Sobre soluciones reflexivas de la ecuación matricial AXB = C

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–6) Sobre soluciones reflexivas de la ecuaci´on matricial AXB =C A. Herrero, N. Thome Instituto de Matem´atica Multidisciplinar. Universidad Polit´ecnica de Valencia. E-mail: [email protected], [email protected]. Palabras clave: Ecuaci´on matricial, soluci´on reflexiva, reflexi´on generalizada tripotente. Resumen El problema de resolver la ecuaci´on matricial AXB =Cha sido estudiado en la literatura. Algunos autores han buscado la soluci´on general de este problema mientras que otros han considerado alg´un tipo de restricci´on sobre la soluci´on buscada (sim´etrica, definida positiva, etc.) o bien sobre las matrices conocidas (por ejemplo, siendo B la matriz identidad y Auna reflexi´on generalizada). En este trabajo se estudia dicho problema buscando soluciones Xque sean reflexivas con respecto a una reflexi´on generalizada tripotente P(es decir, la matriz X∈Cn×ndebe cumplir la condici´on X=PXP) siendo P∈Cn×nuna matriz Herm´ıtica y tripotente conocida. 1. Introducci´on Una matriz P∈Cn×nse llama reflexiva generalizada si P2=IyP∗=P, siendo P∗la traspuesta conjugada de la matriz PeIla matriz identidad de tama˜no adecuado. Una matriz X∈Cn×nse dice reflexiva con respecto a una matriz reflexiva generalizada P∈Cn×nsi PXP =X. Zhen-yun Peng y Xi-yan Hu [5] resolvieron el problema de existencia y hallaron la forma de la soluci´on Xque satisface la ecuaci´on matricial AX =By es reflexiva generalizada con respecto a una reflexi´on generalizada dada. Por medio de propiedades de las matrices Hamiltonianas Herm´ıticas generalizadas, Zhong-Zhi Zhang, Xi-Yan Hu y Lei Zhang [2] encontraron condiciones necesarias y suficientes que caracterizan la existencia de soluci´on del problema AX =Ben el conjunto de las matrices Hamiltonianas Herm´ıticas generalizadas. El problema de resolver la ecuaci´on matricial AXB =Cha sido estudiado en [1, 2]. Algunos autores han buscado la soluci´on general de este problema mientras que otros han 1 A. Herrero, N. Thome considerado alg´un tipo de restricci´on sobre la soluci´on buscada (sim´etrica, definida positiva, etc.) o bien sobre las matrices conocidas (por ejemplo, siendo Bla matriz identidad y Auna reflexi´on generalizada). Este tipo de matrices se utiliza en ingenier´ıa y computaci´on cient´ıfica como puede verse en [4], as´ı como su aplicaci´on en teor´ıa de control aparece en [6, 7]. En este trabajo se estudia el problema de resolver la ecuaci´on matricial AXB =C buscando soluciones Xque sean reflexivas con respecto a una reflexi´on generalizada tripotente P(es decir, la matriz X∈Cn×ndebe cumplir la condici´on X=PXP) siendo P∈Cn×nuna matriz Herm´ıtica y tripotente (es decir, P∗=PyP3=P). Para resolver el problema planteado ser´an necesarios los siguientes resultados. Teorema 1 (Teorema 2.1 [8]) Sea A∈Cn×n. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. Ak+1 =A(es decir, Aes {k+ 1}-potente). 2. Aes diagonalizable y su espectro est´a contenido en el conjunto {0}∪Ωk, donde Ωk representa el conjunto de todas las ra´ıces de la unidad de orden k. Para una matriz P∈Cn×nreflexiva generalizada existe una matriz unitaria U∈Cn×n tal que P=U·IrO O−In−r¸U∗. Por otro lado, la descomposici´on generalizada en valores singulares para un par de matrices [M, N] viene dada por M=WΣMUMyN=WΣNVNdonde Wes una matriz invertible, UMyVNson matrices unitarias y ΣM=    IM DM OM O    ,ΣN=    ON DN IN O    , siendo todas las matrices de tama˜nos adecuados y las matrices DMyDNconteniendo los valores singulares estrictamente positivos de MyN, respectivamente [3]. 2. Planteamiento y resoluci´on del problema Consideremos la ecuaci´on matricial AXB =C donde A, B, C ∈Cn×n. Se trata de buscar soluciones X∈Cn×nque sean reflexivas con respecto a una reflexi´on generalizada tripotente P, es decir, la matriz X∈Cn×ndebe cumplir la condici´on X=PXP siendo P∈Cn×nuna matriz Herm´ıtica y tripotente conocida. 2 Sobre soluciones reflexivas de la ecuaci´on matricial AXB =C Del Teorema 1 es claro que si Pes una matriz tripotente entonces su espectro est´a contenido en {0,1,−1}. Adem´as, al ser PHerm´ıtica, Pes diagonalizable por una matriz unitaria, es decir, existe una matriz unitaria U∈Cn×ntal que P=UDU∗con D=  IαO O O−IβO O O O   siendo α+β= rango(P). Puesto que la relaci´on entre la matriz Xy la reflexi´on generalizada tripotente Pdebe ser PXP =X, se tiene que X=UDU∗XUDU∗. Premultiplicando por U∗y postmultiplicando por Use construye una matriz ˜ Xque verifica ˜ X=D˜ XD. Dividiendo en bloques la matriz ˜ Xde tama˜nos adecuados seg´un los bloques de la matriz D, se tiene que   X11 X12 X13 X21 X22 X23 X31 X32 X33  =  IαO O O−IβO O O O    X11 X12 X13 X21 X22 X23 X31 X32 X33    IαO O O−IβO O O O   por tanto ˜ X=  X11 O O O X22 O O O O  .(1) Teniendo en cuenta que X=U˜ XU∗, la ecuaci´on matricial AXB =Cse transforma en ˜ A˜ X˜ B=Cdonde ˜ A=AU y˜ B=U∗B. Dividiendo en bloques las matrices ˜ Ay˜ Bse tiene: ˜ A=  A1 A2 A3   ∗ ˜ B=  B1 B2 B3  (2) y sustituyendo en la ecuaci´on matricial ˜ A˜ X˜ B=Cresulta £A∗ 1A∗ 2A∗ 3¤  X11 O O O X22 O O O O    B1 B2 B3  =C. Realizando los productos por bloques correspondientes esta ecuaci´on se reduce a A∗ 1X11B1+A∗ 2X22B2=C. (3) Aplicando la descomposici´on generalizada en valores singulares a los pares de matrices [A∗ 1, A∗ 2]y[B∗ 1, B∗ 2] se obtiene la forma de la soluci´on X. En efecto, se tiene que A∗ 1=WAΣ1AU∗ A, A∗ 2=WAΣ2AV∗ A y B∗ 1=WBΣ1BU∗ B, B∗ 2=WBΣ2BV∗ B, 3 A. Herrero, N. Thome donde las matrices involucradas verifican las condiciones indicadas al final de la Introducci´on. Sustituyendo las expresiones anteriores en la igualdad (3) se llega a: Σ1A(U∗ AX11UB)Σ∗ 1B+ Σ2A(V∗ AX22VB)Σ∗ 2B=W−1 ACW−∗ B(4) donde se ha utilizado que las matrices WAyW∗ Bson invertibles. Dividiendo en bloques las matrices de los par´entesis anteriores se tiene: U∗ AX11UB=  ¯ X11 ¯ X12 ¯ X13 ¯ X21 ¯ X22 ¯ X23 ¯ X31 ¯ X32 ¯ X33  , V ∗ AX22VB=  ¯ X44 ¯ X45 ¯ X46 ¯ X54 ¯ X55 ¯ X56 ¯ X64 ¯ X65 ¯ X66   y adem´as puede escribirse: W−1 ACW−∗ B=    C11 C12 C13 C14 C21 C22 C23 C24 C31 C32 C33 C34 C41 C42 C43 C44    . Sustituyendo estas ´ultimas tres expresiones en la igualdad (4) se tiene:     ¯ X11 ¯ X12D1BO O D1A¯ X21 D1A¯ X22D1B+D2A¯ X55D2BD2A¯ X56 O O¯ X65D2B¯ X66 O O O O O    =    C11 C12 C13 C14 C21 C22 C23 C24 C31 C32 C33 C34 C41 C42 C43 C44     En consecuencia, esta igualdad se verifica si y s´olo si se cumple que C14 =O, C24 =O, C34 =O, C13 =O, C31 =O, C41 =O, C42 =O, C43 =O, C44 =O. En resumen, se ha demostrado el siguiente resultado. Teorema 2 Sean A∈Cn×m,B∈Cn×l,C∈Cm×lyP∈Cn×ntales que P∗=Py P3=P. Entonces existe una matriz X∈Cn×nque verifica las ecuaciones matriciales AXB =CyPXP =X si y s´olo si C14 =O, C24 =O, C34 =O, C13 =O, C31 =O, C41 =O, C42 =O, C43 =O, C44 =O donde W−1 ACW−∗ B=    C11 C12 C13 C14 C21 C22 C23 C24 C31 C32 C33 C34 C41 C42 C43 C44     siendo WAyWBlas matrices invertibles que aparecen al aplicar la descomposici´on generalizada en valores singulares sobre el par de matrices [A∗ 1, A∗ 2]y[B∗ 1, B∗ 2], respectivamente (es decir, A∗ 1=WAΣ1AU∗ A,A∗ 2=WAΣ2AV∗ AyB∗ 1=WBΣ1BU∗ B,B∗ 2=WBΣ2BV∗ B). 4 Sobre soluciones reflexivas de la ecuaci´on matricial AXB =C En este caso la soluci´on general se puede expresar como: X=U  U−∗ AX1U−1 BO O O V −∗ AX2V−1 BO O O O  U∗ donde X1=  C11 C12D−1 1B¯ X13 D−1 1AC21 ¯ X22 ¯ X23 ¯ X31 ¯ X32 ¯ X33   y X2=  ¯ X44 ¯ X45 ¯ X46 ¯ X54 D−1 2A(C22 −D1A¯ X22D1B)D−1 2BD−1 2AC23 ¯ X64 C32D−1 2BC33  , siendo ¯ Xij matrices arbitrarias de tama˜nos adecuados. Observaci´ on 1 Notar que alguno de los bloques de ˜ Xen (1) puede estar ausente puesto que alg´un bloque de Dpuede no figurar entre los bloques de la diagonal de P. Esto ocurrir´a cuando el espectro de Pest´e estrictamente contenido en {0,1,−1}. Ejemplo 1 La soluci´on reflexiva de la ecuaci´on matricial AXB =Cdonde A=  1 1 1 1 1 1 1 1 1  , B =  100 000 000  yC=  200 200 200   con respecto a la reflexi´on generalizada tripotente P=  010 100 000   es X=  1 + a 21−a 20 1−a 21 + a 20 0 0 0  para cualquier valor de a∈C. En efecto, es f´acil ver que P=  1/√2−1/√2 0 1/√2 1/√2 0 0 0 1   | {z } U   1 0 0 0−1 0 0 0 0   | {z } D   1/√2 1/√2 0 −1/√2 1/√2 0 001   | {z } U∗ y por tanto P3=P=P∗(cumpli´endose adem´as que P26=I[3]). Siguiendo el razonamiento anterior se tiene que: ˜ X=U∗XU =  x11 0 0 0x22 0 0 0 0   5 A. Herrero, N. Thome y adem´as ˜ A=AU =  √201 √201 √201  ,˜ B=U∗B=   1 √20 0 −1 √20 0 000    con lo que la ecuaci´on (3) se transforma en: x11   √2 √2 √2  h1 √20 0 i+x22   0 0 0  h−1 √20 0 i=C de donde se obtiene que la ecuaci´on matricial tiene soluci´on y adem´as x11 = 2 yx22 =a, con a∈Carbitrario. Referencias [1] Q. Wang, C. Yang. The Re–nonngetive definite solutions to the matrix equation AXB =C, Comment. Math. Univ. Carolinae, 39 (1998), 7–13. [2] Z. Zhang, X. Hu, L. Zhang. On the Hermitian–generalized Hamiltonian solutions of the linear matrix equations. SIAM J. Matrix Anal. Appl., 27, 1 (2005), 294–303. [3] X. Peng, X. Hu, L. Zhang. The reflexive and anti-reflexive solutions of the matrix equation AHXB = C. Journal of Computational and Applied Mathematics, 200 (2007), 749–760. [4] H. C. Chen. Generalizaed reflexive matrices: special properties and applications, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 19 (1998), 140–153. [5] Zhen-yun Peng, Xi-yan Hu. The reflexive and anti-reflexive solutions of the matrix equation AX =B. Linear Algebra and its Applications 375 (2003), 147–155. [6] M. Jamshidi. An overview on the solutions of the algebraic matix Riccati equation and related problems. Large Scale Systems 1 (1980), 167–192. [7] H. K. Wimmer. Decompodition and parametrization of semidefinite solutions of the continuous–time algebraic Riccati equation, SIAM J. Control Optim., 32 (1994), 995–1007. [8] J. Ben´ıtez, N. Thome. {k}-group periodic matrices. SIAM Matrix Anal. Appl., 28, 1 (2006), 9–25. 6