Pub
.
Ma
.
UAB
N°22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
UNA
VERSIONADITIVA
DEL
TEOREMA
ERGODICO
DE
VON
NEWMAN
Luis
A
.
Sa abia
Colegio
Uni e si a io
de
Bu gos
ABSTRACT
.
The
main
esul
o
his
pape
i
.s
he
ollowing
:
Le
(Q,O,J)
be
a
p obabilis ic
space
iní ely
addi í e, P
a
biyec i e
applic_a
ion o R
on
2
sueh ha
:

i)
P(E)
e
0
i

E
e
0

ii)
J(P(E))
=
J(E)

,

ECO
and he
amily
o linea
ope a o s
Tn
de ined
in
V l
(R,O,J) by
(TnF)(E)
F(Pn(E))
.
Then, o
e e y
F
e
V
1
(S2,O,J)
1
n m
n
(
m£1 T
F
)

E(F/R) in no m
,
A,
being
he subal
geb a
o 0
o med
by
P-in a ian s
se s
.
This
con e gen e
is
almos
su-
_ely o
uni o ms
limi s o
s ep
unc ions, in a
ce ain
sense,i
is
he
bes
possible
.
INTRODUCCION
.
En
lo
que
sigue
(SZ,O,J)
es un
espacio
p obabilís i
co
ini amen e adi i o o mado
po
un
conjun o
2
,
un
álgeb a
de
subcon-
jun os
0
y
una
p obabilidad
ini amen e
adi i a
J
sob e
0
.
V
p
(S2,O,J)
1
<p<
-
son
subespacios
del de
las
unciones
adi i as
de
inidas
en
0
,
aco adas
y
absolu amen e con inuas
espec o
de
J
que
ienen
no ma
p
ini a
.
Pa a ella son
e ículos
comple os
de Banach y
si
p
<q
en onces
V
p -D Vq Vease
[2]
y
[3]
pa a
o as p opiedades
.
Finalmen e
P
es
una
aplicación
biuní oca
des en
2
O-medible
y
J-in
a ian e
.

Si
de inimos

(T
nF)(E) = F(Pn
(E)),VEco

y
cualquie
elemen o
de
Vp
,
es
cla o

que Tn
F
es
una
unción
adi i a
de inida en 0
y
absolu amen e
con inua
espec o
de
J,
luego
de V
1
(0)

Como

11
Tn
F
V
pp
=
IMI
p

enemos
que
n
T
es
un
ope ado
lineal,de
no ma
uno,
de V
(0)
en
V
(0)
1
.-
CONVERGENCIA
EN
NORMA
.
Po se
de
no ma
uno
la
amilia
de
op_e
ado es
Tn
,
n=1,2,
.
.
.
es
equicon inua
en
el
sen ido de
[4]
(pag
.
213)
.
Si
además
enemos
en
cuen aque
V
2(0)
es
e lexi o
([2])
y
de
Banach
po
an o
localmen e
secuencialmen e
compac o
po
la
opología
débil
de
V
2 (0)
( eo ema
de
Ebe lein-Smulian,
[4]
pág
141
)
es amos
en
condiciones
de
aplica
el
eo ema
e gódico
de
[4]
(
pág
.
214)
que
a
con inuación
enuncia
n
mos, en él
Tn =
(
E
Tm)/n
.
Si en un
espacio
X,
de
Banach,localmen e
secuen
m=1

-
cialmen °
compac o
po
la
opologia
débil enemos
de i
.nido
un
ope ado
T,
lineal
y
con inuo
de modo
que
la
amilia
T
n
,
es
equicon inua,
se
cumple
que

Yx
eX

,

lim
.
nTn
(x)

= xo

exis e
yel

ope ado

T

(x)

= x

es

lineal
0 0
con inuo
y
e i ica

T0= T
0
2 =

T T
o
= To
T

.
En
nues o
caso
:
1
.1
PROPOSICION
.-
Sean
P
y
Tn
,
n=1,2

de inidos
como en
la
in odu_c
ción

.

En oncespa a
odo
F
de
V2(0)

exis e

lim
.

T

F = F

y

T(F

)=F

.
n n

o

0 0
1
.2
PROPOSICION
.-
Con las
mismashipó esis
sob e
P y T se
cumpleque
lim
.
n

n

F

= F
o

pa a

odo

Fde

V
1
(0),

además

T(F

)

=

F

.
0
0
Demos ación
:

Pa a
las
unciones
simples
de
V
1
(0) el
esul ado
es
cie o
po que
pe enecen ambién
a V
2
(0)
y
la
no ma
como
elemen o
de V
1
es
meno
que
la
no ma
como
elemen o
de
V
2
.
Po
o o
lado,
dada
F
de
V
1
las
simples
de
la
o ma
F

ienden
_n
F

al

;-
n
!
n
_
I
a
de
2
o mada
con conjun os
de
0), lo
que
unido
a
la
desigualdad
:
T F

-T
F
l

<

~I
TF-TF

II

+

11
T
F

-

T F
II

+

11
T F

- T F
11

<
n

m

1

n

n
¿

1

n
o

m
~

1

m A

m

1
°
<

2
9
F
-
F
~~

+
11
T

F

-

T F
JJ

p opo ciona
la
p ime a
pa e
del
e-
°

n
LN

mA
2
sul ado
.
La
segunda
es
inmedia a
po
se
T
con inuo
e
isomé ico
.
1
.3
COROLARIO
.-

Con
las
mismas
hipó esis
sob e
P y
T
,
F =
E(F/R),
dónde
R
es la
subálgeb a
de
0
o mada
po los
conjun os
P-in a ian es
.
Demos ación
:

El
c i e io
de
con e gencia
en
V
1
de
[2]

(pág
.
538)
ga -
an iza
que

F
o
(E)

=
lim
.
nT
n
F

(E)

uni o memen e
en
Ee0

.

Si E es
P-in a
-
ian e

F
0(E) =
F(E)
=
T
n
F(E),

n=1,2,
. .
. ,
es
deci
F
o =
E(F/R)
ya
que
es a
condición
ca ac e iza
a la
espe anza
condicionada
[3]
(p op
.
4 .10)
1
.4
COROLARIO

.-

Con
R
como en
1
.3

,

sea
V
1
(R)

el
subespacio
ec o ial
de
V
1
(0)
ce ado,
gene ado
po
lími es
de
simples
asociadas
a
pa iciones
de R
o madas
con
conjun os
de
k
.
En onces

V1
(R
.)
={
FeV
1
(0)
/ TF = F~
200
Demos ación
:
Si
AE
en onces
JoA(E)
=
J(A1)E)
=
T(JoA)(E)
VEe9
,
luego
JoA
es
in a ian e
.
Recip ocamen e
si
JoA
es
in a ian e
y
P(A)
~-
A
end e-
mos
J(A¿P(A))
=
0 es
deci
IA - I
P(A)
es
J-nula
[1]
(pág
.
103)
lo
que
implica
que
J-A
y
T(J-A)
son
el
mismo
elemen o
de
V
1
( )
.
Es
deci
JoA
es
in a ian e
si y
solamen e
si A es
casi segu o
in a ian e
.
Como
las
F
in a ian es
son
el
núcleo
del
ope ado
lineal
con inuo
T - I

,
o man
un
subespacio
ec o ial
ce ado
de
V
1
(e) y
las
escalonadas
son
densas

,

después
de
lo
an e io

V
1
( )
C
{
F/
TF
= F
l .
.La
o a
con en
ción
es
inmedia a
a
pa i
del
co ola io
1
.3
.
2
.-
CONVERGENCIACASI
SEGURA
.

En
[3]
se
demues aque exis euna
aplicación
biuní oca
que
man iene
el
o den
y
las
no mas
en e
cada
Vp
(0)
y
cada
Lp
(9,0,J)
1< p<
-
.
Siendo
los
L
p
los
comple ados
de
los
cons uidos
en
[1]
(pág
.
119)
cuando
1<
p<
-
y
en [3]
pa a
p
-
.
Po
an o
odo
lo
di-
cho
en la
sección
an e io
es
ansc ibible
pa a
unciones
in eg ables
es
pec o
de
una
p obabilidad
ini amen e
adi i a,
en endiendo
como
in eg able
las
que
son
lími e en
p obabilidad
de
una
sucesión
de
Cauchy
de
simples
0-
medibles
y
sus
in eg ales
ienen
lími e
.
En
es e
con ex o
di emos
que
una
sucesión

n
de
unciones
in eg ables
con e ge
casi segu o
a si
iende
en
p obabilidad
a
ce o
la
sucesión
sup
.
n>k
l n
- l
.
2
.1
PROPOSICION
.-
Sea
lími e
uni o me
de
simples
O-medibles
F
la
u_n
ción
de

V
1
(0)
que
le
es á
asociada,
en onces
con
las
mismas
hipó esis
so
b e
P
y
T

que
en la
in oducción

lim
.
n
T
n
F
=
E(F/ )

casi
segu o
.
2
.2
LEMA

.-

Con
las
hipó esis
de 2
.1

lim
.

sup
.
nT
n
F
es
de
V
1
( ),

as¡ co-
mo
el
lími e
in e io
.
Demos ación
:
Dado
e>0
exis e
G =
Ee
ay JoEy
de
modo
que
IF
-
GI<_EJ
con
A
={
Ey}
de
e

,

en
consecuencia

(min
.
A

ay
-e)J
<
TnF <

(max
.
A
ay
-s)J
y
V
1
(e) es
e ículo
comple o,
luego
los
lími es
supe io
e
in e io
de
T F
n
1
exis en
en
V(0)
.
Po
o o lado es
inmedia o
comp oba
que
son
-medibles
a
pa i
de
1
.4, y
la
con e gencia
en
no ma
.
Demos ación
de
la
p oposición
:

La
linealidad
de
las Tn
y
la

E(F/ )
nos
pe mi econside a
únicamen e
el caso en
que

F
>O
.
Se cumple
que

E(F/u
.)
<
<
lim
.
sup
.
T
F

,
si
la
desigualdad
ue a es ic a
,
en
pa icuala
pa
=

n
aa2
y
cualquie
M
en e o
posi i o
exis i án

m
1
< m2
<
.
.
.< mn
índices
n
pos e io es
y
una
pa ición
E

.
.,E
de
S2
cumpliendo

E
T
F(E
.)
>
1'
-
n

i-1
mi
i
E(F/ )(2)
=
F(P)
Aho a
biendado
cualquie
e>0
exis e
G,simple,demodo
que
IF
-
G¡<
2
J
,
sea
A
la
pa iciónmás
ina
que
la
que
de ine
a G y
la
o mada
po los
E
.
1
..
Es
sencillo
comp oba
que

F
A= E
A

(F(Ey)/J(Ey))
JoEy
cumple
1F
A
-
G`<(e/2)
J
y
po
an o
1
.
FA-
F«
eJ De ello
se
sigue
que
n
E

T

F(E
.)
<

e
J(P)
+
F(Q)
+R
,
dónde
R es
un
es o
que
iende
a
ce o
i=1
mi
~
.
al
c ece
M
.

Como
s
es
a bi a io

enemos
que

(lim
.

sup
.
n
Tn
F)(n)

=
F(O)

=
=
E(F/ )(2)
.
El
mismo
azonamien o
es
álido
si
en
ez
de
52
hubié amos
conside ado
un
conjun o
B
in a ian e
po
P,
ya
que
en onces
dada la
pa -
ición
E
.
de
B

la
P(E
.)
ambién
lo
es,
en
consecuencia
Y
Bc
F(B)
_
=
(lim
.
sup
.
n TnF) (B)
,
después
del
lema
2
.2
y
la
ca ac e ización
de la
espe anza
condicionada
E(F/ )
=
lim
.
sup
.
n
T
nF
y
con
ello
0<
TnF-E(F/ )
<

sup
m
>n

m
F
-
E(F/ )

+
0

cuando
m

es
deci
T
n
F
iende
casi
se-
gu o
a
E(F/ )
como
que íamos
demos a
.
En
cie o
sen ido
es e
esul ado
no
es
.
m,eJ abic
pu
.
es
.
es
sencillo
,
da
con aejemplos
pa a
el
caso
en
que
la
unción
sea
in eg able,
inclu-
so
casi
segu o ini a
y
sin
emba go
no
se
de la
con e gencia
casi
segu a
en
el
sen ido
que
hemos
u ilizado
aquí
.
BIBLIOGRAFIA
1

DUNFORD,N
.&
SCHWARTZ,
J
.T
.

Linea
ope a o s
.
Pa
.
I
.
I e science
Publishe s
(1958)
2

LEADER,S
.
The
heo y o
Lp
spaces
o
ini elyaddi i e
se
unc ions
Annals
o
Ma hema ics
.
Vol 58,
n°-
3,
pág
.
528-543
(1953)
3

SARABIA,
L
.
Espe anzascondicionadas
pa a
p obabilidades
ini amen e
adi i as
.
Sin
publica
.
4

YOSIDA,
K
.
Func ional
Analysis
(3á
edición)
Sp inge
Ve lag
(1977
.)
.