, se tiene un resultado idéntico cambiando Lp(0,2π) por Lp(R) y la derivada de Marchaud por una variante truncada de la misma. 5.4. Integrales fraccionarias de una función con respecto a una función g Existe una forma sencilla de abarcar un abanico bastante amplio de integrales fraccionarias de un modo genérico. La idea consiste en partir de la integral en el sentido de Riemann-Liouville y modicarla convenientemente mediante una función g . Denición 5.16. Dada una función real de variable real f , denimos su integral fraccionaria de orden α > 0 con extremo inferior a y parámetro funcional g como el siguiente valor, si existe, Iα a+gf(x) = 1 Γ(α)Zx a f(t)g0(t)dt (g(x)−g(t))1−α, x ∈R. Observación 5.17. En base a la denición presentada parece claro que habrá que exigir que la función g sea continuamente diferenciable para obtener buenos resultados. Además hay que exigir monotonía, para que el denominador sólo se anule en x=t . Por último, conviene notar que, bajo la hipótesis de que g sea continuamente diferenciable, la integral de orden α= 1 se corresponde con la integral de Riemann-Stieltjes de f respecto a g . Observación 5.18. Excluyendo la eleccion de g como la identidad, que da lugar a la integral fraccionaria de Riemann-Liouville, la elección más conocida, probablemente, es g(x) = ln x con extremo inferior 0 . Notemos que dicha función es innitamente derivable y, de hecho, analítica en su abierto maximal de denición. La integral fraccionaria con extremo inferior 0 que involucra a dicha elección de g es conocida como integral fraccionaria de Hadamard y se escribe como Hαf(x) = Zx 0 f(t) ln x t1−α 1 tdt, x > 0. 66 CAPÍTULO 5. OTRAS DEFINICIONES Figura 5.3: Jacques Salomon Hadamard. Además, tenemos la siguiente relación entre la familia de integrales de- nidas anteriormente y la de Riemann-Liouville. Proposición 5.19. Si g0(x)6= 0 cuando x∈[a, b] y ϕ admite integral fraccionaria de Riemann-Liouville de orden α con extremo inferior g(a) , tenemos la identidad Iα a+gf=RgIα g(a)+R−1 gf, donde Rg es el operador denido por Rg(ϕ) = ϕ◦g . Demostración. Como Rg es invertible, basta comprobar que Iα a+gRgf=RgIα g(a)f. El miembro izquierdo, tras multiplicar por Γ(α) , vale Zx a f(g(t))g0(t)dt (g(x)−g(t))1−α, x ∈(a, b]. Por otra parte, el miembro derecho, multiplicando por Γ(α) , vale Zg(x) g(a) f(τ)dτ (g(x)−τ)1−α, x ∈(a, b]. Mediante el cambio de variable τ=g(t) , que por hipótesis es inyectivo, se demuestra que ambos miembros coinciden. 5.5. UNA DEFINICIÓN GENÉRICA 67 De la proposición anterior, se extraen numerosos resultados, en particular, la propiedad de semigrupo para la noción de integral indenida Iα a+gIβ a+g=Iα+β a+g para todo α, β > 0, que se deduce de la idéntica propiedad en el caso de Riemann-Liouville. También se prueba fácilmente que la integral de orden α de (g(x)−g(a))β es (g(x)−g(a))α+β si β > −1 . Asimismo, cuando tenga sentido, podemos introducir una noción análoga de derivada con extremo inferior a para un orden 0< α < 1 dependiente de un parámetro funcional g a través de la identidad Dα a+gf=RgDα g(a)R−1 gf. Ejecutando los cálculos correspondientes, se concluye la siguiente expresión para dicha derivada Dα a+g=1 Γ(α) 1 g0(x) d dx Zx a f(t)g0(t)dt (g(x)−g(t))α, donde conviene recordar que g0 no se anulaba en el intervalo de trabajo. La construcción de las derivadas de orden superior se realizaría con un procedimiento similar al empleado en el caso de Riemann-Liouville. 5.5. Una denición genérica A lo largo del presente trabajo, se han estudiado deniciones de integrales y derivadas fraccionarias muy diversas. No obstante, salvo la integral fraccionaria con respecto a una función g , hemos mencionado que todas coinciden con la de Riemann-Liouville, jado cierto extremo, si la función sobre la que trabajamos tiene buenas propiedades (regularidad, periodicidad, crecimiento lento al ir a innito,...). En esta sección, propondremos nuevos conceptos de integral y derivada fraccionaria y veremos hasta qué punto están vinculados con las nociones anteriores. Durante esta sección, (a, b) será un intervalo real arbitrario y denotaremos por T⊂R2 el interior topológico del triángulo de vértices {(a, a),(b, a),(b, b)} . Denición 5.20. Sea K: (a, b)×(a, b)×R+−→ R , denida salvo en un conjunto de medida nula. Decimos que K es un núcleo integral aditivo si K∈L1((a, b)×(a, b)×R+) y, además, para toda f∈L1(a, b) y α, β ∈R+ , se tiene la propiedad Zx a K(x, t, α +β)f(t)dt =Zx a K(x, t, β)Zt a K(t, s, α)f(s)ds dt, x ∈(a, b). 68 CAPÍTULO 5. OTRAS DEFINICIONES Observación 5.21. Es habitual que K sea un núcleo singular y no esté denido en los puntos de la forma (x, x, α)∈(a, b)×(a, b)×R+. Observación 5.22. Si K es un núcleo integral aditivo, decimos que es de convolución si y sólo si para cada α > 0 existe e K denida en (0, b −a)×R+ con K(t, s, α) = e K(t−s, α)a<s<t<b. Denición 5.23. Sean f: (a, b)−→ R una función real de variable real y α > 0 . Denimos su integral fraccionaria por la izquierda, de orden α y con núcleo aditivo K , como el siguiente valor (si existe): Iα a+Kf(t) = Zt a K(t, s, α)f(s)ds, t ∈(a, b). Lema 5.24. La anterior integral fraccionaria posee la propiedad de semigrupo, es decir, si α, β > 0 tenemos Iα a+KIβ a+K=Iα+β a+K. Demostración. Basta tener en cuenta la denición 5.20 pues, por dicha de- nición, las dos siguientes cantidades son iguales para cualquier x∈(a, b) : Iα a+KIβ a+Kf(x) = Zx a K(x, t, β)Zt a K(t, s, α)f(s)ds dt =Zx a K(x, t, α +β)f(t)dt =Iα+β a+Kf(x) Denimos ahora la derivada fraccionaria correspondiente del modo lógico, emulando la construcción de Riemann-Liouville. Denición 5.25. Sea f: (a, b)−→ R una función real de variable real y tomemos un real no entero α > 0 . Denimos la derivada fraccionaria de f por la izquierda, de orden α y con núcleo aditivo K , como la siguiente expresión, siempre que tenga sentido, I−α a+Kf(x) = d dx[α]+1I1−{α} a+Kf(x) = d dx[α]+1 Zx a K(x, t, 1−{α})f(t)dt, donde x∈(a, b) . En el caso de que α sea un entero positivo, denimos la derivada de orden α como la derivada usual. 5.5. UNA DEFINICIÓN GENÉRICA 69 Observación 5.26. De momento, tal y como hemos hecho la construcción, es claro que con α > 0 la elección de K(t, s, α) = 1 Γ(α) 1 (t−s)1−α, a<s<t<b, lleva al cálculo fraccionario según Riemann-Liouville. Sabemos de antemano que dicho núcleo es aditivo pues, además de ser integrable, la ecuación (3.1) prueba la propiedad esencial de los núcleos aditivos. Una propiedad ya conocida del cálculo según Riemann-Liouville arma que, al aplicar la derivada de orden α a la integral de orden α de una función de L1(a, b) , se obtiene como resultado la propia función. Es entonces natural preguntarse sobre el recíproco de esta propiedad, es decir: Si la derivada e integral fraccionarias con núcleo aditivo (quizá de convolución) K se comportan como pseudoinversas (en el sentido antes señalado) ¾existe alguna relación entre el núcleo K y el núcleo de Riemann-Liouville? Lema 5.27. Supongamos que K es un núcleo integral aditivo que cumple I−α a+KIα a+Kf=f, para todo α > 0 y toda f∈L1(a, b) . Entonces, si n∈Z+ , tenemos In a+K1 = Zx a K(x, t, n)dt =(x−a)n n! y, si el núcleo es además de convolución, K(x, a, n) = e K(x−a, n) = (x−a)n−1 (n−1)! , x ∈(a, b). Demostración. Por comodidad de notación, escribiremos β= 1 − {α} y n= [α]+1 . Tenemos entonces que d dxnZx a K(x, t, β)Zt a K(t, s, α)f(s)ds dt =f(x). Por la propiedad de semigrupo mencionada en el lema 5.24 reescribimos la anterior ecuación como d dxnZx a K(x, t, α +β)f(t)dt =d dxnZx a K(x, t, n)f(t)dt =f(x). 70 CAPÍTULO 5. OTRAS DEFINICIONES Cuando n= 1 , si tomamos f= 1 en la anterior ecuación, tenemos que d dx Zx a K(x, t, 1)dt = 1 y, por tanto, la función que estamos derivando debe ser x+c , para todo x∈(a, b) y algún c∈R adecuado. Ajustando el valor de la constante, con la sustitución x=a , se obtiene I1 a+K1 = Zx a K(x, t, 1)dt =x−a, x ∈(a, b). A continuación, probamos la primera ecuación indicada en el lema por inducción en n . Dado que ya hemos completado el caso n= 1 , supondremos que la ecuación es válida hasta n−1 , es decir, asumimos In−1 a+K1 := Zx a K(x, t, n −1)dt =(x−a)n−1 (n−1)! . Por la propiedad de semigrupo, y la hipótesis del enunciado, I−1 a+KIn a+K1 = I−1 a+KI1 a+KIn−1 a+K1 = In−1 a+K1. La anterior identidad se reescribe, utilizando la hipótesis de inducción, como d dxIn a+K1 = (x−a)n−1 (n−1)! , de donde se deduce In a+K1 := Zx a K(x, t, n)dt =(x−a)n n!+c y, evaluando en x=a , concluimos In a+K1 := Zx a K(x, t, n)dt =(x−a)n n!. Además, si el núcleo aditivo es de convolución, podemos continuar pues (x−a)n−1 (n−1)! =d dx Zx a K(x, t, n)dt =d dx Zx ae K(x−t, n)dt y, al aplicar el cambio de variable τ=x−t, dτ =−dt , obtenemos (x−a)n−1 (n−1)! =d dx Zx−a 0e K(τ, n)dτ =e K(x−a, n), x ∈(a, b), donde en el último paso, al ser el núcleo integrable, aplicamos (2.2). 5.5. UNA DEFINICIÓN GENÉRICA 71 Observación 5.28. Se puede hacer una construcción análoga, por el lado derecho, como Iα b−Kf(t) = Zb t K(t, s, α)f(s)ds, t ∈(a, b), α > 0 y obtenerse resultados similares a los expuestos. Además de la denición ya construida para la derivada con núcleo K , podríamos introducir una derivada análoga a la de Caputo, sobre la cual dejaremos unas cuestiones abiertas que pueden dar pie al desarrollo de trabajo futuro. Denición 5.29. Sea α > 0 un número real positivo no entero, n= [α] y f una función real de variable real. Denimos la derivada fraccionaria de tipo Caputo-Dzherbashyan con extremo inferior a y núcleo integral aditivo K como la siguiente expresión (si existe): Cα a+Kf(x) = In−α a+Kfn)(x) = Zx a K(x, t, n −α)fn)(t)dt, x ∈R. Observación 5.30. Notemos que, al igual que en el caso de RiemannLiouville, por aditividad de la integral y por α < n , tenemos que I−α a+KIn a+K=I−α a+KIα a+KIn−α a+K=In−α a+K. A continuación, emularemos la prueba del teorema 5.8 en el caso de integrales fraccionarias con núcleo integral aditivo de convolución. Teorema 5.31. Sea α∈R+ con n−1< α < n . Sea f una función sucientemente regular que verica las hipótesis del Teorema de Taylor para grado n−1 con su correspondiente resto integral, entonces se tiene que Cα 0+Kf(x) = I−α 0+Kf(x) + n−1 X j=0 fj)(0) Γ(j+ 1)I−α 0+K(xj), siempre que el núcleo integral K sea aditivo y de convolución. Demostración. Por hipótesis, sabemos que podemos aplicar a f el Teorema de Taylor, donde es conocido que el resto integral toma la forma In 0+fn)(x) = Zx 0 fn)(t) Γ(n)(x−t)n−1dt.