Sobre extensiones centrales en una variedad de grupos

Pub . Ma . UAB Nó 9, Se emb e 1978 Memo ia p esen ada po IRENE LLERENA RODRIGUEZ Re isada  pa a aspi a al g ado de Doc o en Ma emá icas po la P o . D D . Ra aelMallol  Uni e sidad de Ba celona Ca ed á ico de Algeb a Uni e sidad de Ba celona SOBRE EXTENSIONES CENTRALES EN UNA VARIEDAD DE GRUPOS Tesis doc o al de la D a DMa IRENE LLERENA RODRIGUEZ Tema : "SOBRE EXTENSIONES CENTRALES EN UNA VARIEDAD DE GRUPOS" T ibunal de Tesis P esiden e : D . JUANAUGE FARRERAS Ca ed á ico de AnálisisMa emá ico 3 0 Facul ad de Ma emá icas Uni e sidad de Ba celona Vocales :  D . JOSE TEIXIDOR BATLLE Ca ed á icode Geome ía Analí ica y Topología Facul ad de Ma emá icas Uni e sidadde Ba celona D . JOSE VAQUER TIMONER La ed á icode Geome ía lo (Geome ía y T igo- nome ía) y Geome ía 5 0 (Geome ía Di e encial) Facul ad de Ma emá icas Uni e sidadde Ba celona D . RAFAELAGUILO FUSTER Ca ed á ico de AnálisisMa emá ico 40 Facul ad de Ma emá icas Uni e sidad de Ba celona Di ec o :  D . RAFAELMALLOL BALMAÑA Ca ed á ico de Algeb a Facul ad de Ma emá icas Uni e sidad de Ba celona Realizada la p esen ación y lec u a de la esis en 7 de Diciemb e de 1977, ob u o la cali icación dé SOBRESALIENTE "cum laude" . Ba celona, 8 de Feb e o de 1978 EL DECANO, y 50 INTRODUCCION El in en o de gene aliza los un o es de homología y de cohomologia, de inidos en la ca ego ía G de los g upos, a o as ca ego ías, da a ya de los añossesen a, con de inicio- nes más o menos so is icadas . Sin emba go, no es has a 1970 cuando U . S ammbach da en (14) una de inición de los un o es V y 9 como gene alización de H 2 y H 2 , espec i amen e, pa a el caso conc e o de a iedades de g upos . La mayo pa e de las p opiedades de H  2 2 y H  se gene alizan sin di icul- ad a V y 9 , incluyendo el eo ema de los coe icien es uni- e sales y la sucesión exac a de los cinco é minos demos ada, independien emen e, en 1966 po J . S allings y U . S ammbach . Es un hecho bien conocido que  H2 (Q,A)  clasi ica las ex- ensiones del g upo Q po el Q-módulo po la izquie da A ; es deci , exis e una co espondencia biyec i a en e el conjun- 2 o H (Q,A) yel conjun o de clases de equi alencia de ex en- siones de Q po A , que es, además, un isomo ismo espec o las co espondien eses uc u as de g upo abeliano . Se demues- a', asimismo, que cuando Q es un g upo de una a iedad V, si el p oduc o semidi ec o  A7 Q es á en  V,  el g upo G(Q,A) clasi ica las ex ensiones de Q po A con enidas en V . El caso en que A sea un Q-módulo i ial da luga a las llamadas ex ensiones cen ales, es o es, ex ensiones ales que A es á con enido en el cen o de G . Pa a el caso pa icula de la a iedad Ab de los g upos abelianos, si A es un Q-módulo i ial, se iene que clasi ica las ex ensiones abelianas del g upo abeliano Q po el Q-módulo i ial A . El eo ema de los coe icien es uni e sales E : A)~G-->jQ V(4,A) = Ex 1 (Q,A) , V(Q,A) = Ex 1(Q,A) y--- 1 H2 Q,A) --~) Hom(HZQ,A) nos da, en onces, el conúcleo de la inclusión del . . giupo de las ex ensiones abelianas de Q po A en el g upo de odas las ex ensiones cen ales de Q po A, y nos dice, además, que V(Q,A) es un sumandodi ec o de H2 (Q,A) . En es e abajo me p opongo gene aliza la sucesión de los coe icien es uni e sales, in e p e ada como ca ac e i ;ación del conúcleo Ex 1(Q,A) ~ ~ H Z (Q,A) , a a iedades de g upos V de exponen e ce o (es deci , ales que V D Ab ) . Demues o, pa a ello, que si Ves una a ie- dad de exponen e ce o, Q un g upo de V , yA un Q-módulo i ial, la sucesión V(Q,A)>--1H 2 (Q,A)-4Hom(I,A)-4Ex (VQ,A)--- > Ex (H2Q,A)---»Ex (I,A) donde  I = Ke (H2 Q - ->VQ),  es exac a y na u al  ( eo ema 3 .2 del capi ulo II) . A pa i de es e esul ado es udio en el apa ado 4 del capí ulo II di e en es casos pa icula es conc e os . Losmás in e esan es apa ecen al conside a la a iedad N  de los g u pos nilpo en es de clasemeno o igual que c . Po ejemplo, si Q E Nc admi e una p esen ación lib e  S)  !F--* Q  al que 5 G Fc ,  esul a que la sucesión exac a an e io se educe a V(Q,A)~-->H2(Q,A)-NHom(I,A) Es osg upos Q esul an se , en onces, p ecisamen e, las ex- ensiones "s em" de los g upos nilpo en es lib es de clase c-1 con an os gene ado es como Q . Tambiénpa a,la a iedad N z ob engo el siguien e esul- ado : Si A es abeliano lib e, en onces V(Q,A) es un sumando di ec o de H2 (Q,A) ( eo ema 4 .1 . del capí ulo II) . Sin emba go, el que V(Q,A) sea un sumando di ec o de H2 (Q,A) no pa ece se cie o en gene al . Como p ime paso pa a analiza los casos en que es o ocu e, es udio bajo qué condi- ciones se puede a i ma que V(Q,A) sea un subg upo pu o del g upo H2 (Q,A) . El concep o de subg upo pu o, in oducido po H . P ü e en 1923, esul a se una noción in e media en e la de subg upo yla de sumandodi ec o . Un subg upo pu o es bajo de e minadas condiciones un sumando di ec o . Así ob engo algu- nos esul ados que asegu an, en de e minados casos, que V(Q,A) es un sumandodi ec o de H 2 (Q,A) . En pa icula , es o ocu e si Q es un g upo ini o al que Ex (VQ,A) = 0 ( eo ema 3 .1 del capi ulo III), o, ambién, si VQ es lib e de o sión y H 2 (Q,A) es suma de g upos cíclicos ( eo ema 3 .3 del capí ulo III ) Es a memo ia es á dis ibuida en es capí ulos . En el ca- pí ulo I se ag upan las de iniciones y esul ados undamen ales sob e a iedades de g upos y sob e (co)-homología de g upos,que 'necesi o a lo la go del abajo . En el capí ulo II desa ollo la eo ía de ex ensiones con núcleo abeliano en una a iedad V, demues o, pa a a iedades de exponen e ce o, la gene alización del eo ema de los coe icien es uni e sales, ya ci ado, y es udio algunos casos , pa icula es que de él se de i an . En el capí ulo III es udio, po úl imo,las condiciones de pu eza y descompo- nibilidad de la inclusión  V(Q,A)>--jH2(Q,A), en conexión con los esul ados del capí ulo II . En es e abajoapa ecen sin demos ación odos aquellos esul adoscon enidos ya en los lib os o a ículos ci ados-en la bibliog a ía . En la bibliog a ía he ci ado unicamen e los lib os o a ículos que se p ecisan explíci amen e en es e a- bajo . Tengo que exp esa mi ag adecimien o al P o eso D D . Ra aelMallol de la Uni e sidad de Ba celona que p esen a es a memo ia, así como al P o eso D U s S ammbach de la ETH Zü ich po los es ímulos, suge encias e indicaciones que de Al he eci- bido . También a la Eidgen5ssische Technische Hochschule de Zü- ich y al Consejo Supe io de In es igaciones Cien í icas que, median e una beca de in e cambio, me han p es ado su apoyo i- nancie o du an e una pa e de la edacción de es e abajo . I ene Lle ena Ba celona, eb e o de 1977 Capí ulo I MATERIAL PREVIO En es e p ime capí ulo incluyo los concep os y eo emas sob e a iedades de g upos que necesi o a lo la go del abajo, así como una b e e in oducción, sin demos aciones, a la eo ía de homología de g upos y su aplicación al es udio de las ex en- siones de g upos . Pa a más de alles sob e a iedades puede consul a se el excelen e lib o de H . Neumann "Va ie ies o g upos" (11) . Los esul ados de la eo ía de homología es án odos incluidos en el lib o de P .J . Hil on y U . S ammbach "A'cou se in homological al- geb a" (5), o bien en el de U . S ammbach "Homology in g oup heo y" (15) . II  IIF pp  n 11 i n In 11 1 7 , n I .1 . Va iedades de g upos Sea X un conjun o de le as . Designa é po F m el g u- po lib e engend ado po X . Una palab a es un elemen o de F o . Una sucesión ini a de le as x1 ,x 2 , . . .,x n ,x11 , , . x1 de e mina un elemen o = (x l   x n ) en F c y ecíp oca- men e . Se dice, en onces, que es una palab a en n a iables . Si, pa a odo homomo ismo  : F . -jG  de  F c.  en un g u- po G, ( ) = e, se dice que la palab a es una le en G . En gene al, dado un homomo ismo  : F c ,, -a G  y una palab a =  (xl, . . . . x n ),  ( )  se llama alo de   pa a los  alo es a ,  =  (x i),  i  =  1, . . .,n,  de las  a iables,  y  se  esc ibe ( ) = (a l - .,a n ) . Una a iedad de g upos V es una subca ego ia llena de la ca ego ía G de odos los g upos, ce ada al oma subobje os, cocien es y p oduc os ca esianos . Dado un conjun o de palab as' V, las g upos pa a los que odas las palab as de V son leyes o man una a iedad V ; di é que V de ine V . Según un esul ado de G . Hi kho (1935), el ecíp oco ambién es cie o : Toda a iedad V pue- de de ini se de es a o ma a pa i de un conjun o de palab as ( éase (ll)) . de donde esul a Rn[F , F] [F, R] Teo ema 2 .4 . (De los coe icien es uni e sales) Si C es un Q-módulo i ial, las sucesiones 0--1Ex (H n-1 Q,C) -aH ' (Q,C) 'iHom(H n Q,C)--10 0-4 HnQ ® C-iH,(Q,C)-~To (H n-l Q,C)-i 0 son exac as y na u ales . Ambas descomponen aunque, en gene al, no de mane a na u al . Obse ación .- Hay casos, como, po ejemplo, cuando Ces uní- ocamen e 2-di isible, en que las sucesiones exac as de los coe- icien es uni e sales descomponen de mane a na u al . 1 .3 . Ex en siones con núcleo abeliano Una de las p ime as y más impo an es aplicaciones de la cohomología de g upos es la clasi icación de las ex ensiones de un g upo Q y un Q-módulo A po el segundo g upo de cohomo logía . De hecho, es e g upo es conocido desde bas an e an es de que se hicie a un desa ollo comple o de la eo ía de g upos de homología y cohomología en el con ex o del álgeb a homológica a pa i de los un o es To y Ex . Dados un g upo Q y un Q-módulo A, se llama ex ensión de Q po A a una sucesión exac a co a E :  A>-~6 9* Q al que  _h(y .a) = x .h(a) .x -1 , donde  y e Q,  a e A,  y  x e G  con  g(x) = y . El que A sea Q-módulo i ialequi ale a que h(A) es á con enido en el cen o de G, en cuyo caso se dice que la ex- ensión es cen al . Dos ex ensiones E :  A)----) G  i Q E' :  A> ---15 ,  »Q se llaman equi alen es si exis e un homomo ismo  :-G -i G' que haga conmu a i o el siguien e diag ama Obsé ese que, en al caso, es un isomo ismo . La p ime a o mulación de la clasi icación . d e las ex ensio- nes po H 2 (Q,A) se basa en la idea de los sis emas de ac o es . Conside emos una ex ensión E :  A y~ 6-» Q y un sis ema s de ep esen an es de Q en G, es deci , una  unción  s :  Q --9G  al que  gs =  Id Q  ,  s(e)  = e . La unción de inida po q>(x,y) = s(x) .s(y) .s(xy)-1 , un sis ema de ac o es de E . :p puede se in e p e ada como un elemen o del g upo de homomo ismos Hom Q (HZ,A), donde H' designa la esolución s anda d no malizada no homogénea de Q ( e (5)) . Aun más, ip es un cocicla y di e en es sis emas s de ep esen an es de Q dan luga a cociclos .que se di e encian de 9 en'un co- ba de ( e (9) pág . 111) . La ex ensión E de e mina, pues, de mane aúnica una clase de cohomología  [Q] e H 2 (Q,A) . Se es- ablece así una aplicación en e las clases de ex ensiones equi alen es y  H 2 (Q,A),  que esul a se una biyección .  (Véase (15) pág . 24 .)  . El eo ema 2 .1 pe mi e es ablece es a biyección de o a o ma más ú il pa a es e abajo . La sucesión exac a de los cinco é minos en cohomología con coe icien es en A asociada a la ex ensión  E :  A)  )G -1)Q , es a 0- ;H1(Q,A)-->H1(G,A)--4HomQ(A,A) E>H2(Q,A)-->H2(G,A) x, y EQ,  se  llama La imagen po SE de la iden idad de A es p ecisamen e la clase cohomológicaco espondien e a E en la biyección an es es ablecida ((15) págs 18 y sg s) . A con inuación doy sin demos ación una se ie de p oposi- ciones sob e la na u alidad de es a biyección . Pa a las demos- acionesde alladas e (15) . P oposición 3 .1 . El diag ama _es conmu a i o si y sólo si P oposición 3.2 . E' :  A'--i G'--iQ a .  :  H2 (Q,A) -jH 2 (Q,A')  es el  homomo ismo inducido po (y , a -E y E' espec i amen e . son las clases cohomológicas co espondien es 06áAi esé que, en al caso,  G'  es el push-ou de los ho- momo ismos  A' -IG'  ya  En adelan edesigna é po  E la ex ensión E' así cons uida . El diag ama E :  A )  )G -» Q E : Ay --)G --H Q a .([-PI) = [-P'] , donde es conmu a i o si y sólo si  *([W]) _ [ÑI , donde 22 Q,A) -jH 2 H  (Q,A)  es á inducido po  , y [ pl , son las clases cohomológicas co espondien es a E y E es- pec i amen e . . Obsé ese que, en al caso, G es el pull-back de los ho- momo ismos G---->Q y Í~ - En adelan e designa é po EP la ex ensión E así cons uida . P oposición 3 .3 . Dado E : E' :  A 1 ) ---o G ' - :» Q exis e  : G -->G'  que haga conmu a i o el diag ama si y sólo si  *([~]) _  * ([w']) , donde  ip  y 9' son las clases cohomológicas de E y E' espec i amen e . En es e caso, los posibles homomo ismos  : G -!G'  es án en co espondencia bi- yec i a con las de i aciones  d :  Q -----~A . La p oposición que sigue nos da in o mación sob e el homo- mo ismo n del eo ema 2 .4 de los coe icien es uni e sales en el caso n = 2, elacionándolo con la sucesión exac a de los cinco é minos . P oposición 3 .4 . Sea  E :  N>  )G --»Q  una ex ensión cen al de Q . Sea n como en el eo ema de los coe icien es uni e sales y S* Hz G --->H ZQ -~ N -~Gab-a Qab-i 0 la sucesión homológica de los cinco é minos asociada a E . Si [9P] e  H 2 (Q,N)  es la clase cohomológica de  E,  se e i ica Pa a la demos ación e (15), Según las p opiedades de n ([ p])  se de inen a iasclases de ex ensiones cen ales de Q - Si  n [ p] =0, la ex ensión  E  se llama una ex ensión conmu ado a . - Si R [9>] es un epimo ismo,  E  se llama una ex ensión "s em" - Si  n [(p]  es un isomo ismo,  E  se llama un ecub imien - o "s em" . La siguien e, p oposición es casi inmedia a : P oposición 3 .5 . Sea  E :  N)  > G --»Q  una ex ensión cen al de  Q .  Las siguien es condiciones son equi alen es : a)  E es una ex ensión "s em", b)  G ab - Q ab , c)  N es á con enido en el conmu ado de G . Pa a un a amien o comple o de es as ex ensiones puede consul a se (15) capí ulo V . Capí ulo II EXTENSIONES CON NUC LEO ABELIANO EN UNA VARIEDAD El in en o de de inición de los un o es V y V como gene alización de  Hz y  H 2  a a iedades de g upos a bi a ios da a de mediados de es e siglo . Desde un p incipio se sabía que las clases de ex ensiones con núcleo abeliano de un g upo con enidas en una a iedad V o maban, con la suma de Bee , un g upo abeliano . Las p ime as de iniciones de los un o es Vy V se encuen an en los abajos de M . Ge s enhabe (3) y J . Knop mache (6) . Pos e io men e, a ios au o es, J . Beck, M . And é, F . Bachmann, M . Ba , G .5 . Rineha , F . Ulme , han dado de iniciones de eo ías de homología en ca ego ías muy ge- ne ales que no sólo dan luga a un o es V y V, sino a un- a es co espondien es a los g upos de (co)-homología en dimen- siones supe io es . Ninguno de es os au o es, sin emba go,hace e e encia al caso pa icula de las a iedades de g upos . Po p ime a ez U . S ammbach en (14) da una de inición de VyV pa a a iedades de g upos y C . Leedham-G een es udia en (8) con de alle las eo ías homológicas ca eno iales en el caso de a iedades de g upos . II, .1 . Los g upos V(Q,A) y V(Q,B) Sea V una a iedad a bi a ia, Q un g upo de V y A y B Q-módulos po la izquie da y po la de echa espec i- amen e . Sea : F -H Q una p esen ación V-lib e de Q . Se de inen V(Q,A) = Ke ( * : H2 (Q,A) ->H 2 (F,A)) V(Q,B) =  Coke ( * : H2 (F,B) --) H2(Q,B)) Demos a emos, an e odo, que es osg upos no dependen de la p esen ación lib e  : F -)Q  conside ada . ' : F'--+Q o a p esen ación V-lib e de Q . h y h' que hacen conmu a i o el iángulo Po la an o, ob enemos 'un diag amaconmu a i o de g upos de cohomplo,gía En e ec o, sea Exis en mo ismos H 2 (Q, A) de donde  Ke * = Ke h* '* :> Ke '*  y ice e sa Ke '* Z> Ke * , lo que demues a la igualdad . De la de inición esul a inmedia amen e que en la a ie- dad G de odos los g upos V(Q,A) = H2(Q,A) V(Q,B) = H2(Q,B) . También esul acla o que si F es V-lib e, en onces V(F,A) = 0 y Veamos, aho a, el compo amien o de V y V espec o de la p ime a y segunda a iables . ismo V(F,B) = 0 . si  a : A -1A'  es un mo ismo de Q-módulos,  el homomo - * : V(Q,A) ->V(Q,A')  es á de inido po el diag ama 0-!U(Q,A)- % H2(Q,A)--jH2(F,A) I . I i a*  2 c *  2 °* 0--->V(Q,A' )-)H (Q,A' )--->H (F,A' ) Si  g : Q -- !Q'  es un homomo ismo de g upos y : F -- .» Q ",  ' : F' -~ Q'  son p esen aciones V-lib es de y, po lo an o, en i ud de ii) del eo ema 2 .3 ., A es de la ca ego ía de los núcleos abelianos . 11 .3 . Una su cesión exac a En es e apa ado supongo siemp e que V es una a iedad de exponen e ce a, , es deci que  Ab C .  Resul a, en onces, como consecuencia inmedia a del eo ema 2 .3 . y de la p oposi ción 2 .4 ., la siguien e p oposición . P oo ósición 3 .1 . En una a iedad V de exponen e ce o exis en siemp e ex ensiones cen ales de un g upo  GeV  po un g upo abeliano cualquie a A y dichas ex ensiones es án clasi icadas po el g upo V(G,A) . Po ejemplo, en la a iedad N  de los g upos nilpo en es de clasemeno o igual que c, que es de exponen e ce o, sabe- mos que las ex ensiones cen ales de Ge N  po un g upo abeliano A, - c la misma clase que G, o de classe meno (es ic amen e) que e i ican que E es de +l . Cuando es c odas las ex ensiones cen ales es án en N c y podemosasegu a , po an o, que V(G,A) = H2(G,A) . Si = c, las ex ensiones de clase +1 no son de N . Z En al caso, (G,A) clasi ica las ex ensiones nilpo en es de clase c del g upo G po A, V(GA) C H2 (G,A) y A i maciones análogas se aplican, po ejemplo, a la a ie- dad de los g upos esolubles de longi ud 1 . Me p opongoes udia la inclusión V(6, A) >-~ H2(G,A) . Sea  R)-->F»G_ una p esen ación V-lib e del g upo G . Puedo esc ibi , en onces, el diag ama Ex (G ab ,A) -1Ex (F ab ,A) i  2 ~  2~ V(G,A)~ .iH (G,A) -- 1 H (F,A)  (8) W  y Hom(H 2 G,A)- 9 >Hom(H 2 F,A) cuya conmu a i idad esul a de la na u alidad del eo ema de los coe icien es uni e sales . Aho a bien, po se V de expo- nen e ce o,  F ab  es un g upo abeliano lib e,  po lo que Ex (F ab ,A) = 0 y, además, H 2 (F,A) - Hom(H2F,A) . Po o a pa e, en la sucesión exac a de homología de los cinco é m_-ios co espondien e a la p esen ación  -, -4 F-* G H 2F -) H2 G  R1-> F ab -aG ab -i0 se iene que Coke (HZ F--4H 2 G) = VG  es independien e de la p esen ación V-lib e de G . Po an o I = Ke (H2 G ->R/[F,R]) = Ke (H 2 G ->VG) es, ambién, independien ede dicha p esen ación . Se iene, pues, un diag ama de sucesiones exac as K --)H 2 F -- .>H 2 G --+R/[F,RI-~Fab-- .--)Gab-i0 donde K = Ke (H2F--->H2G)  depende de la p esen ación . Aplicando aho a el un o Hom(-,A) a las sucesiones exac as co as I » H 2G --p)VG se ob iene el siguien e diag ama conmu a i a : Hom(VG,A)-i Hom(H 2 G,A)-4Hom(I,A)-4Ex (VG i  2 1  1 J V(G,A) >-i H (G,A)  Hom(H 2 F,A) V(G,A»-±-4H 2 (G,A) -!Hom(H 2 F,A) Ex (G ab ,A)=Ex (G ab ,A) Ex (I,A) A)--iEx (H2 G Ex (G ab ,A)=Ex (G ab ,A)  Hom(K A)  (*) donde las dos p ime ascolumnasconmu an en i ud de la demos- ( eo ema 1 .2 .) . Po o a pa e, la aplicación A)--»Ex (I,A) acidn del eo ema de los coe icien es uni e sales pa a V Hom(H 2 G,A) ->Hom(I,A) w l Hom(H 2 F,A) no es o a que la aplicación  g  en el diag ama  (8 ) .  Exis e, po an o, una aplicación de H 2 (G,A) en H2 (F,A) _ Hom(H2F,A) que hace conmu a i o el diag ama Hom(VG,A)---+Hom(H z G,A)-4Hom(I,A)->Ex (VG,A)-->Ex (H 2 G,A)-*Ex (I,A) As!, pues, la sucesión es exac a . Teo ema 3 .2 . Im (H2(G,A)--~>Hom(H2F,A)) (j - j Hom(I,A) y exis e  una  nnLicacián de  H2 (G,A)  en  Hom(I,A)  ze  o ma  que V(G,A)>-~H2(G,A)-~ Hom(I,A)--->Ex (VG,A)---j>Ex (H 2 G,A) -*Ex (I,A) (Obsé ese que,  po se  H 2 (G,A) -i Hom(H 2 G,A)  exhaus i a, Im  (H2(G,A)----)Hom(I,A))  =  Im  (Hom(H2G,A)--> Hom(I,A))  = y, po se j injec i a, Im i = Ke (H2{G,A)-yHom(H2F,A))= = Ke (H2 (G,A)--~Hom(I,A)- 2 4Hom(H 2 F,A)) .) He demos ado, así, el Sea  V una a iedad de exponen e ce o,  Gc V y  A  un g upo abeliano . La sucesión = Ke (Hom(I,A)-4Ex (VG,A)), V(G,A)Ñ H2 (G,A) -9Hom(I,A)--->Ex (VG,A)--4Ex (H 2 G,A)-* Ex (I,A)  , donde  I = Ke (H2 G--4VG), es exac a y na u al . 11 .4 . Ejemplos V casos pa icula es 1)  Exis enalgunos casos e que se sabe que H 2 G = 0 . Po ejemplo, cuando odos los p-subg upos de Sylow de G son cíclicos o (pa a p = 2) cua e niónicos gene alizados, G iene cohomología pe iódica y, en pa icula , H 2 G = 0 ( éase (1), cap . XII) . Asimismo, pa a los g upos de nudos H2 G = 0 ((15) pág . 90) . En o os casos, aunque H2 G { 0, se anula Hom(H 2 G,A) ; po ejemplo, siemp e que Ges ini o de o den m, H 2 G es de o sión y m H2 G = 0 ((5) pág . 227) . Po lo an o, si A es lib e de o sión o de o sión p ima con m, esul a Hom(H 2 G,A) =0 . En odos es os casos V(G,A) aH 2 (G,A) -- Ex (Gab,A) es deci , "las ex ensiones cen ales de G es án odas en V y p oceden odas, median e pull-back, de ex ensiones abelianas de  G ab" . 2)  Análogamen e, cuando Hom(VG,A) = 0 V(G,A) -- Ex (Gab,A) es deci , "las ex ensiones cen ales de G en V p oceden o- das, median e pull-back, de ex ensiones abelianas de Gab Es e es el caso, po ejemplo, de las ex ensiones de un g upo G que admi a una p esen ación con n<a gene ado es y elaciones, si G ab es á gene ado po n elemen os, siemp e que la a iedad V e i ique que odos los g upos V-lib es sean esidualmen e nilpo en es y de exponen e ini o p, pa a odo p imo p . En e ec o, en al caso VG = 0 ((15) pág . 89) y, en pa icula , Hom(VG,A) = 0 . Ejemplos de ales a iedades V son G , N , los g upos esolubles y los g upos polinilpo en es . 3)  Si A es un g upo di isible (inyec i o!), V(G,A)>--iH2(G,A) -»Hom(I,A) es exac a . (Consecuencia inmedia a del eo ema 3 .2 .) 4)  Conside emos, aho a, la a iedad, N de los g upos nilpo en es de clase 4 c . Sea S> --->F --y G una p esen ación absolu amen e lib e de G . El que G sea de N  equi ale a deci que  S Z> Fc+1'  Po o a pa e,  F/F c+l es nilpo en e lib e y R = S/F c+1 > - }F/F c+1 -~» G es una p esen ación N .-lib e de G De F c +l F c+1 S -~ F R  >  > F/Fc+l-~1 G De la  ó mula de Hop ,  H 2 5  =  5 n [F,F  ,  se deduce [F,S] H2(F/Fc+l) - Fc+1/Fc+2 y es e g upo es abeliano lib e ( e (1D), pág . 342) . K>->H2(F/Fc+l)---->H2G---,,R/[F/Fc+l'R .)  iFab ->G ab ---1 . 0 -, .* A/  " l ~ esul a, en onces, VG = Im Sn[F,F]  S  _  Sn [F,F] -i [F,5]  [F, S] .Fc+1  [F,5] .F c+1 independien e de la p esen ación, I  =  5n [F, F]  _-~  S  -  £F,5 ] .F c +Ke (  l [ F,5 ]  [ F,5 ] .F c+1 /  [F'SI independien ede la p esen ación, K = Ke  F c+1 _~ [F, S] ' Fc +l  - [ F, S] nF c+ ( 1 F c+2  ~F,S  Fc+2 abeliano lib e . Como ya obse é en el apa ado an e io (II .3), V(G,A) coincide con  H 2 (G,A)  siemp e que  G  es de clase  /, c .  Su- pongo, po an o, que G es de clase c, es deci que se e- i ica  Fc  ~  5 . Caso  F c+l C S C F En onces  [F,S] C F .+l g upo abeliano lib e . Po an o,  Ex (VG,A) = 0  y del eo e- me 3 .2 . esul a que es una sucesión exac a co a . V(G,A) >--- !H2(G,A) ~! Hom(I,A) En es ecaso F /S> --- !F/S = G -»F/F c  c 5 F y  VG = - F  c Fc  es un c+1 c+1 y  G ab = F a b'  En o as palab as :  G  es una ex ensión "s em" de un g upo  N c l_ lib e .  Po o a pa e,  pues o que  G  es ¡me-' - gen epimó ica de F/F c+1' G posee un sis ema de gene ado es con a lo sumo  n = ango F  elemen os .  Pe o  G ab = Fa b,  po an o, G posee un sis ema de gene ado es con exac amen e n elemen os . Recíp ocamen e :  Sea G una ex ensión "s em" de un g upo N c-1 -lib e . F/F c de ango n . Supongamos que G es á gene ado po exac amen e n gene ado es . En onces, exis e g : F --) G  al que A >--~ G -~ F/F c conmu a,  y  S>--iF ) G  es una p esen ación absolu amen e lib e de  G  con  SC Fc Con o as palab as : Los g upos incluidos en es e caso son p ecisamen e las ex ensiones "s em" de g upos N c-l -lib es F con ango F = núme o de gene ado es de G . Obse ación : Si  F c+1 :) I F,S ] , [ S/F c+l ,F/F c+1J -0y, po an o, S/F c+1 es del cen o de F/Fc+1" Es e cen o es, p ecisamen e, Fc/Fc+1 ( e (10), pág . 347, eje cicio 5) ; así, pues, esul a S/Fc+1 C F c /F c+l '  de donde  S C Fc .  Po an o, 5 C Fc <~  IF SI <Z Fe,_ 1 . Caso  F c+1 C LF,5] Es ecaso ocu e si y sólo si I = 0, y ambiéncoincide con el caso en que H 2 G = VG . En onces, Un p ime c i e io de pu eza nos lo da el siguien e eo ema de P .J . Hil on y A . Deleanu (4) : Teo ema 2 .1 . Sea  0 --> R --~5 -4 T --+0  una sucesión exac a de un o es adi i os  C -9 Ab , donde  C  es la ca ego ía  Ab  de los g u pos abelianos o bien la ca ego ía  Ab 2  de los g upos abelianos sin 2- o sión . Si T es exac o po la izquie da, la sucesión 0 - 4 R(A)-~S(A)-- .i T(A)--j 0 es exac a y pu a pa a odo  A c C . El eo ema se aplica, en pa icula , a la sucesión de los coe icien es uni e sales pa a cohomologia Ex (G ab ,A) > -~ H2 (G,A)--*Hom(H 2 G,A) Po o a pa e, sabemos aunmás : la sucesión, de hecho, descom- pone . Es e caso incluye el monomo ismo (*) pa a V = Ab , ya que, en onces, V(G,A) = Ex (G,A)_ En el caso gene al, la si uación es la siguien e : Se iene una sucesión exac a de un o es V(G,-)}-jH2 (G,-)-oyT(-)  = Coke i(-) . H 2 (G,-)  es adi i o,  ya que se a a de un un o de i ado de Hom G (Z,-) . Veamos que V(G,-) es adi i o . En e ec o, po de inición de V(G,- V(G,-)y-->H2(G,-)-DH2(F,-) es una sucesión exac a de un o es, dond  F---HG  es una p e- sen ación V-lib e de G . Es a p esen a ión inducehomomo is- mos de cohomologia dad de H 2 (G,A ® H) -1  H 2 ( A ® H) H2 (G,A) e) H2 (G,H) ----~ H2 (F,  ) ® H2(P,H) La conmu a i ídad de es e diag ama se de'uce de la conmu a i i- Hom(P G ,A ® B) -1 Hom PF,A ®D) z Hom(P G ,A) ® Hom(P G ,H) --1 Hom(P 1  A) (D Hom(PF,H)  , donde PG y PF son esoluciones G- 1 F- p oyec i as de Z, espec i amen e . Del p ime diag ama esul a, en onc_ ;, V(G,A ®H) -- V(G,A) ® V(G,D) . El eo ema de Hil on-Deleanu se apl .a á, pues, siemp e que T sea exac o po la izquie da (lo , .je implica la adi i i- dad! ) . Es e no es, desg aciadamen e, e .'_ caso gene al,pe o si que T es exac o po la izquie da siemp e que ya que, en onces, el 1 - o_ema 3.2 . del capi ulo II nos dice que Teo ema 2 .2 . Ex (VG,A) = 0 V(G,A) ~ . iH 2 (G,A)»Hom(I,A) es una sucesión exac a y, pa an o, T = Hom(I,-) es un un- o exac o po la izquie da . En pa icula , Si Ges un g upo nilpo en e de clase c que admi e una p esen ación lib e  G = F/S  con  Sc F  ,  V(G,A)  es un sub- c g upo pu o de H2 (G,A), pa a odo g upo abeliano A . En e ec o, imos en 11 .4 . que, en al caso, VG es un g upo abeliano lib e ; po an o, Ex (VG,A) =0 y puedeapli- ca se el azonamien o an e iio . O o c i e io de pu eza es el dado po el Teo ema 2 .3 . Si VG es lib e de o sión, en onces V(G,A) es un subg u- po pu o en H 2 (G,A) . La demos ación del eo ema hace uso de algunos esul ados de III .1 y del siguien e lema Lema 2 .4 . Si  A> a -->H Í "" C  es una sucesión exac a con  A pu o en H, en onces en Obsé ese, en p ime luga , que Im a C Ke gp = Ke pn~ C Ke y , de donde  p n a (A) C Ke ~ . Po o a pa e,  pues o que  a A  es pu o en  H,  en i ud n de la p oposición 1 .1 .(ii), esul a que  aA / p aA es pu o en H / p n aA  y,  po se  aA / p n aA  un subg upoaco ado,  es su- mando di ec o ( eo ema 1 .2 .) Sean y Hom(C,D) > - -- > Hom(H,D) -- 2 ~4 Hom(A,D) P * (Hom(C,D))  es pu o en  Hom(H,D) . Demos acidn del lema : Sean p c Hom(C,D)  y  0c Hom(H,D) ales que H/p n aA = aA / p n aA ®H'/ pn aA . es deci n :  H / p n aA -> H'/ pn aA  la p oyección canónica ' . :  H'/ p n aA --> D  al que  o ' (b'+ p n A) = 0(b') . 0' es ábien de inida ya que, según he is o an e io men e n paA C  Ke V . De ino  d) : D--jD po  m (b)  n (b+ p n aA) Se iene, en onces p n <D _ pn~  y  aA c Ke m , lo que implica la exis encia de una aplicación al que Po an o * O p n (p * O ) = pn,, = p n . =  p*(4P) con lo que queda demos ado el lema . Demos ación del eo ema 2 .3 . : De la sucesión exac a co a I  ~H 2 G --p»VG se deduce que si VG es lib e de o sión, I es pu o en (III .1 .),  y,  en i ud del lema an e io ,  p *Hom(VG,A)  es pu o en Hom(H 2 G,A) . Conside emos el diag ama conmu a i o Hom(VG,A)> p* V(G,A) > Hom(H 2 G,A) H2 (G,A) Ex (G ab ,A) = Ex (Gab,A) Las sucesiones e icales( eo emas de coe icien es uni e sales pa a Vy H 2 ) descomponen ( eo emas 2 .4 . y 1 .2 de los capi- ulns I y II espec i amen e), y, en pa ic .la , Ex (VG,A) es pu o en G(G,A) y en H2 (G,A) . La p oposición 1 .1 .(iii) ase- gu a, en onces, que ¡V(G,A) es pu a en H 2 (G,A), con lo que el eo ema queda demos ado . 111 .3 .  Casos  en  que  V(G .A)  es  sumando di ec o de  H2(G .A) Al inal del capí ula II, en el eo ema 4 .1 ., demos é que, en la a iedad N  de los g upos nilpo en es de clase < c, si A es abeliano lib e, la sucesión exac a V(G,A»  i iH 2 (G,A)-Ñ Coke i descompone, pa a odo Ge N . Me p oponga, aho a, da algunas condiciones sob e G en las que la sucesión exac a an e io descompone . Teo ema 3 .1 . Si G es un g upo ini o al que Ex (VG,A) = 0, la sucesión es exac a y descompone . V(G,A) ,- l ~ H 2 (G,A)--» Hom(I,A) Demos ación : Sea  m  el o den de  G,  Se sabe que,  en onces,  mH 2 (G,A) Se anula y, en pa icula , ii(G,A) es aca ado . Po o a pa e, en 111 .2 . demos é que Ex (VG,A) = 0 implicaba que ig(G,A) e a un subg upo pu a de H2 (G,A) y que la sucesión del enunciado e a exac a . Has a,aho a, aplica el eo ema 1 .2 . Teo ema 3 .2 . Si Ex (VG,A) = 0 y H 2 (G .,A) cíclicos (en pa icula , si es ini amen e gene ado), en onces la sucesión V(G,A» --1-y H 2 (G,A) - .»Hom(I,A) es exac a y descompone . Demos ación : Como en el eo ema an e io , Ex (VG,A) = 0 implica que la sucesión es exac a e iV(G,A) es pu o en bien, si H 2 (G,A) la se á Hom(I,A) 1 .3 ., esul a que la sucesión descompone . Teo ema 3 .3 . es suma di ec a de g upos H 2 (G,A) . Aho a es suma di ec a de g upos cíclicos, ambién ( eo ema de Kuliko ) y, aplicando el eo ema Si VG es lib e de o sión y H 2 (G,A) es suma di ec a de - g upos cíclicos (en pa icula , ini amen e gene ado), en onces la sucesión V(G,A)  1j H2(G,A)-»T(A) es exac a y descompone . 111 .4 . Conside aciones inales En el análisis de la descomposición de la sucesión exac a 9(G,A)>---i H2 (G, A) -»T(A) he es udiado, como p ime a ap oximación, cuándo iV(G,A) es 2 un subg upo pu o de H (G,A) . Una de las condiciones su icien- es pa a ello e a que el un o T ue a exac o po la izquie - da sob e odos los g upos abelianos o sob e los g upos abelianos sin 2- o sión ( eo ema de Hil on-Deleanu) . He hecho obse a que es o no es cie o pa a cualquie a iedad de exponen e ce o . Un p oblema in e esan e a es e espec o es es udia pa a qué a- iedades V el un o T es exac o po la izquie da, o bien (lo que "casi" es equi alen e), cuándo T es un un o Hom(J,-) pa a un cie o J cocien e de nues o I . Po ejem- plo, pa a V .= Ab, T es, p ecisamen e, Hom(H 2 G,-) con H 2 G =I . Pa ece p obable que pa a V = N  es e esul ado pue- da gene aliza se, pe o, has a el momen o, la cues ión sigue abie a . Un g upo abeliano se llama inyec i o pu o (o algeb aica- men e compac o) si, pa a odo monomo ismo  A j--9H  con j(A)  pu o en  H,  odo homomo ismo  A ->G  puede ex ende se a H descompone . En los casos en que ¡V(G,A) es pu o en H 2 (G,A), si V(G,A) es, además, inyec i o pu o, la sucesión exac a U(G,A_)~-~ H 2 (G, A) -»T(A) Va ios c i e ios pe mi en de e mina si V(G,A) es inyec- i o pu o : a)  V(G,A) es inyec i o pu o si y " s61o si es sumando di- ec o de un p oduc odi ec o de g upos cocíclicos (Fuchs (2)) . Las g upos cocíclicos son los g upos  Z(p k )  con  p  p imo  y k = 1,2, . . . o om . b)  Si V(G,A) es lib e de o sión, en onces es inyec i o pu o si y s61o si es de co o si6n . Un g upo abeliano C se dice de co o si6n si y sólo si Ex (Q,C) = p . En la a iedad de los g upos abelianos Ab V(G,A) = Ex (G,A) es siemp e de co o si6n . Un p oblema in e esan e es es udia en qué a iedades V(G,A) es de co o si6n (pa ece na u alespe a lo pa a 1 = N ) . En es as a iedades, es deci , cuando V(G,A) es de co o sión, puede u iliza se el siguien e c i e io : "V(G,A) es inyec i o Du o si y sólo si su p ime subg upo de Ulm nn V(G,A) es di isible" . n En pa icula , pa a la a iedad Ab, el p ime subg upo de Ulm de V(G,A) = Ex (G,A) es, p ecisamen e, el subg upo Pex (G,A) de las ex ensiones pu as de G po A (Nunke (12), es deci , de las ex ensiones donde  A es un subg upo pu o de E . El concep o de pu eza es á de inido, únicamen e, pa a sub- g upos de g upos abelianos, y, po an o, no puede habla se de ex ensiones pu as sino den o de la a iedad Ab . Sin emba go, una gene alización al caso de a iedades nilpo en es N  no p esen a di icul ades o males se ias . El hecho de que las ex ensiones pu as en  N  coincidan con el p ime subg upo de - Ulm de V(G,A) no pa ece i ial .