Математика
32
Серия: МАТЕМАТИКА
Хмельник С.И.
Уравнения Максвелла как следствие
вариационного принципа.
Вычислительный аспект.
Аннотация
Эта статья является продолжением статьи [1], где доказано,
что существует функционал, для которого уравнения
Максвелла являются необходимыми и достаточными
условиями существования глобального экстремума. В данной
статье предлагается метод градиентного спуска по этому
функционалу. Этот спуск заканчивается вычислением
стационарного значения подынтегральных функций, которые
удовлетворяют уравнениям Максвелла. Предлагается
основанный на этом метод решения уравнений Максвелла,
который иллюстрируется примером расчета линейного и
нелинейного коаксиальных кабелей.
Оглавление
1. Метод вычислений
2. Нелинейные уравнения Максвелла
3. Пример. Расчет коаксиального кабеля
3.1. Постановка задачи
3.2. Функционал задачи
3.3. Решение задачи при фиксированных функциях
времени.
3.4. Решение задачи при фиксированных функциях
переменной
z
3.5. Кабель переменного диаметра.
Литература
1. Метод вычислений
Известно [6], что уравнения Максвелла выводятся из принципа
наименьшего действия. Однако этот вывод делается в
Доклады независимых авторов 2006 выпуск №4
33
предположении, что токи заданы. Но в уравнениях Максвелла
плотности токов являются неизвестными. Поэтому, указанный
вывод, имея познавательную ценность, не позволяет построить
функционал, которым можно воспользоваться для инженерных
расчетов. В этой главе используется такой функционал, у которого
первые вариации при обращении в нуль совпадают с уравнениями
Максвелла [1]. Затем описывается метод спуска по этим вариациям,
что эквивалентно решению уравнений Максвелла.
Предложенный метод решения уравнений Максвелла
иллюстрируется конкретными примерами. Очевидными
достоинствами метода является универсальность, простота
вычислений, возможность решения нелинейных задач. Вместе с
этим, следует сразу же подчеркнуть, что это – только метод, а не
готовые к использованию алгоритмы и программы. Кроме того,
метод не аппробирован настолько, чтобы можно было проводить
обоснованные сравнения с существующими методами. Предлагая
эту статью, автор надеется на то, что идея метода покажется
интересной и найдет развитие у других исследователей. С этой же
целью математические выкладки приводятся без «очевидных»
сокращений.
В данной статье используются обозначения и ссылки на
формулы статьи [1]. Последние имеют вид (A.номер_формулы).
Рассмотрим вектор-функцию
LKHHHEEEq zyxzyx
T,,,,,,, (1)
и вектор-функции
dm
L
dm
K
dm
H
dm
H
dm
H
dm
E
dm
E
dm
dE
dm
dq z
y
x
z
y
x
T
,,,,,,,
, (2)
где
zyxm ,,,
. Будем рассматривать также вектор-функции
dm
qd
dm
qd
qq
,,, , компонентами которых являются функции
H
E
,
и их производные с одним или двумя штрихами соответственно.
Тогда функционал (A.2.1) может быть переписан в виде
Математика
34
T
zyx
TT
T
T
z
T
z
T
y
T
y
T
x
T
x
T
d dxdydz
Uqq
d
qd
Rq
d
qd
Rq
dz
qd
Rq
dz
qd
Rq
dy
qd
Rq
dy
qd
Rq
dx
qd
Rq
dx
qd
Rq
0 ,,
, (3)
где
,,0,0,0,0,0,0U,
00001000
00000001
00000001
00000100
10000000
00010000
00100000
01000000
x
R
,
00010000
00010000
00000010
10000000
00000100
00001000
01000000
00100000
y
R
,
00100000
00000100
10000000
00000001
00000010
01000000
00001000
00010000
z
R
,
00000000
00000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
R
.
В [4, 5] рассмотрен функционал вида
)(),( yxE
d
dx
Ry
d
dy
RxSyySxxyx TTTTT , (А)
вторичный функционал вида
Доклады независимых авторов 2006 выпуск №4
35
TTTT d EqqRqSqqqF
0
2)( , (В)
а также так называемая квазивариация вторичного функционала,
имеющая вид
E
d
dq
RSqp , (С)
где
y
x
q
. (D)
(заметим, что она отличается от вариации этого функционала).
Показано, что необходимыми условиями существования седловой
линии функционала (А) является равенство нулю квазивариации
(С). По аналогии с этим рассмотрим соответствующий
функционалу (3) вторичный функционал вида
T
zyx T
T
T
T
z
T
y
T
x
d dxdydz
UqqR
d
dq
q
dz
dq
R
dy
dq
R
dx
dq
R
0 ,, 4
, (4)
где
qqq
. (5 )
Его квазивариация по каждой из переменных (1) имеет вид:
TT
T
z
T
y
T
xU
d
dq
R
dz
dq
R
dy
dq
R
dx
dq
Rp 2 . (6)
При 0
p система уравнений (6) превращается в систему
уравнений Максвелла: (A.2.9-A.2.12), которая в более подробной
записи имеет вид:
0 dx
dK
d
dE
dz
dH
dy
dH x
y
z
,
0 dy
dK
d
dE
dx
dH
dz
dH y
z
x
,
0 dz
dK
d
dE
dy
dH
dx
dH z
x
y
,
Математика
36
0 dx
dL
d
dH
dz
dE
dy
dE x
y
z
,
0 dy
dL
d
dH
dx
dE
dz
dE y
z
x
,
0 dz
dL
d
dH
dy
dE
dx
dE z
x
y
,
0
dz
dE
dy
dE
dx
dE z
y
x,
0
dz
dH
dy
dH
dx
dH z
y
x.
Для их решения можно воспользоваться методом спуска по
квазивариации, известным в применении к электрическим цепям [4,
5]. Пусть
zyx qqqqq ooo
, (7)
где zyx qqqq ,,, зависят только от
z
y
x
,
,
,
соответственно. В
Символом
o обозначено покомпонентное умножение векторов.
Аналогично,
zyx UUUUU ooo
, (8)
Далее будем для сокращения записи обозначать
zyx
qqqq oo
, zy
xqqqq oo
, zx
yqqqq oo
,
yx
z
qqqq oo
. Перепишем (4) в виде
T
zyx
od dxdydz
0 ,,
. (9)
С учетом принятых предположений и обозначений
подынтегральное выражение в (9) примет вид:
Доклады независимых авторов 2006 выпуск №4
37
zyx
T
zyx
zyx
T
zyx
yx
z
z
zx
y
y
zy
x
x
o
UUUUqqqq
qqqq
qqq
d
dq
R
qqq
dz
dq
R
qqq
dy
dq
R
qqq
dx
dq
R
oooooo
ooo
ooo
ooo
ooo
ooo
. (10)
Рассмотрим функционал (9, 10) при фиксированных функциях
zy qqq ,, в зависимости только от функций независимой
переменной х. После громоздких преобразований, функционал (9,
10) можно представить в виде
x
x
T
xxx
T
x
xx
T
xdxVqqR
dx
dq
qSq , (11)
где
.,,,,,,
,,,,
,,
,,,,
d dydz
d
dq
dz
dq
dy
dq
qRRR S
d dydzUq Vd dydzqR R
zy
z
y
x
zy sx
zy
x
x
x
zy x
x x
(12)
Можно заметить, что выражение (11) эквивалентно квазивариации
(С). Таким образом, при фиксированных функциях zy qqq ,,
можно найти функцию
x
q, являющуюся стационарным значением,
доставляющим экстремум функционалу (10). Аналогичные
выражения можно получить для функций zy qqq ,, при
фиксированных тройках других функций.
Математика
38
Для нахождения стационарного значения функции
q
,
определенной как (7), следует выполнять покоординатный спуск по
каждой независимой переменной
zyxm ,,,
.
Заметим еще, что функционал (4) эквивалентен функционалу
T
zyx
d dxdydz
HLEK
d
dE
E
d
dH
HEH
0 ,, di di
,
. (13)
2. Нелинейные уравнения Максвелла
Пространство, в котором распространяется электромагнитное
поле, может быть неоднородным. Это выражается в том, что
магнитная проницаемость
и диэлектрическая проницаемость
зависят от пространственных координат, т.е являются вектор-
функциями этих координат. Мы ограничимся случаем, когда каждая
координата вектора
или
зависит только от одноименной
пространственной координаты.
Рассмотрим функционал, в котором учитывается
неоднородность поля. Для этого представим уравнения (A.2.9,
A.2.10) в следующем виде:
0g ad o K
d
dE
Ho
, (1)
0g ad o L
d
dH
Eo
, (2)
где знаком
o обозначена операция покомпонентного умножения
векторов. Уравнения (1, 2, 1.7, 1.8) являются уравнениями
квазивариации для функционала
T
zyx
d dxdydz
HLEK
d
dE
E
d
dH
HEH
0 ,, di di
,
oo
oooo ,(3)
аналогичного фунционалу (1.13). Метод решения уравнений (1, 2,
1.7, 1.8) квазивариации функционала (3) полностью аналогичен
рассмотреному выше методу решения уравнений (A.2.9, A.2.10)
кавазивариации функционала (1.13), несмотря на зависимость
и
Доклады независимых авторов 2006 выпуск №4
39
от независимых переменных. Далее эти методы будут
рассмотрены на конкретном примере.
3. Пример. Расчет коаксиального
кабеля
3.1. Постановка задачи
Для иллюстрации вышеизложенного рассмотрим частный случай
уравнений Максвелла, а именно уравнения идеального
коаксиального кабеля см. также рис. 1. В цилиндрической системе
координат z ,,
вектор напряженности магнитного поля будет
иметь только составляющую, направленную только по дуге
.
Вектор напряженности электрического поля также будет иметь
только составляющую, направленную по радиусу. При этом для
электромагнитного поля в диэлектрике кабеля уравнения Максвелла
принимают следующий вид:
0
J
E
z
H
, (1)
0
H
z
E
, (2)
где
H – напряженность магнитного поля, направленная по дуге,
E – напряженность электрического поля, направленная по
радиусу,
J – плотность электрического тока, создаваемая источником
напряжения, подключенного к кабелю в точке z=0.
Рис. 1. Коаксиальный кабель
Математика
46
,075.1355)(Sin
)(Sin75.13)(Cos55
ze
zje
ze
z
E
z
H
j
j j
а в точке
0
z
выполняется условие uA
h
, что и требовалось
показать. На следующем рисунке представлен результат решения
данного уравнения изложенным в [5] методом (вид функций
является следствием решения, а не определен изначально).
3.4. Решение задачи при фиксированных функциях
переменной
z
В примере 1 показано, что при известных функциях времени
eh , могут быть найдены функции zz eh , переменной
z
которые принимают следующий вид:
),(Cos
)(
),()(Sin
)(
),()(Sin),()(Cos
zA
z
ze
zAzA
z
zh
zzAezzAh
ehh
ezhz
(20)
Доклады независимых авторов 2006 выпуск №4
47
где uAAA hhe ,,
.
Теперь будем полагать, что известны эти функции и будем искать
функции времени eh ,. Рассмотрим функционал (13) при
фиксированных функциях
z
q в зависимости только от функций
независимой переменной :
T
j
z
d
ehU
eR
d
dh
hR
d
de
eShS
0
1
2112
2
22
2
11
, (21)
где
.)0()(
,0
,)(
,0
0
1
0
22
2
0
2
0
11
0
2112
h
z
Z
zz
Z
z
z
h
Z
h
Z
z
z
Z
zz
AhdzzhU
dze
dz
de
S
AdzzAdzh
dz
dh
S
dzheRR
При этом из (21) получаем:
T
z
T
T
dzUqSqqR
d
dq
0
,
где
.
0
,
00
0
,
00
00
0
02
21
12 j
h
z
h
eA
U
A
S
R
R
R
Квазивариация (1.10) этого функционала принимает вид:
Математика
48
U
d
dq
RqSp
.
Таким образом, необходимо решить систему уравнений
.000
,00
2
d
dh
e
eA
d
de
hA
j
h
h
Отсюда находим
.
j j
h
ee
A
h
Подставляя
h непосредствено в уравнение 0
H
z
E
,
находим: 0
)(
z hhje
z
ze
или, учитывая (20),
0)(Cos)(Cos
zAhjzAe
h
e
,
т.е.
e
h
jh
A
Aj
he
Итак, получен результат, который был
исходны в примере 1. Таким образом, показана сходимость
итерационнго процесса.
3.5. Кабель переменного диаметра.
Как указывалось в разделе 2, метод расчета без изменений
используется и в том случае, когда магнитная проницаемость
и
диэлектрическая проницаемость
зависят от пространственных
координат. Рассмотрим для иллюстрации расчет кабеля с
переменным диаметром d. При этом можно полагать, что
)(),( zdzd
, (22)
где
, – известные константы, а
)
(
z
d
– известная функция
независимой переменной . Задаваясь, как и выше, определенными
значениями электрической составляющей электромагнитного поля,
вновь получаем уравнение (17), отличающееся только тем, что в нем
матрица (16) представляется в виде
Доклады независимых авторов 2006 выпуск №4
49
.
0
0
)(
zdheS z ....(23)
Для уравнения вида (17), где
z
R является функцией от z, по-
прежнему, применим изложенный в [5] метод. Однако нет
доказательства того, что этот метод применим для уравнения вида
(17), где
z
S является функцией от z (хотя формально он может
быть использован и дает правильное решение!). Поэтому
необходимо доказать, что уравнение (17, 19) может быть
преобразовано к виду, где
z
S не зависит от z, а
z
R зависит от z.
Покажем это.
Уравнение (17) при условии (19) является системой двух
уравнений:
.0)(
,0)()(
2
1
2
dz
de
ezdehe
zU
dz
dh
hzdehe
z
z
z
z
.
Очевидно, их можно переписать в виде
.0
)(
,0)(
)0()(
2
1
2
dz
de
zdhe
e
h
z
dhe
U
dz
dh
zdhe
h
e
z
z
z
z
.
Представим их в матричной форме
0)(
0
1
z
U
dz
dq
RqS
z
zzz
, (24)
где
.
)0(
,
0
0
)(
1
,
01
10 1
1
2
2
dhe
U
U
e
h
zdhe
RS
zz
Заметим, что здесь
zR
z
является функцией от z. Уравнение (24)
при этом может быть решено указанным выше методом.
Математика
50
Пример 2. Добавим к условиям примера 1 условие (22), где
.2.3,2.0
При этом уравнение (24) примет вид
0)(
0
)0(55
10
01
)(
1
01
10
z
d
dz
dq
zd
qz
z
.
Это уравнение решено в данном примере. На следующем
рисунке представлены результаты решения этого уравнения при
z
d
1
.
1
4
.
3
)
(
(левые окна) и при
)
5
(
Sin
35
.
0
5
.
0
)
(
z
d
(правые окна). Можно заметить, что частота пространственных
колебаний изменяется в зависимости от z. Полное решение
имеет вид ., z
j
z
j EjeEHeH
Доклады независимых авторов 2006 выпуск №4
51
Литература
1. Хмельник С.И. Уравнения Максвелла как следствие
вариационного принципа. «Доклады независимых авторов»,
изд. «DNA», p in ed in USA, Lulu Inc., ID 237433. Россия-
Израиль, 2006, вып. 3.
2. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров,
изд. «Наука», Москва, 1964, 772 с.
3. Сысун В.И. Теория сигналов и цепей. Министерство
Образования РФ и Американский Фонд Гражданских
Исследований и Развития. Петрозаводск, 2003. Web-версия
h p://media.ka elia. u/~keip/ci cui /main.h m
4. Хмельник С.И. О вариационном принципе экстремума в
электромеханических системах. «Доклады независимых
авторов», изд. «DNA», p in ed in USA, Lulu Inc., ID 124173.
Россия-Израиль, 2005, вып. 1.
5. Хмельник С.И. Вариационный принцип экстремума в
электромеханических системах. Published by “MiC” -
Ma hema ics in Compu e Comp., Израиль-Россия, 2005,
p in ed in USA, Lulu Inc. ID 172054.
6. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая
электродинамика. Изд. «Лань», 2003, 400 с.
