S ahlecke , Pe e ; Schmid , Ka s en
A icle
Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen
P ozessen
Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) - Vie eljah essch i de
Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü Socialpoli ik
P o ided in Coope a ion wi h:
Duncke & Humblo , Be lin
Sugges ed Ci a ion: S ahlecke , Pe e ; Schmid , Ka s en (1991) : Chaos und sensi i e Abhängigkei
in ökonomischen P ozessen, Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) -
Vie eljah essch i de Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü
Socialpoli ik, ISSN 0342-1783, Duncke & Humblo , Be lin, Vol. 111, Iss. 2, pp. 187-206,
h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187
This Ve sion is a ailable a :
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Zei sch i ü Wi scha s- u. Sozialwissenscha en (ZWS) 111 (1991), S. 187 - 206
Duncke & Humblo , Be lin 41
Chaos und sensi i e Abhängigkei
in ökonomischen P ozessen
Von Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid
Die Chaos-Theo ie ha in jüngs e Zei auch im Be eich de dynamischen Wi -
scha s heo ie an Bedeu ung gewonnen. De o liegende Bei ag beschä ig sich mi
Möglichkei en, Chaos bei dynamischen Modellen sowie anhand on empi ischen Zei -
eihen es zus ellen.
1. Ein üh ung
Wa um komm es au manchen Mä k en imme wiede zu une wa e
s a ken P eisschwankungen? Wieso geling es häu ig nich einmal, die
Wachs ums a e des B u osozialp oduk s e läßlich o he zusagen? In de
Wi scha s o schung haben wi uns da an gewöhn , une wa e e ku z i-
s ige En wicklungen dem Zu all bzw. exogenen Schocks zuzusch eiben. In
de Ho nung, daß sich diese im Zei ablau ausgleichen, we den dennoch
mi el- bis länge is ige P ognosen gewag .
Die Chaos-Fo schung s ell diese Denkweise in F age. Selbs bei s eng
de e minie en Vo gängen gib es un e den Bedingungen des Chaos keine
Chance zu e siche en Vo he sagen und zwa ge ade au mi le e und län-
ge e F is . Na u wissenscha liche Beispiele ü Chaos eichen on de
Unmöglichkei länge is ige We e p ognosen bis zu chao ischen Bewe-
gungen einige Himmelskö pe unse es Sonnensys ems ( gl. Mallo e 1989).
Beginnend mi Benhabib und Day suchen sei An ang de ach zige Jah e
e s ä k auch Ökonomen nach Chaos. E s neue dings weisen Baumol /
Benhabib (1989) in einem Übe blick au die po en ielle Bedeu ung de
Chaos-Fo schung ü die dynamische Wi scha s heo ie hin.
Ziel des o liegenden Bei ags is eine Ein üh ung in einige heo e ische
G undlagen und Konsequenzen de Chaos-Fo schung, wobei wi uns au
einen Aspek konzen ie en, de uns ü wi scha s heo e ische und empi i-
sche Anwendungen besonde s in e essan e schein : Die sensi i e Abhän-
gigkei chao ische P ozesse on den An angsbedingungen. Wenn bei Chaos
winzige S ö ungen nach einigen Pe ioden zu ollkommen ande em P ozeß-
e hal en üh en, kann man die Sys emzus ände wegen de un e meidba en
Meß ehle bei de Bes immung ökonomische G ößen sowie de endlichen
Genauigkei digi ale Rechne nich zu e lässig bes immen.
ZWS 111 (1991) 2 13'
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188 Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid
De Au bau dieses Bei ags is wie olg . Nach de E läu e ung einige
G undlagen gehen wi de F age nach, wie man sensi i e Abhängigkei
e assen kann. Schließlich we den e schiedene Me hoden zu Abschä zung
eines Indika o s ü Chaos o ges ell .
2. Einige G undlagen
Die Chaos-Fo schung beschä ig sich mi de e minis ischen nich linea-
en dynamischen Modellen, die im kon inuie lichen Fall du ch ein Sys em
on Di e en ialgleichungen und im disk e en Fall du ch ein Sys em on
Di e enzengleichungen besch ieben we den können. Wi besch änken uns
im wei e en au den disk e en Fall.
Ein ökonomische P ozeß sei du ch ein Sys em on Di e enzengleichun-
gen de Fo m
(2.1) x = g {x -i)
mi eine di e enzie ba en Abbildung g: 5)CRn-^Rn besch ieben, wobei x
den Zus and des P ozesses in = 1,2,... bezeichne , © eine o ene Menge sei
und die Ausgangslage x0 gegeben is . Wi se zen o aus, daß g (©) C © is .
Dami exis ie ü jede Ausgangslage x0 E © eine T ajek o ie (Lösung de
Di e enzengleichung)
Y(a?0) := {x0, g (x0), g (g (so)),...}.
Man bezeichne y (x0) auch als O bi . Wenn man die Abbildung g ©
—»
©
nach dem Schema
g°
(x) = x . a. x E ©
g*(x) = g (g^Hx)) .a. x E $ und = 1,2,...
e klä , läß sich eine T ajek o ie du ch
(2.2) y(x0) = {gHxo) I = 0,1,...}
da s ellen.
Da häu ig de Ein luß bes imm e exogene G ößen (Pa ame e ) in e es-
sie , soll e ans elle on (2.1) ein Di e enzengleichungssys em be ach e
we den, in dem explizi ein Pa ame e ek o E D C R c au auch :
(2.3) x = g (x -i, ),
wobei je z g: © x
91 —>
© sei. Wi können uns abe au den ein achen Fall
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Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen 189
(2.1) konzen ie en. Is nämlich ein Sys em de Fo m (2.3) gegeben, dann
analysie en wi das e wei e e Sys em
x = g (x _i, _i), = -i = ( = 1,2,...),
das sich mi g*(x, ) := (g (x, ), ) und y := (x , ), = 0, 1, ..., wiede in
de Fo m (2.1)
y = g*(y -i) ( = 1,2,...)
da s ellen läß .
In de Chaos-Fo schung wi d un e such , welche Wi kungen ge inge Ve -
ände ungen de Ausgangslage x0 bzw. des Pa ame e ek o s au den Ve -
lau eine T ajek o ie haben. Dies soll hie anhand de sogenann en logis i-
schen Abbildung
(2.4) x = iM(l-i(-i) ( = 1,2,...)
mi E [0,4] und x0 E (0,1) e deu lich we den. Diese ein ache Di e enzen-
gleichung is das p ominen es e Beispiel de Chaos-Fo schung ( gl. z.B.
May 1976).
In Abbildung 1 is die ü den Pa ame e we = 4.0 im Ausgangspunk
x0 = 0.3 s a ende T ajek o ie übe 50 Pe ioden hinweg als du chgezogene
Linie da ges ell . Es zeig sich ein i egulä es Punk emus e ohne e kenn-
ba e Tendenz zu einem Gleichgewich swe ode zu pe iodischen Zyklen,
abe auch ohne es s ellba e Ins abili ä im Sinne sich selbs e s ä kende
Schwankungen.
Ein unin o mie e Be ach e dü e kaum in de Lage sein, dieses
Mus e on eine ein s ochas ischen Zei eihe zu un e scheiden. Be ach e
man nun die ges ichel e Linie in Abbildung 1, in de lediglich die Aus-
gangslage au x0 = 0.29999999 geände wu de, so s ell man es , daß sich
nach einigen Pe ioden ein öllig ande e O bi e gib .
Ein ähnliches Bild zeig sich, wenn man den Ein luß kleine Ve ände un-
gen des Pa ame e s un e such . Zu diesem Zweck wu den ü 241 e schie-
dene Pa ame e we e = 3.4, 3.4025,..., 3.9975, 4.0 mi dem S a we x0 =
0.3 jeweils 115 Beobach ungen gemäß Gleichung (2.4) gene ie . Um Ein-
schwing o gänge ( o allem im nich -chao ischen Be eich) auszublenden,
sind in Abbildung 2 nu die le z en 16 Beobach ungen ü jeden einzelnen
We des Pa ame e s e ikal abge agen.
Fü E [0,3] s eb x gegen einen Gleichgewich swe (Fixpunk ). Obe -
halb dieses Be eichs e hal en wi in eine Kaskade on Pe ioden e dopp-
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190 Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid
Abbildung 1
(A = 0.0025)
Abbildung 2
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Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen 191
lungen pe iodische Punk e1. Ab einem k i ischen We „ ~ 3.57 (in de
Abbildung du ch • ma kie ) wi d aus dem pe iodischen ein chao isches
Ve hal en.
Einem Ve gleich de Endpunk e de beiden T ajek o ien in Abbildung 1
en sp ich die Be ach ung de eingek eis en Punk e, die jeweils den le z en
We xn5 ü = 3.9975 und = 4.0 angegeben. Winzige Pa ame e a ia io-
nen e u sachen also ähnlich d ama ische Ve schiebungen des O bi s wie
S a we ände ungen. Man kann de Abbildung 2 auße dem en nehmen,
daß auch We e E [ «, 4] exis ie en, bei denen pe iodisches Ve hal en au -
i . Aus O dnung kann Chaos en s ehen und Chaos geh wiede in geo d-
ne e Zus ände übe .
Wi hal en es : In chao ischen P ozessen he sch sensi i e Abhängigkei
on Ausgangsbedingungen bzw. Pa ame e we en. Das P inzip de schwa-
chen Kausali ä gil : gleiche U sachen haben gleiche Wi kungen. Das P in-
zip de s a ken Kausali ä , nach dem ähnliche U sachen ähnliche Wi kun-
gen haben, gil abe nich , da winzige S ö ungen on x0 bzw. e hebliche
Ände ungen on
y (x0)
nach sich ziehen.
Einige neue e A bei en zu dynamischen Wi scha s heo ie (z.B. Day
1982, A s ein 1983) beschä igen sich mi dem Aspek de Ape iodizi ä
chao ische P ozesse au de G undlage des Theo ems on Li / Yo ke
(1975)2. De Nachweis on Chaos im Sinne sensi i e Abhängigkei wi d
dagegen anhand des sogenann en maximalen Lyapuno -Exponen en
ge üh . Diese Maßzahl ü Chaos s ell eine Ve allgemeine ung des in de
S abili ä sanalyse linea e (bzw. linea isie e ) dynamische Sys eme
geb äuchlichen maximalen Eigenwe s da .
In heo e ischen Modellen kann Chaos auch dadu ch diagnos izie we -
den, daß man p ü , ob die dynamische Spezi ika ion in einen Typ ans o -
mie we den kann, dessen chao isches Ve hal en ü gewisse Pa ame e -
we e bekann is .
Zu Illus a ion diese Vo gehensweise sei beme k , daß schon ein simples
linea es Übe schußnach agemodell chao isch sein kann, wenn un e s ell
wi d, daß die Wachs ums aie des P eises p opo ional on de Übe schuß-
nach age abhäng :
P
~
P -1
._ _ . .
=
Q
(N -i ~ A -i), g > 0,
P -1
1 Ein x e $ mi x = gT (x) heiß pe iodische Punk . De kleins e We T > 1 mi
x = gT (x) heiß Pe iode on x. Fixpunk e on g sind pe iodische Punk e mi Pe iode
1.
2 Einen Übe blick übe wi scha s heo e ische A bei en, die sich mi de Möglich-
kei on Chaos beschä igen, inde man in Lo enz (1989), 119 - 129.
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192 Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid
wobei
N = a
—
ßp , a,ß> 0 ,
die Nach age unk ion und
A = -y+ öp , y,ö> 0 ,
die Angebo s unk ion bezeichne . Man e häl dann
1
p =
Q
(a
+
y
+
(ß
+
ö) p -1) p -1
.
Q
Wi d nun gemäß
ß+ö
x := P ( = 1,2,...)
a+ y+ —
Q
1
no mie und := g (a + y + —) gese z , e häl man eine Di e enzenglei-
Q
chung om Typ de logis ischen Abbildung:
x = ( 1 - x -i) x -i.
Wie wi be ei s gesehen haben, exis ie en bei (2.4) chao ische O bi s ü
gewisse E [ ®, 4]. Au unse en Fall übe agen bedeu e das, daß eine chao-
ische En wicklung de P eise au e en kann, alls
oc
—
1 3
< e<
a+ y a+y
gil .
Die eben demons ie e Vo gehensweise ha den Nach eil, daß man wegen
de „pe iodischen Fens e " de logis ischen Abbildung im Be eich G[ „, 4]
nich siche sein kann, ob ü eine bes imm e Pa ame e kons ella ion inne -
halb des In e alls a sächlich Chaos au i .
3. De maximale Lyapuno -Exponen als Maß ü sensi i e Abhängigkei
Dahe is es wich ig, mi Hil e on geeigne en Indika o en Pa ame e kon-
s ella ionen zu e kennen, bei denen Chaos he sch . Diese Indika o en müs-
sen auch bei meh dimensionalen dynamischen S uk u en anwendba sein3.
3 Gae ne / Jungeilges (1988)
z.
B. beschä igen sich mi de Möglichkei on Chaos
in einem zweidimensionalen Modell zum Konsumen en e hal en.
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Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen 193
Nach de Ke en egel is bei di e enzie ba em g auch die i e ie e Abbil-
dung g1 ü jedes = 2, 3, ... di e enzie ba . Wi können somi die du ch
eine S ö ung i)6Rn mi x0 + E © e zeug e Ve ände ung des O bi s du ch
g<
(x0
+
)-g< (x0) =
Dg* (x0)
+
p
( )
( = 1,2,...)
besch eiben, wobei
(3.1)
Dg*
(x0) = Dg (g^1 (x0))
•
Dg ig*'2 (x0)) ... Dg (x0)
die Funk ionalma ix on g an de S elle x0 E © bezeichne , und das Res -
glied p ( ) de Beziehung
genüg 4.
Im Sinne diese App oxima ion kann also ü S ö ungen mi hin ei-
chend kleine No m ans elle on
g<
(x0 + ) -
g*
(x0) bzw. |
g1
(x0 + ) -
g*
(x0) |
de linea e Te m
Dg*
(x0) ( = 1,2,...) bzw. | Dg (x0) ( = 1,2,...)
be ach e we den. Wenn man ge ade die länge is igen Wi kungen eine
S ö ung im Auge ha , so is das asymp o ische Ve hal en on Dg1 (x0)
bzw. |
Dg*
(x0) | ü
oo
zu analysie en. Wi se zen o aus, daß ü alle
x0, uERn
A(x0,u) := lim ^oo | Dg^Xo^ u < oo
gil 5. Diese Annahme is z.B. e üll , wenn
a := supxGiD || Dg (x) || < oo
is , da wi dann un e Anwendung on (3.1) und Ausnu zung de Bezie-
hung | AB | < 11 A 11 || B || | | ( ü A, B E Rnxn und E Rn)
4 | • | bezeichne eine Vek o no m, z.B. die euklidische No m |x| = V x' x
mi 11 • || bezeichnen wi die induzie e Ma ix o m, bei de euklidischen Vek o -
no m also
11
A
11
= V^-max {A' A), wobei Amax (A' A) de maximale Eigenwe on
A' Ais .
5 lim
_oo
a bezeichne den limes
supe io
eine Folge
(a )
e
N
eelle Zahlen,
d.
h.
lim _> oo
a
=
li ii^oo
supj>
üy
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194 Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid
-
1
I Dg xo)» | < 11 11 Dg (g x0)) 11 |
>
| <
c?
i = 0
e hal en und somi
| Dg (x0) | w < a | 1/ < »
is . Die G öße
A
(x0, ) kann höchs ens n e schiedene We e annehmen,
wenn beliebig im Rn a iie ( gl. Anhang A).
In de Li e a u ha sich eingebü ge , ans elle on
A
(x0,u)
li(x0, ) := lnA(Xo, ) e R
U
{- <»}
zu e wenden. Die (höchs ens n) e schiedenen We e dieses Indika o s we -
den als Lyapuno -Exponen en bezeichne und bilden das Lyapuno -Spek-
um des Di e enzengleichungssys ems (2.1). Von besonde em In e esse is
de maximale Lyapuno -Exponen
/i(X0) :=
SUp„ € R"
// (#0»^)-
E cha ak e isie die Wi kungen as alle S ö ungen
>
d.h. es gil ü as
alle 6 Rn ( gl. Anhang A)
(3.2) jU(x0) = n(x0, ).
Auße dem gil ( gl. Anhang B)
1
(3.3) n(xQ) =
lim,-+00
—In || Dg' (x0) || .
Wi de inie en nun den Beg i de sensi i en Abhängigkei :
DEFINITION
De P ozeß (2.1) heiß sensi i abhängig im Punk x0, wenn
i (x0)
> 0
is .
Zu In e p e a ion diese De ini ion be ach en wi eine S ö ung y ü die
(3.2).gil . Dann s eb eine Teil olge on In | Dg (x0) | gegen
H
(x0). Bezeichnen wi diese Teil olge mi ( |
Dg j
(x0) | 1' j
I , 6
N, so gil ü
hin eichend g oße j
| Dg j (x0) I « e"(Xo) >
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Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen 201
Zunächs wi d ein a-dimensionale Pseudo-Zus ands aum nach olgen-
de Vo sch i e zeug :
Dies e gib T - a + 1 Punk e im Rm, die un e bes imm en Vo ausse zun-
gen (z.B. muß m > 2n sein) zu Abschä zung des maximalen Lyapuno -
Exponen en e wende we den können ( gl. Takens 1981).
Man bes imm nun alle nahe beieinande liegenden Punk epaa e (a;, ak),
ü die
is , wobei wi im olgenden die Fälle ausschließen, in denen | • | = 0 is .
Sodann be echne man ü diese N Punk epaa e den Abs and nach p Pe io-
den und bes imm
Diese Fak o besch eib die nach p Pe ioden einge e ene Ve ände ung des
Abs ands de Punk e. Die Du chschni sbildung übe alle au diese Weise
e mi el en Fak o en e gib die gewünsch e Abschä zung ü den maxima-
len Lyapuno -Exponen en:
Dieses Ve ah en üh ü n > 1 endenziell zu eine Un e Schä zung des
maximalen Lyapuno -Exponen en, da auch die ande en Lyapuno -Expo-
nen en au die Ve ände ung des Abs ands Ein luß nehmen, so daß die Wi -
kung des maximalen Lyapuno -Exponen en eilweise kompensie wi d.
Mi Hil e dieses Ve ah ens sind be ei s einige Un e suchungen ökonomi-
sche Zei eihen o genommen wo den7. Wi wollen an diese S elle einmal
meh die logis ische Abbildung e wenden, um den Algo i hmus zu demon-
s ie en. Wi e zeugen uns en sp echend de Abbildung (2.4) ü = 3.4, 3.6,
3.8, 4.0 Zei eihen mi jeweils T = 100 Beobach ungen.
Tabelle 2 en häl Abschä zungen des maximalen Lyapuno -Exponen en
anhand diese Zei eihen. Wenn man diese We e mi den en sp echenden
E gebnissen in Tabelle 1 e gleich , so zeig sich eine ech gu e Übe ein-
s immung. Be echnungen on i ü wei e e (T,m,p)-Kombina ionen wichen
nu wenig on den in Tabelle 2 da ges ell en We en ab.
7 F ank / S engos (1988) übe p ü en so die S abili ä einige mak oökonomische
Zei eihen Kanadas; Schmid / S ahlecke (1989) un e suchen mi diesem Ve ah en
die S abili ä on P eis- und Mengenanpassungen in e schiedenen Wi scha szwei-
gen de Bundes epublik Deu schland.
z = {zu z + 1,..z + m-i), = 1,2,.. .,T- m + 1.
I
a¡
- ak I < e
d
ü' c) =
ap
aj
+
p
— a¡c +
p
aj- ak
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202 Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid
Tabelle
2
Empi ische Abschä zungen des Lyapuno -Exponen en
T m V = 3.4 = 3.6 = 3.8 = 4.0
100 5 3 -.138 .228 .405 .732
100 5 5 -.138 .225 .394 .653
100 10 3 -.137 .208 .367 .708
100 10 5 -.137 .214 .376 .700
Bei höhe dimensionalen P ozessen kann man wegen de schon e wähn en
Kompensa ionse ek e na ü lich nich meh e wa en, daß die G ößeno d-
nung des maximalen Lyapuno -Exponen en imme so gu abgeschä z wi d
wie bei de logis ischen Abbildung. Die Un e suchung eine Reihe on
bekann en meh dimensionalen chao ischen Abbildungen ha gezeig , daß ß
s e s eine (meh ode wenige scha e) un e e G enze ü den maximalen
Lyapuno -Exponen en da s ell ( gl. auch Ku hs / He zel 1987,169 - 170).
Wenn man also o allem am Vo zeichen des maximalen Lyapuno -Expo-
nen en in e essie is , dann schein das besch iebene Ve ah en auch bei
ela i kleinem Beobach ungsum ang gu geeigne zu sein. De G und da ü
dü e in de Du chschni sbildung übe die N ausgewähl en Punk epaa e
liegen: Es wi d übe die Zei und übe den Raum gemi el ( gl. Ab-
schni 4.1).
Ein wesen liche Gesich spunk des Ku hs / He zel-Ve ah ens is die
Auswahl benachba e Punk e, die dann sys ema isch um p Pe ioden e -
olg we den. Diese Idee kann man bei en sp echende Da enlage auch mi
ande en Schä z e ah en e binden. Lieg z.B. eine Zei eihe de O iginal-
we e x ( = 1,...
,
T) o , so kann man zu einem Punk xk benachba e
Punk e
Xj
suchen, ü die | Xj - xk | < e is .
Man e mi el nun die Di e enzen
ö' c;
=
Xj
- xk und wpw =
Xj
+ p - xk
+
p
und aß diese Vek o en zu den Da enma izen Vk = [ ^'k)) und Wk = [w^'k))
de O dnung n x Nk zusammen, wobei Nk die Anzahl de zu xk benachba -
en Punk e is . App oxima i gil
WpM « DgP (X c)
G.k)
Dahe is es naheliegend, diese Funk ionalma ix du ch eine Lösung on
[ (Wk
-XVky
(Wk
- XVk) ] minx
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Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen 203
zu app oximie en8. Au Basis on
Xk
= wk k+
kann man den maximalen Lyapuno -Exponen en mi
1 A Ä
ßP (Xk)
= In Amax (Xk Xk)
2p
in Ve bindung mi eine geeigne en Mi elung übe e schiedene Ausgangs-
punk e xk abschä zen. Du ch dieses Ve ah en, das un e bes imm en
Bedingungen mi de Me hode on Ku hs / He zel übe eins imm , dü en
sich auch wei e e Lyapuno -Exponen en abschä zen lassen.
Zusammen assung
Ein wesen liches Me kmal chao ische P ozesse is de en sensi i e
Abhängigkei on An angs- und Pa ame e we en. De o liegende Bei ag
lie e eine Ein üh ung in die heo e ischen G undlagen de Messung sensi-
i e Abhängigkei . Es wi d gezeig , wie man mi Hil e des sogenann en
maximalen Lyapuno -Exponen en chao ische Reak ionen es legen kann.
Lieg ein dynamisches ökonomisches Modell in Fo m eines (nich linea en)
Di e enzengleichungssys ems o , so können Pa ame e kons ella ionen,
bei denen Chaos ein i , di ek e kann we den. Da übe hinaus lassen sich
anhand on Zei eihen Abschä zungen des maximalen Lyapuno -Exponen-
en auch dann noch e mi eln, wenn die dynamische S uk u nich ode nu
un olls ändig bekann is . Dies e ö ne empi ischen A bei en zum Thema
Chaos in ökonomischen P ozessen neue Wege.
Summa y
Sensi i e dependence on ini ial condi ions is a majo cha ac e is ic o
chao ic sys ems. This a icle p o ides an in oduc ion o he concep o
Lyapuno exponen s, which cha ac e ize he beha io o a dynamic p ocess
by measu ing i s deg ee o sensi i e dependence. I he la ges Lyapuno
exponen is posi i e, he sys em is called chao ic. P o ided ha an economic
model can be exp essed explici ly as a sys em o di e ence equa ions, nu-
me ical calcula ion o he la ges Lyapuno exponen is possible. Howe e ,
he dynamic speci ica ion is o en unknown. In hese cases, he la ges
Lyapuno exponen may be es ima ed om ime se ies da a.
8
[A]
bezeichne die Spu eine quad a ischen Ma ix A. A+ bezeichne die
Moo e-Pen ose-In e se eine n x m Ma ix A.
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204 Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid
Anhang: Einige Eigenscha en de Lyapuno -Exponen en
Wi e läu e n hie einige Eigenscha en de Lyapuno -Exponen en. Wei-
e e De ails inde man z.B. bei Bene in e
al.
(1980) und Eckmann
/
Ruelle
(1985).
Anhang A
Man übe leg sich zunächs , daß ü alle
öl
0 und , w e Rn gil ;
(i)
A (x0, a )
=
A (¿Co,
);
(ii)
A (¿ 0,
+
w)
< max {
A (x0, ), A (x, w)
}.
Die Menge
exo(Z) = { eRn
|
A(x0,*;)<£}
bilde somi ü jedes § > 0 einen Un e aum in Rn. Dahe kann man m < n
Zahlen > §2 >
• • •
>
—
0 und Un e äume 6Xo (§j), j = 1,..., m, in de
Weise bes immen, daß
(A.1) (Im)C (|m-i)c ••• c (Ii)
mi
1 = dim ©Xo (§m) < dim
<5Xo (|m _
i) <
• • •
< dim ©Xo (£) = n
Da man maximal n Un e äume au diese Weise bilden kann, nimm
A
(x0, ) höchs ens n e schiedene We e an.
Jede Un e aum aus (A.l) mi posi i e Kodimension ha in Rn das
Lebesgue-Maß Null. Folglich e häl man ü as alle e Rn
p(x0) =
SUp^Rn/iiXo,
).
Anhang B
Es gil ü alle e Rn
H
(x0) ^ üm^oc —in
| Dg* (a?o)
I
,
also insbesonde e
li(X0) > lim ^oc
— lnmax|u| =
l
I
Dg (X0)
V |
.
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Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen 205
Nun is eine sei s
max
= i
Dg* (x0)
|
= 11 Dg' (x0) 11
und somi
H{x0) > lim^co —in
||
Dg* (x0)
11
.
Ande e sei s gil
| Dg1 (x0)
|
< 11 Dg1 (x0) 11
|
|
,
wo aus insbesonde e
/z(x0) < lim^cc — ln||lV(Xo) II
olg . Dami e hal en wi
i (x0) = lim,-*co —]n Dg {xo)W •
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