XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones
X Cong eso de Ma em´
a ica Aplicada
Se illa, 24-28 sep iemb e 2007
(pp. 1–8)
Sime ias de Lie y soluciones exac as pa a ecuaciones de
Sch ¨odinge no lineales con no linealidad inhomog´enea
Juan Belmon e-Bei ia1, V´
ıc o M. P´
e ez-Ga c´
ıa1, Vadym
Veksle chik1, Ped o J. To es2
1Depa amen o de Ma em´a icas, E.T.S.I Indus iales e Ins i u o de Ma em´a ica Aplicada a la Ciencia y
la Ingenie ´ıa (IMACI), A da. de Camilo Jos´e Cela, 3. Uni e sidad de Cas illa-La Mancha, 3071 Ciudad
Real. E-mail: juan.belmon [email protected], ic o .pe ezga [email protected],[email p o ec ed] .
2Depa amen o de Ma em´a ica Aplicada. Facul ad de Ciencias, Uni e sidad de G anada Campus de
Fuen enue a s/n 18071 G anada. E-mail: p o es@ug .es.
Palab as cla e: Ecuaciones de Sch ¨odinge no lineales, soli ones, sime ias de Lie, ans o maciones
can´onicas.
Resumen
Usando eo ´ıa de g upos de Lie y ans o maciones can´onicas, cons uimos solucio-
nes expl´ıci as de ecuaciones de Sch ¨odinge no lineales con no linealidad modulada en
el espacio. P esen amos la eo ´ıa gene al y apoyandonos en es a, es udiamos di e en es
ejemplos, p esen ando soluciones expl´ıci as.
1. In oducci´on
La ecuaci´on de Sch ¨odinge no lineal (NLSE) es, en sus muchas e siones, uno de los
m´as impo an es modelos de la ´ısica ma em´a ica, con aplicaciones en di e en es campos
[19], como po ejemplo ´ısica de semiconduc o es [5, 15], ´op ica no lineal [12], o ´onica [11],
´ısica del plasma [8], undamen aci´on de la mec´anica cu´an ica [17], din´amica de acele ado es
[9], eo ´ıa del campo medio de condensados de Bose-Eins ein [6] o din´amica biomolecula
[7], po ci a solo algunos ejemplos.
El es udio de es e ipo de ecuaciones ha se ido como ca alizado pa a el desa ollo de
nue as ideas, incluyendo concep os ma em´a icos ales como el de soli ´on [20] o el desa ollo
de singula idades en ecuaciones en de i adas pa ciales [10, 18].
En los ´ul imos a˜nos ha habido un g an in e es po una a ian e de la ecuaci´on de
Sch ¨odinge no lineal es ´anda , la llamada ecuaci´on de Sch ¨odinge no lineal con no linea-
1
J. Belmon e-Bei ia, V. M. P´e ez-Ga c´ıa, V. Veksle chik, P. To es
lidad inhomog´enea (INLSE), que en una dimensi´on iene la siguien e o ma
iψ =−ψxx +V(x)ψ+g(x)|ψ|2ψ, (1)
ψ(x, 0) = ψ0(x),(2)
con x∈R, siendo V(x) un po encial ex e no y donde g(x) desc ibe la modulaci´on espacial
de la no linealidad. Es a ecuaci´on su ge en di e en es con ex os ´ısicos, ales como ´op ica
no lineal y din´amica de condensados de Bose-Eins ein.
Aunque muchas soluciones exac as de la NLSE con no linealidad homog´enea y sin po-
encial ex e no (V= 0) se conocen desde hace iempo, el p oblema de encon a soluciones
exac as de la INLSE es bas an e complicado.
En es e abajo, usando el m´e odo de sime ´ıas de Lie, encon amos conjun os de
po enciales V(x) y unciones g(x) pa a los que soluciones exac as de la ecuaci´on (1) pueden
se calculadas. La idea b´asica del m´e odo de sime ´ıas de Lie es el es udio de las p opiedades
in a ian es de ecuaciones di e enciales bajo g upos con inuos de ans o maciones. Es e
m´e odo ha sido aplicado con ´exi o a di e en es ecuaciones, como po ejemplo, ecuaciones
di e enciales que modelan oscilado es ana m´onicos [13, 14] y ecuacion de Madelung, que
su gen en la din´amica de luidos [1]. Pa a un abajo mas de allado y comple o que el que
aqui se p esen a, se pueden consul a las e e encias [2, 3].
2. Teo ´ıa gene al de sime ´ıas de Lie
En es e a iculo, nos p oponemos busca soluciones es aciona ias localizadas de la
ecuaci´on (1), que ienen la siguien e o ma
ψ(x, ) = φ(x)e−iλ ,(3)
y que sa is acen el siguien e p oblema de au o alo es no lineales
−φxx +V(x)φ+g(x)φ3=λφ, (4a)
φ(±∞) = 0.(4b)
La ecuaci´on (4a) es equi alen e a
−φxx + (x, φ) = 0,(5)
con (x, φ) = V(x)φ+g(x)φ3−λφ. Po de inici´on [4, 16], una ecuaci´on di e encial de
segundo o den A(x, u, u′, u′′) = 0 posee un g upo de Lie de ans o maciones pun uales o
una sime ´ıa pun ual de Lie de la o ma
M=ξ(x, u)∂/∂x +η(x, u)∂/∂u, (6)
si la acci´on de la segunda ex ensi´on de M,M(2) sob e Aes igual a ce o, es deci
M(2)A(x, u, u′, u′′) = ξ(x, u)∂
∂x +η(x, u)∂
∂u+
η(1)(x, u)∂
∂u′+η(2)(x, u)∂
∂u′′ A(x, u, u′, u′′) = 0,(7)
2
Sime ´ıas de Lie y soluciones exac as pa a ecuaciones de Sch ¨odinge no lineales con no
linealidad inhomog´enea
donde se sa is ace A(x, u, u′, u′′) = 0, y con η(k)
η(k)(x, u, u′, u′′, ..., uk) = Dη(k−1)
Dx −ukDξ(x, u)
Dx , k = 1,2, ... (8)
donde η(0) =η(x, u) y D/Dx es la de i ada o al. En nues o caso, A(x, φ, φx, φxx) iene
dada po
A(x, φ, φx, φxx) = −φxx +V(x)φ+g(x)φ3−λφ, (9)
y la acci´on del ope ado M(2) sob e A(x, φ, φx, φxx) lle a a una ecuaci´on polin´omica en
φx. Igualando los coe icien es de las po encias de φx, se ob iene
ξφφ = 0,(10a)
ηφφ −2ξφx = 0,(10b)
2ηxφ −ξxx −3 ξφ= 0,(10c)
ηxx −ξ x−η φ+ηφ −2ξx = 0.(10d)
Solucionando es as ecuaciones, encon amos que la ´unica sime ´ıa pun ual de Lie de la
ecuaci´on (4a) es de la o ma
M=b(x)∂
∂x +c(x)φ∂
∂φ,(11)
donde
g(x) = g0b−3e−2CRx
01/b(s)ds,(12a)
c(x) = 1
2b′(x) + C, (12b)
c′′(x)−b(x)V′(x)−2b′(x) (V(x)−λ) = 0,(12c)
pa a alguna cons an e C. Las ecuaciones (12) nos pe mi en cons ui pa es {V(x), g(x)}
pa a los cuales exis e la sime ia de Lie. As´ı, dado uno de los dos, g(x) o V(x), podemos,
en p incipio, elegi el o o pa a que se sa is agan las ecuaciones (12).
3. T ans o maciones can´onicas e in a ian es.
Es conocido [13], que la in a iancia de la ene g´ıa es ´a asociada a la in a ianc´ıa ans-
lacional. El gene ado de es a ans o maci´on es de la o ma M=∂/∂X. Pa a usa es e
hecho, de inimos la siguien e ans o maci´on
X= (x), U =n(x)φ, (13)
donde (x) y n(x) se ´an de e minados equi iendo que una ley de conse aci´on de ipo
ene g´ıa M=∂/∂X exis a en las a iables can´onicas. Usando la ecuaci´on (13) se iene
∂
∂φ =n(x)∂
∂U ,(14)
∂
∂x =n′(x)φ∂
∂U + ′(x)∂
∂X .(15)
3
J. Belmon e-Bei ia, V. M. P´e ez-Ga c´ıa, V. Veksle chik, P. To es
Sus i uyendo las exp esiones (14) y (15) en las ecuaci´on (11) e imponiendo la condici´on
M=∂/∂X, se ob ienen las siguien es ecuaciones
′(x)b(x) = 1,(16)
b(x)n′(x) + c(x)n(x) = 0.(17)
Finalmen e, sus i uyendo la ecuaci´on (12b) en (17), e in eg ando, se ob iene
(x) = Zx
0
1
b(s)ds, (18a)
n(x) = b(x)−1/2e−CRx
01/b(s)ds.(18b)
Se puede esc ibi aho a la ecuaci´on (4a) en ´e minos de las coo denadas can´onicas UyX,
−d2U
dX2−2CdU
dX +g0U3−EU = 0,(19)
con
E= (λ−V(x)) b(x)2−1
4b′(x)2+1
2b(x)b′′(x) + C2.(20)
La ecuaci´on (19) es la ecuaci´on de Du ing, que si e pa a modeliza las oscilaciones no
lineales. Es inmedia o p oba que la can idad E, que iene dada po la ecuaci´on (20) es
una cons an e del mo imien o.
Cuando C= 0, las ans o maciones an e io es p ese an la es uc u a Hamil oniana,
ya que la ans o maci´on can´onica es simpl´ec ica. En ese caso, la ecuaci´on (19) queda de
la siguien e o ma
−d2U
dX2+g0U3=EU. (21)
Eliminando c(x) de las ecuaciones (12), ob enemos
g(x) = g0/b(x)3,(22)
jun o con la siguien e ecuaci´on, que elaciona b(x) y V(x)
b′′′(x)−2b(x)V′(x) + 4b′(x)λ−4b′(x)V(x) = 0.(23)
Al se Econs an e, es o signi ica que en las nue as a iables, ob enemos la ecuaci´on de
Sch ¨odinge no lineal sin po encial ex e no y con una no linealidad homog´enea.
Po supues o, no odas las elecciones posibles de V(x) y g(x) conducen a la exis encia
de una sime ia de Lie o a una ans o maci´on can´onica ap opiada, ya que V(x) y g(x)
es ´an ligadas po las ecuaciones (12). Es e hecho impone algunas es icciones ob ias, como
el que b(x) iene que se di e enciable y posi i a.
Muchas soluciones de la ecuaci´on (21) son conocidas. En es e abajo, pa a los ejemplos
de la siguien e secci´on, usa emos las siguien es soluciones:
U1(X) = ηsn(µX, k)
dn(µX, k),E=µ2(1 −2k2), g0=−2µ2k2(1 −k2)
η2,(24)
U2(X) = η1
cosh(µX),E=−µ2, g0=−2µ2
η2,(25)
4
Sime ´ıas de Lie y soluciones exac as pa a ecuaciones de Sch ¨odinge no lineales con no
linealidad inhomog´enea
con 0 ≤k≤1. Que emos ecalca que se pod´ıa habe escogido cualquie o a soluci´on de
(21) pa a lo que sigue, con lo que se islumb a la ampli ud del m´e odo, ya que pa a cada
soluci´on de la ecuaci´on (21), ob end ´ıamos una soluci´on de la ecuaci´on (4a).
La idea, en onces, pa a cons ui soluciones de la ecuaci´on (4a), a pa i de soluciones
de la ecuaci´on (21), es la siguien e:
Escogemos una unci´on b(x) posi i a y di e enciable. Ayudandonos de la ecuaci´on (23)
podemos ob ene el alo del po encial V(x). U ilizando la ecuaci´on (22), podemos ob ene
la unci´on g(x). Finalmen e, u ilizando (13) y (18b), ob enemos que las soluciones de la
ecuaci´on (4a), pa a C= 0, ienen dadas po
φ(x) = b1/2(x)U(X(x)),(26)
con
X(x) = Zx
0
1
b(s)ds (27)
4. Dos ejemplos conc e os como aplicaci´on de la eo ´ıa ge-
ne al
Ejemplo 1:
Tomemos b(x) = cosh(x). Usando las ecuaciones (20) y (23), pa a C= 0, ob enemos
V(x) = λ+1
4+1
4−E1
cosh2(x).(28)
Adem´as, usando la ecuaci´on (22), g(x) iene dado po
g(x) = g0
cosh3(x),(29)
con X(x) dado po
cos X(x) = − anh x, (30)
donde 0 ≤X≤π. Se iene que la no linealidad g(x) es una unci´on localizada, ya que
g(x)→0, cuando |x| → ∞. Es e ipo de no linealidades son impo an es desde el pun o
de is a ´ısico.
Aho a, cualquie soluci´on Ude la ecuaci´on (21) da una soluci´on (26) de la ecuaci´on
o iginal (4a). Podemos escoge la soluci´on U1(X) que iene dada po (24). Usando la egla
de L’Hopi al, es sencillo comp oba que la soluci´on
φ(x) = b1/2(x)U1(X(x)),(31)
es una ´o bi a homoclina a ce o, que llama emos soli ´on b illan e, de la ecuaci´on o iginal
(4a).
En la igu as 1(a) y (b), hemos dibujado di e en es soluciones de la ecuaci´on (21),
( igu a 1 (a)), y de la ecuaci´on (4a), ( igu a 1 (b)), pa a di e en es alo es de Eyg0.
El caso E= 1/4 es un caso especial, ya que V(x) es una cons an e pa a es e alo de
E. Es e caso ha sido es udiado en [2].
5

J. Belmon e-Bei ia, V. M. P´e ez-Ga c´ıa, V. Veksle chik, P. To es
0 3.5
0
1.6
U
X0
(a)
0
1.6
-20 20
0
Á
x
(b)
Figu a 1: Soluciones de las ecuaciones (a) (21) y (b) (4a), pa a di e en es alo es E= 0,15,
g0=−1 (linea azul) y E=−0,75, g0=−1 (linea oja ayada). Se ealiza la ans o maci´on
(26) pa a las soluciones de la ecuaci´on (21), mos adas en la igu a 1(a) y se ob ienen las
soluciones de la ecuaci´on (4a) mos adas en la igu a 1(b).
Ejemplo 2:
Tomemos aho a la siguien e unci´on b(x) = α/p1 + βx2, con α, β > 0. Sus i uyendo
en (22), ob enemos
g(x) = g0
α3(1 + βx2)3/2,(32)
y usando la ecuacion (23), se ob iene
V(x) = M(1 + βx2) + 1
4
3βx2−2β+ 4λ+ 8λβx2+ 4λβ2x4
(1 + βx2)2,(33)
siendo Muna cons an e posi i a. Aunque la exp esi´on de V(x) pa ece complicada, eal-
men e es un po encial cuasi-a m´onico, y sa is ace V(x)∼x2pa a alo es g andes de x.
Ademas, V(x) es un po encial a m´onico con un ´e mino pe u ba i o aco ado, Fig. 2(a).
Pa a la unci´on g(x) que acompa˜na al ´e mino no lineal en la ecuaci´on (4a), ´es a sa is ace
g(x)∼x2pa a x≪1 y g(x)∼x3pa a x≫1.
Usando la ecuaci´on (20), se ob iene que E=−α2M. Si omamos g0<0, ob enemos
la ecuaci´on de Sch ¨odinge no lineal con ´e mino no lineal a ac i o, es o es, la ecuaci´on
(21).
Si escogemos como soluci´on de la ecuaci´on (21) la soluci´on dada po (24), ob enemos
la siguien e soluci´on pa a la ecuaci´on (4a)
φ(x) = b(x)1/2U2(X(x)).(34)
con U2(X) dada po
U2(X) = s2E
g0
1
cosh(p|E|X).(35)
y siendo X(x)
X(x) = xp1 + βx2/(2α) + sinh−1(pβx)/(2αpβ) (36)
6
Sime ´ıas de Lie y soluciones exac as pa a ecuaciones de Sch ¨odinge no lineales con no
linealidad inhomog´enea
-10 x010
(a)
0
V
300
0
1.5 (b)
x
-10 100
Á
Figu a 2: (a) Po encial cuasi-a m´onico pa a M= 1, λ= 1 y (i) β= 0,5 (linea azul) y
(ii) β= 2,5 (linea oja ayada). (b) Soluciones de la ecuaci´on (4a) pa a α= 1, g0=−1,
M= 1 y (i) β= 0,5 (linea azul) y (ii) β= 2,5 (linea oja ayada)
En la igu a 2(b), se pueden obse a di e en es soluciones de la ecuaci´on (4a) pa a dis in os
alo es del pa ´ame o β.
5. Conclusiones
En es e abajo, se ha u ilizado el m´e odo de sime ´ıas de Lie pa a encon a soluciones
exac as de la ecuaci´on de Sch ¨odinge no lineal con no linealidad inhomog´enea. Se ha
in oducido el ma co gene al de la eo ´ıa de Lie y se han p esen ado dos ejemplos conc e os
como aplicaciones a es a eo ´ıa.
Ag adecimien os
Es e abajo ha sido inanciado po las becas FIS2006-04190, MTM2005-03483 (Minis-
e io de Educaci´on y Ciencia, Espa˜na) y PAI-05-001 (Conseje ´ıa de Educaci´on y Ciencia
de la Jun a de Comunidades de Cas illa-La Mancha, Espa˜na).
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