H2 (G,A) y obstrucciones de extensiones en categorias algebraicas

Pub . Ma . UAB N° 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL H 2 (G,A) Y OBSTRUCCIONES DE EXTENSIONES EN CATEGORIAS ALGEBRAI- CAS E .R . Azna Ga cía Dp o . de Algeb a y Fundamen os Uni e sidad de G anada ABSTRACT . In his pape , we gene alize he b ea men used by Y .-C . WU in 1978 o p o e he esul s on obs uc ion heo y o g upos [ 5 1, ex en- ding i o he con ek o a "ca ego y o in e es " in oduc ed by G . O cech ( 3 ] . In § 1 , we gi e a de ini ion o wo- old 2 special ex ension o R by he R-module A in _C, we s udy he unc o Sex (-,A) and we ge a ep esen a- i e o each equi alence cl Ys o  wo- old special ex ensions o Sex L (R,A) . Also, we  s ablish 1a Sex (R, A) co esponds bi jec ly o he second cohomolo- gy g oup obsola e H (R,A) o Ba and Beck . In §2 we gi e he de ini ions o abs ac ke nel and he obs uc ions p oblem on _C . We hen de ine he cohomology class associa ed o an abs ac ke nelby using he bijec ion o §1.  Finally we p o e he classical esul s o he obs uc ion heo y on C . § 1  Siguiendo a O cech  [ 3 ] conside a emos una ca ego ia de .n . -g upos con solo ope ado es de o den ce o, uno ó dos, o sea  i  =, 2 0 ) .J2 . 1 U1Z 2 , donde se e i ica : ( A MS Subje Classi ica ion, (1980) . 18 H 15-20-25-30-35 . i)  Pa a odo  a, b, c  de  A, obje o- de  C ,  si  *  es una ope acion de o den 2 dis in a de la suma, +', en onces  a * (b + c) = a * b  + a * c ii) Si w es una ope acion de o den uno dis in a de la eleccion de in- e so, en onces  w (a * b) =W(a) * b iii) a + (b * c) = (b * c) + a i) Pa a cada pa o denado  ( .,*) de ope aciones de o den 2 exis e una palab a w al que .n(x 1 .x 2 )* x 3  =ON(x 1 (x 2 x 3 ), x 1 (x 3 x 2 ), . . ., (x 3 x 1 )x 2 ) donde la yux aposicion ep esen a una ope acion de o den 2 dis in a de suma . Las de iniciones de R-es uc u a, R-módulo, cen o, y cen alizado as¡ como oda la e minologia que usa emos se a la de Q zech . (1 .1) De inicio n .  Una 2-sucesion especial de R po el R-módulo A es uan suce- sion exac a  A  ->X -~ E --  - ;P R, de E-es uc u asdonde las acciones de X sob e si mismo ob enidas median e el mo ismo de cambio de es uc u a X --jsE coincide con la conjugacion . Se dice que dos 2-sucesiones especiales de R po A son elemen almen e equi alen es si exis en y g ales que : A E del diag ama A o a la p ime a a iable : il  11  L E :  A +~--- ;~ X L deno a emos po Sex 2 (R,A) el conjun o cocien e de 2-ex ensiones especiales de R po A pa a la elacion de equi alencia gene ada po la elacion an e io . (1 .2) P oposicion .  Si  F ces en cada clase de equi alencia de Sex 2 (R,A) exis e un unico ep esen an e de la o ma  A  u  ; X' --, F -- ,~ R . Esquema de la demos acion . Dado un ep esen an e de una clase  E, se cons uye el diag ama E ' :  A - ; es X' ----> F  ~ y R A - *-> X  ->  --i > R R es una p esen acion lib e ija de R, en on- > E?  _-,, yR i I ,~ E La exis encia de es consecuencia de que  F  es un obje o lib e . La comp obacion de que E' es una 2-sucesion especial es inmedia a . Es acil comp oba que Sex 2 (R,A) se compo a un o ialmen e espec- (1 .3) Lema . Dada (E) _ ( A } ---> X -~ E -~y M) pe enecien e a 2 Sex (M,A) y un mo ismo P : R -~ M, se de ine  E  como la ila supe io En onces  E  es una 2-sucesion especial, o sea, de ine un elemen o de Sex 2 (R,A) . Demos acion Ru ina ia . Dada aho a la p esen acion ija lib e  L  + --> F  R de  R, se iene asociado al epimo ismo  F  V-1,  R  usando el un o De (-,A), po p ocedimien os s anda d de álgeb a homologica ob enemos la sucesion exac a la - ga  De (R,A) -+i--,>De (F,A) .  J H O ( F  R, A)  >H 1 (R,A) 7 H1(F,A)-~H1( F %PR, A) - ~H 2 (R,A) -~ . aho a po se F lib e se iene que H 1 (F,A) = H 2(F, A) = 0, podemos aho a demos a el siguien e (1 .4) Teo ema .  Sex 2(R,A) es isomo o a H 2 (R,A) Es quema de la demos acion . De las no as an e io es se ob iene H 2 (R,A) = H 1 ( F -Z!-7R, A), y como es e ul imo g upo de cohomonngia clasi i- ca sucesiones exac as co as de F-es uc u as de  L = Ke o- po A A - ---~ X  - o  L  ales que la accion de X sob e si mismo dada po el mo - ismo cambio de es uc u a  X -H-s L a+--~ F  coincide con la de conjugacion se ob iene que  H 1 ( F .  Q_  R, A) ypo an o ambien  H 2 (R,A) clasi ica  2-suce- siones especiales de la o ma A #~ X  ~ F -# -~R § 2 .  Siguiendo a O cech, dada una sucesion exac a co a  A o¡  :p T --k- R se ob iene una sucesion exac a de cua o e minos asociada Z A  si ---~ A  E --i > M donde ZA es el cen o de A, E es igual a T / Z(T,A), M es igual a T/(A+Z(T,A) y Z(P,A) es el cen alizado de A en T . Ve i icandose ademas que el diag ama donde las lechas e icales son las ob ias . (2 .1) Lema . La sucesion ZAS--~A-PE  N M  asociada auna  s . e . c . es una 2-sucesion especial . Se de ine un nucleo abs ac o de R po A como una 2-sucesion espe- cial  ZA - -~ A  ---P  E -C- +~ M  y un epimo ismo sob e p R --k ;~ M , donde ZA es le cen o de A y en ende emos po p oblema de la obs uccion en C , en dado un nucleo abs ac o ijo si exis e una sucesion exac a co a A  T  --~R al que (1) conmu a . De ini emos aho a una aplicación obs ucción Obs : Nucleos Abs ac os --i H 2 (R,A) po la ila supe ios del diag ama conmu a i o E : Z A + ~~ A --=~ E  R P II .  p  ~ ---- IA E :  --~ 1 C7 -- i ~ debido al eo ema (1 .4) ' la clase de E de ine un elemen o en H 2 (R,A) que lia- emos la clase de cohomologia asociada al nucleo abs ac o inicial . Se pueden demos a aho a de una o ma o almen e pa alela a la de Wu pa a g upos [5 J los siguien es : (2 .2) Teo ema .- Un núcleo abs ac o es a asociado con una ex ensión si e y solo si su clase de obs ucción es ce o . (2 .3) Teo ema .- Si la clase de obs ucción de un nucleo abs ac o es ce o en onces el conjun o de clases de equi alencia de s .e .c . asociadas al nú- cleo abs ac o es á en co espondencia biuni oca con H 1 (R,ZA) . BIBLIOGRAFIA (1) M .Ba -J . Beck, Homology and s anda d con s uc ions, L.N .Ma h . 80 Sp inge 1969 . (2) P . J . Hil on, U . S ambach, A cou se in homological Álgeb a , Sp inge 1970 . (3) G . O cech, Obs uc ion heo y in algeb aic ca ego ies 1,' J .Pu e and App Alg . 2 (1972), pag 287-314 . (4) G . S . Rineha , Sa elli es and cohomology , J . _Alg . 12 (1969) (5) Y .C . Wu, H 3 (G, A) and obs uc ions o g oup ex ensions , J .P . and  . App . Alg . 12 (1978) 93-100 . (6) R .-G andjean A . Homologia en ca ego ias exac as , Alx . 4 , San iago (1970) .