P oyec o Fin de Ca e a
Ingenie ía de Telecomunicación
Fo ma o de Publicación de la Escuela Técnica
Supe io de Ingenie ía
Au o : F. Ja ie Payán Some
Tu o : Juan José Mu illo Fuen es
Dep. Teo ía de la Señal y Comunicaciones
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2013
T abajo Fin de G ado
G ado en Ingenie ía de Tecnologías Indus iales
Modelización Mic omecánica basada en
RVE pa a la E aluación de Figu as Mé i o
en Piezocompues os 0-3 y 1-3
Au o : Ma ía Ga cía Co ea
Tu o : Luis Rod íguez de Tembleque Solano
Dp o. Mecánica de Medios Con inuos y Teo ía de
Es uc u as
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2024
T abajo Fin de G ado
G ado en Ingenie ía de Tecnologías Indus iales
Modelización Mic omecánica basada en RVE
pa a la E aluación de Figu as Mé i o en
Piezocompues os 0-3 y 1-3
Au o :
Ma ía Ga cía Co ea
Tu o :
Luis Rod íguez de Tembleque Solano
Ca ed á ico de Uni e sidad
Dp o. Mecánica de Medios Con inuos y Teo ía de Es uc u as
Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía
Uni e sidad de Se illa
Se illa, 2024
T abajo Fin de G ado: Modelización Mic omecánica basada en RVE pa a la E aluación
de Figu as Mé i o en Piezocompues os 0-3 y 1-3
Au o : Ma ía Ga cía Co ea
Tu o : Luis Rod íguez de Tembleque Solano
El ibunal nomb ado pa a juzga el abajo a iba indicado, compues o po los siguien es p o eso es:
P esiden e:
Vocal/es:
Sec e a io:
acue dan o o ga le la cali icación de:
El Sec e a io del T ibunal
Fecha:

Ag adecimien os
M
e gus a ía ag adece en p ime luga a mi u o , Luis Rod íguez de Tembleque, que ha pues o
oda la paciencia y me ha b indado oda la ayuda que he necesi ado pa a conclui con éxi o
es e abajo.
También me gus a ía ag adece a odas las pe sonas que he conocido a lo la go de la ca e a que
han hecho que haya podido llega has a aquí. A Ca men, Delia y Ma a, que hicie on que has a
los abajos más di íciles ue an di e idos. A odos los que comenza on siendo compañe os pa a
e mina siendo amigos; y en especial a Juanmi, con quien he compa ido los mejo es (y los peo es)
momen os de ealiza un TFG. A B uno, que es sin duda lo mejo que me lle o.
Po úl imo, me gus a ía ag adece a mi amilia, que me ha dado la opo unidad de llega has a
aquí. En ella incluyo, po supues o, a Rocío y a Alicia. Hemos es ado p esen es en odas nues as
e apas, an o educa i as como pe sonales, y es a no ha sido di e en e. Solo espe o que nos podamos
segui iendo c ece siemp e.
Ma ía Ga cía Co ea
Se illa, 2024
I
Resumen
E
n los úl imos años, el es udio de los compues os piezoeléc icos lib es de plomo ha cob ado
especial ele ancia, debido a la c ecien e necesidad de encon a al e na i as a los ma e iales
adicionales, más sos enibles y espe uosos con el medio ambien e. Es e abajo es udia di e sas
p opiedades y igu as de mé i o de es os compues os en con igu aciones 0-3 y 1-3. Más conc e-
amen e analiza la in luencia de la mo ología de la ib a y las inclusiones de la ase ac i a en la
ma iz, así como la auxe icidad de la misma.
El análisis se basa en la compa ación de p opiedades a a és de igu as de mé i o, he amien as
undamen ales pa a e alua la idoneidad de los piezocompues os bajo di e en es condiciones de
ca ga. Pa a ello, es necesa io ob ene los coe icien es elás icos y piezoeléc icos median e simula-
ciones que se ealizan u ilizando el Mé odo de los Elemen os Fini os (MEF) sob e un elemen o de
olumen ep esen a i o (RVE), implemen ado en el so wa e Ansys.
El uso de es e mé odo end á espaldado po compa aciones con o os es udios que han abajado
con los mismos modelos aquí empleados, ga an izando la iabilidad de los esul ados. Además, los
es udios se ha án con los piezoeléc icos conocidos como lead- ee; es deci , lib es de plomo. Es o
hace que es e abajo ambién enga in e és en es e sen ido, debido a su ca ác e noci o pa a la salud.
Es po es o que elimina lo p esen a g andes en ajas.
En e las p incipales conclusiones, se des aca que las igu as de mé i o mues an una no able
consis encia den o de un mismo ipo de conec i idad, independien emen e de la mo ología de las
ib as. No obs an e, las di e encias se hacen no ables al compa a conec i idad 0-3 y 1-3, lo que
sub aya la impo ancia de la es uc u a del ma e ial en su endimien o. En cuan o a la auxe icidad
de la ma iz, su in luencia a ía según los coe icien es y igu as de mé i o analizados. Sin emba go,
en ninguno de los casos es una di e encia muy acusada.
III
XÍndice de Figu as
3.2 Esquema del análisis local-global. Figu a ex aída de [6] 19
3.3 Ejemplo de disc e ización de dominio pa a aplica el MEF 21
3.4 RVE pa a ib a ci cula , o ien ada según a122
3.5 RVE pa a ib a cuad ada, o ien ada según a123
3.6 RVE pa a inclusión es é ica 23
3.7 RVE pa a inclusión hexaéd ica 24
3.8 Elemen o empleado pa a el modelado de ma e iales piezocompues os [7] 24
3.9
Mallados pa a
=0.111
de las cua o mo ologías de inclusiones con empladas en
es e abajo. Pa a las ib as ci cula y cuad ada, el mallado empleado ha sido adap a i o.
En la ma iz, los elemen os son meno es con o me se ace can a la ib a; y en la ib a, se
an educiendo hacia el cen o. Po o o lado, pa a las inclusiones es é ica y hexaéd ica, la
ma iz se ha mallado con elemen os con o ma de p isma iangulas, de amaño cons an e
en el RVE. Ambas inclusiones se mallan con elemen os cúbicos. 25
3.10
Esquema de los cambios que in oduci sob e la ma iz de p opiedades pa a ajus a la a la
de inida po Ansys [8] 26
3.11
A la izquie da, TBDATA según el c i e io IEEE; y a la de echa, TBDATA según la de inición
de la ma iz de Ansys 26
4.1
La igu a (a) mues a la dis ibución de de o maciones
ε11
pa a
=0.111
. Po o o lado,
la igu a (b) ep esen a los desplazamien os esul an es según x 30
4.2
La igu a (a) mues a la dis ibución de ensiones
σ11
(a), y la igu a (b), la de
σ22
(b).
Ambas dis ibuciones han sido calculadas pa a =0.111 31
4.3
En la Figu a (a), se p esen a la dis ibución de de o maciones
ε33
pa a
=0.111
; y en
la Figu a (b), los desplazamien os esul an es según z 32
4.4
La igu a (a) mues a la dis ibución de ensiones
σ11
pa a
=0.111
; y la igu a (b)
mues a la dis ibución de ensiones σ33 pa a el mismo alo de 32
4.5 Dis ibución de la de o mación ε23 pa a un alo de acción olumé ica de ib a =0.111 32
4.6 Dis ibución de la ensión σ23 en el olumen ep esen a i o pa a =0.111 33
4.7 Dis ibución de la de o mación ε12 en el plano xy pa a una acción olumé ica =0.111 34
4.8
Dis ibución de la ensión
σ12
en el olumen ep esen a i o pa a una acción olumé ica
de =0.111 34
4.9 Dis ibución del campo eléc ico E3pa a una acción olumé ica =0.111 35
4.10 Dis ibuciones de ensiones σ11 (a) y desplazamien os eléc icos D3(b) pa a =0.111 35
4.11 Dis ibución del campo eléc ico E2pa a una acción olumé ica =0.111 36
4.12
La igu a (a) ep esen a la dis ibución de ensiones
σ23
, y la igu a (b), los desplazamien os
eléc icos D3pa a =0.111 36
4.13
Compa ación de coe icien es elás icos e ec i os en e RVE p opues o de ma iz epoxy e
inclusiones de PZT, solución de Be ge e al. [
9
] pa a ma iz epoxy e inclusiones de PZT y
solución eó ica de Chan [10] pa a los mismos ma e iales que los an e io es 37
4.14
Compa ación de coe icien es piezoeléc icos e ec i os en e RVE p opues o de ma iz
epoxy e inclusiones de PZT, solución de Be ge e al. [
9
] pa a ma iz epoxy e inclusiones
de PZT y solución eó ica de Chan [10] pa a los mismos ma e iales que los an e io es 37
4.15
Compa ación de coe icien es dieléc icos e ec i os en e RVE p opues o de ma iz epoxy
e inclusiones de PZT, solución de Be ge e al. [
9
] pa a ma iz epoxy e inclusiones de PZT
y solución eó ica de Chan [10] pa a los mismos ma e iales que los an e io es 38
4.16
G á icas compa a i as de coe icien es elás icos e ec i os
C11
,
C13
y
C33
en e inclusiones
piezoeléc icas ci cula es, cuad adas, es é icas y hexaéd icas. Ma iz de polie ileno e
inclusiones piezoeléc icas de KNN 39

Índice de Figu as XI
4.17
G á icas compa a i as de coe icien es piezoeléc icos e ec i os
e13
y
e33
en e inclusiones
piezoeléc icas ci cula es, cuad adas, es é icas y hexaéd icas. Ma iz de polie ileno e
inclusiones piezoeléc icas de KNN 39
4.18
G á icas compa a i as de coe icien es dieléc icos e ec i os
ϵ11
y
ϵ33
en e inclusiones
piezoeléc icas ci cula es, cuad adas, es é icas y hexaéd icas. Ma iz de polie ileno e
inclusiones piezoeléc icas de KNN 40
4.19
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
g31
y
g33
en e inclusiones piezoeléc icas
ci cula es, cuad adas, es é icas y hexaéd icas. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezo-
eléc icas de KNN 40
4.20
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
Kp
y
K
en e inclusiones piezoeléc icas
ci cula es, cuad adas, es é icas y hexaéd icas. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezo-
eléc icas de KNN 41
4.21
G á icas compa a i as de coe icien es elás icos e ec i os
C11
,
C13
y
C13
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas ci cula es. Ma iz de polie ileno e
inclusiones piezoeléc icas de KNN 43
4.22
G á icas compa a i as de coe icien es piezoeléc icos e ec i os
e13
y
e33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas ci cula es. Ma iz de polie ileno e
inclusiones piezoeléc icas de KNN 43
4.23
G á icas compa a i as de coe icien es dieléc icos e ec i os
ϵ11
y
ϵ33
en e ma iz auxé ica
o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas ci cula es. Ma iz de polie ileno e inclusiones
piezoeléc icas de KNN 44
4.24
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
g31
y
g33
en e ma iz auxé ica o no auxé ica
pa a inclusiones piezoeléc icas ci cula es. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezoeléc i-
cas de KNN 44
4.25
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
K
y
Kp
en e ma iz auxé ica o no auxé ica pa-
a inclusiones piezoeléc icas ci cula es. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezoeléc icas
de KNN 45
4.26
G á icas compa a i as de coe icien es elás icos e ec i os
C11
,
C13
y
C33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas cuad adas. Ma iz de polie ileno e
inclusiones piezoeléc icas de KNN 45
4.27
G á icas compa a i as de coe icien es piezoeléc icos e ec i os
e13
y
e33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas cuad adas. Ma iz de polie ileno e
inclusiones piezoeléc icas de KNN 46
4.28
G á icas compa a i as de coe icien es dieléc icos e ec i os
ϵ11
y
ϵ33
en e ma iz au-
xé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas cuad adas. Ma iz de polie ileno e
inclusiones piezoeléc icas de KNN 46
4.29
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
g31
y
g33
en e ma iz auxé ica o no au-
xé ica pa a inclusiones piezoeléc icas cuad adas. Ma iz de polie ileno e inclusiones
piezoeléc icas de KNN 47
4.30
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
K
y
Kp
en e ma iz auxé ica o no auxé ica pa-
a inclusiones piezoeléc icas cuad adas. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezoeléc icas
de KNN 47
4.31
G á icas compa a i as de coe icien es elás icos e ec i os
C11
,
C13
y
C33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas es é icas. Ma iz de polie ileno e
inclusiones piezoeléc icas de KNN 48
4.32
G á icas compa a i as de coe icien es piezoeléc icos e ec i os
e13
y
e33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas es é icas. Ma iz de polie ileno e
inclusiones piezoeléc icas de KNN 48
XII Índice de Figu as
4.33
G á icas compa a i as de coe icien es dieléc icos e ec i os
ϵ11
y
ϵ33
en e ma iz auxé ica
o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas es é icas. Ma iz de polie ileno e inclusiones
piezoeléc icas de KNN 49
4.34
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
g31
y
g33
en e ma iz auxé ica o no auxé ica
pa a inclusiones piezoeléc icas es é icas. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezoeléc i-
cas de KNN 49
4.35
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
K
y
Kp
en e ma iz auxé ica o no auxé ica pa-
a inclusiones piezoeléc icas es é icas. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezoeléc icas
de KNN 50
4.36
G á icas compa a i as de coe icien es elás icos e ec i os
C11
,
C13
y
C13
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas hexaéd icas. Ma iz de polie ileno
e inclusiones piezoeléc icas de KNN 50
4.37
G á icas compa a i as de coe icien es piezoeléc icos e ec i os
e13
y
e33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas hexaéd icas. Ma iz de polie ileno
e inclusiones piezoeléc icas de KNN 51
4.38
G á icas compa a i as de coe icien es dieléc icos e ec i os
ϵ11
y
ϵ33
en e ma iz auxé-
ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas hexaéd icas. Ma iz de polie ileno e
inclusiones piezoeléc icas de KNN 51
4.39
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
g31
y
g33
en e ma iz auxé ica o no au-
xé ica pa a inclusiones piezoeléc icas hexaéd icas. Ma iz de polie ileno e inclusiones
piezoeléc icas de KNN 52
4.40
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
K
y
Kp
en e ma iz auxé ica o no auxé ica
pa a inclusiones piezoeléc icas hexaéd icas. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezo-
eléc icas de KNN 52
Índice de Tablas
2.1
P opiedades de los cons i uyen es del piezocompues o pa a la alidación del modelo
mic omecánico: ma iz polimé ica y ib a PZT-5. P opiedades ex aídas de [9] 14
2.2 P opiedades de los cons i uyen es del piezocompues o: ma iz de polie ileno y ib a KNN 15
4.1 F acciones olumé icas empleadas pa a la ob ención de esul ados 29
4.2
Condiciones de con o no a aplica , elacionadas con los esul ados que p opo cionan y
los coe icien es que se an a calcula con ellos 30
4.3 Resul ados de la CC1 31
4.4 Resul ados de la CC2 31
4.5 Resul ados ob enidos pa a la condición de con o no CC3 33
4.6
Valo es p omedio de la de o mación
ε12
y la ensión
σ12
ob enidos pa a di e en es
acciones olumé icas de ib a en la condición de con o no CC4 33
4.7 Resul ados ob enidos pa a la condición de con o no CC5 35
4.8 Resul ados ob enidos pa a la condición de con o no CC6 36
XIII
No ación
PZT Ti ana o ci cona o de plomo
KNN Niobia o de sodio y po asio
CC Condición de con o no
RVE Elemen o de olumen ep esen a i o
VRV E Volumen ep esen a i o del elemen o
F acción olumé ica de ib a
aiSemilongi ud del RVE en di ección i
ϵ
ϵ0Coe icien e dieléc ico ela i o
σMa iz de ensiones
εMa iz de de o maciones
φPo encial eléc ico
uiVec o de desplazamien os
CMa iz de coe icien es elás icos
SMa iz de lexibilidad
eMa iz de coe icien es piezoeléc icos
dMa iz de coe icien es piezoeléc icos
ϵε
Ma iz de coe icien es dieléc icos bajo de o mación
cons an e
ϵσ
Ma iz de coe icien es dieléc icos bajo ensión cons an e
DMa iz de desplazamien os eléc icos
EMa iz de campo eléc ico
Ce
i j Coe icien es elás icos e ec i os
ee
i j Coe icien es piezoeléc icos e ec i os
ϵe
i j Coe icien es dieléc icos e ec i os
EMódulo de Young
GMódulo de cizalladu a
KMódulo de comp esibilidad
KpFac o de acoplamien o plana
K Fac o de acoplamien o elec omecánico
g31
Coe icien e de ol aje piezoeléc ico al aplica ensión
según la di ección 1
g33
Coe icien e de ol aje piezoeléc ico al aplica ensión
según la di ección 3
νCoe icien e de Poisson
γi j De o mación angencial en el plano i j
XV

1 In oducción
E
n el con ex o ac ual de una c ecien e demanda ene gé ica, los a ances en el sec o de los "ma e-
iales in eligen es" son cada ez más ele an es. Es po es o que los ma e iales piezoeléc icos
han ganado popula idad, siendo obje o de nume osos es udios y a ículos (como los expues os en el
Bole ín nº3 del Minis e io de Ciencia e Inno ación [11] o po E. L. P adeesh e al. [12]).
En el p esen e abajo, se analiza án numé icamen e las p opiedades de piezocompues os lib es
de plomo. Se ob end án sus p opiedades según la in luencia de la mo ología de la ib a, así como
de la auxe icidad de la ma iz, en el compo amien o del compues o. A con inuación, se ahonda en
la mo i ación y los obje i os conc e os, pa a inalmen e especi ica cómo se p e ende alcanza los.
1.1 Mo i ación
Los ma e iales compues os han demos ado se undamen ales en múl iples aplicaciones indus iales
debido a su capacidad pa a combina las p opiedades de dos o más ma e iales, c eando uno con
ca ac e ís icas op imizadas. Es e en oque pe mi e, po ejemplo, alige a el peso de es uc u as ae o-
náu icas, como es el caso del uso de compues os de ma iz polimé ica, desc i os en [
1
], o ab ica
ma e iales de cons ucción an esis en es y compe i i os como el ho migón a mado. En gene al,
los ma e iales compues os se o man a pa i de una ma iz, que cons i uye la mayo p opo ción
del ma e ial, y una ib a o inclusión que apo a las p opiedades mecánicas deseadas. Es e esquema
se mues a en la Figu a 1.1. En los úl imos años, con las nue as écnicas de ab icación adi i a,
iene c eciendo el desa ollo y el empleo los llamados compues os piezoeléc ico ( [
13
]). Los
piezocompues os es án cons i uidos po una ase ac i a piezoeléc ica y una ase no ac i a que ac úa
como sopo e de aquélla, y que condiciona las p opiedades del sis ema compues o. És os pe mi en
amplia las aplicaciones de es os ma e iales (e.g., ac uado es o senso es) a muchos más sec o es
ecnológicos como como la indus ia ae oespacial, au omo iz, elec ónica o biomédica. Es e ipo
de compues os se án los es udiados en es e abajo.
La piezoelec icidad, ue descubie a po Pie e y Jacques Cu ie en 1880 [
2
]. En ese momen o, el
enómeno ue p incipalmen e es udiado en ma e iales que lo p esen aban de o ma na u al; con-
c e amen e, el c is al de cua zo. Pudie on obse a que, an e una de o mación mecánica, es e se
pola iza de o ma p opo cional a la ca ga aplicada, o iginando un campo eléc ico. Es o se conoce
como e ec o piezoeléc ico di ec o. Más a de, Gab iel Lippmann comp obó que el enómeno ocu e
ambién de o ma in e sa en los mismos c is ales de cua zo. Es e nue o descub imien o demos aba
que, al aplica un campo eléc ico, se gene aba una de o mación. Así, se de inió ambién el e ec o
1
2Capí ulo 1. In oducción
Figu a 1.1
Esquema de un ma e ial compues o. En él, se ap ecian la ma iz, el e ue zo y la in e ase.
La in e ase es la zona de unión ma iz- e ue zo, que en es e abajo se conside a nula al
supone se adhe encia pe ec a en e la ma iz y la ib a. Figu a ex aída de [1] .
Figu a 1.2
La Figu a (a) ejempli ica el e ec o piezoeléc ico di ec o. En él, se aplica una de o mación
que da como esul ado un campo eléc ico. Análogamen e, la Figu a (b) explica el e ec o
piezoeléc ico in e so. En es e, como esul ado de la aplicación de un campo eléc ico,
se ob iene una de o mación mecánica. Figu as ex aídas de [2].
piezoeléc ico in e so. Es os dos e ec os se sin e izan en la Figu a 1.2.
El e ec o piezoeléc ico, como de allan E ienne Balmes y A naud Da aemaeke [
2
], en los c is ales
na u almen e piezoeléc icos, ocu e como consecuencia de la dis o sión de la es uc u a c is alina.
Al aplica una de o mación sob e es a es uc u a, se dis o siona c eando dipolos eléc icos. Como
consecuencia de ellos, se gene a un campo eléc ico. Es o ocu e en c is ales no e oeléc icos, como
los de cua zo. T as su descub imien o, se comenza on a plan ea sus usos y aplicaciones. Es os inclu-
yen no solo a la ingenie ía, como pod ía pensa se. Muchos o os ámbi os, como el de la Medicina,
se pueden bene icia del es udio y uso de es e ipo de ma e iales. Un ejemplo de ello es la imagino-
logía médica po ul asonido de pulso-eco, una écnica no edosa y poco in asi a de diagnós ico [
10
].
Sin emba go, los ma e iales piezoeléc icos po na u aleza (c is ales no e oeléc icos), no lo son
de o ma muy acusada. Es po ello que lo más común es emplea c is ales e oeléc icos, ce ámicas
o políme os a los que se ha inducido la piezoelec icidad. Pa a hace los, se usa pol o de ma e iales
e oeléc icos que se some e a una sin e ización, en la que se llega a la empe a u a de Cu ie. T as
es o, la es uc u a in e na queda con o mada po g anos de o ma alea o ia, que se eo dena án al
some e se a una de o mación. Es o se mues a en la Figu a 1.3. Los g anos se o ganizan en dominios,
que se o denan al aplica de o mación. Es o p o oca la pola ización necesa ia pa a ob ene el e ec o
piezoeléc ico.
1.1 Mo i ación 3
Figu a 1.3
O ien ación de los g anos de un ma e ial e oeléc ico, ag upados en dominios, p e ia a
la aplicación de un campo eléc ico. T as ella, odos oman la misma o ien ación. Figu a
ex aída de [2].
Desde su descub imien o, los ma e iales piezoeléc icos se han u ilizado en una amplia a iedad
de disposi i os, que an desde meche os, donde la de o mación de la pied a piezoeléc ica gene a
una di e encia de po encial que p oduce una chispa [
11
], has a senso es en sis emas de ai bags.
En gene al, los dos usos más comunes son como senso es y como ac uado es. Según el in que
se pe siga, se emplea un ipo de piezoeléc ico u o o. Debido a su al a igidez y duc ilidad, los
ma e iales piezoce ámicos suelen es a p esen es en ac uado es. El ele ado módulo de elas icidad
que p esen an pe mi e un ácil acoplamien o a la es uc u a. Po el con a io, pa a los senso es, es
con enien e que el ma e ial elegido no añada igidez a la es uc u a que se p e ende moni o ea .
Es po ello que pa a es e uso, se emplean habi ualmen e piezopolíme os. Es os se p esen an en la
mayo ía de ocasiones en láminas.
Un campo sob e el que ha habido un g an desa ollo en los úl imos años es el uso de piezo-
eléc icos como colec o es de ene gía ( ambién llamados ene gy ha es ing, denominación que
se emplea á de es e pun o en adelan e). Nume osos a ículos han ahondado en es e p ome edo
campo, como el lle ado a cabo po E. L. P adeesh e al. [
12
]. Como se mencionaba al comienzo
de es e capí ulo, in oduci nue as o mas de p oducción de ene gía es c ucial. Conside ando que
los ma e iales piezoeléc icos an o man de o maciones mecánicas en ca ga eléc ica, esul a muy
in e esan e explo a es o como uen e ene gé ica. Los ene y ha es ing comenza on empleando la
idea de ans o ma ene gía mecánica en eléc ica pa a ca ga pequeños disposi i os. T as es os
p ime os disposi i os, g acias al a ance de la ecnología, se han podido desa olla o os de mayo
capacidad.
A pesa de sus nume osas en ajas, muchos de los ma e iales piezoeléc icos más comunes con ie-
nen plomo, lo que ha gene ado p eocupación en los úl imos años. En pa icula , el i ana o ci cona o
de plomo,
Pb(Z ,Ti)O3
(PZT, po sus siglas en inglés), ha sido uno de los más u ilizados debido a sus
ele ados coe icien es piezoeléc icos. Como se mues a en la Figu a 1.5, el PZT p esen a el mayo
coe icien e piezoeléc ico
d33
en e los ma e iales más empleados. No obs an e, la oxicidad del plo-
10 Capí ulo 2. Compo amien o de los compues os piezoeléc icos
Figu a 2.1
Tipos de acoplamien o de piezoeléc icos. El acoplamien o 33 consis e en la aplicación
de la ue za en el mismo sen ido que la pola ización. El acoplamien o 31, po su pa e,
implica que la ue za que de o ma el ma e ial y la pola ización ienen sen idos pe pendi-
cula es. Figu a ex aída de [2].
Tal como desc iben Cañame o e al. en [
14
], es a conec i idad pe mi e que la ma iz ansmi a
la ca ga a la ib a, con i iéndole es o un mayo acoplamien o elec omecánico espec o a la
conec i idad 0-3.
•
Conec i idad 2-2. En es e caso, an o el ma e ial piezoeléc ico como la ma iz no piezoeléc-
ica p esen an una conec i idad bidimensional (o de ipo 2). Ambos ma e iales se p esen an
en láminas o capas in e caladas, de mane a que no hay conec i idad en la capa pe pendicula
al plano.
2.2 Ecuaciones cons i u i as
Es impo an e ija la no ación y la o ma de las ecuaciones, ya que al consul a la li e a u a exis en-
e, es común e a iaciones en la o ma de exp esa unas mismas ecuaciones. También es muy
escla ecedo de ca a a la comp ensión de los p ocesos empleados en es e abajo.
En adelan e, se conside a á que los ma e iales piezoeléc icos ienen un compo amien o lineal
an e cambios en los campo mecánico o eléc icos. No se conside a án los cambios de empe a u a y
campo magné ico. Con odo es o, las ecuaciones cons i u i as de los ma e iales piezoeléc icos que
elacionan la de o mación con el campo eléc ico son las siguien es:
(σi j =CE
i jklεkl −eki jEk
Di=eiklεkl +ϵε
ikEk
(2.1)

2.2 Ecuaciones cons i u i as 11
Figu a 2.2
La Figu a (a) mues a el ipo de conec i idad 0-3, en la que las inclusiones se dis ibuyen
de o ma dispe sa, sin in e conexión en e ellas. La Figu a (b) ep esen a la conec i idad
1-3, en la que las ib as piezoeléc icas se o ien an odas en una misma di ección. Po
úl imo, en la Figu a (c) se obse a el ipo de conec i idad 2-2, en la que an o el ma e ial
piezoeléc ico como la ma iz compa en una conec i idad bidimensional. Figu a ex aída
de [3].
Donde
σi j
y
εi j
son las ensiones y de o maciones elás icas, espec i amen e,
cik jl
los coe i-
cien es elás icos;
Di
ep esen a los desplazamien os eléc icos,
Ek
el campo eléc ico,
ei jk
son los
coe icien es piezoeléc icos y
ϵε
ik
, los coe icien es de pe misi idad dieléc ica. El supe índice de es-
e úl imo cob a á ele ancia cuando se desc iba la o a o ma de exp esa las ecuaciones cons i u i as.
El alo de
ϵ
es á elacionado con la ca ga que puede almacena el ma e ial ( [
17
]). Además,
no malmen e su alo se exp esa de o ma uni a ia. Pa a ello, se di ide en e el alo de
ϵ0
, que es la
ca ga que los elec odos pueden almacena en el acío. Su alo numé ico es
ϵ0=8.854x10−12F/m
.
Pa a mayo comodidad, se puede hace uso de la no ación de Voig pa a exp esa las ecuaciones
2.1. σ
σ
σ
D
D
D=C
C
CE−e
e
eT
e
e
eϵε ε
ε
ε
E
E
E(2.2)
Debe ene se en cuen a que el supe índice T indica que la ma iz es á aspues a. La no ación
de Voig se puede exp esa ambién a la in e sa, que se á necesa io pa a ep esen a las igu as de
mé i o. ε
ε
ε
D
D
D=S
S
SEd
d
d
d
d
dTϵσ σ
σ
σ
E
E
E(2.3)
En el caso de la ecuación 2.3,
S
S
S
es la ma iz de lexibilidad, y
d
d
d
la ma iz de coe icien es
piezoeléc icos. Es a úl ima ma iz elaciona di ec amen e la ene gía mecánica aplicada con el
desplazamien o eléc ico gene ado, o ice e sa. Es os alo es in e sos se án especialmen e ú iles
pa a el cálculo de las igu as de mé i o; y se elacionan con los p ime os median e una se ie de
exp esiones.
S
S
SE= (C
C
CE)−1(2.4)
ϵσ=ϵε+d
d
de
e
eT(2.5)
d
d
d=e
e
eS
S
SE(2.6)
12 Capí ulo 2. Compo amien o de los compues os piezoeléc icos
Todas las exp esiones an e io men e indicadas son álidas pa a cualquie ma e ial piezoeléc ico.
Pa a el caso a ado en es e abajo, odos los ma e iales son ans e salmen e isó opos. Es o implica
la exis encia de un eje de sime ía po el que pasan in ini os planos de sime ía elás ica. En ellos,
solo 11 cons an es bas an pa a de ini los.
C
C
CE=








C11 C12 C13 0 0 0
C12 C11 C13 0 0 0
C13 C13 C33 0 0 0
0 0 0 C44 0 0
0 0 0 0 C44 0
0 0 0 0 0 C66








(2.7)
e
e
e=

0 0 0 0 e15 0
0 0 0 e15 0 0
e13 e13 e33 0 0 0
(2.8)
ϵε=

ϵ11 0 0
0ϵ11 0
0 0 ϵ33

(2.9)
S
S
SE=








S11 S12 S13 0 0 0
S12 S11 S13 0 0 0
S13 S13 S33 0 0 0
0 0 0 S44 0 0
0 0 0 0 S44 0
0 0 0 0 0 S66








(2.10)
d
d
d=

0 0 0 0 d15 0
0 0 0 d15 0 0
d13 d13 d33 0 0 0
(2.11)
2.3 P es aciones de los piezocompues os
El p incipal obje i o de los es udios de es e abajo es la ca ac e ización de piezocompues os pa a
analiza sus p opiedades. E. L- P adeesh e al. [
12
] hace e e encia un concep o c ucial de los pie-
zoeléc icos, como es el coe icien e de acoplamien o elec omecánico. Es e es ablece la p opo ción
de ene gía mecánica que pasa a ene gía eléc ica. Cuan o mayo sea, mejo se á el endimien o.
En es e abajo, el acoplamien o se de ini á median e igu as de mé i o, de inidas en la no ma EN
50324-2 [5].
Median e el uso de igu as de mé i o se cuan i ica la idoneidad de cada piezoeléc ico según la
aplicación. Den o de es as, hay dos ipos de igu as: Kyg. Mien as K elaciona di ec amen e la
ene gía de en ada con la de salida, no pudiendo su alo supe a la unidad; g ep esen a el campo
eléc ico c eado an e una de o mación uni a ia. De o ma gene al, se ían:
K2=ene gía de salida
ene gía de en ada (2.12)
g=campo eléc ico salida
de o mación uni a ia de en ada (2.13)
Como esul a e iden e, el alo de Knunca pod á se supe io a la unidad. Pa a ce ámicas
piezoeléc icas p esen a unos alo es de en e 0.3 y 0.75, según la ca ga aplicada (Mus a a Ku
2.3 P es aciones de los piezocompues os 13
Figu a 2.3
Figu as de mé i o según los es ue zos a los que se some e a la pieza y la o ma de la
misma. Figu a ex aída de [5].
[17]). En sis emas piezoeléc icos bien diseñados, es e ac o puede llega a oma un alo de 0.9.
Respec o a g, esul a de g an u ilidad en el diseño de senso es, al elaciona el campo eléc ico con
la de o mación. Es deci , es una medida de la sensibilidad, ya que un alo al o de g implica que,
an e una de o mación pequeña, el campo eléc ico es al o.
Además, según el ipo de es ue zo al que se some a al ma e ial pa a ob ene ene gía, se de inen
los di e en es ipos de igu as de mé i o. Pa a ello, se iene en cuen a el sen ido de la de o mación y
del campo eléc ico. Los di e en es modos se ep esen an en la Figu a 2.3.
Las igu as de mé i o que esul an de in e és en es e abajo son
K
y
g33
, que hacen e e encia
a un campo eléc ico y a una de o mación en di ección 3; y
Kp
y
g31
, que se e ie en a un campo
eléc ico en di ección 3 y una de o mación en di ección 1. De es e modo, se cub e el caso de
es ue zo pe pendicula a la pieza y de es ue zo co an e. Es as igu as se án muy ú iles pa a pode
compa a de o ma cla a la espues a de los di e en es casos con emplados en el abajo.
Kp=s1−
ϵε
33
ϵσ
33
CD
33
CE
33
(2.14)
K =s1−
CE
33
CD
33
(2.15)
g31 =d31
ϵσ
33
(2.16)
g33 =d33
ϵσ
33
(2.17)
14 Capí ulo 2. Compo amien o de los compues os piezoeléc icos
2.4 Compues os piezoeléc icos a es udia
A con inuación, se p esen an las p opiedades de los compues os piezoeléc icos es udiados en es e
p oyec o. Pa a ello, en p ime luga se de ini á el piezocompues o empleado pa a la alidación
del modelo mic omecánico, con ib as de
Pb(Z ,Ti)O3
(PZT) y ma iz polimé ica. T as es o, se
de alla án las p opiedades del piezocompues o lib e de plomo a es udios: ib a de
K0.5Na0.5NbO3
(KNN) en ma iz de polie ileno.
Fib a PZT y ma iz polimé ica
La alidación del modelo mic omecánico se ha á compa ando los esul ados ob enidos po Be ge
e al. [
9
] con los ob enidos median e el modelo mic omecánico empleado en es e abajo. Pa a ello,
se debe emplea el mismo ma e ial que se emplea en el a ículo. Las p opiedades de es e compues o
han sido ex aída de Be ge e al. [9], y se p esen an en la Tabla 2.1.
Fib a de KNN y ma iz de polie ileno
A con inuación, se p esen a án las p opiedades del ma e ial que es obje o p incipal de es e p oyec o.
Como se mencionó en el Capí ulo 4, se ha án es udios en ma iz auxé ica y no auxé ica. Es po
es o que se de inen las p opiedades de la ma iz con coe icien es de Poisson an o posi i os como
nega i os. Las p opiedades de la ma iz se ex aen de J A K ishaswamy e al. [
4
]. Así, se pueden
de e mina en unción del coe icien e de Poisson (ν) y el módulo de Young (E).
λm=Emνm
(1+νm)(1−2νm)(2.18)
µm=Em
2(1+νm)(2.19)
Con es os alo es, se pueden calcula los coe icien es elás icos.
C11 =λm+2µm(2.20)
C13 =λm(2.21)
C33 =λm+2µm(2.22)
C44 =µm(2.23)
Respec o a la ib a de KNN, las p opiedades son las empleadas en Liao Qiao e al. [
15
]. Los
coe icien es dieléc icos y piezoeléc icos apa ecen en es e mismo a ículo. De es a o ma, se ob iene
una abla análoga a la an e io , p esen ada en la Tabla 2.2.
Tabla 2.1
P opiedades de los cons i uyen es del piezocompues o pa a la alidación del modelo
mic omecánico: ma iz polimé ica y ib a PZT-5. P opiedades ex aídas de [9].
C11 (1010)C12 (1010)C13 (1010)C33 (1010)C44 (1010)C66 (1010)e15 e31 e33 ϵ11 (10−9)ϵ33 (10−9)
PZT-5 12.1 7.54 7.52 11.1 2.11 2.28 12.3 -5.4 15.8 8.11 7.35
Políme o 0.386 0.257 0.257 0.386 0.064 0.064 - - - 0.07965 0.07965
2.4 Compues os piezoeléc icos a es udia 15
Tabla 2.2
P opiedades de los cons i uyen es del piezocompues o: ma iz de polie ileno y ib a KNN.
C11 (108)C12 (108)C13 (108)C33 (108)C44 (108)C66 (108)e15 e31 e33
ϵ11
ϵ0
ϵ33
ϵ0
KNN 1362 862 659 985 228 250 15.6 -11.2 15.9 1100 975
Polie ilenoν=0.21.1111 0.27778 0.27778 1.1111 0.41667 0.41667 - - - 2.3 2.3
Polie ilenoν=−0.32 1.1836 -0.28694 -0.28694 1.1836 0.73529 0.73529 - - - 2.3 2.3
Con es os da os, queda ían de inidas las p opiedades de los ma e iales y las ecuaciones empleadas
en es e abajo.

3 Modelización mic omecánica de
compues os piezoeléc icos
E
n es e capí ulo se p esen a án las ideas p incipales enidas en cuen a pa a la modelización
mic omecánica de los piezocompues os a es udia en es e abajo. En p ime luga , se explica á
el concep o de Elemen o de Volumen Rep esen a i o o RVE (po sus siglas en inglés). T as es o,
se de ini á el concep o de homogenización numé ica y condiciones de con o no pe iódicas. Po
úl imo, se explica á el Mé odo de los Elemen os Fini os, y la implemen ación del RVE median e el
so wa e Ansys.
3.1 Concep o de Elemen o de Volumen Rep esen a i o o RVE
El RVE es un mé odo empleado en el es udio de ma e iales compues os cuyo in es simpli ica el
análisis numé ico de los mismos. En él, se busca ob ene un olumen ep esen a i o o celda uni a ia
de las p opiedades de la mic oes uc u a del ma e ial a es udia . El mé odo del elemen o de olumen
ep esen a i o (RVE) se emplea pa a elabo a modelos mic omecánicos de un ma e ial he e ogé-
neo que pe mi an ob ene las p opiedades de dicho ma e ial a pa i de un elemen o de olumen
ep esen a i o o celda uni a ia que con iene las ca ac e ís icas p incipales de la mic oes uc u a del
ma e ial. El concep o de RVE ue de inido po Hill [
18
] como una mues a de ma e ial he e ogéneo
que cumplie a las siguien es conside aciones:
•
Se ep esen a i o de odo el compues o, po lo que end á que se global o es adís icamen e
homogéneo.
•
Con ene inclusiones lo su icien emen e pequeñas y en can idad adecuada pa a que las
p opiedades de los cons i uyen es sean independien es de los alo es supe iciales de ensión
y desplazamien o.
Pa a una buena elección del RVE se debe alcanza una solución de comp omiso en e un olumen
que ep esen e co ec amen e las p opiedades del ma e ial, y un olumen que pueda se analizado
numé icamen e. La elabo ación de un RVE es un p oceso c í ico ya que con dicho elemen o se
es á eemplazando un ma e ial he e ogéneo con un ma e ial homogéneo equi alen e. Es e hecho
implica que el olumen ep esen ado debe se lo su icien emen e g ande como pa a ep esen a la
mic oes uc u a sin in oduci p opiedades mac oscópicas no exis en es, y a la ez lo su icien emen e
pequeño como pa a se analizado analí icamen e o numé icamen e.
Respec o a un ma e ial compues o, un RVE ep esen a dicho ma e ial median e un elemen o
di e encial del mismo, el cual debe ene las mismas p opiedades y acción de olumen que el
17
18 Capí ulo 3. Modelización mic omecánica de compues os piezoeléc icos
Figu a 3.1 Tipología de las celdas empleadas en es e abajo como RVE. Figu a ex aída de [6].
compues o.
Teniendo es o en cuen a, pa a es e abajo, se han supues o compues os pe iódicos, de mane a
que se pueden ca ac e iza haciendo uso de una celda de amaño uni a io como la mos ada en la
Figu a 3.1. Además, las ib as se o ien a án siemp e según la di ección y1.
Una ez es udiado el olumen median e las écnicas pe inen es, es as se ex apolan al compues o
comple o. Pa a ello, se hace uso de los mé odos de homogeneización numé ica.
3.2 Homogeneización y condiciones de con o no pe iódicas
Dado que los ma e iales compues os ienen ca ác e he e ogéneo, sus p opiedades no son las mismas
a lo la go de odo su olumen. Es o complica eno memen e cualquie análisis, haciendo necesa io
el uso de mé odos como el de la homogeneización.
La homogeneización consis e en la ob ención de unas p opiedades homogéneas pa iendo de un
ma e ial compues o; es deci , he e ogéneo. Es as p opiedades oman el nomb e de "p opiedades
e ec i as del ma e ial". Pa a pode ob ene las, deben cambia se las a iables del p oblema elec o-
mecánico acoplado. Al hace lo, la ecuación de Voig 2.2 queda como se exp esa en la exp esión 3.1.
σ
σ
σ
D
D
D="C
C
Ce E
−e
e
ee T
e
e
ee ϵe ε#ε
ε
ε
E
E
E(3.1)
Donde
Ce
,
ee
y
ϵe
son coe icien es e ec i os y
σ
σ
σ
,
D
D
D
,
ϵ
y
E
E
E
son alo es medios. En la
exp esión 3.2 se mues an odos los coe icien es a ob ene .
3.2 Homogeneización y condiciones de con o no pe iódicas 19
Figu a 3.2 Esquema del análisis local-global. Figu a ex aída de [6].












σ11
σ22
σ33
σ23
σ31
D1
D2
D3












=

















Ce E
11 Ce E
12 Ce E
13 0 0 0 0 0 −ee
13
Ce E
12 Ce E
11 Ce E
13 0 0 0 0 0 −ee
13
Ce E
13 Ce E
13 Ce E
33 0 0 0 0 0 −ee
33
0 0 0 Ce E
44 0 0 0 −ee
15 0
0 0 0 0 Ce E
44 0−ee
15 0 0
00000Ce E
66 000
0 0 0 0 ee
15 0ϵe ε
11 0 0
0 0 0 ee
15 0 0 0 ϵe ε
11 0
ee
13 ee
13 ee
33 0 0 0 0 0 ϵe ε
33































ε11
ε22
ε33
ε23
ε31
ε12
E1
E2
E3














(3.2)
Pa a p edeci las p opiedades e ec i as de un ma e ial compues o a pa i de las p opiedades de
sus cons i uyen es, se emplean las llamadas écnicas de homogeneización. Es as écnicas o ecen
una al e na i a o complemen o a la de e minación expe imen al de las p opiedades y se basan en
un en oque mul iescala del ma e ial. Es e en oque se di ide en dos escalas: una mic oscópica, que
conside a las inhomogeneidades del ma e ial, y una mac oscópica, en la que el ma e ial se asume
como homogéneo.
En es e abajo, la me odología empleada se á la homogeneización numé ica. Es a implica un
análisis local-global del ma e ial sob e el elemen o de olumen ep esen a i o o RVE. Pa a es e
análisis, se con emplan dos e apas: local y global. Cada una de ellas puede se a ada como un
p oblema independien e.
•
Análisis local Se oma el pun o mac oscópico xde la Figu a 3.2. Median e el análisis global,
se puede modela un RVE de la mic oes uc u a en ese pun o. Con es e olumen ep esen a i o,
y median e la aplicación de condiciones de con o no adecuadas, se puede esol e el p oblema
elás ico en odos los pun os de y(escala mic oscópica). De es a o ma, se pueden conoce las
p opiedades e ec i as en odos los pun os mic oscópicos del ma e ial.
•
Análisis global Una ez conocidas las p opiedades e ec i as en cada uno de los pun os
del ma e ial, se puede aplica un análisis global pa a conside a odo el compues o como
homogéneo.
26 Capí ulo 3. Modelización mic omecánica de compues os piezoeléc icos
Figu a 3.10
Esquema de los cambios que in oduci sob e la ma iz de p opiedades pa a ajus a la a
la de inida po Ansys [8].
(a) (b)
Figu a 3.11
A la izquie da, TBDATA según el c i e io IEEE; y a la de echa, TBDATA según la
de inición de la ma iz de Ansys.
Sin emba go, hay que ene en cuen a que la de inición de la ma iz de coo denadas de Ansys
( [
19
]), pa a piezoeléc icos no sigue el mismo o den que se ha de inido en es e documen o. El
cambio queda cla o en la Figu a 3.10. Es e cambio iene una consecuencia di ec a sob e la o ma
de in oduci las p opiedades en la ma iz de coe icien es. En la Figu a 3.11 se mues an las dos
ablas de p opiedades anelás icas, una siguiendo el c i e io IEEE (Figu a (a)), y la o a, el de Ansys
(Figu a (b)).
Teniendo es o en cuen a, se pueden de ini sin p oblema los ma e iales an o de la ma iz como
de la ib a pa a esol e el modelo p e iamen e de inido.
3.4.3 De inición de condiciones de con o no y análisis de esul ados
Dado que se es á esol iendo el p oblema aplicando écnicas de homogeneización numé ica, las
ecuaciones a esol e son las exp esadas po 3.2. Pa a su esolución, deben aplica se las condiciones
de con o no, de mane a que el p oblema quede ce ado. En es e caso, se aplican alo es medios de
de o mación y campo eléc ico, siendo cohe en e con lo expues o en el apa ado de Homogenei-
zación numé ica. De es e modo, se han de e minado seis g upos de condiciones de con o no que
pe mi en de e mina los 11 coe icien es de la ecuación 3.2. T as la esolución numé ica, se ecalcu-
lan los alo es de las condiciones de con o no. Así, se e i ica cómo de iable ha esul ado el cálculo.
Las condiciones de con o no consis en en imposición de o bien de o mación uni a ia o bien
campo eléc ico uni a io. A con inuación, se de ine cada g upo de CC, así como los esul ados que
se ob ienen de su aplicación. Po úl imo, se de ine cómo ob ene los coe icien es que se án obje o
de análisis a pa i de es os esul ados.

3.4 Modelización del RVE e implemen ación numé ica 27
Condición de con o no 1
Es a condición consis e en la aplicación de una de o mación uni a ia; es deci ,
ε11 =1
. El es o de
componen es (
ε22
,
ε33
,
ε23
,
ε31
,
ε12
,
E1
,
E2
y
E3
) ienen alo nulo. La aplicación de es a p ime a
condición de con o no da como esul ado ε11,σ11 yσ22.
Con es os esul ados, se pueden calcula los coe icien es elás icos e ec i os
Ce
11
y
Ce
12
. Pa a
ello, se hace uso de las ecuaciones 3.18 y 3.19.
Ce
11 =σ11/ε11 (3.18)
Ce
12 =σ12/ε11 (3.19)
Condición de con o no 2
La segunda condición de con o no consis e en la aplicación de
ε33 =1
, y el es o nulas. Se ob ienen
ε33,σ11 yσ33.
En es e caso, se pueden calcula los coe icien es elás icos e ec i os
C13
y
C33
, ope ando de la
siguien e o ma:
Ce
13 =σ11/ε33 (3.20)
Ce
33 =σ33/ε33 (3.21)
Condición de con o no 3
Pa a aplica la e ce a condición de con o no, debe impone se
ε23 =1
, y el es o nulas. Como
esul ado de ello, se iene ε23 yσ23.
En es e caso, se calcula un único coe icien e e ec i o:Ce
44 . Pa a ello:
Ce
44 =σ23/ε23 (3.22)
Condición de con o no 4
Es a condición es la úl ima que se aplica en de o mación, haciendo
ε12 =1
. T as ello, la ensión
media ob enida es σ12.
El coe icien e e ec i o a calcula es Ce
66 . Pa a ello, se esuel e la ecuación 3.23.
Ce
66 =σ12/ε12 (3.23)
Condición de con o no 5
Pa a es as dos úl imas condiciones, se impone po encial eléc ico, en es e caso haciendo que
E3=1
.
Aplicando es a condición de con o no, que in oluc a ya el campo eléc ico, se ob ienen
E3
,
σ11
y
D3
.
Como esul ado de es os es alo es, se calculan es coe icien es e ec i os: ee
13 ,ee
33 yϵe
33 .
ee
13 =−σ11/E3(3.24)
ee
33 =−σ33/E3(3.25)
ϵe
33 =D3/E3(3.26)
28 Capí ulo 3. Modelización mic omecánica de compues os piezoeléc icos
Condición de con o no 6
Po úl imo, se impone E2=1. Como esul ado, se iene E2,D2yσ23.
Finalmen e, se calculan los dos úl imos coe icien es eléc icos y dieléc icos que es an:
ee
15
y
εe
11 .
ee
15 =−σ23/E2(3.27)
ϵe
11 =D2/E2(3.28)
4 Resul ados
E
n el p esen e capí ulo, se expond án los esul ados ob enidos median e la implemen ación de
los mé odos explicados an e io men e.
En p ime luga , se p esen an los esul ados de la alidación del modelo mic omecánico emplea-
dos. A con inuación, se analiza á la in luencia an o de la mo ología de la ib a como del uso de
ma ices auxé icas.
4.1 Validación del modelo pa a el cálculo numé ico
Aunque ya se hayan explicado de mane a de allada los mé odos del olumen ep esen a i o y la
homogeneización numé ica, implemen ados median e el MEF, es a alida su ajus e a la ealidad.
No debe pe de se de is a que se es á abajando con modelos, po lo que hay que comp oba la
alidez de los mismos. En es e caso, se oman los da os ob enidos po Be ge e al. [
9
], median e
un análisis numé ico, así como los expues os po Chan y Unswo h(1989) [
10
], consis en es en una
solución eó ica. Sin emba go, el cálculo de una solución eó ica pa a es e ipo de ma e iales es un
p oblema complejo. Po ello solo se ob iene pa a 3 coe icien es: C33,e33 yϵ33.
Las soluciones se ob ienen pa a di e en es acciones olumé icas de ib a. Se conside an las
exp esadas en la Tabla 4.1, an o pa a la alidación como pa a la ob ención del es o de esul ados.
Po o o lado, las p opiedades que se end án en cuen a son
C11
,
C13
,
C33
,
e13
,
e33
,
ϵ11
y
ϵ33
, al se
conside adas las de mayo ele ancia.
Pa a pode hace la alidación del RVE, debe emplea se uno igual al p opues o po Be ge e
al. [
9
]. Es o es, un piezocompues o de ib a cilínd ica. Al igual que en el a ículo, se emplea una
ma iz polimé ica con ib as piezoce ámicas PZT-5(Tabla 2.1), con conec i idad 1-3. Es as ib as
se dis ibuyen de o ma homogénea en el ma e ial pa alelas al eje y. Es po an o un RVE como el
p e iamen e p esen ado en la Figu a 3.4. Los di e en es mallados pa a es e modelo se mues an en
la Figu a
??
, siendo RVE es como el de la Figu a 3.4. Las dimensiones del olumen ep esen a i o
son las siguien es:
Tabla 4.1 F acciones olumé icas empleadas pa a la ob ención de esul ados.
1 2 3 4 5 6
0.111 0.222 0.333 0.444 0.555 0.666
29
30 Capí ulo 4. Resul ados
Tabla 4.2
Condiciones de con o no a aplica , elacionadas con los esul ados que p opo cionan y
los coe icien es que se an a calcula con ellos.
Condición de con o no Resul ado ob enido Coe icien e a calcula
CC1ε11 =1ε11,σ11 yσ22 Ce
11 yCe
12
CC2ε33 =1ε33,σ11 yσ33 Ce
13 yCe
33
CC3ε23 =1ε23 yσ23 Ce
44
CC4ε12 =1ε12 yσ12 Ce
66
CC5E3=1E3,σ11 yD3ee
13 ,ee
33 yϵe
33
CC6E2=1E3,σ23 yD2ee
15 yϵe
11
(a) (b)
Figu a 4.1
La igu a (a) mues a la dis ibución de de o maciones
ε11
pa a
=0.111
. Po o o
lado, la igu a (b) ep esen a los desplazamien os esul an es según x.
a1=1a2=1a3=1
Se supone una adhe encia pe ec a en e la ib a y la ma iz. Los esul ados ue on ob enidos pa a
di e en es acciones olumé icas de ib a; al igual que las p opues as en es e abajo (Tabla 4.1).
Sob e es e modelo, se aplican las condiciones de con o no de inidas en capí ulos an e io es. Así, se
ob end án los coe icien es e ec i os del compues o piezoeléc ico.
4.1.1 Resul ados pa a las condiciones de con o no
Como se expuso en el Capí ulo 3, las condiciones de con o no se o ganizan en seis g upos: cua o
e e idas a la de o mación y dos al campo eléc ico. Como eco da o io, se p esen an de nue o en
la Tabla 4.2.
Aplicación de la CC1
En la Tabla 4.3 se mues an los esul ados pa a es a condición de con o no. Pa a comp oba que
se han aplicado co ec amen e las condiciones, se p esen a la Figu a 4.1. En ella, se obse an
desplazamien os iguales pe o de signo con a io en las ca as la e ales del olumen ep esen a i o.
Asimismo, en la Tabla 4.3 se exponen los esul ados ob enidos as el cálculo numé ico. Es os se
mues an g á icamen e en la Figu a 4.2, que p esen a las dis ibuciones de ensiones σ11 yσ22.
Aplicación de la CC2
En es e caso, la de o mación
ε33
y los desplazamien os según z quedan como se mues a en la
Figu a 4.3. Median e la aplicación de es a condición de con o no, se han ob enido los esul ados de
4.1 Validación del modelo pa a el cálculo numé ico 31
Tabla 4.3 Resul ados de la CC1.
ε11 σ11 σ22
0.111 0.99269E+00 0.44400E+10 0.28503E+10
0.222 0.99747E+00 0.52728E+10 0.32076E+10
0.333 0.10001E+01 0.64278E+10 0.36070E+10
0.444 0.10014E+01 0.81247E+10 0.40636E+10
0.555 0.10028E+01 0.10846E+11 0.46425E+10
0.666 0.10056E+01 0.16076E+11 0.57951E+10
(a) (b)
Figu a 4.2
La igu a (a) mues a la dis ibución de ensiones
σ11
(a), y la igu a (b), la de
σ22
(b).
Ambas dis ibuciones han sido calculadas pa a =0.111.
Tabla 4.4 Resul ados de la CC2.
ε33 σ11 σ33
0.111 0.10000E+01 0.29202E+10 0.98557E+10
0.222 0.10000E+01 0.33687E+10 0.15927E+11
0.333 0.10000E+01 0.39597E+10 0.22107E+11
0.444 0.10000E+01 0.47826E+10 0.28464E+11
0.555 0.10000E+01 0.60482E+10 0.35160E+11
0.666 0.10000E+01 0.84919E+10 0.42756E+11
la Tabla 4.4. Es os esul ados se p esen an g á icamen e en la Figu a 4.4, donde se pueden obse a
las dis ibuciones de ensiones σ11 yσ33.
Aplicación de la CC3
En es e caso, la condición de con o no CC3 es á diseñada pa a simula una de o mación po
cizalladu a en el plano
yz
, como se puede e en la Figu a 4.5. A pa i de es a con igu ación, se
ob ienen los esul ados numé icos que se p esen an en la Tabla 4.5. Pa a isualiza es os esul ados,
la Figu a 4.6 mues a la dis ibución de ensiones
σ23
ob enida pa a
=0.111
, co espondien e a
la misma condición de con o no.
Aplicación de la CC4
La condición de con o no CC4 co esponde a la segunda condición que simula una de o mación de
cizalladu a, aplicada es a ez en el plano
xy
. La dis ibución de la de o mación esul an e,
ε12
, pa a
una acción olumé ica de ib a
=0.111
, puede obse a se en la Figu a 4.7. Los esul ados

32 Capí ulo 4. Resul ados
(a) (b)
Figu a 4.3
En la Figu a (a), se p esen a la dis ibución de de o maciones
ε33
pa a
=0.111
; y en
la Figu a (b), los desplazamien os esul an es según z.
(a) (b)
Figu a 4.4
La igu a (a) mues a la dis ibución de ensiones
σ11
pa a
=0.111
; y la igu a (b)
mues a la dis ibución de ensiones σ33 pa a el mismo alo de .
Figu a 4.5 Dis ibución de la de o mación ε23 pa a un alo de acción olumé ica de ib a =
0.111.
4.1 Validación del modelo pa a el cálculo numé ico 33
Tabla 4.5 Resul ados ob enidos pa a la condición de con o no CC3.
ε23 σ23
0.111 0.99917 0.79259E+09
0.222 0.99936 0.98705E+09
0.333 0.99963 0.12441E+10
0.444 1.0002 0.16075E+10
0.555 1.0016 0.21834E+10
0.666 1.0059 0.33338E+10
Figu a 4.6 Dis ibución de la ensión σ23 en el olumen ep esen a i o pa a =0.111.
Tabla 4.6
Valo es p omedio de la de o mación
ε12
y la ensión
σ12
ob enidos pa a di e en es ac-
ciones olumé icas de ib a en la condición de con o no CC4.
ε12 σ12
0.111 0.98414 0.75208E+09
0.222 0.98724 0.87866E+09
0.333 0.98980 0.10298E+10
0.444 0.99205 0.12337E+10
0.555 0.99270 0.15535E+10
0.666 0.99694 0.22107E+10
numé icos ob enidos pa a di e en es acciones olumé icas de ib a se p esen an en la Tabla 4.6,
donde se mues an los alo es p omedio de la de o mación
ε12
y la ensión
σ12
. Además, la Figu a
4.8 mues a la dis ibución de las ensiones
σ12
en el olumen ep esen a i o del ma e ial compues o
pa a =0.111.
Aplicación de la CC5
La CC5 co esponde a la p ime a condición de con o no elacionada con el campo eléc ico, aplicado
en la di ección del eje
z
. La dis ibución de dicho campo eléc ico puede obse a se en la Figu a
4.9. Al aplica es a condición, se ob u ie on los esul ados que se de allan en la Tabla 4.7. Es os
esul ados se ep esen an g á icamen e en la Figu a 4.10. En ella, se mues a la dis ibución de las
34 Capí ulo 4. Resul ados
Figu a 4.7
Dis ibución de la de o mación
ε12
en el plano
xy
pa a una acción olumé ica
=
0.111.
Figu a 4.8
Dis ibución de la ensión
σ12
en el olumen ep esen a i o pa a una acción olumé ica
de =0.111.
ensiones σ11 y el desplazamien o eléc ico D3pa a una acción olumé ica de ib a =0.111.
Aplicación de la CC6
La CC6 ep esen a la úl ima condición de con o no, en la cual se aplica un campo eléc ico en la
di ección
y
. La ep esen ación de dicho campo eléc ico se puede obse a en la Figu a 4.11. Los
esul ados ob enidos as su aplicación se esumen en la Tabla 4.8. Finalmen e, los esul ados de las
dis ibuciones g á icas pa a las ensiones
σ23
y los desplazamien os eléc icos
D3
pa a
=0.111
se mues an en la Figu a 4.12.
4.1 Validación del modelo pa a el cálculo numé ico 35
Figu a 4.9 Dis ibución del campo eléc ico E3pa a una acción olumé ica =0.111.
Tabla 4.7 Resul ados ob enidos pa a la condición de con o no CC5.
E3σ11 σ33 D3
0.111 1.0000 -0.24454E-01 0.21935E+01 0.91924E-09
0.222 1.0000 -0.58286E-01 0.43797E+01 0.17584E-08
0.333 1.0000 -0.10247E+00 0.65581E+01 0.25970E-08
0.444 1.0000 -0.16368E+00 0.87234E+01 0.34346E-08
0.555 1.0000 -0.25749E+00 0.10864E+02 0.42704E-08
0.666 1.0000 -0.43875E+00 0.12937E+02 0.51012E-08
(a) (b)
Figu a 4.10
Dis ibuciones de ensiones
σ11
(a) y desplazamien os eléc icos
D3
(b) pa a
=0.111
.
4.1.2 Compa a i a de esul ados con Be ge y solución eó ica
Una ez ob enidos los esul ados, se p esen an y comen an las g á icas que compa an los coe i-
cien es e ec i os ob enidos median e di e en es p ocedimien os. Pa a el caso de la alidación, se
compa an odos los coe icien es ob enidos (y no solo los con emplados en la Tabla
??
), pa a ase-
gu a comple amen e la alidez del modelo. Se comienza con la compa ación de los coe icien es
elás icos e ec i os (ma iz C). Es a compa ación es ep esen ada en la Figu a 4.13. En ella, se puede
42 Capí ulo 4. Resul ados
4.3 Análisis de la in luencia de la inclusión de una ma iz auxé ica
En es e apa ado, se exponen los esul ados de la in luencia de emplea un ma iz auxé ica o no pa a
un compues o piezoeléc ico. Pa a ello, han de ene se en cuen a dos ipos de ma ices:
•
Ma iz no auxé ica. Es la empleada en el apa ado an e io . Es a ma iz es de polie ileno, con
un coe icien e de Poisson nu de alo 0.2.
•
Ma iz auxé ica. Al igual que la an e io , es una ma iz de polie ileno. Sin emba go, pa a
modela la auxe icidad, su coe ien e de Poisson es nega i o, con un alo nu =−0.32.
El análisis se ha á pa a cada una de las mo ologías de inclusiones enidas en cuen a an e io -
men e: ci cula , cuad ada, es é ica y hexaéd ica.
Análisis de la in luencia de la inclusión de ma iz auxé ica pa a ib a ci cula
A con inuación, se analiza la in luencia del uso de ma iz auxé ica pa a una ib a ci cula . En p ime
luga , se analizan los esul ados de los coe icien es elás icos e ec i os, mos ados en la Figu a
4.21. En ellos se obse a que la mayo a iación ocu e en
Ce
11
y
Ce
13
. Mien as pa a
Ce
11
la
ma iz auxé ica p esen a un mayo alo , pa a
Ce
13
ocu e lo con a io. Sin emba go, pa a
Ce
33
la
auxe icidad de la ma iz apenas iene ele ancia.
Respec o a los coe icien es piezoeléc icos e ec i os (Figu a 4.22), pa a
ee
33
, la auxe icidad de
la ma iz iene una ele ancia mínima. Pa a
ee
13
, en cambio, sí a ec a es a ma iz. Aunque no de
o ma muy acusada, el ma e ial con ma iz auxé ica p esen a un coe icien e
ee
13
lige amen e menos
que el ma e ial con ma iz auxé ica, especialmen e a mayo acción olumé ica de ib a.
Pa a los coe icien es dieléc icos e ec i os no se obse a ninguna ele ancia de la auxe icidad de
la ma iz. Los esul ados mos ados en la Figu a 4.23 son p ác icamen e coinciden es.
Las compa a i as de las igu as de mé i o
g31
y
g33
se p esen an en la Figu a 4.24. Pa a
g31
son simila es pe o de di e en e signo. Es o se co esponde a los alo es del coe icien e de Poisson
empleados: uno posi i o y o o nega i o, a in de modela las ma ices auxé icas y no auxé icas. En
cambio, los alo es de g33 apenas a ían según la ma iz.
Pa a las igu as de mé i o
Kp
y
K
(Figu a 4.25), se obse an a iaciones en e la ma iz auxé ica y
no auxé ica. Especialmen e pa a
Kp
, sob e odo pa a
bajas. Si bien al subi la acción olumé ica
los esul ados se igualan, cuando es a adop a alo es bajos, la ma iz auxé ica p esen a acoplamien os
sensiblemen e meno es que la no auxé ica. Po el con a io, los alo es de
K
son mayo es pa a la
ma iz auxé ica.
Análisis de la in luencia de la inclusión de ma iz auxé ica pa a ib a cuad ada
Pa a la ib a cuad ada se analiza án igualmen e los coe icien es e ec i os y las igu as de mé i o. En
p ime luga , pa a los coe icien es elás icos e ec i os (Figu a 4.26), se obse a el mismo enómeno
que pa a la ib a ci cula . Los coe icien es
Ce
11
y
Ce
13
a ían según la auxe icidad de la ma iz,
siendo mayo es los coe icien es de la ma iz auxé ica pa a
Ce
11
y meno es pa a
Ce
13
. Sin emba go,
Ce
33 no p esen a a iación.
Respec o a los coe icien es piezoeléc icos e ec i os, de nue o, ocu e lo mismo que pa a la ib a
ci cula . La auxe icidad a ec a a
ee
13
, siendo meno es los coe icien es pa a la ma iz auxé ica. Pa a

4.3 Análisis de la in luencia de la inclusión de una ma iz auxé ica 43
Figu a 4.21
G á icas compa a i as de coe icien es elás icos e ec i os
C11
,
C13
y
C13
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas ci cula es. Ma iz de polie ileno
e inclusiones piezoeléc icas de KNN.
Figu a 4.22
G á icas compa a i as de coe icien es piezoeléc icos e ec i os
e13
y
e33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas ci cula es. Ma iz de polie ileno
e inclusiones piezoeléc icas de KNN.
ee
33 , en cambio, no hay a iación.
En los coe icien es dieléc icos e ec i os no se obse a in luencia de la auxe icidad de la ma iz
en ninguno de los dos compa ados.
La igu a de mé i o
g31
p esen a alo es simila es pe o de signo con a io, debido, nue amen e, al
coe icien e de Poisson empleado. Po su pa e,
g33
no p esen a in luencia no o ia de la auxe icidad
de la ma iz.
Es a mo ología de ib a p esen a, pa a
Kp
, una g an in luencia de la auxe icidad de la ma iz.
Los coe icien es de acoplamien o plana se educen sensiblemen e con una ma iz auxé ica. Los
alo es se ace can más a los de la ma iz no auxé ica al aumen a la acción olumé ica de ib a,
pe o sin llega a iguala se.
En conclusión, la in luencia de la ma iz auxé ica pa a ib as ci cula es y cuad adas p esen a la
misma o ma.
44 Capí ulo 4. Resul ados
Figu a 4.23
G á icas compa a i as de coe icien es dieléc icos e ec i os
ϵ11
y
ϵ33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas ci cula es. Ma iz de polie ileno
e inclusiones piezoeléc icas de KNN.
Figu a 4.24
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
g31
y
g33
en e ma iz auxé ica o no auxé ica
pa a inclusiones piezoeléc icas ci cula es. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezo-
eléc icas de KNN.
Análisis de la in luencia de la inclusión de ma iz auxé ica pa a inclusión es é ica
En es e pun o se analiza la in luencia de una ma iz auxé ica pa a inclusiones es é icas; es deci , con
conec i idad 0-3. En p ime luga , se es udian los coe icien es elás icos e ec i os, ep esen ados
en la Figu a 4.31. Pa a ellos, se obse a que
Ce
11
y
Ce
33
se compo an de mane a simila . Ambos
coe icien es son mayo es cuando la ma iz es auxé ica, inc emen ándose es a di e encia con la
acción olumé ica de ib a. Po su pa e,
Ce
13
p esen a una g an di e encia en e los coe icien e
pa a ma iz auxé ica y no auxé ica, siendo in e io el esul ado pa a ma iz auxé ica.
Respec o a los coe icien es piezoeléc icos e ec i os (Figu a 4.32), queda pa en e an o en
ee
13
como en
ee
33
las di e encias que p oduce la auxe icidad de la ma iz. Mien as que el coe icien e
ee
13 es meno cuando la ma iz es auxé ica, inc emen ando las di e encias con ;ee
33 es mayo .
4.3 Análisis de la in luencia de la inclusión de una ma iz auxé ica 45
Figu a 4.25
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
K
y
Kp
en e ma iz auxé ica o no auxé ica
pa a inclusiones piezoeléc icas ci cula es. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezo-
eléc icas de KNN.
Figu a 4.26
G á icas compa a i as de coe icien es elás icos e ec i os
C11
,
C13
y
C33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas cuad adas. Ma iz de polie ileno
e inclusiones piezoeléc icas de KNN.
Pa a es a mo ología de ib a, al igual que en las dos an e io es, los coe icien es dieléc icos
e ec i os
ϵe
11
y
ϵe
33
, ep esen ados en la Figu a 4.33, no a ían con la auxe icidad de la ma iz.
Po o o lado, las igu as de mé i o
g31
y
g33
sí que p esen an a iaciones. Es as compa aciones se
p esen an en la Figu a 4.34. Los alo es de
g31
son mayo es cuando la ma iz es auxé ica. Es no o io
ecalca que, en es e caso, no son simila es y de signo con a io, como ocu ía pa a la conec i idad
1-3. Po o a pa e, los alo es g33 son mayo es cuando la ma iz es no auxé ica.
Po úl imo, se analizan las igu as de mé i o
Kp
y
K
. Pa a la p ime a, los alo es son mayo es
cuando la ma iz es no auxé ica. Sin emba go, pa a K , el caso es el con a io.
Análisis de la in luencia de la inclusión de ma iz auxé ica pa a inclusión hexaéd ica
En úl imo luga , se analiza la in luencia de la auxe icidad de la ma iz pa a inclusiones hexaéd icas.
Comenzando po los coe icien es elás icos e ec i os, ep esen ados en la Figu a 4.36. Es os, al
igual que pa a la inclusión es é ica, ienen un compo amien o simila en e
Ce
11
y
Ce
33
. Ambos
p esen an mayo es alo es cuando la ma iz es auxé ica, y la di e encia en e un ipo y o o se
46 Capí ulo 4. Resul ados
Figu a 4.27
G á icas compa a i as de coe icien es piezoeléc icos e ec i os
e13
y
e33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas cuad adas. Ma iz de polie ileno
e inclusiones piezoeléc icas de KNN.
Figu a 4.28
G á icas compa a i as de coe icien es dieléc icos e ec i os
ϵ11
y
ϵ33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas cuad adas. Ma iz de polie ileno
e inclusiones piezoeléc icas de KNN.
inc emen a con
. Po o o lado,
Ce
13
iene un alo mucho meno cuando la ma iz es auxé ica.
Es a a iación, además, es independien e de la acción olumé ica de ib a.
En lo e e en e a los coe icien es piezoeléc icos e ec i os (Figu a 4.37), las di e encias ambién
son análogas a las p esen adas po la inclusión es é ica. Los alo es de
ee
13
son lige amen e in e io-
es cuando la ma iz es auxé ica. Po el con a io, los de ee
33 son mayo es.
Re e en e a los coe icien es dieléc icos e ec i os (Figu a 4.38), al igual que las inclusiones
an e io es, no p esen an a iación en e ma ices auxé icas y no auxé icas. Pa a las igu as de mé i o
g, ep esen adas en la Figu a 4.39, el compo amien o es simila al de la inclusión es é ica. Pa a
g31
, los alo es son mayo es cuando la ma iz es auxé ica. Se obse a, no obs an e, una excepción
pa a
=0.111
, pun o en el que
g31
pa a la ma iz auxé ica es muy in e io a la ma iz no auxé ica.
4.3 Análisis de la in luencia de la inclusión de una ma iz auxé ica 47
Figu a 4.29
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
g31
y
g33
en e ma iz auxé ica o no auxé ica
pa a inclusiones piezoeléc icas cuad adas. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezo-
eléc icas de KNN.
Figu a 4.30
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
K
y
Kp
en e ma iz auxé ica o no auxé ica
pa a inclusiones piezoeléc icas cuad adas. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezo-
eléc icas de KNN.
Es a di e encia puede debe se a a ios ac o es, pe o eniendo en cuen a los esul ados de o as
mo ologías, puede supone se que es un e o o bien de cálculo o bien de mallado. La igu a
g33
mues a meno es alo es pa a una ma iz auxé ica.
En úl imo luga , se es udian las igu as de mé i o
Kp
y
K
, mos adas en la Figu a 4.40. En es e
caso, se cumple una endencia igual a la e lejada po la inclusión es é ica. Pa a
Kp
, sus alo es
esul an mayo es cuando la ma iz es no auxé ica. En cambio, los alo es de
K
se compo an de
mane a con a ia, siendo mayo es con ma iz auxé ica.
De es a o ma, podemos conclui que la in luencia de una ma iz auxé ica pa a con igu aciones
0-3 sigue una misma endencia.

48 Capí ulo 4. Resul ados
Figu a 4.31
G á icas compa a i as de coe icien es elás icos e ec i os
C11
,
C13
y
C33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas es é icas. Ma iz de polie ileno
e inclusiones piezoeléc icas de KNN.
Figu a 4.32
G á icas compa a i as de coe icien es piezoeléc icos e ec i os
e13
y
e33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas es é icas. Ma iz de polie ileno
e inclusiones piezoeléc icas de KNN.
4.3 Análisis de la in luencia de la inclusión de una ma iz auxé ica 49
Figu a 4.33
G á icas compa a i as de coe icien es dieléc icos e ec i os
ϵ11
y
ϵ33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas es é icas. Ma iz de polie ileno
e inclusiones piezoeléc icas de KNN.
Figu a 4.34
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
g31
y
g33
en e ma iz auxé ica o no auxé ica
pa a inclusiones piezoeléc icas es é icas. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezo-
eléc icas de KNN.
50 Capí ulo 4. Resul ados
Figu a 4.35
G á icas compa a i as de igu as de mé i o
K
y
Kp
en e ma iz auxé ica o no auxé ica
pa a inclusiones piezoeléc icas es é icas. Ma iz de polie ileno e inclusiones piezo-
eléc icas de KNN.
Figu a 4.36
G á icas compa a i as de coe icien es elás icos e ec i os
C11
,
C13
y
C13
en e ma iz au-
xé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas hexaéd icas. Ma iz de polie ileno
e inclusiones piezoeléc icas de KNN.
4.3 Análisis de la in luencia de la inclusión de una ma iz auxé ica 51
Figu a 4.37
G á icas compa a i as de coe icien es piezoeléc icos e ec i os
e13
y
e33
en e ma iz
auxé ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas hexaéd icas. Ma iz de polie i-
leno e inclusiones piezoeléc icas de KNN.
Figu a 4.38
G á icas compa a i as de coe icien es dieléc icos e ec i os
ϵ11
y
ϵ33
en e ma iz auxé-
ica o no auxé ica pa a inclusiones piezoeléc icas hexaéd icas. Ma iz de polie ileno e
inclusiones piezoeléc icas de KNN.
58 Apéndice 5. Bibliog a ía
[12]
E. L. P adeesh, S. Udhayakuma , M. G. Vasundha a, and G. K. Kala a hi, “A e iew on
piezoelec ic ene gy ha es ing,” Mic osys em Technologies, 2022.
[13]
F ancisco J Cañame o e al, “Piezoelec ic pe o mance o lead- ee pdms/cn /ba io3 piezocom-
posi es wi h impe ec in e phases and cn agglome a ions,” Sma Ma e ials and S uc u es,
2023.
[14]
F. J. Cañame o, F. C. Bu oni, and L. Rod íguez-Tembleque, “Connec i iy pa e ns in lead- ee
piezocomposi es: A c i ical analysis o 0-3 and 1-3 con igu a ions,” Composi e S uc u es,
no. 337, 2024.
[15]
L. Quiao, G. Li, H. Tao, J. Wu, Z. Xu, and F. Li, “Full cha ac e iza ion o ma e ial cons an s
o a p omising knn-based lead- ee piezoelec ic ce amic,” Ce amics In e na ional, no. 46,
2020.
[16]
E. C. N. Sil a, J. S. Fonseca, and N. Kikuchi, “Op imal design o piezoelec ic mic os uc u es,”
Compu a ional Mechanics, no. 19, pp. 397–410, 1997.
[17]
M. Ku , “Nume ical calcula ion o homogenized p ope ies o piezoelec ic composi es,”
Ph.D. disse a ion, G adua e School o Na u al and Applied Sciences o Middel Eas Technical
Uni e si y, 2022.
[18]
R. Hill, “Elas ic p ope ies o ein o ced solids: Some heo e ical p inciples,” J. Mech. Phys.
Solids, no. 11, 1963.
[19]
ANSYS, Coupled-Field Analysis Guide. Ansys Inc., 2024, ch. 2.3.2.2. Piezoelec ic Ma ix.
[20]
F. J. C. To es, “Modelización mic omecánica de compues os piezoeléc icos median e me ,”
Ph.D. disse a ion, Escuela Técnica Supe io Ingenie ía Se illa, 2019.

Apéndice A
Códigos de Ansys
A.1 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC1
FINISH
/CLEAR
!A con inuación, se de alla el uso del MEF pa a ob ene C11 y C22 con FIBRA CIRCULAR
pi=acos(-1)
!P opiedades ma iz
c11m=0.386E+10
c12m=0.257E+10
c13m=0.257E+10
c33m=0.386E+10
c44m=0.064E+10
c66m=0.064E+10
k11m=9
k33m=9
!P opiedades ib a (inclusiones piezoeléc icas)
c11 =12.1E+10
c12 =7.54E+10
c13 =7.52E+10
c33 =11.1E+10
c44 =2.11E+10
c66 =2.28E+10
e15 =12.3
e31 =-5.4
e33 =15.8
k11 =916.38
k33 =830.51
!Geome ía del RVE
a1=0.5
a2=a1
a3=a1
*CFOPEN, esul ado_ ib a_ci cula _CC1, x !C ea un a chi o sob e el que se esc ibi án los esul ados en el di ec o io de abajo
59
60 Capí ulo A. Códigos de Ansys
!A con inuación, se c ea un bucle pa a di e en es acciones olumé icas
*DO, ,0.111,0.666,0.111
d =sq ( *16*a1*a2/pi) !Diáme o de la ib a
!----------------------------------------------------------
! PREPROCESO
!----------------------------------------------------------
/PREP7
VCLEAR,ALL
VDELE,ALL,,,1
!Keypoin s
K,1,-a1
K,2,a1
K,3,0,-a2
K,4,0,a2
L,1,2
L,3,4
BLC4,-a1,-a2,2*a1,2*a2 !C ea olumen ec angula . BLC4, XCORNER, YCORNER, WIDTH, HEIGHT, DEPTH
cen o_x=0
cen o_y=0
CYL4,cen o_x,cen o_y,d /2
ASBA,1,2,,,KEEP !Res a á eas. ASBA, á ea a la que se es a, á ea es ada, SEPO, á eas a man ene de 1, á eas a man ene de 2
ASBL,ALL,1 !Elimina líneas de á eas
ASBL,ALL,2
VEXT,ALL,,,0,0,a3,,,, ! Gene a olúmenes ex uyendo á eas. VEXT,AREA1,AREA2,PASOS EN LOS QUE RECORRER EL CAMINO DE ÁREA 1 A ÁREA 2, DX,DY,DZ, RX,RY,RZ
VGEN,2,ALL,,,0,0,-a3 !Gene a olúmenes a pa i de un pa ón de o os olúmenes. VGEN, PASOS DE TIEMPO, VOLUMEN 1, VOLUMEN 2, PASOS EN LOS QUE RECORRER DE VOLUMEN 1 A VOLUMEN 2, DX,DY,DZ,INCREMENTO DE KP, NºELEMENTO
NUMMRG,KP !Une los KP coinciden es
!A con inuación se ag upan los olúmenes
!Ma iz
FLST,5,8,6,ORDE,4 !Selecciona. FLST,
FITEM,5,5
FITEM,5,-8
FITEM,5,13
FITEM,5,-16
VSEL,S,,,P51X
CM,MATRIZ,VOLU !Ag upa olúmenes
ALLSEL
A.1 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC1 61
!Fib a
VSEL,U,VOLU,,MATRIZ !Deselecciona ma iz
CM,FIBRA,VOLU
ALLSEL
!Tipo de elemen o
ET,2,SOLID226,1001
!Ma e iales
!MATRIZ
EMUNIT,EPZRO,8.85E-12 !Sis ema de unidades pa a campo magné ico. EMUNIT,TIPO DE UNIDADES, VALOR
MP,PERX,1,k11m
MP,PERY,1,k11m
MP,PERZ,1,k33m
TB,PIEZ,1 !Ac i a la ma iz pa a ma e ial p ope ies (MP). PIEZ=ma iz piezoeléc ica
TBDATA,3,0
TBDATA,6,0
TBDATA,9,0
TBDATA,14,0
TBDATA,16,0
TB,ANEL,1 !ANEL=Aniso opía
TBDATA,1,c11m,c12m,c13m
TBDATA,7,c11m,c13m
TBDATA,12,c33m
TBDATA,16,c66m
TBDATA,19,c44m
TBDATA,21,c44m
!FIBRA
EMUNIT,EPZRO,8.85E-12
MP,PERX,2,k11
MP,PERY,2,k11
MP,PERZ,2,k33
TB,PIEZ,2
TBDATA,3,e31
TBDATA,6,e31
TBDATA,9,e33
TBDATA,14,e15
TBDATA,16,e15
TB,ANEL,2
TBDATA,1,c11 ,c12 ,c13
TBDATA,7,c11 ,c13
TBDATA,12,c33
TBDATA,16,c66
TBDATA,19,c44
62 Capí ulo A. Códigos de Ansys
TBDATA,21,c44
!MALLADO
!FIBRA
di =10
VSEL,S,VOLU,,FIBRA
ASLV,S !Selecciona las á eas con enidas en los olúmenes seleccionados
LSLA,S !Selecciona las líneas con enidas en las á eas seleccionadas
LESIZE,ALL,,,di ,,1,,,1,
LSEL,S,LOC,Z,a3/2
LSEL,A,LOC,Z,-a3/2 !A=selección adicional a la que ya es aba hecha
LESIZE,ALL,,,di /(a1/a3),,1,,,1,
MAT,2 !Asigna el ipo de ma e ial
VMESH,ALL
ALLSEL
!MATRIZ
di =8
VSEL,S,VOLU,,MATRIZ !S=nue a selección
ASLV,S
LSLA,S
LESIZE,ALL, , ,di , ,1, , ,1,
LSEL,S,LOC,Z,a3/2
LSEL,A,LOC,Z,-a3/2
LESIZE,ALL, , ,di /(a1/a3), ,1, , ,1,
allsel
FLST,2,2,5,ORDE,2 !Selección
FITEM,2,22
FITEM,2,-23
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,55
FITEM,2,-56
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,27
FITEM,2,-28
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,61
FITEM,2,-62
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,35
FITEM,2,-36
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,71
FITEM,2,-72
ACCAT,P51X
A.1 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC1 63
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,31
FITEM,2,33
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,66
FITEM,2,68
ACCAT,P51X
MAT,1
VMESH,ALL
ALLSEL
FINISH
!----------------------------------------------------------
! SOLUCIÓN
!----------------------------------------------------------
/SOLU
ANTYPE,STATIC
CSYS,0
ALLSEL,ALL
!CONDICIONES DE CONTORNO
!Ca as a1 y -a1
NSEL,S,LOC,X,-a1-0.001,-a1+0.001
D,ALL,UX,-a1 !CDC sob e nodos
D,ALL,VOLT,0 !VOLT= ol aje
NSEL,S,LOC,X,a1-0.001,a1+0.001
D,ALL,UX,a1
D,ALL,VOLT,0
!Ca as a2 y -a2
NSEL,S,LOC,Y,-a2-0.001,-a2+0.001
D,ALL,UY,0
D,ALL,VOLT,0
NSEL,S,LOC,Y,a2-0.001,a2+0.001
D,ALL,UY,0
D,ALL,VOLT,0
!Ca as a3 y -a3
NSEL,S,LOC,Z,-a3-0.001,-a3+0.001
D,ALL,UZ,0
D,ALL,VOLT,0
NSEL,S,LOC,Z,a3-0.001,a3+0.001
D,ALL,UZ,0
D,ALL,VOLT,0
ALLSEL,ALL,ALL

64 Capí ulo A. Códigos de Ansys
SOLVE
FINISH
!----------------------------------------------------------
! POSTPROCESO
!----------------------------------------------------------
/POST1
VSEL,R,LOC,X,0,a1
VSEL,R,LOC,Y,0,a2
VPLOT
ESLV,R !Selecciona los elemen os asociados a los olúmenes seleccionados
ALLSEL
!A con inuación, se ope a mul iplicando el olumen po epsilon, se suma, y inalmen e se di ide en e el olumen o al pa a ob ene epsilon p omedio
ETABLE,,VOLU,
ETABLE,,EPEL,X !Componen es de o mación elás ica
SMULT,EPELXV,VOLU,EPELX,1,1, !SMULT,nomb e_ esul ados,mul iplicando1,mul iplicando2, ac o aplicado a 1, ac o aplicado a 2
SSUM
*GET,TOTVOL,SSUM,,ITEM,VOLU !*GET,nomb e_ ble_1,en idad,nºelemen o,a ibu o, ipo de a ibu o
*GET,TOTEPELX,SSUM,,ITEM,EPELXV !Ob ene de o mación o al
EPELXX0=TOTEPELX/TOTVOL !De aquí se ob iene epsilon11
ETABLE, ,S,X
ETABLE, ,S,Y
SMULT,SXV,VOLU,SX,1,1,
SMULT,SYV,VOLU,SY,1,1,
SSUM
*GET,TOTVOL,SSUM,,ITEM,VOLU
*GET,TOTSX ,SSUM,,ITEM,SXV
*GET,TOTSY ,SSUM,,ITEM,SYV
SXX0 = TOTSX/TOTVOL !Ob encion sigma11
SYY0 = TOTSY/TOTVOL !Ob encion sigma22
!Con es os da os, se puede calcula c11 y c12 de la ma iz de compo amien o
*VWRITE, ,EPELxx0,Sxx0,Syy0
(4E12.5)
FINISH
*CFCLOSE !Cie e a chi o
*CFOPEN, esul ado_ ib a_ci cula _CC1, x , ,APPEND !APPEND: es e iche o se c ea además del que ya exis e, sin sob eesc ibi lo
*ENDDO
*CFCLOSE !Cie e de ini i o del a chi o, ue a del bucle
A.2 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC2 65
A.2 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC2
FINISH
/CLEAR
!A con inuación, se de alla el uso del MEF pa a ob ene C13 y C33 con FIBRA CIRCULAR
pi=acos(-1)
!P opiedades ma iz
c11m=0.386E+10
c12m=0.257E+10
c13m=0.257E+10
c33m=0.386E+10
c44m=0.064E+10
c66m=0.064E+10
k11m=9
k33m=9
!P opiedades ib a
c11 =12.1E+10
c12 =7.54E+10
c13 =7.52E+10
c33 =11.1E+10
c44 =2.11E+10
c66 =2.28E+10
e15 =12.3
e31 =-5.4
e33 =15.8
k11 =916.38
k33 =830.51
!Geome ía del RVE
a1=0.5
a2=a1
a3=a1
*CFOPEN, esul ado_ ib a_ci cula _CC2, x !C ea un a chi o sob e el que se esc ibi án los esul ados en el di ec o io de abajo
!A con inuación, se c ea un bucle pa a di e en es acciones olumé icas
*DO, ,0.111,0.666,0.111
d =sq ( *16*a1*a2/pi) !Diáme o de la ib a
!----------------------------------------------------------
! PREPROCESO
!----------------------------------------------------------
/PREP7
66 Capí ulo A. Códigos de Ansys
VCLEAR,ALL
VDELE,ALL,,,1
!Keypoin s
K,1,-a1
K,2,a1
K,3,0,-a2
K,4,0,a2
L,1,2
L,3,4
BLC4,-a1,-a2,2*a1,2*a2 !C ea olumen ec angula . BLC4, XCORNER, YCORNER, WIDTH, HEIGHT, DEPTH
cen o_x=0
cen o_y=0
CYL4,cen o_x,cen o_y,d /2
ASBA,1,2,,,KEEP !Res a á eas. ASBA, á ea a la que se es a, á ea es ada, SEPO, á eas a man ene de 1, á eas a man ene de 2
ASBL,ALL,1 !Elimina líneas de á eas
ASBL,ALL,2
VEXT,ALL,,,0,0,a3,,,, ! Gene a olúmenes ex uyendo á eas. VEXT,AREA1,AREA2,PASOS EN LOS QUE RECORRER EL CAMINO DE ÁREA 1 A ÁREA 2, DX,DY,DZ, RX,RY,RZ
VGEN,2,ALL,,,0,0,-a3 !Gene a olúmenes a pa i de un pa ón de o os olúmenes. VGEN, PASOS DE TIEMPO, VOLUMEN 1, VOLUMEN 2, PASOS EN LOS QUE RECORRER DE VOLUMEN 1 A VOLUMEN 2, DX,DY,DZ,INCREMENTO DE KP, NºELEMENTO
NUMMRG,KP !Une los KP coinciden es
!A con inuación se ag upan los olúmenes
!Ma iz
FLST,5,8,6,ORDE,4 !Selecciona. FLST,
FITEM,5,5
FITEM,5,-8
FITEM,5,13
FITEM,5,-16
VSEL,S,,,P51X
CM,MATRIZ,VOLU !Ag upa olúmenes
ALLSEL
!Fib a
VSEL,U,VOLU,,MATRIZ !Deselecciona ma iz
CM,FIBRA,VOLU
ALLSEL
!Tipo de elemen o
ET,2,SOLID226,1001
!Ma e iales
!MATRIZ
EMUNIT,EPZRO,8.85E-12 !Sis ema de unidades pa a campo magné ico. EMUNIT,TIPO DE UNIDADES, VALOR
A.2 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC2 67
MP,PERX,1,k11m
MP,PERY,1,k11m
MP,PERZ,1,k33m
TB,PIEZ,1 !Ac i a la ma iz pa a ma e ial p ope ies (MP). PIEZ=ma iz piezoeléc ica
TBDATA,3,0
TBDATA,6,0
TBDATA,9,0
TBDATA,14,0
TBDATA,16,0
TB,ANEL,1 !ANEL=Aniso opía
TBDATA,1,c11m,c12m,c13m
TBDATA,7,c11m,c13m
TBDATA,12,c33m
TBDATA,16,c66m
TBDATA,19,c44m
TBDATA,21,c44m
!FIBRA
EMUNIT,EPZRO,8.85E-12
MP,PERX,2,k11
MP,PERY,2,k11
MP,PERZ,2,k33
TB,PIEZ,2
TBDATA,3,e31
TBDATA,6,e31
TBDATA,9,e33
TBDATA,14,e15
TBDATA,16,e15
TB,ANEL,2
TBDATA,1,c11 ,c12 ,c13
TBDATA,7,c11 ,c13
TBDATA,12,c33
TBDATA,16,c66
TBDATA,19,c44
TBDATA,21,c44
!MALLADO
!FIBRA
di =10
VSEL,S,VOLU,,FIBRA
ASLV,S !Selecciona las á eas con enidas en los olúmenes seleccionados
LSLA,S !Selecciona las líneas con enidas en las á eas seleccionadas
LESIZE,ALL,,,di ,,1,,,1,
LSEL,S,LOC,Z,a3/2
LSEL,A,LOC,Z,-a3/2 !A=selección adicional a la que ya es aba hecha
LESIZE,ALL,,,di /(a1/a3),,1,,,1,
74 Capí ulo A. Códigos de Ansys
LSEL,A,LOC,Z,-a3/2
LESIZE,ALL, , ,di /(a1/a3), ,1, , ,1,
MAT,2
VMESH,ALL
ALLSEL
!MATRIZ
di = 8
VSEL,S,VOLU,,MATRIZ
ASLV,S
LSLA,S
LESIZE,ALL, , ,di , ,1, , ,1,
LSEL,S,LOC,Z,a3/2
LSEL,A,LOC,Z,-a3/2
LESIZE,ALL, , ,di /(a1/a3), ,1, , ,1,
ALLSEL
VSEL,S,VOLU,,MATRIZ
ASLV,S
LSLA,S
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,22
FITEM,2,-23
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,55
FITEM,2,-56
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,27
FITEM,2,-28
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,61
FITEM,2,-62
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,35
FITEM,2,-36
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,71
FITEM,2,-72
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,31
FITEM,2,33
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,66

A.3 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC3 75
FITEM,2,68
ACCAT,P51X
MAT,1
VMESH,ALL
ALLSEL
FINISH
!----------------------------------------------------------
! SOLUCIÓN
!----------------------------------------------------------
/SOLU
ANTYPE,STATIC
CSYS,0
ALLSEL,ALL
!Condiciones de con o no
NSEL,S,LOC,X,0
NSEL,R,LOC,Y,0
NSEL,R,LOC,Z,0
D,ALL,UX
D,ALL,UY
D,ALL,UZ
ALLSEL,ALL
!Aplicación en ca as +a1 y -a1
nsel,s,loc,x,-a1-0.001,-a1+0.001
D,ALL,VOLT,0
nsel,s,loc,x,a1-0.001,a1+0.001
D,ALL,VOLT,0
!Aplicación en ca as +a2 y -a2
nsel,s,loc,y,-a2-0.001,-a2+0.001
D,ALL,VOLT,0
nsel,s,loc,y,a2-0.001,a2+0.001
D,ALL,VOLT,0
!Aplicación en ca as +a3 y -a3
nsel,s,loc,z,-a3-0.001,-a3+0.001
D,ALL,VOLT,0
nsel,s,loc,z,a3-0.001,a3+0.001
D,ALL,VOLT,0
ALLSEL,ALL,ALL
!-----------------------------------------------------------
!ARCHIVO CONDICIONES DE CONTORNO
76 Capí ulo A. Códigos de Ansys
!-----------------------------------------------------------
! a1,a2,a3,epsi_X,epsi_Y,epsi_Z,gamma_XY,gamma_YZ,gamma_XZ
!-----------------------------------------------------------
!!*use,ceRVE,a1,a2,a3,0,0,0,1,0,0 !Cua a columna: de o mación uni a ia ejes XY
!+! *use,ceRVE,a1,a2,a3,0,0,0,0,1,0 !Cua a columna: de o mación uni a ia ejes YZ
a g1 = a1
a g2 = a2
a g3 = a3
a g4 = 0
a g5 = 0
a g6 = 0
a g7 = 0
a g8 = 1
a g9 = 0
!------------------------------------------------------------
!++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
!------------------------------------------------------------
!+!*c ea e,ceRVE
! ceRVE a gumen :
! a1,a2,a3,eps1,eps2,eps3,eps4,eps5,eps6
! a1,a2,a3,eps11,eps22,eps33,eps23,eps13,eps12
!
! /sOLU
! *use,ceRVE,a1,a2,a3,0,0,0, 0,0,0.5
! SOLVE
! FINISH
! This mac o applies CE o a pe iodic hexaed al RVE
! The RVE mus be cen ed a (0,0,0) and
! a node mus exis a (0,0,0)
!+!a1=a g1
!+!a2=a g2
!+!a3=a g3
! APPLIED STRAINS
eps11=a g4
eps22=a g5
eps33=a g6
!---No e: mus en e epsij=1/2*gamma
eps12=a g9/2
eps13=a g8/2
eps23=a g7/2 ! (x-y in model)
!---No e: he e eco e s he o he 1/2*gamma
eps21 = eps12
A.3 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC3 77
eps31 = eps13
eps32 = eps23
! PERIODIC BOUNDARY CONDITION EQNS 2-DIR (X-DIR)
! DIR THEORY ANSYS MODEL
! 1 Z
! 2 X
! 3 Y
!------------------------------------------------------
! CREATE COMPONENT SET: pe iodic co ne s, edges and sides
!------------------------------------------------------
! selec side +a1 and -a1 -----------------
nsel,s,loc,z,-a1-0.001,-a1+0.001
cm,a1n_nodes,node
nsel,s,loc,z,a1-0.001,a1+0.001
cm,a1p_nodes,node
! selec side +a2 and -a2 -----------------
nsel,s,loc,x,-a2-0.001,-a2+0.001
cm,a2n_nodes,node
nsel,s,loc,x,a2-0.001,a2+0.001
cm,a2p_nodes,node
! selec side +a3 and -a3 -----------------
nsel,s,loc,y,-a3-0.001,-a3+0.001
cm,a3n_nodes,node
nsel,s,loc,y,a3-0.001,a3+0.001
cm,a3p_nodes,node
! selec edges a1 a2 ---------------------
cmsel,s,a1n_nodes
cmsel, ,a2n_nodes
cm,a1n_a2n_nodes,node
cmsel,s,a1n_nodes
cmsel, ,a2p_nodes
cm,a1n_a2p_nodes,node
cmsel,s,a1p_nodes
cmsel, ,a2n_nodes
cm,a1p_a2n_nodes,node
cmsel,s,a1p_nodes
cmsel, ,a2p_nodes
cm,a1p_a2p_nodes,node
! selec edges a1 a3 ---------------------
cmsel,s,a1n_nodes
cmsel, ,a3n_nodes
cm,a1n_a3n_nodes,node
cmsel,s,a1n_nodes
cmsel, ,a3p_nodes
78 Capí ulo A. Códigos de Ansys
cm,a1n_a3p_nodes,node
cmsel,s,a1p_nodes
cmsel, ,a3n_nodes
cm,a1p_a3n_nodes,node
cmsel,s,a1p_nodes
cmsel, ,a3p_nodes
cm,a1p_a3p_nodes,node
! selec edges a3 a2 ---------------------
cmsel,s,a3n_nodes
cmsel, ,a2n_nodes
cm,a3n_a2n_nodes,node
cmsel,s,a3n_nodes
cmsel, ,a2p_nodes
cm,a3n_a2p_nodes,node
cmsel,s,a3p_nodes
cmsel, ,a2n_nodes
cm,a3p_a2n_nodes,node
cmsel,s,a3p_nodes
cmsel, ,a2p_nodes
cm,a3p_a2p_nodes,node
cmsel,s,a1n_a2n_nodes
cmsel,a,a1n_a2p_nodes
cmsel,a,a1p_a2n_nodes
cmsel,a,a1p_a2p_nodes
cmsel,a,a1n_a3n_nodes
cmsel,a,a1n_a3p_nodes
cmsel,a,a1p_a3n_nodes
cmsel,a,a1p_a3p_nodes
cmsel,a,a3n_a2n_nodes
cmsel,a,a3n_a2p_nodes
cmsel,a,a3p_a2n_nodes
cmsel,a,a3p_a2p_nodes
cm,edges_nodes,node
! selec co ne s a1 a2 a3 ---------------------
nsel,ALL
a1n_a2n_a3n_co ne =node(-a2,-a3,-a1)
a1n_a2p_a3n_co ne =node( a2,-a3,-a1)
a1n_a2n_a3p_co ne =node(-a2, a3,-a1)
a1n_a2p_a3p_co ne =node( a2, a3,-a1)
a1p_a2n_a3n_co ne =node(-a2,-a3, a1)
a1p_a2p_a3n_co ne =node( a2,-a3, a1)
a1p_a2n_a3p_co ne =node(-a2, a3, a1)
a1p_a2p_a3p_co ne =node( a2, a3, a1)
nsel,s,node,,a1n_a2n_a3n_co ne
nsel,a,node,,a1n_a2n_a3p_co ne
nsel,a,node,,a1n_a2p_a3n_co ne
nsel,a,node,,a1n_a2p_a3p_co ne
A.3 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC3 79
nsel,a,node,,a1p_a2n_a3n_co ne
nsel,a,node,,a1p_a2n_a3p_co ne
nsel,a,node,,a1p_a2p_a3n_co ne
nsel,a,node,,a1p_a2p_a3p_co ne
cm,co ne s_nodes,node
ALLSEL,ALL
NSEL,S,LOC,x,0
NSEL,R,LOC,Y,0
NSEL,R,LOC,Z,0
D,ALL,ALL
ALLSEL,ALL
CEDELE,ALL
ALLSEL,ALL
ceeq=0
! PERIODIC BOUNDARY CONDITION EQNS 2-DIR (X-DIR)
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a2n_nodes
cmsel,u,edges_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a2n_nodes
cmsel,u,edges_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
cmsel,s,a2p_nodes
! ge closes node om componen neg_a2
pos_node=node(-x_,y_,z_)
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps22*(a2*2)),neg_node,ux,-1,pos_node,ux,1 ! x->2
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps32*(a2*2)),neg_node,uy,-1,pos_node,uy,1 ! y->3
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps12*(a2*2)),neg_node,uz,-1,pos_node,uz,1 ! z->1
*enddo
! PERIODIC BOUNDARY CONDITION EQNS 3-DIR (Y-DIR)
!

80 Capí ulo A. Códigos de Ansys
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a3n_nodes
cmsel,u,edges_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a3n_nodes
cmsel,u,edges_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
cmsel,s,a3p_nodes
! ge closes node om componen neg_a2
pos_node=node(x_,-y_,z_)
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps23*(a3*2)),neg_node,ux,-1,pos_node,ux,1 ! x->2
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps33*(a3*2)),neg_node,uy,-1,pos_node,uy,1 ! y->3
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps13*(a3*2)),neg_node,uz,-1,pos_node,uz,1 ! z->1
*enddo
! PERIODIC BOUNDARY CONDITION EQNS 1-DIR (Z-DIR)
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a1n_nodes
cmsel,u,edges_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a1n_nodes
cmsel,u,edges_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
cmsel,s,a1p_nodes
A.3 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC3 81
! ge closes node om componen neg_a2
pos_node=node(x_,y_,-z_)
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps21*(a1*2)),neg_node,ux,-1,pos_node,ux,1 ! x->2
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps31*(a1*2)),neg_node,uy,-1,pos_node,uy,1 ! y->3
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps11*(a1*2)),neg_node,uz,-1,pos_node,uz,1 ! z->1
*enddo
! PERIODIC BOUNDARY CONDITION EQNS 23-DIR (XY-DIR)
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a3n_a2n_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a3n_a2n_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
cmsel,s,a3p_a2p_nodes
! ge closes node om componen neg_a2
pos_node=node(-x_,-y_,z_)
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps22*(a2*2))+(eps23*(a3*2)),neg_node,ux,-1,pos_node,ux,1 ! x->2
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps32*(a2*2))+(eps33*(a3*2)),neg_node,uy,-1,pos_node,uy,1 ! y->3
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps12*(a2*2))+(eps13*(a3*2)),neg_node,uz,-1,pos_node,uz,1 ! z->1
*enddo
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a3n_a2p_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a3n_a2p_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
82 Capí ulo A. Códigos de Ansys
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
cmsel,s,a3p_a2n_nodes
! ge closes node om componen neg_a2
pos_node=node(-x_,-y_,z_)
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(-eps22*(a2*2))+(eps23*(a3*2)),neg_node,ux,-1,pos_node,ux,1 ! x->2
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(-eps32*(a2*2))+(eps33*(a3*2)),neg_node,uy,-1,pos_node,uy,1 ! y->3
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(-eps12*(a2*2))+(eps13*(a3*2)),neg_node,uz,-1,pos_node,uz,1 ! z->1
*enddo
! PERIODIC BOUNDARY CONDITION EQNS 31-DIR (YZ-DIR)
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a1n_a3n_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a1n_a3n_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
cmsel,s,a1p_a3p_nodes
! ge closes node om componen neg_a2
pos_node=node(x_,-y_,-z_)
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps21*(a1*2))+(eps23*(a3*2)),neg_node,ux,-1,pos_node,ux,1 ! x->2
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps31*(a1*2))+(eps33*(a3*2)),neg_node,uy,-1,pos_node,uy,1 ! y->3
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps11*(a1*2))+(eps13*(a3*2)),neg_node,uz,-1,pos_node,uz,1 ! z->1
*enddo
A.3 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC3 83
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a1n_a3p_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a1n_a3p_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
cmsel,s,a1p_a3n_nodes
! ge closes node om componen neg_a2
pos_node=node(x_,-y_,-z_)
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps21*(a1*2))-(eps23*(a3*2)),neg_node,ux,-1,pos_node,ux,1 ! x->2
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps31*(a1*2))-(eps33*(a3*2)),neg_node,uy,-1,pos_node,uy,1 ! y->3
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps11*(a1*2))-(eps13*(a3*2)),neg_node,uz,-1,pos_node,uz,1 ! z->1
*enddo
! PERIODIC BOUNDARY CONDITION EQNS 12-DIR (YZ-DIR)
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a1n_a2n_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a1n_a2n_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
90 Capí ulo A. Códigos de Ansys
MP,PERX,1,k11m
MP,PERY,1,k11m
MP,PERZ,1,k33m
TB,PIEZ,1 !Ac i a la ma iz pa a ma e ial p ope ies (MP). PIEZ=ma iz piezoeléc ica
TBDATA,3,0
TBDATA,6,0
TBDATA,9,0
TBDATA,14,0
TBDATA,16,0
TB,ANEL,1 !ANEL=Aniso opía
TBDATA,1,c11m,c12m,c13m
TBDATA,7,c11m,c13m
TBDATA,12,c33m
TBDATA,16,c66m
TBDATA,19,c44m
TBDATA,21,c44m
!FIBRA
EMUNIT,EPZRO,8.85E-12
MP,PERX,2,k11
MP,PERY,2,k11
MP,PERZ,2,k33
TB,PIEZ,2
TBDATA,3,e31
TBDATA,6,e31
TBDATA,9,e33
TBDATA,14,e15
TBDATA,16,e15
TB,ANEL,2
TBDATA,1,c11 ,c12 ,c13
TBDATA,7,c11 ,c13
TBDATA,12,c33
TBDATA,16,c66
TBDATA,19,c44
TBDATA,21,c44
!MALLADO
!FIBRA
di =10
VSEL,S,VOLU,,FIBRA
ASLV,S !Selecciona las á eas con enidas en los olúmenes seleccionados
LSLA,S !Selecciona las líneas con enidas en las á eas seleccionadas
LESIZE,ALL,,,di ,,1,,,1,
LSEL,S,LOC,Z,a3/2
LSEL,A,LOC,Z,-a3/2 !A=selección adicional a la que ya es aba hecha
LESIZE,ALL,,,di /(a1/a3),,1,,,1,

A.4 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC4 91
MAT,2 !Asigna el ipo de ma e ial
VMESH,ALL
ALLSEL
!MATRIZ
di =8
VSEL,S,VOLU,,MATRIZ !S=nue a selección
ASLV,S
LSLA,S
LESIZE,ALL, , ,di , ,1, , ,1,
LSEL,S,LOC,Z,a3/2
LSEL,A,LOC,Z,-a3/2
LESIZE,ALL, , ,di /(a1/a3), ,1, , ,1,
allsel
FLST,2,2,5,ORDE,2 !Selección
FITEM,2,22
FITEM,2,-23
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,55
FITEM,2,-56
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,27
FITEM,2,-28
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,61
FITEM,2,-62
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,35
FITEM,2,-36
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,71
FITEM,2,-72
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,31
FITEM,2,33
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,66
FITEM,2,68
ACCAT,P51X
MAT,1
VMESH,ALL
ALLSEL
92 Capí ulo A. Códigos de Ansys
FINISH
!----------------------------------------------------------
! SOLUCIÓN
!----------------------------------------------------------
/SOLU
ANTYPE,STATIC
CSYS,0
ALLSEL,ALL
!Condiciones de con o no
NSEL,S,LOC,X,0
NSEL,R,LOC,Y,0
NSEL,R,LOC,Z,0
D,all,UX
D,all,UY
D,all,UZ
ALLSEL,ALL
!Aplicación en ca as +a1 y -a1
nsel,s,loc,x,-a1-0.001,-a1+0.001
D,ALL,VOLT,0
nsel,s,loc,x,a1-0.001,a1+0.001
D,ALL,VOLT,0
!Aplicación en ca as +a2 y -a2
nsel,s,loc,y,-a2-0.001,-a2+0.001
D,ALL,VOLT,0
nsel,s,loc,y,a2-0.001,a2+0.001
D,ALL,VOLT,0
!Aplicación en ca as +a3 y -a3
nsel,s,loc,z,-a3-0.001,-a3+0.001
D,ALL,VOLT,0
nsel,s,loc,z,a3-0.001,a3+0.001
D,ALL,VOLT,0
ALLSEL,ALL,ALL
!-----------------------------------------------------------
!ARCHIVO CONDICIONES DE CONTORNO
!-----------------------------------------------------------
! a1,a2,a3,epsi_X,epsi_Y,epsi_Z,gamma_XY,gamma_YZ,gamma_XZ
!-----------------------------------------------------------
a g1 = a1
a g2 = a2
a g3 = a3
A.4 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC4 93
a g4 = 0
a g5 = 0
a g6 = 0
a g7 = 1
a g8 = 0
a g9 = 0
! ceRVE a gumen :
! a1,a2,a3,eps1,eps2,eps3,eps4,eps5,eps6
! a1,a2,a3,eps11,eps22,eps33,eps23,eps13,eps12
!
! /sOLU
! *use,ceRVE,a1,a2,a3,0,0,0, 0,0,0.5
! SOLVE
! FINISH
! This mac o applies CE o a pe iodic hexaed al RVE
! The RVE mus be cen ed a (0,0,0) and
! a node mus exis a (0,0,0)
!+!a1=a g1
!+!a2=a g2
!+!a3=a g3
! APPLIED STRAINS
eps11=a g4
eps22=a g5
eps33=a g6
!---No e: mus en e epsij=1/2*gamma
eps12=a g9/2
eps13=a g8/2
eps23=a g7/2 ! (x-y in model)
!---No e: he e eco e s he o he 1/2*gamma
eps21 = eps12
eps31 = eps13
eps32 = eps23
! PERIODIC BOUNDARY CONDITION EQNS 2-DIR (X-DIR)
! DIR THEORY ANSYS MODEL
! 1 Z
! 2 X
! 3 Y
!------------------------------------------------------
! CREATE COMPONENT SET: pe iodic co ne s, edges and sides
!------------------------------------------------------
! selec side +a1 and -a1 -----------------
nsel,s,loc,z,-a1-0.001,-a1+0.001
cm,a1n_nodes,node
nsel,s,loc,z,a1-0.001,a1+0.001
94 Capí ulo A. Códigos de Ansys
cm,a1p_nodes,node
! selec side +a2 and -a2 -----------------
nsel,s,loc,x,-a2-0.001,-a2+0.001
cm,a2n_nodes,node
nsel,s,loc,x,a2-0.001,a2+0.001
cm,a2p_nodes,node
! selec side +a3 and -a3 -----------------
nsel,s,loc,y,-a3-0.001,-a3+0.001
cm,a3n_nodes,node
nsel,s,loc,y,a3-0.001,a3+0.001
cm,a3p_nodes,node
! selec edges a1 a2 ---------------------
cmsel,s,a1n_nodes
cmsel, ,a2n_nodes
cm,a1n_a2n_nodes,node
cmsel,s,a1n_nodes
cmsel, ,a2p_nodes
cm,a1n_a2p_nodes,node
cmsel,s,a1p_nodes
cmsel, ,a2n_nodes
cm,a1p_a2n_nodes,node
cmsel,s,a1p_nodes
cmsel, ,a2p_nodes
cm,a1p_a2p_nodes,node
! selec edges a1 a3 ---------------------
cmsel,s,a1n_nodes
cmsel, ,a3n_nodes
cm,a1n_a3n_nodes,node
cmsel,s,a1n_nodes
cmsel, ,a3p_nodes
cm,a1n_a3p_nodes,node
cmsel,s,a1p_nodes
cmsel, ,a3n_nodes
cm,a1p_a3n_nodes,node
cmsel,s,a1p_nodes
cmsel, ,a3p_nodes
cm,a1p_a3p_nodes,node
! selec edges a3 a2 ---------------------
cmsel,s,a3n_nodes
cmsel, ,a2n_nodes
cm,a3n_a2n_nodes,node
cmsel,s,a3n_nodes
cmsel, ,a2p_nodes
cm,a3n_a2p_nodes,node
cmsel,s,a3p_nodes
A.4 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC4 95
cmsel, ,a2n_nodes
cm,a3p_a2n_nodes,node
cmsel,s,a3p_nodes
cmsel, ,a2p_nodes
cm,a3p_a2p_nodes,node
cmsel,s,a1n_a2n_nodes
cmsel,a,a1n_a2p_nodes
cmsel,a,a1p_a2n_nodes
cmsel,a,a1p_a2p_nodes
cmsel,a,a1n_a3n_nodes
cmsel,a,a1n_a3p_nodes
cmsel,a,a1p_a3n_nodes
cmsel,a,a1p_a3p_nodes
cmsel,a,a3n_a2n_nodes
cmsel,a,a3n_a2p_nodes
cmsel,a,a3p_a2n_nodes
cmsel,a,a3p_a2p_nodes
cm,edges_nodes,node
! selec co ne s a1 a2 a3 ---------------------
nsel,ALL
a1n_a2n_a3n_co ne =node(-a2,-a3,-a1)
a1n_a2p_a3n_co ne =node( a2,-a3,-a1)
a1n_a2n_a3p_co ne =node(-a2, a3,-a1)
a1n_a2p_a3p_co ne =node( a2, a3,-a1)
a1p_a2n_a3n_co ne =node(-a2,-a3, a1)
a1p_a2p_a3n_co ne =node( a2,-a3, a1)
a1p_a2n_a3p_co ne =node(-a2, a3, a1)
a1p_a2p_a3p_co ne =node( a2, a3, a1)
nsel,s,node,,a1n_a2n_a3n_co ne
nsel,a,node,,a1n_a2n_a3p_co ne
nsel,a,node,,a1n_a2p_a3n_co ne
nsel,a,node,,a1n_a2p_a3p_co ne
nsel,a,node,,a1p_a2n_a3n_co ne
nsel,a,node,,a1p_a2n_a3p_co ne
nsel,a,node,,a1p_a2p_a3n_co ne
nsel,a,node,,a1p_a2p_a3p_co ne
cm,co ne s_nodes,node
ALLSEL,ALL
NSEL,S,LOC,x,0
NSEL,R,LOC,Y,0
NSEL,R,LOC,Z,0
D,ALL,ALL
ALLSEL,ALL
CEDELE,ALL
ALLSEL,ALL
ceeq=0

96 Capí ulo A. Códigos de Ansys
! PERIODIC BOUNDARY CONDITION EQNS 2-DIR (X-DIR)
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a2n_nodes
cmsel,u,edges_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a2n_nodes
cmsel,u,edges_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
cmsel,s,a2p_nodes
! ge closes node om componen neg_a2
pos_node=node(-x_,y_,z_)
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps22*(a2*2)),neg_node,ux,-1,pos_node,ux,1 ! x->2
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps32*(a2*2)),neg_node,uy,-1,pos_node,uy,1 ! y->3
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps12*(a2*2)),neg_node,uz,-1,pos_node,uz,1 ! z->1
*enddo
! PERIODIC BOUNDARY CONDITION EQNS 3-DIR (Y-DIR)
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a3n_nodes
cmsel,u,edges_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a3n_nodes
cmsel,u,edges_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
A.4 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC4 97
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
cmsel,s,a3p_nodes
! ge closes node om componen neg_a2
pos_node=node(x_,-y_,z_)
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps23*(a3*2)),neg_node,ux,-1,pos_node,ux,1 ! x->2
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps33*(a3*2)),neg_node,uy,-1,pos_node,uy,1 ! y->3
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps13*(a3*2)),neg_node,uz,-1,pos_node,uz,1 ! z->1
*enddo
! PERIODIC BOUNDARY CONDITION EQNS 1-DIR (Z-DIR)
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a1n_nodes
cmsel,u,edges_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a1n_nodes
cmsel,u,edges_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
cmsel,s,a1p_nodes
! ge closes node om componen neg_a2
pos_node=node(x_,y_,-z_)
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps21*(a1*2)),neg_node,ux,-1,pos_node,ux,1 ! x->2
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps31*(a1*2)),neg_node,uy,-1,pos_node,uy,1 ! y->3
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps11*(a1*2)),neg_node,uz,-1,pos_node,uz,1 ! z->1
*enddo
! PERIODIC BOUNDARY CONDITION EQNS 23-DIR (XY-DIR)
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a3n_a2n_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
98 Capí ulo A. Códigos de Ansys
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a3n_a2n_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
cmsel,s,a3p_a2p_nodes
! ge closes node om componen neg_a2
pos_node=node(-x_,-y_,z_)
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps22*(a2*2))+(eps23*(a3*2)),neg_node,ux,-1,pos_node,ux,1 ! x->2
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps32*(a2*2))+(eps33*(a3*2)),neg_node,uy,-1,pos_node,uy,1 ! y->3
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps12*(a2*2))+(eps13*(a3*2)),neg_node,uz,-1,pos_node,uz,1 ! z->1
*enddo
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a3n_a2p_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a3n_a2p_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
cmsel,s,a3p_a2n_nodes
! ge closes node om componen neg_a2
pos_node=node(-x_,-y_,z_)
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(-eps22*(a2*2))+(eps23*(a3*2)),neg_node,ux,-1,pos_node,ux,1 ! x->2
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(-eps32*(a2*2))+(eps33*(a3*2)),neg_node,uy,-1,pos_node,uy,1 ! y->3
A.4 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC4 99
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(-eps12*(a2*2))+(eps13*(a3*2)),neg_node,uz,-1,pos_node,uz,1 ! z->1
*enddo
! PERIODIC BOUNDARY CONDITION EQNS 31-DIR (YZ-DIR)
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a1n_a3n_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a1n_a3n_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
x_=nx(neg_node)
y_=ny(neg_node)
z_=nz(neg_node)
cmsel,s,a1p_a3p_nodes
! ge closes node om componen neg_a2
pos_node=node(x_,-y_,-z_)
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps21*(a1*2))+(eps23*(a3*2)),neg_node,ux,-1,pos_node,ux,1 ! x->2
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps31*(a1*2))+(eps33*(a3*2)),neg_node,uy,-1,pos_node,uy,1 ! y->3
ceeq=ceeq+1
ce,ceeq,(eps11*(a1*2))+(eps13*(a3*2)),neg_node,uz,-1,pos_node,uz,1 ! z->1
*enddo
!
pos_node=
neg_node=
cmsel,s,a1n_a3p_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
*ge ,num_nodes,node,0,coun ,max
*do,i,1,num_nodes,1
cmsel,s,a1n_a3p_nodes
cmsel,u,co ne s_nodes
! neg_node is unde ined; use lowes ac i e node numbe when i=1
*i ,i,ne,1, hen
neg_node=ndnex (neg_node)
*else
*ge ,neg_node,node,0,num,min
*endi
! ge x,y,z loca ions o cu en node in ac i e coo d sys em
106 Capí ulo A. Códigos de Ansys
MP,PERX,1,k11m
MP,PERY,1,k11m
MP,PERZ,1,k33m
TB,PIEZ,1 !Ac i a la ma iz pa a ma e ial p ope ies (MP). PIEZ=ma iz piezoeléc ica
TBDATA,3,0
TBDATA,6,0
TBDATA,9,0
TBDATA,14,0
TBDATA,16,0
TB,ANEL,1 !ANEL=Aniso opía
TBDATA,1,c11m,c12m,c13m
TBDATA,7,c11m,c13m
TBDATA,12,c33m
TBDATA,16,c66m
TBDATA,19,c44m
TBDATA,21,c44m
!FIBRA
EMUNIT,EPZRO,8.85E-12
MP,PERX,2,k11
MP,PERY,2,k11
MP,PERZ,2,k33
TB,PIEZ,2
TBDATA,3,e31
TBDATA,6,e31
TBDATA,9,e33
TBDATA,14,e15
TBDATA,16,e15
TB,ANEL,2
TBDATA,1,c11 ,c12 ,c13
TBDATA,7,c11 ,c13
TBDATA,12,c33
TBDATA,16,c66
TBDATA,19,c44
TBDATA,21,c44
!MALLADO
!FIBRA
di =10
VSEL,S,VOLU,,FIBRA
ASLV,S !Selecciona las á eas con enidas en los olúmenes seleccionados
LSLA,S !Selecciona las líneas con enidas en las á eas seleccionadas
LESIZE,ALL,,,di ,,1,,,1,
LSEL,S,LOC,Z,a3/2
LSEL,A,LOC,Z,-a3/2 !A=selección adicional a la que ya es aba hecha
LESIZE,ALL,,,di /(a1/a3),,1,,,1,

A.5 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC5 107
MAT,2 !Asigna el ipo de ma e ial
VMESH,ALL
ALLSEL
!MATRIZ
di =8
VSEL,S,VOLU,,MATRIZ !S=nue a selección
ASLV,S
LSLA,S
LESIZE,ALL, , ,di , ,1, , ,1,
LSEL,S,LOC,Z,a3/2
LSEL,A,LOC,Z,-a3/2
LESIZE,ALL, , ,di /(a1/a3), ,1, , ,1,
allsel
FLST,2,2,5,ORDE,2 !Selección
FITEM,2,22
FITEM,2,-23
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,55
FITEM,2,-56
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,27
FITEM,2,-28
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,61
FITEM,2,-62
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,35
FITEM,2,-36
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,71
FITEM,2,-72
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,31
FITEM,2,33
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,66
FITEM,2,68
ACCAT,P51X
MAT,1
VMESH,ALL
ALLSEL
108 Capí ulo A. Códigos de Ansys
FINISH
!----------------------------------------------------------
! SOLUCIÓN
!----------------------------------------------------------
/SOLU
ANTYPE,STATIC
CSYS,0
ALLSEL,ALL
!Condiciones de con o no
nsel,s,loc,x,-a1-0.001,-a1+0.001
D,ALL,UX,0
D,ALL,VOLT,0
nsel,s,loc,x,a1-0.001,a1+0.001
D,ALL,UX,0
D,ALL,VOLT,0
!Aplicación en ca as +a2 y -a2
nsel,s,loc,y,-a2-0.001,-a2+0.001
D,ALL,UY,0
D,ALL,VOLT,0
nsel,s,loc,y,a2-0.001,a2+0.001
D,ALL,UY,0
D,ALL,VOLT,0
!Aplicación en ca as +a3 y -a3
nsel,s,loc,z,-a3-0.001,-a3+0.001
D,ALL,UZ,0
D,ALL,VOLT,0
nsel,s,loc,z,a3-0.001,a3+0.001
D,ALL,UZ,0
D,ALL,VOLT,-2*a3
ALLSEL,ALL,ALL
SOLVE
FINISH
!-----------------------
! Pos p ocesado
!-----------------------
/POST1
VSEL,R,LOC,X,0,a1
VSEL,R,LOC,Y,0,a2
VPLOT
A.5 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC5 109
ESLV,R
allsel
ETABLE, ,VOLU,
ETABLE, ,EF,Z
SMULT,EFZV,VOLU,EFZ,1,1,
SSUM
*GET,TOTVOL,SSUM,,ITEM,VOLU
*GET,TOTEFZ,SSUM,,ITEM,EFZV
EFZZ0 = TOTEFZ/TOTVOL !Ob encion E3
ETABLE, ,VOLU,
ETABLE, ,S,X
ETABLE, ,S,Z
ETABLE, ,D,Z
SMULT,SXV,VOLU,SX,1,1,
SMULT,SZV,VOLU,SZ,1,1,
SMULT,DZV,VOLU,DZ,1,1,
SSUM
*GET,TOTVOL,SSUM,,ITEM,VOLU
*GET,TOTSX ,SSUM,,ITEM,SXV
*GET,TOTSZ ,SSUM,,ITEM,SZV
*GET,TOTDZ ,SSUM,,ITEM,DZV
SXX0 = -1*TOTSX/TOTVOL !Ob encion sigma11
SZZ0 = -1*TOTSZ/TOTVOL !Ob encion sigma33
DZZ0 = 1*TOTDZ/TOTVOL !Ob encion D3
!--------------------------------
!RVE calculo e13, e33 y k33
!--------------------------------
*VWRITE, ,EFzz0,Sxx0,Szz0,Dzz0 !Regis o de esul ados
(5E12.5)
FINISH
!+++++++++++++++++++++++++++++++++++
!+++++++++++++++++++++++++++++++++++
*CFCLOSE
*CFOPEN, esul ado_ ib a_ci cula _CC5, x , ,APPEND
*ENDDO
!+++++++++++++++++++++++++++++++++++
!+++++++++++++++++++++++++++++++++++
*CFCLOSE
110 Capí ulo A. Códigos de Ansys
A.6 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC6
FINISH
/CLEAR
!A con inuación, se de alla el uso del MEF pa a ob ene K11 y e15 con FIBRA CIRCULAR
pi=acos(-1)
!P opiedades ma iz
c11m=0.386E+10
c12m=0.257E+10
c13m=0.257E+10
c33m=0.386E+10
c44m=0.064E+10
c66m=0.064E+10
k11m=9
k33m=9
!P opiedades ib a
c11 =12.1E+10
c12 =7.54E+10
c13 =7.52E+10
c33 =11.1E+10
c44 =2.11E+10
c66 =2.28E+10
e15 =12.3
e31 =-5.4
e33 =15.8
k11 =916.38
k33 =830.51
!Geome ía del RVE
a1=0.5
a2=a1
a3=a1
*CFOPEN, esul ado_ ib a_ci cula _CC6, x !C ea un a chi o sob e el que se esc ibi án los esul ados en el di ec o io de abajo
!A con inuación, se c ea un bucle pa a di e en es acciones olumé icas
*DO, ,0.111,0.666,0.111
d =sq ( *16*a1*a2/pi) !Diáme o de la ib a
!----------------------------------------------------------
! PREPROCESO
!----------------------------------------------------------
/PREP7
A.6 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC6 111
VCLEAR,ALL
VDELE,ALL,,,1
!Keypoin s
K,1,-a1
K,2,a1
K,3,0,-a2
K,4,0,a2
L,1,2
L,3,4
BLC4,-a1,-a2,2*a1,2*a2 !C ea olumen ec angula . BLC4, XCORNER, YCORNER, WIDTH, HEIGHT, DEPTH
cen o_x=0
cen o_y=0
CYL4,cen o_x,cen o_y,d /2
ASBA,1,2,,,KEEP !Res a á eas. ASBA, á ea a la que se es a, á ea es ada, SEPO, á eas a man ene de 1, á eas a man ene de 2
ASBL,ALL,1 !Elimina líneas de á eas
ASBL,ALL,2
VEXT,ALL,,,0,0,a3,,,, ! Gene a olúmenes ex uyendo á eas. VEXT,AREA1,AREA2,PASOS EN LOS QUE RECORRER EL CAMINO DE ÁREA 1 A ÁREA 2, DX,DY,DZ, RX,RY,RZ
VGEN,2,ALL,,,0,0,-a3 !Gene a olúmenes a pa i de un pa ón de o os olúmenes. VGEN, PASOS DE TIEMPO, VOLUMEN 1, VOLUMEN 2, PASOS EN LOS QUE RECORRER DE VOLUMEN 1 A VOLUMEN 2, DX,DY,DZ,INCREMENTO DE KP, NºELEMENTO
NUMMRG,KP !Une los KP coinciden es
!A con inuación se ag upan los olúmenes
!Ma iz
FLST,5,8,6,ORDE,4 !Selecciona. FLST,
FITEM,5,5
FITEM,5,-8
FITEM,5,13
FITEM,5,-16
VSEL,S,,,P51X
CM,MATRIZ,VOLU !Ag upa olúmenes
ALLSEL
!Fib a
VSEL,U,VOLU,,MATRIZ !Deselecciona ma iz
CM,FIBRA,VOLU
ALLSEL
!Tipo de elemen o
ET,2,SOLID226,1001
!Ma e iales
!MATRIZ
EMUNIT,EPZRO,8.85E-12 !Sis ema de unidades pa a campo magné ico. EMUNIT,TIPO DE UNIDADES, VALOR

112 Capí ulo A. Códigos de Ansys
MP,PERX,1,k11m
MP,PERY,1,k11m
MP,PERZ,1,k33m
TB,PIEZ,1 !Ac i a la ma iz pa a ma e ial p ope ies (MP). PIEZ=ma iz piezoeléc ica
TBDATA,3,0
TBDATA,6,0
TBDATA,9,0
TBDATA,14,0
TBDATA,16,0
TB,ANEL,1 !ANEL=Aniso opía
TBDATA,1,c11m,c12m,c13m
TBDATA,7,c11m,c13m
TBDATA,12,c33m
TBDATA,16,c66m
TBDATA,19,c44m
TBDATA,21,c44m
!FIBRA
EMUNIT,EPZRO,8.85E-12
MP,PERX,2,k11
MP,PERY,2,k11
MP,PERZ,2,k33
TB,PIEZ,2
TBDATA,3,e31
TBDATA,6,e31
TBDATA,9,e33
TBDATA,14,e15
TBDATA,16,e15
TB,ANEL,2
TBDATA,1,c11 ,c12 ,c13
TBDATA,7,c11 ,c13
TBDATA,12,c33
TBDATA,16,c66
TBDATA,19,c44
TBDATA,21,c44
!MALLADO
!FIBRA
di =10
VSEL,S,VOLU,,FIBRA
ASLV,S !Selecciona las á eas con enidas en los olúmenes seleccionados
LSLA,S !Selecciona las líneas con enidas en las á eas seleccionadas
LESIZE,ALL,,,di ,,1,,,1,
LSEL,S,LOC,Z,a3/2
LSEL,A,LOC,Z,-a3/2 !A=selección adicional a la que ya es aba hecha
LESIZE,ALL,,,di /(a1/a3),,1,,,1,
A.6 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC6 113
MAT,2 !Asigna el ipo de ma e ial
VMESH,ALL
ALLSEL
!MATRIZ
di =8
VSEL,S,VOLU,,MATRIZ !S=nue a selección
ASLV,S
LSLA,S
LESIZE,ALL, , ,di , ,1, , ,1,
LSEL,S,LOC,Z,a3/2
LSEL,A,LOC,Z,-a3/2
LESIZE,ALL, , ,di /(a1/a3), ,1, , ,1,
allsel
FLST,2,2,5,ORDE,2 !Selección
FITEM,2,22
FITEM,2,-23
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,55
FITEM,2,-56
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,27
FITEM,2,-28
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,61
FITEM,2,-62
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,35
FITEM,2,-36
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,71
FITEM,2,-72
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,31
FITEM,2,33
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,66
FITEM,2,68
ACCAT,P51X
MAT,1
VMESH,ALL
ALLSEL
114 Capí ulo A. Códigos de Ansys
FINISH
!----------------------------------------------------------
! SOLUCIÓN
!----------------------------------------------------------
/SOLU
ANTYPE,STATIC
CSYS,0
ALLSEL,ALL
!Condiciones de con o no
nsel,s,loc,x,-a1-0.001,-a1+0.001
D,ALL,UX,0
D,ALL,VOLT,0
nsel,s,loc,x,a1-0.001,a1+0.001
D,ALL,UX,0
D,ALL,VOLT,0
!Aplicación en ca as +a2 y -a2
nsel,s,loc,y,-a2-0.001,-a2+0.001
D,ALL,UY,0
D,ALL,VOLT,0
nsel,s,loc,y,a2-0.001,a2+0.001
D,ALL,UY,0
D,ALL,VOLT,-2*a2
!Aplicación en ca as +a3 y -a3
nsel,s,loc,z,-a3-0.001,-a3+0.001
D,ALL,UZ,0
D,ALL,VOLT,0
nsel,s,loc,z,a3-0.001,a3+0.001
D,ALL,UZ,0
D,ALL,VOLT,0
ALLSEL,ALL,ALL
SOLVE
FINISH
!-----------------------
! Pos p ocesado
!-----------------------
/POST1
VSEL,R,LOC,X,0,a1
VSEL,R,LOC,Y,0,a2
VPLOT
A.6 Fib a ci cula PZT ma iz epoxy CC6 115
ESLV,R
allsel
ETABLE, ,VOLU,
ETABLE, ,EF,Y
SMULT,EFYV,VOLU,EFY,1,1,
SSUM
*GET,TOTVOL,SSUM,,ITEM,VOLU
*GET,TOTEFY,SSUM,,ITEM,EFYV
EFYY0 = TOTEFY/TOTVOL !Ob encion E2
ETABLE, ,VOLU,
ETABLE, ,D,Y
ETABLE, ,S,YZ
SMULT,DYV ,VOLU,DY,1,1,
SMULT,SYZV,VOLU,SYZ,1,1,
SSUM
*GET,TOTVOL,SSUM,,ITEM,VOLU
*GET,TOTDY ,SSUM,,ITEM,DYV
*GET,TOTSYZ ,SSUM,,ITEM,SYZV
DYY0 = TOTDY/TOTVOL !Ob encion D2 -> k11
SYZ0 = -1*TOTSYZ/TOTVOL !Ob encion sigma23 -> e15
!--------------------------------
!RVE calculo k11 y e15
!--------------------------------
*VWRITE, ,EFyy0,Dyy0,Syz0 !Regis o de esul ados
(4E12.5)
FINISH
!+++++++++++++++++++++++++++++++++++
!+++++++++++++++++++++++++++++++++++
*CFCLOSE
*CFOPEN, esul ado_ ib a_ci cula _CC6, x , ,APPEND
*ENDDO
!+++++++++++++++++++++++++++++++++++
!+++++++++++++++++++++++++++++++++++
*CFCLOSE
122 Capí ulo A. Códigos de Ansys
A.8 Fib a ci cula KNN ma iz polie ileno auxé ica CC1
FINISH
/CLEAR
!A con inuación, se de alla el uso del MEF pa a ob ene C11 y C22 con FIBRA CIRCULAR y ma iz auxé ica (PE)
pi=acos(-1)
!P opiedades ma iz (PE, nu=-0.32, E=100E6)
c11m=1.1836E+8
c12m=-2.8694E+7
c13m=-2.8694E+7
c33m=1.1836E+8
c44m=7.3529E+7
c66m=7.3529E+7
k11m=2.3
k33m=2.3
!P opiedades ib a
c11 =13.62E+10
c12 =8.62+10
c13 =6.59E+10
c33 =9.85E+10
c44 =2.28E+10
c66 =2.5E+10
e15 =15.6
e31 =-11.2
e33 =15.9
k11 =1100
k33 =975
!Geome ía del RVE
a1=0.5
a2=a1
a3=a1
*CFOPEN, esul ado_ ib a_ci cula _aux_CC1, x !C ea un a chi o sob e el que se esc ibi án los esul ados en el di ec o io de abajo
!A con inuación, se c ea un bucle pa a di e en es acciones olumé icas
*DO, ,0.111,0.666,0.111
d =sq ( *16*a1*a2/pi) !Diáme o de la ib a
!----------------------------------------------------------
! PREPROCESO
!----------------------------------------------------------
/PREP7

A.8 Fib a ci cula KNN ma iz polie ileno auxé ica CC1 123
VCLEAR,ALL
VDELE,ALL,,,1
!Keypoin s
K,1,-a1
K,2,a1
K,3,0,-a2
K,4,0,a2
L,1,2
L,3,4
BLC4,-a1,-a2,2*a1,2*a2 !C ea olumen ec angula . BLC4, XCORNER, YCORNER, WIDTH, HEIGHT, DEPTH
cen o_x=0
cen o_y=0
CYL4,cen o_x,cen o_y,d /2
ASBA,1,2,,,KEEP !Res a á eas. ASBA, á ea a la que se es a, á ea es ada, SEPO, á eas a man ene de 1, á eas a man ene de 2
ASBL,ALL,1 !Elimina líneas de á eas
ASBL,ALL,2
VEXT,ALL,,,0,0,a3,,,, ! Gene a olúmenes ex uyendo á eas. VEXT,AREA1,AREA2,PASOS EN LOS QUE RECORRER EL CAMINO DE ÁREA 1 A ÁREA 2, DX,DY,DZ, RX,RY,RZ
VGEN,2,ALL,,,0,0,-a3 !Gene a olúmenes a pa i de un pa ón de o os olúmenes. VGEN, PASOS DE TIEMPO, VOLUMEN 1, VOLUMEN 2, PASOS EN LOS QUE RECORRER DE VOLUMEN 1 A VOLUMEN 2, DX,DY,DZ,INCREMENTO DE KP, NºELEMENTO
NUMMRG,KP !Une los KP coinciden es
!A con inuación se ag upan los olúmenes
!Ma iz
FLST,5,8,6,ORDE,4 !Selecciona. FLST,
FITEM,5,5
FITEM,5,-8
FITEM,5,13
FITEM,5,-16
VSEL,S,,,P51X
CM,MATRIZ,VOLU !Ag upa olúmenes
ALLSEL
!Fib a
VSEL,U,VOLU,,MATRIZ !Deselecciona ma iz
CM,FIBRA,VOLU
ALLSEL
!Tipo de elemen o
ET,2,SOLID226,1001
!Ma e iales
!MATRIZ
EMUNIT,EPZRO,8.85E-12 !Sis ema de unidades pa a campo magné ico. EMUNIT,TIPO DE UNIDADES, VALOR
124 Capí ulo A. Códigos de Ansys
MP,PERX,1,k11m
MP,PERY,1,k11m
MP,PERZ,1,k33m
TB,PIEZ,1 !Ac i a la ma iz pa a ma e ial p ope ies (MP). PIEZ=ma iz piezoeléc ica
TBDATA,3,0
TBDATA,6,0
TBDATA,9,0
TBDATA,14,0
TBDATA,16,0
TB,ANEL,1 !ANEL=Aniso opía
TBDATA,1,c11m,c12m,c13m
TBDATA,7,c11m,c13m
TBDATA,12,c33m
TBDATA,16,c66m
TBDATA,19,c44m
TBDATA,21,c44m
!FIBRA
EMUNIT,EPZRO,8.85E-12
MP,PERX,2,k11
MP,PERY,2,k11
MP,PERZ,2,k33
TB,PIEZ,2
TBDATA,3,e31
TBDATA,6,e31
TBDATA,9,e33
TBDATA,14,e15
TBDATA,16,e15
TB,ANEL,2
TBDATA,1,c11 ,c12 ,c13
TBDATA,7,c11 ,c13
TBDATA,12,c33
TBDATA,16,c66
TBDATA,19,c44
TBDATA,21,c44
!MALLADO
!FIBRA
di =10
VSEL,S,VOLU,,FIBRA
ASLV,S !Selecciona las á eas con enidas en los olúmenes seleccionados
LSLA,S !Selecciona las líneas con enidas en las á eas seleccionadas
LESIZE,ALL,,,di ,,1,,,1,
LSEL,S,LOC,Z,a3/2
LSEL,A,LOC,Z,-a3/2 !A=selección adicional a la que ya es aba hecha
LESIZE,ALL,,,di /(a1/a3),,1,,,1,
A.8 Fib a ci cula KNN ma iz polie ileno auxé ica CC1 125
MAT,2 !Asigna el ipo de ma e ial
VMESH,ALL
ALLSEL
!MATRIZ
di =8
VSEL,S,VOLU,,MATRIZ !S=nue a selección
ASLV,S
LSLA,S
LESIZE,ALL, , ,di , ,1, , ,1,
LSEL,S,LOC,Z,a3/2
LSEL,A,LOC,Z,-a3/2
LESIZE,ALL, , ,di /(a1/a3), ,1, , ,1,
ALLSEL
FLST,2,2,5,ORDE,2 !Selección
FITEM,2,22
FITEM,2,-23
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,55
FITEM,2,-56
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,27
FITEM,2,-28
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,61
FITEM,2,-62
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,35
FITEM,2,-36
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,71
FITEM,2,-72
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,31
FITEM,2,33
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,66
FITEM,2,68
ACCAT,P51X
MAT,1
VMESH,ALL
ALLSEL
126 Capí ulo A. Códigos de Ansys
FINISH
!----------------------------------------------------------
! SOLUCIÓN
!----------------------------------------------------------
/SOLU
ANTYPE,STATIC
CSYS,0
ALLSEL,ALL
!CONDICIONES DE CONTORNO
!Ca as a1 y -a1
NSEL,S,LOC,X,-a1-0.001,-a1+0.001
D,ALL,UX,-a1 !CDC sob e nodos
D,ALL,VOLT,0 !VOLT= ol aje
NSEL,S,LOC,X,a1-0.001,a1+0.001
D,ALL,UX,a1
D,ALL,VOLT,0
!Ca as a2 y -a2
NSEL,S,LOC,Y,-a2-0.001,-a2+0.001
D,ALL,UY,0
D,ALL,VOLT,0
NSEL,S,LOC,Y,a2-0.001,a2+0.001
D,ALL,UY,0
D,ALL,VOLT,0
!Ca as a3 y -a3
NSEL,S,LOC,Z,-a3-0.001,-a3+0.001
D,ALL,UZ,0
D,ALL,VOLT,0
NSEL,S,LOC,Z,a3-0.001,a3+0.001
D,ALL,UZ,0
D,ALL,VOLT,0
ALLSEL,ALL,ALL
SOLVE
FINISH
!----------------------------------------------------------
! POSTPROCESO
!----------------------------------------------------------
/POST1
VSEL,R,LOC,X,0,a1
VSEL,R,LOC,Y,0,a2
A.8 Fib a ci cula KNN ma iz polie ileno auxé ica CC1 127
VPLOT
ESLV,R !Selecciona los elemen os asociados a los olúmenes seleccionados
ALLSEL
!A con inuación, se ope a mul iplicando el olumen po epsilon, se suma, y inalmen e se di ide en e el olumen o al pa a ob ene epsilon p omedio
ETABLE,,VOLU,
ETABLE,,EPEL,X !Componen es de o mación elás ica
SMULT,EPELXV,VOLU,EPELX,1,1, !SMULT,nomb e_ esul ados,mul iplicando1,mul iplicando2, ac o aplicado a 1, ac o aplicado a 2
SSUM
*GET,TOTVOL,SSUM,,ITEM,VOLU !*GET,nomb e_ ble_1,en idad,nºelemen o,a ibu o, ipo de a ibu o
*GET,TOTEPELX,SSUM,,ITEM,EPELXV !Ob ene de o mación o al
EPELXX0=TOTEPELX/TOTVOL !De aquí se ob iene epsilon11
ETABLE, ,S,X
ETABLE, ,S,Y
SMULT,SXV,VOLU,SX,1,1,
SMULT,SYV,VOLU,SY,1,1,
SSUM
*GET,TOTVOL,SSUM,,ITEM,VOLU
*GET,TOTSX ,SSUM,,ITEM,SXV
*GET,TOTSY ,SSUM,,ITEM,SYV
SXX0 = TOTSX/TOTVOL !Ob encion sigma11
SYY0 = TOTSY/TOTVOL !Ob encion sigma22
!Con es os da os, se puede calcula c11 y c12 de la ma iz de compo amien o
*VWRITE, ,EPELxx0,Sxx0,Syy0
(4E12.5)
FINISH
*CFCLOSE !Cie e a chi o
*CFOPEN, esul ado_ ib a_ci cula _aux_CC1, x , ,APPEND !APPEND: es e iche o se c ea además del que ya exis e, sin sob eesc ibi lo
*ENDDO
*CFCLOSE !Cie e de ini i o del a chi o, ue a del bucle

128 Capí ulo A. Códigos de Ansys
A.9 Fib a cuad ada KNN ma iz polie ileno CC1
FINISH
/CLEAR
!A con inuación, se de alla el uso del MEF pa a ob ene C11 y C22 con FIBRA CUADRADA
!P opiedades ma iz (PE, nu=0.2, E=100E6)
c11m=1.1111E+8
c12m=2.7778E+7
c13m=2.7778E+7
c33m=1.1111E+8
c44m=4.1667E+7
c66m=4.1667E+7
k11m=2.3
k33m=2.3
!P opiedades ib a (inclusiones piezoeléc icas KNN)
c11 =13.62E+10
c12 =8.62+10
c13 =6.59E+10
c33 =9.85E+10
c44 =2.28E+10
c66 =2.5E+10
e15 =15.6
e31 =-11.2
e33 =15.9
k11 =1100
k33 =975
!Geome ía del RVE
a1=0.5
a2=a1
a3=a1
*CFOPEN, esul ado_ ib a_cuad ada_CC1, x !C ea un a chi o sob e el que se esc ibi án los esul ados en el di ec o io de abajo
!+! =0.111
!A con inuación, se c ea un bucle pa a di e en es acciones olumé icas
*DO, ,0.111,0.666,0.111
l=sq ( *4*a1*a2) !Lado de la ib a
!----------------------------------------------------------
! PREPROCESO
!----------------------------------------------------------
/PREP7
VCLEAR,ALL
A.9 Fib a cuad ada KNN ma iz polie ileno CC1 129
VDELE,ALL,,,1
!Keypoin s
K,1,-a1
K,2,a1
K,3,0,-a2
K,4,0,a2
L,1,2
L,3,4
BLC4,-a1,-a2,2*a1,2*a2 !C ea olumen ec angula . BLC4, XCORNER, YCORNER, WIDTH, HEIGHT, DEPTH
BLC4,-l/2,-l/2,l,l !Fib a
ASBA,1,2,,,KEEP !Res a á eas. ASBA, á ea a la que se es a, á ea es ada, SEPO, á eas a man ene de 1, á eas a man ene de 2
ASBL,ALL,1 !Elimina líneas de á eas
ASBL,ALL,2
VEXT,ALL,,,0,0,a3,,,, ! Gene a olúmenes ex uyendo á eas. VEXT,AREA1,AREA2,PASOS EN LOS QUE RECORRER EL CAMINO DE ÁREA 1 A ÁREA 2, DX,DY,DZ, RX,RY,RZ
VGEN,2,ALL,,,0,0,-a3 !Gene a olúmenes a pa i de un pa ón de o os olúmenes. VGEN, PASOS DE TIEMPO, VOLUMEN 1, VOLUMEN 2, PASOS EN LOS QUE RECORRER DE VOLUMEN 1 A VOLUMEN 2, DX,DY,DZ,INCREMENTO DE KP, NºELEMENTO
NUMMRG,KP !Une los KP coinciden es
!A con inuación se ag upan los olúmenes
!Ma iz
VSEL,S,VOLU,,5,8
VSEL,A,VOLU,,13,16
CM,MATRIZ,VOLU !Ag upa olúmenes
ALLSEL
!Fib a
VSEL,U,VOLU,,MATRIZ !Deselecciona ma iz
CM,FIBRA,VOLU
ALLSEL
!Acoplamien o de á eas
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,26
FITEM,2,29
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,4
FITEM,2,13
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,31
FITEM,2,-32
ACCAT,P51X
130 Capí ulo A. Códigos de Ansys
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,15
FITEM,2,-16
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,35
FITEM,2,-36
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,19
FITEM,2,-20
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,39
FITEM,2,-40
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,23
FITEM,2,-24
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,63
FITEM,2,66
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,43
FITEM,2,46
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,69
FITEM,2,-70
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,49
FITEM,2,-50
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,74
FITEM,2,-75
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,54
FITEM,2,-55
ACCAT,P51X
A.9 Fib a cuad ada KNN ma iz polie ileno CC1 131
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,79
FITEM,2,-80
ACCAT,P51X
FLST,2,2,5,ORDE,2
FITEM,2,59
FITEM,2,-60
ACCAT,P51X
!Tipo de elemen o
ET,2,SOLID226,1001
!Ma e iales
!MATRIZ
EMUNIT,EPZRO,8.85E-12 !Sis ema de unidades pa a campo magné ico. EMUNIT,TIPO DE UNIDADES, VALOR
MP,PERX,1,k11m
MP,PERY,1,k11m
MP,PERZ,1,k33m
TB,PIEZ,1 !Ac i a la ma iz pa a ma e ial p ope ies (MP). PIEZ=ma iz piezoeléc ica
TBDATA,3,0
TBDATA,6,0
TBDATA,9,0
TBDATA,14,0
TBDATA,16,0
TB,ANEL,1 !ANEL=Aniso opía
TBDATA,1,c11m,c12m,c13m
TBDATA,7,c11m,c13m
TBDATA,12,c33m
TBDATA,16,c66m
TBDATA,19,c44m
TBDATA,21,c44m
!FIBRA
EMUNIT,EPZRO,8.85E-12
MP,PERX,2,k11
MP,PERY,2,k11
MP,PERZ,2,k33
TB,PIEZ,2
TBDATA,3,e31
TBDATA,6,e31
TBDATA,9,e33
TBDATA,14,e15
TBDATA,16,e15
TB,ANEL,2
TBDATA,1,c11 ,c12 ,c13
TBDATA,7,c11 ,c13