Superfluid dynamics in the outer core of neutron stars

UNIVERSIDAD DE BARCELONA UNIVERSIDAD DE SEVILLA M´ ASTER INTERUNIVERSITARIO DE F´ ISICA NUCLEAR SUPERFLUID DYNAMICS IN THE OUTER CORE OF NEUTRON STARS TESIS DE M´ ASTER AUTOR: Juan An onio Gil G anados DIRECTORES: Xa ie Vi˜nas y An onio Mu˜noz BARCELONA - ESPA˜ NA 2017 Abs ac The consensus be ween obse a ions and heo y is ha neu on s a shows a laye ed s uc- u e de e mined by an inc easing densi y and empe a u e wi h dep h. Quan um degene acy o nuclea ma e lays a he basis o he exis ence o hese exo ic objec s, and he Bose conden- sa ion o neu on and p o on pai s leads o he eme gence o supe luidi y in he s a in e io . Howe e , he p ecise equa ion o s a e o nuclea ma e unde such ex eme condi ions, ela ing i s p essu e and densi y, a e ye unknown, and many p oposals compe e o p o ide a plausible pic u e compa ible wi h he obse a ional cons ains. Cu en ly, he s udy o neu on s a s is becoming an in e disciplina y subjec which is ecei ing an inc easing a en ion due o mo e a ailable da a om p ecise obse a ions and he possibili y o making ealis ic compu a ional simula ions o he supe luid dynamics. This la e ea u e is c ucial o accoun o he obse ed low momen o ine ia and o he cooling down o he neu on s a . I also allows us o unde s- and he ex ao dina ily egula o a ion o pulsa s o e en hei obse ed, sudden speed-ups (gli ches). Hyd odynamical models including he coupling o a no mal luid and a supe luid, o wo coupled supe luids (neu onic supe luid and p o onic supe conduc o ) a e being used o ind dynamical ins abili ies ha could explain he as onomical obse a ions. Ou wo k belongs o he la e g oup and models he mac oscopic s uc u e o he ou e co e, wi h ypical densi- ies a ound he nuclea sa u a ion densi y and empe a u es o he o de o 108K. The coupling be ween he wo o e lapped condensa es o e mionic pai s is due o he en ainmen o neu on and p o ons, which esul s om he Galilean in a iance o he whole sys em. An equa ion o s a e based on he sho ange in e ac ions be ween nucleons (Sky me ype) is assumed in o de o he model o be consis en wi h obse a ions. The esul ing nonlinea equa ions o mo ion a e linea ized and he modes, ob ained in he long wa eleng h egime, which allows o neglec he p o on-elec on in e ac ion, a e analy ically de i ed as a unc ion o he nuclea ma e den- si y. Compa ison be ween he analy ical p edic ions and nume ical simula ions o he o iginal nonlina equa ions a e made, and ela ions wi h as onomical obse a ions a e discussed. 1 ´ Indice P e´ambulo 3 1. In oducci´on 4 2. Din´amica del ou e -co e 7 2.1. Acoplamien o po densidad y a as e no disipa i o . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. Ecuaciones hid odin´amicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Es adoses aciona ios................................. 10 2.4. Relaci´on de dispe si´on y elocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. Ecuaci´on de es ado del ou e -co e 14 3.1. In e acci´on e ec i a N-N. Fue zas de Sky me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2. Ma e ia nuclea Be a-es able . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4. Acoplamien o. C´alculo p ´ac ico de la ma iz ρij 19 5. Modos longi udinales. In e p e aci´on ´ısica 21 6. Resul ados num´e icos 23 7. Discusi´on y conclusiones 27 Anexos 28 A. C i e io de Landau pa a supe luidos 28 Re e encias 29 2 P e´ambulo Una es ella es una nube de gas ligada g a i acionalmen e y en equilib io hid os ´a ico. En el in e io de la es ella ienen luga eacciones nuclea es que libe an una g an can idad de ene g´ıa. La p esi´on del gas in e io a empe a u a ele ada compensa el colapso g a i a o io es ableciendo el equilib io hid os ´a ico y ga an izando que la es ella pe manezca en la secuencia p incipal du an e un pe iodo de iempo la go. Cuando se ha consumido p ´ac icamen e odo el hid ´ogeno, se ompe el equilib io hid os ´a i- co y el colapso g a i a o io empieza a domina . El esul ado es una ue e comp esi´on de la es ella, que p oduce un aumen o de su empe a u a cen al. Es e aumen o de empe a u a inicia la combus i´on del helio en el in e io de la es ella pa a p oduci ca bono mien as que, en la pa e ex e na de la misma, con inua la combus i´on del hid ´ogeno. Es e p oceso combus- i´on-comp esi´on se epi e p oduci´endose o os elemen os m´as pesados como el ox´ıgeno, el ne´on y el silicio. Es a cadena de eacciones inaliza con la o maci´on de n´ucleos de hie o, ya que la p oducci´on po usi´on de elemen os m´as pesados deja de se a o able ene g´e icamen e. La es- ella adop a, como esul ado inal, una es uc u a de capas con un n´ucleo de hie o odeado po una secuencia de capas de elemen os cada ez m´as lige os p esen ando, inalmen e, hid ´ogeno en su capa m´as ex e na. Es a es la es uc u a inal que adop a una es ella su icien emen e masi a. Es ellas de meno masa no llegan a almacena hie o en su in e io y inalizan con una es uc u a simila pe o menos ica en elemen os pesados. Cuando las eacciones nuclea es cesan, el colapso g a i acional se de end ´a si apa ece alg´un mecanismo al e na i o a la p esi´on ´e mica u o de las eacciones nuclea es. Llega un momen o que se alcanza una densidad an ele ada que empieza a ac ua el p incipio de ince idumb e. A causa de la ue e comp esi´on, cada elec ´on es con inado en un min´usculo olumen de ini´endose, de o ma no able, su posici´on. De acue do con el p incipio de ince idumb e, el momen o de los elec ones no queda bien de e minado. ´ Es os, animados a mo e se muy ´apidamen e, dan o igen a un nue o ipo de ue za de p esi´on llamada p esi´on de degene aci´on. Es a ue za es p´u amen e cu´an ica y iene su o igen en el p incipio de exclusi´on de Pauli. Es e mecanismo de enado del colapso es e icien e si la masa de la es ella que es ´a siendo comp imida no supe a un cie o umb al llamado masa de Chand asekha (≈1,44MJ). Po lo an o, la p esi´on de degene aci´on es la que es abiliza a las enanas blancas con masas in e io es a es a masa c ´ı ica. En el caso de es ellas con masas mayo es a 10MJ, los elec ones se ´an incapaces de ena el colapso y con inua ´a la con acci´on. Llega un pun o en que las condiciones cen ales de densidad y empe a u a son an ex emas que los n´ucleos de hie o se disocian en sus cons i uyen es y, pa alelamen e, se a o ece la cap u a elec ´onica po pa e de los p o ones del medio que han sido descon inados. El colapso se e acele ado po es e hecho y con inua ´a has a alcanza (en el co e) unas densidades del o den de la densidad de sa u aci´on nuclea (0.16 m−3= 2.7x1014g/cm3). En es a si uaci´on el co e de la es ella es un gas de nucleones degene ados cuya p esi´on de degene aci´on o ece una esis encia a la con acci´on g a i acional. Es a esis encia gene a una onda de choque que con e i ´a el colapso g a i a o io en una explosi´on supe no a que expulsa iolen amen e ma e ia es ela al espacio quedando en el cen o un emanen e denso. Es e emanen e puede equilib a la p esi´on g a i a o ia con la p esi´on de degene aci´on nuclea si su masa es in e io a 2MJ(l´ımi e de Tolman-Oppenheime -Volko ) o m´andose una es ella de neu ones. Es os obje os ienen un adio ´ıpico de 10 Km y masas de 1,44 −2MJ. Los esul ados obse acionales sugie en que la es ella de neu ones puede o ma se a pa i de explosiones supe no a de es ellas de masasa has a 20MJ. Pa a es ellas m´as masi as, el emanen e despu´es de la explosi´on es mayo a 2MJy la p esi´on de degene aci´on de los nucleones no puede e i a el colapso g a i acional del emanen e que e mina ´a con i i´endose en un aguje o neg o. Podemos dis ingui 3 (quiz´as 4) egiones p incipales en el in e io de las es ellas de neu- 3 ones: el ou e c us , el inne c us y el co e (pudi´endose dis ingui en e ou e co e einne co e). Has a densidades ≈6x10−11 m−3la ma e ia es ´a o mada po ´a omos de hie o dis- ibuidos a lo la go de una ed a in de minimiza la ene g´ıa coulombiana del sis ema. Pa a densidades mayo es pe o po debajo de ≈2.5x10−4 m−3los ´a omos se ionizan y se o ma una ed de n´ucleos (cada ez m´as icos en neu ones debido a las cap u as elec ´onicas y a las de- sin eg aciones be a in e sas) inme sos en un gas de elec ones lib es ela i is as (ou e c us ). Si oda ´ıa aumen amos m´as la densidad, los n´ucleos de la ed se ´an incapaces de sopo a el aumen o con inuo de neu ones y comenza ´an a cede los al con inuo (neu on d ip). Tend emos pues una ed de n´ucleos odeada de un gas mix o de neu ones y elec ones (inne c us ). Los ag egados nuclea es empiezan a ompe se pa a densidades ≈0.1 m−3. Pa a es a densidad, al sis ema le esul a m´as a o able ene g´e icamen e des ui la ed de n´ucleos y homogeneiza se o mando un luido homog´eneo de neu ones, p o ones y elec ones en equilib io be a (ou e co e). Tambi´en es posible la apa ici´on de muones en el sis ema si la densidad es lo su icien- emen e ele ada como pa a que el canal que los p oduce sea posible ene g´e icamen e. En la egi´on in e na de la es ella de neu ones (inne co e) las densidades pueden sob epasa con c eces el iple de la densidad de sa u aci´on nuclea , ango de acep aci´on del modelo npeµ. Pa a es as densidades an ele adas es posible ene g´e icamen e la apa ici´on de oda una colecci´on de hipe ones (Λ,Σ+, e c...), el descon inamien o de los qua ks, e c... 1. In oducci´on Poco iempo despu´es del ad enimien o de la eo ´ıa cu´an ica y del descub imien o del neu ´on, W. Baade y F. Zwicky [7] p edije on la apa ici´on de una es ella de neu ones co- mo e apa inal de una es ella masi a como esul ado de una explosi´on supe no a. Sin emba go, hubo que espe a es d´ecadas pa a egis a se las p ime as obse aciones as on´omicas que p opo ciona on candida os plausibles coinciden es con ales p edicciones. Dichas obse aciones inie on de la mano de A. Hewish y J. Bell [8] as de ec a una se˜nal de adio p oducida po la o aci´on ´apida y egula de una es ella de neu ones, un p´ulsa , en pa icula el PSR B1919+21. Hoy en d´ıa, se han de ec ado a ios miles de es ellas de neu ones y se es ´a ealizando un g an es ue zo en plan ea es icciones p ecisas en los modelos que desc iben su na u ale- za y es uc u a. Las densidades ex emas (del o den de la densidad de sa u aci´on nuclea ρ0=2.7x1014g/cm3), las al as empe a u as ( ´ıpicamen e ∼108K) y las ele adas ecuencias de o aci´on (cien os de Hz), se combinan pa a da luga a un sis ema ´ısico ex ao dina io -la es ella de neu ones-, de unos 10 Km de adio y masas de ∼2MJque ´unicamen e puede se desc i o den o del ma co de la mec´anica cu´an ica y de la eo ´ıa ela i is a. Algunos a˜nos an es de la obse aci´on del p ime p´ulsa , y siguiendo la analog´ıa con los pa es de elec ones (pa es de Coope ) en supe conduc o es pa a analiza la in luencia de la supe luidez en los espec os de ene g´ıa y el momen o de ine cia de los n´ucleos, A. Migdal [9] se˜nal´o que la supe luidez de la ma e ia nuclea pod ´ıa mani es a se como un en´omeno mac osc´opico si exis en es ellas de neu ones. La eo ´ıa co espondien e comenz´o a desa olla se po V.L Ginzbu g y D. A. Ki zh- ni s [10] al da se cuen a de que la in e acci´on en e dos neu ones en un es ado de single e es a ac i a pa a momen os al ededo de la supe icie de Fe mi, y como consecuencia, de acue do con la eo ´ıa BCS, el gas de Fe mi neu ´onico puede educi su ene g´ıa median e el empa eja- mien o de neu ones ( o mando bosones) y acaba su iendo la condensaci´on de Bose Eins ein po debajo de una cie a empe a u a c ´ı ica. En es as condiciones, se espe a que en el in e io de las es ellas de neu ones exis an neu ones supe luidos en el es ado 1S0en la pa e in e io de la co eza y en el es ado 3PF2en la pa e ex e io del co e, a densidades mayo es que la de sa u aci´on (Fig. 2 de [6]). Tambi´en se espe a que exis an p o ones supe conduc o es en el es ado 1S0, debido a su peque˜na concen aci´on y po an o baja densidad, en la pa e ex e io 4 del co e [2]. El apa eamien o neu ´on-p o ´on se ´ıa, en p incipio, posible, pe o es ´a des a o ecido debido al bajo con enido de p o ones [3]. En el in e io de las es ellas de neu ones exis en ambi´en elec ones, que ga an izan la neu alidad de ca ga pe o que no se encuen an o mando pa es ya que su empe a u a c ´ı ica (∼200Ken supe conduc o es e es es) es mucho meno que la empe a u a de 107−108Kexis en e en el in e io de las es ellas de neu ones. La di e encia esencial en e un supe luido y un luido no mal es que el supe luido es ´a lib e de iscosidad y es localmen e i o acional. Es a p opiedad queda, sin emba go, compensada po la posibilidad de que el supe luido es ´e a a esado po ´o ices cuan izados que, a escala mac osc´opica, simulan el compo amien o o acional de los luidos o dina ios. Los e ec os de supe luidez y supe conduc i idad en es ellas de neu ones pueden pone se de mani ies o en es escena ios dis in os: i) obse aciones elacionadas con el en iamien o de es ellas de neu ones [4-7], ii) en´omenos de gli ches de ec ados en es ellas de neu ones en o aci´on [8-11], iii) oscilaciones es ela es y modos colec i os en la ma e ia [12-16]. Un e en o impo an e pa a el es udio del en iamien o de es ellas de neu ones es el p opo - cionado po Casiopea A, que es el emanen e de una es ella de neu ones que explo ´o hace 330 a˜nos y que es ´a si uada a 11.000 a˜nos luz de la Tie a. Es a es ella de neu ones es la m´as jo en que se conoce y es la p ime a cuyo en iamien o ha sido obse ado di ec amen e. Los esul ados obse acionales pa ecen indica que su empe a u a ha dec ecido unos pocos po cien o desde su descub imien o en 1999. De con i ma se es a asa de dec ecimien o, su desc ipci´on e´o ica eque i ´ıa la exis encia de neu ones supe luidos que no son comple amen e necesa ios pa a explica el en iamien o de o as es ellas de neu ones m´as madu as cuya asa de dec ecimien- o de la empe a u a es conocida [17]. Los adiop´ulsa es con pe ´ıodos de milisegundos mues an una es abilidad excepcional siendo uno de los elojes m´as p ecisos del uni e so i alizando con los elojes a ´omicos. Mien as que en la mayo ´ıa de es os obje os se obse a un dec ecimien o de la o aci´on debido a la emisi´on elec omagn´e ica y al ez de ondas g a i acionales, muchos p´ulsa es mues an aumen os b us- cos de su ecuencia de o aci´on (∆Ω/Ω en e 10−9y 10−5) acompa˜nados de un la go iempo de elajaci´on. Es e en´omeno se conoce con el nomb e de gli ches. Has a la echa se han de ec ado 482 gli ches en 160 p´ulsa es. Inmedia amen e despu´es de los descub imien os de los p´ulsa es de Vela yCang ejo en 1969, se sugie en di e sos mecanismos pa a explica los gli ches. El modelo es ´anda de gli ches [26] supone que el in e io de las es ellas de neu ones es supe luido. En la pa e in e na de la co eza, los neu ones es ´an acoplados d´ebilmen e con las pa ´ıculas ca gadas mien as que los neu ones del co e es ´an ue emen e acoplados al co e de modo que no pa icipan en el gli ch. En es as condiciones el en´omeno de los gli ches puede desc ibi se median e anclajes y desanclajes de los ´o ices, que se gene an en la o aci´on inducida en los neu ones supe luidos, a las ca gas posi i as de la co eza in e io . Sin emba go, se ha mos ado que los neu ones supe luidos en la co eza in e io no con ienen su icien e momen o angula pa a explica los gli ches gigan es, ya que se igno an los e ec os del sca e ing de B agg [26]. Es os esul ados sugie en que el co e supe luido pod ´ıa juga ambi´en un papel en el en´omeno de los gli ches. La hid odin´amica de los co es supe luidos de es ellas de neu ones puede desc ibi se en ´e mi- nos de un modelo de dos luidos, uno de los cuales co esponde a los neu ones y el o o ep esen a el es o de los cons i uyen es (clus e s en el c us , p o ones, elec ones, e c...). Es e modelo inco po a ambi´en los e ec os de a as e que implican que el momen o de uno de los cons i uyen es anspo a pa e de la masa del o o cons i uyen e. Median e es e m´e odo pue- den es udia se dis in os modos de oscilaci´on de es ellas de neu ones [25], modos colec i os de ma e ia y gli ches en es ellas de neu ones en o aci´on [15]. En es e abajo nos cen amos en el es udio de las ecuaciones din´amicas de dos supe luidos que es ´an acoplados debido al e ec o de a as e. Es e es udio se ealiza en el l´ımi e de lon- gi ud de onda la ga y baja ecuencia, en la cual la neu alidad de ca ga se man iene y no 5 hay co ien es el´ec icas. F´ısicamen e co esponde al caso en que las ecuencias son peque˜nas compa adas con las del plasma de elec ones y las longi udes de onda la gas compa adas con la longi ud de apan allamien o de Debye pa a los elec ones. La ap oximaci´on hid odin´amica im- plica que la ecuencia es m´as peque˜na que la in e sa del iempo de elajaci´on de los elec ones debida a las colisiones. El c´alculo se ealiza en un sis ema de e e encia ine cial de modo que las ue zas cen ´ı ugas y de Co iolis no apa ecen de modo expl´ıci o. Resol emos las ecuaciones hid odin´amicas de los supe luidos acoplados po el ´e mino de a as e suponiendo una pe u - baci´on de ipo onda plana que a ec a a las densidades y a los momen os de los dos condensados. La soluci´on de es e p oblema equie e conoce las densidades no pe u badas que, en nues o caso, co esponden a las densidades de neu ones y p o ones en equilib io be a calculadas con la ue za nuclea e ec i a de Sky me SLy4. La misma in e acci´on se u iliza pa a calcula los coe icien es de a as e siguiendo el m´e odo p opues o en la e e encia [2]. El abajo se o ganiza en 7 secciones. La secci´on 2 empieza de iniendo algunas can idades que necesi a emos pa a el a amien o hid odin´amico de un supe luido con dos componen es que ocupa el ou e -co e. Con inua p esen ando las ecuaciones que igen la din´amica de cada una de las dos componen es en es a egi´on de la es ella de neu ones. Da una ece a de c´omo calcula can idades e modin´amicas del sis ema a pa i de una ecuaci´on de es ado dada pa a el ou e -co e. Ca ac e iza los es ados es aciona ios del sis ema y se de i an anal´ı icamen e los modos de longi ud de onda la ga. La secci´on 3 p esen a la ecuaci´on de es ado del sis ema y el p oblema de la be a es abilidad. En la secci´on 4 se explica un p ocedimien o p ´ac ico pa a esol e el acoplamien o en densidad en e las dos componen es. En la secci´on 5 se p esen an las elocidades de los modos longi udinales que se de i an de nues o modelo y se discu e el com- po amien o ´ısico del sis ema en base a ´es as. En la secci´on 6 in oducimos una pe u baci´on en el supe luido y simulamos su din´amica. Se cie a la secci´on haciendo un an´alisis compa a i o de los esul ados num´e icos ob enidos con los esul ados anal´ı icos del modelo. Finalmen e, se discu en b e emen e las conclusiones del abajo en la secci´on 7. 6 2. Din´amica del ou e -co e La mayo ´ıa de la bibliog a ´ıa que es udia el co e de las es ellas de neu ones supone que es ´a o mado po un luido uni o me de neu ones, p o ones y elec ones en equilib io be a, a densi- dades ρ∼1017 kg/m3y empe a u as T∼108K (10 keV) muy ele adas. En es as condiciones de densidad ex ema, las es ellas de neu ones pueden se conside adas como obje os ex ao - dina iamen e ´ıos en compa aci´on con la empe a u a equi alen e de los ni eles de Fe mi de sus componen es TF∼100 MeV. La longi ud de onda ´e mica de B oglie de los nucleones es in e samen e p opo cional a la a´ız cuad ada de la empe a u a, λdB =h/√2πmkBT, mien as que la dis ancia de sepa aci´on ´ıpica en e las pa ´ıculas escala con l=ρ−1/3. Cuando es as dos longi udes son del mismo o den, es deci cuando h/√2πmkBT∼ρ−1/3, las longi udes de onda ca ac e ´ıs icas de las pa ´ıculas se solapan y el sis ema en a en el denominado ´egimen de degene aci´on cu´an ico. En ales condiciones, y a e ec os de c´alculo, la empe a u a del sis ema puede ap oxima se po T= 0 K. Es e l´ımi e se alcanza ac ualmen e de o ma casi u ina ia en los gases ul a ´ıos, donde los condensados de Bose Eins ein pa a sis emas a ´omicos muy diluidos son es udiados con un ele ado con ol de los pa ´ame os expe imen ales. Pe o ambi´en en el ex emo opues o de densidades y empe a u as, como ocu e en el in e io de las es ellas de neu ones, la degene aci´on cu´an ica se alcanza pa a l∼λdB. En es e ´egimen, la supe luidez en neu ones y p o ones eme ge de o ma na u al si exis e alg´un mecanismo que p oduzca la condensaci´on de Bose en ambas componen es. Dicho mecanismo es la o maci´on de pa es de neu ones y pa es de p o ones po sepa ado (pa es de Coope ), el cu´al equie e una in e acci´on a ac i a en e dos neu ones o dos p o ones, como de hecho ocu e en el po encial a ac i o nucle´on-nucle´on (N-N). Es a in e acci´on con iene un ´e mino cen al que esul a a ac i o pa a > 0,5 m y epulsi o pa a dis ancias meno es. Tambi´en depende del acoplamien o de los dos nucleones a −→ J=−→ L+−→ S. Fijada una densidad ba i´onica o al ρ, el acoplamien o se ´a aqu´el que minimiza la ene g´ıa del pa ga an izando la an isime ´ıa de la unci´on de onda. Consul ando el a ´ıculo de J. A. Sauls [6], donde se discu e cu´al es el acoplamien o m´as a o able en unci´on de la densidad, puede e se que a baja densidad (<2×1014 g/cm3) el canal m´as a ac i o es el de onda-s(1S0), mien as que a densidad ele ada, po con a, es m´as a ac i o el canal 3PF2. Po consiguien e, podemos conclui que a las densidades ´ıpicas del ou e -co e, los p o ones se acoplan a 1S0mien as que los neu ones lo hacen a 3PF2.´ Es e es el pun o de pa ida de nues o es udio. 2.1. Acoplamien o po densidad y a as e no disipa i o Nues o sis ema cons a po an o de dos condensados de pa es e mi´onicos: uno de p o ones (p) y o o de neu ones (n). Cada condensado es desc i o po un pa ´ame o de o den complejo Ψj, con j=n, p que puede ep esen a se como Ψj=√njexp (2iθj), donde njes la densidad local de pa es de la especie jy 2θjes la ase del condensado. La ase con iene la in o maci´on din´amica del sis ema y p opo ciona el campo de momen os (o de elocidades) de cada con- densado a pa i de la elaci´on −→ pj=~∇2θj[27]. Como consecuencia de la condensaci´on de los pa es (bos´onicos) de Coope , el sis ema exhibe p opiedades supe luidas. La can idad ~∇θ/m co esponde a la elocidad supe luida de los pa es, la ase es el po encial de elocidades y el sis ema es i o acional ∇×−→ j∝∇×(∇θ) = 0. La densidad de ene g´ıa Hpuede descompone se en la suma de dos ´e minos H=HKin + HNuc, donde HKin es un ´e mino din´amico que depende de los g adien es de las ases, y HNuc es un ´e mino es ´a ico que depende exclusi amene de las densidades. A su ez, el ´e mino din´amico puede descompone se como: HKin =~ 2mX ij ρij∇θi∇θj, 7 3. Ecuaci´on de es ado del ou e -co e 3.1. In e acci´on e ec i a N-N. Fue zas de Sky me La complejidad del sis ema nuclea y la imposibilidad de ob ene soluciones exac as, ya que es o implica ´ıa acudi a la eo ´ıa undamen al (QCD), nos animan a busca al e na i as que pe mi an ealiza c´alculos de una o ma sencilla y que puedan ep oduci da os expe imen- ales. Una al e na i a es u iliza in e acciones enomenol´ogicas que espe en las p opiedades de la ue za nuclea y sus sime ´ıas. Exis en di e sos ipos de in e acciones enomenol´ogicas y odas ellas dependen de un n´ume o m´as o menos ele ado de pa ´ame os lib es que deben ajus a se a da os expe imen ales. Un ejemplo de in e acci´on e ec i a, u ilizada ecuen emen e po su simplicidad y su capacidad de ep oduci obse ables nuclea es (ene g´ıas de ligadu a, adios, e c...), es la conocida ue za de Sky me. Es e ipo de in e acciones e ec i as son sencillas de a a ma em´a icamen e debido a su alcance nulo (in e acci´on localizada ep esen ada po unciones δ). Exis en dis in as pa ame izaciones de la ue za de Sky me en el me cado. Se di e encian b´asicamen e en el alo de sus pa ´ame os lib es ya que ´es os se ob ienen a pa i del ajus e a unos da os expe imen ales u o os. Pa imos de la densidad de ene g´ıa de Sky me p opues a en [4], HNuc =T+H0+H3+He +... (35) donde Tes la densidad de ene g´ıa cin´e ica, H0es el ´e mino de “alcance nulo” co espon- dien e a la in e acci´on a ac i a a dos cue pos, H3es el ´e mino “dependien e de la densidad” que simula la in e acci´on a es cue pos y He es el ´e mino en masa e ec i a que p o iene de la dependencia en momen o de la in e acci´on. Las exp esiones pa a los dis in os ´e minos son, T=~2 2m(τn+τp), H0=1 4 0[(2 + x0)ρ2−(2x0+ 1)(ρ2 p+ρ2 n)], H3=1 24 3ρα[(2 + x3)ρ2−(2x3+ 1)(ρ2 p+ρ2 n)], He =1 8[ 1(2 + x1) + 2(2 + x2)](τn+τp)ρ+1 8[ 2(2x2+ 1) − 1(2x1+ 1)](τpρp+τnρn), donde ρ=ρp+ρnes la densidad o al y τq=3 5(3π2)2/3ρ5/3 qes la densidad de ene g´ıa cin´e ica de la componen e q=n, p. Los pun os [...] en (35) indican o os ´e minos p opo cionales a g adien es de la densidad que no con ibuyen en el caso de ma e ia nuclea (∇ρ=∇ρn= ∇ρp= 0). Los alo es de los pa ´ame os dependen del ajus e ealizado. Pa a nues o caso escogemos la ecuaci´on de es ado SLy4 que unciona especialmen e bien pa a descibi el ou e - co e de es ellas de neu ones. Los pa ´ame os pa a es a ue za de Sky me son: 0=−2488.91 MeV m3, 1=486.82 MeV m5, 2=−546.39 MeV m5, 3=13777.00 MeV m4,x0=0.834, x1=−0.344, x2=−1.000, x3=1.354 y α=1/6. 14 3.2. Ma e ia nuclea Be a-es able La ma e ia es ela que cons i uye la es ella de neu ones es ´a o mada po neu ones, p o ones y elec ones en equilib io be a. Es o implica neu alidad local de ca ga, ρp=ρe,(36) y equilib io qu´ımico en e desin eg aciones β−(n→p+e−+νe) y cap u as elec ´onicas (p+e−→ n+νe). El equilib io qu´ımico implica que, µn−µp−µe= 0,(37) donde hemos supues o que los neu inos escapan de la es ella sin in e acciona . El po encial qu´ımico de los elec ones, a ados como un gas ideal ul a ela i is a, iene dado po µe= ~c(3π2ρe)1/3. Los po enciales qu´ımicos de p o ones y neu ones pueden ob ene se a pa i de la EOS (35) usando (11). Es o esul a, µn=5 3Aρ2/3 n+ 0 2[ρn(1 −x0) + ρp(x0+ 2)]+ 3 144 −13ρ2 n(x3−1) + 2ρnρp(x3+ 20) + ρ2 p(11x3+ 25) (ρn+ρp)5/6 +C5 3ρ2/3 n(ρn+ρp) + ρ5/3 n+ρ5/3 p+8 3Dρ5/3 n,(38) µp=5 3Aρ2/3 p+ 0 2[ρp(1 −x0) + ρn(x0+ 2)]+ 3 144 −13ρ2 p(x3−1) + 2ρnρp(x3+ 20) + ρ2 n(11x3+ 25) (ρn+ρp)5/6 +C5 3ρ2/3 p(ρn+ρp) + ρ5/3 n+ρ5/3 p+8 3Dρ5/3 p,(39) donde, A=~2 2m 3 5(3π2)2/3, C=3 40(3π2)2/3[ 1(2 + x1) + 2(2 + x2)], D=3 40(3π2)2/3[ 2(2x2+ 1) − 1(2x1+ 1)], Pa a exp esa la es abilidad βen una ´unica ecuaci´on es con enien e ealiza el cambio de a iables (ρn, ρp)→(ρ, δ), donde δ=ρn−ρp ρ, ρ =ρn+ρp. En unci´on de es as nue as a iables, la condici´on de es abilidad βpa a SLy4 puede esc ibi se como, 5 3(A+Cρ)ρ 22/3[(1 + δ)2/3−(1 −δ)2/3]− 0 2ρδ(1 + 2x0) − 3 12(2x3+ 1)δρα+1 +8 3Dρ 25/3[(1 + δ)5/3−(1 −δ)5/3]−~c(3π2ρe)1/3= 0,(40) pe mi iendo exp esa el equilib io βa una densidad dada en unci´on de una ´unica a iable, la asime ´ıa δ. La soluci´on num´e ica de la ecuaci´on (40) se p esen a en la Figu a 1 en unci´on de 15 la densidad ba i´onica o al. A medida que aumen a la densidad (yendo a egiones m´as in e nas del ou e -co e), se educe la asime ´ıa apa eciendo m´as p o ones en el sis ema. No obs an e, los neu ones siguen apo ando p ´ac icamen e ∼90 % de la densidad o al. Figu a 1: Asime ´ıa en unci´on de la densidad o al en equilib io be a pa a la ue za de Sky me SLy4. Conociendo la p opo ci´on de p o ones y neu ones pa a una densidad dada (Figu a 1), a pa i de la ecuaci´on (12) podemos ob ene la p esi´on del sis ema en unci´on de la densidad. Puede obse a se un aumen o p og esi o de la p esi´on con la densidad. 16 Figu a 2: P esi´on en unci´on de la densidad o al u ilizando la ue za de Sky me SLy4 Plan eado el equilib io β, pueden calcula se a pa i de la ecuaci´on de es ado o as can idades como la ene g´ıa po pa ´ıcula, los po enciales qu´ımicos y las de i adas de es os ´ul imos (Eαβ con {α, β =n, p}). Los esul ados se p esen an en las Figu as 3, 4 y 5 espec i amen e. Figu a 3: Ene g´ıa po pa ´ıcula SLy4 en unci´on de la densidad o al 17 Figu a 4: Po enciales qu´ımicos de neu ones, p o ones y elec ones en unci´on de la densidad. Sis ema en equilib io be a µn=µp+µe. Figu a 5: Valo es de Eαβ en unci´on de la densidad o al ob enidos a pa i de SLy4. La can idad Epp con iene la con ibuci´on elec ´onica ∂µe/∂ρeque esul a dominan e. 18 4. Acoplamien o. C´alculo p ´ac ico de la ma iz ρij Adem´as de la in e acci´on en e p o ones y neu ones que apa ece de o ma expl´ıci a en la ecuaci´on de es ado p opues a en la secci´on 3 (ecuaci´on (35)), hemos elacionado el momen o de cada componen e con la co ien e de ambas componen es a a ´es de las can idades ρij (ecuaciones (3) y (4)). El obje i o de es a secci´on es calcula la ma iz de a as e ρij siguiendo el m´e odo de Chamel&Haensel [2], que pe mi e ob ene , de una o ma o almen e gene al, los pa ´ame os del acoplamien o pa a l´ıquidos de Fe mi in e ac uan es en el l´ımi e de T= 0. Las densidades ele adas de nues o sis ema ijan los ni eles de Fe mi de cada una de las com- ponen es uno (o dos) ´o denes de magni ud po encima de los gaps de ambos supe luidos que se espe an ∼1−3 MeV (Fig. 3 de [5]). La con ibuci´on del pai ing a la ene g´ıa o al del sis ema es muy peque˜na y puede p escindi se del pai ing en el uncional de la ene g´ıa. A˜nadiendo a es e hecho la si uaci´on de T→0, m´as que jus i icada en es e sis ema, es l´ıci o hace uso de la eo ´ıa de Landau pa a l´ıquidos de Fe mi ul a ´ıos, ma co e´o ico en el que se si ´ua el m´e odo p opues o en [2]. Den o de es e ma co, se de inen los pa ´ame os de Landau como segundas de i adas uncionales de la densidad de ene g´ıa HNuc, qq0(−→ k , −→ k0) = δ2HNuc δnq(−→ k)δnq0(−→ k0)0 ,(41) donde |0indica que la a iaci´on se e al´ua en el es ado undamen al es ´a ico del sis ema (que implica −→ jq= 0) y donde nqson las unciones de dis ibuci´on de los nucleones, elacionadas con las densidades de cada componen es como, ρq=Zd3k (2π)3nq(−→ k). Los pa ´ame os qq0juegan el papel de una cons an e ecupe ado a y dan una idea de la elas icidad del medio en e a una a iaci´on local de la densidad de alguna de las componen es. Como comen ´abamos en la secci´on 2, la densidad de ene g´ıa se descompone como H=HKin + HNuc. El ´e mino es ´a ico depende ´unicamen e de las densidades de las componen es mien as que, el ´e mino din´amico, depende de las densidades y ambi´en de los momen os (eq. (1)). El es ado undamen al es ´a ico es es able si HKin >0. Es o signi ica que la ma iz de a as e debe es a de inida posi i a, po lo an o, ρnn +ρpp >0, ρ2 np < ρnnρpp.(42) Al e na i amen e, es a condici´on de es abilidad puede exp esa se imponiendo que de [ρij]>0 yρnn, ρpp >0. La eo ´ıa de Landau elaciona los ´e minos no diagonales ρnp de la ma iz ρij con los momen os de Fe mi kFnykFpde neu ones y p o ones espec i amen e a a ´es del pa ´ame o de Landau np 1co espondien e a la in e acci´on en e neu ones y p o ones con l= 1. La elaci´on es, ρnp m=k2 Fnk2 Fp 9π4 np 1.(43) Pa a in e acciones de Sky me, np 1=−kFnkFp 2h 11 + x1 2+ 21 + x2 2i.(44) 19 In oduciendo (44) en (43) y haciendo uso de kq F= (3π2ρq)1/3ob enemos, ρnp =αnpρnρp,(45) donde αnp =−m 2h 11 + x1 2+ 21 + x2 2i.(46) Pa a la ue za SLy4 se ob iene αnp ≈ −1,566 m3y po lo an o, ρnp ≈ −1,566ρnρp.(47) Finalmen e la ma iz de acoplamien o, ρij =ρnn ρnp ρpn ρpp=ρn(1 + 1,566ρp)−1,566ρnρp −1,566ρnρpρp(1 + 1,566ρn)(48) donde es ´acil e que de [ρij]>0, condici´on de es abilidad del sis ema. Figu a 6: Ma iz de a as e ρij en unci´on de la densidad. 20 5. Modos longi udinales. In e p e aci´on ´ısica Una ez ob enida la ma iz ρij (ecuaci´on (48) y las can idades e modin´amicas Epp, Enn y Enp (Figu a 5), las elocidades de los modos longi udinales se ob ienen de la ecuaci´on (31) y se p esen an, en unidades de la elocidad de la luz c, en unci´on de la densidad o al de ba iones en la Figu a 7. Figu a 7: Velocidad de los modos longi udinales ( elocidad del sonido) en el ou e -co e de la es ella de neu ones en unci´on de la densidad de ba iones. Las l´ıneas s´olidas en la Figu a 7 co esponden a las dos amas ±asociadas a la oscilaci´on de la densidad de neu ones y p o ones as pe u ba el es ado undamen al es ´a ico del sis ema, en una si uaci´on con un pe il de densidad cons an e pa a las dos componen es en equilib io be a. Las l´ıneas de pun os {···} co esponden a las elocidades de los modos en ausencia de acoplamien o en e las dos componen es (ρnp = 0 y Enp = 0). Po o a pa e, las l´ıneas pun- eadas {−·−} co esponden a las elocidades de los modos incluyendo los e ec os de Enp pe o eliminando el en ainmen (ρnp = 0). La no aci´on sc isigni ica “scala coupling” haciendo e e- encia a que ´unicamen e se acoplan las componen es a a ´es de es e mecanismo. Vemos que el en ainmen a ec a mucho m´as a los p o ones que a los neu ones, esul ado l´ogico ya que en las ecuaciones din´amicas (8-9) emos que el ´e mino de a as e ∝ρnp/ρiyρnρp. Al “ac i- a ” el en ainmen , la elocidad de los dos modos aumen a pe o en di e en e p opo ci´on. La elocidad del modo asociado a los p o ones se inc emen a de o ma conside able mien as que, la elocidad del modo asociado a los neu ones, lo hace lige amen e. Pa a densidades ele adas (>0,20 m−3), la di e encia en e −y sc ncomienza a se ele an e. 21 Si dispusi´e amos del espec o de exci aciones elemen ales en el supe luido (ene g´ıa de las ex- ci aciones en unci´on del momen o de las mismas), la elocidad del sonido pod ´ıa ob ene se como la pendien e del diag ama de dispe si´on de dichas exci aciones en el l´ımi e de k→0. No obs an e, el a amien o hid odin´amico del sis ema ya nos si ´ua en es e l´ımi e de longi udes de onda la gas y podemos iden i ica la ama +con la elocidad m´axima en el medio. La ama −co esponde a la elocidad c ´ı ica del sis ema ( e Anexo A: C i e io de Landau pa a supe luidos). La ene g´ıa m´ınima necesa ia pa a exci a el sis ema y modi ica el es ado es aciona io en el que se encuen a es m 2 −. Una pe u baci´on con una ene g´ıa supe io a es e umb al pod ´ıa induci co ien es en el supe luido que pod ´ıan da luga a la gene aci´on de ´o ices (o incluso soli ones) que ompie an el es ado de equilib io del sis ema. Vemos que pa a mayo densidad, mayo es la elocidad del sonido. En gene al, so ∼p∂P/∂ρ y emos en la Figu a 2 que la p esi´on del sis ema c ece con la densidad y, po lo an o, la elocidad del sonido ambi´en. Las igu as [8] y [9] nos in o man de c´omo se en a ec adas las densidades (y momen os) de las dos componen es cuando se in oduce una peque˜na pe u baci´on en la densidad (y el momen o) sob e el es ado undamen al es ´a ico. Vemos que cj/dj<0 pa a las dos amas y pa a odo el ´egimen de densidades. ´ Es o nos dice que la oscilaci´on de las dos componen es no es en ase ( ambi´en se e cla amen e en la igu a [9] donde γ−<0 pa a odas las densidades). En la igu a [9] emos ambi´en que γ+≈0, dici´endonos que la ampli ud de oscilaci´on de los p o ones es, en ´e minos ela i os, mucho mayo que la de los neu ones y que, b´asicamen e, +≃cpp. Figu a 8: Au o ec o es co espondien es a los modos longi udinales ±en unci´on de la densidad o al de ba iones. 22 Figu a 9: ´ Angulos de mezcla en unci´on de la densidad o al de ba iones. γ+asociado a la ama +(p o ones) y γ−asociado a la ama −(neu ones). 6. Resul ados num´e icos Conside emos aho a las ecuaciones (6-9) comple as, es deci , sin desp ecia los ´e minos no lineales en la pe u baci´on. Vamos a in oduci una pe u baci´on en el sis ema y amos a e c´omo e oluciona en el iempo. El obje i o es calcula la elocidad con la que se p opaga dicha pe u baci´on po el medio (a una densidad dada), y compa a la con la elocidad +que p edice nues o modelo (Figu a 7). La pe u baci´on in oducida ha de se peque˜na si que emos compa a las dos elocidades y, po lo an o, alida el modelo lineal p esen ado en es e abajo. Conside emos una pe u baci´on con o ma gausiana que a ec e ´unicamen e a la componen e neu ´onica. En conc e o, un de ec o pun ual en la densidad de be a-equilib io del sis ema que, en el apa ado 2, deno ´abamos como ρ0 n. La pe u baci´on la in oducimos en el espacio de momen os y iene una ampli ud del 1 % de la in ensidad, en no ma, espec o al alo es aciona io con momen o nulo. Escogemos una anchu a pa a la pe u baci´on de 5 m. El pe il inicial de densidad pa a ρ= 0,16 m−3con la pe u baci´on en la componen e neu ´onica se p esen a en la Figu a 10. Una ez in oducida la pe u baci´on, simulamos la e oluci´on empo al de la misma en el medio. En la Figu a 11 emos c´omo cambia el pe il de densidad inicial con el iempo τ(que se mide en unidades de ~/µn). Obse amos la apa ici´on de ondas al ededo del pun o donde se in odujo la pe u baci´on y como ´es as se an di undiendo po el espacio disminuyendo su ampli ud. El seguimien o de una de las c es as o madas (o alle) nos pe mi e calcula la elocidad de p opagaci´on de la onda a a ´es de la elaci´on ∆x/ . 23 [18] wynn cg ho, c is obal m espinoza, danai an onopoulou and nils ande sson, Pinning down he supe luid and nuclea equa ion o s a e and measu ing neu on s a mass using pulsa gli ches, 14 h In e na ional Symposium on Nuclei in he Cosmos (NIC2016), page 010805 (2017) [19] michael obin ma hews, b ian p ande son, pc haljan, ds hall, ce wie- man, and e ic a co nell,Vo ices in a Bose-Eins ein condensa e, Phys. Re . 83(13):2498 (1999) [20] j . abo-shaee , c. aman, jm. ogels and wol gang ke e le,Obse a ion o o ex la ices in Bose-Eins ein condensa es, Science 292(5516):476-479 (2001) [21] mw. zwie lein, j . abo-shaee , a. schi o zek, ch. schunck, and w. ke - e le, Vo ices and supe luidi y in a s ongly in e ac ing Fe mi gas, Na u e 435:1047-1051 (2005) [22] dn. kobyako , ch is ophe j. pe hick, s. eddy and a. schwenk,Dispe sion and decay o collec i e modes in neu on s a co es, Phys. Re . C, 96(2):025805 (2017) [23] anessa g abe , nils ande sson and michael hogg,Neu on s a s in he labo a o y, In e na ional Jou nal o Mode n Physics D, page 1730015 (2016) [24] x. . shou, h. j. shulze, e, g. zhao, eng pan, j. p. d aaye ,Pai ing gaps in neu on s a s, Phys. Re . C 70, 048802 (2004) [25] n. ande son, g. l. come and . p ix,The supe luid wo-s eam ins abili y, Mon. No . R. As on. Soc. 354, 101-110 (2004) [26] nicolas chamel,Supe luidi y and Supe conduc i i y in Neu on S a s, J. As ophys. As . 38, 43 (2017) [27] p. w. Ande son,Conside a ions on he Flow o Supe luid Helium, Re iews o Mode n Physics 38, 2 (1966) [28] a. g. and ee and e. p. bashkin,Th ee- eloci y hyd odynamics o supe luid solu ions, Zh. Eksp. Teo . Fiz. 69, 319-326 (1975) [29] . m. kau o and a. b. kuklo and A. E. Meye o ich,D ag E ec and Topological Complexes in S ongly In e ac ing Two-Componen La ice Supe luids, Phys. Re . Le . 95, 090403 (2005) 30