El décimo problema de Hilbert

Abstract

En este trabajo se explicarán los conceptos que fueron necesarios para resolver el décimo problema de Hilbert en su versión original para números enteros ℤ, de forma no cronológica. Así, comenzaremos con una explicación sobre ecuaciones diofánticas y diofánticas exponenciales, correspondientemente para desarrollar distintos conceptos como los de conjunto y representación diofántica y para probar que la exponenciación es una función diofántica. A continuación, presentaremos varios sistemas de codificación de tuplas (entre ellos, el más importante será la codificación posicional) y desarrollaremos el concepto de máquina de Turing, construyendo explícitamente algunas de ellas que probarán su utilidad al resolver el problema. Finalmente, terminaremos probando la equivalencia de conjuntos diofánticos y Turing-semidecidibles, lo que nos valdrá para dar una respuesta al problema décimo a través del problema de la parada. Concluiremos dando un breve vistazo al estado actual del estudio del décimo problema de Hilbert en otros anillos, haciendo hincapié en el anillo ℚ de los racionales.