Pub
.
Ma
.
UAB
N°
20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
H
2
(G,A)
Y OBSTRUCCIONES
DE
EXTENSIONES
EN
CATEGORIAS
ALGEBRAI-
CAS
E
.R
.
Azna
Ga cía
Dp o
.
de
Algeb a
y
Fundamen os
Uni e sidad
de
G anada
ABSTRACT
.
In
his
pape ,
we
gene alize
he
b ea men
used
by
Y
.-C
.
WU
in
1978
o
p o e
he
esul s
on
obs uc ion
heo y
o
g upos
[
5
1,
ex en-
ding
i
o
he
con ek
o
a "ca ego y
o
in e es "
in oduc ed
by
G
.
O cech
(
3
] .
In
§ 1
,
we
gi e
a
de ini ion
o
wo- old
2
special
ex ension
o
R
by
he
R-module
A
in
_C,
we
s udy
he
unc o
Sex
(-,A)
and
we
ge
a
ep esen a-
i e
o
each
equi alence
cl
Ys
o

wo- old
special
ex ensions
o
Sex L
(R,A)
.
Also,
we

s ablish
1a
Sex
(R,
A)
co esponds
bi
jec ly
o
he
second
cohomolo-
gy
g oup
obsola e
H
(R,A)
o
Ba
and
Beck
.
In
§2
we
gi e
he
de ini ions
o
abs ac
ke nel
and
he
obs uc ions
p oblem
on
_C
.
We
hen
de ine he
cohomology
class
associa ed
o an
abs ac
ke nelby
using
he
bijec ion
o
§1.

Finally
we
p o e
he
classical esul s
o
he
obs uc ion
heo y
on
C
.
§
1

Siguiendo a
O cech

[
3
]
conside a emos
una
ca ego ia
de
.n
.
-g upos
con
solo
ope ado es
de
o den
ce o,
uno
ó dos, o sea

i

=, 2
0
)
.J2
.
1
U1Z
2
,
donde
se e i ica
:
(
A
MS
Subje
Classi ica ion,
(1980)
.
18
H
15-20-25-30-35
.
i)

Pa a
odo

a, b,
c

de

A,
obje o-
de

C
,

si

*

es
una ope acion de
o den
2
dis in a de
la
suma,
+',
en onces

a *
(b
+
c)
= a * b

+ a *
c
ii)
Si
w
es una
ope acion
de
o den
uno
dis in a
de
la
eleccion
de
in-
e so,
en onces

w
(a
*
b)
=W(a)
* b
iii)
a +
(b
*
c)
=
(b
*
c)
+ a
i)
Pa a
cada
pa
o denado

(
.,*)
de ope aciones de
o den
2
exis e
una
palab a
w
al
que
.n(x
1
.x
2
)*
x
3

=ON(x
1
(x
2
x
3
),
x
1
(x
3
x
2
),
.
.
.,
(x
3
x
1
)x
2
)
donde
la
yux aposicion
ep esen a una ope acion de o den
2
dis in a
de
suma
.
Las
de iniciones
de R-es uc u a,
R-módulo,
cen o,
y
cen alizado
as¡
como
oda
la
e minologia
que
usa emos
se a
la
de
Q zech
.
(1
.1)
De inicio
n
.

Una
2-sucesion
especial
de
R
po
el
R-módulo
A
es
uan
suce-
sion
exac a

A

->X
-~
E
--

-
;P
R,
de
E-es uc u asdonde
las
acciones
de
X
sob e
si
mismo
ob enidas
median e
el
mo ismo
de
cambio
de
es uc u a
X
--jsE
coincide
con
la
conjugacion
.
Se
dice
que
dos
2-sucesiones
especiales
de
R
po
A
son
elemen almen e
equi alen es
si
exis en
y g
ales
que
:
A
E
del
diag ama
A
o
a
la
p ime a
a iable
:
il

11

L
E
:

A
+~---
;~
X
L
deno a emos
po Sex 2
(R,A)
el
conjun o cocien e
de
2-ex ensiones
especiales
de
R
po
A
pa a
la
elacion
de
equi alencia
gene ada po
la
elacion an e io
.
(1
.2)
P oposicion
.

Si

F
ces
en
cada
clase
de
equi alencia
de
Sex
2
(R,A)
exis e un
unico ep esen an e
de
la
o ma

A

u

;
X'
--,
F
-- ,~
R
.
Esquema
de
la
demos acion
.
Dado
un
ep esen an e
de
una
clase

E,
se cons uye
el
diag ama
E
'
:

A
-
; es
X'
---->
F

~ y
R
A
-
*->
X

->

--i >
R
R
es
una
p esen acion
lib e
ija
de R,
en on-
>
E?

_-,,
yR
i
I
,~
E
La
exis encia
de
es
consecuencia de que

F

es
un
obje o
lib e
.
La
comp obacion
de que E'
es
una
2-sucesion
especial
es
inmedia a
.
Es
acil
comp oba
que Sex 2
(R,A)
se
compo a
un o ialmen e
espec-
(1
.3)
Lema
.
Dada
(E)
_
(
A
} --->
X
-~
E
-~y
M)
pe enecien e
a
2
Sex (M,A)
y
un
mo ismo
P
:
R
-~
M,
se de ine

E

como
la ila
supe io
En onces

E

es
una
2-sucesion
especial,
o
sea, de ine un
elemen o de Sex 2
(R,A)
.
Demos acion
Ru ina ia
.
Dada
aho a
la
p esen acion
ija
lib e

L

+ -->
F

R de

R,
se
iene
asociado
al
epimo ismo

F

V-1,

R

usando
el
un o
De
(-,A),
po
p ocedimien os
s anda d
de
álgeb a homologica
ob enemos
la
sucesion
exac a
la -
ga

De (R,A)
-+i--,>De (F,A)
.

J
H
O
(
F

R,
A)

>H
1
(R,A)
7
H1(F,A)-~H1(
F
%PR,
A)
-
~H
2
(R,A)
-~
.
aho a
po
se
F
lib e
se
iene
que
H
1
(F,A)
=
H
2(F,
A)
=
0,
podemos
aho a
demos a
el
siguien e
(1
.4)
Teo ema
.

Sex
2(R,A)
es
isomo o a
H
2
(R,A)
Es
quema
de
la
demos acion
.
De
las
no as
an e io es
se
ob iene
H
2
(R,A)
=
H
1 (
F
-Z!-7R,
A),
y
como
es e
ul imo
g upo
de
cohomonngia
clasi i-
ca
sucesiones
exac as
co as
de
F-es uc u as
de

L =
Ke o-
po
A
A
- ---~
X

-
o

L

ales
que
la
accion de
X
sob e
si
mismo
dada
po
el
mo -
ismo cambio de
es uc u a

X
-H-s
L
a+--~
F

coincide
con
la de
conjugacion
se
ob iene
que

H
1
(
F
.

Q_

R,
A)
ypo
an o
ambien

H
2
(R,A)
clasi ica

2-suce-
siones
especiales
de
la
o ma
A
#~
X

~
F
-# -~R
§
2
.

Siguiendo a
O cech,
dada una sucesion
exac a
co a

A
o¡

:p
T
--k-
R
se
ob iene
una
sucesion
exac a
de
cua o
e minos asociada
Z
A

si
---~
A

E
--i >
M
donde
ZA
es
el
cen o
de A,
E
es
igual
a
T
/
Z(T,A),
M
es
igual
a
T/(A+Z(T,A)
y
Z(P,A)
es
el
cen alizado
de
A
en
T
.
Ve i icandose
ademas
que
el
diag ama
donde
las
lechas
e icales
son
las
ob ias
.
(2
.1)
Lema
.
La sucesion
ZAS--~A-PE

N
M

asociada
auna

s
.
e
.
c
.
es
una
2-sucesion
especial
.
Se
de ine un
nucleo
abs ac o
de
R
po
A
como
una 2-sucesion
espe-
cial

ZA
- -~
A

---P

E
-C- +~
M

y
un
epimo ismo
sob e
p
R
--k
;~
M
,
donde
ZA
es
le
cen o
de
A
y
en ende emos
po
p oblema
de
la
obs uccion
en
C
,
en
dado
un
nucleo
abs ac o
ijo
si
exis e
una
sucesion
exac a
co a
A

T

--~R
al
que
(1)
conmu a
.
De ini emos
aho a
una
aplicación
obs ucción
Obs
:
Nucleos
Abs ac os
--i
H
2
(R,A)
po
la
ila
supe ios
del
diag ama
conmu a i o
E
:
Z
A
+
~~
A
--=~
E

R
P
II
.

p

~
----
IA
E
:

--~
1
C7
--
i
~
debido
al
eo ema
(1
.4)
'
la
clase
de E
de ine
un elemen o en
H
2
(R,A)
que
lia-
emos
la
clase
de cohomologia asociada
al
nucleo
abs ac o
inicial
.
Se pueden
demos a
aho a
de
una
o ma
o almen e
pa alela
a
la
de
Wu
pa a
g upos
[5
J
los
siguien es
:
(2
.2)
Teo ema
.-
Un
núcleo
abs ac o
es a
asociado
con
una
ex ensión
si
e
y
solo
si
su
clase
de
obs ucción
es
ce o
.
(2
.3)
Teo ema
.- Si
la
clase
de obs ucción de un
nucleo
abs ac o
es
ce o
en onces
el
conjun o
de
clases
de
equi alencia
de s
.e .c
.
asociadas
al
nú-
cleo
abs ac o
es á
en
co espondencia
biuni oca
con
H
1
(R,ZA)
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