Aplicació del càlcul de Malliavin a problemes d'estimació paràmetrica

Aplicaci´o del c`alcul de
Mallia in a p oblemes
d’es imaci´o pa am`e ica
T eball inal del M`as e en Ma em`a ica A an¸cada i P o essional 2011-2012
Facul a de Ma em`a iques de la Uni e si a de Ba celona
Bea iz Ma ´ınez Mon esinos
Di igi pe Josep Vi es i San a Eulalia
Resum
L’objec iu d’aques eball ´es dona a con`eixe com es a se i a
l’ac uali a el c`alcul de a iacions es oc`as ic (c`alcul de Mallia in) en
l’`ambi de la in e `encia es ad´ıs ica pa am`e ica. Pe a aix`o es udia em
el c`alcul de Mallia in pe a a iables alea `o ies en un espai gaussi`a
i, en pa icula , pe a aquelles que s´on soluci´o d’algunes equacions
di e encials es oc`as iques.
1 In oducci´o
Quan enim un model es ad´ıs ic d’es imaci´o pa am`e ica, la unci´o “sco e“
del model ens pe me oba la i a de C ame -Rao i dedui p opie a s
asimp `o iques dels es imado s. En aques eball olem mos a com, ac-
ualmen , el c`alcul de Mallia in s’es `a en se i pe oba exp essions de
la unci´o “sco e“ en e mes d’espe ances condicionades , i com, a pa i
d’aqu´ı es poden es udia les p opie a s asimp `o iques del model. Aix`o ´e
l’a an a ge que no necessi em con`eixe la unci´o de densi a expl´ıci amen .
P ime dona em els concep es p e is necessa is sob e p obabili a i in-
e `encia es ad´ıs ica pe a iba a en end e qu´e ´es un model d’es imaci´o
pa am`e ica i com s’ob ´e la i a de C ame -Rao si el model sa is `a ce es
p opie a s asimp `o iques.
1
Desp ´es in odu¨ı em unes nocions b`asiques sob e el c`alcul de Mallia in
en espais gaussians i eu em com Co cue a i Koha su-Higa en [9] ho an
se i en el cas de l’es imaci´o pa am`e ica i, pa icula men , en el cas del
p oc´es d’O ns ein-Uhlenbeck i en el de les di usions el.l´ıp iques.
2 In e `encia es ad´ıs ica pa am`e ica
2.1 Concep es p e is de p obabili a
Un espai de p obabili a associa a una ce a expe i`encia alea `o ia, la qual
es em es udian , ´es una e na (Ω,F, P), al que:
•Ω ´es el conjun de o s els possibles esul a s del en`omen,
•F´es una am´ılia de pa s d’Ω que ´e es uc u a de σ-`algeb a, ´es a di ,
Ω∈FiF´es es able pe complemen aci´o i pe unions nume ables, i
•P´es una aplicaci´o, P:F→[0,1] al que P(∅) = 0, P(Ω) = 1 i P´es
σ-addi i a, ´es a di , P(U∞
n=1Fn) = P∞
n=1 P(Fn) si Fn∈Fs´on disjun s
dos a dos. A Pli diem una p obabili a sob e (Ω,F).
Aques espai de p obabili a di em que ´es comple si dona un conjun
de la σ-`algeb a F o s els seus subconjun s s´on amb´e de F.
Podem associa alo s eals als esul a s dels en`omens alea o is mi -
jan¸can les a iables alea `o ies. Una a iable alea `o ia ´es una unci´o X:
Ω→Rque ´es F-mesu able, ´es a di , que acompleix que X−1(B)∈Fpe a
o conjun B∈B(R), on, pe qualse ol n,B(Rn) ´es la σ-`algeb a gene ada
pels conjun s obe s de Rni s’anomena la σ-`algeb a de Bo el de dimensi´o n.
To a a iable alea `o ia Xgene a una σ-`algeb a i una p obabili a sob e
la ec a,
PX(B)=(P◦X−1)(B) = P({ω:X(ω)∈B}),pe a o B∈B(R),
a la qual li di em llei o dis ibuci´o de p obabili a de X. La unci´o de
dis ibuci´o de la a iable Xse `a la unci´o
FX(x) = PX((−∞, x]) = P{X≤x}, x ∈R.
Una al a mane a de cons ui p obabili a s sob e la ec a eal ´es mi -
jan¸can les uncions de densi a , u ili zan la in eg al de Lebesgue. Una
densi a de p obabili a se `a una unci´o :R→[0,+∞) mesu able i al que
R+∞
−∞ (x)dx = 1.
2
Di em que una a iable alea `o ia X ´e densi a si ´es una densi a de
p obabili a al que
P(a < X < b) = Zb
a
(x)dx, pe a o s a < b.
Alesho es enim la elaci´o FX(x) = Rx
−∞ X(y)dy.
Un concep e impo an pe al desen olupamen del nos e eball ´es el
d’espe an¸ca ma em`a ica. Si la a iable alea `o ia X´es in eg able espec e P
(o b´e Xp en alo s a [0,+∞]) es de ineix l’espe an¸ca d’Xcom la in eg al
d’X espec e la mesu a P, aix`o ´es,
E(X) := ZΩ
XdP.
En gene al, si ϕ:R→R´es una unci´o mesu able espec e B(R) al que
ϕ◦X´es in eg able espec e P(o ϕp en alo s a [0,+∞]), ind em que
E[ϕ(X)] = ZΩ
ϕ(X)dP =ZR
ϕ(x)(P◦X−1)(dx).
Si la llei de la a iable X´es disc e a,
E[ϕ(X)] = X
i∈I
ϕ(xi)P(Xi=xi),
i, si (x) ´es la densi a de X,
E[ϕ(X)] = ZR
ϕ(x) (x)dx.
Si E(X2)<∞, es de ineix la a i`ancia de Xcom σ2(X) = V a (X) =
E[(X−E(X))2] = E(X2)−(E(X))2.
L’espe an¸ca d’una a iable alea `o ia ens pe me con`eixe on es concen-
en els alo s de Xi la a i`ancia ens mesu a el seu g au de dispe si´o espec e
el alo mig.
Exemple Una a iable alea `o ia ´e llei no mal o gaussiana N(µ, σ2) si
la se a densi a ´es (x) = 1
√2πσ2e−(x−µ)2
2σ2, on µ´es la se a espe an¸ca i σ2>0
la se a a i`ancia.
Una aplicaci´o mesu able X= (X1,··· , Xn) : Ω →Rn, on Xi´es una
a iable alea `o ia pe a cada i= 1,··· , n, s’anomena un ec o alea o i
n-dimensional. L’espe an¸ca d’aques ec o alea o i se `a el ec o
E(X)=(E(X1),··· , E(Xn))
3
i la se a ma iu de co a i`ancies se `a
ΓX= (co (Xi, Xj))1≤i,j≤n,
on
co (Xi, Xj) = E[(Xi−E(Xi))(Xj−E(Xj))]
mesu a el g au de depend`encia en e les dues a iables alea `o ies.
De mane a semblan al cas de les a iables alea `o ies de inim la llei o
dis ibuci´o del ec o alea o i Xcom la p obabili a
PX(B)=(P◦X−1)(B) = P(X∈B}),pe a o B∈B(Rn).
Exemple Un ec o alea o i n-dimensional X ´e llei no mal o gaussiana
N(m, Γ) si (cambia lo po la uncion de densidad)
P(ai≤Xi≤bi, i = 1,··· , n) =
=Zbn
an···Zb1
a1
(2πde Γ)−n
2e−12 Pn
i,j=1(xi−mi)(xj−mj)Γ−1
ij dx1···dxn
on m∈Rn´es la se a espe an¸ca i Γ = ΓX´es una ma iu sim`e ica de inida
posi i a.
Si la nos a p obabili a es `a condicionada pe alguna in o maci´o a p i-
o i, apa eix el concep e d’espe an¸ca condicionada. Donada una a iable
alea `o ia Xi una σ-`algeb a Gde Fgene ada pe les a iables alea `o ies
Y1,··· , Yn, si la dis ibuci´o conjun a del ec o alea o i (X, Y1,··· , Yn) ex-
is eix i ´e densi a (x, y1,··· , yn), podem de ini l’espe an¸ca condicionada
de Xpe Gcom la a iable alea `o ia
E(X|G) = E(X|Y1,··· , Yn) = Z∞
−∞
x (x|Y1,··· , Yn)dx,
on
(x|y1,··· , yn) = (x, y1,··· , yn)
R∞
−∞ (x, y1,··· , yn)dy1,··· , dyn
.
Podem oba a [14] el eo ema de Randon-Nikodym que ens assegu a l’ex-
is `encia de l’espe an¸ca condicionada pe una σ-`algeb a.
Un p oc´es es oc`as ic ´es una am´ılia de a iables alea `o ies eals {Xi, i ∈
I}de inides en un espai de p obabili a (Ω,F, P). No malmen l’´ındex i
ep esen a el emps i lla o s, pe a cada ω∈Ω, a l’aplicaci´o →X (ω) se li
diu una ajec `o ia del p oc´es.
Fixa un conjun d’ins an s {0≤ 1<··· < n}, l’aplicaci´o (X 1,··· , X n) :
Ω−→ Rn´es un ec o alea o i.
4
Les lleis o dis ibucions de p obabili a P 1,···, n=P◦(X 1,··· , X n)−1
s’anomenen les dis ibucions en dimensi´o ini a del p oc´es, i, si aques es s´on
gaussianes pe a o ni qualsse ol 1,··· , n, di em que el p oc´es es oc`as ic
´es gaussi`a.
Di em que un p oc´es ´e inc emen s independen s si pe a qualsse ol
0≤ 1<··· < nles a iables X n−X n−1,··· , X 2−X 1s´on independen s,
´es a di , la se a unci´o de dis ibuci´o conjun a coincideix amb el p oduc e
de les uncions de dis ibuci´o indi iduals.
Un p oc´es es oc`as ic {X , ≥0}diem que ´es un p oc´es de Ma ko si pe
a cada s< s’acompleix que
E( (X )|X , ≤s) = E( (X )|Xs),
pe a o a unci´o mesu able i aco ada :Rn→R. Aix`o ol di que,
dona l’es a del p oc´es a emps p esen , l’es a del p oc´es a emps u u
´es independen del passa .
Un p oc´es de Ma ko de e mina una p obabili a anomenada p obabili a
de ansici´o i e donada pe
p(s, x, , B) = P(X ∈B|Xs=x)
amb 0 ≤s≤ ,x∈RiB∈B(R), la qual ens p opo ciona la p obabili a
de que el p oc´es es obi a Ba emps saben que es a oba a l’es a x
en un ins an sdel passa .
Exemple El mo imen B owni`a op oc´es de Wiene ´es un p oc´es {B , ≥
0}que acompleix que B0= 0, ´e els inc emen s independen s, cada B −Bs
amb s< ´e una llei no mal N(0, −s) i les se es ajec `o ies s´on uncions
con ´ınues. El eo ema de Kolmogo o ( eu e secci´o 1.2 a [3]) ens assegu a
l’exis `encia d’aques p oc´es.
El mo imen B owni`a eal ´es un exemple de p oc´es Gaussi`a i de p oc´es
de Ma ko , i les se es p obabili a s de ansici´o enen donades pe
p(s, x, , y) = 1
p2π( −s)e−(x−y)2
2( −s).
Una am´ılia (F ) ≥0de σ-sub`algeb es de F´es una il aci´o si pe a
0≤s≤ s’acompleix Fs⊆F ⊆F. Quan X ´es F -mesu able pe a cada
≥0 lla o s es diu que el p oc´es ´es adap a a la il aci´o.
Dona un T > 0, sigui L2
Tel conjun dels p ocessos es oc`as ics eals X=
{X , ∈[0, T]}que s´on de quad a in eg able, ´es a di , que acompleixen
que
kXk2
2:= EZT
0
X2
d <∞.
5

Conside em el subconjun de L2
Tdels p ocessos que s´on, a m´es, adap a s
a la il aci´o del mo imen b owni`a. Aques subconjun , que deno a em pe
L2
a,T , ´es un espai ec o ial comple i he eda l’es uc u a hilbe iana de L2
T.
Si X´es un p oc´es de L2
a,T , pod em de ini la se a in eg al es oc`as ica o
in eg al de I ˆo,ZT
0
X dB ,
que ´es la in eg al del p oc´es espec e un mo imen b owni`a. Veu e [4] pe
m´es de alls.
Una equaci´o di e encial es oc`as ica ´es una equaci´o de la o ma
dX =b( , X )d +σ( , X )dB
de inida pe a ∈[0, T] i amb condici´o inicial X0que suposem F0-mesu able
i independen del mo imen B owni`a B .
Els coe icien s b( , x) i σ( , x) es diuem de end`encia i de di usi´o espec-
i amen i s´on uncions de [0, T]×RaR.
La o ma in eg al d’aques a equaci´o ´es
X =Z
0
b(s, Xs)ds +Z
0
σ(s, Xs)dBs.
Aques p oc´es po in e p e a -se, doncs, com un sis ema de e minis a
amb una pa dominan no alea `o ia i pe u ba pe un impuls alea o i
dona pe la in eg al es oc`as ica.
La soluci´o se `a un p oc´es es oc`as ic {X , ≥0}amb ajec `o ies con ´ınues
i adap a a la il aci´o del mo imen B owni`a. Aques s p ocessos soluci´o
s’anomenen p ocessos de di usi´o. Ens podem ad e¸ca , pe exemple, a la
secci´o 2.2 de [4] pe oba esul a s en e s l’exis `encia i la unici a de les
solucions.
La p opie a de Ma ko pe a p ocessos de di usi´o ens diu que donada
una unci´o mesu able i aco ada a Rn, lla o s, pe a cada 0 ⩽s< ind em
E( (X )|Fs) = E( (X )|Xs).
2.2 Concep es p e is d’es ad´ıs ica
Si en comp es de eni un espai de p obabili a o almen especi ica dis-
posem d’un conjun d’obse acions del enomen conside a es em en el camp
de la in e `encia es ad´ıs ica. Aqu´ı la inali a pod ia se ob eni in o maci´o
sob e la llei de p obabili a PXdel enomen a pa i dels alo s x1,··· , xn
d’una ce a a iable alea `o ia (obse acions) i pode cons ui l’espai de
p obabili a que li aci de model.
Pa lem de in e `encia es ad´ıs ica pa am`e ica quan la am´ılia Fde possi-
bles dis ibucions es `a o mada pe dis ibucions depenen s d’un pa `ame e
6
θpe anyen a un obe Θ ⊂Rque anomenem l’espai pa am`e ic. Esc i im
F={Fθ|θ∈Θ}. La unci´o de p obabili a odensi a de la mos a (depe-
nen que la dis ibuci´o Fθsigui disc e a o con inua) la no a em p(x;θ), on
x= (x1,··· , xn)∈Rn.
Conside em Xel conjun de les possibles mos es de mida nd’un ce
ec o alea o i X= (X1,··· , Xn) que anomena em l’espai mos al. Podem
conside a a Xla σ-`algeb a es ingida de la σ-`algeb a de Bo el B(Rn), que
ep esen a em pe F, i la mesu a de p obabili a Pθa (X,F) associada a
cada dis ibuci´o e´o ica Fθ.
La e na (X,F,{Pθ, θ ∈Θ}) se `a el model es ad´ıs ic pa am`e ic associa
al ec o alea o i n-dimensional X= (X1,··· , Xn).
A egades ´es millo asumi que Xdepend expl´ıci amen de θi de ini el
model es ad´ıs ic pa am`e ic com una e na consis en en un espai de p oba-
bili a (Ω,F, P), un espai de pa `ame es Θ i una aplicaci´o mesu able
X: Ω ×Θ−→ X ⊆ Rn
(ω, θ)7−→ X(ω, θ).
Un es ad´ıs ic T´es una unci´o mesu able de la mos a, ´es a di , T=
h(X1,··· , Xn) amb h unci´o mesu able de XaRk, i posa em
T:X −→ Rk
(x1,··· , xn)7−→ T(x1,··· , xn).
La dimensi´o de l’es ad´ıs ic ´es la dimensi´o kde l’espai euclidi i, pe simpli-
ica , suposa em que es igual a 1. L’es ad´ıs ic T(X1, ..., Xn) ´es amb´e una
a iable alea `o ia (com a unci´o mesu able de B(Rk)).
Un es ad´ıs ic ´es in eg able d’o d e p, pe a p≥1, si E(|T|p)<∞. Un
es ad´ıs ic in eg able d’o d e 2 di em que ´es de quad a in eg able i si ho ´es
d’o d e 1 di em simplemen que ´es in eg able.
El p oblema es ad´ıs ic d’ob eni una es imaci´o pun ual del pa `ame e
θdins la am´ılia F={Fθ|θ∈Θ}consis eix en selecciona un es ad´ıs ic i
p end e com a es imaci´o el alo de Tcalcula a pa i de la mos a.
Els es ad´ıs ics els alo s dels quals s’u ili zen pe ob eni la es imaci´o
pun ual de θ(o d’una ce a unci´o g(θ)) s’anomenen es imado s.
Una p opie a con enien pe a un ”bon” es imado in eg able de θ(o
de g(θ)) ´es que sigui cen a osense biaix, ´es a di , que
g(θ) = Eθ(T) := E(T(X(·, θ)))?
pe a o θ∈Θ.
Dins d’aques conjun d’es imado s ens in e esa an aquells que siguin de
quad a in eg able i inguin la m´es pe i a dispe si´o possible ( a i`ancia), ´es
7
a di , aquells que acompleixin que
V a θ(T) := V a (T(X(·, θ))) ≤V a θ(T0)?
pe qualse ol θ∈Θ i qualse ol T0del conjun d’es imado s sense biaix.
Podem demos a que, si exis eix, aques es imado ´es ´unic Pθ-quasi segu-
amen pe qualse ol θ, ´es a di , Eθ[(T−T0)2] = 0.
La desigual a de C ame -Rao ens dona `a, pe alguns casos, una i a
in e io de la a i`ancia de o s els es imado s sense biaix. A con inuaci´o
dona em una e si´o d’aques a desigual a .
2.3 La i a de C ame -Rao. E ici`encia i e ici`encia asimp `o ica
Un es ad´ıs ic de quad a in eg able T∈ C1s’anomena egula si
∂θE(T(X)) = E(∂θT(X))
iV a (T(X)) <∞, on esc i im ∂θ=∂
∂θ .
Conside em les seg¨uen s condicions de egula i a pe a la am´ılia de
a iables alea `o ies {X(·, θ), θ ∈Θ}:
i) X ´e densi a p(·;θ)∈ C1pe a o θ∈Θ amb supo sup(X) := {x:
p(x;θ)>0}independen de θ.
ii) X(ω, ·)∈ C1com a unci´o de θ, pe a o ω∈Ω. A m´es, ∂θXj∈L2(Ω) i
E(∂θXj|X=x)∈ C1com a unci´o de x, pe a o θ∈Θ i j= 1,··· , n.
iii) Pe a cada j= 1,··· , n
∂xj(E(∂θXj|X)p(X;θ))
p(X;θ)∈L2(Ω),
on ∂xjh(X) := ∂xjh(x)|x=X, pe o a unci´o di e enciable h.
i ) To es ad´ıs ic T∈ C1amb supo compac e a l’in e io de sup(X) ´es
egula .
) p(x;θ) ´es di e enciable com a unci´o de θ, pe a cada x ixa .
i) Pe a cada es imado Tdi e enciable amb supo compac e a l’in e io
de sup(X),
∂θZRn
T(x)p(x;θ)dx =ZRn
T(x)∂θp(x;θ)dx, ∀θ∈Θ.
8
So a aques es condicions pod em conside a les anomenades unci´o “sco e”
iin o maci´o de Fishe del model.
La unci´o “sco e” del model es ad´ıs ic ´es la unci´o ∂θlog p(x;θ). Si ixem
θ, es ac a d’una a iable alea `o ia cen ada, ´es a di ,
Eθ(∂θlog p(x;θ)) = 0,
i la se a a i`ancia ´es la in o maci´o de Fishe del model
I(θ) := V a θ(∂θlog p(x;θ)) = Eθ(∂θlog p(x;θ))2.
Lema 2.1 Si T∈ C1´es un es imado egula amb supo compac e a
l’in e io de sup(X)i la am´ılia {X(., θ), θ ∈Θ}acompleix les condicions
de egula i a i)-i ) lla o s
∂θE(T(X)) = −E(T(X)
n
X
j=1
∂xj(E(∂θXj|X)p(X;θ))
p(X;θ)).
Demos aci´o:
∂θE(T(X)) (1)
=E(∂θT(X)) = E(Pn
j=1 ∂xjT(X)∂θXj)(2)
=
=RRnPn
j=1 ∂xjT(x)E(∂θXj|X=x)p(x;θ)dx (3)
=
=Pn
j=1 E(∂θXj|X=x)p(x;θ)·T(x)|Rn
−RRnT(x)·Pn
j=1 ∂xj(E(∂θXj|X=x)p(x;θ))dx (4)
=
=−RRnT(x)Pn
j=1 ∂xj(E(∂θXj|X=x)p(x;θ))dx =
=−E(T(X)Pn
j=1
∂xj(E(∂θXj|X)p(X;θ))
p(X;θ)),
on el quocien es de ineix com a 0 si p(X;θ) = 0.
(1) pe la condici´o i ) T ´es egula
(2) una de les p opie a s de l’espe an¸ca ens diu que si XiYs´on dues a iables alea `o ies i
´es no nega i a
lla o s E( (Y)) = RRnE( (Y)|X=x)p(x, θ)dx
(3) in eg aci´o pe pa s u=E(∂θXj|X=x)p(x;θ), d =∂xjT(x)dx
(4) limx→x0E(∂θXj|X=x)p(x;θ)T(x)=0, j = 1,···, n, ∀θ∈Θ,∀x0∈∂sup(X),
on ∂sup(X)´es la on e a de sup(X).
2
9
La p oposici´o 1.2.1 a [4] ens demos a que l’ope ado D´es ”closable” des
de L2(Ω) a L2(Ω; H), pe an podem de ini l’ope ado de i ada es oc`as ica
com D:D1,2⊆L2(Ω,R)−→ L2(Ω, H)
T7→ DT.
on D1,2´es el domini de Di consis eix en la clausu a de la classe de les
a iables alea `o ias S espec e la no ma
kTk1,2= (E(|T|2) + E(kDT k2
H))1
2.
D1,2se `a, doncs, un espai de Hilbe .
Dues p opie a s impo an s de l’ope ado de i ada s´on les seg¨uen s:
P oposici´o 3.1 La egla de la cadena Sigui :Rn→Runa unci´o C1
amb de i ades pa cials aco ades i sigui Tuna a iable alea `o ia pe anyen
aD1,p(Rn)pe p≥1 ixa . Lla o s s’acompleix
D( (T)) =
n
X
i=1
∂i (T)DTi.
P oposici´o 3.2 La ´o mula d’in eg aci´o pe pa s Suposem que T
´es una a iable alea `o ia i h∈H. Lla o s
E(hDT, hiH) = E(TW(h)).
(podem oba les demos acions a la secci´o 1.2 de [4]).
L’ope ado di e g`encia ´es l’adjun de l’ope ado de i ada i el deno a em
pe δ. El domini de δ,Dom(δ), ´es el conjun de a iables alea `o ies de
quad a in eg able a alo s a H,u∈L2(Ω, H), als que
|E(hDT, uiH)| ≤ ckTk2,
pe a o T∈D1,2, on c´es una cons an depenen de u.
Si u∈Dom(δ), δ(u) ´es un elemen de L2(Ω,R) i s’acompleix la elaci´o
E(Tδ(u)) = E(hDT, uiH)
pe o T∈D1,2. Tenim, doncs, el seg¨uen esul a ?:
P oposicio 3.3 Sigui hun elemen de H, lla o s δ(h) = W(h).
P oposici´o 3.4 Si
u=
n
X
j=1
Fjhj
16

amb Fj∈Sihjs´on elemen s d’Halesho es
δ(u) =
n
X
j=1
FjW(hj)−
n
X
j=1hDFj, hjiH.
Demos aci´o:
E(Tδ(u)) =
=
n
X
j=1
E(TFjW(hj)) −
n
X
j=1
E(ThDFj, hjiH) =
=
n
X
j=1
E(hD(TFj), hji)−
n
X
j=1
E(ThDFj, hjiH) =
=
n
X
j=1
E(hD(TFj)−T DFj, hjiH) =
=
n
X
j=1
E(FjhDT, hjiH) = E(hDT,
n
X
j=1
FjhjiH) =
=E(hDT, uiH).
2
Obse em que, degu a la iden i icaci´o en e els espais de Hilbe L2(Ω, H)
iL2(T×Ω), si {W , ≥0}´es un mo imen b owni`a unidimensional i p enem
Hl’espai lineal anca gene a pe {W ,0≤ ≤T}iH=L2([0, T],R),
W(h) = RT
0h( )dW ´es la in eg al es oc`as ica de Wiene i lla o s, pe F∈S
la se a de i ada es po mi a com un p oc´es es oc`as ic DF ={D F, ∈
[0, T]}, on D F=Pn
i=1 ∂i (W(h1),··· , W(hn))hi( ). A m´es, si un p oc´es
es oc`as ic ude quad a in eg able ´es adap a a la il aci´o del mo imen
b owni`a (mi a [11] o [3] pels de alls), el seu ope ado adjun se `a la in eg al
de I ˆo RT
0u( )dW .
4´
Us del c`alcul de Mallia in en la In e `encia es-
ad´ıs ica asimp `o ica
El e que pe demos a la desigual a de C ame -Rao es aci se i la
`o mula d’in eg aci´o pe pa s adicional, ens po a a in en a e se i la
´o mula d’in eg aci´o pe pa s del c`alcul de Mallia in pe oba un esul a
semblan pe als casos on la unci´o de dis ibuci´o no sigui coneguda.
A [6] Gobe aplica el c`alcul de Mallia in pe demos a la p opie a de
no mali a asimp `o ica local mix a quan el model ´es un p oc´es de di usi´o
el.l´ıp ica mul idimensional els coe icien s del qual depenen d’un pa `ame e.
17
Aqu´ı ens ocupa em d’explica les eines que Co cue a i Koha su-Higa
donen a [9] pe e se i aques c`alcul en l’ob enci´o de co es de C ´ame -Rao
i en la demos aci´o de les p opie a s de no mali a asimp `o ica pe di e sos
models d’es imaci´o pa am`e ica com els co esponen s al p oc´es d’O ns ein-
Uhlenbeck, que ´es un exemple de p oc´es de di usi´o e g`odic, i a p ocessos de
di usions el.l´ıp iques.
Suposem a pa i d’a a que les nos es obse acions s’exp essen com a
una unci´o mesu able
X: Ω ×Θ−→ Rn
(ω, θ)7→ x=X(ω, θ),
Θ un subconjun obe de Ramb la σ-`algeb a de Bo el i conside em en Ω
la σ-`algeb a gene ada pe H.
Teo ema 4.1. Co cue a-Koha su Sigui Xj∈D1,2, j = 1,··· , n iZ
una a iable alea `o ia a alo s a H, en el domini de δ, al que
hZ, DXjiH=∂θXj.(4.1)
Si T´es un es imado egula sense biaix de g(θ)lla o s
V a (T(X))V a (E(δ(Z)|X)) ≥g0(θ)2.(4.2)
Si a m´es, suposem que
i) X ´e densi a p(x;θ)∈ C1com a unci´o de θamb supo , sup(X), inde-
penden de θ,
ii) o es ad´ıs ic di e enciable amb supo compac e a l’in e io de sup(X)
´es egula i ∂θRRnT(x)p(x;θ)dx =RRnT(x)∂θp(x;θ)dx, pe a o θ∈Θ,
alesho es
E(δ(Z)|X) = ∂θlog p(X;θ),q.s. i pe a o θ∈Θ.
Demos aci´o:
∂θE(T(X)) =
n
X
k=1
E(∂xkT(X)∂θXk)(4.1)
=
n
X
k=1
E(∂xkT(X)hZ, DXkiH).
Pe la egla de la cadena pe l’ope ado de i ada D,
DT (X) =
n
X
k=1
∂xkTDXk,
lla o s
∂θE(T(X)) = E(hZ, DT (X)iH) = E(T(X)δ(Z)) = E(T(X)E(δ(Z)|X)).
18
I, pe la desigual a de Cauchy-Schwa z,
(∂θE(T(X)))2≤V a (T(X))V a (E(δ(Z)|X)).
Pe al a banda,
∂θE(T(X)) = ∂θZRn
T(x)p(x;θ)dx =
=ZRn
T(x)∂θp(x;θ)dx =
=ZRn
T(x)∂θlog p(x;θ)p(x;θ)dx =
=E(T(X)∂θlog p(X;θ)).
I el esul a su amb un a gumen de densi a .
2
No a 4.2 El p ope objec iu se `a dona alguna pis a de com oba la
Z. Pe exemple, si exis eix un ec o alea o i n-dimensional Ua alo s a H
al que
hUk, DXjiH=δkj
on δkj ´es la del a de K onecke alesho es
Z=
n
X
k=1
Uk∂θXk
e i ica la condici´o (4.1) si Z∈Dom(δ):
hZ, DXjiH=
n
X
k=1hUk∂θXk, DXjiH=hUj∂θXj, DXjiH=∂θXj.
En pa icula , si
(Akj)=(hDXk, DXjiH)−1
es `a ben de inida, podem p end e
Uk=
n
X
j=1
AkjDXj.
La ma iu A=Ajk s’anomena ma iu de co a i`ancia de Mallia in i la
p opie a de que exis eix la se a in e sa implica, com podem eu e a [4]
Th.2.1.2, que el ec o alea o i X ´e unci´o de densi a p(x;θ).
19
Posem a con inuaci´o un pa ell d’exemples de casos sencills que Co cue a
i Koha su-Higa d´onen pe acla i quin pape juga cada un dels elemen s del
eo ema:
Exemple 3 Sigui Xj=j+θ, 1 ≤j≤n, on pe cada j= 1,··· , n
js´on a iables alea `o ies independen s amb dis ibuci´o no mal s anda d.
Sigui Hl’espai lineal gene a pe 1,··· , n. Conside em la isome ia
W:H−→ H
ej7−→ W(ej) = j
amb E(W(ej)W(ek)) = E(j, k) = hej, ekiH=δjk. Lla o s enim que
DXj=ej
i si seguim la no a 4.2 i de inim
Akj = (hDXk, DXjiH)−1=δkj,
p enen
Uk=
n
X
j=1
δkjej
podem aplica el eo ema 4.1 pe a
Z=
n
X
k=1
Uk·∂θXk=
n
X
j,k=1
δkjej·1 =
n
X
j=1
ej.
Pe la p oposici´o 3.4 enim que
δ(Z) =
n
X
j=1
W(ej) =
n
X
j=1
j=
n
X
j=1
Xj−nθ
i alesho es ob enim la desigual a cl`assica de C ame -Rao
V a (T)≥g0(θ)2
V a (E(δ(Z)|X)) =(∂θE(T))2
n.
Exemple 4 Sigui Xj=θj, 1 ≤j≤n, on pe cada j= 1,··· , n
js´on a iables alea `o ies independen s amb dis ibuci´o no mal s anda d.
Conside em la ma eixa isome ia que a l’exemple an e io . Lla o s enim
que
DXj=θej, Akj =1
θ2δkj, Uk=
n
X
j=1
1
θδkjej
20
i podem aga a
Z=
n
X
j,k=1
1
θδkjejj=
n
X
j=1
1
θjej.
P enen Fj=1
θja la p oposici´o 3.4 enim que
δ(Z) =
n
X
j=1
1
θ2
j−
n
X
j=1
1
θhej, ejiH=
n
X
j=1
X2
j
θ3−n
θ
i, en aques cas, amb´e ob enim la desigual a cl`asica de C ame -Rao:
V a (T)≥θ2(∂θE(T))2
2n.
Un al e esul a ´u il a l’ho a de oba una Zcon enien ´es el seg¨uen .
P oposici´o 4.3 Sigui X= (X1,···Xn)TiY= (Y1,··· , Yn)Tdos ec-
o s alea o is amb componen s a D1,2, on Y=h(θ, X)amb h∈ C1,1ih(θ, ·)
bijec i a pe a o θ. Si suposem que
hZ, DYjiH=∂θYj,
lla o s
hZ, DXjiH=∂θXj
in
X
,l=1
DY B l(dθYl−(∂θhl)(θ, X)) =
n
X
,l=1
DX A l∂θXl
on Bkj = (hDYj, DYkiH)−1,Akj = (hDXj, DXkiH)−1idθ´es la de i ada
o al espec o a θ, ´es a di , dθYl=∂θ(hl(θ, X)).
Al seg¨uen exemple mos a em com es poden aplica aques s esul a s
en un cas disc e .
Exemple 5 Sigui, com als exemples an e io s, j,j= 1,··· , n a iables
alea `o ies independen s amb dis ibuci´o no mal s anda d, Hl’espai lineal
gene a pe elles, Hl’espai gene a pe eji la isome ia ej→W(ej) = j.
Sabem que Dj=eji que W(ej) = j. Siguin
Xj=θXj−1+j, j = 1,··· , n iX0una cons an
i de inim
Y=h(θ, X),on hj(θ, x) = xj−θxj−1amb x0=X0,
21

alesho es
Yj=Xj−θXj−1=j, DYj=ej
dθYj=dθj= 0
(∂θhj)(θ, X) = −Xj−1.
Fen se i la No a 4.2 pe les a iables Yj obem Z al que hZ, DYjiH=
∂θYj:
(Ckj) = (hDYk, DYjiH)−1=δkj, Uk=
n
X
j=1
CkjDYj=
n
X
j=1
δkjej
Z=
n
X
k,j=1
δkjej∂θYj=
n
X
k,j=1
ejδjkXj−1.
Lla o s, pe la p oposici´o an e io , amb´e s’acompleix que
hZ, DXjiH=∂θXj
i que n
X
,l=1
DY B l(dθYl−(∂θhl)(θ, X))) =
n
X
,l=1
DX A l∂θXl.
Com que
(B l)=(hDYl, DY iH)−1=δl
ens queda n
X
,l=1
e δl Xl−1=
n
X
,l=1
DX A l∂θXl.
Pod em oba la unci´o ”sco e“ a pa i de
δ(Z) = δ(
n
X
,l=1
e δ lXl−1) =
p op.3.4
=
n
X
l=1
W(el)Xl−1−
n
X
l=1hDXl−1, eliH
(1)
=
=
n
X
l=1
lXl−1=
n
X
l=1
(Xl−θXl−1)Xl−1.
(1) DXj=θDXj−1+ej⇒Pn
l=1hDXl−1, eliH= 0
Al a o ma de oba la Zdel eo ema 4.1 ´es conside a la elaci´o
DXj=ej+θDXj−1
22
h
n
X
l=1
elXl−1, DXjiH=Xj−1+θh
n
X
l=1
elXl−1, DXj−1iH
i com que
∂θXj=Xj−1+θ∂θXj−1
pe unici a de solucions en equacions di e encials ( eu e pe exemple secci´o
5.2 a [2]) enim que
∂θXj=h
n
X
l=1
elXl−1, DXji.
O sigui, que podem conside a
Z=
n
X
l=1
elXl−1
i calcula , com abans, l’ope ado di e g`encia de Z:
δ(Z) =
n
X
l=1
δ(elXl−1) =
n
X
l=1
lXl−1=
n
X
l=1
(Xl−θXl−1)Xl−1
Lla o s la unci´o ”sco e“ en el nos e exemple se `a:
log p(X;θ) = E(δ(Z)|X) =
n
X
l=1
(Xl−θXl−1)Xl−1.
5 Aplicacions al p oc´es d’O ns ein-Uhlenbeck i a
les di usions el.l´ıp iques
El nos e in e `es es cen a a a en l’es imaci´o del pa `ame e θ(i en l’es udi de
les se es p opie a s asimp `o iques si T→ ∞) a pa i de les d’obse acions
XT={X ,0≤ ≤T}
d’un p oc´es del ipus
dX =S(θ, X )d +σ(X )dB , X0=x0,0≤ ≤T,
on S(·,·) i σ(·) s´on ce es uncions a alo s a R,{B , ≥0}´es un mo imen
b owni`a, X0´es la condici´o inicial la qual no dep`en del mo imen b owni`a i
θpe any a un conjun obe Θ ⊂R.
23
Aques p oc´es de di usi´o con inu espec e el emps diem que ´e p opie a s
e g`odiques si s’acompleixen les seg¨uen s p opie a s:
Les uncions S(θ, ·) i σ(·) s´on als que pe a o θ∈Θ
V(θ, x) = Zx
0
exp −2Zy
0
S(θ, )
σ( )2d dy −→ ±∞,si x→ ±∞
iG(θ) = Z∞
−∞
σ(y)−2exp 2Zy
0
S(θ, )
σ( )2d dy < ∞.
La p ime a condici´o ens diu que el p oc´es ´es ecu en , ´es a di , el emps
de e o n a cada conjun aco a ´es ini amb p obabilia 1. La segona condici´o
ol di que aques emps ´e espe an¸ca ini a. Tal com podem eu e a [15],
aix`o signi ica que pe a cada unci´o mesu able h(·) al que E|h(ξ)|<∞, el
l´ımi 1
TZT
0
h(X )d −→ Z+∞
−∞
h(x) S(x, θ)dx (5.1)
s’acompleix amb p obabili a 1, on
S(x, θ) = 1
G(θ)σ(x)2exp 2Zx
0
S(θ, )
σ( )2d (5.2)
´es la densi a in a ian del p oc´es XTiξ: Ω →R´es una a iable alea `o ia
amb unci´o de densi a es acion`a ia S.
5.1 El p oc´es d’O ns ein-Uhlenbeck
Es ac a del p oc´es es oc`as ic X={X , ≥0}soluci´o de l’equaci´o di e en-
cial es oc`as ica
dX =−θX d +dB , ≥0, X0= 0, θ > 0.
on B , ≥0 ´es un mo imen B owni`a de dimensi´o 1.
In eg an aques a equaci´o ob enim
X =Z
0
e−θ( −s)dBs,
que es ac a d’un p oc´es gaussi`a d’espe an¸ca 0 i a i`ancia R
0e−2θ( −s)ds.
Conside em X(n)= (X 1,··· , X n),0< 1<··· < n=T, una mos a
alea `o ia d’aques model pa am`e ic.
Sigui Hl’espai lineal gene a pe les a iables alea `o ies B ,0≤ ≤T
iH=L2([0, T], dx).
24
Lla o s l’aplicaci´o
W:H−→ H
1(0, ](·)7−→ W(1(0, ])≡RT
01(0, ](s)dBs=B
de ineix una isome ia lineal.
Obse em que W(h) ´es la in eg al es oc`as ica de la unci´o hi que
D·X =e−θ( −·)·1(0, ](·) i
δ(X) = ZT
0
XsdBs.
Tenim l’equaci´o
d∂θX =−X d −θ∂θX d , ≥0, ∂θX0= 0,
que ´e soluci´o
∂θX =−Z
0
e−θ( −s)Xsds =−ZT
0
XsDsX ds =−hX, DX iH.
Lla o s, aplican el eo ema 4.1 pe Z=−X, ob enim que
∂θlog p(X(n);θ) = −E(δ(X)|X(n)) = −E(ZT
0
XsdBs|X(n)) (5.3)
i com que dBs=dXs+θXsds ens queda que
∂θlog p(X(n);θ) = −E(ZT
0
XsdXs+θZT
0
X2
sds |X(n)).
En pa icula , (igualan a ze o la pa d e a) l’es imado de m`axima
e semblan¸ca ind `a dona pe
ˆ
θ=−E(RT
0XsdXs|X(n))
E(RT
0X2
sds|X(n)).
Conside em
Zn(θ, θ +u
√n4n
) := log p(X(n);θ+u
√n4n
)−log p(X(n);θ),
el que olem eu e ´es que el c`alcul de Mallia in ens pe me esc iu e la a i-
able Zn(θ, θ +u
√n4n) en e mes de l’espe an¸ca condicionada d’una in eg al
de I ˆo i, pe an , es udia si s’acompleix la p opie a NAL.
25
alesho es
he
β, DX iiH=ZT
0e
βDX i1(0, i]( )d =
=∂xX iZ i
0
n
X
j=1
a( )(β j−β j−1)1{ j−1≤ < j}d =
=∂xX i
i
X
j=1
(β j−β j−1)Z j
j−1
a( )d =
=∂xX i
i
X
j=1
(β j−β j−1) = ∂xX i(β i−β 0)(1)
=
=∂xX iβ i=∂θX i.
(1) X0=x,∂θX0= 0,β0= 0
Degu a la uni o mi a el.l´ıp ica i a la di e enciabili a dels coe icien s
enim que e
β∈Dom(δ):
a) e
β∈L2(Ω, H)?
b) |E(hDT, e
βiH)| ≤ c(e
β)kTk2,∀T∈D1,2
X(n)= (X 1,···X n), x = (x1,··· , xn)
T:X −→ R
(x1,··· , xn)7−→ T(x1,··· , xn)
kTk2=hT, Ti1/2
2=Z|T(x)|2dx1/2
?
T=T(X(n))
DT =
n
X
i=1
∂xiT(x)DX i
D·X =∂xX (∂xX.)−1σ(·, θ, X.)1[0, ](·).
hDT, e
βiH=ZT
0
n
X
i=1
∂xiT(x)D X ie
βd =
=ZT
0
n
X
i=1
∂xiT(x)D X i∂xX i(∂xX )−1σ( , θ, X )1[0, i]( )e
βd =?.
Tamb´e s’acompleixen les condicions i) i ii) del eo ema 4.1, ja qu`e,
sup(X) ´es Rni∂θp(x;θ) ´es uni o memen aco ada espec e θpe una unci´o
in eg able.
32

Pe an , p enen Z=e
βen el eo ema 4.1, enim la unci´o ”sco e“
exp essada en la o ma
∂θlog p(X(n);θ) = E(δ(e
β)|X(n)).
Si p enem a( ) = n,
1
nδ(e
β)(2)
=
n
X
i=1
(β i−β i−1)Z i
i−1
∂xX (σ (θ, X ))−1dB
−
n
X
i=1 Z i
i−1
D β i∂xX (σ (θ, X ))−1d .
(2) Apliquem la p oposici´o 3.4, amb hi=n∂xX (σ (θ, X ))−11{ i−1≤ < i},Fi=β i−β i−1.
iW(hi) = R i
i−1n∂xX (σ (θ, X ))−1dB ,
Pe al a banda, pa in de la nos a equaci´o inicial enim que
∂xX = 1 + Z
0
∂xbs∂xXsds +Z
0
∂xσs∂xXsdBs
i
∂θX =Z
0
(∂θbs+∂xbs∂θXs)ds +Z
0
(∂θσs+∂xσs∂θXs)dBs.
Alesho es, aplican la ´o mula de I ˆo a la unci´o q¨uocien enim que
β := ∂θX
∂xX
=Z
0
µsds +Z
0
∂θσs
∂xXs
dBs,
pe a un ce p oc´es adap a µque es po calcula expl´ıci amen .
Lla o s, pel eo ema 2.1 a [13] i la iden i a de pola i zaci´o, enim que
√n(
n
X
i=1
(β i−β i−1)Z i
i−1
∂xX σ−1
dB −
n
X
i=1 Z i
i−1
∂θσ
σ
d )
↓L
√2Z1
0
(∂θσ
σ
)dWs
on W´es un mo imen b owni`a independen de B.
A m´es, pe a o ≤ i, enim que
D β i=∂θσ
σxX
+Z i
D µsD Xsds +Z i
∂x(∂θσs
∂xXs
)D XsdBs
i amb´e que
√n(
n
X
i=1 Z i
i−1
D β i∂xX σ−1
d −Z i
i−1
∂θσ
σ
d )
33
↓L2
0
Pe la qual cosa
1
√nδ(e
β)L
−→ √2Z1
0
(∂θσs
σs
)dWs.
Fen se i la iden i a de pola i zaci´o i la desigual a de Bu kholde po-
dem eu e que
1
√nδ(e
β)−√n
n
X
i=1{∂θσ i−1
σ3
i−1
(∆X i)2−1
n
∂θσ i−1
σ i−1}
↓Lα,∀α > 0
0
I, alesho es
1
√nE(δ(e
β)|X(n))L
−→ √2Z1
0∂θσs
σsdWs.
Aix`o implica, en pa icula , que la in o maci´o asimp ´o ica de Fishe pe
aθ´es
2E"Z1
0∂θσs
σs2
ds#:
I(θ) := Eθ(∂θlog p(x;θ))2=EθE(δ(e
β)|X(n)=x)2=
=Eθ√2Z1
0∂θσs
σsdWs2
= 2Eθ"Z1
0∂θσs
σs2
ds#.
Conside em
Zn(θ, θ +u
√n) := log p(X(n);θ+u
√n)−log p(X(n);θ)
lla o s enim que
Zn(θ, θ +u
√n) = Zθ+u
√n
θ
E(δ(e
β)|X(n)
θ0=Xn
θ)dθ0.
Es po eu e que
E(δ(e
β)|X(n)) = n
n
X
i=1 (∂θσ i−1
σ3
i−1
(∆X i)2−1
n
∂θσ i−1
σ i−1)+
n
X
i=1
Ri(θ, (Xθ) i−1,(Xθ) i) (5.6)
34
on
E(|Ri(θ, (Xθ) i−1,(Xθ) i)|α)1
α=O(1/n),
uni o memen en i, pe a o α > 0.
Lla o s,
Eθ(|Ri(θ0,(Xθ) i−1,(Xθ) i)|) = Eθ0(|Ri(θ0,(Xθ0) i−1,(Xθ0) i)|pi(θ)
pi(θ0)) =
= (Eθ0(|Ri|α)) 1
α(Eθ0[( pi(θ)
pi(θ0))β])1
β,
on 1/α + 1/β = 1, α > 1, β > 1, Ri=Ri(θ0,(Xθ) i−1,(Xθ) i)
ipi(θ) ´es la densi a conjun a de ((Xθ) i−1,(Xθ) i) a aluada a Xθ0. La es-
pe an¸ca espec e aques p oc´es la no em Eθ0.
A a, com que σ∈ C1,3,3´es uni o memen el.l´ıp ica, ansi ion densi ies
can be bounded om abo e and below uni o mly by he Gaussian ke nel,
and hen by con inui y exis eix β > 1 al que
Eθ0"pi(θ)
pi(θ0)β#< C,
eu e p op.5.1 a [6]. Lla o s
Zθ+u
√n
θ
E|Ri(θ0,(Xθ) i−1,(Xθ) i)|dθ0⩽CZθ+u
√n
θ
(E|Ri|α)1/αdθ0⩽Cu
n3/2.
A a, nom´es necessi em calcula les de i ades, espec e θ ixada la X(n)
a l’exp essi´o (5.6). Si em c`alculs ob enim
1
n∂θE(δ(e
β)|X(n)) =
n
X
i=1 (∂2
θσ i−1
σ3
i−1
(∆X i)2−1
n
∂2
θσ i−1
σ i−1)+
+
n
X
i=1 (−3(∂θσ i−1)2
σ4
i−1
(∆X i)2+1
n
(∂θσ i−1)2
σ2
i−1)+op(1).
I, pe acaba , enin en com e la con inui a de les de i ades espec e θ
eiem que el model sa is `a la p opie a NALM:
Zn(θ, θ +u
√n)L
−→ uZ1
0
√2∂θσs
σs
dWs−u2
2Z1
0
2(∂θσs
σs
)2ds.
1 o T?
A [6] es ac a el cas mul idimensional.
35
´
Index
1 In oducci´o 1
2 In e `encia es ad´ıs ica pa am`e ica 2
2.1 Concep es p e is de p obabili a . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Concep es p e is d’es ad´ıs ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 La i a de C ame -Rao. E ici`encia i e ici`encia asimp `o ica . . 8
2.4 No mali a asimp `o ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 El c`alcul de Mallia in pe a p ocessos gaussians 15
4´
Us del c`alcul de Mallia in en la In e `encia es ad´ıs ica asimp `o ica 17
5 Aplicacions al p oc´es d’O ns ein-Uhlenbeck i a les di usions
el.l´ıp iques 23
5.1 El p oc´es d’O ns ein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 Di usions El.l´ıp iques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
36
Re e `encies
[1] A u o Koha su-Higa, Lowe bounds o densi ies o uni o mly ellip ic
andom a iables on Wiene space. UPF, 2003.
[2] Be n Øksendal, S ochas ic Di e en ial Equa ions - An In oduc ion
wi h Applica ions. 6 h edi ion, Sp inge -Ve lag, 2007.
[3] Da id Nuala , C´alculo es oc´as ico. UB.
[4] Da id Nuala , The Mallia in Calculus and Rela ed Topics. 2nd edi ion,
Sp inge -Ve lag, 2006.
[5] D.Nuala i M.Sanz, Cu s de P obabili a s. PPU, 1990.
[6] Emmanuel Gobe , Local asymp o ic mixed no mali y p ope y o el-
lip ic di usion: a Mallia in calculus app oach. Be nouilli 7(6), 2001,
899-912.
[7] Eulalia Nuala , L’aplicabili a de la ´o mula d’in eg aci´o pe pa s en
un espai Gaussi`a, 2000.
[8] Joan Llu´ıs Ce d`a Ma ´ın, In oducci´o a l’An`alisi Funcional. Publica-
cions i Edicions de la U.B., 2005.
[9] Jos´e M. Co cue a i A u o Koha su-Higa, S a is ical in e ence and
Mallia in calculus, 2000.
[10] Josep Vi es, Cu s Elemen al d’Es ad´ıs ica Ma em`a ica 2011.
[11] Ma a Sanz-Sol´e: Lec u e No es o he cou se: An In oduc ion o
S ochas ic Calculus, 2010.
[12] Ma a Sanz-Sol´e, Mallia in Calculus wi h Applica ions o S ochas ic
Pa ial Di e en ial Equa ions. EPFL P ess, 2005.
[13] O.E. Ba ndo -Nielsen, S.E. G a e sen, J. Jacod, M. Podolskij, N.
Shepha d, A cen al limi heo em o ealised powe and bipowe a i-
a ions o con inuous semima ingales, in: Yu. Kabano , R. Lip se and
J. S oyano (Eds.), F om S ochas ic Calculus o Ma hema ical Finance.
Fes sch i in Honou o A.N. Shi yae , Heidelbe g: Sp inge , 2006.
[14] Pa ick Billingsley, P obabili y and Measu e. Wiley Se ies in P obabili y
and Ma hema ical S a is ics, 1995.
[15] Yu y A.Ku oyan s, S a is ical In e ence o E godic Di usion P ocesses.
Sp inge , 2004.
37