UNIVERSIDAD DE BARCELONA
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
M´
ASTER INTERUNIVERSITARIO DE F´
ISICA NUCLEAR
SUPERFLUID DYNAMICS IN THE OUTER CORE
OF NEUTRON STARS
TESIS DE M´
ASTER
AUTOR: Juan An onio Gil G anados
DIRECTORES: Xa ie Vi˜nas y An onio Mu˜noz
BARCELONA - ESPA˜
NA
2017
Abs ac
The consensus be ween obse a ions and heo y is ha neu on s a shows a laye ed s uc-
u e de e mined by an inc easing densi y and empe a u e wi h dep h. Quan um degene acy o
nuclea ma e lays a he basis o he exis ence o hese exo ic objec s, and he Bose conden-
sa ion o neu on and p o on pai s leads o he eme gence o supe luidi y in he s a in e io .
Howe e , he p ecise equa ion o s a e o nuclea ma e unde such ex eme condi ions, ela ing
i s p essu e and densi y, a e ye unknown, and many p oposals compe e o p o ide a plausible
pic u e compa ible wi h he obse a ional cons ains. Cu en ly, he s udy o neu on s a s is
becoming an in e disciplina y subjec which is ecei ing an inc easing a en ion due o mo e
a ailable da a om p ecise obse a ions and he possibili y o making ealis ic compu a ional
simula ions o he supe luid dynamics. This la e ea u e is c ucial o accoun o he obse ed
low momen o ine ia and o he cooling down o he neu on s a . I also allows us o unde s-
and he ex ao dina ily egula o a ion o pulsa s o e en hei obse ed, sudden speed-ups
(gli ches). Hyd odynamical models including he coupling o a no mal luid and a supe luid, o
wo coupled supe luids (neu onic supe luid and p o onic supe conduc o ) a e being used o
ind dynamical ins abili ies ha could explain he as onomical obse a ions. Ou wo k belongs
o he la e g oup and models he mac oscopic s uc u e o he ou e co e, wi h ypical densi-
ies a ound he nuclea sa u a ion densi y and empe a u es o he o de o 108K. The coupling
be ween he wo o e lapped condensa es o e mionic pai s is due o he en ainmen o neu on
and p o ons, which esul s om he Galilean in a iance o he whole sys em. An equa ion o
s a e based on he sho ange in e ac ions be ween nucleons (Sky me ype) is assumed in o de
o he model o be consis en wi h obse a ions. The esul ing nonlinea equa ions o mo ion
a e linea ized and he modes, ob ained in he long wa eleng h egime, which allows o neglec
he p o on-elec on in e ac ion, a e analy ically de i ed as a unc ion o he nuclea ma e den-
si y. Compa ison be ween he analy ical p edic ions and nume ical simula ions o he o iginal
nonlina equa ions a e made, and ela ions wi h as onomical obse a ions a e discussed.
1
´
Indice
P e´ambulo 3
1. In oducci´on 4
2. Din´amica del ou e -co e 7
2.1. Acoplamien o po densidad y a as e no disipa i o . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Ecuaciones hid odin´amicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Es adoses aciona ios................................. 10
2.4. Relaci´on de dispe si´on y elocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Ecuaci´on de es ado del ou e -co e 14
3.1. In e acci´on e ec i a N-N. Fue zas de Sky me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Ma e ia nuclea Be a-es able . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. Acoplamien o. C´alculo p ´ac ico de la ma iz ρij 19
5. Modos longi udinales. In e p e aci´on ´ısica 21
6. Resul ados num´e icos 23
7. Discusi´on y conclusiones 27
Anexos 28
A. C i e io de Landau pa a supe luidos 28
Re e encias 29
2
P e´ambulo
Una es ella es una nube de gas ligada g a i acionalmen e y en equilib io hid os ´a ico. En el
in e io de la es ella ienen luga eacciones nuclea es que libe an una g an can idad de ene g´ıa.
La p esi´on del gas in e io a empe a u a ele ada compensa el colapso g a i a o io es ableciendo
el equilib io hid os ´a ico y ga an izando que la es ella pe manezca en la secuencia p incipal
du an e un pe iodo de iempo la go.
Cuando se ha consumido p ´ac icamen e odo el hid ´ogeno, se ompe el equilib io hid os ´a i-
co y el colapso g a i a o io empieza a domina . El esul ado es una ue e comp esi´on de la
es ella, que p oduce un aumen o de su empe a u a cen al. Es e aumen o de empe a u a
inicia la combus i´on del helio en el in e io de la es ella pa a p oduci ca bono mien as que,
en la pa e ex e na de la misma, con inua la combus i´on del hid ´ogeno. Es e p oceso combus-
i´on-comp esi´on se epi e p oduci´endose o os elemen os m´as pesados como el ox´ıgeno, el ne´on
y el silicio. Es a cadena de eacciones inaliza con la o maci´on de n´ucleos de hie o, ya que la
p oducci´on po usi´on de elemen os m´as pesados deja de se a o able ene g´e icamen e. La es-
ella adop a, como esul ado inal, una es uc u a de capas con un n´ucleo de hie o odeado po
una secuencia de capas de elemen os cada ez m´as lige os p esen ando, inalmen e, hid ´ogeno
en su capa m´as ex e na. Es a es la es uc u a inal que adop a una es ella su icien emen e
masi a. Es ellas de meno masa no llegan a almacena hie o en su in e io y inalizan con una
es uc u a simila pe o menos ica en elemen os pesados.
Cuando las eacciones nuclea es cesan, el colapso g a i acional se de end ´a si apa ece alg´un
mecanismo al e na i o a la p esi´on ´e mica u o de las eacciones nuclea es. Llega un momen o
que se alcanza una densidad an ele ada que empieza a ac ua el p incipio de ince idumb e. A
causa de la ue e comp esi´on, cada elec ´on es con inado en un min´usculo olumen de ini´endose,
de o ma no able, su posici´on. De acue do con el p incipio de ince idumb e, el momen o de
los elec ones no queda bien de e minado. ´
Es os, animados a mo e se muy ´apidamen e, dan
o igen a un nue o ipo de ue za de p esi´on llamada p esi´on de degene aci´on. Es a ue za es
p´u amen e cu´an ica y iene su o igen en el p incipio de exclusi´on de Pauli. Es e mecanismo de
enado del colapso es e icien e si la masa de la es ella que es ´a siendo comp imida no supe a
un cie o umb al llamado masa de Chand asekha (≈1,44MJ). Po lo an o, la p esi´on de
degene aci´on es la que es abiliza a las enanas blancas con masas in e io es a es a masa c ´ı ica.
En el caso de es ellas con masas mayo es a 10MJ, los elec ones se ´an incapaces de ena el
colapso y con inua ´a la con acci´on. Llega un pun o en que las condiciones cen ales de densidad
y empe a u a son an ex emas que los n´ucleos de hie o se disocian en sus cons i uyen es
y, pa alelamen e, se a o ece la cap u a elec ´onica po pa e de los p o ones del medio que
han sido descon inados. El colapso se e acele ado po es e hecho y con inua ´a has a alcanza
(en el co e) unas densidades del o den de la densidad de sa u aci´on nuclea (0.16 m−3=
2.7x1014g/cm3). En es a si uaci´on el co e de la es ella es un gas de nucleones degene ados cuya
p esi´on de degene aci´on o ece una esis encia a la con acci´on g a i acional. Es a esis encia
gene a una onda de choque que con e i ´a el colapso g a i a o io en una explosi´on supe no a
que expulsa iolen amen e ma e ia es ela al espacio quedando en el cen o un emanen e
denso. Es e emanen e puede equilib a la p esi´on g a i a o ia con la p esi´on de degene aci´on
nuclea si su masa es in e io a 2MJ(l´ımi e de Tolman-Oppenheime -Volko ) o m´andose una
es ella de neu ones. Es os obje os ienen un adio ´ıpico de 10 Km y masas de 1,44 −2MJ.
Los esul ados obse acionales sugie en que la es ella de neu ones puede o ma se a pa i
de explosiones supe no a de es ellas de masasa has a 20MJ. Pa a es ellas m´as masi as,
el emanen e despu´es de la explosi´on es mayo a 2MJy la p esi´on de degene aci´on de los
nucleones no puede e i a el colapso g a i acional del emanen e que e mina ´a con i i´endose
en un aguje o neg o.
Podemos dis ingui 3 (quiz´as 4) egiones p incipales en el in e io de las es ellas de neu-
3

ones: el ou e c us , el inne c us y el co e (pudi´endose dis ingui en e ou e co e einne
co e). Has a densidades ≈6x10−11 m−3la ma e ia es ´a o mada po ´a omos de hie o dis-
ibuidos a lo la go de una ed a in de minimiza la ene g´ıa coulombiana del sis ema. Pa a
densidades mayo es pe o po debajo de ≈2.5x10−4 m−3los ´a omos se ionizan y se o ma una
ed de n´ucleos (cada ez m´as icos en neu ones debido a las cap u as elec ´onicas y a las de-
sin eg aciones be a in e sas) inme sos en un gas de elec ones lib es ela i is as (ou e c us ).
Si oda ´ıa aumen amos m´as la densidad, los n´ucleos de la ed se ´an incapaces de sopo a el
aumen o con inuo de neu ones y comenza ´an a cede los al con inuo (neu on d ip). Tend emos
pues una ed de n´ucleos odeada de un gas mix o de neu ones y elec ones (inne c us ). Los
ag egados nuclea es empiezan a ompe se pa a densidades ≈0.1 m−3. Pa a es a densidad, al
sis ema le esul a m´as a o able ene g´e icamen e des ui la ed de n´ucleos y homogeneiza se
o mando un luido homog´eneo de neu ones, p o ones y elec ones en equilib io be a (ou e
co e). Tambi´en es posible la apa ici´on de muones en el sis ema si la densidad es lo su icien-
emen e ele ada como pa a que el canal que los p oduce sea posible ene g´e icamen e. En la
egi´on in e na de la es ella de neu ones (inne co e) las densidades pueden sob epasa con
c eces el iple de la densidad de sa u aci´on nuclea , ango de acep aci´on del modelo npeµ. Pa a
es as densidades an ele adas es posible ene g´e icamen e la apa ici´on de oda una colecci´on de
hipe ones (Λ,Σ+, e c...), el descon inamien o de los qua ks, e c...
1. In oducci´on
Poco iempo despu´es del ad enimien o de la eo ´ıa cu´an ica y del descub imien o del
neu ´on, W. Baade y F. Zwicky [7] p edije on la apa ici´on de una es ella de neu ones co-
mo e apa inal de una es ella masi a como esul ado de una explosi´on supe no a. Sin emba go,
hubo que espe a es d´ecadas pa a egis a se las p ime as obse aciones as on´omicas que
p opo ciona on candida os plausibles coinciden es con ales p edicciones. Dichas obse aciones
inie on de la mano de A. Hewish y J. Bell [8] as de ec a una se˜nal de adio p oducida
po la o aci´on ´apida y egula de una es ella de neu ones, un p´ulsa , en pa icula el PSR
B1919+21.
Hoy en d´ıa, se han de ec ado a ios miles de es ellas de neu ones y se es ´a ealizando un
g an es ue zo en plan ea es icciones p ecisas en los modelos que desc iben su na u ale-
za y es uc u a. Las densidades ex emas (del o den de la densidad de sa u aci´on nuclea
ρ0=2.7x1014g/cm3), las al as empe a u as ( ´ıpicamen e ∼108K) y las ele adas ecuencias
de o aci´on (cien os de Hz), se combinan pa a da luga a un sis ema ´ısico ex ao dina io -la
es ella de neu ones-, de unos 10 Km de adio y masas de ∼2MJque ´unicamen e puede se
desc i o den o del ma co de la mec´anica cu´an ica y de la eo ´ıa ela i is a. Algunos a˜nos an es
de la obse aci´on del p ime p´ulsa , y siguiendo la analog´ıa con los pa es de elec ones (pa es
de Coope ) en supe conduc o es pa a analiza la in luencia de la supe luidez en los espec os
de ene g´ıa y el momen o de ine cia de los n´ucleos, A. Migdal [9] se˜nal´o que la supe luidez de
la ma e ia nuclea pod ´ıa mani es a se como un en´omeno mac osc´opico si exis en es ellas de
neu ones. La eo ´ıa co espondien e comenz´o a desa olla se po V.L Ginzbu g y D. A. Ki zh-
ni s [10] al da se cuen a de que la in e acci´on en e dos neu ones en un es ado de single e es
a ac i a pa a momen os al ededo de la supe icie de Fe mi, y como consecuencia, de acue do
con la eo ´ıa BCS, el gas de Fe mi neu ´onico puede educi su ene g´ıa median e el empa eja-
mien o de neu ones ( o mando bosones) y acaba su iendo la condensaci´on de Bose Eins ein
po debajo de una cie a empe a u a c ´ı ica. En es as condiciones, se espe a que en el in e io
de las es ellas de neu ones exis an neu ones supe luidos en el es ado 1S0en la pa e in e io
de la co eza y en el es ado 3PF2en la pa e ex e io del co e, a densidades mayo es que la
de sa u aci´on (Fig. 2 de [6]). Tambi´en se espe a que exis an p o ones supe conduc o es en el
es ado 1S0, debido a su peque˜na concen aci´on y po an o baja densidad, en la pa e ex e io
4
del co e [2]. El apa eamien o neu ´on-p o ´on se ´ıa, en p incipio, posible, pe o es ´a des a o ecido
debido al bajo con enido de p o ones [3]. En el in e io de las es ellas de neu ones exis en
ambi´en elec ones, que ga an izan la neu alidad de ca ga pe o que no se encuen an o mando
pa es ya que su empe a u a c ´ı ica (∼200Ken supe conduc o es e es es) es mucho meno
que la empe a u a de 107−108Kexis en e en el in e io de las es ellas de neu ones.
La di e encia esencial en e un supe luido y un luido no mal es que el supe luido es ´a lib e
de iscosidad y es localmen e i o acional. Es a p opiedad queda, sin emba go, compensada
po la posibilidad de que el supe luido es ´e a a esado po ´o ices cuan izados que, a escala
mac osc´opica, simulan el compo amien o o acional de los luidos o dina ios.
Los e ec os de supe luidez y supe conduc i idad en es ellas de neu ones pueden pone se de
mani ies o en es escena ios dis in os: i) obse aciones elacionadas con el en iamien o de
es ellas de neu ones [4-7], ii) en´omenos de gli ches de ec ados en es ellas de neu ones en
o aci´on [8-11], iii) oscilaciones es ela es y modos colec i os en la ma e ia [12-16].
Un e en o impo an e pa a el es udio del en iamien o de es ellas de neu ones es el p opo -
cionado po Casiopea A, que es el emanen e de una es ella de neu ones que explo ´o hace 330
a˜nos y que es ´a si uada a 11.000 a˜nos luz de la Tie a. Es a es ella de neu ones es la m´as jo en
que se conoce y es la p ime a cuyo en iamien o ha sido obse ado di ec amen e. Los esul ados
obse acionales pa ecen indica que su empe a u a ha dec ecido unos pocos po cien o desde
su descub imien o en 1999. De con i ma se es a asa de dec ecimien o, su desc ipci´on e´o ica
eque i ´ıa la exis encia de neu ones supe luidos que no son comple amen e necesa ios pa a
explica el en iamien o de o as es ellas de neu ones m´as madu as cuya asa de dec ecimien-
o de la empe a u a es conocida [17].
Los adiop´ulsa es con pe ´ıodos de milisegundos mues an una es abilidad excepcional siendo
uno de los elojes m´as p ecisos del uni e so i alizando con los elojes a ´omicos. Mien as que
en la mayo ´ıa de es os obje os se obse a un dec ecimien o de la o aci´on debido a la emisi´on
elec omagn´e ica y al ez de ondas g a i acionales, muchos p´ulsa es mues an aumen os b us-
cos de su ecuencia de o aci´on (∆Ω/Ω en e 10−9y 10−5) acompa˜nados de un la go iempo de
elajaci´on. Es e en´omeno se conoce con el nomb e de gli ches. Has a la echa se han de ec ado
482 gli ches en 160 p´ulsa es. Inmedia amen e despu´es de los descub imien os de los p´ulsa es de
Vela yCang ejo en 1969, se sugie en di e sos mecanismos pa a explica los gli ches. El modelo
es ´anda de gli ches [26] supone que el in e io de las es ellas de neu ones es supe luido.
En la pa e in e na de la co eza, los neu ones es ´an acoplados d´ebilmen e con las pa ´ıculas
ca gadas mien as que los neu ones del co e es ´an ue emen e acoplados al co e de modo que
no pa icipan en el gli ch. En es as condiciones el en´omeno de los gli ches puede desc ibi se
median e anclajes y desanclajes de los ´o ices, que se gene an en la o aci´on inducida en los
neu ones supe luidos, a las ca gas posi i as de la co eza in e io . Sin emba go, se ha mos ado
que los neu ones supe luidos en la co eza in e io no con ienen su icien e momen o angula
pa a explica los gli ches gigan es, ya que se igno an los e ec os del sca e ing de B agg [26].
Es os esul ados sugie en que el co e supe luido pod ´ıa juga ambi´en un papel en el en´omeno
de los gli ches.
La hid odin´amica de los co es supe luidos de es ellas de neu ones puede desc ibi se en ´e mi-
nos de un modelo de dos luidos, uno de los cuales co esponde a los neu ones y el o o
ep esen a el es o de los cons i uyen es (clus e s en el c us , p o ones, elec ones, e c...). Es e
modelo inco po a ambi´en los e ec os de a as e que implican que el momen o de uno de los
cons i uyen es anspo a pa e de la masa del o o cons i uyen e. Median e es e m´e odo pue-
den es udia se dis in os modos de oscilaci´on de es ellas de neu ones [25], modos colec i os de
ma e ia y gli ches en es ellas de neu ones en o aci´on [15].
En es e abajo nos cen amos en el es udio de las ecuaciones din´amicas de dos supe luidos
que es ´an acoplados debido al e ec o de a as e. Es e es udio se ealiza en el l´ımi e de lon-
gi ud de onda la ga y baja ecuencia, en la cual la neu alidad de ca ga se man iene y no
5
hay co ien es el´ec icas. F´ısicamen e co esponde al caso en que las ecuencias son peque˜nas
compa adas con las del plasma de elec ones y las longi udes de onda la gas compa adas con la
longi ud de apan allamien o de Debye pa a los elec ones. La ap oximaci´on hid odin´amica im-
plica que la ecuencia es m´as peque˜na que la in e sa del iempo de elajaci´on de los elec ones
debida a las colisiones. El c´alculo se ealiza en un sis ema de e e encia ine cial de modo que
las ue zas cen ´ı ugas y de Co iolis no apa ecen de modo expl´ıci o. Resol emos las ecuaciones
hid odin´amicas de los supe luidos acoplados po el ´e mino de a as e suponiendo una pe u -
baci´on de ipo onda plana que a ec a a las densidades y a los momen os de los dos condensados.
La soluci´on de es e p oblema equie e conoce las densidades no pe u badas que, en nues o
caso, co esponden a las densidades de neu ones y p o ones en equilib io be a calculadas con
la ue za nuclea e ec i a de Sky me SLy4. La misma in e acci´on se u iliza pa a calcula los
coe icien es de a as e siguiendo el m´e odo p opues o en la e e encia [2].
El abajo se o ganiza en 7 secciones. La secci´on 2 empieza de iniendo algunas can idades que
necesi a emos pa a el a amien o hid odin´amico de un supe luido con dos componen es que
ocupa el ou e -co e. Con inua p esen ando las ecuaciones que igen la din´amica de cada una
de las dos componen es en es a egi´on de la es ella de neu ones. Da una ece a de c´omo
calcula can idades e modin´amicas del sis ema a pa i de una ecuaci´on de es ado dada pa a
el ou e -co e. Ca ac e iza los es ados es aciona ios del sis ema y se de i an anal´ı icamen e los
modos de longi ud de onda la ga. La secci´on 3 p esen a la ecuaci´on de es ado del sis ema y
el p oblema de la be a es abilidad. En la secci´on 4 se explica un p ocedimien o p ´ac ico pa a
esol e el acoplamien o en densidad en e las dos componen es. En la secci´on 5 se p esen an las
elocidades de los modos longi udinales que se de i an de nues o modelo y se discu e el com-
po amien o ´ısico del sis ema en base a ´es as. En la secci´on 6 in oducimos una pe u baci´on en
el supe luido y simulamos su din´amica. Se cie a la secci´on haciendo un an´alisis compa a i o
de los esul ados num´e icos ob enidos con los esul ados anal´ı icos del modelo. Finalmen e, se
discu en b e emen e las conclusiones del abajo en la secci´on 7.
6
2. Din´amica del ou e -co e
La mayo ´ıa de la bibliog a ´ıa que es udia el co e de las es ellas de neu ones supone que es ´a
o mado po un luido uni o me de neu ones, p o ones y elec ones en equilib io be a, a densi-
dades ρ∼1017 kg/m3y empe a u as T∼108K (10 keV) muy ele adas. En es as condiciones
de densidad ex ema, las es ellas de neu ones pueden se conside adas como obje os ex ao -
dina iamen e ´ıos en compa aci´on con la empe a u a equi alen e de los ni eles de Fe mi de
sus componen es TF∼100 MeV. La longi ud de onda ´e mica de B oglie de los nucleones es
in e samen e p opo cional a la a´ız cuad ada de la empe a u a, λdB =h/√2πmkBT, mien as
que la dis ancia de sepa aci´on ´ıpica en e las pa ´ıculas escala con l=ρ−1/3. Cuando es as
dos longi udes son del mismo o den, es deci cuando h/√2πmkBT∼ρ−1/3, las longi udes de
onda ca ac e ´ıs icas de las pa ´ıculas se solapan y el sis ema en a en el denominado ´egimen de
degene aci´on cu´an ico. En ales condiciones, y a e ec os de c´alculo, la empe a u a del sis ema
puede ap oxima se po T= 0 K. Es e l´ımi e se alcanza ac ualmen e de o ma casi u ina ia
en los gases ul a ´ıos, donde los condensados de Bose Eins ein pa a sis emas a ´omicos muy
diluidos son es udiados con un ele ado con ol de los pa ´ame os expe imen ales. Pe o ambi´en
en el ex emo opues o de densidades y empe a u as, como ocu e en el in e io de las es ellas
de neu ones, la degene aci´on cu´an ica se alcanza pa a l∼λdB. En es e ´egimen, la supe luidez
en neu ones y p o ones eme ge de o ma na u al si exis e alg´un mecanismo que p oduzca la
condensaci´on de Bose en ambas componen es. Dicho mecanismo es la o maci´on de pa es de
neu ones y pa es de p o ones po sepa ado (pa es de Coope ), el cu´al equie e una in e acci´on
a ac i a en e dos neu ones o dos p o ones, como de hecho ocu e en el po encial a ac i o
nucle´on-nucle´on (N-N). Es a in e acci´on con iene un ´e mino cen al que esul a a ac i o pa a
> 0,5 m y epulsi o pa a dis ancias meno es. Tambi´en depende del acoplamien o de los dos
nucleones a −→
J=−→
L+−→
S. Fijada una densidad ba i´onica o al ρ, el acoplamien o se ´a aqu´el que
minimiza la ene g´ıa del pa ga an izando la an isime ´ıa de la unci´on de onda. Consul ando el
a ´ıculo de J. A. Sauls [6], donde se discu e cu´al es el acoplamien o m´as a o able en unci´on
de la densidad, puede e se que a baja densidad (<2×1014 g/cm3) el canal m´as a ac i o es el
de onda-s(1S0), mien as que a densidad ele ada, po con a, es m´as a ac i o el canal 3PF2.
Po consiguien e, podemos conclui que a las densidades ´ıpicas del ou e -co e, los p o ones
se acoplan a 1S0mien as que los neu ones lo hacen a 3PF2.´
Es e es el pun o de pa ida de
nues o es udio.
2.1. Acoplamien o po densidad y a as e no disipa i o
Nues o sis ema cons a po an o de dos condensados de pa es e mi´onicos: uno de p o ones
(p) y o o de neu ones (n). Cada condensado es desc i o po un pa ´ame o de o den complejo
Ψj, con j=n, p que puede ep esen a se como Ψj=√njexp (2iθj), donde njes la densidad
local de pa es de la especie jy 2θjes la ase del condensado. La ase con iene la in o maci´on
din´amica del sis ema y p opo ciona el campo de momen os (o de elocidades) de cada con-
densado a pa i de la elaci´on −→
pj=~∇2θj[27]. Como consecuencia de la condensaci´on de los
pa es (bos´onicos) de Coope , el sis ema exhibe p opiedades supe luidas. La can idad ~∇θ/m
co esponde a la elocidad supe luida de los pa es, la ase es el po encial de elocidades y el
sis ema es i o acional ∇×−→
j∝∇×(∇θ) = 0.
La densidad de ene g´ıa Hpuede descompone se en la suma de dos ´e minos H=HKin +
HNuc, donde HKin es un ´e mino din´amico que depende de los g adien es de las ases, y
HNuc es un ´e mino es ´a ico que depende exclusi amene de las densidades. A su ez, el ´e mino
din´amico puede descompone se como:
HKin =~
2mX
ij
ρij∇θi∇θj,
7
3. Ecuaci´on de es ado del ou e -co e
3.1. In e acci´on e ec i a N-N. Fue zas de Sky me
La complejidad del sis ema nuclea y la imposibilidad de ob ene soluciones exac as, ya que
es o implica ´ıa acudi a la eo ´ıa undamen al (QCD), nos animan a busca al e na i as que
pe mi an ealiza c´alculos de una o ma sencilla y que puedan ep oduci da os expe imen-
ales. Una al e na i a es u iliza in e acciones enomenol´ogicas que espe en las p opiedades
de la ue za nuclea y sus sime ´ıas. Exis en di e sos ipos de in e acciones enomenol´ogicas
y odas ellas dependen de un n´ume o m´as o menos ele ado de pa ´ame os lib es que deben
ajus a se a da os expe imen ales. Un ejemplo de in e acci´on e ec i a, u ilizada ecuen emen e
po su simplicidad y su capacidad de ep oduci obse ables nuclea es (ene g´ıas de ligadu a,
adios, e c...), es la conocida ue za de Sky me. Es e ipo de in e acciones e ec i as son sencillas
de a a ma em´a icamen e debido a su alcance nulo (in e acci´on localizada ep esen ada po
unciones δ). Exis en dis in as pa ame izaciones de la ue za de Sky me en el me cado. Se
di e encian b´asicamen e en el alo de sus pa ´ame os lib es ya que ´es os se ob ienen a pa i
del ajus e a unos da os expe imen ales u o os.
Pa imos de la densidad de ene g´ıa de Sky me p opues a en [4],
HNuc =T+H0+H3+He +... (35)
donde Tes la densidad de ene g´ıa cin´e ica, H0es el ´e mino de “alcance nulo” co espon-
dien e a la in e acci´on a ac i a a dos cue pos, H3es el ´e mino “dependien e de la densidad”
que simula la in e acci´on a es cue pos y He es el ´e mino en masa e ec i a que p o iene de
la dependencia en momen o de la in e acci´on. Las exp esiones pa a los dis in os ´e minos son,
T=~2
2m(τn+τp),
H0=1
4 0[(2 + x0)ρ2−(2x0+ 1)(ρ2
p+ρ2
n)],
H3=1
24 3ρα[(2 + x3)ρ2−(2x3+ 1)(ρ2
p+ρ2
n)],
He =1
8[ 1(2 + x1) + 2(2 + x2)](τn+τp)ρ+1
8[ 2(2x2+ 1) − 1(2x1+ 1)](τpρp+τnρn),
donde ρ=ρp+ρnes la densidad o al y τq=3
5(3π2)2/3ρ5/3
qes la densidad de ene g´ıa cin´e ica
de la componen e q=n, p. Los pun os [...] en (35) indican o os ´e minos p opo cionales a
g adien es de la densidad que no con ibuyen en el caso de ma e ia nuclea (∇ρ=∇ρn=
∇ρp= 0). Los alo es de los pa ´ame os dependen del ajus e ealizado. Pa a nues o caso
escogemos la ecuaci´on de es ado SLy4 que unciona especialmen e bien pa a descibi el ou e -
co e de es ellas de neu ones. Los pa ´ame os pa a es a ue za de Sky me son: 0=−2488.91
MeV m3, 1=486.82 MeV m5, 2=−546.39 MeV m5, 3=13777.00 MeV m4,x0=0.834,
x1=−0.344, x2=−1.000, x3=1.354 y α=1/6.
14

3.2. Ma e ia nuclea Be a-es able
La ma e ia es ela que cons i uye la es ella de neu ones es ´a o mada po neu ones,
p o ones y elec ones en equilib io be a. Es o implica neu alidad local de ca ga,
ρp=ρe,(36)
y equilib io qu´ımico en e desin eg aciones β−(n→p+e−+νe) y cap u as elec ´onicas (p+e−→
n+νe). El equilib io qu´ımico implica que,
µn−µp−µe= 0,(37)
donde hemos supues o que los neu inos escapan de la es ella sin in e acciona . El po encial
qu´ımico de los elec ones, a ados como un gas ideal ul a ela i is a, iene dado po µe=
~c(3π2ρe)1/3. Los po enciales qu´ımicos de p o ones y neu ones pueden ob ene se a pa i de la
EOS (35) usando (11). Es o esul a,
µn=5
3Aρ2/3
n+ 0
2[ρn(1 −x0) + ρp(x0+ 2)]+ 3
144 −13ρ2
n(x3−1) + 2ρnρp(x3+ 20) + ρ2
p(11x3+ 25)
(ρn+ρp)5/6
+C5
3ρ2/3
n(ρn+ρp) + ρ5/3
n+ρ5/3
p+8
3Dρ5/3
n,(38)
µp=5
3Aρ2/3
p+ 0
2[ρp(1 −x0) + ρn(x0+ 2)]+ 3
144 −13ρ2
p(x3−1) + 2ρnρp(x3+ 20) + ρ2
n(11x3+ 25)
(ρn+ρp)5/6
+C5
3ρ2/3
p(ρn+ρp) + ρ5/3
n+ρ5/3
p+8
3Dρ5/3
p,(39)
donde,
A=~2
2m
3
5(3π2)2/3,
C=3
40(3π2)2/3[ 1(2 + x1) + 2(2 + x2)],
D=3
40(3π2)2/3[ 2(2x2+ 1) − 1(2x1+ 1)],
Pa a exp esa la es abilidad βen una ´unica ecuaci´on es con enien e ealiza el cambio de
a iables (ρn, ρp)→(ρ, δ), donde
δ=ρn−ρp
ρ, ρ =ρn+ρp.
En unci´on de es as nue as a iables, la condici´on de es abilidad βpa a SLy4 puede esc ibi se
como,
5
3(A+Cρ)ρ
22/3[(1 + δ)2/3−(1 −δ)2/3]− 0
2ρδ(1 + 2x0)
− 3
12(2x3+ 1)δρα+1 +8
3Dρ
25/3[(1 + δ)5/3−(1 −δ)5/3]−~c(3π2ρe)1/3= 0,(40)
pe mi iendo exp esa el equilib io βa una densidad dada en unci´on de una ´unica a iable,
la asime ´ıa δ. La soluci´on num´e ica de la ecuaci´on (40) se p esen a en la Figu a 1 en unci´on de
15
la densidad ba i´onica o al. A medida que aumen a la densidad (yendo a egiones m´as in e nas
del ou e -co e), se educe la asime ´ıa apa eciendo m´as p o ones en el sis ema. No obs an e, los
neu ones siguen apo ando p ´ac icamen e ∼90 % de la densidad o al.
Figu a 1: Asime ´ıa en unci´on de la densidad o al en equilib io be a pa a la ue za de Sky me
SLy4.
Conociendo la p opo ci´on de p o ones y neu ones pa a una densidad dada (Figu a 1), a
pa i de la ecuaci´on (12) podemos ob ene la p esi´on del sis ema en unci´on de la densidad.
Puede obse a se un aumen o p og esi o de la p esi´on con la densidad.
16
Figu a 2: P esi´on en unci´on de la densidad o al u ilizando la ue za de Sky me SLy4
Plan eado el equilib io β, pueden calcula se a pa i de la ecuaci´on de es ado o as can idades
como la ene g´ıa po pa ´ıcula, los po enciales qu´ımicos y las de i adas de es os ´ul imos (Eαβ
con {α, β =n, p}). Los esul ados se p esen an en las Figu as 3, 4 y 5 espec i amen e.
Figu a 3: Ene g´ıa po pa ´ıcula SLy4 en unci´on de la densidad o al
17
Figu a 4: Po enciales qu´ımicos de neu ones, p o ones y elec ones en unci´on de la densidad.
Sis ema en equilib io be a µn=µp+µe.
Figu a 5: Valo es de Eαβ en unci´on de la densidad o al ob enidos a pa i de SLy4. La can idad
Epp con iene la con ibuci´on elec ´onica ∂µe/∂ρeque esul a dominan e.
18
4. Acoplamien o. C´alculo p ´ac ico de la ma iz ρij
Adem´as de la in e acci´on en e p o ones y neu ones que apa ece de o ma expl´ıci a en la
ecuaci´on de es ado p opues a en la secci´on 3 (ecuaci´on (35)), hemos elacionado el momen o
de cada componen e con la co ien e de ambas componen es a a ´es de las can idades ρij
(ecuaciones (3) y (4)). El obje i o de es a secci´on es calcula la ma iz de a as e ρij siguiendo
el m´e odo de Chamel&Haensel [2], que pe mi e ob ene , de una o ma o almen e gene al, los
pa ´ame os del acoplamien o pa a l´ıquidos de Fe mi in e ac uan es en el l´ımi e de T= 0.
Las densidades ele adas de nues o sis ema ijan los ni eles de Fe mi de cada una de las com-
ponen es uno (o dos) ´o denes de magni ud po encima de los gaps de ambos supe luidos que se
espe an ∼1−3 MeV (Fig. 3 de [5]). La con ibuci´on del pai ing a la ene g´ıa o al del sis ema
es muy peque˜na y puede p escindi se del pai ing en el uncional de la ene g´ıa. A˜nadiendo a
es e hecho la si uaci´on de T→0, m´as que jus i icada en es e sis ema, es l´ıci o hace uso de la
eo ´ıa de Landau pa a l´ıquidos de Fe mi ul a ´ıos, ma co e´o ico en el que se si ´ua el m´e odo
p opues o en [2]. Den o de es e ma co, se de inen los pa ´ame os de Landau como segundas
de i adas uncionales de la densidad de ene g´ıa HNuc,
qq0(−→
k , −→
k0) = δ2HNuc
δnq(−→
k)δnq0(−→
k0)0
,(41)
donde |0indica que la a iaci´on se e al´ua en el es ado undamen al es ´a ico del sis ema (que
implica −→
jq= 0) y donde nqson las unciones de dis ibuci´on de los nucleones, elacionadas con
las densidades de cada componen es como,
ρq=Zd3k
(2π)3nq(−→
k).
Los pa ´ame os qq0juegan el papel de una cons an e ecupe ado a y dan una idea de la
elas icidad del medio en e a una a iaci´on local de la densidad de alguna de las componen es.
Como comen ´abamos en la secci´on 2, la densidad de ene g´ıa se descompone como H=HKin +
HNuc. El ´e mino es ´a ico depende ´unicamen e de las densidades de las componen es mien as
que, el ´e mino din´amico, depende de las densidades y ambi´en de los momen os (eq. (1)). El
es ado undamen al es ´a ico es es able si HKin >0. Es o signi ica que la ma iz de a as e
debe es a de inida posi i a, po lo an o,
ρnn +ρpp >0, ρ2
np < ρnnρpp.(42)
Al e na i amen e, es a condici´on de es abilidad puede exp esa se imponiendo que de [ρij]>0
yρnn, ρpp >0.
La eo ´ıa de Landau elaciona los ´e minos no diagonales ρnp de la ma iz ρij con los momen os
de Fe mi kFnykFpde neu ones y p o ones espec i amen e a a ´es del pa ´ame o de Landau
np
1co espondien e a la in e acci´on en e neu ones y p o ones con l= 1. La elaci´on es,
ρnp
m=k2
Fnk2
Fp
9π4 np
1.(43)
Pa a in e acciones de Sky me,
np
1=−kFnkFp
2h 11 + x1
2+ 21 + x2
2i.(44)
19

In oduciendo (44) en (43) y haciendo uso de kq
F= (3π2ρq)1/3ob enemos,
ρnp =αnpρnρp,(45)
donde
αnp =−m
2h 11 + x1
2+ 21 + x2
2i.(46)
Pa a la ue za SLy4 se ob iene αnp ≈ −1,566 m3y po lo an o,
ρnp ≈ −1,566ρnρp.(47)
Finalmen e la ma iz de acoplamien o,
ρij =ρnn ρnp
ρpn ρpp=ρn(1 + 1,566ρp)−1,566ρnρp
−1,566ρnρpρp(1 + 1,566ρn)(48)
donde es ´acil e que de [ρij]>0, condici´on de es abilidad del sis ema.
Figu a 6: Ma iz de a as e ρij en unci´on de la densidad.
20
5. Modos longi udinales. In e p e aci´on ´ısica
Una ez ob enida la ma iz ρij (ecuaci´on (48) y las can idades e modin´amicas Epp, Enn y
Enp (Figu a 5), las elocidades de los modos longi udinales se ob ienen de la ecuaci´on (31) y se
p esen an, en unidades de la elocidad de la luz c, en unci´on de la densidad o al de ba iones
en la Figu a 7.
Figu a 7: Velocidad de los modos longi udinales ( elocidad del sonido) en el ou e -co e de la
es ella de neu ones en unci´on de la densidad de ba iones.
Las l´ıneas s´olidas en la Figu a 7 co esponden a las dos amas ±asociadas a la oscilaci´on de
la densidad de neu ones y p o ones as pe u ba el es ado undamen al es ´a ico del sis ema,
en una si uaci´on con un pe il de densidad cons an e pa a las dos componen es en equilib io
be a. Las l´ıneas de pun os {···} co esponden a las elocidades de los modos en ausencia de
acoplamien o en e las dos componen es (ρnp = 0 y Enp = 0). Po o a pa e, las l´ıneas pun-
eadas {−·−} co esponden a las elocidades de los modos incluyendo los e ec os de Enp pe o
eliminando el en ainmen (ρnp = 0). La no aci´on sc
isigni ica “scala coupling” haciendo e e-
encia a que ´unicamen e se acoplan las componen es a a ´es de es e mecanismo. Vemos que el
en ainmen a ec a mucho m´as a los p o ones que a los neu ones, esul ado l´ogico ya que en
las ecuaciones din´amicas (8-9) emos que el ´e mino de a as e ∝ρnp/ρiyρnρp. Al “ac i-
a ” el en ainmen , la elocidad de los dos modos aumen a pe o en di e en e p opo ci´on. La
elocidad del modo asociado a los p o ones se inc emen a de o ma conside able mien as que,
la elocidad del modo asociado a los neu ones, lo hace lige amen e. Pa a densidades ele adas
(>0,20 m−3), la di e encia en e −y sc
ncomienza a se ele an e.
21
Si dispusi´e amos del espec o de exci aciones elemen ales en el supe luido (ene g´ıa de las ex-
ci aciones en unci´on del momen o de las mismas), la elocidad del sonido pod ´ıa ob ene se
como la pendien e del diag ama de dispe si´on de dichas exci aciones en el l´ımi e de k→0. No
obs an e, el a amien o hid odin´amico del sis ema ya nos si ´ua en es e l´ımi e de longi udes de
onda la gas y podemos iden i ica la ama +con la elocidad m´axima en el medio.
La ama −co esponde a la elocidad c ´ı ica del sis ema ( e Anexo A: C i e io de Landau
pa a supe luidos). La ene g´ıa m´ınima necesa ia pa a exci a el sis ema y modi ica el es ado
es aciona io en el que se encuen a es m 2
−. Una pe u baci´on con una ene g´ıa supe io a es e
umb al pod ´ıa induci co ien es en el supe luido que pod ´ıan da luga a la gene aci´on de
´o ices (o incluso soli ones) que ompie an el es ado de equilib io del sis ema.
Vemos que pa a mayo densidad, mayo es la elocidad del sonido. En gene al, so ∼p∂P/∂ρ
y emos en la Figu a 2 que la p esi´on del sis ema c ece con la densidad y, po lo an o, la
elocidad del sonido ambi´en.
Las igu as [8] y [9] nos in o man de c´omo se en a ec adas las densidades (y momen os) de las
dos componen es cuando se in oduce una peque˜na pe u baci´on en la densidad (y el momen o)
sob e el es ado undamen al es ´a ico. Vemos que cj/dj<0 pa a las dos amas y pa a odo el
´egimen de densidades. ´
Es o nos dice que la oscilaci´on de las dos componen es no es en ase
( ambi´en se e cla amen e en la igu a [9] donde γ−<0 pa a odas las densidades). En la igu a
[9] emos ambi´en que γ+≈0, dici´endonos que la ampli ud de oscilaci´on de los p o ones es, en
´e minos ela i os, mucho mayo que la de los neu ones y que, b´asicamen e, +≃cpp.
Figu a 8: Au o ec o es co espondien es a los modos longi udinales ±en unci´on de la densidad
o al de ba iones.
22
Figu a 9: ´
Angulos de mezcla en unci´on de la densidad o al de ba iones. γ+asociado a la ama
+(p o ones) y γ−asociado a la ama −(neu ones).
6. Resul ados num´e icos
Conside emos aho a las ecuaciones (6-9) comple as, es deci , sin desp ecia los ´e minos no
lineales en la pe u baci´on. Vamos a in oduci una pe u baci´on en el sis ema y amos a e
c´omo e oluciona en el iempo. El obje i o es calcula la elocidad con la que se p opaga dicha
pe u baci´on po el medio (a una densidad dada), y compa a la con la elocidad +que p edice
nues o modelo (Figu a 7). La pe u baci´on in oducida ha de se peque˜na si que emos compa a
las dos elocidades y, po lo an o, alida el modelo lineal p esen ado en es e abajo.
Conside emos una pe u baci´on con o ma gausiana que a ec e ´unicamen e a la componen e
neu ´onica. En conc e o, un de ec o pun ual en la densidad de be a-equilib io del sis ema que,
en el apa ado 2, deno ´abamos como ρ0
n. La pe u baci´on la in oducimos en el espacio de
momen os y iene una ampli ud del 1 % de la in ensidad, en no ma, espec o al alo es aciona io
con momen o nulo. Escogemos una anchu a pa a la pe u baci´on de 5 m. El pe il inicial de
densidad pa a ρ= 0,16 m−3con la pe u baci´on en la componen e neu ´onica se p esen a en
la Figu a 10.
Una ez in oducida la pe u baci´on, simulamos la e oluci´on empo al de la misma en el medio.
En la Figu a 11 emos c´omo cambia el pe il de densidad inicial con el iempo τ(que se mide en
unidades de ~/µn). Obse amos la apa ici´on de ondas al ededo del pun o donde se in odujo
la pe u baci´on y como ´es as se an di undiendo po el espacio disminuyendo su ampli ud.
El seguimien o de una de las c es as o madas (o alle) nos pe mi e calcula la elocidad de
p opagaci´on de la onda a a ´es de la elaci´on ∆x/ .
23
[18] wynn cg ho, c is obal m espinoza, danai an onopoulou and nils ande sson,
Pinning down he supe luid and nuclea equa ion o s a e and measu ing neu on s a mass
using pulsa gli ches, 14 h In e na ional Symposium on Nuclei in he Cosmos (NIC2016),
page 010805 (2017)
[19] michael obin ma hews, b ian p ande son, pc haljan, ds hall, ce wie- man,
and e ic a co nell,Vo ices in a Bose-Eins ein condensa e, Phys. Re . 83(13):2498
(1999)
[20] j . abo-shaee , c. aman, jm. ogels and wol gang ke e le,Obse a ion o
o ex la ices in Bose-Eins ein condensa es, Science 292(5516):476-479 (2001)
[21] mw. zwie lein, j . abo-shaee , a. schi o zek, ch. schunck, and w. ke - e le,
Vo ices and supe luidi y in a s ongly in e ac ing Fe mi gas, Na u e 435:1047-1051 (2005)
[22] dn. kobyako , ch is ophe j. pe hick, s. eddy and a. schwenk,Dispe sion and
decay o collec i e modes in neu on s a co es, Phys. Re . C, 96(2):025805 (2017)
[23] anessa g abe , nils ande sson and michael hogg,Neu on s a s in he labo a o y,
In e na ional Jou nal o Mode n Physics D, page 1730015 (2016)
[24] x. . shou, h. j. shulze, e, g. zhao, eng pan, j. p. d aaye ,Pai ing gaps in
neu on s a s, Phys. Re . C 70, 048802 (2004)
[25] n. ande son, g. l. come and . p ix,The supe luid wo-s eam ins abili y, Mon.
No . R. As on. Soc. 354, 101-110 (2004)
[26] nicolas chamel,Supe luidi y and Supe conduc i i y in Neu on S a s, J. As ophys.
As . 38, 43 (2017)
[27] p. w. Ande son,Conside a ions on he Flow o Supe luid Helium, Re iews o Mode n
Physics 38, 2 (1966)
[28] a. g. and ee and e. p. bashkin,Th ee- eloci y hyd odynamics o supe luid solu ions,
Zh. Eksp. Teo . Fiz. 69, 319-326 (1975)
[29] . m. kau o and a. b. kuklo and A. E. Meye o ich,D ag E ec and Topological
Complexes in S ongly In e ac ing Two-Componen La ice Supe luids, Phys. Re . Le .
95, 090403 (2005)
30