Fo schung am i wKöln
Band 4/2018
Die P ade eine bewe e en inhomogenen
Ma ko -Ke e - Fallbeispiele aus de
be ieblichen Al e s e so gung
Ral Knobloch
Fo schung am i wKöln, Band 4/2018
Ral Knobloch
Fo schungss elle FaRis
Die P ade eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e -
Fallbeispiele aus de be ieblichen Al e s e so gung
Zusammen assung
In de o liegenden A bei we den in d ei Fallbeispielen aus dem Be eich de be ieblichen
Al e s e so gung die Ve so gungszusagen mi hil e on bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke en
modellie . Dabei lieg de Fokus au den P aden de Ma ko -Ke en. Es wi d anhand de
Fallbeispiele gezeig , wie man mi hil e de P ade den E wa ungswe und die S anda dabweichung
de Zu alls a iablen „Ba we alle zukün igen Zahlungen“ be echnen kann. Da übe hinaus is es
au Basis de P ade möglich, in Bezug au diese Zu alls a iable auch Wah scheinlichkei en on
speziellen E eignissen und Risikomaße – Value a Risk und Expec ed Sho all – zu be echnen.
Abs ac
In he p esen pape , in h ee case s udies om he ield o pensions, he pension liabili ies a e
modeled using p iced inhomogeneous Ma ko chains. The ocus lies on he pa hs o he Ma ko
chains. The case s udies show how he pa hs can be used o calcula e he expec ed alue and he
s anda d de ia ion o he andom a iable "p esen alue o he cash- low". In addi ion, based on
he pa hs, i is possible o calcula e p obabili ies o speci ic e en s and isk measu es – alue a isk
and expec ed sho all – wi h espec o his andom a iable.
Schlagwö e :
Be iebliche Al e s e so gung, Ma ko -Ke e, Bewe e e Ma ko -Ke e, Ba we , Value a Risk,
Expec ed Sho all
Keywo ds:
Pensions, Ma ko Chain, P iced Ma ko Chain, P esen Value, Value a Risk, Expec ed Sho all
- 1 -
Inhal s e zeichnis
1. EINLEITUNG ........................................................................................................................................ 2
2. DAS ALLGEMEINE MODELL ............................................................................................................ 3
3. BETRIEBLICHE ALTERSVERSORGUNG ....................................................................................... 4
4. FALLBEISPIEL 1: EIN RENTENBEZIEHER .................................................................................... 5
5. FALLBEISPIEL 2: EIN ARBEITNEHMER ...................................................................................... 10
6. FALLBEISPIEL 3: BESTAND MIT ZEHN PERSONEN ................................................................. 12
7. FAZIT .................................................................................................................................................. 16
LITERATURVERZEICHNIS ....................................................................................................................... 17
- 2 -
1. Einlei ung
S ochas ische P ozesse haben in den Wi scha swissenscha en die iel äl igs en
Anwendungen. Sie we den zu Modellie ung sowohl bei klassischen be iebs-
wi scha lichen Sach e hal en als auch bei speziellen F ages ellungen in den
Be eichen Insu ance und Finance eingese z . Eine de wich igs en Modellklasse
bilden die Ma ko -Ke en mi endlichem Zus ands aum und disk e e Zei achse. Als
Beispiele ü die Anwendung diese Modelle bei klassischen be iebswi scha lichen
F ages ellungen seien hie die Themen Wa eschlangensys eme, Lage hal ung und
(Ma ko sche) En scheidungsp ozesse genann ( gl. [13]). In de Pe sonen e siche -
ungsma hema ik we den Ma ko -Ke en zu Kalkula ion on Ba we en, Rese en
und P ämien e wende ( gl. [10], [12], [2], [3], [5], [6], [7], [8], [9]).
In dem in diese Ausa bei ung e wende en Modell gib es neben den Zus änden de
Ma ko -Ke e eine wei e e ele an e Modellkomponen e – die sogenann e
Bewe ung. Dabei wi d in jedem Zei punk jedem möglichen Zus and ein Zahlbe ag
zugeo dne . Dies üh zum Beg i de bewe e en Ma ko -Ke e. Da übe hinaus
wi d im hie behandel en Modell die zei liche En wicklung allgemein als inhomogen
angese z .
Im Mi elpunk des In e esses s eh de zu ällige Ba we des mi de Bewe ung
modellie en Zahlungss oms. Fü die cha ak e is ische Funk ion bzw. die
momen ene zeugende Funk ion diese Zu alls a iablen läss sich eine geschlossene
Fo mel he lei en. Dami is die Ve eilung des zu älligen Ba we s des
Zahlungss oms eindeu ig es geleg und mi hil e de nume ischen Ablei ung lassen
sich de E wa ungswe und höhe e Momen e be echnen ( gl. [6], [7], [8], [9]).
O en jedoch is bishe die Be echnung on Quan ilen und Risikomaßen wie Value a
Risk und Expec ed Sho all. In de o liegenden Ausa bei ung wi d anhand on
Fallbeispielen aus dem Be eich de be ieblichen Al e s e so gung gezeig , wie diese
Lücke geschlossen we den kann bzw. welche echen echnischen P obleme dabei
en s ehen. Die Be echnungen basie en au eine Analyse de P ade de
zug undeliegenden inhomogenen Ma ko -Ke e.
- 3 -
2. Das allgemeine Modell
Gegeben sei eine Ma ko -Ke e (𝑿𝑿𝒕𝒕)𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐,… mi dem endlichen Zus ands aum
𝑺𝑺={𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐,…,𝑵𝑵}. Dabei s eh de Zei punk 𝒕𝒕 ü den Beginn des (𝒕𝒕+𝟏𝟏)- en Jah es
bzw. die Zu alls a iable 𝑿𝑿𝒕𝒕 ü den Zus and zu Beginn des (𝒕𝒕+𝟏𝟏)- en Jah es,
𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐, … . Die Übe gangswah scheinlichkei en om Zei punk 𝒕𝒕−𝟏𝟏 zum Zei punk
𝒕𝒕 seien gegeben du ch die (N+1)x(N+1)-Ma ix
𝑸𝑸(𝒕𝒕)=�𝒒𝒒𝒋𝒋𝒋𝒋(𝒕𝒕)�𝒋𝒋,𝒋𝒋∈𝑺𝑺 ,
d.h.
𝒒𝒒𝒋𝒋𝒋𝒋(𝒕𝒕)≔𝑷𝑷(𝑿𝑿𝒕𝒕=𝒋𝒋|𝑿𝑿𝒕𝒕−𝟏𝟏 =𝒋𝒋), 𝒋𝒋,𝒋𝒋𝒌𝒌𝑺𝑺 und 𝒕𝒕=𝟏𝟏,𝟐𝟐, …
( gl. [2]). Da die Übe gangsma izen explizi on dem Zei pa ame e 𝒕𝒕 abhängen,
heiß die Ma ko -Ke e inhomogen ( gl. [10] S.16 , [13] S.11).
Die Ve eilung de Zu alls a iablen 𝑿𝑿𝒕𝒕, 𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐, …, sei gegeben du ch den
Zeilen ek o 𝑷𝑷𝒕𝒕=�𝑷𝑷𝒕𝒕,𝒋𝒋�𝒋𝒋∈𝑺𝑺, d.h.
𝑷𝑷(𝑿𝑿𝒕𝒕=𝒋𝒋)=𝑷𝑷𝒕𝒕,𝒋𝒋 , 𝒋𝒋∈𝑺𝑺.
Im Folgenden wi d da on ausgegangen, dass 𝑷𝑷𝟎𝟎 o gegeben is und alle
Wah scheinlichkei en, Ve eilungen und Momen e gegeben diese An angs e eilung
be echne we den. Un e Anwendung de Chapman-Kolmogo o -Gleichung ü
Ma ko -Ke en ( gl. [10] S.14) e gib sich ü 𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐, …
𝑷𝑷𝒕𝒕=𝑷𝑷𝟎𝟎∙�𝑸𝑸(𝒔𝒔)
𝒕𝒕
𝒔𝒔=𝟏𝟏
( gl. [2]).
Fü diese inhomogene Ma ko -Ke e wi d nun du ch die Spal en ek o en
𝑳𝑳𝒕𝒕=�𝑳𝑳𝒕𝒕,𝒋𝒋�𝒋𝒋∈𝑺𝑺 , 𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐, …
eine Bewe ung de inie , die in jedem Zei punk jedem möglichen Zus and eine eelle
Zahl bzw. eine Zahlung zuo dne . Die Zu alls a iable „Ba we de e s en 𝒏𝒏+𝟏𝟏
Zahlungen“ is dann gegeben du ch:
𝑩𝑩𝟎𝟎(𝒏𝒏)=��𝟏𝟏{𝑿𝑿𝒕𝒕=𝒋𝒋}∙𝒗𝒗𝒕𝒕∙𝑳𝑳𝒕𝒕,𝒋𝒋
𝑵𝑵
𝒋𝒋=𝟎𝟎
𝒏𝒏
𝒕𝒕=𝟎𝟎
Dabei sei 𝒗𝒗 de Diskon ie ungs ak o ü ein Jah gegeben du ch 𝒗𝒗=𝟏𝟏
𝟏𝟏+𝒓𝒓 und 𝒓𝒓>−𝟏𝟏
de zei lich kons an e Rechnungszins p o Jah .
- 4 -
3. Be iebliche Al e s e so gung
Zu Modellie ung eine Ve so gungszusage au be iebliche Al e s e so gung mi hil e
eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e müssen zum einen die
Übe gangsma izen und zum ande en die Bewe ungs ek o en bese z we den.
Da übe hinaus is ü die Zu alls a iable „Ba we de e s en 𝒏𝒏+𝟏𝟏 Zahlungen“ de
jäh liche Rechnungszins zu wählen. Da eine Zusage au be iebliche
Al e s e so gung i.d.R. eine Al e s-, eine In aliden- und eine Hin e bliebenen-
e so gung beinhal e , basie en die Übe gangsma izen au einem Sys em
bes ehend aus S e be-, In alidisie ungs- und Ve hei a ungswah scheinlichkei en. Zu
Modellie ung de Hin e bliebenen e so gung benö ig man zusä zlich (kollek i e)
Al e sun e schiede im Todes all und zu Modellie ung de Ren enphasen ein Al e ü
den Übe gang in die Al e s en e und ein gene elles Endal e ü den le z möglichen
Bezug eine Ren enzahlung. Le z e es o ien ie sich an dem maximal e eichba en
Lebensal e . Es wi d nu die jäh liche Zahlweise behandel , so dass keine Annahmen
übe un e jäh liche Ve zinsungen und un e jäh liche S e bewah scheinlichkei en
ge o en we den müssen. Die Bewe ungs ek o en e geben sich aus den
zugesag en Ren enhöhen.
Als S anda dmodell ü die be iebliche Al e s e so gung we den in Deu schland
übliche weise die Rich a eln on Klaus Heubeck ( gl. [1]) e wende . Die Rich a eln
en hal en ein Sys em on Wah scheinlichkei en mi allen ü die Bese zung de
Übe gangsma izen nö igen We en und ein Fo melwe k zu Bewe ung on
Ve so gungszusagen. Die Rich a eln sind sei 2005 als Gene a ionen a eln
konzipie . De mi dem Fo melwe k de Rich a eln be echne e Ba we en sp ich
dem E wa ungswe de oben de inie en Zu alls a iablen „Ba we de e s en 𝒏𝒏+𝟏𝟏
Zahlungen“ mi einem geeigne en 𝒏𝒏.
Die Modellie ung mi eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e üh bezüglich
des E wa ungswe es zu den gleichen E gebnissen wie das Fo melwe k de
Rich a eln: In den Fallbeispielen in [6], [7], [8] und [9] weichen die E gebnisse nu
minimal oneinande ab. Zusä zlich e möglich die Modellie ung abe auch die
Be echnung höhe e Momen e, wie z.B. Va ianz und S anda dabweichung.
- 5 -
4. Fallbeispiel 1: Ein Ren enbeziehe
Zunächs be ach en wi den Fall eines einzelnen Ren enbeziehe s. Diese e häl
eine jäh lich o schüssig Ren e in Höhe on 1.000 €. Die Zusage beinhal e keine
Hin e bliebenen e so gung. De Ren enbeziehe sei 74 Jah e al . Das Endal e wi d
mi 100 angese z . Die S e bewah scheinlichkei en seien wie olg gegeben:
Al e
S e bewah -
scheinlich-
kei
Al e
S e bewah -
scheinlich-
kei
Al e
S e bewah -
scheinlich-
kei
74
0,026
83
0,063
92
0,163
75
0,028
84
0,070
93
0,179
76
0,031
85
0,078
94
0,197
77
0,034
86
0,087
95
0,211
78
0,037
87
0,097
96
0,225
79
0,041
88
0,108
97
0,239
80
0,046
89
0,120
98
0,254
81
0,051
90
0,133
99
0,269
82
0,056
91
0,147
100
1,000
Zunächs wi d mi den in de Pe sonen e siche ungsma hema ik üblichen Me hoden
de e wa e e Ba we de Ren enzahlungen be echne . De jäh liche Rechnungszins
sei 3%. Es wi d da on ausgegangen, dass die Ren enzahlung ü das Al e 74 so o
e olg und somi nich meh abgezins wi d, alle ande n Ren enzahlungen sind
en sp echend de Al e sdi e enz abzuzinsen. Dami e gib sich mi de Fo mel
𝟏𝟏
𝒍𝒍𝟕𝟕𝟕𝟕 ∙ � 𝑹𝑹𝒋𝒋∙𝒗𝒗𝒋𝒋−𝟕𝟕𝟕𝟕 ∙𝒍𝒍𝒋𝒋
𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
𝒋𝒋=𝟕𝟕𝟕𝟕
=𝟏𝟏
𝑫𝑫𝟕𝟕𝟕𝟕 ∙ � 𝑹𝑹𝒋𝒋∙𝑫𝑫𝒋𝒋
𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
𝒋𝒋=𝟕𝟕𝟕𝟕
ein e wa e e Ba we on 𝟏𝟏𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟑𝟑 €. Dabei seien wie in de
Pe sonen e siche ungsma hema ik üblich 𝒍𝒍𝒋𝒋 die Lebenden und 𝑫𝑫𝒋𝒋 die diskon ie en
Lebenden jeweils im Al e 𝒋𝒋. Fe ne seien die Ren enzahlungen 𝑹𝑹𝒋𝒋 kons an gleich
1.000 ü alle 𝒋𝒋=𝟕𝟕𝟕𝟕,…,𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎. Bei de Be echnung e geben sich die olgenden (au
ie Nachkommas ellen ge unde en) Zwischene gebnisse:
- 6 -
Al e
𝒋𝒋
Lebende
𝒍𝒍𝒋𝒋
Diskon ie e
Lebende
𝑫𝑫𝒋𝒋
Al e
𝒋𝒋
Lebende
𝒍𝒍𝒋𝒋
Diskon ie e
Lebende
𝑫𝑫𝒋𝒋
74
100.000,0000
11.221,3568
88
46.330,7775
3.437,1130
75
97.400,0000
10.611,2636
89
41.327,0535
2.976,6066
76
94.672,8000
10.013,7362
90
36.367,8071
2.543,1202
77
91.737,9432
9.420,6896
91
31.530,8888
2.140,6653
78
88.618,8531
8.835,3264
92
26.895,8481
1.772,8034
79
85.339,9555
8.260,6013
93
22.511,8249
1.440,6179
80
81.841,0173
7.691,1812
94
18.482,2082
1.148,2983
81
78.076,3305
7.123,6766
95
14.841,2132
895,2268
82
74.094,4376
6.563,4651
96
11.709,7172
685,7611
83
69.945,1491
6.015,4476
97
9.075,0308
515,9853
84
65.538,6047
5.472,3053
98
6.906,0984
381,2280
85
60.950,9024
4.941,0135
99
5.151,9494
276,1127
86
56.196,7320
4.422,9266
100
3.766,0750
195,9596
87
51.307,6163
3.920,5165
101
0,0000
0,0000
Summe
122.923,0045
Modellie man die Ren enzahlungen mi hil e eine bewe en inhomogenen Ma ko -
Ke e, so benö ig man die olgenden beiden Zus ände:
Zus and 0: „De Ren enbeziehe is o “
Zus and 1: „De Ren enbeziehe leb “
Dami e gib sich z.B. als d i e Übe gangsma ix 𝑸𝑸(𝟑𝟑)=�𝟏𝟏 𝟎𝟎
𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟑𝟑𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗�. De
Bewe ungs ek o wi d einhei lich mi dem Spal en ek o �𝟎𝟎
𝟏𝟏.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎� angese z . Da im
o liegenden Beispiel die Ren enzahlungen maximal ü 27 Jah e lau en, is zu
Be ücksich igung alle Zahlungen 𝒏𝒏=𝟐𝟐𝟕𝟕 aus eichend. Dami wi d o mal als le z es
Al e 101 be ücksich ig , obwohl in diesem Al e keine Zahlung meh e olgen kann.
Be echne man un e diesen Annahmen die momen ene zeugende Funk ion de
Zu alls a iablen 𝑩𝑩𝟎𝟎(𝟐𝟐𝟕𝟕) und lei e diese nume isch ab ( gl. in [6], [7], [8], [9]), so
e häl man als E wa ungswe eben alls 𝟏𝟏𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟑𝟑 € und als S anda dabweichung
𝟕𝟕.𝟕𝟕𝟗𝟗𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟕𝟕 €.
- 13 -
Dabei is bei eine Pe son ein P ad ele an , wenn e eine posi i e Wah scheinlichkei
ha .
Se z man die (s ochas ische) Unabhängigkei de Pe sonenschicksale o aus, so
müssen ü die Ve eilung de Zu alls a iablen „Ba we alle zukün igen Zahlungen“
bezogen au den Bes and, alle Kombina ionen on ele an en P aden de
Einzelpe sonen be ücksich ig we den. Es e geben sich dann ü den Bes and ca.
4,39·1035 ele an e P ade. Die Wah scheinlichkei eines P ades be echne sich dabei
wegen de Unabhängigkei de Pe sonenschicksale du ch die Mul iplika ion de
Wah scheinlichkei en de zehn zugehö igen P ade de einzelnen Pe sonen.
Da abe bei eine solchen Anzahl on P aden die EDV- echnische Umse zung mi
Blick au die Rechenzei schnell an ih e G enzen s öß , we den im o liegenden
Fallbeispiel die Ausgänge de Zu alls a iablen „Ba we alle zukün igen Zahlungen“
ü die Einzelpe sonen du ch Rundung zu Klassen zusammenge ass . Dadu ch
eduzie sich bezogen au den Bes and die Anzahl de ele an en P ade e heblich.
Mi de so be echne en Ve eilung we den dann ü die Zu alls a iable „Ba we alle
zukün igen Zahlungen“ bezogen au den Bes and die Kennzahlen E wa ungswe ,
S anda dabweichung, Value a Risk zum Ni eau 5% und Expec ed Sho all zum
Ni eau 5% be echne .
Die E gebnisse sind in de nach olgenden Tabelle zusammenges ell . Dabei e gib
sich de We ü den E wa ungswe de Zu alls a iablen „Ba we alle zukün igen
Zahlungen“ bei de Me hode „Nume isches Ablei en de momen ene zeugenden
Funk ion“ wegen de Linea i ä des E wa ungswe es du ch Addi ion de Einzelwe e.
Wegen de Unabhängigkei de Pe sonenschicksale, läss sich bei diese Me hode
die Va ianz eben alls du ch Addi ion de Einzelwe e be echnen. Die S anda d-
abweichung e gib sich dann als Wu zel aus de Va ianz. Be echne man ü die
Momen e E wa ungswe und Va ianz die Einzelwe e analog zu den Fallbeispielen
1 und 2 übe die jeweiligen aus den P aden abgelei e en Wah scheinlichkei en und
addie anschließend die Einzelwe e, so e häl man bezogen au den Bes and ü
den E wa ungswe 123.673 und ü die S anda dabweichung 13.176.
- 14 -
Me hode
Nume isches
Ablei en de
momen en-
e zeugenden
Funk ion
Ve eilung mi
Klassenbildung
du ch Runden
au 5.000
Ve eilung mi
Klassenbildung
du ch Runden
au 3.000
Ve eilung mi
Klassenbildung
du ch Runden
au 2.000
E wa ungs-
we
123.673
122.662
123.551
123.420
S anda d-
abweichung
13.176
13.956
13.483
13.382
Value a Risk
Ni eau 5%
145.000
144.000
144.000
Expec ed
Sho all
Ni eau 5%
149.581
149.440
149.031
Anzahl de
ele an en
P ade
84.707.280
6.696.500.580
ca. 2,54·1011
Rechenzei in
s d:min:sek
(Delphi-
P og amm)
00:02:10
00:06:49
02:54:42
Fü den E wa ungswe und die S anda dabweichung e häl man im o liegenden
Beispiel bei de Klassenbildung du ch Runden au 2.000 bzw. au 3.000 hin eichend
genaue E gebnisse. Dabei lie e die Rundung au 3.000 ü den E wa ungswe eine
besse e Nähe ung als die Rundung au 2.000. Jedoch is de Un e schied minimal.
Beide We e haben eine Abweichung om exak en We on wenige als 0,25%.
Runde man au 5.000, so is das E gebnis ü den E wa ungswe mi eine
Abweichung un e 1% imme noch seh gu . Die S anda dabweichung jedoch ha mi
5,9% eine ela i hohe Abweichung om exak en We . De Vo eil de Be echnungen
mi den au den ele an en P aden basie enden Wah scheinlichkei en lieg abe
da in, dass neben den Momen en auch Wah scheinlichkei en on E eignissen und
Risikomaße (Value a Risk und Expec ed Sho all) be echne we den können.
Alle dings is die Rechenzei ü die Rundung au 2.000 bei de hie e wende en
So - bzw. Ha dwa e ela i hoch. Die ande en beiden Be echnungen (Rundung au
5.000 und Rundung au 3.000) haben zwa ge inge e Rechenzei en, da ü e lie
man bei den E gebnissen abe an Genauigkei .
- 15 -
Die Beu eilung de mi de Zusage e bundenen biome ischen Risiken kann au
Basis de Risikomaße e olgen. Dabei s eh de übe den e wa e en Ba we de
zukün igen Zahlungen hinausgehende Au wand, d.h. die Di e enz on Risikomaß
und E wa ungswe , im Fokus. Ve wende man den exak be echne en
E wa ungswe und die Risikomaße au Basis de Rundung au 2.000, so e gib sich
ü den „une wa e en“ Au wand au Basis des Value a Risk ein We on
𝟏𝟏𝟕𝟕𝟕𝟕.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑.𝟗𝟗𝟕𝟕𝟑𝟑=𝟐𝟐𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟐𝟐𝟕𝟕
und au Basis des Expec ed Sho alls eine We on
𝟏𝟏𝟕𝟕𝟗𝟗.𝟎𝟎𝟑𝟑𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑.𝟗𝟗𝟕𝟕𝟑𝟑=𝟐𝟐𝟗𝟗.𝟑𝟑𝟗𝟗𝟑𝟑.
Bewe e man die biome ischen Risiken mi dem une wa e en Au wand ü jede de
zehn Pe sonen einzeln und addie diese Bewe ungen, so e gib au Basis des
Value a Risk ein We on
𝟗𝟗𝟑𝟑.𝟑𝟑𝟗𝟗𝟗𝟗
und au Basis des Expec ed Sho all ein We on
𝟕𝟕𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟑𝟑𝟗𝟗.
De Un e schied zwischen de Risikobewe ung ü den Bes and und de Summe de
Bewe ung de Einzel isiken is dabei au den Di e si ika ionse ek zu ückzu üh en.
- 16 -
7. Fazi
In de o liegenden Ausa bei ung wi d in ein achen Fallbeispielen aus de
be ieblichen Al e s e so gung die Zusage mi hil e eine inhomogenen Ma ko -Ke e
modellie . Dabei s eh die Zu alls a iable „Ba we alle zukün igen Zahlungen“ und
de en Ve eilung im Mi elpunk des In e esses. Du ch eine Be ach ung de
einzelnen P ade de inhomogenen Ma ko -Ke e is es möglich, neben den üblichen
Momen en (wie E wa ungswe , Va ianz und S anda dabweichung) auch
Wah scheinlichkei en on speziellen E eignissen und Risikomaße zu be echnen.
Wegen de hohen Anzahl de P ade e o de dies abe den Einsa z on EDV-
echnischen Me hoden. Bei Bes änden kann dabei – wie in Fallbeispiel 3 – ein
Ve ah en zu Reduk ion de Rechenzei e o de lich sein.
In de be ieblichen Al e s e so gung benö ig man zu Modellie ung eine
Ve so gungszusage i.d.R. meh Zus ände als in den o liegenden Fallbeispielen.
Da übe hinaus is in Fallbeispiel 3 die Anzahl de Pe sonen mi zehn – im Ve gleich
zu den in de P axis üblichen Bes andsg ößen – seh nied ig. So dass es im
Allgemeinen wei e e EDV- echnische En wicklungen beda , wenn man diese hie
o ges ell en Me hoden in de P axis einse zen möch e.
- 17 -
Li e a u e zeichnis
[1]
Heubeck, Klaus
Rich a eln 2005G,Tex band und P og amm Heu ika
2,Ve lag: Heubeck-Rich a eln-GmbH, Köln 2005.
[2]
Knobloch, Ral
Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e
on Ma ko -Ke en, In: Fo schung am i wKöln, Band
3/2011, Köln 2012, h p://nbn-
esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-98
(S and 01. Ap il 2018).
[3]
Knobloch, Ral
Ein Konzep zu Be echnung on ein achen Ba we en in
de be ieblichen Al e s e so gung mi hil e eine Ma ko -
Ke e, In: Fo schung am i wKöln, Band 4/2011, Köln
2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-100
(S and 01. Ap il 2018).
[4]
Knobloch, Ral
Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e
on Ma ko -Ke e bei un e jäh liche Zahlweise, In:
Fo schung am i wKöln, Band 6/2012, Köln 2012,
h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-204
(S and 01. Ap il 2018).
[5]
Knobloch, Ral
Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine
jäh lichen Ma ko -Ke e, In: Fo schung am i wKöln, Band
6/2013, Köln 2013, h p://nbn-
esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-402
(S and 01. Ap il 2018).
[6]
Knobloch, Ral
Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s
eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e-Anwendung
bei isikobeha e en Zahlungss ömen, In: Fo schung am
i wKöln, Band 5/2015, Köln 2015, h p://nbn-
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esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos4-3416
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esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos4-5535
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Imp essum
Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“.
Eine olls ändige Übe sich alle bishe e schienenen Publika ionen inde sich am Ende diese
Publika ion und kann
hie abge u en we den.
Fo schung am i w
Köln, 4/2018
ISSN (online) 2192
-8479
Ral Knobloch:
Die P ade eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e – Fallbeispiele aus de
be ieblichen Al e s e so gung
Köln,
Ap il 2018
Sch i lei ung /
edi o ’s o ice:
P o . D . Jü gen S obel
Ins i u ü Ve siche ungswesen /
Ins i u e o Insu ance S udies
Fakul ä ü Wi scha s
- und Rech swissenscha en /
Facul y o Business, Economics and Law
Technische Hochschule Köln /
Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann
-U e 54
50968 Köln
Tel.
+49 221 8275-3270
Fax +49 221 8275
-3277
Mail
jue gen.s obel@ h-koeln.de
Web www. h
-koeln.de
He ausgebe de Sch i en eihe /
Se ies
Edi o ship:
P o . D . Lu z Reime s
-Rawcli e
P o . D . Pe e Schimikowski
P o . D . Jü gen S obel
Kon ak Au o / Con ac au ho :
P o . D . Ral Knobloch
S
chmalenbach Ins i u ü Wi scha swissenscha en /
Schmalenbach Ins i u e o Business Adminis a ion
Fakul ä ü Wi scha s
- und Rech swissenscha en /
Facul y
o Business, Economics and Law
Technische Hochschule Köln /
Uni e si y o Applied Sciences
Gus a Heinemann
-U e 54
50968 Köln
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-koeln.de
Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“
Die Ve ö en lichungen de Online-Publika ions eihe "Fo schung am i wKöln" (ISSN: 2192-8479)
we den übliche weise übe Cologne Open Science (Publika ionsse e de TH Köln) e ö en lich . Die
Publika ionen we den hie du ch übe na ionale und in e na ionale Biblio hekska aloge,
Suchmaschinen sowie ande e Nachweisins umen e e schlossen.
Alle Publika ionen sind auch kos enlos ab u ba un e www.i w-koeln.de.
2018
3/2018
Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 1/2018 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am
i wKöln
2/2018
Schmid , Schulz: Insu Tech. P oceedings zum 12. FaRis & DAV Symposium am 9. Juni 2017 in Köln
1/2018
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2017
2017
8/2017
Ma e ne, Pü z: Al e na i e Capi al und Basis isiko in de S anda d o mel (non-li e) on Sol ency II
7/2017
Knobloch: Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e - Eine
Ve allgemeine ung des linea en Ansa zes
6/2017
Goecke, Oska (H sg.): Risiko und Resilienz. P oceedings zum 11. FaRis & DAV Symposium am 9.
Dezembe 2016 in Köln
5/2017
G undhö e ,
D euw, Quin , S egemann
: Bewe ungspo ale -
eine neue Quali ä de
Konsumen enin o ma ion?
4/2017
Heep-Al ine , Meh ing, Rohl s: Bewe ung des e ügba en Kapi als am Beispiel des Da enmodells
de „IVW P i a AG“
3/2017
Mülle -Pe e s, Völle : Insu Tech Ka e i wKöln 1/2017 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am
i wKöln
2/2017
Heep-Al ine , Mülle -Pe e s, Schimikowski, Schnu (H sg.): Big Da a ü Ve siche ungen. P oceedings
zum 21. Kölne Ve siche ungssymposium am 3. 11. 2016 in Köln
1/2017
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2016
2016
13/2016
Völle : E olgs ak o en eines Online-Po als ü Akademike
12/2016
Mülle -Pe e s, Ga ze : Todsiche : Die Wah nehmung und Fehlwah nehmung
on All ags isiken in de Ö en lichkei (e schein 2017)
11/2016
Heep-Al ine , Penzel, Rohl s, Voßmann: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des
du chgängigen Da enmodells de „IVW Leben AG“
10/2016
Heep-Al ine (H sg.): Big Da a. P oceedings zum 10. FaRis & DAV Symposium
am 10. Juni 2016 in Köln
9/2016
Ma e ne, Pü z, Engling: Die An o de ungen an die E eignisde ini ion des Rück e siche ungs e ags:
Eindeu igkei und Konsis enz mi dem zug undeliegenden Risiko
8/2016
Rohl s (H sg.): Quan i a i es Risikomanagemen . P oceedings zum 9. FaRis & DAV Symposium
am 4. Dezembe 2015 in Köln
7/2016
E emuk, Heep-Al ine : In e nes Modell am Beispiel des du chgängigen Da enmodells de „IVW P i a
AG“
6/2016
Heep-Al ine , Rohl s, Dağoğlu, Pulido, Ven e : Be ich sp lich en und P ozessan o de ungen nach
Sol ency II
5/2016
Goecke: Collec i e De ined Con ibu ion Plans - Back es ing based on Ge man capi al ma ke da a
1955 - 2015
4/2016
Knobloch: Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en - Spezielle un e jäh liche und zei s e ige Modelle
3/2016
Völle (H sg.): Sozialisie du ch Google, Apple, Amazon, Facebook und Co. – Kundene wa ungen
und –
e ah ungen in de Asseku anz. P oceedings zum 20. Kölne Ve siche ungssymposium am 5.
No embe 2015 in Köln
2/2016
Ma e ne (H sg.): Jah esbe ich 2015 des Fo schungsschwe punk s Rück e siche ung
1/2016
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2015
2015
11/2015
Goecke (H sg.): Kapi alanlage isiken: Economic Scena io Gene a o und Liquidi ä smanagemen .
P oceedings zum 8. FaRis & DAV Symposium am 12. Juni 2015 in Köln
10/2015
Heep-Al ine , Rohl s: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen
Da enmodells de „IVW P i a AG“ – Teil 2
9/2015
Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds
8/2015
S obel (H sg.): Managemen des Langlebigkei s isikos. P oceedings zum 7. FaRis & DAV
Symposium am 5.12.2014 in Köln
7/2015
Völle , Wunde : En e p ise 2.0: Konzep ion eines Wikis im Sinne des p ozesso ien ie en
Wissensmanagemen s
6/2015
Heep-Al ine , Rohl s: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen
Da enmodells de „IVW P i a AG‘‘
5/2015
Knobloch: Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine bewe e en inhomogenen
Ma ko -Ke e. Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen
4/2015
Heep-Al ine , Rohl s, Beie : E neue ba e Ene gien und ALM eines Ve siche ungsun e nehmens
3/2015
Dolgo : Calib a ion o Hes on's s ochas ic ola ili y model o an empi ical densi y using a gene ic
algo i hm
2/2015
Heep-Al ine , Be g: Mik oökonomisches P oduk ionsmodell ü Ve siche ungen
1/2015
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2014
2014
10/2014
Mülle -Pe e s, Völle (beide H sg.): Inno a ion in de Ve siche ungswi scha
9/2014
Knobloch: Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we
8/2014
Heep-Al ine , Münchow, Scuzza ello: Ausgleichs echnungen mi Gauß Ma kow Modellen am Beispiel
eines ik i en S o nobes andes
7/2014
G undhö e , Rö ge , Sche e : Wozu noch Papie ? Eins ellungen on S udie enden zu E-Books
6/2014
Heep-Al ine , Be g (beide H sg.): Ka as ophenmodellie ung - Na u ka as ophen, Man Made Risiken,
Epidemien und meh . P oceedings zum 6. FaRis & DAV Symposium am 13.06.2014 in Köln
5/2014
Goecke (H sg.): Modell und Wi klichkei . P oceedings zum 5. FaRis & DAV Symposium am 6.
Dezembe 2013 in Köln
4/2014
Heep-Al ine , Hoos, K ah o s : Fai Value Bewe ung on zedie en Rese en
3/2014
Heep-Al ine , Hoos: Ve ein ach e Na Ca Modellie ungsansa z zu Rück e siche ungsop imie ung
2/2014
Zimme mann: F auen im Ve siche ungs e ieb. Was sagen die P i a kunden dazu?
1/2014
Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2013
2013
11/2013
Heep-Al ine : Ve lus abso bie ung du ch la en e S eue n nach Sol ency II in de
Schaden e siche ung, N . 11/2013
10/2013
Mülle -Pe e s: Kunden e hal en im Umb uch? Neue In o ma ions- und Abschlusswege in de K z-
Ve siche ung, N . 10/2013
9/2013
Knobloch: Risikomanagemen in de be ieblichen Al e s e so gung. P oceedings zum 4. FaRis &
DAV-Symposium am 14. Juni 2013
8/2013
S obel (H sg.): Rechnungsg undlagen und P ämien in de Pe sonen- und Schaden e siche ung -
Ak uelle Ansä ze, Möglichkei en und G enzen. P oceedings zum 3. FaRis & DAV Symposium am 7.
Dezembe 2012
7/2013
Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich -
Back es ing
6/2013
Knobloch: Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e
5/2013
Heep-Al ine e al. (H sg.): Value-Based-Managemen in Non-Li e Insu ance
4/2013
Heep-Al ine : Ve ein ach es Fo melwe k ü den MCEV ohne Renewals in de Schaden e siche ung
3/2013
Mülle -Pe e s: De e ne z e Au o ah e – Akzep anz und Akzep anzg enzen on eCall,
We ks a e ne zung und Meh we diens en im Au omobilbe eich
2/2013
Maie , Schimikowski (beide H sg.): P oceedings zum 6. Diskussions o um Ve siche ungs ech am
25. Sep embe 2012 an de FH Köln
1/2013
Ins i u ü Ve siche ungswesen (H sg.): Fo schungsbe ich ü das Jah 2012
2012
11/2012
Goecke (H sg.): Al e na i e Zinsga an ien in de Lebens e siche ung. P oceedings zum 2. FaRis &
DAV-Symposiums am 1. Juni 2012
10/2012
Kla , Schiegl: Quan i a i e Risikoanalyse und -bewe ung echnische Sys eme am Beispiel eines
medizinischen Ge ä es
9/2012
Mülle -Pe e s: Ve gleichspo ale und Ve b auche wünsche
8/2012
Füllg a , Völle : Social Media Rei eg admodell ü die deu sche Ve siche ungswi scha
7/2012
Völle : Die Social Media Ma ix - O ien ie ung ü die Ve siche ungsb anche
6/2012
Knobloch: Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en bei
un e jäh liche Zahlweise
5/2012
Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ions echnungen
4/2012
Gün he (H sg.): P i a e sus S aa - Schuss ah zu Zwangs e siche ung? Tagungsband zum 16.
Kölne Ve siche ungssymposium am 16. Ok obe 2011
3/2012
Heep-Al ine /K ause: De Embedded Value im Ve gleich zum ökonomischen Kapi al in de
Schaden e siche ung
2/2012
Heep-Al ine (H sg.): De MCEV in de Lebens- und Schaden e siche ung - geeigne ü die
Un e nehmenss eue ung ode nich ? P oceedings zum 1. FaRis & DAV-Symposium am 02.12.2011
in Köln
1/2012
Ins i u ü Ve siche ungswesen (H sg.): Fo schungsbe ich ü das Jah 2011
2011
5/2011
Reime s-Rawcli e: Eine Da s ellung on Rück e siche ungsp og ammen mi Anwendung au den
Komp essionse ek
4/2011
Knobloch: Ein Konzep zu Be echnung on ein achen Ba we en in de be ieblichen
Al e s e so gung mi hil e eine Ma ko -Ke e
3/2011
Knobloch: Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en
2/2011
Heep-Al ine : Pe o manceop imie ung des (B u o) Neugeschä s in de Schaden e siche ung
1/2011
Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich
