Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 149–158
© 2013 CEA. Publicado po Else ie España, S.L. Todos los de echos ese ados
h p://dx.doi.o g/10.1016/j. iai.2013.03.005
Con ol P edic i o Aplicado a la Ges i´
on de S ocks en Fa macia Hospi ala ia:
un En oque O ien ado a la Minimizaci´
on del Riesgo
J. M. Maes ea,∗, A. Za a Cabezaa, M. I. Fe n´
andez Ga c´
ıab, B. Isla Teje ac, J. R. del P adoc, E. F. Camachoa
aDepa amen o de Ingenie ´ıa de Sis emas y Au om´a ica Uni e sidad de Se illa, Se illa 41092, Espa˜na.
bSe icio de Fa macia del Hospi al San Juan de Dios de C´o doba. A enida del B illan e, 106, 14012 C´o doba, Espa˜na.
cSe icio de Fa macia del Hospi al Reina So ´ıa. A enida Men´endez Pidal, s/n 14004 C´o doba, Espa˜na.
Resumen
La ges i´
on de s ock es una de las p incipales a eas que lle a a cabo el Se icio de Fa macia de un hospi al. Se a a de un
p oblema complejo que equie e es ablece un equilib io en e c i e ios de op imizaci´
on di e en es y, a eces, con apues os. La
complejidad del p oblema se e inc emen ada debido a la inco po aci´
on de es icciones ales como e asos en las en egas de los
medicamen os o a iabilidad en la demanda. En es e abajo p oponemos aplica el con ol p edic i o basado en modelo (MPC)
al p oblema de ges i´
on de s ock de un Se icio de Fa macia desde una pe spec i a de minimizaci´
on del iesgo. Las acciones de
mi igaci´
on se lle an a cabo con el obje i o de educi el impac o de los posibles iesgos que pueden ocu i . Po lo an o, se a˜
naden
al p oblema inicial nue as a iables de decisi´
on. Dado que es as a iables pueden se booleanas, el p oblema se o mula como un
p oblema de p og amaci´
on cuad ´
a ica mix o-en e o. Finalmen e, la me odolog´
ıa p opues a es u ilizada en simulaci´
on u ilizando
da os p oceden es de un hospi al eal. Copy igh c
2013 CEA. Publicado po Else ie Espa˜na, S.L. Todos los de echos ese ados.
Palab as Cla e:
Con ol P edic i o, Sis emas de ges i´
on, E aluaci´
on de iesgos, Sis emas es oc´
as icos, Impac o social de la au om´
a ica.
1. In oducci´
on
Las cadenas de suminis o son aquellas es uc u as y p oce-
sos u ilizados po una o ganizaci´
on pa a p opo ciona un se i-
cio o un p oduc o a un consumido . Desde el pun o de is a de
eo ´
ıa de con ol, las cadenas de suminis o p esen an en´
ome-
nos in e esan es ales como oscilaciones, amplificaciones y e-
asos (S e man, 2000). Asimismo, es ecuen e que la p oduc-
ci´
on o el s ock excedan o no alcancen los ni eles ´
op imos debi-
do a demo as ma e iales o de la ansmisi´
on de la in o maci´
on.
Po es os mo i os la din´
amica de las cadenas de suminis o ha
sido analizada en p o undidad y se ha u ilizado como ejemplo
de aplicaci´
on en a ios a ´
ıculos de con ol (Dunba and Desa,
2005; Maes e e al., 2010).
Las consecuencias de una mala pol´
ı ica de con ol en los
eslabones de una cadena de suminis o a ´
ıan dependiendo del
ipo de p oduc o o se icio conside ado, llegando incluso a se
a ales social y econ´
omicamen e en casos como el es udiado en
∗Au o en co espondencia
Co eos elec ´onicos: [email p o ec ed] (J. M. Maes e ),
[email p o ec ed] (A. Za a Cabeza), [email p o ec ed]
(M. I. Fe n´
andez Ga c´
ıa), [email p o ec ed] (B. Isla Teje a),
[email p o ec ed] (J. R. del P ado),
[email p o ec ed] (E. F. Camacho)
es e a ´
ıculo: el Se icio de Fa macia de un hospi al. En es e
caso conc e o, deben sa is ace se po una pa e las necesida-
des cl´
ınicas del hospi al, ya que los cos es sociales de la al a
de disponibilidad de medicamen os pueden se inmensos, con-
duciendo en ocasiones a la p´
e dida de idas humanas. Po o o
lado, no es posible aumen a demasiado el s ock p omedio an o
po mo i os econ´
omicos como log´
ıs icos. Los hospi ales ienen
p esupues os ajus ados que imponen es icciones en la ges i´
on
de s ock. En conc e o, se es ima que ap oximadamen e el 35 %
de los gas os del hospi al en bienes y se icios p oceden del
Se icio de Fa macia (Be mejo e al., 1999). De ah´
ı que la ges-
i´
on de s ock sea una de las p incipales a eas que lle a a cabo
un Se icio de Fa macia de hospi al. Es un p oblema complejo
po que equie e es ablece un equilib io en e c i e ios de op-
imizaci´
on con apues os. Adem´
as, ambi´
en deben ene se en
cuen a en es e con ex o o os ac o es que habi ualmen e com-
plican los p oblemas de la ges i´
on de s ock. Po ejemplo, es-
icciones sob e el almacenamien o de medicamen os: el espa-
cio es limi ado, especialmen e pa a aquellos medicamen os e -
mol´
abiles que deben conse a se en ne e a. Los e asos en las
en egas de pedidos y la alea o iedad de las demandas ambi´
en
son ac o es que deben se conside ados.
En es e abajo p oponemos aplica con ol p edic i o ba-
sado en modelo (CPBM) al p oblema de ges i´
on de s ock de
150 Maes e e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 149–158
un Se icio de Fa macia desde una pe spec i a de minimiza-
ci´
on del iesgo. El CPBM es una es a egia de al o endimien o
muy popula pa a el dise˜
no de con olado es basados en mo-
delos debido a su capacidad de maneja in e acciones mul i a-
iables, es icciones en las a iables con oladas y manipula-
das, y eque imien os de op imizaci´
on de un modo sis em´
a ico.
En conc e o, se u iliza un modelo del sis ema pa a p edeci su
e oluci´
on u u a a lo la go de un ho izon e de p edicci´
on dado
comenzando po el es ado de ac ual del mismo. Debido a es a
al a e sa ilidad, el CPBM ha llegado a se una de las ´
ecnicas
de con ol m´
as u ilizadas en aplicaciones indus iales (Cama-
cho and Bo dons, 2004). Las cadenas de suminis o y s ocks
ambi´
en se han beneficiado de la aplicaci´
on del CPBM, con un
abanico de aplicaciones que comp ende, en e o as, las cadenas
de suminis o pa a la ab icaci´
on de semiconduc o es (W. Wang
and Smi h, 2004; Wang e al., 2005), la u ilizaci´
on del cl´
asico
Juego de la Ce eza del MIT como banco de p uebas de es a e-
gias de con ol dis ibuidas (Maes e e al., 2010), los sis emas
de p oducci´
on-in en a io (S oica e al., 2009), o los sis emas de
s ocks (Rasku e al., 2004).
En es e abajo, se complemen a la es a egia de CPBM con
un en oque ges i´
on del iesgo (GR), una disciplina de c ecien e
in e ´
es po su al o g ado de aplicaci´
on al sec o indus ial (Za a-
Cabeza e al., 2008; Ba on and Pa ´
e-Co nell, 1999). El obje i o
de la GR en sis emas de ingenie ´
ıa es es ablece pol´
ı icas ba-
sadas en el iesgo pa a ob ene mejo es equilib ios en e segu-
idad y p oduc i idad. Es as ´
ecnicas comienzan en la ase de
dise˜
no concep ual y con in´
uan a a ´
es de la ejecuci´
on y pues a
en ma cha del sis ema. T as la iden ificaci´
on de los iesgos y
el es ablecimien o de las acciones de mi igaci´
on, se p opo cio-
na el modelo de iesgos pa a se in eg ado en la op imizaci´
on.
Dado que las acciones de mi igaci´
on pueden se disc e as o con-
inuas, el p oblema de op imizaci´
on esul an e se o mula como
un p oblema de p og amaci´
on cuad ´
a ica mix o-en e o que pe -
enece a la clase de p oblemas NP-comple o. La unci´
on obje-
i o es ´
a compues a po ´
e minos que comp enden los cos es de
ope aci´
on, sa is acci´
on de la demanda, acciones de mi igaci´
on
y es ue zos de con ol.
Pa a alida la es a egia p opues a se han lle ado a cabo
simulaciones basadas en da os eales p oceden es del hospi al
Reina So ´
ıa (C´
o doba, Espa˜
na). Se a a de un hospi al uni e -
si a io con capacidad pa a un o al de 1200 camas. Adem´
as de
p o ee de medicamen os a los pacien es ing esados y a odas
las unidades asis enciales del hospi al con enidas en su ca e-
a de se icios, el Se icio de Fa macia ealiza mensualmen e
m´
as de 5000 dispensaciones de medicamen os a pacien es ex-
e nos. En es e hospi al los gas os en medicamen os supe an los
50 millones de eu os al a˜
no.
El es o del a ´
ıculo es ´
a o ganizado al y como sigue. En
p ime luga se mues a una desc ipci´
on del p oblema de ges-
i´
on de s ock. La secci´
on 3 desc ibe el modelo de iesgos usado.
El p oblema de op imizaci´
on pa a la planificaci´
on se desc ibe
en la secci´
on 4. Con el obje i o de ilus a las en ajas del m´
e o-
do, un modelo de simulaci´
on de un Se icio de Fa macia y una
es uc u a del iesgo se u ilizan en la secci´
on 5 con di e en es
configu aciones. Po ´
ul imo, algunos comen a ios a modo de
conclusi´
on se p opo cionan en el apa ado 6.
2. P oblema de ges i´
on de s ock en el Se icio de Fa macia
En es e a ´
ıculo asumimos que el s ock del Se icio de Fa -
macia es ´
a o mado po Nmmedicamen os dis in os. El siguien-
e modelo disc e o se u iliza ´
a pa a ep esen a la e oluci´
on del
ni el de s ock del medicamen o i,
si( +1) =si( )+
npi

j=1
δj
i( −τj
i)uj
i( −τj
i)−di( ) (1)
donde si∈Res el s ock de un medicamen o i,uj
i∈Res el
n´
ume o de a ´
ıculos pedidos al j-´
esimo de los npip o eedo es
del medicamen o iyτj
ies su co espondien e e aso de ans-
po e. La a iable δj
i( ) es booleana, y su alo es uno s´
olo si
se p oduce el en ´
ıo de un pedido del medicamen o ipo pa -
e del p o eedo jdu an e el iempo ; si no, su alo es ce o.
Finalmen e, la a iable di( ) ep esen a la demanda de un medi-
camen o i.
Conside amos los siguien es cos es asociados al p oblema
de la ges i´
on de s ock:
pj
ies el p ecio al que el p o eedo j-´
esimo ac u a po
el medicamen o i. Asumi emos pa a simplifica que es e
p ecio no depende del n´
ume o de a ´
ıculos pedidos.
Cj
sh,ies el cos e de en ´
ıo del medicamen o idesde el p o-
eedo j.
Cop,i ep esen a los cos es asociados a la ealizaci´
on de
un pedido del medicamen o i.
Cos,ies el cos e de la al a de exis encias del medicamen o
i, es deci , el cos e que conlle a una o u a de s ock de un
de e minado medicamen o. En es e caso, cuando no hay
o a soluci´
on posible (u iliza o a p esen aci´
on del me-
dicamen o de mayo o meno dosis, u iliza o o ´
a maco
del mismo g upo e ap´
eu ico siemp e que no exis an con-
aindicaciones, e c.), se p ocede a pedi un p ´
es amo a
o o hospi al que disponga del medicamen o en cues i´
on.
Es a p ´
ac ica puede ene un al o cos e, pues o que equie-
e en egas especiales ( ecogida del a ´
ıculo del hospi al
que lo cede y de oluci´
on pos e io cuando se es ablece
el desabas ecimien o) que implican que hay que pone a
disponibilidad del hospi al un medio de anspo e eficaz,
segu o y ´
apido, a eces, incluso en e dis in as ciudades
yend
´
ıas es i os. Adem´
as, el iesgo que conlle a la inca-
pacidad de sa is ace las necesidades cl´
ınicas del hospi al
se conside a m´
aximo en es e sen ido.
Cs,ies el cos e de almacenamien o del medicamen o i.
Los obje i os del a mac´
eu ico enca gado de la ges i´
on del
Se icio pueden esumi se en el siguien e lis ado po o den de
p io idad descenden e:
1. Sa is acci´
on de la demanda. En o as palab as, debe mini-
miza se la p obabilidad de que se p oduzcan desabas eci-
mien o de medicamen os. En gene al, la demanda de los
Maes e e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 149–158 151
medicamen os es alea o ia en un hospi al, aunque na u-
almen e exis en algunos medicamen os cuyo compo a-
mien o es acional puede se ap o echado pa a mejo a la
es imaci´
on de la demanda. Asimismo, ambi´
en hay que
ene en cuen a las demo as en los en ´
ıos de los pedi-
dos, que ambi´
en son alea o ias. Como consecuencia, los
da os his ´
o icos de consumos y pedidos son undamen a-
les an o pa a modela el compo amien o de la demanda
como pa a es ablece un s ock de segu idad que pe mi a
hace en e a la ince idumb e in oducida po es os ac-
o es. Exis en dos posibilidades en es e pun o dependien-
do de si se es ablece un s ock de segu idad fijo o a iable.
En el p ime caso, en el p oblema de op imizaci´
on se in-
oduce una es icci´
on adicional. En el segundo, el s ock
de segu idad es un pa ´
ame o de op imizaci´
on. En es e
abajo nos hemos inclinado po la p ime a opci´
on al y
como se e ´
am
´
as adelan e.
2. Minimizaci´
on de los gas os de adquisici´
on de medica-
men os y los ni eles de s ock, dados po la siguien e un-
ci´
on:
G=
Nm

i=1
npi

j=1
δj
i( )(pj
iuj
i( )+Cj
sh,i)+
N

k=0
Nm

i=1
Cs,isi( ).(2)
3. Minimizaci´
on del n´
ume o de pedidos ealizados. Los e-
cu sos humanos de un Se icio de Fa macia son limi a-
dos. De es e modo, es con enien e minimiza los cos es
fijos asociados al hecho de ealiza un pedido. Es e obje-
i o se comp ende mejo cuando se iene en cuen a que,
po ejemplo, en un hospi al como Reina So ´
ıa se eali-
zan m´
as de 12000 pedidos al a˜
no. Ma em´
a icamen e, es e
obje i o queda eflejado en la siguien e unci´
on de cos e:
P=
Nm

i=1
npi

j=1
Cop,iδj
i( ).(3)
Adem´
as, deben ene se en cuen a di e en es es icciones:
Res icciones de almacenamien o. Po un lado, el s ock
de un medicamen o idebe se mayo que el s ock de se-
gu idad minsi, cuya misi´
on es p opo ciona una ga an ´
ıa
ex a de o ma que se eduzca la p obabilidad de o u-
a de s ock. Po o o lado, pod ´
ıa habe es icciones de
espacio que limi en el n´
ume o m´
aximo de unidades de
medicamen os que pueden se almacenados. Po an o,
si∈[minsi,maxsi].(4)
En es e pun o es p eciso pun ualiza que el s ock de segu-
idad minsipuede a ia con el iempo. Po ejemplo, en
los pe iodos acacionales hay labo a o ios de peque˜
no a-
ma˜
no que cie an. En es e caso, la p ´
ac ica habi ual po
pa e del hospi al consis e en aumen a el s ock de segu i-
dad de o ma que quede ga an izado el s ock de medica-
men os del hospi al du an e el iempo que el labo a o io
en cues i´
on pe manezca ce ado. Una pol´
ı ica simila se
sigue ambi´
en con los medicamen os cuyo consumo es
es acional, que cuen an con un s ock de segu idad mayo
en de e minadas ´
epocas del a˜
no. No obs an e, po simpli-
cidad se conside a ´
a en lo que sigue que minsies cons-
an e.
Res icciones sob e los pedidos. Las es icciones sob e
los pedidos equie en el uso de dos a iables di e en-
es. La p ime a es una a iable booleana que ep esen-
a el en ´
ıo de un pedido de un medicamen o ipo pa e
del p o eedo jdu an e el iempo . Po lo an o, δj
i( )∈
[0,1]. En caso de ealiza un pedido debe ene se en cuen-
a que hay un n´
ume o m´
ınimo y m´
aximo de a ´
ıculos que
se pueden pedi :
uj
i∈[minuj
i
,maxuj
i].(5)
N´
o ese que es a o ma de modela las es icciones sob e
el n´
ume o de unidades obedece a una simplificaci´
on in-
oducida pa a p ese a la con exidad del conjun o. La
ealidad es m´
as compleja, ya que no malmen e los me-
dicamen os ienen en en ases po lo que o malmen e se
a a ´
ıa de un conjun o disc e o. Asimismo, ambi´
en con-
iene comen a que el n´
ume o m´
ınimo y m´
aximo de uni-
dades a pedi ienen dados espec i amen e po el n´
ume-
o de unidades m´
ınimas con enidas en un en ase y po el
espacio disponible pa a el almacenamien o del medica-
men o co espondien e. Finalmen e, n´
o ese que ambi´
en
es posible aumen a el alo de minuj
icon obje o de edu-
ci el n´
ume o de pedidos de un medicamen o a lo la go
del iempo.
Res icciones ope acionales. El Se icio de Fa macia ie-
ne una capacidad limi ada an o pa a la ecepci´
on como
pa a el almacenamien o de los pedidos. Po es e mo i o
debe impone se un l´
ımi e en el n´
ume o de pedidos a ea-
liza a lo la go de un iempo N:
N

k=0
npi

j=1
δj
i( +k)≤Δi(6)
donde Δies el m´
aximo n´
ume o de pedidos de un me-
dicamen o ique se puede ealiza du an e el ho izon e
empo al conside ado.
Res icciones econ´
omicas. Conside a emos una es ic-
ci´
on sob e los ecu sos econ´
omicos que pueden u iliza se
en el ho izon e empo al N. Pa a simplifica , igno a emos
el dine o inmo ilizado que suponen los a ´
ıculos almace-
nados. Po an o, es e obje i o puede se ma em´
a icamen-
e ep esen ado de la siguien e o ma:
N

k=0
Nm

i=1
npi

j=1
δj
i( +k)(pj
iuj
i( +k)+Cj
sh,i+Cop,i)≤max$(7)
donde max$ ep esen a el l´
ımi e p esupues a io du an e
el pe iodo de iempo conside ado.
152 Maes e e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 149–158
3. Ges i´
on de Riesgos en S ocks Hospi ala ios
Pa a in oduci la ges i´
on de iesgos en los s ocks hospi ala-
ios, consid´
e ese la Figu a 1 donde se mues a la elaci´
on en e
las dis in as secciones o unidades de la a macia hospi ala ia
(Ui), los iesgos que pueden da se en cada una de las unidades
(Ri) y cada una de las acciones (Ai) que pueden ealiza se pa a
elimina o educi las consecuencias de los iesgos.
Fa macia hospi ala ia
U
1
U
n
U
2
R
1
R
m
R
2
A
1
A
p -1
A
p
...
...
...
Figu a 1: Relaci´
on en e iesgos y acciones en la a macia hospi ala ia.
Consid´
e ese el conjun o de pa ´
ame os Z={Z1,··· ,Znc}
que se desean op imiza , siendo nc su ca dinalidad. Ejemplo
de es os pa ´
ame os pueden se los iempos de e aso en los
pedidos, el n´
ume o de o u as de s ock, o la caducidad de los
medicamen os pe ecede os. Se define R={R1,··· ,Rm}como
el conjun o de los iesgos que se han iden ificado en el sis ema
de s ock hospi ala io. El ´
e mino iesgo puede defini se como
un e en o que puede ocu i con una de e minada p obabilidad,
causando impac os sob e algunos de los pa ´
ame os que se han
mencionado a iba. De es a o ma, cada iesgo R se ca ac e iza
po una p obabilidad de ocu encia en cada ins an e de iempo
P ( ) e impac os II c, sob e cada uno de los pa ´
ame os a e a-
lua Zc∈Z. En la Figu a 1 se puede obse a que una unidad
(Ui) puede es a a ec ada po a ios iesgos y un mismo iesgo
puede da se en a ias unidades. Como ejemplo se obse a co-
mo la unidad U1puede es a a ec ada po los iesgos R1yR2.
Po o o lado, los iesgos pueden se mi igados po las accio-
nes de mi igaci´
on. En la Figu a 1 el iesgo Rmes mi igado po
las acciones Ap−1yAp. Una acci´
on puede mi iga a m´
as de un
iesgo; n´
o ese como Ap−1mi iga a los iesgos R2yRm.
Como ejemplo, conside e un medicamen o que iene un s´
olo
p o eedo con un p ecio y iempo de en ega espec´
ıfico. Se pue-
de iden ifica el R1como el desabas ecimien o de es e p oduc o
po pa e del p o eedo , eniendo un impac o sob e el pa ´
ame-
o cos e Z1de 1000 eu os y el iempo de e aso Z2en una
ope aci´
on de 2 d´
ıas. La opci´
on de ene un segundo p o eedo
A1pod ´
ıa educi o incluso elimina es e iesgo, aunque hab ´
ıa
que ene en cuen a los cos es y condiciones de es e segundo
p o eedo .
Como se ha is o en el ejemplo, las acciones de mi igaci´
on
se ealiza ´
an pa a educi los impac os de los iesgos, pe o su
ejecuci´
on pod ´
a hace que se inc emen en los cos es. Incluso en
el caso de que los impac os y p obabilidades de los iesgos se
alo en de o ma es oc´
as ica, se ha de ene en cuen a el gas-
o que conlle a ealiza las acciones de mi igaci´
on debido a su
ca ´
ac e p e en i o. Fo malmen e, se definen las acciones mi i-
gado as como el conjun o A={A1,··· ,Ap}compues o po p
acciones de mi igaci´
on, donde cada acci´
on se desc ibe po una
upla de 3 elemen os:
Aa={uMa,Fa,Ga}∀Aa∈A,(8)
donde uMaes la a iable de decisi´
on de la acci´
on Aa.Faes el
conjun o de unciones que de e minan la educci´
on del impac o
en unci´
on de uMaen cada ins an e de iempo:
Fa={ ca :R→R,∀Zc∈Z,Aa∈A,
donde ca es la educci´
on del impac o que a ec a al pa ´
ame o Zc
al ejecu a la acci´
on Aa. Como se hab´
ıa nomb ado an e io men-
e, la ejecuci´
on de es as acciones conlle a un cos e que puede
incu i en los pa ´
ame os de op imizaci´
on Z. Es a p opiedad
queda ecogida bajo las unciones Ga, las cuales desc iben los
gas os a conside a si la acci´
on Aase ejecu a, ambi´
en en un-
ci´
on de su co espondien e a iable de decisi´
on uMa:
Ga={gca :R→R∀Zc∈Z,Aa∈A.
Siguiendo con el ejemplo an e io en el que se conside a
la acci´
on A1pa a mi iga el iesgo R1se pod ´
ıa modela con
11 =uM1, 21 =uM1,g11 =BuM1, es deci , educe el 100 % de
los impac os y su cos e es de Beu os po medicamen o.
Debido a la na u aleza an di e sa que puede da se en las ac-
ciones de mi igaci´
on, se hace necesa io con empla la a iable
de decisi´
on como una a iable l´
ogica en el caso de decidi em-
p ende una de e minada acci´
on o no, o bien, que se cuan ifique
su in ensidad (cos e de una p´
oliza de segu o). De es a obse a-
ci´
on se puede conclui que uMapod ´
a se una a iable con inua
(uMa∈R) o en e a (uMa∈Z), dando luga a un p oblema de
op imizaci´
on mix a.
Teniendo en cuen a la in o maci´
on an e io sob e iesgos, se
in oduce el ´
e mino deno ado po RE llamado Exposici´on del
Riesgo definido pa a cada uno de los iesgos iden ificados. As´
ı,
RE c(uM, ) ep esen a la exposici´
on del iesgo R que a ec a al
pa ´
ame o Zc, defini´
endose de la siguien e o ma:
RE c(uM, )=P ( )II c −
p

a=1
RA ,a ca(uMa)+
+
p

a=1
RA ,agca,∀R ∈R,Zc∈Z,
(9)
donde P ( ) es la p obabilidad del iesgo R en el ins an e ,II c
deno a el impac o inicial del iesgo R que a ec a al pa ´
ame o
Zc,yuM=[uM1, ..., uMp] es el ec o ag egado de decisi´
on pa a
las acciones mi igado as. Ambos ´
e minos pueden e modifi-
cado su alo a lo la go del iempo. La suma de unciones es
la educci´
on de impac o conseguida con la ejecuci´
on de las ac-
ciones. El ´
e mino RA ,a=1 si el iesgo R puede se mi igado
Maes e e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 149–158 153
po la acci´
on Aa; en o o caso, es e ´
e mino end ´
a un alo nulo
(RA ,a=0). Es e da o se ob iene g ´
aficamen e de la es uc u-
a de iesgos comp obando si exis e una l´
ınea di igida en e el
iesgo y la acci´
on. gca(uMa) es el cos e adicional de ejecu a la
acci´
on Aasob e los dis in os pa ´
ame os Zc.
Conside ando oda la in o maci´
on p e ia de es a secci´
on, se
puede conclui que la in o maci´
on necesa ia pa a implan a un
sis ema de GR es la siguien e:
Va iables manipuladas y con oladas.
Modelo del p oceso.
Pol´
ı ica de ope aci´
on, obje i os y p io idades.
Riesgos iden ificados que puedan impac a sob e el sis e-
ma. Es e conjun o se deno a po R.
Plan es a ´
egico de ac uaci´
on pa a educi la exposici´
on
de los iesgos a a ´
es de las acciones de mi igaci´
on. El
conjun o de iesgos se deno a ´
a po A.
La p ´
oxima secci´
on mues a como se lle a a cabo la op imi-
zaci´
on en los s ocks hospi ala ios conside ando mi igaci´
on de
iesgos. Pa a ello, la o mulaci´
on desc i a en es e apa ado se
in oduce en el modelado de las a iables que se desean op imi-
za .
4. P oblema de Op imizaci´
on y Con ol P edic i o en S ocks
de Fa macia Hospi ala ia
Como se comen ´
o an e io men e, se ha elegido CPBM pa-
a lle a a cabo la op imizaci´
on. A con inuaci´
on desc ibi emos
c´
omo se han sin e izado ma em´
a icamen e los obje i os que se
desean cumpli :
1. Minimizaci´
on de s ock ga an izando la sa is acci´
on de la
demanda de medicamen os (J1).
Ma em´
a icamen e se iene:
J1(u, )=
N

k=0
Nm

i=1
[si( +k)]2.(10)
Na u almen e, es e obje i o es ´
a suje o a (1). En es e pun-
o, es impo an e se˜
nala que se u ilizan los da os his ´
o i-
cos de demandas (di) y pedidos pa a gene a una deman-
da es imada de cada medicamen o ( ˆ
De,i). Es a demanda
es imada puede e se modificada a su ez po alg´
un ies-
go, gene ´
andose la demanda i ual ( ˆ
Di), que si e como
base pa a la oma de decisiones de acue do con (1):
ˆ
Di( +k)=ˆ
De,i( +k)
+
m

=1
RP ,dem( +k)RE ,dem(u, +k)(11)
donde Nmes el n´
ume o de medicamen os que se han
conside ado en el es udio, mdeno a el n´
ume o o al de
de iesgos y Nel ho izon e de p edicci´
on. El ´
e mino
RE ,dem(u, +k) modela el e ec o del iesgo R sob e la
demanda; RP ,dem( +k)=1 indica que el iesgo R pue-
de a ec a a la demanda en el ins an e +k; en o o ca-
so RP ,dem( +k)=0. El hecho de que la demanda no
sea sa is echa puede conside a se como un iesgo. Si es-
o ocu e, el impac o de es e iesgo sob e el cos e se ´
ael
´
e mino II ,cos =Cos,iy el impac o sob e la demanda,
II ,dem, una a iaci´
on en ella. Pa a soluciona es e p oble-
ma, la GR, ejecu a ´
a acciones que educi ´
an es os impac-
os a cambio del cos e de ejecuci´
on de las acciones. Es e
caso se p esen a en el apa ado de aplicaci´
on.
2. Minimizaci´
on de los cos es de los pedidos y almacena-
mien o (J2):
J2=
N

k=0
[ˆ
G( +k| )+
m

=1
RP ,cos ( +k)RE ,cos (u, +k)]2
(12)
donde ˆ
G( +k| ) es el gas o en el ins an e de iempo ( +k).
Es e ´
e mino se calcula seg´
un la exp esi´
on (2) y ep e-
sen a el cos e de los pedidos, incluyendo p ecio, cos e de
en ´
ıo y cos e de almacenamien o. RE ,cos es la exposi-
ci´
on del iesgo R sob e el cos e si se lle a a cabo ges i´
on
de iesgos. De igual o ma que en el ´
e mino de la de-
manda, puede habe iesgos que a ec en al gas o de los
pedidos, pudi´
endose ealiza acciones pa a mi iga los.
3. Op imizaci´
on del n´
ume o de pedidos (J3): es e ´
e mino
p ocede de la exp esi´
on (3) y depende de o ma adicio-
nal del es ue zo de con ol ( a iaci´
on de las a iables de
con ol pe mi idas) y el pe iodo en e pedidos (dia ios,
semanales, ...).
J3=
N

k=0
[ˆ
P( +k| )]2,(13)
La unci´
on global que el con olado op imiza es mul i- ob-
je i o pa a conside a los pun os ci ados an e io men e. En pa -
icula , el p oblema que el con olado p edic i o esuel e es el
siguien e:
m´
ın
uJ=β1J1(u, )+β2J2(u, )+β3J3(u, )(14)
suje o a (1) y (4-7), donde u=[uouM] es el ec o ag egado
de las a iables de decisi´
on del p oblema. En conc e o, u0es el
ec o de decisi´
on que con iene el p oblema o iginal sin con-
side a iesgos ( a iables de con ol del sis ema de s ock, es o
es, δj
i( )yuj
i( ) pa a odo j=1,...,npiyi=1,...,Nm)y
uM=[uM1, ..., uMp] es el ec o de decisi´
on pa a las acciones
mi igado as.
Se ha de des aca que las salidas de es e p oblema depen-
de ´
an en g an medida de los pesos asignados a la a iable β=
[β1β2β3]. Exis en m´
e odos pa a la ob enci´
on de ponde acio-
nes cuando se es ´
an e aluando p oblemas mul i-c i e io. Po
ejemplo, el p ocedimien o Analy ic Hie a chy P ocess (AHP)
(Saa y, 2008) es una me odolog´
ıa usada en la li e a u a donde
se compa an los c i e ios po pa es pa a ob ene el peso de cada
uno de los obje i os.
Tambi´
en es p eciso comen a que la na u aleza disc e a de
algunas a iables de op imizaci´
on hacen de (14) un p oblema

154 Maes e e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 149–158
mix o cuad ´
a ico (MIQP). Es a clase de p oblemas pe enece
al ipo NP-comple os. La complejidad del p oblema depende
del n´
ume o de a iables en e as, eales y del n´
ume o de es-
icciones. El iempo de compu aci´
on eque ido pa a esol e
el p oblema c ece exponencialmen e con el ama˜
no del p oble-
ma. Si exis en ni a iables l´
ogicas, la complejidad se ´
a2
ni (2ni
p oblemas QP p oblems a esol e ). El n´
ume o de p oblemas
QP a esol e es fini o y po an o el algo i mo encuen a una
soluci´
on (si exis e ) en un iempo fini o.
Finalmen e, el sis ema de bloques de es e sis ema se ep e-
sen a en la Figu a 2, donde las en adas al sis ema son las de-
mandas de los medicamen os, p o eedo es e in o maci´
on eco-
pilada sob e los posibles iesgos que puedan a ec a al sis ema.
Las salidas son los ni eles de s ocks, demandas p edichas, cos-
es y los da os sob e los pedidos (cuando y cuan as unidades)
que deben ealiza se.
In en a io de a macia
Demanda
In o mación sob e iesgos
Ni eles de s ocks
Pedidos
Cos es op imizados
Res icciones
P o eedo es
Figu a 2: Rep esen aci´
on de bloque del sis ema de s ocks.
5. Ejemplo de aplicaci´
on
Es a secci´
on mues a la aplicaci´
on de la GR aplicado a uno
de los medicamen os m´
as cos osos en el hospi al Reina So ´
ıa
de C´
o doba (Espa˜
na). El cos e de es e medicamen o es de 500
eu os/unidad. Todos los da os que se p esen an sob e s ocks, de-
mandas y cos es han sido p opo cionados po el pe sonal hos-
pi ala io. A con inuaci´
on se desa olla ´
an los siguien es pun os:
Modelo de p edicci´
on de la demanda y s ock del medica-
men o.
Iden ificaci´
on de iesgos.
Plan de mi igaci´
on: acciones a desa olla .
Funci´
on obje i o a op imiza y pa ´
ame os del con ola-
do p edic i o.
5.1. Modelo de P edicci´on
El ´
e mino de la demanda iene ca ´
ac e no de e minis a po
lo que se ha ca ac e izado de o ma p obabil´
ıs ica. T as analiza
los da os co espondien es a es e medicamen o se ha ob enido
el compo amien o que se mues a en la Figu a 3.
El panel in e io mues a la p obabilidad ob enida pa a un
d´
ıa conc e o de la semana. Con los da os que se disponen, se
puede ob ene un modelo de p obabilidad pa a cada d´
ıa de la
semana. La jus ificaci´
on se debe a la exis encia de medicamen-
os cuya demanda depende ue emen e del d´
ıa de la semana.
Es o ocu e con medicamen os que se ece an en las consul as,
las cuales ienen luga cie os d´
ıa de la semana. Pa a el medica-
men o que se ha elegido, se puede obse a que no iene deman-
da los fines de semana. De o ma adicional y pa a inc emen a
la obus ez del con olado , se ha omado el pe cen il 75 de los
da os ob enidos. De es a o ma, el con olado se p epa a ´
a pa a
demandas supe io es que la media, lo que elaja la es icci´
on
del s ock de segu idad, pudiendo se educido.
El modelo disc e o de en ada/salida pa a el s ock del medi-
camen o se mues a en la ecuaci´
on (1).
5.2. Riesgos iden ificados
A con inuaci´
on se exponen los cinco iesgos (m=5) que
se han iden ificado en el pe iodo de es udio del in en a io de
la a macia. La abla 1 desc ibe los iesgos que se han consi-
de ado, in o maci´
on que p o iene del pe sonal ´
ecnico del hos-
pi al Reina So ´
ıa. Los pa ´
ame os que se desean op imiza son
Z={Z1,Z2}, donde Z1es el cos e (eu os/semana) y Z2la de-
manda del medicamen o exp esada en unidades. A ´
ı ulo de cla-
sificaci´
on, se han dis inguido iesgos asociados a la demanda
del medicamen o, p o eedo es y s ock.
N´
o ese que R1puede cambia la demanda es imada (cua a
columna) mien as que el es o de los iesgos es ´
an a iando el
cos e en la e ce a columna (Z1). La p obabilidad de cada iesgo
se especifica en la ´
ul ima columna, pudiendo ´
es a depende del
iempo. As´
ı, la p obabilidad del R3s´
olo exis e en el segundo
mes; en el es o del pe iodo es 0. Pa a el iesgo R1, su p obabi-
lidad se ha de e minado con una dis ibuci´
on no mal de media
0.8 y des iaci´
on 0.1, P1( )=N∼(0,8,0,1).
5.3. Plan de mi igaci´on: acciones mi igado as
Las acciones que pueden lle a se a cabo pa a mi iga los
iesgos expues os an e io men e se mues an en la abla 2. Exis-
en seis acciones de mi igaci´
on (p=6) y po an o seis a-
iables de con ol adicionales que componen el ec o ,uM=
{uM1,...,uM6}, donde odas son de ca ´
ac e l´
ogico.
La e ce a columna de la abla 2 desc ibe las unciones ,
es deci , la educci´
on de impac o que se consigue al ejecu a
la acci´
on. N´
o ese que es a unci´
on se ha desc i o en unci´
on
del po cen aje del impac o, seg´
un las indicaciones del pe sonal
´
ecnico del hospi al. As´
ı pa a la acci´
on A2, la unci´
on 12 =
0,99II1uM2significa que al ejecu a es a acci´
on se elimina ´
ael
99 % del impac o sob e el cos e. La cua a columna in o ma
sob e el gas o adicional de ejecu a la acci´
on; pa a la acci´
on
A2,g12 =300uM2, el cos e de ejecu a una ez la acci´
on es de
300 eu os. La ecuencia de ejecuci´
on de las acciones debe se
como m´
ınimo de una semana. La ´
ul ima columna desc ibe el
ipo de la a iable que modela la acci´
on, siendo en es e caso
odas booleanas.
La Figu a 4 mues a de o ma g ´
afica las acciones que pue-
den mi iga cada uno de los iesgos ci ados an e io men e. Pue-
de obse a se que la acci´
on A2puede mi iga a los iesgos R2y
R4. Po o o lado, el iesgo R3puede mi iga se con la acci´
on A3
yA4.
Maes e e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 149–158 155
Figu a 3: Ca ac e izaci´
on p obabil´
ıs ica de la demanda del medicamen o.
Tabla 1: Desc ipci´
on de iesgos iden ificados
R Desc ipci´
on II1II2P ( )
Demanda
R1La demanda a ´
ıa de la es imaci´
on II11 =0II12 =0,3D P1( )
P o eedo es
R2Re asos en la en ega de pedidos II21 =4000 II22 =00,3
R3No exis e disponibilidad II31 =10000 II32 =00,4
S ocks
R4S ock no co esponde con el eal II41 =2200 II42 =00,5
R5Fal a de ins alaciones pa a el almacenaje II51 =500 II52 =00,2
Tabla 2: Acciones de mi igaci´
on.
AaDesc ipci´
on 1a, 2ag1auMa
A1Inc emen a la demanda del medicamen o 21 = 11 =0g11 =0B
A2Incen i a el en ´
ıo 12 =0,99II1uM2g12 =300uM2B
A3Cambia de p o eedo 13 =II1uM3g13 =500uM3B
A4Busca asis encia en o os hospi ales 14 =0,5II1uM4g14 =2000uM4B
A5Seguimien o exhaus i o del s ock eal 15 =0,8II1uM5g15 =200uM5B
A6Habili a un almacenaje auxilia 16 =II1uM6g16 =90uM6B
156 Maes e e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 149–158
In en a io
Demanda P o eedo es
R
1
R
4
A
1
A
5
A
2
A
3
R
2
R
3
A
4
R
5
S ocks
A
6
Figu a 4: Relaci´
on de las acciones que mi igan los iesgos iden ificados.
Se es ablece que el cos e al que puede ascende la mi iga-
ci´
on se ´
a de 1800 eu os po semana.
5.4. Funci´on obje i o y pa ´ame os del con olado
La unci´
on obje i o es ´
a desc i a en la ecuaci´
on (14) donde
β1=15,β
2=10 y β3=1, pa ´
ame os que han sido elegidos en
colabo aci´
on con el pe sonal a mac´
eu ico del hospi al. El pe-
iodo de es udio se es ablece en 117 d´
ıas ( =1,...,117), iem-
po de mues eo de 1 d´
ıa y ho izon e de p edicci´
on, N=10. Las
es icciones que se ci an en las exp esiones (4-7) se inco po an
al p oblema de op imizaci´
on. De es a o ma, en cada iempo de
mues eo se ob iene una secuencia de se˜
nales de con ol upa a
segui a la ayec o ia de demanda deseada.
El s ock de segu idad del medicamen o, minsi, se ha es able-
cido en 25 y el m´
aximo,maxsi, en 200. Pa a es e medicamen o,
exis e un ´
unico p o eedo cuyo en ´
ıo a da 2 d´
ıas.
5.5. Resul ados
Al habe a iables booleanas en el sis ema, se ha usado el
paque e come cial Cplex de ILOG (ILOG, 2006) pa a esol e
el p oblema de op imizaci´
on mix a. N´
o ese que a´
un siendo el
p oblema de op imizaci´
on bilineal, se ha usado una ans o ma-
ci´
on (Bempo ad and Mo a i, 1999) pa a con e i el sis ema a
lineal a˜
nadiendo a iables booleanas y es icciones al p oble-
ma o iginal.
El obje i o del p oblema es sa is ace la demanda del me-
dicamen o en es udio minimizando el s ock. La demanda se ha
es imado con la ayuda del pe sonal cl´
ınico, ecopilando da os
de demandas an e io es en el mismo pe iodo. As´
ı, en el panel
supe io de la Figu a 5 se mues a la demanda es imada del me-
dicamen o en l´
ınea con inua con ma cas de c´
ı culos ( ˆ
De,1). Sin
emba go, el iesgo R1modifica es a demanda, dando luga a la
l´
ınea con inua, la cual es la demanda i ual ˆ
D1u ilizada en el
p oblema de op imizaci´
on. La demanda eal que se p odujo se
ep esen a con la l´
ınea discon inua ayada. Se obse a que no
en odos los casos la demanda i ual es supe io a la eal, dan-
do luga a o u as de s ock de segu idad como se mues a en
el segundo panel ( =93). En es e segundo panel se mues a
el es ado del s ock del medicamen o, donde la l´
ınea discon i-
nua equi ale al s ock eal y la l´
ınea con inua al s ock si se o-
ma como e e encia la demanda es imada a ec ada po el iesgo
R1. Es a se˜
nal in en a alcanza el s ock de segu idad (25 unida-
des), pe o a eces no cumple es a es icci´
on po que la demanda
eal supe ´
o a la es imada. El e ce panel mues a el ins an e de
iempo y unidades que se solici an al p o eedo 1. Al ac i a -
se el iesgo R3en el segundo mes, los pedidos se ealizan a un
segundo p o eedo (acci´
on A3) pa a mi iga el iesgo (panel in-
e io ). En es a simulaci´
on, la media del s ock eal es 43.27 y
su des iaci´
on 18.8 du an e odo el pe iodo.
0
20
40
60
80
S ocks
Unidades
0
20
40
60
Demandas
0
20
40
60
Pedidos a p o eedo 1
0 20 40 60 80 100
0
20
40
60
Tiempo (días)
Pedidos a p o eedo 2
Figu a 5: Demandas, s ocks y pedidos dia ios a los p o eedo es. En l´
ınea con-
inua se mues an las salidas del con olado y en l´
ınea discon inua las se˜
nales
eales.
La Figu a 6 mues a los cos es acumulados a lo la go del
pe iodo de es udio. Se ha de eco da que los iesgos R2,...,R5
a ec an a es e c i e io.
1. La l´
ınea azul discon inua mues a el cos e acumulado con-
side ando los impac os de los iesgos, pe o sin ealiza
acciones de mi igaci´
on.
2. La l´
ınea oja con inua ep esen a el cos e acumulado a lo
la go del iempo, conside ando los impac os de los ies-
gos y ac uando en consecuencia, ejecu ando acciones de
mi igaci´
on.
Como cab´
ıa espe a , el cos e en el caso de mi igaci´
on es
meno que en el caso de conside a iesgos pe o no mi igaci´
on.
Las acciones que se deben ejecu a pa a alcanza es e cos e se
mues a en la Figu a 7. Se obse a que las acciones se lle an a
cabo cada semana. As´
ı, las acciones A2,A3,A5yA6se ejecu an
al p incipio de la semana; la acci´
on A4no se ejecu a debido al
al o cos e de la unci´
on g14 pa a educi el impac o de R5.A3
que ep esen a el hace los pedidos a o o p o eedo , se ejecu a
s´
olo du an e el segundo mes debido a la p obabilidad al a que
iene du an e ese pe iodo.
Maes e e al. / Re is a Ibe oame icana de Au omá ica e In o má ica indus ial 10 (2013) 149–158 157
0 20 40 60 80 100 120
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
Cos es
Miles de eu os
Tiempo (días)
Con mi igación
Sin mi igación
Figu a 6: Cos es acumulados conside ando iesgos en el in en a io.
Tabla 3: Simulaciones pa a di e en es s ocks de segu idad.
S ock de segu idad Violaciones Media Des iaci´
on
25 17 43.25 18.8
27 1 46.20 19.49
30 0 48.73 19.38
40 0 59.26 20.22
La abla 3 mues a cua o casos de simulaciones pa a dis in-
os alo es de s ock de segu idad, de allando ambi´
en, la media
y des iaci´
on del s ock. A medida que se aumen a es e alo , el
n´
ume o de casos que no cumplen la es icci´
on disminuye. Po
o o lado, ambi´
en se inc emen a la media del s ock al inc e-
men a el s ock de segu idad; se a a de de e mina un balance
en e ambos ´
e minos.
Po ´
ul imo, se ha lle ado a cabo un expe imen o donde los
pedidos se ealizan no dia iamen e, sino semanalmen e. Se pue-
de obse a en la Figu a 8 como el s ock aumen a compa ado
con el caso an e io . Se ealizan menos paque es de pedidos pe-
o se necesi a un cos e mayo pa a su almacenaje. La es imaci´
on
de la demanda se ha adap ado conside ando el pe cen il 60 de
los da os eales. En es e caso, la media es de 95.98 y su des ia-
ci´
on de 34.94.
El panel 2 de las figu as5y8mues an el es ado del s ock
dependiendo si se impone alguna es icci´
on a la ecuencia de
ealizaci´
on de los pedidos. Como se ha podido comp oba , es as
simulaciones han dado como media de s ock 95.98 en el caso
de pedidos semanales y 43.27 unidades en los pe iodos eali-
zados dia iamen e. En la ealidad, el depa amen o de a macia
no ealiza los pedidos con una ecuencia de e minada, sino que
u iliza una pol´
ı ica de pun o de pedido, es o es, los medicamen-
os se piden cuando el s ock baja de un de e minado umb al,
es imado po el pe sonal a mac´
eu ico. Aplicando es e p oce-
dimien o, consiguen una media de s ock de 107 unidades y el
iempo medio en e pedidos es ap oximadamen e una semana.
Teniendo en cuen a que una unidad de es e medicamen o iene
0
1
2
uM2
0
1
2
uM3
0
1
2
uM4
0
1
2
uM5
0 20 40 60 80 100
0
1
2
uM6
Tiempo (dias)
ACCIONES DE MITIGACION
Figu a 7: Acciones mi igado as a ejecu a y su ins an e de ejecuci´
on.
un cos e de 500 eu os, se jus ifica el ene un s ock lo meno po-
sible. El p ocedimien o que se plan ea baja es a media en ambos
casos (dia io y semanal).
6. Conclusiones
Es e a ´
ıculo p opone una he amien a de ayuda en la o-
ma de decisiones del depa amen o de a macia pa a ges i´
on de
s ocks de medicamen os. La ges i´
on del in en a io de ´
a macos
es una a ea ele an e en la ges i´
on de hospi ales, y po ende, su
op imizaci´
on epe cu i ´
a en el uncionamien o global del hos-
pi al. Se a a de un p oblema complejo que equie e es ablece
un equilib io en e c i e ios que esul an con adic o ios, como
pueden se la disponibilidad del medicamen o y el cos e. Es e
abajo ha lle ado a cabo la op imizaci´
on del s ock de ´
a ma-
cos conside ando una e aluaci´
on mul iobje i o y conside ando
un modelo expl´
ıci o de los iesgos que puedan iden ifica se en
la e apa de planificaci´
on. En es e sen ido, el con ol p edic i o
aplicado esul a muy beneficioso debido a que se puede dispo-
ne de un modelo que p ediga el s ock u u o en base a los ies-
gos iden ificados, demandas es imadas y es icciones inco po-
adas. En e las salidas que se apo an, se des acan las acciones
de mi igaci´
on que educen los impac os de los iesgos a lo la -
go del iempo, de allando su in ensidad e ins an es de iempo
a ejecu a . Asimismo, es e p ocedimien o ambi´
en p opo ciona
una he amien a ´
alida pa a ayuda al pe sonal ´
ecnico a e a-
lua di e en es escena ios dando como esul ado las a iables
de con ol a in oduci en el sis ema.
Como se ha is o, la o mulaci´
on del p oblema emplea-
da es lo suficien emen e gene al como pa a adap a se bien a
la p oblem´
a ica plan eada po cualquie ipo de medicamen o.
No obs an e, en abajos u u os se con empla ´
an ambi´
en o os
aspec os ales como las di e en es elaciones cos e- ama˜
no del
pedido o la u ilizaci´
on de cos es di e en es en unci´
on del iem-
po. En el caso de es udio pa icula u ilizado en es e a ´
ıculo,