Die Pfade einer bewerteten inhomogenen Markov-Kette - Fallbeispiele aus der betrieblichen Altersversorgung

Fo schung am i wKöln Band 4/2018 Die P ade eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e - Fallbeispiele aus de be ieblichen Al e s e so gung Ral Knobloch Fo schung am i wKöln, Band 4/2018 Ral Knobloch Fo schungss elle FaRis Die P ade eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e - Fallbeispiele aus de be ieblichen Al e s e so gung Zusammen assung In de o liegenden A bei we den in d ei Fallbeispielen aus dem Be eich de be ieblichen Al e s e so gung die Ve so gungszusagen mi hil e on bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke en modellie . Dabei lieg de Fokus au den P aden de Ma ko -Ke en. Es wi d anhand de Fallbeispiele gezeig , wie man mi hil e de P ade den E wa ungswe und die S anda dabweichung de Zu alls a iablen „Ba we alle zukün igen Zahlungen“ be echnen kann. Da übe hinaus is es au Basis de P ade möglich, in Bezug au diese Zu alls a iable auch Wah scheinlichkei en on speziellen E eignissen und Risikomaße – Value a Risk und Expec ed Sho all – zu be echnen. Abs ac In he p esen pape , in h ee case s udies om he ield o pensions, he pension liabili ies a e modeled using p iced inhomogeneous Ma ko chains. The ocus lies on he pa hs o he Ma ko chains. The case s udies show how he pa hs can be used o calcula e he expec ed alue and he s anda d de ia ion o he andom a iable "p esen alue o he cash- low". In addi ion, based on he pa hs, i is possible o calcula e p obabili ies o speci ic e en s and isk measu es – alue a isk and expec ed sho all – wi h espec o his andom a iable. Schlagwö e : Be iebliche Al e s e so gung, Ma ko -Ke e, Bewe e e Ma ko -Ke e, Ba we , Value a Risk, Expec ed Sho all Keywo ds: Pensions, Ma ko Chain, P iced Ma ko Chain, P esen Value, Value a Risk, Expec ed Sho all  - 1 - Inhal s e zeichnis 1. EINLEITUNG ........................................................................................................................................ 2 2. DAS ALLGEMEINE MODELL ............................................................................................................ 3 3. BETRIEBLICHE ALTERSVERSORGUNG ....................................................................................... 4 4. FALLBEISPIEL 1: EIN RENTENBEZIEHER .................................................................................... 5 5. FALLBEISPIEL 2: EIN ARBEITNEHMER ...................................................................................... 10 6. FALLBEISPIEL 3: BESTAND MIT ZEHN PERSONEN ................................................................. 12 7. FAZIT .................................................................................................................................................. 16 LITERATURVERZEICHNIS ....................................................................................................................... 17 - 2 - 1. Einlei ung S ochas ische P ozesse haben in den Wi scha swissenscha en die iel äl igs en Anwendungen. Sie we den zu Modellie ung sowohl bei klassischen be iebs- wi scha lichen Sach e hal en als auch bei speziellen F ages ellungen in den Be eichen Insu ance und Finance eingese z . Eine de wich igs en Modellklasse bilden die Ma ko -Ke en mi endlichem Zus ands aum und disk e e Zei achse. Als Beispiele ü die Anwendung diese Modelle bei klassischen be iebswi scha lichen F ages ellungen seien hie die Themen Wa eschlangensys eme, Lage hal ung und (Ma ko sche) En scheidungsp ozesse genann ( gl. [13]). In de Pe sonen e siche - ungsma hema ik we den Ma ko -Ke en zu Kalkula ion on Ba we en, Rese en und P ämien e wende ( gl. [10], [12], [2], [3], [5], [6], [7], [8], [9]). In dem in diese Ausa bei ung e wende en Modell gib es neben den Zus änden de Ma ko -Ke e eine wei e e ele an e Modellkomponen e – die sogenann e Bewe ung. Dabei wi d in jedem Zei punk jedem möglichen Zus and ein Zahlbe ag zugeo dne . Dies üh zum Beg i de bewe e en Ma ko -Ke e. Da übe hinaus wi d im hie behandel en Modell die zei liche En wicklung allgemein als inhomogen angese z . Im Mi elpunk des In e esses s eh de zu ällige Ba we des mi de Bewe ung modellie en Zahlungss oms. Fü die cha ak e is ische Funk ion bzw. die momen ene zeugende Funk ion diese Zu alls a iablen läss sich eine geschlossene Fo mel he lei en. Dami is die Ve eilung des zu älligen Ba we s des Zahlungss oms eindeu ig es geleg und mi hil e de nume ischen Ablei ung lassen sich de E wa ungswe und höhe e Momen e be echnen ( gl. [6], [7], [8], [9]). O en jedoch is bishe die Be echnung on Quan ilen und Risikomaßen wie Value a Risk und Expec ed Sho all. In de o liegenden Ausa bei ung wi d anhand on Fallbeispielen aus dem Be eich de be ieblichen Al e s e so gung gezeig , wie diese Lücke geschlossen we den kann bzw. welche echen echnischen P obleme dabei en s ehen. Die Be echnungen basie en au eine Analyse de P ade de zug undeliegenden inhomogenen Ma ko -Ke e. - 3 - 2. Das allgemeine Modell Gegeben sei eine Ma ko -Ke e (𝑿𝑿𝒕𝒕)𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐,… mi dem endlichen Zus ands aum 𝑺𝑺={𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐,…,𝑵𝑵}. Dabei s eh de Zei punk 𝒕𝒕 ü den Beginn des (𝒕𝒕+𝟏𝟏)- en Jah es bzw. die Zu alls a iable 𝑿𝑿𝒕𝒕 ü den Zus and zu Beginn des (𝒕𝒕+𝟏𝟏)- en Jah es, 𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐, … . Die Übe gangswah scheinlichkei en om Zei punk 𝒕𝒕−𝟏𝟏 zum Zei punk 𝒕𝒕 seien gegeben du ch die (N+1)x(N+1)-Ma ix 𝑸𝑸(𝒕𝒕)=�𝒒𝒒𝒋𝒋𝒋𝒋(𝒕𝒕)�𝒋𝒋,𝒋𝒋∈𝑺𝑺 , d.h. 𝒒𝒒𝒋𝒋𝒋𝒋(𝒕𝒕)≔𝑷𝑷(𝑿𝑿𝒕𝒕=𝒋𝒋|𝑿𝑿𝒕𝒕−𝟏𝟏 =𝒋𝒋), 𝒋𝒋,𝒋𝒋𝒌𝒌𝑺𝑺 und 𝒕𝒕=𝟏𝟏,𝟐𝟐, … ( gl. [2]). Da die Übe gangsma izen explizi on dem Zei pa ame e 𝒕𝒕 abhängen, heiß die Ma ko -Ke e inhomogen ( gl. [10] S.16 , [13] S.11). Die Ve eilung de Zu alls a iablen 𝑿𝑿𝒕𝒕, 𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐, …, sei gegeben du ch den Zeilen ek o 𝑷𝑷𝒕𝒕=�𝑷𝑷𝒕𝒕,𝒋𝒋�𝒋𝒋∈𝑺𝑺, d.h. 𝑷𝑷(𝑿𝑿𝒕𝒕=𝒋𝒋)=𝑷𝑷𝒕𝒕,𝒋𝒋 , 𝒋𝒋∈𝑺𝑺. Im Folgenden wi d da on ausgegangen, dass 𝑷𝑷𝟎𝟎 o gegeben is und alle Wah scheinlichkei en, Ve eilungen und Momen e gegeben diese An angs e eilung be echne we den. Un e Anwendung de Chapman-Kolmogo o -Gleichung ü Ma ko -Ke en ( gl. [10] S.14) e gib sich ü 𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐, … 𝑷𝑷𝒕𝒕=𝑷𝑷𝟎𝟎∙�𝑸𝑸(𝒔𝒔) 𝒕𝒕 𝒔𝒔=𝟏𝟏 ( gl. [2]). Fü diese inhomogene Ma ko -Ke e wi d nun du ch die Spal en ek o en 𝑳𝑳𝒕𝒕=�𝑳𝑳𝒕𝒕,𝒋𝒋�𝒋𝒋∈𝑺𝑺 , 𝒕𝒕=𝟎𝟎,𝟏𝟏,𝟐𝟐, … eine Bewe ung de inie , die in jedem Zei punk jedem möglichen Zus and eine eelle Zahl bzw. eine Zahlung zuo dne . Die Zu alls a iable „Ba we de e s en 𝒏𝒏+𝟏𝟏 Zahlungen“ is dann gegeben du ch: 𝑩𝑩𝟎𝟎(𝒏𝒏)=��𝟏𝟏{𝑿𝑿𝒕𝒕=𝒋𝒋}∙𝒗𝒗𝒕𝒕∙𝑳𝑳𝒕𝒕,𝒋𝒋 𝑵𝑵 𝒋𝒋=𝟎𝟎 𝒏𝒏 𝒕𝒕=𝟎𝟎 Dabei sei 𝒗𝒗 de Diskon ie ungs ak o ü ein Jah gegeben du ch 𝒗𝒗=𝟏𝟏 𝟏𝟏+𝒓𝒓 und 𝒓𝒓>−𝟏𝟏 de zei lich kons an e Rechnungszins p o Jah . - 4 - 3. Be iebliche Al e s e so gung Zu Modellie ung eine Ve so gungszusage au be iebliche Al e s e so gung mi hil e eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e müssen zum einen die Übe gangsma izen und zum ande en die Bewe ungs ek o en bese z we den. Da übe hinaus is ü die Zu alls a iable „Ba we de e s en 𝒏𝒏+𝟏𝟏 Zahlungen“ de jäh liche Rechnungszins zu wählen. Da eine Zusage au be iebliche Al e s e so gung i.d.R. eine Al e s-, eine In aliden- und eine Hin e bliebenen- e so gung beinhal e , basie en die Übe gangsma izen au einem Sys em bes ehend aus S e be-, In alidisie ungs- und Ve hei a ungswah scheinlichkei en. Zu Modellie ung de Hin e bliebenen e so gung benö ig man zusä zlich (kollek i e) Al e sun e schiede im Todes all und zu Modellie ung de Ren enphasen ein Al e ü den Übe gang in die Al e s en e und ein gene elles Endal e ü den le z möglichen Bezug eine Ren enzahlung. Le z e es o ien ie sich an dem maximal e eichba en Lebensal e . Es wi d nu die jäh liche Zahlweise behandel , so dass keine Annahmen übe un e jäh liche Ve zinsungen und un e jäh liche S e bewah scheinlichkei en ge o en we den müssen. Die Bewe ungs ek o en e geben sich aus den zugesag en Ren enhöhen. Als S anda dmodell ü die be iebliche Al e s e so gung we den in Deu schland übliche weise die Rich a eln on Klaus Heubeck ( gl. [1]) e wende . Die Rich a eln en hal en ein Sys em on Wah scheinlichkei en mi allen ü die Bese zung de Übe gangsma izen nö igen We en und ein Fo melwe k zu Bewe ung on Ve so gungszusagen. Die Rich a eln sind sei 2005 als Gene a ionen a eln konzipie . De mi dem Fo melwe k de Rich a eln be echne e Ba we en sp ich dem E wa ungswe de oben de inie en Zu alls a iablen „Ba we de e s en 𝒏𝒏+𝟏𝟏 Zahlungen“ mi einem geeigne en 𝒏𝒏. Die Modellie ung mi eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e üh bezüglich des E wa ungswe es zu den gleichen E gebnissen wie das Fo melwe k de Rich a eln: In den Fallbeispielen in [6], [7], [8] und [9] weichen die E gebnisse nu minimal oneinande ab. Zusä zlich e möglich die Modellie ung abe auch die Be echnung höhe e Momen e, wie z.B. Va ianz und S anda dabweichung. - 5 - 4. Fallbeispiel 1: Ein Ren enbeziehe Zunächs be ach en wi den Fall eines einzelnen Ren enbeziehe s. Diese e häl eine jäh lich o schüssig Ren e in Höhe on 1.000 €. Die Zusage beinhal e keine Hin e bliebenen e so gung. De Ren enbeziehe sei 74 Jah e al . Das Endal e wi d mi 100 angese z . Die S e bewah scheinlichkei en seien wie olg gegeben: Al e S e bewah - scheinlich- kei Al e S e bewah - scheinlich- kei Al e S e bewah - scheinlich- kei 74 0,026 83 0,063 92 0,163 75 0,028 84 0,070 93 0,179 76 0,031 85 0,078 94 0,197 77 0,034 86 0,087 95 0,211 78 0,037 87 0,097 96 0,225 79 0,041 88 0,108 97 0,239 80 0,046 89 0,120 98 0,254 81 0,051 90 0,133 99 0,269 82 0,056 91 0,147 100 1,000 Zunächs wi d mi den in de Pe sonen e siche ungsma hema ik üblichen Me hoden de e wa e e Ba we de Ren enzahlungen be echne . De jäh liche Rechnungszins sei 3%. Es wi d da on ausgegangen, dass die Ren enzahlung ü das Al e 74 so o e olg und somi nich meh abgezins wi d, alle ande n Ren enzahlungen sind en sp echend de Al e sdi e enz abzuzinsen. Dami e gib sich mi de Fo mel 𝟏𝟏 𝒍𝒍𝟕𝟕𝟕𝟕 ∙ � 𝑹𝑹𝒋𝒋∙𝒗𝒗𝒋𝒋−𝟕𝟕𝟕𝟕 ∙𝒍𝒍𝒋𝒋 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒋𝒋=𝟕𝟕𝟕𝟕 =𝟏𝟏 𝑫𝑫𝟕𝟕𝟕𝟕 ∙ � 𝑹𝑹𝒋𝒋∙𝑫𝑫𝒋𝒋 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒋𝒋=𝟕𝟕𝟕𝟕 ein e wa e e Ba we on 𝟏𝟏𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟑𝟑 €. Dabei seien wie in de Pe sonen e siche ungsma hema ik üblich 𝒍𝒍𝒋𝒋 die Lebenden und 𝑫𝑫𝒋𝒋 die diskon ie en Lebenden jeweils im Al e 𝒋𝒋. Fe ne seien die Ren enzahlungen 𝑹𝑹𝒋𝒋 kons an gleich 1.000 ü alle 𝒋𝒋=𝟕𝟕𝟕𝟕,…,𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎. Bei de Be echnung e geben sich die olgenden (au ie Nachkommas ellen ge unde en) Zwischene gebnisse: - 6 - Al e 𝒋𝒋 Lebende 𝒍𝒍𝒋𝒋 Diskon ie e Lebende 𝑫𝑫𝒋𝒋 Al e 𝒋𝒋 Lebende 𝒍𝒍𝒋𝒋 Diskon ie e Lebende 𝑫𝑫𝒋𝒋 74 100.000,0000 11.221,3568 88 46.330,7775 3.437,1130 75 97.400,0000 10.611,2636 89 41.327,0535 2.976,6066 76 94.672,8000 10.013,7362 90 36.367,8071 2.543,1202 77 91.737,9432 9.420,6896 91 31.530,8888 2.140,6653 78 88.618,8531 8.835,3264 92 26.895,8481 1.772,8034 79 85.339,9555 8.260,6013 93 22.511,8249 1.440,6179 80 81.841,0173 7.691,1812 94 18.482,2082 1.148,2983 81 78.076,3305 7.123,6766 95 14.841,2132 895,2268 82 74.094,4376 6.563,4651 96 11.709,7172 685,7611 83 69.945,1491 6.015,4476 97 9.075,0308 515,9853 84 65.538,6047 5.472,3053 98 6.906,0984 381,2280 85 60.950,9024 4.941,0135 99 5.151,9494 276,1127 86 56.196,7320 4.422,9266 100 3.766,0750 195,9596 87 51.307,6163 3.920,5165 101 0,0000 0,0000 Summe 122.923,0045 Modellie man die Ren enzahlungen mi hil e eine bewe en inhomogenen Ma ko - Ke e, so benö ig man die olgenden beiden Zus ände: Zus and 0: „De Ren enbeziehe is o “ Zus and 1: „De Ren enbeziehe leb “ Dami e gib sich z.B. als d i e Übe gangsma ix 𝑸𝑸(𝟑𝟑)=�𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟑𝟑𝟏𝟏 𝟎𝟎,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗�. De Bewe ungs ek o wi d einhei lich mi dem Spal en ek o �𝟎𝟎 𝟏𝟏.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎� angese z . Da im o liegenden Beispiel die Ren enzahlungen maximal ü 27 Jah e lau en, is zu Be ücksich igung alle Zahlungen 𝒏𝒏=𝟐𝟐𝟕𝟕 aus eichend. Dami wi d o mal als le z es Al e 101 be ücksich ig , obwohl in diesem Al e keine Zahlung meh e olgen kann. Be echne man un e diesen Annahmen die momen ene zeugende Funk ion de Zu alls a iablen 𝑩𝑩𝟎𝟎(𝟐𝟐𝟕𝟕) und lei e diese nume isch ab ( gl. in [6], [7], [8], [9]), so e häl man als E wa ungswe eben alls 𝟏𝟏𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟑𝟑 € und als S anda dabweichung 𝟕𝟕.𝟕𝟕𝟗𝟗𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟕𝟕 €. - 13 - Dabei is bei eine Pe son ein P ad ele an , wenn e eine posi i e Wah scheinlichkei ha . Se z man die (s ochas ische) Unabhängigkei de Pe sonenschicksale o aus, so müssen ü die Ve eilung de Zu alls a iablen „Ba we alle zukün igen Zahlungen“ bezogen au den Bes and, alle Kombina ionen on ele an en P aden de Einzelpe sonen be ücksich ig we den. Es e geben sich dann ü den Bes and ca. 4,39·1035 ele an e P ade. Die Wah scheinlichkei eines P ades be echne sich dabei wegen de Unabhängigkei de Pe sonenschicksale du ch die Mul iplika ion de Wah scheinlichkei en de zehn zugehö igen P ade de einzelnen Pe sonen. Da abe bei eine solchen Anzahl on P aden die EDV- echnische Umse zung mi Blick au die Rechenzei schnell an ih e G enzen s öß , we den im o liegenden Fallbeispiel die Ausgänge de Zu alls a iablen „Ba we alle zukün igen Zahlungen“ ü die Einzelpe sonen du ch Rundung zu Klassen zusammenge ass . Dadu ch eduzie sich bezogen au den Bes and die Anzahl de ele an en P ade e heblich. Mi de so be echne en Ve eilung we den dann ü die Zu alls a iable „Ba we alle zukün igen Zahlungen“ bezogen au den Bes and die Kennzahlen E wa ungswe , S anda dabweichung, Value a Risk zum Ni eau 5% und Expec ed Sho all zum Ni eau 5% be echne . Die E gebnisse sind in de nach olgenden Tabelle zusammenges ell . Dabei e gib sich de We ü den E wa ungswe de Zu alls a iablen „Ba we alle zukün igen Zahlungen“ bei de Me hode „Nume isches Ablei en de momen ene zeugenden Funk ion“ wegen de Linea i ä des E wa ungswe es du ch Addi ion de Einzelwe e. Wegen de Unabhängigkei de Pe sonenschicksale, läss sich bei diese Me hode die Va ianz eben alls du ch Addi ion de Einzelwe e be echnen. Die S anda d- abweichung e gib sich dann als Wu zel aus de Va ianz. Be echne man ü die Momen e E wa ungswe und Va ianz die Einzelwe e analog zu den Fallbeispielen 1 und 2 übe die jeweiligen aus den P aden abgelei e en Wah scheinlichkei en und addie anschließend die Einzelwe e, so e häl man bezogen au den Bes and ü den E wa ungswe 123.673 und ü die S anda dabweichung 13.176. - 14 - Me hode Nume isches Ablei en de momen en- e zeugenden Funk ion Ve eilung mi Klassenbildung du ch Runden au 5.000 Ve eilung mi Klassenbildung du ch Runden au 3.000 Ve eilung mi Klassenbildung du ch Runden au 2.000 E wa ungs- we 123.673 122.662 123.551 123.420 S anda d- abweichung 13.176 13.956 13.483 13.382 Value a Risk Ni eau 5% 145.000 144.000 144.000 Expec ed Sho all Ni eau 5% 149.581 149.440 149.031 Anzahl de ele an en P ade 84.707.280 6.696.500.580 ca. 2,54·1011 Rechenzei in s d:min:sek (Delphi- P og amm) 00:02:10 00:06:49 02:54:42 Fü den E wa ungswe und die S anda dabweichung e häl man im o liegenden Beispiel bei de Klassenbildung du ch Runden au 2.000 bzw. au 3.000 hin eichend genaue E gebnisse. Dabei lie e die Rundung au 3.000 ü den E wa ungswe eine besse e Nähe ung als die Rundung au 2.000. Jedoch is de Un e schied minimal. Beide We e haben eine Abweichung om exak en We on wenige als 0,25%. Runde man au 5.000, so is das E gebnis ü den E wa ungswe mi eine Abweichung un e 1% imme noch seh gu . Die S anda dabweichung jedoch ha mi 5,9% eine ela i hohe Abweichung om exak en We . De Vo eil de Be echnungen mi den au den ele an en P aden basie enden Wah scheinlichkei en lieg abe da in, dass neben den Momen en auch Wah scheinlichkei en on E eignissen und Risikomaße (Value a Risk und Expec ed Sho all) be echne we den können. Alle dings is die Rechenzei ü die Rundung au 2.000 bei de hie e wende en So - bzw. Ha dwa e ela i hoch. Die ande en beiden Be echnungen (Rundung au 5.000 und Rundung au 3.000) haben zwa ge inge e Rechenzei en, da ü e lie man bei den E gebnissen abe an Genauigkei . - 15 - Die Beu eilung de mi de Zusage e bundenen biome ischen Risiken kann au Basis de Risikomaße e olgen. Dabei s eh de übe den e wa e en Ba we de zukün igen Zahlungen hinausgehende Au wand, d.h. die Di e enz on Risikomaß und E wa ungswe , im Fokus. Ve wende man den exak be echne en E wa ungswe und die Risikomaße au Basis de Rundung au 2.000, so e gib sich ü den „une wa e en“ Au wand au Basis des Value a Risk ein We on 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟕𝟕.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑.𝟗𝟗𝟕𝟕𝟑𝟑=𝟐𝟐𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟐𝟐𝟕𝟕 und au Basis des Expec ed Sho alls eine We on 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟗𝟗.𝟎𝟎𝟑𝟑𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟐𝟐𝟑𝟑.𝟗𝟗𝟕𝟕𝟑𝟑=𝟐𝟐𝟗𝟗.𝟑𝟑𝟗𝟗𝟑𝟑. Bewe e man die biome ischen Risiken mi dem une wa e en Au wand ü jede de zehn Pe sonen einzeln und addie diese Bewe ungen, so e gib au Basis des Value a Risk ein We on 𝟗𝟗𝟑𝟑.𝟑𝟑𝟗𝟗𝟗𝟗 und au Basis des Expec ed Sho all ein We on 𝟕𝟕𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟑𝟑𝟗𝟗. De Un e schied zwischen de Risikobewe ung ü den Bes and und de Summe de Bewe ung de Einzel isiken is dabei au den Di e si ika ionse ek zu ückzu üh en. - 16 - 7. Fazi In de o liegenden Ausa bei ung wi d in ein achen Fallbeispielen aus de be ieblichen Al e s e so gung die Zusage mi hil e eine inhomogenen Ma ko -Ke e modellie . Dabei s eh die Zu alls a iable „Ba we alle zukün igen Zahlungen“ und de en Ve eilung im Mi elpunk des In e esses. Du ch eine Be ach ung de einzelnen P ade de inhomogenen Ma ko -Ke e is es möglich, neben den üblichen Momen en (wie E wa ungswe , Va ianz und S anda dabweichung) auch Wah scheinlichkei en on speziellen E eignissen und Risikomaße zu be echnen. Wegen de hohen Anzahl de P ade e o de dies abe den Einsa z on EDV- echnischen Me hoden. Bei Bes änden kann dabei – wie in Fallbeispiel 3 – ein Ve ah en zu Reduk ion de Rechenzei e o de lich sein. In de be ieblichen Al e s e so gung benö ig man zu Modellie ung eine Ve so gungszusage i.d.R. meh Zus ände als in den o liegenden Fallbeispielen. Da übe hinaus is in Fallbeispiel 3 die Anzahl de Pe sonen mi zehn – im Ve gleich zu den in de P axis üblichen Bes andsg ößen – seh nied ig. So dass es im Allgemeinen wei e e EDV- echnische En wicklungen beda , wenn man diese hie o ges ell en Me hoden in de P axis einse zen möch e. - 17 - Li e a u e zeichnis [1] Heubeck, Klaus Rich a eln 2005G,Tex band und P og amm Heu ika 2,Ve lag: Heubeck-Rich a eln-GmbH, Köln 2005. [2] Knobloch, Ral Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en, In: Fo schung am i wKöln, Band 3/2011, Köln 2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-98 (S and 01. Ap il 2018). [3] Knobloch, Ral Ein Konzep zu Be echnung on ein achen Ba we en in de be ieblichen Al e s e so gung mi hil e eine Ma ko - Ke e, In: Fo schung am i wKöln, Band 4/2011, Köln 2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-100 (S and 01. Ap il 2018). [4] Knobloch, Ral Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke e bei un e jäh liche Zahlweise, In: Fo schung am i wKöln, Band 6/2012, Köln 2012, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-204 (S and 01. Ap il 2018). [5] Knobloch, Ral Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e, In: Fo schung am i wKöln, Band 6/2013, Köln 2013, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-402 (S and 01. Ap il 2018). [6] Knobloch, Ral Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e-Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen, In: Fo schung am i wKöln, Band 5/2015, Köln 2015, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos-816 (S and 01. Ap il 2018). - 18 - [7] Knobloch, Ral Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en – Spezielle un e jäh liche und zei s e ige Modelle, In: Fo schung am i wKöln, Band 4/2016, Köln 2016, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos4-3416 (S and 01. Ap il 2018). [8] Knobloch, Ral De Ba we de Ren enzahlungen aus eine be ieblichen Ve so gungszusage, De Ak ua 2016, He 4, S. 210 – 213. [9] Knobloch, Ral Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e - Eine Ve allgemeine ung des linea en Ansa zes, In: Fo schung am i wKöln, Band 7/2017, Köln 2017, h p://nbn- esol ing.de/u n:nbn:de:hbz:832-cos4-5535 (S and 01. Ap il 2018). [10] Kolle , Michael S ochas ische Modelle in de Lebens e siche ung, 2. Au lage, Sp inge -Ve lag, Be lin Heidelbe g 2010. [11] K iele, Ma cus; Wol , Jochen We o ien ie es Risikomanagemen on Ve siche ungsun e -nehmen, Sp inge ‐ Ve lag, Be lin Heidelbe g 2012 [12] Milb od , Ha mu ; Helbig, Man ed Ma hema ische Me hoden de Pe sonen e siche ung, De G uy e , Be lin New Yo k 1999. [13] Waldmann, Ka l- Heinz; S ocke , Ul ike M. S ochas ische Modelle, 2. Au lage, Sp inge Ve lag, Heidelbe g 2013. Imp essum Diese Ve ö en lichung e schein im Rahmen de Online-Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“. Eine olls ändige Übe sich alle bishe e schienenen Publika ionen inde sich am Ende diese Publika ion und kann hie abge u en we den. Fo schung am i w Köln, 4/2018 ISSN (online) 2192 -8479 Ral Knobloch: Die P ade eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e – Fallbeispiele aus de be ieblichen Al e s e so gung Köln, Ap il 2018 Sch i lei ung / edi o ’s o ice: P o . D . Jü gen S obel Ins i u ü Ve siche ungswesen / Ins i u e o Insu ance S udies Fakul ä ü Wi scha s - und Rech swissenscha en / Facul y o Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / Uni e si y o Applied Sciences Gus a Heinemann -U e 54 50968 Köln Tel. +49 221 8275-3270 Fax +49 221 8275 -3277 Mail jue gen.s obel@ h-koeln.de Web www. h -koeln.de He ausgebe de Sch i en eihe / Se ies Edi o ship: P o . D . Lu z Reime s -Rawcli e P o . D . Pe e Schimikowski P o . D . Jü gen S obel Kon ak Au o / Con ac au ho : P o . D . Ral Knobloch S chmalenbach Ins i u ü Wi scha swissenscha en / Schmalenbach Ins i u e o Business Adminis a ion Fakul ä ü Wi scha s - und Rech swissenscha en / Facul y o Business, Economics and Law Technische Hochschule Köln / Uni e si y o Applied Sciences Gus a Heinemann -U e 54 50968 Köln Mail al .knobloch@ h -koeln.de Publika ions eihe „Fo schung am i wKöln“ Die Ve ö en lichungen de Online-Publika ions eihe "Fo schung am i wKöln" (ISSN: 2192-8479) we den übliche weise übe Cologne Open Science (Publika ionsse e de TH Köln) e ö en lich . Die Publika ionen we den hie du ch übe na ionale und in e na ionale Biblio hekska aloge, Suchmaschinen sowie ande e Nachweisins umen e e schlossen. Alle Publika ionen sind auch kos enlos ab u ba un e www.i w-koeln.de. 2018 3/2018 Völle , Mülle -Pe e s: Insu Tech Ka e i wKöln 1/2018 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am i wKöln 2/2018 Schmid , Schulz: Insu Tech. P oceedings zum 12. FaRis & DAV Symposium am 9. Juni 2017 in Köln 1/2018 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2017 2017 8/2017 Ma e ne, Pü z: Al e na i e Capi al und Basis isiko in de S anda d o mel (non-li e) on Sol ency II 7/2017 Knobloch: Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e - Eine Ve allgemeine ung des linea en Ansa zes 6/2017 Goecke, Oska (H sg.): Risiko und Resilienz. P oceedings zum 11. FaRis & DAV Symposium am 9. Dezembe 2016 in Köln 5/2017 G undhö e , D euw, Quin , S egemann : Bewe ungspo ale - eine neue Quali ä de Konsumen enin o ma ion? 4/2017 Heep-Al ine , Meh ing, Rohl s: Bewe ung des e ügba en Kapi als am Beispiel des Da enmodells de „IVW P i a AG“ 3/2017 Mülle -Pe e s, Völle : Insu Tech Ka e i wKöln 1/2017 - Bei äge zu Insu Techs und Inno a ion am i wKöln 2/2017 Heep-Al ine , Mülle -Pe e s, Schimikowski, Schnu (H sg.): Big Da a ü Ve siche ungen. P oceedings zum 21. Kölne Ve siche ungssymposium am 3. 11. 2016 in Köln 1/2017 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2016 2016 13/2016 Völle : E olgs ak o en eines Online-Po als ü Akademike 12/2016 Mülle -Pe e s, Ga ze : Todsiche : Die Wah nehmung und Fehlwah nehmung on All ags isiken in de Ö en lichkei (e schein 2017) 11/2016 Heep-Al ine , Penzel, Rohl s, Voßmann: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen Da enmodells de „IVW Leben AG“ 10/2016 Heep-Al ine (H sg.): Big Da a. P oceedings zum 10. FaRis & DAV Symposium am 10. Juni 2016 in Köln 9/2016 Ma e ne, Pü z, Engling: Die An o de ungen an die E eignisde ini ion des Rück e siche ungs e ags: Eindeu igkei und Konsis enz mi dem zug undeliegenden Risiko 8/2016 Rohl s (H sg.): Quan i a i es Risikomanagemen . P oceedings zum 9. FaRis & DAV Symposium am 4. Dezembe 2015 in Köln 7/2016 E emuk, Heep-Al ine : In e nes Modell am Beispiel des du chgängigen Da enmodells de „IVW P i a AG“ 6/2016 Heep-Al ine , Rohl s, Dağoğlu, Pulido, Ven e : Be ich sp lich en und P ozessan o de ungen nach Sol ency II 5/2016 Goecke: Collec i e De ined Con ibu ion Plans - Back es ing based on Ge man capi al ma ke da a 1955 - 2015 4/2016 Knobloch: Bewe e e inhomogene Ma ko -Ke en - Spezielle un e jäh liche und zei s e ige Modelle 3/2016 Völle (H sg.): Sozialisie du ch Google, Apple, Amazon, Facebook und Co. – Kundene wa ungen und – e ah ungen in de Asseku anz. P oceedings zum 20. Kölne Ve siche ungssymposium am 5. No embe 2015 in Köln 2/2016 Ma e ne (H sg.): Jah esbe ich 2015 des Fo schungsschwe punk s Rück e siche ung 1/2016 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2015 2015 11/2015 Goecke (H sg.): Kapi alanlage isiken: Economic Scena io Gene a o und Liquidi ä smanagemen . P oceedings zum 8. FaRis & DAV Symposium am 12. Juni 2015 in Köln 10/2015 Heep-Al ine , Rohl s: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen Da enmodells de „IVW P i a AG“ – Teil 2 9/2015 Goecke: Asse Liabili y Managemen in einem selbs inanzie enden Pensions onds 8/2015 S obel (H sg.): Managemen des Langlebigkei s isikos. P oceedings zum 7. FaRis & DAV Symposium am 5.12.2014 in Köln 7/2015 Völle , Wunde : En e p ise 2.0: Konzep ion eines Wikis im Sinne des p ozesso ien ie en Wissensmanagemen s 6/2015 Heep-Al ine , Rohl s: S anda d o mel und wei e e Anwendungen am Beispiel des du chgängigen Da enmodells de „IVW P i a AG‘‘ 5/2015 Knobloch: Momen e und cha ak e is ische Funk ion des Ba we s eine bewe e en inhomogenen Ma ko -Ke e. Anwendung bei isikobeha e en Zahlungss ömen 4/2015 Heep-Al ine , Rohl s, Beie : E neue ba e Ene gien und ALM eines Ve siche ungsun e nehmens 3/2015 Dolgo : Calib a ion o Hes on's s ochas ic ola ili y model o an empi ical densi y using a gene ic algo i hm 2/2015 Heep-Al ine , Be g: Mik oökonomisches P oduk ionsmodell ü Ve siche ungen 1/2015 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2014 2014 10/2014 Mülle -Pe e s, Völle (beide H sg.): Inno a ion in de Ve siche ungswi scha 9/2014 Knobloch: Zahlungss öme mi zinsunabhängigem Ba we 8/2014 Heep-Al ine , Münchow, Scuzza ello: Ausgleichs echnungen mi Gauß Ma kow Modellen am Beispiel eines ik i en S o nobes andes 7/2014 G undhö e , Rö ge , Sche e : Wozu noch Papie ? Eins ellungen on S udie enden zu E-Books 6/2014 Heep-Al ine , Be g (beide H sg.): Ka as ophenmodellie ung - Na u ka as ophen, Man Made Risiken, Epidemien und meh . P oceedings zum 6. FaRis & DAV Symposium am 13.06.2014 in Köln 5/2014 Goecke (H sg.): Modell und Wi klichkei . P oceedings zum 5. FaRis & DAV Symposium am 6. Dezembe 2013 in Köln 4/2014 Heep-Al ine , Hoos, K ah o s : Fai Value Bewe ung on zedie en Rese en 3/2014 Heep-Al ine , Hoos: Ve ein ach e Na Ca Modellie ungsansa z zu Rück e siche ungsop imie ung 2/2014 Zimme mann: F auen im Ve siche ungs e ieb. Was sagen die P i a kunden dazu? 1/2014 Ins i u ü Ve siche ungswesen: Fo schungsbe ich ü das Jah 2013 2013 11/2013 Heep-Al ine : Ve lus abso bie ung du ch la en e S eue n nach Sol ency II in de Schaden e siche ung, N . 11/2013 10/2013 Mülle -Pe e s: Kunden e hal en im Umb uch? Neue In o ma ions- und Abschlusswege in de K z- Ve siche ung, N . 10/2013 9/2013 Knobloch: Risikomanagemen in de be ieblichen Al e s e so gung. P oceedings zum 4. FaRis & DAV-Symposium am 14. Juni 2013 8/2013 S obel (H sg.): Rechnungsg undlagen und P ämien in de Pe sonen- und Schaden e siche ung - Ak uelle Ansä ze, Möglichkei en und G enzen. P oceedings zum 3. FaRis & DAV Symposium am 7. Dezembe 2012 7/2013 Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Back es ing 6/2013 Knobloch: Kons uk ion eine un e jäh lichen Ma ko -Ke e aus eine jäh lichen Ma ko -Ke e 5/2013 Heep-Al ine e al. (H sg.): Value-Based-Managemen in Non-Li e Insu ance 4/2013 Heep-Al ine : Ve ein ach es Fo melwe k ü den MCEV ohne Renewals in de Schaden e siche ung 3/2013 Mülle -Pe e s: De e ne z e Au o ah e – Akzep anz und Akzep anzg enzen on eCall, We ks a e ne zung und Meh we diens en im Au omobilbe eich 2/2013 Maie , Schimikowski (beide H sg.): P oceedings zum 6. Diskussions o um Ve siche ungs ech am 25. Sep embe 2012 an de FH Köln 1/2013 Ins i u ü Ve siche ungswesen (H sg.): Fo schungsbe ich ü das Jah 2012 2012 11/2012 Goecke (H sg.): Al e na i e Zinsga an ien in de Lebens e siche ung. P oceedings zum 2. FaRis & DAV-Symposiums am 1. Juni 2012 10/2012 Kla , Schiegl: Quan i a i e Risikoanalyse und -bewe ung echnische Sys eme am Beispiel eines medizinischen Ge ä es 9/2012 Mülle -Pe e s: Ve gleichspo ale und Ve b auche wünsche 8/2012 Füllg a , Völle : Social Media Rei eg admodell ü die deu sche Ve siche ungswi scha 7/2012 Völle : Die Social Media Ma ix - O ien ie ung ü die Ve siche ungsb anche 6/2012 Knobloch: Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en bei un e jäh liche Zahlweise 5/2012 Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich - Simula ions echnungen 4/2012 Gün he (H sg.): P i a e sus S aa - Schuss ah zu Zwangs e siche ung? Tagungsband zum 16. Kölne Ve siche ungssymposium am 16. Ok obe 2011 3/2012 Heep-Al ine /K ause: De Embedded Value im Ve gleich zum ökonomischen Kapi al in de Schaden e siche ung 2/2012 Heep-Al ine (H sg.): De MCEV in de Lebens- und Schaden e siche ung - geeigne ü die Un e nehmenss eue ung ode nich ? P oceedings zum 1. FaRis & DAV-Symposium am 02.12.2011 in Köln 1/2012 Ins i u ü Ve siche ungswesen (H sg.): Fo schungsbe ich ü das Jah 2011 2011 5/2011 Reime s-Rawcli e: Eine Da s ellung on Rück e siche ungsp og ammen mi Anwendung au den Komp essionse ek 4/2011 Knobloch: Ein Konzep zu Be echnung on ein achen Ba we en in de be ieblichen Al e s e so gung mi hil e eine Ma ko -Ke e 3/2011 Knobloch: Bewe ung on isikobeha e en Zahlungss ömen mi hil e on Ma ko -Ke en 2/2011 Heep-Al ine : Pe o manceop imie ung des (B u o) Neugeschä s in de Schaden e siche ung 1/2011 Goecke: Spa p ozesse mi kollek i em Risikoausgleich