Ga ilán-Izquie do, J. M. (2014). Indagando sob e el papel de la ecnología en el aula. En M. T. González, M. Codes, D.
A nau y T. O ega (Eds.), In es igación en Educación Ma emá ica XVIII (pp. 355-364). Salamanca: SEIEM.
INDAGANDO SOBRE EL PAPEL DE LA TECNOLOGÍA EN EL
AULA
Enqui ing ega ding he ole o echnology in he class oom
José-Ma ía Ga ilán-Izquie do
Uni e sidad de Se illa
Resumen
En es e abajo abo damos la p oblemá ica de in es igación sob e el papel de la ecnología en el
aula, cen ándonos en el p o eso . U iliza emos la complemen a iedad en e dos ideas
sociocul u ales, o ques ación ins umen al y modelación de la descomposición gené ica de un
concep o, pa a ap oxima nos a la ca ac e ización del papel de la ecnología en el aula.
Re lexionamos sob e la apo ación que es a complemen a iedad hace a la discusión sob e la
a iculación de ma cos eó icos.
Palab as cla e: ecnología, o ques ación ins umen al, modelación de la descomposición gené ica
de un concep o, complemen a iedad eó ica.
Abs ac
In his pape , we ackle he esea ch p oblem abou he ole o echnology in he class oom,
ocusing o he eache . We use he complemen a i y be ween wo sociocul u al ideas, ins umen al
o ches a ion and modeling gene ical decomposi ion o a concep , o app oach o he
cha ac e iza ion o he ole o echnology in he class oom. We e lec on he con ibu ion ha his
complemen a i y makes o he discussion on he a icula ion o heo e ical amewo ks.
Keywo ds: echnology, ins umen al o ches a ion, modeling gene ical decomposi ion o a concep ,
heo e ical complemen a i y.
INTRODUCCIÓN
La ecnología cada ez es á más p esen e en nues o mundo y la educación no es ajena a los
cambios que conlle a inco po a cada ez más ecnología. Desde la educación ma emá ica hay una
agenda de in es igación cen ada en la indagación sob e la ecnología en el ap endizaje y enseñanza
de las ma emá icas.
Los abajos de Kendall y S acey (2001, 2002) conside an que los p o eso es juegan un papel
ele an e en la in oducción de ecnología en el aula, y se cen an en las p e e encias de los
p o eso es sob e el uso de los modos de ep esen ación y en la mane a en que se apoyan en el
so wa e (p og amas de calculo simbólico) pa a p omo e un modo de ep esen ación u o o. Nos
cen a emos en es a comunicación en el p o eso .
La ampli ud del campo de p oblemas que pueden plan ea se ha lle ado a que en las in es igaciones
se adop en di e en es pe spec i as eó icas. En e ellas, podemos señala la ap oximación
ins umen al (T ouche, 2004, 2005a, 2005b), que hace plan eamien os cogni i os a a és de la
génesis ins umen al que se cen a en el es udian e y plan eamien os sociocul u ales (dimensión
social, en sus p opios é minos) median e la o ques ación ins umen al que conside a la elación
es udian es-p o eso mediada po el o denado (D ij e s, Doo man, Boon, Reed y G a emeije ,
2010). Algunos in es igado es u ilizan es a idea pa a indaga sob e el ap endizaje ma emá ico que
se p oduce a a és de las discusiones en g an g upo en en o nos ecnológicos (Fe e , Fo uny y
Mo e a 2013; Mo e a, Planas y Fo uny, 2013), pa a ca ac e iza la p ac ica del p o eso (Tabach,
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2011), o la isión de los p o eso es sob e el ap endizaje y la enseñanza de las ma emá icas y el
papel de la ecnología en el mismo (D ij e s e al., 2010).
Dis in os in es igado es señalan el po encial pa a la in es igación de la a iculación de dis in os
ma cos eó icos de di e en es mane as (Bikne -Ahsbahs y P edige , 2010; E en y Schwa z 2003,
Llina es, 2000; P edige , Bikne -Ahsbahs y A za ello, 2008). D ij e s e al. (2010) plan ean en su
a ículo la necesidad de i complemen ando el ma co eó ico de la ap oximación ins umen al con
o as ap oximaciones eó icas. Plan eamos en es e abajo complemen a la idea de o ques ación
ins umen al con ideas “sociocul u ales” p o enien es del análisis de la ac i idad del p o eso en el
aula (Llina es, 1999, 2000).
Los in es igado es han abo dado de di e en e o ma la a iculación eó ica, así D ij e s, Godino,
Fon y T ouche (2013) compa an y con as an el en oque on osemió ico y la ap oximación
ins umen al en el sen ido del abajo de E en y Schwa z (2003). Po o o lado, en un in en o de da
signi icado a la idea de obje o ma emá ico, Fon , Badillo, T igue os y Rubio (2012), plan ean
es e p oblema desde el modelo APOS (Dubinsky, 1991) y desde el en oque on osemió ico (Fon ,
2005) y p oponen complemen a ambas pe spec i as, pa icula izado a la de i ada. T igue os, Bosh
y Gascón (2011) han plan eado es e p oblema e e ido a la Teo ía an opológica de lo didac ico
(Che alla d, 1999) y el modelo APOS (Dubinsky, 1991). Nues a p opues a a en el sen ido de
E en y Schwa z (2003), de analiza una misma si uación desde dos ap oximaciones eó icas con el
obje i o de complemen a las. Posibili a á abo da un p oblema que po sepa ado no esuel en y
pa a plan ea nos y e lexiona si es necesa io que los ma cos eó icos cumplan de e minados
“ equisi os” pa a que esa complemen a iedad no sea inconsis en e.
A pa i de la idea de p og ama de in es igación cien í ica de Laka os (1993), la idea de a iculación
eó ica podemos sus en a la po la coexis encia y desa ollo de dis in os p og amas de in es igación
cien í ica. Pa a es e au o , un p og ama de in es igación cien í ica iene es componen es básicos,
un núcleo i me (que ca ac e iza el p og ama), un cin u ón p o ec o de hipó esis auxilia es y una
heu ís ica (es a egias de solución de p oblemas cien í icos, me odología de in es igación). El
p og eso cien í ico se basa en la compe i i idad de los p og amas de in es igación cien í ica y en la
capacidad de los mismos pa a p edeci y descub i hechos nue os. Desde es e posicionamien o
epis emológico, la a iculación eó ica de complemen a iedad de ma cos eó icos podemos
en ende la como una con o mación de un p og ama de in es igación cien í ica “eme gen e”, y po
an o en é minos de la cons ucción del núcleo i me (ideas básicas del p og ama) que p ecisa,
desde nues o pun o de is a, de una compa ibilidad de las ideas en las que se apoyan los ma cos
eó icos o iginales. Es a complemen a iedad puede apo a explicaciones a hechos que en los
dis in os ma cos ca ecían de las mismas.
MARCO CONCEPTUAL
Elabo amos nues a p opues a a pa i de ideas eó icas sob e la ac i idad del p o eso (Llina es,
1999, 2000) y de ideas eó icas p o enien es de la ap oximación ins umen al (T ouche, 2004,
2005a, 2005b).
a) Desde la ac i idad del p o eso u ilizamos la idea de modelación de la descomposición gené ica.
Pa a Llina es (1999, 2000) la ac i idad del p o eso de enseña ma emá icas, en el aula, consis e en
la cons i ución de una comunidad de p ác ica, un g upo de pe sonas que compa e o mas de
comunica se y ac ua . El p o eso acili a a los es udian es la in eg ación en dicha comunidad pa a
omen a o p omo e su ap endizaje ma emá ico. En nues o abajo el ap endizaje que se p omue e
lo ca ac e izamos u ilizando el modelo de desa ollo de la comp ensión APOS (Dubinky, 1991) que
conside a que un concep o se puede comp ende de dis in as o mas (acción, p oceso, obje o,
esquema) y que hay di e en es mecanismos de cons ucción de dichas o mas de comp ende
(in e io ización, encapsulación…).
Indagando sob e el papel de la ecnología en el aula
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Pa a analiza la ac i idad del p o eso u ilizamos la idea de modelación de la descomposición
gené ica de un concep o o noción ma emá ica (Ga cía, Ga ilán, y Llina es, 2012; Ga ilán, Ga cía y
Llina es, 2007b), en endida como una desc ipción de la o ma en la que el p o eso usa los
ins umen os de la p ác ica pa a gene a un discu so en el aula que po encie en los es udian es la
cons ucción de conocimien o ma emá ico (mecanismos de cons ucción de conocimien o en
é minos del modelo APOS). Los elemen os ma emá icos (Sánchez-Ma amo os, Ga cía y Llina es,
2007, 2013) y los modos de ep esen ación (Rico, 2001) son desde es a pe spec i a los ins umen os
de la p ác ica (Llina es, 2000) cuyo uso y p opósi o ca ac e izan la modelación. La modelación de
la descomposición gené ica de un concep o o noción ma emá ica pe mi e iden i ica elaciones en e
dis in os elemen os:
· los di e en es modos de ep esen ación (analí ico y g á ico),
· las di e en es o mas de conoce un concep o ma emá ico, y
· las elaciones en e los dis in os concep os que con o man la noción ma emá ica.
b) Desde la ap oximación ins umen al u ilizamos la idea de o ques ación ins umen al. T ouche
(2005a) indica que un a e ac o es un obje o ísico u obje o abs ac o y que cuando se usa es e
a e ac o pa a esol e una a ea se con ie e en un ins umen o. Es e p oceso de con e sión es
complejo y se denomina génesis ins umen al. Es e mismo au o (T ouche, 2005b) señala que la
idea de o ques ación ins umen al hace e e encia a la dimensión social de la génesis ins umen al
de los es udian es.
Pa a D ij e s e al. (2010) una o ques ación ins umen al es la o ma en la que el p o eso o ganiza
un en o no ecnológico pa a guia la génesis ins umen al de los es udian es. Dis inguen es
elemen os en una o ques ación ins umen al: con igu ación didác ica, modos de explo ación e
implemen ación didác ica ( aducciones omadas de Fe e e al., 2013). Los dos p ime os
pa cialmen e p epa ados an es de la in e ención en el aula.
La con igu ación didác ica incluye los “a e ac os” seleccionados po el p o eso pa a esol e la
a ea en un de e minado en o no (es deci , las p egun as, la ecnología disponible, los elemen os
ma emá icos y los modos de ep esen ación). Los modos de explo ación de la con igu ación
didác ica se e ie en a como una a ea ma emá ica puede pone en uncionamien o, de di e sas
mane as, los a e ac os en unción de cómo los es udian es abo den su esolución, y cómo el
p o eso u iliza la con igu ación didác ica pa a consegui su obje i o didác ico, “decisiones sob e el
modo de explo ación pueden se is as como pa e del diseño de una ayec o ia hipo é ica de
ap endizaje” (D ij e s e al., 2010, p. 215). Pa a Tabach (2013) el modo de explo ación es un
elemen o cen al de la o ques ación ins umen al, de mane a que dis in as con igu aciones
didác icas que se explo an del mismo modo dan como esul ados a ian es de la misma
o ques ación ins umen al. El e ce elemen o, la implemen ación didác ica, ha sido in oducido po
D ij e s e al. (2010) y se e ie e a la pues a en acción en el aula de los o os dos elemen os, “las
decisiones omadas mien as enseña sob e cómo lle a a cabo la con igu ación didác ica y el modo
de explo ación elegidos (p. 215)”.
D ij e s e al. (2010) iden i ica on un epe o io de o ques aciones ins umen ales que pueden se
clasi icadas en dos g andes g upos, las cen adas en los es udian es y las cen adas en el p o eso ,
ca ac e izadas po el g ado de pa icipación de los es udian es.
Conside adas conjun amen e las dos ideas eó icas, modelación de la descomposición gené ica y
o ques ación ins umen al, pe mi en iden i ica una ayec o ia de ap endizaje (Simon, 1995) de los
concep os ma emá icos en é minos de o mas de conoce po enciadas, inculada a la o ques ación
ins umen al. U iliza emos es a complemen a iedad eó ica pa a apun a ideas que ayuden a
ca ac e iza el papel de la ecnología en el aula a pa i de cómo se o ques an los ins umen os pa a
p omo e de e minados obje i os de ap endizaje.
Ga ilán-Izquie do
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Las p egun as de in es igación que plan eamos son las siguien es:
Cen ados en el p o eso ¿pueden las ayec o ias de ap endizaje inculadas a las o ques aciones
ins umen ales se he amien as pa a ca ac e iza el papel de la ecnología en el aula?
¿Es “cohe en e” es a complemen a iedad eó ica?
METODOLOGÍA
El caso que p esen amos es el de un p o eso de ma emá icas, Juan, que impa e clase a un g upo de
es udian es de p ime cu so de Bachille a o (16-17 años). Juan impa ió es sesiones de clase en el
aula de in o má ica en la que los es udian es abajaban con un o denado en pequeños g upos. Juan
u ilizó en sus clases un p og ama de geome ía dinámica y o o de cálculo simbólico. El con ex o
ma emá ico ue la noción de de i ada que es á con o mada po es concep os: de i ada de una
unción en un pun o ( ´(a)), unción de i ada ( ´(x)) y ope ado de i ada (D( )), si bien no es án
aislados de o os concep os como lími es e in eg ales (de inidas e inde inidas). En es a
comunicación conside amos ´(a) como oco.
Da os de la in es igación
Los da os de la in es igación se ecogie on a pa i de la en e is a de plani icación ealizada a Juan
y de las g abaciones de las sesiones de clase desa olladas en el aula de in o má ica. Las
g abaciones de aula se ealiza on con una cáma a de ídeo que ecogía imágenes y sonido con un
mic ó ono de ambien e. Además, el p o eso lle aba un mic ó ono inalámb ico que pe mi ió g aba
las in e acciones con sus es udian es.
La en e is a de plani icación y las sesiones de clase ue on ansc i as en su o alidad, así mismo se
con eccionó una desc ipción de lo que sucedía en cada sesión de clase. Es a desc ipción ecogía si
el p o eso se di igía a odo el g upo de clase o a un g upo pa icula de dos o es es udian es que
esol ían la a ea conjun amen e con un o denado ; ecogía la in o mación que se compa ía en el
g upo a a és de la piza a o el o denado . Las ansc ipciones de la en e is a y de las sesiones de
clase jun o con la desc ipción cons i uían los da os que se u iliza on, y pe mi ió dispone de
in o mación sob e lo que se plani icó, se decía y se hacía.
Análisis de los da os
El análisis de los da os se lle ó a cabo en dos ases. En ambas la unidad de análisis conside ada e a
el p oceso de esolución, desa ollado en el aula, de una a ea.
En la p ime a ase, pa a cada unidad de análisis se iden i icaban “segmen os de enseñanza”,
ca ac e izados po la modelación po pa e del p o eso de un mecanismo de cons ucción de
conocimien o (Ga ilán, Ga cía y Llina es, 2007a) que po encia en el es udian e la cons ucción de
un mane a de conoce el concep o. Pa a cada uno de es os segmen os se iden i ica on los usos de
los elemen os ma emá icos y de los modos de ep esen ación y el p opósi o de su uso (la mane a de
conoce el concep o). En algunas si uaciones se conside a on conjun amen e algunos segmen os ya
que se podía in e i la modelación de un nue o mecanismo de cons ucción de conocimien o
(Ga ilán e al., 2007a).
La conside ación conjun a de la secuencia de modelaciones de mecanismos cons uc i os y la
o ganización de las elaciones en e mecanismos se ma e ializa en lo que se denomina modelación
de la descomposición gené ica del concep o ma emá ico (o noción ma emá ica). Es a modelación
nos in o ma de los obje i os de ap endizaje plan eados po el p o eso . Como esul ado de es a
p ime a ase de análisis podemos “ aza ” una ayec o ia de ap endizaje (Simon, 1995) ela i a al
concep o ma emá ico. Pa a es e au o , la ayec o ia de ap endizaje es una p edicción sob e el
camino po el que puede discu i el ap endizaje.
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En la segunda ase del análisis, pa a cada unidad de análisis se iden i ica on las o ques aciones
ins umen ales desa ollas, como indican D ij e s e al. (2010) en cada unidad de análisis pueden, a
p io i, se a ias las o ques aciones. Se conside a on los es elemen os de una o ques ación
ins umen al (D ij e s e al., 2010): la con igu ación didác ica, los modos de explo ación y la
implemen ación didác ica. Todos los elemen os no ienen el mismo peso pa a iden i ica la
o ques ación, siguiendo a Tabach (2013) di e encia emos las o ques aciones ins umen ales po la
implemen ación didác ica del modo de explo ación y no po la con igu ación didác ica.
La con igu ación didác ica y los modos de explo ación de la con igu ación didác ica, como se ha
señalado an e io men e, son p epa ados, en pa e en la ase de plani icación de la enseñanza, po
ello u iliza emos in o mación p o enien e de la en e is a de plani icación. En la implemen ación
didác ica se incluyen las decisiones del p o eso espec o a las in e elaciones con los es udian es
pa a a o ece el ap endizaje ma emá ico median e la explo ación de la con igu ación didác ica.
Como esul ado de es a segunda ase de análisis podemos dispone del epe o io de o ques aciones
ins umen ales desa olladas po el p o eso que nos ca ac e izan las in e acciones que se p oducen
mediadas po la ecnología.
Como esul ado del análisis se ob u ie on pa a cada unidad de análisis un conjun o de segmen os de
enseñanza, ca ac e izados po la modelación de mecanismos de cons ucción de conocimien o
( a o eciendo o mas de conoce ), y dis in as o ques aciones ins umen ales desa olladas pa a
a o ece dicha cons ucción de conocimien o.
RESULTADOS
En es e abajo nos cen amos en el análisis de una de las a eas u ilizada en una de las sesiones de
clase impa ida en el aula de in o má ica. La a ea p opues a ue: calcula el alo de la de i ada de
(x)=x2 en el pun o x=1. El p o eso p opo cionó a los es udian es una igu a cons uida con Cab i-
géomè e II ( e igu a 1) pa a que los es udian es median e a as e de un pun o p óximo a x=1 (el
pun o ojo) ob u ie an el alo de la de i ada. Los es udian es abaja on en pequeños g upos (dos o
es es udian es) con un o denado .
Figu a 1: Cons ucción de Cab i pa a la a ea

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Juan p e endía que los es udian es elabo a an una abla de alo es de los cocien es inc emen ales
( (1)- (x))/(1-x) en alo es de x p óximos a 1. La igu a cons uida p opo cionaba, además de la
g á ica de (x) y la ec a secan e po (x, (x)) y (1, (1)), los alo es (1), (x), y de la pendien e de la
ec a secan e “dibujada”.
El discu so del aula es el siguien e (J=Juan, E= es udian e):
J: Podemos coge el pun o ojo que apa ece ahí. El pun o neg o, apa ece un pun o neg o sob e el
1, y lo que amos a calcula , lo que amos a calcula es cómo es á a iando la unción en el
pun o 1…./…
Si cogemos es e pun o <pun o ojo> nos amos ap oximando ¿cuán o me sale la asa de
a iación? ¿qué nos dice el o denado ? Eso es la pendien e de es a ec a que apa ece aquí <se
e ie e a la ec a secan e de la igu a>.
J: Cuando yo me aya ace cando, o o pun o aquí, 0.63, pues la pendien e que me apa ece 1.63,
cuando yo me ace que más. En 0.80 ¿qué pendien e me apa ece?
E: 1.75
J: Si yo pongo aquí 0.9 ¿qué hay que pone aquí? <Indicando cómo comple a la abla de
cocien es inc emen ales>
E: 1.85
J: Cuando yo ponga aquí un 1 ¿qué oy yo a ene que pone aquí?
E: 1.
J: Cuando es e pun o x se aya ace cando a és e de aquí <pun o neg o>, ija os la ec a és a
< ec a secan e> ¿a qué a endiendo? ¿a qué se a pa eciendo? a la ec a angen e a la cu a
¿lo eis o no lo eis? se a ap oximando, ap oximando
E: A la angen e.
J: Has a que llega a la angen e, pues lo que engo ealmen e es la ec a angen e.
E: Sí.
J: A eso es a lo que amos a llama la de i ada. En onces cuando yo es e pun o <pun o ojo> lo
hago ende , se lo hago cada ez más ce ca del pun o neg o, pues, es a ec a que yo enía aquí
que e a una ec a secan e ¿a dónde? ¿a dónde se nos a a i ?, mi a ¿lo eis? cada ez más
ce ca, cada ez más ce ca, cuando llego al pun o ése, ealmen e ¿qué es lo que engo aquí? la
ec a angen e.
Mien as se p oduce el diálogo an e io , Juan ha ido con eccionado en la piza a la abla de alo es
de los cocien es inc emen ales ( (1)- (x))/(1-x), u ilizando en el discu so e e encias al lenguaje
g á ico y a los alo es de la abla y su endencia en el en o no del pun o x=1. Juan p e endía cen a
la discusión en el p oceso de a iación de los alo es de (pun o ojo) y de los alo es que a
omando el cocien e inc emen al, p e endía hace isible el p oceso de a iación, y po an o el paso
al lími e. La necesidad de e lexión sob e la endencia de los alo es y de la ec a secan e hacia el
lími e (la ec a angen e) nos pe mi e conside a que se “modela el mecanismo de in e io ización”
de la de i ada de la unción en un pun o. Es a modelación se iden i ica a pa i de la epe ición de
las acciones de calcula secan es a la cu a y sus pendien es y de la necesidad de in e i la endencia
de dichas secan es y sus pendien es (median e e lexión) a la ec a angen e y su pendien e. Es e
mecanismo de in e io ización (Dubinsky, 1991) cons uye una o ma de conoce p oceso a pa i de
acciones, es deci , elaciona las o mas de conoce acción y p oceso pa a ´(a). Además es o le
pe mi ió a Juan mos a la inculación en e los signi icados de la de i ada de una unción en un
pun o, analí ico y g á ico, p oduciéndose la in eg ación de las ep esen aciones. Juan hizo isibles
los signi icados median e el paso al lími e independien emen e del modo de ep esen ación. La
ayec o ia de ap endizaje iden i icada en es e segmen o se ca ac e iza po el es ablecimien o de
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elaciones, en e las o mas de conoce acción y p oceso de `(a) y en e los modos de
ep esen ación analí ico y g á ico. Es a mane a de p ocede pa ece indica que se p e ende a o ece
una comp ensión basada en el es ablecimien o de conexiones.
Desde el pun o de is a de la o ques ación ins umen al, la a ea p opues a a los es udian es eque ía
de és os que u iliza an la posibilidad del a as e de un obje o (un pun o) de una igu a pa a ob ene
un conjun o de alo es. La con igu ación didác ica, la a ea plan eada y el uso de la ecnología ya
es aban p esen es en la plani icación. Juan indicó en la en e is a de plani icación la ele ancia de
la isualización dinámica del lími e de las ec as secan es hacia la ec a angen e median e
ecnología “En es e sen ido se puede hace una buena isualización de la ob ención de la ec a
angen e como lími e de secan es a a és del p og ama MAPLE median e la u ina wi h (plo s):
anima e({x^2, ( + 2)*(x – 2) + 4|). Que co esponde a la unción x2 en x = 1”. Respec o al modo de
explo ación, Juan en la misma en e is a señaló “halla la pendien e de la ec a secan e que co a a la
g á ica… pon el esul ado an e io en la columna co espondien e y comple a los demás (se e ie e a
la abla de alo es de los cocien es inc emen ales). Lo que es amos iendo un poco, lími e, pe o
calcula es os alo es, (x), el cocien e inc emen al en pun os muy p óximos a 2, y aho a que los
ayan poniendo, aquí a qué a endiendo, ealmen e calcula el lími e, pe o calcula el lími e con
ap oximaciones”.
Respec o a la implemen ación didác ica del modo de explo ación, Juan les p opone en g an g upo,
que ayan con eccionando la abla de alo es de los cocien es inc emen ales en su cuade no. Los
es udian es abaja on en pequeños g upos con un o denado , y cada g upo de es udian es abaja
“lib emen e” la a ea haciendo el a as e de pun os, las ap oximaciones, según le pa ecía opo uno.
Juan dispuso de una piza a pa a o ganiza la discusión en g an g upo. Cuando algún g upo plan ea
una p egun a a Juan, és e la a iende y si lo conside a ele an e la discu e en g an g upo. El
p o ocolo an e io ecoge algunas de las in e acciones que se p oducen en g an g upo. Juan a
comple ando la abla de alo es en la piza a a pa i de los esul ados que an p opo cionando los
es udian es, y discu iendo los signi icados g á icos y analí icos que p opo ciona la manipulación po
a as e de la igu a de Cab i-géomé e II.
Las in e acciones en e es udian es y p o eso , gene almen e en g an g upo, son un elemen o cla e
pa a que eme jan los signi icados que a a és de la ecnología es án disponibles en di e en es
modos de ep esen ación. La ecnología con el uso de dis in as ep esen aciones y la posibilidad de
dispone de mane a “au omá ica” de los cálculos acili a que los es udian es se cen en en los
aspec os ele an es de la a iación. Es a mane a de o ques ación ins umen al ha sido desc i a po
D ij e s e al. (2010) como deba iendo la pan alla (Discuss- he-sc een, en el o iginal), lo que es
una o ques ación ins umen al cen ada en los es udian es.
Como esul ado del análisis podemos señala que la o ques ación ins umen al desa ollada po Juan
se cen a en los es udian es a a és de la discusión en g upo de los esul ados que o ece la
ecnología, en es e caso la manipulación median e a as e de los obje os de la igu a p opo cionada.
Median e dicha o ques ación ins umen al, en la ayec o ia de ap endizaje se cons uye, po los
es udian es, a pa i de una o ma de conoce acción una o ma de conoce p oceso el concep o de
´(a), median e la modelación del mecanismo de in e io ización de `(a) que in eg a los signi icados
g á icos y analí icos. Es os esul ados nos pe mi en ob ene algunos indicios pa a ace ca nos a
ca ac e iza el papel de la ecnología en el aula, cen ándonos en el p o eso , como a o ecedo a de
una comp ensión basada en el es ablecimien o de conexiones cen ada en los es udian es.
CONCLUSIONES
El papel de la ecnología en la ac i idad del p o eso en el aula se ha abo dado desde dos en oques
di e en es que se complemen an. El en oque de la ac i idad del p o eso (Llina es, 1999, 2000)
sob e la ac i idad del p o eso y el uso de la modelación de la descomposición gené ica de un
concep o o noción ma emá ica nos pe mi e señala que el papel de la ecnología en el aula es
Ga ilán-Izquie do
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p omo e o a o ece una comp ensión ma emá ica basada en conexiones de las o mas de conoce
y de los modos de ep esen ación de los concep os ma emá icos. Po o o lado, la ap oximación
ins umen al, a pa i de la o ques ación ins umen al desa ollada nos pone de mani ies o que el
papel de la ecnología es acili a una ac i idad del p o eso en el aula cen ada en los es udian es.
Es os esul ados nos inducen ab i líneas pa a p o undiza en es a p oblemá ica, ya que la
complemen a iedad de los ma cos eó icos conside ados nos pe mi en plan ea la posibilidad de
a moniza dos dimensiones pa a ca ac e iza el papel de la ecnología en la ac i idad del p o eso :
o ma de comp ensión ma emá ica que se a o ece y pa icipan e en el que se cen a. En es e
sen ido, nues o abajo iene algunas limi aciones, pensamos que se necesi an más in es igaciones
en con ex os ma emá icos di e en es.
Si conside amos las ideas p opues as po Schoen eld (2000) en elación a los c i e ios que pueden
se ú iles pa a e alua eo ías o in es igaciones en educación ma emá ica, y las aplicamos a la
a iculación de ma cos eó icos, nues a p opues a de complemen a iedad eó ica iene pode
desc ip i o y explica i o, ya que podemos da desc ipciones que explican de mane a más p ecisa
aspec os ele an es de la ealidad compleja que se da en las si uaciones de enseñanza y ap endizaje
ma emá ico en en o nos ecnológicos. El alcance de la a iculación es á ligado a la gene alización
de las o mas de in e p e a dis in os escena ios en los que es á p esen e la ecnología. Nues a
p opues a posibili a hace p edicciones sob e los posibles esul ados de ap endizaje como esul ado
de la génesis ins umen al desa ollada en los es udian es a a és de la ayec o ia de ap endizaje
iden i icada. Aunque en es a comunicación nues o oco de in e és ha sido el p o eso , se necesi an
in es igaciones que conside en ambién a los es udian es.
La idea de p og ama de in es igación cien í ica de Laka os (1993) nos pe mi e conside a que la
complemen a iedad eó ica puede se uc í e a cuando los “núcleos i mes” de los ma cos eó icos
son compa ibles. En es e abajo, los dos ma cos eó icos se apoyan en la idea de ins umen o. Que
usen el mismo é mino no quie e deci que en ambos ma cos eó icos signi ique lo mismo. En
ambas ap oximaciones se admi en a e ac os o ins umen os ísicos y concep uales (so wa e,
ep esen aciones…). En la ap oximación ins umen al, un ins umen o es un a e ac o que puede
usa se de di e en es mane as (esquemas de uso) pa a con e i se en ins umen o, po ejemplo los
p og amas de o denado . En la eo ía de la ac i idad del p o eso los ins umen os, los modos de
ep esen ación y elemen os ma emá icos en es e caso, se usan de de e minada mane a y p opósi o.
P o undiza en los esul ados puede mos a que los usos y p opósi os de los elemen os ma emá icos
(Sánchez-Ma amo os e al., 2007, 2013) y los modos de ep esen ación (Rico, 2001) pueden
pe mi i ca ac e iza los esquemas de uso de los p og amas de o denado . La posibilidad de que la
complemen a iedad de ideas pe mi a ealiza explicaciones y p edicciones sob e la enseñanza y el
ap endizaje ma emá ico pone de mani ies o que és a es “p og esi a” en el sen ido de los p og amas
de in es igación cien í ica. Nos hemos limi ado a conside a el “núcleo” de cada p og ama y no se
han conside ado ni el cin u ón p o ec o ni las me odologías de in es igación, que deben se obje o
de u u os análisis.
En es e abajo, “compa ibilidad y complemen a iedad” de ideas eó icas son aspec os que se
conside an insepa ables, las dos ca as de una misma moneda, pa a abo da la a iculación de ideas
eó icas p o enien es de pe spec i as sociocul u ales dis in as. C eemos que es os plan eamien os
pueden se aspec os que se conside en en las p opues as de p o undizan en las di e en es
a iculaciones eó icas que se pueden abo da . La complemen a iedad eó ica nos habla del
po encial de los esul ados que se ob ienen, y la compa ibilidad hace e e encias a los equisi os
pa a plan ea se cohe en emen e dichos esul ados. Aquí hemos e lexionado sob e la
complemen a iedad de ideas de na u aleza simila (sociocul u ales) que p o ienen de ma cos
eó icos dis in os, queda abie a la e lexión a la a iculación en e ideas p o enien es de
pe spec i as cogni i as y sociocul u ales.
Indagando sob e el papel de la ecnología en el aula
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