Simetrías de Lie y soluciones exactas para ecuaciones de Schrödinger no lineales con no linealidad inhomogénea

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Simetrias de Lie y soluciones exactas para ecuaciones de Schr¨odinger no lineales con no linealidad inhomog´enea Juan Belmonte-Beitia1, V´ ıctor M. P´ erez-Garc´ ıa1, Vadym Vekslerchik1, Pedro J. Torres2 1Departamento de Matem´aticas, E.T.S.I Industriales e Instituto de Matem´atica Aplicada a la Ciencia y la Ingenier´ıa (IMACI), Avda. de Camilo Jos´e Cela, 3. Universidad de Castilla-La Mancha, 3071 Ciudad Real. E-mail: [email protected], [email protected],[email protected] . 2Departamento de Matem´atica Aplicada. Facultad de Ciencias, Universidad de Granada Campus de Fuentenueva s/n 18071 Granada. E-mail: [email protected]. Palabras clave: Ecuaciones de Schr¨odinger no lineales, solitones, simetrias de Lie, transformaciones can´onicas. Resumen Usando teor´ıa de grupos de Lie y transformaciones can´onicas, construimos soluciones expl´ıcitas de ecuaciones de Schr¨odinger no lineales con no linealidad modulada en el espacio. Presentamos la teor´ıa general y apoyandonos en esta, estudiamos diferentes ejemplos, presentando soluciones expl´ıcitas. 1. Introducci´on La ecuaci´on de Schr¨odinger no lineal (NLSE) es, en sus muchas versiones, uno de los m´as importantes modelos de la f´ısica matem´atica, con aplicaciones en diferentes campos [19], como por ejemplo f´ısica de semiconductores [5, 15], ´optica no lineal [12], fot´onica [11], f´ısica del plasma [8], fundamentaci´on de la mec´anica cu´antica [17], din´amica de aceleradores [9], teor´ıa del campo medio de condensados de Bose-Einstein [6] o din´amica biomolecular [7], por citar solo algunos ejemplos. El estudio de este tipo de ecuaciones ha servido como catalizador para el desarrollo de nuevas ideas, incluyendo conceptos matem´aticos tales como el de solit´on [20] o el desarrollo de singularidades en ecuaciones en derivadas parciales [10, 18]. En los ´ultimos a˜nos ha habido un gran interes por una variante de la ecuaci´on de Schr¨odinger no lineal est´andar, la llamada ecuaci´on de Schr¨odinger no lineal con no linea- 1 J. Belmonte-Beitia, V. M. P´erez-Garc´ıa, V. Vekslerchik, P. Torres lidad inhomog´enea (INLSE), que en una dimensi´on tiene la siguiente forma iψt=−ψxx +V(x)ψ+g(x)|ψ|2ψ, (1) ψ(x, 0) = ψ0(x),(2) con x∈R, siendo V(x) un potencial externo y donde g(x) describe la modulaci´on espacial de la no linealidad. Esta ecuaci´on surge en diferentes contextos f´ısicos, tales como ´optica no lineal y din´amica de condensados de Bose-Einstein. Aunque muchas soluciones exactas de la NLSE con no linealidad homog´enea y sin potencial externo (V= 0) se conocen desde hace tiempo, el problema de encontrar soluciones exactas de la INLSE es bastante complicado. En este trabajo, usando el m´etodo de simetr´ıas de Lie, encontramos conjuntos de potenciales V(x) y funciones g(x) para los que soluciones exactas de la ecuaci´on (1) pueden ser calculadas. La idea b´asica del m´etodo de simetr´ıas de Lie es el estudio de las propiedades invariantes de ecuaciones diferenciales bajo grupos continuos de transformaciones. Este m´etodo ha sido aplicado con ´exito a diferentes ecuaciones, como por ejemplo, ecuaciones diferenciales que modelan osciladores anarm´onicos [13, 14] y ecuacion de Madelung, que surgen en la din´amica de fluidos [1]. Para un trabajo mas detallado y completo que el que aqui se presenta, se pueden consultar las referencias [2, 3]. 2. Teor´ıa general de simetr´ıas de Lie En este articulo, nos proponemos buscar soluciones estacionarias localizadas de la ecuaci´on (1), que tienen la siguiente forma ψ(x, t) = φ(x)e−iλt,(3) y que satisfacen el siguiente problema de autovalores no lineales −φxx +V(x)φ+g(x)φ3=λφ, (4a) φ(±∞) = 0.(4b) La ecuaci´on (4a) es equivalente a −φxx +f(x, φ) = 0,(5) con f(x, φ) = V(x)φ+g(x)φ3−λφ. Por definici´on [4, 16], una ecuaci´on diferencial de segundo orden A(x, u, u′, u′′) = 0 posee un grupo de Lie de transformaciones puntuales o una simetr´ıa puntual de Lie de la forma M=ξ(x, u)∂/∂x +η(x, u)∂/∂u, (6) si la acci´on de la segunda extensi´on de M,M(2) sobre Aes igual a cero, es decir M(2)A(x, u, u′, u′′) = ξ(x, u)∂ ∂x +η(x, u)∂ ∂u+ η(1)(x, u)∂ ∂u′+η(2)(x, u)∂ ∂u′′ A(x, u, u′, u′′) = 0,(7) 2 Simetr´ıas de Lie y soluciones exactas para ecuaciones de Schr¨odinger no lineales con no linealidad inhomog´enea donde se satisface A(x, u, u′, u′′) = 0, y con η(k) η(k)(x, u, u′, u′′, ..., uk) = Dη(k−1) Dx −ukDξ(x, u) Dx , k = 1,2, ... (8) donde η(0) =η(x, u) y D/Dx es la derivada total. En nuestro caso, A(x, φ, φx, φxx) viene dada por A(x, φ, φx, φxx) = −φxx +V(x)φ+g(x)φ3−λφ, (9) y la acci´on del operador M(2) sobre A(x, φ, φx, φxx) lleva a una ecuaci´on polin´omica en φx. Igualando los coeficientes de las potencias de φx, se obtiene ξφφ = 0,(10a) ηφφ −2ξφx = 0,(10b) 2ηxφ −ξxx −3fξφ= 0,(10c) ηxx −ξfx−ηfφ+ηφf−2ξxf= 0.(10d) Solucionando estas ecuaciones, encontramos que la ´unica simetr´ıa puntual de Lie de la ecuaci´on (4a) es de la forma M=b(x)∂ ∂x +c(x)φ∂ ∂φ,(11) donde g(x) = g0b−3e−2CRx 01/b(s)ds,(12a) c(x) = 1 2b′(x) + C, (12b) c′′(x)−b(x)V′(x)−2b′(x) (V(x)−λ) = 0,(12c) para alguna constante C. Las ecuaciones (12) nos permiten construir pares {V(x), g(x)} para los cuales existe la simetria de Lie. As´ı, dado uno de los dos, g(x) o V(x), podemos, en principio, elegir el otro para que se satisfagan las ecuaciones (12). 3. Transformaciones can´onicas e invariantes. Es conocido [13], que la invariancia de la energ´ıa est´a asociada a la invarianc´ıa translacional. El generador de esta transformaci´on es de la forma M=∂/∂X. Para usar este hecho, definimos la siguiente transformaci´on X=f(x), U =n(x)φ, (13) donde f(x) y n(x) ser´an determinados requiriendo que una ley de conservaci´on de tipo energ´ıa M=∂/∂X exista en las variables can´onicas. Usando la ecuaci´on (13) se tiene ∂ ∂φ =n(x)∂ ∂U ,(14) ∂ ∂x =n′(x)φ∂ ∂U +f′(x)∂ ∂X .(15) 3 J. Belmonte-Beitia, V. M. P´erez-Garc´ıa, V. Vekslerchik, P. Torres Sustituyendo las expresiones (14) y (15) en las ecuaci´on (11) e imponiendo la condici´on M=∂/∂X, se obtienen las siguientes ecuaciones f′(x)b(x) = 1,(16) b(x)n′(x) + c(x)n(x) = 0.(17) Finalmente, sustituyendo la ecuaci´on (12b) en (17), e integrando, se obtiene f(x) = Zx 0 1 b(s)ds, (18a) n(x) = b(x)−1/2e−CRx 01/b(s)ds.(18b) Se puede escribir ahora la ecuaci´on (4a) en t´erminos de las coordenadas can´onicas UyX, −d2U dX2−2CdU dX +g0U3−EU = 0,(19) con E= (λ−V(x)) b(x)2−1 4b′(x)2+1 2b(x)b′′(x) + C2.(20) La ecuaci´on (19) es la ecuaci´on de Duffing, que sirve para modelizar las oscilaciones no lineales. Es inmediato probar que la cantidad E, que viene dada por la ecuaci´on (20) es una constante del movimiento. Cuando C= 0, las transformaciones anteriores preservan la estructura Hamiltoniana, ya que la transformaci´on can´onica es simpl´ectica. En ese caso, la ecuaci´on (19) queda de la siguiente forma −d2U dX2+g0U3=EU. (21) Eliminando c(x) de las ecuaciones (12), obtenemos g(x) = g0/b(x)3,(22) junto con la siguiente ecuaci´on, que relaciona b(x) y V(x) b′′′(x)−2b(x)V′(x) + 4b′(x)λ−4b′(x)V(x) = 0.(23) Al ser Econstante, esto significa que en las nuevas variables, obtenemos la ecuaci´on de Schr¨odinger no lineal sin potencial externo y con una no linealidad homog´enea. Por supuesto, no todas las elecciones posibles de V(x) y g(x) conducen a la existencia de una simetria de Lie o a una transformaci´on can´onica apropiada, ya que V(x) y g(x) est´an ligadas por las ecuaciones (12). Este hecho impone algunas restricciones obvias, como el que b(x) tiene que ser diferenciable y positiva. Muchas soluciones de la ecuaci´on (21) son conocidas. En este trabajo, para los ejemplos de la siguiente secci´on, usaremos las siguientes soluciones: U1(X) = ηsn(µX, k) dn(µX, k),E=µ2(1 −2k2), g0=−2µ2k2(1 −k2) η2,(24) U2(X) = η1 cosh(µX),E=−µ2, g0=−2µ2 η2,(25) 4 Simetr´ıas de Lie y soluciones exactas para ecuaciones de Schr¨odinger no lineales con no linealidad inhomog´enea con 0 ≤k≤1. Queremos recalcar que se pod´ıa haber escogido cualquier otra soluci´on de (21) para lo que sigue, con lo que se vislumbra la amplitud del m´etodo, ya que para cada soluci´on de la ecuaci´on (21), obtendr´ıamos una soluci´on de la ecuaci´on (4a). La idea, entonces, para construir soluciones de la ecuaci´on (4a), a partir de soluciones de la ecuaci´on (21), es la siguiente: Escogemos una funci´on b(x) positiva y diferenciable. Ayudandonos de la ecuaci´on (23) podemos obtener el valor del potencial V(x). Utilizando la ecuaci´on (22), podemos obtener la funci´on g(x). Finalmente, utilizando (13) y (18b), obtenemos que las soluciones de la ecuaci´on (4a), para C= 0, vienen dadas por φ(x) = b1/2(x)U(X(x)),(26) con X(x) = Zx 0 1 b(s)ds (27) 4. Dos ejemplos concretos como aplicaci´on de la teor´ıa general Ejemplo 1: Tomemos b(x) = cosh(x). Usando las ecuaciones (20) y (23), para C= 0, obtenemos V(x) = λ+1 4+1 4−E1 cosh2(x).(28) Adem´as, usando la ecuaci´on (22), g(x) viene dado por g(x) = g0 cosh3(x),(29) con X(x) dado por cos X(x) = −tanh x, (30) donde 0 ≤X≤π. Se tiene que la no linealidad g(x) es una funci´on localizada, ya que g(x)→0, cuando |x| → ∞. Este tipo de no linealidades son importantes desde el punto de vista f´ısico. Ahora, cualquier soluci´on Ude la ecuaci´on (21) da una soluci´on (26) de la ecuaci´on original (4a). Podemos escoger la soluci´on U1(X) que viene dada por (24). Usando la regla de L’Hopital, es sencillo comprobar que la soluci´on φ(x) = b1/2(x)U1(X(x)),(31) es una ´orbita homoclina a cero, que llamaremos solit´on brillante, de la ecuaci´on original (4a). En la figuras 1(a) y (b), hemos dibujado diferentes soluciones de la ecuaci´on (21), (figura 1 (a)), y de la ecuaci´on (4a), (figura 1 (b)), para diferentes valores de Eyg0. El caso E= 1/4 es un caso especial, ya que V(x) es una constante para este valor de E. Este caso ha sido estudiado en [2]. 5 J. Belmonte-Beitia, V. M. P´erez-Garc´ıa, V. Vekslerchik, P. Torres 0 3.5 0 1.6 U X0 (a) 0 1.6 -20 20 0 Á x (b) Figura 1: Soluciones de las ecuaciones (a) (21) y (b) (4a), para diferentes valores E= 0,15, g0=−1 (linea azul) y E=−0,75, g0=−1 (linea roja rayada). Se realiza la transformaci´on (26) para las soluciones de la ecuaci´on (21), mostradas en la figura 1(a) y se obtienen las soluciones de la ecuaci´on (4a) mostradas en la figura 1(b). Ejemplo 2: Tomemos ahora la siguiente funci´on b(x) = α/p1 + βx2, con α, β > 0. Sustituyendo en (22), obtenemos g(x) = g0 α3(1 + βx2)3/2,(32) y usando la ecuacion (23), se obtiene V(x) = M(1 + βx2) + 1 4 3βx2−2β+ 4λ+ 8λβx2+ 4λβ2x4 (1 + βx2)2,(33) siendo Muna constante positiva. Aunque la expresi´on de V(x) parece complicada, realmente es un potencial cuasi-arm´onico, y satisface V(x)∼x2para valores grandes de x. Ademas, V(x) es un potencial arm´onico con un t´ermino perturbativo acotado, Fig. 2(a). Para la funci´on g(x) que acompa˜na al t´ermino no lineal en la ecuaci´on (4a), ´esta satisface g(x)∼x2para x≪1 y g(x)∼x3para x≫1. Usando la ecuaci´on (20), se obtiene que E=−α2M. Si tomamos g0<0, obtenemos la ecuaci´on de Schr¨odinger no lineal con t´ermino no lineal atractivo, esto es, la ecuaci´on (21). Si escogemos como soluci´on de la ecuaci´on (21) la soluci´on dada por (24), obtenemos la siguiente soluci´on para la ecuaci´on (4a) φ(x) = b(x)1/2U2(X(x)).(34) con U2(X) dada por U2(X) = s2E g0 1 cosh(p|E|X).(35) y siendo X(x) X(x) = xp1 + βx2/(2α) + sinh−1(pβx)/(2αpβ) (36) 6 Simetr´ıas de Lie y soluciones exactas para ecuaciones de Schr¨odinger no lineales con no linealidad inhomog´enea -10 x010 (a) 0 V 300 0 1.5 (b) x -10 100 Á Figura 2: (a) Potencial cuasi-arm´onico para M= 1, λ= 1 y (i) β= 0,5 (linea azul) y (ii) β= 2,5 (linea roja rayada). (b) Soluciones de la ecuaci´on (4a) para α= 1, g0=−1, M= 1 y (i) β= 0,5 (linea azul) y (ii) β= 2,5 (linea roja rayada) En la figura 2(b), se pueden observar diferentes soluciones de la ecuaci´on (4a) para distintos valores del par´ametro β. 5. Conclusiones En este trabajo, se ha utilizado el m´etodo de simetr´ıas de Lie para encontrar soluciones exactas de la ecuaci´on de Schr¨odinger no lineal con no linealidad inhomog´enea. Se ha introducido el marco general de la teor´ıa de Lie y se han presentado dos ejemplos concretos como aplicaciones a esta teor´ıa. Agradecimientos Este trabajo ha sido financiado por las becas FIS2006-04190, MTM2005-03483 (Ministerio de Educaci´on y Ciencia, Espa˜na) y PAI-05-001 (Consejer´ıa de Educaci´on y Ciencia de la Junta de Comunidades de Castilla-La Mancha, Espa˜na). Referencias [1] G. Baumann and T.F. Nonnenmacher,Lie transformations, similarity reduction, and solutions for the nonlinear Madelung fluid equations with external potential, J. Math. Phys., 28, 6, (1987). [2] J. Belmonte-Beitia, V. M. P´ erez-Garc´ ıa, V. Vekslerchik and P. J. Torres, Lie symmetries and solitons in nonlinear systems with spatially inhomogeneous nonlinearities, Phys. Rev. Lett., 98, 064102, (2007). [3] J. Belmonte-Beitia, V. M. P´ erez-Garc´ ıa, V. Vekslerchik and P. J. 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