IZLANUVCHI Vol. 2 No. 1
ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET
149
LIPPMAN-SHVINGER TENGLAMASINI PARSIAL YOYMASDAN
YECHISH
Tosho a Dilo om Sunna boy qizi
Toshken iloya i Zangio a umani, 17-mak ab izika o'qi u chi
Email: osho adilo [email protected]
Anno a siya. Ushbu maqola Lippman-Sh inge englamasini pa sial yoymasdan
yechish usulla ini o‘ ganishga qa a ilgan. Tadqiqo da englamaning izik a
ma ema ik xususiya la i, yechim usulla i a ula ning sama ado ligi ahlil qilinadi.
Shuningdek, englamaning u li boshlang‘ich sha la a chega a iy sha oi la da
xa i-ha aka ini aniqlashga alohida e’ ibo qa a ilgan. Maqolada, an’ana iy pa sial
yoyma usulla idan a qli o‘la oq, anali ik a nume ik me odla qo‘llanilib,
yechimla ning aniqligi a sama ado ligi solish i iladi. Tadqiqo na ijala i izik
izimla ning modellash i ilishi a muhandislik ilo ala ida qo‘llanilishi mumkinligini
ko‘ sa adi.
Kali so‘zla . Lippman-Sh inge englamasi, pa sial yoymasiz yechim, anali ik
me odla , nume ik yechimla , izik izimla , chega a iy sha la , boshlang‘ich
sha la , in eg al englamala , k an mexanikasi, modellash i ish, muhandislik
ilo ala i.
Anno a ion. This a icle ocuses on sol ing he Lippman-Schwinge equa ion
wi hou pa ial wa e expansion. The s udy analyzes he physical and ma hema ical
p ope ies o he equa ion, solu ion me hods, and hei e iciency. Special a en ion is
gi en o he beha io o he equa ion unde a ious ini ial and bounda y condi ions.
Unlike adi ional pa ial wa e me hods, bo h analy ical and nume ical app oaches
a e applied, compa ing he accu acy and e ec i eness o he solu ions. The esul s
demons a e po en ial applica ions in physical sys ems modeling and enginee ing
p oblems.
Keywo ds. Lippman-Schwinge equa ion, solu ion wi hou pa ial wa e, analy ical
me hods, nume ical solu ions, physical sys ems, bounda y condi ions, ini ial
condi ions, in eg al equa ions, quan um mechanics, modeling, enginee ing
applica ions
Аннотация. В данной статье рассматриваются методы решения уравнения
Липпмана-Швингера без разложения по частичным волнам. Исследование
анализирует физические и математические свойства уравнения, методы его
решения и их эффективность. Особое внимание уделяется поведению уравнения
при различных начальных и граничных условиях. В отличие от традиционных
методов с разложением по частичным волнам, применяются аналитические и
численные подходы, сравнивая точность и эффективность решений.
IZLANUVCHI Vol. 2 No. 1
ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET
150
Результаты демонстрируют возможность применения в моделировании
физических систем и инженерных задачах.
Ключевые слова: Уравнение Липпмана-Швингера, решение без разложения
по частичным волнам, аналитические методы, численные решения, физические
системы, граничные условия, начальные условия, интегральные уравнения,
квантовая механика, моделирование, инженерные приложения.
Ki ish. Lippman-Sh inge englamasi k an mexanikasida a naza iy izikaning
u li sohala ida muhim o‘ in u adi. U, asosan, za acha izimla ining a qalishi a
o‘za o a’si ini a si lashda qo‘llaniladi. An’ana iy yechim usulla i ko‘pincha pa sial
yoyma (pa ial wa e expansion) me odiga asoslangan bo‘lib, bu me od ba’zi holla da
hisoblashni mu akkablash i adi a yuqo i aniqlik alab qiladigan izimla da qo‘llashni
qiyinlash i adi. Shu sababli, englamani pa sial yoymasdan yechish muhim ilmiy a
amaliy masala si a ida qa aladi. Tadqiqo da Lippman-Sh inge englamasining izik
a ma ema ik xususiya la i chuqu o‘ ganiladi, shuningdek, anali ik a nume ik
yechimla yo damida englamaning boshlang‘ich sha la a chega a iy sha oi la da
xa i-ha aka i ahlil qilinadi. Pa sial yoymasiz yechimla o qali yechimla ning aniqligi
oshadi a mu akkab izik izimla ni modellash i ish imkoniya i kengayadi. Shu bilan
bi ga, bu yondashu in eg al englamala ni yechish a ula ni eal izik izimla ga
a biq e ishda sama ali usul si a ida qa aladi. Ushbu adqiqo ning asosiy maqsadi –
Lippman-Sh inge englamasini pa sial yoymasiz yechish me odla ini o‘ ganish,
yechimla ning aniqligi a sama ado ligini baholash, hamda ula ni k an mexanikasi
a muhandislik ilo ala ida qo‘llash imkoniya la ini aniqlashdi . Tadqiqo na ijala i
ilmiy adqiqo la a amaliy modellash i ish ishla ida in eg allashgan yondashu la ni
qo‘llash uchun mus ahkam asos ya a adi. Lippman-Sh inge englamasi k an
mexanikasida a naza iy izikaning u li sohala ida muhim o‘ in u adi. Bu englama,
asosan, za acha izimla ining a qalishini a ula ning o‘za o a’si ini a si lashda
qo‘llaniladi. An’ana iy yechim usulla i ko‘pincha pa sial yoyma (pa ial wa e
expansion) me odiga asoslangan bo‘lib, bu me od mu akkab hisoblashla ni alab
qilishi a yuqo i aniqlik alab qiladigan izimla da qo‘llashni qiyinlash i ishi mumkin.
Shu sababli, Lippman-Sh inge englamasini pa sial yoymasiz yechish ilmiy a
amaliy jiha dan muhim masala hisoblanadi. Tadqiqo ja ayonida englamaning izik a
ma ema ik xususiya la i o‘ ganildi, shuningdek, u li boshlang‘ich sha la a
chega a iy sha oi la da uning xa i-ha aka ini aniqlashga e’ ibo qa a ildi. Anali ik a
nume ik me odla yo damida yechimla hisoblandi, bu esa in eg al englamala ni
yechish a ula ning aniqligini oshi ish imkonini be di. Pa sial yoymasiz yechimla
mu akkab izik izimla ni modellash i ishda yuqo i aniqlik a sama ado likni
a’minlaydi. Ushbu adqiqo ning asosiy maqsadi – Lippman-Sh inge englamasini
pa sial yoymasiz yechish me odla ini o‘ ganish, yechimla ning aniqligi a
sama ado ligini baholash, shuningdek, k an mexanikasi a muhandislik ilo ala ida
IZLANUVCHI Vol. 2 No. 1
ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET
151
ula ni qo‘llash imkoniya la ini aniqlashdi . Tadqiqo na ijala i in eg al englamala ni
yechish ja ayonini soddalash i ish a izik izimla ni simulya siya qilish uchun
mus ahkam ilmiy asos ya a adi.
Adabiyo la ahlili. Lippman-Sh inge englamasi a uni yechish me odla i
bo‘yicha ma jud adabiyo la keng qam o li ahlil qilindi. An’ana iy yondashu la
ko‘pincha pa sial yoyma me odiga asoslangan bo‘lib, bu me od ko‘p holla da in eg al
englamala ni soddalash i ish a za acha izimla ining a qalishini hisoblash uchun
qulay hisoblanadi[1]. Bi oq, yuqo i aniqlik alab qiladigan mu akkab izimla da bu
me odning qo‘llanilishi qiyinchilikla ga olib keladi. Shu sababli, adqiqo chila pa sial
yoymasiz yechimla a anali ik hamda nume ik me odla ni i ojlan i ishga alohida
e’ ibo qa a gan[2]. So‘nggi yilla da adqiqo la Lippman-Sh inge englamasini u li
izik sha oi la da, jumladan, cheksiz a chega alangan po ensialla os ida yechish
imkoniya la ini ko‘ sa di. Shu bilan bi ga, nume ik yondashu la o qali yechimla ning
aniqligi a hisoblash sama ado ligi oshi ilgan[3]. Shu adqiqo la Lippman-Sh inge
englamasini pa sial yoymasiz yechishning amaliy imkoniya la ini ochib be di a
k an mexanikasi, za acha a qalishi a muhandislik modellash i ishidagi
qo‘llanilishini yanada kengay i di.
Ma e ialla a usulla . Ushbu adqiqo da asosiy ma e ial si a ida Lippman-
Sh inge englamasi a uni yechish me odla i bo‘ldi. Tadqiqo ja ayonida
englamaning izik a ma ema ik xususiya la i chuqu o‘ ganilib, u li boshlang‘ich
sha la a chega a iy sha oi la os ida uning xa i-ha aka i ahlil qilindi. Tadqiqo da
an’ana iy pa sial yoyma me odidan a qli a ishda, o‘g‘ idan- o‘g‘ i anali ik a
nume ik yechim usulla i qo‘llanildi. Shu yondashu o qali in eg al englamala ni
yechish a ula ning yechim aniqligini oshi ish imkoniya i ya a ildi. Anali ik me odla
yo damida englamaning ba’zi soddalash i ilgan hola la i ahlil qilindi, bu esa
yechimla ning xa i-ha aka ini ma ema ik jiha dan ushunishga yo dam be di.
Nume ik me odla esa mu akkab izik izimla da yechimla ni hisoblash a ula ning
aniqligini baholash uchun qo‘llanildi. Tadqiqo ja ayonida, shuningdek, yuqo i
aniqlikdagi hisoblashla a kompyu e das u la i yo damida yechimla simulya siya
qilindi. Bu yondashu Lippman-Sh inge englamasining amaliy modellash i ish a
k an mexanikasida qo‘llanilishini yanada kengay i di. Tadqiqo me odologiyasi shuni
ko‘ sa diki, pa sial yoymasiz yechimla na aqa in eg al englamala ning sama ali
yechimini a’minlaydi, balki yechimla ning aniqligi a izik izimla ni modellash i ish
imkoniya ini oshi adi. Shu bilan bi ga, bu me odologiya k an mexanikasi, za acha
a qalishi a muhandislik ilo ala ida qo‘llash uchun sama ali a ishonchli asos
ya a adi.
IZLANUVCHI Vol. 2 No. 1
ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET
152
Jad al 1. Lippman-Sh inge englamasi pa ame la i a yechimla i.
Pa ame la
Qiyma la /
Sha la
Yechim
na ijala i
Izohla
Boshlang‘ich
sha
Cheksiz
po ensial
Ba qa o yechim
Anali ik me od bilan
ekshi ildi
Chega a iy
sha
Fini e
po en ial
Ba qa o yechim
Nume ik me od o qali
simulya siya qilindi
In eg al
englama u i
Lippman-
Sh inge
Anali ik a
nume ik yechim
Pa sial yoymasiz
yechimla qo‘llanildi
Ushbu jad al adqiqo da asosiy ma e ial si a ida ishla ilgan Lippman-Sh inge
englamasi pa ame la i a yechim na ijala ini izimli ko‘ sa adi. Jad al o qali
boshlang‘ich sha la , chega a iy sha la a in eg al englamaning u iga qa ab
yechim na ijala i aniq be ilgan. Bu adqiqo chiga yechimla ning ba qa o ligi, aniqligi
a u li izik sha oi la da xa i-ha aka ini solish i ish imkonini be adi.
Jad al 2. Anali ik a nume ik yechimla ning aqqoslanishi.
Me od
Aniq
lik
Hisoblash
sama ado ligi
A zallikla
Kamchilikla
Anali ik
me od
Yuq
o i
O‘ a
Tenglamaning xa i-
ha aka ini ma ema ik
ushun i adi
Mu akkab
po ensialla da
cheklangan
Nume ik
me od
Yuq
o i
Yuqo i
Mu akkab izik
izimla ni hisoblash
imkoniya i
Hisoblash aq
alab qiladi
Pa sial
yoymasiz
yechim
Yuq
o i
Yuqo i
In eg al englamala ni
yechish a
modellash i ishda
sama ali
Hisoblash
algo i mi
mu akkab
Shu bilan bi ga, jad al adqiqo na ijala ini izual a zda ushun i ishga yo dam
be adi. Ikkinchi jad al esa Lippman-Sh inge englamasini yechishda qo‘llanilgan
me odla ni aqqoslaydi. Jad alda me odla bo‘yicha aniqlik, hisoblash sama ado ligi,
a zallikla a kamchilikla ko‘ sa ilgan. Bu jad al adqiqo muhokamasida anali ik a
nume ik yondashu la ning qulaylikla i a cheklo la ini ko‘ sa ish uchun ishla iladi.
Shu a zda, adqiqo na ijala ini baholash a yechim me odla ini anlashda asosiy
manba si a ida xizma qiladi. Ikkala jad al bi galikda adqiqo ning izimli
yondashu ini a’minlaydi. Bi inchi jad al yechimla ning izik a ma ema ik xa i-
ha aka ini ko‘ sa adi, ikkinchisi esa me odologik aqqoslashni be adi. Shu o qali
Lippman-Sh inge englamasini pa sial yoymasiz yechishning ilmiy a amaliy
ahamiya i yanada a shan bo‘ladi.
IZLANUVCHI Vol. 2 No. 1
ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET
153
Tadqiqo muhokamasi. Tadqiqo na ijala i shuni ko‘ sa diki, Lippman-Sh inge
englamasini pa sial yoymasiz yechish usulla i na aqa in eg al englamala ni
soddalash i adi, balki yechimla ning aniqligi a hisoblash sama ado ligini sezila li
da ajada oshi adi. Anali ik yondashu la yo damida englamaning soddalash i ilgan
hola la i o‘ ganildi a ula o qali yechimla ning xa i-ha aka i ma ema ik jiha dan
ushun i ildi. Shu bilan bi ga, nume ik me odla mu akkab po ensialla a cheksiz
boshlang‘ich sha la os ida yechimla ni hisoblash imkonini be di, bu esa izika a
muhandislik izimla ida qo‘llash uchun amaliy ahamiya ga ega. Kompa a i ahlil
na ijala i shuni ko‘ sa diki, pa sial yoymasiz yechimla , an’ana iy pa sial yoyma
usulla iga nisba an, yuqo i aniqlik a ez oq kon e gen siya xususiya iga ega. Bu esa
mu akkab k an izimla ini modellash i ish a ula ni simulya siya qilishda ka a
a zallik be adi. Shu bilan bi ga, yechimla u li boshlang‘ich a chega a iy sha la
os ida ba qa o ligini saqlaydi a in eg al englamala ning izik mazmunini aniq aks
e i adi. Tadqiqo da omida u li kompyu e simulya siyala i a aqamli algo i mla
qo‘llanilib, yechimla ning aniqligi a ba qa o ligi ahlil qilindi. Na ijala shuni
ko‘ sa diki, pa sial yoymasiz yechim usulla i Lippman-Sh inge englamasini
zamona iy k an mexanikasi a za acha a qalishi sohala ida amaliy qo‘llash
imkonini be adi. Shu bilan bi ga, bu yondashu ilmiy adqiqo la uchun yangi
is iqbolla ochadi, chunki u in eg al englamala ni yechish a izik izimla ning xa i-
ha aka ini modellash i ishda aniq a sama ali me odla ni aqdim e adi. Umuman
olganda, adqiqo muhokamasi shuni ko‘ sa diki, Lippman-Sh inge englamasini
pa sial yoymasiz yechish me odla i ilmiy jiha dan sama ali, yuqo i aniqlikka ega a
mu akkab izik a muhandislik izimla ini modellash i ishda keng qo‘llanilishi
mumkin. Bu yondashu , shuningdek, kelajakdagi adqiqo la a simulya siya ishla ida
asosiy me odologik baza si a ida xizma qilishi mumkin. Tadqiqo na ijala i shuni
ko‘ sa diki, Lippman-Sh inge englamasini pa sial yoymasiz yechish yondashu la i
na aqa yechimla ning aniqligini oshi adi, balki in eg al englamala ni hisoblash
sama ado ligini ham sezila li da ajada yaxshilaydi. Anali ik me odla yo damida
soddalash i ilgan hola la da yechimla ning ma ema ik xa i-ha aka i aniqlandi, bu esa
englamaning izik mazmunini chuqu ushunishga imkon be di. Shu bilan bi ga,
nume ik me odla mu akkab po ensialla a cheksiz boshlang‘ich sha la os ida
yechimla ni hisoblash imkoniya ini ya a di a bu yondashu ni amaliy
modellash i ishda sama ali qiladi. Kompa a i ahlil na ijala i shuni ko‘ sa diki,
pa sial yoymasiz yechimla an’ana iy pa sial yoyma me odla iga nisba an yuqo i
aniqlik a ez oq kon e gen siya xususiya iga ega. Bu xususiya mu akkab k an
izimla ini simulya siya qilishda ka a a zallik be adi. Shu bilan bi ga, yechimla u li
boshlang‘ich a chega a iy sha la os ida ba qa o ligini saqlaydi, bu esa in eg al
englamala ning izik mazmunini yanada aniq aks e i ish imkonini be adi. Tadqiqo
da omida kompyu e simulya siyala i a aqamli algo i mla qo‘llanilib,
yechimla ning ba qa o ligi a aniqligi ahlil qilindi. Na ijala shuni ko‘ sa diki, pa sial
IZLANUVCHI Vol. 2 No. 1
ILMIY-METODIK JURNALI WWW.PHOENIXPUBLICTAION.NET
154
yoymasiz yechimla k an mexanikasi, za acha a qalishi a muhandislik
modellash i ishida keng qo‘llanilishi mumkin. Shu bilan bi ga, bu yondashu
kelajakdagi adqiqo la uchun yangi me odologik imkoniya la ya a adi a mu akkab
izimla a yangi modellash i ish usulla ini o‘ ganishga zamin ya a adi.
Xulosa. Ushbu adqiqo Lippman-Sh inge englamasini pa sial yoymasiz yechish
me odla ini o‘ ganishga qa a ilgan. Tadqiqo na ijala i shuni ko‘ sa diki, pa sial
yoymasiz yechim usulla i in eg al englamala ni yechishda yuqo i aniqlik a hisoblash
sama ado ligini a’minlaydi. Anali ik a nume ik yondashu la yo damida yechimla
u li boshlang‘ich sha la a chega a iy sha oi la os ida ba qa o ligini saqlaydi a
izik izimla ning xa i-ha aka ini aniq aks e i adi. Na ijala shuni ko‘ sa diki,
Lippman-Sh inge englamasini pa sial yoymasiz yechish na aqa k an mexanikasi
a za acha a qalishi sohala ida, balki muhandislik modellash i ishida ham amaliy
ahamiya ga ega. Bu yondashu in eg al englamala ni yechish a izik izimla ni
simulya siya qilishda sama ali a ishonchli me od si a ida qa aladi. Shu bilan bi ga,
adqiqo kelajakda mu akkab izimla a yangi modellash i ish usulla ini adqiq e ish
uchun mus ahkam ilmiy asos ya a adi.
Foydalanilgan adabiyo la .
1. Taylo , J.R., Sca e ing Theo y: The Quan um Theo y on Non ela i is ic
Collisions, New Yo k: Wiley, 1972.
2. New on, R.G., Sca e ing Theo y o Wa es and Pa icles, Sp inge -Ve lag,
1982.
3. Glöckle, W., The Quan um Mechanical Few-Body P oblem, Sp inge , 1983.
4. Ka o, T., Pe u ba ion Theo y o Linea Ope a o s, Be lin: Sp inge , 1995.
5. Messiah, A., Quan um Mechanics, Ams e dam: No h-Holland, 1961.
6. Faddee , L.D., Ma hema ical Aspec s o he Th ee-Body P oblem in Quan um
Sca e ing Theo y, Je usalem: Is ael P og am o Scien i ic T ansla ions, 1965.
7. an Kampen, N.G., S ochas ic P ocesses in Physics and Chemis y,
Ams e dam: No h-Holland, 1981.
