Razonamiento y aprehensión ante una tarea geométrica: análisis de la pertinencia didáctica de una trayectoria de aprendizaje en educación infantil

ISSN 1980-4415
DOI: h p://dx.doi.o g/10.1590/1980-4415 36n72a15
Bolema, Rio Cla o (SP), . 36, n. 72, p.332-357, ab . 2022 332
Razonamien o y ap ehensión an e una a ea geomé ica: análisis
de la pe inencia didác ica de una ayec o ia de ap endizaje en
educación in an il
Reasoning and unde s anding in he esolu ion o a geome ic ask: analysis
o he didac ical pe inence o a lea ning ajec o y in ea ly childhood
educa ion
Ainhoa Be ciano*
ORCID iD 0000-0001-7399-4745
Cla a Jiménez-Ges al**
ORCID iD 0000-0003-1766-2855
Ma ía Salgado***
ORCID iD 0000-0002-0309-241X
Resumen
En es a in es igación se analiza la pe inencia didác ica de una ayec o ia hipo é ica de ap endizaje diseñada pa a
omen a la ap ehensión y azonamien o geomé ico en ap endices de cua o y cinco años cuando ealizan a eas
elacionadas con el concep o de cilind o. Pa a ello, se ha diseñado e implemen ado una ayec o ia hipo é ica de
ap endizaje en un aula de Educación In an il con un o al de diecinue e in an es. Pos e io men e, se ha
seleccionado una mues a de cua o niñas y cua o niños y se ha analizado su discu so, eniendo en cuen a como
a iables de análisis los ipos de ap ehensión de Du al y las ca ac e ís icas de los ni eles 1 y 2 de Van Hiele. Los
esul ados mues an que las niñas y niños desa ollan dis in os i ine a ios de ap endizaje, que a ían,
p incipalmen e, en e la ap ehensión pe cep i a y discu si a y el ni el 1 y cie as ca ac e ís icas del ni el 2 de Van
Hiele, y que mues an lujos de e olución muy dis in os, pe o en odos los casos con una e olución a o able, po
lo que se a i ica la pe inencia didác ica de la ayec o ia hipo é ica de ap endizaje diseñada.
Palab as cla e: Ap ehensión. Ni eles de Van Hiele. Educación In an il. T ayec o ia hipo é ica de ap endizaje.
Geome ía.
Abs ac
* Doc o a en Ma emá icas po la Uni e sidad de Se illa (US). P o eso a en la Facul ad de Educación de Bilbao de
la Uni e sidad del País Vasco/Euskal He iko Unibe si a ea (UPV/EHU), Bizkaia, España. E-mail: ainhoa.be -
[email protected].
** Doc o a en Ma emá icas po la Uni e sidad de La Rioja (UR). P o eso a en la Facul ad de Le as y de la Educa-
ción de la Uni e sidad de La Rioja (UR), Log oño, España. E-mail: cla a.jimen[email p o ec ed].
** Doc o a en Ma emá icas po la Uni e sidade de San iago de Compos ela (USC). P o eso a en el CEIP Sigüei o
y en la Facul ade de Educación (FE) de la Uni e sidade de San iago de Compos ela (USC), San iago de Compos-
ela, España. E-mail: ma [email p o ec ed].
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This esea ch analyses he didac ical ele ance o a hypo he ical lea ning ajec o y designed o encou age
geome ic unde s anding and easoning in ou - and i e-yea -old child en in asks ela ed o he cylinde concep .
To his end, a hypo he ical lea ning ajec o y has been designed and implemen ed in a class oom o Ea ly
Childhood Educa ion wi h a o al o nine een child en. Subsequen ly, a sample o ou boys and ou gi ls we e
selec ed and he answe s gi en o he eache we e analysed, conside ing as analy ical a iables he ypes o
unde s anding de ined by Du al and he cha ac e is ics o le els 1 and 2 o Van Hiele. The esul s show ha
child en de elop di e en lea ning i ine a ies, which a y mainly be ween pe cep i e and discu si e unde s anding
and le el 1 and ce ain cha ac e is ics o le el 2 o Van Hiele, showing e y di e en e olu ion lows, bu in all
cases wi h a a ou able e olu ion, hus con i ming he didac ical ele ance o he hypo he ical lea ning ajec o y
designed.
Keywo ds: Unde s anding. Van Hiele le els. Ea ly Childhood educa ion. Hypo he ical lea ning ajec o y.
Geome y.
1 In oducción
A la ho a de abo da la enseñanza-ap endizaje de la ma emá ica, uno de los ac o es que
deben ene se en cuen a es el concep o de ayec o ia hipo é ica de ap endizaje, é mino que
según Con ey y Maloney (2014) ue o iginalmen e in oducido po Simon (1995) y hacía
alusión a un modelo eó ico c eado po el p o eso ado ace ca del desa ollo del en endimien o
mos ado po cada es udian e sob e un concep o ma emá ico jun o con una se ie de ac i idades
diseñadas pa a a o ece el ap endizaje dia io del u u o alumnado.
Ac ualmen e, den o de las dis in as acepciones que iene una ayec o ia hipo é ica de
ap endizaje, es a puede se en endida como un cons uc o pedagógico en el que deben
de e mina se los dis in os ni eles de ap endizaje. Es o es,
Una ayec o ia hipo é ica de ap endizaje cons a de es pa es: un obje o de
ap endizaje (concep o ma emá ico que debe se ap endido po el alumnado), un
desa ollo p og esi o o un i ine a io de ap endizaje a a és del cual los niños y las
niñas se mue en po dis in os ni eles de azonamien o y una ins ucción, que les
ayude a mo e se a a és de dicho i ine a io. De modo más gene al, una ayec o ia
de ap endizaje es un conjun o de indicaciones y desc ipciones eó icas sob e el
pensamien o ma emá ico, asociando a es e cie as acciones y azonamien os
dependiendo de la edad y el á ea de conocimien o ma emá ico que se a e (SARAMA;
CLEMENTS, 2009, p. 17).
Teniendo en cuen a la de inición de ayec o ia hipo é ica de ap endizaje, es cla o que
es a esul a muy ú il an o a ni el eó ico como a ni el docen e pa a pode guia el ap endizaje
ma emá ico y e alua la u ilidad de un diseño me odológico u o o, de acue do con el obje i o
p e iamen e ma cado.
Así, cuando nos cen amos en es udios de in es igación elacionados con ayec o ias
hipo é icas de ap endizaje, encon amos muchos abajos ele an es ela i os a es udian es
adolescen es que se encuen an cu sando enseñanza secunda ia. Po ejemplo, en A anda y
Callejo (2017), as diseña la ayec o ia hipo é ica de ap endizaje asociada al concep o de
in eg al de inida, las au o as ca ac e izan la adquisición del concep o de ap oximación al á ea
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de una supe icie bajo una cu a en un expe imen o de enseñanza usando apple s.
Po o a pa e, pa a la o mación de p o eso ado de educación p ima ia muchas
in es igaciones u ilizan las ayec o ias hipo é icas de ap endizaje de concep os ma emá icos
como con enido cla e de didác ica de la ma emá ica. De es e modo, usando la idea de
ayec o ia hipo é ica de ap endizaje pa a el diseño de ac i idades- a eas en la o mación de
p o eso ado, analizan el desa ollo de la capacidad docen e, an o a ni el de con enido
ma emá ico como de con enido de didác ica de la ma emá ica (CALLEJO; ZAPATERA, 2017;
SNCHEZ-MATAMOROS; FERNNDEZ; LLINARES, 2015).
Sin emba go, pa a el caso de educación in an il, a pesa de encon a di e sas
in es igaciones que han es ablecido cie as ayec o ias hipo é icas de ap endizaje asociadas a
ámbi os de la ma emá ica que deben abaja se y adqui i se en edades emp anas (CLEMENTS;
SARAMA, 2009), hemos de econoce la di icul ad de es ablece de modo conciso es os
i ine a ios de ap endizaje, lo que da luga a una al a de conc eción en la mayo ía de los casos.
Aun así, en es e a ículo, p e endemos analiza la pe inencia de una ayec o ia
hipo é ica de ap endizaje explíci amen e diseñada pa a abaja concep os geomé icos
asociados a obje os idimensionales en el segundo ciclo de educación in an il, especialmen e
con niños y niñas de cua o y cinco años, es deci , que emos analiza si la ayec o ia hipo é ica
diseñada es adecuada y si e de base e icaz pa a la Educación In an il (CLEMENTS; WILSON;
SARAMA, 2004). Es o es, si es ablece un i ine a io de ap endizaje y enseñanza de obje os
idimensionales y pe mi e sabe , con an e io idad a su implemen ación, las dis in as e apas de
desa ollo cogni i o de los niños y las niñas de es a edad, cuando se en en an a ac i idades que
omen an su azonamien o geomé ico.
Pa a al in, as el diseño de una ayec o ia hipo é ica de ap endizaje asociada a un
obje o ma emá ico idimensional co idiano como el cilind o y su pos e io implemen ación en
el aula de Educación In an il, analizamos la pe inencia y alidez de es a a a és del ipo de
ap ehensión y de azonamien o geomé ico (po medio de los ni eles de Van Hiele) que
mues an en sus a gumen aciones niñas y niños con edades comp endidas en e los cua o y
cinco años.
2 Ma co eó ico
En es e apa ado, desa ollamos los ma cos eó icos en los que basamos nues a
in es igación: la ap ehensión de Du al (1998), los ni eles de comp ensión de la geome ía de
Van Hiele (VAN HIELE, 1999), las ayec o ias hipo é icas de ap endizaje (SARAMA;
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CLEMENTS, 2009) y los expe imen os de ap endizaje (MOLINA e al., 2011).
Pa a comenza , nos cen amos en la ap ehensión, en endida como el ac o de cap a la
o ma de las cosas sin hace juicio de ellas, o sin a i ma ni nega . Con es a de inición en men e,
según Du al (1998), se pueden de ini es ipos de ap ehensión: 1) ap ehensión pe cep i a (P),
ca ac e izada po la iden i icación simple de una con igu ación; 2) ap ehensión discu si a (D),
de inida po el es ablecimien o de asociaciones en e la con igu ación dada y a i maciones
ma emá icas; y 3) ap ehensión ope a i a (O), ca ac e izada po la ealización de modi icaciones
men ales o ísicas de la con igu ación o iginal.
Igualmen e, Du al (1998) plan ea la di icul ad de la enseñanza de la geome ía debida
a la complejidad cogni i a que p esen a la ac i idad geomé ica. Desc ibe es ipos de p ocesos
cogni i os implicados: p ocesos de isualización, que hacen e e encia a mi a la
ep esen ación espacial pa a la ilus ación de una idea o pa a la explo ación heu ís ica de una
si uación compleja; p ocesos de cons ucción con he amien as, que pueden se i pa a
modeliza cómo las acciones se elacionan con los obje os ma emá icos; p ocesos de
azonamien o, en elación al p oceso discu si o de ex ensión del conocimien o. Aunque es os
es p ocesos es án ue emen e conec ados, y es p eciso que se desa ollen pa alelamen e pa a
la compe encia en geome ía, no son in e dependien es, es deci , se puede llega a las igu as
sin sabe cómo se cons uyen y aunque la isualización puede da una idea in ui i a de cómo
llega a una demos ación, el azonamien o no depende más que del co pus de p oposiciones
disponible.
A lo la go de los úl imos años, di e sas in es igaciones se han cen ado en analiza el
ipo de ap ehensión que iene el alumnado y la ca ac e ización de la misma cuando el ámbi o
de conocimien o es la geome ía; po ejemplo, P io -Ma ínez y To eg osa-Gi onés (2013)
analizan la in e acción en e los p ocesos de azonamien o y los p ocedimien os de e i icación
que u iliza el alumnado de 3º y 4º de Educación Secunda ia Obliga o ia en la esolución de
p oblemas de geome ía en con ex o de lápiz y papel; Clemen e y Llina es (2013) iden i ican
ca ac e ís icas del conocimien o de geome ía especializado en es udian es pa a maes o en
elación con el azonamien o con igu al.
Pa a el caso de la isualización, des acamos los abajos de, po un lado, To eg osa-
Gi onés, Quesada-Vilella y Penal a-Ma ínez (2010), en el que se iden i ican los p ocesos de
isualización de es udian es pa a maes o, cuando esuel en p oblemas de geome ía que
equie en una p ueba ma emá ica y, po o o, Clemen e, Llina es y To eg osa (2017), en el que
analizan la elación en e la iden i icación de igu as p o o ípicas y el conocimien o geomé ico
en la esolución de p oblemas de p oba como mues a del azonamien o con igu al de
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es udian es pa a maes o, des acando la impo ancia de la elación en e la isualización y el
conocimien o geomé ico en el desa ollo de dicho azonamien o.
Po o o lado, a endiendo a Fe nández (2013), son a ios los abajos ealizados en los
úl imos años con el in de de e mina qué ni eles de azonamien o in e ienen en las habilidades
de isualización, dando luga a es udios que analizan la elación en e los ni eles de Van Hiele
y las habilidades de isualización; pe o, aun así, no se conocen es udios que se cen en en
analiza o ca ac e iza la ap ehensión en azonamien o geomé ico en la e apa educa i a de es
a seis años.
Pa a la e apa de Educación In an il, si nos ijamos en los ni eles de azonamien o
geomé ico de Van Hiele (VAN HIELE, 1999; GUTIÉRREZ, 2012), aunque es os se plan ean
como ni eles de ap endizaje no ligados a la edad c onológica de los suje os, en la mayo ía de
los casos los niños y las niñas sólo alcanzan el ni el 1, pe o se conside an alcanzables los ni eles
1 y 2:
En el Ni el 1, se conside a que la pe sona es capaz de econoce las igu as geomé icas po
su o ma globalmen e, pe o no di e encia pa es de ellas ni es capaz de explica p opiedades
de e minan es de las igu as. Hace desc ipciones isuales, ác iles e c. y es capaz de
compa a las con obje os de su en o no.
En el Ni el 2, la pe sona ya es capaz de econoce y analiza las pa es y p opiedades de las
igu as geomé icas y las econoce a a és de ellas. El es ablecimien o de las p opiedades se
p oduce de o ma empí ica, a a és de la manipulación y la expe imen ación.
Pa a que es os ni eles de azonamien o geomé ico sean adqui idos co ec amen e y una
a ea de geome ía a o ezca el paso de modo g adual a un ni el de azonamien o cada ez
mayo , la enseñanza-ap endizaje debe es a secuenciada en dis in as ases, de inidas po Van
Hiele (GUTIÉRREZ, 2012, p. 46):
1) in o mación (se plan ean ac i idades que si an como oma de con ac o y
a o ezcan la iden i icación de conocimien os y o mas de azonamien o); 2)
o ien ación di igida (se ponen ejemplos, cons ui con dis in os ma e iales,
compa aciones con obje os del en o no,…); 3) explici ación (se deben explica los
esul ados ob enidos y jus i ica las a i maciones hechas); 4) o ien ación lib e (se
esuel en p oblemas di e en es a los an e io es, más complejos) y 5) in eg ación (se
es ablecen conexiones y elaciones con concep os an e io es).
Son muchos los abajos que analizan las dis in as capacidades de los niños y niñas de
Educación In an il ace ca de la isualización, cuando es a se cen a en a eas de ep esen ación
de obje os planos; en pa icula , des acamos aquellos abajos que se cen an en es udia las
di icul ades de las y los in an es, cuando es os se si úan en un ni el de comp ensión en e los
ni eles 1 y 2 de Van Hiele.
Po ejemplo, en un es udio sob e la comp ensión concep ual del cuad ado en educación

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in an il, Hala y Yesil-Dagli (2016) p oponen a niños y niñas de cinco y seis años seis a eas,
o denadas según los ni eles de Van Hiele, en las que dada una colección de igu as dibujadas
en un papel se les pide que iden i iquen cuáles de ellas son cuad ados, y concluyen que, aunque
la mayo ía es capaz de dibuja un cuad ado, di e encia lo de igu as muy di e en es (como un
cí culo o una es ella) y econoce lo en obje os co idianos, en e un 79 % y un 56 % (según el
con ex o) come e e o es en la iden i icación cuando la igu a apa ece con una inclinación o
amaño no habi uales.
De modo simila , concluyen en Yesil-Dagli y Hala (2016) que, as ealiza un es udio
en ocado en la comp ensión concep ual del iángulo, la mayo ía de niños y niñas de cinco y
seis años son capaces de dibuja lo, pe o en ap oximadamen e la mi ad de los casos obse ados
se ap ecian p oblemas pa a iden i ica iángulos no p o o ípicos en lo que espec a a amaño,
ipo u o ien ación.
Finalmen e, en No o y Be ciano (2019), se ealiza un es udio longi udinal sob e la
capacidad de ep esen ación ma emá ica de niños y niñas en edades emp anas (cua o a seis
años), ca ac e izando sus p oducciones en dic ados ma emá icos. En e los esul ados
ob enidos, las au o as des acan que la epe ición de a eas con di icul ad equi alen e den o del
mismo dic ado omen a el ap endizaje signi ica i o, independien emen e del ni el cogni i o de
las niñas y de los niños, y, en consonancia con los ni eles de Van Hiele, se de ec an mayo es
di icul ades en la ep esen ación simbólica de obje os bidimensionales cuando es os p esen an
un mayo g ado de abs acción y complejidad ma emá ica.
Aun así, son pocos los abajos que analizan la comp ensión geomé ica de los niños y
niñas de educación in an il cuando es os deben ealiza a eas asociadas a la isualización de
obje os idimensionales.
En el abajo de Be ciano, Jiménez-Ges al y Salgado (2017) se mues a un es udio de
caso con un niño de cua o años ace ca de la comp ensión que iene sob e un cilind o desde un
pun o de is a ma emá ico; pa a ello analizan el ipo de a gumen os que ealiza el niño cuando
se le plan ea una a ea que equie e de la isualización de obje os idimensionales y de sus
p opiedades. En dicho abajo se concluye que una in e ención docen e, guiada g adualmen e,
siguiendo las ases de Van Hiele, omen a un inc emen o en el ipo de azonamien o y
ap ehensión po pa e del niño, llegando a mos a un ni el 2 de Van Hiele y ap ehensión
ope a i a (supe io a la espe ada en es a e apa educa i a).
2.1 T ayec o ias hipo é icas de ap endizaje
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Aco de con Sa ama y Clemen s (2009), en endemos una ayec o ia hipo é ica de
ap endizaje como una he amien a ú il en el p oceso de enseñanza-ap endizaje que cons a de
es elemen os: un obje o de ap endizaje, que se á el concep o ma emá ico que debe se
ap endido po el alumnado; un i ine a io de ap endizaje o eco ido espe ado po los dis in os
ni eles de azonamien o a a és del cual los niños y las niñas se mue en y una ins ucción,
secuencia de a eas que les ayuden a mo e se a a és de dicho i ine a io.
Las ayec o ias de ap endizaje han demos ado se ú iles pa a a o ece el desa ollo
del pensamien o ma emá ico en los niños y niñas, ya que elacionan el ni el en el que es án con
las ac i idades de ins ucción que se les p oponen pa a pasa de cada ni el de comp ensión al
siguien e, haciendo especial hincapié en los p ocesos de pensamien o más que en las espues as
a las a eas plan eadas.
Cen ando nues o in e és en educación in an il, des acan abajos de in es igación en
los que se analiza la pe inencia didác ica de una ayec o ia hipo é ica de ap endizaje en la
adquisición de concep os ma emá icos (CLEMENTS; WILSON; SARAMA, 2004) o aquellos
en los que se plan ea el diseño de una ayec o ia hipo é ica de ap endizaje pa a la adquisición
de concep os ma emá icos (p.e., RAMÍREZ-GARCÍA; DE CASTRO-HERNNDEZ, 2014;
ZAPATERA-LLINARES, 2018). Aun así, en odos ellos, las á eas de in e és son
undamen almen e la a i mé ica, la p e-álgeb a y la geome ía plana.
2.2 Expe imen os de enseñanza
Aco de a Molina e al. (2011), pa a pode ecopila in o mación sob e el p oceso de
enseñanza-ap endizaje de la ma emá ica en con ex os de aula y analiza el p oceso de
adquisición del conocimien o ma emá ico po pa e del alumnado, un mé odo idóneo es el
conocido como expe imen o de enseñanza, consis en e en una secuencia de ac i idades
diseñadas especí icamen e pa a se lle adas al aula con es e obje i o. En el desa ollo de un
expe imen o de enseñanza se es ablecen es ases, en las que se iden i ican di e en es acciones.
En la p ime a ase, p epa ación del expe imen o, se de inen an o el obje i o de
in es igación como los obje i os ins uccionales, se e alúan los conocimien os p e ios del
alumnado y se diseña la secuencia de ac i idades, a endiendo a la me odología de enseñanza
elegida. Además, es necesa io desc ibi los ins umen os usados pa a la ecogida de da os.
La segunda ase es la expe imen ación. Es a ase ocu e en el aula y se basa en la
implemen ación de las ac i idades diseñadas; pa a ello, es impo an e que, p e iamen e a cada
una de las in e enciones, se hayan iden i icado los obje i os ins uccionales, diseñado la
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ac uación de docen es e in es igado as y la in e acción con el alumnado. En es a ase se ealiza
la ecogida de da os y las modi icaciones opo unas sob e el diseño es ablecido si es necesa io,
y as las mismas el análisis de los da os ecogidos.
La e ce a y úl ima ase del expe imen o de enseñanza es el análisis e ospec i o de los
da os que consis e, esencialmen e, en ecopila y o ganiza oda la in o mación ecogida pa a
su análisis.
T abajos p e ios como Be nabeu, Mo eno y Llina es (2019) mues an la e icacia de los
expe imen os de enseñanza pa a ealiza in es igaciones elacionadas con la in es igación
ma emá ica en con ex os de aula. En el caso del aula de in an il, encon amos abajos como el
de Be ciano, Jiménez-Ges al y Salgado (2021) que analizan las bondades de un expe imen o de
enseñanza con espec o a la isualización.
3 Me odología
Pa a pode da espues a al obje i o de in es igación an e io men e desc i o, desde un
pa adigma de in es igación de diseño (MOLINA e al., 2011), ealizamos una in es igación
cuali a i a sob e el ipo de azonamien o y a gumen ación geomé ica que ca ac e izan el
p oceso de cons ucción del concep o de cilind o en niños y niñas con edades comp endidas
en e los cua o y cinco años. Así, el expe imen o de enseñanza que se desc ibe en es e a ículo
es á enma cado den o de un p oyec o más amplio, que p e ende con ex ualiza a las niñas y los
niños en si uaciones eales, donde deban elaciona las ma emá icas con la ida co idiana. En
lo que con inúa, de allamos la ase 1 y la ase 2 del expe imen o de enseñanza.
3.1 Fase 1: p epa ación del expe imen o
3.1.1 Obje i os de in es igación
E alua la pe inencia de una ayec o ia hipo é ica de ap endizaje, especialmen e
diseñada pa a abaja nociones geomé icas asociadas a obje os idimensionales (en es e caso
el cilind o) en el aula de Educación In an il. Pa a al in, analizamos:
1. Tipos de azonamien o que mani ies an in an es de cua o y cinco años.
2. Tipos de ap ehensión de in an es de cua o y cinco años.
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3.1.2 Pa icipan es
El expe imen o de enseñanza se ha implemen ado en el aula de cua o años de Educación
In an il, con un o al de diecinue e in an es. Pa a la selección de las pa icipaciones mos adas
en el p esen e es udio, se han enido en cuen a los siguien es ac o es: i) ene una edad
in e media; ii) pa icipación ac i a en clase; iii) in e és en esponde a las p egun as de las
maes as; y i ) equilib io numé ico en la selección con espec o al géne o; po lo que se han
seleccionado cua o niñas y cua o niños, que deno amos, de aho a en adelan e, como: N1 a N8.
(N1-N5 son los códigos de es niñas y dos niños de cua o años, mien as que N6-N8 hacen
alusión a dos niños y una niña de cinco años). La selección de pa icipan es se ha hecho po
con eniencia, a endiendo a la pa icipación en odos los momen os del desa ollo de la
ac i idad.
3.1.3 Diseño de la secuencia de ac i idades
Pa a el diseño de la secuencia de ac i idades de ins ucción, se ha seleccionado como
con ex o de ap endizaje el desplazamien o en ehículos. Es a si uación eal iene la inalidad de
des aca la Impo ancia social de la ueda: ¿po qué algunos obje os uedan y o os no? En
es e caso, p e endemos ealiza un ace camien o comp ensi o al concep o de cilind o, sus
ca ac e ís icas y p opiedades y cons ucción del mismo desde un ec ángulo. Además, se han
enido en cuen a los ma cos eó icos desc i os en el apa ado an e io , que, a con inuación,
esumimos b e emen e:
1. La ayec o ia hipo é ica de ap endizaje asociada al concep o de cilind o
diseñada po las au o as de es e abajo y que se de alla en el Cuad o 1, es á basada en
abajos p e ios sob e obje os bidimensionales y idimensionales y conocimien o
espacial de in an es de es a seis años. En e los conocimien os que los niños y las niñas
pueden desa olla en es a e apa (SARAMA; CLEMENTS, 2009), des acamos: 1)
econocimien o y dis inción de o mas planas (cí culos, cuad ados, ec ángulos y
iángulos); 2) econocimien o y dis inción de obje os 3D y de sus pa es; 3)
de e minación de algunas cong uencias, po compa ación de a ibu os de los obje os; 4)
cons ucción y composición de obje os 3D. Es os conocimien os p e ios han sido
usados pa a de e mina los obje i os ins uccionales (Cuad o 1).
2. Las es p ime as ases de enseñanza-ap endizaje de inidas po Van Hiele
(GUTIÉRREZ, 2012, p. 46): 1) in o mación, 2) o ien ación di igida y 3) explici ación.
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En es e mismo ipo podemos si ua a la niña N2, de cua o años, cuya úb ica es
p ác icamen e igual que la de N8, po lo que la omi imos, y cuyo lujog ama es idén ico al
mos ado, pese a se un año meno .
4.2 Ni el 1, ap ehensión discu si a
P esen amos, aquí, los esul ados de dos es udian es ep esen a i os, uno de cinco años
(N7) y o o de cua o años (N5), pa a e idencia que es a ayec o ia se puede da en di e en es
cu sos escola es. Sigue el dialogo en e la maes a y el niño N7.
P: ¿Cómo has cons uido u cilind o?
L207: Haciendo un edondel.
P: ¿Un edondel? ¿y dónde hacías un edondel?
L209: En un papel.
P: ¿Si? ¿Y cómo es u cilind o? ¿qué p opiedades iene?
L211: Rueda.
P: Vale. ¿Y u c ees que los cilind os se pueden pone uno encima de o o?
L213: No.
P: ¿No po qué?
L215: Po que los que es án abajo se caen. Y los de a iba después se ponen en el si io, en el
si io donde es aba el que se escapó de su si io.
P: Una p egun a ¿has ganado la ca e a?
L218: Sí.
P: ¿Y po qué c ees que u cilind o ha ganado la ca e a?
L220: Po que e a muy edondo.
P: Ah, y po eso edaba muy bien. Mi a, ¿Conoces cosas que ueden?
L222: Sí, las uedas (Diálogo en e la maes a y el niño N7, 2017).
En el p ime caso, Tabla 2, las in e enciones que ealiza en la asamblea comienzan con
la apo ación de concep os básicos como el nomb e de las igu as que conoce y e minan con
la espues a haciendo un edondel a la p egun a de la maes a de ¿cómo podemos cons ui lo?
En el desa ollo de las ac i idades en pequeño g upo plan ea Ha emos una ca e a y así
sab emos cuál es el más ápido pese a que no ha cons uido su cilind o, y una ez que lo
cons uye uel e a mos a la ap ehensión pe cep i a desc ibiendo p opiedades globales del
mismo. Respec o a las ac i idades indi iduales, an e las p egun as de la maes a es capaz de
a gumen a ace ca de las elaciones y p opiedades, lo que se e idencia en las espues as L215
a L220.

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Tabla 2 - E olución de N7 (cinco años)
Tipo de
Ap ehensión de Du al
Ni eles de
Van Hiele
Pe cep i a
Discu si a
Ope a i a
1
Concep os básicos
11, 38
Conside aciones isuales
97
103-106
Conside aciones ác iles
109
Desc ipción de p opiedades globales
196-198, 207-
211
151
2
Análisis in o mal de elaciones
212
215-216
Análisis in o mal de p opiedades
218-222
De iniciones de es uc u a lógica simple
Demos aciones de ipo empí ico
Expe imen o basado en ejemplo
Fuen e: elabo ación p opia
En la ansc ipción de es a con e sación se ecogen las p egun as de la maes a du an e
las ac i idades indi iduales, que son las mismas en odos los casos, lo que pe mi e compa a
los ni eles de ap ehensión.
En cuan o al es udian e N5, e lejado en la Tabla 3, sus in e enciones en la asamblea
se cen an en la desc ipción del cilind o, haciendo e e encia an o a concep os básicos, es algo
ci cula que ambién es como un cí culo po a iba, como a conside aciones ác iles, es
blandi o, o a desc ipción de p opiedades, Y ambién uedan po las mesas y po los suelos,
po que son unas cosas que se pa ecen a cí culos, pe o ala gados.
En las ac i idades en pequeño g upo, elabo a el cilind o en ollando un olio sin
di icul ad, pide cello pa a comple a lo y lo echa a oda pa a comp oba que ueda, ueda mucho
si lo hago así.
Du an e el desa ollo de las ac i idades indi iduales, da mues as de ap ehensión
pe cep i a y discu si a cuando se e ie e a la desc ipción y análisis in o mal de p opiedades,
pe o no podemos deci que alcance un Ni el 2 de Van Hiele po que se queda en los dos p ime os
í ems que lo desc iben y lo hace de modo muy pun ual.
Tabla 3 - E olución de N5 (cua o años)
Tipo de
Ap ehensión de Du al
Ni eles de
Van Hiele
Pe cep i a
Discu si a
Ope a i a
1
Concep os básicos
393
Conside aciones isuales
Conside aciones ác iles
397, 420-422
Desc ipción de p opiedades globales
407, 491, 495-
496
410-411, 464,
468, 472, 480
2
Análisis in o mal de elaciones
460
Análisis in o mal de p opiedades
447-449, 483
489, 493
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De iniciones de es uc u a lógica simple
Demos aciones de ipo empí ico
Expe imen o basado en ejemplo
Fuen e: elabo ación p opia
En ambos casos se ap ecia una e olución hacia la ap ehensión discu si a y un paula ino
a ance hacia el análisis in o mal de elaciones y p opiedades que es ablecen los Van Hiele como
de Ni el 2, aunque la obse ación del lujog ama de la Figu a 3 indica lige as di e encias.
Mien as que el es udian e de cinco años (N7) cambia en sus in e enciones de la
ap ehensión pe cep i a a la discu si a y ice e sa, pa a e mina con exp esiones que mues an
p edominan emen e la ap ehensión discu si a, el de cua o años (N5) limi a su discu so a lo
e e en e a p opiedades, bien sea a su desc ipción o su análisis.
Figu a 3 - Flujog ama de N7 y N5
Fuen e: elabo ación p opia
4.3 Ni el 2, ap ehensión pe cep i a
Es a es udian e, N4, iene una única in e ención en la asamblea, en la que se limi a a
desc ibi un cilind o como Una pa e que es así, señalando la palma de su mano y deslizando
el dedo sob e ella. En las ac i idades en pequeño g upo comienza dibujando en el papel has a
que, como espues a a la p egun a de si su cilind o puede oda , en olla el papel pa a cons ui
un cilind o.
Tabla 4 - E olución de N4 (cua o años)
Tipo de
Ap ehensión de Du al
Ni eles de
Van Hiele
Pe cep i a
Discu si a
Ope a i a
1
Concep os básicos
Conside aciones isuales
Conside aciones ác iles
389, 419
Desc ipción de p opiedades globales
436, 438, 572,
593, 595, 597
2
Análisis in o mal de elaciones
575, 577, 580,
583
Análisis in o mal de p opiedades
599
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De iniciones de es uc u a lógica simple
Demos aciones de ipo empí ico
Expe imen o basado en ejemplo
588-591, 611
Fuen e: elabo ación p opia
En el desa ollo de las ac i idades indi iduales, N4 mues a ap ehensión pe cep i a en
el análisis in o mal de elaciones y p opiedades, y llega a ealiza expe imen os pa a esponde
a la p egun a de la maes a, pe o no e baliza una espues a.
El lujog ama mues a una e olución a a és de los í ems conside ados como
de ini o ios de los ni eles de Van Hiele a lo la go de las es ases del ap endizaje, pe o no
a anza en el ipo de ap ehensión mani es ada, man eniéndose en la pe cep i a.
Figu a 4 - Flujog ama N4
Fuen e: elabo ación p opia
4.4 Ni el 2, ap ehensión discu si a
Los esul ados que p esen amos a con inuación co esponden a dos es udian es de
ca ac e ís icas en p incipio dis in as, un niño de cinco años (N6) y una niña de cua o (N3), pe o
que podemos enma ca en un mismo ipo.
En el p ime o de los casos (N6), ya en la asamblea se p oduce la p ime a a i mación que
podemos conside a como mues a de ap ehensión discu si a:
M: Y o a cosa, ¿po qué c eéis que es un ec ángulo y no un cuad ado, A6?
L99: Po que es mucho más la go (pasando la mano po uno de los lados la gos del olio)
(Diálogo en e la maes a y el es udian e N6, 2017).
Tabla 5 - E olución de N6 (cinco años)
Tipo de
Ap ehensión de Du al
Ni eles de
Van Hiele
Pe cep i a
Discu si a
Ope a i a
1
Concep os básicos
83
Conside aciones isuales
Conside aciones ác iles
99
Desc ipción de p opiedades globales
117
2
Análisis in o mal de elaciones
ISSN 1980-4415
DOI: h p://dx.doi.o g/10.1590/1980-4415 36n72a15
Bolema, Rio Cla o (SP), . 36, n. 72, p.332-357, ab . 2022 351
Análisis in o mal de p opiedades
326-328
De iniciones de es uc u a lógica simple
335-342
Demos aciones de ipo empí ico
346-348
Expe imen o basado en ejemplo
130
358-360
Fuen e: elabo ación p opia
Mien as que en las ac i idades en pequeño g upo las in e enciones se quedan en
pe cep i as, a lo la go de la con e sación con la maes a en las ac i idades indi iduales se puede
ap ecia la e olución en el ni el 2 de Van Hiele con una ap ehensión discu si a.
En el caso de la niña de cua o años (N3), (Tabla 6), en la asamblea pone de mani ies o
que econoce lo que es un cilind o, en las ac i idades en pequeño g upo lo cons uye sin
p oblema y en las ac i idades indi iduales se ap ecia su ap ehensión discu si a cuando es capaz
de elaciona los obje os que iene delan e con a i maciones ma emá icas del ipo se me ió po
den o po que es más pequeño.
Tabla 6 - E olución de N3 (cua o años)
Tipo de
Ap ehensión de Du al
Ni eles de
Van Hiele
Pe cep i a
Discu si a
Ope a i a
1
Concep os básicos
418
Conside aciones isuales
391
Conside aciones ác iles
386-387
Desc ipción de p opiedades globales
515
2
Análisis in o mal de elaciones
523
527
Análisis in o mal de p opiedades
529
538-540, 544
De iniciones de es uc u a lógica simple
Demos aciones de ipo empí ico
534-536
Expe imen o basado en ejemplo
Fuen e: elabo ación p opia
La obse ación de los lujog amas nos mues a una di e encia en e N6 y N3. Mien as
que en N6 ( eco demos que iene cinco años) las in e enciones que mues an ap ehensión
pe cep i a es án elacionadas undamen almen e con concep os básicos y desc ipción de
p opiedades globales y las discu si as cub i ían casi odos los í ems del Ni el 2 de Van Hiele,
en el caso de N3 hay un eco ido pe cep i o po odos los í ems del Ni el 1 y la discu si a se
ap ecia en la pa e inal de la con e sación.
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Figu a 5. Flujog ama N6 y N3
Fuen e: elabo ación p opia
4.5 Ni el 2, ap ehensión ope a i a
Los esul ados del análisis de la ac i idad de ap endizaje de es e niño (N1) apa ecen
de allados en Be ciano, Jiménez-Ges al y Salgado (2017). Nos limi amos, aquí, a ecoge la
abla p esen ada y a ealiza una desc ipción del lujo obse ado.
Tabla 7 - E olución de N1 (cua o años)
Tipos de
Ap ehensión de Du al
Ni eles de
Van Hiele
Pe cep i a
Discu si a
Ope a i a
1
Concep os básicos
1
2
Conside aciones isuales
5
Conside aciones ác iles
7, 8
24
Desc ipción de p opiedades globales
3
4, 6, 9
10, 13, 15
2
Análisis in o mal de elaciones
12, 20
11
Análisis in o mal de p opiedades
17
16, 25
De iniciones de es uc u a lógica simple
18, 23
22
Demos aciones de ipo empí ico
14
21, 26
Expe imen o basado en ejemplo
28
19, 27
Fuen e: elabo ación p opia
Lo que llama la a ención en es e lujog ama (Figu a 6) es la can idad de espues as a la
maes a en odas las ac i idades, así como los cambios de un ipo de ap ehensión mos ada a
o o den o de un mismo í em o de un í em a o o den o del mismo ipo de ap ehensión.
Figu a 6 - Flujog ama N1

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Fuen e: elabo ación p opia
Cabe des aca que el niño N1, pese a que enía cua o años cuando se ealizó la ac i idad,
es el que mayo ni el de complejidad mues a en la a gumen ación, alcanzando el ipo de
ap ehensión ope a i a en los í ems co espondien es al ni el 2 de Van Hiele.
5 Conclusiones
En es e abajo hemos ca ac e izado cómo niños y niñas de cua o a cinco años
cons uyen la noción de cilind o po medio de la implemen ación de una ayec o ia hipo é ica
de ap endizaje ace ca de es e obje o geomé ico.
En pa icula , los esul ados mues an dis in os i ine a ios de ap endizaje, que nos
mues an dis in as ca ac e ís icas del azonamien o y ap ehensión de los niños y las niñas de
es a edad a la ho a de abaja concep os asociados a cue pos geomé icos, que se pueden
clasi ica como: 1) ni el 1 de Van Hiele y ap ehensión pe cep i a, ealizado po niñas y niños
que, en su mayo ía, mues an una a gumen ación lineal, en la que des acan jus i icaciones que
desc iben p opiedades globales del obje o; 2) ni el 2 de Van Hiele y ap ehensión pe cep i a,
donde los niños y las niñas ienden a hace jus i icaciones ambién bas an e lineales pe o en es e
caso comienzan a de alla de modo in o mal p opiedades del obje o pe o con a i maciones
b e es; 3) ni el 1 de Van Hiele y ap ehensión discu si a, en ella, las niñas y los niños plan ean
cie os azonamien os ma emá icos basados en las p opiedades globales o pe cepciones isuales
del obje o de es udio; 4) ni el 2 de Van Hiele y ap ehensión discu si a, en la que las niñas y los
niños jus i ican p opiedades ma emá icas del obje o a a és de pequeños expe imen os de ipo
empí ico o a gumen aciones lógicas; 5) ni el 2 de Van Hiele y ap ehensión ope a i a, en es e
es adio sólo encon amos un niño, que es capaz de plan ea p oblemas y azonamien os
al e na i os cuando cambia men almen e las p opiedades del obje o.
Con el in de e alua la pe inencia de la ayec o ia hipo é ica diseñada, en p ime luga ,
conside amos opo uno e lexiona sob e la posible in luencia de la edad en los i ine a ios de
ap endizaje an es desc i os. En conc e o, hemos encon ado pequeñas di e encias en e aquellos
casos clasi icados con el mismo ipo de ap ehensión y ni el de Van Hiele elacionadas con es a.
En los i ine a ios de ipo 2, 3 y 4 esul a que el niño o la niña de cua o años plan ea un meno
núme o de jus i icaciones, con un discu so menos elabo ado, pe o con el mismo ipo de
azonamien o geomé ico que el niño o niña de cinco años. Es os esul ados pa alelos
obse ados nos pe mi en conclui que la edad c onológica no es de e minan e del i ine a io de
ap endizaje.
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En de ini i a, a pesa de que la es uc u a de los i ine a ios de ap endizaje es a iable,
debido a que odos los casos analizados mues an di e encias en el lujog ama, en odos ellos
hallamos una e olución posi i a a lo la go de la implemen ación, que a ía en mayo o meno
medida dependiendo del ni el de pa ida. Es más, as el análisis de los lujog amas concluimos
que el cambio de ap endizaje en los niños y las niñas iene un camino de i y eni , pasando, en
algunos casos, de un ni el de Van Hiele supe io a uno in e io , pa a pos e io men e ol e al
supe io , como pasa ambién con el ipo de ap ehensión.
Aun así, al igual que en in es igaciones p e ias que han abo dado la p oblemá ica en el
caso de la geome ía plana (HALAT; YESIL-DAGLI, 2016; YESIL-DAGLI; HALAT, 2016;
NOVO; BERCIANO, 2019), se ía opo uno ealiza una in es igación más en p o undidad que
ayude a ca ac e iza el ipo de di icul ad que ienen los niños y las niñas que mues an un ni el
de comp ensión en e los Ni eles 1 y 2 de Van Hiele, cuando se abaja con cue pos
geomé icos.
En segundo luga , as la compa ación en e los esul ados mos ados en la
implemen ación del expe imen o de enseñanza y el análisis eó ico de la ayec o ia de
ap endizaje, conside amos p obada la pe inencia didác ica de la ayec o ia hipo é ica de
ap endizaje diseñada pa a abaja nociones asociadas al cilind o y p opiedades de es e cue po
geomé ico con niños y niñas de cua o y cinco años de edad; así, al igual que in es igaciones
p e ias des acan la ele ancia de las ayec o ias hipo é icas de ap endizaje en la enseñanza-
ap endizaje de la geome ía plana (CLEMENTS; WILSON; SARAMA, 2004), de la p e-
álgeb a (ZAPATERA-LLINARES, 2018) o de ope aciones a i mé icas en Educación In an il
(RAMÍREZ-GARCÍA; DE CASTRO-HERNNDEZ, 2014), en es e abajo hemos p obado la
impo ancia del uso de es e ipo de ayec o ias en los p ime os pasos de la enseñanza-
ap endizaje de la geome ía espacial, en especial, de los cue pos geomé icos.
Además, g acias a la ca ac e ización ealizada en es e abajo ace ca de los di e en es
azonamien os de niños y niñas, en es a edad, en e a es a clase de concep os, conside amos
impo an e el uso de es e ipo de ayec o ia hipo é ica de ap endizaje y su compa ación con la
ealidad del aula. En es e sen ido, algunos niños y niñas mues an aspec os asociados a
apa ados del ni el 2 de Van Hiele con una ap ehensión pe cep i a que no apa ecían en la
ayec o ia hipo é ica de ap endizaje, que se ía in e esan e analiza en una u u a in es igación.
Po o a pa e, es a in es igación e ue za y a ala la necesidad de abaja en el aula de
Educación In an il p ocesos de enseñanza que omen en la isualización espacial (DUVAL,
1998), y ayuden a ealiza azonamien os de ipo más abs ac o, p incipalmen e la ap ehensión
discu si a y, en algunos casos, la ap ehensión ope a i a; elación ya jus i icada como necesa ia
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pa a alcanza p ocesos de abs acción en e apas educa i as supe io es, con i iendo a la
isualización en una he amien a undamen al en la esolución de p oblemas (CLEMENTE;
LLINARES; TORREGROSA, 2017).
Finalmen e, ol iendo a los esul ados de es e es udio, a pesa de que no e a el obje i o
undamen al del mismo, debemos des aca la impo ancia de las in e enciones lle adas a cabo
po la maes a en las ases de ap endizaje de la expe iencia, acili ando, en odo momen o, el
paso a un ni el mayo de ap ehensión, lo que da ía luga a un sal o cogni i o en el i ine a io de
ap endizaje de cada uno de los niños y las niñas.
En es e sen ido, conside amos undamen al que las u u as maes as y maes os sean
capaces de desc ibi una ayec o ia hipo é ica de ap endizaje jun o con una es uc u ación
c onológica a endiendo a las ases de enseñanza-ap endizaje de Van Hiele pa a a a de
an icipa el ipo de azonamien o que un niño o una niña de es a edad puede da , con el in de
acili a les un ap endizaje signi ica i o de la ma emá ica.
Re e encias
ARANDA, C.; CALLEJO, M. L. Fo mas de ap oxima el á ea bajo una cu a: un es udio con
es udian es de bachille a o. Enseñanza de las Ciencias, Ba celona, . 35, n. 1, p. 157-174, 2017.
BERCIANO, A.; JIMÉNEZ-GESTAL, C.; SALGADO, M. Razonamien o y a gumen ación en la
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