XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones
X Cong eso de Ma em´
a ica Aplicada
Se illa, 24-28 sep iemb e 2007
(pp. 1–6)
Sob e soluciones e lexi as de la ecuaci´on ma icial AXB =C
A. He e o, N. Thome
Ins i u o de Ma em´a ica Mul idisciplina . Uni e sidad Poli ´ecnica de Valencia.
E-mail: [email p o ec ed], [email p o ec ed].
Palab as cla e: Ecuaci´on ma icial, soluci´on e lexi a, e lexi´on gene alizada ipo en e.
Resumen
El p oblema de esol e la ecuaci´on ma icial AXB =Cha sido es udiado en la
li e a u a. Algunos au o es han buscado la soluci´on gene al de es e p oblema mien as
que o os han conside ado alg´un ipo de es icci´on sob e la soluci´on buscada (sim´e i-
ca, de inida posi i a, e c.) o bien sob e las ma ices conocidas (po ejemplo, siendo B
la ma iz iden idad y Auna e lexi´on gene alizada).
En es e abajo se es udia dicho p oblema buscando soluciones Xque sean e-
lexi as con espec o a una e lexi´on gene alizada ipo en e P(es deci , la ma iz
X∈Cn×ndebe cumpli la condici´on X=PXP) siendo P∈Cn×nuna ma iz
He m´ı ica y ipo en e conocida.
1. In oducci´on
Una ma iz P∈Cn×nse llama e lexi a gene alizada si P2=IyP∗=P, siendo
P∗la aspues a conjugada de la ma iz PeIla ma iz iden idad de ama˜no adecuado.
Una ma iz X∈Cn×nse dice e lexi a con espec o a una ma iz e lexi a gene alizada
P∈Cn×nsi PXP =X.
Zhen-yun Peng y Xi-yan Hu [5] esol ie on el p oblema de exis encia y halla on la o ma
de la soluci´on Xque sa is ace la ecuaci´on ma icial AX =By es e lexi a gene alizada
con espec o a una e lexi´on gene alizada dada.
Po medio de p opiedades de las ma ices Hamil onianas He m´ı icas gene alizadas,
Zhong-Zhi Zhang, Xi-Yan Hu y Lei Zhang [2] encon a on condiciones necesa ias y su i-
cien es que ca ac e izan la exis encia de soluci´on del p oblema AX =Ben el conjun o de
las ma ices Hamil onianas He m´ı icas gene alizadas.
El p oblema de esol e la ecuaci´on ma icial AXB =Cha sido es udiado en [1, 2].
Algunos au o es han buscado la soluci´on gene al de es e p oblema mien as que o os han
1
A. He e o, N. Thome
conside ado alg´un ipo de es icci´on sob e la soluci´on buscada (sim´e ica, de inida posi i-
a, e c.) o bien sob e las ma ices conocidas (po ejemplo, siendo Bla ma iz iden idad y
Auna e lexi´on gene alizada). Es e ipo de ma ices se u iliza en ingenie ´ıa y compu aci´on
cien ´ı ica como puede e se en [4], as´ı como su aplicaci´on en eo ´ıa de con ol apa ece en
[6, 7].
En es e abajo se es udia el p oblema de esol e la ecuaci´on ma icial AXB =C
buscando soluciones Xque sean e lexi as con espec o a una e lexi´on gene alizada i-
po en e P(es deci , la ma iz X∈Cn×ndebe cumpli la condici´on X=PXP) siendo
P∈Cn×nuna ma iz He m´ı ica y ipo en e (es deci , P∗=PyP3=P).
Pa a esol e el p oblema plan eado se ´an necesa ios los siguien es esul ados.
Teo ema 1 (Teo ema 2.1 [8]) Sea A∈Cn×n. Las siguien es a i maciones son equi a-
len es:
1. Ak+1 =A(es deci , Aes {k+ 1}-po en e).
2. Aes diagonalizable y su espec o es ´a con enido en el conjun o {0}∪Ωk, donde Ωk
ep esen a el conjun o de odas las a´ıces de la unidad de o den k.
Pa a una ma iz P∈Cn×n e lexi a gene alizada exis e una ma iz uni a ia U∈Cn×n
al que
P=U·I O
O−In− ¸U∗.
Po o o lado, la descomposici´on gene alizada en alo es singula es pa a un pa de
ma ices [M, N] iene dada po M=WΣMUMyN=WΣNVNdonde Wes una ma iz
in e ible, UMyVNson ma ices uni a ias y
ΣM=



IM
DM
OM
O



,ΣN=



ON
DN
IN
O



,
siendo odas las ma ices de ama˜nos adecuados y las ma ices DMyDNcon eniendo los
alo es singula es es ic amen e posi i os de MyN, espec i amen e [3].
2. Plan eamien o y esoluci´on del p oblema
Conside emos la ecuaci´on ma icial
AXB =C
donde A, B, C ∈Cn×n. Se a a de busca soluciones X∈Cn×nque sean e lexi as con
espec o a una e lexi´on gene alizada ipo en e P, es deci , la ma iz X∈Cn×ndebe
cumpli la condici´on X=PXP siendo P∈Cn×nuna ma iz He m´ı ica y ipo en e
conocida.
2
Sob e soluciones e lexi as de la ecuaci´on ma icial AXB =C
Del Teo ema 1 es cla o que si Pes una ma iz ipo en e en onces su espec o es ´a con-
enido en {0,1,−1}. Adem´as, al se PHe m´ı ica, Pes diagonalizable po una ma iz
uni a ia, es deci , exis e una ma iz uni a ia U∈Cn×n al que P=UDU∗con
D=

IαO O
O−IβO
O O O


siendo α+β= ango(P).
Pues o que la elaci´on en e la ma iz Xy la e lexi´on gene alizada ipo en e Pdebe
se PXP =X, se iene que X=UDU∗XUDU∗. P emul iplicando po U∗y pos mul i-
plicando po Use cons uye una ma iz ˜
Xque e i ica ˜
X=D˜
XD. Di idiendo en bloques
la ma iz ˜
Xde ama˜nos adecuados seg´un los bloques de la ma iz D, se iene que


X11 X12 X13
X21 X22 X23
X31 X32 X33

=

IαO O
O−IβO
O O O



X11 X12 X13
X21 X22 X23
X31 X32 X33



IαO O
O−IβO
O O O


po an o
˜
X=

X11 O O
O X22 O
O O O

.(1)
Teniendo en cuen a que X=U˜
XU∗, la ecuaci´on ma icial AXB =Cse ans o ma
en ˜
A˜
X˜
B=Cdonde ˜
A=AU y˜
B=U∗B.
Di idiendo en bloques las ma ices ˜
Ay˜
Bse iene:
˜
A=

A1
A2
A3


∗
˜
B=

B1
B2
B3

(2)
y sus i uyendo en la ecuaci´on ma icial ˜
A˜
X˜
B=C esul a
£A∗
1A∗
2A∗
3¤

X11 O O
O X22 O
O O O



B1
B2
B3

=C.
Realizando los p oduc os po bloques co espondien es es a ecuaci´on se educe a
A∗
1X11B1+A∗
2X22B2=C. (3)
Aplicando la descomposici´on gene alizada en alo es singula es a los pa es de ma ices
[A∗
1, A∗
2]y[B∗
1, B∗
2] se ob iene la o ma de la soluci´on X. En e ec o, se iene que
A∗
1=WAΣ1AU∗
A, A∗
2=WAΣ2AV∗
A
y
B∗
1=WBΣ1BU∗
B, B∗
2=WBΣ2BV∗
B,
3
A. He e o, N. Thome
donde las ma ices in oluc adas e i ican las condiciones indicadas al inal de la In oduc-
ci´on. Sus i uyendo las exp esiones an e io es en la igualdad (3) se llega a:
Σ1A(U∗
AX11UB)Σ∗
1B+ Σ2A(V∗
AX22VB)Σ∗
2B=W−1
ACW−∗
B(4)
donde se ha u ilizado que las ma ices WAyW∗
Bson in e ibles. Di idiendo en bloques
las ma ices de los pa ´en esis an e io es se iene:
U∗
AX11UB=

¯
X11 ¯
X12 ¯
X13
¯
X21 ¯
X22 ¯
X23
¯
X31 ¯
X32 ¯
X33

, V ∗
AX22VB=

¯
X44 ¯
X45 ¯
X46
¯
X54 ¯
X55 ¯
X56
¯
X64 ¯
X65 ¯
X66


y adem´as puede esc ibi se:
W−1
ACW−∗
B=



C11 C12 C13 C14
C21 C22 C23 C24
C31 C32 C33 C34
C41 C42 C43 C44



.
Sus i uyendo es as ´ul imas es exp esiones en la igualdad (4) se iene:




¯
X11 ¯
X12D1BO O
D1A¯
X21 D1A¯
X22D1B+D2A¯
X55D2BD2A¯
X56 O
O¯
X65D2B¯
X66 O
O O O O



=



C11 C12 C13 C14
C21 C22 C23 C24
C31 C32 C33 C34
C41 C42 C43 C44




En consecuencia, es a igualdad se e i ica si y s´olo si se cumple que
C14 =O, C24 =O, C34 =O, C13 =O, C31 =O, C41 =O, C42 =O, C43 =O, C44 =O.
En esumen, se ha demos ado el siguien e esul ado.
Teo ema 2 Sean A∈Cn×m,B∈Cn×l,C∈Cm×lyP∈Cn×n ales que P∗=Py
P3=P. En onces exis e una ma iz X∈Cn×nque e i ica las ecuaciones ma iciales
AXB =CyPXP =X
si y s´olo si
C14 =O, C24 =O, C34 =O, C13 =O, C31 =O, C41 =O, C42 =O, C43 =O, C44 =O
donde
W−1
ACW−∗
B=



C11 C12 C13 C14
C21 C22 C23 C24
C31 C32 C33 C34
C41 C42 C43 C44




siendo WAyWBlas ma ices in e ibles que apa ecen al aplica la descomposici´on gene-
alizada en alo es singula es sob e el pa de ma ices [A∗
1, A∗
2]y[B∗
1, B∗
2], espec i amen e
(es deci , A∗
1=WAΣ1AU∗
A,A∗
2=WAΣ2AV∗
AyB∗
1=WBΣ1BU∗
B,B∗
2=WBΣ2BV∗
B).
4
Sob e soluciones e lexi as de la ecuaci´on ma icial AXB =C
En es e caso la soluci´on gene al se puede exp esa como:
X=U

U−∗
AX1U−1
BO O
O V −∗
AX2V−1
BO
O O O

U∗
donde
X1=

C11 C12D−1
1B¯
X13
D−1
1AC21 ¯
X22 ¯
X23
¯
X31 ¯
X32 ¯
X33


y
X2=

¯
X44 ¯
X45 ¯
X46
¯
X54 D−1
2A(C22 −D1A¯
X22D1B)D−1
2BD−1
2AC23
¯
X64 C32D−1
2BC33

,
siendo ¯
Xij ma ices a bi a ias de ama˜nos adecuados.
Obse aci´
on 1 No a que alguno de los bloques de ˜
Xen (1) puede es a ausen e pues o
que alg´un bloque de Dpuede no igu a en e los bloques de la diagonal de P. Es o ocu i-
´a cuando el espec o de Pes ´e es ic amen e con enido en {0,1,−1}.
Ejemplo 1 La soluci´on e lexi a de la ecuaci´on ma icial AXB =Cdonde
A=

1 1 1
1 1 1
1 1 1

, B =

100
000
000

yC=

200
200
200


con espec o a la e lexi´on gene alizada ipo en e
P=

010
100
000


es
X=

1 + a
21−a
20
1−a
21 + a
20
0 0 0

pa a cualquie alo de a∈C.
En e ec o, es ´acil e que
P=

1/√2−1/√2 0
1/√2 1/√2 0
0 0 1


| {z }
U


1 0 0
0−1 0
0 0 0


| {z }
D


1/√2 1/√2 0
−1/√2 1/√2 0
001


| {z }
U∗
y po an o P3=P=P∗(cumpli´endose adem´as que P26=I[3]).
Siguiendo el azonamien o an e io se iene que:
˜
X=U∗XU =

x11 0 0
0x22 0
0 0 0


5

A. He e o, N. Thome
y adem´as
˜
A=AU =

√201
√201
√201

,˜
B=U∗B=


1
√20 0
−1
√20 0
000



con lo que la ecuaci´on (3) se ans o ma en:
x11 

√2
√2
√2

h1
√20 0 i+x22 

0
0
0

h−1
√20 0 i=C
de donde se ob iene que la ecuaci´on ma icial iene soluci´on y adem´as x11 = 2 yx22 =a,
con a∈Ca bi a io.
Re e encias
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6