Pub
.
Ma
.
UAB
Nó
9,
Se emb e
1978
Memo ia
p esen ada
po
IRENE
LLERENA
RODRIGUEZ
Re isada

pa a
aspi a
al
g ado
de
Doc o
en
Ma emá icas
po
la
P o
.
D
D
.
Ra aelMallol

Uni e sidad
de
Ba celona
Ca ed á ico
de
Algeb a
Uni e sidad
de
Ba celona
SOBRE
EXTENSIONES
CENTRALES
EN
UNA
VARIEDAD
DE
GRUPOS
Tesis
doc o al
de
la
D a DMa
IRENE
LLERENA
RODRIGUEZ
Tema
:
"SOBRE
EXTENSIONES
CENTRALES
EN
UNA
VARIEDAD
DE
GRUPOS"
T ibunal
de
Tesis
P esiden e
:
D
.
JUANAUGE
FARRERAS
Ca ed á ico
de
AnálisisMa emá ico
3
0
Facul ad
de
Ma emá icas
Uni e sidad
de
Ba celona
Vocales
:

D
.
JOSE
TEIXIDOR
BATLLE
Ca ed á icode
Geome ía
Analí ica
y
Topología
Facul ad
de
Ma emá icas
Uni e sidadde
Ba celona
D
.
JOSE
VAQUER
TIMONER
La ed á icode
Geome ía
lo
(Geome ía
y
T igo-
nome ía)
y
Geome ía
5
0
(Geome ía
Di e encial)
Facul ad
de
Ma emá icas
Uni e sidadde
Ba celona
D
.
RAFAELAGUILO
FUSTER
Ca ed á ico
de
AnálisisMa emá ico
40
Facul ad
de
Ma emá icas
Uni e sidad
de
Ba celona
Di ec o
:

D
.
RAFAELMALLOL
BALMAÑA
Ca ed á ico
de
Algeb a
Facul ad
de
Ma emá icas
Uni e sidad
de
Ba celona
Realizada
la
p esen ación
y
lec u a
de la
esis
en
7
de
Diciemb e
de
1977,
ob u o
la
cali icación
dé
SOBRESALIENTE
"cum
laude"
.
Ba celona,
8
de
Feb e o
de
1978
EL
DECANO,
y
50
INTRODUCCION
El
in en o
de
gene aliza
los
un o es
de
homología
y
de
cohomologia,
de inidos
en la
ca ego ía
G
de
los
g upos,
a
o as
ca ego ías,
da a
ya de
los
añossesen a,
con
de inicio-
nes
más
o
menos
so is icadas
.
Sin
emba go,
no
es
has a
1970
cuando
U
.
S ammbach
da
en
(14)
una
de inición
de
los
un o es
V
y
9
como
gene alización
de
H
2
y
H
2
,
espec i amen e,
pa a
el
caso
conc e o
de
a iedades
de
g upos
.
La
mayo
pa e
de
las
p opiedades
de
H

2
2
y H

se
gene alizan
sin
di icul-
ad
a V
y
9
,
incluyendo
el
eo ema
de
los
coe icien es
uni-
e sales
y
la
sucesión
exac a
de
los
cinco
é minos
demos ada,
independien emen e,
en
1966
po
J
.
S allings
y U
.
S ammbach
.
Es un
hecho
bien
conocido
que

H2
(Q,A)

clasi ica
las
ex-
ensiones
del
g upo
Q
po
el
Q-módulo
po
la
izquie da
A
;
es
deci ,
exis e
una
co espondencia
biyec i a
en e
el
conjun-
2
o
H
(Q,A)
yel
conjun o
de
clases
de
equi alencia
de
ex en-
siones
de Q
po
A
,
que
es,
además,
un
isomo ismo
espec o
las
co espondien eses uc u as
de
g upo
abeliano
.
Se
demues-
a',
asimismo,
que
cuando
Q
es
un
g upo
de
una
a iedad
V,
si
el
p oduc o
semidi ec o

A7
Q
es á
en

V,

el
g upo
G(Q,A)
clasi ica
las
ex ensiones
de
Q
po
A
con enidas
en
V
.
El
caso
en
que
A
sea
un
Q-módulo
i ial
da
luga
a
las
llamadas
ex ensiones
cen ales,
es o
es,
ex ensiones
ales
que
A
es á
con enido
en el
cen o
de
G
.
Pa a el
caso
pa icula
de la
a iedad
Ab de
los
g upos
abelianos,
si
A
es un
Q-módulo
i ial,
se
iene
que
clasi ica
las
ex ensiones
abelianas
del
g upo
abeliano
Q
po
el
Q-módulo
i ial
A
.
El
eo ema
de
los
coe icien es
uni e sales
E
:
A)~G-->jQ
V(4,A)
=
Ex 1
(Q,A)
,
V(Q,A)
=
Ex 1(Q,A)
y---
1
H2
Q,A)
--~)
Hom(HZQ,A)
nos
da,
en onces,
el
conúcleo
de
la
inclusión
del
.
.
giupo
de
las
ex ensiones
abelianas
de
Q
po
A
en el
g upo
de
odas
las
ex ensiones
cen ales
de
Q
po
A,
y
nos
dice,
además,
que
V(Q,A)
es
un
sumandodi ec o
de
H2
(Q,A)
.
En
es e
abajo
me
p opongo
gene aliza
la
sucesión
de
los
coe icien es
uni e sales,
in e p e ada
como
ca ac e i
;ación
del
conúcleo
Ex
1(Q,A)
~
~
H
Z
(Q,A)
,
a
a iedades
de
g upos
V
de
exponen e
ce o
(es
deci ,
ales
que
V
D
Ab
)
.
Demues o,
pa a
ello,
que
si
Ves
una
a ie-
dad
de
exponen e
ce o,
Q
un
g upo
de
V
,
yA
un
Q-módulo
i ial,
la
sucesión
V(Q,A)>--1H
2
(Q,A)-4Hom(I,A)-4Ex (VQ,A)---
>
Ex (H2Q,A)---»Ex (I,A)
donde

I =
Ke
(H2 Q
-
->VQ),

es
exac a
y
na u al

( eo ema
3 .2
del
capi ulo
II)
.
A
pa i
de
es e
esul ado
es udio
en el
apa ado
4
del
capí ulo
II
di e en es
casos
pa icula es
conc e os
.
Losmás
in e esan es
apa ecen
al
conside a
la
a iedad
N

de
los g u
pos
nilpo en es
de
clasemeno
o
igual
que
c
.
Po
ejemplo,
si
Q
E Nc
admi e
una
p esen ación
lib e

S)

!F--*
Q

al que
5
G
Fc
,

esul a
que
la
sucesión
exac a
an e io
se
educe
a
V(Q,A)~-->H2(Q,A)-NHom(I,A)
Es osg upos
Q
esul an
se ,
en onces,
p ecisamen e,
las ex-
ensiones
"s em"
de
los
g upos
nilpo en es
lib es
de
clase
c-1
con
an os
gene ado es
como
Q
.
Tambiénpa a,la
a iedad
N
z
ob engo
el
siguien e
esul-
ado
:
Si A
es
abeliano
lib e,
en onces
V(Q,A) es un
sumando
di ec o
de
H2
(Q,A)
( eo ema
4
.1
.
del
capí ulo
II)
.
Sin
emba go,
el
que
V(Q,A)
sea
un
sumando
di ec o
de
H2
(Q,A)
no
pa ece
se
cie o
en
gene al
.
Como
p ime
paso pa a

analiza
los
casos
en
que
es o
ocu e,
es udio
bajo
qué
condi-
ciones
se
puede
a i ma
que
V(Q,A)
sea
un
subg upo
pu o
del
g upo
H2
(Q,A)
.
El
concep o
de
subg upo
pu o,
in oducido
po
H
.
P ü e
en
1923,
esul a
se
una
noción
in e media
en e
la
de
subg upo
yla
de
sumandodi ec o
.
Un
subg upo
pu o
es
bajo
de e minadas
condiciones
un
sumando
di ec o
.
Así
ob engo
algu-
nos
esul ados
que
asegu an,
en
de e minados
casos,
que
V(Q,A)
es un
sumandodi ec o
de H
2
(Q,A)
.
En
pa icula ,
es o
ocu e
si
Q
es un
g upo ini o
al que
Ex (VQ,A)
=
0
( eo ema
3
.1
del
capi ulo
III),
o,
ambién,
si
VQ
es
lib e
de
o sión
y
H
2
(Q,A)
es
suma
de
g upos
cíclicos
( eo ema
3 .3
del
capí ulo
III
)
Es a
memo ia
es á
dis ibuida
en es
capí ulos
.
En
el
ca-
pí ulo
I
se
ag upan
las
de iniciones
y
esul ados
undamen ales
sob e
a iedades
de
g upos
y
sob e
(co)-homología
de
g upos,que
'necesi o
a
lo
la go
del
abajo
.
En el
capí ulo
II
desa ollo
la
eo ía
de
ex ensiones
con
núcleo
abeliano
en
una
a iedad
V,
demues o,
pa a
a iedades
de
exponen e
ce o,
la
gene alización
del
eo ema
de
los
coe icien es
uni e sales,
ya
ci ado,
y
es udio
algunos
casos
,
pa icula es
que
de él
se
de i an
.
En el
capí ulo
III
es udio,
po úl imo,las
condiciones
de
pu eza
y
descompo-
nibilidad
de la
inclusión

V(Q,A)>--jH2(Q,A),
en
conexión
con
los
esul ados
del
capí ulo
II
.
En
es e
abajoapa ecen
sin
demos ación
odos
aquellos
esul adoscon enidos
ya en
los
lib os
o
a ículos
ci ados-en
la
bibliog a ía
.
En la
bibliog a ía
he
ci ado
unicamen e
los
lib os
o
a ículos
que
se
p ecisan
explíci amen e
en
es e a-
bajo
.
Tengo
que
exp esa
mi
ag adecimien o
al
P o eso
D
D
.
Ra aelMallol
de
la Uni e sidad
de
Ba celona
que
p esen a
es a
memo ia,
así
como
al
P o eso
D
U s
S ammbach
de la
ETH
Zü ich
po los
es ímulos,
suge encias
e
indicaciones
que
de
Al
he
eci-
bido
.
También
a
la
Eidgen5ssische
Technische
Hochschule
de
Zü-
ich
y
al
Consejo
Supe io
de
In es igaciones
Cien í icas
que,
median e
una
beca
de
in e cambio,
me
han
p es ado
su
apoyo
i-
nancie o
du an e
una
pa e
de la
edacción
de
es e
abajo
.
I ene
Lle ena
Ba celona,
eb e o
de
1977
Capí ulo
I
MATERIAL
PREVIO
En es e
p ime
capí ulo
incluyo
los
concep os
y
eo emas
sob e
a iedades
de
g upos
que
necesi o
a
lo
la go
del
abajo,
así
como
una
b e e
in oducción,
sin
demos aciones,
a
la
eo ía
de
homología
de
g upos
y
su
aplicación
al
es udio
de
las
ex en-
siones
de
g upos
.
Pa a
más
de alles
sob e
a iedades
puede
consul a se
el
excelen e
lib o
de
H
.
Neumann
"Va ie ies
o
g upos"
(11)
.
Los
esul ados
de la
eo ía
de
homología
es án
odos
incluidos
en
el
lib o
de
P
.J
.
Hil on
y
U
.
S ammbach
"A'cou se
in
homological
al-
geb a"
(5),
o
bien
en el de
U
.
S ammbach
"Homology
in
g oup
heo y"
(15)
.
II

IIF
pp

n
11
i
n
In
11
1
7
,
n
I
.1
.
Va iedades
de g upos
Sea
X un
conjun o
de
le as
.
Designa é
po
F
m
el
g u-
po
lib e
engend ado
po
X
.
Una
palab a
es
un
elemen o
de F
o
.
Una
sucesión
ini a
de
le as
x1 ,x
2
,
.
.
.,x
n
,x11
,
,
.
x1
de e mina
un
elemen o
=
(x
l


x
n
)
en
F
c
y
ecíp oca-
men e
.
Se
dice,
en onces,
que
es
una
palab
a en
n
a iables
.
Si,
pa a
odo
homomo ismo

:
F
.
-jG

de

F
c.

en
un
g u-
po G, ( )
= e,
se
dice
que
la
palab a
es
una
le
en
G
.
En
gene al,
dado
un
homomo ismo

:
F
c
,,
-a
G

y
una
palab a
=

(xl,
.
.
.
.
x
n ),

( )

se
llama
alo
de


pa a
los

alo es
a
,

=

(x
i),

i

=

1,
.
.
.,n,

de
las

a iables,

y

se

esc ibe
( )
=
(a
l
-
.,a
n
)
.
Una
a iedad
de
g upos
V es
una
subca ego ia
llena
de la
ca ego ía
G
de
odos
los g upos,
ce ada
al
oma
subobje os,
cocien es
y
p oduc os
ca esianos
.
Dado
un
conjun o
de
palab as'
V,
las
g upos
pa a
los
que
odas
las
palab as
de
V
son
leyes
o man
una
a iedad
V
;
di é
que
V
de ine
V
.
Según
un
esul ado
de
G
.
Hi kho
(1935),
el
ecíp oco
ambién
es
cie o
:
Toda
a iedad
V
pue-
de
de ini se
de
es a
o ma
a
pa i
de
un
conjun o
de
palab as
( éase
(ll))
.
de
donde esul a
Rn[F
,
F]
[F,
R]
Teo ema
2
.4
.
(De
los
coe icien es
uni e sales)
Si
C es
un
Q-módulo
i ial,
las
sucesiones
0--1Ex (H
n-1
Q,C)
-aH
'
(Q,C)
'iHom(H
n
Q,C)--10
0-4
HnQ
®
C-iH,(Q,C)-~To (H
n-l
Q,C)-i
0
son
exac as
y
na u ales
.
Ambas
descomponen
aunque,
en
gene al,
no de
mane a
na u al
.
Obse ación
.-
Hay
casos,
como,
po
ejemplo,
cuando
Ces
uní-
ocamen e
2-di isible,
en
que las
sucesiones
exac as
de
los
coe-
icien es
uni e sales
descomponen
de
mane a
na u al
.
1
.3
.
Ex en
siones
con
núcleo
abeliano
Una
de
las
p ime as
y
más
impo an es
aplicaciones
de la
cohomología
de
g upos
es
la clasi icación
de
las
ex ensiones
de
un
g upo
Q
y
un
Q-módulo
A
po
el
segundo
g upo
de
cohomo
logía
.
De
hecho,
es e
g upo
es
conocido
desde
bas an e
an es
de
que
se
hicie a
un
desa ollo
comple o
de
la
eo ía
de
g upos
de

homología
y
cohomología
en
el
con ex o
del
álgeb a
homológica
a
pa i
de
los
un o es
To
y
Ex
.
Dados
un
g upo
Q
y
un
Q-módulo
A, se
llama
ex ensión
de
Q
po
A
a
una
sucesión
exac a
co a
E
:

A>-~6
9*
Q
al
que

_h(y
.a)
= x
.h(a)
.x -1
,
donde

y
e Q,

a e
A,

y

x e
G

con

g(x)
=
y
.
El
que
A
sea
Q-módulo
i ialequi ale
a
que
h(A)
es á
con enido
en
el
cen o
de G,
en
cuyo
caso
se
dice
que
la
ex-
ensión
es
cen al
.
Dos
ex ensiones
E
:

A)----)
G

i
Q
E'
:

A>
---15
,

»Q
se
llaman
equi alen es
si
exis e
un
homomo ismo

:-G
-i
G'
que
haga
conmu a i o
el
siguien e
diag ama
Obsé ese
que,
en
al
caso,
es
un
isomo ismo
.
La
p ime a
o mulación
de la
clasi icación
.
d e
las
ex ensio-
nes
po
H
2
(Q,A)
se
basa
en la
idea
de
los
sis emas
de
ac o es
.
Conside emos
una
ex ensión
E
:

A
y~
6-»
Q
y
un
sis ema
s
de
ep esen an es
de
Q
en G,
es
deci ,
una

unción

s
:

Q
--9G

al que

gs
=

Id
Q

,

s(e)

= e
.
La
unción
de inida
po
q>(x,y)
=
s(x)
.s(y)
.s(xy)-1
,
un
sis ema
de
ac o es
de
E
.
:p
puede
se
in e p e ada
como
un
elemen o
del
g upo
de
homomo ismos
Hom
Q
(HZ,A),
donde
H'
designa
la
esolución
s anda d
no malizada
no
homogénea
de
Q
( e
(5))
.
Aun
más,
ip
es
un
cocicla
y
di e en es
sis emas
s
de
ep esen an es
de
Q
dan
luga
a
cociclos
.que se
di e encian
de
9
en'un
co-
ba de
( e
(9)
pág
.
111)
.
La
ex ensión
E
de e mina,
pues,
de
mane aúnica
una
clase
de
cohomología

[Q]
e
H
2
(Q,A)
.
Se
es-
ablece
así una
aplicación
en e
las
clases
de
ex ensiones
equi alen es
y

H
2
(Q,A),

que
esul a
se
una
biyección
.

(Véase
(15)
pág
.
24
.)

.
El
eo ema
2
.1
pe mi e
es ablece
es a
biyección
de
o a
o ma
más
ú il
pa a
es e
abajo
.
La
sucesión
exac a
de
los
cinco
é minos
en
cohomología
con
coe icien es
en
A
asociada
a la
ex ensión

E
:

A)

)G
-1)Q
,
es
a
0-
;H1(Q,A)-->H1(G,A)--4HomQ(A,A)
E>H2(Q,A)-->H2(G,A)
x,
y
EQ,

se

llama
La
imagen
po
SE
de
la
iden idad
de
A
es
p ecisamen e
la
clase
cohomológicaco espondien e
a E
en la
biyección
an es
es ablecida
((15)
págs 18
y
sg s)
.
A
con inuación
doy
sin
demos ación
una
se ie
de
p oposi-
ciones
sob e
la
na u alidad
de
es a
biyección
.
Pa a
las
demos-
acionesde alladas
e
(15)
.
P oposición
3 .1
.
El
diag ama
_es
conmu a i o
si
y
sólo
si
P oposición
3.2
.
E'
:

A'--i
G'--iQ
a
.

:

H2
(Q,A)
-jH
2
(Q,A')

es
el

homomo ismo
inducido
po
(y
,
a -E
y
E'
espec i amen e
.
son las
clases
cohomológicas
co espondien es
06áAi esé
que, en
al
caso,

G'

es el
push-ou
de
los
ho-
momo ismos

A'
-IG'

ya

En
adelan edesigna é
po

E
la
ex ensión
E'
así
cons uida
.
El
diag ama
E
:

A
)

)G
-»
Q
E
:
Ay
--)G
--H
Q
a
.([-PI)
=
[-P']
,
donde
es
conmu a i o
si
y
sólo si

*([W])
_
[ÑI
,
donde
22
Q,A)
-jH
2
H

(Q,A)

es á
inducido
po

,
y
[ pl
,
son las
clases
cohomológicas
co espondien es
a E y
E
es-
pec i amen e
.
.
Obsé ese
que, en
al
caso,
G es
el
pull-back
de
los ho-
momo ismos
G---->Q
y
Í~
-
En
adelan e
designa é
po
EP
la
ex ensión
E
así
cons uida
.
P oposición
3 .3
.
Dado
E
:
E'
:

A
1
)
---o
G
'
-
:»
Q
exis e

:
G
-->G'

que
haga
conmu a i o
el
diag ama
si
y
sólo
si

*([~])
_

*
([w'])
,
donde

ip

y
9'
son las
clases
cohomológicas
de
E y
E'
espec i amen e
.
En
es e
caso,
los
posibles
homomo ismos

:
G
-!G'

es án
en
co espondencia
bi-
yec i a
con las
de i aciones

d
:

Q
-----~A
.
La
p oposición
que
sigue
nos
da
in o mación
sob e
el
homo-
mo ismo
n
del
eo ema
2 .4
de
los
coe icien es
uni e sales
en el
caso
n =
2,
elacionándolo
con
la
sucesión
exac a
de
los
cinco
é minos
.
P oposición
3 .4
.
Sea

E
:

N>

)G
--»Q

una
ex ensión
cen al
de
Q
.
Sea
n
como
en
el
eo ema
de
los
coe icien es
uni e sales
y
S*
Hz G
--->H
ZQ
-~
N
-~Gab-a
Qab-i
0
la
sucesión
homológica
de
los
cinco
é minos
asociada
a E
.
Si
[9P]
e

H
2
(Q,N)

es la
clase
cohomológica
de

E,

se
e i ica
Pa a
la
demos ación
e
(15),
Según
las
p opiedades
de
n
([ p])

se
de inen
a iasclases
de
ex ensiones
cen ales
de
Q
-
Si

n
[ p] =0,
la
ex ensión

E

se
llama
una
ex ensión
conmu ado a
.
-
Si
R
[9>]
es
un
epimo ismo,

E

se
llama
una
ex ensión
"s em"
-
Si

n
[(p]

es un
isomo ismo,

E

se
llama
un
ecub imien
-
o
"s em"
.
La
siguien e,
p oposición
es
casi
inmedia a
:
P oposición
3 .5
.
Sea

E
:

N)

>
G
--»Q

una
ex ensión
cen al
de

Q
.

Las
siguien es
condiciones
son
equi alen es
:
a)

E
es
una
ex ensión
"s em",
b)

G
ab
-
Q
ab
,

c)

N
es á
con enido
en el
conmu ado
de
G
.
Pa a
un
a amien o
comple o
de
es as
ex ensiones
puede
consul a se
(15)
capí ulo
V
.
Capí ulo
II
EXTENSIONES
CON NUC
LEO
ABELIANO
EN
UNA
VARIEDAD
El
in en o
de
de inición
de
los
un o es
V
y
V
como
gene alización
de

Hz
y

H
2

a
a iedades
de
g upos
a bi a ios
da a de
mediados
de es e
siglo
.
Desde
un
p incipio
se
sabía
que
las
clases
de
ex ensiones
con
núcleo
abeliano
de un
g upo
con enidas
en
una
a iedad
V
o maban,
con
la
suma
de
Bee ,
un
g upo
abeliano
.
Las
p ime as
de iniciones
de
los
un o es
Vy
V
se
encuen an
en
los
abajos
de
M
.
Ge s enhabe
(3)
y J
.
Knop mache
(6)
.
Pos e io men e,
a ios
au o es,
J
.
Beck,
M
.
And é,
F
.
Bachmann,
M
.
Ba ,
G .5
.
Rineha ,
F
.
Ulme ,
han
dado
de iniciones
de
eo ías
de
homología
en
ca ego ías
muy
ge-
ne ales
que
no
sólo
dan
luga
a
un o es
V
y
V,
sino
a
un-
a es
co espondien es
a
los
g upos
de
(co)-homología
en
dimen-
siones
supe io es
.
Ninguno
de
es os
au o es,
sin
emba go,hace
e e encia
al
caso
pa icula
de
las
a iedades
de
g upos
.
Po
p ime a
ez
U
.
S ammbach
en
(14)
da
una
de inición
de
VyV
pa a
a iedades
de
g upos
y
C
.
Leedham-G een
es udia
en
(8)
con
de alle
las
eo ías
homológicas
ca eno iales
en el
caso
de
a iedades
de
g upos
.
II,
.1
.
Los
g upos V(Q,A)
y
V(Q,B)
Sea
V
una
a iedad
a bi a ia,
Q
un
g upo
de
V
y
A
y B
Q-módulos
po
la
izquie da
y
po
la
de echa
espec i-
amen e
.
Sea
:
F
-H
Q
una
p esen ación
V-lib e
de
Q
.
Se
de inen
V(Q,A)
=
Ke
( *
:
H2
(Q,A)
->H
2
(F,A))
V(Q,B)
=

Coke
(
*
:
H2
(F,B)
--)
H2(Q,B))
Demos a emos,
an e
odo,
que
es osg upos
no
dependen
de
la
p esen ación
lib e

:
F
-)Q

conside ada
.
'
:
F'--+Q
o a
p esen ación
V-lib e
de
Q
.
h y
h'
que
hacen
conmu a i o
el
iángulo
Po
la
an o,
ob enemos
'un
diag amaconmu a i o
de
g upos
de
cohomplo,gía
En
e ec o,
sea
Exis en
mo ismos
H
2
(Q,
A)
de
donde

Ke
*
=
Ke
h* '*
:>
Ke
'*

y
ice e sa
Ke '*
Z>
Ke
*
,
lo
que
demues a
la
igualdad
.
De la
de inición esul a
inmedia amen e
que
en
la
a ie-
dad
G de
odos
los
g upos
V(Q,A)
=
H2(Q,A)
V(Q,B)
=
H2(Q,B)
.
También esul acla o
que
si
F
es
V-lib e,
en onces
V(F,A)
= 0 y
Veamos,
aho a,
el
compo amien o
de
V
y V
espec o
de
la
p ime a
y
segunda
a iables
.
ismo
V(F,B)
=
0
.
si

a
:
A
-1A'

es un
mo ismo
de
Q-módulos,

el
homomo -
*
:
V(Q,A)
->V(Q,A')

es á
de inido
po
el
diag ama
0-!U(Q,A)-
%
H2(Q,A)--jH2(F,A)
I
.
I
i
a*

2
c *

2
°*
0--->V(Q,A'
)-)H
(Q,A'
)--->H
(F,A'
)
Si

g
:
Q
--
!Q'

es
un
homomo ismo
de
g upos
y
:
F
--
.»
Q
",

'
:
F'
-~
Q'

son
p esen aciones
V-lib es
de
y,
po
lo an o, en
i ud
de
ii)
del
eo ema
2 .3
.,
A
es
de la
ca ego ía
de
los
núcleos
abelianos
.
11
.3
.
Una
su
cesión
exac a
En
es e
apa ado
supongo
siemp e
que
V
es
una
a iedad
de
exponen e
ce a,
,
es
deci
que

Ab
C
.

Resul a,
en onces,
como
consecuencia
inmedia a
del
eo ema
2
.3
.
y
de la
p oposi
ción
2
.4 .,
la
siguien e
p oposición
.
P oo
ósición
3 .1
.
En
una
a iedad
V
de
exponen e
ce o
exis en
siemp e
ex ensiones
cen ales
de
un
g upo

GeV

po
un
g upo
abeliano
cualquie a
A y
dichas
ex ensiones
es án
clasi icadas
po
el
g upo
V(G,A)
.
Po
ejemplo,
en la
a iedad
N

de
los
g upos
nilpo en es
de
clasemeno
o
igual
que
c,
que
es de
exponen e
ce o,
sabe-
mos que las
ex ensiones
cen ales
de Ge
N

po
un
g upo
abeliano
A,
-
c
la
misma
clase
que
G,
o
de
classe
meno
(es ic amen e)
que
e i ican
que
E
es de
+l
.
Cuando
es
c
odas
las
ex ensiones
cen ales

es án
en
N
c
y
podemosasegu a ,
po
an o,
que
V(G,A)
=
H2(G,A)
.
Si
=
c,
las
ex ensiones
de
clase
+1
no
son
de
N
.
Z
En
al
caso,
(G,A)
clasi ica
las
ex ensiones
nilpo en es
de
clase
c
del
g upo
G
po
A,
V(GA)
C
H2
(G,A)
y
A i maciones
análogas
se
aplican,
po
ejemplo,
a
la
a ie-
dad
de
los
g upos
esolubles
de
longi ud
1
.
Me
p opongoes udia
la
inclusión
V(6,
A)
>-~
H2(G,A)
.
Sea

R)-->F»G_
una
p esen ación
V-lib e del
g upo
G
.
Puedo
esc ibi ,
en onces,
el
diag ama
Ex (G
ab
,A)
-1Ex (F
ab
,A)
i

2
~

2~
V(G,A)~
.iH
(G,A)
--
1
H
(F,A)

(8)
W

y
Hom(H
2
G,A)-
9
>Hom(H
2
F,A)
cuya
conmu a i idad
esul a
de
la
na u alidad
del
eo ema
de
los
coe icien es
uni e sales
.
Aho a
bien,
po
se
V
de
expo-
nen e
ce o,

F
ab

es un
g upo
abeliano
lib e,

po
lo
que
Ex (F
ab
,A)
=
0
y,
además,
H
2
(F,A)
-
Hom(H2F,A)
.
Po
o a
pa e,
en la
sucesión
exac a
de
homología
de
los
cinco
é m_-ios
co espondien e
a
la
p esen ación

-, -4
F-*
G
H
2F
-)
H2 G

R1->
F
ab
-aG
ab
-i0
se
iene
que
Coke
(HZ
F--4H
2
G)
=
VG

es
independien e
de la
p esen ación
V-lib e
de
G
.
Po
an o
I =
Ke
(H2 G
->R/[F,R])
=
Ke (H
2
G
->VG)
es,
ambién,
independien ede
dicha
p esen ación
.
Se
iene,
pues,
un
diag ama
de
sucesiones
exac as
K
--)H
2
F
--
.>H
2 G
--+R/[F,RI-~Fab--
.--)Gab-i0
donde
K =
Ke
(H2F--->H2G)

depende
de la
p esen ación
.
Aplicando
aho a
el
un o
Hom(-,A)
a
las
sucesiones
exac as
co as
I
»
H
2G
--p)VG
se
ob iene
el
siguien e
diag ama
conmu a i a
:
Hom(VG,A)-i
Hom(H
2
G,A)-4Hom(I,A)-4Ex (VG
i

2
1

1
J
V(G,A)
>-i
H
(G,A)

Hom(H
2
F,A)
V(G,A»-±-4H
2
(G,A)
-!Hom(H
2
F,A)
Ex (G
ab
,A)=Ex (G
ab
,A)
Ex (I,A)
A)--iEx
(H2
G
Ex (G
ab
,A)=Ex (G
ab
,A)

Hom(K
A)

(*)
donde
las dos
p ime ascolumnasconmu an
en
i ud
de la
demos-
( eo ema
1
.2
.)
.
Po
o a
pa e,
la
aplicación
A)--»Ex (I,A)
acidn
del
eo ema
de
los
coe icien es
uni e sales
pa a
V
Hom(H
2
G,A)
->Hom(I,A)
w
l
Hom(H
2
F,A)
no es
o a
que
la
aplicación

g

en el
diag ama

(8
) .

Exis e,
po
an o,
una
aplicación
de
H
2
(G,A)
en
H2
(F,A)
_
Hom(H2F,A)
que
hace
conmu a i o
el
diag ama
Hom(VG,A)---+Hom(H
z
G,A)-4Hom(I,A)->Ex (VG,A)-->Ex (H
2
G,A)-*Ex (I,A)
As!,
pues,
la
sucesión
es
exac a
.
Teo ema
3
.2
.
Im
(H2(G,A)--~>Hom(H2F,A))
(j
-
j
Hom(I,A)
y
exis e

una

nnLicacián
de

H2
(G,A)

en

Hom(I,A)

ze

o ma

que
V(G,A)>-~H2(G,A)-~
Hom(I,A)--->Ex (VG,A)---j>Ex (H
2
G,A)
-*Ex (I,A)
(Obsé ese
que,

po
se

H
2
(G,A)
-i
Hom(H
2
G,A)

exhaus i a,
Im

(H2(G,A)----)Hom(I,A))

=

Im

(Hom(H2G,A)-->
Hom(I,A))

=
y,
po se
j
injec i a,
Im i =
Ke (H2{G,A)-yHom(H2F,A))=
=
Ke
(H2
(G,A)--~Hom(I,A)-
2
4Hom(H
2
F,A))
.)
He
demos ado,
así,
el
Sea

V
una
a iedad
de
exponen e
ce o,

Gc
V
y

A

un
g upo
abeliano
.
La
sucesión
=
Ke
(Hom(I,A)-4Ex (VG,A)),
V(G,A)Ñ
H2
(G,A)
-9Hom(I,A)--->Ex (VG,A)--4Ex (H
2
G,A)-*
Ex (I,A)

,
donde

I
=
Ke
(H2
G--4VG),
es
exac a
y
na u al
.
11 .4
.
Ejemplos
V
casos
pa
icula es
1)

Exis enalgunos
casos
e
que
se sabe
que
H
2
G
= 0
.
Po
ejemplo,
cuando
odos
los
p-subg upos
de
Sylow
de
G
son
cíclicos
o
(pa a
p =
2)
cua e niónicos
gene alizados,
G
iene
cohomología
pe iódica
y,
en
pa icula ,
H
2 G = 0
( éase
(1),
cap
.
XII)
.
Asimismo,
pa a
los
g upos
de
nudos
H2 G =
0
((15)
pág
.
90)
.
En
o os
casos, aunque
H2 G
{
0, se
anula
Hom(H
2
G,A)
;
po
ejemplo,
siemp e
que
Ges
ini o
de
o den
m,
H
2
G
es de
o sión
y m
H2 G = 0 ((5)
pág
.
227)
.
Po
lo
an o,
si
A es
lib e
de
o sión
o
de
o sión
p ima
con
m,
esul a
Hom(H
2
G,A)
=0
.
En
odos
es os
casos
V(G,A)
aH
2
(G,A)
--
Ex (Gab,A)
es
deci ,
"las
ex ensiones
cen ales
de
G
es án
odas
en V
y
p oceden
odas,
median e
pull-back,
de
ex ensiones
abelianas
de

G
ab"
.
2)

Análogamen e,
cuando
Hom(VG,A)
=
0
V(G,A)
--
Ex (Gab,A)
es
deci ,
"las
ex ensiones
cen ales
de
G
en
V
p oceden
o-
das,
median e
pull-back,
de
ex ensiones
abelianas
de
Gab

Es e
es
el
caso,
po
ejemplo,
de
las
ex ensiones
de un
g upo
G
que
admi a
una
p esen ación
con
n<a
gene ado es
y
elaciones,
si
G
ab
es á
gene ado
po
n
elemen os,
siemp e
que
la
a iedad
V
e i ique
que
odos
los
g upos
V-lib es
sean
esidualmen e
nilpo en es
y
de
exponen e
ini o
p,
pa a odo
p imo
p
.
En
e ec o,
en
al
caso
VG
=
0
((15)
pág
.
89)
y,
en
pa icula ,
Hom(VG,A)
=
0
.
Ejemplos
de
ales
a iedades
V
son
G ,
N
,
los
g upos
esolubles
y
los
g upos
polinilpo en es
.
3)

Si
A
es
un
g upo
di isible
(inyec i o!),
V(G,A)>--iH2(G,A)
-»Hom(I,A)
es
exac a
.
(Consecuencia
inmedia a
del
eo ema
3 .2
.)
4)

Conside emos,
aho a,
la
a iedad,
N
de
los
g upos
nilpo en es
de
clase
4
c
.
Sea
S>
--->F
--y
G
una
p esen ación
absolu amen e
lib e
de
G
.
El
que
G
sea
de
N

equi ale
a
deci
que

S Z>
Fc+1'

Po
o a
pa e,

F/F
c+l
es
nilpo en e
lib e
y
R =
S/F
c+1
>
-
}F/F
c+1
-~»
G
es
una
p esen ación
N
.-lib e
de
G
De
F
c
+l
F
c+1
S
-~
F
R

>

>
F/Fc+l-~1
G
De la

ó mula
de
Hop ,

H 2
5

=

5
n
[F,F

,

se
deduce
[F,S]
H2(F/Fc+l)
-
Fc+1/Fc+2
y
es e
g upo
es
abeliano
lib e
(
e
(1D),
pág
.
342)
.
K>->H2(F/Fc+l)---->H2G---,,R/[F/Fc+l'R
.)

iFab
->G
ab
---1
.
0
-,
.*
A/

"
l
~
esul a,
en onces,
VG
=
Im
Sn[F,F]

S

_

Sn
[F,F]
-i
[F,5]

[F,
S]
.Fc+1

[F,5]
.F
c+1
independien e
de
la
p esen ación,
I

=

5n
[F,
F]

_-~

S

-

£F,5
] .F
c
+Ke
(

l
[
F,5
]

[
F,5
]
.F
c+1
/

[F'SI
independien ede
la
p esen ación,
K
=
Ke

F
c+1
_~
[F, S]
'
Fc
+l

-
[
F, S]
nF
c+
(
1
F
c+2

~F,S

Fc+2
abeliano
lib e
.
Como
ya
obse é
en el
apa ado
an e io
(II
.3),
V(G,A)
coincide
con

H
2
(G,A)

siemp e
que

G

es de
clase

/,
c
.

Su-
pongo,
po
an o,
que
G
es de
clase
c,
es
deci
que
se
e-
i ica

Fc

~

5
.
Caso

F
c+l
C
S
C
F
En onces

[F,S]
C
F
.+l
g upo
abeliano
lib e
.
Po
an o,

Ex (VG,A)
=
0

y
del
eo e-
me
3
.2
.
esul a
que
es
una
sucesión
exac a
co a
.
V(G,A)
>---
!H2(G,A)
~!
Hom(I,A)
En
es ecaso
F
/S>
---
!F/S
=
G
-»F/F
c

c
5
F
y

VG
=
-
F

c
Fc

es un
c+1
c+1
y

G ab =
F
a
b'

En
o as
palab as
:

G

es
una
ex ensión
"s em"
de
un
g upo

N
c
l_
lib e
.

Po
o a
pa e,

pues o
que

G

es
¡me-'
-
gen
epimó ica
de
F/F
c+1'
G
posee
un
sis ema
de
gene ado es
con
a
lo
sumo

n =
ango
F

elemen os
.

Pe o

G
ab
=
Fa
b,

po
an o,
G
posee
un
sis ema
de
gene ado es
con
exac amen e
n
elemen os
.
Recíp ocamen e
:

Sea
G
una
ex ensión
"s em"
de un
g upo
N
c-1
-lib e
.
F/F
c
de
ango
n
.
Supongamos
que
G
es á
gene ado
po
exac amen e
n
gene ado es
.
En onces,
exis e
g
:
F
--)
G

al
que
A
>--~
G
-~
F/F
c
conmu a,

y

S>--iF
)
G

es
una
p esen ación
absolu amen e
lib e
de

G

con

SC
Fc
Con
o as
palab as
:
Los
g upos
incluidos
en
es e
caso
son
p ecisamen e
las
ex ensiones
"s em"
de g upos
N
c-l
-lib es
F
con
ango
F
=
núme o
de
gene ado es
de
G
.
Obse ación
:
Si

F
c+1
:) I
F,S
]
,
[
S/F
c+l
,F/F
c+1J
-0y,
po
an o,
S/F
c+1
es
del
cen o
de
F/Fc+1"
Es e
cen o
es,
p ecisamen e,
Fc/Fc+1
( e
(10),
pág
.
347,
eje cicio
5)
;
así,
pues,
esul a
S/Fc+1
C
F
c
/F
c+l
'

de
donde

S
C
Fc
.

Po
an o,
5
C
Fc
<~

IF SI
<Z
Fe,_
1
.
Caso

F
c+1
C
LF,5]
Es ecaso
ocu e
si
y
sólo
si
I
=
0, y
ambiéncoincide
con
el
caso
en
que
H
2
G =
VG
.
En onces,
Un
p ime
c i e io
de
pu eza
nos
lo da el
siguien e
eo ema
de
P .J
.
Hil on
y A
.
Deleanu
(4)
:
Teo ema
2 .1
.
Sea

0
-->
R --~5 -4 T
--+0

una
sucesión
exac a
de
un o es
adi i os

C
-9
Ab
,
donde

C

es la
ca ego ía

Ab

de
los g u
pos
abelianos
o
bien
la
ca ego ía

Ab
2

de
los
g upos
abelianos
sin
2- o sión
.
Si
T
es
exac o
po
la
izquie da,
la
sucesión
0
-
4
R(A)-~S(A)--
.i
T(A)--j
0
es
exac a
y
pu a pa a odo

A
c C
.
El
eo ema
se
aplica,
en
pa icula ,
a
la
sucesión
de
los
coe icien es
uni e sales
pa a
cohomologia
Ex (G
ab
,A)
>
-~
H2
(G,A)--*Hom(H
2
G,A)
Po
o a
pa e,
sabemos
aunmás
:
la
sucesión,
de
hecho,
descom-
pone
.
Es e caso
incluye
el
monomo ismo
(*)
pa a
V
=
Ab
,
ya
que,
en onces,
V(G,A)
=
Ex (G,A)_
En el
caso gene al,
la
si uación
es la
siguien e
:
Se
iene
una
sucesión
exac a
de
un o es
V(G,-)}-jH2
(G,-)-oyT(-)

=
Coke
i(-)
.
H
2
(G,-)

es
adi i o,

ya
que
se
a a
de un
un o
de i ado
de
Hom
G
(Z,-)
.

Veamos
que
V(G,-)
es
adi i o
.
En
e ec o,
po
de inición
de
V(G,-
V(G,-)y-->H2(G,-)-DH2(F,-)
es
una
sucesión
exac a
de
un o es,
dond

F---HG

es
una
p e-
sen ación
V-lib e
de
G
.
Es a
p esen a
ión
inducehomomo is-
mos
de
cohomologia
dad
de
H
2
(G,A
®
H)
-1

H
2
(
A
®
H)
H2
(G,A)
e)
H2
(G,H)
----~
H2 (F,

)
®
H2(P,H)
La
conmu a i ídad
de
es e
diag ama
se
de'uce
de la
conmu a i i-
Hom(P
G ,A
®
B)
-1
Hom
PF,A
®D)
z
Hom(P
G
,A)
®
Hom(P
G
,H)
--1
Hom(P
1

A)
(D
Hom(PF,H)

,
donde
PG y PF
son
esoluciones
G-
1
F-
p oyec i as
de
Z,
espec i amen e
.
Del
p ime
diag ama
esul a,
en onc_
;,
V(G,A
®H)
--
V(G,A)
®
V(G,D)
.
El
eo ema
de
Hil on-Deleanu
se
apl
.a á,
pues,
siemp e
que
T
sea
exac o
po
la
izquie da
(lo
,
.je
implica
la
adi i i-
dad!
)
.
Es e
no
es,
desg aciadamen e,
e
.'_
caso
gene al,pe o
si
que
T
es
exac o
po
la
izquie da
siemp e
que
ya
que,
en onces,
el
1
-
o_ema
3.2
.
del
capi ulo
II
nos
dice
que
Teo ema
2
.2
.
Ex (VG,A)
= 0
V(G,A)
~
.
iH
2
(G,A)»Hom(I,A)
es
una
sucesión
exac a
y,
pa
an o,
T
=
Hom(I,-)
es un
un-
o
exac o
po
la
izquie da
.
En
pa icula ,
Si
Ges
un
g upo
nilpo en e
de
clase
c
que
admi e
una
p esen ación
lib e

G
=
F/S

con

Sc
F

,

V(G,A)

es
un
sub-
c
g upo
pu o
de
H2
(G,A),
pa a odo
g upo
abeliano
A
.
En
e ec o,
imos
en
11
.4
.
que, en
al
caso,
VG es
un
g upo
abeliano
lib e
;
po
an o,
Ex (VG,A)
=0
y
puedeapli-
ca se
el
azonamien o
an e
iio
.
O o
c i e io
de
pu eza
es el
dado
po
el
Teo ema
2
.3
.
Si VG
es
lib e
de
o sión,
en onces
V(G,A)
es
un
subg u-
po
pu o
en
H
2
(G,A)
.
La
demos ación
del
eo ema
hace
uso
de
algunos
esul ados
de
III
.1
y
del
siguien e
lema
Lema
2 .4
.
Si

A>
a
-->H
Í
""
C

es
una
sucesión
exac a
con

A
pu o
en H,
en onces
en
Obsé ese,
en
p ime
luga ,
que
Im
a
C
Ke
gp
=
Ke pn~
C
Ke
y
,
de
donde

p
n
a
(A)
C
Ke ~
.
Po
o a
pa e,

pues o
que

a
A

es
pu o en

H,

en
i ud
n
de
la
p oposición
1 .1
.(ii),
esul a
que

aA
/
p
aA
es
pu o
en
H /
p
n
aA

y,

po se

aA
/ p n
aA

un
subg upoaco ado,

es
su-
mando
di ec o
( eo ema
1 .2
.)
Sean
y
Hom(C,D)
>
- --
>
Hom(H,D)
--
2
~4
Hom(A,D)
P
*
(Hom(C,D))

es pu o en

Hom(H,D)
.
Demos acidn
del
lema
:
Sean
p
c
Hom(C,D)

y

0c
Hom(H,D)
ales
que
H/p
n
aA
=
aA
/
p
n
aA
®H'/
pn
aA
.
es
deci
n
:

H
/
p
n
aA
->
H'/
pn
aA

la
p oyección
canónica
'
.
:

H'/
p
n
aA
-->
D

al
que

o
'
(b'+
p n A) =
0(b')
.
0'
es ábien de inida
ya que,
según
he
is o
an e io men e
n
paA
C

Ke
V
.
De ino

d)
:
D--jD
po

m
(b)

n
(b+
p
n
aA)
Se iene,
en onces
p
n
<D
_
pn~

y

aA
c
Ke m
,
lo
que
implica
la
exis encia
de
una
aplicación
al que
Po
an o
*
O
p
n
(p *
O
)
=
pn,,
= p
n
.
=

p*(4P)
con
lo
que
queda
demos ado
el lema
.
Demos ación
del
eo ema
2
.3
. :
De
la
sucesión
exac a
co a
I

~H
2
G
--p»VG
se
deduce
que
si
VG
es
lib e
de
o sión,
I
es pu o en
(III
.1
.),

y,

en
i ud
del
lema
an e io ,

p
*Hom(VG,A)

es
pu o en
Hom(H
2
G,A)
.
Conside emos
el
diag ama
conmu a i o
Hom(VG,A)>
p*
V(G,A)
>
Hom(H
2
G,A)
H2
(G,A)
Ex (G
ab
,A)
=
Ex (Gab,A)
Las
sucesiones e icales( eo emas
de
coe icien es
uni e sales
pa a
Vy
H 2
)
descomponen
( eo emas
2 .4
.
y
1
.2
de
los
capi-
ulns
I y
II
espec i amen e),
y, en
pa ic
.la ,
Ex (VG,A)
es
pu o
en
G(G,A)
y
en
H2
(G,A)
.
La
p oposición
1 .1
.(iii)
ase-
gu a,
en onces,
que
¡V(G,A)
es pu a en
H
2
(G,A),
con
lo
que
el
eo ema
queda
demos ado
.
111
.3
.

Casos

en

que

V(G
.A)

es

sumando
di ec o
de

H2(G
.A)
Al
inal
del
capí ula
II,
en el
eo ema
4 .1
.,
demos é
que,
en
la
a iedad
N

de
los
g upos
nilpo en es
de
clase
<
c, si
A
es
abeliano
lib e,
la
sucesión
exac a
V(G,A»

i
iH
2
(G,A)-Ñ
Coke
i
descompone,
pa a
odo
Ge
N
.
Me
p oponga,
aho a,
da
algunas
condiciones
sob e
G
en
las
que
la
sucesión
exac a
an e io
descompone
.
Teo ema
3 .1
.
Si
G
es
un
g upo
ini o
al
que
Ex (VG,A)
=
0, la
sucesión
es
exac a
y
descompone
.
V(G,A)
,-
l
~
H
2
(G,A)--»
Hom(I,A)

Demos ación
:
Sea

m

el
o den
de

G,

Se
sabe
que,

en onces,

mH
2
(G,A)
Se
anula
y,
en
pa icula ,
ii(G,A)
es
aca ado
.
Po
o a
pa e, en
111
.2
.
demos é
que
Ex (VG,A)
=
0
implicaba
que
ig(G,A)
e a
un
subg upo
pu a
de
H2
(G,A)
y
que
la
sucesión
del
enunciado
e a
exac a
.
Has a,aho a,
aplica
el
eo ema
1 .2
.
Teo ema
3 .2
.
Si
Ex (VG,A)
= 0
y
H
2 (G
.,A)
cíclicos
(en
pa icula ,
si
es
ini amen e
gene ado),
en onces
la
sucesión
V(G,A»
--1-y
H
2
(G,A)
-
.»Hom(I,A)
es
exac a
y
descompone
.
Demos ación
:
Como
en el
eo ema
an e io ,
Ex (VG,A)
= 0
implica
que
la
sucesión
es
exac a
e
iV(G,A)
es pu o en
bien,
si
H 2
(G,A)
la
se á Hom(I,A)
1 .3
.,
esul a
que
la
sucesión
descompone
.
Teo ema
3 .3
.
es
suma
di ec a
de
g upos
H
2
(G,A)
.
Aho a
es
suma
di ec a
de
g upos
cíclicos,
ambién
( eo ema
de
Kuliko )
y,
aplicando
el
eo ema
Si VG es
lib e
de
o sión
y
H
2
(G,A)
es
suma
di ec a
de
-
g upos
cíclicos
(en
pa icula ,
ini amen e
gene ado),
en onces
la
sucesión
V(G,A)

1j
H2(G,A)-»T(A)
es
exac a
y
descompone
.
111
.4
.
Conside aciones
inales
En
el
análisis
de la
descomposición
de
la
sucesión
exac a
9(G,A)>---i
H2
(G,
A)
-»T(A)
he
es udiado,
como
p ime a
ap oximación,
cuándo
iV(G,A)
es
2
un
subg upo
pu o
de
H
(G,A)
.
Una
de
las
condiciones
su icien-
es
pa a
ello
e a
que
el
un o
T
ue a
exac o
po
la
izquie -
da
sob e
odos
los
g upos
abelianos
o
sob e
los
g upos
abelianos
sin
2- o sión
( eo ema
de
Hil on-Deleanu)
.
He
hecho
obse a
que
es o no
es
cie o
pa a
cualquie
a iedad
de
exponen e
ce o
.
Un
p oblema
in e esan e
a
es e
espec o
es
es udia
pa a
qué a-
iedades
V
el
un o
T es
exac o
po
la
izquie da,
o
bien
(lo
que
"casi"
es
equi alen e),
cuándo
T
es
un
un o
Hom(J,-) pa a
un
cie o
J
cocien e
de
nues o
I
.
Po
ejem-
plo,
pa a
V
.=
Ab,
T
es,
p ecisamen e,
Hom(H
2
G,-)
con
H
2
G
=I
.
Pa ece
p obable
que
pa a
V
=
N

es e
esul ado
pue-
da
gene aliza se,
pe o,
has a
el
momen o,
la
cues ión
sigue
abie a
.
Un
g upo
abeliano
se
llama
inyec i o
pu o
(o
algeb aica-
men e
compac o)
si,
pa a odo
monomo ismo

A
j--9H

con
j(A)

pu o
en

H,

odo
homomo ismo

A
->G

puede
ex ende se
a
H
descompone
.
En
los
casos
en
que
¡V(G,A)
es
pu o
en
H
2
(G,A), si
V(G,A)
es,
además,
inyec i o
pu o,
la
sucesión
exac a
U(G,A_)~-~
H
2
(G, A)
-»T(A)
Va ios
c i e ios
pe mi en
de e mina
si
V(G,A)
es
inyec-
i o pu o
:
a)

V(G,A)
es
inyec i o
pu o
si
y
"
s61o
si
es
sumando
di-
ec o
de
un
p oduc odi ec o
de
g upos
cocíclicos
(Fuchs
(2))
.
Las
g upos
cocíclicos
son los
g upos

Z(p
k
)

con

p

p imo

y
k =
1,2,
.
. .
o
om
.
b)

Si
V(G,A)
es
lib e
de
o sión,
en onces
es
inyec i o
pu o
si
y
s61o
si
es
de
co o si6n
.
Un
g upo
abeliano
C
se dice de
co o si6n
si
y
sólo
si
Ex (Q,C)
=
p
.
En
la
a iedad
de
los
g upos
abelianos
Ab
V(G,A)
=
Ex (G,A)
es
siemp e
de
co o si6n
.
Un
p oblema
in e
esan e
es
es udia
en
qué
a iedades
V(G,A)
es
de
co o si6n
(pa ece
na u alespe a lo
pa a
1
= N
) .
En
es as a iedades,
es
deci ,
cuando V(G,A)
es de
co o sión,
puede
u iliza se
el
siguien e
c i e io
:
"V(G,A)
es
inyec i o
Du o si
y
sólo
si
su
p ime
subg upo
de
Ulm
nn
V(G,A)
es
di isible"
.
n
En
pa icula ,
pa a
la
a iedad
Ab,
el
p ime
subg upo
de
Ulm
de
V(G,A)
=
Ex (G,A)
es,
p ecisamen e,
el
subg upo
Pex (G,A)
de
las
ex ensiones
pu as
de
G
po
A
(Nunke
(12),
es
deci ,
de
las
ex ensiones
donde

A
es
un
subg upo
pu o
de E
.
El
concep o
de
pu eza
es á
de inido,
únicamen e,
pa a sub-
g upos
de
g upos
abelianos,
y,
po
an o,
no
puede
habla se
de
ex ensiones
pu as
sino
den o
de la
a iedad
Ab
.
Sin
emba go,
una
gene alización
al
caso
de
a iedades
nilpo en es
N

no
p esen a
di icul ades
o males
se ias
.
El
hecho
de
que las
ex ensiones
pu as
en

N

coincidan
con
el
p ime
subg upo
de
-
Ulm
de
V(G,A)
no
pa ece
i ial
.