Simetrías de Lie y soluciones exactas para ecuaciones de Schrödinger no lineales con no linealidad inhomogénea

XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones X Cong eso de Ma em´ a ica Aplicada Se illa, 24-28 sep iemb e 2007 (pp. 1–8) Sime ias de Lie y soluciones exac as pa a ecuaciones de Sch ¨odinge no lineales con no linealidad inhomog´enea Juan Belmon e-Bei ia1, V´ ıc o M. P´ e ez-Ga c´ ıa1, Vadym Veksle chik1, Ped o J. To es2 1Depa amen o de Ma em´a icas, E.T.S.I Indus iales e Ins i u o de Ma em´a ica Aplicada a la Ciencia y la Ingenie ´ıa (IMACI), A da. de Camilo Jos´e Cela, 3. Uni e sidad de Cas illa-La Mancha, 3071 Ciudad Real. E-mail: juan.belmon [email protected], ic o .pe ezga [email protected],[email p o ec ed] . 2Depa amen o de Ma em´a ica Aplicada. Facul ad de Ciencias, Uni e sidad de G anada Campus de Fuen enue a s/n 18071 G anada. E-mail: p o es@ug .es. Palab as cla e: Ecuaciones de Sch ¨odinge no lineales, soli ones, sime ias de Lie, ans o maciones can´onicas. Resumen Usando eo ´ıa de g upos de Lie y ans o maciones can´onicas, cons uimos solucio- nes expl´ıci as de ecuaciones de Sch ¨odinge no lineales con no linealidad modulada en el espacio. P esen amos la eo ´ıa gene al y apoyandonos en es a, es udiamos di e en es ejemplos, p esen ando soluciones expl´ıci as. 1. In oducci´on La ecuaci´on de Sch ¨odinge no lineal (NLSE) es, en sus muchas e siones, uno de los m´as impo an es modelos de la ´ısica ma em´a ica, con aplicaciones en di e en es campos [19], como po ejemplo ´ısica de semiconduc o es [5, 15], ´op ica no lineal [12], o ´onica [11], ´ısica del plasma [8], undamen aci´on de la mec´anica cu´an ica [17], din´amica de acele ado es [9], eo ´ıa del campo medio de condensados de Bose-Eins ein [6] o din´amica biomolecula [7], po ci a solo algunos ejemplos. El es udio de es e ipo de ecuaciones ha se ido como ca alizado pa a el desa ollo de nue as ideas, incluyendo concep os ma em´a icos ales como el de soli ´on [20] o el desa ollo de singula idades en ecuaciones en de i adas pa ciales [10, 18]. En los ´ul imos a˜nos ha habido un g an in e es po una a ian e de la ecuaci´on de Sch ¨odinge no lineal es ´anda , la llamada ecuaci´on de Sch ¨odinge no lineal con no linea- 1 J. Belmon e-Bei ia, V. M. P´e ez-Ga c´ıa, V. Veksle chik, P. To es lidad inhomog´enea (INLSE), que en una dimensi´on iene la siguien e o ma iψ =−ψxx +V(x)ψ+g(x)|ψ|2ψ, (1) ψ(x, 0) = ψ0(x),(2) con x∈R, siendo V(x) un po encial ex e no y donde g(x) desc ibe la modulaci´on espacial de la no linealidad. Es a ecuaci´on su ge en di e en es con ex os ´ısicos, ales como ´op ica no lineal y din´amica de condensados de Bose-Eins ein. Aunque muchas soluciones exac as de la NLSE con no linealidad homog´enea y sin po- encial ex e no (V= 0) se conocen desde hace iempo, el p oblema de encon a soluciones exac as de la INLSE es bas an e complicado. En es e abajo, usando el m´e odo de sime ´ıas de Lie, encon amos conjun os de po enciales V(x) y unciones g(x) pa a los que soluciones exac as de la ecuaci´on (1) pueden se calculadas. La idea b´asica del m´e odo de sime ´ıas de Lie es el es udio de las p opiedades in a ian es de ecuaciones di e enciales bajo g upos con inuos de ans o maciones. Es e m´e odo ha sido aplicado con ´exi o a di e en es ecuaciones, como po ejemplo, ecuaciones di e enciales que modelan oscilado es ana m´onicos [13, 14] y ecuacion de Madelung, que su gen en la din´amica de luidos [1]. Pa a un abajo mas de allado y comple o que el que aqui se p esen a, se pueden consul a las e e encias [2, 3]. 2. Teo ´ıa gene al de sime ´ıas de Lie En es e a iculo, nos p oponemos busca soluciones es aciona ias localizadas de la ecuaci´on (1), que ienen la siguien e o ma ψ(x, ) = φ(x)e−iλ ,(3) y que sa is acen el siguien e p oblema de au o alo es no lineales −φxx +V(x)φ+g(x)φ3=λφ, (4a) φ(±∞) = 0.(4b) La ecuaci´on (4a) es equi alen e a −φxx + (x, φ) = 0,(5) con (x, φ) = V(x)φ+g(x)φ3−λφ. Po de inici´on [4, 16], una ecuaci´on di e encial de segundo o den A(x, u, u′, u′′) = 0 posee un g upo de Lie de ans o maciones pun uales o una sime ´ıa pun ual de Lie de la o ma M=ξ(x, u)∂/∂x +η(x, u)∂/∂u, (6) si la acci´on de la segunda ex ensi´on de M,M(2) sob e Aes igual a ce o, es deci M(2)A(x, u, u′, u′′) = ξ(x, u)∂ ∂x +η(x, u)∂ ∂u+ η(1)(x, u)∂ ∂u′+η(2)(x, u)∂ ∂u′′ A(x, u, u′, u′′) = 0,(7) 2 Sime ´ıas de Lie y soluciones exac as pa a ecuaciones de Sch ¨odinge no lineales con no linealidad inhomog´enea donde se sa is ace A(x, u, u′, u′′) = 0, y con η(k) η(k)(x, u, u′, u′′, ..., uk) = Dη(k−1) Dx −ukDξ(x, u) Dx , k = 1,2, ... (8) donde η(0) =η(x, u) y D/Dx es la de i ada o al. En nues o caso, A(x, φ, φx, φxx) iene dada po A(x, φ, φx, φxx) = −φxx +V(x)φ+g(x)φ3−λφ, (9) y la acci´on del ope ado M(2) sob e A(x, φ, φx, φxx) lle a a una ecuaci´on polin´omica en φx. Igualando los coe icien es de las po encias de φx, se ob iene ξφφ = 0,(10a) ηφφ −2ξφx = 0,(10b) 2ηxφ −ξxx −3 ξφ= 0,(10c) ηxx −ξ x−η φ+ηφ −2ξx = 0.(10d) Solucionando es as ecuaciones, encon amos que la ´unica sime ´ıa pun ual de Lie de la ecuaci´on (4a) es de la o ma M=b(x)∂ ∂x +c(x)φ∂ ∂φ,(11) donde g(x) = g0b−3e−2CRx 01/b(s)ds,(12a) c(x) = 1 2b′(x) + C, (12b) c′′(x)−b(x)V′(x)−2b′(x) (V(x)−λ) = 0,(12c) pa a alguna cons an e C. Las ecuaciones (12) nos pe mi en cons ui pa es {V(x), g(x)} pa a los cuales exis e la sime ia de Lie. As´ı, dado uno de los dos, g(x) o V(x), podemos, en p incipio, elegi el o o pa a que se sa is agan las ecuaciones (12). 3. T ans o maciones can´onicas e in a ian es. Es conocido [13], que la in a iancia de la ene g´ıa es ´a asociada a la in a ianc´ıa ans- lacional. El gene ado de es a ans o maci´on es de la o ma M=∂/∂X. Pa a usa es e hecho, de inimos la siguien e ans o maci´on X= (x), U =n(x)φ, (13) donde (x) y n(x) se ´an de e minados equi iendo que una ley de conse aci´on de ipo ene g´ıa M=∂/∂X exis a en las a iables can´onicas. Usando la ecuaci´on (13) se iene ∂ ∂φ =n(x)∂ ∂U ,(14) ∂ ∂x =n′(x)φ∂ ∂U + ′(x)∂ ∂X .(15) 3 J. Belmon e-Bei ia, V. M. P´e ez-Ga c´ıa, V. Veksle chik, P. To es Sus i uyendo las exp esiones (14) y (15) en las ecuaci´on (11) e imponiendo la condici´on M=∂/∂X, se ob ienen las siguien es ecuaciones ′(x)b(x) = 1,(16) b(x)n′(x) + c(x)n(x) = 0.(17) Finalmen e, sus i uyendo la ecuaci´on (12b) en (17), e in eg ando, se ob iene (x) = Zx 0 1 b(s)ds, (18a) n(x) = b(x)−1/2e−CRx 01/b(s)ds.(18b) Se puede esc ibi aho a la ecuaci´on (4a) en ´e minos de las coo denadas can´onicas UyX, −d2U dX2−2CdU dX +g0U3−EU = 0,(19) con E= (λ−V(x)) b(x)2−1 4b′(x)2+1 2b(x)b′′(x) + C2.(20) La ecuaci´on (19) es la ecuaci´on de Du ing, que si e pa a modeliza las oscilaciones no lineales. Es inmedia o p oba que la can idad E, que iene dada po la ecuaci´on (20) es una cons an e del mo imien o. Cuando C= 0, las ans o maciones an e io es p ese an la es uc u a Hamil oniana, ya que la ans o maci´on can´onica es simpl´ec ica. En ese caso, la ecuaci´on (19) queda de la siguien e o ma −d2U dX2+g0U3=EU. (21) Eliminando c(x) de las ecuaciones (12), ob enemos g(x) = g0/b(x)3,(22) jun o con la siguien e ecuaci´on, que elaciona b(x) y V(x) b′′′(x)−2b(x)V′(x) + 4b′(x)λ−4b′(x)V(x) = 0.(23) Al se Econs an e, es o signi ica que en las nue as a iables, ob enemos la ecuaci´on de Sch ¨odinge no lineal sin po encial ex e no y con una no linealidad homog´enea. Po supues o, no odas las elecciones posibles de V(x) y g(x) conducen a la exis encia de una sime ia de Lie o a una ans o maci´on can´onica ap opiada, ya que V(x) y g(x) es ´an ligadas po las ecuaciones (12). Es e hecho impone algunas es icciones ob ias, como el que b(x) iene que se di e enciable y posi i a. Muchas soluciones de la ecuaci´on (21) son conocidas. En es e abajo, pa a los ejemplos de la siguien e secci´on, usa emos las siguien es soluciones: U1(X) = ηsn(µX, k) dn(µX, k),E=µ2(1 −2k2), g0=−2µ2k2(1 −k2) η2,(24) U2(X) = η1 cosh(µX),E=−µ2, g0=−2µ2 η2,(25) 4 Sime ´ıas de Lie y soluciones exac as pa a ecuaciones de Sch ¨odinge no lineales con no linealidad inhomog´enea con 0 ≤k≤1. Que emos ecalca que se pod´ıa habe escogido cualquie o a soluci´on de (21) pa a lo que sigue, con lo que se islumb a la ampli ud del m´e odo, ya que pa a cada soluci´on de la ecuaci´on (21), ob end ´ıamos una soluci´on de la ecuaci´on (4a). La idea, en onces, pa a cons ui soluciones de la ecuaci´on (4a), a pa i de soluciones de la ecuaci´on (21), es la siguien e: Escogemos una unci´on b(x) posi i a y di e enciable. Ayudandonos de la ecuaci´on (23) podemos ob ene el alo del po encial V(x). U ilizando la ecuaci´on (22), podemos ob ene la unci´on g(x). Finalmen e, u ilizando (13) y (18b), ob enemos que las soluciones de la ecuaci´on (4a), pa a C= 0, ienen dadas po φ(x) = b1/2(x)U(X(x)),(26) con X(x) = Zx 0 1 b(s)ds (27) 4. Dos ejemplos conc e os como aplicaci´on de la eo ´ıa ge- ne al Ejemplo 1: Tomemos b(x) = cosh(x). Usando las ecuaciones (20) y (23), pa a C= 0, ob enemos V(x) = λ+1 4+1 4−E1 cosh2(x).(28) Adem´as, usando la ecuaci´on (22), g(x) iene dado po g(x) = g0 cosh3(x),(29) con X(x) dado po cos X(x) = − anh x, (30) donde 0 ≤X≤π. Se iene que la no linealidad g(x) es una unci´on localizada, ya que g(x)→0, cuando |x| → ∞. Es e ipo de no linealidades son impo an es desde el pun o de is a ´ısico. Aho a, cualquie soluci´on Ude la ecuaci´on (21) da una soluci´on (26) de la ecuaci´on o iginal (4a). Podemos escoge la soluci´on U1(X) que iene dada po (24). Usando la egla de L’Hopi al, es sencillo comp oba que la soluci´on φ(x) = b1/2(x)U1(X(x)),(31) es una ´o bi a homoclina a ce o, que llama emos soli ´on b illan e, de la ecuaci´on o iginal (4a). En la igu as 1(a) y (b), hemos dibujado di e en es soluciones de la ecuaci´on (21), ( igu a 1 (a)), y de la ecuaci´on (4a), ( igu a 1 (b)), pa a di e en es alo es de Eyg0. El caso E= 1/4 es un caso especial, ya que V(x) es una cons an e pa a es e alo de E. Es e caso ha sido es udiado en [2]. 5 J. Belmon e-Bei ia, V. M. P´e ez-Ga c´ıa, V. Veksle chik, P. To es 0 3.5 0 1.6 U X0 (a) 0 1.6 -20 20 0 Á x (b) Figu a 1: Soluciones de las ecuaciones (a) (21) y (b) (4a), pa a di e en es alo es E= 0,15, g0=−1 (linea azul) y E=−0,75, g0=−1 (linea oja ayada). Se ealiza la ans o maci´on (26) pa a las soluciones de la ecuaci´on (21), mos adas en la igu a 1(a) y se ob ienen las soluciones de la ecuaci´on (4a) mos adas en la igu a 1(b). Ejemplo 2: Tomemos aho a la siguien e unci´on b(x) = α/p1 + βx2, con α, β > 0. Sus i uyendo en (22), ob enemos g(x) = g0 α3(1 + βx2)3/2,(32) y usando la ecuacion (23), se ob iene V(x) = M(1 + βx2) + 1 4 3βx2−2β+ 4λ+ 8λβx2+ 4λβ2x4 (1 + βx2)2,(33) siendo Muna cons an e posi i a. Aunque la exp esi´on de V(x) pa ece complicada, eal- men e es un po encial cuasi-a m´onico, y sa is ace V(x)∼x2pa a alo es g andes de x. Ademas, V(x) es un po encial a m´onico con un ´e mino pe u ba i o aco ado, Fig. 2(a). Pa a la unci´on g(x) que acompa˜na al ´e mino no lineal en la ecuaci´on (4a), ´es a sa is ace g(x)∼x2pa a x≪1 y g(x)∼x3pa a x≫1. Usando la ecuaci´on (20), se ob iene que E=−α2M. Si omamos g0<0, ob enemos la ecuaci´on de Sch ¨odinge no lineal con ´e mino no lineal a ac i o, es o es, la ecuaci´on (21). Si escogemos como soluci´on de la ecuaci´on (21) la soluci´on dada po (24), ob enemos la siguien e soluci´on pa a la ecuaci´on (4a) φ(x) = b(x)1/2U2(X(x)).(34) con U2(X) dada po U2(X) = s2E g0 1 cosh(p|E|X).(35) y siendo X(x) X(x) = xp1 + βx2/(2α) + sinh−1(pβx)/(2αpβ) (36) 6 Sime ´ıas de Lie y soluciones exac as pa a ecuaciones de Sch ¨odinge no lineales con no linealidad inhomog´enea -10 x010 (a) 0 V 300 0 1.5 (b) x -10 100 Á Figu a 2: (a) Po encial cuasi-a m´onico pa a M= 1, λ= 1 y (i) β= 0,5 (linea azul) y (ii) β= 2,5 (linea oja ayada). (b) Soluciones de la ecuaci´on (4a) pa a α= 1, g0=−1, M= 1 y (i) β= 0,5 (linea azul) y (ii) β= 2,5 (linea oja ayada) En la igu a 2(b), se pueden obse a di e en es soluciones de la ecuaci´on (4a) pa a dis in os alo es del pa ´ame o β. 5. Conclusiones En es e abajo, se ha u ilizado el m´e odo de sime ´ıas de Lie pa a encon a soluciones exac as de la ecuaci´on de Sch ¨odinge no lineal con no linealidad inhomog´enea. Se ha in oducido el ma co gene al de la eo ´ıa de Lie y se han p esen ado dos ejemplos conc e os como aplicaciones a es a eo ´ıa. Ag adecimien os Es e abajo ha sido inanciado po las becas FIS2006-04190, MTM2005-03483 (Minis- e io de Educaci´on y Ciencia, Espa˜na) y PAI-05-001 (Conseje ´ıa de Educaci´on y Ciencia de la Jun a de Comunidades de Cas illa-La Mancha, Espa˜na). Re e encias [1] G. Baumann and T.F. Nonnenmache ,Lie ans o ma ions, simila i y educ ion, and solu ions o he nonlinea Madelung luid equa ions wi h ex e nal po en ial, J. Ma h. Phys., 28, 6, (1987). [2] J. Belmon e-Bei ia, V. M. P´ e ez-Ga c´ ıa, V. Veksle chik and P. J. To es, Lie symme ies and soli ons in nonlinea sys ems wi h spa ially inhomogeneous nonlinea i ies, Phys. Re . Le ., 98, 064102, (2007). [3] J. Belmon e-Bei ia, V. M. P´ e ez-Ga c´ ıa, V. Veksle chik and P. J. 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