ISSN: 3030-3931, Impac ac o : 7,241 Volume 10, issue 2, Noyab 2025
h ps://wo ldlyjou nals.com/index.php/Yangiizlanu chi wo ldly knowledge
OAK Index bazala i : esea ch ga e, esea ch bib.
Qo’shimcha index bazala i: zenodo, open ai e. google schola .
O iginal a icle
101
FOURIER QATORLARINING YAQINLASHUVI: DIRICHLET SHARTLARIDAN
KEYINGI RIVOJLANISHLAR
Rizoqulo a Si o a Sobi jon qizi
NDKTU assis en i
E-mail:si o iz[email p o ec ed]
Anno a siya. Ushbu maqolada Fou ie qa o la ining yaqinlashu xossala i a Di ichle
sha la idan keyingi zamona iy i ojlanishla ahlil qilingan. Tadqiqo da ma ema ik ahlil,
signalni qay a ishlash a di e ensial englamala naza iyasida Fou ie qa o la ining qo‘llanishi
hamda ula ning chega a iy a nuq a iy yaqinlashu xususiya la i ko‘ ib chiqiladi. Maqolada
Lebeg in eg ali, Riesz summa siya usuli a Cesa o o‘ acha qiyma la i kabi me odla o qali
Fou ie qa o la ining yaqinlashu ini yaxshilash yo‘lla i o‘ ganilgan. Shuningdek, silliq
bo‘lmagan unksiyala uchun yaqinlashu ni a’minlo chi yangi naza iy na ijala ham
yo i ilgan. Ushbu ish Fou ie ahlilining naza iy asosla ini chuqu lash i ish a uni amaliy
ma ema ikada qo‘llash imkoniya la ini kengay i ishga xizma qiladi.
Kali so‘zla . Fou ie qa o i, yaqinlashu , Di ichle sha la i, Riesz summa siyasi, Lebeg
in eg ali, ma ema ik ahlil, unksional qa o la .
Anno a ion.This a icle analyzes he con e gence p ope ies o Fou ie se ies and hei
mode n de elopmen s beyond Di ichle condi ions. I explo es he applica ions o Fou ie
se ies in ma hema ical analysis, signal p ocessing, and di e en ial equa ions, ocusing on
bounda y and poin wise con e gence. Me hods such as he Lebesgue in eg al, Riesz
summa ion, and Cesà o means a e examined o imp o e con e gence esul s. Fu he mo e,
new heo e ical indings ensu ing con e gence o non-smoo h unc ions a e discussed. The
s udy con ibu es o deepening he heo e ical ounda ions o Fou ie analysis and expanding
i s applica ions in applied ma hema ics.
Key wo ds. Fou ie se ies, con e gence, Di ichle condi ions, Riesz summa ion, Lebesgue
in eg al, ma hema ical analysis, unc ional se ies
Аннотация. В данной статье рассматриваются свойства сходимости рядов Фурье и
современные развития, последовавшие за условиями Дирихле. Исследуются
применения рядов Фурье в математическом анализе, обработке сигналов и теории
дифференциальных уравнений, а также анализируются их граничная и точечная
сходимость. Методы интеграла Лебега, суммирования Рисса и средних Чезаро
рассматриваются как средства улучшения сходимости. Кроме того, представлены новые
теоретические результаты, обеспечивающие сходимость для несглаженных функций.
Работа способствует углублению теоретических основ анализа Фурье и расширению его
применения в прикладной математике.
Ключевые слова. ряд Фурье, сходимость, условия Дирихле, суммирование Рисса,
интеграл Лебега, математический анализ, функциональные ряды
Ki ish: Fou ie qa o la i ma ema ik ahlilning eng muhim ushunchala idan bi i bo‘lib, u
mu akkab unksiyala ni igonome ik unksiyala yig‘indisi o qali i odalash imkonini be adi.
XVIII as da J. Fou ie omonidan issiqlik o‘ kazish naza iyasini o‘ ganish ja ayonida ilga i
ISSN: 3030-3931, Impac ac o : 7,241 Volume 10, issue 2, Noyab 2025
h ps://wo ldlyjou nals.com/index.php/Yangiizlanu chi wo ldly knowledge
OAK Index bazala i : esea ch ga e, esea ch bib.
Qo’shimcha index bazala i: zenodo, open ai e. google schola .
O iginal a icle
102
su ilgan bu g‘oya keyinchalik bu un ma ema ik a izik anla i ojiga ka a u ki be di.
Fou ie qa o la ining yaqinlashu masalasi esa, a ixan eng mu akkab a qiziqa li sohala dan
bi i bo‘lib, unksiyaning qa o o qali aniq iklanish sha la ini aniqlashda hal qilu chi
ahamiya kasb e adi. Das lab Di ichle omonidan ilga i su ilgan sha la Fou ie qa o la ining
yaqinlashu i uchun za u minimal alabla ni belgilab be gan bo‘lsa-da, zamona iy ma ema ik
ahlil bu chega ala ni kengay i ib, yanada noaniq, silliq bo‘lmagan a uzluksiz bo‘lmagan
unksiyala uchun ham yaqinlashu ni a’minlo chi yangi yondashu la ni ishlab chiqdi.
So‘nggi o‘n yillikla da Lebeg in eg ali, Riesz summa siyasi, Cesa o o‘ acha qiyma la i, Feje
yad osi hamda Fou ie ans o masiga asoslangan usulla o qali yaqinlashu ning ezligi a
aniqligi sezila li da ajada yaxshilandi. Shu bilan bi ga, Fou ie qa o la i aqamli signalni qay a
ishlash, as i la ni il lash, o ozla ni ahlil qilish a izik ja ayonla ni modellash i ishda keng
qo‘llanilmoqda. Bu esa naza iy adqiqo la ning amaliy ahamiya ini yanada oshi adi. Hozi gi
zamon adqiqo la i Fou ie qa o la ining yaqinlashu xususiya la ini aqa anali ik emas, balki
aqamli a hisoblash usulla i o qali ham ahlil qilishga yo‘nal i ilgan bo‘lib, bu ma ema ik
modellash i ishning sama ado ligini oshi adi. Shunday qilib, Fou ie qa o la ining
yaqinlashu i haqidagi bilimla na aqa ma ema ik naza iyani boyi adi, balki aqamli
exnologiyala , muhandislik a abiiy anla da keng qo‘llanish imkonini ya a adi.
Fou ie qa o la ining yaqinlashu naza iyasi ma ema ik analizning eng muhim bo‘limla idan
bi i bo‘lib, u unksiyala ni igonome ik qa o la yo damida i odalash a ula ning
kon e gensiya xususiya la ini o‘ ganish bilan bog‘liq. Ushbu yo‘nalish das lab ansuz
ma ema igi J.B. Fou ie omonidan issiqlik o‘ kazish ja ayonla ini ahlil qilish maqsadida
ishlab chiqilgan bo‘lsa-da, keyinchalik u izika, muhandislik, signalla ni qay a ishlash, aqamli
kommunika siya a k an mexanikasi kabi ko‘plab sohala da keng qo‘llanila boshlandi.
Fou ie qa o la ining yaqinlashu masalasi, ayniqsa, Di ichle sha la i o qali klassik shaklda
izohlangan bo‘lib, ula unksiyaning uzluksizligi a pe iodikligi asosida qa o ning
kon e gensiyasini ka ola laydi. Ammo eal amaliyo da ha doim ham bu sha la o‘liq
baja ila e maydi. Shu sababli, so‘nggi yilla da Lebeg in eg alla i, Riesz summa siyasi, Feje
yad ola i a boshqa me odla asosida Di ichle sha la ini umumlash i ish hamda zai oq
hola la uchun ham yaqinlashu ni isbo lash yo‘nalishida jiddiy adqiqo la olib bo ilmoqda.
Ushbu maqolada aynan Fou ie qa o la ining yaqinlashu ini a’minlo chi zamona iy
yondashu la ahlil qilinadi, ula ning naza iy asosla i, amaliy qo‘llanilishi a kompyu e
modellash i ish o qali olingan na ijala aqqoslanadi. Shu o qali, Fou ie qa o la ining
yaqinlashu masalasi klassik ahlildan zamona iy aqamli ma ema ik modellash i ish
da ajasigacha yo i ilib, uning i ojlanish is iqbolla i ochib be iladi.
Adabiyo la ahlili. Fou ie qa o la ining yaqinlashu i masalasi a ixan ko‘plab ma ema ikla
omonidan o‘ ganilgan bo‘lib, bu yo‘nalishdagi adqiqo la ahliliy a amaliy jiha dan ka a
ahamiya kasb e adi. [1] manbada J. Fou ie omonidan ilga i su ilgan issiqlik o‘ kazish
naza iyasiga asoslangan igonome ik qa o la naza iyasi kel i ilib, unksiyala ni sinus a
kosinus elemen la i yo damida i odalashning ma ema ik asosla i ahlil qilingan. Ushbu
manbada Fou ie qa o la ining yaqinlashu sha la i das labki man iqiy asosla i bilan
yo i ilgan. [2] manbada P. Di ichle omonidan ki i ilgan yaqinlashu sha la i chuqu
o‘ ganilib, unksiyaning uzluksizlik da ajasi a chega a iy qiyma la ining ma judligi Fou ie
qa o ining nuq a iy yaqinlashu iga qanday a’si e ishi ilmiy asosda isbo langan. [3] manbada
esa Lebeg in eg ali a o‘lcho naza iyasi asosida Fou ie qa o la ining L² azoda yaqinlashu i
ahlil qilinib, bu usul o qali silliq bo‘lmagan unksiyala uchun ham qa o la ning
kon e gensiyasi ishonchli a zda a’minlanishi ko‘ sa ib o‘ ilgan. [4] manbada Riesz
summa siyasi a Cesa o o‘ acha qiyma la i usulla i yo damida Fou ie qa o la ining
ISSN: 3030-3931, Impac ac o : 7,241 Volume 10, issue 2, Noyab 2025
h ps://wo ldlyjou nals.com/index.php/Yangiizlanu chi wo ldly knowledge
OAK Index bazala i : esea ch ga e, esea ch bib.
Qo’shimcha index bazala i: zenodo, open ai e. google schola .
O iginal a icle
103
yaqinlashu ezligini oshi ish mexanizmla i o‘ ganilgan bo‘lib, ula ning ma ema ik
modella dagi a zallikla i aqamli hisoblashla da qo‘llanilish imkonini kengay i gani
a’kidlanadi. [5] manbada zamona iy kompyu e exnologiyala i a algo i mla asosida
Fou ie ahlilini op imallash i ish yo‘lla i ishlab chiqilgan, xususan ezko Fou ie ans o masi
(FFT) algo i mi yo damida aqamli signalla ni qay a ishlashda aniqlik a ezlik pa ame la i
o‘ asida mu ozana saqlash imkoniya i ahlil e ilgan. [6] manbada Fou ie qa o la ining
yaqinlashu iga silliqlash i u chi yad ola ning, xususan Feje a Poisson yad ola ining a’si i
o‘ ganilgan bo‘lib, bu me odla yo damida unksiyaning chega a iy nuq ala idagi
eb anishla ni kamay i ish mexanizmla i aniqlangan. [7] manbada esa Fou ie qa o la ini
amaliy sohala da — signalni qay a ishlash, akus ika, eb anishla ni ahlil qilish a di e ensial
englamala ni yechishda qo‘llashning sama ado ligi yo i ilgan, bunda naza iy kon e gensiya
na ijala i amaliy modella da mu a aqiya li sino dan o‘ kazilgani qayd e ilgan. Shu a iqa,
adabiyo la ahlili shuni ko‘ sa adiki, Di ichle sha la i Fou ie qa o la i naza iyasining asosiy
bosqichini ashkil e gan bo‘lsa-da, keyingi da da Lebeg in eg ali, Riesz summa siyasi a
kompyu e modellash i ish kabi yondashu la ushbu naza iyani yanada mukammallash i ib,
mu akkab a eal unksiyala uchun ham yuqo i aniqlikdagi yaqinlashu ni a’minlash
imkonini be gan.
Ma e ialla a usulla . Ushbu adqiqo da Fou ie qa o la ining yaqinlashu ini ahlil qilish
uchun naza iy a hisoblashga asoslangan yondashu la qo‘llanildi. Das lab, Di ichle
sha la iga asoslangan klassik yaqinlashu naza iyasi asos si a ida anlanib, u bilan solish i ish
maqsadida Lebeg in eg ali, Riesz summa siyasi a Cesa o o‘ acha qiyma la iga asoslangan
zamona iy usulla ahlil qilindi. Tadqiqo da unksiyaning uzluksiz, silliq a uzluksiz
bo‘lmagan hola la i uchun yaqinlashu ezligi a aniqlik da ajasi o‘ ganildi. Ma ema ik
modellash i ishda igonome ik qa o la , Feje a Poisson yad ola i yo damida silliqlash i ish
unksiyala i uzilib, ula o qali yaqinlashu ja ayonining sezgi ligi baholandi. Hisoblash
aj ibala i bosqichida MATLAB a Wol am Ma hema ica das u la idan oydalanilib, ula ning
yo damida Fou ie qa o la i uchun u li summa siya usulla ining sama ado ligi sino dan
o‘ kazildi. Funksiyala ni modellash i ishda anali ik yechimla bilan aqamli na ijala
aqqoslanib, yaqinlashu aniqligi epsilon xa olik chega asida o‘lchandi. Shuningdek, ezko
Fou ie ans o masi (FFT) algo i midan oydalanilib, signalni aqamli ahlil qilishda qa o
yaqinlashu ining ezligi a silliqlash i ish e ek la i kuza ildi. Tadqiqo da qo‘llanilgan
me odologiya ikki asosiy bosqichda amalga oshi ildi: bi inchi bosqichda naza iy modella
asosida ma ema ik ahlil olib bo ildi, ikkinchi bosqichda esa aqamli simulya siya yo damida
amaliy na ijala olindi. Olingan ma’lumo la Fou ie qa o la ining yaqinlashu ini naza iy
jiha dan baholash bilan bi qa o da, amaliy signalla a izik ja ayonla da ula ning ishlash
mexanizmini aniqlash imkonini be di. Shu a iqa, adqiqo da qo‘llanilgan ma e ialla a
usulla Fou ie qa o la i kon e gensiyasini chuqu ahlil qilish a uni aqamli modellash i ish
o qali yangi ilmiy xulosala ga e ishish imkonini ya a di.
1-Jad al. Fou ie qa o la ining yaqinlashu ini baholashda qo‘llaniladigan asosiy ma ema ik
usulla
Usul nomi
Asosiy g‘oya
A zallikla i
Qo‘llanilish sohasi
Di ichle
sha la i
Funksiyaning uzluksizligi a
chega a iy qiyma la ini
hisobga oladi
Klassik, aniq naza iy
asos
Silliq unksiyala
uchun yaqinlashu
Lebeg in eg ali
O‘lcho naza iyasiga
“Deya li hamma joyda”
Silliq bo‘lmagan
ISSN: 3030-3931, Impac ac o : 7,241 Volume 10, issue 2, Noyab 2025
h ps://wo ldlyjou nals.com/index.php/Yangiizlanu chi wo ldly knowledge
OAK Index bazala i : esea ch ga e, esea ch bib.
Qo’shimcha index bazala i: zenodo, open ai e. google schola .
O iginal a icle
104
Usul nomi
Asosiy g‘oya
A zallikla i
Qo‘llanilish sohasi
asoslangan in eg allash usuli
yaqinlashu ni
a’minlaydi
unksiyala uchun
Riesz
summa siyasi
Qa o ning qisman
yig‘indila ini silliqlash i ish
Tez oq a ba qa o
yaqinlashu
Ma ema ik ahlil
a aqamli
modella
Cesa o o‘ acha
qiyma la i
Qa o o‘ acha yig‘indila i
o qali yaqinlashu ni
yaxshilaydi
Teb anishla ni
kamay i adi
Fou ie ahlilida
keng qo‘llaniladi
Feje yad osi
Silliqlash i u chi yad ola
yo damida ekis yaqinlashu
Uzluksiz bo‘lmagan
nuq ala da sama ali
Amaliy signal
ahlili
Yuqo idagi 1-jad al Fou ie qa o la ining yaqinlashu ini baholashda qo‘llaniladigan asosiy
naza iy a ma ema ik usulla ni umumlash i ib be adi. Jad alda ha bi me odning mohiya i,
a zallikla i a ula ning amaliy qo‘llanilish sohala i kel i ilgan. Jumladan, Di ichle sha la i
klassik yondashu si a ida silliq unksiyala uchun yaqinlashu ni a’minlasa, Lebeg in eg ali
o‘lcho naza iyasiga asoslanib, silliq bo‘lmagan unksiyala uchun ham “deya li hamma
joyda” kon e gensiyani ka ola laydi. Riesz summa siyasi a Cesa o o‘ acha qiyma la i
me odla i esa qa o la ning eb anishini kamay i ib, yaqinlashu ja ayonini silliqlash i ishda
muhim ol o‘ynaydi. Feje yad osi esa Fou ie qa o la ining ekis yaqinlashu ini a’minlashda
eng sama ali usul si a ida aj alib u adi. Shu boisdan, bu jad al Fou ie qa o la ining
kon e gensiya naza iyasini u li bu chakla dan yo i u chi muhim me odologik asos si a ida
xizma qiladi.
2-Jad al. Fou ie qa o la ining yaqinlashu ini aqamli modellash i ish na ijala i (MATLAB
asosida)
Funksiya u i
Qo‘llanilgan
usul
Yaqinlashu
aniqligi (ε)
Hisoblash
aq i (ms)
Na ija a si i
Sinusoidal (silliq)
Di ichle
sha la i
0.0001
12
Tez a ba qa o
yaqinlashu
Uzluksizligi
buzilgan
Feje yad osi
0.0012
25
Teb anishla kamaygan,
ba qa o na ija
Ko‘p chas o ali
Riesz
summa siyasi
0.0020
31
Yuqo i chas o a a’si i
pasaygan
Tasodi iy signal
Cesa o
summa siyasi
0.0035
28
Yaqinlashu o‘ acha,
eb anish ma jud
Nolinchi
chega ali
unksiya
Lebeg in eg ali
0.0009
18
Deya li hamma
nuq ala da
kon e gensiya
2-jad al esa MATLAB das u iy muhi i yo damida amalga oshi ilgan aqamli modellash i ish
na ijala ini i odalaydi. Unda u li unksiyala uchun Fou ie qa o la ining yaqinlashu aniqligi
(ε), hisoblash ezligi a na ija a si i kel i ilgan. Na ijala dan ko‘ inadiki, silliq sinusoidal
unksiyala uchun Di ichle sha la i ez a aniq yaqinlashu be adi, uzluksizligi buzilgan
ISSN: 3030-3931, Impac ac o : 7,241 Volume 10, issue 2, Noyab 2025
h ps://wo ldlyjou nals.com/index.php/Yangiizlanu chi wo ldly knowledge
OAK Index bazala i : esea ch ga e, esea ch bib.
Qo’shimcha index bazala i: zenodo, open ai e. google schola .
O iginal a icle
105
unksiyala uchun esa Feje yad osi eng ba qa o na ijani a’minlaydi. Riesz summa siyasi
yuqo i chas o ali unksiyala ni ahlil qilishda oydali bo‘lib, u eb anishla ni kamay i adi.
Lebeg in eg ali esa o‘lcho nuq ai naza idan eng aniq yaqinlashu ni be adi. Shu a iqa,
jad aldagi aqamli ahlil Fou ie qa o la ining u li usulla asosida yaqinlashu
sama ado ligini baholash imkonini be adi a naza iy na ijala ni amaliy modellash i ish o qali
ishonchli a zda asdiqlaydi.
Tadqiqo muhokamasi. Tadqiqo na ijala i Fou ie qa o la ining yaqinlashu xususiya la ini
chuqu ahlil qilish o qali ula ning naza iy a amaliy jiha dan ahamiya ini yanada ochib be di.
Das labki na ijala shuni ko‘ sa adiki, Di ichle sha la i klassik unksiyala uchun ye a li
aniqlikni a’minlasa-da, silliq bo‘lmagan yoki uzluksizligi buzilgan unksiyala hola ida
yaqinlashu ja ayonida sezila li og‘ishla kuza iladi. Bunday hola la da Lebeg in eg ali
asosida olib bo ilgan ahlil Fou ie qa o la ining o‘lcho naza iyasi nuq ayi naza idan
yaxshi oq na ija be ishini ko‘ sa di, ya’ni bu usul unksiyaning “nuq a iy” o‘ niga “deya li
hamma joyda” yaqinlashu ini a’minlaydi. Riesz summa siyasi a Cesa o o‘ acha qiyma la i
esa Fou ie qa o la ining yaqinlashu ini silliqlash i ish o qali eb anishla ni kamay i ish a
qa o la ni ez oq kon e gen hola ga kel i ishda sama ali bo‘ldi. Ayniqsa, Riesz summa siyasi
yo damida yuqo i chas o ali komponen la ning a’si ini pasay i ish o qali unksiyaning
uzluksiz bo‘lmagan nuq ala ida ham nisba an ba qa o yaqinlashu kuza ildi. Tadqiqo
da omida Feje yad osi asosida olib bo ilgan silliqlash i ish usuli eng sama ali na ijani be gan
bo‘lib, u Fou ie qa o la ining qa o bo‘yicha yig‘indisini ekis yaqinlashu ga olib kelgan.
Kompyu e modella i asosida amalga oshi ilgan aqamli ahlil na ijala ida MATLAB a
Ma hema ica das u la ida olingan g a ikla Fou ie qa o la ining ezko Fou ie ans o masi
(FFT) yo damida qay a ishlanganda yaqinlashu ezligi sezila li da ajada oshganini ko‘ sa di.
Bu esa, Fou ie qa o la ini amaliy masalala da – signalni il lash, o ush o‘lqinla ini ahlil
qilish, issiqlik ja ayonla ini modellash i ish a boshqa izik izimla da qo‘llash imkoniya la ini
kengay i adi.
Shuningdek, adqiqo da aniqlanishicha, Fou ie qa o la ining yaqinlashu ezligi unksiyaning
silliqlik da ajasiga, ya’ni uning hosilala i ma judligi a uzluksizligiga be osi a bog‘liq bo‘lib,
yuqo i da ajadagi silliqlik kon e gensiyani ezlash i adi. Zamona iy yondashu la — Riesz
summa siyasi, Lebeg in eg ali a silliqlash i u chi yad ola — Fou ie qa o la ini na aqa
naza iy, balki aqamli sohala da ham qo‘llashni osonlash i adi. Umuman olganda, olib
bo ilgan muhokama Fou ie qa o la ining yaqinlashu ini Di ichle sha la idan keyingi yangi
bosqichga olib chiqib, ma ema ik ahlilda yanada aniqlik, ba qa o lik a amaliy
sama ado likni a’minlash yo‘nalishida muhim na ijala ni ko‘ sa di. Tadqiqo da omida
Fou ie qa o la ining yaqinlashu ini naza iy a aqamli usulla o qali baholash ja ayonida bi
nech a muhim xulosala olindi. Bi inchidan, Di ichle sha la i silliq a uzluksiz unksiyala
uchun aniq a ba qa o kon e gensiyani a’minlasa-da, amaliy masalala da ko‘pincha
unksiyala silliq bo‘lmagan yoki cheklangan nuq ala da uzluksizligi buzilgan bo‘ladi. Shu
sababli, Lebeg in eg ali asosidagi yondashu la “deya li hamma joyda” yaqinlashu ni
ka ola lab, ma ema ik ahlilda naza iy aniqlikni oshi adi. Ikkinchidan, Riesz summa siyasi a
Cesa o o‘ acha qiyma la i yo damida qa o la ba qa o lash i ilib, yuqo i chas o ali
eb anishla kamayadi, bu esa ayniqsa aqamli signalla ni qay a ishlashda muhim ahamiya ga
ega. Feje yad osi o qali amalga oshi ilgan silliqlash i ish usulla i esa, Fou ie qa o la ini
uzluksiz bo‘lmagan nuq ala da ham ekis yaqinlashu ga olib keladi, na ijada g a ik i odala da
eb anishla sezila li da ajada kamayadi. Kompyu e modellash i ish na ijala i shuni
ko‘ sa diki, MATLAB a Ma hema ica das u la ida amalga oshi ilgan simulya siyala Fou ie
qa o la ining naza iy kon e gensiyasini amaliy jiha dan asdiqlash bilan bi ga, yaqinlashu
ISSN: 3030-3931, Impac ac o : 7,241 Volume 10, issue 2, Noyab 2025
h ps://wo ldlyjou nals.com/index.php/Yangiizlanu chi wo ldly knowledge
OAK Index bazala i : esea ch ga e, esea ch bib.
Qo’shimcha index bazala i: zenodo, open ai e. google schola .
O iginal a icle
106
ezligi a aniqligini aqamli ko‘ sa kichla o qali baholash imkonini be adi. Shu bilan bi ga,
ezko Fou ie ans o masi (FFT) algo i mi yo damida mu akkab a ko‘p chas o ali
signalla ni ez a aniq ahlil qilish mumkinligi aniqlandi, bu esa zamona iy izik, muhandislik
a signalla ni qay a ishlash masalala ida qo‘llanilishini a’minlaydi. Tadqiqo na ijala i shuni
ko‘ sa adiki, Fou ie qa o la ining zamona iy yondashu la o qali yaqinlashu ini ahlil qilish
na aqa naza iy jiha dan, balki amaliy sohala da ham kon e gensiyani op imallash i ish a
ma ema ik modellash i ishning sama ado ligini oshi ishga xizma qiladi. Shunday qilib,
Fou ie qa o la i kon e gensiyasi bo‘yicha qo‘llanilgan usulla naza iy asosla ni
mus ahkamlash bilan bi ga, amaliy qo‘llanilish imkoniya la ini kengay i adi a zamona iy
ma ema ik ahlilning i ojlanishiga muhim hissa qo‘shadi.
Xulosa. Fou ie qa o la ining yaqinlashu i masalasini chuqu o‘ ganish na ijala i shuni
ko‘ sa adiki, Di ichle sha la i ushbu naza iyaning asosiy poyde o ini ashkil e gan bo‘lsa-da,
zamona iy ma ema ik ahlil usulla i bu chega ala ni ancha kengay i di. Tadqiqo da omida
aniqlanishicha, Lebeg in eg ali asosidagi yondashu la Fou ie qa o la ining “deya li hamma
joyda” yaqinlashu ini a’minlaydi, Riesz summa siyasi esa eb anishla ni silliqlash i ib,
kon e gensiya ja ayonini ba qa o lash i adi. Feje yad osi yo damida esa ekis yaqinlashu ga
e ishish imkoniya i ma jud bo‘lib, bu usul ayniqsa uzluksizligi buzilgan unksiyala uchun
sama ali na ija be adi. Tezko Fou ie ans o masi (FFT) kabi aqamli me odla esa naza iy
na ijala ni amaliy modellash i ish ja ayonida mu a aqiya li qo‘llash imkonini be adi. Olingan
na ijala Fou ie qa o la ining yaqinlashu ini aqa naza iy doi ada emas, balki aqamli
signalni qay a ishlash, izik modellash i ish, issiqlik a o‘lqin englamala ini yechishda ham
qo‘llash mumkinligini asdiqladi. Shunday qilib, Fou ie qa o la ining yaqinlashu i haqidagi
zamona iy yondashu la ma ema ik ahlilning i ojlanishida yangi bosqichni boshlab be di a
Di ichle sha la idan keyingi kon e gensiya naza iyasini yanada chuqu lash i ishga ilmiy asos
ya a di.
Foydalanilgan adabiyo la o’yxa i
1. Fou ie J. Théo ie analy ique de la chaleu . Pa is: Chez Fi min Dido , 1822.
2. Di ichle P. G. L. Übe die Da s ellung ganz willkü liche Funk ionen du ch Sinus-
und Cosinus eihen. Jou nal ü die eine und angewand e Ma hema ik, 1829.
3. Lebesgue H. Leçons su l’in ég a ion e la eche che des onc ions p imi i es.
Gau hie -Villa s, Pa is, 1904.
4. Riesz M. Su la somma ion des sé ies de Fou ie . Ac a Ma hema ica, 1909.
5. Fejé L. Übe die Fou ie ’schen Reihen. Ma hema ische Annalen, 1904.
6. S ein E. M., Shaka chi R. Fou ie Analysis: An In oduc ion. P ince on Uni e si y
P ess, 2003.
7. Tols o G. P. Fou ie Se ies. Do e Publica ions, New Yo k, 1962.
