DIOFANT TENGLAMALARINI YECHISH USULLARI

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – olume 18, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wo dlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL
Axmadjono a Oydinxon Soyibjon qizi
Fa g‘ona da la exnika uni e si e i o‘i u chisi,
oydinoyax[email p o ec ed], 949149974
DIOFANT TENGLAMALARINI YECHISH USULLARI
Ki ish. Ma ema ikada Dio an englamala i — bu noma’lumla bu un son bo‘lishi ke ak bo‘lgan
englamala di . Ula qadimgi yunon ma ema igi Dio an nomi bilan a algan. Bunday
englamala ni yechishning maqsadi — ba cha bu un sonli yechimla ni opishdi .
Masalan:
3x + 5y = 11, yoki x² + y² = z² kabi.
Quyida biz Dio an englamala ini u la ini a ula ning yechimla ini o’ ganamiz.
1. Chiziqli Dio an englamala
2. K ad a Dio an englamala i.
3. Nos anda k ad a englamala
Ma e ialla a usulla .
Chiziqli Dio an englamala i
Quyidagi
1 1 2 2 ... n n
a x a x a x b+ + + =
(1)
ko’ inishidagi englama chiziqli Dio an englamasi deyiladi. Bu ye da
1 2
, , ,
n
a a a b
la
o’zga mas bu un sonla . Biz
1n
deb a az qilamiz.
(G’a b ma ema ika usuli)
Teo ema. (1) englama yechimga ega bo’ladi, aga
( )
1 2
gcd , ,.. n
a a a b
.
(gcd-g ea es common de iso -EKUB) Aga yechim ma jud bo’lsa, unda n-1 a yechim anlash
mumkin, ha qanday boshqa yechim shu n-1 a yechimning bu un sonli chiziqli kombina siyasi
o qali i odalanadi.
Isbo .
( )
( )
( )
1 2 1 2
gcd , ,.. , ,..
n n
a a a d EKUB a a a d= =
bo’lsin. Aga d ga eng bo’lmasa, (1)
englama ildizga ega emas bo’ladi. Chunki, ha qanday
1 2
, ,.. n
x x x
bu un sonla uchun chap
omoni d ga bo’linadi, o’ng omoni esa yo’q. Demak,
( )
1 2
, ,.. n
EKUB x x x
ni
1 2
, ,.. n
x x x
bu un
sonla koe i siyen la i bilan chiziqli kombina siya uzish mumkinligini isbo lashimiz ke ak. n=2
uchun bu p opo siyadan kelib chiqadi. Chunki
( ) ( )
( )
1 2 1 2 1
, ,.. , ,.. ,
n n n
EKUB x x x EKUB EKUB x x x x
-
=
.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – olume 18, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wo dlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL
Bundan
( )
1 2
, ,.. n
EKUB x x x
i oda xn a
( )
1 2 1
, ,.. n
EKUB x x x -
ning chiziqli kombina siyasi
ekanligini bilib olamiz. Shunday qilib, ma ema ik induksiya me odidan xn a xn -1 la
1 2
, ,.. n
x x x
la ning chiziqli kombina siyasidi .
Xulosa. Aga a1 a a2la o’za o ub bu un sonla a (u, ) la quyidagi
1 1 2 2
a x a x b+ =
englama yechimi bo’lsa, u holda ushbu englama umumiy yechimi quyidagicha i odalanadi:
1 2 2 1
x u a x a Z= + = -
. (2)
1-misol. 3x+4y+5z=6 englamani yeching.
Yechish: Tenglikni 5 modul bo’yicha hisobga olsak,
( )
3 4 1 mod5x y+
. Demak
3 4 1 5x y k k Z+ = +
bo’ladi. Bu englamani chap omoni o’ng omoniga eng bo’ladigan
yechim anlab olamiz
1 1
1 3 , 1x k y k= - + = -
. Endi englama yechimini (2) ga asoslanib
yozamiz:
1 3 4 , 1 3 ,x k l y k l k l Z= - + + = - -
.
2-misol.
2x y z xyz xy xz yz+ + + = + + +
englamani man iy bo’lmagan bu un sonla da
yeching.
Yechish: Biz englamani ko’pay i u chila ga aj a ib olamiz:
( )
( )
( )( ) ( )( )( )
1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
xyz xy xz yz x y z
xy z xz x yz y z
z xy x y z y x
- + + + + + - =
- - + - + + - =
- - - + = - - - =
x,y,z la noman iy bu un sonla bo’lganligi sababli, biz anlab olamiz
1 1 1 1 2x y z na ijada x y z- = - = - = = = =
kelib chiqadi.
(2-usul)
Chiziqli Dio an englamala ni yechishda o’zga u chila soni n-1 aga ushi iladi a
koe i sien la ni ka ali ko’pay u chila ga aja ish
i j
a ka=
o qali be ilgan englama n-1 a
oʻzga u chiga bog’liq yechimga kel i iladi.
3-misol. 5x+6y+7z=19 englamani bu un sonla da yeching.
Yechish: noma’lumni bi aga kamay i amiz:
( )
( )
5 7 19 5 7 19
5 6 19 5 19 19 5
29 7 114
630 7 114 ,
6 6 19 5 19 5
b
x y y z x y a a y z
a y z a b z z a b
x z b
y z b y a b a b Z
y b z b a b z a b
+ + + = + = + + =
+ + = + + = = - -
= - - +
+ = = + -
= - = - - - = - -
123
Ta’ i . ax+by=c ko’ inishdagi englama ikki o’zga u chili chiziqli Dio an englamala i deyiladi,
bu ye da
( )
, , , , , 1abc Z abc =
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – olume 18, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wo dlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL
Teo ema. ax+by=c englamani bu un sonla o’plamida yechimga ega bo’lishi uchun (a,b)=1
bo’lishi za u a ye a lidi .
Isbo i. Za u iyligi. Fa az qilaylik (a,b)=d>1 boʻlsa ax+by=c englama bu un sonla oʻplamida
yechish mumkin boʻlsin. Fa az qilamiz x0,y0Z sonla ju ligi ax+by=c englamaning ildizi
boʻlsin, ya’ni ax0+by0=c. Ma’lumki, (a,b)=d>1 a ax0+by0=c boʻlgani uchun c ozod son d ga
boʻlinadi. Demak, (a,b,c)=1. Bu esa (a,b,c)=1 sha ga zid.
Ye a liligi. (a,b)=1 boʻlsin. Shunday EKUB xossasiga koʻ a shunday x,yZ sonla ma judki
1=ax+by. Tenglikning ha ikkala omonini c ga koʻpay i amiz: a(cx)+b(cy)=c. Na ijada cx,cy
bu un sonla boʻlib ax+by=c englamaning ildizla idi . Ula ni mos a ishda cx=x0, cy=y0kabi
belgilaymiz. Demak, (a,b)=1 boʻlishi kelib chiqadi.
Yechish usulla i:
a) aqqoslash usuli; b) munosib kas la usuli;
c) anlash usuli; d) ko‘pay u chila ga aj a ish usuli a belgilash usuli; e)
ko‘pay u chila ga aja ish a o‘ niga qo‘yish usulla i yo damida yechamiz.
Ko‘pay u chila ga aja ish a o‘ niga qo‘yish usuli mohiya i quyidagila dan ibo a :
1 1
c by n ky
ax by c ax c by x d
a a
n ky a n h h
y l l
a k k k
- +
+ = = - = = +
+ - + +
= = = + = + =
bu un son bo‘lguncha shunday belgilashla qilib bo amiz.
Bu usul mohoya i quyidagi misol o qali koʻ sa iladi:
4-misol. 24x-17y=2 englamani yeching.
Yechish:
14 24
24 17 2 / 7 168 119 14 24 7 5 14 .
10 17
y
x y x y x y y x
= -
- = - = - + = = -
14243
E klid algo i midan oydalanish usuli.
E klid algo i midan oydalanib ax+by=c koʻ inishidagi englamala ni yechish 1 sonini a a
b sonla o qali i odalashga asoslanadi.
Na ija. ax+by=c englamaning ildizla i osod son c ga ka ali boʻladi. Tenglamaning ba cha bu un
ildizla ini opamiz:
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – olume 18, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wo dlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL
1) Aga c=0 bo’lsa, ax+by=0 englamada
ax
yb
= -
. Sha ga ko’ a
y Z
a (a,b)=1. Demak,
shunday
Z
ma judki, x=b . U holda y=-a . Na ijada englamaning umumiy ildizi quyidagicha
.
,
x b Z
y a
=
= -
2) Aga
0c
bo’lsa, ax+by=c englama uchun shunday
0 0
,x y Z
ma judki,
0 0
ax by c+ =
. Bunga asosan ax+by=c a
0 0
ax by c+ =
englamala ni ayi amiz, na ijada:
( ) ( )
0 0 0a x x b y y- + - =
. Bu englama yuqo idagi kabi yechiladi:
0 0
0 0
.
, ,
x x b x x b Z
y y a y y a
- = = +
- = - = -
5-misol. 17x+11y=6 englamani yeching.
Yechish: Tenglamada (17,11,6)=1 a (17,11)=1. Demak, englama bu un sonla o’plamida
ildizga ega. 1 sonini a a b sonla o qali i odalaymiz. a=17, b=11.
( ) ( )
17 11 1 6 11 6 1 5 6 5 1 1
1 6 5 1 6 1 11 6 1 6 2 11 1 17 11 1 2 11 1 17 2 3 11
1 17 2 3 11
= + = + = +
= - = - - = - = - - = -
= -
a=17, b=11 bo’lgani uchun
17 2 3 11 1- =
i odani quyidagicha yozamiz:
( )
17 2 3 11 1/ 6 17 12 11 18 6. a- = + - =
Demak,
0 0
12, 18x y= = -
a
0
0
12 11 .
,18 17 ,
x x b x Z
y y a y
= + = +
= - = - -
Ja ob: (12+11 ; -18-17 ),
Z
Zanji kas dan oydalanish usuli.
Ta’ i . Chekli zanji kas deb quyidagi koʻ inishdagi i odaga ay iladi:
0
1
2
1
1
1
...
n
a
a
aa
+
+
+ +
bu ye da
0
, 1, , , 1.
i n
a N i n a Z a=
Chekli zanji kas la quyidagi ko’ inishda belgilanadi:
[ ]
0 1 2
; ; ,..., .
n
aa a a a
b=
Ta’ i . aison zanji kas ning elemen i deyiladi.
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – olume 18, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wo dlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL
Ta’ i . a0son nolinchi a ibli kas ga mos son deyiladi a u
0
0
0
b
aq
=
kabi yoziladi, bu ye da
01.q=
Teo ema. Ha qanday a/b a sional sonni chekli za ji kas shaklida yagona a zda i odalash
mumkin a za ji kas ning [ai] elemen la i a a b sonla i uchun E klid algo i midan hosil
bo’ladi.
Isbo i.
, ,
aQ a Z b N
b
a a b sonla iga E klid algo i mini qo’llaymiz:
0 1 1 1 1 2, 2 1
1 2 2 3 3 2
2 1 1 1 1
, 0 , 0 ,
,0 ,
.........
, 0 , 0.
n n n n n n n n n
a ba b b a
a
a a
- - - - -
= + < = + <
= + <
= + < = +
Bu ye da
0, 1, , .
i
a Z i n a N=
Bi inchi englikni b ga ikkinchisini 1ga bo’lamiz
a shu ishni ak o laymiz.
1 2
0 0 1 1 1
1 1
1 2
2 1
11
1 1
, ,
..................
1, .
n n
n n
n
n n
n
a b
a a a a
b
b b
a a
- -
-
-
= + = + = + = +
= + =
Bi inchi englikka qolgan hammasini qo’yamiz:
0
1
2
1
1
1
...
n
aa
ba
aa
= +
+
+ +
bu ye da
0
, 1, , , 1.
i n
a N i n a Z a=
Zanji kas la ning qismla ini qu ish usulini kel i amiz.
[ ] [ ]
0 1 0 1
; ;...; , ; ;...; ,
n k k
aa a a A a a a k n
b= =
be ilgan bo’lsin.

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – olume 18, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wo dlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL
1) 11nolinchi a ibli kas ,
0 0 0
, 1.p a q= =
2)
1
1 0 1 0 1 1 1
1 1
11,
......................................
p
A a p a a q a
a q
= + = = + =
k) Ak=pk
qk=pk−1ak+pk−2
qk−1ak+qk−2⇒pk=pk−1ak+pk−2; qk=qk−1ak+qk−2.
Buni quyidagi jad alda as i laymiz:
Demak,
[ ]
0 1
; ;...; , .
n
n
n
a a p
a a a
b b q
= =
Quyidagi englamani ko’ aylik:
( )
, , , 1ax by c a b c+ = =
a (a,b)=1. Demak, ushbu Dio an englamasi bu un sonla da
yechimga ega. Zanji kas dan oydalanamiz:
[ ]
( ) ( )
( )
1 1
1 1
0 1
1 1 1 1
1
1 1
1 1
; ;...; , , ;
1 .
n n
n n n n
n
n n n n n n n
n
n n
a a p p p a p
a a a
b b q q q q q b q bq
aq bq
- -
- -
- - - -
-
- -
- -
= = - = - =
- = -
Tenglikni ha ikkala omonini c ga ko’pay i amiz:
( ) ( ) ( )
1
1 1 1 ,
n
n n
a cq b cp c -
- -
+ = -
Yana (-1)n-1 ga ko’pay i amiz:
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1
1 1 .
n n
n n
a cq b cp c
- -
- -
- + - =
Na ijala . 587x+113y=1 englamani yeching.
Yechish: Zanji kas dan oydalanamiz:
587 22 1 1
5 5 5
113 1
113 113 51
22 73
= + = + = +
+
+
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – olume 18, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wo dlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL
Ushbu zanji kas ning oxi gi bo’g’inini -uchdan bi ni ashlab yubo ib, hosil bo’lgan zanji
kas ni oddiy kas ga aylan i amiz:
1 1 7 187
5 5 5
1 36 36 36
57 7
+ = + = + =
+
.
Uni 587/113 kas dan ayi amiz:
587 187 21132 21131 1
113 36 113 36 113 36
-
- = =
Demak, umumiy max ajga kel i ib, uni be ilgan englama bilan solish i amiz:
x=36, y=-187 bi a xususiy ildizni opamiz. Na ijada
0
0
36 113 .
,187 587 ,
x x b x Z
y y a y
= + = +
= - = - -
7-misol. 571x+359y=7 englamani yeching.
Yechish: (571,359,7)=1 a (571,359)=1, demak, englama bu un sonla o’plamida yechimga ega.
[ ]
571 571
; 1;1;1;2;3;1;4;1;2
359 359
a
b= =
.pk=pk−1ak+pk−2,
qk=qk−1ak+qk−2
( )
7
1
571 202
359 127 359 127
-
- =
. Buni englama bilan solish i sak,
( ) ( )
0 0
571 127 359 202 1/ 7 571 889 359 1414 7 889 1414x y+ - = - + - = - = = -
Demak,
0
0
889 359 .
1414 571 ,
x x b Z
y y a
= + = +
= - = - -
Muhokama. Ushbu maqolada ix iyo iy da ajali dio an englamala ining bu un a a sional
yechimla ini opish usulla i, so‘ng a ikki noma'lumli chiziqli englamala ni yechish usulla i
ba a sil bayon e ildi, misolla kel i ildi. So‘ng a englamala ning yechimi A al Ye klid
algo i mi bilan, so‘ng a zanji li kas yo damida qidi ildi. Ha bi usul a zalligi, baja ilash ja oni
JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – olume 18, issue 02, 2025
ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431
www.wo dlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL
ham naza iy ma’lumo la bilan, ham misolla bilan ko‘ sa ib o‘ ildi. Dio an englamala ining
boshq a englamala dan a qi englama ildizla i bu un sonla o‘plamidan qidi ishidadi ,
Foydalanilgan adabiyo la :
1. И. Г. Башмакова, Диофант и Ферма. В сб. «Историко математические исследования»,
вып. 17. М., «Наука», 1966.
2. SH.N.Ismailo . Sonla naza iyasi. – Toshken , 2008 y.
3. М.А. Мирзаахмедов, Д. Сотиболдиев. Ўқувчиларни математик олимпиадаларга
тайёрлаш. Тошкент, “Ўқитувчи” -1993 й.