Superfluid dynamics in the outer core of neutron stars

UNIVERSIDAD DE BARCELONA UNIVERSIDAD DE SEVILLA M´ ASTER INTERUNIVERSITARIO DE F´ ISICA NUCLEAR SUPERFLUID DYNAMICS IN THE OUTER CORE OF NEUTRON STARS TESIS DE M´ ASTER AUTOR: Juan Antonio Gil Granados DIRECTORES: Xavier Vi˜nas y Antonio Mu˜noz BARCELONA - ESPA˜ NA 2017 Abstract The consensus between observations and theory is that neutron star shows a layered structure determined by an increasing density and temperature with depth. Quantum degeneracy of nuclear matter lays at the basis of the existence of these exotic objects, and the Bose condensation of neutron and proton pairs leads to the emergence of superfluidity in the star interior. However, the precise equation of state of nuclear matter under such extreme conditions, relating its pressure and density, are yet unknown, and many proposals compete to provide a plausible picture compatible with the observational constrains. Currently, the study of neutron stars is becoming an interdisciplinary subject which is receiving an increasing attention due to more available data from precise observations and the possibility of making realistic computational simulations of the superfluid dynamics. This latter feature is crucial to account for the observed low moment of inertia and for the cooling down of the neutron star. It also allows us to understand the extraordinarily regular rotation of pulsars or even their observed, sudden speed-ups (glitches). Hydrodynamical models including the coupling of a normal fluid and a superfluid, or two coupled superfluids (neutronic superfluid and protonic superconductor) are being used to find dynamical instabilities that could explain the astronomical observations. Our work belongs to the latter group and models the macroscopic structure of the outer core, with typical densities around the nuclear saturation density and temperatures of the order of 108K. The coupling between the two overlapped condensates of fermionic pairs is due to the entrainment of neutron and protons, which results from the Galilean invariance of the whole system. An equation of state based on the short range interactions between nucleons (Skyrme type) is assumed in order for the model to be consistent with observations. The resulting nonlinear equations of motion are linearized and the modes, obtained in the long wavelength regime, which allows to neglect the proton-electron interaction, are analytically derived as a function of the nuclear matter density. Comparison between the analytical predictions and numerical simulations of the original nonlinar equations are made, and relations with astronomical observations are discussed. 1 ´ Indice Pre´ambulo 3 1. Introducci´on 4 2. Din´amica del outer-core 7 2.1. Acoplamiento por densidad y arrastre no disipativo . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. Ecuaciones hidrodin´amicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Estadosestacionarios................................. 10 2.4. Relaci´on de dispersi´on y velocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. Ecuaci´on de estado del outer-core 14 3.1. Interacci´on efectiva N-N. Fuerzas de Skyrme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2. Materia nuclear Beta-estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4. Acoplamiento. C´alculo pr´actico de la matriz ρij 19 5. Modos longitudinales. Interpretaci´on f´ısica 21 6. Resultados num´ericos 23 7. Discusi´on y conclusiones 27 Anexos 28 A. Criterio de Landau para superfluidos 28 Referencias 29 2 Pre´ambulo Una estrella es una nube de gas ligada gravitacionalmente y en equilibrio hidrost´atico. En el interior de la estrella tienen lugar reacciones nucleares que liberan una gran cantidad de energ´ıa. La presi´on del gas interior a temperatura elevada compensa el colapso gravitatorio estableciendo el equilibrio hidrost´atico y garantizando que la estrella permanezca en la secuencia principal durante un periodo de tiempo largo. Cuando se ha consumido pr´acticamente todo el hidr´ogeno, se rompe el equilibrio hidrost´atico y el colapso gravitatorio empieza a dominar. El resultado es una fuerte compresi´on de la estrella, que produce un aumento de su temperatura central. Este aumento de temperatura inicia la combusti´on del helio en el interior de la estrella para producir carbono mientras que, en la parte externa de la misma, continua la combusti´on del hidr´ogeno. Este proceso combusti´on-compresi´on se repite produci´endose otros elementos m´as pesados como el ox´ıgeno, el ne´on y el silicio. Esta cadena de reacciones finaliza con la formaci´on de n´ucleos de hierro, ya que la producci´on por fusi´on de elementos m´as pesados deja de ser favorable energ´eticamente. La estrella adopta, como resultado final, una estructura de capas con un n´ucleo de hierro rodeado por una secuencia de capas de elementos cada vez m´as ligeros presentando, finalmente, hidr´ogeno en su capa m´as externa. Esta es la estructura final que adopta una estrella suficientemente masiva. Estrellas de menor masa no llegan a almacenar hierro en su interior y finalizan con una estructura similar pero menos rica en elementos pesados. Cuando las reacciones nucleares cesan, el colapso gravitacional se detendr´a si aparece alg´un mecanismo alternativo a la presi´on t´ermica fruto de las reacciones nucleares. Llega un momento que se alcanza una densidad tan elevada que empieza a actuar el principio de incertidumbre. A causa de la fuerte compresi´on, cada electr´on es confinado en un min´usculo volumen defini´endose, de forma notable, su posici´on. De acuerdo con el principio de incertidumbre, el momento de los electrones no queda bien determinado. ´ Estos, animados a moverse muy r´apidamente, dan origen a un nuevo tipo de fuerza de presi´on llamada presi´on de degeneraci´on. Esta fuerza es p´uramente cu´antica y tiene su origen en el principio de exclusi´on de Pauli. Este mecanismo de frenado del colapso es eficiente si la masa de la estrella que est´a siendo comprimida no supera un cierto umbral llamado masa de Chandrasekhar (≈1,44MJ). Por lo tanto, la presi´on de degeneraci´on es la que estabiliza a las enanas blancas con masas inferiores a esta masa cr´ıtica. En el caso de estrellas con masas mayores a 10MJ, los electrones ser´an incapaces de frenar el colapso y continuar´a la contracci´on. Llega un punto en que las condiciones centrales de densidad y temperatura son tan extremas que los n´ucleos de hierro se disocian en sus constituyentes y, paralelamente, se favorece la captura electr´onica por parte de los protones del medio que han sido desconfinados. El colapso se ve acelerado por este hecho y continuar´a hasta alcanzar (en el core) unas densidades del orden de la densidad de saturaci´on nuclear (0.16 fm−3= 2.7x1014g/cm3). En esta situaci´on el core de la estrella es un gas de nucleones degenerados cuya presi´on de degeneraci´on ofrece una resistencia a la contracci´on gravitacional. Esta resistencia genera una onda de choque que convertir´a el colapso gravitatorio en una explosi´on supernova que expulsa violentamente materia estelar al espacio quedando en el centro un remanente denso. Este remanente puede equilibrar la presi´on gravitatoria con la presi´on de degeneraci´on nuclear si su masa es inferior a 2MJ(l´ımite de Tolman-Oppenheimer-Volkov) form´andose una estrella de neutrones. Estos objetos tienen un radio t´ıpico de 10 Km y masas de 1,44 −2MJ. Los resultados observacionales sugieren que la estrella de neutrones puede formarse a partir de explosiones supernova de estrellas de masasa hasta 20MJ. Para estrellas m´as masivas, el remanente despu´es de la explosi´on es mayor a 2MJy la presi´on de degeneraci´on de los nucleones no puede evitar el colapso gravitacional del remanente que terminar´a convirti´endose en un agujero negro. Podemos distinguir 3 (quiz´as 4) regiones principales en el interior de las estrellas de neu- 3 trones: el outer crust, el inner crust y el core (pudi´endose distinguir entre outer core einner core). Hasta densidades ≈6x10−11fm−3la materia est´a formada por ´atomos de hierro distribuidos a lo largo de una red a fin de minimizar la energ´ıa coulombiana del sistema. Para densidades mayores pero por debajo de ≈2.5x10−4fm−3los ´atomos se ionizan y se forma una red de n´ucleos (cada vez m´as ricos en neutrones debido a las capturas electr´onicas y a las desintegraciones beta inversas) inmersos en un gas de electrones libres relativistas (outer crust). Si todav´ıa aumentamos m´as la densidad, los n´ucleos de la red ser´an incapaces de soportar el aumento continuo de neutrones y comenzar´an a cederlos al continuo (neutron drip). Tendremos pues una red de n´ucleos rodeada de un gas mixto de neutrones y electrones (inner crust). Los agregados nucleares empiezan a romperse para densidades ≈0.1fm−3. Para esta densidad, al sistema le resulta m´as favorable energ´eticamente destruir la red de n´ucleos y homogeneizarse formando un fluido homog´eneo de neutrones, protones y electrones en equilibrio beta (outer core). Tambi´en es posible la aparici´on de muones en el sistema si la densidad es lo suficientemente elevada como para que el canal que los produce sea posible energ´eticamente. En la regi´on interna de la estrella de neutrones (inner core) las densidades pueden sobrepasar con creces el triple de la densidad de saturaci´on nuclear, rango de aceptaci´on del modelo npeµ. Para estas densidades tan elevadas es posible energ´eticamente la aparici´on de toda una colecci´on de hiperones (Λ,Σ+, etc...), el desconfinamiento de los quarks, etc... 1. Introducci´on Poco tiempo despu´es del advenimiento de la teor´ıa cu´antica y del descubrimiento del neutr´on, W. Baade y F. Zwicky [7] predijeron la aparici´on de una estrella de neutrones como etapa final de una estrella masiva como resultado de una explosi´on supernova. Sin embargo, hubo que esperar tres d´ecadas para registrarse las primeras observaciones astron´omicas que proporcionaron candidatos plausibles coincidentes con tales predicciones. Dichas observaciones vinieron de la mano de A. Hewish y J. Bell [8] tras detectar una se˜nal de radio producida por la rotaci´on r´apida y regular de una estrella de neutrones, un p´ulsar, en particular el PSR B1919+21. Hoy en d´ıa, se han detectado varios miles de estrellas de neutrones y se est´a realizando un gran esfuerzo en plantear restricciones precisas en los modelos que describen su naturaleza y estructura. Las densidades extremas (del orden de la densidad de saturaci´on nuclear ρ0=2.7x1014g/cm3), las altas temperaturas (t´ıpicamente ∼108K) y las elevadas frecuencias de rotaci´on (cientos de Hz), se combinan para dar lugar a un sistema f´ısico extraordinario -la estrella de neutrones-, de unos 10 Km de radio y masas de ∼2MJque ´unicamente puede ser descrito dentro del marco de la mec´anica cu´antica y de la teor´ıa relativista. Algunos a˜nos antes de la observaci´on del primer p´ulsar, y siguiendo la analog´ıa con los pares de electrones (pares de Cooper) en superconductores para analizar la influencia de la superfluidez en los espectros de energ´ıa y el momento de inercia de los n´ucleos, A. Migdal [9] se˜nal´o que la superfluidez de la materia nuclear podr´ıa manifestarse como un fen´omeno macrosc´opico si existen estrellas de neutrones. La teor´ıa correspondiente comenz´o a desarrollarse por V.L Ginzburg y D. A. Kirzhnits [10] al darse cuenta de que la interacci´on entre dos neutrones en un estado de singlete es atractiva para momentos alrededor de la superficie de Fermi, y como consecuencia, de acuerdo con la teor´ıa BCS, el gas de Fermi neutr´onico puede reducir su energ´ıa mediante el emparejamiento de neutrones (formando bosones) y acabar sufriendo la condensaci´on de Bose Einstein por debajo de una cierta temperatura cr´ıtica. En estas condiciones, se espera que en el interior de las estrellas de neutrones existan neutrones superfluidos en el estado 1S0en la parte interior de la corteza y en el estado 3PF2en la parte exterior del core, a densidades mayores que la de saturaci´on (Fig. 2 de [6]). Tambi´en se espera que existan protones superconductores en el estado 1S0, debido a su peque˜na concentraci´on y por tanto baja densidad, en la parte exterior 4 del core [2]. El apareamiento neutr´on-prot´on ser´ıa, en principio, posible, pero est´a desfavorecido debido al bajo contenido de protones [3]. En el interior de las estrellas de neutrones existen tambi´en electrones, que garantizan la neutralidad de carga pero que no se encuentran formando pares ya que su temperatura cr´ıtica (∼200Ken superconductores terrestres) es mucho menor que la temperatura de 107−108Kexistente en el interior de las estrellas de neutrones. La diferencia esencial entre un superfluido y un fluido normal es que el superfluido est´a libre de viscosidad y es localmente irrotacional. Esta propiedad queda, sin embargo, compensada por la posibilidad de que el superfluido est´e atravesado por v´ortices cuantizados que, a escala macrosc´opica, simulan el comportamiento rotacional de los fluidos ordinarios. Los efectos de superfluidez y superconductividad en estrellas de neutrones pueden ponerse de manifiesto en tres escenarios distintos: i) observaciones relacionadas con el enfriamiento de estrellas de neutrones [4-7], ii) fen´omenos de glitches detectados en estrellas de neutrones en rotaci´on [8-11], iii) oscilaciones estelares y modos colectivos en la materia [12-16]. Un evento importante para el estudio del enfriamiento de estrellas de neutrones es el proporcionado por Casiopea A, que es el remanente de una estrella de neutrones que explot´o hace 330 a˜nos y que est´a situada a 11.000 a˜nos luz de la Tierra. Esta estrella de neutrones es la m´as joven que se conoce y es la primera cuyo enfriamiento ha sido observado directamente. Los resultados observacionales parecen indicar que su temperatura ha decrecido unos pocos por ciento desde su descubrimiento en 1999. De confirmarse esta tasa de decrecimiento, su descripci´on te´orica requerir´ıa la existencia de neutrones superfluidos que no son completamente necesarios para explicar el enfriamiento de otras estrellas de neutrones m´as maduras cuya tasa de decrecimien- to de la temperatura es conocida [17]. Los radiop´ulsares con per´ıodos de milisegundos muestran una estabilidad excepcional siendo uno de los relojes m´as precisos del universo rivalizando con los relojes at´omicos. Mientras que en la mayor´ıa de estos objetos se observa un decrecimiento de la rotaci´on debido a la emisi´on electromagn´etica y tal vez de ondas gravitacionales, muchos p´ulsares muestran aumentos bruscos de su frecuencia de rotaci´on (∆Ω/Ω entre 10−9y 10−5) acompa˜nados de un largo tiempo de relajaci´on. Este fen´omeno se conoce con el nombre de glitches. Hasta la fecha se han detectado 482 glitches en 160 p´ulsares. Inmediatamente despu´es de los descubrimientos de los p´ulsares de Vela yCangrejo en 1969, se sugieren diversos mecanismos para explicar los glitches. El modelo est´andar de glitches [26] supone que el interior de las estrellas de neutrones es superfluido. En la parte interna de la corteza, los neutrones est´an acoplados d´ebilmente con las part´ıculas cargadas mientras que los neutrones del core est´an fuertemente acoplados al core de modo que no participan en el glitch. En estas condiciones el fen´omeno de los glitches puede describirse mediante anclajes y desanclajes de los v´ortices, que se generan en la rotaci´on inducida en los neutrones superfluidos, a las cargas positivas de la corteza interior. Sin embargo, se ha mostrado que los neutrones superfluidos en la corteza interior no contienen suficiente momento angular para explicar los glitches gigantes, ya que se ignoran los efectos del scattering de Bragg [26]. Estos resultados sugieren que el core superfluido podr´ıa jugar tambi´en un papel en el fen´omeno de los glitches. La hidrodin´amica de los cores superfluidos de estrellas de neutrones puede describirse en t´erminos de un modelo de dos fluidos, uno de los cuales corresponde a los neutrones y el otro representa el resto de los constituyentes (clusters en el crust, protones, electrones, etc...). Este modelo incorpora tambi´en los efectos de arrastre que implican que el momento de uno de los constituyentes transporta parte de la masa del otro constituyente. Mediante este m´etodo pueden estudiarse distintos modos de oscilaci´on de estrellas de neutrones [25], modos colectivos de materia y glitches en estrellas de neutrones en rotaci´on [15]. En este trabajo nos centramos en el estudio de las ecuaciones din´amicas de dos superfluidos que est´an acoplados debido al efecto de arrastre. Este estudio se realiza en el l´ımite de longitud de onda larga y baja frecuencia, en la cual la neutralidad de carga se mantiene y no 5 hay corrientes el´ectricas. F´ısicamente corresponde al caso en que las frecuencias son peque˜nas comparadas con las del plasma de electrones y las longitudes de onda largas comparadas con la longitud de apantallamiento de Debye para los electrones. La aproximaci´on hidrodin´amica implica que la frecuencia es m´as peque˜na que la inversa del tiempo de relajaci´on de los electrones debida a las colisiones. El c´alculo se realiza en un sistema de referencia inercial de modo que las fuerzas centr´ıfugas y de Coriolis no aparecen de modo expl´ıcito. Resolvemos las ecuaciones hidrodin´amicas de los superfluidos acoplados por el t´ermino de arrastre suponiendo una perturbaci´on de tipo onda plana que afecta a las densidades y a los momentos de los dos condensados. La soluci´on de este problema requiere conocer las densidades no perturbadas que, en nuestro caso, corresponden a las densidades de neutrones y protones en equilibrio beta calculadas con la fuerza nuclear efectiva de Skyrme SLy4. La misma interacci´on se utiliza para calcular los coeficientes de arrastre siguiendo el m´etodo propuesto en la referencia [2]. El trabajo se organiza en 7 secciones. La secci´on 2 empieza definiendo algunas cantidades que necesitaremos para el tratamiento hidrodin´amico de un superfluido con dos componentes que ocupa el outer-core. Continua presentando las ecuaciones que rigen la din´amica de cada una de las dos componentes en esta regi´on de la estrella de neutrones. Da una receta de c´omo calcular cantidades termodin´amicas del sistema a partir de una ecuaci´on de estado dada para el outer-core. Caracteriza los estados estacionarios del sistema y se derivan anal´ıticamente los modos de longitud de onda larga. La secci´on 3 presenta la ecuaci´on de estado del sistema y el problema de la beta estabilidad. En la secci´on 4 se explica un procedimiento pr´actico para resolver el acoplamiento en densidad entre las dos componentes. En la secci´on 5 se presentan las velocidades de los modos longitudinales que se derivan de nuestro modelo y se discute el comportamiento f´ısico del sistema en base a ´estas. En la secci´on 6 introducimos una perturbaci´on en el superfluido y simulamos su din´amica. Se cierra la secci´on haciendo un an´alisis comparativo de los resultados num´ericos obtenidos con los resultados anal´ıticos del modelo. Finalmente, se discuten brevemente las conclusiones del trabajo en la secci´on 7. 6 2. Din´amica del outer-core La mayor´ıa de la bibliograf´ıa que estudia el core de las estrellas de neutrones supone que est´a formado por un fluido uniforme de neutrones, protones y electrones en equilibrio beta, a densidades ρ∼1017 kg/m3y temperaturas T∼108K (10 keV) muy elevadas. En estas condiciones de densidad extrema, las estrellas de neutrones pueden ser consideradas como objetos extraordinariamente fr´ıos en comparaci´on con la temperatura equivalente de los niveles de Fermi de sus componentes TF∼100 MeV. La longitud de onda t´ermica de Broglie de los nucleones es inversamente proporcional a la ra´ız cuadrada de la temperatura, λdB =h/√2πmkBT, mientras que la distancia de separaci´on t´ıpica entre las part´ıculas escala con l=ρ−1/3. Cuando estas dos longitudes son del mismo orden, es decir cuando h/√2πmkBT∼ρ−1/3, las longitudes de onda caracter´ısticas de las part´ıculas se solapan y el sistema entra en el denominado r´egimen de degeneraci´on cu´antico. En tales condiciones, y a efectos de c´alculo, la temperatura del sistema puede aproximarse por T= 0 K. Este l´ımite se alcanza actualmente de forma casi rutinaria en los gases ultrafr´ıos, donde los condensados de Bose Einstein para sistemas at´omicos muy diluidos son estudiados con un elevado control de los par´ametros experimentales. Pero tambi´en en el extremo opuesto de densidades y temperaturas, como ocurre en el interior de las estrellas de neutrones, la degeneraci´on cu´antica se alcanza para l∼λdB. En este r´egimen, la superfluidez en neutrones y protones emerge de forma natural si existe alg´un mecanismo que produzca la condensaci´on de Bose en ambas componentes. Dicho mecanismo es la formaci´on de pares de neutrones y pares de protones por separado (pares de Cooper), el cu´al requiere una interacci´on atractiva entre dos neutrones o dos protones, como de hecho ocurre en el potencial atractivo nucle´on-nucle´on (N-N). Esta interacci´on contiene un t´ermino central que resulta atractivo para r > 0,5 fm y repulsivo para distancias menores. Tambi´en depende del acoplamiento de los dos nucleones a −→ J=−→ L+−→ S. Fijada una densidad bari´onica total ρ, el acoplamiento ser´a aqu´el que minimiza la energ´ıa del par garantizando la antisimetr´ıa de la funci´on de onda. Consultando el art´ıculo de J. A. Sauls [6], donde se discute cu´al es el acoplamiento m´as favorable en funci´on de la densidad, puede verse que a baja densidad (<2×1014 g/cm3) el canal m´as atractivo es el de onda-s(1S0), mientras que a densidad elevada, por contra, es m´as atractivo el canal 3PF2. Por consiguiente, podemos concluir que a las densidades t´ıpicas del outer-core, los protones se acoplan a 1S0mientras que los neutrones lo hacen a 3PF2.´ Este es el punto de partida de nuestro estudio. 2.1. Acoplamiento por densidad y arrastre no disipativo Nuestro sistema consta por tanto de dos condensados de pares fermi´onicos: uno de protones (p) y otro de neutrones (n). Cada condensado es descrito por un par´ametro de orden complejo Ψj, con j=n, p que puede representarse como Ψj=√njexp (2iθj), donde njes la densidad local de pares de la especie jy 2θjes la fase del condensado. La fase contiene la informaci´on din´amica del sistema y proporciona el campo de momentos (o de velocidades) de cada condensado a partir de la relaci´on −→ pj=~∇2θj[27]. Como consecuencia de la condensaci´on de los pares (bos´onicos) de Cooper, el sistema exhibe propiedades superfluidas. La cantidad ~∇θ/m corresponde a la velocidad superfluida de los pares, la fase es el potencial de velocidades y el sistema es irrotacional ∇×−→ vj∝∇×(∇θ) = 0. La densidad de energ´ıa Hpuede descomponerse en la suma de dos t´erminos H=HKin + HNuc, donde HKin es un t´ermino din´amico que depende de los gradientes de las fases, y HNuc es un t´ermino est´atico que depende exclusivamene de las densidades. A su vez, el t´ermino din´amico puede descomponerse como: HKin =~ 2mX ij ρij∇θi∇θj, 7 3. Ecuaci´on de estado del outer-core 3.1. Interacci´on efectiva N-N. Fuerzas de Skyrme La complejidad del sistema nuclear y la imposibilidad de obtener soluciones exactas, ya que esto implicar´ıa acudir a la teor´ıa fundamental (QCD), nos animan a buscar alternativas que permitan realizar c´alculos de una forma sencilla y que puedan reproducir datos experimentales. Una alternativa es utilizar interacciones fenomenol´ogicas que respeten las propiedades de la fuerza nuclear y sus simetr´ıas. Existen diversos tipos de interacciones fenomenol´ogicas y todas ellas dependen de un n´umero m´as o menos elevado de par´ametros libres que deben ajustarse a datos experimentales. Un ejemplo de interacci´on efectiva, utilizada frecuentemente por su simplicidad y su capacidad de reproducir observables nucleares (energ´ıas de ligadura, radios, etc...), es la conocida fuerza de Skyrme. Este tipo de interacciones efectivas son sencillas de tratar matem´aticamente debido a su alcance nulo (interacci´on localizada representada por funciones δ). Existen distintas parametrizaciones de la fuerza de Skyrme en el mercado. Se diferencian b´asicamente en el valor de sus par´ametros libres ya que ´estos se obtienen a partir del ajuste a unos datos experimentales u otros. Partimos de la densidad de energ´ıa de Skyrme propuesta en [4], HNuc =T+H0+H3+Heff +... (35) donde Tes la densidad de energ´ıa cin´etica, H0es el t´ermino de “alcance nulo” correspondiente a la interacci´on atractiva a dos cuerpos, H3es el t´ermino “dependiente de la densidad” que simula la interacci´on a tres cuerpos y Heff es el t´ermino en masa efectiva que proviene de la dependencia en momento de la interacci´on. Las expresiones para los distintos t´erminos son, T=~2 2m(τn+τp), H0=1 4t0[(2 + x0)ρ2−(2x0+ 1)(ρ2 p+ρ2 n)], H3=1 24t3ρα[(2 + x3)ρ2−(2x3+ 1)(ρ2 p+ρ2 n)], Heff =1 8[t1(2 + x1) + t2(2 + x2)](τn+τp)ρ+1 8[t2(2x2+ 1) −t1(2x1+ 1)](τpρp+τnρn), donde ρ=ρp+ρnes la densidad total y τq=3 5(3π2)2/3ρ5/3 qes la densidad de energ´ıa cin´etica de la componente q=n, p. Los puntos [...] en (35) indican otros t´erminos proporcionales a gradientes de la densidad que no contribuyen en el caso de materia nuclear (∇ρ=∇ρn= ∇ρp= 0). Los valores de los par´ametros dependen del ajuste realizado. Para nuestro caso escogemos la ecuaci´on de estado SLy4 que funciona especialmente bien para descibir el outercore de estrellas de neutrones. Los par´ametros para esta fuerza de Skyrme son: t0=−2488.91 MeV fm3,t1=486.82 MeV fm5,t2=−546.39 MeV fm5,t3=13777.00 MeV fm4,x0=0.834, x1=−0.344, x2=−1.000, x3=1.354 y α=1/6. 14 3.2. Materia nuclear Beta-estable La materia estelar que constituye la estrella de neutrones est´a formada por neutrones, protones y electrones en equilibrio beta. Esto implica neutralidad local de carga, ρp=ρe,(36) y equilibrio qu´ımico entre desintegraciones β−(n→p+e−+νe) y capturas electr´onicas (p+e−→ n+νe). El equilibrio qu´ımico implica que, µn−µp−µe= 0,(37) donde hemos supuesto que los neutrinos escapan de la estrella sin interaccionar. El potencial qu´ımico de los electrones, tratados como un gas ideal ultrarelativista, viene dado por µe= ~c(3π2ρe)1/3. Los potenciales qu´ımicos de protones y neutrones pueden obtenerse a partir de la EOS (35) usando (11). Esto resulta, µn=5 3Aρ2/3 n+t0 2[ρn(1 −x0) + ρp(x0+ 2)]+ t3 144 −13ρ2 n(x3−1) + 2ρnρp(x3+ 20) + ρ2 p(11x3+ 25) (ρn+ρp)5/6 +C5 3ρ2/3 n(ρn+ρp) + ρ5/3 n+ρ5/3 p+8 3Dρ5/3 n,(38) µp=5 3Aρ2/3 p+t0 2[ρp(1 −x0) + ρn(x0+ 2)]+ t3 144 −13ρ2 p(x3−1) + 2ρnρp(x3+ 20) + ρ2 n(11x3+ 25) (ρn+ρp)5/6 +C5 3ρ2/3 p(ρn+ρp) + ρ5/3 n+ρ5/3 p+8 3Dρ5/3 p,(39) donde, A=~2 2m 3 5(3π2)2/3, C=3 40(3π2)2/3[t1(2 + x1) + t2(2 + x2)], D=3 40(3π2)2/3[t2(2x2+ 1) −t1(2x1+ 1)], Para expresar la estabilidad βen una ´unica ecuaci´on es conveniente realizar el cambio de variables (ρn, ρp)→(ρ, δ), donde δ=ρn−ρp ρ, ρ =ρn+ρp. En funci´on de estas nuevas variables, la condici´on de estabilidad βpara SLy4 puede escribirse como, 5 3(A+Cρ)ρ 22/3[(1 + δ)2/3−(1 −δ)2/3]−t0 2ρδ(1 + 2x0) −t3 12(2x3+ 1)δρα+1 +8 3Dρ 25/3[(1 + δ)5/3−(1 −δ)5/3]−~c(3π2ρe)1/3= 0,(40) permitiendo expresar el equilibrio βa una densidad dada en funci´on de una ´unica variable, la asimetr´ıa δ. La soluci´on num´erica de la ecuaci´on (40) se presenta en la Figura 1 en funci´on de 15 la densidad bari´onica total. A medida que aumenta la densidad (yendo a regiones m´as internas del outer-core), se reduce la asimetr´ıa apareciendo m´as protones en el sistema. No obstante, los neutrones siguen aportando pr´acticamente ∼90 % de la densidad total. Figura 1: Asimetr´ıa en funci´on de la densidad total en equilibrio beta para la fuerza de Skyrme SLy4. Conociendo la proporci´on de protones y neutrones para una densidad dada (Figura 1), a partir de la ecuaci´on (12) podemos obtener la presi´on del sistema en funci´on de la densidad. Puede observarse un aumento progresivo de la presi´on con la densidad. 16 Figura 2: Presi´on en funci´on de la densidad total utilizando la fuerza de Skyrme SLy4 Planteado el equilibrio β, pueden calcularse a partir de la ecuaci´on de estado otras cantidades como la energ´ıa por part´ıcula, los potenciales qu´ımicos y las derivadas de estos ´ultimos (Eαβ con {α, β =n, p}). Los resultados se presentan en las Figuras 3, 4 y 5 respectivamente. Figura 3: Energ´ıa por part´ıcula SLy4 en funci´on de la densidad total 17 Figura 4: Potenciales qu´ımicos de neutrones, protones y electrones en funci´on de la densidad. Sistema en equilibrio beta µn=µp+µe. Figura 5: Valores de Eαβ en funci´on de la densidad total obtenidos a partir de SLy4. La cantidad Epp contiene la contribuci´on electr´onica ∂µe/∂ρeque resulta dominante. 18 4. Acoplamiento. C´alculo pr´actico de la matriz ρij Adem´as de la interacci´on entre protones y neutrones que aparece de forma expl´ıcita en la ecuaci´on de estado propuesta en la secci´on 3 (ecuaci´on (35)), hemos relacionado el momento de cada componente con la corriente de ambas componentes a trav´es de las cantidades ρij (ecuaciones (3) y (4)). El objetivo de esta secci´on es calcular la matriz de arrastre ρij siguiendo el m´etodo de Chamel&Haensel [2], que permite obtener, de una forma totalmente general, los par´ametros del acoplamiento para l´ıquidos de Fermi interactuantes en el l´ımite de T= 0. Las densidades elevadas de nuestro sistema fijan los niveles de Fermi de cada una de las componentes uno (o dos) ´ordenes de magnitud por encima de los gaps de ambos superfluidos que se esperan ∼1−3 MeV (Fig. 3 de [5]). La contribuci´on del pairing a la energ´ıa total del sistema es muy peque˜na y puede prescindirse del pairing en el funcional de la energ´ıa. A˜nadiendo a este hecho la situaci´on de T→0, m´as que justificada en este sistema, es l´ıcito hacer uso de la teor´ıa de Landau para l´ıquidos de Fermi ultrafr´ıos, marco te´orico en el que se sit´ua el m´etodo propuesto en [2]. Dentro de este marco, se definen los par´ametros de Landau como segundas derivadas funcionales de la densidad de energ´ıa HNuc, fqq0(−→ k , −→ k0) = δ2HNuc δnq(−→ k)δnq0(−→ k0)0 ,(41) donde |0indica que la variaci´on se eval´ua en el estado fundamental est´atico del sistema (que implica −→ jq= 0) y donde nqson las funciones de distribuci´on de los nucleones, relacionadas con las densidades de cada componentes como, ρq=Zd3k (2π)3nq(−→ k). Los par´ametros fqq0juegan el papel de una constante recuperadora y dan una idea de la elasticidad del medio frente a una variaci´on local de la densidad de alguna de las componentes. Como coment´abamos en la secci´on 2, la densidad de energ´ıa se descompone como H=HKin + HNuc. El t´ermino est´atico depende ´unicamente de las densidades de las componentes mientras que, el t´ermino din´amico, depende de las densidades y tambi´en de los momentos (eq. (1)). El estado fundamental est´atico es estable si HKin >0. Esto significa que la matriz de arrastre debe estar definida positiva, por lo tanto, ρnn +ρpp >0, ρ2 np < ρnnρpp.(42) Alternativamente, esta condici´on de estabilidad puede expresarse imponiendo que det[ρij]>0 yρnn, ρpp >0. La teor´ıa de Landau relaciona los t´erminos no diagonales ρnp de la matriz ρij con los momentos de Fermi kFnykFpde neutrones y protones respectivamente a trav´es del par´ametro de Landau fnp 1correspondiente a la interacci´on entre neutrones y protones con l= 1. La relaci´on es, ρnp m=k2 Fnk2 Fp 9π4fnp 1.(43) Para interacciones de Skyrme, fnp 1=−kFnkFp 2ht11 + x1 2+t21 + x2 2i.(44) 19 Introduciendo (44) en (43) y haciendo uso de kq F= (3π2ρq)1/3obtenemos, ρnp =αnpρnρp,(45) donde αnp =−m 2ht11 + x1 2+t21 + x2 2i.(46) Para la fuerza SLy4 se obtiene αnp ≈ −1,566fm3y por lo tanto, ρnp ≈ −1,566ρnρp.(47) Finalmente la matriz de acoplamiento, ρij =ρnn ρnp ρpn ρpp=ρn(1 + 1,566ρp)−1,566ρnρp −1,566ρnρpρp(1 + 1,566ρn)(48) donde es f´acil ver que det[ρij]>0, condici´on de estabilidad del sistema. Figura 6: Matriz de arrastre ρij en funci´on de la densidad. 20 5. Modos longitudinales. Interpretaci´on f´ısica Una vez obtenida la matriz ρij (ecuaci´on (48) y las cantidades termodin´amicas Epp, Enn y Enp (Figura 5), las velocidades de los modos longitudinales se obtienen de la ecuaci´on (31) y se presentan, en unidades de la velocidad de la luz c, en funci´on de la densidad total de bariones en la Figura 7. Figura 7: Velocidad de los modos longitudinales (velocidad del sonido) en el outer-core de la estrella de neutrones en funci´on de la densidad de bariones. Las l´ıneas s´olidas en la Figura 7 corresponden a las dos ramas v±asociadas a la oscilaci´on de la densidad de neutrones y protones tras perturbar el estado fundamental est´atico del sistema, en una situaci´on con un perfil de densidad constante para las dos componentes en equilibrio beta. Las l´ıneas de puntos {···} corresponden a las velocidades de los modos en ausencia de acoplamiento entre las dos componentes (ρnp = 0 y Enp = 0). Por otra parte, las l´ıneas punteadas {−·−} corresponden a las velocidades de los modos incluyendo los efectos de Enp pero eliminando el entrainment (ρnp = 0). La notaci´on vsc isignifica “scalar coupling” haciendo referencia a que ´unicamente se acoplan las componentes a trav´es de este mecanismo. Vemos que el entrainment afecta mucho m´as a los protones que a los neutrones, resultado l´ogico ya que en las ecuaciones din´amicas (8-9) vemos que el t´ermino de arrastre ∝ρnp/ρiyρnρp. Al “activar” el entrainment, la velocidad de los dos modos aumenta pero en diferente proporci´on. La velocidad del modo asociado a los protones se incrementa de forma considerable mientras que, la velocidad del modo asociado a los neutrones, lo hace ligeramente. Para densidades elevadas (>0,20fm−3), la diferencia entre v−yvsc ncomienza a ser relevante. 21 Si dispusi´eramos del espectro de excitaciones elementales en el superfluido (energ´ıa de las excitaciones en funci´on del momento de las mismas), la velocidad del sonido podr´ıa obtenerse como la pendiente del diagrama de dispersi´on de dichas excitaciones en el l´ımite de k→0. No obstante, el tratamiento hidrodin´amico del sistema ya nos sit´ua en este l´ımite de longitudes de onda largas y podemos identificar la rama v+con la velocidad m´axima en el medio. La rama v−corresponde a la velocidad cr´ıtica del sistema (ver Anexo A: Criterio de Landau para superfluidos). La energ´ıa m´ınima necesaria para excitar el sistema y modificar el estado estacionario en el que se encuentra es mv2 −. Una perturbaci´on con una energ´ıa superior a este umbral podr´ıa inducir corrientes en el superfluido que podr´ıan dar lugar a la generaci´on de v´ortices (o incluso solitones) que rompieran el estado de equilibrio del sistema. Vemos que para mayor densidad, mayor es la velocidad del sonido. En general, vso ∼p∂P/∂ρ y vemos en la Figura 2 que la presi´on del sistema crece con la densidad y, por lo tanto, la velocidad del sonido tambi´en. Las figuras [8] y [9] nos informan de c´omo se ven afectadas las densidades (y momentos) de las dos componentes cuando se introduce una peque˜na perturbaci´on en la densidad (y el momento) sobre el estado fundamental est´atico. Vemos que cj/dj<0 para las dos ramas y para todo el r´egimen de densidades. ´ Esto nos dice que la oscilaci´on de las dos componentes no es en fase (tambi´en se ve claramente en la figura [9] donde γ−<0 para todas las densidades). En la figura [9] vemos tambi´en que γ+≈0, dici´endonos que la amplitud de oscilaci´on de los protones es, en t´erminos relativos, mucho mayor que la de los neutrones y que, b´asicamente, v+≃cpp. Figura 8: Autovectores correspondientes a los modos longitudinales v±en funci´on de la densidad total de bariones. 22 Figura 9: ´ Angulos de mezcla en funci´on de la densidad total de bariones. γ+asociado a la rama v+(protones) y γ−asociado a la rama v−(neutrones). 6. Resultados num´ericos Consideremos ahora las ecuaciones (6-9) completas, es decir, sin despreciar los t´erminos no lineales en la perturbaci´on. Vamos a introducir una perturbaci´on en el sistema y vamos a ver c´omo evoluciona en el tiempo. El objetivo es calcular la velocidad con la que se propaga dicha perturbaci´on por el medio (a una densidad dada), y compararla con la velocidad v+que predice nuestro modelo (Figura 7). La perturbaci´on introducida ha de ser peque˜na si queremos comparar las dos velocidades y, por lo tanto, validar el modelo lineal presentado en este trabajo. Consideremos una perturbaci´on con forma gausiana que afecte ´unicamente a la componente neutr´onica. En concreto, un defecto puntual en la densidad de beta-equilibrio del sistema que, en el apartado 2, denot´abamos como ρ0 n. La perturbaci´on la introducimos en el espacio de momentos y tiene una amplitud del 1 % de la intensidad, en norma, respecto al valor estacionario con momento nulo. Escogemos una anchura para la perturbaci´on de 5 fm. El perfil inicial de densidad para ρ= 0,16fm−3con la perturbaci´on en la componente neutr´onica se presenta en la Figura 10. Una vez introducida la perturbaci´on, simulamos la evoluci´on temporal de la misma en el medio. En la Figura 11 vemos c´omo cambia el perfil de densidad inicial con el tiempo τ(que se mide en unidades de ~/µn). Observamos la aparici´on de ondas alrededor del punto donde se introdujo la perturbaci´on y como ´estas se van difundiendo por el espacio disminuyendo su amplitud. El seguimiento de una de las crestas formadas (o valle) nos permite calcular la velocidad de propagaci´on de la onda a trav´es de la relaci´on ∆x/t. 23 [18] wynn cg ho, cristobal m espinoza, danai antonopoulou and nils andersson, Pinning down the superfluid and nuclear equation of state and measuring neutron star mass using pulsar glitches, 14th International Symposium on Nuclei in the Cosmos (NIC2016), page 010805 (2017) [19] michael robin matthews, brian p anderson, pc haljan, ds hall, ce wieman, and eric a cornell,Vortices in a Bose-Einstein condensate, Phys. 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