Una versión aditiva del teorema ergodico de Von Newman

Pub . Ma . UAB N°22 No . 1980 Ac es VII JMHL UNA VERSIONADITIVA DEL TEOREMA ERGODICO DE VON NEWMAN Luis A . Sa abia Colegio Uni e si a io de Bu gos ABSTRACT . The main esul o his pape i .s he ollowing : Le (Q,O,J) be a p obabilis ic space iní ely addi í e, P a biyec i e applic_a ion o R on 2 sueh ha :  i) P(E) e 0 i  E e 0  ii) J(P(E)) = J(E)  ,  ECO and he amily o linea ope a o s Tn de ined in V l (R,O,J) by (TnF)(E) F(Pn(E)) . Then, o e e y F e V 1 (S2,O,J) 1 n m n ( m£1 T F )  E(F/R) in no m , A, being he subal geb a o 0 o med by P-in a ian s se s . This con e gen e is almos su- _ely o uni o ms limi s o s ep unc ions, in a ce ain sense,i is he bes possible . INTRODUCCION . En lo que sigue (SZ,O,J) es un espacio p obabilís i co ini amen e adi i o o mado po un conjun o 2 , un álgeb a de subcon- jun os 0 y una p obabilidad ini amen e adi i a J sob e 0 . V p (S2,O,J) 1 <p< - son subespacios del de las unciones adi i as de inidas en 0 , aco adas y absolu amen e con inuas espec o de J que ienen no ma p ini a . Pa a ella son e ículos comple os de Banach y si p <q en onces V p -D Vq Vease [2] y [3] pa a o as p opiedades . Finalmen e P es una aplicación biuní oca des en 2 O-medible y J-in a ian e .  Si de inimos  (T nF)(E) = F(Pn (E)),VEco  y cualquie elemen o de Vp , es cla o  que Tn F es una unción adi i a de inida en 0 y absolu amen e con inua espec o de J, luego de V 1 (0)  Como  11 Tn F V pp = IMI p  enemos que n T es un ope ado lineal,de no ma uno, de V (0) en V (0) 1 .- CONVERGENCIA EN NORMA . Po se de no ma uno la amilia de op_e ado es Tn , n=1,2, . . . es equicon inua en el sen ido de [4] (pag . 213) . Si además enemos en cuen aque V 2(0) es e lexi o ([2]) y de Banach po an o localmen e secuencialmen e compac o po la opología débil de V 2 (0) ( eo ema de Ebe lein-Smulian, [4] pág 141 ) es amos en condiciones de aplica el eo ema e gódico de [4] ( pág . 214) que a con inuación enuncia n mos, en él Tn = ( E Tm)/n . Si en un espacio X, de Banach,localmen e secuen m=1  - cialmen ° compac o po la opologia débil enemos de i .nido un ope ado T, lineal y con inuo de modo que la amilia T n , es equicon inua, se cumple que  Yx eX  ,  lim . nTn (x)  = xo  exis e yel  ope ado  T  (x)  = x  es  lineal 0 0 con inuo y e i ica  T0= T 0 2 =  T T o = To T  . En nues o caso : 1 .1 PROPOSICION .- Sean P y Tn , n=1,2  de inidos como en la in odu_c ción  .  En oncespa a odo F de V2(0)  exis e  lim .  T  F = F  y  T(F  )=F  . n n  o  0 0 1 .2 PROPOSICION .- Con las mismashipó esis sob e P y T se cumpleque lim . n  n  F  = F o  pa a  odo  Fde  V 1 (0),  además  T(F  )  =  F  . 0 0 Demos ación :  Pa a las unciones simples de V 1 (0) el esul ado es cie o po que pe enecen ambién a V 2 (0) y la no ma como elemen o de V 1 es meno que la no ma como elemen o de V 2 . Po o o lado, dada F de V 1 las simples de la o ma F  ienden _n F  al  ;- n ! n _ I a de 2 o mada con conjun os de 0), lo que unido a la desigualdad : T F  -T F l  <  ~I TF-TF  II  +  11 T F  -  T F II  +  11 T F  - T F 11  < n  m  1  n  n ¿  1  n o  m ~  1  m A  m  1 ° <  2 9 F - F ~~  + 11 T  F  -  T F JJ  p opo ciona la p ime a pa e del e- °  n LN  mA 2 sul ado . La segunda es inmedia a po se T con inuo e isomé ico . 1 .3 COROLARIO .-  Con las mismas hipó esis sob e P y T , F = E(F/R), dónde R es la subálgeb a de 0 o mada po los conjun os P-in a ian es . Demos ación :  El c i e io de con e gencia en V 1 de [2]  (pág . 538) ga - an iza que  F o (E)  = lim . nT n F  (E)  uni o memen e en Ee0  .  Si E es P-in a - ian e  F 0(E) = F(E) = T n F(E),  n=1,2, . . . , es deci F o = E(F/R) ya que es a condición ca ac e iza a la espe anza condicionada [3] (p op . 4 .10) 1 .4 COROLARIO  .-  Con R como en 1 .3  ,  sea V 1 (R)  el subespacio ec o ial de V 1 (0) ce ado, gene ado po lími es de simples asociadas a pa iciones de R o madas con conjun os de k . En onces  V1 (R .) ={ FeV 1 (0) / TF = F~ 200 Demos ación : Si AE en onces JoA(E) = J(A1)E) = T(JoA)(E) VEe9 , luego JoA es in a ian e . Recip ocamen e si JoA es in a ian e y P(A) ~- A end e- mos J(A¿P(A)) = 0 es deci IA - I P(A) es J-nula [1] (pág . 103) lo que implica que J-A y T(J-A) son el mismo elemen o de V 1 ( ) . Es deci JoA es in a ian e si y solamen e si A es casi segu o in a ian e . Como las F in a ian es son el núcleo del ope ado lineal con inuo T - I  , o man un subespacio ec o ial ce ado de V 1 (e) y las escalonadas son densas  ,  después de lo an e io  V 1 ( ) C { F/ TF = F l . .La o a con en ción es inmedia a a pa i del co ola io 1 .3 . 2 .- CONVERGENCIACASI SEGURA .  En [3] se demues aque exis euna aplicación biuní oca que man iene el o den y las no mas en e cada Vp (0) y cada Lp (9,0,J) 1< p< - . Siendo los L p los comple ados de los cons uidos en [1] (pág . 119) cuando 1< p< - y en [3] pa a p - . Po an o odo lo di- cho en la sección an e io es ansc ibible pa a unciones in eg ables es pec o de una p obabilidad ini amen e adi i a, en endiendo como in eg able las que son lími e en p obabilidad de una sucesión de Cauchy de simples 0- medibles y sus in eg ales ienen lími e . En es e con ex o di emos que una sucesión  n de unciones in eg ables con e ge casi segu o a si iende en p obabilidad a ce o la sucesión sup . n>k l n - l . 2 .1 PROPOSICION .- Sea lími e uni o me de simples O-medibles F la u_n ción de  V 1 (0) que le es á asociada, en onces con las mismas hipó esis so b e P y T  que en la in oducción  lim . n T n F = E(F/ )  casi segu o . 2 .2 LEMA  .-  Con las hipó esis de 2 .1  lim .  sup . nT n F es de V 1 ( ),  as¡ co- mo el lími e in e io . Demos ación : Dado e>0 exis e G = Ee ay JoEy de modo que IF - GI<_EJ con A ={ Ey} de e  ,  en consecuencia  (min . A  ay -e)J < TnF <  (max . A ay -s)J y V 1 (e) es e ículo comple o, luego los lími es supe io e in e io de T F n 1 exis en en V(0) . Po o o lado es inmedia o comp oba que son -medibles a pa i de 1 .4, y la con e gencia en no ma . Demos ación de la p oposición :  La linealidad de las Tn y la  E(F/ ) nos pe mi econside a únicamen e el caso en que  F >O . Se cumple que  E(F/u .) < < lim . sup . T F  , si la desigualdad ue a es ic a , en pa icuala pa =  n aa2 y cualquie M en e o posi i o exis i án  m 1 < m2 < . . .< mn índices n pos e io es y una pa ición E  . .,E de S2 cumpliendo  E T F(E .) > 1' - n  i-1 mi i E(F/ )(2) = F(P) Aho a biendado cualquie e>0 exis e G,simple,demodo que IF - G¡< 2 J , sea A la pa iciónmás ina que la que de ine a G y la o mada po los E . 1 .. Es sencillo comp oba que  F A= E A  (F(Ey)/J(Ey)) JoEy cumple 1F A - G`<(e/2) J y po an o 1 . FA- F« eJ De ello se sigue que n E  T  F(E .) <  e J(P) + F(Q) +R , dónde R es un es o que iende a ce o i=1 mi ~ . al c ece M .  Como s es a bi a io  enemos que  (lim .  sup . n Tn F)(n)  = F(O)  = = E(F/ )(2) . El mismo azonamien o es álido si en ez de 52 hubié amos conside ado un conjun o B in a ian e po P, ya que en onces dada la pa - ición E . de B  la P(E .) ambién lo es, en consecuencia Y Bc F(B) _ = (lim . sup . n TnF) (B) , después del lema 2 .2 y la ca ac e ización de la espe anza condicionada E(F/ ) = lim . sup . n T nF y con ello 0< TnF-E(F/ ) <  sup m >n  m F - E(F/ )  + 0  cuando m  es deci T n F iende casi se- gu o a E(F/ ) como que íamos demos a . En cie o sen ido es e esul ado no es . m,eJ abic pu . es . es sencillo , da con aejemplos pa a el caso en que la unción sea in eg able, inclu- so casi segu o ini a y sin emba go no se de la con e gencia casi segu a en el sen ido que hemos u ilizado aquí . 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