Chaos und sensitive Abhängigkeit in ökonomischen Prozessen

S ahlecke , Pe e ; Schmid , Ka s en A icle Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) - Vie eljah essch i de Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü Socialpoli ik P o ided in Coope a ion wi h: Duncke & Humblo , Be lin Sugges ed Ci a ion: S ahlecke , Pe e ; Schmid , Ka s en (1991) : Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen, Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) - Vie eljah essch i de Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü Socialpoli ik, ISSN 0342-1783, Duncke & Humblo , Be lin, Vol. 111, Iss. 2, pp. 187-206, h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187 This Ve sion is a ailable a : h ps://hdl.handle.ne /10419/291755 S anda d-Nu zungsbedingungen: Die Dokumen e au EconS o dü en zu eigenen wissenscha lichen Zwecken und zum P i a geb auch gespeiche und kopie we den. Sie dü en die Dokumen e nich ü ö en liche ode komme zielle Zwecke e iel äl igen, ö en lich auss ellen, ö en lich zugänglich machen, e eiben ode ande wei ig nu zen. So e n die Ve asse die Dokumen e un e Open-Con en -Lizenzen (insbesonde e CC-Lizenzen) zu Ve ügung ges ell haben soll en, gel en abweichend on diesen Nu zungsbedingungen die in de do genann en Lizenz gewäh en Nu zungs ech e. Te ms o use: Documen s in EconS o may be sa ed and copied o you pe sonal and schola ly pu poses. You a e no o copy documen s o public o comme cial pu poses, o exhibi he documen s publicly, o make hem publicly a ailable on he in e ne , o o dis ibu e o o he wise use he documen s in public. I he documen s ha e been made a ailable unde an Open Con en Licence (especially C ea i e Commons Licences), you may exe cise u he usage igh s as speci ied in he indica ed licence. h ps://c ea i ecommons.o g/licenses/by/4.0/ Zei sch i ü Wi scha s- u. Sozialwissenscha en (ZWS) 111 (1991), S. 187 - 206 Duncke & Humblo , Be lin 41 Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen Von Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid Die Chaos-Theo ie ha in jüngs e Zei auch im Be eich de dynamischen Wi - scha s heo ie an Bedeu ung gewonnen. De o liegende Bei ag beschä ig sich mi Möglichkei en, Chaos bei dynamischen Modellen sowie anhand on empi ischen Zei - eihen es zus ellen. 1. Ein üh ung Wa um komm es au manchen Mä k en imme wiede zu une wa e s a ken P eisschwankungen? Wieso geling es häu ig nich einmal, die Wachs ums a e des B u osozialp oduk s e läßlich o he zusagen? In de Wi scha s o schung haben wi uns da an gewöhn , une wa e e ku z i- s ige En wicklungen dem Zu all bzw. exogenen Schocks zuzusch eiben. In de Ho nung, daß sich diese im Zei ablau ausgleichen, we den dennoch mi el- bis länge is ige P ognosen gewag . Die Chaos-Fo schung s ell diese Denkweise in F age. Selbs bei s eng de e minie en Vo gängen gib es un e den Bedingungen des Chaos keine Chance zu e siche en Vo he sagen und zwa ge ade au mi le e und län- ge e F is . Na u wissenscha liche Beispiele ü Chaos eichen on de Unmöglichkei länge is ige We e p ognosen bis zu chao ischen Bewe- gungen einige Himmelskö pe unse es Sonnensys ems ( gl. Mallo e 1989). Beginnend mi Benhabib und Day suchen sei An ang de ach zige Jah e e s ä k auch Ökonomen nach Chaos. E s neue dings weisen Baumol / Benhabib (1989) in einem Übe blick au die po en ielle Bedeu ung de Chaos-Fo schung ü die dynamische Wi scha s heo ie hin. Ziel des o liegenden Bei ags is eine Ein üh ung in einige heo e ische G undlagen und Konsequenzen de Chaos-Fo schung, wobei wi uns au einen Aspek konzen ie en, de uns ü wi scha s heo e ische und empi i- sche Anwendungen besonde s in e essan e schein : Die sensi i e Abhän- gigkei chao ische P ozesse on den An angsbedingungen. Wenn bei Chaos winzige S ö ungen nach einigen Pe ioden zu ollkommen ande em P ozeß- e hal en üh en, kann man die Sys emzus ände wegen de un e meidba en Meß ehle bei de Bes immung ökonomische G ößen sowie de endlichen Genauigkei digi ale Rechne nich zu e lässig bes immen. ZWS 111 (1991) 2 13' OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187 | Gene a ed on 2023-04-04 12:15:13 188 Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid De Au bau dieses Bei ags is wie olg . Nach de E läu e ung einige G undlagen gehen wi de F age nach, wie man sensi i e Abhängigkei e assen kann. Schließlich we den e schiedene Me hoden zu Abschä zung eines Indika o s ü Chaos o ges ell . 2. Einige G undlagen Die Chaos-Fo schung beschä ig sich mi de e minis ischen nich linea- en dynamischen Modellen, die im kon inuie lichen Fall du ch ein Sys em on Di e en ialgleichungen und im disk e en Fall du ch ein Sys em on Di e enzengleichungen besch ieben we den können. Wi besch änken uns im wei e en au den disk e en Fall. Ein ökonomische P ozeß sei du ch ein Sys em on Di e enzengleichun- gen de Fo m (2.1) x = g {x -i) mi eine di e enzie ba en Abbildung g: 5)CRn-^Rn besch ieben, wobei x den Zus and des P ozesses in = 1,2,... bezeichne , © eine o ene Menge sei und die Ausgangslage x0 gegeben is . Wi se zen o aus, daß g (©) C © is . Dami exis ie ü jede Ausgangslage x0 E © eine T ajek o ie (Lösung de Di e enzengleichung) Y(a?0) := {x0, g (x0), g (g (so)),...}. Man bezeichne y (x0) auch als O bi . Wenn man die Abbildung g © —» © nach dem Schema g° (x) = x . a. x E © g*(x) = g (g^Hx)) .a. x E $ und = 1,2,... e klä , läß sich eine T ajek o ie du ch (2.2) y(x0) = {gHxo) I = 0,1,...} da s ellen. Da häu ig de Ein luß bes imm e exogene G ößen (Pa ame e ) in e es- sie , soll e ans elle on (2.1) ein Di e enzengleichungssys em be ach e we den, in dem explizi ein Pa ame e ek o E D C R c au auch : (2.3) x = g (x -i, ), wobei je z g: © x 91 —> © sei. Wi können uns abe au den ein achen Fall ZWS 111 (1991) 2 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187 | Gene a ed on 2023-04-04 12:15:13 Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen 189 (2.1) konzen ie en. Is nämlich ein Sys em de Fo m (2.3) gegeben, dann analysie en wi das e wei e e Sys em x = g (x _i, _i), = -i = ( = 1,2,...), das sich mi g*(x, ) := (g (x, ), ) und y := (x , ), = 0, 1, ..., wiede in de Fo m (2.1) y = g*(y -i) ( = 1,2,...) da s ellen läß . In de Chaos-Fo schung wi d un e such , welche Wi kungen ge inge Ve - ände ungen de Ausgangslage x0 bzw. des Pa ame e ek o s au den Ve - lau eine T ajek o ie haben. Dies soll hie anhand de sogenann en logis i- schen Abbildung (2.4) x = iM(l-i(-i) ( = 1,2,...) mi E [0,4] und x0 E (0,1) e deu lich we den. Diese ein ache Di e enzen- gleichung is das p ominen es e Beispiel de Chaos-Fo schung ( gl. z.B. May 1976). In Abbildung 1 is die ü den Pa ame e we = 4.0 im Ausgangspunk x0 = 0.3 s a ende T ajek o ie übe 50 Pe ioden hinweg als du chgezogene Linie da ges ell . Es zeig sich ein i egulä es Punk emus e ohne e kenn- ba e Tendenz zu einem Gleichgewich swe ode zu pe iodischen Zyklen, abe auch ohne es s ellba e Ins abili ä im Sinne sich selbs e s ä kende Schwankungen. Ein unin o mie e Be ach e dü e kaum in de Lage sein, dieses Mus e on eine ein s ochas ischen Zei eihe zu un e scheiden. Be ach e man nun die ges ichel e Linie in Abbildung 1, in de lediglich die Aus- gangslage au x0 = 0.29999999 geände wu de, so s ell man es , daß sich nach einigen Pe ioden ein öllig ande e O bi e gib . Ein ähnliches Bild zeig sich, wenn man den Ein luß kleine Ve ände un- gen des Pa ame e s un e such . Zu diesem Zweck wu den ü 241 e schie- dene Pa ame e we e = 3.4, 3.4025,..., 3.9975, 4.0 mi dem S a we x0 = 0.3 jeweils 115 Beobach ungen gemäß Gleichung (2.4) gene ie . Um Ein- schwing o gänge ( o allem im nich -chao ischen Be eich) auszublenden, sind in Abbildung 2 nu die le z en 16 Beobach ungen ü jeden einzelnen We des Pa ame e s e ikal abge agen. Fü E [0,3] s eb x gegen einen Gleichgewich swe (Fixpunk ). Obe - halb dieses Be eichs e hal en wi in eine Kaskade on Pe ioden e dopp- ZWS 111 (1991) 2 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187 | Gene a ed on 2023-04-04 12:15:13 190 Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid Abbildung 1 (A = 0.0025) Abbildung 2 ZWS 111 (1991) 2 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187 | Gene a ed on 2023-04-04 12:15:13 Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen 191 lungen pe iodische Punk e1. Ab einem k i ischen We „ ~ 3.57 (in de Abbildung du ch • ma kie ) wi d aus dem pe iodischen ein chao isches Ve hal en. Einem Ve gleich de Endpunk e de beiden T ajek o ien in Abbildung 1 en sp ich die Be ach ung de eingek eis en Punk e, die jeweils den le z en We xn5 ü = 3.9975 und = 4.0 angegeben. Winzige Pa ame e a ia io- nen e u sachen also ähnlich d ama ische Ve schiebungen des O bi s wie S a we ände ungen. Man kann de Abbildung 2 auße dem en nehmen, daß auch We e E [ «, 4] exis ie en, bei denen pe iodisches Ve hal en au - i . Aus O dnung kann Chaos en s ehen und Chaos geh wiede in geo d- ne e Zus ände übe . Wi hal en es : In chao ischen P ozessen he sch sensi i e Abhängigkei on Ausgangsbedingungen bzw. Pa ame e we en. Das P inzip de schwa- chen Kausali ä gil : gleiche U sachen haben gleiche Wi kungen. Das P in- zip de s a ken Kausali ä , nach dem ähnliche U sachen ähnliche Wi kun- gen haben, gil abe nich , da winzige S ö ungen on x0 bzw. e hebliche Ände ungen on y (x0) nach sich ziehen. Einige neue e A bei en zu dynamischen Wi scha s heo ie (z.B. Day 1982, A s ein 1983) beschä igen sich mi dem Aspek de Ape iodizi ä chao ische P ozesse au de G undlage des Theo ems on Li / Yo ke (1975)2. De Nachweis on Chaos im Sinne sensi i e Abhängigkei wi d dagegen anhand des sogenann en maximalen Lyapuno -Exponen en ge üh . Diese Maßzahl ü Chaos s ell eine Ve allgemeine ung des in de S abili ä sanalyse linea e (bzw. linea isie e ) dynamische Sys eme geb äuchlichen maximalen Eigenwe s da . In heo e ischen Modellen kann Chaos auch dadu ch diagnos izie we - den, daß man p ü , ob die dynamische Spezi ika ion in einen Typ ans o - mie we den kann, dessen chao isches Ve hal en ü gewisse Pa ame e - we e bekann is . Zu Illus a ion diese Vo gehensweise sei beme k , daß schon ein simples linea es Übe schußnach agemodell chao isch sein kann, wenn un e s ell wi d, daß die Wachs ums aie des P eises p opo ional on de Übe schuß- nach age abhäng : P ~ P -1 ._ _ . . = Q (N -i ~ A -i), g > 0, P -1 1 Ein x e $ mi x = gT (x) heiß pe iodische Punk . De kleins e We T > 1 mi x = gT (x) heiß Pe iode on x. Fixpunk e on g sind pe iodische Punk e mi Pe iode 1. 2 Einen Übe blick übe wi scha s heo e ische A bei en, die sich mi de Möglich- kei on Chaos beschä igen, inde man in Lo enz (1989), 119 - 129. ZWS 111 (1991) 2 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187 | Gene a ed on 2023-04-04 12:15:13 192 Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid wobei N = a — ßp , a,ß> 0 , die Nach age unk ion und A = -y+ öp , y,ö> 0 , die Angebo s unk ion bezeichne . Man e häl dann 1 p = Q (a + y + (ß + ö) p -1) p -1 . Q Wi d nun gemäß ß+ö x := P ( = 1,2,...) a+ y+ — Q 1 no mie und := g (a + y + —) gese z , e häl man eine Di e enzenglei- Q chung om Typ de logis ischen Abbildung: x = ( 1 - x -i) x -i. Wie wi be ei s gesehen haben, exis ie en bei (2.4) chao ische O bi s ü gewisse E [ ®, 4]. Au unse en Fall übe agen bedeu e das, daß eine chao- ische En wicklung de P eise au e en kann, alls oc — 1 3 < e< a+ y a+y gil . Die eben demons ie e Vo gehensweise ha den Nach eil, daß man wegen de „pe iodischen Fens e " de logis ischen Abbildung im Be eich G[ „, 4] nich siche sein kann, ob ü eine bes imm e Pa ame e kons ella ion inne - halb des In e alls a sächlich Chaos au i . 3. De maximale Lyapuno -Exponen als Maß ü sensi i e Abhängigkei Dahe is es wich ig, mi Hil e on geeigne en Indika o en Pa ame e kon- s ella ionen zu e kennen, bei denen Chaos he sch . Diese Indika o en müs- sen auch bei meh dimensionalen dynamischen S uk u en anwendba sein3. 3 Gae ne / Jungeilges (1988) z. B. beschä igen sich mi de Möglichkei on Chaos in einem zweidimensionalen Modell zum Konsumen en e hal en. ZWS 111 (1991) 2 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187 | Gene a ed on 2023-04-04 12:15:13 Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen 193 Nach de Ke en egel is bei di e enzie ba em g auch die i e ie e Abbil- dung g1 ü jedes = 2, 3, ... di e enzie ba . Wi können somi die du ch eine S ö ung i)6Rn mi x0 + E © e zeug e Ve ände ung des O bi s du ch g< (x0 + )-g< (x0) = Dg* (x0) + p ( ) ( = 1,2,...) besch eiben, wobei (3.1) Dg* (x0) = Dg (g^1 (x0)) • Dg ig*'2 (x0)) ... Dg (x0) die Funk ionalma ix on g an de S elle x0 E © bezeichne , und das Res - glied p ( ) de Beziehung genüg 4. Im Sinne diese App oxima ion kann also ü S ö ungen mi hin ei- chend kleine No m ans elle on g< (x0 + ) - g* (x0) bzw. | g1 (x0 + ) - g* (x0) | de linea e Te m Dg* (x0) ( = 1,2,...) bzw. | Dg (x0) ( = 1,2,...) be ach e we den. Wenn man ge ade die länge is igen Wi kungen eine S ö ung im Auge ha , so is das asymp o ische Ve hal en on Dg1 (x0) bzw. | Dg* (x0) | ü oo zu analysie en. Wi se zen o aus, daß ü alle x0, uERn A(x0,u) := lim ^oo | Dg^Xo^ u < oo gil 5. Diese Annahme is z.B. e üll , wenn a := supxGiD || Dg (x) || < oo is , da wi dann un e Anwendung on (3.1) und Ausnu zung de Bezie- hung | AB | < 11 A 11 || B || | | ( ü A, B E Rnxn und E Rn) 4 | • | bezeichne eine Vek o no m, z.B. die euklidische No m |x| = V x' x mi 11 • || bezeichnen wi die induzie e Ma ix o m, bei de euklidischen Vek o - no m also 11 A 11 = V^-max {A' A), wobei Amax (A' A) de maximale Eigenwe on A' Ais . 5 lim _oo a bezeichne den limes supe io eine Folge (a ) e N eelle Zahlen, d. h. lim _> oo a = li ii^oo supj> üy ZWS 111 (1991) 2 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187 | Gene a ed on 2023-04-04 12:15:13 194 Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid - 1 I Dg xo)» | < 11 11 Dg (g x0)) 11 | > | < c? i = 0 e hal en und somi | Dg (x0) | w < a | 1/ < » is . Die G öße A (x0, ) kann höchs ens n e schiedene We e annehmen, wenn beliebig im Rn a iie ( gl. Anhang A). In de Li e a u ha sich eingebü ge , ans elle on A (x0,u) li(x0, ) := lnA(Xo, ) e R U {- <»} zu e wenden. Die (höchs ens n) e schiedenen We e dieses Indika o s we - den als Lyapuno -Exponen en bezeichne und bilden das Lyapuno -Spek- um des Di e enzengleichungssys ems (2.1). Von besonde em In e esse is de maximale Lyapuno -Exponen /i(X0) := SUp„ € R" // (#0»^)- E cha ak e isie die Wi kungen as alle S ö ungen > d.h. es gil ü as alle 6 Rn ( gl. Anhang A) (3.2) jU(x0) = n(x0, ). Auße dem gil ( gl. Anhang B) 1 (3.3) n(xQ) = lim,-+00 —In || Dg' (x0) || . Wi de inie en nun den Beg i de sensi i en Abhängigkei : DEFINITION De P ozeß (2.1) heiß sensi i abhängig im Punk x0, wenn i (x0) > 0 is . Zu In e p e a ion diese De ini ion be ach en wi eine S ö ung y ü die (3.2).gil . Dann s eb eine Teil olge on In | Dg (x0) | gegen H (x0). Bezeichnen wi diese Teil olge mi ( | Dg j (x0) | 1' j I , 6 N, so gil ü hin eichend g oße j | Dg j (x0) I « e"(Xo) > ZWS 111 (1991) 2 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187 | Gene a ed on 2023-04-04 12:15:13 Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen 201 Zunächs wi d ein a-dimensionale Pseudo-Zus ands aum nach olgen- de Vo sch i e zeug : Dies e gib T - a + 1 Punk e im Rm, die un e bes imm en Vo ausse zun- gen (z.B. muß m > 2n sein) zu Abschä zung des maximalen Lyapuno - Exponen en e wende we den können ( gl. Takens 1981). Man bes imm nun alle nahe beieinande liegenden Punk epaa e (a;, ak), ü die is , wobei wi im olgenden die Fälle ausschließen, in denen | • | = 0 is . Sodann be echne man ü diese N Punk epaa e den Abs and nach p Pe io- den und bes imm Diese Fak o besch eib die nach p Pe ioden einge e ene Ve ände ung des Abs ands de Punk e. Die Du chschni sbildung übe alle au diese Weise e mi el en Fak o en e gib die gewünsch e Abschä zung ü den maxima- len Lyapuno -Exponen en: Dieses Ve ah en üh ü n > 1 endenziell zu eine Un e Schä zung des maximalen Lyapuno -Exponen en, da auch die ande en Lyapuno -Expo- nen en au die Ve ände ung des Abs ands Ein luß nehmen, so daß die Wi - kung des maximalen Lyapuno -Exponen en eilweise kompensie wi d. Mi Hil e dieses Ve ah ens sind be ei s einige Un e suchungen ökonomi- sche Zei eihen o genommen wo den7. Wi wollen an diese S elle einmal meh die logis ische Abbildung e wenden, um den Algo i hmus zu demon- s ie en. Wi e zeugen uns en sp echend de Abbildung (2.4) ü = 3.4, 3.6, 3.8, 4.0 Zei eihen mi jeweils T = 100 Beobach ungen. Tabelle 2 en häl Abschä zungen des maximalen Lyapuno -Exponen en anhand diese Zei eihen. Wenn man diese We e mi den en sp echenden E gebnissen in Tabelle 1 e gleich , so zeig sich eine ech gu e Übe ein- s immung. Be echnungen on i ü wei e e (T,m,p)-Kombina ionen wichen nu wenig on den in Tabelle 2 da ges ell en We en ab. 7 F ank / S engos (1988) übe p ü en so die S abili ä einige mak oökonomische Zei eihen Kanadas; Schmid / S ahlecke (1989) un e suchen mi diesem Ve ah en die S abili ä on P eis- und Mengenanpassungen in e schiedenen Wi scha szwei- gen de Bundes epublik Deu schland. z = {zu z + 1,..z + m-i), = 1,2,.. .,T- m + 1. I a¡ - ak I < e d ü' c) = ap aj + p — a¡c + p aj- ak ZWS 111 (1991) 2 14 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187 | Gene a ed on 2023-04-04 12:15:13 202 Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid Tabelle 2 Empi ische Abschä zungen des Lyapuno -Exponen en T m V = 3.4 = 3.6 = 3.8 = 4.0 100 5 3 -.138 .228 .405 .732 100 5 5 -.138 .225 .394 .653 100 10 3 -.137 .208 .367 .708 100 10 5 -.137 .214 .376 .700 Bei höhe dimensionalen P ozessen kann man wegen de schon e wähn en Kompensa ionse ek e na ü lich nich meh e wa en, daß die G ößeno d- nung des maximalen Lyapuno -Exponen en imme so gu abgeschä z wi d wie bei de logis ischen Abbildung. Die Un e suchung eine Reihe on bekann en meh dimensionalen chao ischen Abbildungen ha gezeig , daß ß s e s eine (meh ode wenige scha e) un e e G enze ü den maximalen Lyapuno -Exponen en da s ell ( gl. auch Ku hs / He zel 1987,169 - 170). Wenn man also o allem am Vo zeichen des maximalen Lyapuno -Expo- nen en in e essie is , dann schein das besch iebene Ve ah en auch bei ela i kleinem Beobach ungsum ang gu geeigne zu sein. De G und da ü dü e in de Du chschni sbildung übe die N ausgewähl en Punk epaa e liegen: Es wi d übe die Zei und übe den Raum gemi el ( gl. Ab- schni 4.1). Ein wesen liche Gesich spunk des Ku hs / He zel-Ve ah ens is die Auswahl benachba e Punk e, die dann sys ema isch um p Pe ioden e - olg we den. Diese Idee kann man bei en sp echende Da enlage auch mi ande en Schä z e ah en e binden. Lieg z.B. eine Zei eihe de O iginal- we e x ( = 1,... , T) o , so kann man zu einem Punk xk benachba e Punk e Xj suchen, ü die | Xj - xk | < e is . Man e mi el nun die Di e enzen ö' c; = Xj - xk und wpw = Xj + p - xk + p und aß diese Vek o en zu den Da enma izen Vk = [ ^'k)) und Wk = [w^'k)) de O dnung n x Nk zusammen, wobei Nk die Anzahl de zu xk benachba - en Punk e is . App oxima i gil WpM « DgP (X c) G.k) Dahe is es naheliegend, diese Funk ionalma ix du ch eine Lösung on [ (Wk -XVky (Wk - XVk) ] minx ZWS 111 (1991) 2 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187 | Gene a ed on 2023-04-04 12:15:13 Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen 203 zu app oximie en8. Au Basis on Xk = wk k+ kann man den maximalen Lyapuno -Exponen en mi 1 A Ä ßP (Xk) = In Amax (Xk Xk) 2p in Ve bindung mi eine geeigne en Mi elung übe e schiedene Ausgangs- punk e xk abschä zen. Du ch dieses Ve ah en, das un e bes imm en Bedingungen mi de Me hode on Ku hs / He zel übe eins imm , dü en sich auch wei e e Lyapuno -Exponen en abschä zen lassen. Zusammen assung Ein wesen liches Me kmal chao ische P ozesse is de en sensi i e Abhängigkei on An angs- und Pa ame e we en. De o liegende Bei ag lie e eine Ein üh ung in die heo e ischen G undlagen de Messung sensi- i e Abhängigkei . Es wi d gezeig , wie man mi Hil e des sogenann en maximalen Lyapuno -Exponen en chao ische Reak ionen es legen kann. Lieg ein dynamisches ökonomisches Modell in Fo m eines (nich linea en) Di e enzengleichungssys ems o , so können Pa ame e kons ella ionen, bei denen Chaos ein i , di ek e kann we den. Da übe hinaus lassen sich anhand on Zei eihen Abschä zungen des maximalen Lyapuno -Exponen- en auch dann noch e mi eln, wenn die dynamische S uk u nich ode nu un olls ändig bekann is . Dies e ö ne empi ischen A bei en zum Thema Chaos in ökonomischen P ozessen neue Wege. Summa y Sensi i e dependence on ini ial condi ions is a majo cha ac e is ic o chao ic sys ems. This a icle p o ides an in oduc ion o he concep o Lyapuno exponen s, which cha ac e ize he beha io o a dynamic p ocess by measu ing i s deg ee o sensi i e dependence. I he la ges Lyapuno exponen is posi i e, he sys em is called chao ic. P o ided ha an economic model can be exp essed explici ly as a sys em o di e ence equa ions, nu- me ical calcula ion o he la ges Lyapuno exponen is possible. Howe e , he dynamic speci ica ion is o en unknown. In hese cases, he la ges Lyapuno exponen may be es ima ed om ime se ies da a. 8 [A] bezeichne die Spu eine quad a ischen Ma ix A. A+ bezeichne die Moo e-Pen ose-In e se eine n x m Ma ix A. ZWS 111 (1991) 2 14* OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187 | Gene a ed on 2023-04-04 12:15:13 204 Pe e S ahlecke und Ka s en Schmid Anhang: Einige Eigenscha en de Lyapuno -Exponen en Wi e läu e n hie einige Eigenscha en de Lyapuno -Exponen en. Wei- e e De ails inde man z.B. bei Bene in e al. (1980) und Eckmann / Ruelle (1985). Anhang A Man übe leg sich zunächs , daß ü alle öl 0 und , w e Rn gil ; (i) A (x0, a ) = A (¿Co, ); (ii) A (¿ 0, + w) < max { A (x0, ), A (x, w) }. Die Menge exo(Z) = { eRn | A(x0,*;)<£} bilde somi ü jedes § > 0 einen Un e aum in Rn. Dahe kann man m < n Zahlen > §2 > • • • > — 0 und Un e äume 6Xo (§j), j = 1,..., m, in de Weise bes immen, daß (A.1) (Im)C (|m-i)c ••• c (Ii) mi 1 = dim ©Xo (§m) < dim <5Xo (|m _ i) < • • • < dim ©Xo (£) = n Da man maximal n Un e äume au diese Weise bilden kann, nimm A (x0, ) höchs ens n e schiedene We e an. Jede Un e aum aus (A.l) mi posi i e Kodimension ha in Rn das Lebesgue-Maß Null. Folglich e häl man ü as alle e Rn p(x0) = SUp^Rn/iiXo, ). Anhang B Es gil ü alle e Rn H (x0) ^ üm^oc —in | Dg* (a?o) I , also insbesonde e li(X0) > lim ^oc — lnmax|u| = l I Dg (X0) V | . ZWS 111 (1991) 2 OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.111.2.187 | Gene a ed on 2023-04-04 12:15:13 Chaos und sensi i e Abhängigkei in ökonomischen P ozessen 205 Nun is eine sei s max = i Dg* (x0) | = 11 Dg' (x0) 11 und somi H{x0) > lim^co —in || Dg* (x0) 11 . Ande e sei s gil | Dg1 (x0) | < 11 Dg1 (x0) 11 | | , wo aus insbesonde e /z(x0) < lim^cc — ln||lV(Xo) II olg . Dami e hal en wi i (x0) = lim,-*co —]n Dg {xo)W • Li e a u A s ein, Z. (1983), I egula Cobweb Dynamics. Economics Le e s 11,15-17. Baumol, W. J. / Benhabib, J. (1989), Chaos: Signi icance, Mechanism, and Economic Applica ions. Jou nal o Economic Pe spec i es 3, 77 - 105. Bene in, G. / Galgani, L. / Gio gilli, A. / S elcyn, J.-M. (1980), Lyapuno Cha ac e- is ic Exponen s o Smoo h Dynamical Sys ems and o Hamil onian Sys ems: A Me hod o Compu ing All o Them. Meccanica 15, 9 - 30. Day, R. H. (1982), I egula G ow h Cycles. 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