Control Predictivo Aplicado a la Gestión de Stocks en Farmacia Hospitalaria: un Enfoque Orientado a la Minimización del Riesgo

Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 149–158 © 2013 CEA. Publicado por Elsevier España, S.L. Todos los derechos reservados http://dx.doi.org/10.1016/j.riai.2013.03.005 Control Predictivo Aplicado a la Gesti´ on de Stocks en Farmacia Hospitalaria: un Enfoque Orientado a la Minimizaci´ on del Riesgo J. M. Maestrea,∗, A. Zafra Cabezaa, M. I. Fern´ andez Garc´ ıab, B. Isla Tejerac, J. R. del Pradoc, E. F. Camachoa aDepartamento de Ingenier´ıa de Sistemas y Autom´atica Universidad de Sevilla, Sevilla 41092, Espa˜na. bServicio de Farmacia del Hospital San Juan de Dios de C´ordoba. Avenida del Brillante, 106, 14012 C´ordoba, Espa˜na. cServicio de Farmacia del Hospital Reina Sof´ıa. Avenida Men´endez Pidal, s/n 14004 C´ordoba, Espa˜na. Resumen La gesti´ on de stock es una de las principales tareas que lleva a cabo el Servicio de Farmacia de un hospital. Se trata de un problema complejo que requiere establecer un equilibrio entre criterios de optimizaci´ on diferentes y, a veces, contrapuestos. La complejidad del problema se ve incrementada debido a la incorporaci´ on de restricciones tales como retrasos en las entregas de los medicamentos o variabilidad en la demanda. En este trabajo proponemos aplicar el control predictivo basado en modelo (MPC) al problema de gesti´ on de stock de un Servicio de Farmacia desde una perspectiva de minimizaci´ on del riesgo. Las acciones de mitigaci´ on se llevan a cabo con el objetivo de reducir el impacto de los posibles riesgos que pueden ocurrir. Por lo tanto, se a˜ naden al problema inicial nuevas variables de decisi´ on. Dado que estas variables pueden ser booleanas, el problema se formula como un problema de programaci´ on cuadr´ atica mixto-entero. Finalmente, la metodolog´ ıa propuesta es utilizada en simulaci´ on utilizando datos procedentes de un hospital real. Copyright c 2013 CEA. Publicado por Elsevier Espa˜na, S.L. Todos los derechos reservados. Palabras Clave: Control Predictivo, Sistemas de gesti´ on, Evaluaci´ on de riesgos, Sistemas estoc´ asticos, Impacto social de la autom´ atica. 1. Introducci´ on Las cadenas de suministro son aquellas estructuras y procesos utilizados por una organizaci´ on para proporcionar un servicio o un producto a un consumidor. Desde el punto de vista de teor´ ıa de control, las cadenas de suministro presentan fen´ omenos interesantes tales como oscilaciones, amplificaciones y retrasos (Sterman, 2000). Asimismo, es frecuente que la producci´ on o el stock excedan o no alcancen los niveles ´ optimos debido a demoras materiales o de la transmisi´ on de la informaci´ on. Por estos motivos la din´ amica de las cadenas de suministro ha sido analizada en profundidad y se ha utilizado como ejemplo de aplicaci´ on en varios art´ ıculos de control (Dunbar and Desa, 2005; Maestre et al., 2010). Las consecuencias de una mala pol´ ıtica de control en los eslabones de una cadena de suministro var´ ıan dependiendo del tipo de producto o servicio considerado, llegando incluso a ser fatales social y econ´ omicamente en casos como el estudiado en ∗Autor en correspondencia Correos electr´onicos: [email protected] (J. M. Maestre ), [email protected] (A. Zafra Cabeza), [email protected] (M. I. Fern´ andez Garc´ ıa), [email protected] (B. Isla Tejera), [email protected] (J. R. del Prado), [email protected] (E. F. Camacho) este art´ ıculo: el Servicio de Farmacia de un hospital. En este caso concreto, deben satisfacerse por una parte las necesidades cl´ ınicas del hospital, ya que los costes sociales de la falta de disponibilidad de medicamentos pueden ser inmensos, conduciendo en ocasiones a la p´ erdida de vidas humanas. Por otro lado, no es posible aumentar demasiado el stock promedio tanto por motivos econ´ omicos como log´ ısticos. Los hospitales tienen presupuestos ajustados que imponen restricciones en la gesti´ on de stock. En concreto, se estima que aproximadamente el 35 % de los gastos del hospital en bienes y servicios proceden del Servicio de Farmacia (Bermejo et al., 1999). De ah´ ı que la gesti´ on de stock sea una de las principales tareas que lleva a cabo un Servicio de Farmacia de hospital. Es un problema complejo porque requiere establecer un equilibrio entre criterios de optimizaci´ on contrapuestos. Adem´ as, tambi´ en deben tenerse en cuenta en este contexto otros factores que habitualmente complican los problemas de la gesti´ on de stock. Por ejemplo, restricciones sobre el almacenamiento de medicamentos: el espacio es limitado, especialmente para aquellos medicamentos termol´ abiles que deben conservarse en nevera. Los retrasos en las entregas de pedidos y la aleatoriedad de las demandas tambi´ en son factores que deben ser considerados. En este trabajo proponemos aplicar control predictivo basado en modelo (CPBM) al problema de gesti´ on de stock de 150 Maestre et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 149–158 un Servicio de Farmacia desde una perspectiva de minimizaci´ on del riesgo. El CPBM es una estrategia de alto rendimiento muy popular para el dise˜ no de controladores basados en modelos debido a su capacidad de manejar interacciones multivariables, restricciones en las variables controladas y manipuladas, y requerimientos de optimizaci´ on de un modo sistem´ atico. En concreto, se utiliza un modelo del sistema para predecir su evoluci´ on futura a lo largo de un horizonte de predicci´ on dado comenzando por el estado de actual del mismo. Debido a esta alta versatilidad, el CPBM ha llegado a ser una de las t´ ecnicas de control m´ as utilizadas en aplicaciones industriales (Camacho and Bordons, 2004). Las cadenas de suministro y stocks tambi´ en se han beneficiado de la aplicaci´ on del CPBM, con un abanico de aplicaciones que comprende, entre otras, las cadenas de suministro para la fabricaci´ on de semiconductores (W. Wang and Smith, 2004; Wang et al., 2005), la utilizaci´ on del cl´ asico Juego de la Cerveza del MIT como banco de pruebas de estrategias de control distribuidas (Maestre et al., 2010), los sistemas de producci´ on-inventario (Stoica et al., 2009), o los sistemas de stocks (Rasku et al., 2004). En este trabajo, se complementa la estrategia de CPBM con un enfoque gesti´ on del riesgo (GR), una disciplina de creciente inter´ es por su alto grado de aplicaci´ on al sector industrial (Zafra- Cabeza et al., 2008; Baron and Pat´ e-Cornell, 1999). El objetivo de la GR en sistemas de ingenier´ ıa es establecer pol´ ıticas basadas en el riesgo para obtener mejores equilibrios entre seguridad y productividad. Estas t´ ecnicas comienzan en la fase de dise˜ no conceptual y contin´ uan a trav´ es de la ejecuci´ on y puesta en marcha del sistema. Tras la identificaci´ on de los riesgos y el establecimiento de las acciones de mitigaci´ on, se proporciona el modelo de riesgos para ser integrado en la optimizaci´ on. Dado que las acciones de mitigaci´ on pueden ser discretas o continuas, el problema de optimizaci´ on resultante se formula como un problema de programaci´ on cuadr´ atica mixto-entero que pertenece a la clase de problemas NP-completo. La funci´ on objetivo est´ a compuesta por t´ erminos que comprenden los costes de operaci´ on, satisfacci´ on de la demanda, acciones de mitigaci´ on y esfuerzos de control. Para validar la estrategia propuesta se han llevado a cabo simulaciones basadas en datos reales procedentes del hospital Reina Sof´ ıa (C´ ordoba, Espa˜ na). Se trata de un hospital universitario con capacidad para un total de 1200 camas. Adem´ as de proveer de medicamentos a los pacientes ingresados y a todas las unidades asistenciales del hospital contenidas en su cartera de servicios, el Servicio de Farmacia realiza mensualmente m´ as de 5000 dispensaciones de medicamentos a pacientes externos. En este hospital los gastos en medicamentos superan los 50 millones de euros al a˜ no. El resto del art´ ıculo est´ a organizado tal y como sigue. En primer lugar se muestra una descripci´ on del problema de gesti´ on de stock. La secci´ on 3 describe el modelo de riesgos usado. El problema de optimizaci´ on para la planificaci´ on se describe en la secci´ on 4. Con el objetivo de ilustrar las ventajas del m´ etodo, un modelo de simulaci´ on de un Servicio de Farmacia y una estructura del riesgo se utilizan en la secci´ on 5 con diferentes configuraciones. Por ´ ultimo, algunos comentarios a modo de conclusi´ on se proporcionan en el apartado 6. 2. Problema de gesti´ on de stock en el Servicio de Farmacia En este art´ ıculo asumimos que el stock del Servicio de Farmacia est´ a formado por Nmmedicamentos distintos. El siguiente modelo discreto se utilizar´ a para representar la evoluci´ on del nivel de stock del medicamento i, si(t+1) =si(t)+ npi  j=1 δj i(t−τj i)uj i(t−τj i)−di(t) (1) donde si∈Res el stock de un medicamento i,uj i∈Res el n´ umero de art´ ıculos pedidos al j-´ esimo de los npiproveedores del medicamento iyτj ies su correspondiente retraso de transporte. La variable δj i(t) es booleana, y su valor es uno s´ olo si se produce el env´ ıo de un pedido del medicamento ipor parte del proveedor jdurante el tiempo t; si no, su valor es cero. Finalmente, la variable di(t) representa la demanda de un medicamento i. Consideramos los siguientes costes asociados al problema de la gesti´ on de stock: pj ies el precio al que el proveedor j-´ esimo factura por el medicamento i. Asumiremos para simplificar que este precio no depende del n´ umero de art´ ıculos pedidos. Cj sh,ies el coste de env´ ıo del medicamento idesde el proveedor j. Cop,irepresenta los costes asociados a la realizaci´ on de un pedido del medicamento i. Cos,ies el coste de la falta de existencias del medicamento i, es decir, el coste que conlleva una rotura de stock de un determinado medicamento. En este caso, cuando no hay otra soluci´ on posible (utilizar otra presentaci´ on del medicamento de mayor o menor dosis, utilizar otro f´ armaco del mismo grupo terap´ eutico siempre que no existan contraindicaciones, etc.), se procede a pedir un pr´ estamo a otro hospital que disponga del medicamento en cuesti´ on. Esta pr´ actica puede tener un alto coste, puesto que requiere entregas especiales (recogida del art´ ıculo del hospital que lo cede y devoluci´ on posterior cuando se restablece el desabastecimiento) que implican que hay que poner a disponibilidad del hospital un medio de transporte eficaz, seguro y r´ apido, a veces, incluso entre distintas ciudades yend ´ ıas festivos. Adem´ as, el riesgo que conlleva la incapacidad de satisfacer las necesidades cl´ ınicas del hospital se considera m´ aximo en este sentido. Cs,ies el coste de almacenamiento del medicamento i. Los objetivos del farmac´ eutico encargado de la gesti´ on del Servicio pueden resumirse en el siguiente listado por orden de prioridad descendente: 1. Satisfacci´ on de la demanda. En otras palabras, debe minimizarse la probabilidad de que se produzcan desabastecimiento de medicamentos. En general, la demanda de los Maestre et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 149–158 151 medicamentos es aleatoria en un hospital, aunque naturalmente existen algunos medicamentos cuyo comportamiento estacional puede ser aprovechado para mejorar la estimaci´ on de la demanda. Asimismo, tambi´ en hay que tener en cuenta las demoras en los env´ ıos de los pedidos, que tambi´ en son aleatorias. Como consecuencia, los datos hist´ oricos de consumos y pedidos son fundamentales tanto para modelar el comportamiento de la demanda como para establecer un stock de seguridad que permita hacer frente a la incertidumbre introducida por estos factores. Existen dos posibilidades en este punto dependiendo de si se establece un stock de seguridad fijo o variable. En el primer caso, en el problema de optimizaci´ on se introduce una restricci´ on adicional. En el segundo, el stock de seguridad es un par´ ametro de optimizaci´ on. En este trabajo nos hemos inclinado por la primera opci´ on tal y como se ver´ am ´ as adelante. 2. Minimizaci´ on de los gastos de adquisici´ on de medicamentos y los niveles de stock, dados por la siguiente funci´ on: G= Nm  i=1 npi  j=1 δj i(t)(pj iuj i(t)+Cj sh,i)+ N  k=0 Nm  i=1 Cs,isi(t).(2) 3. Minimizaci´ on del n´ umero de pedidos realizados. Los recursos humanos de un Servicio de Farmacia son limitados. De este modo, es conveniente minimizar los costes fijos asociados al hecho de realizar un pedido. Este objetivo se comprende mejor cuando se tiene en cuenta que, por ejemplo, en un hospital como Reina Sof´ ıa se realizan m´ as de 12000 pedidos al a˜ no. Matem´ aticamente, este objetivo queda reflejado en la siguiente funci´ on de coste: P= Nm  i=1 npi  j=1 Cop,iδj i(t).(3) Adem´ as, deben tenerse en cuenta diferentes restricciones: Restricciones de almacenamiento. Por un lado, el stock de un medicamento idebe ser mayor que el stock de seguridad minsi, cuya misi´ on es proporcionar una garant´ ıa extra de forma que se reduzca la probabilidad de rotura de stock. Por otro lado, podr´ ıa haber restricciones de espacio que limiten el n´ umero m´ aximo de unidades de medicamentos que pueden ser almacenados. Por tanto, si∈[minsi,maxsi].(4) En este punto es preciso puntualizar que el stock de seguridad minsipuede variar con el tiempo. Por ejemplo, en los periodos vacacionales hay laboratorios de peque˜ no tama˜ no que cierran. En este caso, la pr´ actica habitual por parte del hospital consiste en aumentar el stock de seguridad de forma que quede garantizado el stock de medicamentos del hospital durante el tiempo que el laboratorio en cuesti´ on permanezca cerrado. Una pol´ ıtica similar se sigue tambi´ en con los medicamentos cuyo consumo es estacional, que cuentan con un stock de seguridad mayor en determinadas ´ epocas del a˜ no. No obstante, por simplicidad se considerar´ a en lo que sigue que minsies constante. Restricciones sobre los pedidos. Las restricciones sobre los pedidos requieren el uso de dos variables diferentes. La primera es una variable booleana que representa el env´ ıo de un pedido de un medicamento ipor parte del proveedor jdurante el tiempo t. Por lo tanto, δj i(t)∈ [0,1]. En caso de realizar un pedido debe tenerse en cuenta que hay un n´ umero m´ ınimo y m´ aximo de art´ ıculos que se pueden pedir: uj i∈[minuj i ,maxuj i].(5) N´ otese que esta forma de modelar las restricciones sobre el n´ umero de unidades obedece a una simplificaci´ on introducida para preservar la convexidad del conjunto. La realidad es m´ as compleja, ya que normalmente los medicamentos vienen en envases por lo que formalmente se tratar´ ıa de un conjunto discreto. Asimismo, tambi´ en conviene comentar que el n´ umero m´ ınimo y m´ aximo de unidades a pedir vienen dados respectivamente por el n´ umero de unidades m´ ınimas contenidas en un envase y por el espacio disponible para el almacenamiento del medicamento correspondiente. Finalmente, n´ otese que tambi´ en es posible aumentar el valor de minuj icon objeto de reducir el n´ umero de pedidos de un medicamento a lo largo del tiempo. Restricciones operacionales. El Servicio de Farmacia tiene una capacidad limitada tanto para la recepci´ on como para el almacenamiento de los pedidos. Por este motivo debe imponerse un l´ ımite en el n´ umero de pedidos a realizar a lo largo de un tiempo N: N  k=0 npi  j=1 δj i(t+k)≤Δi(6) donde Δies el m´ aximo n´ umero de pedidos de un medicamento ique se puede realizar durante el horizonte temporal considerado. Restricciones econ´ omicas. Consideraremos una restricci´ on sobre los recursos econ´ omicos que pueden utilizarse en el horizonte temporal N. Para simplificar, ignoraremos el dinero inmovilizado que suponen los art´ ıculos almacenados. Por tanto, este objetivo puede ser matem´ aticamente representado de la siguiente forma: N  k=0 Nm  i=1 npi  j=1 δj i(t+k)(pj iuj i(t+k)+Cj sh,i+Cop,i)≤max$(7) donde max$representa el l´ ımite presupuestario durante el periodo de tiempo considerado. 152 Maestre et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 149–158 3. Gesti´ on de Riesgos en Stocks Hospitalarios Para introducir la gesti´ on de riesgos en los stocks hospitalarios, consid´ erese la Figura 1 donde se muestra la relaci´ on entre las distintas secciones o unidades de la farmacia hospitalaria (Ui), los riesgos que pueden darse en cada una de las unidades (Ri) y cada una de las acciones (Ai) que pueden realizarse para eliminar o reducir las consecuencias de los riesgos. Farmacia hospitalaria U 1 U n U 2 R 1 R m R 2 A 1 A p -1 A p ... ... ... Figura 1: Relaci´ on entre riesgos y acciones en la farmacia hospitalaria. Consid´ erese el conjunto de par´ ametros Z={Z1,··· ,Znc} que se desean optimizar, siendo nc su cardinalidad. Ejemplo de estos par´ ametros pueden ser los tiempos de retraso en los pedidos, el n´ umero de roturas de stock, o la caducidad de los medicamentos perecederos. Se define R={R1,··· ,Rm}como el conjunto de los riesgos que se han identificado en el sistema de stock hospitalario. El t´ ermino riesgo puede definirse como un evento que puede ocurrir con una determinada probabilidad, causando impactos sobre algunos de los par´ ametros que se han mencionado arriba. De esta forma, cada riesgo Rrse caracteriza por una probabilidad de ocurrencia en cada instante de tiempo Pr(t) e impactos IIrc, sobre cada uno de los par´ ametros a evaluar Zc∈Z. En la Figura 1 se puede observar que una unidad (Ui) puede estar afectada por varios riesgos y un mismo riesgo puede darse en varias unidades. Como ejemplo se observa como la unidad U1puede estar afectada por los riesgos R1yR2. Por otro lado, los riesgos pueden ser mitigados por las acciones de mitigaci´ on. En la Figura 1 el riesgo Rmes mitigado por las acciones Ap−1yAp. Una acci´ on puede mitigar a m´ as de un riesgo; n´ otese como Ap−1mitiga a los riesgos R2yRm. Como ejemplo, considere un medicamento que tiene un s´ olo proveedor con un precio y tiempo de entrega espec´ ıfico. Se puede identificar el R1como el desabastecimiento de este producto por parte del proveedor, teniendo un impacto sobre el par´ ametro coste Z1de 1000 euros y el tiempo de retraso Z2en una operaci´ on de 2 d´ ıas. La opci´ on de tener un segundo proveedor A1podr´ ıa reducir o incluso eliminar este riesgo, aunque habr´ ıa que tener en cuenta los costes y condiciones de este segundo proveedor. Como se ha visto en el ejemplo, las acciones de mitigaci´ on se realizar´ an para reducir los impactos de los riesgos, pero su ejecuci´ on podr´ a hacer que se incrementen los costes. Incluso en el caso de que los impactos y probabilidades de los riesgos se valoren de forma estoc´ astica, se ha de tener en cuenta el gas- to que conlleva realizar las acciones de mitigaci´ on debido a su car´ acter preventivo. Formalmente, se definen las acciones mitigadoras como el conjunto A={A1,··· ,Ap}compuesto por p acciones de mitigaci´ on, donde cada acci´ on se describe por una tupla de 3 elementos: Aa={uMa,Fa,Ga}∀Aa∈A,(8) donde uMaes la variable de decisi´ on de la acci´ on Aa.Faes el conjunto de funciones que determinan la reducci´ on del impacto en funci´ on de uMaen cada instante de tiempo: Fa={fca :R→R,∀Zc∈Z,Aa∈A, donde fca es la reducci´ on del impacto que afecta al par´ ametro Zc al ejecutar la acci´ on Aa. Como se hab´ ıa nombrado anteriormente, la ejecuci´ on de estas acciones conlleva un coste que puede incurrir en los par´ ametros de optimizaci´ on Z. Esta propiedad queda recogida bajo las funciones Ga, las cuales describen los gastos a considerar si la acci´ on Aase ejecuta, tambi´ en en funci´ on de su correspondiente variable de decisi´ on uMa: Ga={gca :R→R∀Zc∈Z,Aa∈A. Siguiendo con el ejemplo anterior en el que se considera la acci´ on A1para mitigar el riesgo R1se podr´ ıa modelar con f11 =uM1,f21 =uM1,g11 =BuM1, es decir, reduce el 100 % de los impactos y su coste es de Beuros por medicamento. Debido a la naturaleza tan diversa que puede darse en las acciones de mitigaci´ on, se hace necesario contemplar la variable de decisi´ on como una variable l´ ogica en el caso de decidir emprender una determinada acci´ on o no, o bien, que se cuantifique su intensidad (coste de una p´ oliza de seguro). De esta observaci´ on se puede concluir que uMapodr´ a ser una variable continua (uMa∈R) o entera (uMa∈Z), dando lugar a un problema de optimizaci´ on mixta. Teniendo en cuenta la informaci´ on anterior sobre riesgos, se introduce el t´ ermino denotado por RE llamado Exposici´on del Riesgo definido para cada uno de los riesgos identificados. As´ ı, RErc(uM,t) representa la exposici´ on del riesgo Rrque afecta al par´ ametro Zc, defini´ endose de la siguiente forma: RErc(uM,t)=Pr(t)IIrc − p  a=1 RAr,afca(uMa)+ + p  a=1 RAr,agca,∀Rr∈R,Zc∈Z, (9) donde Pr(t) es la probabilidad del riesgo Rren el instante t,IIrc denota el impacto inicial del riesgo Rrque afecta al par´ ametro Zc,yuM=[uM1, ..., uMp] es el vector agregado de decisi´ on para las acciones mitigadoras. Ambos t´ erminos pueden ver modificado su valor a lo largo del tiempo. La suma de funciones fes la reducci´ on de impacto conseguida con la ejecuci´ on de las acciones. El t´ ermino RAr,a=1 si el riesgo Rrpuede ser mitigado Maestre et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 149–158 153 por la acci´ on Aa; en otro caso, este t´ ermino tendr´ a un valor nulo (RAr,a=0). Este dato se obtiene gr´ aficamente de la estructura de riesgos comprobando si existe una l´ ınea dirigida entre el riesgo y la acci´ on. gca(uMa) es el coste adicional de ejecutar la acci´ on Aasobre los distintos par´ ametros Zc. Considerando toda la informaci´ on previa de esta secci´ on, se puede concluir que la informaci´ on necesaria para implantar un sistema de GR es la siguiente: Variables manipuladas y controladas. Modelo del proceso. Pol´ ıtica de operaci´ on, objetivos y prioridades. Riesgos identificados que puedan impactar sobre el sistema. Este conjunto se denota por R. Plan estrat´ egico de actuaci´ on para reducir la exposici´ on de los riesgos a trav´ es de las acciones de mitigaci´ on. El conjunto de riesgos se denotar´ a por A. La pr´ oxima secci´ on muestra como se lleva a cabo la optimizaci´ on en los stocks hospitalarios considerando mitigaci´ on de riesgos. Para ello, la formulaci´ on descrita en este apartado se introduce en el modelado de las variables que se desean optimizar. 4. Problema de Optimizaci´ on y Control Predictivo en Stocks de Farmacia Hospitalaria Como se coment´ o anteriormente, se ha elegido CPBM para llevar a cabo la optimizaci´ on. A continuaci´ on describiremos c´ omo se han sintetizado matem´ aticamente los objetivos que se desean cumplir: 1. Minimizaci´ on de stock garantizando la satisfacci´ on de la demanda de medicamentos (J1). Matem´ aticamente se tiene: J1(u,t)= N  k=0 Nm  i=1 [si(t+k)]2.(10) Naturalmente, este objetivo est´ a sujeto a (1). En este pun- to, es importante se˜ nalar que se utilizan los datos hist´ oricos de demandas (di) y pedidos para generar una demanda estimada de cada medicamento ( ˆ De,i). Esta demanda estimada puede verse modificada a su vez por alg´ un riesgo, gener´ andose la demanda virtual ( ˆ Di), que sirve como base para la toma de decisiones de acuerdo con (1): ˆ Di(t+k)=ˆ De,i(t+k) + m  r=1 RPr,dem(t+k)REr,dem(u,t+k)(11) donde Nmes el n´ umero de medicamentos que se han considerado en el estudio, mdenota el n´ umero total de de riesgos y Nel horizonte de predicci´ on. El t´ ermino REr,dem(u,t+k) modela el efecto del riesgo Rrsobre la demanda; RPr,dem(t+k)=1 indica que el riesgo Rrpuede afectar a la demanda en el instante t+k; en otro caso RPr,dem(t+k)=0. El hecho de que la demanda no sea satisfecha puede considerarse como un riesgo. Si es- to ocurre, el impacto de este riesgo sobre el coste ser´ ael t´ ermino IIr,cost =Cos,iy el impacto sobre la demanda, IIr,dem, una variaci´ on en ella. Para solucionar este problema, la GR, ejecutar´ a acciones que reducir´ an estos impactos a cambio del coste de ejecuci´ on de las acciones. Este caso se presenta en el apartado de aplicaci´ on. 2. Minimizaci´ on de los costes de los pedidos y almacenamiento (J2): J2= N  k=0 [ˆ G(t+k|t)+ m  r=1 RPr,cost(t+k)REr,cost(u,t+k)]2 (12) donde ˆ G(t+k|t) es el gasto en el instante de tiempo (t+k). Este t´ ermino se calcula seg´ un la expresi´ on (2) y representa el coste de los pedidos, incluyendo precio, coste de env´ ıo y coste de almacenamiento. REr,cost es la exposici´ on del riesgo Rrsobre el coste si se lleva a cabo gesti´ on de riesgos. De igual forma que en el t´ ermino de la demanda, puede haber riesgos que afecten al gasto de los pedidos, pudi´ endose realizar acciones para mitigarlos. 3. Optimizaci´ on del n´ umero de pedidos (J3): este t´ ermino procede de la expresi´ on (3) y depende de forma adicional del esfuerzo de control (variaci´ on de las variables de control permitidas) y el periodo entre pedidos (diarios, semanales, ...). J3= N  k=0 [ˆ P(t+k|t)]2,(13) La funci´ on global que el controlador optimiza es multiob- jetivo para considerar los puntos citados anteriormente. En particular, el problema que el controlador predictivo resuelve es el siguiente: m´ ın uJ=β1J1(u,t)+β2J2(u,t)+β3J3(u,t)(14) sujeto a (1) y (4-7), donde u=[uouM] es el vector agregado de las variables de decisi´ on del problema. En concreto, u0es el vector de decisi´ on que contiene el problema original sin considerar riesgos (variables de control del sistema de stock, esto es, δj i(t)yuj i(t) para todo j=1,...,npiyi=1,...,Nm)y uM=[uM1, ..., uMp] es el vector de decisi´ on para las acciones mitigadoras. Se ha de destacar que las salidas de este problema depender´ an en gran medida de los pesos asignados a la variable β= [β1β2β3]. Existen m´ etodos para la obtenci´ on de ponderaciones cuando se est´ an evaluando problemas multi-criterio. Por ejemplo, el procedimiento Analytic Hierarchy Process (AHP) (Saaty, 2008) es una metodolog´ ıa usada en la literatura donde se comparan los criterios por pares para obtener el peso de cada uno de los objetivos. Tambi´ en es preciso comentar que la naturaleza discreta de algunas variables de optimizaci´ on hacen de (14) un problema 154 Maestre et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 149–158 mixto cuadr´ atico (MIQP). Esta clase de problemas pertenece al tipo NP-completos. La complejidad del problema depende del n´ umero de variables enteras, reales y del n´ umero de restricciones. El tiempo de computaci´ on requerido para resolver el problema crece exponencialmente con el tama˜ no del problema. Si existen ni variables l´ ogicas, la complejidad ser´ a2 ni (2ni problemas QP problems a resolver). El n´ umero de problemas QP a resolver es finito y por tanto el algoritmo encuentra una soluci´ on (si existe ) en un tiempo finito. Finalmente, el sistema de bloques de este sistema se representa en la Figura 2, donde las entradas al sistema son las demandas de los medicamentos, proveedores e informaci´ on recopilada sobre los posibles riesgos que puedan afectar al sistema. Las salidas son los niveles de stocks, demandas predichas, costes y los datos sobre los pedidos (cuando y cuantas unidades) que deben realizarse. Inventario de farmacia Demanda Información sobre riesgos Niveles de stocks Pedidos Costes optimizados Restricciones Proveedores Figura 2: Representaci´ on de bloque del sistema de stocks. 5. Ejemplo de aplicaci´ on Esta secci´ on muestra la aplicaci´ on de la GR aplicado a uno de los medicamentos m´ as costosos en el hospital Reina Sof´ ıa de C´ ordoba (Espa˜ na). El coste de este medicamento es de 500 euros/unidad. Todos los datos que se presentan sobre stocks, demandas y costes han sido proporcionados por el personal hospitalario. A continuaci´ on se desarrollar´ an los siguientes puntos: Modelo de predicci´ on de la demanda y stock del medicamento. Identificaci´ on de riesgos. Plan de mitigaci´ on: acciones a desarrollar. Funci´ on objetivo a optimizar y par´ ametros del controlador predictivo. 5.1. Modelo de Predicci´on El t´ ermino de la demanda tiene car´ acter no determinista por lo que se ha caracterizado de forma probabil´ ıstica. Tras analizar los datos correspondientes a este medicamento se ha obtenido el comportamiento que se muestra en la Figura 3. El panel inferior muestra la probabilidad obtenida para un d´ ıa concreto de la semana. Con los datos que se disponen, se puede obtener un modelo de probabilidad para cada d´ ıa de la semana. La justificaci´ on se debe a la existencia de medicamentos cuya demanda depende fuertemente del d´ ıa de la semana. Esto ocurre con medicamentos que se recetan en las consultas, las cuales tienen lugar ciertos d´ ıa de la semana. Para el medicamento que se ha elegido, se puede observar que no tiene demanda los fines de semana. De forma adicional y para incrementar la robustez del controlador, se ha tomado el percentil 75 de los datos obtenidos. De esta forma, el controlador se preparar´ a para demandas superiores que la media, lo que relaja la restricci´ on del stock de seguridad, pudiendo ser reducido. El modelo discreto de entrada/salida para el stock del medicamento se muestra en la ecuaci´ on (1). 5.2. Riesgos identificados A continuaci´ on se exponen los cinco riesgos (m=5) que se han identificado en el periodo de estudio del inventario de la farmacia. La tabla 1 describe los riesgos que se han considerado, informaci´ on que proviene del personal t´ ecnico del hospital Reina Sof´ ıa. Los par´ ametros que se desean optimizar son Z={Z1,Z2}, donde Z1es el coste (euros/semana) y Z2la demanda del medicamento expresada en unidades. A t´ ıtulo de clasificaci´ on, se han distinguido riesgos asociados a la demanda del medicamento, proveedores y stock. N´ otese que R1puede cambiar la demanda estimada (cuarta columna) mientras que el resto de los riesgos est´ an variando el coste en la tercera columna (Z1). La probabilidad de cada riesgo se especifica en la ´ ultima columna, pudiendo ´ esta depender del tiempo. As´ ı, la probabilidad del R3s´ olo existe en el segundo mes; en el resto del periodo es 0. Para el riesgo R1, su probabilidad se ha determinado con una distribuci´ on normal de media 0.8 y desviaci´ on 0.1, P1(t)=N∼(0,8,0,1). 5.3. Plan de mitigaci´on: acciones mitigadoras Las acciones que pueden llevarse a cabo para mitigar los riesgos expuestos anteriormente se muestran en la tabla 2. Existen seis acciones de mitigaci´ on (p=6) y por tanto seis variables de control adicionales que componen el vector ,uM= {uM1,...,uM6}, donde todas son de car´ acter l´ ogico. La tercera columna de la tabla 2 describe las funciones f, es decir, la reducci´ on de impacto que se consigue al ejecutar la acci´ on. N´ otese que esta funci´ on se ha descrito en funci´ on del porcentaje del impacto, seg´ un las indicaciones del personal t´ ecnico del hospital. As´ ı para la acci´ on A2, la funci´ on f12 = 0,99II1uM2significa que al ejecutar esta acci´ on se eliminar´ ael 99 % del impacto sobre el coste. La cuarta columna informa sobre el gasto adicional de ejecutar la acci´ on; para la acci´ on A2,g12 =300uM2, el coste de ejecutar una vez la acci´ on es de 300 euros. La frecuencia de ejecuci´ on de las acciones debe ser como m´ ınimo de una semana. La ´ ultima columna describe el tipo de la variable que modela la acci´ on, siendo en este caso todas booleanas. La Figura 4 muestra de forma gr´ afica las acciones que pueden mitigar cada uno de los riesgos citados anteriormente. Puede observarse que la acci´ on A2puede mitigar a los riesgos R2y R4. Por otro lado, el riesgo R3puede mitigarse con la acci´ on A3 yA4. Maestre et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 149–158 155 Figura 3: Caracterizaci´ on probabil´ ıstica de la demanda del medicamento. Tabla 1: Descripci´ on de riesgos identificados RrDescripci´ on II1II2Pr(t) Demanda R1La demanda var´ ıa de la estimaci´ on II11 =0II12 =0,3DrP1(t) Proveedores R2Retrasos en la entrega de pedidos II21 =4000 II22 =00,3 R3No existe disponibilidad II31 =10000 II32 =00,4 Stocks R4Stock no corresponde con el real II41 =2200 II42 =00,5 R5Falta de instalaciones para el almacenaje II51 =500 II52 =00,2 Tabla 2: Acciones de mitigaci´ on. AaDescripci´ on f1a,f2ag1auMa A1Incrementar la demanda del medicamento f21 =f11 =0g11 =0B A2Incentivar el env´ ıo f12 =0,99II1uM2g12 =300uM2B A3Cambiar de proveedor f13 =II1uM3g13 =500uM3B A4Buscar asistencia en otros hospitales f14 =0,5II1uM4g14 =2000uM4B A5Seguimiento exhaustivo del stock real f15 =0,8II1uM5g15 =200uM5B A6Habilitar un almacenaje auxiliar f16 =II1uM6g16 =90uM6B 156 Maestre et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 149–158 Inventario Demanda Proveedores R 1 R 4 A 1 A 5 A 2 A 3 R 2 R 3 A 4 R 5 Stocks A 6 Figura 4: Relaci´ on de las acciones que mitigan los riesgos identificados. Se establece que el coste al que puede ascender la mitigaci´ on ser´ a de 1800 euros por semana. 5.4. Funci´on objetivo y par´ametros del controlador La funci´ on objetivo est´ a descrita en la ecuaci´ on (14) donde β1=15,β 2=10 y β3=1, par´ ametros que han sido elegidos en colaboraci´ on con el personal farmac´ eutico del hospital. El periodo de estudio se establece en 117 d´ ıas (t=1,...,117), tiempo de muestreo de 1 d´ ıa y horizonte de predicci´ on, N=10. Las restricciones que se citan en las expresiones (4-7) se incorporan al problema de optimizaci´ on. De esta forma, en cada tiempo de muestreo se obtiene una secuencia de se˜ nales de control upara seguir a la trayectoria de demanda deseada. El stock de seguridad del medicamento, minsi, se ha establecido en 25 y el m´ aximo,maxsi, en 200. Para este medicamento, existe un ´ unico proveedor cuyo env´ ıo tarda 2 d´ ıas. 5.5. Resultados Al haber variables booleanas en el sistema, se ha usado el paquete comercial Cplex de ILOG (ILOG, 2006) para resolver el problema de optimizaci´ on mixta. N´ otese que a´ un siendo el problema de optimizaci´ on bilineal, se ha usado una transformaci´ on (Bemporad and Morari, 1999) para convertir el sistema a lineal a˜ nadiendo variables booleanas y restricciones al problema original. El objetivo del problema es satisfacer la demanda del medicamento en estudio minimizando el stock. La demanda se ha estimado con la ayuda del personal cl´ ınico, recopilando datos de demandas anteriores en el mismo periodo. As´ ı, en el panel superior de la Figura 5 se muestra la demanda estimada del medicamento en l´ ınea continua con marcas de c´ ırculos ( ˆ De,1). Sin embargo, el riesgo R1modifica esta demanda, dando lugar a la l´ ınea continua, la cual es la demanda virtual ˆ D1utilizada en el problema de optimizaci´ on. La demanda real que se produjo se representa con la l´ ınea discontinua rayada. Se observa que no en todos los casos la demanda virtual es superior a la real, dando lugar a roturas de stock de seguridad como se muestra en el segundo panel (t=93). En este segundo panel se muestra el estado del stock del medicamento, donde la l´ ınea discontinua equivale al stock real y la l´ ınea continua al stock si se toma como referencia la demanda estimada afectada por el riesgo R1. Esta se˜ nal intenta alcanzar el stock de seguridad (25 unidades), pero a veces no cumple esta restricci´ on porque la demanda real super´ o a la estimada. El tercer panel muestra el instante de tiempo y unidades que se solicitan al proveedor 1. Al activarse el riesgo R3en el segundo mes, los pedidos se realizan a un segundo proveedor (acci´ on A3) para mitigar el riesgo (panel inferior). En esta simulaci´ on, la media del stock real es 43.27 y su desviaci´ on 18.8 durante todo el periodo. 0 20 40 60 80 Stocks Unidades 0 20 40 60 Demandas 0 20 40 60 Pedidos a proveedor 1 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 Tiempo (días) Pedidos a proveedor 2 Figura 5: Demandas, stocks y pedidos diarios a los proveedores. En l´ ınea continua se muestran las salidas del controlador y en l´ ınea discontinua las se˜ nales reales. La Figura 6 muestra los costes acumulados a lo largo del periodo de estudio. Se ha de recordar que los riesgos R2,...,R5 afectan a este criterio. 1. La l´ ınea azul discontinua muestra el coste acumulado considerando los impactos de los riesgos, pero sin realizar acciones de mitigaci´ on. 2. La l´ ınea roja continua representa el coste acumulado a lo largo del tiempo, considerando los impactos de los riesgos y actuando en consecuencia, ejecutando acciones de mitigaci´ on. Como cab´ ıa esperar, el coste en el caso de mitigaci´ on es menor que en el caso de considerar riesgos pero no mitigaci´ on. Las acciones que se deben ejecutar para alcanzar este coste se muestra en la Figura 7. Se observa que las acciones se llevan a cabo cada semana. As´ ı, las acciones A2,A3,A5yA6se ejecutan al principio de la semana; la acci´ on A4no se ejecuta debido al alto coste de la funci´ on g14 para reducir el impacto de R5.A3 que representa el hacer los pedidos a otro proveedor, se ejecuta s´ olo durante el segundo mes debido a la probabilidad alta que tiene durante ese periodo. Maestre et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 10 (2013) 149–158 157 0 20 40 60 80 100 120 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 Costes Miles de euros Tiempo (días) Con mitigación Sin mitigación Figura 6: Costes acumulados considerando riesgos en el inventario. Tabla 3: Simulaciones para diferentes stocks de seguridad. Stock de seguridad Violaciones Media Desviaci´ on 25 17 43.25 18.8 27 1 46.20 19.49 30 0 48.73 19.38 40 0 59.26 20.22 La tabla 3 muestra cuatro casos de simulaciones para distintos valores de stock de seguridad, detallando tambi´ en, la media y desviaci´ on del stock. A medida que se aumenta este valor, el n´ umero de casos que no cumplen la restricci´ on disminuye. Por otro lado, tambi´ en se incrementa la media del stock al incrementar el stock de seguridad; se trata de determinar un balance entre ambos t´ erminos. Por ´ ultimo, se ha llevado a cabo un experimento donde los pedidos se realizan no diariamente, sino semanalmente. Se puede observar en la Figura 8 como el stock aumenta comparado con el caso anterior. Se realizan menos paquetes de pedidos pero se necesita un coste mayor para su almacenaje. La estimaci´ on de la demanda se ha adaptado considerando el percentil 60 de los datos reales. En este caso, la media es de 95.98 y su desviaci´ on de 34.94. El panel 2 de las figuras5y8muestran el estado del stock dependiendo si se impone alguna restricci´ on a la frecuencia de realizaci´ on de los pedidos. Como se ha podido comprobar, estas simulaciones han dado como media de stock 95.98 en el caso de pedidos semanales y 43.27 unidades en los periodos realizados diariamente. En la realidad, el departamento de farmacia no realiza los pedidos con una frecuencia determinada, sino que utiliza una pol´ ıtica de punto de pedido, esto es, los medicamentos se piden cuando el stock baja de un determinado umbral, estimado por el personal farmac´ eutico. Aplicando este procedimiento, consiguen una media de stock de 107 unidades y el tiempo medio entre pedidos es aproximadamente una semana. Teniendo en cuenta que una unidad de este medicamento tiene 0 1 2 uM2 0 1 2 uM3 0 1 2 uM4 0 1 2 uM5 0 20 40 60 80 100 0 1 2 uM6 Tiempo (dias) ACCIONES DE MITIGACION Figura 7: Acciones mitigadoras a ejecutar y su instante de ejecuci´ on. un coste de 500 euros, se justifica el tener un stock lo menor posible. El procedimiento que se plantea baja esta media en ambos casos (diario y semanal). 6. Conclusiones Este art´ ıculo propone una herramienta de ayuda en la toma de decisiones del departamento de farmacia para gesti´ on de stocks de medicamentos. La gesti´ on del inventario de f´ armacos es una tarea relevante en la gesti´ on de hospitales, y por ende, su optimizaci´ on repercutir´ a en el funcionamiento global del hospital. Se trata de un problema complejo que requiere establecer un equilibrio entre criterios que resultan contradictorios, como pueden ser la disponibilidad del medicamento y el coste. Este trabajo ha llevado a cabo la optimizaci´ on del stock de f´ armacos considerando una evaluaci´ on multiobjetivo y considerando un modelo expl´ ıcito de los riesgos que puedan identificarse en la etapa de planificaci´ on. En este sentido, el control predictivo aplicado resulta muy beneficioso debido a que se puede disponer de un modelo que prediga el stock futuro en base a los riesgos identificados, demandas estimadas y restricciones incorporadas. Entre las salidas que se aportan, se destacan las acciones de mitigaci´ on que reducen los impactos de los riesgos a lo largo del tiempo, detallando su intensidad e instantes de tiempo a ejecutar. Asimismo, este procedimiento tambi´ en proporciona una herramienta v´ alida para ayudar al personal t´ ecnico a evaluar diferentes escenarios dando como resultado las variables de control a introducir en el sistema. Como se ha visto, la formulaci´ on del problema empleada es lo suficientemente general como para adaptarse bien a la problem´ atica planteada por cualquier tipo de medicamento. No obstante, en trabajos futuros se contemplar´ an tambi´ en otros aspectos tales como las diferentes relaciones coste-tama˜ no del pedido o la utilizaci´ on de costes diferentes en funci´ on del tiempo. En el caso de estudio particular utilizado en este art´ ıculo,